Slide - Séries de Fourier - Cálculo 4 - 2023-2

Lista - 6 exercícios Cálculo IV Série de Fourier • Seja a função 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥² – Determine uma série de Fourier em senos e cossenos para a função dada, para 𝑥 ∈ [0,3]. – Determine uma série de Fourier somente em senos para a função dada, para 𝑥 ∈ [0,3]. Método de separação de variáveis • Determine soluções não nulas, se possível, para a equação diferencial de primeira ordem:     𝑢 + 2𝑢ₓ – 3𝑢ₜ = 0 • Sujeita as condições     𝑢(0, t) = 0        𝑢(𝑥, 0) = 0 EDPs de segunda ordem • Seja a equação diferencial parcial uni-dimensional    ∂𝑢/∂𝑡 = 9 ∂²𝑢/∂𝑥²   sujeita as condições:    𝑢ₓ(0, t) = 0    𝑢ₓ(3, t) = 0    𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(𝑥 − 3).    Caso parabólico EDPs de segunda ordem • Seja a equação diferencial parcial uni-dimensional:    ∂²𝑢/∂𝑡² = 9 ∂²𝑢/∂𝑥²   sujeita as condições (precisamos de quatro condições):    𝑢ₓ(0, t) = 0    𝑢(3, t) = 0    𝑢(𝑥, 0) = 𝑥² − 3𝑥    ∂𝑢(𝑥, t)/∂𝑡 |ₜ₌₀ = 1.    Caso hiperbólico EDPs de segunda ordem • Seja a equação diferencial parcial uni-dimensional:    ∂²𝑢/∂𝑦² = − ∂²𝑢/∂𝑥²   sujeita as condições (precisamos de quatro condições):    𝑢ₓ(0, y) = 0    𝑢ₓ(3, y) = 0    𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(𝑥² − 9)    𝑢(𝑥, 4) = 0.    Caso elíptico Aplicando o método de separação de variáveis • Que acontece com as Condições Dadas? • Observando as condições fronteira:    𝑢ₓ(0, t) = 0 → 𝑋'(0)𝑇(t) = 0 → 𝑋'(0) = 0    𝑢(L, t) = 0 → 𝑋(L)𝑇(t) = 0 → 𝑋(L) = 0 • Pode ser o caso    𝑢ₜ(L, t) = 0 → 𝑋(L)˙𝑇(t) = 0 → 𝑋(L) = 0    𝑢ₜ(𝑥, 𝑎) = 0 → 𝑋(𝑥)˙𝑇(𝑎) = 0 → ˙𝑇(𝑎) = 0 Série de Fourier - Seja a função $f(x) = 1 + x^2$ - a — Determine uma série de Fourier em senos e cossenos para a função dada, para $x \in [0,3]$. - b — Determine uma série de Fourier somente em senos para a função dada, para $x \in [0,3]$. a) A forma geral da série de fourier com $L=3$ e $x \in [0,3]$ é́: \begin{align*} \tilde{f}(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=0}^{\infty} \left[a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right] \end{align*} com: \begin{align*} a_0 = \frac{2}{L}\int_{-L}^{L}f(x) dx\\ a_n = \frac{2}{L}\int_{-L}^{L}f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx\\ b_n = \frac{2}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx \end{align*} Logo, como $L=3$ temos que: \begin{align*} a_0 = \frac{2}{3}\int_{0}^{3}1+ x^2 dx = \frac{2}{3}\left[x + \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{2}{3}(3 + 9) = 2(1+3) = 8. \end{align*} \begin{align*} a_n = \frac{2}{3}\int_{0}^{3}(1+x^2)\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) dx\\ = \frac{2}{3}\int_{0}^{3}\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right)dx + \frac{2}{3}\int_{0}^{3}x^2\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right)dx. \end{align*} Então veja que: \begin{align*} \int_{0}^{3}x^2\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right)dx = \frac{3x^2}{n\pi}\sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)-\frac{6}{n\pi^2}\int_{0}^{3}x\sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)dx\right]_{0}^{3}\ = \left[\frac{3x^2}{n\pi}\sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)-\frac{6}{n\pi}\left[\frac{3x}{n\pi}\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) +\frac{3}{n\pi}\int_{0}^{3}\cos\left(\frac{n\) pi x}{3}\right)dx \right]\right]_{0}^{3}\ = \left[\frac{3x^2}{n\pi}\sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)+\frac{18x\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right)}{(n\pi)^2}-\frac{54}{(n\pi)^3}\sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)\right]_{0}^{3}\ = \frac{54((-1)^{n})}{(n\pi)^2} \end{align*} = 5\frac{(-1)^n}{(n\pi)^2} E logo temos que: \begin{align*} a_n = \frac{2}{3}\int_{0}^{3}\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right)dx + \frac{2}{3}\int_{0}^{3}x^2\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right)dx.\\ = \frac{2}{3\left[\frac{3}{n\pi}\sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)\right]\bigg|_{0}^{3}\] + \frac{2}{3}\cdot\frac{54(-1)^n}{(n\pi)^2} \end{align*} = \frac{2}{n\pi}\left[\sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)\right]_{0}^{3} + \frac{54(-1)^n}{(n\pi)^2} = \frac{36(-1)^n}{(n\pi)^2} \end{align*} Por fim: \begin{align*} b_n = \frac{2}{3}\int_{0}^{3}(1+x^2)\sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)dx = \frac{2}{n\pi}\left[(-1)^{n+1}\right] + \frac{2}{3}\int_{0}^{3}x^2\sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)dx\end{align*} = \frac{2\left[(-1)^{n+1}\right]-3x^2\cos\frac{n\pi x}{3} + 6\int_{0}^{3}\cos\frac{n\pi x}{3}dx}{n\pi} \bigg|_{0}^{3}] = \frac{2}{n\pi}\left[(-1)^{n+1}\right]+ not include \frac{3x^2\cos\frac{n\pi x}{3}}{n\pi}+\frac{18x\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right)}{(n\pi)^2}-\frac{15\sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)}{(n\pi)^3}\bigg|_{0}^{3} Portanto: \begin{align*}\tilde{f}(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^{\infty}\left[a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)\right], \end{align*} = 4 + \sum_{n=0}^{\infty}\\left[\frac{36(-1)^n}{(n\pi)^2}\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right)+\left(\frac{2(-1)^n}{n\pi}-\frac{18(-1)^n}{n\pi}+\frac{36(-1)^n\cdot\frac{1}{(n\pi)^3}}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)\right] \end{align*} b) A série em senos de f(x) é avaliada com base na extensão impar: \begin{align*} f(x) =& \begin{cases} -f(-x)=-(1+x^2)\ \text{e}\ x \in [-3,0]\\ 1+x^2=f(x)\ \text{se}\ x \in [0,3] \end{cases} \end{align*} Com a série de Fourier em senos dada por \tilde{f}(x) que é: \begin{align*} \tilde{f}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\ \text{com}\ b_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx. \end{align*} Logo, temos que: \begin{align*} b_n = \frac{2}{3}\int_{0}^{3}(1+x^2)\sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)dx = \left[\frac{2}{n\pi}(-1)^{n+1}-\frac{18(-1)^{n}}{n\pi}+\frac{36(-1)^{n}.1}{(n\pi)^{3}}\right] \end{align*} onde o cálculo segue do item (a). E a série de fourier pedida é simplesmente: \begin{align*} \tilde{f}(x)= \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{2}{n\pi}(-1)^{n+1}-\frac{18(-1)^{n}}{n\pi}+\frac{36(-1)^{n}.1}{(n\pi)^{3}}\right] \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \end{align*} Método de separaçao de variáveis • Determine soluções não nulas, se possível, para a equaçao diferencial de primeira ordem: u + 2ux - 3ut = 0 • Sujeita as condições u(0, t) = 0 u(x, 0) = 0 buscamos uma solução do problema dado: u = f(x) g(t). Com efeito, temos que: 0 = u + 2ux - 3ut = f(x)g(t) + 2 d/dx (f ⨉ g(t)) - 3 d/dt (f ⨉ g(t)) = f(x)g(t) + 2g(t) df/dx - 3 f dg/dt Dividindo tudo por f⨉g(t) temos: 1 + 2 ----- df f dx 3 dg ----- = 0 => ------ = 1 + 2 ----- = k g dt g dt f dx Logo, temos que: 3 dg/dt = k (i) g 1 + 2 df/dx = x. (ii) f Então, de (i) temos que: 3/dg = k => 3dg = kd dt => ∫ dg/g = k/3 ∫ dt ∫ => ln(g) = kt/3 + c1 => g(t) = c e^(kt/3), C ≡ e^(c1). De (ii) temos: 2 df/ k f/2 dx f dx + 1 = k => ∮ --- dy = ∮ -------- => ln(f) = (k-1)/2 x + c2 => f(x) = p e^(k-1)/2 x , p ≡ e^(c1+c2). Logo, a solução u(x,t) é u(x,t) = f(x)g(t) = ρ e^(k-1/2 x) ⨉ Ce^(kt/3) = r e^(k-1)t, e^(kt/2), r ≡ ρC Agora, aplicando as condições de contorno. U(0,t) = 0 => 0 = r e^(k-1/2 0) => r=0 absurdo pois seria a solução nula. U(x,0) = 0 => 0 = r e^(k-1/2 x) => r=0 absurdo pois seria a solução nula. Logo, não há soluções além da solução nula para a EDP. EDPs de segunda ordem • Seja a equação diferencial parcial uni-dimensional ∂u = 9 ∂²u ∂t ∂x² sujeita as condições: u(0, t) = 0 ux(3,t) = 0 u(x, 0) = x(x - 3). Caso parabólico Suponhamos u(x,t) = f(x) g(t). Logo na EDP temos que: 2u = 9 ∂²u ∂t ∂x² => f dg/dt = 9 q² df/dx² => fg dg/dt = gq d²f/dx² => 1/g dg/dt = q df²/x² igualando a uma constante -E² temos que: 1 g - dg/dt = -E² g g = c e^-E²t t Por outro lado, temos ainda que: g d²f/dx² = -E² f dx² = 2 | | ω² f . w | | e a solução é dada por: f(x) = ~A sen(ωx) + ~B cos(ωx) = ~k e logo a solução fica dada por: U(x,t) = f(x) g(t) = ~A sin(Ex^2) + ~B cos(Ex^2) U(x,t) = A sin(Ex^3 ) + B cos(Ex^3) e^-E² t où U(x,t) ≡ A (E³/3) + B sin(Ex) e^-E²t E' 2U = ucx = E 3 e^-E²t Logo, impondo as condições de contorno temos que: ux(0,t)=0 => 0 = E e^-E²t (-A) => A = 0. E ainda que U(3,t) = 0 => 0 = E^2 e^{-\frac{E^2 t}{3}} (B \sin(LE)) => B \sin(LE) = 0 => \sin(LE) = 0 => E = n \pi, \ n \in \mathbb{N} o que define E_n \equiv E = n \pi, e ainda, que: U_n(x,t) = B_n e^{-(n\pi)^2 t} \cos\left(\frac{n \pi x}{3}\right) Logo, u completa (para todo n) fica entao dada por superposicao da seguinte forma: u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} U_n = \sum_{n=0}^{\infty} B_n e^{(n\pi)^2 t} \cos\left(\frac{n \pi x}{3}\right) Onde a expressao acima e' analoga a uma expansao em serie de Fourier da funcao u(x,t). Dai, segue que a ultima condicao de contorno e' tal que: U(x,0) = x(x-3) = \sum_{n=0}^{\infty} B_n \cos\left(\frac{n \pi x}{3}\right) Logo, temos multiplicando tudo por \cos\left(\frac{m\pi}{3}\right) e integrando em 0<x<3 \int_0^3 \sum_{n=0}^{\infty} B_n \cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{3}\right) dx = \int_0^3 x(x-3) \cos\left(\frac{m\pi x}{3}\right) dx E veja que: \int_0^3 \cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{3}\right) dx = \frac{3}{2} \delta_{mn}, pois, e' conhecido que: \int_{-L}^{L} \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx = L \delta_{mn} Logo, devemos ter m = n e entao ficamos com: \frac{3}{2} B_n = \int_0^3 x(x-1) \cos\left(\frac{n \pi x}{3}\right) dx = \int_0^3 \left(x^2 \cos\left(\frac{n \pi x}{3}\right) - x \cos\left(\frac{n \pi x}{3}\right)\right) dx \frac{3}{2} B_n = \int_0^3 x(x-1) \cos\left(\frac{n \pi x}{3}\right) dx = \int_0^3 \left(x^2 \cos\left(\frac{n \pi x}{3}\right) - x \cos\left(\frac{n \pi x}{3}\right)\right) dx Entao, veja que: \int_0^3 x^2 \cos\left(\frac{n \pi x}{3}\right) dx = \left[ \frac{3 x^2}{n \pi} \sen \left(\frac{n \pi x}{3}\right) - \frac{6}{n \pi} \int x \sen \left(\frac{n \pi x}{3}\right) dx \right]_{0}^{3} = \left[ \frac{3 x^2}{n \pi} \sen \left(\frac{n \pi x}{3}\right) - \frac{6}{n \pi} \left[ \frac{-3 x \cos \left(\frac{n \pi x}{3}\right) + 3}{n \pi} \sen \left(\frac{n \pi x}{3}\right)\right] \right]_{0}^{3} = \left[ \frac{3 x^2}{n \pi} \sen \left(\frac{n \pi x}{3}\right) + \frac{18 x \cos \left(\frac{n \pi x}{3}\right) - 54}{(n \pi)^2} \sen \left(\frac{n \pi x}{3}\right) \right]_{0}^{3} = \frac{54 (-1)^n}{(n \pi)^2} \int_0^3 x \cos\left(\frac{n \pi x}{3}\right) dx = \left[ \frac{3 x \sen \left(\frac{n \pi x}{3}\right)}{n \pi} - \frac{3}{n} \int \sen \left(\frac{n \pi x}{3}\right) dx \right]_{0}^{3} = \left[ \frac{3 x \sen \left(\frac{n \pi x}{3}\right)}{n \pi} - \frac{3}{n} \left(-3 \cos \left(\frac{n \pi x}{3}\right)\right) \right]_{0}^{3} = \frac{q (-1)^n}{(n \pi)^2} \cdot q = \frac{q}{(n \pi)^2} \left[(-1)^n - 1\right] \Rightarrow B_n = \frac{6}{(n \pi)^2} \left[ 5(-1)^n + 1 \right] Dai, a solucao do problema fica dada por: u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{6}{(n \pi)^2} \left[ 5(-1)^n + 1 \right] e^{(n \pi)^2 t} \cos\left(\frac{n \pi x}{3}\right) EDPs de segunda ordem • Seja a equação diferencial parcial uni-dimensional: \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 9 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} sujeita as condições (precisamos de quatro condições): u_x(0,t) = 0 u(3,t) = 0 u(x,0) = x - 3x \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = 1 Caso hiperbolico Suponhamos u(x,t) = f(x)g(t). Logo na EDP temos que: \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 9 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} => f \frac{d^2 g}{dt^2} = 9g \frac{d^2 f}{dx^2} => \frac{1}{g} \frac{d^2 g}{dt^2} = \frac{9}{f} \frac{d^2 f}{dx^2} igualando a uma constante: E^2 temos que: \left(\frac{1}{g} \frac{d^2 g}{dt^2} = E^2\right) => \frac{d^2 g}{dt^2} = -E^2 g \frac{9}{f} \frac{d^2 f}{dx^2} = E^2 => \frac{d^2 f}{dx^2} = -\frac{E^2}{9} f Em suma, a equacao tem a forma: \frac{d^2 \phi}{dt^2} = \omega^2 \phi. Logo, as solucoes sao \left\{ g(t) = A \cos(Et) + B \sin(Et) f(x) = C \cos\left(\frac{E x}{3}\right) + D \sin\left(\frac{E x}{3}\right) E logo u(x,t) fica dada por: U(x,t) = (A \cos(Et) + B \sin(Et))(C \cos\left(\frac{E x}{3}\right) + D \sin\left(\frac{E x}{3}\right)) Agora, vamos aplicar os contornos. u_x(0,t) = 0 => 0 = \frac{\partial}{\partial x}U(x,t) \right| _{x=0} = \frac{3}{E} \left(A \cos(Et) + B \sin(Et)\right) \left(-C \sen\left(\frac{E \cdot 0}{3}\right) + D \cos\left(\frac{E \cdot 0}{3}\right)\right)\right|_{x=0} = \frac{3}{E} \left(A \cos(Et) + B \sin(Et)\right) D \therefore D = 0. Dai, nos resta apenas U(x,t) = (Acos(Et)+Bsin(Et))cos(Ex/3) onde juntamos a constante C com A e B. (Continuando a aplicação das condições de contorno segue que: u(3,t) = 0 => 0 = (Acos(Et)+Bsin(Et))cos(E) => cos(E) = 0 => E = nπ/2 , n ∈ IN e logo definimos En≡E. Ademais, ∂u/∂t=1 => 1=2/t[Acos(Et)+Bsin(Et))cos(Ex/3)]|t=0 =-E[-Asin(Et)+Bcos(Et)]cos(Ex/3)|t=0 =EBcos(3x/3)∴ B = 1/Ecos(3x/3) Em suma, a solução fica dada por: Un(x,t)= [Acos(nπt/3)+Bnsin(nπt/3)]cos(nπx/6) u(x,t)=∑n=0∞Um(x,t)=∑n=0∞ [Acos(nπt/3)+Bnsin(nπt/3)]cos(nπx/6) Dai, a solução fica dada pela expansão em Fourier de u(x,t). Agora, vamos aplicar a condição de contorno: U(x,t=0)=x^2-3x que nos da que: x^2-3x=U(x,0) =∑n=0∞ [Acos(nπt/3)+Bnsin(nπt/3)]cos(nπx/6)|t=0 = ∑n=0∞ An cos(nπx/6). Entao, temos que: x^2-3x=∑n=0∞ An cos(nπx/6). Multiplicando por cos(nπx/6) e integrando de 0 a 6 temos: ∫06 An cos(nπx/6)cos(nπx/6)dx=∫06(x^2-3x)cos(nπx/6)dx. Da ortogonalidade temos que: ∫06 cos(nπx/6)cos(mπx/6)dx = 6/2 δmn = 3δmn. Ou seja, ficamos com: 3An=∫06(x^2-3x)cos(nπx/6)dx = ∫06 x^2cos(nπx/6)dx - 3∫06 xcos(nπx/6)dx. Entao, veja que: ∫030 x^2cos(nπx/3)dx=[6x^2sin(nπx/6)-12/nπ∫xsin(nπx/6)dx]|06 = [6x^2/nπ sin(nπx/6)-12/nπ (-6xcos(nπx/6)/nπ+6/nπ cos(nπx/6)sin(nπx/6))|06 = [6x^2/nπsin(nπx/6)+72xcos(nπx/6)/(nπ)^2-36×12sin(nπx/6)/(nπ)^3]|06 =72/(nπ)^2(-1)^n E ainda: ∫06 xcos(nπx/6)dx=[6xsin(nπx/6)/nπ-6/nπ^2∫sin(nπx/6)dx]|06 = [6xsin(nπx/6)/nπ-(6/nπ)(-6/nπ^2cos(nπx/6)sin(nπx/6))]|06 =36(-1)^n/(nπ)^2-36/(nπ) =36([-1)^n-1)/(nπ)^2. Dai, temos que: 3An=∫06(x^2-3x)cos(nπx/6)dx =∫06 x^2cos(nπx/6)dx-3∫06 xcos(nπx/6)dx. =72/(nπ)^2(-1)^n-3×36([-1)^n-1)/(nπ)^2 =72/(nπ)^2(-1)^n-36([-1)^n-1)(nπ)^2-2×36([-1)^n-1)/(nπ)^2 =36/(nπ)^2-72([-1)^n-1)/(nπ)^2=36(3-2(-1)^n)/(nπ)^2 ∴ An = 12[3-2(-1)^n]/(nπ)^2 Dai, temos que: Uc(x,t)=∑n=0∞[12[3-2(-1)^n]/[(nπ)^2]cos(nπt/3)+Bnsin(nπt/3)]cos(nπx/6) Agora, aplicamos a última condição de contorno que é: ∂u/∂t=1. Com efeito: 1=∑n=0∞[-4[3-2(-1)^n]cos(nπt/3)/nπ^2+nπ/3Bnsin(nπt/3)]|t=0cos(nπx/6) =∑n=0∞nπ/3Bncos(nπx/6) Logo: 1=∑n=0∞nπ/3Bncos(nπx/6). Dai, temos da ortogonalidade da funcao cosseno que: ∑n=0∞nπ/3Bncos(nπx/6)dx=∫06cos(mπx/6)dx nπ/3Bn×6/2=6/nπ^2sen(nπx/6)|06=0 => Bn=6/(nπ)^2sen(nπx/6)|06=0 ∴ Bn=0,∀n∈IN. Logo, terminamos a conta e obtemos como solução: \[ u(x,t)=\frac{12}{(n\pi)^3} \sum_{n=0}^{\infty} \left[3 - 2(-1)^n\right]\cos\left(\frac{n\pi t}{3}\right)\cos\left(\frac{n\pi x}{6}\right) \] EDPs de segunda ordem • Seja a equação diferencial parcial uni-dimensional: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] sujeita às condições (precisamos de quatro condições): \[ u_x(0,y) = 0 \] \[ u_x(3,y) = 0 \] \[ u(x,0) = x(x^2 - 9) \] \[ u(x,4) = 0 \] A tupla é \((x,y)\). Buscamos a solução da forma: \[ u(x,t) = f(x)g(y). \] Levando na EDP temos que: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{d^2 g}{dy^2}\Rightarrow g = f(x) \Rightarrow f\frac{d^2 f}{dx^2} = -g \frac{d^2 g}{dy^2} = -1 \Rightarrow \frac{1}{g}\frac{d^2 g}{dy^2} = \kappa^2 \Rightarrow g(y) = \alpha e^{\kappa y} + b e^{-\kappa y} \] \[ \frac{1}{f}\frac{d^2 f}{dx^2} = \kappa^2 \Rightarrow \frac{d^2 f}{dx^2} = -\kappa^2 f \Rightarrow f(x) = A\cos(\kappa x) + B\sin(\kappa x) \] • Construir a solução \(u = u(x,t)\), por: \[ u(x,t) = f(x)g(t)=(A\cos(\kappa x) + B\sin(\kappa x))(\alpha e^{\kappa y} + be^{-\kappa y}) \] Agora, imponhemos as condições de contorno. Com efeito: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \Rightarrow \frac{2}{x}(A\cos(\kappa x)+B\sin(\kappa x))(\alpha e^{\kappa y} + be^{-\kappa y})\Bigg|_{x=0}^{x=3} = \kappa(B(\alpha e^{\kappa y}+b e^{-\kappa y}))\Rightarrow B=0 \] \[ \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \Rightarrow \frac{2}{x}\left[-A\sin(\kappa x)(\alpha e^{\kappa y}+b e^{-\kappa y})\right] = \quad x=0, x=x= \right] \Rightarrow \Rightarrow\,KA\cos(3\kappa)(\alpha e^{\kappa y}+b e^{-\kappa y}=0\Rightarrow \cos(3\kappa)=0\Rightarrow 3\kappa = n\pi \Rightarrow \frac{\Rightarrow k=\frac{n\pi}{3};\, \frac{n \in \mathbb{N}}. Com isso, obtemos que a solução fica com a seguinte forma: \[ u_n(x,t)=A_n\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right)\left(\alpha e^{\frac{n\pi y}{3}} + b_n e^{-\frac{n\pi y}{3}}\right) \] Daí, a solução completa é obtida via superposição por: \[ u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} \left(\alpha e^{\frac{n\pi y}{3}} + b_n e^{-\frac{n\pi y}{3}}\right) \cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) \] onde \(\alpha_n = A_n \alpha\) e \(b_n = A_n b\). Daí, temos ainda duas condições de contorno para aplicar. Com efeito: \[ u(x,t+0)=0=\sum_{n=0}^{\infty} \left(\alpha e^{\frac{4n\pi t}{3}} - b_n e^{-\frac{4n\pi t}{3}+4} \right)\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) \] Logo, segue por ortogonalidade, como no caso parabolíneo que: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{\frac{4n\pi}{3}} \left(\alpha e^{\frac{4n\pi}{3}} + b_n e^{-\frac{4n\pi}{3}}\right) \cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right)\cos\left(\frac{m\pi x}{3}\right)\, dx = 0 \] \[ \left(\alpha e^{\frac{4n\pi}{3}} + b_n e^{-\frac{4n\pi}{3}}\right)\left(\frac{3}{2}\delta_{nm}\right) = 0 \Rightarrow \alpha e^{\frac{4n\pi}{3}} + b_n e^{-\frac{4n\pi}{3}}=0 \] \[ \Rightarrow \alpha_n = - b_n \cdot e^{-\frac{8n\pi \tau}{3}} \] Daí, ficamos com: \[ u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-b_n e^{\frac{4n\pi y}{3}} + b_n e^{-\frac{n\pi y}{3}}\right)\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) \] \[ = \sum_{n=0}^{\infty} b_n \left(- e^{\frac{-9n\pi x + n\pi y}{3} + e^{\frac{4n\pi x-n\pi y}{3}}\right) \cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) \] \[ = \sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{2b_n}{e^{\frac{4n\pi}{3}}} \right)\left[\frac{e^{\frac{4n\pi}{3}+n\pi y}}{2} - e^{-\frac{4n\pi}{3}+y \right] \right) \cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) \] \[ = \sum_{n=0}^{\infty} B_n \sinh\left[\frac{n\pi}{3}(y-4\right)\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) \] Chegamos em: u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} B_n \sinh \left[ \frac{n\pi}{3}(y-4) \right] \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right), com \ B_n = \frac{-2b_n}{\sinh \frac{4n\pi}{3}}\\ Dai, resta aplicarmos a ultima condicao de contorno que nos da que: \ U(x,y=0) = x(x^{2}-9). \ Com efeito: \chi(x^{2}-9) = U(x,0) = \sum_{n=0}^{\infty} B_n \sinh \left( \frac{-4n\pi}{3} \right) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right)\\ Logo, segue por ortogonalidade, como no caso parabolico, que:e: \int_{0}^{3} \sum_{n=0}^{3} B_n \sinh \left( \frac{-4n\pi}{3} \right) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right) \cos \left( \frac{m\pi x}{3} \right) dx = \int_{0}^{3} x(x^{2}-9)\cos \left( \frac{m\pi x}{3} \right) dx\\ \sum_{n=0}^{\infty} B_n \sinh \left( \frac{-4n\pi}{3} \right) \cdot \int_{0}^{3} \cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right) \cos \left( \frac{m\pi x}{3} \right) dx = \int_{0}^{3} x(x^{2}-9) \cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right) dx\\ \sum_{n=0}^{\infty} B_n \sinh \left( \frac{-4n\pi}{3} \right) \cdot \frac{3}{2} \delta_{mn} = \int_{0}^{3} x(x^{2}-9) \cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right) dx\\ \frac{3}{2} B_n \sinh \left( \frac{-4n\pi}{3} \right) = \int_{0}^{3} x^{2}\cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right) dx - 9 \int_{0}^{3} x\cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right) dx\\ Resta resolver as integrais como e feito, temos que: \int_{0}^{3} x^{2}\cos (\frac{n\pi x}{3})dx = \left[ \frac{3^{2}}{n\pi} \sinh \left( \frac{n\pi x}{3} \right) - \frac{9}{n\pi} \int x\sinh \left( \frac{n\pi x}{3} \right) dx\right]_{0}^{3}\\ = \left[ \frac{3x}{n\pi} \sinh \left( \frac{n\pi x}{3} \right) - \frac{9}{n\pi} \left[ \frac{-3x}{n\pi} \cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right) + \frac{6}{n\pi} \int \cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right) dx\right]\right]_{0}^{3}\\ = \left[ \frac{3x}{n\pi} \sinh \left( \frac{n\pi x}{3} \right) - \frac{9}{n\pi} \left[ \frac{-3x\cos \left( \frac{n\pi x}{3}\right) + 3 \cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right) + \frac{3x\sinh \left( \frac{n\pi x}{3} \right) - 3 \int \sinh \left( \frac{n\pi x}{3} \right) dx\right]\right]_{0}^{3}\\ = \left[ \frac{3x}{n\pi} \sinh \left( \frac{n\pi x}{3} \right) - \frac{9}{n\pi} \left[ \frac{-3x\cos \left( \frac{n\pi x}{3}\right) + 6 \int \sinh \left( \frac{n\pi x}{3} \right) dx\right] + \frac{4\cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right)}{9n\pi^{2}\right]\right]_{0}^{3}\\ = \frac{-9}{x} \left[ \frac{-x}{n\pi} \sinh \left( \frac{n\pi x}{3} \right) - \frac{9}{n\pi} \int \left( \frac{-3x}{n\pi} \cos \end{array}\right)\right]+ \frac{9}{n\pi} \left[ \frac{(-1)^{n} - 1}{n\pi^2} \right]_{3}^{0}\\ = 243{\pi}^2 \left[\frac{(-1)^{n} - 2(-1)^{n+1}}{(n\pi)^2} -\frac{2}{\end{array}\right]_{0}^{3}\\ Portanto, obtemos que: \int_{0}^{3} x^{2}\cos \left( \frac{n\pi x}{3}\right) dx = \frac{243}{(n\pi)^2} \left[ (-1)^{n}-2((-1)^{n+1}) \right]\\ Por outro lado, \int_{0}^{3} x\cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right) dx = \left[\frac{3x}{n\pi}\sin \left( \frac{n\pi x}{3}\right) -\frac{3}{n}\int \sin \left( \frac{n\pi x}{3}\right) dx \right]_{0}^{3}\\ = \left[\frac{3x \sin \left(\frac{n\pi x}{3}\right) -3}{n\pi} x\cos \left(\frac{n\pi x}{3}\right) + \frac{-3}{n} \left(-\frac{3x\sin \left(\frac{n\pi x}{3}\right)\right) - \frac{3}{n^3}\right]_{0}^{3}\\ = \frac{q (-1)^n - q}{(n\pi)^2} = \frac{q}{(n\pi)^2} \left[ (-1)^n - 1 \right]\\ Daí, temos que: \frac{3B_n\sinh \left( \frac{-4n\pi}{3} \right)}{2} = \int_{0}^{3} x^2\cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right) dx - 9 \int_{0}^{3} x \cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right) dx\\ = \frac{243}{(n\pi)^2} \left[(-1)^n - 2((-1)^{n+1})\right] - 81 \left[ (-1)^n - 1 \right] \ temos: n par, temos que: \frac{3B_n \sinh \left( \frac{-4n\pi}{3} \right)}{2} = \frac{243}{(n\pi)^2}\left(1-\frac{9}{(n\pi)^2} \right) \Rightarrow B_n,par = \frac{162 (n\pi)^2-4}{(n\pi) \sinh \left(\frac{n\pi}{3} \right)}\\ \text{Se n}\ \text{\'{i}mpar} \frac{3B_n \sinh \left( \frac{-4n\pi}{3} \right)}{2} = \frac{-243}{(n\pi)^2} + \frac{162}{(n\pi)^2} = \frac{-81}{(n\pi)^2} \Rightarrow B_n = \frac{-54}{(n\pi)^2 \sinh \left( \frac{n\pi}{3} \right)}\\ Disso, temos que: u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} B_n \sinh \left[ \frac{n\pi}{3}(y-4) \right] \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{3} \right)\\ = \frac{162 (n\pi)^2-4}{n\pi\sinh \left( \frac{4n\pi}{3} \right)} \sinh \left[ \frac{n\pi}{3}(y-4) \right] \cdot \cos \left( \frac{n\pi}{3} \right) = \sum_{n=1,3,5, \ldots}\frac{54}{(n\pi)^2 \sinh \left( \frac{n\pi}{3}\right)} \sinh \left( \frac{n\pi (y-4)}{3} \sinh \left( \frac{n\pi}{3} \right) \cos \left( \frac{n\pi}{3}\right) dx\right]\right]_{0}^{3}\\