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3) X ~ Binomial (20, 0.1) P(X >= 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)] = 1 - [(20 choose 0)(0.1)^0(0.9)^20 + (20 choose 1)(0.1)^1(0.9)^19 + (20 choose 2)(0.1)^2(0.9)^18] = 1 - [0.1216 + 0.2702 + 0.2852] = 1 - 0.6769 = 0.3231 12) a) P(X_1 = j e X_2 = j) = P(X_1 = j) . P(X_2 = j) = 0.05 . 0.05 = 0.0025 P(X_1 = j e X_2 = 2) = P(X_1 = j) . P(X_2 = 2) = 0.05 . 0.3 = 0.005 P(X_1 = j e X_2 = 3) = P(X_1 = j) . P(X_2 = 3) = 0.05 . 0.2 = 0.01 P(X_1 = j e X_2 = 4) = P(X_1 = j) . P(X_2 = 4) = 0.05 . 0.25 = 0.0125 P(X_1 = j e X_2 = 5) = P(X_1 = j) . P(X_2 = 5) = 0.05 . 0.4 = 0.02 P(X_1 = 2 e X_2 = j) = P(X_1 = 2) . P(X_2 = j) = 0.1 . 0.05 = 0.005 P(X_1 = 2 e X_2 = 2) = P(X_1 = 2) . P(X_2 = 2) = 0.1 . 0.3 = 0.03 P(X_1 = 2 e X_2 = 3) = P(X_1 = 2) . P(X_2 = 3) = 0.1 . 0.2 = 0.02 P(X_1 = 2 e X_2 = 4) = P(X_1 = 2) . P(X_2 = 4) = 0.1 . 0.25 = 0.025 P(X_1 = 2 e X_2 = 5) = P(X_1 = 2) . P(X_2 = 5) = 0.1 . 0.4 = 0.04 P(X_1 = 3 e X_2 = j) = 0.2 . 0.05 = 0.01 P(X_1 = 3 e X_2 = 2) = 0.2 . 0.3 = 0.02 P(X_1 = 3 e X_2 = 3) = 0.2 . 0.2 = 0.04 P(X_1 = 3 e X_2 = 4) = 0.2 . 0.25 = 0.05 P(X_1 = 3 e X_2 = 5) = 0.2 . 0.4 = 0.08 P(X_1 = 4 e X_2 = j) = 0.25 . 0.05 = 0.0125 P(X_1 = 4 e X_2 = 2) = 0.25 . 0.3 = 0.025 P(X_1 = 4 e X_2 = 3) = 0.25 . 0.2 = 0.05 P(X_1 = 4 e X_2 = 4) = 0.25 . 0.25 = 0.0625 P(X_1 = 4 e X_2 = 5) = 0.25 . 0.4 = 0.1 P(X_1 = 5 e X_2 = j) = 0.4 . 0.05 = 0.02 P(X_1 = 5 e X_2 = 2) = 0.4 . 0.3 = 0.04 P(X_1 = 5 e X_2 = 3) = 0.4 . 0.2 = 0.08 P(X_1 = 5 e X_2 = 4) = 0.4 . 0.25 = 0.1 P(X_1 = 5 e X_2 = 5) = 0.4 . 0.4 = 0.16 [Table] 0.0025 0.005 0.01 0.0125 0.02 0.005 0.01 0.02 0.025 0.04 0.01 0.02 0.04 0.05 0.08 0.0125 0.025 0.05 0.0625 0.1 0.02 0.04 0.08 0.1 0.16 b) X ~ Binomial (1000, 0.15) => X ~ Normal (150, 127.5) P(X >= 30) = P(Z >= (30 - 150) / sqrt(127.5)) = P(Z >= -10.63) ≈ 1 4) 1 - 2λ = 0.8 => λ = 0.2 [Diagrams with distributions and shading] 5) Z_(α/2) = 1.8 λ = 0.07186 1 - λ = 1 - 0.07186 = 0.92814 => Confidence level 6) P(X - Z_(α/2)σ/sqrt(n) <= μ <= X + Z_(α/2)σ/sqrt(n)) = 0.98 P(34.33 - 2.33 * 2/sqrt(36) <= μ <= 34.33 + 2.33 * 2/sqrt(36)) = 0.98 P(33.56 <= μ <= 35.1) = 0.98 CI_μ = [33.56, 35.1] SME 0520 - Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica Atividade 3 - Entrega: 24/06/2022 Amostra Estimador X1 X2 X3 X Xp ∆ 4 1 1 4 1 2 4 1 4 4 1 6 4 1 8 4 2 1 4 2 2 4 2 4 4 2 6 4 2 8 4 4 1 4 4 2 4 4 4 4 4 6 4 4 8 4 6 1 4 6 2 4 6 4 4 6 6 4 6 8 4 8 1 4 8 2 4 8 4 4 8 6 4 8 8 SME 0520 - Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica Atividade 3 - Entrega: 24/06/2022 Amostra Estimador X1 X2 X3 X Xp ∆ 6 1 1 6 1 2 6 1 4 6 1 6 6 1 8 6 2 1 6 2 2 6 2 4 6 2 6 6 2 8 6 4 1 6 4 2 6 4 4 6 4 6 6 4 8 6 6 1 6 6 2 6 6 4 6 6 6 6 6 8 6 8 1 6 8 2 6 8 4 6 8 6 6 8 8 SME 0520 - Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica Atividade 3 - Entrega: 24/06/2022 Amostra Estimador X1 X2 X3 X Xp ∆ 8 1 1 8 1 2 8 1 4 8 1 6 8 1 8 8 2 1 8 2 2 8 2 4 8 2 6 8 2 8 8 4 1 8 4 2 8 4 4 8 4 6 8 4 8 8 6 1 8 6 2 8 6 4 8 6 6 8 6 8 8 8 1 8 8 2 8 8 4 8 8 6 8 8 8 Atividade 2 1) Z~ Normal (0,1) a. P(0 <= Z <= 1,05) = 0,35314 b. P(Z < 0,5) = 0,5 + P(0 <= Z <= 0,5) = 0,5 + 0,19146 = 0,69146 c. P(Z < -1,57) = 0,5 - P(0 <= Z <= 1,57) = 0,5 - 0,44179 = 0,05821 d. P(-0,65 <= Z <= 0,65) = 2 * P(0 <= Z <= 0,65) = 2 * 0,24215 = 0,4843 e. P(0 <= Z <= z) = 0,4753 z = 1,97 Atividade 3: 1) X = {1,2,4,6,8} a. \mu = \frac{1 + 2 + 4 + 6 + 8}{5} = 4,2 \sigma^2 = \frac{1}{5} \sum (X_i - X)^2 \newline = \frac{(1-4,2)^2 + (2-4,2)^2 + (4-4,2)^2 + (6-4,2)^2 + (8-4,2)^2}{5} \newline = \frac{10,24 + 4,84 + 0,04 + 3,24 + 14,44}{5} \newline = 6,5 b. Tabelas enviadas pelo arquivo do excel c. X: AAS de tamanho n=3 X ~ Normal (4,2; \frac{6,5}{3}) d. E(\bar{X}) = E(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}) = \frac{1}{3} E(X_1 + X_2 + X_3) = \frac{1}{3} [E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)] = \frac{1}{3} [\mu + 2 \mu + \mu] = \frac{1}{3} * 3 * \mu = \mu = 4,2 Var(\bar{X}) = Var(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}) = \frac{1}{9} Var(X_1 + X_2 + X_3) = \frac{1}{9} (Var(X_1) + Var(X_2) + Var(X_3)) = \frac{1}{9} (\sigma^2 + \sigma^2 + \sigma^2) = \frac{1}{9} * 3 \sigma^2 = \frac{1}{3} \sigma^2 = \frac{1}{3} * 6,5 = \frac{6,5}{3} E(X_p) = E(\frac{X_1 + 2X_2 + X_3}{4}) = \frac{1}{4} E(X_1 + 2X_2 + X_3) = \frac{1}{4} [E(X_1) + 2E(X_2) + E(X_3)] = \frac{1}{4} [\mu + 2 \mu + \mu] = \frac{1}{4} * 4 \mu = \mu = 4,2 Var(X_p) = Var(\frac{X_1 + 2X_2 + X_3}{4}) = \frac{1}{16} Var(X_1 + 2X_2 + X_3) = \frac{1}{16} (Var(X_1) + 4Var(X_2) + Var(X_3)) = \frac{1}{16} (\sigma^2 + 4\sigma^2 + \sigma^2) = \frac{1}{16} * 6 \sigma^2 = \frac{1}{16} * 6,5 = \frac{3}{8} \sigma^2 = \frac{19,5}{8} E(Δ) = E(min(X1, X2, X3) + max(X1, X2, X3) / 2) = 1/2 E(min(X1, X2, X3) + max(X1, X2, X3)) = 1/2 [min(E(X1), E(X2), E(X3)) + max(E(X1), E(X2), E(X3))] = 1/2 [min(μ, μ, μ) + max(μ, μ, μ)] = 1/2 [μ + μ] = 1/2 * 2μ = μ = 9.2 Var(Δ) = Var(min(X1, X2, X3) + max(X1, X2, X3) / 2) = 1/4 [min(Var(X1), Var(X2), Var(X3)) + max(Var(X1), Var(X2), Var(X3))] = 1/4 [min(σ^2, σ^2, σ^2) + max(σ^2, σ^2, σ^2)] = 1/4 [2σ^2] = σ^2 / 2 = 6.5 / 2 = 3.25 e- i) Verdadeiro ii) Verdadeiro iii) Falso Atividade 4 1) a- P(14.5 <= X <= 16) = P((14.5 - 15) / (2.5/sqrt(18)) <= Z <= (16 - 15) / (2.5/sqrt(18))) = P(-0.85 <= Z <= 1.70) = 0.30234 + 0.45543 = 0.75777 b- P(X̄ > 16.1) = P(Z > (16.1 - 15) / (2.5/sqrt(18))) = P(Z > 1.87) = 0.5 - 0.46926 = 0.03074 2) a- X ~ Bin(18, 0.4) X ~ Normal(7.2, 4.32) P(X >= 15) = P(Z >= (15 - 7.2) / sqrt(4.32)) - P(Z >= 3.75) = 0.5 - 0.49994 = 0.00009 P(X <= 2) = P(Z <= (2 - 7.2) / sqrt(4.32)) = P(Z <= -2.50) = 0.5 - 0.49379 = 0.00621 b- X ~ Bin(50, 0.2) X ~ Normal(10, 8) P(X >= 26) = P(Z >= (26 - 10) / sqrt(8)) = P(Z >= 5.66) ≈ 0 P(5 <= X <= 10) = P((5 - 10) / sqrt(8) <= Z <= (10 - 10) / sqrt(8)) = P(-1.77 <= Z <= 0) = 0.46164 3) a- X ~ Binomial(1000, 0.005) => X ~ Normal(5, 4.975) P(X >= 30) = P(Z >= (30 - 5) / sqrt(4.975)) = P(Z >= 11.24) ≈ 0 b - E(x, x_2) = 1.1 . 0,0025 + 1.2 . 0,005 + 1.3 . 0,01 + 1.4 . 0,0125 + 1.5 . 0,02 + 2.1 . 0,005 + 2.2 . 0,01 + 2.3 . 0,02 + 2.4 . 0,025 + 2.5 . 0,04 + 3.1 . 0,01 + 3.2 . 0,02 + 3.3 . 0,04 + 3.4 . 0,05 + 3.5 . 0,08 + 4.1 . 0,0125 + 4.2 . 0,025 + 4.3 . 0,05 + 4.4 . 0,0625 + 4.5 . 0,1 5.1 . 0,02 + 5.2 . 0,04 + 5.3 . 0,08 + 5.4 . 0,1 + 5.5 . 0,16 = 0,0025 + 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,1 + 0,03 + 0,04 + 0,12 + 0,2 + 0,4 + 0,03 + 0,12 + 0,36 + 0,6 + 3,2 + 0,05 + 0,2 + 0,6 + 1 + 2 + 0,5 + 0,4 + 1,2 + 2 + 4 = 14,8225
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3) X ~ Binomial (20, 0.1) P(X >= 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)] = 1 - [(20 choose 0)(0.1)^0(0.9)^20 + (20 choose 1)(0.1)^1(0.9)^19 + (20 choose 2)(0.1)^2(0.9)^18] = 1 - [0.1216 + 0.2702 + 0.2852] = 1 - 0.6769 = 0.3231 12) a) P(X_1 = j e X_2 = j) = P(X_1 = j) . P(X_2 = j) = 0.05 . 0.05 = 0.0025 P(X_1 = j e X_2 = 2) = P(X_1 = j) . P(X_2 = 2) = 0.05 . 0.3 = 0.005 P(X_1 = j e X_2 = 3) = P(X_1 = j) . P(X_2 = 3) = 0.05 . 0.2 = 0.01 P(X_1 = j e X_2 = 4) = P(X_1 = j) . P(X_2 = 4) = 0.05 . 0.25 = 0.0125 P(X_1 = j e X_2 = 5) = P(X_1 = j) . P(X_2 = 5) = 0.05 . 0.4 = 0.02 P(X_1 = 2 e X_2 = j) = P(X_1 = 2) . P(X_2 = j) = 0.1 . 0.05 = 0.005 P(X_1 = 2 e X_2 = 2) = P(X_1 = 2) . P(X_2 = 2) = 0.1 . 0.3 = 0.03 P(X_1 = 2 e X_2 = 3) = P(X_1 = 2) . P(X_2 = 3) = 0.1 . 0.2 = 0.02 P(X_1 = 2 e X_2 = 4) = P(X_1 = 2) . P(X_2 = 4) = 0.1 . 0.25 = 0.025 P(X_1 = 2 e X_2 = 5) = P(X_1 = 2) . P(X_2 = 5) = 0.1 . 0.4 = 0.04 P(X_1 = 3 e X_2 = j) = 0.2 . 0.05 = 0.01 P(X_1 = 3 e X_2 = 2) = 0.2 . 0.3 = 0.02 P(X_1 = 3 e X_2 = 3) = 0.2 . 0.2 = 0.04 P(X_1 = 3 e X_2 = 4) = 0.2 . 0.25 = 0.05 P(X_1 = 3 e X_2 = 5) = 0.2 . 0.4 = 0.08 P(X_1 = 4 e X_2 = j) = 0.25 . 0.05 = 0.0125 P(X_1 = 4 e X_2 = 2) = 0.25 . 0.3 = 0.025 P(X_1 = 4 e X_2 = 3) = 0.25 . 0.2 = 0.05 P(X_1 = 4 e X_2 = 4) = 0.25 . 0.25 = 0.0625 P(X_1 = 4 e X_2 = 5) = 0.25 . 0.4 = 0.1 P(X_1 = 5 e X_2 = j) = 0.4 . 0.05 = 0.02 P(X_1 = 5 e X_2 = 2) = 0.4 . 0.3 = 0.04 P(X_1 = 5 e X_2 = 3) = 0.4 . 0.2 = 0.08 P(X_1 = 5 e X_2 = 4) = 0.4 . 0.25 = 0.1 P(X_1 = 5 e X_2 = 5) = 0.4 . 0.4 = 0.16 [Table] 0.0025 0.005 0.01 0.0125 0.02 0.005 0.01 0.02 0.025 0.04 0.01 0.02 0.04 0.05 0.08 0.0125 0.025 0.05 0.0625 0.1 0.02 0.04 0.08 0.1 0.16 b) X ~ Binomial (1000, 0.15) => X ~ Normal (150, 127.5) P(X >= 30) = P(Z >= (30 - 150) / sqrt(127.5)) = P(Z >= -10.63) ≈ 1 4) 1 - 2λ = 0.8 => λ = 0.2 [Diagrams with distributions and shading] 5) Z_(α/2) = 1.8 λ = 0.07186 1 - λ = 1 - 0.07186 = 0.92814 => Confidence level 6) P(X - Z_(α/2)σ/sqrt(n) <= μ <= X + Z_(α/2)σ/sqrt(n)) = 0.98 P(34.33 - 2.33 * 2/sqrt(36) <= μ <= 34.33 + 2.33 * 2/sqrt(36)) = 0.98 P(33.56 <= μ <= 35.1) = 0.98 CI_μ = [33.56, 35.1] SME 0520 - Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica Atividade 3 - Entrega: 24/06/2022 Amostra Estimador X1 X2 X3 X Xp ∆ 4 1 1 4 1 2 4 1 4 4 1 6 4 1 8 4 2 1 4 2 2 4 2 4 4 2 6 4 2 8 4 4 1 4 4 2 4 4 4 4 4 6 4 4 8 4 6 1 4 6 2 4 6 4 4 6 6 4 6 8 4 8 1 4 8 2 4 8 4 4 8 6 4 8 8 SME 0520 - Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica Atividade 3 - Entrega: 24/06/2022 Amostra Estimador X1 X2 X3 X Xp ∆ 6 1 1 6 1 2 6 1 4 6 1 6 6 1 8 6 2 1 6 2 2 6 2 4 6 2 6 6 2 8 6 4 1 6 4 2 6 4 4 6 4 6 6 4 8 6 6 1 6 6 2 6 6 4 6 6 6 6 6 8 6 8 1 6 8 2 6 8 4 6 8 6 6 8 8 SME 0520 - Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica Atividade 3 - Entrega: 24/06/2022 Amostra Estimador X1 X2 X3 X Xp ∆ 8 1 1 8 1 2 8 1 4 8 1 6 8 1 8 8 2 1 8 2 2 8 2 4 8 2 6 8 2 8 8 4 1 8 4 2 8 4 4 8 4 6 8 4 8 8 6 1 8 6 2 8 6 4 8 6 6 8 6 8 8 8 1 8 8 2 8 8 4 8 8 6 8 8 8 Atividade 2 1) Z~ Normal (0,1) a. P(0 <= Z <= 1,05) = 0,35314 b. P(Z < 0,5) = 0,5 + P(0 <= Z <= 0,5) = 0,5 + 0,19146 = 0,69146 c. P(Z < -1,57) = 0,5 - P(0 <= Z <= 1,57) = 0,5 - 0,44179 = 0,05821 d. P(-0,65 <= Z <= 0,65) = 2 * P(0 <= Z <= 0,65) = 2 * 0,24215 = 0,4843 e. P(0 <= Z <= z) = 0,4753 z = 1,97 Atividade 3: 1) X = {1,2,4,6,8} a. \mu = \frac{1 + 2 + 4 + 6 + 8}{5} = 4,2 \sigma^2 = \frac{1}{5} \sum (X_i - X)^2 \newline = \frac{(1-4,2)^2 + (2-4,2)^2 + (4-4,2)^2 + (6-4,2)^2 + (8-4,2)^2}{5} \newline = \frac{10,24 + 4,84 + 0,04 + 3,24 + 14,44}{5} \newline = 6,5 b. Tabelas enviadas pelo arquivo do excel c. X: AAS de tamanho n=3 X ~ Normal (4,2; \frac{6,5}{3}) d. E(\bar{X}) = E(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}) = \frac{1}{3} E(X_1 + X_2 + X_3) = \frac{1}{3} [E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)] = \frac{1}{3} [\mu + 2 \mu + \mu] = \frac{1}{3} * 3 * \mu = \mu = 4,2 Var(\bar{X}) = Var(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}) = \frac{1}{9} Var(X_1 + X_2 + X_3) = \frac{1}{9} (Var(X_1) + Var(X_2) + Var(X_3)) = \frac{1}{9} (\sigma^2 + \sigma^2 + \sigma^2) = \frac{1}{9} * 3 \sigma^2 = \frac{1}{3} \sigma^2 = \frac{1}{3} * 6,5 = \frac{6,5}{3} E(X_p) = E(\frac{X_1 + 2X_2 + X_3}{4}) = \frac{1}{4} E(X_1 + 2X_2 + X_3) = \frac{1}{4} [E(X_1) + 2E(X_2) + E(X_3)] = \frac{1}{4} [\mu + 2 \mu + \mu] = \frac{1}{4} * 4 \mu = \mu = 4,2 Var(X_p) = Var(\frac{X_1 + 2X_2 + X_3}{4}) = \frac{1}{16} Var(X_1 + 2X_2 + X_3) = \frac{1}{16} (Var(X_1) + 4Var(X_2) + Var(X_3)) = \frac{1}{16} (\sigma^2 + 4\sigma^2 + \sigma^2) = \frac{1}{16} * 6 \sigma^2 = \frac{1}{16} * 6,5 = \frac{3}{8} \sigma^2 = \frac{19,5}{8} E(Δ) = E(min(X1, X2, X3) + max(X1, X2, X3) / 2) = 1/2 E(min(X1, X2, X3) + max(X1, X2, X3)) = 1/2 [min(E(X1), E(X2), E(X3)) + max(E(X1), E(X2), E(X3))] = 1/2 [min(μ, μ, μ) + max(μ, μ, μ)] = 1/2 [μ + μ] = 1/2 * 2μ = μ = 9.2 Var(Δ) = Var(min(X1, X2, X3) + max(X1, X2, X3) / 2) = 1/4 [min(Var(X1), Var(X2), Var(X3)) + max(Var(X1), Var(X2), Var(X3))] = 1/4 [min(σ^2, σ^2, σ^2) + max(σ^2, σ^2, σ^2)] = 1/4 [2σ^2] = σ^2 / 2 = 6.5 / 2 = 3.25 e- i) Verdadeiro ii) Verdadeiro iii) Falso Atividade 4 1) a- P(14.5 <= X <= 16) = P((14.5 - 15) / (2.5/sqrt(18)) <= Z <= (16 - 15) / (2.5/sqrt(18))) = P(-0.85 <= Z <= 1.70) = 0.30234 + 0.45543 = 0.75777 b- P(X̄ > 16.1) = P(Z > (16.1 - 15) / (2.5/sqrt(18))) = P(Z > 1.87) = 0.5 - 0.46926 = 0.03074 2) a- X ~ Bin(18, 0.4) X ~ Normal(7.2, 4.32) P(X >= 15) = P(Z >= (15 - 7.2) / sqrt(4.32)) - P(Z >= 3.75) = 0.5 - 0.49994 = 0.00009 P(X <= 2) = P(Z <= (2 - 7.2) / sqrt(4.32)) = P(Z <= -2.50) = 0.5 - 0.49379 = 0.00621 b- X ~ Bin(50, 0.2) X ~ Normal(10, 8) P(X >= 26) = P(Z >= (26 - 10) / sqrt(8)) = P(Z >= 5.66) ≈ 0 P(5 <= X <= 10) = P((5 - 10) / sqrt(8) <= Z <= (10 - 10) / sqrt(8)) = P(-1.77 <= Z <= 0) = 0.46164 3) a- X ~ Binomial(1000, 0.005) => X ~ Normal(5, 4.975) P(X >= 30) = P(Z >= (30 - 5) / sqrt(4.975)) = P(Z >= 11.24) ≈ 0 b - E(x, x_2) = 1.1 . 0,0025 + 1.2 . 0,005 + 1.3 . 0,01 + 1.4 . 0,0125 + 1.5 . 0,02 + 2.1 . 0,005 + 2.2 . 0,01 + 2.3 . 0,02 + 2.4 . 0,025 + 2.5 . 0,04 + 3.1 . 0,01 + 3.2 . 0,02 + 3.3 . 0,04 + 3.4 . 0,05 + 3.5 . 0,08 + 4.1 . 0,0125 + 4.2 . 0,025 + 4.3 . 0,05 + 4.4 . 0,0625 + 4.5 . 0,1 5.1 . 0,02 + 5.2 . 0,04 + 5.3 . 0,08 + 5.4 . 0,1 + 5.5 . 0,16 = 0,0025 + 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,1 + 0,03 + 0,04 + 0,12 + 0,2 + 0,4 + 0,03 + 0,12 + 0,36 + 0,6 + 3,2 + 0,05 + 0,2 + 0,6 + 1 + 2 + 0,5 + 0,4 + 1,2 + 2 + 4 = 14,8225