P1 - Cálculo 4 - 2015-2

Cálculo IV, Prova 1, 08/10/2015, Prof. Juan López Linares IMPORTANTE: O diabo mora nos detalhes. 1a) A expressão e^{i\pi} + 1 = 0 é considerada a equação mais bela da matemática por envolver as constantes e e \pi, o símbolo de número imaginário i e os números 0 e 1. Prove que é verdadeira. Prove primeiro que a fórmula de Euler, e^{i\theta} = cos(\theta) + i\sen(\theta), é verdadeira. 1b) Escreva a função ln(1 + x) como uma série de potências centrada em x=0. Demonstre como encontrar os coeficientes dessa série. 2a) Resolva detalhadamente a equação diferencial y''(x) + x^2 y(x) = 0 usando uma série de potências centrada em x=0, k é uma constante. 2b) Resolva detalhadamente a equação diferencial y''(x) - (1+x) y(x) = 0 usando uma série de potências centrada em x=0. 3a) Resolva detalhadamente o problema de valor inicial x^2 y''(x) - 5xy'(x) + 8y(x) = 0, y(2) = 32, y'(2) = 0. 3b) Resolva detalhadamente a equação diferencial 2 x y''(x) + (1 + x) y'(x) + y(x) = 0 usando uma série de potências centrada em x=0.