Exercícios - Aula 1 - Cálculo 4 2021-2

Exercicios - Calculo IV - Aula 1 - Semana 24/8 — 28/8 Sequéncias Numeéricas I Uma sequéncia de nimeros reais 6 uma funcadéo n € N +> 2, € R, ou seja, uma fungao cujo dominio é 0 conjunto dos numeros naturais e o contradominio é o conjunto dos ntiimeros reais. A imagem x, de n € N se chama termo da sequéncia, enquanto a prépria sequéncia é denotada por (z,). Também se usa a expressao: a sequéncia 40,1, %2,..., Ou ainda: a sequéncia ty, €R,n=0,1,2.... Talvez por influéncia das notagdes , 6 comum pensar-se erroneamente que uma sequencia é oO conjunto formado por seus termos, {z, € R:n = 0,1,...}. Entretanto, nota-se, por exemplo, que a sequéncia ((—1)”) é diferente da sequéncia ((—1)"*') e, apesar disso, ambas tém o mesmo conjunto de termos {—1, 1}. Exemplo 0. Em cada um dos seguintes exemplos, definimos uma sequéncia (x,) dando um formula explicita para seu n-ésimo termo: (a) rz, = 1, isto 6, 1,1,1,...; (b) rz, = (1 — (—1)")/2, isto é, 0,1,0,1,0...; (c) &n = 1/n, isto 6, 1, 5) Freee} (d) xr, = 2”, isto 6, 1,2,4,8,16,...; “1 (ec) Bn = DF) isto 6, 1,143, 14+$4+4, 1+$4+$+4..5 i=1 (f) try1 = V2%,,n > 1, 29 = 1, isto 6, V2, V2V2, \/2V/2v2,.... Definic¢ao. Uma sequéncia (,,) se diz convergente se existe uma numero L € R, chamado limite de (x,,), tal que, para todo € > 0, existe NV € N de modo que n>N => |a,-L\<e. Neste caso, diz-se que (,,) converge para L e denota-se In > L, comn-— > oo, ou lim x, = L. noo Se (x,,) nao for convergente, diz-se que ela é divergente. Exemplo 1. Considere a sequéncia (x,,), cujo n-ésimo termo é x, = (n — 1)/n: 1 2 3 0, =, =, =, ---- 2°34 Esta sequéncia parece convergir para o numero 1. De fato, para cada n € N, n > 1, temos n-1 1 1 |v, — 1) = |—— - 1] =|--| =-. n n n Dado ¢€ > 0, existe N € N tal que ¥ <e. Assim, >N => | 1| —— < n In -1]=—-—<— <e, — nN como queriamos verificar. Exemplo 2. A sequéncia ((—1)”) é divergente. Para ver isto é preciso verificar que qualquer numero real nao é o limite dessa sequéncia. De fato, seja L € R qualquer. Se L = 1, considere 0 <e< 2. Notando que n _ J 0 sen for par, (-" = I= { 2 sen for {mpar, obtemos \|(—1)" —1| =2 >, para todo n € N impar. Portanto, (—1)" nao converge para 1. Se L = —1, basta repetir o esse mesmo argumento. Se LER \ {1,1}, considere 0 < € < min{|1 — L|,| — 1— Z|}. Notando que 1-L| se n for par —1)"-L| = | : ’ (1) | { |—1-—L| sen for fmpar, obtemos |(—1)" — L| > €, para todon EN. Portanto, ((—1)") nao converge para L. E claro que continuam valendo para as sequéncias as técnicas e os resultados sobre limites no infinito de fungdes em geral estudados no Calculo I. Com se tratam dos mesmos resultados, é desnecessario pormerizar e apresentar as demonstracao outra vez. Nesse sentido, temos a seguinte reformulagao para o Teorema de Confronto. Teorema de Confronto. Se 7, < Yn < Zn, para todo n > N, para algum N EN, e lim x, = n—-oo lim z, = L, entao lim y, = L. n—-0o N00 Exemplo 3. Se |z,| > 0, entaéo x, — 0. De fato, basta observar que —|x,,| < Ln < [rn|, VneN e, como —|x,,| + 0 e |x,| + 0, segue do Teorema do Confronto que x, — 0. cos n Exemplo 4. —— — 0. De fato, note que n —l 1 ce c=, n= 1,2... n n n e use o Teorema do Confronto. Exemplo 5. Usando as regras operatérias de limites no infinito podemos calcular os seguintes limites: — WwW+n-5 _ 241/n?-5/n? 2 (a) lim ———— = lim ————— = =. noo 7n3 — 2n?+4 nooo 7T-2/n+4/n3 7 VJ 1- VJ 1 1 (b) lim (Vn +1 — Vn) = lim (WWntla=vivnti+vn_ tg Observacgao 1. Se reconhecermos uma sequéncia (%,) como a restricgado a N de uma funcao f : (0,00) > R, isto é, x, = f(n), tal que lim f(x) = a, a € RU {—c, +00}, entao zr, > a. xL—->0O Exemplo 6. . Inn (a) lim — =0. nc nN . TA: . Inge De fato, aplicando a regra de L’Hopital, obtemos que lim —— = 0. ro . 1\" (b) lim {1+—] =e. noo n De fato, com f(x) = (1 + +)", basta aplicar o segundo limite fundamental estudado no Calculo I. (c) A sequéncia geométrica (r”) converge para 0 se |r| < 1. De fato, pelo Exemplo 3, basta mostrar que (|r|") converge para 0. Para tanto, considere a fungao exponencial relacionada f(x) = |r|". Usando que In |r| < 0, temos lim f(x) = lim |r|* = lim e*™™!"! = 0. +00 &—+00 XL—+00 Pela Observagao 1, lim |r|" = 0. Pelo Exemplo 3, lim r” = 0. noo noo Observacgao 2. Lembre-se de que se f 6 uma funcao continua em um ponto de acumulacao LD do dominio de f, entao f(x) > f(L), com x > L. Esta ideia se aplica a sequéncias também. Suponha que uma sequéncia xz, — Le uma fungao f seja continua em L. Entao f(x,) > f(L). Essa propriedade geralmente nos permite encontrar limites para sequéncias complicadas. Por exemplo, considere a sequencia ( /5— 4 ). Como 5 — Ss +> 5e/z é continua em x = 5, 3 3 lim 4/5-— =4/ lim (5-—] =V5. noo n? noo n2 os . ns 2n+1 ; Exercicio 1. Determine se a sequéncia { cos 3n B converge. Se convergir, encontre seu n limite. - . . n+3\", . Exercicio 2. Determine se a sequéncia a, = nh é convergente ou divergente e, caso n convergente, determine o seu limite. Agora voltamos nossa atencao para um dos teoremas mais importantes envolvendo sequéncias: o Teorema da Convergéncia Mondétona. Antes de enunciar o teorema, precisamos apresentar alguma terminologia e motivacéo. Comecamos definindo o que significa uma sequéncia ser limitada Definigao. Uma sequéncia (2,,) é limitada superiormente se existe um numero real M tal que In <M para todoneN. Uma sequéncia (x,,) é limitada inferiormente se existe um ntimero real K tal que K <a, para todoneéN. Uma sequéncia (z,,) € uma sequéncia limitada se for limitada inferiormente e superiormente. Se uma sequéncia nao for limitada diz-se ilimitada. Exemplo 7. (a) A sequéncia (sin(n)) é limitada. (b) A sequéncia geométrica (e") é limitada inferiormente, mas nao é limitada superiormente, portanto, é ilimitada. n ns Loy. oe ~ qe . . (c) A sequéncia 2, = y — é limitada inferiormente, mas nao é limitada superiormente (veri- i i=1 fique), portanto, é ilimitada. Discutimos agora a relacao entre limitacéo e convergéncia. Suponha que uma sequéncia (2,) seja ilimitada. Entao, ele nao é limitado superiormente, ou inferiormente, ou ambos. Em ambos os casos, existem termos x, que sao arbitrariamente grandes em magnitude a medida que n aumenta. Como resultado, a sequéncia (2,,) nao pode convergir. Portanto, ser limitado é uma condicao necessaria para que uma sequéncia convirja, ou seja: Teorema. Se (x,,) 6 uma sequéncia convergente, entao ela é limitada. Observe que uma sequéncia ser limitada nao é uma condicao suficiente para convergir. Por exemplo, a sequéncia ((—1)") é limitada, mas é divergente. Definigao. Uma sequéncia (x,) é crescente todo n > N se In <Un41 para todo n> N. Uma sequéncia (x,,) € decrescente todo n > N se Ln > Ln41 para todo n> N. Uma sequéncia (z,,) € uma sequncia monotona para todo n > N se for crescente para todo n > N ou decrescente para todo n > N. Discutimos agora uma condicao suficiente (mas nado necessdria) para que uma sequéncia li- mitada convirja. Considere uma sequéncia limitada (z,). Suponha que a sequéncia (2,,) seja crescente. Como a sequéncia (x,) 6 crescente, os termos nao estao oscilando. Portanto, existem duas possibilidades. A sequéncia pode divergir para o infinito ou pode convergir. No entanto, como a sequencia é limitada, ela é limitada superiormente e a sequéncia nao pode divergir para o infinito e, portanto, concluimos que (2,,) converge. Teorema da Convergéncia Monotona. Se (z,,) é uma sequéncia limitada e existe um inteiro positivo N tal que (x,,) € mondtona para todo n > N, entao (2,,) converge. Exemplo 8. Para cada uma das seguintes sequéncias, use o Teorema da Convergéncia Mondétona para mostrar a convergéncia da sequéncia e encontrar seu limite. 4r @) (4). n! (b) (x,) é definida recursivamente de modo que Ln 1 41 =2 €4n44 = — +— paratodon> tl. 2 22m, Solugao. (a) Escrevendo os primeiros termos, vemos que 4” 32 32 128 i 4,8, —,=—,—,... ]. n! 3° 3° 15 No inicio, os termos aumentam. No entanto, apods o terceiro termo, os termos diminuem. Na verdade, os termos diminuem para todos os n > 3. Podemos mostrar isso da seguinte maneira. 4rtt 4 4” 4 x = pn SX Bn SENS. mr (nt)! nt inl! n+1">"" — Portanto, a sequéncia é decrescente para todo n > 3. Além disso, a sequéncia é limitada in- 4” feriormente por 0 porque > 0 para todo n € N. Portanto, pelo Teorema da Convergencia n! Monona, a sequéncia converge. Para encontrar o limite, usamos o fato de que a sequencia converge e seja L = lim 2p. n—-Co Agora observe esta importante observacéo: considere lim 2,4,. Desde que n> OCo (Tn41) = (Xa, XL3,U4,+-- ), a unica diferenga entre as sequéncias (%n41) € (%n) € que (p41) Omite o primeiro termo. Uma vez que um ntimero finito de termos nao afeta a convergéncia de uma sequéncia, lim pi, = lim rv, = L. Noo n—-oo Combinando este fato com a equacao 4 Cnt, = ——2x n+1 n+ 1 n e tomando o limite de ambos os lados da equacao, obtemos L=0L=0. (b) Escrevendo os primeiros termos, 5 41 3281 go = eee). 4° 40° 3280 podemos conjecturar que a sequéncia é decrescente e limitada inferiormente por 1. Para mostrar que a sequéncia é limitada inferiormente por 1, primeiro reescreva 2 Ln 1 ri+1 x = — + ———SS = a a) ae Portanto, 2 vt+1 a >1 se, esomente se, x2 +1 > 2%. n Reescrevendo a desigualdade x +1 > 2z,, como x — 2x, +1 > 0, e usando o fato de que x2 — 22, +1= (a, -1)? >0, podemos concluir que x2 + 1 > 22x, para todo n > 1 e, portanto, 2 v+i1 In4t = —— 21. 22 n, Para mostrar que a sequéncia é decrescente, devemos mostrar que %p4, < £, para todo n> 1. Como 1 < x, somando x? em ambos lados dessa ultima inequacao, segue que a +1< 22°, Dividindo os dois lados por 2x,,, obtemos Ln 1 1 c — + — <&p. 2 22 Usando a definigao de x41, concluimos que Ln 1 Una. = — +— < Xp. 41 9 + m= Visto que (x,) é limitada inferiormente e decrescente, pelo Teorema da Convergéncia Monotona, (x,) converge. Para encontrar o limite, seja L = lim,,x,. Entao, usando a relacgao de recorréncia e o fato de que lim 2,4, = lim x, temos n—-oo n—-oo i i tr 1 im %p41 = lim {| — + — ], noo +1 n—00 2 22 n, e portanto L s4 L==-+—. 2 + 2L Assim, 2 =L? +1. Resolvendo esta equacao para L, concluimos que L? = 1, o que implica L = +1. Como todos os termos sao positivos, o limite D = 1. Observacgao 3 (Método dos babil6nios para o calculo de raiz quadrada). O item (b) do Exemplo 8 pode ser generalizado para obter uma aproximacao (por falta) da raiz quadrada de um numero real positivo. Considere a sequéncia (x,) dada por Ln a Ins = — +— para todo n> 1, 2 22m, onde x; e a sao numeros reais positivos dados. O leitor pode repetir os argumentos da solugao do item (b) do Exemplo 8 para mostrar que x, > \/a para todo n > 2 e (x,) é decrescente para todo n > 2. Assim, (x,) 6 convergente. Repetindo 0 argmento do item (b) do Exemplo 8, 0 limite de (tn) 6 L= Ja. O fato de x, > Va é o que significa x, ser uma aproximagao por falta de \/a. Exemplo 9. (Exemplo da Parte 4 da Aula 1) Determine se a sequéncia definida a seguir tem um limite. Em caso afirmativo, encontre o limite. a, = V2, ag = V2V2, a3 = \/2V 2V2, .... Note que (a,,) pode ser definida recursivamente como a; = JV2e Gn41 = V2dn para n> 1. (a) Prove que ad, < Qny1 < 2 para todo n > 1. Isto mostra que (a,) é crescente e limitada superiormente e, portanto, convergente a um limite L < 2. (b) Mostre que L = 2. Solugao. (a) Usaremos o Principio da Inducéo Matematica! para provar que a sequéncia é crescente. A afirmacao que queremos provar envolvendo um ntimero natural é An <QAnii1, Vn => 1. O passo base (1) é verdadeiro porque a,=V2< \V 2/2 = av. Para provar o passo indutivo (2), suponha que a afirmacao é verdadeira para n > 1 (isto é, An < Gn41) € provemos a afirmacao é verdadeira para n+ 1. De fato, como an42 = V/2dn41. Pela hipdtese de inducao, an < dn41. Assim, Gny2 = V2dn41 > V2dn = An41, Como queriamos provar. Pelo principio de indugao matematica, dy < Gni1, Vn > 1. Vamos provar agora que a, < 2 para todo n > 1. Poderfamos usar novamente principio de indugao matematica para fazer isso, mas vamos usar o fato que a sequencia é crescente. De fato, para todo n > 1, An < Antsy = V2An. Elevando o quadrado em ambos os lados, temos 2 a> < 2ay. Usando que a, € positivo para todo n > 1 (a, > ay = V2), segue que Gd, < 2 para todo n>. (b) Pelo item (a) e o Teorema da Convergéncia Mondétona, existe L € R tal que L = lim, _,., dn. Fazendo n > oo na formula a,41 = V/2a,, obtemos L=v2L. Elevando o quadrado em ambos os lados e usando que L > 0 (isto porque a, > 0 e (an) é crescente), obtemos L = 2. Observacgao 4. Um outro modo de resolugao do Exemplo 9 seria obter uma formula explicita para a, em termos de n. Podemos usar o principio de indugao matematica para mostrar que a sequéncia (a,) do Exemplo 7 pode ser escrita explicitamente por an = ttt) Como n Pete tigi 1 /1-(5) 1 1\" 2° 2 Qn 2 2 artPo2\ 1-2 J 2) ° 'O Principio da Inducéo Matematica 6 um axioma do sistema de niimeros que pode ser usado para provar afirmagées matematicas envolvendo um ntimero natural n, como 1+2+---+n=n(n+1)/2. Para provar que uma afirmagéo P(n) é verdadeira para todos os nimeros naturais n > no, onde np é um numero natural, procedemos da seguinte forma: (1) Prove que P(no) é verdadeiro. (2) Prove que para qualquer n > no, se P(n) for verdadeiro (chamada hipdtese de inducao), entao P(n + 1) é verdadeiro. O principio de inducgaéo matemAtica afirma que se 0 passo base (1) e o passo indutivo (2) forem provados, entao P(n) é verdadeira para todos os nimeros naturais n > no. Portanto, _(4)" (im = 2 (3) J4qao com n — oo. Exercicio 3. Verifique se existe lim a, se n—-oo 1 3.6.9.....(3n) ty, = ———————.. n1.4.7.--+ .(38n — 2) Sugestao: mostre que (a,,) € decrescente e limitada inferiormente. Exercicio 4. Determine se a sequéncia definida a seguir tem um limite. Em caso afirmativo, encontre o limite. a, = Va, a2 = Vat Va, a3 = \/a+Va+ Va, ..., onde a > 0 um nimero real fixo. Exercicio 5. Determine se a sequéncia definida a seguir tem um limite. Em caso afirmativo, encontre o limite. a, = 3, Gn = JS2an_1, N = 2,3,.... Observacgao 4. Combinando o Exemplo 9 e 0 Exercicio 5, podemos nos perguntar quais valores de a, determinam que (a,,) 6 crescente ou decrescente? Outro fato interessante é que independente do valor de a; > 0, a sequéncia (a,) converge para 2, o qual é 0 ponto fixo da funcgao f(x) = V2z, x € (0,00) (Figuras 1 e 2 acima). y y G(x) =x g(x) = @ A(x) = v2e 02 — = a a Fn) = Vv a6 I 1 I 1 1 ! ! 36-4 --- ee 1! I eon ! ! ' ' i | itt ‘| rho ! 1 I I ! bo Hr! I ' ' a I tony 2 aa a £ ay a2 a3 2 x Figure 1: a, < 2 Figure 2: a, > 2 Exercicio 6. Mostre que se a,, + 0 e a sequéncia (b,,) é limitada, entao a,b, — 0. Use isso para mostrar que e "cos “* — 0. Exercicio 7. Calcule lim 2, se noo (a) t, = /n(V/n+a— Vn). (resp.: a/2) _ 1)\4 4 » Ap (b) tz, =n (a+ 1)\"=a |. (resp.: 4a”) Observacao 6. Nesta disciplina, a discussao de sequéncias numéricas é bem resumida e é ap- resentado o suficiente para o estudo razoavelmente satisfatério de séries numéricas, 0 qual esta baseado na definicao de convergéncia de sequéncias. No entanto, sequéncias numéricas é um tema riquisimo. Para citar um exemplo, os nimeros primos formam uma das sequencia mais interessantes 2, 3,5, 7, ll, 13, 17, 19, 23, 29... Um teorema da Teoria dos Numeros mostra que ha infinitos primos. A sequéncia dos nimeros primos é divergente, e pode parecer que o conceito de convergéncia de sequéncias tem pouco ou nada de relevante com rela¸c˜ao aos n´umeros primos. Em verdade, essa impress˜ao ´e errˆonea, pois a convergˆencia de certas sequˆencias est´a intimamente ligado `a teoria do n´umeros primos. Para refor¸car essa observa¸c˜ao, citamos o interessante teorema sobre o valor aproximado do n-´esimo primo: se pn denota o n-´esimo primo, ent˜ao pn ´e “assintoticamente igual” a n ln n, no sentido que lim n→∞ pn n ln n = 1. EXTRA: N´umeros de Fibonacci (comentados na Aula 1) Os n´umeros de Fibonacci s˜ao definidos recursivamente pela sequˆencia Fn onde F0 = 0, F1 = 1 e para n ≥ 2, Fn = Fn−1 + Fn−2. Aqui, examinamos as propriedades dos n´umeros de Fibonacci. 1. Escreva os primeiros vinte n´umeros de Fibonacci. 2. Encontre uma f´ormula fechada para a sequˆencia de Fibonacci usando as seguintes etapas. a. Considere a sequˆencia definida recursivamente (xn) onde x0 = c e xn+1 = axn. Mostre que essa sequˆencia pode ser descrita pela f´ormula fechada xn = can para todo n ≥ 0. b. Usando o resultado da parte a. como motiva¸c˜ao, procure uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao Fn = Fn−1 + Fn−2 da forma Fn = cλn. Determine quais s˜ao os dois valores de λ que permitir˜ao a Fn satisfazer esta equa¸c˜ao. c. Considere as duas solu¸c˜oes da parte b .: λ1 e λ2. Seja Fn = c1λn 1+c2λn 2. Use as condi¸c˜oes iniciais F0 e F1 para determinar os valores para as constantes c1 e c2 e escreva a f´ormula fechada Fn. 3. Use a resposta em 2 c. para mostrar que lim n→∞ Fn+1 Fn = 1 + √ 5 2 . O n´umero φ = 1+ √ 5 2 ´e conhecido como a raz˜ao ´aurea. Figure 3: As sementes do girassol exibem padr˜oes de espiral curvando-se para a esquerda e para a direita. O n´umero de espirais em cada dire¸c˜ao ´e sempre um n´umero de Fibonacci. (cr´edito: modifica¸c˜ao do trabalho de Esdras Calderan, Wikimedia Commons) 9