Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

Integral tripla em coordenadas cilíndricas 1 Uma casca cilíndrica tem 20 cm de comprimento com raio interno de 6 cm e externo de 7 cm Descreva a casca em um sistema de coordenadas adequado e calcule o seu volume 2 Calcule 𝐸 𝑥2 𝑦²𝑑𝑣 onde E é a região que está dentro do cilindro x² y² 16 e entre os planos z 5 e z 4 3 Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral 𝑟𝑑𝑧𝑑𝜃𝑑𝑟 4 𝑟 2𝜋 0 4 0 e calcule essa integral 4 Encontre o volume da região que está limitada pelo plano xy e entre o paraboloide 𝑧 24 𝑥2 𝑦² e o cone 𝑧 2𝑥2 𝑦² 5 Determine 𝐸 𝑥² 𝑑𝑉 quando E é o sólido que está dentro do cilindro 𝑥2 𝑦2 1 acima do plano z 0 e abaixo do cone 𝑧2 4𝑥2 4𝑦² 6 O volume da região limitada pelo plano xy pelo paraboloide 𝑧 𝑥2 𝑦² e pelo cilindro 𝑥2 𝑦2 1 é 7 Calcule a massa e o centro de massa 𝑥 𝑦 𝑧 de um sólido S no primeiro octante limitado pelos planos coordenados o plano z 2 e o cilindro 𝑥2 𝑦2 9 se sua densidade em um ponto P é proporcional à distância de P ao eixo z 8 Calcule 𝐸 𝑦 𝑑𝑣 onde E é o sólido que está entre os cilindros x² y² 1 e x² y² 4 acima do plano xy e abaixo do plano z x 2 9 Calcule a integral 𝐸 𝑥2 𝑧²𝑑𝑉 onde E é a região limitada pelo paraboloide 𝑦 𝑥2 𝑧² e pelo plano y 4 Integral tripla em coordenada esférica 1 Calcule 𝑥2 𝑦2 𝑧2³ 𝑆 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 onde S é limitado pela porção da esfera x² y² z² 9 pertencente ao primeiro octante e pelos planos coordenados 2 Calcule 𝑒𝑥2𝑦2𝑧2³ 𝐸 𝑑𝑣 onde E é delimitado pela esfera x² y² z² 9 no primeiro octante 3 Encontre o volume do sólido que fica dentro da esfera x² y² z² 4 acima do plano xy e acima do cone 𝑧 𝑥2 𝑦² 4 Determine o volume do sólido que está acima do cone 𝜑 𝜋 3 e abaixo da esfera 𝜌 4𝑐𝑜𝑠𝜑 Mudança de variáveis em Integral Múltipla 1 Calcule a integral 𝑒𝑥𝑦𝑥𝑦 𝑅 𝑑𝐴 onde R é a região trapezoidal com vértices 10 20 02 e 01 2 Dada a região 𝑅 0 𝑥 𝑦 2𝑧 1 1 𝑥 𝑦 2𝑧 2 𝑒 0 𝑧 1 calcule a integral 𝑥𝑦2𝑧 𝑅 𝑥𝑦2𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Campos Vetoriais 1 Determine se o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑥3𝑦4 𝑖 𝑥4𝑦3𝑗 é conservativo Em caso afirmativo obtenha a função potencial 2 Determine o campo vetorial gradiente de 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 𝑦³ determine se ele é conservativo ou não 3 Determine se o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑦𝑧𝑖 𝑥𝑧𝑗 𝑥𝑦 2𝑧𝑘 é conservativo Em caso afirmativo obtenha a função potencial tal que 𝑓 𝐹 4 Se 𝐹 é um campo vetorial definido por 𝐹𝑥 𝑦 1 𝑦 𝑖 𝑥 𝑦² 𝑗 prove que 𝐹 é conservativo e encontre a sua função potencial Integrais de linha 1 Calcule a integral de linha 𝑐 3𝑥𝑑𝑥 2𝑥𝑦𝑑𝑦 𝑧𝑑𝑧 se a curva for a hélice circular definida pelas equações paramétricas x cost y sent z t e 0 𝑡 2𝜋 2 Calcule a integral de linha 3𝑥2 6𝑦𝑑𝑥 3𝑥 2𝑦𝑑𝑦 𝑐 sendo C x t y t² 0 t 1 3 Calcule a integral de linha 𝑦 𝑧𝑑𝑥 2𝑥𝑧𝑑𝑦 𝑥 𝑧𝑑𝑧 𝑐 sendo C x 2t y 3t 1 z t 2 0 t 2 4 Calcule a integral de linha 𝑐 𝑥𝑒𝑦𝑧𝑑𝑠 onde C é o segmento de reta 0 0 0 a 1 2 3 dado 0 𝑡 1 5 Determine o trabalho realizado pelo campo de força 𝐹𝑥 𝑦 𝑥 𝑖 𝑦 2𝑗 sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide 𝑟𝑡 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖 1 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑗 0 𝑡 2𝜋 Teorema de Green 1 Calcule 3𝑦 𝑒𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 7𝑥 𝑦4 1𝑑𝑦 onde C é o círculo x² y² 4 2 O valor da 2𝑥𝑦 𝑥2𝑑𝑥 𝑥 𝑦2𝑑𝑦 onde 𝐶 é a curva fechada da região limitada pela intersecção de 𝑦 𝑥2 e 𝑦2 𝑥 é 3 Calcule a integral de linha 𝑐 4𝑦𝑑𝑥 3𝑥𝑑𝑦 pelo Teorema de Green em que C forma o quadrado com os vértices em 00 10 11 e 01 4 Calcule a integral de linha 𝑐 𝑦² 𝑑𝑥 4𝑥𝑦𝑑𝑦 onde C é a curva fechada que consiste no arco da parábola y x² da origem ao ponto 2 4 e no segmento de reta y 2x de 2 4 até a origem 5 O valor da integral de linha x² ydx 2x y²dy onde C é a linha perimetral do triângulo ABC tomada no sentido antihorário com vértices A00 B10 e C01 Rotacional e Divergente 1 Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑖 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑗 𝑧 𝑘 Teorema de Stokes 1 Verifique o Teorema de Stokes para o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑦2𝑖 𝑥𝑗 𝑧²𝐾 em que S é a parte do paraboloide 𝑧 𝑥2 𝑦² que está acima do plano z 1 orientado para cima 2 Seja o campo de forças definido por 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 4𝑦 𝑖 2𝑧 𝑗 3𝑥 𝑘 e suponha que S seja a parte do paraboloide z 10 x² y² acima do plano z 1 Verifique o Teorema de Stokes 3 Use o Teorema de Stokes para calcular a 𝑆 𝑟𝑜𝑡𝐹 𝑑𝑆 do campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2𝑧2𝑖 𝑦2𝑧2𝑗 𝑥𝑦𝑧 𝑘 onde S é a parte do paraboloide z x² y² que está dentro do cilindro x² y² 4 orientado para cima 4 Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha 𝑆 𝑟𝑜𝑡𝐹 𝑑𝑆 se o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑧𝑖 𝑥𝑦𝑗 𝑦² 𝑘 e C for a fronteira orientada da superfície que consiste na parte do cilindro z 4 x² no primeiro octante que é delimitada pelos planos coordenados e pelo plano y 3 5 Verifique o Teorema de Stokes para o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑦𝑧 𝑖 𝑥𝑧 𝑗 𝑥𝑦 𝐾 em que S é o paraboloide 𝑧 9 𝑥2 𝑦² que está acima do plano z 5 orientado para baixo Integral de superfície 1 Calcule a integral de superfície 𝑆 𝑥²𝑧² 𝑑𝑆 onde S é a parte do cone x² y² z² entre os planos z 1 e z 2 2 Calcule a integral de superfície da função escalar onde S é a parte do plano z 1 2x 3y que está acima do retângulo 03x02 dada a integral 𝑆 𝑥²𝑦𝑧 𝑑𝑆 3 Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície S definida por um cubo de vértices em 1 1 1 quando 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑖 2𝑦 𝑗 3𝑧 𝐾 Teorema da Divergência ou Teorema de Gauss 1 Calcule o fluxo do campo vetorial 𝑭𝑥 𝑦 𝑧 cos 𝑧 𝑥𝑦2 𝒊 𝑥𝑒𝑧 𝒋 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑥2𝑧 𝒌 através da superfície S do sólido limitado pelo paraboloide 𝑧 𝑥2 𝑦2 e o plano 𝑧 4 2 Calcule o fluxo do campo vetorial 𝑭𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥𝑦 𝑧 𝒊 𝑥2𝑦 𝒋 𝑥𝑧² 𝒌 através da superfície S do sólido limitado por x 0 x 1 y 0 y 1 z 0 e z 1