Resolução de Integrais de Linha: Segmento de Reta e Arco de Parábola

Problema A Calcule C y² dx xdy onde c é o segmento de reta de 6 2 a 0 4 Apresente a resolução passo a passo até a resposta final Problema B Calcule a integral de linha C x y² dx xy dy onde c é o arco da parábola x 4 y² do ponto A 3 1 a B 5 3 Apresente a resolução passo a passo até a respostta final Problema A Calcule C y² dx xdy onde C é o segmento de reta de 6 2 a 04 Solução Seja A 6 2 e B 04 Então podemos ilustrar o segmento de reta que vai de A até B que define a curva C de acordo com a Figura a seguir Para calcular a integral de linha precisamos primeiro parametrizar a curva C Como tratase de um segmento de reta podemos considerar a equação vetorial da reta suporte ao segmento que passa por A e B mas com o parâmetro t limitado ao intervalo 01 para restringir o conjunto de pontos da equação vetorial ao intervalo que vai da origem A à extremidade B Fazemos então vetor rt A t vetor AB onde A 62 vetor AB B A 04 62 66 Ou seja vetor r t 6 2 t 66 6 6t 2 6t t 01 Dessa forma as equações paramétricas de C e suas respectivas derivadas são x 6 6t y 2 6t t 01 dx 6 dt dy 6 dt t 01 Portanto C y² dx xdy ₀¹ 2 6t² 6 6t 6 dt 6 ₀¹ 4 24t 36t² 6 6t dt 6 ₀¹ 36t² 18t 2 dt 6 12t³ 9t² 2t01 6121³ 91² 21 120³ 90² 20 612 9 2 6 Logo C y² dx xdy 6 Problema B Calcule a integral de linha C x y² dx xy dy onde C é o arco da parábola x 4 y² do ponto A 3 1 a B 5 3 Solução Desta vez uma ilustração da curva C indo da origem em A até a extremidade em B pode ser observada a seguir Para calcular a integral de linha precisamos primeiro parametrizar a curva C Como x 4 y² podemos definir y t Dessa forma as equações paramétricas de C e suas respectivas derivadas são x 4 t² y t dx 2t dt dy dt Para encontrar o intervalo no qual t deve ser considerado observe que y t o que torno o intervalo de ambos equivalentes Ou seja como y varia da posição y 1 para y 3 concluímos que t 13 Assim vetor rt 4 t² t t 13 Portanto C x y² dx xy dy ₁³ 4 t² t²2t 4 t² t dt ₁³ 8t 4t t³ dt ₁³ t³ 12t dt t⁴4 6t²13 3⁴4 63² 1⁴4 61² 814 54 14 6 28 Logo C x y² dx xy dy 28