Aula 4 - Critérios de Convergência Pt2

SMA0356 - Aula 4 - Semana 06/9-10/9 Critérios de Convergéncia para Séries de Termos Nao Negativos (continuagao) Critério da Raiz Frequentemente usado love) Lo Para So an com a, > 0 para todo | Se L < 1, entdo S- An CONn- para series com termo — < geral a,, envolvendo po- = . n= as po n > N, onde N é um natural fixo, | verge. téncias n-ésimas. seja LD = lim Wan. noo CO Se L > 1, entdo So an di- n=0 verge. Se L = 1, 0 critério é incon- clusivo. Critério da Razdo Frequentemente usado love) _ Para Sian com a, > 0 para todo | Se L < 1, entdo So an con- | Para Series: que envol- = < vem fatoriais ou expo- = . n= os n > N, onde N é um natural fixo, | verge. nencials. . : Qn4+1 seja L = lim ——. n>00 On CO Se L > 1, entdo So an di- n=0 verge. Se L = 1, 0 critério é incon- clusivo. Critério de Convergéncia para Séries Alternadas Critério de Liebniz Aplica-se apenas a sé- Para para séries__alter- | Se (an) € decrescente e limp. Gn = 0, | ries alternadas. fore) CO nadas So(-1)"an ou | entdo a série So(-1)"an converge. n=0 n=0 oo CO So(-1)" lan, onde a,, > 0 | Além disso, denotando S = So(-1)"an n=0 n=0 para todo natural n. € 8, = ao — a + ag +--+ + (-1)"an, entdo |S ~~ S,| < On+1- Exemplo 1. A série | — n! é convergente. De fato, (n+1)|cos G2+9)* | . a . DI! . ni(n +1 . 1 L=lim “#6 = lim ——“to 8 lim M+) _ lim — = 0. N00 An n—-0o n|cos Gryut| noo (n + 1)!In noo nN n! Logo, pelo critério da razdo, a série € convergente. ee n Exemplo 2. Para quais valores de x € R, a série S- — é convergente? — nl ~ . x n Solucdao. Seja ay = er Para x = 0, Gn = 0 para todo natural n; logo a série € convergente. Para x #0, a, > 0 para todo natural n. Assim, net yy GET yp den o . . n : . . . L= lim 2 = lim “> = lim —————_ _ = lim —~ =0, nm para qualquer x # 0. Logo, pelo critério da raz4o, a série € convergente para qualquer x # 0. Juntando os dois casos, concluimos que a série é convergente para qualquer que seja x € R. oe 2 n (n* + 3n) Exemplo 3. A série ~—_______ convergente ou divergente? P Dd (4n? +5)" 6 6 n=1 Solucao. Seja a, = 22%" Para qualquer natural n, a, > Oe ¢ . ‘J nm (4n2+5)” . q q ’ n 2 n 2 (n? + 3n) n+3n 1 L= lim va, = lim ¢(/-————— = lim —~——— = -. Como L < 1, pelo critério da raiz, a série converge. oo n . a jx|" Exemplo 4. Para quais valores de x € R, a série S- — é convergente? n=1 n Solucao. Seja a, = er Para qualquer x € R, a, > 0 para todo natural n. Assim, n/ [a|” jz] _ |e lim “Ya, = lim 4/— = lim — = — =z}. Pelo critério da raiz, a série € convergente se |x| < 1 e diverge se |x| > 1. , 1 , Se || = 1, a série é S- — e é divergente. n=1 n Portanto, a série é convergente para qualquer que seja x € (—1, 1). Exemplo 5. Para cada uma das seguintes séries alternadas, determine se a série converge ou diverge. co (-1)"*1 a) a n=1 co —1)"n aT n+1 n=1 Solucao. a) Como gape < a2 e gz 7 0 com n — ov, a série é convergente pelo critério de Leibniz. b) A série é alternada, mas como a, = waz & crescente, o critério de Leibniz nao se aplica. Em vez ; ws , ; — (-l"’n . ar disso, usamos 0 crtitério da divergéncia. Como jim cr nao existe, a série diverge. Este exemplo —oco 1 mostra que o fato de uma série ser alternada ndo garante que ela seja convergente. ee (—1)""! Exemplo 6. Considere a série alternada S- ——~;—. Dé uma estimativa do erro se aproximarmos a n n=1 soma desta série pela sua soma parcial 510. Solucao. Do critério de Leibniz, oe (—1)"*1 1 S- “—J— ~ $10] < a1 = 75 © 0, 008265. n=1 ae ewe , _ a Observacdo 1. O critério da raz3o nao é conclusivo quando lim —“*+ = 1. No entanto, se Guth» J moe An n por valores superiores, entéo temos “++ > 1 ou dn41 > an, € So an diverge, pois a, 4 0. Anadlogo n=1 co para o critério da raiz, ou seja, se ¢/a,, — 1 por valores superiores, entdo temos a, > 1, e So an n=1 diverge, pois a, / 0. Observacdo 2. Ao usar o critério da série alternada, 6 um erro comum verificar apenas se a, — 0, pois isto ndo é suficiente e a convergéncia ndo pode ser deduzida a menos que ambas as condicées desse critério sejam verificadas. Podemos verificar esse fato no caso da série alternada 2 1 4 2 1 4 2 1 4 1 1 2 2 3 3 °° mostrando que (a) an > 0; (b) (a,,) ndo € uma sequéncia decrescente; (c) a série diverge (sugestado: considere s2,). Exercicio 1. Determine se as séries sdo convergentes ou divergentes. CO co co (—1)" n (n!)? a —— d — —— )» Jn ) Um 9) > Gn) n=l Hy n=0 hn n=l 4 (—1)"(n+1 2n—1 2-4-6-+-2n b SS e n {| ——— h ——__$___— De ) vn (a) a n=1 n=1 n=1 5 CO CO CO n c —_—__ — i e” {| —— Dd 2n+ 1 ui du n+1