Lista - Aula 2 - Cálculo 4 2021-2

Exercicios - Calculo IV - Aula 2 - Semana 31/8 — 4/9 Sequéncias Numéricas II e Conceitos Basicos de Séries Numéricas Na Parte 2 da Aula 2, o Prof. Possani estuda a convergéncia da sequéncia (na”) em termos do numero real a . O resumo desse estudo é: a) Se |a| < 1, entao (na”) converge e seu limite é zero. b) Se Ja| > 1, entao (na”) diverge. No que segue, apresentaremos um método pratico para obter esses mesmos resultados e que pode ser Util para o estudo de outras sequeficias. Teste da Razao para Sequéncias. Seja (x,,) uma sequéncia de termos nado nulos tal que _ (|x lim a =L. n>00 | Ly Entao, 1. Se L < 1, entao (x,,) é convergente e x, + 0, com n > co. 2. SeL > 1 ou L=ov, entao |x,,| > oo, com n > ov, portanto (,,) diverge. 3. Se L = 1, 0 teste é inconclusivo. O item (1) significa que os termos da sequéncia x, para n grande se comportam como os termos de uma progressao geométrica com razao menor que 1, portanto, x, + 0, com n > oo. Antes de demonstrar o Teste da Razao, vamos aplicd-lo para a sequéncia (na”). Para a # 0, os termos 7, = na” sao nao nulos e podemos tomar a razao Ing. (n+1)a™*t n+l = = 1720, Ln na” n Fazendo n > oo, obtemos . ntl . n+1 lim |——| = lim ——a| = |a|. noo In n—->0o nm Pelo Teste da Razao, temos a) Se |a| < 1, entao (na”) é convergente e na” — 0, com n —- oo. b) Se Ja| > 1, entao (na”) diverge. O caso inconclusivo ja] = 1, deve ser estudado como na Aula 2 para obter a divergéncia da sequencia. Demonstragao do Teste da Razao. 1. Suponha que limp +06 |@n41/an| = L < 1. Entao existem O<r<leWN EN tais que tais que x n>N=s a <r, Xn assim, Iz7n+i] <r|znI, Jzna2| <rlansil <r?|zyI, Itvapl <7 ltngp-al <1? |twp-2| < +++ <r? lay], ou seja, n>N => |a,| <r? ey) = |an|r Xr”. Como r” — 0 (pois 0 < r < 1), segue do Teorema do Confronto que |xz,,| > 0 e, portanto, 7, > 0. 2. Suponha que lim) .¢ |@n41/an| = L > 1. Entao existem r > 1 e N €N tais que x n>N => a >r, Xn ou seja, n>N => |tnyil > rien. Repetindo o argumento usado no item 1, obtemos n>N => |z,|>r° ley) = |an|r Xr”. Como r > 1, r” > oo, com n > oo, e portanto, |x,| > co, com n — oo; logo (x,,) diverge. 3. Para mostrar que o teste nao conclusivo se L = 1, considere as sequéncias ((—1)”)), que é divergente, e (+), que é convergente, e note que —] n+l ; 1 ; n lim fey =lim1l=1 e lim at = lim —— =1. Exemplo 1. Na Parte 3 da Aula 2, o Prof. Possani usou um argumento de comparacao e o | As nN. Teorema de Confronto para mostrar que a sequéncia (=) converge para 0. Vamos obter esse n mesmo resultado aplicando o Teste da Razao. De fato, (n+1)! _ | (titi . (n+l)! n” lim |———} = lim ————__ n . (n+ 1)n! n” = lim -—— —_____ n—-00 n! (n+ 1)(n+ 1)” ; n” = lim —— — tim —2 7 hoe (n+1)” ne . 1 = lim ——— 1 =-<l. e€ ~ ne n) Pelo Teste da Razao, a sequéencia { — } converge para 0. n Discutiremos agora 0 chamado teste da raiz para sequéncias, que é um outro instrumento conveniente para estudar o comportamento de convergéncia de sequencias. Teste da Raiz para Sequéncias. Seja (z,,) uma sequéncia tal que lim V/|r,| = L. n> OCo Entao, 1. Se L < 1, entao (x,,) é convergente e x, + 0, com n > co. 2. Se L > 1 ou L= ow, entao |x,,| + oo, com n — ov, portanto (x,,) diverge. 3. Se L = 1, 0 teste é inconclusivo. —2n)”" Exemplo 2. (-2n)" — 0. De fato, n nr —2n)” 2 L = lim |" = lim = =0. N00 nen noo N Como L < 1, a sequéncia dada converge para zero, pelo teste da raiz. 2n—-1\" Exemplo 3. x7, =n ee diverge. De fato, n+A4 2n—-1\" 2n-—1 L= lim {/|n(——) | = lim n'/" ("— ) =1.2=2. Temos L > 1, logo a sequéncia diverge, pelo teste da raiz. Observacao 1. O teste da razao é especialmente Util para manipular sequéncias cujos termos XZ, 6 dado por uma expressdo que envolve produtos, pois a raza0 &p,41/Xp_ pode, muitas vezes, ser simplificada por cancelamentos. Por outro lado, o teste da raiz é provavelmente mais util para tratar sequéncias em que x, 6 complicado, mas %/|z,| é simples, de modo que lim, +. V/|@n| é facil de calcular. Exercicio 1. Estude as sequéncias quanto 4 convergéncia ou divergéncia. n!)? a) (ni ; (2n)! 3 n b) { —— }. ) (aap) —1)"(2n)! 9 (ment) n nr 3:°5---(2n4+1 a) Geet ’), n! n2 2n n e) |e” | —— ) ( (. + :) n+1\" 1 f) —— —— n (—3)” Conceitos Basicos de Séries Numéricas. Defini¢ao. Dada uma sequéncia numérica a,, k > 0, a sequéncia de termo geral n Sn = S- az, nO, k=0 denomina-se série numérica associada a sequéncia (a;,). Os nimeros az, k > 0, sao chama- dos termos da série. Os nimeros s,, sio chamados somas parciais de ordem n da série. Se (s,,) for convergente, isto é, s, — s € R, diz-se que a série é convergente. Nesse caso, o limite s é chamado soma da série e escreve-se co S- ak = S. k=0 Quando (s,,) for divergente, diz-se que a série é divergente. co O simbolo S- a, foi usado para indicar a soma da série. Por um abuso de notagao, tal simbolo k=0 co também sera usado para denotar a propria série. Quando dizermos a série S- az, devemos entender k=0 n que se trata da série cuja soma parcial de ordem n é s,, = S- Ap. k=0 CO Exemplo 4. A série S- ! é convergente e sua soma é igual a 1 xem . —__—__ . P 4+ k(k +1) 6 6 De fato, primeiramente note que 1 1 1 = ——-—_, V¥k>1. k(k+1) k k+l Assim, n 1 Sy = ————_ " » k(k + 1) k=1 _ > (; 1 ) — k k+l (42), (0 2)....()_3 - 2 2 3 n n+l 7 n+1- Assim, lim s, = 1. Portanto, a série em questao é convergente e n—-oco = 1 DEED >t — k(k + 1) co Exemplo 5. Se 7, = 1, k = 1,2,..., entao So te = o, isto é, diverge. De fato, sendo s, = n, k=0 n=1,2,..., temos s, —- oo. Exemplo 6. A série So(-1)4 diverge. De fato, a sequéncia (s,,) das somas parciais é dada por k=1 { —l, sen éimpar, Sn = , 0, sen é par, e é, portanto, divergente. Exemplo 6 (Série geométrica). Provavelmente a mais simples e mais importante de todas as séries 6 a conhecida série geométrica yr k=0 O numero r é chamado razao da série geométrica. Nesse caso, a sequéncia de somas parciais §,,, n=0,1,2,..., satisfazem Sy =l+r+r? fees tr” rs, =rtretre+--- +r Subtraindo a segunda equacao da primeira, vem (l—r)s,=1—r"", donde, se r £ 1, —_ prt Sy, = ————. l-r : n+1 : 1 e Se |r| <1, lim r"™ = 0, portanto, lim s, = ——. n—oo n—oo l1-—r e Se |r| > 1, (r"*") diverge e, portanto, (s,) diverge. e No caso |r| = 1, os Exemplos 5 e 6 mostram que (s,,) diverge. Esta anadlise pode ser resumida da seguinte forma: a série geométrica S- r® diverge se |r| > 1, e k=0 = 1 conver <1 t bo ge, se |r| e neste caso Sor — k=0 Exercicio 2. Determine a soma das séries 5 5 a) Stott oat. 5 ht oO b) 5- Stet (-D SS +. Exercicio 3. Mostre que a série co 2” dd" n=0 k=0 é divergente. O préximo resultado fornece uma condigao necessaria para que uma série seja convergente. CO Teorema. Se y a, for convergente, entao lim a, = 0. k-oo k=0 n CO Demonstragao. Seja s, = y dz. Sendo a série y arp convergente, existe L € R, tal que k=0 k=0 lim s, = L. Também, lim s,_; = L. Como a, = Ss, — Sy_1, resulta nN—->0o n—-oo lim a, = lim (8, — Sp_1) = L—L=0. Noo n> OCo Este teorema fornece um teste de divergéncia. Para ver isso, vamos escrever sua formula¢ao contrapositiva: CO Se a, # 0 ou lim a, nao existe, entao a série y ay, diverge. k> ~ k=0 CO Observacgao 2. A reciproca do teorema nao vale, isto é, existem séries y ay, divergentes, com k=0 “1 1 lim a, = 0. De fato, a série harmonica y — é divergente, embora — —> 0. k=1 Exercicio 4. Determine se as séries sao convergentes ou divergentes. co k? a) y ———.. 2 = k2+3 co . 1 b) y ksin E) k=1 co k c) y [1 + (-1)"]. k=1