Algebra Linear - Lista de Exercicios sobre Transformacoes Lineares Nucleo e Imagem

POLI ÁLGEBRA LINEAR I PROF CLÁUDIO MACIEL 4ª LISTA DE EXERCÍCIOS Transformação Linear Núcleo e Imagem Operações com Transformação Linear e Matriz de uma transformação linear Transformação Linear Uma função aplicação V FU é dita uma Transformação Linear se e somente se forem válidas as seguintes propriedades LU Notação F U Chamada de Operador Linear F U V se U Obs LUV F Notação U u R e Fu ª F u 2 U u u Fu Fu u Fu ª1 2 1 2 1 2 1 Exemplo Verificar se F é uma transformação linear LR F é um Operador Linear ou F que R dizemos então Neste exemplo como FR OBS LR R F é uma Transformação Linear ou F Logo CONCLUSÃO Fu 3y y 2x x 3y 2x y x 3 y y 2 x x y F x x y F u F x y u Seja U u R e Fu F u ª 2 Fu u F 3y x2 y x 3y y 2 x x 3y x2 3y y 2 x x y x 3y y3 2x 2 x y y x x y 3y x y 2x y x x y y x Fx u u F x y x y e u u Sejam U u u Fu Fu u Fu ª1 3y y 2x x R definida por F x y R F 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1º Verificar se as aplicações são transformações lineares y x x y y x R definida por P x y PR f z z y y x y z R definida por W x WR e y y 2x x definida por S x y R SR d 3z y y 2x y z definida por T x R TR c y z x z y x y z R definida por G x G R b z 2 x y y z F x definida por R FR a 3 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 3 2º Verificar quais das aplicações de R3 em R3 são operadores lineares a F xyz x x x b Fxyz 2x y z x y z c Fxyz 0yz d Fxyz x 1 y z 1 e Fxyz x y y z z x f Fxyz z0x 3º Verificar quais das aplicações de R2 em R2 são operadores lineares a Fxy 2x 3y 4x 5y b Fxy 2x x y c Fxy 3y0 d Fxy 0x y e Fxy x 1y 1 f Fxy x2 y2 0 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear U Fu u F x y Im Notação ImF de F Imagem U 0 u u Fu N Notações KerF ou NF de F Núcleo LUV definimos F Seja Exemplo Dado o operador linear 3y y 2x x R definido por F x y FR 2 2 determine o Núcleo e a Imagem de F Núcleo F é injetor operador Como o único vetor do Núcleo é o vetor nulo dizemos que o OBS N 00 0 0 e x y 0 y 5 0 y x 0 3y x 2 0 y x 00 3y y 2x x 0 x y F x y N 3y y 2x x R definida por F x y FR 2 2 Imagem 2 2 2 2 R 3y x y y 2x x Im F x y x y R Im 3y y 2x x R definida por F x y R F Base e dimensão do Núcleo e da Imagem Determine uma Base e a Dimensão do Núcleo e da Imagem do operador linear 2 e dim Im 1 3 1 2 B são L I 1 3 1 2 Im R x y 3 1 y 2 1x Im R 3y x y y 2x x Im Base e Dimensão da Imagem II 0 e dim N B 00 N 00 N Base e Dimensão do Núcleo I 3y y 2x x R definida por F x y R F Im 2 2 N 2 2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1º Determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares a F R3 R dada por Fxyz x y z b F R2 R2 dada por Fxy 2x x y c F R3 R4 dada por Fxyz x y z x y z 2x y z y d F M2 R M2 R definido por FX MX 1 2 0 1 2 e M R M X e F M2 R M2 R definido por FX MX X com 0 0 1 1 M 2º Seja F R3 R3 definida por F100 110 F010 112 e F001 002 Determine uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços Ker F e Im F 3º Determinar uma transformação linear do R3 no R2 cujo núcleo é gerado por 110 4º Determinar um operador linear do R4 cujo núcleo é gerado por 1100 e 0010 5º Determinar um operador linear F R3 R3 cuja imagem é gerada por 211 e 112 Operações com Transformação Linear Sejam V FU e V GU Transformações Lineares L U LU bijetor então F F Seja º Transformação inversa F u 4 G Fu GoFu LUW GoF LVW LUV e G F Sejam Composição º3 Fk u kFu LUV kF LUV R e F k Sejam º Multiplicação por escalar 2 Gu Fu G u F L UV G F LUV F e G Sejam Adição º1 1 1 OPERAÇÕES EXEMPLOS 1º Sejam 2 3 2 3 R R e GR FR transformações lineares definidas por z y x y z z e G x 2 x y y z F x Determine 5G c 2F b 3F G a F 2z 3y 5 z x 5y 5 z 5x 2z 4 x 2y z y 5x z 2 2 x y y z 5 G x y z F2 x y z x 5G 2F c 3z 6 x 3y z 32 x y y z F3 x y z x 3F b z z 2y 3x z y x z 2 x y y z G x y z F x y z x G F a 2º Sejam 2 2 2 3 R R e GR FR transformações lineares definidas por y y 2x x e G x y 3 z y y 2x y z F x Determine G2 c GoG b Fo G a Go F 2 z 3y 5 z x 5y 5 z 5x 2 z 4 x 2y 3 x 3y y y 2x Gx GG x y GoG x y x y G R GoG R G R G R c domínio de F FoG não está definida imagem G R e F R R G R b 3 z 3y 3 z 4x 2x 3 z y y G2x z y G F x z y x GoF R GoF R R e G R R F R a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 3º Sejam 2 2 R FR operador lineares definido por 3y y x 2x F x y Determine F 1 x y 5 2y x 5 y 3x F x y Temos 5 2y x b 2y x b 5 5 y 3x a y 3b a x b a 2 y 3b a y 3b a x b 2a 3b b a 2a x y b a F x y a b x y F 1 1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1º Sejam F G L R3 R2 definidas por Fxyz 0 2x e Gxyz x y x e H LR2 dado por Hxy x y x y Determinar a H o 2F 3G b H I o F onde I é o operador idêntico de R2 ou seja I xy xy 2º Sendo F G e H L R2 definidos por Fxy x 2y Gxy y x y e H xy 0 x determinar Ker Im uma base e a dimensão e a transformação linear inversa se existir das seguintes transformações a F H b F o G c G o F H d F2 e H o F o G f F3 3º Sejam F G L R3 definidos por F xyz x y z y z e G xyz x 2y y z x 2z Determinar a F o G b Ker F o G Im G o F c Uma base e a dimensão de Ker F2 o G d Uma base e a dimensão de Ker F2 o G 1 se existir a inversa 4º Verifique se os seguintes operadores lineares do R3 são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas propriedades a Fxyz x y z b Fxyz z x y c Fxyz x 0 z d Fxyz 0 0 x 5º Para cada operador linear do R3 a seguir determine F 1 a Fxyz x 3y 2z y 4z z b F xyz x x y 2x y z 6º Seja F R2 R2 deffinido por Fxy x x y a Determine F2 b Determine F2 1 se existir 7º Sejam F L R3 R2 e G L R2 R3 dadas por Fxyz x y y z e Gxy x y y x x y Sendo I o operador idêntico do R3 Determine o Ker G o F I e G o F I 1 8º Seja F R2 R2 dado por F10 25 e F01 34 Determine G I F e H I F F2 I é o operador idêntico do R2 9º Seja o operador linear R3 definido por F 100 111 F 010 101 e F001 004 Determine F 1 se existir Matriz de uma transformação linear Sejam V FU uma Transformação Linear n 4 3 2 1 B u u u u u uma base de U e m 4 3 2 1 C v v v v v uma base de V tais que m mn 4 4n 3 3n 2 2n 1 1n n m m3 4 43 3 33 2 23 1 13 3 m m2 4 42 3 32 2 22 1 12 2 m m1 4 41 3 31 2 21 11 1 1 v a v a v a v a a v u F v a v a v a v a a v u F v a v a v a v a a v u F v a a v a v a v a v u F A Matriz da Transformação Linear F em relação as base B e C é definida por mn m4 m3 m2 1 m 3n 34 33 32 31 n 24 23 22 21 1n 14 13 12 11 BC a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a F Exemplo Seja F R3 R2 definida por Fxyz x z y 2z Determine FBC sendo B 121 011 03 1 e C 15 0 1 Resolução 10 6 10 1 1 2 F Logo b b b a a a F 10 b 5 b a 5 1 a 6 e b 1 b a 5 1 a 10 e b 0 b a 5 2 a igualdades temos Destas b 5a a 51 10 b 1 5 a 1 30 F b v a v u F b 5a a 1 1 10 b 1 5 a 110 F b v a v u F b 5a a 02 10 b 1 5 a 121 F b v a v u F 10 51 e C 1 30 110 121 B Bases 2 z z y x z y F x Para BC 3 2 1 3 2 1 BC 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 3 2 3 3 1 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1º Determine as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços vetoriais a F R3 R2 dada por Fxyz x y z b F R2 R3 dada por Fxy x y x x y c F R4 R dada por Fxyzt 2x y z 3t 2º Calcule o traço da matriz do operador linear do R3 definido por Fxyz x x y x z em relação à base canônica 3º Determine o operador linear do R2 cuja matriz em relação à base B 12 05 é 1 2 1 3 F B 4º Seja F LR2 cuja matriz em relação à base B 10 14 é 1 5 1 1 F B Determine a matriz de F em relação à base canônica 5º Seja B e1 e2 e3 uma base de um espaço vetorial V sobre R Sendo F G LV dados por Fe1 e1 e2 Fe2 e1 e3 Fe3 e2 Ge1 2e1 e3 Ge2 e1 e Ge3 e2 3e1 determine em relação à base B as matrizes dos seguintes operadores lineares F G F G 2F G F o G G o F F2 G2 F 1 e FoG 1 caso existam as inversas 6º Seja F L P2 R R definida por 1 1 p t dt F p t Determine a matriz de F em relação às bases a B 1 t t2 e C 1 b B 1 1 t 1 t2 e C 2