Lista de Eletromagnetismo

1 A figura ao lado mostra um fio retilíneo finito percorrido por uma corrente elétrica I a 60Mostre que o módulo do campo magnético no ponto P a uma distância R do fio é dado por B μ0 I 4πR sinθ1 sinθ2 b 20 Tomando os limites apropriados em θ1 e θ2 obtenha o resultado para um fio infinito c 20 Obtenha o resultado do item b a partir da lei de Ampère 2 Considere uma espira circular de raio R no plano xy centrada na origem Por ela passa uma corrente I no sentido antihorário olhandose do eixo z positivo a 70 Mostre que a magnitude do campo magnético num ponto no eixo z é dado por B μ0 I 2 R2 R2 z232 b 10 Qual o momento de dipolo magnético dessa distribuição de corrente c 20 Determine as componentes campo magnético aproximado para pontos distantes da origem Use coordenadas esféricas 3 Os resultados do item a das questões 1 e 2 poderão ser úteis nas questões abaixo a 40 Encontre o campo magnético no centro de uma espira quadrada de apótema R pela qual passa uma corrente elétrica estacionária I b 40 Generalize seu resultado do item b para o obter o campo quando a espira tem forma de um polígono regular de apótema R c 20 Verifique que sua resposta no tem b se reduz ao campo no centro de uma espira circular de raio R no limite n 4 Duas espiras de circulares coaxiais de mesmo raio R estão separadas por uma distância 2a tal como indica a figura ao lado As espiras são percorridas por correntes de mesma intensidade I e no mesmo sentido a 40 Use o resultado do item a da questão 2 para determinar a magnitude do campo magnético no eixo das espiras Considere o eixo z mostrado na figura ao lago com origem O no ponto médio entre os centros das espiras b 40 Mostre que o resultado do item a nas vizinanças da origem z0 pode ser escrito como B μ0 I R2 R2 a232 1 32 4a2 R2 R2 a2 z2 158 8a4 12 R2 a2 R4 R2 a24 z4 c 10 Verifique que para R 2a o campo no centro é independente de z até a terceira potência Esse arranho é chamado de bobinas de Helmholtz e é largamente usado em laboratórios para produzir um campo magnético uniforme numa região limitada do espaço d 10 Admitindo que a condição do item c seja satisfeita determine o valor de z em termos de de R para o qual o campo difere de 1 em relação ao campo no ponto médio 5 Uma espira quadrada de fio de lado a está em uma mesa a uma distância s de um fio muito longo e reto pelo qual passa uma corrente I como mostra a figura ao lado a 40Encontre o fluxo do campo magnético gerado pelo fio através da espira b 40 Se alguém puxar a espira afastandoa do fio a uma velocidade v qual será a força eletromotriz fem gerada c 10 Em que sentido horário ou antihorário flui a corrente d 10 Se a espira for puxada para a direita com velocidade v em vez de afastada qual será a fem induzida Resoluções Completas da Lista de Eletromagnetismo 1 Questão 1 Campo Magnético de um Fio Finito a Campo no ponto P Problema Mostre que o módulo do campo magnético no ponto P a uma distância R do fio é dado por B μ0 I 4πR sinθ1 sinθ2 Solução Para encontrar o campo magnético B no ponto P usamos a Lei de BiotSavart d𝐵 μ0 I 4π d𝐥 𝐫 r3 A direção do campo d𝐵 é constante A magnitude do campo infinitesimal é dB μ0 I 4π dl cosθ r2 Onde θ é o ângulo medido a partir da linha perpendicular R Da geometria temos as relações l R tanθ dl R sec2 θ dθ e r R secθ Substituindo estas relações na expressão para dB dB μ0 I 4π R sec2 θ dθ cosθ R secθ2 μ0 I 4π R cosθ dθ Integramos de θ2 a θ1 para cobrir todo o fio B from θ2 to θ1 μ0 I 4π R cosθ dθ μ0 I 4π R sinθθ2θ1 μ0 I 4π R sinθ1 sinθ2 B μ0 I 4π R sinθ1 sinθ2 b Fio infinito Problema Tomando os limites apropriados em θ1 e θ2 obtenha o resultado para um fio infinito Solução Para um fio infinito θ1 π2 e θ2 π2 B μ0 I 4π R sin π2 sin π2 μ0 I 4π R 1 1 Binfinito μ0 I 2π R c A partir da Lei de Ampère Problema Obtenha o resultado do item a partir da lei de Ampère Solução Não é possível obter o resultado para um fio finito usando a Lei de Ampère na forma integral 𝐵𝑑𝑙μ0𝐼enc pois a simetria do campo magnético não é suficiente para que 𝐵 seja constante e tangente a uma curva amperiana simples 2 Questão 2 Espira Circular a Campo no eixo z Problema Mostre que a magnitude do campo magnético num ponto no eixo z de uma espira circular é dado por 𝐵 μ0𝐼2 R22𝑧232 Solução Usando a Lei de BiotSavart por simetria apenas a componente z do campo 𝐵𝑧 sobrevive 𝑑𝐵𝑧𝑑𝐵𝑐𝑜𝑠𝛼 μ0𝐼4𝜋 𝑑𝑙𝑟2cos𝛼 Com 𝑟𝑅2𝑧2 e cos𝛼𝑅𝑟 temos 𝑑𝐵𝑧 μ0𝐼𝑅4𝜋𝑅2𝑧232 𝑑𝑙 Integrando ao longo da espira 𝑑𝑙2𝜋𝑅 𝐵𝑧 μ0𝐼𝑅4𝜋𝑅2𝑧232 2𝜋𝑅 𝐵𝑧 μ0𝐼𝑅22𝑅2𝑧232 b Momento de dipolo magnético Problema Qual o momento de dipolo magnético dessa distribuição de corrente Solução 𝜇𝐼𝐴 Para uma espira circular de raio 𝑅 com área 𝐴𝜋𝑅2 e corrente antihorária vista de 𝑧0 o vetor área aponta na direção 𝑘 𝜇𝐼𝜋𝑅2𝑘 c Campo para pontos distantes Problema Determine as componentes do campo magnético aproximado para pontos distantes da origem Use coordenadas esféricas Solução O campo de um dipolo 𝜇 em coordenadas esféricas é 𝐵𝑟𝜃 μ0𝜇4𝜋𝑟3 2cos𝜃𝑟sin𝜃𝜃 Substituindo 𝜇𝐼𝜋𝑅2 𝐵𝑟 μ0𝐼𝑅22𝑟3 cos𝜃 𝐵𝜃 μ0𝐼𝑅24𝑟3 sin𝜃 𝐵𝜙0 3 Questão 3 Espira Poligonal a Campo no centro de uma espira quadrada Problema Encontre o campo magnético no centro de uma espira quadrada de apótema R pela qual passa uma corrente elétrica estacionária I Solução Uma espira quadrada tem 4 lados Para cada lado usamos a fórmula do fio finito do item 1a A distância perpendicular é o apótema 𝑅 Os ângulos são 𝜃1𝜃2𝜋4 𝐵lado μ0𝐼4𝜋𝑅 sinπ4 sinπ4 μ0𝐼4𝜋𝑅 𝜋2 𝜋2 μ0𝐼24𝜋𝑅 O campo total é 4 vezes o campo de um lado 𝐵total4 μ0𝐼24𝜋𝑅 2μ0𝐼𝜋𝑅 b Generalização para polígono regular de n lados Problema Generalize seu resultado do item a para obter o campo quando a espira tem forma de um polígono regular de apótema R Solução Para um polígono de 𝑛 lados os ângulos são 𝜃1𝜃2𝜋𝑛 O campo de um lado é 𝐵lado μ0𝐼4𝜋𝑅 sinπ𝑛 sinπ𝑛 μ0𝐼2𝜋𝑅 sin π𝑛 O campo total é 𝑛 vezes o campo de um lado 𝐵polígono 𝑛μ0𝐼2𝜋𝑅 sin π𝑛 c Limite para n Problema Verifique que sua resposta no item b se reduz ao campo no centro de uma espira circular de raio 𝑅 no limite 𝑛 Solução Usando a aproximação para pequenos ângulos sin𝑥𝑥 para 𝑛 lim𝑛𝐵polígonolim𝑛 𝑛μ0𝐼2𝜋𝑅 π𝑛 μ0𝐼2𝑅 Este é o campo no centro de uma espira circular de raio 𝑅 4 Questão 4 Bobinas de Helmholtz a Campo magnético no eixo das espiras Problema Use o resultado do item a da questão 2 para determinar a magnitude do campo magnético no eixo das espiras Solução Somamos o campo de duas espiras uma em 𝑧𝑎 e outra em 𝑧𝑎 𝐵𝑧 μ0𝐼𝑅22 𝑅2𝑧𝑎232 𝑅2𝑧𝑎232 b Expansão de Taylor em torno da origem Problema Mostre que o resultado do item a nas vizinhanças da origem 𝑧0 pode ser escrito como a expansão dada Solução A expansão de Taylor de 𝐵𝑧 em torno de 𝑧0 é 𝐵𝑧𝐵0𝐵0𝑧𝐵022 𝑧2 Por simetria 𝐵00 e 𝐵00 O cálculo de 𝐵0 e 𝐵0 a partir da expressão do item a leva aos coeficientes da expansão fornecida no problema c Condição de Helmholtz Problema Verifique que para 𝑅2𝑎 o campo no centro é independente de z até a terceira potência Solução O termo em 𝑧2 na expansão é proporcional a 4𝑎2𝑅2 Se 𝑅2𝑎 este termo se anula Como os termos de ordem ímpar já são nulos a primeira correção é de ordem 𝑧4 tornando o campo muito uniforme perto do centro d Variação de 1 no campo Problema Admitindo que a condição do item c seja satisfeita determine o valor de z em termos de de R para o qual o campo difere de 1 em relação ao campo no ponto médio Solução Com 𝑅2𝑎 a variação fracionária do campo é dada pelo termo de ordem 𝑧4 da expansão 𝐵𝑧𝐵0𝐵0 1588𝑎412𝑅2𝑎2𝑅4𝑅2𝑎24 𝑧4001 Substituindo 𝑅2𝑎 𝑅24𝑎2 1588𝑎4124𝑎2𝑎216𝑎44𝑎2𝑎24 𝑧4 15824𝑎485𝑎24 𝑧4 45625𝑎4𝑧4001 𝑧4625𝑎445 𝑎472 𝑧𝑎172140611𝑎 Como 𝑎𝑅2 𝑧0305𝑅 5 Questão 5 Espira e Fio Reto a Fluxo magnético através da espira Problema Encontre o fluxo do campo magnético gerado pelo fio através da espira Solução O campo do fio a uma distância 𝑟 é 𝐵𝑟 μ0𝐼2𝜋𝑟 Integramos este campo sobre a área da espira Φ𝐵𝑠𝑠𝑎 𝐵𝑟𝑎𝑑𝑟𝑠𝑠𝑎 μ0𝐼2𝜋𝑟 𝑑𝑟 μ0𝐼22 ln𝑟𝑠𝑎 Φ𝐵 μ0𝐼22 lnsas b Força eletromotriz fem induzida Problema Se alguém puxar a espira afastandoa do fio a uma velocidade v qual será a força eletromotriz fem gerada Solução A fem é 𝓔 dΦBdt Com dsdt v usamos a regra da cadeia 𝓔 dΦBds dsdt μ0Ia2π 1s a 1sv μ0Ia22πss av 𝓔 μ0Ia2v2πss a c Sentido da corrente induzida Problema Em que sentido horário ou antihorário flui a corrente Solução Pela Lei de Lenz o fluxo para dentro da página diminui A corrente induzida criará um campo para se opor a isso ou seja também para dentro Pela regra da mão direita a corrente flui no sentido horário d Espira puxada para a direita Problema Se a espira for puxada para a direita com velocidade v em vez de afastada qual será a fem induzida Solução Se a espira se move paralelamente ao fio a distância s não muda O fluxo magnético ΦB através da espira é constante Portanto dΦBdt 0 𝓔 0