Exercícios - Cálculo 4 - 20232

u(x, t) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi f(x) dx + \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n^2t} \cos(nx) \left(\int_0^\pi f(x) \cos(nx) dx\right) 5-) a-) Resolva o problema de contorno empregando séries de Fourier \frac{\partial u}{\partial t} = 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \ , \ u(0, t) = u(4, t) = 0 \ , \ u(x, 0) = 25x \ , \ com \ 0 < x < 4 \ , \ t > 0 b-) Interprete fisicamente o problema de contorno da letra a-) 6-) Uma placa quadrada de lado a tem um bordo mantido à temperatura f(x) e os outros três bordos mantidos à temperatura zero, como mostra a figura. Mostre, usando a equação de Laplace \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \ , que a temperatura estacionária num ponto arbitrário da placa é dado por: u(x, y) = \sum_{m=1}^{\infty} \left[\frac{2}{\mathrm{asenh}(m\pi)} \left(\int_0^a f(x) \sin\left(\frac{m\pi x}{a}\right) dx\right) \sin\left(\frac{m\pi x}{a}\right) \sinh\left(\frac{m\pi y}{a}\right)\right] 7-) Resolva o problema de contorno que envolve a equação de onda em que u(x,t) representa o deslocamento vertical de uma corda vibrante de comprimento L: \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \ , \ u(0, t) = u(L, t) = 0 \ , \ u(x, 0) = f(x) \ , \ \frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0} = g(x) \ ,\ com \ 0 < x < L \ , \ t > 0