Lista - Aula 1 - Cálculo 4 2021-2

SMA0356 - Aula 1 - Semana 16/8 — 20/8 Sequéncias Numeéricas I Terminologia de sequéncias Uma sequéncia de numeros reais é uma fungao que a cada numero natural n associa um numero real x,,, ou seja, € uma funcao cujo dominio é um subconjunto infinito dos numeros naturais N e o contradominio é 0 conjunto dos nimeros reais R. A imagem x, de n € N se chama termo da sequéncia, enquanto a propria sequéncia é denotada por (x,,) ou {z,}. Também se usa a expressao: a SeQqUeNCia Xo, X1,%2,..., OU ainda: a sequéncia x, € R,n=0,1,2.... Talvez por influéncia das notacdes, 6 comum pensar erroneamente que uma sequéncia é o conjunto formado por seus termos, {z, € R:n = 0,1,...}. Entretanto, nota-se, por exemplo, que a sequéncia ((—1)") é diferente da sequéncia ((—1)""') e, apesar disso, ambas tém o mesmo conjunto de termos {—1, 1}. Exemplo 0. Em cada um dos seguintes exemplos, definimos uma sequéncia (x,) dando um formula explicita para seu n-ésimo termo: (a) t, = 1, isto 6, 7 = 1,47, =1,22 =1,...; (b) r, = (1 — (—1)")/2, isto 6, x9 = 0,2, = 1,22 = 0,73 = 1,24 =0...; ang 1 1 . (c) @ =1/n, isto é, 7) =1,@2 = 5,23 = 3,---5 (d) xr, = 2”, isto 6, %) = 1,4, = 2,29 = 4,73 = 8,44 = 16,...; “1 (e) tm = )_ =, isto 6, x =1, tv =144, aj=1+3+5, te=1+54+ 5th, veel i=1 | (f) tn41 = V2%n, n> 0, xo = 1, isto 6, 2, = V2, %2 = V2V2, 23 = \/2V/2V2..... Nem toda sequéncia tem uma formula simples, ou mesmo alguma f6rmula. Pode-se ver isso pelos numeros que primos formam uma das sequéncia das mais interessantes, ou pela sequéncia (Zn), sendo x, o n-ésimo algarismo apés a virgula na expansao decimal do numero 7. Limite de uma sequéncia Defini¢ao. Uma sequéncia (,,) é convergente se existe um numero L € R tal que, para cada numero ¢« > 0, existe N € N de modo que n>N => |a,-L\<e. O nimero L é chamado limite de (x,). Neste caso, diz-se que (x,) converge para L e denota-se lima,=L ou 2,74 L, comn-—- oo. n-co Se (x,,) nao for convergente, diz-se que ela é divergente. Exemplo 1. Considere a sequéncia (z,,), cujo n-ésimo termo é 4, = (n — 1)/n: er) 0, 2° 3 1’ sae Esta sequéncia parece convergir para o numero 1. De fato, para cada n € N, n > 1, temos n-1 1 1 lt, — 1) =|—— - 1) = |--] =-. n n n Dado ¢€ > 0, existe N € N tal que x <e. Assim, >N => | 1| t<- < In -1]=—-—<—<e, ne nn N como queriamos verificar. Exemplo 2. A sequéncia ((—1)”) é divergente. Para ver isto é preciso verificar que qualquer numero real nao é o limite dessa sequéncia. De fato, seja L € R qualquer. Se L = 1, considere 0 <e< 2. Notando que n O sen for par, ("= { 2 sen for impar, obtemos \|(—1)”" —1|=2>, para todo n € N impar. Portanto, (—1)" nao converge para 1. Se L = —1, basta repetir o esse mesmo argumento. Se LER \ {1,1}, considere 0 < € < min{|1 — L|,| — 1— Z|}. Notando que |1—L| se n for par —1)\"— Lil = : ’ (=) | { |—1-—L]| sen for fmpar, obtemos |(—1)" — L| > €, para todon EN. Portanto, ((—1)") nao converge para L. Observamos que continuam valendo para as sequéncias as técnicas e os resultados sobre limites no infinito de fungoes em geral estudados no Calculo I. Como se tratam dos mesmos resultados, é desnecessario pormerizar e apresentar as demonstracao outra vez. Nesse sentido, temos a seguinte reformulagao para as propriedades operatérias do limite. Teorema. Dadas as sequéncias (x,,) e (Yn) convergentes e qualquer numero c, entao i. limc=c n—-Co ii. lim cx, =c lim x, n—-Co n> OCo iii. lim (a, + Yn) = lim x, + lim yp, noo n—0o noo iv. lim (%rYn) = (Jim tn) (Jim Un) N+ 0o NCO NCO r lim Zp v. lim —“ = ""*_. desde que lim y, 4 0 NCO Yn, lim Yn n—00 n—-Co Exemplo 3. Usando as regras operatoérias de limites no infinito podemos calcular os seguintes limites: . 2n?+n—5 _ 241/n?-5/n? 2 (a) lim —— = lim ——W——_ = =. nooo 7n? — 2n? +4 N00 7 —2/n4+4/n3 7 . . Yn+1—-J/n\(Vn+l+vyn . 1 (b) lim (Vvn+1— Jn) = lim (vn + l= vin(vn +14 vn) = lim ——————. = 0. n—0o n—0o Jnt+14+ fn n00 Jn +14 /n No que segue, temos a seguinte reformulacao para o Teorema de Confronto. Teorema de Confronto. Se 7, < Yn < Zp, para todo n > N, para algum N EN, e lim zx, = n—-oo lim z, = L, entao lim y, = L. nN—->0o Noo Exemplo 4. Se |x,,| > 0, entao x, — 0. De fato, basta observar que —|x,,| < Ln < [rn|, VneN e, como —|x,,| + 0 e |xz,| > 0, segue do Teorema do Confronto que x, — 0. cos n Exemplo 5. —— — 0. De fato, note que n —-l<cosn<1,, n=1,2,... Multiplicando por i, temos —l1 _cosn _ l — < — <-, n=1,2,... n n n . cos n Assim, pelo Teorema do Confronto, temos —— —> 0. n Observacgao 1. Se reconhecermos uma sequéncia (z,,) como a restricado a N de uma funcao f : (0,cc) > R, isto 6, x, = f(n), tal que lim f(x) =a, a € RU {—00, +00}, entao lim x, =a. 00 n—-oo Exemplo 6. . Inn (a) lim — =0. nc nN ns . Inge . De fato, pela regra de L’Hopital, temos lim —— = 0. Agora use a Observagao 1 para roo Inn concluir que lim —— = 0. nc nN . 1\" (b) lim {1+ -—] =e. noo n De fato, com f(x) = (1 + +)", basta aplicar o segundo limite fundamental estudado no Calculo I. (c) A sequéncia geométrica (r”) converge para 0 se |r| < 1. De fato, pelo Exemplo 4, basta mostrar que (|r|") converge para 0. Para tanto, considere a fungao exponencial relacionada f(x) = |r|*. Usando que In |r| < 0, temos lim f(x) = lim |r|* = lim e*™™!"! = 0. xw—->0O0 x—->0O xL—->0O Pela Observagao 1, lim |r|" = 0. Pelo Exemplo 4, lim r” = 0. n—-Co n> OCo Observacgao 2. Lembre-se de que se f 6 uma funcao continua em um ponto de acumulacao LD do dominio de f, entao f(x) > f(L), com x > L. Esta ideia também se aplica a sequéncias. Suponha que uma sequéncia x7, — L e uma funcao f seja continua em L, sendo L um ponto de acumulagao do dominio de f e que x, pertence ao dominio de f para todo n suficientemente grande. Entao f(z,) > f(L), ou seja lim f(t.) =f (Jim ) ; nN—->0o n—-oo Essa propriedade geralmente nos permite encontrar limites para sequéncias complicadas. Por exemplo, considere a sequencia ( /5— 7 ). Como 5 — <= + 5e,/z é continua em x = 5, temos . 3 . 3 lim 4/5 —-— =,/ lim (5—-— ) = V5. n—00 n?2 n—00 n2 ss ; a 2n+ 1 , ; Exercicio 1. Determine se a sequéncia | cos Bn kB é convergente. Em caso afirmativo, n encontre seu limite. - . a. n+3\", . Exercicio 2. Determine se a sequéncia a, = | ——~ ] 6 convergente ou divergente e, caso n+ 2 convergente, determine seu limite. No que segue discutiremos um dos teoremas mais importantes envolvendo sequéncias: o Teo- rema da Convergéncia Monoétona. Antes de enunciar o teorema, precisamos apresentar a termi- nologia que ser empregada. Comecamos definindo o que significa uma sequéncia ser limitada. Definigao. Uma sequéncia (2,,) é limitada superiormente se existe um numero real M tal que In <M para todoneN. Uma sequéncia (,,) é limitada inferiormente se existe um ntimero real K tal que K <a, para todoneéN. Uma sequéncia (x,) € uma sequéncia limitada se for limitada inferiormente e superiormente. Se uma sequéncia nao for limitada diz-se ilimitada. Nao é dificil demonstrar a seguinte caracterizagao de sequéncia limitada: Proposigao. Uma sequéncia (2,,) é limitada se, e somente se, existe M > 0 tal que |z,| < MW para todo n € N. Exemplo 7. (a) A sequéncia (sin(n)) é limitada. (b) A sequéncia geométrica (e") é limitada inferiormente, mas nao é limitada superiormente, portanto, é ilimitada. n ns Loy. oe ~ qe . . (c) A sequéncia 2, = y — é limitada inferiormente, mas nao é limitada superiormente (veri- i= ' fique), portanto, é ilimitada. Discutimos agora a relacao entre limitacéo e convergéncia. Suponha que uma sequéncia (2,) seja ilimitada. Entao, ele nao é limitado superiormente, ou inferiormente, ou ambos. Em ambos os casos, existem termos x, que sao arbitrariamente grandes em magnitude a medida que n aumenta. Como resultado, a sequéncia (2,,) nao pode convergir. Portanto, ser limitado é uma condicao necessaria para que uma sequéncia convirja, ou seja: Teorema. Se (x,,) 6 uma sequéncia convergente, entao ela é limitada. Demonstragao. Como (x,) é convergente, existe um ntimero real L tal que dado € > 0 existe um numero natural N tal que |z, — L| <esen>N. Assim, L-e<a,<Lt+e VneN. Sejam K = min{z,,...,7y_-1,L—e}e M = max{z,...,¢n_1, +6}. Logo, K <x, < M para todo n > 1. Portanto, (x,) é limitada. Observe que uma sequéncia ser limitada nao é uma condigao suficiente para convergir, ou seja, a reciproca do resultado anterior nao é verdadeira. Por exemplo, a sequéncia ((—1)") é limitada, mas é divergente. Definigao. Uma sequéncia (x,) é crescente todo n > N se Ln <Ln41 para todo n> N. Uma sequéncia (,,) € decrescente todo n > N se Ln > Ln41 para todo n> N. Uma sequéncia (z,,) 6 uma sequéncia monotona para todo n > N se for crescente para todo n > N ou decrescente para todo n > N. Discutimos agora uma condicao suficiente (mas nado necessdria) para que uma sequéncia li- mitada convirja. Considere uma sequéncia limitada (x,). Suponha que a sequéncia (2,) seja crescente. Como a sequéncia (x,) 6 crescente, os termos nao estao oscilando. Portanto, existem duas possibilidades. A sequéncia pode divergir para o infinito ou pode convergir. No entanto, como a sequencia é limitada, ela é limitada superiormente e a sequéncia nao pode divergir para o infinito e, portanto, concluimos que (2,,) converge. Teorema da Convergéncia Monotona. 1. Se (x,) € uma sequéncia limitada superiormente e existe um inteiro positivo N tal que (x) € crescente para todo n > N, entdo (z,,) é convergente. 2. Se (x) € uma sequéncia limitada inferiormente e existe um inteiro positivo N tal que (x) 6 decrescente para todo n > N, entdo (z,,) é convergente. Exemplo 8. Para cada uma das seguintes sequéncias, use o Teorema da Convergéncia Mondétona para mostrar a convergéncia da sequencia e encontrar seu limite. 4r @) (4). n! (b) (x,) é definida recursivamente de modo que x 1 vy, =2 C&py, = “+ — paratodo n>. 2 22y Solugao. (a) Escrevendo os primeiros termos, vemos que 4” 1.8 32 32 128 mi) VO 37 380 15 No inicio, os termos aumentam. No entanto, apods o terceiro termo, os termos diminuem. Na verdade, os termos diminuem para todos os n > 3. Podemos mostrar isso da seguinte maneira. 4rtt 4 4” 4 Ing. = ———— OS en SX Bn SENS 3. " (ntl)! n+in! n4+1 "7" Portanto, a sequéncia é decrescente para todo n > 3. Além disso, a sequéncia é limitada in- . 4” ns feriormente por 0 porque > 0 para todo n € N. Portanto, pelo Teorema da Convergencia n! Monona, a sequéncia converge. Para encontrar o limite, usamos o fato de que a sequencia converge e seja L = lim 2p. n—-Co Agora observe esta importante observagao: considere lim x,,4,. Desde que n> OCo (Tn41) = (Xa, XL3,U4,+-- ), a unica diferenga entre as sequéncias (%n41) € (%n) € que (p41) Omite o primeiro termo. Uma vez que um ntimero finito de termos nao afeta a convergéncia de uma sequéncia, lim 4, = lim a, = L. Noo n—-oo Combinando este fato com a equacao 4 Inti = n+.” e tomando o limite de ambos os lados da equacao, obtemos L=0L=0. (b) Escrevendo os primeiros termos, 9 5 41 3281 "4? 40’ 3280’) podemos conjecturar que a sequéncia é decrescente e limitada inferiormente por 1. Para mostrar que a sequéncia é limitada inferiormente por 1, primeiro reescreva 2 Ln 1 u+i1 x = — + —S|2= Ss me 2 Qty Qty Portanto, 2 xv +1 —1 >1 se, e somente se, a +1 > 2z,,. 22m Reescrevendo a desigualdade x +1 > 2x, como x — 2%, +1 > 0, e usando o fato de que xr? —22,+1=(2,-1)? >0 n n n — ? podemos concluir que 72 + 1 > 22x, para todo n > 1 e, portanto, 2 v+i1 Trt. = a > 1. 22 n, Para mostrar que a sequéncia é decrescente, devemos mostrar que %p4, < £, para todo n> 1. Como 1 < x, somando x? em ambos lados dessa ultima inequacao, segue que a +1< 22°, Dividindo os dois lados por 2x, obtemos Ln 1 — + — < 2p. 2 Ww," Usando a definigao de x41, concluimos que Ln 1 Int. =D +s LM. mt 2 * Qa, Visto que (x,) é limitada inferiormente e decrescente, pelo Teorema da Convergéncia Monotona, (x,) converge. Para encontrar o limite, seja L = lim,,x,. Entao, usando a relacgao de recorrencia e o fato de que lim x,,,; = lim 2,, temos n—-oo n—-oo . . x 1 lim %41 = lim (— +——)], n—>0o noo \ 2 22m, e portanto Lol L=-+—. 2 2L Assim, 2 =L? +1. Resolvendo esta equacao para L, concluimos que L? = 1, 0 que implica L = +1. Como todos os termos sao positivos, o limite D = 1. Observacgao 3 (Método dos babil6nios para o calculo de raiz quadrada). O item (b) do Exemplo 8 pode ser generalizado para obter uma aproximacao (por falta) da raiz quadrada de um numero real positivo. Considere a sequéncia (x,,) dada por x a In41 = — + ~ para todo n> 1, 2 22y onde x; e a sao numeros reais positivos dados. O leitor pode repetir os argumentos da solugao do item (b) do Exemplo 8 para mostrar que x, > \/a para todo n > 2 e (x,) é decrescente para todo n > 2. Assim, (x,) 6 convergente. Repetindo 0 argmento do item (b) do Exemplo 8, 0 limite de (t,) é L = Va. O fato de x, > /a 6 0 que significa x, ser uma aproximagao por excesso de \/a. Exemplo 9. (Exemplo da Parte 4 da Aula 1) Determine se a sequéncia definida a seguir tem um limite. Em caso afirmativo, encontre o limite. a, = V2, ag = V2V2, ag = \/2V 2V2, .... Note que (a,,) pode ser definida recursivamente como a, = V2 ¢ dn41 = 2a, para n> 1. (a) Prove que ad, < Qn41 < 2 para todo n > 1. Isto mostra que (a,,) 6 crescente e limitada superiormente e, portanto, convergente a um limite L < 2. (b) Mostre que L = 2. Solugao. (a) Usaremos o Principio da Inducéo Matematica! para provar que a sequéncia é crescente. A afirmacao que queremos provar envolvendo um ntimero natural é An <Gn41, Vn = 1. O passo base (1) é verdadeiro porque 10 Principio da Indugéo Matemética é um axioma do sistema de nimeros que pode ser usado para provar afirmagées matematicas envolvendo um ntimero natural n, como 1+2+---+n=n(n+1)/2. Para provar que uma afirmagéo P(n) é verdadeira para todos os nimeros naturais n > no, onde np é um numero natural, procedemos da seguinte forma: (1) Prove que P(no) é verdadeiro. (2) Prove que para qualquer n > no, se P(n) for verdadeiro (chamada hipdtese de inducao), entao P(n + 1) é verdadeiro. O principio de inducgaéo matemAtica afirma que se 0 passo base (1) e o passo indutivo (2) forem provados, entao P(n) é verdadeira para todos os ntimeros naturais n > no. a,=V2< 2/2 = ar. Para provar o passo indutivo (2), suponha que a afirmacao é verdadeira para n > 1 (isto é, An < Gn41) € provemos a afirmacao é verdadeira para n+ 1. De fato, como an42 = V/2dn41. Pela hipétese de inducao, an < Qn41. Assim, Gny2 = V2Gn41 > V2dn = Ani, Como queriamos provar. Pelo principio de inducao matematica, an < Gni1, Vn > 1. Vamos provar agora que ad, < 2 para todo n > 1. Poderfamos usar novamente principio de inducgao matematica para fazer isso, mas vamos usar o fato que a sequéncia é crescente. De fato, para todo n > 1, An < Antsy = V2An. Elevando ao quadrado em ambos os lados e usando que a, > 0, temos az < 2a. Usando que a, 6 positivo para todo n > 1 (a, > a, = V2), segue que an < 2 para todo n>. (b) Pelo item (a) e o Teorema da Convergéncia Mondétona, existe L € R tal que L = limy_,.o Gn. Fazendo n — oo na formula aj41 = 2a, obtemos L=v2L. Elevando o quadrado em ambos os lados e usando que L > 0 (isto porque a, > 0 e (an) é crescente), obtemos L = 2. Observacgao 4. Um outro modo de resolugao do Exemplo 9 seria obter uma formula explicita para a, em termos de n. Podemos usar o principio de indugao matematica para mostrar que a sequéncia (a,,) do Exemplo 7 pode ser escrita explicitamente por tg = 2() eta) Como 1 1 1 1 1 1 1/1-(4)" 1\" ~4—4...4— = [J] 4—4...4—_)=—|{ — 4 | =]4-/[-]),. 2° 2 Qn 5 ( 2 xa) (2% 2 Portanto, a, =20-(@)") + 9! = 2, com n + oo. Exercicio 3. Verifique se existe lim a, se n—-oo 1 3.6.9.....(3n) dy, = —-——————_-——. n1.4.7.-++ .(38n — 2) Sugestao: mostre que (a,) € decrescente e limitada inferiormente. Exercicio 4. Determine se a sequéncia definida a seguir é convergente. Em caso afirmativo, encontre o limite. a, = Va, a2 = Vat Va, a3 = \/a+Va+ Va, ..., onde a > 0 um nimero real fixo. Figure 1: a, < 2 Figure 2: a, > 2 Exercicio 5. Determine se a sequéncia definida a seguir é convergente. Em caso afirmativo, encontre o limite. a, = 3, Gn = V2Gn_1, 1 = 2,3,.... Observacgao 4. Combinando o Exemplo 9 e 0 Exercicio 5, podemos nos perguntar quais valores de a, determinam que (a,,) 6 crescente ou decrescente? Outro fato interessante é que independente do valor de a, > 0, a sequéncia (a,,) converge para 2, o qual é 0 ponto fixo da funcgao f(x) = V2z, x € (0,00) (Figuras 1 e 2 acima). Exercicio 6. Mostre que se a, — 0 e a sequéncia (b,,) é limitada, entéo a,b, — 0. Use isso para mostrar que e~” cos “* — 0. Exercicio 7. Calcule lim 2, se noo (a) t, = /n(V/n+a-— Jn). (resp.: a/2) (b) tz, =n l(a + 1)" - a]. (resp.: 4a?)