Aula 5 - Convergência Absoluta e Condicional

SMA0356 - Aula 5 - Semana 13/9-17/9 Convergéncias Absoluta e Condicional Antes de introduzir as convergéncias absoluta e condicional, vamos analisar dois exemplos. co CO Considere uma série y Gn € a Série relacionada y la,|. Aqui, discutimos as . n=1 n=1 possibilidades de relacao entre a convergéncia dessas duas séries. Por exemplo, ee (—1)"+1 considere a série harmo6nica alternada y ~—_——. A série cujos termos sao 0 n=1 n valor absoluto desses termos é a série harmOnica, pois s ———__]} = s -. n=1 n n=1 n Como a série harménica alternada converge, mas a série harmOnica diverge, dizemos que a série harmonica alternada exibe convergéncia condicional. co ("1 Considere agora a série y —,—. A série cujos termos sao os valores ab- n=1 n CO solutos dos termos desta série é a série y —5. Como ambas as séries convergem, n=1 n ee (—1)"+1 dizemos que a série y —Z— exibe convergéncia absoluta. n=1 n Definicao. co CO e Uma série s Gy, € absolutamente conververgente se a série S lan| n=1 n=1 converge. CO CO e Uma série S Gn, € condicionalmente conververgente se a série s An n=1 n=1 CO converge, mas a série s la,| diverge. n=1 CO Conforme mostrado pela série harménica alternada, uma série y Gn pode con- n=1 CO vergir, mas y |a,| pode divergir. O teorema a seguir, entretanto, nos diz que n=1 co co se y |a,| converge, entao y Gn, converge. n=1 n=1 1 co co Teorema. Se S> |a,| Converge, entao S> Gn, converge. n=1 n=1 Observagao 1. Os critérios de convergéncia para séries de termos n&o-negativos (comparagao, comparacao no limite, da integral, razdo e raiz) sao critérios de convergéncia absoluta. Exemplo 1. Para cada uma das seguintes séries, determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. CO (-1)"*1 a —— ) » 3n+1 n=1 = cosn b) n=1 Solugao. A )(-uyet] A a) Vemos que —— | = =——— diverge usando o teste de compa- ) a Gor » ntl P racgao no limite com a série harménica. De fato, . 1/(8n+1 1 lim 1/(8n +1) ==>0. n—+00 1/n 3 oo (-1)"+1 Portanto, a série S> -————— nao converge absolutamente. No entanto, <= 3n+1 como ~ ! < ! u —>0 so XK tO , 3(n+1)4+1 ~ 38n4+1 3n+1 & (-1)"*+1 pelo Critério de Leibniz, a série S> —-——— converge. Podemos concluir “> 3n+1 oo (—1)"+1 ue ——— é condicionalmente convergente. a » 3n+1 5 n=1 b) Observando que cos n 1 “1 0< || < 2? n>1, e a converge, n=1 | cos n segue do critério da comparacao que a série S> | | converge. Portanto, n = cosn ™ a série S> —, € absolutamente convergente. nr n=1 2 Exercicio 1. Determine se cada uma das seguintes séries converge absoluta- mente, condicionalmente ou diverge. “ n a —1)"+t—_ yee n=1 CO Vn +3 b —1)rtte ) Vey n=1 CO c) S$0(-1)"*" sin?(1/n) n=1 CO d) So(-1)"*!n (arctan(n + 1) —arctann) (sugestao: use 0 teorema do va- n=1 lor médio.) CO Exemplo 2. Determine x para que a série S> nx” seja convergente. n=1 Solucgao. Vamos estudar primeiro a série de termos nao negativos, isto é, vamos estudar primeiro a convergéncia absoluta. Vamos aplicar o critério da raiz para a série com o termo geral em valor absoluto. Para todo « € Ren =1,2,3,..., temos Vina") = Yale. Como lim Ynla| =e, noo CO a série S> nx” € absolutamente convergente para |x| < 1, ou seja, para —1 < n=1 e<l. Agora, para |x| > 1, ou seja, para x < —1 ou x > 1, o termo geral na” > 0, co portanto pelo critério da Divergéncia, a série S> nx” é divergente para |x| > 1. n=1 co A conclusao é que a série S> nx” é absolutamente convergente para |x| < 1 n=1 e divergente para |x| > 1. 3 Observagao 2. Embora nao tenha sido comentado na aula do Prof. Possani, os critérios da raiz e da razao possuem versOes para séries de termos quaisquer (sem sinal definido) e serao enunciados a seguir. Teorema (Critério da raiz para séries de termos quaisquer). Dada a CO série S> Gn, temos: n=0 co 1. lim VYija,;,=D<1 > S> Gy & absolutamente convergente. noo n=0 CO 2. lim Vja,;=L>louL=o = S> Ay, € divergente. noo n=0 3. O critério nao é conclusivo se lim ‘/Ja,| = 1. noo Demonstragao. 1. Suponhamos lim ‘/|a,| = L < 1. Logo, existem r € (L,1) e no € N tais noo que n> no => |an| <r”. co co Como S> r” converge, segue do critério da comparagao que S> la, | con- n=0 n=0 verge. 2. Suponhamos lim {/|a,| = L > 1 ou L =o. Logo, existe no € N tal que noo n>Nno > Vlan| > 1. CO Assim, |a,,| > 1 se n > ng, implicando a, 4 0 e, portanto, S> a, diverge. n=0 vas . ne 1... Para mostrar a tltima parte, consideremos, por exemplo, as séries S> — (diver- 1 n=1 n gente) e S> —5 (convergente). Para ambas, lim (/|1/n| = lim (/|1/n?|=1. 1 n noo noo n= Exemplo 3. Vamos refazer o Exemplo 2 usando o critério da raiz para séries de termos quaisquer: lim VY|nz”| = lim Yn|2| = |]. noo noo co Pelo critério da raiz para séries de termos quaisquer, a série S> na” é absoul- n=1 tamente convergente para |x| < 1 e divergente para |a| > 1. 4 Para |a| = 1 a série é divergente. De fato, se x = 1 a série é diverge, pois n\jz|" =n A 0. Se « = —1 a série também diverge, pois lim,_,..(—1)"n nao existe. De modo andlogo, podemos provar o critério da razao para séries de termos quaisquer: Teorema (Critério da razao para séries de termos quaisquer). Dada a CO série y Gn, COM a, #0 para todo n > N para algum N EN, temos: n=0 co . lan+1 | , 1. lim ——-=L<1 53 y dy, € absolutamente convergente. nc |d,,| n=0 lan+1 — . 1 , : 2. lim —**=L>1louL=o = y Gy, @ divergente. n+0o |dy| n=0 tea : _ [n+ 3. O critério nao é conclusivo se lim ——— = 1. noo |dy| CO ae Exemplo 4. Determine x para que a série y — seja convergente. n n=1 Solugao. Para x = 0 a série é convergente. Para x 4 0, vamos aplicar o critério da razao para séries de termos quaisquer: n+1 x ; | n41 | . Jart| n . n lim ———— = lim ——~—— = |z| lim —— = |g}. noo \=| noo ja” | n+1 noo n+l n Segue, do critério da razdo, que a série é absolutamente convergente para |x| < 1 e divergente para || > 1. 1 Para x = 1, temos a série harménica y — que ja sabemos que diverge. n n=1 ~ 1 Para x = —1, temos a série harmoncia alternada y (—1)"— que é convergente. n n=1 co a? A conclusao é que a série y — é convergente para —1 <a <1. n n=1 CO ae Podemos concluir mais: a série y — é absolutamente convergente para n n=1 eos —1 <a < 1, divergente se x < —1 ou x > 1 e condicionalmente convergente para x = —1. 5 CO a” Exemplo 5. Determine x para que a série y > seja convergente. nal ni Solugao. Para x = 0 a série é convergente. Para x 4 0, vamos aplicar o critério da razao para séries de termos quaisquer: | grt . (n+1)! . x lim ———— = lim Jl ig ey, n: Assim, a série é absoultamente convergente para qualquer x 4 0. Juntando os dois casos, concluimos que a série é absolutamente convergente para qualquer que seja x ER. CO Exemplo 6. Determine x para que a série y n” x” seja convergente. n=1 Solugao. Usando o critério da raiz para séries de termos quaisquer, temos 0 sexr=0 lim %/n"\x| = lim nla] = , Assim, a série diverge para todo x # 0 e converge somente para x = 0. Conforme observado na Aula 5 do Prof. Possani, as séries do tipo dos exem- plos 2, 4, 5 e 6 sao exemplos de Séries de Poténcias que serao estudas na Aula 7. APENDICE. As convergéncias absoluta e condicional permitem entender que a soma de uma série nado resulta de uma operacdo algébrica, mas de um processo limite. Assim, ndo se pode simplesmente transferir as propriedades da adiacdo para as séries convergentes. Vamos considerar a questao da comutatividade (a ordem das parcelas nao altera o resultado da adicao). Para isto, é preciso entender o significado de alterar a ordem dos termos de uma série, que é 0 contetido da definicdo a seguir. CO Definicado. Seja a série S ap e seja d : N — N uma funcao bijetora. A série k=1 CO CO S by, onde bj, = agp), denomina-se uma reordenacao da série s Ag. k=1 k=1 CO CO CO Observe que sendo y by uma reordenacdo de y Qr, entao y by, tem os mesmos k=1 k=1 k=1 CO termos que y ax, SO que numa outra ordem. k=1 A seguinte propriedade estabelece a propriedade comutativa para as séries absolu- tamente convergentes. 6 co Teorema. Se S> ay € uma série absolutamente convergente, entdo toda reordena- UE cdo de Sax converge absolutamente, e todas convergem para a mesma soma. k=1 Uma demonstracdo deste teorema pode ser encontrada na secdo 4.3 do livro do Guidorizzi. A proposicao abaixo estabelece que, entre as séries convergentes, a comutatividade é€ caracteristica somente das séries absolutamente convergentes. CO Proposicao. Seja Sax uma série condicionalmente convergente. Entdo, dado ket co co qualquer s € R ou s = +co, existe uma reordenacdo So be de So a tal que k=1 k=1 CO S> by = 58. k=1 Exemplo. Use o fato de que 1 1 1 441 1--4+=-—4+-.--=m2 273° 475 " para reordenar os termos na dessa série de forma que a soma da série reordenada seja i+: Pitot te _ 3in2 3 2 5 7 4 2 Solucdo. Seja > pt ,t_tytiiyiii Qh =1l-=4+5=--+25-4+5-5+... e 2°3 4'°5 6'7 8 k=1 CO Uma vez que S> ax = In2, pelas propriedades algébricas da série convergente, k=1 CO CO 1 1 1 1 41 1 In2 dogg - gt greta pr k=1 k=1 co Agora considere a série So be tal que para todo k > 1, box_-1 = 0 e€ bop = ay /2. k=1 Entdo so 1 1 1 1 In2 by =04+=-4+0-—-404+=-4+0-=4---= —. Dobe =0+ 540-7 +045 40-54 5 k=1 7 CO co Entdo, usando as propriedades operatorias de limite, uma vez que So ax e S> br k=1 k=1 co convergem, a série So (an + by) converge e k=1 CO CO co In2 3ln2 S "(ax + br) = So an + So be =In2+ 3 = k=1 k=1 k=1 Agora, adicionando os termos correspondentes, az € bj, vemos que CO So (ax + bp) = k=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =(1+0 —=+= -~+0 -=- = —+0 -=4+- =+0 ~——)+... (140) +(-5 +5) + (G40 4(-F-DH (E404 (E45 4(G404(5-5)+ ~;,i 1,1 1 1, 7 3.2 5 7 4 °° Notamos que a série do lado direito do sinal de igual 6 uma reordenac4o da série CO harm6nica alternada. Como So (ax + be) = (31n2)/2, concluimos que k=1 i+: ne a _ 3in2 3 2 5 7 4 QS Note que os termos série reordenada obtida so os mesmos niimeros da série harm6- nica alternada sendo somados, com os mesmos sinais, mas agora somamos os dois primeiros nimeros positivos seguidos do primeiro ndmero negativo, depois os dois proximos niimeros positivos seguidos do segundo nimero negativo, e assim por di- ante. Portanto, encontramos uma reordenacao da série harménica alternada com a propriedade desejada. 8