Questões - Classificação de Equações e Método de Separação de Variáveis - Cálculo 4 - 20232

Esses exercícios não são, necessariamente, suficientes para um bom desempenho. Devem ser encarados como tarefa mínima e orientá-los na busca por mais exercícios na bibliografia do curso. 1) Classificar cada uma das equações abaixo como elíptica, hiperbólica ou parabólica. a) ∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² = 0 parabólica b) ∂u/∂t - ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 4 hiperbólica c) ∂²z/∂x² - 2∂²z/∂x∂y + ∂²z/∂y² = x + 3y elíptica d) x² ∂²u/∂x² + 2xy ∂²u/∂x∂y + y² ∂²u/∂y² = 0 e) (x² - 1) ∂²u/∂x² + 2xy ∂²u/∂x∂y + (y² - 1) ∂²u/∂y² - x ∂²u/∂x + y ∂u/∂y f) (M² - 1) ∂²u/∂x² - ∂²u/∂y² = 0, com M > 0 → em função de "M" 2) Resolver pelo método de separação de variáveis: a) 3 ∂u/∂t = 2 ∂u/∂x, u(x,0) = 4e⁻ˣ b) ∂u/∂x = 2 ∂u/∂t + u, u(x,0) = 3e⁻⁵ˣ + 2e⁻³ˣ c) ∂u/∂t = 4 ∂²u/∂x², u(0,t) = 0, u(π,t) = 0, u(x,0) = 2sen(3x) - 4sen(5x) d) ∂u/∂t = ∂²u/∂x², uₓ(0,t) = 0, u(2,t) = 0, u(x,0) = 8cos(3πx/4) - 6cos(9πx/4) e) ∂u/∂x = 3 ∂u/∂t, u(x,0) = 8e⁻²ˣ f) ∂u/∂t = ∂u/∂x - 2u, u(x,0) = 10e⁻ˣ - 6e⁺ˣ g) ∂u/∂t = ∂²u/∂x², u(0,t) = 0, u(4,t) = 0, u(x,0) = 6sen(πx/2) + 3sen(πx)