Aula 11: Séries de Fourier e Polinômios Trigonométricos

APae Complementos de Matematica Aula 11 Séries de Fourier Um polinémio trigonométrico complexo de grau N definido na circun feréncia R27Z ou seja periddico de periodo 27 é da forma N J ove nN com coeficientes c C Quando c c para todo n entéo o polinédmio é real e pode ser repre sentado também como combinagao linear real de senos e cossenos ou seja como N Y ncosnt bsennt n0 com coeficientes a b IR Seja fx uma funcdo integravel em R2nZ ou seja uma fungdo f R C periddica de periodo 27 e portanto determinada pelos seus valores no intervalo 7 7 A série de Fourier complexa de fx é a série foy Y cne noo o simbolo é apenas para indicar que a série a direita que pode nao ser convergente é a série de Fourier da funcdo a esquerda onde os coeficientes de Fourier complexos de f sdo os nimeros complexos a 1 Cn fin xje dx n fy fe Em particular 0 coeficiente cp é a média de f no intervalo 77 ou em qualquer outro intervalo de comprimento 27 As somas parciais da série de fourier sdo os polinémios trigonométricos N Sn fx y Cre nN Usando a formula de Euler e cos isen a série deFourier pode ser representada como uma série de senos e cossenos a co fx Y ncosnx bsennx n1 1 onde ao2 co An Cn Cn by iCn Cn Sen 1 OU Seja 1 1 A fxcosnxdx e by fxsennxdx Tl Jx Tl Jen Observe que se f tem valores reais entaéo também os seus coeficientes a e Dy Sao reais Se fx par entéo c cy logo b 0 para todos os n 1 e a série de Fourier de f é uma série de cossenos M0 acosnx 2 com coeficientes 2 TU a fxcosnxdx T Jo Se fx é impar entao c cn logo a 0 para todos os n 0 e a série de Fourier de f é uma série de senos y asennx com coeficientes 2 TU b fxsennxdx T Jo Uma mudanga de variavel linear permite determinar a expressdo dos coe ficientes de Fourier de uma funcao periddica de periodo arbitrario Seja fx uma funcdéo integravel em IR2Z ou seja uma funcao f R C periddica de periodo 2I e portanto determinada pelos seus valores no intervalo simétrico L I A série de Fourier real de fx é o TUX TUX xy acosn bsenn FX 5 L n bysenn onde os coeficientes de Fourier de f sao definidos pelas integrais 1 x 1 x n 7 fxcosn e b 7 flxsenn dx l 2