Atividade 1 - Introd à Estat 2022 1

E(Δ) = E \left( \frac{\min(x_1, x_2, x_3) + \max(x_1, x_2, x_3)}{2} \right) = \frac{1}{2} E (\min(x_1, x_2, x_3) + \max(x_1, x_2, x_3)) = \frac{1}{2} \left[ \min(E(x_1), E(x_2), E(x_3)) + \max(E(x_1), E(x_2), E(x_3)) \right] = \frac{1}{2} \left[ \min(\mu, \mu, \mu) + \max(\mu, \mu, \mu) \right] = \frac{1}{2} [\mu + \mu] = \frac{1}{2} \cdot 2\mu = \mu = 4,2 Var(Δ) = Var \left( \frac{\min(x_1, x_2, x_3) + \max(x_1, x_2, x_3)}{2} \right) = \frac{1}{4} \left[ \min(Var(x_1), Var(x_2), Var(x_3)) + \max(Var(x_1), Var(x_2), Var(x_3)) \right] = \frac{1}{4} \left[ \min(σ^2, σ^2, σ^2) + \max(σ^2, σ^2, σ^2) \right] = \frac{1}{4} [2σ^2] = \frac{σ^2}{2} = \frac{6,5}{2} = 3,25 e. i) Verdadeiro ii) Verdadeiro iii) Falso Atividade 4 1) a. P(14,5 \leq X \leq 16) = P \left(\frac{14,5 - 15}{2,5/\sqrt{18}} \leq Z \leq \frac{16 - 15}{2,5/\sqrt{18}} \right) = P(-0,85 \leq Z \leq 1,70) = 0,30234 + 0,45543 = 0,75777 b. P(\bar{X} > 16,1) = P \left( Z > \frac{16,1 - 15}{2,5/\sqrt{18}} \right) = P(Z > 1,87) = 0,5 - 0,46926 = 0,03074 2) a. X \sim Bin(18, 0,4) X \sim Normal(7,2, 4,32) P(X \geq 15) = P \left( Z \geq \frac{15 - 7,2}{\sqrt{4,32}} \right) = P(z \geq 3,75) = 0,5 - 0,49999 = 0,00009 P(X \leq 2) = P \left( Z \leq \frac{2 - 7,2}{\sqrt{4,32}} \right) = P(z \leq -2,50) = 0,5 - 0,49379 = 0,00621 b. X \sim Bin(50, 0,2) x \sim Normal(10, 8) P(X \geq 20) = P \left( Z \geq \frac{20 - 10}{\sqrt{8}} \right) = P(z \geq 5,66) \approx 0 P(5 \leq X \leq 10) = P \left( \frac{5 - 10}{\sqrt{8}} \leq Z \leq \frac{10 - 10}{\sqrt{8}} \right) = P(-1,77 \leq Z \leq 0) = 0,46164 3) a. X \sim Binomial(1000, 0,005) \Rightarrow X \sim Normal(5, 4,975) P(X \geq 30) = P \left( Z \geq \frac{30 - 5}{\sqrt{4,975}} \right) = P(z \geq 11,26) \approx 0 d. E(x_bar) = E((x_1 + x_2 + x_3)/3) = 1/3 E(x_1 + x_2 + x_3) = 1/3[E(x_1) + E(x_2) + E(x_3)] = 1/3 * 3μ = μ = 4,2 Var(x_bar) = Var((x_1 + x_2 + x_3)/3) = 1/9 Var(x_1 + x_2 + x_3) = 1/9 * (σ^2 + σ^2 + σ^2) = 1/9 * 3σ^2 = 1/3 * σ^2 = 1/3 * 6,5 = 6,5/3 E(Xp) = E((x_1 + 2x_2 + x_3)/4) = 1/4 E(x_1 + 2x_2 + x_3) = 1/4 [E(x_1) + 2E(x_2) + E(x_3)] = 1/4[μ + 2μ + μ] = 1/4 * 4μ = μ = 4,2 Var(Xp) = Var((x_1 + 2x_2 + x_3)/4) = 1/16 Var(x_1 + 2x_2 + x_3) = 1/16[Var(x_1) + 4Var(x_2) + Var(x_3)] = 1/16[σ^2 + 4σ^2 + σ^2] = 1/16 * 6σ^2 = 1/16 * 6,5 = 3/8 * σ^2 = 19,5/8 b. X~Binomial (1000, 0,15) => X~Normal (150, 127,5) P(x>=30) = P(z>= \frac{30-150}{\sqrt{127,5}} ) = P(z>=-10,63) \approx 1 4) 1-\lambda = 0,8 => \lambda = 0,2 (Diagrams with shaded areas and 0,80) 5) z_{\lambda/2} = 1,8 \lambda = 0,07186 1-\lambda = 1-0,07186 = 0,92814 \leftarrow Nível de confiança 6) P(\bar{x} - z_{\lambda/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{x} + z_{\lambda/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ) = 0,98 P( 34,33 - 2,33 \cdot \frac{2}{\sqrt{36}} \leq \mu \leq 34,33 + 2,33 \cdot \frac{2}{\sqrt{36}} ) = 0,98 P(33,56 \leq \mu \leq 35,33) = 0,98 IC_{\mu} = [33,56 ; 35,33] 3) X~Binomial (20, 0,1) \leftarrow A droga não tem efeito P(X>=4) = 1-P(X<4) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)] = 1 - [\binom{20}{0} (0,1)^0 (0,9)^{20} + \binom{20}{1} (0,1)^1 (0,9)^{19} + \binom{20}{2} (0,1)^2 (0,9)^{18}] = 1 - [0,1216 + 0,2702 + 0,2852] = 1 - 0,6769 = 0,3231 12) a. P(X_1=1 e X_2=1) = P(X_1=1) \cdot P(X_2=1) = 0,05 \cdot 0,05 = 0,0025 P(X_1=1 e X_2=2) = P(X_1=1) \cdot P(X_2=2) = 0,05 \cdot 0,1 = 0,005 P(X_1=1 e X_2=3) = P(X_1=1) \cdot P(X_2=3) = 0,05 \cdot 0,2 = 0,01 P(X_1=1 e X_2=4) = P(X_1=1) \cdot P(X_2=4) = 0,05 \cdot 0,25 = 0,0125 P(X_1=1 e X_2=5) = P(X_1=1) \cdot P(X_2=5) = 0,05 \cdot 0,4 = 0,02 P(X_1=2 e X_2=1) = P(X_1=2) \cdot P(X_2=1) = 0,1 \cdot 0,05 = 0,005 P(X_1=2 e X_2=2) = P(X_1=2) \cdot P(X_2=2) = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01 P(X_1=2 e X_2=3) = P(X_1=2) \cdot P(X_2=3) = 0,1 \cdot 0,2 = 0,02 P(X_1=2 e X_2=4) = P(X_1=2) \cdot P(X_2=4) = 0,1 \cdot 0,25 = 0,025 P(X_1=2 e X_2=5) = P(X_1=2) \cdot P(X_2=5) = 0,1 \cdot 0,4 = 0,04 P(X_1=3 e X_2=1) = 0,2 \cdot 0,05 = 0,01 P(X_1=3 e X_2=2) = 0,2 \cdot 0,1 = 0,02 P(X_1=3 e X_2=3) = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 P(X_1=3 e X_2=4) = 0,2 \cdot 0,25 = 0,05 P(X_1=3 e X_2=5) = 0,2 \cdot 0,4 = 0,08 P(X_1=4 e X_2=1) = 0,25 \cdot 0,05 = 0,0125 P(X_1=4 e X_2=2) = 0,25 \cdot 0,1 = 0,025 P(X_1=4 e X_2=3) = 0,25 \cdot 0,2 = 0,05 P(X_1=4 e X_2=4) = 0,25 \cdot 0,25 = 0,0625 P(X_1=4 e X_2=5) = 0,25 \cdot 0,4 = 0,1 P(X_1=5 e X_2=1) = 0,4 \cdot 0,05 = 0,02 P(X_1=5 e X_2=2) = 0,4 \cdot 0,1 = 0,04 P(X_1=5 e X_2=3) = 0,4 \cdot 0,2 = 0,08 P(X_1=5 e X_2=4) = 0,4 \cdot 0,25 = 0,1 P(X_1=5 e X_2=5) = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 (Table of probabilities with x1 and x2 values) b - E(X, X_2) = 1.1 · 0,0025 + 1,2 · 0,005 + 1,3 · 0,01 + 1,4 · 0,0125 + 1,5 · 0,02 + 2.1 · 0,005 + 2,2 · 0,01 + 2,3 · 0,02 + 2,4 · 0,025 + 2,5 · 0,04 + 3.1 · 0,01 + 3.2 · 0,02 + 3.3 · 0,04 + 3.4 · 0,05 + 3.5 · 0,08 + 4.1 · 0,0125 + 4.2 · 0,025 + 4.3 · 0,05 + 4.4 · 0,0625 + 4.5 · 0,1 + 5.1 · 0,02 + 5.2 · 0,04 + 5.3 · 0,08 + 5.4 · 0,1 + 5.5 · 0,16 = 0,0025 + 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,1 + 0,03 + 0,04 + 0,12 + 0,2 + 0,4 + 0,03 + 0,12 + 0,36 + 0,6 + 3,2 + 0,05 + 0,2 + 0,6 + 1 + 2 + 0,3 + 0,4 + 1,2 + 2 + 4 = 14,8225