EDO-Resolucao Passo a Passo de Equacoes Diferenciais

Determine resolvendo passo a passo cada equação diferencial nas alíneas a e b e na alínea c resolva a equação que satisfaça a condição inicial dada a x dydx y 5x b dydx x3 y c dydx y2 4 y2 0 1 Determine resolvendo passo a passo cada equação diferencial nas alíneas a e b e na alínea c resolva a equação que satisfaça a condição inicial dada a 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 5𝑥 Resolução Uma EDO linear tem a seguinte forma 𝑦𝑥 𝑝𝑥𝑦 𝑞𝑥 Colocando a EDO do enunciado na forma de uma linear 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑦 5 O fator integrante é encontrado pela fórmula a seguir 𝜇𝑥 𝑒𝑝𝑥𝑑𝑥 Calculando o fator integrante 𝜇𝑥 𝑒1 𝑥𝑑𝑥 𝜇𝑥 𝑒ln𝑥 Simplificando 𝜇𝑥 𝑥 Multiplicando todos os termos da EDO pelo fator integrante 𝑥𝑦 𝑦 5𝑥 Usando a regra da cadeia 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓𝑔 onde 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 𝑓 1 𝑔 𝑦 Aplicando a regra 𝑥𝑦 5𝑥 Passando a derivada para o outro lado como uma integral 𝑥𝑦 5𝑥 𝑑𝑥 Integrando 𝑥𝑦 5 2 𝑥2 𝑐1 Isolando 𝑦 𝑦 5 2 𝑥 𝑐1 𝑥 b 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥3 𝑦 Resolução Essa EDO é de variáveis separáveis O que quer dizer que podemos juntar cada variável com seu respectivo diferencial 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥3 𝑦 Separando as variáveis 𝑦𝑑𝑦 𝑥3𝑑𝑥 Agora só basta integrarmos dos dois lados 𝑦 𝑑𝑦 𝑥3 𝑑𝑥 Integrando 𝑦2 2 𝑥4 4 𝑐1 Isolando 𝑦 𝑦2 𝑥4 2 𝑐2 𝑦 𝑥4 2 𝑐2 Como a solução é uma raiz quadrada precisamos considerar a parte negativa e positiva c 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦2 4 𝑦2 0 Resolução Essa EDO também é uma EDO de variáveis separáveis 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦2 4 𝑑𝑦 𝑦2 4𝑑𝑥 Separando 1 𝑦2 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Integrando os dois lados 1 𝑦2 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 𝑦2 4 𝑑𝑦 𝑥 𝑐1 Aqui nós vamos usar a integração por substituição Quando nós temos 𝑏𝑦2 𝑎 no denominador a substituição é dada por 𝑦 𝑎 𝑏 𝑢 Sendo assim no nosso caso nós iremos substituir 𝑦 por 𝑦 2𝑢 Encontrando o valor de 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 2 𝑑𝑦 2𝑑𝑢 Substituindo os valores encontrados 1 2𝑢2 4 2𝑑𝑢 𝑥 𝑐1 Simplificando 1 2𝑢2 2 𝑑𝑢 𝑥 𝑐1 1 2 1 𝑢2 2 𝑑𝑢 𝑥 𝑐1 Aplicando regra de integração 1 2 arctan𝑢 𝑥 𝑐1 Voltando a substituição 1 2 arctan 𝑦 2 𝑥 𝑐1 Agora podemos aplicar o ponto inicial dado pelo enunciado 𝑦2 0 1 2 arctan 0 2 2 𝑐1 0 2 𝑐1 𝑐1 2 Sendo assim a solução final é 1 2 arctan𝑦 2 𝑥 2 Isolando 𝑦 arctan 𝑦 2 2𝑥 4 𝑦 2 tan2𝑥 4 𝑦 2 tan2𝑥 4