Exercícios - Probabilidade - 2024-1

Exercícios sexta-feira, 10 de maio de 2024 13:28 Página 1 de probability models Página 2 de probability models Página 3 de probability models Página 4 de probability models Página 5 de probability models Página 6 de probability models Página 7 de probability models Página 8 de probability models 3. A coin is to be tossed until a head appears twice in a row. What is the sample space for this experiment? if the coin is fair, what is the probability that it will be tossed exactly four times? Neste problema, estamos interessados em lançar uma moeda até que apareçam duas caras consecutivas. Vamos enumerar todas as sequências possíveis de lançamentos que resultam em duas caras consecutivas: • Sequências com 2 lançamentos: 𝐶𝐶 • Sequências com 3 lançamentos: 𝐶𝑋𝐶 • Sequências com 4 lançamentos: 𝐶𝑋𝐶𝐶, 𝑋𝐶𝐶𝐶 • Sequências com 5 lançamentos: 𝑋𝐶𝑋𝐶𝐶, 𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶 • Sequências com 6 lançamentos: 𝑋𝐶𝑋𝑋𝐶𝐶, 𝑋𝑋𝐶𝑋𝐶𝐶, 𝑋𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶 • Sequências com 7 lançamentos: 𝑋𝐶𝑋𝑋𝐶𝑋𝐶𝐶, 𝑋𝑋𝐶𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶, 𝑋𝑋𝐶𝑋𝐶𝐶𝑋𝐶 • Sequências com 8 lançamentos: 𝑋𝐶𝑋𝑋𝐶𝑋𝑋𝐶𝐶, 𝑋𝑋𝐶𝑋𝐶𝐶𝑋𝑋𝐶, 𝑋𝑋𝐶𝑋𝐶𝑋𝐶𝐶𝐶 Onde C representa cara (head) e X representa coroa (tail). Para simplificação, os casos que não formam CC são excluídos, e as sequências terminam no primeiro CC encontrado. Agora, vamos calcular a probabilidade de que a moeda seja lançada exatamente quatro vezes antes de obter duas caras consecutivas. Os possíveis casos de 4 lançamentos são: • CXCC (cara, coroa, cara, cara) • XCCC (coroa, cara, cara, cara) Para calcular a probabilidade dessas sequências específicas, consideramos que cada lançamento de uma moeda justa (fair coin) tem uma probabilidade de 1 2 para cara e 1 2 para coroa. Portanto, para a sequência CXCC: 𝑃(𝐶𝑋𝐶𝐶) = 𝑃(𝐶) ⋅ 𝑃(𝑋) ⋅ 𝑃(𝐶) ⋅ 𝑃(𝐶) = (1 2) 4 = 1 16 E para a sequência XCCC: 𝑃(𝑋𝐶𝐶𝐶) = 𝑃(𝑋) ⋅ 𝑃(𝐶) ⋅ 𝑃(𝐶) ⋅ 𝑃(𝐶) = (1 2) 4 = 1 16 1 A probabilidade total de que a moeda seja lançada exatamente quatro vezes é a soma das probabilidades das sequências possíveis que resultam em quatro lançamentos: 𝑃(Exatamente 4 lançamentos) = 𝑃(𝐶𝑋𝐶𝐶) + 𝑃(𝑋𝐶𝐶𝐶) = 1 16 + 1 16 = 2 16 = 1 8 Sure, here is the transcription of the text from the image: *5. An individual uses the following gambling system at Las Vegas. He bets 1 that the roulette wheel will come up red. If he wins, he quits. If he loses then he makes the same bet a second time only this time he bets 2; and then regardless of the outcome, quits. Assuming that he has a probability of 1 2 of winning each bet, what is the probability that he goes home a winner? Why is this system not used by everyone? O jogador usa um sistema em que aposta $1 inicialmente, e se perder, aposta $2 na segunda rodada e então para de jogar. A probabilidade de ganhar qualquer aposta é 1 2. Vamos calcular a probabilidade de ele sair vencedor, ou seja, com lucro positivo. Eventos Possíveis 1. Ganha na primeira aposta: • Probabilidade: 1 2 • Ganho: $1 (sai vencedor) 2. Perde na primeira aposta e ganha na segunda: • Probabilidade: 1 2 × 1 2 = 1 4 • Perde $1 na primeira aposta e ganha $2 na segunda aposta: – Lucro líquido: $2 - $1 = $1 (sai vencedor) 3. Perde ambas as apostas: • Probabilidade: 1 2 × 1 2 = 1 4 • Perde $1 na primeira aposta e $2 na segunda aposta: – Perda líquida: $1 + $2 = $3 (não sai vencedor) Probabilidade de Sair Vencedor Para calcular a probabilidade de sair vencedor, somamos as probabilidades dos dois cenários favoráveis: 𝑃(vencedor) = 𝑃(ganha na primeira aposta) + 𝑃(perde a primeira e ganha a segunda) 𝑃(vencedor) = 1 2 + 1 4 Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum: 1 2 = 2 4 Portanto, 2 𝑃(vencedor) = 2 4 + 1 4 = 3 4 Assim, a probabilidade de ele sair vencedor é: 𝑃(vencedor) = 3 4 Por que Este Sistema Não é Usado por Todos? 1. Perdas Possíveis: • Se o jogador perder ambas as apostas, ele perde $3, que é três vezes a aposta inicial. • A perda potencial é maior do que o ganho, o que pode não ser sustentável a longo prazo. 2. Capital Limitado: • O jogador pode não ter capital suficiente para continuar apostando se aumentar as apostas após cada perda. • Este tipo de sistema pode levar a perdas significativas em sequência, o que pode exaurir rapida- mente o capital do jogador. 3. Ilusão de Ganhos: • Apesar da alta probabilidade de sair vencedor em cada rodada ( 3 4), no longo prazo, a variabilidade e as grandes perdas ocasionais podem levar a uma perda líquida significativa. • O sistema não altera as probabilidades intrínsecas do jogo, que permanecem equilibradas em 50% para cada rodada. 11. If two fair dice are tossed, what is the probability that the sim is i, i=2,3,....,12? Vamos resolver o problema de determinar a probabilidade de obter uma soma 𝑖 quando dois dados justos são lançados. Vamos calcular a probabilidade para cada soma possível 𝑖, onde 𝑖 = 2, 3, … , 12. O espaço amostral 𝑆 consiste em todos os possíveis resultados ao lançar dois dados. Cada dado tem 6 faces, numeradas de 1 a 6. Assim, o número total de resultados possíveis ao lançar dois dados é: |𝑆| = 6 × 6 = 36 Vamos contar o número de maneiras de obter cada soma 𝑖 com os resultados dos dois dados. 1. Soma 2: • (1, 1) • Número de eventos: 1 2. Soma 3: • (1, 2), (2, 1) • Número de eventos: 2 3. Soma 4: • (1, 3), (2, 2), (3, 1) • Número de eventos: 3 4. Soma 5: 3 • (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) • Número de eventos: 4 5. Soma 6: • (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) • Número de eventos: 5 6. Soma 7: • (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) • Número de eventos: 6 7. Soma 8: • (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) • Número de eventos: 5 8. Soma 9: • (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) • Número de eventos: 4 9. Soma 10: • (4, 6), (5, 5), (6, 4) • Número de eventos: 3 10. Soma 11: • (5, 6), (6, 5) • Número de eventos: 2 11. Soma 12: • (6, 6) • Número de eventos: 1 A probabilidade de cada evento 𝐴𝑖 (obter uma soma 𝑖) é o número de eventos favoráveis dividido pelo número total de eventos no espaço amostral. 𝑃(𝐴𝑖) = Número de eventos favoráveis para soma 𝑖 |𝑆| Usando os números de eventos favoráveis que contamos: 1. Soma 2: 𝑃(𝐴2) = 1 36 2. Soma 3: 𝑃(𝐴3) = 2 36 = 1 18 3. Soma 4: 𝑃(𝐴4) = 3 36 = 1 12 4. Soma 5: 𝑃(𝐴5) = 4 36 = 1 9 5. Soma 6: 𝑃(𝐴6) = 5 36 4 6. Soma 7: 𝑃(𝐴7) = 6 36 = 1 6 7. Soma 8: 𝑃(𝐴8) = 5 36 8. Soma 9: 𝑃(𝐴9) = 4 36 = 1 9 9. Soma 10: 𝑃(𝐴10) = 3 36 = 1 12 10. Soma 11: 𝑃(𝐴11) = 2 36 = 1 18 11. Soma 12: 𝑃(𝐴12) = 1 36 Para resumir a resposta, vamos expressar a probabilidade de obter uma soma 𝑖 ao lançar dois dados justos em função de 𝑖, onde 𝑖 varia de 2 a 12. Probabilidade em Função de 𝑖 A probabilidade 𝑃(𝐴𝑖) de obter a soma 𝑖 pode ser descrita com base no número de combinações que resultam em 𝑖. 1. Para 𝑖 = 2, 3, … , 7: 𝑃(𝐴𝑖) = 𝑖 − 1 36 2. Para 𝑖 = 8, 9, … , 12: 𝑃(𝐴𝑖) = 13 − 𝑖 36 Justificativa • Para 𝑖 = 2, existe 1 combinação (1, 1). • Para 𝑖 = 3, existem 2 combinações (1, 2) e (2, 1). • E assim por diante até 𝑖 = 7, onde o número de combinações aumenta linearmente. Depois de 𝑖 = 7, o número de combinações começa a diminuir: • Para 𝑖 = 8, existem 5 combinações (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) e (6, 2). • Para 𝑖 = 9, existem 4 combinações. • E assim por diante até 𝑖 = 12, onde existe 1 combinação (6, 6). 5 12. Let 𝐸 and 𝐹 be mutually exclusive events in the sample space of an exper- iment. Suppose that the experiment is repeated until either event 𝐸 or event 𝐹 occurs. What does the sample space of this new super experiment look like? Show that the probability that event 𝐸 occurs before event 𝐹 is 𝑃(𝐸) 𝑃(𝐸)+𝑃(𝐹). Hint: Argue that the probability that the original experiment is performed 𝑛 times and 𝐸 appears on the 𝑛th time is 𝑃(𝐸) × (1 − 𝑝)𝑛−1, 𝑛 = 1, 2, … , where 𝑝 = 𝑃(𝐸) + 𝑃(𝐹). Add these probabilities to get the desired answer. Sejam 𝐸 e 𝐹 eventos mutuamente exclusivos no espaço amostral de um experimento. O super experimento consiste em repetir o experimento original até que 𝐸 ou 𝐹 ocorra. O espaço amostral deste novo super experimento será composto por sequências de resultados onde nem 𝐸 nem 𝐹 ocorrem, seguidas por 𝐸 ou 𝐹. Vamos denotar um resultado em que nem 𝐸 nem 𝐹 ocorrem como 𝑁. Assim, as possíveis sequências no espaço amostral são: - 𝐸 - 𝑁𝐸 - 𝑁𝑁𝐸 - … - 𝐹 - 𝑁𝐹 - 𝑁𝑁𝐹 - … Probabilidade de 𝐸 Ocorre Antes de 𝐹 Queremos encontrar a probabilidade de que 𝐸 ocorra antes de 𝐹. Vamos definir: - 𝑃(𝐸) = 𝑝𝐸 - 𝑃(𝐹) = 𝑝𝐹 - 𝑃(nem 𝐸 nem 𝐹) = 1 − 𝑝𝐸 − 𝑝𝐹 Se 𝑝 = 𝑃(𝐸) + 𝑃(𝐹), temos: 𝑝 = 𝑝𝐸 + 𝑝𝐹 A probabilidade de que o experimento original seja realizado 𝑛 vezes e 𝐸 apareça na 𝑛-ésima vez é: 𝑃(E na 𝑛-ésima vez) = 𝑝𝐸 × (1 − 𝑝)𝑛−1 Isto porque: - 𝐸 ocorre na 𝑛-ésima tentativa: 𝑝𝐸 - Nem 𝐸 nem 𝐹 ocorrem nas primeiras 𝑛 − 1 tentativas: (1 − 𝑝)𝑛−1 Soma das Probabilidades Precisamos somar as probabilidades de 𝐸 ocorrer na 𝑛-ésima vez para 𝑛 variando de 1 até o infinito: 𝑃(𝐸 ocorre antes de 𝐹) = ∞ ∑ 𝑛=1 𝑝𝐸 × (1 − 𝑝)𝑛−1 Reconhecemos que isso é uma série geométrica. A soma de uma série geométrica ∑ ∞ 𝑛=0 𝑎𝑟𝑛 é dada por 𝑎 1−𝑟 para |𝑟| < 1. Aqui, 𝑎 = 𝑝𝐸 e 𝑟 = 1 − 𝑝: ∞ ∑ 𝑛=1 𝑝𝐸 × (1 − 𝑝)𝑛−1 = 𝑝𝐸 ∞ ∑ 𝑛=0 (1 − 𝑝)𝑛 = 𝑝𝐸 × 1 1 − (1 − 𝑝) 6 = 𝑝𝐸 × 1 𝑝 = 𝑝𝐸 𝑝 Substituindo 𝑝 = 𝑝𝐸 + 𝑝𝐹: 𝑃(𝐸 ocorre antes de 𝐹) = 𝑝𝐸 𝑝𝐸 + 𝑝𝐹 13. The dice game craps is played as fallows. The player throws two dice, an dif the sum is seven or eleven, then she wins. if the sum is two, three, or twlve, then she loses. if the sim is anything else, then she continues throwing until she either throws that number again (in which case she wins) or she throws a seven (in which case she loses). Calculate tha probability that the player wins. Regras do Jogo de Craps 1. O jogador lança dois dados. 2. Se a soma for 7 ou 11, o jogador ganha imediatamente. 3. Se a soma for 2, 3 ou 12, o jogador perde imediatamente. 4. Se a soma for qualquer outro número (chamado de “ponto”), o jogador continua lançando os dados até: • Ganhar, se lançar o ponto novamente. • Perder, se lançar um 7. Passo 1: Probabilidades Iniciais de Ganhar ou Perder • Probabilidade de ganhar imediatamente (soma 7 ou 11): – Soma 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) ⇒ 6 combinações – Soma 11: (5, 6), (6, 5) ⇒ 2 combinações – Total: 6 + 2 = 8 combinações 𝑃(ganhar imediatamente) = 8 36 = 2 9 • Probabilidade de perder imediatamente (soma 2, 3 ou 12): – Soma 2: (1, 1) ⇒ 1 combinação – Soma 3: (1, 2), (2, 1) ⇒ 2 combinações – Soma 12: (6, 6) ⇒ 1 combinação – Total: 1 + 2 + 1 = 4 combinações 𝑃(perder imediatamente) = 4 36 = 1 9 7 Passo 2: Probabilidade de Continuar o Jogo • Probabilidade de continuar o jogo (soma 4, 5, 6, 8, 9 ou 10): – Soma 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1) ⇒ 3 combinações – Soma 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) ⇒ 4 combinações – Soma 6: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) ⇒ 5 combinações – Soma 8: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) ⇒ 5 combinações – Soma 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) ⇒ 4 combinações – Soma 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4) ⇒ 3 combinações – Total: 3 + 4 + 5 + 5 + 4 + 3 = 24 combinações 𝑃(continuar) = 24 36 = 2 3 Passo 3: Probabilidade de Ganhar Após Continuar o Jogo Para cada ponto 𝑥 (onde 𝑥 ∈ {4, 5, 6, 8, 9, 10}), calculamos a probabilidade de ganhar ou perder após contin- uar o jogo. • Probabilidade de ganhar com o ponto 𝑥: – O jogador ganha se lançar 𝑥 antes de lançar 7. Seja 𝑃𝑊(𝑥) a probabilidade de ganhar com o ponto 𝑥 e 𝑃𝐿(𝑥) a probabilidade de perder com o ponto 𝑥. Temos: 𝑃𝑊(𝑥) + 𝑃𝐿(𝑥) = 1 Vamos calcular 𝑃𝑊(𝑥) usando a fórmula de probabilidades condicionais. Considerando que 𝑃𝑊(𝑥) é a probabilidade de ganhar com o ponto 𝑥: 𝑃𝑊(𝑥) = 𝑃(lançar 𝑥) 𝑃(lançar 𝑥) + 𝑃(lançar 7) Usamos as combinações favoráveis para 𝑥 e 7: • Para 𝑥 = 4: 𝑃(lançar 4) = 3 36 e 𝑃(lançar 7) = 6 36 𝑃𝑊(4) = 3 36 3 36 + 6 36 = 3 9 = 1 3 • Para 𝑥 = 5: 𝑃(lançar 5) = 4 36 e 𝑃(lançar 7) = 6 36 𝑃𝑊(5) = 4 36 4 36 + 6 36 = 4 10 = 2 5 • Para 𝑥 = 6: 𝑃(lançar 6) = 5 36 e 𝑃(lançar 7) = 6 36 8 𝑃𝑊(6) = 5 36 5 36 + 6 36 = 5 11 • Para 𝑥 = 8: 𝑃(lançar 8) = 5 36 e 𝑃(lançar 7) = 6 36 𝑃𝑊(8) = 5 36 5 36 + 6 36 = 5 11 • Para 𝑥 = 9: 𝑃(lançar 9) = 4 36 e 𝑃(lançar 7) = 6 36 𝑃𝑊(9) = 4 36 4 36 + 6 36 = 4 10 = 2 5 • Para 𝑥 = 10: 𝑃(lançar 10) = 3 36 e 𝑃(lançar 7) = 6 36 𝑃𝑊(10) = 3 36 3 36 + 6 36 = 3 9 = 1 3 Passo 4: Probabilidade Total de Ganhar 𝑃(ganhar) = 𝑃(ganhar imediatamente) + 𝑃(continuar) × 𝑃𝑊 Calculamos a probabilidade média ponderada de ganhar após continuar: 𝑃𝑊 = 3 36 × 1 3 + 4 36 × 2 5 + 5 36 × 5 11 + 5 36 × 5 11 + 4 36 × 2 5 + 3 36 × 1 3 = 1 36 + 8 180 + 25 396 + 25 396 + 8 180 + 1 36 Simplificando e somando estas frações: 𝑃𝑊 ≈ 0.4929 14. The probability of winning on a single toss of the dice is p. A starts, and if the fails, he passes the dice to B, who then attempts to win on her toss. They continue tossing the dice back and forth until one of them wins. What are their respective probabilities of winning? • 𝑝: probabilidade de ganhar em um único lançamento. • 𝑞 = 1 − 𝑝: probabilidade de perder em um único lançamento. 9 Probabilidade de A Ganhar Vamos denotar 𝑃𝐴 como a probabilidade de A ganhar o jogo. A pode ganhar de duas maneiras: 1. A ganha no primeiro lançamento (com probabilidade 𝑝). 2. A perde no primeiro lançamento (com probabilidade 𝑞), e depois B joga e perde (com probabilidade 𝑞), retornando a vez para A. Nesse caso, a situação volta ao início, e a probabilidade de A ganhar a partir desse ponto é novamente 𝑃𝐴. Portanto, podemos escrever a seguinte equação para 𝑃𝐴: 𝑃𝐴 = 𝑝 + 𝑞 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝑃𝐴 𝑃𝐴 = 𝑝 + 𝑞2 ⋅ 𝑃𝐴 Resolvendo para 𝑃𝐴: 𝑃𝐴 − 𝑞2 ⋅ 𝑃𝐴 = 𝑝 𝑃𝐴(1 − 𝑞2) = 𝑝 𝑃𝐴 = 𝑝 1 − 𝑞2 Substituindo 𝑞 = 1 − 𝑝: 𝑃𝐴 = 𝑝 1 − (1 − 𝑝)2 𝑃𝐴 = 𝑝 1 − (1 − 2𝑝 + 𝑝2) 𝑃𝐴 = 𝑝 2𝑝 − 𝑝2 𝑃𝐴 = 𝑝 𝑝(2 − 𝑝) 𝑃𝐴 = 1 2 − 𝑝 Probabilidade de B Ganhar Vamos denotar 𝑃𝐵 como a probabilidade de B ganhar o jogo. B pode ganhar de duas maneiras: 1. A perde no primeiro lançamento (com probabilidade 𝑞), e B ganha no primeiro lançamento (com probabilidade 𝑝). 2. A perde no primeiro lançamento (com probabilidade 𝑞), B perde no primeiro lançamento (com probabilidade 𝑞), e depois a situação volta ao início com A jogando. A partir deste ponto, a probabilidade de B ganhar é 𝑃𝐵. Portanto, podemos escrever a seguinte equação para 𝑃𝐵: 𝑃𝐵 = 𝑞 ⋅ 𝑝 + 𝑞 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝑃𝐵 𝑃𝐵 = 𝑞𝑝 + 𝑞2 ⋅ 𝑃𝐵 Resolvendo para 𝑃𝐵: 𝑃𝐵 − 𝑞2 ⋅ 𝑃𝐵 = 𝑞𝑝 10 𝑃𝐵(1 − 𝑞2) = 𝑞𝑝 𝑃𝐵 = 𝑞𝑝 1 − 𝑞2 Substituindo 𝑞 = 1 − 𝑝: 𝑃𝐵 = (1 − 𝑝)𝑝 1 − (1 − 𝑝)2 𝑃𝐵 = (1 − 𝑝)𝑝 2𝑝 − 𝑝2 𝑃𝐵 = (1 − 𝑝)𝑝 𝑝(2 − 𝑝) 𝑃𝐵 = 1 − 𝑝 2 − 𝑝 20. Three dice are thrown. What is the probability the same number appears on exacly two of three dice? Para que dois dos três dados mostrem o mesmo número e o terceiro dado mostre um número diferente, podemos seguir esses passos: 1. Escolher qual número aparece duas vezes. 2. Escolher quais dois dados mostrarão esse número. 3. Escolher o número que aparecerá no terceiro dado. Existem 6 opções para escolher o número que aparecerá duas vezes (um para cada face do dado). Para escolher quais dois dos três dados mostrarão o mesmo número, temos: (3 2) = 3 maneiras O número no terceiro dado deve ser diferente do número escolhido para aparecer duas vezes. Existem 5 opções (as outras cinco faces do dado). Multiplicando as escolhas, obtemos o número total de eventos favoráveis: 6 × 3 × 5 = 90 combinações O espaço amostral é o número total de possíveis resultados ao lançar três dados. Cada dado tem 6 faces, então o número total de resultados possíveis é: 6 × 6 × 6 = 216 A probabilidade é o número de eventos favoráveis dividido pelo número total de resultados possíveis: 𝑃(mesmo número em dois de três dados) = 90 216 Simplificando a fração: 𝑃(mesmo número em dois de três dados) = 90 216 = 15 36 = 5 12 Sure, here is the transcription of the text from the image: 11 *25. Two cards are randomly selected from a deck of 52 playing cards. (a) What is the probability they constitute a pair (that is, that they are of the same denomination)? (b) What is the conditional probability they constitute a pair given that they are of different suits? (a) Probabilidade de formar um par Para que as duas cartas constituam um par (ou seja, tenham a mesma denominação), elas devem ter o mesmo valor (por exemplo, dois Ases, dois Reis, etc.). O número total de maneiras de escolher duas cartas de um baralho de 52 cartas é: (52 2 ) = 52 × 51 2 = 1326 Para formar um par, escolhemos primeiro a denominação (há 13 opções, uma para cada valor de carta), e depois escolhemos duas das quatro cartas dessa denominação. 13 × (4 2) = 13 × 6 = 78 A probabilidade de que as duas cartas constituam um par é a razão entre o número de eventos favoráveis e o número de eventos possíveis: 𝑃(par) = 78 1326 = 6 102 = 1 17 Vamos revisar e corrigir a resolução para ambas as partes do problema, com base no gabarito fornecido. (b) Probabilidade condicional de formar um par, dado que as cartas são de naipes diferentes Definição da Probabilidade Condicional A probabilidade condicional 𝑃(𝐴|𝐵) é dada por: 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) onde: - 𝐴 é o evento “as cartas formam um par” - 𝐵 é o evento “as cartas são de naipes diferentes” Cálculo de 𝑃(𝐵) Primeiro, selecionamos a primeira carta (52 opções). Para que a segunda carta tenha um naipe diferente, escolhemos entre as 39 cartas de naipes diferentes das 51 cartas restantes. 𝑃(𝐵) = 39 51 Cálculo de 𝑃(𝐴∩𝐵) Para que as cartas formem um par e sejam de naipes diferentes: 1. A primeira carta pode ser qualquer uma das 52 cartas. 2. A segunda carta deve ter a mesma denominação, mas um naipe diferente (3 opções de 3 naipes diferentes entre as 51 cartas restantes). 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 3 51 12 Probabilidade Condicional 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) = 3 51 39 51 = 3 39 = 1 13 Claro, aqui está a transcrição do texto da imagem: 34. Mr. Jones has devised a gambling system for winning at roulette. When he bets, he bets on red, and places a bet only when the ten previous spins of the roulette have landed on a black number. He reasons that his chance of winning is quite large since the probability of eleven consecutive spins resulting in black is quite small. What do you think of this system? O sistema de apostas que o Sr. Jones elaborou baseia-se na ideia de que a ocorrência de um evento (números pretos na roleta) torna outro evento (números vermelhos na roleta) mais provável. Vamos analisar a validade desse raciocínio usando princípios de probabilidade. Probabilidade Básica da Roleta A roleta americana tem 38 números: 18 pretos, 18 vermelhos e 2 verdes (0 e 00). A probabilidade de qualquer número específico (preto, vermelho ou verde) ocorrer em uma única rodada é: • Probabilidade de vermelho: 𝑃(vermelho) = 18 38 = 9 19 • Probabilidade de preto: 𝑃(preto) = 18 38 = 9 19 • Probabilidade de verde: 𝑃(verde) = 2 38 = 1 19 Raciocínio do Sr. Jones O Sr. Jones acredita que, se os últimos dez giros resultaram em números pretos, a probabilidade de o próximo giro resultar em um número vermelho é maior do que o normal. Esse raciocínio é conhecido como a “falácia do jogador” ou “falácia de Monte Carlo”, que é a crença de que eventos passados influenciam eventos futuros em um sistema independente. Em um jogo de roleta, cada giro é independente dos giros anteriores. Isso significa que a probabilidade de qualquer resultado não é afetada pelos resultados anteriores. A probabilidade de obter vermelho no próximo giro, independentemente dos resultados anteriores, é sempre 18 38. Vamos calcular a probabilidade de obter preto em 11 giros consecutivos para ilustrar o ponto: 𝑃(11 pretos consecutivos) = ( 9 19) 11 Calculando essa probabilidade: 𝑃(11 pretos consecutivos) = ( 9 19) 11 ≈ 0.0000271 Embora a probabilidade de obter 11 pretos consecutivos seja muito pequena, isso não altera a probabilidade de obter um vermelho no 11º giro. A probabilidade de obter um vermelho no 11º giro, após 10 pretos consecutivos, continua sendo: 𝑃(vermelho no 11º giro) = 18 38 = 9 19 ≈ 0.4737 13 O sistema de apostas do Sr. Jones baseia-se em um entendimento incorreto de probabilidade. Cada giro da roleta é um evento independente e a probabilidade de obter vermelho em qualquer giro é sempre 18 38, independentemente dos resultados dos giros anteriores. Portanto, o sistema do Sr. Jones não aumenta suas chances de ganhar. A ideia de que a ocorrência de 10 pretos consecutivos aumenta a chance de um vermelho no 11º giro é uma falácia. O resultado de cada giro da roleta é independente dos giros anteriores. 35. A fair coin is continually flipped. What is the probability that the first four flips are (a) 𝐻, 𝐻, 𝐻, 𝐻? (b) 𝑇, 𝐻, 𝐻, 𝐻? (c) What is the probability that the pattern 𝑇, 𝐻, 𝐻, 𝐻 occurs before the pattern 𝐻, 𝐻, 𝐻, 𝐻? (a) Probabilidade de que as primeiras quatro jogadas sejam 𝐻, 𝐻, 𝐻, 𝐻 Cada jogada de uma moeda justa tem probabilidade 1 2 de resultar em “cara” (H) ou “coroa” (T). As jogadas são independentes, então a probabilidade de obter quatro caras consecutivas é: 𝑃(𝐻, 𝐻, 𝐻, 𝐻) = (1 2) 4 = 1 16 (b) Probabilidade de que as primeiras quatro jogadas sejam 𝑇, 𝐻, 𝐻, 𝐻 De forma semelhante, para obter “coroa” na primeira jogada e “cara” nas próximas três jogadas consecutivas, temos: 𝑃(𝑇, 𝐻, 𝐻, 𝐻) = (1 2) × (1 2) × (1 2) × (1 2) = (1 2) 4 = 1 16 (c) Probabilidade de que o padrão 𝑇, 𝐻, 𝐻, 𝐻 ocorra antes do padrão 𝐻, 𝐻, 𝐻, 𝐻 • 𝑆0: Início • 𝑆1: H • 𝑆2: HH • 𝑆3: HHH • 𝑆4: HHHH (padrão HHHH) • 𝑆5: T • 𝑆6: TH • 𝑆7: THH • 𝑆8: THHH (padrão THHH) Para calcular a probabilidade de alcançar 𝑇𝐻𝐻𝐻 antes de 𝐻𝐻𝐻𝐻, usamos a probabilidade de cada tran- sição: 𝑃(𝑇𝐻𝐻𝐻 antes de 𝐻𝐻𝐻𝐻) = 1 − 𝑃(𝐻𝐻𝐻𝐻 antes de 𝑇𝐻𝐻𝐻) 14 Probabilidade de HHHH Antes de THHH Vamos calcular a probabilidade de 𝐻𝐻𝐻𝐻 ocorrer antes de 𝑇𝐻𝐻𝐻. • A probabilidade de obter 𝐻𝐻𝐻𝐻 é ( 1 2) 4 = 1 16. Probabilidade de THHH Antes de HHHH A probabilidade de 𝑇𝐻𝐻𝐻 ocorrer antes de 𝐻𝐻𝐻𝐻 é então: 𝑃(𝑇𝐻𝐻𝐻 antes de 𝐻𝐻𝐻𝐻) = 1 − 𝑃(𝐻𝐻𝐻𝐻 antes de 𝑇𝐻𝐻𝐻) = 1 − 1 16 = 15 16 15