Lista - Aula 4 - Cálculo 4 2021-2

Exercicios - Calculo IV - Aula 4 - Semana 14/9-18/9 Critérios de Convergéncia para Séries de Termos Nao Negativos (continuagao) Critério da Raiz Frequentemente usado CO ye ra séri m term Para So an com a, > 0 para todo | Se L < 1, entao So an con- | Pare series com Ferme ~ < geral a, envolvendo = . nn n . soe n > N, onde N é um natural fixo, | verge. poténcias n-ésimas. seja LD = lim vay. noo CO Se L > 1, entado So an di- n=0 verge. Se L = 1, 0 critério incon- clusivo. Critério da Razao Frequentemente usado CO ye ~ ara séries que en- Para Gn COM Gy, > O para todo L <1,en a n- | P .. » " " P se L < 1, entao » n COM | Volvem fatoriais ou ex- = . nn . . n > N, onde N é um natural fixo, | verge. ponenciais. . . a seja L = lim 2. n+0o An CO Se L > 1, entado So an di- n=0 verge. Se L = 1, 0 critério incon- clusivo. Critério de Convergéncia para Séries Alternadas Critério de Liebniz Aplica-se apenas a Para para séries _—_alternadas Se (ap) € decrescente € | séries alternadas. oe oe limo Gn = 0, entdo a série So(-1)"an ou SO(-1)"* Fan, | nao n= So(-1)"an converge. onde a, > 0 para todo natural n. | n=0 Exemplo 1. A série on lcos Greet a n=1 é convergente. De fato, (n+1)|cos Cn+3)* | _ a (mei _ a(in+1 1 L=lim “Y= lim —to lim M+) _ lim — = 0. n—-0o An noo n|cos Gryut| n—oo (n + 1)!In noo n! Logo, pelo critério da razao, a série é convergente. oo n ; a zl", Exemplo 2. Para quais valores de x € R, a série S- — é convergente? — nl Solucao. Seja ay, = a Para x = 0, a, = 0 para todo natural n; logo a série é convergente. Para x £0, a, > 0 para todo natural n. Assim, a |a|r+4 a nl Lb . . D! . : . L= lim “ = lim (oH! lim ————— = lim —— =0, nm para qualquer x 4 0. Logo, pelo critério da razdo, a série é convergente para qualquer x # 0. Juntando os dois casos, concluimos que a série é convergente para qualquer que seja x € R. °° 2 n (n? + 3n) Exemplo 3. A série —_.——— é convergente ou divergente? P D (4n? +5)" 6 6 n=1 ~ : n2+3n)” Solucao. Seja ay, = ae Para qualquer natural n, a, > O0e 2 n 2 (n? + 3n) n+3n 1 L= lim vYa, = lim ¢/-——— = lim —~— = -. Como L < 1, pelo critério da raiz, a série converge. oo n ; fi a Exemplo 4. Para quais valores de x € R, a série S- — é convergente? n=1 n Solucao. Seja a, = er Para x = 0, a, = 0 para todo natural n; logo a série é convergente. Para x £0, ad, > 0 para todo natural n. Assim, n/ ||” Iz] _ || L= lim va, = lim 4/— = lim — = — =z}. Pelo critério da raiz, a série convergente se || < 1 e diverge se |x| > 1. 1 Se |x| = 1, a série é — é divergente. Ja ar g Portanto, a série é convergente para qualquer que seja x € (—1, 1). Exemplo 5. Para cada uma das seguintes séries alternadas, determine se a série converge ou diverge. co (-1)"*1 a ) n=1 co (-1)"n b) > n+1 n=1 Solugao. a) Como Gap < gz & az 7 0 com n - ov, a série € convergente pelo critério de Leibniz. b) Como => 7 0 com n — oo, nao podemos aplicar o critério de Leibniz. Em vez disso, usamos 0 crtitério da divergéncia. Como limgz_+.. (ee nao existe, a série diverge. Este exemplo mostra que o fato de uma série ser alternada nao garante que ela seja convergente. Exercicio 1. Determine se as séries sdo convergentes ou divergentes. CO co co (—1)" n (n!)? ) aa 1) dn 9) ml | n=1 vn n=0 2 n=l (2n)! CO Co n (—1)""' (n +1) 2n—1 2-4-6++-2n b >. e n | ——— h —___ )d 3n ) dvr n+13 )d (2n)! n=l nel n=l 5 (—1)"\/n nm” 3” nay A) date ) Uae n=0 n=1 n=1 |a|"n! Exercicio 2. Para quais valores de x € R a série S- ——— € convergente? nm n=1