Prova de Resistência dos Materiais

Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas PEF3307 Resistˆencia dos Materiais Ronaldo Carrion rcarrionuspbr Escola Politecnica da Universidade de Sao Paulo EPUSP Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 1 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Estrutura da aula 1 Motivac ao 2 Func oes de Singularidade 3 Exercıcios 4 Duvidas Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 2 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Finalidade Obter expressoes analıticas integraveis para carrega mentos com descontinuidade e esforcos concentrados Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 3 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Definic ao x a m x am x a ou seja x a 0 0 x a ou seja x a 0 Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 4 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Visualizac ao Para m2 Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 5 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Visualizac ao Para m1 Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 6 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Visualizac ao Para m2 Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 7 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Visualizac ao Para m0 Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 8 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Exemplos Exemplo 1 utilizando func oes de singularidade determine a expressao analıtica para o carregamento mostrado na figura soluc ao lousa Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 9 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Exemplos Exemplo 2 utilizando func oes de singularidade determine a expressao analıtica para o carregamento mostrado na figura soluc ao lousa Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 10 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Exemplos Exemplo 2 utilizando func oes de singularidade determine a expressao analıtica para o carregamento mostrado na figura soluc ao lousa Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 11 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Ja sabemos representar carregamentos descontınuos E os concen trados Func oes Generalizadas ou Distribuic oes Func ao Delta de Dirac δx a 0 x a x a grafico lousa Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 12 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Func ao Heaviside ou Degrau Unitario Hx a 1 x a 0 x a O que significa dizer Hx 0 H x 0 0 grafico lousa Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 13 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Vamos definir uma famılia de func oes hnx 1 1enx h0x 1 1e0x h1x 1 1e1x h100x 1 1e100x Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 14 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Hx lim n hnx Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 15 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Derivando hnx uma vez em relac ao a x dhnx dx enxn 1enx2 δx lim n dhnx dx ainda δx dHx dx Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 16 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Derivando hnx mais uma vez em relac ao a x d2hnx dx2 2enxn2 1enx3 enxn2 1enx2 dδx dx lim n d2hnx dx2 Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 17 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Resumo Func oes de Singularidade Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 18 22 Regras de Integração para Funções de Singularidade x am dx x am1 m1 se m 0 x am dx x am1 se m 0 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Exercıcio 31 utilizando Equac oes Diferenciais de Equilıbrio e Func oes de Singularidade tracar os diagramas de esforcos da estrutura abaixo Dados L 4m a 1m F 100N Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 20 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas Para o lar Exercıcio 32 utilizando Equac oes Diferenciais de Equilıbrio e Func oes de Singularidade tracar os diagramas de esforcos da estrutura abaixo Dados L1 2m L2 4m L3 2m F1 100N F2 350N F3 200N p0 80Nm Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 21 22 Motivac ao Func oes de Singularidade Exercıcios Duvidas PERGUNTAS Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aula 3 versao 2025 22 22 Universidade de Sao Paulo Escola Politecnica Departamento de Engenharia de Minas e de Petroleo Lista de ExercıciosProvas Resolvidas PEF3307 Resistˆencia dos Materiais Responsavel pela disciplina Prof Dr Ronaldo Carrion Pessoas Fundamentais para a concretizacao deste material Aluna 2024 Milena da Silva Ramos Aluna 2021 Isabelly Baldo Jacinto Aluno 2020 Jose Ricardo Oliveira da Costa Aluno 2019 Caio Murilo Silva de Carvalho Aluna 2017 Lıvia Bueno Reis Aluna 2016 Pˆamela Aranda Frisco ultima versao 032025 Conteudo 1 Forca Normal 3 11 P1 2014 Questao 1 3 12 P2 2014 Questao 1 5 13 P1 2015 Questao 1 9 14 P2 2015 Questao 1 10 15 P1 2017 Questao 1 14 16 P1 2020 Questao 1 17 17 P1 2023 Questao 1 20 18 P2 2023 Questao 1 22 19 P1 2024 Questao 1 26 110 P2 2024 Questao 1 30 2 Torcao de Secoes Circulares 39 21 P1 2014 Questao 2 39 22 P2 2014 Questao 2 41 23 P1 2015 Questao 2 45 24 P2 2015 Questao 2 48 25 P1 2016 Questao 2 52 26 P2 2016 Questao 1 54 27 P2 2017 Questao 1 58 28 P1 2018 Questao 1 Com Normal 61 29 P2 2018 Questao 1 64 210 P1 2019 Questao 1 66 211 P2 2019 Questao 1 69 212 P2 2020 Questao 1 72 213 P1 2023 Questao 2 76 214 P1 2024 Questao 2 78 3 Flexao Pura 82 31 P1 2014 Questao 3 82 32 P2 2014 Questao 3 85 33 P1 2015 Questao 3 91 34 P2 2015 Questao 3 95 35 P1 2016 Questao 1 99 36 P2 2016 Questao 2 102 37 P1 2017 Questao 2 104 38 P2 2017 Questao 2 109 39 P1 2018 Questao 2 112 310 P2 2018 Questao 2 115 311 P1 2019 Questao 2 118 312 P2 2019 Questao 2 122 313 P1 2020 Questao 2 125 314 P2 2020 Questao 2 130 315 P1 2023 Questao 3 135 316 P2 2023 Questao 3 138 317 P1 2024 Questao 3 141 1 318 P2 2024 Questao 2 145 4 Cisalhamento na Flexao 149 41 P3 2014 Questao 1 149 42 P3 2015 Questao 1 152 43 P3 2016 Questao 1 157 44 P3 2017 Questao 1 160 45 P3 2018 Questao 1 Com Flexao 164 46 P2 2023 Questao 2 170 47 P3 2023 Questao 1 173 48 P3 2024 Questao 1 176 5 Cırculo de Mohr e Criterios de Falha 182 51 P3 2014 Questao 2 182 52 P3 2015 Questao 2 185 53 P3 2016 Questao 2 188 54 P3 2017 Questao 2 191 55 P3 2017 Questao 3 192 56 P3 2019 Questao Unica Com Cisalhamento E Flexao 193 57 P3 2023 Questao 2 199 58 P3 2024 Questao 2 204 6 Apˆendice 210 7 Bibliografia 213 2 Forca Normal 11 P1 2014 Questao 1 O poste da Figura 11 e submetido a uma carga de 20 kN e o solo ofereca resistˆencia ao atrito distribuıda ao longo de seu comprimento a qual varia linearmente de w 0 em y 0 a w 3 kNm em y 2 m Utilizando equacoes diferenciais de equilıbrio e funcoes de singularidade tracar o diagrama da forca normal atuante no poste e tambem determinar a forca F em sua parte inferior necessaria para o equilıbrio Desprezar o peso do poste Figura 11 3 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 12 II Modelo Figura 13 Temos uma forca w aplicada em todo o poste que tem valor maior em y 2m mas que diminui conforme se aproxima da superfıcie Na superfıcie tambem temos uma forca normal de 20kN que serve como condicao de contorno III Equacao do Carregamento Para o caso de uma forca triangularconsideramos o seu maior valor de 3kNm e dividimos por 2 para a equacao do carregamento px 3 2x 01 11 IV Condicoes de Contorno Dada a convencao da secao I a forca de 20kN aplicada na extremidade e negativa Nxx 0 20 12 V Equacao Diferencial do Equilıbrio dNxx dx px 3 2x 01 13 4 VI Integração Nxx 34 x 02 c 14 VII Determinação das Constantes de Integração 12 14 Nxx 0 c 20 c 20 15 VIII Equação final Nxx 34 x 02 20 16 IX Análise Para Diagrama Nxx 0 20 Nxx 2 34 22 20 17 X Diagrama Figura 14 Gráfico de Nxx Temos F 17 kN de compressão no solo de acordo com a equação final 12 P2 2014 Questão 1 Os segmentos de tubos e conexões usados na perfuração de um poço de petróleo com 15000 pés de profundidade são feitos de aço A36 E 29 103 ksi cujo peso específico é 20 lbpé conforme a Figura 15 Tem diâmetro externo de 550 pol e diâmetro interno de 475 pol Determinar a força P necessária para retirar o tubo excluindo o atrito ao longo dos seus lados e requerendo F 0 Qual é o alongamento do tubo quando ele começa a ser levantado Dados 1 ksi 1000 lbpol2 1 pé 12 pol e 1 kip 1000 lb Figura 15 Fonte Hibbeler 2004 Exercıcio adaptado de Hibbeler 2004 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 16 6 II Modelo Figura 17 Temos que N deve ser igual a P forca peso sendo que o peso especıfico do aco usado e 20 lbpe entao N P P γ L 20 lb ft 15000 ft P 300000 lb 300 kip N 300 kip Figura 18 Para o carregamento vamos considerar o peso especıfico agindo sobre toda a estrutura como uma forca constante e que a extremidade da superfıcie esta presa engastada em uma parede III Equacao do Carregamento px 20x 00 11 IV Condicoes de Contorno u0 0 12 NxL 0 13 V Equacao Diferencial do Equilıbrio AE d2ux dx2 px 20x 00 7 VI Integração Nxx AE duxdx 20 x 01 c1 14 AEux 202 x 02 c1 x c2 15 VII Determinação das Constantes de Integração 13 14 Nxx L 20L c1 0 c1 20 15000 c1 300000 16 12 15 AEux 0 c2 0 17 VIII Equações finais Nxx 20 x 01 300000 18 AEux 10 x 02 300000x 19 IX Análise Na equação 9 temos a área A π4 D2 d2 A π4 55122 475122 00419 ft2 E também E 20 103 103 lbpol2 29 106 ln1122 lbft2 4176 109 lbft2 Então AEux L 10L2 300000L 00419 4176 109 uL 10150002 30000015000 uL 1286 ft Então o alongamento do tudo quando ele é levantado é de 1286 pés 13 P1 2015 Questao 1 Uma barra uniforme e submetida a cargas axiais em trˆes secoes transversais como mostrado na Figura 19 Com auxılio das Equacoes Diferenciais de Equilıbrio construir o diagrama de forca normal Nxx Figura 19 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 110 II Modelo Figura 111 Temos duas forcas aplicadas no interior da barra uma no sentido positivo em C e uma no sentido negativo em B A terceira forca aplicada em D serve como condicao de contorno III Equacao do Carregamento px 80x 2 51 100x 5 51 11 IV Condicoes de Contorno NxL 60 kN 12 V Equacao Diferencial do Equilıbrio dNxx dx px 80x 2 51 100x 5 51 13 9 VI Integração Nxx80x250100x550c1 14 VII Determinação das Constantes de Integração 1214 Nxx98092501009550c160 Portanto c80 15 VIII Equação final Nxx80x250100x55080 16 IX Análise Para Diagrama Esse diagrama vai ser composto de constantes já que só temos termos elevados à zero Nxx080 kN Nxx2580 kN Nxx25160 kN Nxx55160 kN Nxx5560 kN Nxx960 kN X Diagrama Figura 112 Gráfico de Nxx axial na barra nao puder exceder 80 MPa qual sera o mınimo diˆametro admissıvel para essa barra cilındrica circular Utilize E 70 GPa Figura 113 Fonte Craig Jr 2003 Exercıcio adaptado de Craig Jr 2003 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 114 II Modelo Figura 115 Assim como na P1 de 2015 temos duas forcas aplicadas no interior da barra uma no sentido positivo em C e uma no sentido negativo em B A terceira forca aplicada em D serve como condicao de contorno Como outra condicao de contorno temos que em A o deslocamento u deve ser nulo Para o dimensionamento teremos que considerar uD 5 mm e que a maxima tensao na barra tem que ser 80 MPa III Equacao do Carregamento px 80x 2 51 100x 5 51 11 11 IV Condições de Contorno u00 12 Nxx960 kN 13 V Equação Diferencial do Equilíbrio AE d2uxdx2px80x251100x551 VI Integração Nxx80x250100x550c1 14 AEux80x251100x551c1xc2 15 VII Determinação das Constantes de Integração 1215 Temos que c20 16 1314 Nxx98092501009550c160 80100c160 Temos que c180 17 VIII Equações finais Nxx80x250100x55080 18 AEux80x251100x55180x 19 IX Análise Para Diagramas Nxx080 kN Nxx2580 kN Nxx25160 kN Nxx55160 kN Nxx5560 kN Nxx960 kN AEux00 AEux25200103 AEux25200103 AEux55680103 AEux55680103 AEux9890103 X Diagramas Figura 116 Gráfico de Nxx Figura 117 Gráfico de AEux XI Dimensionamento Tensão Normal Considerando que a tensão máxima é de 80 MPa e que do diagrama achamos que Nxmax160 kN σNxA Pa 80106 N 160103π r2 r00252 m r252 mm d505mm Deslocamento Máximo Considerando que uDmax deve ser no máximo 5 mm e que AEux9 890 10³ em D AEux 890 10³ πr² 70 10⁹ 5 10³ 890 10³ r 00284 m r 284 mm d 568mm Portanto d 568 mm 15 P1 2017 Questão 1 Uma barra de seção transversal variável engastada em uma das extremidades está submetida a três forças axiais como mostra a Figura 118 Traçar os diagramas de força e tensão normais indicando seus valores máximos Figura 118 Fonte Popov 1978 Exercício retirado de Popov 1978 I Coordenadas da estática e convenção da resistência dos materiais Figura 119 II Modelo Temos duas forças aplicadas no interior da estrutura em B e C ambas tem coeficiente 1 na equação do carregamento Também podemos extrair a condição de contorno da força aplicada na extremidade D No cálculo da tensão cuidado deve ser tomado com as diferentes áreas transversais Figura 120 III Equação do Carregamento px 35x L₁¹ 10x L₁ L₂¹ 11 IV Condições de Contorno Considerando a extremidade D Nₓx L 20 12 V Equação Diferencial do Equilíbrio dNₓxdx px 35x L₁¹ 10x L₁ L₂¹ 13 VI Integração Nₓx 35x L₁⁰ 10x L₁ L₂⁰ c₁ 14 VII Determinação das Constantes de Integração 12 14 Nₓx L 35L L₁⁰ 10L L₁ L₂⁰ c₁ 20 Temos que 35 10 c₁ 20 Então c₁ 45 15 VIII Equação final Nₓx 35x L₁⁰ 10x L₁ L₂⁰ 45 16 IX Análise Para Diagrama Nₓx 0 45kN σₓₓ NₓA 450001300 346MPa Nₓx L₁ 45kN σₓₓ 346MPa Nₓx L₁ 35 45 10kN σₓₓ 10000650 154MPa Nxx L1 L2 35 45 10kN σxx 15 4MPa Nxx L1 L2 35 10 45 20kN σxx 20000 650 30 8MPa Nxx L 35 10 45 20kN σxx 30 8MPa X Diagramas Figura 121 Diagrama para Nxx Figura 122 Diagrama para σxxx 16 16 P1 2020 Questao 1 Objetivando terminar um trabalho de construcao um empreiteiro recupera algumas pilastras verticais puxandoas para fora do chao conforme ilustrado na Figura 123 a Em um ponto dessa operacao 4 5 do comprimento total da pilastra ainda esta enterrada no chao e o atrito entre ela e o solo exerce uma forca axial distribuıda mostrada na Figura 123 b Construa o diagrama de forca normal Nxx ao longo da pilastra Dados comprimento L da pilastra em metros primeiro algarismo do seu N USP Se for 1 ou 0 utilize 10 p0 em kNm penultimo algarismo do seu N USP multiplicado por 10 P em kN penultimo algarismo do seu N USP multiplicado por 100 Figura 123 Fonte Adaptado de Craig Jr 2003 Exercıcio adaptado de Craig Jr 2003 17 I Sistema de Coordenadas da Estática e Convenção da Resistência dos Materiais Figura 124 II Equação do Carregamento px p₀x L5⁰ 2p₀45L x L5¹ px p₀x L5⁰ 10p₀4L x L5¹ Temos então que a equação do carregamento fica px p₀x L5⁰ 5p₀2L x L5¹ 17 III Condição de Contorno Como conhecemos a força peso P aplicada temos que Nₓ0 P 18 IV Equação Diferencial do Equilíbrio dNₓxdx px 19 dNₓxdx p₀x L5⁰ 5p₀2L x L5¹ V Integração A integração fica Nₓx p₀x L5¹ 5p₀4Lx L5² c 110 VI Determinação das constantes de equilíbrio 18 110 Nxx 0 c P Portanto c P 111 VII Equação final Nxx po x L51 5po4L x L52 P 112 VIII Análise para o Diagrama Para as análises consideramos L 5m po 20kNm e P 200kN Nx0 P NxL5 P NxL5 po01 5po4L 02 P P NxL po 4L5 5po4L 4L52 P 8poL5 P Observe que temos uma reação no fim da pilastra Figura 125 Explicação Reação em x L VIII Diagrama Figura 126 Diagrama de Nxx 17 P1 2023 Questao 1 Para a barra solida de secao transversal circular mostrada na Figura 127 construa o diagrama de Forca Normal Nxx a partir dos seguintes dados N1 forca axial igual aos quatro ultimos algarismos do seu N USP e unidade no SI N2 forca axial igual aos cinco ultimos algarismos do seu N USP e unidade no SI N3 2 3 N2 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 128 20 Figura 127 Fonte Adaptado de Mott and Untener 2017 II Equação do Carregamento px N1x 801 N2x 1801 113 III Condição de Contorno Nxx 300 N3 114 IV Equação Diferencial de Equilíbrio dNxxdx px N1x 801 N2x 1801 V Integração Nxx N1x 800 N2x 1800 C1 115 VI Determinação da Constante de Integração 114 115 Nxx 300 N1300 800 N2300 1800 C1 N3 C1 N1 N2 N3 116 VII Equação final Nxx N1x 800 N2x 1800 N1 N2 N3 117 VIII Análise para Diagrama Nxx 0 N1 N2 N3 Nxx 80 N1 N2 N3 Nxx 80 N2 N3 Nxx 180 N2 N3 Nxx 180 N3 Nxx 300 N3 IX Diagrama Figura 129 18 P2 2023 Questao 1 Uma barra de aco E 200 GPa e Sy 250 MPa de secao transversal circular e colocada em uma morsa que e ajustada para que suas mandıbulas apenas toquem as extremidades da barra sem exercer pressao sobre elas Em seguida as duas forcas mostradas sao aplicadas conforme a Figura 130 Determine o diˆametro da barra de tal forma que a o deslocamento axial maximo nao ultrapasse L50 e b a barra nao atinja o escoamento Dado adicional L comprimento igual aos dois ultimos algarismos do seu N USP e unidade em mm I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais 22 Figura 130 Fonte Adaptado de Beer et al 2020 Figura 131 II Equação do Carregamento px 4Lx L1 30x 2L1 118 III Condições de Contorno N0 0 119 N3L 0 120 121 IV Equação Diferencial de Equilíbrio AE d2uxdx px 4Lx L1 30x 2L1 122 V Integração Nxx 4Lx L0 30x 2L0 C1 123 AE ux 4Lx L1 30x 2L1 C1 x C2 124 VI Determinação das Constantes de Integração 120 124 AEu0 C2 0 C2 0 125 121 124 AEux 3L 42 2L 30 L C1 3L 0 84L 30L 3LC1 0 C1 54L 3L C1 18 126 VII Equacoes finais Nxx 4Lx L0 30x 2L0 18 127 AEux 4Lx L1 30x 2L1 18x 128 129 VIII Analise para Diagramas Nxx 0 18 kN Nxx L 18 kN Nxx L 4L 18 24 kN Nxx 2L 4L 18 24 kN Nxx 2L 4L 30 18 6 kN Nxx 3L 4L 30 18 6 kN AEux 0 0 AEux L 18L AEux L 18L AEux 2L 42 L 18 2L 6L AEux 2L 42 L 18 2L 6L AEux 3L 42 2L 30 L 18 3L 0 IX Diagramas 24 Figura 132 24 24 18 18 6 6 Nxx x L 2L 3L Figura 133 X Dimensionamento a Deslocamento maximo O deslocamento maximo ocorre em x L e vale 18000L AEumax 18000L A 200 109 L 50 18000L A 4 5 106 m2 A 4 5 106 1032 mm2 A πd2 4 4 5 πd2 4 d 2 4 mm b Tensao maxima σ Nx A A forca maxima vale σ Sy 250 106 24000 A A 9 6 105 m2 A 9 6 105 1032 mm2 96 mm2 A πd2 4 96 πd2 4 d 11 1 mm Diˆametro escolhido d 111 mm 19 P1 2024 Questao 1 Uma estaca de madeira cravada na terra suporta uma carga P inteiramente devido ao atrito ao longo de sua superfıcie lateral conforme mostrado na Figura 134 A forca de atrito f por unidade de comprimento 26 na estaca varia linearmente com profundidade Sendo L o comprimento da estaca construa o diagrama de Forca Normal Nxx Admita que a estaca estara integralmente sob compressao Figura 134 Fonte Gere and Goodno 2013 I Modelo Figura 135 II Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais 27 Figura 136 III Equação do Carregamento px fo L x 0¹ 130 IV Condição de Contorno Nxx 0 P 131 V Equação Diferencial de Equilíbrio dNxx dx px fo L x 0¹ 132 VI Integração Nxx fo 2L x 0² C 133 VII Determinação da Constante de Integração 131 133 Nxx0 C P C P 134 VIII Equação final Nxx fo 2L x 0² P 135 IX Análise Para Diagrama Nxx 0 P Nxx L fo 2LL2 P foL 2 P Nxx L 2 fo 2LL 2 2 P foL 8 P X Diagrama Figura 137 foL 2 P nao ha como foL 2 P Parabola concavidade para cima 29 110 P2 2024 Questão 1 A viga rígida AB é suspensa por hastes barras verticais em suas extremidades e suporta a carga P 60kN em C conforme mostrado na Figura 138 O diâmetro da haste 1 é d₁ 25 mm Ambas as hastes são feitas de aço com Módulo de Elasticidade Linear E 210 GPa Desprezando o peso da viga constatouse que uB 2 uA Com base nessas informações determine o valor do diâmetro d₂ da barra 2 Figura 138 Fonte Craig Jr and Taleff 2020 Modelo da Viga Figura 139 Σᵢ₁ⁿ Fy 0 RyA RyB P 0 RyA RyB 60 Σᵢ₁ⁿ MzA 0 P RyB 3 0 3 RyB 60 RyB 20 kN Assim RyA 40 kN I Modelo Figura 140 II Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 141 III Equacao do Carregamento px 0 136 IV Condicoes de Contorno Nxx 3 40 137 ux 0 0 138 V Equacao Diferencial do Equilıbrio AE d2ux dx2 px 0 31 VI Integração Nxx C1 139 AEux C1x C2 140 VII Determinação das Constantes de Integração 137 139 Nxx 3 C1 40 C1 40 141 138 140 AEu0 C1x C2 C10 C2 0 C2 0 142 VIII Equações finais Nxx 40 kN 143 AEux 40x 144 IX Diagramas Figura 142 Nxx kN Figura 143 X Dimensionamento da Barra 1 AEu3 40x Acertando as unidades no SI π 25 1032 4 210 109 u3 40 103 3 u3 0 0012 m u3 1 1641 mm Entao uA 11641 mm Logo uB uA 23282 mm I Modelo 34 Figura 144 II Coordenadas da estática e convenção da resistência dos materiais Figura 145 III Equação do Carregamento px 0 145 IV Condições de Contorno Nxx 2 20 146 ux 0 0 147 V Equação Diferencial do Equilíbrio AE d²ux dx² px 0 VI Integração Nxx C3 148 AEux C3x C4 149 VII Determinação das Constantes de Integração 146 148 Nxx 2 C3 20 C3 20 150 147 149 AEu0 C3x C4 C30 C4 0 C4 0 151 VIII Equações finais Nxx 20 kN 152 AEux 20x 153 IX Diagramas Figura 146 Nxx kN Figura 147 X Dimensionamento da Barra 2 AEu2 20x Acertando as unidades no SI π d2 2 4 210 109 0 0023 20 103 2 d2 0 0102 m d2 10 2062 mm 38 Torcao de Secoes Circulares 21 P1 2014 Questao 2 Um eixo de secao variavel como o mostrado na Figura 21 suporta em torque T1 90π kgfm e T2 30π kgfm Para este eixo a 45 m e b 15 m Utilizando equacoes diferenciais de equilıbrio e funcoes de singularidade tracar o diagrama do momento torsor atuante no eixo bem como determinar a reacao no ponto A Resolver literalmente e substituir os valores nas equacoes finais e nos diagramas Figura 21 Fonte Popov 1978 Exercıcio adaptado de Popov 1978 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 22 39 II Modelo Figura 23 Temos um torque T1 aplicado em x a e outro torque T2 aplicado na extremidade x a b do eixo Enquanto T1 aparece na equação do carregamento T2 é condição de contorno III Equação do Carregamento tx T1x a1 21 IV Condições de Contorno Mxx L T2 22 V Equação Diferencial do Equilíbrio dMxxdx tx T1x a1 23 VI Integração Mxx T1x a0 c 24 VII Determinação das Constantes de Integração 22 24 Mxx 2 T1 1 c T2 c T1 T2 25 VIII Equação final Mxx T1x a0 T1 T2 26 Ou numericamente Mxx 90πx 450 120π 27 IX Análise Para Diagrama Mxx 0 120π kgfm Mxx 45 120π kgfm Mxx 45 90π 120π 30π kgfm Mxx 6 90π 120π 30π kgfm Entao a reacao no apoio A e 120π kgfm X Diagrama Figura 24 Grafico de Mxx 22 P2 2014 Questao 2 Vocˆe se lembra da figura abaixo Vamos explorala um pouco mais com o enunciado que segue Um eixo de secao transversal variavel E 20 103 kgfmm2 e G 85 103 kgfmm2 como o mostrado na Figura 25 suporta um torque T1 90π kgf m e T2 30π kgf m Sao conhecidas as dimensoes a 45 m b 15 m e o diˆametro d2 de B a C que e 50 mm Achar o mınimo diˆametro necessario d1 para o eixo de A a B se a tensao de cisalhamento admissıvel do material e de 4 kgfmm2 e a torcao total ˆangulo de rotacao entre A e C e limitada a 3 Figura 25 Fonte Popov 1978 Exercıcio retirado de Popov 1978 41 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 26 II Modelo Figura 27 Temos um torque T1 aplicado em x a e outro torque T2 aplicado na extremidade x a b do eixo Enquanto T1 aparece na equacao do carregamento T2 e condicao de contorno Como queremos o dimensionamento teremos uma equacao diferencial de equilıbrio diferente da que apareceu da primeira prova Acertando as unidades T1 90π kgfm 90π 9 81Nm 2773 7 Nm T2 924 6 Nm d2 50 mm 5 102 Nm2 E 20 103 kgfmm2 196 2 109 Nm2 G 8 5 103 kgfmm2 83 4 109 Nm2 Tmax 4 kgfmm2 39 2 106 Nm2 ϕ 3o 0 0524 rad III Equacao do Carregamento tx T1x a1 21 IV Condicoes de Contorno φ0 0 22 Mxa b T2 23 42 V Equação Diferencial do Equilíbrio Jp G d2 phi dx2 tx T1 x a1 24 VI Integração Mxx T1 x a0 c1 25 Jp G ϕx T1 x a1 c1 x c2 26 VII Determinação das Constantes de Integração 22 26 c2 0 27 23 25 c1 T1 T2 c1 3698 3 28 VIII Equações finais Mxx T1 x a0 T1 T2 29 Jp Gϕx T1 x a1 T1 T2 x 210 IX Análise Para Diagramas Mxx 0 3698 3 Nm Mxx a 3698 3 Nm Mxx a 924 6 Nm Mxx a b 924 6 Nm Jp Gϕx 0 0 Jp Gϕx a 16642 3 Jp Gϕx a 16642 3 Jp Gϕx a b 18029 2 X Diagramas Figura 28 Grafico de Mxx Figura 29 Grafico de JpGφx XI Dimensionamento a Tensao Maxima τmax MxR Jp 39 2 106 3698 3R πR4 2 R 0 0392 m 39 2 mm Entao d1 78 32 mm 44 b ˆAngulo de Torcao No eixo de diˆametro menor JpGφC JpGφB 1386 95 JpGφC φB 1386 95 Para R R2 π 2 R4GφC φB 1386 95 φC φB 0 0271 rad Desta forma o eixo maior pode ter um ˆangulo de torcao maximo que vale φC φB 0 0271 rad com φC 0 0524 rad 0 0524 φB 0 0271 φB 0 0253 rad Logo JpGφB 16642 3 Para R R1 πR4 2 83 4 109 0 0253 16642 3 R 0 0473 m 47 3 mm d1 94 67 mm Assim entre d1 7832 mm e d1 9467 mm escolhemos d1 9467 mm 23 P1 2015 Questao 2 Utilizando Equacoes Diferenciais de Equilıbrio construir o diagrama de momento torsor Mxx do eixo mostrado abaixo Resolver literalmente e substituir os valores nas equacoes finais e nos diagramas Dados L 5 m t1 1000 Nmm Mt2 2000 Nm t3 1000 Nmm e Mt4 3000 Nm Figura 210 Fonte Craig Jr 2003 45 I Coordenadas da estática e convenção da resistência dos materiais Figura 211 II Modelo Figura 212 Temos três elementos que devem ser descritos na equação do carregamento e mais um que aparece nas condições de controle Temos um momento torsor t1 constante aplicado de x0 até x 35L então precisamos dois termos no carregamento para representálo Um momento torsor aplicado Mt2 em x 35L Outro momento torsor t2 constante de x 35L até x L Outro momento torsor aplicado Mt4 na extremidade x L que aparece como condição de contorno e não no carregamento III Equação do Carregamento tx t1 x 00 t1 x 3L50 Mt2 x 3L51 t3 x 3L50 21 IV Condições de Contorno Mxx L Mt4 22 V Equação Diferencial do Equilíbrio dMxx dx tx t1 x 00 t1 x 3L50 Mt2 x 3L51 t3 x 3L50 23 VI Integração Mxx t1 x 01 t1 x 3L51 Mt2 x 3L50 t3 x 3L51 c1 24 VII Determinação das Constantes de Integração 22 24 Mxx L t1 L 01 t1 L 3L51 Mt2 L 3L50 t3 L 3L51 c1 Mt4 t1 L 01 t1 L 3L51 Mt2 L 3L50 t3 L 3L51 c1 Mt4 t1 L t1 2L5 Mt2 t3 2L5 c1 Mt4 Substituindo os valores 1000 5 1000 2 2000 1000 2 c1 3000 5000 2000 2000 2000 c1 3000 Portanto c1 0 25 VIII Equação final Mxx t1 x 01 t1 x 3L51 Mt2 x 3L50 t3 x 3L51 Substituindo os valores Mxx 1000x 1000 x 31 2000 x 30 1000 x 31 26 IX Análise Para Diagrama Mxx 0 0 Mx x 3L5 3000 Nm Mx x 3L5 5000 Nm Mx x L 3000 Nm X Diagrama Figura 213 Grafico de Mxx 24 P2 2015 Questao 2 O eixo solido AD de aco na Figura 214 fornece 60 hp de potˆencia a roda dentada em B e 40 hp a roda dentada em D O eixo e suportado por um mancal sem atrito em C e gira a uma velocidade angular de 1725 rpm Informacao 1hp 746W a Se a tensao cisalhante maxima permitida no eixo for τmax 40 MPa qual sera o diˆametro mınimo do eixo que pode ser usado Dˆe sua resposta no milımetro mais proximo b Para o eixo determinado no item a determine a tensao cisalhante maxima no trecho BD entre as duas rodas dentadas c Determine o ˆangulo de rotacao em graus entre as duas rodas dentadas se L2 05 m e Gaco76 GPa Figura 214 Fonte Craig Jr 2003 48 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 215 II Modelo Figura 216 Temos 3 momentos torsores no eixo Um momento torsor aplicado em B com valor de 6 hp Um momento torsor aplicado em D com valor de 4 hp Um momento torsor aplicado em A com valor de 10 hp a soma dos dois momentos citados anteriores com sentido oposto aos anteriores Desses momentos apenas MtB aparece na equacao do carregamento Para solucao e necessario achar os momentos torsores no SI 1hp 746 W Pot Mtω Mt Pot ω Mt hp 746 rpm 2π 60 Mt 746Pot em hp 2π 60 Rot em rpm MtB 746 6 2π 60 1725 MtB 24 8 Nm MtD 746 4 2π 60 1725 MtD 16 5 Nm Somando MtA 41 3 Nm III Equacao do Carregamento tx MtBx L11 21 49 IV Condições de Contorno ϕ0 0 22 Mt0 MtA 23 Obs Apesar de termos outra condição de contorno utilizando MtD ela não seria útil para encontra a segunda constante de integração que irá aparecer V Equação Diferencial do Equilíbrio JpG d²ϕdx² tx MtBx L1¹ 24 VI Integração Mxx JpG dϕxdx MtBx L1⁰ c1 25 JpGϕx MtBx L1¹ c1x c2 26 VII Determinação das Constantes de Integração 22 26 c2 0 27 23 25 Mxx 0 c1 MtA c1 MtA c1 413 28 VIII Equações finais Mxx 248x L1⁰ 413 29 JpGϕx 248x L1¹ 413x 210 IX Análise Para Diagrama Mxx 0 413 Nm Mxx L1 413 Nm Mxx L1 248 413 165 Nm Mxx L1 L2 248 413 165 Nm JpGϕx 0 0 JpGϕx L1 413L1 JpGϕx L1 413L1 JpGϕx L1 L2 248L2¹ 413L1 L2 X Diagramas Figura 217 Figura 218 XI Dimensionamento τmax MxxR Jp Sabendo que τmax 40 106 Nm2 E tambem Jp πR4 2 Temos que 40 106 41 3R πR4 2 R3 41 3 2 π 40 10 R 0 0087 m R 8 7 mm d 17 4 mm 51 Portanto d 18 mm τmax τmax MxxR Jp τmax 16 5 0 009 π00094 2 τmax 14 4 106 Nm2 Portanto temos que τmax 14 4MPa φ entre BD Admitindo que φL1 0 JpGφx L2 24 8L2 41 3L2 16 5L2 JpGφx L2 16 50 5 JpGφx L2 8 25 πR4 2 Gφ 8 25 φ 8 25 2 πR4G 8 25 2 π0 0094 76 109 φ 0 0105 rad Convertendo de radianos para graus π rad 180o 0 0105 rad x φ 0 604o 211 25 P1 2016 Questao 2 O eixo de secao circular mostrado na Figura 219 e submetido a um momento torsor concentrado no ponto B de valor 5000Nm e a outro no ponto C de valor 2000Nm Para tal situacao tracar o diagrama da distribuicao do momento torsor ao longo do referido eixo Dados La 0 4m e Lb 0 6m Figura 219 Fonte Beer et al 2015 Exercıcio retirado de Beer et al 2015 52 I Coordenadas da estática e convenção da resistência dos materiais Figura 220 Fonte Beer et al 2015 II Modelo Figura 221 Esse eixo tem dois momentos torsores aplicados um que é considerado no carregamento Mb e um que é considerado nas condições de contorno Mc III Equação do Carregamento tx MBx 04¹ tx 5000x 04¹ 21 IV Condições de Contorno Mxx 1 Mc Mxx 1 2000 22 V Equação Diferencial do Equilíbrio dMxxdx tx 5000x 04¹ 23 VI Integração Mxx 5000x 04⁰ c1 24 VII Determinacao das Constantes de Integracao 22 24 Mxx 1 5000 c1 2000 c1 3000 25 VIII Equacao final Mxx 5000x 0 40 3000 Nm 26 IX Analise Para Diagrama Mxx 0 3000Nm Mxx 0 4 3000Nm Mxx 0 4 2000Nm Mxx 1 2000Nm X Diagrama Figura 222 26 P2 2016 Questao 1 Um eixo de direcao solido e circular com 2 m de comprimento transmite 560 kW de potˆencia de uma turbina de helicoptero para seu rotor a 15 rps Se o eixo for de aco com modulo de cisalhamento G 80 GPa tensao cisalhante permitida τmax 60 MPa e se o ˆangulo permitido de torcao do eixo for 003 rad determine o diˆametro mınimo deste eixo 54 I Coordenadas da estática e convenção da resistência dos materiais Figura 223 II Modelo Temos um eixo com um momento tensor aplicado em sua extremidade que é o que transmite a potência Figura 224 A rotação é de ω 15 rps rotações por segundo convertendo para rads radianos por segundo ω 15 2π rads 9425 rads Para encontrar MB precisamos do torque exercido que pode ser encontrado a partir da potência Pot 560 kW 560 10³ W Pot Tω 560 10³ T 9425 T 59418 Nm Então temos que MB 594 10⁶ Nmm Mantendo em mente também que G 80GPa 80 10³ MPa τmax 60 MPa ϕmax 003 rad III Equação do Carregamento Para o carregamento não temos nenhuma força aplicada no interior do eixo então tx 0 21 IV Condições de Contorno Na extremidade B temos o momento torsor MB que já foi calculado e considerando o ângulo de torção nulo na extremidade A lembrando que ϕmax 003 rad MxL 594 106 22 ϕ0 0 23 V Equação Diferencial do Equilíbrio Jp G d2 ϕxdx2 tx 0 24 VI Integração Mxx c1 25 Jp G ϕx c1 x c2 26 VII Determinação das Constantes de Integração 23 26 c2 0 27 22 25 c1 594 106 28 VIII Equações finais Mxx 594 106 29 Jp G ϕx 594 106 x 210 IX Análise Para Diagramas Mxx constante ϕx linear X Diagramas Figura 225 Grafico de Mxx Figura 226 Grafico de JpGφx XI Dimensionamento a Tensao Maxima τmax MxR Jp 60 5 94 106 d 2 πd4 32 60 5 94 106 32d 2πd4 Temos que d3 5 94 106 32 2π60 d 79 6mm b Rotacao Maxima JpGφL 5 94 106 2 πd4 32 80 103 0 03 5 94 106 Isolando o diˆametro d4 5 94 106 2 103 3 2 80 103 π 0 03 d 84 3mm Portanto 57 d 84 3mm 27 P2 2017 Questao 1 Um dos eixos vazados de acionamento de um navio tem 40 m de comprimento e seus diˆametros externo e interno sao respectivamente 400 e 200 mm O eixo e feito de aco para o qual τadm 60 MPa e G 77 2 GPa Sabendo que a rotacao maxima do eixo e de 160 rpm determine a A potˆencia maxima que pode ser transmitida pelo eixo b O ˆangulo de torcao maximo experimentado pelo eixo I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 227 II Modelo Figura 228 Temos um Momento Torsor Mt aplicado na extremidade da estrutura que e usado como condicao de contorno 58 III Equação do Carregamento Consideramos nada aplicado internamente na estrutura tx 0 21 IV Condições de Contorno Além do momento torsor no fim da estrutura no seu início temos que o ângulo deve ser zero ϕ0 0 22 MxL Mt 23 V Equação Diferencial do Equilíbrio Jp G d2 ϕx dx2 tx 0 24 VI Integração Mxx c1 25 Jp G ϕx c1 x c2 26 VII Determinação das Constantes de Integração 2 6 Jp G ϕ0 c1 0 c2 0 c2 0 3 5 MxL c1 Mt c1 Mt VIII Equações finais Mxx Mt 27 Jp G ϕx Mt x 28 IX Análise Para Diagramas Na estrutura inteira para Mxx temos a presença constante de Mt No caso do ângulo Jp G ϕx temos uma reta crescente com o comprimento X Diagramas Figura 229 Figura 230 XI Determinação da Potência Máxima A potência é Pot Mt w mas não conheço Mt Então τmax Mx R Jp π2 Re4 Ri4 60 106 Mx 02 π2 0244 0144 Mx 70686 103 N m under Mt Assim Pot 70686 103 160 2π 60 Pot 1184 106 W Então Pot 1184 MW XII Determinacao do ˆAngulo de Tracao Temos que JpGφL MtL π 2 0 24 0 14 77 2 109 φmax 706 86 103 40 φmax 8 91o 28 P1 2018 Questao 1 Com Normal Tracar os diagramas de forca normal Nxx e momento torsor Mxx na estrutura abaixo indicando seus valores maximos Obs Mt t0 Figura 231 Questao 1 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 232 61 II Modelo Para essa questão separamos a parte de força normal e a de momento torsor como se tivéssemos duas questões separadas III Equação do Carregamento As informações da força normal ficam na coluna à esquerda enquanto as para o momento torsor na coluna à direita Temos a força p0 constante aplicada sobre toda a estrutura e a força F aplicada em L2 Para Mx temos um momento constante t0 aplicado a partir de L2 observe que tem o sentido contrário à convenção pxp0x00FxL21 N1 txt0xL20 T1 IV Condições de Contorno Ambas as condições de contorno saem em xL Nx é nulo em xL já que não temos nenhuma força externa atuando Temos Mt aplicado em xL NxxL0 N2 MxxLMt T2 V Equação Diferencial do Equilíbrio dNxxdx pxp0x00FxL21 N3 dMxxdxtxt0xL20 T3 VI Integração Nxxp0x01 FxL20 c1 N4 Mxxt0xL21 c2 T4 VII Determinação das Constantes de Integração N2 N4 T2 T4 NxLp0LFc10 MxxLt0 L2 c2 Mt c1 p0L F N5 c2 Mt t0 L2 T5 VIII Equações finais Nxxp0x01 FxL20 p0L F N6 Mxx t0xL21 Mt t0 L2 T6 85 IX Análise Para Diagramas Normal Torsor Nx0 p0L F Mx0 Mt t0 L2 Nx x L2 p0 L2 p0L F p0 L2 F Mx x L2 Mt t0 L2 Nx x L2 p0 L2 F p0L F p0 L2 Mx x L2 Mt t0 L2 NxxL p0L F p0L F 0 MxxL t0 L2 Mt t0 L2 Mt X Diagramas Figura 233 Diagrama para a Força Normal Nxx Figura 234 Diagrama para o Momento Torsor Mxx 87 III Equação do Carregamento Não temos nenhuma força aplicada interiormente na estrutura tx0 21 IV Condições de Contorno A diferença de ângulo das duas posições é de duas voltas portanto 4π φ04π 22 φL0 23 V Equação Diferencial do Equilíbrio JpG d2φxdx2 tx 0 24 VI Integração JpG dφxdx Mxx c1 25 JpGφx c1x c2 26 VII Determinação das Constantes de Integração 22 26 JpG 4π φ0 c10 c2 JpG 4π c2 c2 π200432 772 103MPa 4π Portanto c2 1524 104 27 JpG 0 φL c11500 103 c1 0 c1 c2 Lmm Portanto c1 1016 108 28 VIII Equações finais Mxx 1016 108 29 JpGφx 1016 108 x 1524 104 210 29 P2 2018 Questao 1 O navio em A na Figura 235 esta comecando a perfurar um poco de petroleo no fundo do oceano a uma profundidade de 1500 m Sabendo que o topo da broca de aco G 772 GPa de 200 mm de diˆametro da duas voltas completas ate que a broca em B comece a girar determine a tensao de cisalhamento maxima provocada no tubo pela torcao Considerando agora τmax 90 MPa qual deve ser o diˆametro mınimo do tubo Figura 235 Fonte Beer et al 2006 Exercıcio retirado de Beer et al 2006 I Coordenadas da estatica e con vencao da resistˆencia dos materiais Figura 236 II Modelo Temos um momento torsor aplicado no topo da estrutura Figura 237 64 IX Analise da Tensao Tensao Maxima τmax Mt r Jp 1 016 108 100 π2004 32 Daı temos que τmax 64 68MPa X Analise do Diˆametro Para τmax 90MPa τmax Mt r Jp 90 1 016 108d2 πd4 32 90 1 016 108 d 32 2πd4 90 5 17 108 d3 Portanto d 179 mm 210 P1 2019 Questao 1 O motor eletrico da Figura 238 aplica um torque de 500 Nm no eixo de alumınio ABCD quando ele esta girando a uma rotacao constante Para esta situacao tracar o diagrama de momento torsor Mxx ao longo do mesmo indicando seus valores maximos Utilize a orientacao do eixo x de D para A Figura 238 Fonte Beer et al 2009 Exercıcio retirado de Beer et al 2009 66 I Sistema de Coordenadas da Estática e Convenção da Resistência dos Materiais Figura 239 II Modelo Temos uma rotação constante cuja referência é a origem do sistema de coordenadas Note que o sistema de referência começa em D não em A Figura 240 Modelo para a questão 1 III Equação do Carregamento tx M1x 091 M2x 211 21 IV Condição de Contorno Como o extremo A está solto temos que Mxx L 0 22 V Equação Diferencial do Equilíbrio dMx x dx tx M1x 091 M2x 21 23 VI Integração A integração fica Mx x M1x 090 M2x 210 c 24 VII Determinação das Constantes 22 24 Mx x L M1x 090 M2x 210 c 0 300 200 c 0 Portanto c 500 25 VIIIEquação final Mx x M1x 090 M2x 210 500 Substituindo os valores Mx x 300x 090 200x 210 500 26 IX Análise para Diagrama Mx x 0 500 Mx x 0 9 500 Mx x 0 9 300 500 200 Mx x 2 1 300 500 200 Mx x 2 1 300 200 500 0 Mx x 3 1 300 200 500 0 X Diagrama Figura 241 Gráfico de Mx x 211 P2 2019 Questao 1 O projeto do sistema de engrenagem e eixo mostrado na Figura 242 requer que sejam usados eixos de aco de mesmo diˆametro para AB e CD E necessario tambem que τmax 62MPa e que o ˆangulo φD pelo qual a extremidade D do eixo CD gira nao exceda 2 Sabendo que G 77 2 GPa determine o diˆametro necessario para os eixos Figura 242 Fonte Beer et al 2006 Exercıcio retirado de Beer et al 2006 I Sistema de Coordenadas da Estatica e Convencao da Resistˆencia dos Materiais Figura 243 II Modelo A Figura 242 pode ser traduzida da seguinte forma Figura 244 Modelo para a questao 1 69 Para a resolucao dividese o problema em duas partes AB e CD onde a primeira parte esta engastada em A e a segunda esta engastada em C Figura 245 Modelo para o lado AB Note que Tb pode ser calculado a partir da torcao de 560 Nm aplicada em D ja que Tb rb Td rc Tb 100 560 40 Logo Tb 1400Nm Figura 246 Modelo para o lado CD III Equacoes do Carregamentos Para o Eixo AB tx 0 21 Para o Eixo CD tx 0 22 IV Condicoes de Contorno Para o Eixo AB Mx0 45 1400 23 φ0 24 Para o Eixo CD Mx0 6 560 25 φ0 0 26 70 V Equações Diferenciais do Equilíbrio Nesse caso é usado a teoria técnica de Torção de Seções Circulares Para ambos os eixos AB e CD Jp G d2 φx dx2 tx 0 27 VI Integração Para o Eixo AB Jp G dφx dx Mx x c1 28 Jp G φx c1 x c2 29 Para o Eixo CD Jp G dφx dx Mx x c3 210 Jp G φx c3 x c4 211 VII Determinação das Constantes da Integração Para o Eixo AB substituindo 23 em 28 c1 1400 212 e substituindo 24 em 29 c2 0 213 Para o Eixo CD substituindo 25 em 210 c3 560 214 e substituindo 26 em 211 c4 0 215 VIII Análise Temos que τ 62MPa e também τmax Mx d2 Jp Além disso o Jp Momento Polar de Inércia para a seção cheia é dado por Jp π r4 2 π d4 32 Para o Eixo AB 62 106 1400 d2 π d4 32 d3 1400 32 2 62 106 π d 004863 m 4863 mm 216 Para o Eixo CD 62 106 560 d2 π d4 32 d3 560 32 2 62 106 π d 003583 m 3583 mm 217 Para o ângulo ϕd 20 π90 Jp G ϕd Jp G Jp G ϕc Jp G π90 560 06 JₚG π 90 πd⁴ 32 Jₚ 560 06 90 772 10⁹π d 03357m 3357mm O diâmetro necessário para os eixos é o maior encontrado que aparece em 16 portanto d 4863mm I Sistema de Coordenadas da Estatica e Convencao da Resistˆencia dos Materiais Figura 248 II Modelo Figura 249 Modelo para resolucao Temos dois momentos torsores aplicados para a mesma direcao no eixo T1 300Nm em B e T2 500Nm em C Considerase que em A o eixo esta preso na parede referˆencia para o calculo do ˆangulo de torcao III Equacao do Carregamento tx T1x 0 41 T2x 11 21 IV Condicoes de Contorno φ0 0 22 NxL 0 23 V Equacao Diferencial do Equilıbrio JpGd2φx dx2 tx Substituindo tx ficamos com JpGd2φx dx2 T1x 0 41 T2x 11 24 VI Integracao 73 A primeira integração fica Mₓx T₁x 04⁰ T₂x 1⁰ c₁ 25 E a segunda JₚGφx T₁x 04¹ T₂x 1¹ c₁x c₂ 26 VII Determinação de Constantes da Integração Substituindo 22 em 26 JₚGφ00 c₂ 0 Portanto c₂ 0 27 Substituindo 23 em 25 Nₓx 13 T₁090 T₂030 c₁ 0 T₁ T₂ c₁ 0 c₁ T₁ T₂ Portanto c₁ 800 28 VIII Equações Finais Nₓx T₁x 01⁰ T₂x 1⁰ 800 29 JₚGφx T₁x 04¹ T₂x 1¹ 800x 210 IX Análise para Diagramas As equações a seguir tem resultado em Nm Mₓ0 800 Mₓ04 800 Mₓ04 300 800 500 Mₓ1 300 800 500 Mₓ1 300 500 800 0 Mₓ13 300 500 800 0 E também JₚGφ0 0 JₚGφ04 80004 320 JₚGφ04 320 JₚGφ1 30006 8001 620 JₚGφ1 620 JₚGφ13 30009 50003 80013 620 X Diagramas Figura 250 Diagrama de Mₓx Figura 251 Diagrama de JₚGφx XI Dimensionamento i Tensão Máxima ζ MₓΓ Jₚ Mpa 60 Nmm 800 10³ d2 π d⁴ 32 60 800 10³ 32 2π60 d 4080mm Então temos que d 4080mm ii Rotação Máxima 15⁰ 15 180 π rad φD φC 15 180 π rad JₚGφD 620 π d4 32 772 109 15π 180 620 A conta acima é feita no SI caso seja desejado fazer as contas sem ser no SI o resultado sai direto em milímetros Teríamos então π d4 32 772 103 15π 180 620 106 d 004204m d 4204mm Portanto como resultado do dimensionamento temos que d 4204mm 213 P1 2023 Questão 2 Os momentos torsores TA e TB torques mostrados na Figura 252 são aplicados nas polias A e B e os eixos AB e BC são cilíndricos de diâmetros conhecidos Para a montagem da referida figura construa o diagrama de Momento Torsor Mxx a partir das seguintes informações TA igual aos três últimos algarismos do seu N USP e unidade no SI TB 2 TA AB BC 2 m I Coordenadas da estática e convenção da resistência dos materiais Figura 253 II Equação do Carregamento Figura 252 Fonte Adaptado de Beer et al 2020 t x TBx 21 211 III Condição de Contorno Mx x 4 TA 212 IV Equação Diferencial de Equilíbrio dMx x dx tx TB x 21 V Integração Mx x TB x 20 C1 213 VI Determinação da Constante de Integração 212 213 Mx x 4 TB 4 20 C1 TA C1 TA TB 214 VII Equação final Mx x TB x 20 TA TB 215 VIII Análise para Diagrama Mxx 0 TA TB Mxx 2 TA TB Mxx 2 TA Mxx 4 TA IX Diagrama Figura 254 214 P1 2024 Questao 2 Uma barra prismatica AB de secao transversal circular solida e carregada com um torque momento torsor distribuıdo conforme a Figura 255 A intensidade do torque ou ainda o torque por unidade de distˆancia e denotado por tx e varia linearmente de um maximo valor TA no final A ate zero no final B Tendo a barra um comprimento L construa o diagrama de Momento Torsor Mxx 78 Figura 255 Fonte Gere and Goodno 2013 I Modelo Figura 256 II Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 257 III Equacao do Carregamento 79 Figura 258 t x TA x 00 TA L x 01 216 IV Condição de Contorno Mx L 0 217 V Equação Diferencial de Equilíbrio dMx x dx tx TA x 00 TA L x 01 218 VI Integração Mx x TA x 01 TA 2L x 02 C 219 VII Determinação da Constante de Integração 217 219 Mx x L TA L TA 2L L2 C 0 TA L TA L 2 C 0 C TA L 2 220 VIII Equação final Mx x TA x 01 TA 2L x 02 TA L 2 221 XI Análise para Diagrama Mx x 0 TA L 2 Mx x L TA L TA 2L L2 TA L 2 0 Mx x L 2 TA L 2 TA 2L L2 4 TA L 2 TA L 8 X Diagrama Figura 259 TAL2 TAL8 Mxx kNm x m Flexao Pura 31 P1 2014 Questao 3 Atraves da integracao das equacoes diferenciais de equilıbrio determine as equacoes e os diagramas da forca cortante Vyx e do momento fletor Mzx da viga mostrada na Figura 31 Observe que no ponto C existe uma rotula Indique os valores maximos dos esforcos bem como as reacoes de apoio Resolver literalmente e substituir os valores nas equacoes finais e nos diagramas Dados q0 3 kNm FB 7 kN MD 12 kNm e L 6 m Figura 31 Fonte Popov 1978 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 32 82 II Modelo Figura 33 Temos 3 elementos presentes na viga além da rótula presente em C x L2 Força aplicada FB em x L4 Força constante q0 de x L4 a x L Momento fletor MD aplicado em x L Os dois primeiros aparecem na equação do carregamento enquanto o terceiro aparece nas condições de contorno em conjunto com a restrição causada pela rótula III Equação do Carregamento qx FB x L41 q0 x L40 31 IV Condições de Contorno Mzx L MD 32 Mz x L2 0 Restrição da Rótula 33 V Equação Diferencial do Equilíbrio d2Mzxdx2 qx FB x L41 q0 x L40 VI Integração dMzxdx Vyx FB x L40 q0 x L41 c1 34 Mzx FB x L41 q02 x L42 c1 x c2 35 VII Determinação das Constantes de Integração 32 35 Mzx L FB 3L4 q02 3L42 c1 L c2 MD 3LFB4 9q0L232 c1 L c2 MD 36 33 35 Mz x L2 FB L2 q02 L42 c1 L2 c2 0 FB L2 q08 L2 c1 L2 c2 0 37 Utilizando 36 e 37 c1 2MDL FB q0L2 c1 20 38 c2 FB L4 q0L232 c1 L c2 43125 39 As unidades são F em kN e M em kNm VIII Equações finais Vyx 7 x L40 3 x L41 20 310 Mzx 7 x L41 32 x L42 20x 46125 311 IX Análise Para Diagramas Vyx 0 20 kN Vy x L4 20 kN Vy x L4 13 kN Vyx L 05 kN Mzx 0 46125 kNm Mz x L4 16125 kNm Mz x L4 16125 kNm Mzx L 12 kNm Mz L2 0 X Diagramas Figura 34 Grafico de Vyx Figura 35 Grafico de Mzx obs Note que para o grafico de Mzx temos uma reta de 0 a x L4 15 e depois temos uma parabola 32 P2 2014 Questao 3 Um problema de flexao foi modelado da forma mostrada na Fgura 36a Sabese que q0 3000 Nm Mc 6250 N m e L 5 m Desejase construir a viga mostrada com perfil do tipo I cujo material e caracterizado por um modulo de elasticidade linear E 21 1011 Nm2 e tensao normal admissıvel σadm 115 Nmm2 Por razoes construtivas a deflexao flecha maxima nao deve ultrapassar vmax L 1500 Admitir B 10 H Para estas condicoes pedese a os diagramas de esforco cortante e momento fletor b o valor normalizado da deflexao flecha maxima EIzzvmax bem como sua localizacao no eixo x c as dimensoes mınimas que garantam que a tensao normal nao ultrapasse o limite maximo fixado d as dimensoes mınimas que garantam que a deflexao flecha nao ultrapasse o limite maximo fixado 85 e a dimensao que deve ser utilizada no projeto Figura 36 a Viga hiperestatica b Secao transversal I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 37 II Modelo Figura 38 Temos dois elementos para o carregamento uma forca constante q0 aplicada em toda a viga e uma reacao em y que aparece do apoio em B Para as condicoes de contorno temos Mc que aparece aplicado na extremidade x 2L sendo as outras causadas pelos apoios restricoes e pela parede em A 86 III Equação do Carregamento qx q0x 00 RyBx L1 31 IV Condições de Contorno v0 0 32 θz0 0 34 v2L 0 35 Mz2L Mc 36 vL 0 33 V Equação Diferencial do Equilíbrio EIzz d4 vxdx4 qx q0x 00 RyBx L1 37 VI Integração Vyx q0x 01 RyBx L0 c1 38 Mzx q02 x 02 RyBx L1 c1 x c2 39 EIzz θzx q06 x 03 RyB2 x L2 c1 x22 c2 x c3 310 EIzz vx q024 x 04 RyB6 x L3 c1 x36 c2 x22 c3 x c4 311 VII Determinação das Constantes de Integração 32 311 c4 0 312 34 310 c3 0 313 33 311 EIzz vL 0 q024 L4 c1 L36 c2 L22 0 300024 54 c1 536 c2 522 0 78125 2083 c1 125 c2 35 311 EIzz v2L 0 q024 2L4 RyB6 2L L3 c1 2L36 c2 2L22 0 300024 2 54 RyB 536 c1 2 536 c2 2 522 0 1250000 2083 RyB 16667 c1 50 c2 36 39 Mz2L Mc q0 2 2L2 RyB2L L c1 2L c2 6250 3000 2 2 52 5RyB 10c1 c2 6250 150000 5RyB 10c1 c2 Montando um sistema 20 83c1 12 5c2 78125 166 67c1 50c2 20 83RyB 125000 10c1 c2 5RyB 143750 Resolvendo o sistema temos que c1 7498 629 7500 314 c2 6245 716 6250 315 RyB 15001 88 15000 316 VIII Equacoes finais Vyx 3000x 01 15000x L0 7500 317 Mzx 1500x 02 15000x L1 7500x 6250 318 EIzzθzx 500x 03 7500x L2 3750x2 2 6250x 319 EIzzvx 125x 04 2500x L3 1250x3 6 3125x2 2 320 IX Analise Para Diagrama a Vyx 0 7500 N Vyx 5 7500 N Vyx 5 7500 N Vyx 10 7500 N Mzx 0 6250 Nm Mzx 5 6250 Nm Mzx 5 6250 Nm Mzx 10 6250 Nm Equacao do 4o grau EIzzvx 0 0 EIzzvx 5 0 EIzzvx 5 0 EIzzvx 10 0 b Vyx 2 5 0 Vyx 7 5 0 Mzx 2 5 3125 Nm Mzx 7 5 3125 Nm deflexao maxima EIzzvx 2 5 4882 8 EIzzvx 7 5 4882 8 88 X Diagramas Figura 39 Grafico de Vyx Figura 310 Grafico de Mzx 89 XI Momento de Inércia Figura 311 Izz Iz1 z1 Iz2 z2 d22 A2 Iz3 z3 d32 A3 321 Com B 10H Iz1 z1 HB312 H10H312 1000 H412 322 Iz2 z2 d22 A2 BH312 B2 H22 BH 3640 H412 323 Iz3 z3 d32 A3 BH312 B2 H22 BH 3640 H412 324 XII Dimensionamento Tensão Máxima σxx Mz y Izz Também temos que Mz max 6250 Nm 6250 103 Nmm σxx 115 Nmm2 115 6250 103 B2 H 690 H4 H 78 mm assim B 78 mm Deflexão Máxima EIzz vmax 48828 em módulo e N m Com E 21 1011 Nm2 21 1011 N 1032 mm2 21 105 Nmm2 L 10 m 10 103 mm 104 mm Então 2 1 1011Izz 10 1500 4882 8 daqui o momento de inerica sai em m4 Izz 34877 106 mm4 325 Izz 690H4 H 8 4 mm e B 84 mm A escolha final e entao B 84 mm e H 84 mm que sao as condicoes mınimas para a deflexao maxima mas sao maiores que as condicoes mınimas para a tensao maxima 33 P1 2015 Questao 3 Por intermedio da integracao das Equacoes Diferenciais de Equilıbrio determine as equacoes e os diagramas da forca cortante Vyx e do momento fletor Mzx da viga mostrada abaixo Resolver literalmente e substituir os valores nas equacoes finais Dados q0 1000 Nm F1 F2 2000N Mz1 800 Nm e L 2 m Figura 312 Fonte Craig Jr 2003 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 313 II Modelo Temos 2 elementos para a equacao do carregamento e 2 aplicados na extremidade para as condicoes de contorno 91 Figura 314 q0 precisa ser representado por dois termos no carregamento sendo uma força constante que começa de x0 e termina em x L2 F1 é uma força aplicada em x L2 F2 e Mz1 são condições de contorno III Equação do Carregamento qx q0x 00 q0x L20 F1x L21 31 IV Condições de Contorno Vyx L F2 32 Mzx L Mz1 33 V Equação Diferencial do Equilíbrio d2 Mzxdx2 qx q0x 00 q0x L20 F1x L21 VI Integração dMzxdx Vyx q0x 01 q0x L21 F1x L20 c1 34 Mzx q02 x 02 q02 x L22 F1 x L21 c1 x c2 35 VII Determinação das Constantes de Integração 32 34 Vyx L q0x 01 q0x L21 F1x L20 c1 F2 q0L q0 L2 F1 c1 F2 Isolando c1 c1 F1 F2 q0 L2 36a Substituindo os valores c1 2000 2000 1000 22 c1 5000 36b 33 35 Mzx L q02x 02 q02x L22 F1x L21 c1 x c2 Mz1 q02 L2 q02 L24 F1 L2 c1 L c1 Mz1 Isolando c2 c2 Mz1 q02 L2 q0 L28 F1 L2 c1 L c2 Mz1 3q08 L2 F1 L2 F2 L F1 L q0 L22 c2 Mz1 q0 L28 F1 L2 F2 L 37a Substituindo os valores c2 800 1000 228 2000 22 2000 2 c2 800 500 2000 4000 c2 5700 37b VIII Equações finais Vyx q0x 01 q0x L21 F1x L20 5000 38 Mzx q02x 02 q02x L22 F1x L21 5000 x 5700 39 IX Análise Para Diagrama Para a força cortante Vyx Vyx0 5000 N Vyx L 2 q0L2 01 5000 1000 22 5000 4000 N Vyx L2 q0L2 01 q0L2 01 F1L2 L20 5000 q0 L2 F1 5000 1000 22 2000 5000 1000 2000 5000 2000 N Vyx L q0L 01 q0L L21 F1L L20 5000 q0 L q0 L2 F1 5000 1000 2 1000 22 2000 5000 2000 N Para o momento fletor Mzx Mzx 0 5700 Nm Mzx L 2 q02 L22 5000 L2 5700 10002 222 5000 22 5700 1200 Nm Mzx L2 q02 L22 F1 L2 5000L 5700 1200 Nm Mzx L q02 L2 q02 L22 F1 L2 5000L 5700 10002 22 10002 2000 5000 2 5700 2000 500 2000 10000 5700 800 Nm Apesar de suave de 0 a L 2 se trata de uma parábola a partir disso é uma reta X Diagramas Figura 315 Grafico de Vyx Figura 316 Grafico de Mxx 34 P2 2015 Questao 3 A viga com apoio simples da figura abaixo esta submetida a uma carga concentrada P 200 kN no centro de seu vao L 4 m e a uma carga uniformemente distribuıda direcionada para baixo de w 50 kNm sobre a metade AB do vao A tensao admissıvel em tracao ou compressao e σadm 150 MPa A partir da tabela D2 na Figura 63 anexa selecione a viga de aco de abas largas mais leve que pode ser utilizada nesta aplicacao Apresente as equacoes finais da forca cortante do momento fletor da rotacao e da deflexao 95 Figura 317 Fonte Craig Jr 2003 Exercício retirado de Craig Jr 2003 I Coordenadas da estática e convenção da resistência dos materiais Figura 318 II Modelo Figura 319 No carregamento estarão presentes a força constante w que precisará de dois termos para representação e a força aplicada P Os apoios nos extremos ditarão as condições de contorno III Equação do Carregamento qx wx 00 wx L20 Px L21 31 IV Condições de Contorno v0 0 32 Mz0 0 33 vL 0 34 MzL 0 35 V Equação Diferencial do Equilíbrio EIzz d⁴vxdx⁴ qx wx0⁰ wx L2⁰ Px L2¹ 36 VI Integração Vyx wx 0¹ wx L2¹ Px L2⁰ c₁ 37 Mzx w2x 0² w2x L2² Px L2¹ c₁x c₂ 38 EIzzθzx w6x 0³ w6x L2³ P2x L2² c₁2 x² c₂x c₃ 39 EIzzvx w24x 0⁴ w24x L2⁴ P6x L2³ c₁6 x³ c₂2 x² c₃x c₄ 310 VII Determinação das Constantes de Integração 33 38 Mz0 c₂ c₂ 0 311 32 310 EIzzv0 c₄ 0 312 35 38 MzL w2 L² w2 L2² P L2 c₁ L 0 Substituindo os valores 502 4² 502 42² 200 42 4 c₁ 0 25 x 16 25 x 4 200 x 2 4 c₁ 0 400 100 400 4 c₁ 0 700 4 c₁ 0 c₁ 7004 c₁ 175 313 34 310 EIzzvL w24 L⁴ w24 L2⁴ P6 L2³ c₁6 L³ c₃ L 0 0 Substituindo os valores 5024 4⁴ 5024 42⁴ 2006 42³ 1756 4³ c₃ 4 0 0 5333 333 2667 18667 4 c₃ 0 4 c₃ 1100 0 c₃ 11004 c₁ 275 314 VIII Equações finais Vᵧx 50x 0¹ 50x 2¹ 200x 2⁰ 175 315 Mzx 25x 0² 25x 2² 200x 2¹ 175 x 316 EIzzθzx 83x 0³ 83x 2³ 100x 2² 875 x² 275 317 EIzzvx 21x 0⁴ 21x 2⁴ 333x 2³ 29 2 x³ 275x 318 IX Análise Para Diagrama Mz0 0 Mzx 2 25 x 2² 175 x 2 250 Nm Mzx 2 25 x 2² 175 x 2 250 Nm Mzx 4 25 x 4² 200 x 2 25 x 2² 175 x 4 0 é equação de primeiro grau pois simplificando a equação temos que 25x² 200x 400 25x² 4x 4 175x Mz 125x 500 Mz Portanto o diagrama do momento deve ser representado por uma reta entre 2 L 4 Anterior a x 2 temos uma parábola X Diagrama Figura 320 XI Dimensionamento Utilizando a tensão máxima admissível σₐdₘ 150 MPa Valores máximos σₓₓ MzxyIzz σₓₓxy MzxIzzymax 150 x 10³ 250wzmin wzmin 000167 m³ Então wzmin 167 x 10⁶ mm³ 16667 x 10³ mm³ Onde Izzymax wzmin Consultando a tabela 63 wzmin corresponde a Sx procurando de baixo para cima os valores maiores que 16667 x 10³ mm³ obtemos wzmin W310 x 143 W360 x 122 W410 x 100 W460 x 133 W530 x 109 W610 x 092 mm kgm Escolhese então W610 x 092 que é a viga mais leve que pode ser utilizada 35 P1 2016 Questão 1 A viga está submetida à carga mostrada na Figura 321 Traçar os diagramas da força cortante e do momento fletor Figura 321 Fonte Hibbeler 2004 Exercıcio adaptado de Hibbeler 2004 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 322 II Modelo Figura 323 Esse eixo tem dois momentos torsores aplicados um que e considerado no carregamento Mb e um que e considerado nas condicoes de contorno Mc III Equacao do Carregamento tx MBx 0 41 tx 5000x 0 41 31 100 IV Condições de Contorno Mxx1 Mc Mxx1 2000 32 V Equação Diferencial do Equilíbrio dMxxdx tx 5000x041 33 VI Integração Mxx 5000x040 c1 34 VII Determinação das Constantes de Integração 32 34 Mxx1 5000 c1 2000 c1 3000 35 VIII Equação final Mxx 5000x040 3000 Nm 36 IX Análise Para Diagrama Mxx0 3000Nm Mxx04 3000Nm Mxx04 2000Nm Mxx1 2000Nm X Diagrama Figura 324 36 P2 2016 Questão 2 A viga AC mostrada na Figura 325 com apoio simples suporta uma carga concentrada P no seu ponto médio B Determine a espessura h da viga em mm se a tensão de flexão máxima for σmax 50 MPa a deflexão máxima for δmax 10 mm o vão for L 4 m e o módulo de elasticidade linear for E 200 GPa Figura 325 Fonte Craig Jr 2003 Exercício retirado de Craig Jr 2003 I Coordenadas da estática e convenção da resistência dos materiais Figura 326 II Modelo Figura 327 Temos a força aplicada P no meio da viga e essa força provoca uma curvatura na viga δmax essa curvatura é nula nas extremidades o que funcionará como condições de contorno III Equação do Carregamento qx P x L21 31 IV Condições de Contorno Mz0 0 32 MzL 0 33 v0 0 34 vL 0 35 V Equação Diferencial do Equilíbrio EIzz d4vxdx4 qx P x L21 36 VI Integração Vyx P x L20 c1 37 Mzx P x L21 c1 x c2 38 EIzz ϕzx P2 x L22 c12 x2 c2 x c3 39 EIzz vx P6 x L23 c16 x3 c22 x2 c3 x c4 310 VII Determinação das Constantes de Integração 32 38 c2 0 311 34 310 c4 0 312 33 38 P L2 c1L 0 c1 P2 313 35 310 P6 L22 P2 16 L3 c3 L 0 P L348 P L312 c3 L 0 c3 P L248 P L212 c3 3 P L248 c3 P L216 314 VIII Equações finais Mzx P x L21 P2 x 315 EIzz vx P6 x L23 P12 x3 PL216 x 316 IX Análise Mzx 0 0 Mzx 2 P Mzx 2 P Mzx 4 P2 P2 0 Mzmax P EIzz v L2 P12 L23 PL216 L2 EIzz v L2 P12 8 2P 2P3 2P 2P3 6P3 4P3 200 x 109 x Izz x 102 4P3 Izz 2P3 1109 Sobre a Tensão Máxima σxx Mzx y Izz 50 x 106 P h2 23 P 109 50 x 106 P h2 32 109 P h 00667 m Então h 6667 mm 37 P1 2017 Questão 2 Construir os diagramas de força cortante Vyx e momento fletor Mzx da estrutura abaixo Sugestão Resolva literalmente e substitua os valores nas equações finais Dados q0 1000 Nm Fy 5000 N e Mz 2000 Nm L1 10 m L2 3 m L3 4 m Figura 328 Fonte Popov 1978 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 329 II Modelo Figura 330 Temos q0 aplicado somente no comeco da barra entao temos que compensarno restante Como q0 e uma forca constante aplicada sobre um comprimento da estrutura seu coeficiente e zero Alem disso temos uma forca aplicada sobre um apoio em L1 L2 que tera entao coeficiente 1 E por conta desse apoio temos uma reacao Ryc tambem aplicada em L1 L2 tambem de coeficiente 1 105 III Equação do Carregamento qx q0 x 00 q0 x L10 Fy x L1 L21 Ryc x L1 L21 31 IV Condições de Contorno As condições de contorno são devidas ao momento fletor aplicado em L e à presença do pino em L1 Outra condição de contorno de força cortante nula pode ser estabelecida já que em L a estrutura está solta MzL Mz 32 VyL 0 33 MzL1 0 34 V Equação Diferencial do Equilíbrio d2 Mzx dx2 qx q0 x 00 q0 x L10 Fy x L1 L21 Ryc x L1 L21 35 VI Integração Vyx dMzxdx qx q0 x 01 q0 x L11 Fy x L1 L20 Ryc x L1 L20 c1 36 Mzx qx q02 x 02 q02 x L12 Fy x L1 L21 Ryc x L1 L21 c1 x c2 37 VII Determinação das Constantes de Integração 33 36 q0 L q0 L2 L3 Fy L30 Ryc L30 c1 0 Substituindo os valores 100017 10007 5000 Ryc c1 0 17000 7000 5000 Ryc 0 Temos então Ryc c1 15000 38 32 37 q02 L2 q02 L2 L32 FyL31 RycL31 c1 L c2 Mz Substituindo os valores 500 172 500 72 5000 4 Ryc4 c1 17 c2 2000 500 x 289 500 x 49 20000 4 Ryc 17 c1 c2 2000 4 Ryc 17 c1 c2 2000 144500 24500 20000 4 Ryc 17 c1 c2 2000 140000 Portanto 4Ryc 17c1 c2 138000 39 34 37 q0 2 L12 c1L1 c2 0 Substituindo os valores 500102 10c1 c2 0 50000 10c1 c2 0 Logo 10c1 c2 50000 310 Temos entao 38 Ryc c1 15000 Ryc 15000 c1 310 10c1 c2 50000 c2 50000 10c1 39 4Ryc 17c1 c2 138000 Usando e em 39 415000 c1 17c1 50000 10c1 138000 60000 4c1 17c1 50000 10c1 138000 3c1 28000 Dessa forma temos que c1 9333 33 311 Voltando em 38 e 310 Ryc 15000 9333 33 Ryc 5666 7 312 c2 50000 109333 3 c2 43333 3 313 VIII Equacoes finais Vyx 1000x 01 1000x 101 5000x 130 5666 7x 130 9333 3 314 Mzx 500x02500x1025000x1315666 7x1319333 3x43333 3 315 IX Analise Para Diagrama aForca Cortante Em 0 x L1 Vyx 0 9333 3N 316 Vyx 10 1000 101 9333 3 666 7N 317 Em L1 x L1 L2 107 Vyx 10 1000 101 1000 01 9333 3 666 7N 318 Vyx 13 1000 131 1000 3 9333 3 666 7N 319 Em L1 L2 x L Vyx 13 1000 131 1000 3 5000 1 5666 7 1 9333 3 0 320 Vyx 17 1000 17 1000 7 5000 5666 7 9333 3 0 321 bForca Cortante Em 0 x L1 Mzx 0 43333 3Nm 322 Mzx 10 500102 9333 310 43333 3 0 323 Em L1 x L1 L2 Mzx 10 500 102 500 02 9333 3 10 43333 3 0 324 Mzx 13 500 132 500 32 9333 3 13 43333 3 2000Nm 325 Em L1 L2 x L Mzx 13 500 132 500 32 9333 3 13 43333 3 2000Nm 326 Mzx 17 500 172 500 72 5000 41 5666 7 41 9333 3 17 43333 3 2000Nm 327 Para achar os valores maximos da tensao primeiro procuramos onde a forca cortante e nula 1000x 9333 3 0 x 9 3m Temos que Mzx 9 3m 5009 32 9333 39 3 43333 3 220Nm que e o valor maximo do momento fletor na estrutura 108 X Diagramas Figura 331 Diagrama para Vyx Figura 332 Diagrama para Vyx 38 P2 2017 Questao 2 Antes de ser aplicado o momento de 80 kNm na viga W410 X 388 mostrada na Figura 333 havia uma folga δ0 13 mm entre ela e o apoio em C Sabendo que E 200 GPa determine a reacao em cada apoio depois de ser aplicado o momento Utilize como referˆencia a Tabela 62 109 Figura 333 Fonte Beer et al 2006 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 334 II Modelo Figura 335 Temos uma reacao presente em C que ira aparecer no carregamento devido ao apoio Para as condicoes de contorno presentes temos 80kNm aplicados na extremidade A enquanto em B o momento e nulo Alem disso temos as deflexoes nulas nos apoios das extremidades e a deflexao de 13mm no apoio em C considerando que haja contato do apoio em C e da viga III Equacao do Carregamento qx Rycx 21 31 110 IV Condições de Contorno Mz0 80000 Nm 32 Mz4 0 33 v0 0 34 v4 0 35 v2 13 x 103 restrição 36 V Equação Diferencial do Equilíbrio EIzz d4 vxdx4 qx Ryc x 21 37 VI Integração Vyx d3 vxdx3 Ryc x 20 c1 38 Mzx d2 vxdx2 Ryc x 21 c1 x c2 39 EIzz θzx Ryc2 x 22 c12 x2 c2 x c3 310 EIzz vx Ryc6 x 23 c16 x3 c2 x2 c3 x c4 311 VII Determinação das Constantes de Integração 32 39 Temos diretamente que c2 80000 312 34 311 EIzz v0 c4 Portanto c4 0 313 De 33 39 35 311 36 311 Vem 33020 8c16 80000 42 2 c3 0 64 c16 80000 162 4 c3 Ryc 86 0 4 c1 80000 2 Ryc Lembrando que Izz 127 x 106 mm4 que é obtido da tabela 4 3c1 2c3 193020 32 3 c1 4c3 4 3Ryc 640000 4c1 2Ryc 80000 Que resulta em c1 37617 50 c3 71431 67 Ryc 35235 As reacoes nos apoios sao dadas por Vyx Vyx 35235x 20 37617 5 Reacao em A Vy0 Rya Vy0 37617 5N 314 Reacao em B Vy0 Ryb Vy4 35235 37617 5 Vy4 2381 5N 315 Reacao em C Ryc Ryc 35235N 316 Figura 336 39 P1 2018 Questao 2 Construir os diagramas de forca cortante Vyx e momento fletor Mzx da estrutura abaixo Figura 337 112 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 338 II Modelo Figura 339 Temos duas reacoes uma em cada apoio que devem aparecer na equacao do carregamento III Equacao do Carregamento qx R1x a1 R2x L a1 31 IV Condicoes de Contorno Vy0 F 32 VyL F 33 Mz0 0 34 MzL 0 35 V Equacao Diferencial do Equilıbrio d2Mzx dx2 qx R1x a1 R2x L a1 36 VI Integracao Vyx R1x a0 R2x L a0 c1 37 Mzx R1x a1 R2x L a1 c1x c2 38 113 VII Determinacao das Constantes de Integracao 32 37 Vy0 c1 F c1 F 39 33 37 VyL R1 R2 c1 F R1 R2 F R1 R2 2F 310 34 38 Mz0 c2 0 c2 0 311 35 38 MzL R1L a R2a FL 0 R1L a R2a FL 312 De 310 R2 2F R1 Em 312 R1L a 2F R1a FL Voltando em 310 R1 F 313 VIII Equacoes finais Vyx Fx a0 Fx L a0 F 314 Mzx Fx a1 Fx L a1 Fx 315 IX Analise Para Diagrama Vy0 F Vyx a F Vyx a 0 Vyx L a 0 Vyx L a F VyL F Mz0 0 Mzx a Fa Mzx a Fa Mzx L a Fa Mzx L a Fa MzL 0 114 X Diagramas Figura 340 Diagrama para a forca cortante Vyx Figura 341 Diagrama para o momento fletor Mzx 310 P2 2018 Questao 2 Um macaco hidraulico mostrado na Figura 342 pode ser usado para elevar o ponto B da viga em balanco ABC A viga era originalmente reta horizontal e sem forca aplicada Foi aplicada entao uma forca de 22 kN no ponto C fazendo este ponto se mover para baixo Use E 200 GPa e determine a a quanto o ponto B deve ser levantado para que o ponto C retorne a sua posicao original b o valor final da reacao em B 115 Figura 342 Fonte Beer et al 2006 Exercıcio retirado de Beer et al 2006 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 343 II Modelo Com a atuacao do macaco hidraulico Figura 344 III Equacao do Carregamento Para o carregamento temos a reacao aplicada pelo macaco na barra qx RBx 1 81 31 116 36 310 EIzzvL RB 6 1 23 c1 32 6 c2 32 2 0 1 23RB 33c1 3c232 0 1 728RB 27c1 27c2 0 315 Temos entao 11 RB c1 22 10312 1 2RB 3c1 c2 015 1 728RB 27c1 27c2 0 Resolvendo o sistema obtemos RB 5 0984 104 316 c1 2 8916 104 317 c2 2 5667 104 318 VIII Equacao da deflexao Da tabela 61 teremos Izz 8 8 106mm4 Izz 8 8 106 1034m4 Izz 8 8 106m4 EIzzvx 5 05 104 6 x 1 83 2 89 104xx3 6 2 5 104 x2 2 Em x 18 EIzzv1 8 2 89 104 1 83 6 2 57 104 1 82 2 EIzzv1 8 18090 8 41634 130543 2 v1 8 13543 2 200 109 8 8 106 0 008m Logo v18 8 mm A partir da horizontal devese elevar 8 mm para o ponto C nao deslocar Verificacao Em x 3 EIzzv3 5 09 104 6 1 23 2 89 104 33 6 2 57 104 32 2 EIzzv3 14659 2 130050 115650 0 Logo o ponto B deve ser levantado 8 mm a partir da horizontal Reacao em B RB 5 0924104N RB 5 09kN 311 P1 2019 Questao 2 A estrutura rıgida BDE na Figura 345 esta soldada no ponto B a viga AC de aco Para o carregamento mostrado na figura trace os diagramas de forca cortante Vyx e momento fletor Mzx ao longo da viga 118 Figura 345 Fonte Beer et al 2009 Exercıcio retirado de Beer et al 2009 I Sistema de Coordenadas da Estatica e Convencao da Resistˆencia dos Materiais Figura 346 II Modelo Temos Forca constante de 20kNm aplicada a partir de B Forca cortante Vb aplicada em B Momento fletor Mb gerado por Vb tambem em B O momento fletor Mb causado pela forca Vb fica Mb Forca x Braco 60kN 1 5 90kN Figura 347 Modelo para a questao 2 119 Figura 349 Grafico de Mzx 312 P2 2019 Questao 2 Uma viga central BD e presa por articulacoes a duas vigas em balanco AB e DE Todas as vigas tˆem a secao transversal mostrada na Figura 350 Para o carregamento mostrado determine o maior valor de w de maneira que a deflexao em C nao exceda 3 mm Use E 200 GPa Figura 350 Fonte Beer et al 2015 hinge articulacao Exercıcio retirado de Beer et al 2015 I Sistema de Coordenadas da Estatica e Convencao da Resistˆencia dos Materiais Figura 351 122 Figura 353 Fonte Adaptado de Beer et al 2015 I Sistema de Coordenadas da Estatica e Convencao da Resistˆencia dos Materiais Figura 354 II Modelo Figura 355 Modelo para resolucao 126 IX Diagramas Os diagramas apresentados a seguir sao exemplos usando qo 20kNm V 100kn e L 4m alem disso supomos Md 100 Figura 356 Diagrama de Vyx Figura 357 Diagrama de Mzx 314 P2 2020 Questao 2 Determine o maior valor da carga uniforme distribuıda w que pode ser aplicada na viga mostrada na Figura 358 sabendo que a maxima tensao normal suportada pelo material e de 80MPa em tracao e 130MPa em compressao Exercıcio retirado de Beer et al 2015 130 Figura 358 Fonte Beer et al 2015 I Sistema de Coordenadas da Estatica e Convencao da Resistˆencia dos Materiais Figura 359 II Propriedades Geometricas i Baricentro Figura 360 Na Figura 8 e utilizado um sistema de coorde nadas auxiliar y y1A1 y2A2 A1 A2 3060 20 7060 20 260 20 y 50mm 131 ii Momento de Inercia de Area Na Figura 9 o sistema de coordenadas utilizado e o mesmo do problema Iz1z1 20 603 12 3 6 105mm4 Iz2z2 60 603 12 4 104mm4 Pelo Teorema dos Eixos Paralelos Izz Iz1z1 A1d2 1 Iz2z2 A2d2 2 Izz 3 6 105 60 20202 4 104 60 20202 Figura 361 Ficamos com Izz 1 36 106mm4 1 36 106m4 III Equacao do Carregamento e Modelo Para a equacao do carregamento temos a forca constante W sendo aplicada alem das reacoes em y nos suportes B e C Figura 362 Modelo para resolucao qx Wx 00 Rybx 0 21 Rycx 0 71 31 IV Condicoes de Contorno e Restricoes Vy0 0 32 VyL 0 33 Mz0 0 34 MzL 0 35 v0 2 0 36 v0 7 0 37 132 hinge em portuguˆes significa articulacao ou rotula Figura 364 Fonte Adaptado de Beer et al 2020 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 365 II Equacao do Carregamento Figura 366 136 C2 0 334 C1 0 335 RY c 405 336 337 VII Equacoes finais Vyx 50x 01 50x 31 405x 30 600x 4 50 60 338 Mzx 25x 02 25x 32 405x 31 600x 4 51 60x 339 340 VIII Analise para Diagramas Vyx 0 60 kN Vyx 3 50 3 60 90 kN Vyx 3 50 3 405 60 315 kN Vyx 2 4 50 2 4 60 60 kN Vyx 4 5 50 4 5 50 1 5 405 60 315 kN Vyx 4 5 50 4 5 50 1 5 405 600 60 285 kN Vyx 6 50 6 50 3 405 600 60 285 kN Mzx 0 0 kNm Mzx 3 25 9 60 3 45 kNm Mzx 3 25 9 60 3 45 kNm Mzx 2 4 25 2 42 60 2 4 0 kNm Mzx 4 5 25 4 52 25 1 52 405 1 5 60 4 5 427 5 kNm Mzx 4 5 25 4 52 25 1 52 405 1 5 60 4 5 427 5 kNm Mzx 6 25 62 25 32 405 3 600 1 5 60 6 0 kNm 316 P2 2023 Questao 3 Antes da carga uniformemente distribuıda w ser aplicada uma folga δ0 1 2 mm existe entre as extremi dades das vigas em balanco AB e CD conforme mostrado na Figura 367 Sabendo que E 105 GPa e σmax 410 MPa determine o lado L da secao transversal quadrada para que a extremidade B simplesmente encoste na extremidade C No que diz respeito a tensao a viga suportara essa deflexao sem falhar Dado adicional w carga distribuıda igual aos dois ultimos algarismos do seu N USP e unidade em kNm I Modelo 138 Figura 367 Fonte Adaptado de Beer et al 2020 Figura 368 II Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 369 III Equacao do Carregamento qx wx 00 341 IV Condicoes de Contorno 139 Vyx wx 01 wL 356 Mzx w 2 x 02 wLx wL2 2 357 EIzzθzx w 6 x 03 wLx2 2 wL2 2 x 358 EIzzvx w 24 x 04 wLx3 6 wL2 2 x2 2 359 360 IX Analise para Diagramas Vamos fazer do Mzx e do EIzzvx Mzx 0 wL2 2 Mzx L 0 EIzzvx L wL4 24 wL4 6 wL4 4 11wL4 24 deflexao maxima X Diagramas XI Dimensionamento a Deflexao Maxima EIzzvx L 11wL4 24 Vamos utilizar forcas em N e distˆancias em mm w 50 kN m 105 103 bh3 12 1 2 11 24 500004004 1000 bh3 12 4 66 106 mm4 b h L lado do quadrado L4 12 4 66 106 L 86 5 mm b Tensao Maxima Vamos ver se essa dimensao esta coerente com σmax σxx Mzy Izz σxx wL2 2 L 2 Izz σxx 500004002 2 865 2 466106 37 12 MPa 410 MPa Vai suportar a tensao maxima aplicada 317 P1 2024 Questao 3 A viga composta ABCDE mostrada na Figura 370 consiste de duas vigas AD e DE unidas por uma rotula em D As cargas aplicadas na viga sao uma forca de 4 kN na extremidade de um suporte fixado no ponto B e uma forca de 2 kN no ponto medio da viga DE Com base nessas informacoes construa os diagramas de forca cortante Vyx e momento fletor Mzx para a viga composta 141 Figura 370 Fonte Gere and Goodno 2013 I Modelo Figura 371 II Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 372 III Equacao do Carregamento qx 4x 21 4x 22 Rycx 41 2x 71 361 IV Condicoes de Contorno Restricao Mzx 0 0 362 Mzx 8 0 363 Mzx 6 0 364 142 Vyx 4 4 1 5 2 5 2 1 kN Vyx 7 4 1 5 2 1 5 2 1 kN Vyx 7 4 1 5 2 1 5 2 2 1 kN Vyx 8 4 1 5 2 1 5 2 2 1 1 kN Mzx 0 0 kNm Mzx 2 5 2 2 5 kNm Mzx 2 4 5 2 2 1 kNm Mzx 4 4241 5 2 4 2 kNm Mzx 4 42415 24 2 kNm Mzx 7 45415 235 27 1 kNm Mzx 7 45415 235 27 1 kNm Mzx 8 46415 24215 28 0 kNm Verificacao Mzx 6 4 4 4 1 5 2 2 5 2 6 0 kNm X Diagramas Figura 373 144 Figura 374 318 P2 2024 Questao 2 Uma viga de madeira esta sendo projetada para ser apoiada e carregada conforme mostrado na Figura 375 Encontre a magnitude e localizacao do momento fletor maximo na viga Sabendo que o estoque disponıvel consiste em vigas com uma tensao normal admissıvel de 12 MPa σadm 12 MPa e secao transversal retangular de 30 mm de largura e altura h variando de 80 a 160 mm em incrementos de 10 mm determine a secao transversal mais leve que pode ser usada Para essa viga selecionada determine a maior deflexao que ira ocorrer Dado Modulo de Elasticidade Linear da madeira E 15 GPa Figura 375 Fonte Beer et al 2020 I Modelo 145 Figura 376 II Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 377 III Equacao do carregamento Figura 378 qx 500x 00 500 2 4x 1 61 372 IV Condicoes de Contorno Mz0 0 373 Mz4 0 374 v0 0 375 v4 0 376 V Equacao Diferencial do Equilıbrio EIzz d4vx dx4 qx VI Integracao 146 x1 1 7657 m x2 6 2342 m x1 Resposta correta Entao Mz1 7657 2501 7657 02 500 2461 7657 1 63 880 1 7657 774 55 Nm Podemos tambem descobrir onde a cortante e zero no trecho quadratico 0 x 1 6 Vy 0 500x 880 0 x 1 76 O momento nao atinge o maximo nesse trecho O momento maximo nesse trecho e Mzx 1 6 768 kNm XI Dimensionamento σxx Mzy Izz 12 77455h103 2 30h3 12 12 774 55h 103 12 2h3 30 h 113 62 mm Escolhese h 120 mm Izz 301031201033 12 Figura 379 XII Maior Deflexao Diagrama Deflexao MatLab 0 x 1 6 Diagrama Deflexao 1 6 x 4 0 Maior Deflexao Vmax 19 4mm Depende do passo escolhido para fazer o diagrama 148 a Grafico de Mzx 0 x 1 5 Mzx ax b Com Mzx 0 0 e Mzx 1 5 1400 Temos Mzx 1400 1 5 x Portanto dMzx dx Vyx Vyx 1400 1 5 933 3 N b Grafico de Mzx 1 5 x 3 9 Mzx ax b Com Mzx 1 5 1400 e Mzx 3 9 4500 1 5a b 1400 3 9a b 4500 a 1291 7 b 537 5 Temos Mzx 1291 7x 537 5 Portanto dMzx dx Vyx 1291 7 N Figura 43 III Momento de Inercia Izz Figura 44 Iz1z1 25 753 12 d2 1A1 252 25 75 Iz2z2 75 253 12 d2 2A2 252 25 75 Izz Iz1z1 d2 1A1 Iz2z2 d2 2A2 3320312 5 mm4 Portanto Izz 3 32 106 mm4 150 Figura 48 Fonte Hibbeler 2004 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 49 II Modelo Figura 410 Consideramos a viga como uma unica estrutura para montar o diagrama Temos apenas uma forca constante aplicada a partir de x 4m E nas extremidades as reacoes desconhecidas estao apenas na vertical via o enunciado entao usamos o momento fletor como as condicoes de contorno III Equacao do Carregamento qx 6 5x 40 41 153 X Diagrama Figura 411 A maior intensidade do esforco e Vymax Vyx 8 19 5 kN X Baricentro da Secao Figura 412 Temos um sistema auxiliar para o calculo do y da secao y y1A1 y2A2 A1 A2 y 120 mm 0 12 m 155 Entao a resistˆencia da cola deve ser de no mınimo 488 MPa 43 P3 2016 Questao 1 Uma viga caixao quadrada e feita de duas pranchas de 20 X 80 mm e duas pranchas de 20 X 120 mm pregadas entre si como mostra a Figura 415 Sabendo que o espacamento entre os pregos e s 50 mm e que a forca cortante admissıvel em cada prego e de 300 N determine a a maior forca cortante vertical admissıvel na viga b a tensao de cisalhamento maxima correspondente na viga Figura 415 Fonte Beer et al 2015 Exercıcio retirado de Beer et al 2015 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 416 157 44 P3 2017 Questao 1 Uma viga de apoio simples AC com comprimento L 4m suporta uma carga W 1kN pendurada em B como mostrado na Figura 422 A secao transversal da viga tem dimensoes tambem mostrdas da Figura 422 50 mm x 60 mm Determine a tensao normal e a tensao de cisalhamento em trˆes nıveis da secao transversal imediatamente a esquerda do ponto de carregamento B a y 0 b y 15 mm c y 30 mm Figura 422 Fonte Craig Jr 2003 Exercıcio retirado de Craig Jr 2003 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 423 II Modelo Neste caso a carga W tem um peso na viga que consideramos como uma forca aplicada Alem disso ha reacoes em x e em y nas extremidades entao para as condicoes de contorno temos que considerar o momento fletor 160 IX Analise Para Diagramas Vy0 750 Vy1 750 Vy1 250 Vy4 250 Mz0 0 Mz1 750 Mz1 750 Mz4 0 X Diagramas Figura 425 Grafico de Vyx N Figura 426 Grafico de Mzx Nm 162 XI Momento de Inercia de Area de Secao Izz Izz bh3 12 0 050 063 12 9 107m4 XII Tensao Normal e de Cisalhamento por item a y 0 σxx Mzy Izz σxx 750 0 9 107 Logo σxx 0 411 Figura 427 Qzp Apy 0 05 0 03 0 015 Qzp 2 25 105m3 σxy VyQzp Izzb 750 2 25 105 9 107 0 05 Portanto σxy 375kNm2 0 375MPa b y 15 mm σxx Mzy Izz 750 0 015 9 107 Portanto σxx 12 5 106kNm2 12 5MPa Figura 428 Qzp Apy 0 05 0 015 0 0125 Qzp 16 875 106m3 163 σxy VyQzp Izzb 750 16 875 106 9 107 0 05 Portanto σxy 281 25kNm2 0 28125MPa c y 30 mm σxx Mzy Izz 750 0 03 9 107 Portanto σxx 25 106kNm2 25MPa Figura 429 Qzp Apy 0 σxy VyQzp Izzb 750 0 9 107 0 05 Portanto σxy 0 Obs Essa questao tem continuacao presente nas secoes 54 e 55 45 P3 2018 Questao 1 Com Flexao Uma viga de madeira AB de comprimento L e secao transversal retangular suporta uma forca uniformemente distribuıda w e e suportada conforme mostra a 430 a mostre que a relacao τm σm dos valores maximos das tensoes de cisalhamento e normal na viga e 2h L onde h e L sao respectivamente a altura e o comprimento da viga b determine a altura h e a largura b da viga sabendo que L 5m w 8kNm τm 1 08MPa e σm 12MPa 164 Figura 430 Fonte Beer et al 2015 Exercıcio retirado de Beer et al 2015 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 431 II Modelo Figura 432 Para este caso temos reacoes no eixo y nos apoios C e D respectivamente chamadas de R1 e R2 alem disso temos que a deflexao nesses apoios deve ser nula restricoes Em toda a barra temos uma forca constante w aplicada 165 X Diagramas Considerando w 8 kNm e L 5 m Figura 433 Grafico de Vyx Figura 434 Grafico de Mzx Entao os maximos ocorrem nos locais dos apoios ou seja L4 e 3L4 Vymax wL 4 Mzmax wL2 32 XI Item a Cisalhamento τ σxy VyQzp bIzz τmax wL 4 bh2 8 b bh3 12 3wL 8bh Pausa para meditacao Qzp 168 Figura 435 Qzp Apy b h 2 h 4 bh2 8 Logo Izz bh3 12 Fim da Pausa Normal σxx Mzy Izz σxxmax wL2 31 h 2 bh3 12 3 16 wL2 bh2 Entao a relacao τm σm fica τmax σxxmax 3 8 wL bh 3 16 wL2 bh2 2h L XIIItem b τmax σxxmax 2h L 1 08 106 12 106 2h 5 h 0 225m Portanto a Altura h vale h 225mm Para a Largura b temos σxxmax Mzy Izz 12 106 800052 32 0225 2 b 02253 12 b 0 0617m Entao h 61 7mm 169 46 P2 2023 Questao 2 Um furo e feito em A em uma folha de plastico aplicandose uma forca P a extremidade D da alavanca CD que esta rigidamente presa ao eixo cilındrico solido BC conforme a Figura 436 As especificacoes de projeto exigem que o ˆangulo de rotacao em C nao deve exceder 15 desde o momento em que o puncao primeiro toca a folha de plastico ate o momento em que realmente a penetra Determine o diˆametro necessario do eixo BC se o eixo for feito de um aco com G 77 2 GPa e a tensao de cisalhamento maxima admissıvel τmax 80 MPa Dado adicional P igual aos trˆes ultimos algarismos do seu N USP e unidade no SI Se esse numero for menor que 100 utilize P 450 N Figura 436 Fonte Adaptado de Beer et al 2020 I Modelo Figura 437 170 IX Analise para Diagramas Mxx MtC JpGφx 0 0 JpGφx L MtCL X Diagramas Figura 439 172 Figura 440 XI Dimensionamento Para P 450 MtC 135 Nm a Rotacao Maxima 15 15 180πrad φx L JpGφx L MtCL Jp 77 2 109 15π 180 135 0 5 Jp 3 34 109 m4 Jp 3 34 109 1034 mm4 Jp 3339 8 mm4 Jp πd4 32 3339 8 πd4 32 d 13 6 mm b Tensao Maxima τ Mxr Jp Mxd 2Jp τ Mxd 2 πd4 32 Mxd32 2πd4 τ 16Mx πd3 80 106 16135 πd3 d 0 0204 m Diˆametro escolhido d 204 mm 47 P3 2023 Questao 1 Trˆes tabuas sao pregadas para formar a viga mostrada na Figura 441 que e submetida a um cisalhamento vertical Sabendo que o espacamento entre pregos e s e que a forca de cisalhamento admissıvel em cada prego e F determine a forca cortante admissıvel quando w 120 mm 173 Dados adicionais s igual aos dois ultimos algarismos do seu N USP e unidade em mm Obs se os dois ultimos algarismos do seu N USP for menor que 10 utilize s 75 mm F igual aos trˆes ultimos algarismos do seu N USP e unidade em N Obs se os trˆes ultimos algarismos do seu N USP for menor que 100 utilize F 400 N Figura 441 Fonte Adaptado de Beer et al 2020 Considerando s 75 mm Fadm 400N e w 120 mm I Momento de Inercia de Area da Secao 174 Figura 442 Izz Iz1z1 Iz2z2Iz3z3 Izz 120603 12 602 120 60 200603 12 120603 12 602 120 60 Izz 28080000 3600000 28080000 59760000 5 976 107 mm4 II Momento Estatico de Area Parcial na Juncao entre as Tabuas 1 e 2 Figura 443 Qzp Ap d 120 60 60 432000 mm3 4 32 105 mm3 III Fluxo de Cisalhamento na Juncao qc VyQzp Izz qc Vy432105 5976107 N mm IV Tensao de Cisalhamento τ VyQzp Izzb Placa menor τ Vy432105 5976107120 N mm2 Placa maior τ Vy432105 5976107200 N mm2 V Analise qc Fadm s VyQzp Izz Fadm s Vy432105 5976107 400 75 Vy 737 7 N 175 48 P3 2024 Questao 1 Uma empresa madeireira deseja aumentar suas vendas fornecendo kits de cabanas de toras que podem ser montadas e usadas como cabanas de ferias conforme Figura 444 Como engenheirao estrutural da empresa vocˆe deve determinar o vao maximo Lmax de uma viga de toras simplesmente apoiada que deve suportar uma carga uniformemente distribuıda w incluindo o peso da viga sem exceder a tensao de cisalhamento admissıvel permitida Depois de dimensionada a viga localize o ponto de maxima tensao normal e calcule seu valor Dados d 10 mm w 12 Nmm Tensao de cisalhamento admissıvel τadm 8 7 MPa Tensao de normal admissıvel σadm 29 MPa y 4r 3π e Izz πr4 4 do cırculo Figura 444 Exercıcio adaptado de Craig Jr and Taleff 2020 I Modelo 176 429 433 Mzx 0 c2 0 434 430 433 Mzx L w 2 L2 c1L 0 c1 wL 2 435 VIII Equacoes finais Vyx wx 01 wL 2 436 Mzx w 2 x 02 wL 2 x 437 IX Analise Para Diagramas Vyx 0 w 2 L Vyx L w 2 L Mzx 0 0 Mzx L 0 Mzx L 2 w 2 L2 4 w 2 L2 2 wL2 8 X Diagramas Figura 447 178 Figura 448 XI Dimensionamento Encontrando Lmax Vymax wL 2 τ VyQzp Izzb A maxima tensao de cisalhamento ocorre em y 0 Figura 449 179 Izz 1 4πr4 1 4 πd4 16 πd4 64 490 87 mm4 Qzp Apy Figura 450 Qzp πr2 2 4r 3π πd2 2 4 4d 2 3π d3 12 83 33 mm3 Assim τmax wL 2 d3 12 πd4 64 d 64wLd3 πd5 2 12 8wL 3πd3 8 7 Nmm2 Lmax 3πd2τmax 8w 3π102 8 7 8 12 85 41 mm OBS Na digitacao da prova o diˆametro foi escrito errado Por isso esse resultado estranho O correto e d 100 mm e o resultado sera Lmax 8545 21 mm 8 54 mm Ponto de maxima tensao normal Figura 451 x L 2 e y d 2 pois Mz e maximo x y L 2 d 2 180 σxx wL2 8 d 2 πd4 64 64wL2d 8 2πd4 Utilizando d 10 mm e L 854 mm σxx 12 85 42 10 4 π104 115 46 MPa Utilizando d 100 mm e L 854521 mm σxx 12 8545 22 100 4 π1004 1115 67 MPa 181 Cırculo de Mohr e Criterios de Falha 51 P3 2014 Questao 2 O eixo AB de 40 mm de diˆametro e feito de um tipo de aco cuja tensao de escoamento e Sy 250 MPa Usando o criterio da maxima energia de distorcao von Mises verifique se o eixo ira falhar quando submetido aos esforcos mostrados na Figura 51 Trace o cırculo de Mohr para os pontos mais solicitados Dados P 250 kN e T 700 Nm Figura 51 Fonte Beer et al 2006 Exercıcio retirado de Beer et al 2006 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 52 182 II Modelo Figura 53 Temos um momento torsor T e uma forca P aplicados na extremidade A do eixo Alem disso os pontos mais solicitados se tratam de qualquer ponto na superfıcie IIIDiagramas Figura 54 Nxx Figura 55 Mxx Um ponto da superfıcie superior Figura 56 IVTensao Normal σxx Nx A 250 103 π 402 4 198 9 N mm2 198 9 MPa Temos entao que 183 σ1 214 6 MPa σ2 14 6 MPa τmax 114 6 MPa VIITensao Efetiva de Von Mises σ 2 σ2 1 σ2 2 σ1σ2 214 62 14 62 214 6 14 6 222 3 MPa σ 222 3 MPa VIIICriterio de Falha Sy 250 MPa como temos Sy σ nao ocorre falha IXCoeficiente de Seguranca N Sy σ 250 222 N 1 13 52 P3 2015 Questao 2 O eixo macico e feito de um tipo de aco cuja tensao de escoamento e Sy 240 Mpa e esta sujeito aos carregamentos mostrados na Figura 59 Determinar as tensoes principais que atuam no ponto A Utilizando o criterio de Maxima Energia de Distorcao von Mises perguntase se havera falha do material neste ponto Figura 59 Fonte Hibbeler 2004 Exercıcios retirados de Hibbeler 2004 185 XIII Tensao Efetiva de Von Mises σ 2 σ2 1 σ2 2 σ1σ2 σ 2 5 502 0 612 5 500 61 σ 5 83MPa Por Von Mises Como σ Sy Nao ha falha 53 P3 2016 Questao 2 O estado plano de tensao mostrado ocorre em um componente de maquina feito de um aco com limite de escoamento Sy 325 MPa Usando os criterios de von Mises e Tresca determine se ocorre o escoamento quando a σ0 200 MPa b σ0 280 MPa Se o escoamento nao ocorre determine o coeficiente de seguranca correspondente Figura 512 Fonte Beer et al 2015 Exercıcio retirado de Beer et al 2015 188 b σ0 280MPa Temos σxx 280MPa σyy 280MPa τxx 100MPa I Cırculo de Mohr x0 280 R 100 Figura 514 II Tensao Efetiva de Von Mises σ 2 σ2 1 σ2 2 σ1σ2 1802 3802 180380 σ 329 2MPa Escoa Sy III Tensao Efetiva de Tresca Temos τmax 100MPa Sy 2 162 5MPa E portanto nao escoa NT 1 63 190 Figura 517 Tensao Efetiva de Von Mises σ 2 σ2 1 σ2 2 σ1σ2 σ 2 02 252 025 σ 2 25MPa Fator de Seguranca N Sy σ 2 Sy 25 Portanto Sy 50MPa 55 P3 2017 Questao 3 Figura 518 Para y 30 mm σ1 0 σ2 25MPa 192 N Suc σ2 2 Suc 25 Suc 50MPa Portanto Sut 25MPa 56 P3 2019 Questao Unica Com Cisalhamento E Flexao Uma viga com secao transversal retangular de 200 mm x 300 mm suporta cargas PB 15kN e PC 25kN como mostrado na Figura 519 a Determine a tensao de flexao normal maxima na viga b Determine a tensao de cisalhamento maxima na viga c Na secao onde a forca cortante e maxima e a altura e h4 a partir da linha neutra avalie se havera falha admitindo que a viga seja feita de aco estrutural ASTMA36 Sy 250 MPa considerando a Teoria da Maxima Energia de Distorcao von Mises d No mesmo ponto do item c avalie se havera falha admitindo que a viga seja feita de ferro fundido cinzento classe 50 Sut 350 MPa e Suc 1110 MPa considerando a teoria de Mohr modificada Figura 519 Fonte Craig Jr 2003 Exercıcio adaptado de Craig Jr 2003 193 VII Determinacao das Constantes de Integracao Comecando pela primeira condicao de contorno 52 56 Mz0 c2 Portanto c2 0 57 Para a segunda condicao de contorno 53 56 Mzx 7 15 1035 25 1032 c17 0 Mzx 7 75 103 50 103 c1 0 Logo c1 125 103 7 17 8571 103 58 VIII Equacoes finais Vyx 15 103x 20 25 103x 50 125 103 7 59 Mzx 15 103x 21 25 103x 51 125 103 7 x 510 IX Analise Para Diagrama Analise de Vyx Abaixo de 2 metros nao consideramos os dois primeiros termos do carregamento Vy0 125103 7 17 8571 103 Vy2 125103 7 17 8571 103 A partir de 2 metros e abaixo de 5 metros temos que considerar o primeiro termo do carregamento Vy2 15 103 1 125103 7 2 8571 103 Vy5 15 103 1 125103 7 2 8571 103 E a partir de 5 metros temos os dois termos do carregamento considerados Vy5 15 103 1 25 1 125103 7 22 1429 103 Vy7 15 103 1 25 1 125103 7 22 1429 103 Analise de Mzx Os termos em um ponto tanto pela esquerda quanto pela direita serao iguais aqui entao so analisamos os pontos x 0 2 5 e 7 metros Mz0 0 Mz2 15 1030 125103 7 2 35 7143 103 Mz5 15 1033 25 1030 125103 7 5 44 2857 103 Mz5 15 1035 25 1032 125103 7 7 0 195 d Figura 526 Como esta dentro da figura neste ponto o material nao falha 57 P3 2023 Questao 2 Uma viga de aco laminado W920 449 consultar Tabela da Figura 528 em balanco suporta uma carga P como mostrando na Figura 527 Sabendo que σadm 100 MPa determine a o valor maximo da tensao normal na viga b o valor das tensoes principais na juncao da mesa e da alma e c se a viga especificada e aceitavel no que diz respeito a essas tensoes Dados adicionais σadm tensao normal admissıvel a igual ao ultimo algarismo do seu N USP e unidade em m Obs se o ultimo algarismos do seu N USP for 0 zero utilize a 2 5 m P igual aos trˆes ultimos algarismos do seu N USP e unidade em KN Obs se os trˆes ultimos algarismos do seu N USP for menor que 100 utilize P 700 KN 199 Figura 527 Fonte Adaptado de Beer et al 2020 Considerando a 25 m P 700 kN e σadm 100 MPa I Modelo Figura 529 II Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 530 III Equacao do Carregamento qx RYBx a1 514 200 EIzzvx 1 6RYBx a3 1 6C1x3 1 2C2x2 C3x C4 525 VII Determinacao das Constantes de Integracao 515 525 EIzzvx 0 C4 C4 0 526 516 523 Mzx 0 C2 0 C2 0 527 517 522 Vyx 2a RYB C1 P 528 518 523 Mzx 2a RYBa C12a 0 RYB 2C1 0 529 519 525 EIzzvx a 1 6C1a3 C3a 0 1 6C1a2 C3 0 530 De 528 e 529 C1 P 531 RYB 2P 532 533 De 530 P 6 a2 C3 C3 P 6 a2 534 VIII Equacoes finais Vyx 2Px a0 P 535 Mzx 2Px a1 Px 536 537 IX Analise para Diagramas Vyx 0 P Vyx a P Vyx a P Vyx 2a P Mzx 0 0 Mzx a Pa Mzx a Pa Mzx 2a 2Pa P 2a 0 X Diagramas 202 XI Analise a σxx Mzy Izz Mz Wz Consultando tabela Izz 8780 106 mm4 Wz 18500 103 mm3 σxx P a Wz 7000002500 18500103 94 59 MPa b Na Juncao da Mesa com a Alma Mesa σxx Mzy Izz 7000002500 947 2 427 8780106 σxx 85 87 MPa σxy VyQzp Izzb P 42742445215 8780106424 σxy 1 54 MPa Alma σxy VyQzp Izzb VyQzp Izz24 σxy 27 19 MPa Vamos analisar σxy na alma por ser maior Temos entao Figura 533 Pelas equacoes do Cırculo de Mohr x0 σxxσyy 2 85870 2 42 94 R2 σxxσyy 2 2 σ2 xy 8587 2 2 27 192 R 50 82 σ1 x0 R 93 76 MPa σ2 x0 R 7 88 MPa τmax 50 82 MPa Como σ1 σadm E aceitavel 58 P3 2024 Questao 2 Para a viga simplesmente apoiada mostrada na Figura 534 verifique se havera falha no ponto x y L 2 h 4 considerando que a a viga e feita de um material ductil com Limite de Escoamento Sy 250 MPa Utilize o criterio de von Mises E 200 GPa b a viga e feita de um material fragil com Limite de Ruptura a Tracao Sut 170 MPa e Limite de Ruptura a Compressao Suc 655 MPa Utilize o criterio de Mohr modificado E 69 GPa Informacoes complementares a secao transversal da viga e retangular de base b e altura h com h 2b 100 mm 204 L 4 m w0 50 kNm Apos fazer os calculos fundamente com palavras sua resposta Figura 534 Exercıcio adaptado de Craig Jr and Taleff 2020 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 535 II Equacao do Carregamento Figura 536 qx wo L 2 x 01 wox L 2 0 wo L 2 x L 2 1 538 205 Figura 537 Em x L 2 Vyx L 2 wo L L2 4 woL 6 woL 12 50000 4 12 16666 67 N Vyx L 2 wo L L2 4 wo0 wo L 0 woL 6 woL 12 16666 67 N Mzx L 2 wo 3L L3 8 woL 6 L 2 woL2 24 woL2 12 woL2 24 33333 33 Nm Mzx L 2 wo 3L L3 8 w2 o 2 0 w3 o 3L0 woL 6 L 2 woL2 24 33333 33 Nm Tensao Normal σxx Mzy Izz 33333 33 25 103 4 17 106 200 106 Nm2 200 MPa Izz bh3 12 0 05 0 13 12 4 17 106 m4 Tensao de Cisalhamento Figura 538 207 Qzp Apy 50 25 3 100 8 46875 mm3 σxy VyQzp Izzb 16666 67 46875 4 17 106 50 3 75 MPa Figura 539 Cırculo de Mohr yc 0 xc σxx σyy 2 200 0 2 100 548 R2 σxx σyy 2 2 σ2 xy 1002 3 752 549 R 100 07 550 Figura 540 Material Ductil Tensao efetiva de Von Mises σ 2 σ2 1 σ2 2 σ1σ2 0 072 200 072 0 07 200 07 200 1 MPa σ Sy 200 1 250 Nao Falha Material Fragil 208 Figura 541 Dentro do polıgono Nao Falha 209 Apˆendice Figura 61 Tabela Para Consulta P2 2018 Fonte Beer et al 2006 210 Figura 62 Tabela Para Consulta P2 2017 Fonte Beer et al 2006 211 Figura 63 Tabela Para Consulta P2 2015 Fonte Craig Jr 2003 212 Bibliografia F P Beer E R Johnston Jr and J T Dewolf Resistˆencia dos Materiais Mecˆanica dos Materiais McGrawHill Interamericana do Brasil Ltda 4th edition 2006 F P Beer E R Johnston Jr J T Dewolf and D F Mazurek Mechanics of Materials McGraw Hill Higher Education 5th edition 2009 F P Beer E R Johnston Jr J T Dewolf and D F Mazurek Mechanics of Materials McGrawHill 7th edition 2015 F P Beer E R Johnston J T Dewolf and D F Mazurek Mechanics of Materials 8th Edition McGrawHill 2020 Roy R Craig Jr Mecˆanica dos Materiais LTC Livros Tecnicos e Cientıficos Editora SA 2003 Roy R Craig Jr and Eric M Taleff Mechanics of materials John Wiley Sons 2020 James M Gere and B J Goodno Mechanics of materials 8th ed Cengage Learning 2013 R C Hibbeler Resistˆencia dos Materiais Pearson Prentice Hall 5ª edicao 2004 R L Mott and J A Untener Applied Strength of Materials SI Units Version CRC Press 2017 E P Popov Introducao a mecˆanica dos solidos Editora Blucher 1978 I H Shames Introduction to Solid Mechanics PrenticeHall Inc second edition 1989 213 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias PEF3307 Resistˆencia dos Materiais Ronaldo Carrion rcarrionuspbr Escola Politecnica da Universidade de Sao Paulo EPUSP Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 1 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Estrutura da aula 1 Introduc ao 2 Conceitos Iniciais 3 Convenc ao de Sinais 4 Diagramas de Esforcos 5 Exercıcios Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 2 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 3 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Esforcos Internos As figuras desta aula foram retiradas de Hibbeler 2019 Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 4 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Esforcos Internos Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 5 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Esforcos Internos para melhor compreensao Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 6 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Esforcos Internos Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 7 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Esforcos Internos Equac oes de Equilıbrio da Estatica FR 0 1 MR 0 2 Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 8 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Vınculos Grau de liberdade GDL numero de coordenadas independentes necessarias para descre ver o movimento de um corpo Obs Um corpo rıgido livre possui 6 GDL 3 translac oes e 3 rotac oes Vincular retirar GDL preco esforcos nos vınculos Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 9 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Carregamentos forcas concentradas e forcas distribuıdas momentos concentrados e momentos distribuıdos Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 10 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Estatica x Resistˆencia dos Materiais Forca Normal Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 11 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Forca Cortante Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 12 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Momento Fletor Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 13 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Momento Torsor Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 14 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Nossa Convenc ao Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 15 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Equac oes Diferenciais de Equilıbrio Anotac oes lousa Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 16 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Equac oes Diferenciais de Equilıbrio dNxx dx px Forca Normal dMxx dx tx Momento Torsor d2Mzx dx2 qx dMzx dx Vyx Forca Cortante e Momento Fletor Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 17 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Exercıcios Antes porem Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 18 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Metodos Numericos Elementos Finitos Murilo Schmidt O Soto 2016 Simulac oes Computacionais Aplicadas a Mecˆanica dos Solidos Relatorio de Trabalho EPUSP Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 19 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Elementos Finitos Thiago Lopes Staciarini 2013 Analise de Tensoes Auxiliada por Tomografia Computadorizada e Metodo dos Elementos Finitos Relatorio de Iniciac ao Cientıfica EESCUSP Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 20 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Elementos de Contorno Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 21 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Exercıcio 1 Utilizando Equac oes Diferenciais de Equilıbrio tracar os diagramas de esforcos da estrutura abaixo Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 22 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias Exercıcio 2 Utilizando Equac oes Diferenciais de Equilıbrio tracar os diagramas de esforcos da estrutura abaixo Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 23 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias PERGUNTAS Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 24 24 Introduc ao Conceitos Iniciais Convenc ao de Sinais Diagramas de Esforcos Exercıcios Referˆencias R C Hibbeler Resistˆencia dos Materiais Pearson Prentice Hall 2019 Ronaldo Carrion Resistˆencia dos Materiais Aulas 1 e 2 versao 2025 24 24