Integral de Linha e Função Potencial - Exercícios Resolvidos

Dentre as alternativas a seguir qual apresenta o valor da integral de linha C F d r do campo vetorial F x y z 4xy i 8y j z k ao longo da curva r t t i t2 j k com 0 t 2 O 18 O 36 O 50 O 48 O 24 Para campos vetoriais conservativos existe uma função escalar f cujo f F Chamamos esta função de função potencial Assim o valor aproximado da função potencial de F x y z 2xz2 y2zi 2xyzj xy2 2xz2k no ponto 1 2 2 é obs nas alternativas c é uma constante Solução Como F fx y z temos que F F₁ F₂ F₃ fx fy fz Dessa forma temos que fx 2xz2 y2z Integrando a equação obtida com relação a x obtemos fx y z x2z2 y2 z x gy z Derivando a última igualdade com relação a y chegase em fy 2xyz gy Mas fy F₂ 2xyz Então gy 2xyz 2xyz gy 0 Ou seja gy z hz Assim chegamos em fx y z x2z2 y2 z x hz Derivando f com relação a z obtémse fz 2x z2 y2 hz x y2 2 x2z hz 0 hz c c ℝ Portanto fx y z x2z2 y2 z x c Logo f1 2 2 1222 2221 c 4 8 c 12 c Resposta final Opção 2 12 c Para campos vetoriais conservativos existe uma função escalar f cujo f F Chamamos esta função de função potencial Assim o valor aproximado da função potencial de Fx y z 2xz2 y2zi 2xyzj xy2 2xz2k no ponto 1 2 2 é obs nas alternativas c é uma constante 8 c 12 c 10 c 3 c 6 c