Teorema dos Resíduos e Singularidades em Funções Complexas

Pae Complementos de Matematica Aula 9 Teorema dos residuos Suponhamos que z Zo seja uma singularidade isolada de uma funcdo complexa f e que Fz Yan 20 Y ane 20 Y anz 20 n0o n1 n0 seja a representacado de f em série de Laurent valida para o disco aberto perfu rado Oz zo R A parte 9 4nz Zo chamada de parte principal da série de Laurent Podemos classificar um ponto de singularidade isolado z z de uma funcao complexa f conforme a quantidade de termos nao nulos da parte principal da série de Laurent e Sea parte principal for zero z é uma singularidade removivel e Se a parte principal tiver uma quantidade finita de termos nao nulos entao Zp 6 um polo de ordem n onde n é a ordem do ultimo elemento nao nao nulo da parte principal Sen 1 utilizaqmos também a nomenclatura polo simples e Se a parte principal tiver infinitos termos nao nulos entéo z é uma singularidade essencial Se uma funcao f tiver uma singularidade removivel no ponto z zo sempre podemos fornecer uma definigéo adequada para o valor de fz de modo que f se torne analitica em z Zp Um ntmero Zo é um zero de uma funcdo f se fzo 0 Dizemos que uma fungado f tem um zero de ordem n em z Zy se fo fo 0 fo 0 fo 0 Um zero de ordem n também é chamado zero de multiplicidade n Um zero de ordem 1 é chamado de zero simples Teorema Uma funcdo f que seja analitica em algum disco z zo R tem um zero de ordem n em Z Zp se e somente se f puder ser escrita como Ff 20 onde é analitica em z Zo e fZ 0 Teorema Uma funcdo analitica em um disco perfurado 0 z zo R tem um polo de ordem n em z Zp se e somente se puder ser escrita como fz 22 z 20 1 onde é analitica em z Zo e Zo 0 Teorema Se as funcées g e f forem analiticas em z Z9h tiver um zero de ordem nem Z Zo 9Zo 0 a fungao fz 9zhz tem um polo de ordem nem Z Zp Se zp uma singularidade isolada de uma funcdo f existe algum nimero positivo Ro tal que f é analitica em cada ponto z sqatisfazendo 0 z ZoRo Consequentemente fz tem uma representacdo em série de Laurent co An f J XL Z Zo 1 a x O coeficiente a de Faz Nasérie de Laurent é denominado residuo da fungdo Zo f na singularidade zp Notacao a Res fz Zo Teorema Se f tiver um polo simples em z Zo ResfZ Zo limz4z2 Zo f 2 Teorema Se f tiver um polo de ordem nem Z 20 1 qv1 ResfZZ0 apis qo Zo fZ Suponha que f possa ser escrita como um quociente fz 9zhz sendo geh fungoes analiticas em z Zp Se 9Zo Oe se a funcdo ht tiver um zero de ordem 1 em Zo f tera um polo simples em z Zp e ResfZZ0 8Z0h Zo Teorema dos residuos de Cauchy Seja D um dominio simplesmente conexo e seja C um contorno fechado simpoles totalmente posicionado em D Se uma funcao f for analitica em C e no interior de C exceto em um ntimero finito de singularidade isoladas 21 2Z2 C no interior de C n f2dz 2ni y ResfzZx c k1 Residuo no infinito Seja f uma funcao analitica em todo 0 plano complexo exceto por uma quantidade finita de pontos singulares localizados no interior de um caminho fecjhado simples C orientado positivamente Suponha Ry 2 seja um valor real de forma que a curva C esteja totalmente contida no circulo z Ry Observe que a funcao f é analitica no dominio R z e nesse caso dizemos que o ponto no infinito é uma singularidade isolada de f Considere Cp a circunferéncia z Rp orientado no sentido horario sendo Ro Ry O residuo no infinito é definido como o termo c da série de Laurent fe Y oz Ri el 0 noo Ou equivalentemente f2dz fou 271i Res fz 00 Co Cc Teorema Se uma funcdo f for analitica em todo o plano finito exceto por uma quantidade finita de singularidades no interior de uma curva simples fechada C orientada positivamente entdo fzdz2i Res 1 fy 0 TC INCI Cc Zr oz Exercicio Calcule a integral de cada fungdo dada ao longo do circulo z 2 orientado no sentido positivo 5 a 123 1 b 12 1 c Zz 3