Lista 4 - Equações Diferenciais Parciais 2021-2

CÁLCULO IV - EB - LISTA 4 - Equações diferenciais parciais - método de separação das variáveis Prof. Dr. Sergio A. David Instruções: a) É de extrema importância a organização, a legibilidade e a clareza na resolução dos exercícios; b) O aluno(a) deve resolver os 10 exercícios propostos para ser entregue, via e-mail, endereçado à monitora da disciplina, LorenaCeredaNardachione (lorenacn@usp.br),EXCLUSIVAMENTE. Tal monitora é a responsável pela primeira triagem no controle de entrega dos exercícios e está instruída a validá-los (ou não); c) Exercícios enviados ao e-mail da monitora, além do prazo estipulado, não serão validados. Portanto, reforço que os exercícios devem chegar, EXCLUSIVAMENTE, no e-mail (lorenacn@usp.br) até o prazo máximo estipulado; d) Preferencialmente, enviem os arquivos com os exercícios resolvidos no formato pdf; e) O prazo de entrega dos exercícios por parte dos alunos (as) é de até uma semana (7 dias) a contar da disponibilização da lista de exercícios por e-mail aos alunos (as). Portanto, para a presente lista, o prazo final será 11/11/2021; f) Em até 7 dias após o prazo final, outra monitora, Laila R. A. Alves Cruz (lailacruz@usp.br) enviará (na forma digitalizada, pdf) a solução detalhada (gabarito) dos 10 exercícios que foram propostos para a lista de e-mail da turma, sempre copiando o professor da disciplina nessas mensagens, e g) Não se esqueçam de colocar, obrigatoriamente, o seu nome completo, número USP e, principalmente, a sua turma de Cálculo IV (EB) tanto no documento (lista de exercício) a ser entregue quanto na caixa assunto do e- mail (lorenacn@usp.br) a ser enviado à monitora. Entrega via email da monitora até, no máximo, (11/11/2021) Enviar para: lorenacn@usp.br Resolver, pelo método da separação de varáveis, as E.D.Ps que seguem: 1) 𝜕𝑢 𝑑𝑥 = 5 𝜕𝑢 𝑑𝑦 , 𝑐𝑜𝑚 𝑢 0, 𝑦 = 6𝑒−4𝑦 2) Resolver a questão acima com 𝑢 𝑦 = 6𝑒−4𝑦 + 5𝑒−3𝑦 3) 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 2 𝜕2𝑢 𝜕𝑥², com 𝑢 0, 𝑡 = 0; 𝑢 3, 𝑡 = 0; 𝑢 𝑥, 0 = 5𝑠𝑒𝑛 4𝜋𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛 8𝜋𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛 10𝜋𝑥 , 𝑎𝑙é𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑜: 0 < 𝑥 < 3, 𝑡 > 0 4) 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 3 𝜕𝑢 𝜕𝑥, 𝑢 𝑥, 0 = 8𝑒−2𝑥 5) 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 − 2𝑢, 𝑢 𝑥, 0 = 10𝑒−𝑥 − 6𝑒−4𝑥 6) 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝜕²𝑢 𝜕𝑥² , 𝑢 0, 𝑡 = 0; 𝑢 4, 𝑡 = 0; 𝑢 𝑥, 0 = 6𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 2 + 3𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥) 7) 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 2 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝑢, 𝑢 𝑥, 0 = 3𝑒−5𝑥 + 2𝑒−3𝑥 8) 3 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 2 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 0, 𝑢 𝑥, 0 = 4𝑒−𝑥 9) 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 5 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝑢, 𝑐𝑜𝑚 𝑢 𝑥, 0 = 2𝑒−7𝑥 + 4𝑒9𝑥 10) Classificar cada uma das EDPs abaixo como elíptica, hiperbólica ou parabólica. a) 𝑥2𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 + 2𝑥𝑦 𝜕²𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝑦 2𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 = 0 b) 𝑥2 − 1 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 + 2𝑥𝑦 𝜕²𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝑦2 − 1 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 = 𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑦 𝜕𝑢 𝑑𝑦 c) 𝑀2 − 1 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 − 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 = 0, 𝑐𝑜𝑚 𝑀 > 0