P1 - Cálculo 4 - 2023-2

ENGENHARIA DE BIOSISTEMAS – CÁLCULO IV PROVA 1 Prof. Dr. Sergio A. David Aluno: Nº USP: 13748482 Instruções: • O tempo máximo de prova é de 2:45h. Proibido o uso de calculadoras e celulares. • Quaisquer dispositivos eletrônicos devem estar desligados durante a prova. O aluno flagrado com aparelho eletrônico ligado durante a prova terá sua prova interrompida imediatamente e nota zero atribuída à mesma, independente do conteúdo já resolvido. Só será meo apenas lápis, caneta, borracha • Demais pertences dos (as) alunos (as) devem ficar na frente da sala durante a execução da prova. 1-a) [1,0 ponto] Calcular a transformada de Laplace da função f(t)=cosh(at) b) [1,5 ponto] Agora, usar a função degrau e calcular a Transformada de Laplace da função f(t) = {1 , 0 ≤ t < 2 {3 , t ≥ 2 2- [1,0 ponto] Determinar a transformada inversa de Laplace da função: F(s)= 1 / (s(s²−1)) 3) [1,5 pontos] Resolver, usando a Transformada de Laplace, o problema de valor inicial y" + y = t , t > π com y(π)=0 e y'(π)=1. Sugestão: Faça uma mudança de variável conveniente que permita avaliar y(0) e y'(0) . 4) [2,5 pontos] Resolver a E.D.O. (x² +1)y" + xy' −y=0 utilizando série de potências em torno de x₀ =0 . 5) [2,5 pontos] Resolver, em torno de x₀ =0 , a E.D.O. 3xy"+y'−y=0 Podem ser úteis: cosh(at)= (e^{at} + e^{-at})/2 ; senh(at) = (e^{at} − e^{-at})/2 ; L{senh(at)}= a/(s²−a²) Frobenius: CASO1: {y₁(x) = x^r ∑_{n=0}^∞ C_{n} xⁿ , (C₀ ≠ 0) e y₂(x) = x^r ∑_{n=0}^∞ C_{n} xⁿ , (C₀ ≠ 0) } CASO2: { y₁(x) = x^r ∑_{n=0}^∞ C_{n} xⁿ , (C₀ ≠ 0) e y₂(x) = y₁(x)ln(x) + x^{r}^+^1 ∑_{n=0}^∞ C_{n} xⁿ , (C₀ ≠ 0) } CASO3: {y₁(x) = x^r ∑_{n=0}^∞ C_{n} xⁿ , (C₀ ≠ 0) e y₂(x) = a₁(x)ln(x) + x^r ∑_{n=0}^∞ C_{n} xⁿ , (C₀ ≠ 0) }