Cálculo de Integrais de Linha em Campos Vetoriais - Teorema Fundamental e Aplicações

De acordo como o que foi estudado nos teoremas para campos vetoriais conservativos podese determinar a C Fdr pelo teorema fundamental da integral de linha C fdr f rb f ra Uma vez que para esses campos vetoriais f F Assim o valor aproximado da C Fdr para Fx y z y2 z3 4x3 i 2 x y z3 j 3 x y2 z2 ez k e a curva C pode ser representada pela função vetorial rt t 1 i t3 j t2 1 k com 0 t 1 é 57 97 47 37 67 A integral de linha c 2xy2 ds tal que c é a curva x 15 t y 2t 1 com 0 t 1 vale 200 300 125 075 250 Questão 1 Fx y z y2 z3 4x3 i 2 x y z3 j 3 x y2 z2 ez k determinaremos f R3 R com f fx y z tal que F f i x f j y f k z f Por inspeção devemos ter que x f y2 z3 4x3 f y2 z3 9 x3 dx x y2 z3 x4 g1 y z i y f 2 x y z3 f 2 x y z3 dy x y2 z3 g2x z ii z f 3 x y2 z2 ez f 3 x y2 z2 ez dz x y2 z3 ez g3 x y iii cada primitiva possui uma parte da f logo essa é fx y z x y2 z3 x4 ez Com isso calcularemos a integral de linha de F a qual é c F d r c f d r frb fra onde C é uma curva lisa parametrizada por rt t 1 i t3 j t2 1 k Logo com 0 t 1 Então temos r0 0 1 i 03 j 02 1 k i k 1 0 1 r1 1 1 i 13 j 12 1 k j 2 k 0 1 2 Portanto temos c F d r f0 1 2 f1 0 1 e2 14 ez e2 e 1 37 Logo c F d r 37 C 2xy2 ds com C xt 15t yt 2t 1 0 t 1 A curva C admite a seguinte parametrização por rt rt 15tî 2t 1 ĵ 0 t 1 O elemento ds é dado por ds rt dt Em que é a norma euclidiana Aqui temos o seguinte rt 15 î 2 ĵ E logo rt 152 22 225 4 625 25 com isso ds 25 dt De posse disso vamos ao cálculo da integral C 2xy2 ds 01 215t2t 12 25 dt 5 01 15t 4 t2 4t 1 dt 75 01 4 t3 9t2 t dt 75 t4 93t3 t2201 751 3 12 125 Portanto temos que C 2xy2 ds 125