Prova de Fundamentos da Matematica - Triangulos Retangulos e Logaritmos

1 Em cada item estão indicadas as medidas em centímetros dos lados de um triângulo a Quais dos triângulos possuem um ângulo reto b Em relação aos triângulos que você indicou no item a determine a medida de hipotenusa 2 Na figura a seguir O é o centro da circunferência e as medidas indicadas são dadas em centímetros Calcule o diâmetro da circunferência r tangencia a circunferência no ponto D 3 Alguns problema relacionados a triângulos retângulos foram encontrados no Papiro Matemático Cairo que data cerca de 300 aC Nele estão propostos 40 problemas matemáticos Resolva os problemas a seguir encontrados no Papiro Matemático Cairo a Uma escada de 10 cúbitos está com seus pés a 6 cúbitos da parede Que altura a escada alcança b Um retângulo de área 60 cúbitos quadrados tem diagonal de 13 cúbitos Determine os lados do retângulo Prova de Fundamentos da Matemática 20232 Disciplina Fundamentos da Matemática Professora Maria Helena Campanelli Nome do aluno RGM Turma Data 2 4 Sabendo que no triângulo retângulo ABC e m calcule a b c A medida da hipotenusa d A medida do cateto oposto a 5 Para medir a largura de um rio um engenheiro utilizou como referência duas estacas de madeira que fincou em uma das margens do rio e uma pedra localizada na margem oposta conforme o esquema Qual é aproximadamente a largura do rio Boa Prova LOGARÍTMO UM POUCO DE HISTÓRIA O matemático escocês John NAPIER 1550 1617 é considerado o inventor dos logaritmos por ter sido o primeiro a publicar embora outros matemáticos da época tenham trabalhado nessa teoria Apesar dos logaritmos envolverem potenciação o interessante é que eles foram criados sem o conhecimento da notação exponencial que hoje conhecemos Napier estudava um sistema que facilitasse a multiplicação de senos e que mais tarde foi generalizado a outras operações envolvendo quaisquer números Seu trabalho levou mais de 20 anos sendo publicado em 1614 A palavra logaritmos também foi criada por Napier a partir das palavras gregas logos razão e aritmonúmero Imagine que sem calculadora tivéssemos que efetuar constantemente operações do tipo 2 3 3 45 2 67 1 55 5 48 21 1 que é um cálculo demorado e trabalhoso Com o surgimento dos logaritmos no século XVI o cálculo envolvendo operações matemáticas como estas foram simplificadas pois com a utilização dos logaritmos podemos transformar produto em adição divisão em subtração potenciação em multiplicação e radiciação em divisão ou seja transformamos as operações em operações mais simples No estudo de Napier já aparece não de um modo explicito o número que hoje designamos por e e que somente um século depois viuse a verdadeira importância dele com o desenvolvimento do cálculo infinitesimal O logaritmo neperiano original não é o mesmo que o logaritmo natural que conhecemos atualmente Na época Napier utilizava o número e1 como base enquanto que hoje usamos o número e Embora denominemos número e como número de Napier e o logaritmo utilizando essa base como neperiano Um outro personagem de fundamental importância da época do surgimento dos logaritmos foi o matemático inglês Henry BRIGGS 1561 1639 Ele contribui para a teoria dos logaritmos elaborando um tabela em que escreve os números inteiros positivos de 1 a 1000 na forma de potência de 10 com um grau de aproximação espantosa até a 14ª casa decimal Nessa mesma tabela é possível também descobrir qual é o valor de qualquer potência de 10 Briggs constrói o que denominamos de tabela dos logaritmos de base 10 ou logaritmos decimais Para calcular os logaritmos ele utiliza o processo de aproximações sucessivas através da média geométrica Embora a grande maioria desses logaritmos terem sidos obtidos recorrendose a outros calculados anteriormente isto não diminui o mérito de seu trabalho DEFINIÇÃO Sejam a e b números reais a 0 a 1 e b 0 Chamase logaritmo de b na base a e denotamos por log a b ao número real c tal que a c b c a b log Exemplos a 3 log2 8 pois 23 8 b 2 9 log 3 1 pois 9 3 3 1 2 2 c 2 1 5 log 5 pois 5 5 2 1 NOTAÇÃO 1 O logaritmo de x na base 10 é denotado por log x e é chamado de logaritmo decimal x log significa log10 x 2 O logaritmo de x na base e número de Euler é denotado por ln x e é chamado de logaritmo neperiano x ln significa loge x LIMITE FUNDAMENTAL EXPONENCIAL Na álgebra é comum usar as bases a 10 e a 2 mas no cálculo costuma ser mais conveniente utilizar como base um número representado pela letra e número de Euler e e definido da seguinte forma x x x 1 0 1 lim e 271828 x 1 05 01 001 0001 00001 000001 x x 1 1 2 225 259374 270481 271692 271815 271827 Portanto x x x 1 0 1 lim e 271828 x 05 01 001 0001 00001 000001 x x 1 1 4 286797 2732 271964 271842 271823 Portanto x x x 1 0 1 lim e 271828 Dessa maneira podemos dizer que x x x 1 0 lim 1 e 271828 A medida que x 0 temos que x x 1 1 e 271828 PROPRIEDADES 1 Logaritmo do produto log b c a c b a a log log 2 Logaritmo do quociente log c b a c b a a log log 3 Logaritmo da potência n log a b b n log a 4 b a a b log 5 Mudança de base a b b c c a log log log EXERCICIOS PROPOSTOS Calcule o valor dos logaritmos sem o uso de uma calculadora 1 log 4 1 2 2 log 9 27 3 log 8 4 4 2 log 2 1 5 100 log 10 6 0 001 log 7 1 log 0 01 8 5 log 5 9 8 log 2 10 3 3 log 3 1 11 10 1 log 12 2 10 1 log 10 13 ln 1e 14 2 ln e 15 eln5 16 0 23 ln e 17 eln2 18 04 1 ln e 19 2e ln3 20 e3ln2 Usando 0 301 50 log estime os valores dos seguintes logaritmos sem o uso de uma calculadora 21 log 50 22 log 25 23 log 2 24 log 8 25 log 20 26 log 3 5 Utilize as aproximações 0 631 log3 2 e 1771 log3 7 para calcular os valores dos logaritmos 27 log 4 1 3 28 14 log3 29 log3 18 30 log9 2 31 7 log 3 1 Utilizando uma calculadora calcule o valor de x nas equações dadas 32 1 463 log x 33 0 418 log 100 x 34 0103 log 10 x 35 1233 log x 36 10 21411 x 37 100 204 5 x 38 2 47 5 ln 3 x 39 0 ln 4 2 ex 40 x e x x 3 ln 41 0 ln 1 x2 42 6 1 2ln x e 43 x e x 2 ln 1 Determine o valor de x sem usar uma calculadora 44 7 2 1 e x 45 e x2 1 46 10 e x 2 47 7 2 xe 48 1 1 ln x 49 3 ln2 x 50 5 ln x3 51 0 2 ln 2 x 52 0 lnln x 53 8 3ln x e 54 8 3 xe ln 55 1 3 2 2 xe x 56 3 2 ln x ex 57 7 3 2 e x 58 0 ln ln1 x Simplifique o máximo possível a expressão dada 59 1 ln x2 e 60 e 4ln2 61 e ln x 62 2 4 ln e 63 1 2 ln x e 64 t e 3 ln ln3 65 t te ln 66 x e x ln 2 1 67 ln ln2 2 x x e 68 2 ln ln x e e x Utilizando uma calculadora calcule os logaritmos 69 log 5 12 70 log 12 5 71 log 2 10 72 log 2 e 73 log3 2 74 log 7 4 Resolva as equações 75 0 2 ln ln x x 76 0 8 2 2 x x e e 77 Determine a solução da equação 23 5 x1 com precisão de 5 casas decimais RESPOSTAS 1 2 2 2 3 3 3 2 4 1 5 2 6 3 7 0 8 2 1 9 2 3 10 2 3 11 2 1 12 2 1 13 2 1 14 2 15 5 16 0 23 17 2 1 18 40 19 9 20 8 1 21 699 1 22 398 1 23 0 301 24 0 903 25 301 1 26 0 233 27 1 262 28 201 1 29 2 631 30 0 315 31 1 771 32 2904 33 818 261 34 0 897 35 415 291 36 2 33 37 155 1 38 96706 39 2 ln 4 40 ln3 41 0 42 3 449 43 e 44 0 4729 45 2 46 15174 47 8918 3 48 71828 1 49 100427 50 5 2944 51 2 3 52 e 53 2 54 8927 1 55 1 ou 3 56 3 57 0 527 58 1 59 x2 1 60 16 1 61 x 1 62 2 63 2 2 e x 64 3 3t 65 t et 66 x 1 67 4 68 0 69 5439 1 70 0 64768 71 3222 3 72 44272 1 73 0 63091 74 0 7124 75 2 1 5 76 ln4 77 2 9481