Atividade

Um sistema de controle de posição de eixo de um motor acoplado a um guindaste funciona com duas realimentações de velocidade Ws na malha interna e de posição θ₀s na malha externa e pode ser representado por um sistema de segunda ordem dado no diagrama de blocos abaixo 1 Questão 1 O diagrama de blocos do processo é mostrado abaixo A malha interna entrada Es e saída Ws é a malha de realimentação da velocidade As equações da malha são Ws 10 s 1 Us Us Es K Ws substituindo Us na primeira equação leva a Ws 10 s 1 Es 10 K s 1 Ws Ws1 10 K s 1 10 s 1 Es s 1 10 K Ws 10 Es Ws Es 10 s 1 10 K Substituindo a malha de realimentação por esta função de transferência obtida segue a Determine o ganho a frequência natural e a expressão para cálculo do fator de amortecimento em função de k b Determine o valor de K que tornam os pólos do sistema reais e iguais calcule o valor dos pólo e o tempo de acomodação da resposta ao degrau do sistema c Determine as faixas de valores de k para os quais o sistema apresenta respostas subamortecidas e sobreamortecidas Novamente as equações da malha externa se tornam Ws 10 s 1 10K Es θos 1s Ws 1s 10 s 1 10K Es Es Rs θos Substituindo Es na segunda equação θos 1 10 ss 1 10K 10 ss 1 10K Rs θos ss 1 10K 10 ss 1 10K 10 ss 1 10K Rs θos Rs 10 s2 1 10Ks 10 uma função de transferência de segunda ordem como mencionado no enunciado letra a O ganho é kss lim s0 10 s2 1 10Ks 10 10 10 1 como esperado pois o ramo direto tem um integrador que garantirá ganho unitário para entradas do tipo degrau A frequência natural ωn e o coeficiente de amortecimento ζ são obtidos comparando a função de transferência do motor com a forma padrão de um sistema de segunda ordem Gs kss ωn2 s2 2ζ ωn s ωn2 neste caso 2ζ ωn 1 10K ωn2 10 Da segunda equação fica claro que ωn 10 e então isolando ζ na primeira ζ 1 10K 2 ωn 1 10K 2 10 letra b O sistema tem polos reais iguais quando o sistema atinge o amortecimento crítico ou seja ζ 1 Portanto 1 10K 2 10 1 resolvendo para K segue K 2 10 1 10 053246 O denominador da função transferência do motor é s2 1 10Ks 10 s2 1 10 2 10 1 10 s 10 s2 2 10 s 10 Usando produto notável chegase ao denominador s2 2 10 s 10 s 102 portanto os polos são s1 s2 10 Consultando a tabela no OGATA p 781 da quinta edição código 19 da tabela a inversa de Laplace da função de transferência do motor é L1 10 ss 102 10 1 102 1 et 10 t 10 et 10 Considerando um critério de 2 o tempo de acomodação é encontrado resolvendo 1 et 10 t 10 et 10 098 et 10 1 t 10 002 Resolvendo por métodos numéricos obtémse t1 184484 t2 031388 Portanto o tempo de acomodação é ts 184484 Não é recomendado usar a fórmula para sistemas subamortecidos pois o erro é considerável Por exemplo calculando com a fórmula usual de ts ts 4 ζ ωn 4 1 10 12649 um erro percentual de 31 Uma alternativa é usar o ábaco do OGATA p 158 da quinta edição figura 511 Para ζ 1 o valor no numerador da fórmula é 58 no critério de 2 que levaria ao resultado ts 58 ζ ωn 58 10 1841 bem próximo do obtido letra c Sabemos que quando K 2 10 1 10 o sistema é criticamente amortecido Portanto as faixas de valores são subamortecido K 2 10 1 10 053246 superamotecido K 2 10 1 10 053246 5 Katsuhiko ENGENHARIA DE CONTROLE MODERNO 5a EDIÇÃO OGATA Exemplo 1014 Considere um sistema de controle com incerteza não estruturada multiplicativa Vamos examinar a estabilidade robusta e o desempenho robusto do sistema O Problema A1018 aborda um sistema com incerteza não estruturada aditiva Katsuhiko OGATA ENGENHARIA DE CONTROLE MODERNO 5ª EDIÇÃO Pearson Education EMPRESA CIDADà Tradução Heloísa Coimbra de Souza Revisão técnica Eduardo Aoun Tannuri Dr Professor Associado Departamento de Engenharia Mecatrônica e Sistemas Mecânicos Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 2011 by Pearson Education do Brasil 2010 2002 1997 1990 1970 by Pearson Education Inc Tradução autorizada a partir da edição original em inglês Modern Control Engineering 5nd edition by Katsuhiko Ogata publicada pela Pearson Education Inc sob o selo Prentice Hall Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de nenhum modo ou por algum outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Pearson Education do Brasil Diretor editorial Roger Trimer Gerente editorial Sabrina Cairo Supervisor de produção editorial Marcelo Françozo Editora plena Thelma Babaoka Editora assistente Aline Nogueira Marques Preparação Renata Siqueira Campos Revisão Maria Alice da Costa e Mônica Rodrigues dos Santos Capa Alexandre Mieda Diagramação Figurativa Editorial 2ª reimpressão maio 2012 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil uma empresa do grupo Pearson Education Rua Nelson Francisco 26 Limão Cep 02712100 São Paulo SP Tel 11 21788686 Fax 11 21788688 email vendaspearsoncom Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Ogata Katsuhiko Engenharia de controle moderno Katsuhiko Ogata tradutora Heloísa Coimbra de Souza revisor técnico Eduardo Aoun Tannuri 5 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 Título original Modern control engineering Bibliografia ISBN 9788543013756 1 Controle Teoria 2 Controle automático I Título 1012640 CDD6298 Índices para catálogo sistemático 1 Controle automático Engenharia 6298 2 Engenharia de controle Tecnologia 6298 4a reimpressão junho 2013 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil Ltda uma empresa do grupo Pearson Education Rua Nelson Francisco 26 CEP 02712100 São Paulo SP Brasil Fone 11 21788686 Fax 11 21788688 email vendaspearsoncom 5a reimpressão Julho 2014 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil Ltda uma empresa do grupo Pearson Education Rua Nelson Francisco 26 CEP 02712100 São Paulo SP Brasil Fone 11 21788686 Fax 11 21788688 email vendaspearsoncom Sumário Prefácio ix Capítulo 1 Introdução aos sistemas de controle 1 11 Introdução 1 12 Exemplos de sistemas de controle 3 13 Controle de malha fechada versus controle de malha aberta 6 14 Projeto e compensação de sistemas de controle 8 15 Estrutura do livro 9 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle 11 21 Introdução 11 22 Função de transferência e de resposta impulsiva 12 23 Sistemas de controle automático 14 24 Modelagem no espaço de estados 25 25 Representação de sistemas de equações diferenciais escalares no espaço de estados 30 26 Transformação de modelos matemáticos com MATLAB 34 27 Linearização de modelos matemáticos não lineares 36 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos 56 31 Introdução 56 32 Modelagem matemática de sistemas mecânicos 56 33 Modelagem matemática de sistemas elétricos 63 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos 91 41 Introdução 91 42 Sistemas de nível de líquidos 92 43 Sistemas pneumáticos 96 44 Sistemas hidráulicos 112 45 Sistemas térmicos 123 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário 145 51 Introdução 145 52 Sistemas de primeira ordem 147 53 Sistemas de segunda ordem 149 54 Sistemas de ordem superior 163 55 Análise da resposta transitória com o MATLAB 166 56 Critério de estabilidade de Routh 191 57 Efeitos das ações de controle integral e derivativo no desempenho dos sistemas 196 58 Erros estacionários em sistemas de controle com realimentação unitária 203 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 246 61 Introdução 246 62 Gráfico do lugar das raízes 247 63 Desenhando o gráfico do lugar das raízes com o MATLAB 265 64 Gráficos do lugar das raízes para sistemas com realimentação positiva 277 65 Abordagem do lugar das raízes no projeto de sistemas de controle 281 66 Compensação por avanço de fase 284 67 Compensação por atraso de fase 293 68 Compensação por atraso e avanço de fase 301 69 Compensação em paralelo 312 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 366 71 Introdução 366 72 Diagramas de Bode 371 73 Diagramas polares 392 74 Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase 406 75 Critério de estabilidade de Nyquist 407 vi Engenharia de controle moderno 76 Análise de estabilidade 416 77 Análise de estabilidade relativa 423 78 Resposta em frequência de malha fechada de sistemas com realimentação 437 79 Determinação experimental de funções de transferência 445 710 Projeto de sistemas de controle pela resposta em frequência 450 711 Compensação por avanço de fase 452 712 Compensação por atraso de fase 460 713 Compensação por atraso e avanço de fase 468 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados 521 81 Introdução 521 82 Regras de sintonia de ZieglerNichols para controladores PID 522 83 Projeto de controladores PID pelo método de resposta em frequência 531 84 Projeto de controladores PID com abordagem de otimização computacional 535 85 Variantes dos esquemas de controle PID 541 86 Controle com dois graus de liberdade 544 87 Abordagem por alocação de zeros para a melhoria das características de resposta 546 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados 595 91 Introdução 595 92 Representação de funções de transferência no espaço de estados 596 93 Transformação de modelos de sistemas com o MATLAB 601 94 Resolvendo a equação de estado invariante no tempo 604 95 Alguns resultados úteis na análise vetorialmatricial 611 96 Controlabilidade 617 97 Observabilidade 622 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados 658 101 Introdução 658 102 Alocação de polos 659 103 Resolvendo problemas de alocação de polos com o MATLAB 669 104 Projeto de servossistemas 672 105 Observadores de estado 683 106 Projeto de sistemas reguladores com observadores 704 107 Projeto de sistemas de controle com observadores 712 vii Sumário x Engenharia de controle moderno vii vii 108 Sistemas regualadores quadráticos ótimos 718 109 Sistemas de controle robusto 729 Apêndice A Tabelas para a transformada de Laplace 778 Apêndice B Expansão em frações parciais 785 Apêndice C Álgebra vetorial e matricial 791 Referências 797 Índice remissivo 801 Prefácio Este livro apresenta conceitos importantes sobre a análise e o projeto de sistemas de con trole Nele os leitores encontrarão um compêndio compreensível para cursos sobre sistemas de controle ministrados em faculdades e universidades Ele foi escrito para estudantes do último ano de engenharias elétrica mecânica aeroespacial e química Esperase que o leitor preencha os seguintes prérequisitos cursos introdutórios sobre equações diferenciais transformadas de Laplace análise matricial e vetorial análise de circuitos mecânica e introdução à termodinâmica As principais revisões feitas nesta edição são as seguintes ampliação o uso de MATLAB para a obtenção de respostas de sistemas de controle a várias entradas de informação foi demonstrada a utilidade da abordagem de otimização computacional com o MATLAB novos exemplos de problemas foram acrescentados em todo o livro material que era de importância secundária na edição anterior foi eliminado a fim de abrir espaço para assuntos mais importantes Diagramas de fluxo de sinal foram retirados do livro Um capítulo sobre transformadas de Laplace foi eliminado Em vez dele tabelas de transformadas de Laplace e expansão em frações parciais são apresentadas nos apêndices A e B respectivamente um resumo sobre análise vetorial e matricial é apresentando no Apêndice C ele ajudará o leitor a encontrar as inversas de matrizes n n que podem fazer parte da análise e do projeto de sistemas de controle Esta edição de Engenharia de controle moderno está organizada em 10 capítulos O esque ma de tópicos deste livro é o seguinte o Capítulo 1 apresenta uma introdução aos sistemas de controle O Capítulo 2 aborda a modelagem matemática de sistemas de controle Uma técnica de técnica de linearização para modelos matemáticos não lineares é apresentada nesse capítulo O Capítulo 3 traz a derivação matemática de modelos de sistemas mecânicos e de sistemas elétricos O Capítulo 4 apresenta a modelagem matemática de sistemas fluídicos como sistemas de nível de líquido sistemas pneumáticos e sistemas hidráulicos e sistemas térmicos O Capítulo 5 trata da análise de respostas transitórias e de estado estacionário dos sistemas de controle O MATLAB é amplamente usado para a obtenção das curvas de resposta transitória O critério de estabilidade de Routh é apresentado para a análise de estabilidade de sistemas de controle Apresenta também o critério de estabilidade de Hurwitz O Capítulo 6 aborda o método do lugar das raízes na análise e no projeto de sistemas de controle inclusive sistemas de realimentação positiva e condicionalmente estáveis A construção do lugar das raízes com o uso do MATLAB é discutida em detalhes O projeto de sistemas com compensadores de avanço de fase de atraso de fase e de avanço e atraso de fase por meio do método de lugar das raízes está incluído O Capítulo 7 trata da análise e do projeto de sistemas de controle por meio do método de resposta em frequência Apresenta também o critério de estabilidade de Nyquist de uma forma facilmente compreensível Discute ainda a abordagem do diagrama de Bode para o projeto de compensadores por avanço de fase por atraso de fase e por atraso e avanço de fase O Capítulo 8 aborda os controles PID básico e modificado Abordagens computacionais para a obtenção da melhor opção de valores de parâmetros de controladores são discutidas em detalhes particularmente com respeito à satisfação das condições de características de resposta em degrau O Capítulo 9 apresenta uma análise básica dos sistemas de controle no espaço de estados Conceitos de controlabilidade e observabilidade são discutidos em detalhes O Capítulo 10 aborda o projeto de sistemas de controle no espaço de estados Os tópicos discutidos incluem alocação de polos observadores no espaço de estados e controle quadrático ótimo Uma introdução aos sistemas de controle robustos também é apresentada neste capítulo O livro foi organizado de forma a facilitar o entendimento gradual da teoria de controle pelo estudante Argumentos matemáticos de alto grau foram cuidadosamente evitados na apresenta ção das matérias Demonstrações matemáticas são fornecidas à medida que contribuem para a compreensão do tema apresentado Foi dada especial atenção para a apresentação de exemplos em pontos estratégicos para que o leitor tenha um entendimento claro da matéria estudada Além disso vários exercícios resolvidos Problemas do tipo A são apresentados ao final de cada capítulo com exceção do Capítulo 1 Encorajamos o leitor a estudar cuidadosamente esses problemas de forma a obter um entendimento mais profundo dos tópicos discutidos Também há muitos problemas sem solução ao final de cada capítulo exceto o Capítulo 1 Os problemas sem solução Problemas do tipo B podem ser feitos fora da sala de aula ou dados em prova Quero expressar meus sinceros agradecimentos aos seguintes revisores desta edição do livro Mark Campbell da Universidade de Cornell Henry Sodano da Universidade Estadual do Arizona e Atul G Kelkar da Universidade Estadual de Iowa Por fim quero expressar minha profunda gratidão à srta Alice Dworkin editora associada ao sr Scott Disanno editor geral sênior e a todas as pessoas envolvidas neste projeto de publicação pela produção rápida e mesmo assim excelente deste livro Katsuhiko Ogata Material de apoio O site de apoio do livro wwwpearsoncombrogata oferece para professores manual de soluções em inglês e apresentações em PowerPoint Esse material é de uso exclusivo para professores e está protegido por senha Para ter acesso a ele os professores que adotam o livro devem entrar em contato com seu representante Pearson ou enviar email para universitariospearsoncom x Engenharia de controle moderno Materiais adicionais A Sala Virtual svpearsoncombr oferece para professores manual de soluções em inglês e apresentações em PowerPoint Esse material é de uso exclusivo para professores e está protegido por senha Para ter acesso a ele os professores que adotam o livro devem entrar em contato com seu representante Pearson ou enviar email para universitariospearsoncom Introdução aos sistemas de controle 1 C A P Í T U L O 11 Introdução As teorias de controle comumente usadas hoje são a teoria de controle clássico também cha mada teoria de controle convencional a teoria de controle moderno e a teoria de controle robusto Este livro traz uma abordagem abrangente da análise e do projeto de sistemas de controle com base na teoria de controle clássico e na teoria de controle moderno Uma breve introdução à teoria de controle robusto foi incluída no Capítulo 10 O controle automático é essencial em qualquer campo da engenharia e da ciência O controle automático é um componente importante e intrínseco em sistemas de veículos espaciais sistemas robóticos modernos sistemas de manufatura e quaisquer operações industriais que envolvam o controle de temperatura pressão umidade viscosidade vazão etc É desejável que a maioria dos engenheiros e cientistas esteja familiarizada com a teoria e a prática do controle automático Este livro foi concebido como um compêndio sobre sistemas de controle para alunos que estejam cursando o último ano da faculdade Todo o material de base está incluído no livro O material matemático de base relativo a transformadas de Laplace e a análise vetorialmatricial consta dos apêndices Breve revisão histórica do desenvolvimento de teorias e práticas de controle O primeiro trabalho significativo de controle automático foi o regulador centrífugo construído por James Watt para o controle de velocidade de uma máquina a vapor no século XVIII Outros trabalhos importantes nos primeiros estágios do desenvolvimento da teoria de controle se devem a Minorsky Hazen e Nyquist entre outros Em 1922 Minorsky trabalhou em controladores automáticos para pilotagem de embarcações e demonstrou como a estabilidade poderia ser determinada a partir de equações diferenciais que descrevem o sistema Em 1932 Nyquist desenvolveu um procedi mento relativamente simples para a determinação da estabilidade de sistemas de malha fechada com base na resposta de malha aberta a excitações senoidais estacionárias Em 1934 Hazen que introduziu o termo servomecanismos para sistemas de controle de posição discutiu o projeto de servomecanismos a relé capazes de acompanhar uma variação de entrada com acurácia Durante a década de 1940 métodos de resposta em frequência especialmente os métodos com base nos diagramas de Bode tornaram possível aos engenheiros projetar sistemas de con trole linear de malha fechada que satisfizessem o desempenho requerido Muitos sistemas de controle industrial das décadas de 1940 e 1950 usavam controladores PID no controle de pressão temperatura etc No início da década de 1940 Ziegler e Nichols criaram regras para o ajuste de controladores PID no chamado método de ZieglerNichols Do final da década de 1940 ao início da de 1950 o método de lugar das raízes graças a Evans foi plenamente desenvolvido Os métodos de resposta em frequência e do lugar das raízes os quais são a essência da teoria clássica de controle conduziram a sistemas que são estáveis e satisfazem um conjunto de con dições de desempenho relativamente arbitrárias Esses sistemas são em geral aceitáveis mas não são ótimos no sentido estrito desse termo Desde o final da década de 1950 a ênfase nos problemas com projetos de controle foi deslocada do projeto de um dentre muitos sistemas que funcionam para o projeto de um sistema que seja ótimo em algum aspecto relevante À medida que os sistemas modernos com muitas entradas e saídas se tornam mais e mais complexos a descrição de um sistema de controle moderno requer um grande número de equa ções A teoria clássica de controle que trata somente de sistemas com uma entrada e uma saída tornouse insuficiente para sistemas com múltiplas entradas e saídas A partir de 1960 como a disponibilidade dos computadores digitais possibilitou a análise de sistemas complexos dire tamente no domínio do tempo a teoria de controle moderno com base na análise e na síntese do domínio de tempo com o emprego de variáveis de estado foi desenvolvida para lidar com a crescente complexidade dos sistemas modernos e seus rigorosos requisitos relativos à precisão à importância e ao custo em aplicações militares espaciais e industriais Entre 1960 e 1980 o ótimo controle de sistemas determinísticos e estocásticos bem como o controle adaptativo e de aprendizagem de sistemas complexos foi amplamente pesquisado De 1980 a 1990 os desenvolvimentos na teoria de controle moderno voltaramse para o controle robusto e para tópicos associados A teoria de controle moderno baseiase na análise do domínio do tempo em sistemas de equações diferenciais Ela simplificou o projeto de sistemas de controle porque se baseia no modelo de um sistema de controle real No entanto a estabilidade do sistema é sensível ao erro entre o sistema real e seu modelo Isso significa que quando o controlador projetado a partir de um modelo for aplicado a um sistema real o sistema poderá não ser estável Para evitar que isso aconteça projetamos o sistema estabelecendo primeiro a gama de possíveis erros para depois projetar o controlador de uma forma que se o erro do sistema estiver dentro da gama prevista o sistema de controle projetado será sempre estável O método de projeto baseado nesse princípio é chamado teoria do controle robusto Essa teoria incorpora tanto a abordagem de resposta em fre quência quanto a abordagem de domínio do tempo Matematicamente a teoria é muito complexa Como essa teoria requer um conhecimento matemático prévio em nível de pósgraduação a teoria do controle robusto foi incluída neste livro apenas em seus aspectos introdutórios O leitor interessado em detalhes sobre a teoria do controle robusto deverá procurar um curso de pósgraduação em controle em uma faculdade Definições Antes de discutirmos os sistemas de controle é necessário que seja definida a terminologia básica Variável controlada e sinal de controle ou variável manipulada A variável controlada é a grandeza ou a condição que é medida e controlada O sinal de controle ou variável manipulada é a grandeza ou a condição modificada pelo controlador de modo que afete o valor da variável controlada Normalmente a variável controlada é a saída do sistema Controlar significa medir o valor da variável controlada do sistema e aplicar o sinal de controle ao sistema para corrigir ou limitar os desvios do valor medido a partir de um valor desejado No estudo da engenharia de controle é preciso definir termos adicionais que são necessários à descrição dos sistemas de controle Plantas Uma planta pode ser uma parte de equipamento ou apenas um conjunto de componentes de um equipamento que funcione de maneira integrada com o objetivo de realizar determinada operação Neste livro denominaremos planta qualquer objeto físico a ser controlado como um componente mecânico um forno um reator químico ou uma espaçonave 2 Engenharia de controle moderno Processos O dicionário MerriamWebster define um processo como uma operação natural de progresso contínuo ou um desenvolvimento caracterizado por uma série de modificações graduais que se sucedem umas às outras de modo relativamente estável avançando em direção a dado resultado ou objetivo ou uma operação contínua progressiva artificial ou voluntária que consiste em uma série de ações ou movimentos controlados sistematicamente destinados a atingir deter minados fins ou resultados Neste livro designaremos processo toda operação a ser controlada Entre os exemplos estão os processos químicos econômicos e biológicos Sistemas Um sistema é a combinação de componentes que agem em conjunto para atingir deter minado objetivo A ideia de sistema não fica restrita apenas a algo físico O conceito sistema pode ser aplicado a fenômenos abstratos dinâmicos como aqueles encontrados na economia Dessa maneira a palavra sistema pode ser empregada para se referir a sistemas físicos biológicos econômicos e outros Distúrbios Um distúrbio é um sinal que tende a afetar de maneira adversa o valor da variável de saída de um sistema Se um distúrbio for gerado dentro de um sistema ele será chamado distúrbio interno enquanto um distúrbio externo é aquele gerado fora do sistema e que se comporta como um sinal de entrada no sistema Controle com realimentação Controle com realimentação referese a uma operação que na presença de distúrbios tende a diminuir a diferença entre a saída de um sistema e alguma entrada de referência e atua com base nessa diferença Aqui serão considerados apenas distúrbios não previsíveis uma vez que distúrbios conhecidos ou previsíveis sempre podem ser compensados no sistema 12 Exemplos de sistemas de controle Nesta seção apresentaremos vários exemplos de sistemas de controle Sistema de controle de velocidade O princípio básico de um regulador Watt de velocidade para um motor está ilustrado no diagrama esquemático da Figura 11 A quantidade de combus tível fornecida ao motor é ajustada de acordo com a diferença entre a velocidade esperada e a velocidade efetiva do motor FIGURA 11 Óleo sob pressão Cilindro de potência Válvula piloto Fecha Abre Motor Carga Combustível Válvula de controle Sistema de controle de velocidade 3 Capítulo 1 Introdução aos sistemas de controle A sequência de ações pode ser estabelecida da seguinte maneira o regulador de velocidade é ajustado de modo que à velocidade desejada não haja fluxo de óleo sob pressão em ambos os lados do interior do cilindro de potência Se a velocidade real cai abaixo do valor desejado em decorrência de um distúrbio então a diminuição na força centrífuga do regulador de velocidade faz que a válvula de controle se mova para baixo fornecendo mais combustível e a velocidade do motor aumente até atingir o valor desejado Por outro lado se a velocidade do motor aumenta acima do valor desejado então o aumento na força centrífuga do regulador de velocidade faz que a válvula de controle se desloque para cima Isso diminui o suprimento de combustível e a velocidade do motor é reduzida até atingir o valor esperado Nesse sistema de controle de velocidade a planta sistema controlado é o motor e a variável controlada é a velocidade do eixo do motor A diferença entre a velocidade desejada e a velocidade real é o sinal de erro O sinal de controle a quantidade de combustível a ser aplicado à planta motor é o sinal atuante A grandeza externa que perturba a variável controlada é o distúrbio Uma mudança inesperada na carga é um distúrbio Sistema de controle de temperatura A Figura 12 mostra um diagrama esquemático de controle de temperatura de um forno elétrico A temperatura do forno elétrico é medida por um termômetro que é um dispositivo analógico O sinal analógico de temperatura é convertido em um sinal digital por um conversor AD analógicodigital O sinal digital obtido é fornecido ao controlador por meio de uma interface Esse sinal digital é comparado com a temperatura programada de referência e se houver alguma divergência erro o controlador envia um sinal ao aquecedor por meio de uma interface um amplificador e um relé fazendo que a temperatura do forno atinja o valor desejado Sistemas empresariais Um sistema empresarial pode consistir em vários grupos Cada tarefa atribuída a um grupo representará um elemento dinâmico do sistema Métodos com realimen tação de informações das realizações de cada grupo devem ser estabelecidos de modo que esse sistema tenha um desempenho apropriado O interrelacionamento entre os grupos funcionais deve ser minimizado de modo que reduza atrasos indesejáveis no sistema Quanto menor esse interrelacionamento menor o fluxo de informações e de materiais utilizados Um sistema empresarial é um sistema de malha fechada Um bom projeto reduzirá o con trole administrativo necessário Devese considerar que distúrbios nesse sistema correspondem à carência de mão de obra ou matériaprima à interrupção de comunicação a erros humanos e a outros fatores Para um gerenciamento apropriado é fundamental o estabelecimento de um sistema de pre visão com base em dados estatísticos Sabese que um sistema pode ser otimizado pela utilização do lead time ou da antecipação FIGURA 12 Controlador Termômetro Conversor AD Interface Interface Forno elétrico Aquecedor Relé Amplificador Entrada programada Sistema de controle de temperatura 4 Engenharia de controle moderno Para aplicar a teoria de controle com o objetivo de melhorar o desempenho de determinado sistema devemos representar as características dinâmicas dos grupos componentes desse sistema por meio de um conjunto relativamente simples de equações Embora exista certo grau de dificuldade em determinar representações matemáticas dos grupos componentes a aplicação de técnicas de otimização em sistemas empresariais melhora significativamente o desempenho desses sistemas Considere como exemplo um sistema organizacional de engenharia composto de alguns grupos principais como gerenciamento pesquisa e desenvolvimento projeto preliminar expe rimentos projeto e desenho de produtos fabricação e montagem e testes Esses grupos são interligados para que a operação de produção se processe satisfatoriamente Esse sistema pode ser analisado reduzindoo a um conjunto de componentes necessários tão elementares quanto possível possibilitando o detalhamento analítico exigido e pela representação das características dinâmicas de cada componente por meio de um conjunto de equações simples O desempenho dinâmico desse sistema pode ser determinado por uma relação estabelecida entre a realização progressiva e o tempo Um diagrama de blocos funcional pode ser traçado com a utilização de blocos para repre sentar as atividades funcionais interligados por linhas de comunicação para representar a saída da informação ou do produto resultante da operação do sistema Um exemplo de diagrama de blocos é apresentado na Figura 13 Sistema de controle robusto O primeiro passo no projeto de um sistema de controle é a obten ção de um modelo matemático da planta ou do objeto a ser controlado Na realidade qualquer modelo de uma planta que quisermos controlar incluirá um erro no processo de modelagem Ou seja a planta real será diferente do modelo a ser usado no projeto do sistema de controle Para garantir que o controlador projetado com base em um modelo funcionará satisfatoria mente quando for usado na planta real uma abordagem razoável consiste em presumir desde o início que existe incerteza ou erro entre a planta real e seu modelo matemático incluindo tal incerteza ou erro no próprio projeto do sistema de controle O sistema de controle projetado a partir dessa abordagem é chamado controle de sistema robusto Suponha que a planta real que queremos controlar seja Gus e o modelo matemático da planta real seja Gs ou seja Gus modelo da planta real que tem incerteza Ds Gs modelo nominal da planta a ser usado para projetar o sistema de controle Gus e Gs podem estar relacionados por um fator multiplicador como Gus Gs1 Ds ou por um fator somatório Gus Gs Ds ou de outras formas FIGURA 13 Produto desejado Gerência Pesquisa e desenvolvimento Projeto preliminar Experimentos Projeto e desenho de produto Fabricação e montagem Testes Produto Diagrama de blocos de um sistema organizacional de engenharia 5 Capítulo 1 Introdução aos sistemas de controle Como a descrição exata da incerteza ou erro Ds é desconhecida recorremos a uma esti mativa de Ds e usamos essa estimativa Ws no projeto do controlador Ws é uma função de transferência escalar tal que max s W s W j 0 1 D 3 3 3 h h onde Ws3 é o valor máximo de Wj para 0 3 e chamase norma Hinfinito de Ws Aplicandose o teorema do ganho pequeno o método de projeto aqui resumese a determinar o controlador Ks de forma que a desigualdade 1 K s G s W s 1 1 3 h h h seja satisfeita onde Gs é a função de transferência do modelo usado no projeto Ks é a função de transferência do controlador e Ws é a função de transferência escolhida para a aproxi mação de Ds Na maioria dos casos práticos temos de satisfazer mais de uma desigualdade que envolve Gs Ks e Ws Por exemplo para garantir estabilidade robusta e desempenho robusto pode ser necessário que duas desigualdades como 1 K s G s W s K s G s 1 m 1 3 h h h para estabilidade robusta 1 K s G s W s 1 s 1 3 h h para desempenho robusto sejam satisfeitas Essas desigualdades são derivadas na Seção 109 Há muitas desigualdades desse tipo que precisam ser satisfeitas em vários sistemas de controle robusto Estabilidade robusta significa que o controlador Ks garante a estabilidade interna de todos os sistemas que pertencem a um grupo de sistemas que inclui o sistema da planta real Desempenho robusto sig nifica que o desempenho especificado é atingido em todos os sistemas que pertencem ao grupo Neste livro presumese que todas as plantas dos sistemas de controle que discutirmos sejam precisamente conhecidas exceto as plantas discutidas na Seção 109 em que é apresentado um aspecto introdutório da teoria de controle robusto 13 Controle de malha fechada versus controle de malha aberta Sistemas de controle com realimentação Um sistema que estabeleça uma relação de com paração entre a saída e a entrada de referência utilizando a diferença como meio de controle é denominado sistema de controle com realimentação Um exemplo poderia ser o sistema de contro le de temperatura de um ambiente Medindose a temperatura ambiente real e comparandoa com a temperatura de referência temperatura desejada o termostato ativa ou desativa o equipamento de aquecimento ou resfriamento de modo que assegure que a temperatura ambiente permaneça em um nível confortável independentemente das condições exteriores Os sistemas de controle com realimentação não estão limitados à engenharia podendo ser encontrados em várias outras áreas O corpo humano por exemplo é um sistema de controle com realimentação extremamente desenvolvido Tanto a temperatura corporal como a pressão sanguínea são mantidas constantes por meio da realimentação de ordem fisiológica Nesse caso a realimentação realiza uma função vital faz que o corpo humano seja relativamente insen sível a perturbações externas permitindo seu perfeito funcionamento nos casos de mudanças no ambiente Sistemas de controle de malha fechada Os sistemas de controle com realimentação são com frequência denominados também sistemas de controle de malha fechada Na prática os 6 Engenharia de controle moderno termos controle com realimentação e controle de malha fechada são usados indistintamente Em um sistema de controle de malha fechada o sinal de erro atuante que é a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de realimentação que pode ser o próprio sinal de saída ou uma função do sinal de saída e suas derivadas eou integrais realimenta o controlador de modo a minimizar o erro e acertar a saída do sistema ao valor desejado O termo controle de malha fechada sempre implica a utilização do controle com realimentação para reduzir o erro do sistema Sistemas de controle de malha aberta Os chamados sistemas de controle de malha aberta são aqueles em que o sinal de saída não exerce nenhuma ação de controle no sistema Isso quer dizer que em um sistema de controle de malha aberta o sinal de saída não é medido nem reali mentado para comparação com a entrada Um exemplo prático é o da máquina de lavar roupas As operações de colocar de molho lavar e enxaguar em uma lavadora são executadas em uma sequência baseada em tempo A lavadora não mede o sinal de saída isto é não verifica se as roupas estão bem lavadas Em qualquer sistema de controle de malha aberta a saída não é comparada com a entrada de referência Assim a cada entrada de referência corresponde uma condição fixa de operação Dessa maneira a precisão do sistema depende de uma calibração Na presença de distúrbios um sistema de controle de malha aberta não vai executar a tarefa desejada Na prática o sistema de controle de malha aberta somente poderá ser utilizado se a relação entre a entrada e a saída for conhecida e se não houver nenhum distúrbio interno ou externo É claro que estes não são sistemas de controle realimentados Observe que qualquer sistema de controle cujas operações são efetuadas em uma sequência baseada em tempo é um sistema de malha aberta O controle de tráfego por meio de sinais operado em função do tempo é outro exemplo de controle de malha aberta Sistemas de controle de malha fechada versus de malha aberta Uma vantagem do sis tema de controle de malha fechada é o fato de que o uso da realimentação faz que a resposta do sistema seja relativamente insensível a distúrbios externos e a variações internas nos parâmetros do sistema Dessa forma é possível a utilização de componentes relativamente imprecisos e baratos para obter o controle preciso de determinado sistema ao passo que isso não é possível nos sistemas de malha aberta Do ponto de vista da estabilidade o sistema de controle de malha aberta é mais fácil de ser construído pelo fato de a estabilidade ser um problema menos significativo Por outro lado a estabilidade constitui um problema importante nos sistemas de controle de malha fechada que podem apresentar uma tendência de correção de erros além do necessário causando oscilações de amplitude constante ou variável Deve ser enfatizado que para sistemas nos quais as entradas são conhecidas com antecipação e que são isentos de distúrbios é conveniente o uso do controle de malha aberta Sistemas de controle de malha fechada são mais vantajosos somente nos casos em que houver distúrbios eou alterações não previsíveis nos componentes do sistema Note que a potência de saída determina parcialmente o custo o peso e as dimensões de um sistema de controle O número de componentes utilizados em um sistema de controle de malha fechada é maior do que em um sistema corres pondente de malha aberta Assim no sistema de controle de malha fechada o custo e a potência são geralmente maiores Visando à diminuição da potência necessária à operação de um sistema devese optar pelo controle de malha aberta sempre que possível Uma combinação apropriada do controle de malha aberta e de malha fechada é normalmente mais econômica e apresentará um desempenho satisfatório do sistema como um todo A maioria das análises e dos projetos de sistemas de controle apresentados neste livro refere se a sistemas de controle de malha fechada Sob certas circunstâncias como quando não existem distúrbios ou dificuldades de medida da saída os sistemas de controle de malha aberta podem ser adequados Portanto é conveniente resumir as vantagens e as desvantagens de utilizar sistemas de controle de malha aberta 7 Capítulo 1 Introdução aos sistemas de controle Seguem as principais vantagens dos sistemas de controle de malha aberta 1 São simples de ser construídos e têm fácil manutenção 2 São menos dispendiosos que um sistema correspondente de malha fechada 3 Não apresentam problemas de estabilidade 4 São adequados quando existem dificuldades de medição da saída ou quando a medição precisa da saída não é economicamente possível Por exemplo no caso da máquina de lavar roupas seria bastante dispendiosa a instalação de um dispositivo para avaliar se as roupas foram bem lavadas As principais desvantagens dos sistemas de controle de malha aberta são 1 Distúrbios e mudanças na calibração causam erros e a saída pode apresentar diferenças em relação ao padrão desejado 2 Para que a saída mantenha a qualidade requerida é necessária uma regulagem periódica 14 Projeto e compensação de sistemas de controle Este livro discute aspectos básicos do projeto e da compensação de sistemas de controle Compensação é a modificação da dinâmica do sistema para satisfazer às especificações dadas As abordagens para projeto e compensação de sistemas de controle utilizadas neste livro são a abordagem de lugar das raízes a abordagem de resposta em frequência e a abordagem de espa ço de estados O projeto e a compensação de tais sistemas de controle serão apresentados nos capítulos 6 7 9 e 10 A abordagem de compensação com PID ProporcionalIntegralDerivado no projeto de sistemas de controle está no Capítulo 8 No projeto real de um sistema de controle a utilização de um compensador eletrônico pneumático ou hidráulico é uma questão que deve ser decidida em parte com base na natureza da planta a ser controlada Por exemplo se a planta a ser controlada inclui líquido inflamável temos de escolher componentes pneumáticos tanto um compensador quanto um atuador para evitar a possibilidade de faíscas Se no entanto não há risco de incêndio compensadores eletrônicos são os mais usados Inclusive muitas vezes transformamos sinais não elétricos em sinais elétricos em virtude da simplicidade de transmissão da maior precisão maior confiabilidade facilidade de compensação e vantagens semelhantes Especificações de desempenho Sistemas de controle são projetados para realizar tarefas espe cíficas Os requisitos impostos no sistema de controle são geralmente explicitados como especi ficações de desempenho As especificações podem ser dadas em termos de requisitos de resposta transitória como máximo sobressinal e tempo de acomodação na resposta à entrada em degrau e de requisitos em regime estacionário como erro estacionário para uma entrada em rampa ou podem ser dados em termos de resposta em frequência As especificações de um sistema de controle devem ser dadas antes do início do processo de projeto Para problemas rotineiros de projeto as especificações de desempenho que se relacionam à precisão estabilidade relativa e velocidade de resposta podem ser dadas em termos de valores numéricos precisos Em outros casos elas podem ser dadas em parte como valores numéricos precisos e em parte em termos de afirmações qualitativas Nesse último caso as especificações podem ter de ser modificadas durante o curso do projeto já que as especificações dadas podem nunca ser satisfeitas em razão de requisitos conflitantes ou podem levar a um sistema muito caro Geralmente as especificações de desempenho não devem ser mais restritivas que o neces sário para a realização da tarefa em questão Se a precisão da operação em estado estacionário for de primordial importância em determinado sistema de controle então não devemos precisar de especificações desnecessariamente rígidas na resposta transitória pois essas especificações exigirão componentes dispendiosos Lembrese de que a parte mais importante do projeto de 8 Engenharia de controle moderno sistemas de controle é estabelecer precisamente as especificações de desempenho de forma que elas resultem em um sistema de controle ótimo para o fim a que se destina Compensação do sistema Ajustar o ganho é o primeiro passo no ajuste do sistema para um desempenho satisfatório No entanto em muitos casos práticos o ajuste do ganho por si só pode não proporcionar uma alteração no comportamento do sistema que atenda às especificações desejadas Como ocorre frequentemente o aumento no valor do ganho melhora o comportamento em regime estacionário mas resulta em estabilidade deficiente e até em instabilidade Tornase necessário então reprojetar o sistema modificando a estrutura ou incorporando dispositivos ou componentes adicionais para alterar seu comportamento geral de modo que ele se comporte como desejado Tal reprojeto ou acréscimo de um dispositivo adequado chamase compensação Um dispositivo inserido no sistema com o propósito de satisfazer às especificações é denominado compensador Este compensa pelo desempenho deficiente do sistema original Procedimentos de projeto No processo de projetar um sistema de controle montamos um modelo matemático do sistema de controle e ajustamos os parâmetros de um compensador A parte do processo que mais consome tempo é a verificação do desempenho do sistema por meio da análise de cada ajuste dos parâmetros O projetista deve usar o MATLAB ou outro software disponível para evitar boa parte do trabalho matemático enfadonho necessário a essa verificação Uma vez que um modelo matemático satisfatório tenha sido obtido o projetista deve construir um protótipo e testar o sistema de malha aberta Se houver garantia de estabilidade absoluta da malha fechada o projetista fecha a malha e testa o desempenho do sistema de malha fechada resultante Devido aos efeitos negligenciados da carga entre os componentes das não linearidades dos parâmetros distribuídos e assim por diante que não foram levados em consideração no projeto original o desempenho real do protótipo do sistema provavelmente será diferente das previsões teóricas Portanto o primeiro projeto pode não satisfazer todos os requisitos de desempenho O projetista deve ajustar os parâmetros do sistema e modificar o protótipo até que o sistema atenda às especificações Ao fazer isso ele deve analisar cada teste e os resultados da análise devem ser incorporados ao teste seguinte O projetista deve garantir que o sistema final atenda às especifi cações de desempenho e seja ao mesmo tempo confiável e econômico 15 Estrutura do livro Este texto foi organizado em dez capítulos A estrutura de cada capítulo pode ser resumida como segue O Capítulo 1 apresenta a introdução a este livro O Capítulo 2 trata da modelagem matemática de sistemas de controle descritos por equações diferenciais lineares Especificamente funções de transferência são obtidas a partir de sistemas de equações diferenciais São obtidas também representações em espaço de estado a partir de sistemas de equações diferenciais O MATLAB foi usado para transformar modelos matemáticos de funções de transferência para equações em espaço de estado e viceversa Este livro explica com detalhes os sistemas lineares Se o modelo matemático de um sistema for não linear ele terá de ser linearizado antes que sejam aplicadas as teorias constantes neste livro Uma técnica para linearizar modelos matemáticos não lineares é mostrada nesse capítulo O Capítulo 3 traz modelos matemáticos de vários sistemas mecânicos e elétricos que aparecem com frequência nos sistemas de controle O Capítulo 4 aborda vários sistemas fluidos e térmicos que aparecem em sistemas de controle Aqui os sistemas fluidos incluem sistemas de níveis de líquidos sistemas pneumáticos e sistemas hidráulicos Sistemas térmicos como os de controle de temperatura também são discutidos nesse capítulo Engenheiros de controle devem estar familiarizados com todos os sistemas abordados nesse capítulo 9 Capítulo 1 Introdução aos sistemas de controle O Capítulo 5 apresenta análises de resposta transitória e de resposta em regime estacio nário em sistemas de controle definidas em termos de funções de transferência A abordagem MATLAB para a obtenção da análise de resposta transitória e de resposta em regime estacio nário é apresentada em detalhe É apresentada também a abordagem Matlab para a obtenção de gráficos tridimensionais A análise de estabilidade com base no critério de estabilidade de Routh está incluída nesse capítulo e o critério de estabilidade de Hurwitz é discutido resumidamente O Capítulo 6 explora o método do lugar das raízes para a análise e o projeto dos sistemas de controle Tratase de um método gráfico para a determinação da localização de todos os polos de malha fechada a partir do conhecimento da localização dos polos e zeros de malha aberta quando um parâmetro geralmente o ganho varia de zero a infinito Esse método foi desenvolvido por W R Evans por volta de 1950 Atualmente o MATLAB pode produzir gráficos do lugar das raízes com rapidez e facilidade O capítulo apresenta tanto a abordagem manual quanto a abordagem MATLAB para a geração de gráficos de lugar das raízes Detalhes dos sistemas de controle que utilizam compensadores por avanço de fase compensadores por atraso de fase e compensadores por avanço e atraso de fases são apresentados nesse capítulo O Capítulo 7 aborda a análise e o projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Este é o método mais antigo de análise de sistemas de controle e foi desenvolvido entre 1940 e 1950 por Nyquist Bode Nichols e Hazen entre outros Esse capítulo traz detalhes da abordagem de resposta em frequência no projeto de sistemas de controle usando técnicas de compensadores de avanço de atraso e de avanço e atraso O método de resposta em frequência foi o mais utilizado para o projeto e a análise antes que o método de estado estacionário se tornasse popular No entanto desde que o controle Hinfinito se tornou popular no projeto de sistemas de controle robusto a resposta em frequência vem recuperando sua popularidade O Capítulo 8 discute os controles PID e suas variantes como os controladores PID com vários graus de liberdade O controlador PID possui três parâmetros ganho proporcional ganho integral e ganho derivativo Nos sistemas de controle industriais mais da metade dos contro ladores usados atualmente são controladores PID O desempenho do controlador PID depende da magnitude relativa desses três parâmetros A determinação da magnitude relativa dos três parâmetros é chamada ajuste dos controladores PID Ziegler e Nichols propuseram as chamadas regras de ajuste de ZieglerNichols já em 1942 A partir dali várias regras de ajuste foram propostas Atualmente os fabricantes de controladores PID têm suas próprias regras de ajuste Nesse capítulo apresentamos uma abordagem de otimização por computador usando o MATLAB para determinar os três parâmetros de forma a satisfazer as características de resposta transitória A abordagem pode ser expandida para estabelecer os três parâmetros de maneira que satisfaçam quaisquer características dadas O Capítulo 9 apresenta a análise básica de equações de espaço de estado Os conceitos de controlabilidade e observabilidade os mais importantes na moderna teoria de controle graças a Kalman são amplamente discutidos Nesse capítulo soluções para equações de espaço de estado são obtidas em detalhes O Capítulo 10 trata do projeto de sistemas de controle no espaço de estados Esse capítulo se inicia com os problemas de alocação de polos e observadores de estado Na engenharia de con trole é frequentemente desejável estabelecer um indexador de desempenho significativo e tentar minimizálo ou maximizálo conforme o caso Se o indexador de desempenho escolhido tem um significado claramente físico essa abordagem é bastante útil para determinar a variável ótima de controle Esse capítulo discute o problema do regulador quadrático ótimo no qual usamos um indexador de desempenho que é uma integral de uma função quadrática das variáveis de estado e das variáveis de controle A integral é executada a partir de t 0 a t 3 O capítulo encerrase com uma breve discussão sobre sistemas de controle robusto 10 Engenharia de controle moderno Modelagem matemática de sistemas de controle 2 C A P Í T U L O 21 Introdução No estudo de sistemas de controle o leitor deve ser capaz de modelar sistemas dinâmicos em termos matemáticos e analisar suas características dinâmicas O modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como um conjunto de equações que representa a dinâmica do sistema com precisão ou pelo menos razoavelmente bem Note que um modelo matemático não é único para determinado sistema Um sistema pode ser representado de muitas maneiras diferentes e portanto pode ter vários modelos matemáticos dependendo da perspectiva a ser considerada A dinâmica de muitos sistemas mecânicos elétricos térmicos econômicos biológicos ou outros pode ser descrita em termos de equações diferenciais Essas equações diferenciais são obtidas pelas leis físicas que regem dado sistema por exemplo as leis de Newton para sis temas mecânicos e as leis de Kirchhoff para sistemas elétricos Devemos sempre ter em mente que construir modelos matemáticos adequados é a parte mais importante da análise de sistemas de controle como um todo Neste livro assumiremos que o princípio de causalidade se aplica aos sistemas considera dos Isso significa que a atual saída do sistema no instante t 0 depende da entrada anterior a entrada em um instante t 0 mas não depende da entrada futura as entradas nos instantes t 0 Modelos matemáticos Os modelos matemáticos podem assumir diferentes formas Depen dendo do sistema considerado e das circunstâncias particulares um modelo matemático pode ser mais adequado que outros Por exemplo nos problemas de controle ótimo é vantajoso utilizar representações de espaço de estados Por outro lado para a análise da resposta transitória ou da resposta em frequência de um sistema linear invariante no tempo de entrada e de saída únicas a representação pela função de transferência pode ser mais conveniente que qualquer outra Uma vez obtido o modelo matemático de um sistema podem ser utilizadas várias ferramentas analíticas e de computação para efeito de análise e síntese Simplicidade versus precisão Na obtenção de um modelo matemático devemos estabelecer uma conciliação entre a simplicidade do modelo e a precisão dos resultados da análise Na obten ção de um modelo matemático relativamente simplificado frequentemente tornase necessário ignorar certas propriedades físicas inerentes ao sistema Em particular se for desejável um modelo matemático linear de parâmetros concentrados isto é se quisermos empregar equações diferen ciais ordinárias é sempre necessário ignorar certas não linearidades e os parâmetros distribuídos que podem estar presentes no sistema físico Se os efeitos que essas propriedades ignoradas têm sobre a resposta forem pequenos podese obter boa aproximação entre os resultados da análise de um modelo matemático e os resultados do estudo experimental do sistema físico Em geral na solução de um novo problema é conveniente construir um modelo simplificado para que possamos ter uma percepção geral em relação à solução Um modelo matemático mais completo pode então ser construído e utilizado para que sejam obtidas análises mais precisas Devemos estar bastante atentos para o fato de que um modelo linear de parâmetros concen trados válido em operações de baixa frequência pode não ser válido para frequências suficien temente altas uma vez que a propriedade de parâmetros distribuídos não considerada pode se tornar um fator importante no comportamento dinâmico do sistema Por exemplo a massa de uma mola pode ser desprezada em operações de baixa frequência mas se torna uma propriedade importante do sistema em frequências elevadas Para o caso em que um modelo matemático envolve erros consideráveis a teoria de controle robusto pode ser aplicada A teoria de controle robusto é apresentada no Capítulo 10 Sistemas lineares Um sistema é dito linear se o princípio da superposição se aplicar a ele O princípio da superposição afirma que a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas funções de determinação diversas é a soma das duas respostas individuais Então para o siste ma linear a resposta a diversas entradas pode ser calculada tratando uma entrada de cada vez e somando os resultados Esse é o princípio que permite construir soluções complicadas para equações diferenciais lineares a partir de soluções simples Na pesquisa experimental de um sistema dinâmico se causa e efeito forem proporcionais significando assim que é válida a aplicação do princípio da superposição então o sistema pode ser considerado linear Sistemas lineares invariantes no tempo e sistemas lineares variantes no tempo Uma equação diferencial é linear se os coeficientes forem constantes ou somente funções da variável independente Os sistemas dinâmicos compostos por componentes lineares de parâmetros con centrados invariantes no tempo podem ser descritos por equações diferenciais lineares invariantes no tempo isto é de coeficientes constantes Esses sistemas são denominados sistemas lineares invariantes no tempo ou lineares de coeficientes constantes Os sistemas representados por equações diferenciais cujos coeficientes são funções de tempo são chamados sistemas linea res variantes no tempo Um exemplo de sistema de controle variante no tempo é um sistema de controle de veículo espacial A massa de um veículo espacial muda devido ao consumo do combustível Visão geral do capítulo A Seção 21 exibiu uma introdução à modelagem matemática dos sistemas dinâmicos A Seção 22 apresenta a função de transferência e a função de resposta impulsiva A Seção 23 introduz sistemas de controle automático e a Seção 24 discute conceitos de modelagem no espaço de estados A Seção 25 trata da representação no espaço de estados dos sistemas dinâmicos A Seção 26 mostra a transformação de modelos matemáticos com o uso do MATLAB Por fim a Seção 27 discute a linearização de modelos matemáticos não lineares 22 Função de transferência e de resposta impulsiva Na teoria de controle as funções de transferência são comumente utilizadas para caracterizar as relações de entrada e de saída de componentes ou de sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais lineares invariantes no tempo Começamos pela definição de função de transferência e seguimos com a dedução da função de transferência de um sistema de equação diferencial Em seguida discutimos a função de resposta impulsiva Função de transferência A função de transferência de um sistema representado por uma equação diferencial linear invariante no tempo é definida como a relação entre a transformada 12 Engenharia de controle moderno de Laplace da saída função de resposta response function e a transformada de Laplace da entrada função de excitação driving function admitindose todas as condições iniciais nulas Considere o sistema linear invariante no tempo definido pela seguinte equação diferencial a y a y a y a y b x b x b x b x n m n n n n m m m m 0 1 1 1 0 1 1 1 g g o o h h h h h onde y é a saída do sistema e x é a entrada A função de transferência desse sistema é a relação entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada quando todas as condições iniciais são zero ou G s X s Y s a s a s a s a b s b s b s b Função de transferência entrada saída condições iniciais nulas n n n n m m m m 0 1 1 1 0 1 1 1 g g h h h 6 6 Utilizando o conceito de função de transferência é possível representar a dinâmica de um sistema por meio de uma equação algébrica em s Se a maior potência de s no denominador da função de transferência for igual a n o sistema será denominado sistema de ordem n Comentários sobre a função de transferência A aplicabilidade do conceito de função de transferência é limitada a sistemas de equações diferenciais lineares invariantes no tempo O método da função de transferência entretanto é amplamente utilizado na análise e no projeto desses sistemas A seguir mostraremos importantes comentários a respeito da função de trans ferência Observe que o sistema ao qual a lista se refere é descrito por uma equação diferencial linear invariante no tempo 1 A função de transferência de um sistema é um modelo matemático que constitui um método operacional para expressar a equação diferencial que relaciona a variável de saída à variável de entrada 2 A função de transferência é uma propriedade inerente ao sistema independentemente da magnitude e da natureza da função de entrada ou de excitação 3 A função de transferência inclui as unidades necessárias para relacionar a entrada à saída entretanto não fornece nenhuma informação relativa à estrutura física do sistema As funções de transferência de diversos sistemas fisicamente diferentes podem ser idênticas 4 Se a função de transferência de um sistema for conhecida a saída ou a resposta poderá ser estudada para várias maneiras de entrada visando ao entendimento da natureza do sistema 5 Se a função de transferência de um sistema não for conhecida ela pode ser determinada experimentalmente com o auxílio de entradas conhecidas e do estudo das respectivas respostas do sistema Uma vez determinada a função de transferência fornece uma descrição completa das características dinâmicas do sistema independentemente de sua descrição física Integral de convolução Para um sistema linear invariante no tempo a função de transferência Gs é G s X s Y s h h h onde Xs é a transformada de Laplace da entrada e Ys é a transformada de Laplace da saída do sistema considerando que todas as condições iniciais envolvidas sejam nulas Seguese que a saída Ys pode ser escrita como o produto de Gs e Xs ou Ys GsXs 21 13 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Note que a multiplicação no domínio complexo é equivalente à convolução no domínio de tempo veja o Apêndice A de modo que a transformada inversa de Laplace da Equação 21 seja dada pela seguinte integral de convolução y t x g t d g x t d t t 0 0 x x x x x x h h h h h onde ambos gt e xt são 0 para t 0 Função de resposta impulsiva Considere a saída resposta de um sistema linear invariante no tempo a um impulso unitário de entrada quando as condições iniciais são nulas Como a transformada de Laplace da função impulso unitário é igual à unidade a transformada de Laplace da saída do sistema é Ys Gs 22 A transformada inversa de Laplace da saída dada pela Equação 22 é a resposta impulsiva do sistema A transformada inversa de Laplace de Gs ou 1Gs gt é chamada função de resposta impulsiva Essa função gt também é denominada função carac terística do sistema A função de resposta impulsiva gt é portanto a resposta de um sistema linear invariante no tempo a um impulso unitário de entrada quando as condições iniciais do sistema são nulas A transformada de Laplace dessa função fornece a função de transferência Assim a função de transferência e a função de resposta impulsiva de um sistema linear invariante no tempo contêm as mesmas informações sobre a dinâmica do sistema Dessa maneira é possível obter informações completas sobre as características dinâmicas de um sistema por meio da excitação por um impulso de entrada e medindo a resposta Na prática um pulso de entrada de duração muito pequena comparado com constantes de tempo dominantes do sistema pode ser considerado um impulso 23 Sistemas de controle automático Um sistema de controle pode ter vários componentes Para mostrar as funções que são exe cutadas em cada um desses componentes na engenharia de controle normalmente utilizamos um diagrama chamado diagrama de blocos Esta seção se inicia com a explicação do que é um diagrama de blocos Em seguida apresenta os aspectos introdutórios aos sistemas de controle automático incluindo várias ações de controle Depois mostra um método para a obtenção do diagrama de blocos para sistemas físicos e por fim discute técnicas para a simplificação desses diagramas Diagramas de blocos Um diagrama de blocos de um sistema é uma representação gráfica das funções desempenhadas por cada componente e do fluxo de sinais entre eles Esses diagra mas descrevem o interrelacionamento que existe entre os vários componentes Diferindo da representação matemática abstrata pura um diagrama de blocos tem a vantagem de indicar mais realisticamente o fluxo de sinais do sistema real Em um diagrama de blocos todas as variáveis do sistema são ligadas umas às outras por meio de blocos funcionais O bloco funcional ou simplesmente bloco é um símbolo da operação matemática que é aplicada ao sinal de entrada do bloco que produz o sinal de saída A função de transferência dos componentes normalmente é incluída nos blocos correspondentes os quais estão conectados por setas que indicam a direção do fluxo de sinais Note que o sinal pode passar somente no sentido indicado pelas setas Assim um diagrama de blocos de um sistema de controle evidencia explicitamente uma propriedade unilateral 14 Engenharia de controle moderno A Figura 21 mostra um elemento do diagrama de blocos A seta que aponta para o bloco indica a entrada e a seta que aponta para fora do bloco representa a saída Essas setas são desig nadas como sinais Observe que as dimensões do sinal de saída do bloco são as dimensões do sinal de entrada multiplicadas pelas dimensões da função de transferência do bloco As vantagens da representação de um sistema por diagramas de blocos consistem no fato de que é fácil construir um diagrama de blocos para todo o sistema pela simples interligação dos blocos componentes de acordo com o fluxo de sinais e pela possibilidade de avaliar a contri buição de cada componente para o desempenho global do sistema Em geral a operação funcional do sistema pode ser visualizada mais facilmente pelo exame do diagrama de blocos do que pelo exame do próprio sistema físico Um diagrama de blocos contém informações relativas ao comportamento dinâmico mas não inclui nenhuma informação sobre a construção física do sistema Consequentemente muitos sistemas que não apresentam semelhança e não estão relacionados podem ser representados pelo mesmo diagrama de blocos Deve ser notado que em um diagrama de blocos a fonte principal de energia não é mostrada explicitamente e o diagrama de blocos de dado sistema não é único Certo número de diferentes diagramas de bloco pode ser desenhado para determinado sistema dependendo do ponto de vista da análise que se quer fazer Somador Referindose à Figura 22 um círculo com uma cruz é o símbolo que indica a ope ração de soma O sinal de mais ou menos na extremidade de cada seta indica se o sinal deve ser somado ou subtraído É importante que as quantidades a serem somadas ou subtraídas tenham as mesmas dimensões e as mesmas unidades Ponto de ramificação Um ponto de ramificação é um ponto do qual o sinal que vem de um bloco avança simultaneamente em direção a outros blocos ou somadores Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada A Figura 23 traz o exemplo de um diagrama de blocos de um sistema de malha fechada A saída Cs é realimentada ao somador em que é comparada à referência de entrada Rs A natureza de malha fechada do sistema é cla ramente indicada pela figura A saída do bloco Cs nesse caso é obtida pela multiplicação da função de transferência Gs pela entrada do bloco Es Todo sistema de controle linear pode ser representado por diagramas de bloco constituídos por blocos somadores e pontos de ramificação Quando a saída é realimentada ao somador para comparação com a entrada é necessário converter a forma do sinal de saída à do sinal de entrada Por exemplo em um sistema de controle FIGURA 21 Função de transferência Gs Elemento de um diagrama de blocos FIGURA 22 a a b b Somador 15 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle de temperatura o sinal de saída normalmente é a temperatura controlada O sinal de saída o qual tem a dimensão da temperatura deve ser convertido para uma força ou posição ou tensão antes de ser comparado ao sinal de entrada Essa conversão é realizada por meio do elemento de rea limentação cuja função de transferência é Hs como mostra a Figura 24 O papel do elemento de realimentação é modificar a saída antes de ser comparada com a entrada Na maioria dos casos o elemento de realimentação é um sensor que mede a saída da planta A saída do sensor é comparada com a entrada do sistema e é gerado um sinal de erro atuante Nesse exemplo o sinal de realimentação que é enviado ao somador para comparação com o sinal de entrada é Bs HsCs Função de transferência de malha aberta e função de transferência do ramo direto Referindose à Figura 24 a relação entre o sinal de realimentação Bs e o sinal de erro atuante Es é chamada função de transferência de malha aberta Ou seja Função de transferência de malha aberta E s B s h h GsHs A relação entre o sinal de saída Cs e o sinal de erro atuante Es é denominada função de trans ferência do ramo direto então Função de transferência do ramo direto E s C s G s h h h Se a função de transferência de realimentação Hs for unitária então a função de transferência de malha aberta e a função de transferência do ramo direto serão as mesmas Função de transferência de malha fechada Para o sistema mostrado na Figura 24 a saída Cs e a entrada Rs estão relacionadas como a seguir como Cs GsEs Es Rs Bs Rs HsCs eliminando Es dessas equações resulta em Cs GsRs HsCs FIGURA 23 Rs Es Gs Cs Ponto de ramificação Somador Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada FIGURA 24 Rs Bs Es Gs Hs Cs Sistema de malha fechada 16 Engenharia de controle moderno ou R s C s G s H s G s 1 h h h h h 23 A função de transferência que relaciona Cs a Rs é chamada função de transferência de malha fechada Essa função de transferência relaciona a dinâmica dos sistemas de malha fechada à dinâmica dos elementos do ramo direto e dos elementos de realimentação A partir da Equação 23 Cs é dada por C s G s H s G s R s 1 h h h h h Assim a saída do sistema de malha fechada depende claramente tanto da função de transfe rência de malha fechada como da natureza da entrada Obtendo funções de transferência em cascata em paralelo e com realimentação de malha fechada com o MATLAB Na análise de sistemas de controle necessitamos frequen temente calcular as funções de transferência em cascata as funções de transferência conectadas em paralelo e as funções de transferência com realimentação conectadas de malha fechada O MATLAB tem comandos convenientes para obter as funções de transferência em cascata em paralelo e com realimentação de malha fechada Suponha que existam dois componentes G1s e G2s conectados diferentemente como mostram as figuras 25a b e c onde G s G s den1 num1 den2 num2 1 2 h h Para obter a função de transferência no sistema em cascata no sistema em paralelo ou no sistema com realimentação de malha fechada os seguintes comandos podem ser usados num den seriesnum1den1num2den2 num den parallelnum1den1num2den2 num den feedbacknum1den1num2den2 Como exemplo considere o caso em que G s s s G s s 2 10 10 5 5 den1 num1 den2 num2 1 2 2 h h FIGURA 25 G1s G1s G2s G2s Cs Rs Cs Cs Rs Rs G1s G2s a b c a Sistema em cascata b sistema em paralelo c sistema com realimentação de malha fechada 17 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle O Programa 21 em MATLAB fornece CsRs numden para cada arranjo de G1s e G2s Note que o comando printsysnumden mostra o numden isto é a função de transferência CsRs do sistema a ser considerado Programa 21 em MATLAB num1 10 den1 1 2 10 num2 5 den2 1 5 num den seriesnum1den1num2den2 printsysnumden numden 50 s3 7s2 20s 50 num den parallelnum1den1num2den2 printsysnumden numden 5s2 20s 100 s3 7s2 20s 50 num den feedbacknum1den1num2den2 printsysnumden numden 10s 50 s3 7s2 20s 100 Controladores automáticos Um controlador automático compara o valor real de saída da planta com a entrada de referência valor desejado determina o desvio e produz um sinal de controle que reduzirá o desvio a zero ou a um valor pequeno A maneira pela qual o controlador automático produz o sinal de controle é chamada ação de controle A Figura 26 é um diagrama de blocos de um sistema de controle industrial o qual consiste em um controlador automático um atuador uma planta e um sensor elemento de medição O controlador detecta o sinal de erro atuante o qual normalmente é de potência muito baixa e o amplifica a um nível suficientemente alto A saída de um controlador automático alimenta um atuador como um motor elétrico um motor hidráulico um motor pneumático ou uma válvula O atuador é um dispositivo de potência que produz o sinal de entrada na planta de acordo com o sinal de controle de modo que a saída se aproxime do sinal de entrada de referência FIGURA 26 Entrada de referência Ponto de ajuste Controlador automático Detector de erro Amplificador Sinal de erro atuante Atuador Planta Saída Sensor Diagrama de blocos de um sistema de controle industrial que consiste em um controlador automático um atuador uma planta e um sensor elemento de medição 18 Engenharia de controle moderno O sensor ou elemento de medição é um dispositivo que converte a variável de saída em outra variável conveniente como deslocamento pressão tensão etc que pode ser utilizada para comparar a saída ao sinal de entrada de referência Esse elemento está no ramo de realimenta ção do sistema de malha fechada O ponto de ajuste do controlador deve ser convertido em um sinal de referência com as mesmas unidades do sinal de realimentação que vem do sensor ou do elemento de medição Classificação dos controladores industriais A maioria dos controladores industriais pode ser classificada de acordo com suas ações de controle em 1 Controladores de duas posições ou onoff 2 Controladores proporcionais 3 Controladores integrais 4 Controladores proporcionalintegrais 5 Controladores proporcionalderivativos 6 Controladores proporcionalintegralderivativos A maior parte dos controladores industriais utiliza eletricidade ou fluido pressurizado como óleo ou ar como fontes de energia Como consequência os controladores também podem ser classificados de acordo com a espécie de energia empregada na operação como controladores pneumáticos con troladores hidráulicos ou controladores eletrônicos A escolha do tipo de controlador a ser utilizado deve ser decidida com base na natureza da planta e nas condições de operação incluindo certas considerações como segurança custo disponibilidade confiabilidade precisão peso e tamanho Ação de controle de duas posições ou onoff Em um sistema de controle de duas posições o elemento atuante tem somente duas posições fixas que são em muitos casos simplesmente on e off O controle de duas posições ou onoff é relativamente simples e barato e por essa razão é bastante utilizado em sistemas de controle domésticos e industriais Considere que o sinal de saída do controlador é ut e o sinal de erro atuante é et No con trole de duas posições o sinal ut permanece em um valor máximo ou em um valor mínimo dependendo se o sinal de erro atuante for negativo ou positivo Assim ut U1 para et 0 U2 para et 0 onde U1 e U2 são constantes O valor mínimo U2 normalmente é zero ou U1 Os controladores de duas posições são em geral dispositivos elétricos e as válvulas operadas por solenoides elétricos são muito utilizadas nesses controladores Controladores proporcionais pneumáticos com ganhos muito altos atuam como controladores de duas posições e às vezes são chamados controladores pneumáticos de duas posições As figuras 27a e b mostram os diagramas de bloco do controlador de duas posições ou onoff O intervalo no qual o sinal de erro atuante deve variar antes de ocorrer a comutação é denominado intervalo diferencial Um intervalo diferencial está indicado na Figura 27b Esse intervalo diferencial faz que a saída ut do controlador mantenha seu valor atual até que o sinal de erro atuante tenha variado ligeiramente além do valor zero Em alguns casos o intervalo diferencial é o resultado de um atrito não intencional e da perda de movimento entretanto muitas vezes ele é provocado intencionalmente para prevenir uma operação muito frequente do mecanismo de onoff Considere o sistema de controle de nível de líquido mostrado na Figura 28a em que a válvula eletromagnética apresentada na Figura 28b é utilizada para o controle da vazão de entrada Essa válvula está aberta ou fechada Com esse controle de duas posições a vazão de entrada da água pode ser tanto uma constante positiva como nula Como mostrado na Figura 29 o sinal de saída movese continuamente entre os dois limites estabelecidos ocasionando o movimento do elemento atuante de uma posição fixa para outra Note que a curva de saída segue uma das duas curvas exponenciais uma correspondente à curva de enchimento e a outra à do esvaziamento 19 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Essa oscilação de saída entre dois limites é uma resposta típica de um sistema de controle de duas posições A partir da Figura 29 podemos notar que a amplitude da oscilação da saída pode ser reduzida pela diminuição do intervalo diferencial A diminuição do intervalo diferencial entretanto aumen ta o número de comutações onoff por minuto e reduz a vida útil do componente O tamanho do intervalo diferencial deve ser determinado a partir de considerações como a precisão requerida e a vida útil do componente Ação de controle proporcional Para um controlador com ação de controle proporcional a relação entre a saída do controlador ut e o sinal de erro atuante et é ut Kpet ou transformando por Laplace E s U s Kp h h FIGURA 27 a b U1 U2 u e U1 U2 u e Intervalo diferencial a Diagrama de blocos de um controlador on off b diagrama de blocos de um controlador on off com intervalo diferencial FIGURA 28 115 V R C h a b qi Boia Núcleo móvel de ferro Bobina magnética a Sistema de controle de nível de líquido b válvula eletromagnética FIGURA 29 ht t 0 Intervalo diferencial Curva do nível ht versus t relativa ao sistema mostrado na Figura 28a 20 Engenharia de controle moderno onde Kp é denominado ganho proporcional Qualquer que seja o mecanismo real e o tipo de energia utilizada na operação o controlador proporcional é essencialmente um amplificador com um ganho ajustável Ação de controle integral Em um controlador com ação de controle integral o valor da saída ut do controlador é modificado a uma taxa de variação proporcional ao sinal de erro atuante et Ou seja dt du t K e t i h h ou u t K e t dt i t 0 h h onde Ki é uma constante ajustável A função de transferência de um controlador integral é E s U s s Ki h h Ação de controle proporcionalintegral A ação de controle de um controlador proporcional integral é definida por u t K e t T K e t dt p i p t 0 h h h ou então a função de transferência do controlador é E s U s K Ts 1 1 p i e h h o onde Ti é chamado tempo integrativo Ação de controle proporcionalderivativo A ação de controle de um controlador propor cionalderivativo é definida por u t K e t K T dt de t p p d h h h e a função de transferência é E s U s K T s p 1 d h h h onde Td é chamado tempo derivativo Ação de controle proporcionalintegralderivativo A combinação das ações de controle proporcional de controle integral e de controle derivativo é denominada ação de controle pro porcionalintegralderivativo Essa ação combinada tem as vantagens individuais de cada uma das três ações de controle A equação de um controlador com essas ações combinadas é dada por u t K e t T K e t dt K T dt de t p i p p d t 0 h h h h e a função de transferência é E s U s K Ts T s 1 1 p i d e h h o onde Kp é o ganho proporcional Ti é o tempo integrativo e Td é o tempo derivativo O diagrama de blocos de um controlador proporcionalintegralderivativo é mostrado na Figura 210 21 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Sistema de malha fechada submetido a um distúrbio A Figura 211 mostra um sistema de malha fechada submetido a um distúrbio Quando duas entradas a entrada de referência e o distúrbio estão presentes em um sistema linear invariante no tempo cada entrada pode ser tratada independentemente da outra e as saídas que correspondem a cada entrada individual podem ser somadas para resultar na saída completa O sinal com que cada entrada é introduzida no sistema é mostrado no somador por um sinal de mais ou de menos Considere o sistema mostrado na Figura 211 Examinando o efeito do distúrbio Ds podemos admitir que a entrada de referência seja zero podemos então calcular a resposta CDs somente para o distúrbio Essa resposta pode ser encontrada a partir de D s C s G s G s H s G s 1 D 1 2 2 h h h h h h Por outro lado considerando a resposta à entrada de referência Rs podemos supor que o dis túrbio seja zero Então a resposta CRs à entrada de referência Rs pode ser obtida a partir de R s C s G s G s H s G s G s 1 R 1 2 1 2 h h h h h h h A resposta à aplicação simultânea da entrada de referência e do distúrbio pode ser obtida pela soma das duas respostas individuais Em outras palavras a resposta Cs devida à aplicação simultânea da entrada de referência Rs e do distúrbio Ds é dada por Cs CRs CDs G s G s H s G s G s R s D s 1 1 2 2 1 h h h h h h h 6 Considere agora o caso em que G1sHs 1 e G1sG2sHs 1 Nesse caso a função de transferência de malha fechada CDsDs tornase praticamente nula e o efeito do distúrbio é suprimido Isso é uma vantagem do sistema de malha fechada Por outro lado a função de transferência de malha fechada CRsRs aproximase de 1Hs conforme o ganho de G1sG2sHs aumenta Isso significa que se G1sG2sHs 1 então a função de transferência de malha fechada CRsRs tornase independente de G1s e G2s e inversamente proporcional a Hs de modo que as variações de G1s e G2s não afetem a função FIGURA 210 Es Us Kp1 Tis Ti Tds2 Tis Diagrama de blocos de um controlador proporcional integral derivativo FIGURA 211 Rs G1s G2s Hs Cs Distúrbio Ds Sistema de malha fechada submetido a um distúrbio 22 Engenharia de controle moderno de transferência de malha fechada CRsRs Esta é outra vantagem do sistema de malha fechada Concluise facilmente que qualquer sistema de malha fechada com realimentação unitária Hs 1 tende a igualar a entrada à saída Procedimentos para construir um diagrama de blocos Para construir um diagrama de blocos de um sistema devem ser previamente escritas as equações que descrevem o compor tamento dinâmico de cada componente Em seguida devese obter a transformada de Laplace dessas equações admitindose nulas todas as condições iniciais para então representar indivi dualmente em forma de bloco a transformada de Laplace de cada equação Por fim devemse agrupar os elementos em um diagrama de blocos completo Como exemplo considere o circuito RC mostrado na Figura 212a As equações para esse circuito são i R e e i o 24 e C idt o 25 As transformadas de Laplace das equações 24 e 25 com as condições iniciais nulas tornamse I s R E s E s i o h h h 26 E s Cs I s o h h 27 A Equação 26 representa uma operação de soma e o diagrama correspondente é mostrado na Figura 212b A Equação 27 representa o bloco exposto na Figura 212c Agrupando esses dois elementos obtemos o diagrama de blocos completo do sistema como se pode ver na Figura 212d Redução do diagrama de blocos É importante notar que os blocos podem ser conectados em série somente se a saída de um bloco não for afetada pelo bloco seguinte Se houver qualquer efeito de carga entre os componentes é necessário combinar esses componentes em um único bloco Qualquer que seja o número de blocos em cascata que represente componentes sem carga esses blocos podem ser substituídos por um único bloco e sua função de transferência será sim plesmente o produto das funções de transferência individuais Um diagrama de blocos complexo que envolve muitas malhas de realimentação pode ser simplificado por meio de uma reorganização por etapas A simplificação do diagrama de blocos FIGURA 212 d Eis Is Eos 1 R 1 Cs Eos b Eis Is 1 R c Is Eos 1 Cs a R C eo ei i a Circuito RC b diagrama de blocos que representa a Equação 26 c diagrama de blocos que representa a Equação 27 d diagrama de blocos do circuito RC 23 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle por meio da reorganização reduz consideravelmente o trabalho necessário para a análise mate mática subsequente Devese observar entretanto que à medida que o diagrama de blocos é simplificado as funções de transferência nos novos blocos tornamse mais complexas em virtude da geração de novos polos e novos zeros Exemplo 21 Considere o sistema mostrado na Figura 213a Simplifique o diagrama Movendo o somador da malha de realimentação negativa que contém H2 para fora da malha de realimentação positiva que contém H1 obtemos a Figura 213b Eliminando a malha de rea limentação positiva obtemos a Figura 213c A eliminação da malha que contém H2G1 resulta na Figura 213d Por fim eliminando a malha de realimentação o resultado é a Figura 213e Note que o numerador da função de transferência de malha fechada CsRs é o produto das funções de transferência do ramo diretoO denominador de CsRs é igual a 1 Σ produto da função de transferência contornando cada malha 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 A malha de realimentação positiva gera um termo negativo no denominador FIGURA 213 R G1 H1 H2 G3 G2 C R G1 H1 G3 G2 C R G3 C R C R C a b c d e H2 G1 H2 G1 G1G2 1 G1G2H1 G1G2G3 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 a Sistema de múltiplas malhas be reduções sucessivas do diagrama de blocos mostrado em a 24 Engenharia de controle moderno 24 Modelagem no espaço de estados Nesta seção apresentaremos o material introdutório sobre a análise de sistemas de controle no espaço de estados Teoria de controle moderno A tendência moderna nos sistemas de engenharia é aumentar sua complexidade principalmente em virtude da necessidade de realizar tarefas complexas e de alta precisão Sistemas complexos podem ter entradas e saídas múltiplas e ser variantes no tempo Em razão da necessidade de atender a crescentes e rigorosas exigências de desempenho dos sistemas de controle ao aumento da complexidade dos sistemas e ao acesso fácil e em larga escala aos computadores a teoria de controle moderno que é uma nova abordagem para a análise e o projeto de sistemas de controle complexos tem sido desenvolvida desde aproximadamente 1960 Essa nova teoria tem como base o conceito de estado O conceito de estado propriamente dito não é novo pois existe há bastante tempo no campo da dinâmica clássica e em outras áreas Teoria de controle moderno versus teoria de controle convencional A teoria de con trole moderno contrasta com a teoria de controle convencional porque a primeira é aplicada a sistemas de entradas e de saídas múltiplas que podem ser lineares ou não lineares variantes ou invariantes no tempo ao passo que a última é aplicável somente a sistemas lineares invariantes no tempo de entrada e de saída únicas A teoria de controle moderno é também essencialmente uma abordagem no domínio de tempo e no domínio da frequência em certos casos como o controle Hinfinito enquanto a teoria de controle convencional é uma abordagem no domínio da frequência complexa Antes de prosseguirmos devemos definir estado variáveis de estado vetor de estado e espaço de estados Estado O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis chamadas variáveis de estado tais que o conhecimento dessas variáveis em t t0 junto ao conhecimento da entrada para t t0 determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t t0 Observe que o conceito de estado não é limitado ao caso dos sistemas físicos ele é aplicável também a sistemas biológicos econômicos sociais e outros Variáveis de estado As variáveis de estado de um sistema dinâmico são aquelas que constituem o menor conjunto de variáveis capaz de determinar o estado desse sistema dinâmico Se pelo menos n variáveis x1 x2 xn são necessárias para descrever todo o comportamento de um sistema dinâmico de tal modo que sendo dada a entrada para t t0 e especificado o estado inicial em t t0 o estado futuro do sistema fique completamente estabelecido então essas n variáveis formam um conjunto de variáveis de estado Note que essas variáveis de estado não necessitam ser quantidades fisicamente mensuráveis ou observáveis As variáveis que não representam grandezas físicas e aquelas que não são nem mensu ráveis nem observáveis podem ser escolhidas como variáveis de estado Essa liberdade de escolha das variáveis de estado é uma vantagem dos métodos de espaço de estados Na prática entretanto é conveniente escolher para as variáveis de estado grandezas que sejam facilmente mensuráveis se isso for possível porque as leis do controle ótimo requerem a realimentação de todas as variáveis de estado com ponderação adequada Vetor de estado Se forem necessárias n variáveis de estado para descrever completamente o comportamento de dado sistema então essas n variáveis de estado poderão ser consideradas os n componentes de um vetor x Esse vetor é chamado vetor de estado Assim um vetor de estado é aquele que determina univocamente o estado do sistema xt para qualquer instante t t0 uma vez que é dado o estado em t t0 e a entrada ut para t t0 é especificada Espaço de estados O espaço ndimensional cujos eixos coordenados são formados pelos eixos de x1 x2 xn onde x1 x2 xn são as variáveis de estado é denominado espaço de estados Qualquer estado pode ser representado por um ponto no espaço de estados 25 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Equações no espaço de estados A análise no espaço de estados envolve três tipos de variá veis que estão presentes na modelagem de sistemas dinâmicos variáveis de entrada variáveis de saída e variáveis de estado Como veremos na Seção 25 a representação de dado sistema no espaço de estados não é única mas o número de variáveis de estado é o mesmo para qualquer uma das diferentes representações do mesmo sistema no espaço de estados O sistema dinâmico deve conter elementos que memorizem os valores de entrada para t t1 Uma vez que os integradores em um sistema de controle de tempo contínuo servem como dispositivos de memória as saídas desses integradores podem ser consideradas variáveis que definem o estado interno do sistema dinâmico Assim as saídas dos integradores podem ser esco lhidas como variáveis de estado O número de variáveis de estado que definem completamente a dinâmica de um sistema é igual ao número de integradores existentes no sistema Suponha que um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas envolva n integradores Considere também que existam r entradas u1t u2t urt e m saídas y1t y2t ymt Defina as n saídas dos integradores como variáveis de estado x1t x2t xnt Então o sistema pode ser descrito como ẋ1t f1x1 x2 xn u1 u2 ur t ẋ2t f2x1 x2 xn u1 u2 ur t h 28 ẋnt fnx1 x2 xn u1 u2 ur t As saídas y1t y2t ymt do sistema podem ser dadas por y1t g1x1 x2 xn u1 u2 ur t y2t g2x1 x2 xn u1 u2 ur t h 29 ymt gmx1 x2 xn u1 u2 ur t Se definirmos t x t x t x t t f x x x u u u t f x x x u u u t f x x x u u u t t y t y t y t t g x x x u u u t g x x x u u u t g x x x u u u t t u t u t u t x f x u y g x u u n n r n r n n r m n r n r n n r r 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 h f f f f h f f h f f f f h f f h h h h h h h h h h h h h h h h h h h R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW as equações 28 e 29 tornamse ẋt fx u t 210 yt gx u t 211 26 Engenharia de controle moderno onde a Equação 210 é a equação de estado e a Equação 211 é a equação de saída Se as funções vetoriais f eou g envolverem explicitamente o tempo t então o sistema será chamado sistema variante no tempo Se as equações 210 e 211 forem linearizadas em torno de um ponto de operação então teremos as seguintes equações de estado e de saída linearizadas ẋt Atxt Btut 212 yt Ctxt Dtut 213 onde At é chamada matriz de estado Bt de matriz de entrada Ct de matriz de saída e Dt de matriz de transmissão direta Os detalhes da linearização de sistemas não lineares em torno de um estado de operação serão discutidos na Seção 27 Uma representação do diagrama de blocos das equações 212 e 213 é mostrada na Figura 214 Se as funções vetoriais f e g não envolverem o tempo t explicitamente então o sistema será denominado de sistema invariante no tempo Nesse caso as equações 212 e 213 podem ser simplificadas para ẋt Axt But 214 ẏt Cxt Dut 215 A Equação 214 é a equação de estado de um sistema linear invariante no tempo e a Equação 215 é a equação de saída para o mesmo sistema Neste livro vamos nos referir principalmente aos sistemas descritos pelas equações 214 e 215 A seguir apresentamos um exemplo que mostra a derivação da equação de estado e da equa ção de saída de um sistema Exemplo 22 Considere o sistema mecânico indicado na Figura 215 Admitimos que o sistema seja linear A força externa ut é a entrada do sistema e o deslocamento yt da massa é a saída O desloca mento yt é medido a partir da posição de equilíbrio na ausência da força externa Este é um sistema de entrada e saída únicas De acordo com o diagrama a equação do sistema é mÿ bẏ ky u 216 Esse sistema é de segunda ordem Isso significa que ele contém dois integradores Vamos definir as variáveis de estado x1t e x2t como x1t yt x2t ẏt Então obtemos x x x m ky by m u 1 1 1 2 2 o o o h FIGURA 214 ut Dt Bt At Ct yt xt dt xt 8 Diagrama de blocos de um sistema de controle linear de tempo contínuo representado no espaço de estados 27 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle ou ẋ1 x2 217 x m k x m b x m u 1 2 1 2 o 218 A equação de saída é y x1 219 Sob a forma vetorialmatricial as equações 217 e 218 podem ser escritas como x x m k m b x x m u 0 1 0 1 1 2 1 2 o o G H G H 220 A equação de saída Equação 219 pode ser escrita como y x x 1 0 1 2 6 G 221 A Equação 220 é uma equação de estado e a Equação 221 é uma equação de saída para o sistema As equações 220 e 221 estão escritas na formapadrão ẋ Ax Bu y Cx Du onde 0 m k m b m D 0 1 0 1 1 0 A B C 6 H H A Figura 216 é um diagrama de blocos do sistema Note que as saídas dos integradores são variáveis de estado FIGURA 215 m k b ut yt Sistema mecânico FIGURA 216 u 1 m b m k m x2 x2 x1 y 8 8 Diagrama de blocos do sistema mecânico mostrado na Figura 215 28 Engenharia de controle moderno Correlação entre funções de transferência e equações no espaço de estados A seguir mostraremos como obter uma função de transferência de um sistema de entrada e de saída únicas a partir das equações no espaço de estados Consideremos o sistema cuja função de transferência é dada por U s Y s G s h h h 222 Esse sistema pode ser representado no espaço de estados pelas seguintes equações ẋ Ax Bu 223 y Cx Du 224 onde x é o vetor de estado u é a entrada e y é a saída A transformada de Laplace das equações 223 e 224 é dada por sXs x0 AXs BUs 225 Ys CXs DUs 226 Uma vez que a função de transferência foi previamente definida como a relação entre a transfor mada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada quando as condições iniciais são nulas estabelecemos x0 igual a zero na Equação 225 Então temos sXs AXs BUs ou sI AXs BUs Multiplicando previamente por sI A1 ambos os lados dessa última equação obtemos Xs sI A1BUs 227 Substituindo a Equação 227 na Equação 226 temos Ys CsI A1B DUs 228 Comparando a Equação 228 com a Equação 222 vemos que Gs CsI A1B D 229 Esta é a expressão da função de transferência do sistema em termos de A B C e D Observe que o lado direito da Equação 229 envolve sI A1 Em consequência Gs pode ser escrito da seguinte maneira G s s Q s I A h h onde Qs é um polinômio em s Note que sI A é igual ao polinômio característico de Gs Em outras palavras os autovalores de A são idênticos aos polos de Gs Exemplo 23 Considere novamente o sistema mecânico mostrado na Figura 215 As equações de espaço de estados para o sistema são dadas pelas equações 220 e 221Vamos obter a função de transferên cia do sistema a partir das equações do espaço de estados Pela substituição de A B C e D na Equação 229 obtemos G s s D s s m k m b m s m k s m b m 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 C I A B 1 1 1 h h 6 6 G H H H H 4 29 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Note que s m k s m b s m b s m k s m b m k s 1 1 1 1 2 R T S S SS V X W W WW H Verifique o Apêndice C para a matriz inversa de 2 2 Portanto temos G s s m b s m k s m b m k s m ms bs k 1 0 1 1 0 1 1 2 2 h R T S S SS 6 V X W W WW H que é a função de transferência do sistema A mesma função de transferência pode ser obtida a partir da Equação 216 Matriz de transferência A seguir considere um sistema de múltiplas entradas e múltiplas saídas Suponha que existam r entradas u1 u2 ur e m saídas y1 y2 ym Defina y y y u u u y u m r 1 2 1 2 h h R T S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W WW V X W W W W WW A matriz de transferência Gs relaciona a saída Ys com a entrada Us ou Ys GsUs onde Gs é dado por Gs CsI A1B D A dedução para essa equação é a mesma que a da Equação 229 Como o vetor de entrada u é de dimensão r e o vetor de saída y é de dimensão m a matriz de transferência Gs é uma matriz m r 25 Representação de sistemas de equações diferenciais escalares no espaço de estados Um sistema dinâmico que consiste em um número finito de elementos concentrados pode ser descrito por equações diferenciais ordinárias nas quais o tempo é a variável independente Utilizandose a notação vetorialmatricial uma equação diferencial de ordem n pode ser repre sentada por uma equação diferencial vetorialmatricial de primeira ordem Se n elementos do vetor formam um conjunto de variáveis de estado então a equação diferencial vetorialmatricial é uma equação de estado Nesta seção apresentaremos métodos para obter as representações no espaço de estados de sistemas de tempo contínuo Representação no espaço de estados de sistemas de equações diferenciais lineares de ordem n cuja função de entrada não possui derivadas Considere o seguinte sistema de ordem n y a y a y a y u n n n n 1 1 1 g o h h 230 Observandose que o conhecimento de y0 ẏ0 y n 1 h0 com a entrada ut para t 0 determina completamente o comportamento futuro do sistema podese considerar yt ẏt y n 1 ht como um conjunto de n variáveis de estado Matematicamente essa escolha das variáveis de estado é 30 Engenharia de controle moderno bastante satisfatória Na prática entretanto em virtude da imprecisão dos termos com derivadas de ordem elevada em decorrência dos ruídos inerentes a qualquer situação prática a escolha dessas variáveis de estado pode não ser desejável Definindo x1 y x2 ẏ h x y n n 1 h a Equação 230 pode ser escrita do seguinte modo ẋ1 x2 ẋ2 x3 h ẋn 1 xn ẋn an x1 a1xn u ou ẋ Ax Bu 231 onde x A x x x a a a a 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B n n n n 1 2 1 2 1 h h h h g g g g h h R T S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS V X W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW A saída pode ser dada por y x x x 1 0 0 n 1 2 g h R T S S S SS 6 V X W W W WW ou y Cx 232 onde C 1 0 0 Note que D na Equação 224 é zero A equação diferencial de primeira ordem Equação 231 é a equação de estado e a equação algébrica Equação 232 é a equação de saída Observe que a representação no espaço de estados de um sistema de função de transferência U s Y s s a s a s a 1 n n n n 1 1 1 g h h também é dada pelas equações 231 e 232 31 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Representação do espaço de estados de um sistema de equações diferenciais lineares de ordem n cuja função de entrada possui derivadas Considere o sistema de equações diferenciais que possui derivadas na função de entrada como y a y a y a y b u b u b u b u n n n n n n n n 1 1 1 0 1 1 1 g g o o h h h h 233 O principal problema na definição das variáveis de estado para esse caso ocorre nos termos com derivadas da entrada u As variáveis de estado devem ser tais que eliminem as derivadas de u na equação de estado Uma maneira de obter uma equação de estado e a equação de saída para esse caso é definir as seguintes n variáveis como um conjunto de n variáveis de estado x y u x y u u x u x y u u u x u x y u u u u x u n n n n n n n n 1 0 2 0 1 1 1 3 0 1 2 2 2 1 0 1 1 2 2 1 1 1 h g b b b b b b b b b b b b b o o o p p o o o o o h h h 234 onde β0 β1 β2 βn1 são determinadas a partir de β0 b0 β1 b1 a1β0 β2 b2 a1β1 a2β0 β3 b3 a1β2 a2β1 a3β0 h 235 βn 1 bn 1 a1βn 2 an 2β1 an 1β0 Com essa escolha de variáveis de estado a existência e a exclusividade da solução da equação de estado estão garantidas Note que esta não é a única escolha de um conjunto de variáveis de estado Com essa escolha obtemos ẋ1 x2 β1u ẋ2 x3 β2u h 236 ẋn1 xn βn 1u ẋn anx1 an 1x2 a1xn βnu onde βn é dado por βn bn a1βn 1 an 1β1 an 1β0 Para a dedução da Equação 236 veja o Problema A26 Em termos de equações vetoriais matriciais a Equação 236 e a equação de saída podem ser escritas como 32 Engenharia de controle moderno x x x x a a a a x x x x u y x x x u 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 n n n n n n n n n n 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 0 h h h h g g g g h h h g h b b b b b o o o o R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S SS 6 V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W WW ou ẋ Ax Bu 237 y Cx Du 238 onde x x x x a a a a D b 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 x A B C n n n n n n n 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 0 h h h h g g g g h h g b b b b b R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS 6 V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW Com essa representação no espaço de estados as matrizes A e C são exatamente as mesmas do sistema da Equação 230 As derivadas do termo à direita da Equação 233 afetam somente os elementos da matriz B Observe que a representação no espaço de estados para a função de transferência U s Y s s a s a s a b s b s b s b n n n n n n n n 1 1 1 0 1 1 1 g g h h é dada pelas equações 237 e 238 Existem diversas maneiras de obter a representação de sistemas no espaço de estados Os métodos para a obtenção das representações canônicas de sistemas no espaço de estados como a forma canônica controlável a forma canônica observável a forma canônica diagonal e a forma canônica de Jordan são apresentados no Capítulo 9 O MATLAB também pode ser usado para obter representações de sistemas no espaço de estados a partir de representações das funções de transferência e viceversa Esse tema será apresentado na Seção 26 33 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle 26 Transformação de modelos matemáticos com MATLAB O MATLAB é amplamente utilizado para transformar o modelo do sistema de função de transferência para o espaço de estados e viceversa Vamos começar nossa discussão com a trans formação a partir da função de transferência para o modelo no espaço de estados Seja a função de transferência de malha fechada escrita do seguinte modo ô ô polin mio do denomin ador em polin mio do numerador em U s Y s den num s s h h Uma vez obtida a expressão da função de transferência o comando MATLAB a seguir A B C D tf2ssnumden fornecerá a representação no espaço de estados É importante notar que a representação no espaço de estados para dado sistema não é única Existem diversas infinitas representações no espaço de estados para o mesmo sistema O comando MATLAB fornece uma dessas possíveis representações Transformação da função de transferência para o espaço de estados Considere a função de transferência do sistema U s Y s s s s s s s s s 10 4 16 14 56 160 2 3 2 h h h h 239 Existem várias infinitas possíveis representações no espaço de estados para esse sistema Uma delas é x x x x x x u y x x x u 0 0 160 1 0 56 0 1 14 0 1 14 1 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 6 H H H H H Outra representação no espaço de estados entre várias alternativas possíveis é x x x x x x u y x x x u 14 1 0 56 0 1 160 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 6 H H H H H 240 241 O MATLAB transforma a função de transferência dada pela Equação 239 em uma representação no espaço de estados dada pelas equações 240 e 241 Para o exemplo de sistema considerado aqui o Programa 22 em MATLAB vai produzir as matrizes A B C e D 34 Engenharia de controle moderno Programa 22 em MATLAB num 1 0 den 1 14 56 160 ABCD tf2ssnumden A 14 56 160 1 0 0 0 1 0 B 1 0 0 C 0 1 0 D 0 Transformação do espaço de estados para função de transferência Para obter a função de transferência a partir das equações no espaço de estados utilize o seguinte comando numden ss2tfABCDiu onde iu deve ser especificado para sistemas com mais de uma entrada Por exemplo se o sistema tiver três entradas u1 u2 u3 então iu deverá ser 1 2 ou 3 onde 1 representa u1 2 representa u2 e 3 representa u3 Se o sistema tiver somente uma entrada os comandos numden ss2tfABCD ou numden ss2tfABCD1 poderão ser utilizados Para os casos em que o sistema tenha múltiplas entradas e saídas veja o Problema A2123 Exemplo 24 Obtenha a função de transferência do sistema definido pelas seguintes equações no espaço de estados x x x x x x u y x x x 0 0 5 1 0 25 0 1 5 0 25 120 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H O Programa 23 em MATLAB fornecerá a função de transferência para o sistema em questão A função de transferência obtida é dada por U s Y s s s s s 5 25 5 25 5 3 2 h h 35 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Programa 23 em MATLAB A 0 1 0 0 0 1 5 25 5 B 0 25 120 C 1 0 0 D 0 numden ss2tfABCD num 0 00000 250000 50000 den 10000 50000 250000 50000 O mesmo resultado pode ser obtido por meio do seguinte comando numden ss2tfABCD1 num 0 00000 250000 50000 den 10000 50000 250000 50000 27 Linearização de modelos matemáticos não lineares Sistemas não lineares Um sistema é não linear se o princípio da superposição não se aplicar a ele Assim para um sistema não linear não se pode obter a resposta a duas entradas simultâneas considerando as entradas individualmente e somando os resultados Embora muitas relações de grandezas físicas sejam representadas por equações lineares na maioria dos casos a relação entre elas não é efetivamente linear De fato um estudo cuidadoso dos sistemas físicos revela que mesmo os chamados sistemas lineares são realmente lineares somente para intervalos limitados de operação Na prática muitos sistemas eletromecânicos hidráulicos pneumáticos e outros envolvem relações não lineares entre as variáveis Por exem plo a saída de um componente pode ser saturada para sinais de entrada de grande amplitude Pode haver uma zona morta que afeta pequenos sinais A zona morta de um componente é uma pequena gama de variações de entrada às quais o componente é insensível Não linearidades quadráticas podem ocorrer em alguns componentes Por exemplo amortecedores utilizados em sistemas físicos podem ser lineares para operações de baixa velocidade mas podem se tornar não lineares para velocidades elevadas e a ação de amortecimento pode se tornar proporcional ao quadrado da velocidade de operação Linearização de sistemas não lineares Na engenharia de controle uma operação normal do sistema pode estar em torno do ponto de equilíbrio e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do equilíbrio Devese notar que existem várias exceções para esse caso Entretanto se o sistema operar em torno de um ponto de equilíbrio e os sinais envolvidos forem pequenos então é possível aproximar o sistema não linear por um sistema linear Esse sistema linear é equivalente ao sistema não linear considerado dentro de um conjunto limitado de operações Esse modelo linearizado modelo linear invariante no tempo é muito importante na engenharia de controle O processo de linearização apresentado a seguir tem como base o desenvolvimento da função não linear em uma série de Taylor em torno do ponto de operação e a retenção somente do termo linear Em virtude de desprezarmos os termos de ordem elevada da expansão da série de Taylor 36 Engenharia de controle moderno esses termos desprezados devem ser suficientemente pequenos isto é as variáveis devem se des viar apenas ligeiramente das condições de operação Caso contrário o resultado não será preciso Aproximação linear de modelos matemáticos não lineares Para obter um modelo mate mático linear de um sistema não linear admitimos que as variáveis desviem apenas ligeiramente de alguma condição de operação Considere um sistema em que a entrada é xt e a saída é yt A relação entre yt e xt é dada por y fx 242 Se a condição de operação normal corresponde a x y então a Equação 242 pode ser expandida em uma série de Taylor em torno desse ponto como se segue y f x f x dx df x x dx d f x x 2 1 2 2 2 g h h h h 243 onde as derivadas dfdx d2fdx2 são avaliadas em x x Se a variação de x x for pequena podemos desprezar os termos de ordem mais elevada em x x Então a Equação 243 pode ser escrita como y y Kx x 244 onde y f x K dx df x x h A Equação 244 pode ser reescrita como y y Kx x 245 que indica que y y é proporcional a x x A Equação 245 fornece um modelo matemático linear para o sistema não linear dado pela Equação 242 próximo do ponto de operação x x y y A seguir considere um sistema não linear cuja saída y é uma função de duas entradas x1 e x2 de forma que y f x1 x2 246 Para obter uma aproximação linear desse sistema não linear podemos expandir a Equação 246 em uma série de Taylor em torno do ponto normal de operação x 1 x 2 Então a Equação 246 tornase y f x x x f x x x f x x x f x x x x f x x x x x f x x 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 g 2 2 h h h h h h h G H onde as derivadas parciais são avaliadas em x1 x 1 x2 x 2 Nas proximidades do ponto normal de operação os termos de ordem mais elevada podem ser desprezados O modelo matemático linear desse sistema não linear nas proximidades das condições normais de operação é então dado por y y K1x1 x 1 K2x2 x 2 onde 37 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle y f x x K x f K x f x x x x x x x x 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 h A técnica de linearização apresentada aqui é válida nas proximidades das condições de operação No entanto se as condições de operação variam muito essas equações linearizadas não são adequadas e as equações não lineares devem ser utilizadas É importante lembrar que um modelo matemático particular utilizado para fins de análise e projeto pode representar com precisão a dinâmica de um sistema real para certas condições de operação mas pode não ser preciso para outras condições de operação Exemplo 25 Linearize a equação não linear z xy na região 5 x 7 10 y 12 Encontre o erro para o caso em que a equação linearizada seja utilizada para calcular o valor de z quando x 5 e y 10 Como a região considerada é dada por 5 x 7 10 y 12 selecione x 6 y 11 Então z x y 66 Vamos obter a equação linearizada para a equação não linear nas proximidades do ponto x 6 y 11 Expandindo a equação não linear em uma série de Taylor próxima do ponto x x y y e desprezando os termos de ordem mais elevada temos z z ax x by y onde a x xy y b y xy x 11 6 x x y y x x y y 2 2 2 2 h h Então a equação linearizada é z 66 11x 6 6y 11 ou z 11x 6y 66 Quando x 5 y 10 o valor de z dado pela equação linearizada é z 11x 6y 66 55 60 66 49 O valor exato de z é z xy 50 Assim o erro é 50 49 1 Em termos de porcentagem o erro é de 2 Exemplos de problemas com soluções A21 Simplifique o diagrama de blocos da Figura 217 Solução Inicialmente mova o ponto de ramificação que contém H1 para fora da malha que contém H2 como mostra a Figura 218a Em seguida a eliminação de duas malhas resulta na Figura 218b Reduzindo dois blocos a um único teremos a Figura 218c 38 Engenharia de controle moderno A22 Simplifique o diagrama de blocos da Figura 219 Obtenha a função de transferência relacionando Cs e Rs Solução O diagrama de blocos da Figura 219 pode ser modificado como indica a Figura 220a Eliminando o ramo direto menor obtemos a Figura 220b que pode ser reduzida à Figura 220c A função de transferência CsRs é então dada por 1 R s C s G G G 1 2 2 h h O mesmo resultado pode ser obtido procedendose como se segue sendo o sinal Xs a soma de dois sinais G1Rs e Rs temos Xs G1Rs Rs O sinal de saída Cs é a soma de G2Xs e Rs Então Cs G2 Xs Rs G2G1Rs Rs Rs E assim obtemos o mesmo resultado anterior 1 R s C s G G G 1 2 2 h h FIGURA 217 Rs Cs G H1 H2 Diagrama de blocos de um sistema FIGURA 218 Rs Cs Rs Cs Cs G H2 a b c H1 G G 1 GH2 Rs 1 H1 G G H1 1 GH2 Diagrama de blocos simplificado para o sistema mostrado na Figura 217 39 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle A23 Simplifique o diagrama de blocos da Figura 221 e então obtenha a função de transferência de malha fechada CsRs Solução Inicialmente mova o ponto de ramificação entre G3 e G4 para o lado direito da malha que contém G3 G4 e H2 Em seguida desloque o somador situado entre G1 e G2 para a esquerda do primeiro somador Veja a Figura 222a Simplificando cada uma das malhas o diagrama de blocos pode ser modificado como mostra a Figura 222b Prosseguindo com as simplificações chegase à Figura 222c a partir da qual se obtém a função de transferência CsRs R s C s G G H G G H G G H G G G G H H G G G G 1 1 2 1 3 4 2 2 3 3 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 h h FIGURA 219 G1 G2 Rs Cs Xs Diagrama de blocos de um sistema FIGURA 220 G1 G2 Rs Cs G2 Rs Cs G1 1 Rs Cs G1G2 G2 1 a b c Redução do diagrama de blocos mostrado na Figura 219 40 Engenharia de controle moderno A24 Obtenha as funções de transferência CsRs e CsDs do sistema indicado na Figura 223 Solução A partir da Figura 223 temos Us Gf Rs Gc Es 247 Cs GpDs G1Us 248 Es Rs HCs 249 Substituindo a Equação 247 na Equação 248 obtemos Cs Gp Ds G1GpGf Rs Gc Es 250 Substituindo a Equação 249 na Equação 250 obtemos Cs GpDs G1GpGf Rs GcRs HCs Solucionando essa última equação para Cs obtemos Cs G1GpGc HCs Gp Ds G1GpGf Gc Rs FIGURA 221 G1 G2 H3 G3 G4 H2 H1 Rs Cs Diagrama de blocos de um sistema FIGURA 222 G1 G1 G2 H3 G4 G3 G4 H2 H1 Rs Rs Cs Cs H3 G1G4 G1 G2 1 G1 G2 H1 Rs Cs G1 G2 G3 G4 1 G1 G2 H1 G3 G4 H2 G2 G3 H3 G1 G2 G3 G4 H1 H2 G3 G4 1 G3 G4 H2 1 a b c Sucessivas reduções do diagrama de blocos mostrado na Figura 221 41 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Então C s G G G H G D s G G G G R s 1 p c p p f c 1 1 h h h h 251 Note que a Equação 251 fornece a resposta Cs quando ambas as entradas a de referência Rs e a de distúrbio Ds estão presentes Para determinar a função de transferência CsRs fazemos Ds 0 na Equação 251 Assim obtemos R s C s G G G H G G G G 1 p c p f c 1 1 h h h Da mesma maneira para determinar a função de transferência CsDs fazemos Rs 0 na Equação 251 Assim CsDs pode ser dado por R s C s G G G H G 1 p c p 1 h h A25 A Figura 224 mostra um sistema com duas entradas e duas saídas Determine C1sR1s C1s R2s C2sR1s e C2sR2s Ao determinar as saídas correspondentes a R1s considere R2s 0 e viceversa Solução A partir da figura obtemos C1 G1R1 G3C2 252 C2 G4R2 G2C1 253 Substituindo a Equação 253 na Equação 252 obtemos C1 G1R1 G3G4R2 G2C1 254 Substituindo a Equação 252 na Equação 253 temos C2 G4R2 G2G1R1 G3C2 255 Resolvendo a Equação 254 para obter C1 o resultado é C G G G G G R G G G R 1 1 1 2 3 4 1 1 1 3 4 2 256 Resolvendo a Equação 255 para obter C2 temos C G G G G G G G R G R 1 2 1 2 3 4 1 2 4 1 4 2 257 As equações 256 e 257 podem ser combinadas para obtermos a matriz de transferência a seguir FIGURA 223 G1 Gp Gf Cs Ds Rs Es Us H Gc Sistema de controle com entrada de referência e entrada de distúrbio 42 Engenharia de controle moderno C C G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G R R 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 4 1 2 R T S S S SS V X W W W WW G G Então as funções de transferência C1sR1s C1sR2s C2sR1s e C2sR2s podem ser obtidas como segue R s C s G G G G G R s C s G G G G G G G R s C s G G G G G G G R s C s G G G G G 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 1 1 2 1 2 3 4 1 2 4 2 1 1 2 3 4 1 3 4 2 2 1 2 3 4 4 h h h h h h h h Observe que as equações 256 e 257 fornecem as respostas C1 e C2 respectivamente quando ambas as entradas R1 e R2 estão presentes Note que quando R2s 0 o diagrama de blocos original pode ser reduzido aos das figuras 225a e b Da mesma maneira quando R1s 0 o diagrama de blocos original pode ser reduzido aos das figuras 225c e d A partir desses diagramas de blocos simplificados podemos também obter C1sR1s C2sR1s C1sR2s e C2sR2s como está indicado à direita de cada um desses diagramas de bloco FIGURA 224 G1 C1 C2 R1 R2 G3 G4 G2 Sistema com duas entradas e duas saídas FIGURA 225 R1 C1 R1 C1 1 G1 G2 G3 G4 G1 G1 G3 G4 G2 R1 C2 G3 G1 G2 G4 R1 C2 1 G1 G2 G3 G4 G1 G2 G4 a b Diagramas de blocos simplificados e as funções de transferência de malha fechada correspondentes 43 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle A26 Mostre que para o sistema de equação diferencial yq a1 ӱ a2 ẏ a3 y b0uq b1ü b2u b3u 258 as equações de estado e de saída podem ser dadas respectivamente por x x x a a a x x x u 0 0 1 0 0 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 2 3 b b b o o o R T S S SS V X W W WW H H H 259 e y x x x u 1 0 0 1 2 3 b0 6 H 260 sendo as variáveis de estado definidas por x1 y β0u x2 ẏ β0u β1u ẋ1 β1u x3 ӱ β0ü β1u β2u ẋ2 β2u e β0 b0 β1 b1 a1β0 β2 b2 a1β1 a2β0 β3 b3 a1β2 a2β1 a3β0 Solução A partir da definição das variáveis de estado x2 e x3 temos ẋ1 x2 β1u 261 ẋ2 x3 β2u 262 Para derivar a equação de ẋ3 notemos primeiro que a partir da Equação 258 temos yq a1 ӱ a2 ẏ a3 y b0uq b1ü b2u b3u Como x3 ӱ β0ü β1u β2u temos ẋ3 yq β0uq β1ü β2u a1 ӱ a2 ẏ a3 y b0uq b1ü b2u b3u β0uq β1ü β2u R2 C2 R2 C2 1 G1 G2G3 G4 G4 G4 G2 G1 G3 R2 C1 G2 G4 G3 G1 R2 C1 1 G1 G2 G3 G4 G1 G3 G4 c d 44 Engenharia de controle moderno a1ӱ β0ü β1u β2u a1β0ü a1β1u a1β2u a2ẏ β0u β1u a2β0u a2β1u a3y β0u a3β0u b0uq b1ü b2u b3u β0uq β1ü β2u a1x3 a2x2 a3x1 b0 β0uq b1 β1 a1β0ü b2 β2 a1β1 a2β0u b3 a1β2 a2β1 a3β0u a1x3 a2x2 a3 x1 b3 a1β2 a2β1 a3β0ü a1x3 a2x2 a3x1 β3u Então resulta que ẋ3 a3x1 a2x2 a1x3 β3u 263 Combinando as equações 261 262 e 263 em uma equação matricialvetorial obtemos a Equa ção 259 Além disso a partir da definição da variável de estado x1 obtemos a equação de saída dada pela Equação 260 A27 Obtenha as equações de estado e de saída para o sistema definido por U s Y s s s s s s s 4 5 2 2 2 3 2 3 2 h h Solução A partir da função de transferência dada a equação diferencial do sistema é yq 4ӱ 5ẏ 2y 2uq ü u 2u Comparando essa equação com a equaçãopadrão dada pela Equação 233 reescrita a seguir yq a1 ӱ a2 ẏ a3 y b0uq b1ü b2u b3u encontramos a1 4 a2 5 a3 2 b0 2 b1 1 b2 1 b3 2 Com referência à Equação 235 temos β0 b0 2 β1 b1 a1β0 1 4 2 7 β2 b2 a1β1 a2β0 1 4 7 5 2 19 β3 b3 a1β2 a2β1 a3β0 2 4 19 5 7 2 2 43 Com referência à Equação 234 definimos x1 y β0u y 2u x2 ẋ1 β1u ẋ1 7u x3 ẋ2 β2u ẋ2 19u Então com referência à Equação 236 ẋ1 x2 7u ẋ2 x3 19u ẋ3 a3x1 a2x2 a1x3 β3u 2x1 5x2 4x3 43u 45 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Assim a representação do sistema no espaço de estados é x x x x x x u y x x x u 0 0 2 1 0 5 0 1 4 7 19 43 1 0 0 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H Esta é uma das possíveis representações no espaço de estados do sistema Existem muitas uma infinidade outras representações Se utilizarmos o Matlab ele produzirá a seguinte representação no espaço de estados x x x x x x u y x x x u 4 1 0 5 0 1 2 0 0 1 0 0 7 9 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H Veja o Programa 24 em MATLAB Note que todas as representações no espaço de estados para o mesmo sistema são equivalentes Programa 24 em MATLAB num 2 1 1 2 den 1 4 5 2 ABCD tf2ssnumden A 4 5 2 1 0 0 0 1 0 B 1 0 0 C 7 9 2 D 2 A28 Obtenha um modelo no espaço de estados do sistema mostrado na Figura 226 Solução O sistema envolve um integrador e dois integradores com atraso A saída de cada integra dor ou integrador com atraso pode ser considerada uma variável de estado Vamos definir a saída da planta como x1 a saída do controlador como x2 e a saída do sensor como x3 Então obtemos 46 Engenharia de controle moderno X s X s s U s X s X s s X s X s s Y s X s 5 10 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1 h h h h h h h h h que pode ser reescrita como sX1s 5X1s 10X2s sX2s X3s Us sX3s X1s X3s Ys X1s Tomando a transformada inversa de Laplace das quatro equações precedentes obtemos ẋ1 5x1 10x2 ẋ2 x3 u ẋ3 x1 x3 y x1 Assim o modelo no espaço de estados do sistema na formapadrão é dado por x x x x x x u y x x x 5 0 1 10 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H É importante notar que esta não é a única representação no espaço de estados do sistema pois muitas outras dessas representações são possíveis Entretanto o número de variáveis de estado é o mesmo em qualquer representação no espaço de estados do mesmo sistema No presente sistema o número de variáveis de estado é 3 quaisquer que sejam as variáveis escolhidas como variáveis de estado A29 Obtenha um modelo no espaço de estados para o sistema mostrado na Figura 227a Solução Inicialmente note que as bs2 contém um termo derivativo que pode ser evitado se modificarmos as bs2 como segue FIGURA 226 Us Ys 1 s Controlador Planta Sensor 10 s 5 1 s 1 Sistema de controle 47 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle s as b a s b s 1 2 c m Utilizando essa modificação o diagrama de blocos da Figura 227a pode ser modificado como mostra a Figura 227b Defina as saídas dos integradores como variáveis de estado conforme a Figura 227b Então a partir da Figura 227b obtemos as expressões X s a U s X s X s s U s X s X s s b Y s X s 1 2 1 1 1 2 1 h h h h h h h h h 6 que podem ser modificadas para sX1s X2s aUs X1s sX2s bX1s bUs Ys X1s Tomando a transformada inversa de Laplace das três equações precedentes obtemos ẋ1 ax1 x2 au ẋ2 bx1 bu y x1 Reescrevendo as equações de estado e de saída na forma vetorialmatricial padrão obtemos x x a b x x a b u y x x 1 0 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G FIGURA 227 Us Ys as b 1 s2 a b a Us Ys b s 1 s X1s X2s a Sistema de controle b diagrama de blocos modificado 48 Engenharia de controle moderno A210 Obtenha uma representação no espaço de estados do sistema mostrado na Figura 228a Solução Para solucionar esse problema primeiro desenvolva s zs p em frações parciais 1 s p s z s p z p Em seguida converta Kss a no produto de Ks e 1s a Então reduza o diagrama de blocos como mostra a Figura 228b Definindo um conjunto de variáveis de estado como indicado na Figura 228b obtemos as seguintes equações ẋ1 ax1 x2 ẋ2 Kx1 Kx3 Ku ẋ3 z px1 px3 z pu y x1 Reescrevendo temos x x x a K z p K p x x x K z p u y x x x 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o h 6 H H H H H Observe que a saída do integrador e as saídas dos integradores com atraso de primeira ordem 1s a e z ps p foram escolhidas como variáveis de estado É importante lembrar que a saída do bloco s zs p na Figura 228a não pode ser uma variável de estado porque esse bloco contém um termo derivativo s z FIGURA 228 u y u y a b s z s p K ss a z p s p K s 1 s a x1 x2 x3 a Sistema de controle b diagrama de blocos que define variáveis de estado para o sistema 49 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle A211 Obtenha a função de transferência de um sistema definido por x x x x x x u y x x x 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H Solução De acordo com a Equação 229 a função de transferência Gs é dada por Gs CsI A1B D Nesse problema as matrizes A B C e D são 0 D 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0 A B C 6 H H Então G s s s s s s s s s s s s s s s s s 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 2 1 1 2 1 2 1 0 0 1 1 2 1 4 5 2 1 1 2 2 2 3 2 h h h h h h h h R T S S S S S SS 6 6 V X W W W W W WW H H H A212 Considere um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas Quando o sistema tem mais de uma saída o comando MATLAB NUMden ss2tfABCDiu fornece as funções de transferência para todas as saídas a partir de cada entrada Os coeficientes do numerador são retornados para a matriz NUM com tantas linhas quantas forem as saídas Considere o sistema definido por x x x x u u y y x x u u 0 25 1 4 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 o o G G G G G G G G G G Esse sistema contém duas entradas e duas saídas Assim estão envolvidas quatro funções de transferência Y1sU1sY2sU1s Y1sU2s e Y2sU2s Quando for considerada entrada u1 devemos supor que a entrada u2 seja zero e viceversa Solução O Programa 25 em MATLAB fornece as quatro funções de transferência Esta é a representação do MATLAB das quatro funções de transferência seguintes 50 Engenharia de controle moderno U s Y s s s s U s Y s s s U s Y s s s s U s Y s s s s 4 25 4 4 25 25 4 25 5 4 25 25 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 h h h h h h h h Programa 25 em MATLAB A 0 125 4 B 1 10 1 C 1 00 1 D 0 00 0 NUMden ss2tfABCD1 NUM 0 1 4 0 0 25 den 1 4 25 NUMden ss2tfABCD2 NUM 0 10000 50000 0 10000 250000 den 1 4 25 A213 Linearize a equação não linear z x2 4xy 6y 2 na região definida por 8 x 102 y 4 Solução Defina fx y z x 2 4xy 6y 2 Então z f x y f x y x f x x y f y y x x y y 2 2 2 2 g h h h h G onde escolhemos x 9 y 3 Desprezando na equação expandida os termos de ordem mais elevada por serem pequenos obtemos z z K1x x K2 y y onde 4 12 4 9 12 3 72 4 6 9 4 9 3 6 9 243 K x f x y K y f x y z x x y y 2 4 2 9 4 3 30 x x y y x x y y 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Portanto z 243 30x 9 72y 3 51 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Assim a aproximação linear da equação não linear dada nas proximidades do ponto de opera ção é z 30x 72y 243 0 Problemas B21 Simplifique o diagrama de blocos mostrado na Figura 229 e obtenha a função de transferência de malha fechada CsRs B22 Simplifique o diagrama de blocos exposto na Figura 230 e obtenha a função de transferência de malha fechada CsRs FIGURA 229 Rs Cs G1 G2 G3 G4 Diagrama de blocos de um sistema FIGURA 230 Rs Cs G1 G2 H1 H2 Diagrama de blocos de um sistema 52 Engenharia de controle moderno B23 Simplifique o diagrama de blocos mostrado na Figura 231 e obtenha a função de transferência de malha fechada CsRs B24 Considere os controladores automáticos industriais cujas ações de controle são proporcionais integrais proporcionaisintegrais proporcionaisderivativas e proporcionaisintegraisderivativas As funções de transferência desses controladores podem ser dadas respectivamente por E s U s K E s U s s K E s U s K Ts E s U s K T s E s U s K Ts T s 1 1 1 1 1 p i p i p d p i d e e h h h h h h o h h h h h o onde Us é a transformada de Laplace de ut a saída do controlador e Es é a transformada de Laplace de et o sinal de erro atuante Esboce as curvas de ut versus t para cada um dos cinco tipos de controladores quando o sinal de erro atuante for a et função degrau unitário b et função rampa unitária No esboço das curvas suponha que os valores numéricos de Kp Ki e Ti sejam dados como Kp ganho proporcional 4 Ki ganho integral 2 Ti tempo integrativo 2 s Td tempo derivativo 08 s B25 A Figura 232 mostra um sistema de malha fechada com uma entrada de referência e um distúrbio de entrada Obtenha a expressão para a saída Cs quando tanto a entrada de referência como a de distúrbio estiverem presentes FIGURA 231 Rs Cs G1 G2 G3 H1 H2 H3 Diagrama de blocos de um sistema 53 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle B26 Considere o sistema mostrado na Figura 233 Deduza a expressão para os erros de estado esta cionário quando tanto a entrada de referência Rs como a de distúrbio Ds estiverem presentes B27 Obtenha as funções de transferência CsRs e CsDs do sistema apresentado na Figura 234 B28 Obtenha a representação no espaço de estados do sistema mostrado na Figura 235 FIGURA 232 Cs Ds Rs Gcs Gps Controlador Planta Sistema de malha fechada FIGURA 233 Cs Rs Es Ds G2s G1s Sistema de controle FIGURA 234 G2 G3 H1 G1 Gc Rs Cs Ds H2 Sistema de controle FIGURA 235 u y s z s p 1 s2 Sistema de controle 54 Engenharia de controle moderno B29 Considere o sistema descrito por yq 3ӱ 2ẏ u Deduza a representação no espaço de estados do sistema B210 Considere o sistema descrito por x x x x u y x x 4 3 1 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G Obtenha a função de transferência do sistema B211 Considere um sistema definido pelas seguintes equações no espaço de estados x x x x u y x x 5 3 1 1 2 5 1 2 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G Obtenha a função de transferência Gs do sistema B212 Obtenha a matriz de transferência do sistema definido por x x x x x x u u y y x x x 0 0 2 1 0 4 0 1 6 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2 3 o o o H H H H G G G H B213 Linearize a equação não linear z x2 8xy 3y 2 na região definida por 2 x 4 10 y 12 B214 Determine a equação linearizada para y 02x 3 sobre o ponto x 2 55 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos 3 C A P Í T U L O 31 Introdução Este capítulo apresenta a modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos No Capí tulo 2 obtivemos modelos matemáticos de um circuito elétrico simples e de um sistema mecânico simples Neste capítulo consideramos a modelagem matemática de vários sistemas mecânicos e elétricos que podem fazer parte de sistemas de controle A lei fundamental que governa os sistemas mecânicos é a segunda lei de Newton Na Seção 32 aplicamos essa lei a vários sistemas mecânicos e derivamos modelos em função de transferência e modelos em espaço de estados As leis básicas que governam os circuitos elétricos são as leis de Kirchhoff Na Seção 33 obtemos os modelos em função de transferência e espaço de estados de vários circuitos elétricos e sistemas amplificadores operacionais que podem fazer parte de muitos sistemas de controle 32 Modelagem matemática de sistemas mecânicos Esta seção discute inicialmente modelos simples com molas e modelos simples com amor tecedores Depois derivamos os modelos em função de transferência e espaço de estados de vários sistemas mecânicos Exemplo 31 Obtemos as constantes de mola para os sistemas mostrados nas figuras 31a e b respectiva mente Para as molas em paralelo Figura 31a a constante de mola equivalente keq é obtida a partir de k1x k2 x F keq x ou keq k1 k2 Para as molas em série Figura 31b a força em cada mola é a mesma Portanto k1 y F k2x y F A eliminação do y nessas duas equações resulta em k x k F F 2 1 e o ou k x F k k F k k k F 2 1 2 1 1 2 A constante de mola equivalente keq para esse caso é então encontrada como k x F k k k k k k 1 1 1 1 2 1 2 1 2 eq Exemplo 32 Obtenhamos o coeficiente de atrito viscoso equivalente beq para cada um dos sistemas amorte cedores mostrados nas figuras 32a e b Um amortecedor de êmbolo muitas vezes é chamado amortecedor a pistão Um amortecedor a pistão é um dispositivo que proporciona atrito viscoso ou amortecimento Ele consiste em um pistão e um cilindro com óleo Qualquer movimento relativo entre a haste do pistão e o cilindro encontra a resistência do óleo porque este deve fluir em volta do pistão ou através de orifícios no próprio pistão de um lado a outro Em essência o amortecedor a pistão absorve energia Essa energia absorvida dissipase na forma de calor e o amortecedor a pistão não armazena qualquer energia cinética ou potencial a A força f devido aos amortecedores é f b1ẏ ẋ b2ẏ ẋ b1 b2ẏ ẋ Em termos do coeficiente de atrito viscoso equivalente beq a força f é dada por f beqẏ ẋ Então beq b1 b2 b A força f devido aos amortecedores é f b1ż ẋ b2 ẏ ż 31 FIGURA 31 k1 k2 y x F a b x F k1 k2 a Sistema que consiste em duas molas em paralelo b sistema que consiste em duas molas em série FIGURA 32 x y a b2 x y z b b1 b1 b2 a Dois amortecedores conectados em paralelo b dois amortecedores conectados em série 57 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos onde z é o deslocamento de um ponto entre os amortecedores b1 e b2 Observe que a mesma força é transmitida através do eixo Da Equação 31 temos b1 b2ż b2ẏ b1ẋ ou z b b b y b x 1 1 2 2 1 o o o h 32 Em termos do coeficiente de atrito viscoso equivalente beq a força f é dada por f beqẏ ẋ Substituindose a Equação 32 na Equação 31 temos f b y z b y b b b y b x b b b b y x 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 o o o o o o o h h G Portanto f b y x b b b b y x 1 2 1 2 eq o o o o h h Então b b b b b b b 1 1 1 1 2 1 2 1 2 eq Exemplo 33 Considere o sistema massamolaamortecedor montado em um carro sem massa como mostra a Figura 33 Obtenhamos os modelos matemáticos desse sistema presumindo que o carro esteja parado para t 0 e que o sistema de massamolaamortecedor do carro também esteja parado para t 0 Nesse sistema ut é o deslocamento do carro e a entrada do sistema Em t 0 o carro se move em velocidade constante ou u constante O deslocamento yt da massa é a saída O deslocamento é relativo ao chão Nesse sistema m indica a massa b o coeficiente de atrito viscoso e k a constante de mola Supomos que a força de atrito do amortecedor a pistão seja proporcional a ẏ u e que a mola seja uma mola linear isto é a força da mola é proporcio nal a y u Para sistemas translacionais a segunda lei de Newton diz que ma RF FIGURA 33 m u y k b Carro de massa nula Sistema de massamola amortecedor montado em um carro 58 Engenharia de controle moderno onde m é uma massa a é a aceleração dessa massa e RF é o somatório das forças em ação sobre a massa na direção da aceleração a Aplicandose a segunda lei de Newton ao sistema em questão e observando que o carro é isento de massa temos m dt d y b dt dy dt du k y u 2 2 e o h ou m dt d y b dt dy ky b dt du ku 2 2 Essa equação representa um modelo matemático do sistema em questão Tomandose a transfor mada de Laplace da última equação e presumindo zero como condição inicial temos ms2 bs kYs bs kUs Tomando a relação entre Ys e Us encontramos a função de transferência do sistema que é Função de transferência Gs U s Y s ms bs k bs k 2 Tal representação de um modelo matemático por função de transferência é usada com frequência na engenharia de controle Em seguida obteremos o modelo em espaço de estados desse sistema Primeiro faremos a comparação da equação diferencial do sistema y m b y m k y m b u m k u p o o com a formapadrão ӱ a1 ẏ a2 y b0ü b1u b2u e identificamos a1 a2 b0 b1 e b2 como segue a1 m b a2 m k b0 0 b1 m b b2 m k Em referência à Equação 235 temos b0 b0 0 b1 b1 a1b0 m b b2 b2 a1b1 a2b0 m k m b 2 c m Em seguida em referência à Equação 234 definimos x1 y β0u y x2 ẋ1 b1u ẋ1 m b u A partir da Equação 236 temos ẋ1 x2 b1u x2 m b u ẋ2 a2x1 a1x2 b2u m k x1 m b x2 m k m b 2 c m E u e a equação de saída tornase y x1 ou x x m k m b x x m b m k m b u 0 1 1 2 1 2 2 o o c m R T S S SS V X W W WW G H G 33 59 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos e y x x 1 0 1 2 6 G 34 As equações 33 e 34 fornecem uma representação do sistema em espaço de estados Observe que esta não é a única representação em espaço de estados Existem inúmeras representações de espaço de estados para o sistema Exemplo 34 Obtenha as funções de transferência X1sUs e X2sUs do sistema mecânico mostrado na Figura 34 As equações de movimento para o sistema apresentado na Figura 34 são m1ẍ1 k1x1 k2x1 x2 bẋ1 ẋ2 u m2ẍ2 k3x2 k2x2 x1 bẋ2 ẋ1 Simplificando obtemos m1ẍ1 bẋ1 k1 k2x1 bẋ2 k2x2 u m2ẍ2 bẋ2 k2 k3x2 bẋ1 k2x1 Obtendo a transformada de Laplace dessas duas equações admitindo condições iniciais nulas obtemos m1s2 bs k1 k2 X1s bs k2 X2s Us 35 m2s2 bs k2 k3 X2s bs k2 X1s 36 Resolvendo a Equação 36 para X2s substituindoa na Equação 35 e simplificando temos m1s2 bs k1 k2m2s2 bs k2 k3 bs k22 X1s m2s2 bs k2 k3Us a partir da qual obtemos U s X s m s bs k k m s bs k k bs k m s bs k k 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 h h h h h 37 A partir das equações 36 e 37 temos U s X s m s bs k k m s bs k k bs k bs k 2 1 2 1 2 2 2 2 3 2 2 2 h h h h h 38 As equações 37 e 38 são as funções de transferência X1sUs e X2 sUs respectivamente Exemplo 35 Um pêndulo invertido montado em um carro motorizado é mostrado na Figura 35a Este é um modelo de controle de posição de um foguete na fase de lançamento O objetivo do problema de controle de posição é manter o foguete em uma posição vertical O pêndulo invertido é ins tável pois pode cair a qualquer instante para qualquer direção a menos que uma força adequada de controle seja aplicada a ele Vamos considerar aqui somente um problema bidimensional em que o movimento do pêndulo fica restrito apenas ao plano da página A força de controle u é FIGURA 34 m1 m2 k2 x1 k1 k3 b u x2 Sistema mecânico 60 Engenharia de controle moderno aplicada ao carro Considere que o centro de gravidade da haste do pêndulo esteja situado no centro geométrico dele Obtenha um modelo matemático para esse sistema Defina o ângulo da haste a partir da linha vertical como i Estabeleça também as coordenadas x y do centro de gravidade da haste como xG yG Então xG x l sen i yG l cos i Para deduzir as equações de movimento do sistema considere o diagrama do corpo livre mos trado na Figura 35b O movimento rotacional da haste do pêndulo em torno de seu centro de gravidade pode ser descrito por Iip Vl sen i Hl cos θ 39 onde I é o momento de inércia da haste em relação ao centro de gravidade O movimento horizontal do centro de gravidade da haste do pêndulo é dado por sen m dt d x l H 2 2 i h 310 O movimento vertical do centro de gravidade da haste do pêndulo é cos m dt d l V mg 2 2 i h 311 O movimento horizontal do carro é descrito por M dt d x u H 2 2 312 Como devemos manter o pêndulo invertido na posição vertical podemos admitir que it e io t sejam grandezas suficientemente pequenas para que se possa fazer sen i Z i cos i 1 e iio 2 0 Então as equações de 39 a 311 podem ser linearizadas como se segue Iip Vli Hl 313 mẍ lip H 314 0 V mg 315 Com o auxílio das equações 312 e 314 obtemos M mẍ mlip u 316 FIGURA 35 M P y x u O x a b mg i V V H H ℓ ℓ ℓ cos i M y x u O x mg ℓ ℓ i a Sistema de pêndulo invertido b diagrama de corpo livre 61 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos E a partir das equações 313 314 e 315 obtemos Iip mgli Hl mgli lmẍ mlip ou I ml 2ip mlẍ mgli 317 As equações 316 e 317 descrevem o movimento do sistema de pêndulo invertido sobre o carro Elas constituem um modelo matemático do sistema Exemplo 36 Considere o sistema de pêndulo invertido mostrado na Figura 36 Como nesse sistema a massa está concentrada no topo da haste o centro de gravidade é o centro da bola do pêndulo Para esse caso o momento de inércia do pêndulo sobre seu centro de gravidade é pequeno e vamos supor que I 0 na Equação 317 Então o modelo matemático para esse sistema passa a ser M mẍ mlip u 318 ml 2ip mlẍ mgli 319 As equações 318 e 319 podem ser modificadas para Mlip M mgθ u 320 Mẍ u mgi 321 A Equação 320 foi obtida pela eliminação de ẍ das equações 318 e 319 A Equação 321 foi obtida pela eliminação de ip das equações 318 e 319 Utilizando a Equação 320 obtemos a função de transferência da planta como U s s Mls M m g Ml s Ml M m g s Ml M m g 1 1 2 H e e h h h o o O sistema de pêndulo invertido tem um polo no semieixo negativo do eixo real s M m Ml g h 8 B e outro no semieixo positivo do eixo real s M m Ml g h 8 B Então a planta é instável em malha aberta FIGURA 36 0 M P z u mg m ℓ sen i x x ℓ cos i ℓ i Sistema de pêndulo invertido 62 Engenharia de controle moderno Defina as variáveis de estado x1 x2 x3 e x4 como x1 i x2 io x3 x x4 ẋ Observe que o ângulo i indica a rotação da haste do pêndulo em torno do ponto P e x é a loca lização do carro Se considerarmos i e x como saídas do sistema então y y x x x y 1 2 1 3 i G G G Note que tanto i como x são quantidades facilmente mensuráveis Então a partir da definição das variáveis de estado pelas equações 320 e 321 obtemos x x x Ml M m gx Ml u x x x M m gx M u 1 1 1 2 2 1 3 4 4 1 o o o o Em termos de equações vetoriaismatriciais temos x x x x Ml M m g M m g x x x x Ml M u 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 3 4 1 2 3 4 o o o o R T S S S SS R T S S S S SS R T S S S SS R T S S S S SS V X W W W WW V X W W W W WW V X W W W WW V X W W W W WW 322 y y x x x x 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 2 3 4 R T S S S SS V X W W W WW G G 323 As equações 322 e 323 são uma representação do sistema de pêndulo invertido no espaço de estados Note que a representação no espaço de estados do sistema não é única Existe uma infinidade de representações possíveis para esse sistema 33 Modelagem matemática de sistemas elétricos As leis básicas que regem os circuitos elétricos são as leis de Kirchhoff das correntes e das tensões A lei das correntes de Kirchhoff lei dos nós diz que a soma algébrica de todas as cor rentes que entram e saem de um nó é zero Essa lei também pode ser enunciada como se segue a soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem desse nó A lei das tensões de Kirchhoff lei das malhas estabelece que em qualquer instante a soma algébri ca das tensões ao longo de qualquer malha de um circuito elétrico é zero Essa lei também pode ser enunciada da seguinte maneira a soma das quedas de tensão é igual à soma das elevações de tensão ao longo de uma malha Um modelo matemático de um circuito elétrico pode ser obtido pela aplicação de uma ou ambas as leis de Kirchhoff Esta seção trata inicialmente dos circuitos elétricos simples e depois da modelagem mate mática de sistemas com amplificadores operacionais 63 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos Circuito LRC Considere o circuito elétrico mostrado na Figura 37 O circuito consiste em uma indutância L henry uma resistência R ohm e uma capacitância C farad Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff ao sistema obtemos as seguintes equações L dt di Ri C i dt e 1 i 324 C i dt e 1 o 325 As equações 324 e 325 fornecem um modelo matemático do circuito Um modelo de função de transferência do circuito também pode ser obtido como a seguir con siderando as transformadas de Laplace das equações 324 e 325 e supondo condições iniciais nulas obtemos LsI s RI s C s I s E s C s I s E s 1 1 1 1 i o h h h h h h Se admitirmos que ei seja a entrada e que eo seja a saída então a função de transferência desse sistema será E s E s LCs RCs 1 1 i o 2 h h 326 Um modelo no espaço de estados do sistema mostrado na Figura 37 pode ser obtido da seguinte maneira primeiro note que a equação diferencial do sistema pode ser obtida a partir da Equação 326 como e L R e LC e LC e 1 1 o o o i p o Então definindo as variáveis de estado por x1 eo x2 ėo e as variáveis de entrada e de saída por u ei y eo x1 obtemos x x LC L R x x LC u 0 1 1 0 1 1 2 1 2 o o G H G H e y x x 1 0 1 2 6 G FIGURA 37 L eo R C ei i Circuito elétrico 64 Engenharia de controle moderno Essas duas equações constituem um modelo matemático do sistema no espaço de estados Função de transferência de elementos em cascata Muitos sistemas com realimentação têm componentes com efeito de carga sobre outros Considere o sistema mostrado na Figura 38 Admita que ei seja a entrada e que eo seja a saída As capacitâncias C1 e C2 não estão carregadas inicialmente Vamos mostrar que o segundo estágio do circuito porção R2C2 produz um efeito de carga sobre o primeiro estágio porção R1C1 As equações desse sistema são C i i dt R i e 1 i 1 1 2 1 1 h 327 e C i i dt R i C i dt 1 1 0 1 2 1 2 2 2 2 h 328 C i dt e 1 o 2 2 329 Transformando por Laplace as equações de 327 a 329 respectivamente e considerando con dições iniciais nulas temos C s I s I s R I s E s 1 i 1 1 2 1 1 h h h h 6 330 0 C s I s I s R I s C s I s 1 1 1 2 1 2 2 2 2 h h h h 6 331 C s I s E s 1 o 2 2 h h 332 Eliminando I1s das equações 330 e 331 e escrevendo Ei s em termos de I2s encontramos a função de transferência entre Eos e Ei s como E s E s R C s R C s R C s R C R C s R C R C R C s 1 1 1 1 1 i o 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 h h h h h 333 O termo R1C2 s no denominador da função de transferência representa a interação de dois circui tos RC simples Como R1C1 R2C2 R1C22 4R1C1R2C2 as duas raízes do denominador da Equação 333 são reais Essa análise mostra que se dois circuitos RC estão conectados em cascata de modo que a saída do primeiro circuito seja a entrada do segundo a função de transferência global não é o produto de 1R1C1s 1 e 1R2C2s 1 A razão para isso é que quando deduzimos a função de transferência para um circuito isolado estamos presumindo implicitamente que a saída do circuito esteja sem carga Em outras palavras a impedância de carga é admitida como infinita o que significa que nenhuma potência está sendo retirada da saída Quando o segundo circuito está conectado à saída do primeiro entretanto certa potência é consumida e assim a suposição de que não há carga na saída do primeiro circuito é falsa Portanto se a função de transferência FIGURA 38 R1 C1 eo R2 C2 ei i1 i2 Sistema elétrico 65 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos desse sistema for obtida sob a hipótese de não haver essa carga então ela não será válida O grau do efeito de carregamento determina quanto a função de transferência será alterada Impedâncias complexas Na obtenção de funções de transferência de circuitos elétricos com frequência achamos preferível escrever diretamente a transformada de Laplace das equações sem a necessidade de escrever as equações diferenciais Considere o sistema mostrado na Figura 39a Nesse sistema Z1 e Z2 representam impedâncias complexas A impedância complexa do Zs de um circuito de dois terminais é a relação entre Es a transformada de Laplace da tensão nos terminais e Is a transformada de Laplace da corrente nos elementos do circuito sob a hipótese de que as condições iniciais são nulas ou seja Zs EsIs Se os elementos de dois terminais forem um resistor R uma capacitância C ou uma indutância L então a impedância complexa será dada por R 1Cs ou Ls respectivamente Se as impedâncias complexas forem conectadas em série a impedância total será a soma das impedâncias complexas individuais Devemos lembrar que a abordagem da impedância é válida somente se as condições iniciais envolvidas forem nulas Nessas condições a determinação da função de transferência de um circuito elétrico pode ser obtida a partir do conceito de impedância complexa Essa abordagem simplifica muito a dedução das funções de transferência de circuitos elétricos Considere o circuito indicado na Figura 39b Suponha que as tensões ei e eo sejam a entrada e a saída do circuito respectivamente Então a função de transferência desse circuito é E s E s Z s Z s Z s i o 1 2 2 h h h h h Para o sistema mostrado na Figura 37 Z Ls R Z Cs 1 1 2 Então a função de transferência EosEis pode ser determinada como se segue E s E s Ls R Cs Cs LCs RCs 1 1 1 1 i o 2 h h a qual é evidentemente idêntica à Equação 326 Exemplo 37 Considere novamente o sistema mostrado na Figura 38 Obtenha a função de transferência Eos Eis por meio da abordagem de impedância complexa Os capacitores C1 e C2 não estão inicialmente carregados O circuito mostrado na Figura 38 pode ser redesenhado como o da Figura 310a o qual pode em seguida ser modificado para o da Figura 310b No sistema mostrado na Figura 310b a corrente I dividese em duas correntes I1 e I2 Ao observar que Z2 I1 Z3 Z4I2 I1 I2 I FIGURA 39 i i i e2 e e1 eo ei Z1 Z1 Z2 Z2 a b Circuitos elétricos 66 Engenharia de controle moderno obtemos I Z Z Z Z Z I I Z Z Z Z I 1 2 3 4 3 4 2 2 3 4 2 Ao observar que E s Z I Z I Z Z Z Z Z Z Z I E s Z I Z Z Z Z Z I i o 1 2 1 1 2 3 4 2 3 4 4 2 2 3 4 2 4 h h h G obtemos E s E s Z Z Z Z Z Z Z Z Z i o 1 2 3 4 2 3 4 2 4 h h h h Substituindo Z1 R1 Z2 1C1s Z3 R2 e Z4 1C2s na última equação temos E s E s R C s R C s C s R C s C s C s R C R C s R C R C R C s 1 1 1 1 1 1 1 1 i o 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 e e h h o o h que é a mesma dada pela Equação 333 Funções de transferência de elementos sem carga em cascata A função de transferência de um sistema que consiste em dois elementos sem carga em cascata pode ser obtida pela elimi nação das entradas e das saídas intermediárias Por exemplo considere o sistema mostrado na Figura 311a As funções de transferência dos elementos são G s X s X s G s X s X s e 1 1 2 2 2 3 h h h h h h Se a impedância de entrada do segundo elemento for infinita a saída do primeiro elemento não será afetada pela conexão com o segundo Então a função de transferência de todo o sistema tornase G s X s X s X s X s X s X s G s G s 1 3 1 2 2 3 1 2 h h h h h h h h h A função de transferência de todo o sistema é portanto o produto das funções de transferência individuais de cada um dos elementos Isso é mostrado na Figura 311b FIGURA 310 Z1 Z3 Z2 Z4 Z1 I2 I1 Z2 Z3 Z4 I Eis Eos Eos Eis a b a O circuito da Figura 38 indicado em termos de impedâncias b diagrama do circuito equivalente 67 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos Como exemplo considere o sistema mostrado na Figura 312 A inserção de um amplifica dor de isolamento entre os circuitos para eliminar o efeito da carga é utilizada frequentemente na montagem de circuitos Como a entrada dos amplificadores é de impedância muito elevada quando um amplificador de isolamento é inserido entre dois circuitos isso justifica a hipótese de não carregar o circuito precedente Os dois circuitos RC simples isolados por um amplificador como mostra a Figura 312 têm efeitos de carga desprezíveis e a função de transferência de todo o circuito é igual ao produto das funções de transferência individuais Assim neste caso 1 1 E s E s R C s K R C s R C s R C s K 1 1 1 1 i o 1 1 2 2 1 1 2 2 c c h h m h m h h Controladores eletrônicos A seguir discutiremos os controladores eletrônicos que utilizam amplificadores operacionais Começamos pela dedução das funções de transferência de circuitos simples com amplificadores operacionais Em seguida obteremos as funções de transferência de alguns controladores desse tipo Por fim apresentaremos esses controladores e as respectivas funções de transferência na forma de uma tabela Amplificadores operacionais Os amplificadores operacionais também chamados abreviada mente de AmpOps são utilizados com frequência para amplificar sinais em sensores de circuitos Os amplificadores operacionais também são com frequência utilizados em filtros que têm como finalidade a compensação de sistemas A Figura 313 mostra um amplificador operacional É uma prática comum considerar o potencial de terra como 0 volt e medir as tensões de entrada e1 e e2 relativamente à terra A entrada e1 do terminal com sinal negativo do amplificador é inversora e a entrada e2 do terminal com sinal positivo não inversora Dessa maneira a entrada resultante no amplificador será e2 e1 Então para o circuito mostrado na Figura 313 temos eo Ke2 e1 Ke1 e2 FIGURA 311 X1s G1s X2s X3s G2s a b X3s X1s G1s G2s a Sistema constituído por dois elementos sem carga em cascata b um sistema equivalente FIGURA 312 R1 C1 eo R2 C2 ei Amplificador isolante ganha K Sistema elétrico 68 Engenharia de controle moderno onde as entradas e1 e e2 podem ser sinais cc ou ca e K é o ganho diferencial ganho de ten são O valor de K é cerca de 105 106 para sinais cc e sinais ca com frequências menores do que aproximadamente 10 Hz O ganho diferencial K decresce com a frequência do sinal e tornase aproximadamente unitário para frequências entre 1 MHz 50 MHz Note que o amplificador operacional amplifica a diferença entre as voltagens e1 e e2 Um amplificador desse tipo normal mente é chamado amplificador diferencial Como o ganho do amplificador operacional é muito alto é necessário haver uma realimentação negativa da saída para a entrada a fim de tornar o amplificador estável A realimentação é feita a partir da saída para a entrada inversora para que a realimentação seja negativa No amplificador operacional ideal nenhuma corrente flui pelos terminais de entrada e a tensão de saída não é afetada pela carga conectada ao terminal de saída Em outras palavras a impedância de entrada é infinita e a impedância de saída é zero No amplificador operacional real uma corrente muito pequena quase desprezível flui para um terminal de entrada e o terminal de saída não pode ser muito carregado Em nossa análise consideraremos os amplificadores operacionais ideais Amplificador inversor Considere o circuito do amplificador operacional mostrado na Figura 314 Seja eo a tensão de saída A equação para esse circuito pode ser obtida como a seguir defina i R e e i R e e i o 1 1 2 2 l l Como somente uma corrente desprezível flui pelo amplificador a corrente i1 deve ser igual à corrente i2 Assim R e e R e e i o 1 2 l l Como K 0 e eo e K 1 e deve ser quase zero ou e Z 0 Então temos R e R e i o 1 2 FIGURA 313 e2 e1 eo Amplificador operacional FIGURA 314 ei eo R2 i2 R1 i1 e Amplificador inversor 69 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos ou e R R e o i 1 2 Assim o circuito mostrado é um amplificador inversor Se R1 R2 então o circuito com ampli ficador operacional mostrado atua simplesmente como um inversor de sinal Amplificador não inversor A Figura 315a mostra um amplificador não inversor Um circuito equivalente a esse é mostrado na Figura 315b Para o circuito da Figura 315b temos e K e R R R e o i o 1 2 1 e o onde K é o ganho diferencial do amplificador A partir da última equação temos e R R R K e 1 i o 1 2 1 e o Como K 1 se R1R1 R2 1K então e R R e 1 o i 1 2 e o Essa equação fornece a tensão de saída eo Como eo e ei têm os mesmos sinais o circuito com amplificador operacional mostrado na Figura 315a é não inversor Exemplo 38 A Figura 316 mostra um circuito elétrico com um amplificador operacional Obtenha a saída eo Definindo i R e e i C dt d e e i R e e i o o 1 1 2 3 2 l l l h Notandose que a corrente que flui pelo amplificador é desprezível temos i1 i2 i3 Então R e e C dt d e e R e e i o o 1 2 l l l h Como e Z 0 temos R e C dt de R e i o o 1 2 FIGURA 315 eo ei R2 R1 eo ei R2 R1 b a a Amplificador operacional não inversor b circuito equivalente 70 Engenharia de controle moderno Considerando a transformada de Laplace dessa última equação e supondo condições iniciais nulas temos R E s R R Cs E s 1 i o 1 2 2 h h que pode ser escrita como E s E s R R R Cs 1 1 i o 1 2 2 h h O circuito com amplificador operacional exposto na Figura 316 é um circuito de atraso de pri meira ordem Vários outros circuitos que envolvem amplificadores operacionais são mostrados na Tabela 31 com suas respectivas funções de transferência A Tabela 31 é dada na página 75 Uso da impedância para a obtenção das funções de transferência Considere o circuito com amplificador operacional mostrado na Figura 317 Da mesma maneira que no caso dos cir cuitos elétricos discutidos anteriormente o método da impedância pode ser aplicado aos circuitos com amplificadores operacionais para a obtenção de suas funções de transferência No caso do circuito apresentado na Figura 317 temos Z E s E s Z E s E s i o 1 2 l l h h h h Como E s Z 0 temos E s E s Z s Z s i o 1 2 h h h h 334 FIGURA 316 ei eo R2 R1 C i1 i3 i2 e Circuito de atraso de primeira ordem com amplificador operacional FIGURA 317 Eos Is Is Eis Es Z1s Z2s Circuito com amplificador operacional 71 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos Exemplo 39 Tomando como referência o circuito com amplificador operacional mostrado na Figura 316 obtenha a função de transferência EosEi s pela utilização do método da impedância As impedâncias complexas Z1s e Z2s para esse circuito são Z1s R1 e Z s Cs R R Cs R 1 1 1 2 2 2 2 h A função de transferência EosEis é portanto obtida como E s E s Z s Z s R R R Cs 1 1 i o 1 2 1 2 2 h h h h que evidentemente é a mesma obtida no Exemplo 38 Redes de avanço ou atraso com amplificadores operacionais A Figura 318a mostra um circuito eletrônico com um amplificador operacional A função de transferência para esse circuito pode ser obtida da seguinte maneira defina a impedância de entrada e a impedância de realimentação como Z1 e Z2 respectivamente Então Z R C s R Z R C s R 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 Assim tomando como referência a Equação 334 temos E s E s Z Z R R R C s R C s C C s R C s R C 1 1 1 1 i 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 h h 335 FIGURA 318 b C1 C2 Eis Eos Es R1 R2 R3 R4 Rede de atraso ou de avanço Inversor de sinal a Z1 C1 Z2 C2 R2 i2 i1 R1 Eis Es Es a Circuito com amplificador operacional b circuito com amplificador operacional utilizado como compensador de avanço ou de atraso 72 Engenharia de controle moderno Observe que a função de transferência na Equação 335 contém o sinal negativo Assim esse circuito é inversor de sinal Se essa inversão de sinal não for conveniente no caso real um circuito inversor de sinal poderá ser conectado tanto à entrada como à saída do circuito da Figura 318a Um exemplo é mostrado na Figura 318b O inversor de sinal tem a função de transferência de E s E s R R o 3 4 h h O inversor de sinal tem o ganho de R4R3 Então a rede mostrada na Figura 318b tem a seguinte função de transferência E s E s R R R R R C s R C s R C R C s R C s R C K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 1 1 1 1 i o c c 1 3 2 4 2 2 1 1 3 2 4 1 2 2 1 1 a a a h h 336 onde T R1C1 aT R2C2 K R C R C c 3 2 4 1 Note que K R C R C R C R C R R R R R C R C c 3 2 4 1 1 1 2 2 1 3 2 4 1 1 2 2 a a Essa rede tem um ganho cc de Kca R2R4R1R3 Observe que essa rede cuja função de transferência é dada pela Equação 336 será uma rede de avanço se R1C1 R2C2 ou a 1 Ela será uma rede de atraso se R1C1 R2C2 Controlador PID com amplificadores operacionais A Figura 319 mostra um controlador eletrônico proporcionalintegralderivativo PID com amplificadores operacionais A função de transferência EsEi s é dada por E s E s Z Z i 1 2 h h onde Z R C s R Z C s R C s 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 FIGURA 319 Z1 C1 Z2 C2 R2 R1 Eis Eos Es R3 R4 Controlador eletrônico PID 73 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos Assim E s E s C s R C s R R C s 1 1 i 2 2 2 1 1 1 e e h h o o Notando que E s E s R R o 3 4 h h temos E s E s E s E s E s E s R R R R R C s R C s R C s R R R R R C R C R C R C s R C s R R C R R C R C R C R C s R C R C R C R C s 1 1 1 1 1 i o o i 3 1 4 2 2 2 1 1 2 2 3 1 4 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 3 1 2 4 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 e h h h h h h h h o h h E 337 Observe que o segundo circuito amplificador operacional atua tanto como um inversor de sinal como um ajuste de ganho Quando um controlador PID é expresso como E s E s K s T T s 1 i o p i d e h h o Kp é chamado ganho proporcional Ti é denominado tempo integrativo e Td de tempo derivativo A partir da Equação 337 obtemos o ganho proporcional Kp o tempo integrativo Ti e o tempo derivativo Td como K R R C R R C R C T R C R C T R C R C R C R C 1 p i d 3 1 2 4 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 h Quando um controlador PID é expresso como E s E s K s K K s i o p i d h h Kp é chamado ganho proporcional Ki tempo integrativo e Kd ganho derivativo Para esse con trolador K R R C R R C R C K R R C R K R R R C p i d 3 1 2 4 1 1 2 2 3 1 2 4 3 4 2 1 h A Tabela 31 mostra uma lista de circuitos com amplificadores operacionais que podem ser utilizados como controladores ou compensadores 74 Engenharia de controle moderno TABELA 31 Ação de controle G s E s E s i o h h h Circuitos amplificadores operacionais 1 P R R R R 3 4 1 2 eo ei R1 R2 R3 R4 2 I R R R C s 1 3 4 1 2 eo ei R1 R3 R4 C2 3 PD R R R R R C s 1 3 4 1 2 1 1 h R2 eo ei R3 R4 C1 R1 4 PI R R R R R C s R C s 1 3 4 1 2 2 2 2 2 R2 R1 eo ei R3 R4 C2 5 PID R R R R R C s R C s 1 R C s 1 3 4 1 2 2 2 1 1 2 2 h h R2 R1 eo ei R3 R4 C2 C1 6 Avanço ou atraso 1 R R R R R C s R C s 1 3 4 1 2 2 2 1 1 R2 R1 eo ei R3 R4 C2 C1 7 Avanço e atraso R R R R R C s R R C s R R C s R C s 1 1 1 1 5 6 3 4 1 1 2 4 2 1 3 1 2 2 h h h h 6 6 R4 R2 R1 R3 eo ei R5 R6 C2 C1 Circuitos com amplificadores operacionais que podem ser utilizados como compensadores 75 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos Exemplos de problemas com soluções A31 A Figura 320a mostra um diagrama esquemático do sistema de suspensão de um automóvel Quando o carro se move ao longo da estrada o movimento vertical das rodas age como a própria função de entrada do sistema de suspensão do automóvel O movimento desse sistema consiste em um movimento de translação do centro de massa e um movimento de rotação em torno desse mesmo centro de massa O modelo matemático do sistema completo é bastante complicado Uma versão muito simplificada do sistema de suspensão é mostrada na Figura 320b Admitindo que o movimento xi no ponto P seja a entrada do sistema e o movimento vertical xO do corpo seja a saída obtenha a função de transferência XOsXis Considere o movimento do corpo somente na direção vertical O deslocamento xO é medido a partir da posição de equilíbrio na ausência da variável de entrada xi Solução A equação do movimento para o sistema mostrado na Figura 320b é mẍO bẋO ẋi kxO xi 0 ou mẍO bẋO kxO bẋi kxi Ao considerar a transformada de Laplace da última equação e ao supor condições iniciais nulas obtemos ms2 bs kXOs bs k Xis Então a função de transferência XOsXis é dada por X s X s ms bs k bs k i o 2 h h A32 Obtenha a função de transferência YsUs do sistema mostrado na Figura 321 A entrada u é um deslocamento Como o sistema do Problema A31 este é também uma versão simplificada da suspensão de um automóvel ou de uma motocicleta FIGURA 320 a k b xi Centro de massa Corpo do carro b P xo m a Sistema de suspensão do automóvel b sistema de suspensão simplificado 76 Engenharia de controle moderno Solução Suponha que os deslocamentos x e y sejam medidos a partir das respectivas posições de repouso que ocorrem na ausência da entrada u Aplicando a segunda lei de Newton a esse sistema obtemos m1ẍ k2y x bẏ ẋ k1u x m2 ӱ k2y x bẏ ẋ Então temos m1ẍ bẋ k1 k2x bẏ k2 y k1u m2 ӱ bẏ k2 y bẋ k2 x Ao considerar a transformada de Laplace dessas duas equações e ao supor condições iniciais nulas obtemos m1s2 bs k1 k2 Xs bs k2Ys k1Us m2s2 bs k2Ys bs k2 Xs Eliminando Xs das duas últimas equações temos m s bs k k bs k m s bs k Y s bs k Y s k U s 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 h h h h h que fornece U s Y s m m s m m bs k m m m k s k bs k k k bs k 1 2 4 1 2 3 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 h h h h h 6 A33 Obtenha a representação em espaço de estados do sistema mostrado na Figura 322 Solução As equações do sistema são m1 ӱ1 bẏ1 k y1 y2 0 FIGURA 321 y b x u m2 m1 k2 k1 Sistema de suspensão FIGURA 322 m1 m2 k y1 b u y2 Sistema mecânico 77 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos m2 ӱ2 k y2 y1 u As variáveis de saída para esse sistema são y1 e y2 Definindo as variáveis de estado como x1 y1 x2 ẏ1 x3 y2 x4 ẏ2 Obtemos então as seguintes equações x x x m by k y y m k x m b x m k x x x x m k y y u m k x m k x m u 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 3 4 4 2 2 1 2 1 2 3 2 o o o o o h h 6 6 Portanto a equação de estado é x x x x m k m k m b m k m k x x x x m u 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 3 4 1 2 1 1 2 1 2 3 4 2 o o o o R T S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W WW V X W W W W WW e a equação de saída é y y x x x x 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 2 3 4 R T S S S SS V X W W W WW G G A34 Obtenha a função de transferência XOsXis do sistema mecânico apresentado na Figura 323a e a função de transferência EosEis do sistema elétrico exposto na Figura 323b Mostre que FIGURA 323 a b xi xo y k2 k1 b2 b1 R2 R1 eo ei C2 C1 a Sistema mecânico b sistema elétrico análogo 78 Engenharia de controle moderno as funções de transferência dos dois sistemas têm forma idêntica e portanto eles são sistemas análogos Solução Admitimos na Figura 359a que os deslocamentos xi x0 e y sejam medidos a partir das respectivas posições de repouso Assim as equações de movimento para o sistema mecânico da Figura 323a são b1ẋi ẋO k1xi xO b2ẋO ẏ b2ẋO ẏ k2 y Tomando as transformadas de Laplace dessas duas equações e admitindo condições iniciais nulas temos b1sXi s sXOs k1Xi s XOs b2sXOs sYs b2sXOs sYs k2Ys Se eliminarmos Ys das duas últimas equações obtemos b sX s sX s k X s X s b sX s b s b s k b sX s i o i o o o 1 1 2 2 2 2 2 h h h h h h 6 6 ou b s k X s b s k b s b s b s k b s X s i o 1 1 1 1 2 2 2 2 2 e h h o h Então a função de transferência X0sXis pode ser obtida por meio de X s X s k b s k b s k b s k b s k b s 1 1 1 1 i o 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 c c c c h h m m m m Para o sistema elétrico mostrado na Figura 323b a função de transferência EosEis é E s E s R C s R C s R C s R C s R C s R C s R C s R C s 1 1 1 1 1 1 1 1 i o 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 h h h h h h h Uma comparação entre as funções de transferência mostra que os sistemas das figuras 323a e b são análogos A35 Obtenha as funções de transferência EosEi s dos circuitos em ponte tipo T mostrados nas figuras 324a e b FIGURA 324 R R C1 C C C2 ei eo a R1 R2 ei eo b Rede em ponte tipo T 79 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos Solução Ambos os circuitos em ponte tipo T mostrados podem ser representados pela rede da Figura 325a em que utilizamos impedâncias complexas Essa rede pode ser transformada na que está representada na Figura 325b Na Figura 325b note que I1 I2 I3 I2Z1 Z3 Z4I3 Então I Z Z Z Z Z I I Z Z Z Z I 2 1 3 4 3 4 1 3 1 3 4 1 1 Assim as tensões Eis e Eos podem ser obtidas como E s Z I Z I Z Z Z Z Z Z Z I Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z I E s Z I Z I Z Z Z Z Z I Z I Z Z Z Z Z Z Z Z Z I i o 1 2 2 1 2 1 3 4 1 3 4 1 1 3 4 2 1 3 4 1 3 4 1 3 3 2 1 1 3 4 3 1 1 2 1 1 3 4 3 1 2 1 3 4 1 h h h h h h G FIGURA 325 Z1 Z4 Z3 Z2 Z1 Eis Z4 Z3 Z2 I3 I2 I1 I1 I3 I3 I2 I1 I1 ei eo Eos a b a Rede em ponte tipo T em termos de impedâncias complexas b rede equivalente 80 Engenharia de controle moderno Então a função de transferência EosEi s da rede mostrada na Figura 325a é obtida como E s E s Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z i o 2 1 3 4 1 3 1 4 3 1 2 1 3 4 h h h h 338 Para a rede em ponte tipo T mostrada na Figura 324a substitua Z R Z C s Z R Z C s 1 1 1 2 1 3 4 2 na Equação 338 Então obtemos a função de transferência EosEi s a saber E s E s C s R R C s R R C s R C s R R C s RC RC s RC RC s RC RC s RC s 1 1 1 1 1 2 1 2 1 i o 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 e e h h o o h Da mesma maneira para a rede em ponte tipo T mostrada na Figura 324b substituímos Z1 Cs 1 Z2 R1 Z3 Cs 1 Z4 R2 na Equação 338 Então a função de transferência EosEi s pode ser obtida como se segue E s E s R Cs Cs R Cs Cs R Cs Cs Cs R Cs Cs R R CR Cs R C R C s R CR Cs R Cs 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 i o 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 c c h h m m h A36 Obtenha a função de transferência EosEis do circuito com amplificador operacional mostrado na Figura 326 Solução A tensão no ponto A é eA 2 1 ei eo eo A transformada de Laplace dessa última equação é EAs 2 1 Eis Eos FIGURA 326 C A B R1 R1 R2 ei eo Circuito com amplificador operacional 81 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos A tensão no ponto B é E s R Cs Cs E s R Cs E s 1 1 1 1 B i i 2 2 h h h Como EBs EAsK Eos e K 1 devemos ter EAs EBs Assim E s E s R Cs E s 2 1 1 1 i o i 2 h h h 6 Então E s E s R Cs R Cs s R C s R C 1 1 1 1 i o 2 2 2 2 h h A37 Obtenha a função de transferência EosEis do sistema com amplificador operacional indica do na Figura 327 em termos de impedâncias complexas Z1 Z2 Z3 e Z4 Utilizando a equação derivada obtenha a função de transferência EosEis do sistema com amplificador operacional indicado na Figura 326 Solução A partir da Figura 327 temos Z E s E s Z E s E s i A A o 3 4 h h h h ou E s Z Z E s Z Z E s 1 i A o 4 3 4 3 e h o h h 339 Como E s E s Z Z Z E s A B i 1 2 1 h h h 340 pela substituição da Equação 340 na Equação 339 obtemos Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z E s Z Z E s i o 4 1 2 4 1 4 2 4 1 3 1 4 3 h h h G a partir da qual obtemos a função de transferência EosEis como E s E s Z Z Z Z Z Z Z i o 3 1 2 4 2 3 1 h h h 341 FIGURA 327 A B eo ei Z3 Z1 Z2 Z4 Circuito com amplificador operacional 82 Engenharia de controle moderno Para encontrarmos a função de transferência EosEis do circuito mostrado na Figura 326 substituímos Z1 Cs 1 Z2 R2 Z3 R1 Z4 R1 na Equação 341 O resultado é E s E s R Cs R R R R Cs R Cs R Cs 1 1 1 1 i o 1 2 1 2 1 2 2 c h h m que é como não poderia deixar de ser o mesmo que o obtido no Problema A36 A38 Obtenha a função de transferência EosEis do circuito com amplificador operacional mostrado na Figura 328 Solução Primeiro vamos obter as correntes i1 i2 i3 i4 e i5 Em seguida utilizaremos as equações dos nós A e B i R e e i R e e i C dt de i R e i C dt de i A A o A A o 1 1 2 3 3 1 4 2 5 2 No nó A temos i1 i2 i3 i4 ou R e e R e e C dt de R e i A A o A A 1 3 1 2 342 No nó B temos i4 i5 ou R e C dt de A o 2 2 343 Reescrevendo a Equação 342 temos C dt de R R R e R e R e 1 1 1 A A i o 1 1 2 3 1 3 e o 344 A partir da Equação 343 temos e R C dt de A o 2 2 345 Substituindo a Equação 345 na Equação 344 obtemos C R C dt d e R R R R C dt de R e R e 1 1 1 o o i o 1 2 2 2 2 1 2 3 2 2 1 3 c e m o h FIGURA 328 i1 R1 i2 i4 i3 A C1 ei eo R3 i5 C2 B R2 Circuito com amplificador operacional 83 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos Tomando a transformada de Laplace dessa última equação e admitindo condições iniciais nulas obtemos C C R s E s R R R R C sE s R E s R E s 1 1 1 1 o o o i 1 2 2 2 1 2 3 2 2 3 1 e h o h h h h a partir da qual obtemos a função de transferência EosEis como se segue E s E s R C R C s R C R C R R R C s R R 1 i o 1 1 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 1 e e h h o o G A39 Considere o servossistema indicado na Figura 329a O motor mostrado é um servomotor um motor cc projetado especialmente para ser utilizado em um sistema de controle A operação desse sistema é a seguinte um par de potenciômetros atua como um dispositivo detector de erros Eles convertem as posições de entrada e de saída em sinais elétricos proporcionais O sinal de entrada de comando determina a posição angular r do braço do cursor da entrada do potenciômetro A posição angular r é a entrada de referência do sistema e o potencial elétrico do cursor é propor cional à posição angular do braço A posição do eixo de saída determina a posição angular c do cursor do braço de saída do potenciômetro A diferença entre a posição angular de entrada r e a posição angular de saída c é o sinal de erro e ou e r c A diferença de potencial er ec eυ é o erro de tensão onde er é proporcional a r e ec é propor cional a c isto é er K0r e ec K0c onde K0 é a constante de proporcionalidade O erro de tensão FIGURA 329 c Cs Rs K sJs B b Evs Es Rs Cs Hs K1K2 sLas Ra Jos bo K2K3s K0 n a Referência de entrada Dispositivo de entrada Potenciômetro de entrada Potenciômetro de saída Sinal de realimentação er ec r c c K1 ia T Ra La Dispositivo de medição de erro Amplificador Motor Engrenagens Carga i K1ev ev a Diagrama esquemático do servossistema b diagrama de blocos para o sistema c diagrama de blocos simplificado 84 Engenharia de controle moderno que aparece nos terminais do potenciômetro é amplificado pelo amplificador cuja constante de ganho é K1 A tensão de saída do amplificador é aplicada ao circuito da armadura do motor cc Uma tensão fixa é aplicada ao enrolamento do campo Se existir erro o motor desenvolve um torque para girar a carga de modo que reduza o erro a zero Para a corrente de campo constante o torque desenvolvido pelo motor é T K2ia onde K2 é a constante de torque do motor e ia é a corrente da armadura Quando a armadura gira uma tensão proporcional ao produto do fluxo pela velocidade angular é induzida na armadura Para um fluxo constante a tensão induzida eb é diretamente proporcional à velocidade angular dθdt ou e K dt d b 3 i onde eb é a fcem força contra eletromotriz K3 é a constante de fcem do motor e θ é o desloca mento angular do eixo do motor Obtenha a função de transferência entre o deslocamento angular θ do eixo do motor e a tensão de erro eυ Obtenha também um diagrama de blocos para esse sistema e um diagrama de blocos simplificado supondo que La seja desprezível Solução A velocidade de um servomotor cc controlado pela armadura é controlada pela tensão da armadura ea A tensão da armadura ea K1ev é a saída do amplificador A equação diferencial do circuito da armadura é L dt di R i e e a a a a b a ou L dt di R i K dt d K e a a a a 3 1 i y 346 A equação de equilíbrio do torque é J dt d b dt d T K ia 0 2 2 0 2 i i 347 onde J0 é o momento de inércia da combinação motor carga e conjunto de engrenagens referente ao eixo do motor e b0 é o coeficiente de atrito viscoso do conjunto motor carga e conjunto de engrenagens do referido eixo do motor Eliminando ia das equações 346 e 347 obtemos E s s s L s R J s b K K s K K a a 0 0 2 3 1 2 H y h h h h 348 Vamos supor que a relação de engrenagens do conjunto de engrenagens seja tal que o eixo de saída gira n vezes para cada volta do eixo do motor Assim Cs nΘs 349 A relação entre Eυs Rs e Cs é Eυs K0Rs Cs K0 Es 350 O diagrama de blocos desse sistema pode ser construído a partir das equações 348 349 e 350 como indica a Figura 329b A função de transferência do ramo direto desse sistema é G s s C s E s s E s E s s L s R J s b K K K K K n a a 0 0 2 3 0 1 2 H H y y h h h h h h h h h 6 Quando La é pequeno pode ser desprezado e a função de transferência Gs do ramo direto tornase 85 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos G s s R J s b K K K K K n J s b R K K s K K K n R a a a 0 0 2 3 0 1 2 0 2 0 2 3 0 1 2 e h h o 6 351 O termo b0 K2K3Ras indica que a fcem do motor aumenta efetivamente o atrito viscoso do sistema A inércia J0 e o coeficiente de atrito viscoso b0 K2K3Ra referemse ao eixo do motor Quando J0 e b0 K2K3Ra são multiplicados por 1n2 a inércia e o coeficiente de atrito viscoso são expressos em termos do eixo de saída Introduzindo novos parâmetros definidos por J J0 n2 momento de inércia referente ao eixo de saída B b0 K2K3Ran2 coeficiente de atrito viscoso referente ao eixo de saída K K0K1K2nRa a função de transferência Gs dada pela Equação 351 pode ser simplificada resultando em G s Js Bs K 2 h ou G s s T s K 1 m m h h onde K B K T B J R b K K R J m m a a 0 2 3 0 O diagrama de blocos do sistema indicado na Figura 329b pode assim ser simplificado como mostra a Figura 329c Problemas B31 Obtenha o coeficiente de atrito viscoso beq equivalente do sistema mostrado na Figura 330 B32 Obtenha os modelos matemáticos dos sistemas mecânicos mostrados nas figuras 331a e b FIGURA 330 x b3 y b2 b1 Sistema de amortecedores 86 Engenharia de controle moderno B33 Obtenha uma representação no espaço de estados do sistema mecânico indicado na Figura 332 onde u1 e u2 são as entradas e y1 e y2 são as saídas B34 Considere o sistema de pêndulo de mola com carga indicado na Figura 333 Suponha que a ação da força da mola sobre o pêndulo seja zero quando este está na posição vertical ou θ 0 Suponha também que o atrito envolvido seja desprezível e o ângulo de oscilação θ seja pequeno Obtenha o modelo matemático do sistema B35 Referindose aos exemplos 35 e 36 considere o sistema de pêndulo invertido indicado na Figura 334 Suponha que a massa do pêndulo invertido seja m e seja uniformemente distribuída ao longo da haste O centro de gravidade do pêndulo está localizado no centro da haste Supondo que θ seja pequeno deduza os modelos matemáticos para o sistema na forma de equações diferenciais funções de transferência e equações no espaço de estados FIGURA 332 y1 y2 u1 m2 b1 u2 k2 k1 m1 Sistema mecânico FIGURA 331 m k a Sem fricção x Saída ut Força de entrada m b Sem fricção x Saída ut Força de entrada k1 k2 Sistemas mecânicos 87 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos B36 Obtenha as funções de transferência X1sUs e X2sUs do sistema mecânico indicado na Figura 335 B37 Obtenha a função de transferência EosEi s do circuito elétrico indicado na Figura 336 FIGURA 333 k k a ℓ mg i Sistema de pêndulo de mola com carga FIGURA 334 M y x u G O ℓ ℓ x y x i Sistema de pêndulo invertido FIGURA 335 m1 m2 k3 k1 x1 x2 u b1 k2 b2 Sistema mecânico FIGURA 336 R1 eo R2 C L ei i1 i2 Circuito elétrico 88 Engenharia de controle moderno B38 Considere o circuito elétrico mostrado na Figura 337 Obtenha a função de transferência Eos Eis pelo método do diagrama de blocos B39 Deduza a função de transferência do circuito elétrico indicado na Figura 338 Desenhe um dia grama esquemático de um sistema mecânico análogo B310 Obtenha a função de transferência EosEi s do circuito com amplificador operacional indicado na Figura 339 B311 Obtenha a função de transferência EosEi s do circuito com amplificador operacional indicado na Figura 340 FIGURA 338 R1 C1 R2 C2 eo ei Circuito elétrico FIGURA 339 C A R1 R2 ei eo Circuito com amplificador operacional FIGURA 337 R1 C1 eo R2 C2 ei i1 i2 Circuito elétrico 89 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos B312 Utilizando a abordagem da impedância obtenha a função de transferência EosEis do circuito com amplificador operacional indicado na Figura 341 B313 Considere o sistema mostrado na Figura 342 Um servomotor cc controlado pela armadura aciona uma carga constituída por um momento de inércia JL O torque desenvolvido pelo motor é T O momento de inércia do rotor do motor é Jm Os deslocamentos angulares do rotor do motor e do elemento de carga são θm e θ respectivamente A relação das engrenagens é n θθm Obtenha a função de transferência ΘsEis FIGURA 340 C A B R1 R2 R3 ei eo Circuito com amplificador operacional FIGURA 341 C A B R1 R1 R2 ei eo Circuito com amplificador operacional FIGURA 342 L R T n ei Jm JL im i Sistema servomotor cc controlado pela armadura 90 Engenharia de controle moderno Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos 4 C A P Í T U L O 41 Introdução Este capítulo trata da modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Por ser o meio mais versátil para a transmissão de sinais e força os fluidos líquidos e gases têm grande aplicação na indústria Os líquidos e os gases se diferenciam basicamente por sua incompressibilidade relativa e pelo fato de que um líquido pode ter uma superfície livre ao passo que um gás se expande para preencher seu recipiente No campo da engenharia o termo pneumático é empregado para descrever sistemas que utilizam ar ou gases e hidráulico aplicase aos sistemas que utilizam óleo Inicialmente discutiremos os sistemas de nível de líquido que com frequência são utiliza dos no processo de controle Vamos introduzir aqui os conceitos de resistência e de capacitância para descrever as dinâmicas desses sistemas Depois vamos tratar dos sistemas pneumáticos Tais sistemas são muito utilizados na automação da maquinaria de produção e no campo dos controladores automáticos Por exemplo os circuitos pneumáticos que convertem a energia do ar comprimido em energia mecânica têm grande utilização Vários tipos de controladores pneu máticos também são amplamente utilizados na indústria Em seguida apresentaremos os servos sistemas hidráulicos que são muito utilizados em sistemas de máquinasferramentas sistemas de controle de aeronaves etc Vamos estudar os aspectos básicos dos servossistemas hidráulicos e dos controladores hidráulicos Tanto os sistemas pneumáticos quanto os sistemas hidráuli cos podem ser facilmente modelados pela utilização dos conceitos de resistência e capacitância Por fim vamos tratar de sistemas térmicos simples os quais envolvem transferência de calor de uma substância para outra Os modelos matemáticos para esses sistemas podem ser obtidos pela utilização dos conceitos de resistência e capacitância térmica Visão geral do capítulo A Seção 41 apresenta uma introdução do capítulo A Seção 42 dis cute sistemas de nível de líquido A Seção 43 trata de sistemas pneumáticos em particular os princípios básicos dos controladores pneumáticos A Seção 44 inicialmente discute servossis tema hidráulico e em seguida apresenta controladores hidráulicos Por fim a Seção 45 analisa sistemas térmicos e obtém modelos matemáticos para esses sistemas 42 Sistemas de nível de líquidos Na análise de sistemas que envolvem o fluxo de fluidos julgamos necessário dividir os regimes de fluxo em fluxo laminar e fluxo turbulento de acordo com o valor do número de Reynolds Se o número de Reynolds estiver entre 3000 e 4000 então o sistema será turbulento O sistema é laminar se esse valor for menor do que aproximadamente 2000 No caso laminar o fluxo ocorre em linhas de escoamento sem turbulência Sistemas que envolvem fluxo laminar podem ser representados por equações diferenciais lineares Processos industriais envolvem frequentemente o fluxo de líquidos ao longo de tubos de conexão e de reservatórios O fluxo nesses processos geralmente é turbulento e não laminar Os sistemas que envolvem fluxo turbulento são frequentemente representados por equações dife renciais não lineares Entretanto se a região de operação for limitada essas equações diferen ciais não lineares podem ser linearizadas Nesta seção vamos discutir os modelos matemáticos linearizados de sistemas de nível de líquido Note que a introdução do conceito de resistência e capacitância para esses sistemas de nível de líquido nos possibilita descrever suas características dinâmicas de modo simples Resistência e capacitância de sistemas de nível de líquido Consideremos o fluxo ao longo de uma tubulação curta que conecta dois reservatórios A resistência R ao fluxo de líqui do nessa tubulação ou restrição é definida como a variação na diferença de nível a diferença entre o nível dos líquidos nos dois reservatórios necessária para causar a variação unitária na vazão isto é R variação na diferença de nível m variação na vazão em volume m³s Como a relação entre a taxa de escoamento e a diferença de nível difere do fluxo laminar para o fluxo turbulento consideraremos ambos os casos a seguir Considere o sistema de nível de líquido da Figura 41a Nesse sistema o líquido flui em uma válvula de restrição na lateral do reservatório Se o fluxo nessa restrição for laminar a relação entre a vazão em regime permanente e a altura do nível em regime permanente na restrição será dada por Q KH onde Q vazão em volume em regime permanente m³s K coeficiente m²s H altura do nível em regime permanente m FIGURA 41 Válvula de controle Q qo Q qi H h Válvula de restrição Capacitância C Resistência R b a Altura H H 0 h P q Q Taxa de escoamento tg1Rt Inclinação 2H Q h q a Sistema de nível de líquido b curva de altura do nível versus vazão 92 Engenharia de controle moderno Para o fluxo laminar a resistência Rl é obtida como Rl dH H dQ Q A resistência no escoamento laminar é constante e análoga à resistência elétrica Se o fluxo através da restrição é turbulento a taxa de fluxo em estado permanente é dada por Q K H 41 onde Q vazão em volume em regime permanente m³s K coeficiente m25s H altura do nível em regime permanente m A resistência Rt para o fluxo turbulento é obtida a partir de Rt dH dQ A partir da Equação 41 obtemos dQ K dH 2 H temos dH 2 H 2 H H 2H dQ K Q Q Assim Rt 2H Q O valor da resistência Rt do fluxo turbulento depende da vazão e da altura do nível do líquido Entretanto o valor de Rt pode ser considerado constante se as variações da altura do nível e da vazão forem pequenas Utilizandose a resistência para o caso de fluxo turbulento a relação entre Q e H pode ser dada por Q 2H Rt Essa linearização é válida desde que as variações da altura do nível e da vazão em relação aos respectivos valores de regime permanente sejam pequenas Em muitos casos práticos o valor do coeficiente K na Equação 41 que depende do coeficiente de fluxo e da área de restrição não é conhecido Então a resistência pode ser determinada pela construção do gráfico da curva que mostra a altura do nível versus a vazão com base em dados experimentais e medindose a inclinação da curva no ponto de operação Um exemplo dessa curva é o indicado na Figura 41b em que P é o ponto de operação em regime permanente A linha tangente à curva no ponto P cruza o eixo das ordenadas no ponto 0 H Assim a inclinação dessa linha tangente é 2H Q Como a resistência Rt no ponto de operação P é dada por 2H Q a resistência Rt é a inclinação da curva no ponto de operação Considere a condição de operação nas proximidades do ponto P Defina uma pequena variação do valor da altura do regime permanente como h e a pequena variação correspondente da taxa de escoamento como q Então a inclinação da curva no ponto P pode ser dada por Inclinação da curva no ponto P h 2H Rt q Q 93 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos A aproximação linear tem como base o fato de que a curva real não difere muito de sua linha tangente se a condição de operação não variar muito A capacitância C de um reservatório é definida como a variação na quantidade de líquido armazenado necessária para causar uma mudança unitária no potencial altura O potencial é a grandeza que indica o nível de energia do sistema C variação na quantidade de líquido armazenado m³ variação na altura m Note que a capacidade m³ e a capacitância m² são diferentes A capacitância do reservatório é igual à sua secção transversal Se esta for constante a capacitância será constante para qualquer altura do nível Sistemas de nível de líquido Considere o sistema indicado na Figura 41a As variáveis são definidas como segue Q vazão em volume em regime permanente antes de ocorrer alguma variação m³s qi pequeno desvio da vazão de entrada em relação a seu valor de regime permanente m³s qo pequeno desvio da vazão de saída em relação a seu valor de regime permanente m³s H altura do nível em regime permanente antes que ocorra alguma variação m h pequeno desvio de nível a partir de seu valor de regime permanente m Como foi visto anteriormente um sistema poderá ser considerado linear se o fluxo for laminar Mesmo que o fluxo seja turbulento o sistema poderá ser linearizado desde que as alterações nas variáveis sejam pequenas Com base na hipótese de que o sistema seja linear ou linearizado a equação diferencial desse sistema pode ser obtida como segue como o fluxo de entrada menos o fluxo de saída durante um pequeno intervalo de tempo dt é igual à quantidade adicional armazenada no reservatório temos C dh qi qodt A partir da definição de resistência a relação entre qo e h é dada por qo h R A equação diferencial desse sistema para um valor constante de R tornase RC dt dh h Rqi 42 Observe que RC é a constante de tempo do sistema Tomando a transformada de Laplace de ambos os membros da Equação 42 e considerando condições iniciais nulas obtemos RCs 1 Hs RQis onde Hs h e Qis qi Se qi for considerada a entrada e h a saída a função de transferência do sistema é Q s H s RCs R 1 i h h Entretanto se qo for admitida como a saída e a entrada permanecer a mesma a função de trans ferência será Q s Q s RCs 1 1 i 0 h h 94 Engenharia de controle moderno onde tomamos por base a relação Q s R H s 1 0 h h Sistemas de nível de líquido com interação Considere o sistema mostrado na Figura 42 Nesse sistema os dois reservatórios interagem Assim a função de transferência do sistema não é o produto das funções de transferência de primeira ordem A seguir vamos admitir apenas pequenas variações das variáveis a partir dos valores de regime permanente Utilizando os símbolos definidos na Figura 42 podemos obter as seguintes equações para esse sistema R h h q 1 1 2 1 43 C dt dh q q 1 1 1 44 R h q 2 2 2 45 C dt dh q q 2 2 1 2 46 Se q for considerada a entrada e q2 a saída a função de transferência do sistema será Q s Q s R C R C s R C R C R C s 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 h h h 47 É instrutivo obter a Equação 47 a função de transferência do sistema interativo pela redu ção do diagrama de blocos A partir das equações 43 a 46 obtemos os elementos do diagrama de blocos como mostra a Figura 43a Conectando os sinais corretamente podemos construir um diagrama de blocos como se pode ver na Figura 43b Esse diagrama de blocos pode ser simplificado como o da Figura 43c Simplificações adicionais resultam nas figuras 43d e e A Figura 43e é equivalente à Equação 47 Note a similaridade e a diferença entre a função de transferência da Equação 47 e a que é dada pela Equação 333 O termo R2C1s que aparece no denominador da Equação 47 exemplifica a interação entre os dois reservatórios Por analogia o termo R1C2s no denominador da Equação 333 representa a interação entre os dois circuitos RC mostrados na Figura 38 FIGURA 42 Q q Reservatório 1 Reservatório 2 H1 h1 R1 H2 h2 R2 Q q2 C1 C2 Q q1 Q vazão em volume em regime permanente H 1 nível de líquido do reservatório 1 em regime permanente H 2 nível de líquido do reservatório 2 em regime permanente Sistema de nível de líquido com interação 95 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos 43 Sistemas pneumáticos Em aplicações industriais sistemas pneumáticos e sistemas hidráulicos são frequentemente comparados Assim antes de discutirmos os sistemas pneumáticos em detalhes vamos fazer uma breve comparação entre esses dois tipos de sistemas Comparação entre sistemas pneumáticos e sistemas hidráulicos O fluido geralmente encontrado em sistemas pneumáticos é ar em sistemas hidráulicos é óleo E estas são princi palmente as diferentes propriedades dos fluidos envolvidos que caracterizam a diferença entre os dois sistemas Essas diferenças podem ser relacionadas como segue 1 Ar e gases são compressíveis enquanto o óleo não é exceto em alta pressão FIGURA 43 c d e G3 b a Qs H1s H2s Q1s Q2s Qs Q1s Q2s Qs Q2s Qs Q2s 1 R1 1 R1 1 R1 1 R2 1 R2 1 R2 1 C1s 1 C1s 1 C2s G3 1 C2s G3 1 C2s R2C1s R2C1s 1 R1C1 s 1 1 R2C2 s 1 1 R1C1R2C2s2 R1C1 R2C2 R2C1s 1 H1s Q1s H2s 1 C1s H2s Q2s Qs H1s Q1s Q1s H2s Q2s a Elementos do diagrama de blocos do sistema mostrado na Figura 42 b diagrama de blocos do sistema ce reduções sucessivas do diagrama de blocos 96 Engenharia de controle moderno 2 O ar não tem a propriedade de lubrificação e geralmente contém vapor de água O óleo tem a função de fluido hidráulico e também de lubrificante 3 A pressão de operação normal dos sistemas pneumáticos é bem mais baixa que a dos sistemas hidráulicos 4 A potência de saída dos sistemas pneumáticos é consideravelmente menor que a dos sistemas hidráulicos 5 A precisão dos atuadores pneumáticos é insatisfatória em baixas velocidades enquanto a precisão dos atuadores hidráulicos pode ser satisfatória qualquer que seja a velocidade 6 Em sistemas pneumáticos vazamentos externos são permitidos até certo ponto mas vazamentos internos devem ser evitados porque a diferença de pressão efetiva é bem pequena Nos sistemas hidráulicos vazamentos internos são permitidos até certo ponto mas o vazamento externo deve ser evitado 7 Nos sistemas pneumáticos não são necessários tubos de retorno quando for utilizado ar ao passo que nos sistemas hidráulicos eles são sempre necessários 8 A temperatura normal de operação para os sistemas pneumáticos varia de 5 C a 60 C 41 F a 140 F Entretanto eles podem ser operados dentro do intervalo de 0 C a 200 C 32 F a 392 F Os sistemas pneumáticos são insensíveis a variações de temperatura em contraste com os sistemas hidráulicos nos quais o atrito do fluido em razão da vis cosidade depende grandemente da temperatura A temperatura de operação normal para os sistemas hidráulicos varia de 20 C a 70 C 68 F a 158 F 9 Os sistemas pneumáticos são à prova de fogo e de explosão enquanto os sistemas hidráu licos não o são a menos que seja utilizado um líquido não inflamável Começamos a seguir com a modelagem matemática de sistemas pneumáticos Depois apresentaremos os controladores pneumáticos proporcionais Primeiro apresentaremos uma discussão detalhada do princípio de operação dos controla dores proporcionais Em seguida trataremos dos métodos para a obtenção das ações de controle derivativo e integral Nessas discussões vamos dar ênfase aos princípios fundamentais em vez de aos detalhes de operação desses mecanismos Sistemas pneumáticos Nas últimas décadas vimos um grande desenvolvimento dos controla dores pneumáticos a baixa pressão para sistemas de controle industriais e hoje em dia eles são extensivamente utilizados em processos industriais As razões dessa ampla aceitação incluem o fato de eles serem à prova de explosão e por sua simplicidade e fácil manutenção Resistência e capacitância de sistemas de pressão Muitos processos industriais e contro ladores pneumáticos envolvem o fluxo de gás ou ar ao longo de tubos conectados a recipientes de pressão Considere o sistema de pressão mostrado na Figura 44a O fluxo do gás em uma restrição é uma função da diferença de pressão pi p0 Este é um sistema de pressão que pode ser carac terizado em termos de uma resistência e uma capacitância A resistência ao fluxo de gás R é definida como R variação na diferença de pressão de gás Nm² variação no fluxo de gás kgs ou R dq d DP h 48 onde dΔP é uma pequena variação na diferença de pressão do gás e dq é uma pequena variação no fluxo do gás O cálculo do valor da resistência R ao fluxo de gás pode ser demasiadamente complexo Entretanto ele pode ser determinado com facilidade a partir de um gráfico que indi 97 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos que a diferença de pressão versus o fluxo pelo cálculo da inclinação da curva em determinada condição de operação como indica a Figura 44b A capacitância do recipiente de pressão pode ser definida por C variação na quantidade de gás armazenado kg variação na pressão do gás Nm² ou C dp dm V dp dt 49 onde C capacitância kgm²N m massa do gás no recipiente kg p pressão do gás Nm² V volume do recipiente m³ t densidade kgm³ A capacitância do sistema de pressão depende do tipo do processo de expansão envolvido A capacitância pode ser calculada pela aplicação da lei do gás perfeito Se o processo de expansão do gás for politrópico e a mudança de estado do gás estiver entre isotérmica e adiabática então p m V p K constante n tn c m 410 onde n expoente politrópico Para gases perfeitos py R T ou p M R T y onde p pressão absoluta Nm² y volume ocupado por 1 mol de um gás m³kgmol R constante universal do gás mNkgmolK T temperatura absoluta K y volume específico do gás m³kg M peso molecular do gás por mol kgkgmol Assim p p M R T R gás T y t 411 onde Rgás constante do gás mNkgK FIGURA 44 Resistência R Capacitância C a b P pi P po 0 q q dq ΔP Inclinação R d ΔP a Diagrama esquemático de um sistema de pressão b curva de diferença de pressão versus fluxo 98 Engenharia de controle moderno O expoente politrópico n é unitário para a expansão isotérmica Para a expansão adiabática n é igual à relação entre os calores específicos cpcv onde cp é o calor específico a uma pressão constante e cv é o calor específico a um volume constante Em muitos casos práticos o valor de n é aproximadamente constante e assim a capacitância também pode ser considerada constante O valor de dρdp é obtido a partir das equações 410 e 411 A partir da Equação 410 temos dp Kntn1 dt ou dp d Kn pn pn 1 n n n 1 1 t t t t t Substituindo a Equação 411 nessa última equação obtemos dp d nR T 1 gás t A capacitância C é então obtida como C nR T V á g s 412 A capacitância de dado recipiente será constante se a temperatura permanecer constante Em muitos casos práticos o expoente politrópico é aproximadamente 10 12 para gases em recipientes metálicos sem isolamento Sistemas de pressão Considere o sistema da Figura 44a Se admitirmos apenas pequenos desvios nas variáveis a partir de seus respectivos valores em regime permanente então esse sistema pode ser considerado linear Vamos definir P pressão do gás no recipiente em regime permanente antes de terem ocorrido mudanças na pressão Nm² pi pequena variação na pressão do gás no fluxo de entrada Nm² po pequena variação na pressão do gás no recipiente Nm² V volume do recipiente m³ m massa de gás no recipiente kg q fluxo do gás kgs ρ densidade do gás kgm³ Para pequenos valores de pi e poa resistência R dada pela Equação 48 tornase constante e pode ser escrita como R q p p i o A capacitância C é dada pela Equação 49 ou C dp dm Como a mudança de pressão dpo multiplicada pela capacitância C é igual ao gás adicionado ao recipiente durante dt segundos obtemos C dpo q dt ou C dt dp R p p o i o que pode ser escrita como 99 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos RC dt dp p p o o i Se pi e p0 forem consideradas entrada e saída respectivamente então a função de transfe rência do sistema será P s P s RCs 1 1 i o h h onde RC tem a dimensão de tempo e é a constante de tempo do sistema Amplificadores pneumáticos do tipo bocalpalheta nozzleflapper Um diagrama esquemático de um amplificador pneumático do tipo bocalpalheta é mostrado na Figura 45a A fonte de potência para esse amplificador é uma fonte de alimentação de ar a uma pressão constan te O amplificador bocalpalheta converte pequenas variações na posição da palheta em grandes variações de contrapressão no bocal Assim uma grande potência de saída pode ser controlada por uma potência muito pequena que é a necessária para posicionar a palheta Na Figura 45a o ar pressurizado é introduzido pelo orifício e o ar é ejetado do bocal em direção à palheta De modo geral a fonte de alimentação Ps para um controlador é 20 psig 14 kgfcm² O diâmetro do orifício é da ordem de 001 pol 025 mm e o do bocal é da ordem de 0016 pol 04 mm O diâmetro do bocal deve ser maior que o diâmetro do orifício para assegurar o bom funcionamento do amplificador Na operação desse sistema a palheta é posicionada contra a abertura do bocal A contrapressão Pb no bocal é controlada pela distância X do bocal à palheta À medida que a palheta se aproxima do bocal a oposição ao fluxo de ar ao longo do bocal aumenta resultando no aumento da contra pressão Pb do bocal Se o bocal for completamente fechado pela palheta a contrapressão Pb do bocal se tornará igual à pressão de alimentação Ps Se a palheta se distanciar do bocal de modo que a distância bocalpalheta seja grande da ordem de 001 pol então não haverá praticamente restrição ao fluxo e a contrapressão Pb do bocal assumirá um valor mínimo que depende do dispositivo bocalpalheta A menor pressão possível será a pressão ambiente Pa Note que em virtude de o jato de ar aplicar uma força contra a palheta é necessário que o diâmetro do bocal seja o menor possível Uma curva típica que relaciona a contrapressão do bocal Pb à distância X entre o bocal e a palheta é mostrada na Figura 45b A parte mais inclinada e quase linear da curva é a efetivamente utilizada na operação do amplificador bocalpalheta Em virtude de o intervalo de deslocamento da palheta ser restrito a um pequeno valor a variação na pressão de saída também é pequena a menos que a curva seja muito inclinada FIGURA 45 Alimentação de ar Orifício Entrada 0 Bocal a b Palheta Para a válvula de controle Ps Pb Ps Pb Pa X X a Diagrama esquemático de um amplificador pneumático do tipo bocal palheta b curva característica que relaciona a contrapressão do bocal e a distância bocal palheta 100 Engenharia de controle moderno O amplificador bocalpalheta converte o deslocamento em um sinal de pressão Como os sistemas de controle de processos industriais requerem grandes saídas de potência para operar grandes válvulas atuadoras pneumáticas geralmente a amplificação de potência do amplificador bocalpalheta é insuficiente Como consequência frequentemente é necessário utilizar um relé pneumático como amplificador de potência em conjunto com o amplificador bocalpalheta Relés pneumáticos Na prática em um controlador pneumático um amplificador bocalpalheta age como amplificador de primeiro estágio e um relé pneumático como amplificador de segundo estágio O relé pneumático é capaz de controlar uma grande quantidade de fluxo de ar A Figura 46a mostra o diagrama esquemático de um relé pneumático Conforme a con trapressão Pb do bocal aumenta a válvula do diafragma se move para baixo A abertura para a atmosfera diminui e a abertura para a válvula pneumática de controle aumenta desse modo aumenta a pressão Pc Quando a válvula do diafragma fecha a abertura para a atmosfera a pressão de controle Pc tornase igual à pressão de alimentação Ps Quando a contrapressão do bocal Pb diminui e a válvula do diafragma se move para cima e fecha a alimentação de ar a pressão de controle Pc cai para o valor da pressão ambiente Pa Dessa maneira podese fazer a pressão de controle Pc variar de 0 psig ao total da pressão de alimentação normalmente 20 psig O movimento total da válvula do diafragma é muito pequeno Em todas as posições da válvula exceto na posição em que a alimentação de ar é fechada o ar continua a sair para a atmosfera mesmo depois de alcançada a condição de equilíbrio entre a contrapressão do bocal e a pressão de controle Assim o relé mostrado na Figura 46a é chamado relé do tipo com escape Existe outro tipo de relé o tipo sem escape Neste sendo atingida a condição de equilíbrio o ar para de fluir e dessa maneira não há nenhuma perda de ar pressurizado na operação em regime permanente Note entretanto que o relé do tipo sem escape deve possuir um respiro para atmosfera a fim de liberar a pressão de controle Pc da válvula atuadora pneumática Um diagrama esquemático de um relé do tipo sem escape é mostrado na Figura 46b Nesses dois tipos de relé a alimentação de ar é controlada por uma válvula que por sua vez é controlada pela contrapressão do bocal Assim a contrapressão do bocal é convertida em pressão de controle com amplificação de potência Como a pressão de controle Pc muda quase instantaneamente com as variações na contra pressão do bocal Pb a constante de tempo do relé pneumático é desprezível em comparação com outras constantes de tempo mais significativas do controlador pneumático e da planta Observe que alguns relés pneumáticos são de ação reversa Por exemplo o relé da Figura 47 é um relé de ação reversa Nesse caso quando a contrapressão Pb do bocal aumenta a válvula de esfera é forçada em direção à posição inferior dessa maneira diminuindo a pressão de controle Pc Portanto este é um relé de ação reversa FIGURA 46 Para a atmosfera Pa Contrapressão Pb do bocal Alimentação de ar Ps Pc Para a válvula de controle a b Para a atmosfera Contrapressão Pb no bocal Alimentação de ar Ps Pc Para a válvula pneumática a Diagrama esquemático de um relé do tipo com escape b diagrama esquemático de um relé do tipo sem escape 101 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Controladores pneumáticos proporcionais do tipo forçadistância Dois tipos de con troladores pneumáticos um chamado do tipo forçadistância e o outro do tipo balanço de forças são amplamente utilizados na indústria Independentemente de quão diferentes podem ser dos controladores pneumáticos industriais um estudo cuidadoso mostrará a semelhança exis tente entre as funções dos vários circuitos pneumáticos Vamos considerar aqui os controladores pneumáticos do tipo forçadistância A Figura 48a mostra o diagrama esquemático de um desses controladores proporcionais Um amplificador bocalpalheta constitui o primeiro estágio do amplificador e a contrapressão do bocal é controlada pela distância entre bocalpalheta Um amplificador do tipo relé constitui o segundo estágio do amplificador A contrapressão do bocal determina a posição da válvula do diafragma para o amplificador do segundo estágio que é capaz de operar um grande fluxo de ar Na maioria dos controladores pneumáticos é empregado algum tipo de realimentação A rea limentação da saída pneumática reduz a amplitude do movimento da palheta Em vez de montar a palheta em um ponto fixo como indicado na Figura 48b é comum pivoteála no fole de realimentação como mostra a Figura 48c A intensidade da realimentação pode ser regulada pelo uso de uma ligação móvel entre o fole de realimentação e o ponto de conexão da palheta A palheta tornase então um elo flutuante e pode ser movida tanto pelo sinal de erro como pelo sinal de realimentação A operação do controlador mostrado na Figura 48a é como segue O sinal de entrada para o amplificador pneumático de dois estágios é o sinal de erro atuante O aumento desse sinal de erro atuante move a palheta para a esquerda Esse movimento como consequência aumentará a contrapressão do bocal e a válvula do diafragma se moverá para baixo Isso resulta em um aumento na pressão de controle que causará a expansão do fole F e a palheta se moverá para a direita abrindo o bocal Em virtude dessa realimentação o deslocamento bocalpalheta é muito pequeno mas a variação na pressão de controle pode ser grande Note que a operação apropriada do controlador requer que a realimentação do fole movi mente a palheta menos do que o movimento causado apenas pelo sinal de erro Se esses dois movimentos fossem iguais não haveria nenhuma ação de controle As equações para esse controlador podem ser deduzidas como segue Quando um erro atuante for igual a zero ou e 0 existe um estado de equilíbrio com a distância bocalpalheta igual a X o deslocamento do fole igual a Y o deslocamento do diafragma igual a Z a contrapressão do bocal igual a P b e a pressão de controle igual a P c Quando existir um erro atuante a distância bocalpalheta o deslocamento do fole o deslocamento do diafragma a contrapressão do bocal e a pressão de controle se desviarão de seus respectivos valores de equilíbrio Considere esses desvios como x y z pb e pc respectivamente A direção positiva para o deslocamento de cada variável é indicada no diagrama pela orientação da seta FIGURA 47 Para atmosfera Contrapressão do bocal Pb Alimentação de ar Ps Pc Para a válvula pneumática Relé de ação reversa 102 Engenharia de controle moderno Considerando que a relação entre a variação da contrapressão do bocal e a variação da dis tância da palheta é linear temos pb K1x 413 onde K1 é uma constante positiva Para a válvula diafragma temos pb K2z 414 onde K2 é uma constante positiva A posição da válvula diafragma determina a contrapressão Se a válvula diafragma é tal que a relação entre pc e z seja linear então pc K3 z 415 onde K3 é uma constante positiva A partir das equações 413 414 e 415 obtemos p K K p K K K x Kx c b 2 3 2 1 3 416 onde K K1K3K2 é uma constante positiva Para a palheta como existem dois pequenos movi mentos e e y em direções opostas podemos considerar esses movimentos separadamente e somar seus resultados em um deslocamento x Veja a Figura 48d Assim para o movimento da palheta temos FIGURA 48 Orifício Sinal de erro atuante Palheta Bocal Relé pneumático a b c Ps e a b F Pb pb X x Z z Y y Pc pc Sinal de erro Sinal de erro Sinal de realimentação Es Xs Pc s Ys e b a b a a b A ks Es f Pc s Kp K b a b e e e y y x a a b b a a b y d a Diagrama esquemático de um controlador pneumático proporcional do tipo forçadistância b palheta montada em um ponto fixo c palheta montada em um fole de realimentação d deslocamento x como resultado da adição de dois pequenos deslocamentos e diagrama de blocos do controlador f diagrama de blocos simplificado do controlador 103 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos x a b b e a b a y 417 O fole age como uma mola de acordo com a equação a seguir Apc ks y 418 onde A é a área efetiva do fole e ks é a constante de mola equivalente isto é equivalente à elasticidade da parte corrugada do fole Ao supor que todas as alterações das variáveis ocorram dentro de um intervalo linear pode mos obter um diagrama de blocos para esse sistema a partir das equações 416 417 e 418 como mostra a Figura 48e A partir da Figura 48e podemos ver com clareza que o controlador pneumático da Figura 48a é por si só um sistema com realimentação A função de transferência entre pc e e é dada por E s P s K a b a K A a b b K K 1 c s p h h 419 Um diagrama de blocos simplificado é mostrado na Figura 48f Como pc e e são proporcionais o controlador pneumático mostrado na Figura 48a é um controlador pneumático proporcional Como se vê considerando a Equação 419 o ganho do controlador pneumático proporcional pode variar amplamente pelo ajuste do elo flutuante da palheta O elo flutuante do acoplamento da palheta não é mostrado na Figura 48a Na maioria dos controladores proporcionais comerciais é insta lado um botão de ajuste ou algum outro mecanismo para variar o ganho pelo ajuste dessa conexão Como se observou anteriormente o sinal de erro atuante move a palheta em uma direção e a realimentação do fole move a palheta na direção oposta mas em menor grau Assim o efeito do fole de realimentação é reduzir a sensibilidade do controlador O princípio da realimentação é comumente utilizado para obter controladores de banda proporcional ampla Os controladores pneumáticos que não possuem mecanismos de realimentação o que significa que uma das extremidades da palheta é fixa como mostra a Figura 49a têm alta sensibilidade e são chamados controladores pneumáticos de duas posições ou controladores pneumáticos onoff Nesses controladores somente um pequeno movimento entre o bocal e a palheta é necessário para resultar em uma completa variação da pressão de controle do máximo para o mínimo As curvas que relacionam Pb e X e Pc e X estão na Figura 49b Note que uma pequena variação em X pode ocasionar uma grande variação em Pb que faz que a válvula do diafragma se abra ou se feche completamente Controladores pneumáticos proporcionais do tipo balanço de força A Figura 410 mostra um diagrama esquemático de um controlador pneumático proporcional de balanço de força Os controladores de balanço de força são amplamente utilizados na indústria Eles são chamados controladores de pilha O princípio básico de operação não difere do dos controladores do tipo forçadistância A principal vantagem do controlador do tipo balanço de força é que são eliminadas várias ligações mecânicas e juntas pivotadas reduzindo assim os efeitos do atrito FIGURA 49 a b 0 0 X X Ps Ps Pb X Ps Pb Pa Pc Pa Pc a Controlador sem mecanismo de realimentação b curvas Pb versus X e Pc versus X 104 Engenharia de controle moderno A seguir consideraremos o princípio do controlador do tipo balanço de força No controlador mostrado na Figura 410 a pressão de entrada de referência Pr e a pressão de saída P0 são injetadas em grandes câmaras com diafragma Note que o controlador pneumático de balanço de força opera somente com sinais de pressão Assim é necessário converter a entrada de referência e a saída do sistema nos sinais de pressão correspondentes Como no caso do controlador do tipo forçadistância esse controlador emprega palheta bocal e orifícios Na Figura 410 a abertura perfurada na câmara inferior é o bocal O diafragma situado acima do bocal atua como uma palheta A operação do controlador do tipo balanço de força mostrado na Figura 410 pode ser resumida como segue o ar a uma pressão de 20 psig fornecido por uma alimentação de ar flui por um orifício causando a redução de pressão na câmara inferior O ar nessa câmara escapa para a atmosfera pelo bocal O fluxo no bocal depende da abertura e da queda de pressão nele Um aumento na pressão de entrada de referência Pr enquanto a pressão de saída P0 permanece a mesma faz que a haste da válvula seja movida para baixo diminuindo a abertura entre o bocal e o diafragma da palheta Isso faz que a pressão de controle Pc aumente Seja pe Pr P0 420 Se pe 0 existe um estado de equilíbrio com a distância entre o bocal e a palheta que é igual a X e a pressão de controle é igual a P c Nesse estado de equilíbrio P1 P c k onde k 1 e X aP c A1 P c kA1 421 onde a é uma constante Vamos supor que pe 0 e definir pequenas variações na distância entre o bocal e a palheta e na pressão de controle como x e pc respectivamente Assim obtemos a seguinte equação X x aP c pcA1 P c pckA1 pe A2 A1 422 A partir das equações 421 e 422 obtemos x apc1 kA1 peA2 A1 423 Neste ponto devemos examinar a grandeza x No projeto de controladores pneumáticos a dis tância entre o bocal e a palheta é bem pequena Pelo fato de xα ser muito menor que pc1 kA1 ou peA2 A1 quando pe 0 x a pc1 kA1 x a peA2 A1 podemos desprezar o termo x em nossa análise A Equação 423 pode ser reescrita para refletir essa suposição como segue pc1 kA1 peA2 A1 FIGURA 410 Pressão de saída Pr Po A1 A1 A2 Pressão de entrada de referência X x Pc pc Atmosfera Alimentação de ar Pressão de controle P1 k Pc pc Diagrama esquemático de um controlador proporcional pneumático do tipo balanço de força 105 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos e a função de transferência entre pc e pe tornase P s P s A A A K K 1 1 e c p 1 2 1 h h onde pe é definido pela Equação 420 O controlador mostrado na Figura 410 é um controlador proporcional O valor de ganho Kp aumenta conforme k se aproxima da unidade Observe que o valor de k depende dos diâmetros dos orifícios dos tubos de entrada e de saída da câmara de realimentação O valor de k aproximase da unidade à medida que a resistência ao fluxo no orifício de entrada da câmara diminui Válvulas atuadoras pneumáticas Uma característica dos controles pneumáticos é que prati camente todos empregam válvulas atuadoras Uma válvula atuadora pneumática pode produzir uma grande potência de saída Como um atuador pneumático requer uma grande potência de entrada para produzir uma grande potência de saída é necessário que uma quantidade suficiente de ar pressurizado esteja disponível Na prática as válvulas atuadoras pneumáticas possuem características que podem não ser lineares isto é o fluxo pode não ser diretamente proporcional à posição da haste da válvula e podem existir também outros efeitos não lineares como histerese Considere o diagrama esquemático de uma válvula atuadora pneumática mostrado na Figura 411 Suponha que a área do diafragma seja A Suponha também que quando o erro atuante for zero a pressão de controle seja igual a P c e o deslocamento da válvula seja igual a X Na análise a seguir consideraremos pequenas variações das variáveis e linearizaremos a dinâmica da válvula atuadora pneumática Definiremos a pequena variação na pressão de controle e o deslocamento correspondente da válvula como pc e x respectivamente Como uma pequena alteração na força de pressão pneumática aplicada ao diafragma reposiciona a carga que consiste na mola no atrito viscoso e na massa a equação de balanceamento das forças tornase Apc mẍ bẋ kx onde m massa da válvula e da haste da válvula b coeficiente de atrito viscoso k constante da mola Se a força devida à massa e ao atrito viscoso for desprezível então a última equação pode ser simplificada para Apc kx FIGURA 411 C Pc pc A k X x Q qi Diagrama esquemático de uma válvula atuadora pneumática 106 Engenharia de controle moderno A função de transferência entre x e pc tornase P s X s K A K c c h h onde Xs x e Pcs pc Se qi a variação do fluxo na válvula atuadora pneumática for proporcional a x a variação do deslocamento da haste da válvula será então X s Q s K i q h h onde Qi s qi e Kq é uma constante A função de transferência entre qi e pc tornase P s Q s K K K c i c q y h h onde Ky é uma constante A pressão de controle padrão para esse tipo de válvula atuadora pneumática fica entre 3 e 15 psig O deslocamento da haste da válvula é limitado pelo movimento do diafragma que é de apenas poucos centímetros Se um movimento mais amplo for necessário pode ser empregada uma combinação de êmbolo e mola Nas válvulas atuadoras pneumáticas a força de atrito estático deve ser limitada a um baixo valor de modo que não resulte em uma histerese excessiva Em virtude da compressibilidade do ar a ação de controle pode não ser positiva isto é pode existir um erro no posicionamento da haste da válvula O uso de um posicionador de válvula resulta na melhoria do desempenho da válvula atuadora pneumática Princípio básico para a obtenção da ação de controle derivativa Apresentaremos agora os métodos para a obtenção da ação de controle derivativa Enfatizaremos aqui também o princípio e não os detalhes dos mecanismos reais O princípio básico para a geração de uma ação de controle desejada é inserir o inverso da fun ção de transferência desejada no ramo de realimentação Para o sistema mostrado na Figura 412 a função de transferência de malha fechada é R s C s G s H s G s 1 h h h h h Se GsHs 1 então CsRs pode ser modificado para R s C s H s 1 h h h Assim se desejarmos uma ação de controle proporcionalderivativo inserimos um elemento que contém a função de transferência 1Ts 1 no ramo da realimentação Considere o controlador pneumático da Figura 413a Levando em conta pequenas altera ções das variáveis podemos desenhar um diagrama de blocos desse controlador como mostra a Figura 413b A partir do diagrama de blocos vemos que o controlador é proporcional Mostraremos agora que o acréscimo de uma restrição no ramo de realimentação negativa transformará o controlador proporcional em um controlador proporcionalderivativo ou contro lador PD FIGURA 412 Rs Cs Gs Hs Sistema de controle 107 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Considere o controlador pneumático da Figura 414a Supondo novamente pequenas varia ções do erro atuante da distância entre o bocal e a palheta e da pressão de controle podemos resumir as operações desse controlador como segue primeiro vamos supor uma pequena variação em degrau em e Nesse caso a variação da pressão de controle pc será instantânea A restrição R impedirá momentaneamente que o fole de realimentação perceba a variação da pressão pc Assim o fole de realimentação não responderá instantaneamente e a válvula atuadora pneumática sen tirá todo o efeito do movimento da palheta Com o passar do tempo o fole de realimentação se expandirá A variação da distância x entre o bocal e a palheta e a variação na pressão de controle pc podem ser representadas em um gráfico em função do tempo t como mostra a Figura 414b Em regime permanente o fole de realimentação atua como um mecanismo de realimentação normal A curva pc versus t mostra claramente que esse controlador é proporcionalderivativo Um diagrama de blocos correspondente a esse controlador pneumático é mostrado na Figura 414c No diagrama K é uma constante A é a área do fole e ks é a constante equivalente FIGURA 414 a b c e e a b Ps pc X x Pc pc R C Pcs Es Xs K x t t t a a b A ks b a b 1 RCs 1 a Controlador pneumático proporcional derivativo b gráfico da variação em degrau em e e mudanças correspondentes em x e pc versus t c diagrama de blocos do controlador FIGURA 413 e a b a b Pc s Es Xs b a b K a a b A ks X x Pc pc Ps a Controlador pneumático proporcional b diagrama de blocos do controlador 108 Engenharia de controle moderno de mola do fole A função de transferência entre pc e e pode ser obtida a partir do diagrama de blocos como segue E s P s a b Ka k A RCs a b b K 1 1 1 c s h h Nesse tipo de controlador o ganho de malha KaAa bksRCs 1 é feito muito maior que a unidade Assim a função de transferência PcsEs pode ser simplificada para resultar em E s P s K T s 1 c p d h h h onde K aA bk T RC p s d Dessa maneira a realimentação negativa com retardo ou função de transferência 1RCs 1 no ramo da realimentação transforma o controlador proporcional em um controlador proporcional derivativo Note que se a válvula de realimentação for completamente aberta a ação de controle se tornará proporcional Se a válvula for totalmente fechada a ação de controle se tornará propor cional em banda estreita onoff Obtenção da ação pneumática de controle proporcionalintegral Considere o con trolador proporcional da Figura 413a Levando em conta pequenas alterações das variáveis podemos mostrar que o acréscimo de uma realimentação positiva com retardo transformará esse controlador proporcional em um controlador proporcionalintegral ou controlador PI Considere o controlador pneumático mostrado na Figura 415a A operação desse controlador é a seguinte o fole designado por I está conectado à fonte da pressão de controle sem nenhuma restrição O fole designado por II está conectado à fonte da pressão de controle por meio de uma restrição Vamos supor que haja uma pequena variação em degrau no erro atuante Isso ocasionará uma mudança na contrapressão do bocal instantaneamente Assim também ocorrerá uma variação na pressão de controle pc instantaneamente Em virtude da restrição da válvula no percurso do fole II haverá perda de pressão pela válvula Com o decorrer do tempo o ar fluirá pela válvula de modo que a mudança da pressão no fole II alcance o valor de pc Assim o fole II se expandirá ou se contrairá com o passar do tempo de modo que produzirá um movimento adicional da palheta no sentido do deslocamento original e Isso ocasionará uma variação contínua da contrapressão pc do bocal como mostra a Figura 415b Observe que a ação de controle integral do controlador vai cancelando de maneira lenta o efeito da realimentação fornecida originalmente pelo controle proporcional Um diagrama de blocos desse controlador para o caso de alterações pequenas das variáveis é mostrado na Figura 415c A simplificação do diagrama de blocos resulta na Figura 415d A função de transferência desse controlador é E s P s a b Ka k A RCs a b b K 1 1 1 1 c s c h h m onde K é uma constante A é a área do fole e ks é a constante de mola equivalente dos foles combinados Se KaARCsa bksRCs 1 1 o que normalmente é o caso a função de transferência pode ser simplificada para E s P s K Ts 1 1 c p i e h h o 109 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos onde K aA bk T RC p s i Obtenção da ação pneumática de controle proporcionalintegralderivativo Uma com binação de controladores pneumáticos mostrada nas figuras 414a e 415a resulta em um controlador proporcionalintegralderivativo ou um controlador PID A Figura 416a mostra um diagrama esquemático desse tipo de controlador e a 416b um diagrama de blocos desse controlador supondo que as alterações das variáveis sejam pequenas A função de transferência desse controlador é FIGURA 415 a b c d e a b X x Pc pc Ps R C pc K K x e t t t Es Xs Pc s Es Xs Pc s a a b b a b b a b A ks a a b A ks a a b A ks 1 RCs 1 1 RCs 1 I II Controlador pneumático proporcional integral b gráfico de variação em degrau em e das variações correspondentes em x e pc versus t c diagrama de blocos do controlador d diagrama de blocos simplificado 110 Engenharia de controle moderno E s P s a b Ka k A R Cs R Cs R C R C s a b bK 1 1 1 c s d i i d h h h h h Definindo Ti RiC Td Rd C e considerando que em operação normal KaATi Tdsa bksTd 1 Ti s 1 1 e Ti Td obtemos E s P s aA bk T T s T s Ts aA bk Ts T Ts Ts K Ts T s 1 1 1 1 1 c s i d d i s i d i i p i d 2 Z Z e h h h h h o 424 onde K aA bk p s A Equação 424 indica que o controlador mostrado na Figura 416a é um controlador propocionalintegralderivativo ou controlador PID FIGURA 416 a b e a b X x Ps Ri Rd C C Pc pc Ri Rd Pc s Es Xs K b a b a a b A ks 1 Rd Cs 1 1 RiCs 1 a Controlador pneumático proporcional integral derivativo b diagrama de blocos de controlador 111 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos 44 Sistemas hidráulicos Exceto para os controladores pneumáticos de baixa pressão o ar comprimido raramente é utilizado para o controle contínuo de movimento de dispositivos que tenham massa significativa sob ação de forças de carga externas Para esses casos os controladores hidráulicos geralmente são preferidos Sistemas hidráulicos A ampla utilização dos circuitos hidráulicos em aplicações de máquinas ferramentas sistemas de controle de aeronaves e de operações similares ocorre em decorrência de fatores como positividade precisão flexibilidade alta relação potênciapeso partida rápida parada e reversão com suavidade e precisão e simplicidade nas operações A pressão de operação nos sistemas hidráulicos é algo entre 145 e 5000 Npol² entre 1 e 35 MPa Em algumas aplicações especiais a pressão de operação pode chegar a 10000 Npol² 70 MPa Para a obtenção da mesma potência o peso e o tamanho da unidade hidráulica podem ser reduzidos por meio do aumento da pressão de alimentação Podem ser obtidas forças de grande intensidade com a utilização de sistemas hidráulicos de alta pressão Os sistemas hidráulicos tornam possíveis a atuação rápida e o posicionamento preciso de cargas pesadas Uma combinação dos sistemas eletrônicos e hidráulicos é amplamente utilizada por causa da combinação de vantagens tanto do controle eletrônico como da potência hidráulica Vantagens e desvantagens dos sistemas hidráulicos Existem certas vantagens e desvanta gens na utilização de sistemas hidráulicos em relação a outros sistemas Algumas das vantagens são as seguintes 1 O fluido hidráulico age como lubrificante além de transportar o calor gerado no sistema para um trocador de calor conveniente 2 O tamanho comparativamente pequeno dos atuadores hidráulicos pode desenvolver grandes potências ou torques 3 Os atuadores hidráulicos têm grande velocidade de resposta com partidas paradas e reversão de velocidade rápidas 4 Os atuadores hidráulicos podem ser operados sob condições contínuas intermitentes de reversão e de parada repentina sem sofrer avarias 5 A disponibilidade de atuadores lineares e rotativos dá flexibilidade ao projeto 6 Pelo fato de os vazamentos nos atuadores hidráulicos serem pequenos as quedas de velocidade são pequenas quando uma carga é aplicada Por outro lado diversas desvantagens tendem a limitar seu uso 1 A potência hidráulica não é tão facilmente disponível se comparada à potência elétrica 2 O custo de um sistema hidráulico pode ser mais alto se comparado a sistemas elétricos que desempenham uma função semelhante 3 Existe o risco de explosão e fogo a menos que sejam utilizados fluidos antiinflamáveis 4 Em razão de sua dificuldade de manter um sistema hidráulico que seja livre de vazamentos o sistema tende a ficar poluído 5 A contaminação do óleo pode causar falha no funcionamento apropriado de um sistema hidráulico 6 Em virtude da não linearidade e de outras características complexas o projeto de sistemas hidráulicos sofisticados tornase complexo 7 Os circuitos hidráulicos geralmente têm características de amortecimento deficientes Se um circuito hidráulico não for projetado adequadamente alguns fenômenos de instabili dade poderão ocorrer ou desaparecer dependendo das condições de operação Comentários Uma atenção especial é necessária para assegurar que o sistema hidráulico seja estável e tenha desempenho satisfatório sob todas as condições de operação Como a viscosidade 112 Engenharia de controle moderno dos fluidos hidráulicos pode afetar grandemente o amortecimento e os efeitos de atrito dos cir cuitos hidráulicos os testes de estabilidade devem ser realizados com a temperatura de operação mais alta possível Note que a maioria dos sistemas hidráulicos é não linear Algumas vezes entretanto é possí vel linearizar sistemas não lineares para reduzir sua complexidade e permitir soluções que sejam suficientemente precisas para a maioria das aplicações Uma técnica útil para tratar sistemas não lineares foi apresentada na Seção 27 Servossistema hidráulico A Figura 417a mostra um servomotor hidráulico Ele é essencial mente um amplificador de potência hidráulico controlado por uma válvula piloto e um atuador A válvula piloto é uma válvula balanceada em que as forças de pressão atuantes sobre esta são todas balanceadas Uma grande potência de saída pode ser controlada por uma válvula piloto que pode ser posicionada com a aplicação de uma potência muito pequena Na prática as portas mostradas na Figura 417a geralmente são mais largas do que os corres pondentes ressaltos do carretel Nesse caso sempre há vazamentos pelos ressaltos Esse vazamento melhora tanto a sensibilidade como a linearidade do servomotor hidráulico Na análise a seguir faremos a suposição de que as portas serão maiores que os ressaltos isto é os ressaltos são sub postos Note que algumas vezes um sinal oscilatório um sinal de alta frequência com amplitude muito pequena em relação ao deslocamento máximo da válvula é sobreposto ao movimento FIGURA 417 x y q q p0 p0 ps p1 p2 2 3 4 1 a x b 2 1 ps x0 2 x x0 2 x Carga m b a Servossistema hidráulico b diagrama ampliado da região do orifício da válvula 113 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos da válvula piloto Isso também melhora a sensibilidade e a linearidade Nesse caso também há vazamentos pela válvula Aplicaremos a técnica de linearização apresentada na Seção 27 para obter o modelo matemá tico linearizado do servomotor hidráulico Vamos supor que a válvula seja subposta e simétrica e o fluido hidráulico esteja sob alta pressão no cilindro de potência que contém um grande êmbolo de modo que resulte em uma grande força hidráulica para mover uma carga Na Figura 417b temos um diagrama ampliado da região do orifício da válvula Definiremos as áreas das portas de entrada da válvula 1 2 3 4 como A1 A2 A3 A4 respectivamente Defini mos também a vazão nas entradas 1 2 3 4 como q1 q2 q3 q4 respectivamente Note que como a válvula é simétrica A1 A3 e A2 A4 Ao supor que o deslocamento x seja pequeno obtemos A A K x x A A K x x 2 2 1 3 0 2 4 0 c c m m onde k é uma constante Além disso vamos supor que a pressão de retorno p0 na linha de retorno seja pequena e assim possa ser desprezada Então com referência à Figura 417a as vazões pelos orifícios da válvula são q c A g p p C p p x x q c A g p p C p p x x q c A g p p C p p x x C p x x q c A g p p C p p x x C p x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 s s s s 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 2 0 3 1 3 2 0 1 2 0 0 1 2 0 4 2 4 1 0 2 1 0 0 2 1 0 c c c c c c c c c c h m h m h m m h m m onde C1 c1k g 2 c C2 c2k g 2 c e c é o peso específico dado por c ρg onde ρ é a densidade de massa e g é a aceleração da gravidade A vazão q do lado esquerdo do êmbolo é q q q C p p x x C p x x 2 2 s 1 4 1 1 0 2 1 0 c c m m 425 A vazão do lado direito do êmbolo para o dreno é a mesma q e é dada por q q q C p x x C p p x x 2 2 s 3 2 1 2 0 2 2 0 c c m m Na presente análise vamos supor que o fluido seja incompressível Como a válvula é simé trica temos q1 q3 e q2 q4 Equacionando q1 e q3 obtemos ps p1 p2 ou ps p1 p2 Se definirmos a diferença de pressão por meio do êmbolo como Δp ou D p p1 p2 então p P p p P p 2 2 s s 1 2 D D Para a posição simétrica da válvula mostrada na Figura 417a a pressão em cada lado do êmbolo é 12ps quando nenhuma carga for aplicada ou D p 0 Quando a válvula de carretel é deslo cada a pressão em uma linha aumenta e na outra decresce pelo mesmo valor 114 Engenharia de controle moderno Em termos de ps e D p podemos reescrever a vazão q dada pela Equação 425 como q q q C p p x x C p p x x 2 2 2 2 s s 1 4 1 0 2 0 D D c c m m Notando que a pressão de alimentação ps é constante a vazão q pode ser escrita como uma função do deslocamento x da válvula e a diferença de pressão D p ou q C p p x x C p p x x f x p 2 2 2 2 s s 1 0 2 0 D D D c c m m h Aplicando a técnica de linearização apresentada na Seção 310 para esse caso a equação linearizada em torno do ponto x x D p D p q q é q q ax x bD p D p 426 onde u u u u q f x p a x f C p p C p p b p f p p C x x p p C x x 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x x p p s s x x p p s s 1 2 1 0 2 0 1 D D D D D D D D D D e c h o m G Os coeficientes a e b são chamados coeficientes da válvula A Equação 426 é um modelo mate mático linearizado da válvula de carretel próximo do ponto de operação x x D p D p q q Os valores dos coeficientes da válvula a e b variam com o ponto de operação Note que u f uD p é negativo e portanto b é negativo Como o ponto de operação normal é o ponto onde x 0 D p 0 q 0 próximo desse ponto normal de operação a Equação 426 tornase q K1x K2D p 427 onde K C C p K C C p x 2 0 4 2 0 s s 1 1 2 2 1 2 0 2 2 h h A Equação 427 é um modelo matemático linearizado da válvula de carretel próximo da origem x 0 D p 0 q 0 Note que a região próxima da origem é a mais importante nesse tipo de sistema porque normalmente a operação do sistema ocorre nas proximidades desse ponto A Figura 418 mostra a relação linearizada entre q x e DP As linhas retas que aí se encon tram são as curvas características do servomotor hidráulico linearizado Essa família de curvas é constituída por linhas retas paralelas equidistantes parametrizadas em x Na presente análise vamos supor que as forças de reação da carga são pequenas de modo que a vazão e a compressibilidade do óleo podem ser ignoradas Com referência à Figura 417a vemos que a vazão do óleo q vezes dt é igual ao desloca mento do êmbolo dy vezes a área do êmbolo A vezes a densidade do óleo t Assim obtemos At dy q dt Observe que para dada vazão q quanto maior for a área A do êmbolo menor será a velocidade dydt Então se a área A do êmbolo for menor e as outras variáveis permanecerem constantes a velocidade dydt se tornará maior Além disso um aumento da vazão q causará um aumento na velocidade do êmbolo e fará que o tempo de resposta seja menor 115 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos A Equação 427 pode agora ser escrita como P K K x A dt dy 1 2 1 t D c m A força desenvolvida pelo êmbolo é igual à diferença de pressão ΔP vezes a área A do êmbolo ou Força desenvolvida pelo êmbolo A ΔP K A K x A dt dy 2 1 t c m Para dada força máxima se a diferença de pressão for suficientemente alta a área do êmbolo ou o volume do óleo no cilindro poderão ser menores Em consequência para minimizar o peso do controlador devemos fazer que a pressão de alimentação seja suficientemente alta Suponha que o êmbolo mova uma carga constituída por uma massa e por atrito viscoso Então a força desenvolvida pelo êmbolo é aplicada à massa da carga e ao atrito obtendose my by K A K x A y 2 1 t p o o h ou my b K A y K AK x 2 2 2 1 t p o c m 428 onde m é a massa da carga e b é o coeficiente de atrito viscoso Ao supor que o deslocamento x da válvula piloto seja a entrada e o deslocamento y do êmbolo seja a saída determinamos a partir da Equação 428 a função de transferência para o servomotor hidráulico como X s Y s s AK mK s AK bK K A s Ts K 1 1 1 2 1 2 1 t e h h o h G 429 onde K AK bK K A T bK A mK 1 e 1 2 1 2 2 2 t t FIGURA 418 x 2x1 x x1 x 0 x x1 0 q ΔP x 2x1 Curvas características de um servomotor hidráulico linearizado 116 Engenharia de controle moderno A partir da Equação 429 vemos que essa função de transferência é de segunda ordem Se a relação mK2bK2 A²t for desprezível ou se a constante de tempo T for desprezível a função de transferência YsXs poderá ser simplificada resultando em X s Y s s K h h Note que uma análise mais detalhada mostra que se os vazamentos de óleo a compressibilidade incluindo os efeitos do ar dissolvido a dilatação das tubulações e outros detalhes forem levados em consideração a função de transferência se tornará X s Y s s T s T s K 1 1 1 2 h h h h onde T1 e T2 são constantes de tempo De fato essas constantes de tempo dependem do volume de óleo no circuito de operação Quanto menor for o volume menores serão as constantes de tempo Controlador hidráulico integral O servomotor hidráulico mostrado na Figura 419 é um amplificador de potência hidráulico controlado por uma válvula piloto e um atuador Análogo aos servossistemas hidráulicos mostrados na Figura 417 para a carga de massa desprezível o servomotor da Figura 419 age como um integrador ou um controlador integral Esse servomotor constitui a base de um circuito de controle hidráulico No servomotor hidráulico mostrado na Figura 419 a válvula piloto uma válvula de quatro vias tem dois ressaltos no carretel Se a largura dos ressaltos for menor que as portas na válvula piloto a válvula será considerada subposta Nas válvulas sobrepostas a largura dos ressaltos é maior que a largura das portas Uma válvula de sobreposição nula tem a largura do ressalto idêntica à largura da porta Se uma válvula piloto for uma válvula de sobreposição nula a análise do servomotor hidráulico se tornará mais simples Na presente análise vamos supor que o fluido hidráulico seja incompressível e a força de inércia do êmbolo e da carga sejam desprezíveis comparadas à força hidráulica do êmbolo Além disso vamos supor que a válvula piloto seja uma válvula de sobreposição nula e a vazão do óleo seja proporcional ao deslocamento da válvula piloto A operação desse servomotor hidráulico é como segue Se a entrada x move a válvula piloto para a direita a porta II é aberta e então o óleo sob alta pressão entra do lado direito do êmbolo Como a porta I está ligada à porta do dreno o óleo do lado esquerdo do êmbolo retorna para o dreno O óleo que flui para dentro do cilindro de potência está sob alta pressão o óleo que flui para fora do cilindro de potência e vai para o dreno está sob baixa pressão A diferença de pressão resultante em ambos os lados do êmbolo fará que este se mova para a esquerda FIGURA 419 x Porta I Porta II Cilindro de potência y Válvula piloto Óleo sob pressão Servomotor hidráulico 117 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Note que a vazão em massa de óleo qkgs vezes dt s é igual ao deslocamento do êmbolo dym vezes a área Am² vezes a densidade do óleo tkgm³ Portanto At dy q dt 430 Como supomos que a vazão de óleo q seja proporcional ao deslocamento da válvula piloto x temos q K1x 431 onde K1 é uma constante positiva A partir das equações 430 e 431 obtemos A dt dy K x 1 t A transformada de Laplace dessa última equação supondo condições iniciais nulas nos dá AtsYs K1Xs ou X s Y s A s K s K 1 t h h onde K K1Ar Assim o servomotor hidráulico mostrado na Figura 419 atua como um con trolador integral Controlador hidráulico proporcional Foi mostrado que o servomotor da Figura 419 atua como um controlador integral Esse servomotor pode ser transformado em um controlador pro porcional por meio de uma haste de realimentação Considere o controlador hidráulico mostrado na Figura 420a O lado esquerdo da válvula piloto é ligado ao lado esquerdo do êmbolo pela haste ABC que é flutuante em vez de ser móvel em torno de uma articulação fixa O controlador aqui opera da seguinte maneira se a entrada e move a válvula piloto para a direita a porta II fica descoberta e o óleo sob alta pressão flui por essa porta para o lado direito do êmbolo e força esse êmbolo para a esquerda O êmbolo se movimentando para a esquer da levará a haste de realimentação ABC com ele e desse modo move a válvula piloto para a esquerda Essa ação continua até que o êmbolo da válvula piloto cubra novamente as portas I e II Um diagrama de blocos do sistema pode ser desenhado como na Figura 420b A função de transferência entre Ys e Es é dada por E s Y s s K a b a a b b s K 1 h h FIGURA 420 a b e b a x y II I A B C Óleo sob pressão Es Xs Ys a a b b a b K s a Servomotor que atua como controlador proporcional b diagrama de blocos do servomotor 118 Engenharia de controle moderno Observando que sob as condições normais de operação temos Kasa b 1 essa última equação pode ser simplificada para E s Y s a b Kp h h A função de transferência entre y e e tornase uma constante Assim o controlador hidráulico da Figura 420a atua como um controlador proporcional cujo ganho é Kp Esse ganho pode ser ajustado pela mudança efetiva da relação ba da alavanca O mecanismo de ajuste não é mostrado no diagrama Vimos assim que a adição da haste de realimentação faz que o servomotor hidráulico atue como um controlador proporcional Amortecedores hidráulicos O amortecedor hidráulico também chamado simplesmente amortecedor mostrado na Figura 421a atua como um elemento diferenciador Suponha que haja um deslocamento em degrau na posição y do êmbolo Então o deslocamento z tornase igual a y momentaneamente Em virtude da força da mola entretanto o óleo fluirá pela resistência R e o cilindro retornará à posição original As curvas de y versus t e de z versus t são mostradas na Figura 421b Deduziremos a função de transferência entre o deslocamento z e o deslocamento y Defina as pressões existentes dos lados direito e esquerdo do êmbolo como P1Nm² e P2Nm² res pectivamente Suponha que a força de inércia envolvida seja desprezível Então a força atuante no êmbolo deve equilibrar a força da mola Assim AP1 P2 kz onde A área do êmbolo m² k constante de mola Nm A vazão q é dada por q R P P 1 2 onde q vazão pela restrição kgs R resistência ao fluxo na restrição Nsm²kg Como o fluxo ao longo da resistência durante dt segundos deve ser igual à variação de massa do óleo à esquerda do êmbolo durante os mesmos dt segundos obtemos q dt Atdy dz onde t densidade kgm³ Vamos supor que o fluido seja incompressível ou t constante Essa última equação pode ser reescrita como dt dy dt dz A q RA P P RA kz 1 2 2 t t t FIGURA 421 a b c R q P2 P1 A k y y z z t t Ys Zs 1 Ts T RA2ρ k a Amortecedor hidráulico b gráfico da variação em degrau de y e da correspondente variação de z versus t c diagrama de blocos do amortecedor hidráulico 119 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos ou dt dy dt dz RA kz 2t Tomando as transformadas de Laplace de ambos os lados dessa última equação e considerando nulas as condições iniciais temos sY s sZ s RA K 2t Z s h h h A função de transferência do sistema tornase então Y s Z s s RA k s 2t h h Vamos definir RA²tk T Note que RA²tk tem a dimensão de tempo Então Y s Z s Ts Ts Ts 1 1 1 1 h h Evidentemente o amortecedor hidráulico é um elemento de diferenciação A Figura 421c mostra a representação do sistema por meio de um diagrama de blocos Obtenção da ação proporcionalintegral de controle hidráulico A Figura 422a traz um diagrama esquemático de um controlador hidráulico proporcionalintegral Um diagrama de blocos desse controlador é mostrado na Figura 422b A função de transferência YsEs é dada por E s Y s a b Ka Ts T a b b s K 1 1 h h Nesse controlador sob condições normais de operação KaTa bTs 1 1 o que resulta em E s Y s K Ts 1 1 p i e h h o onde K a b T T k RA p i 2t FIGURA 422 a b Área A Constante da mola k Densidade do óleo ρ Óleo sob pressão Resistência R e x a b y z Es Xs Ys b a b a a b K s Ts Ts 1 Zs a Diagrama esquemático de um controlador hidráulico proporcional integral b diagrama de blocos 120 Engenharia de controle moderno Assim o controlador mostrado na Figura 422a é um controlador proporcionalintegral con trolador PI Obtenção da ação proporcionalderivativa de controle hidráulico A Figura 423a mostra um diagrama esquemático de um controlador hidráulico proporcionalderivativo Os cilindros permanecem fixos no espaço e os êmbolos podem se mover Para esse sistema note que K y z AP2 P1 q R P P 2 1 q dt tAdz Então y z K A qR z K RA dt 2t dz ou Y s Z s Ts 1 1 h h onde T k RA2t Um diagrama de blocos desse sistema está indicado na Figura 423b A partir do diagrama de blocos podese obter a função de transferência YsEs como E s Y s a b a s K Ts a b b s K 1 1 1 h h Sob operação normal temos aKa bsTs 1 1 Então E s Y s K Ts p 1 h h h onde K a b T k RA p 2t Assim o controlador mostrado na Figura 423a é um controlador proporcionalderivativo controlador PD FIGURA 423 a b e a b x y z R k q P2 P1 Área A Densidade do óleo ρ Xs Ys Es Zs b a b a a b K s 1 Ts 1 a Diagrama esquemático de um controlador hidráulico proporcional derivativo b diagrama de blocos do controlador 121 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Obtenção da ação proporcionalintegralderivativa de controle hidráulico A Figura 424 apresenta um diagrama esquemático de um controlador hidráulico proporcionalintegralderivativo É uma combinação do controlador proporcionalintegral e do controlador proporcionalderivativo Se dois amortecedores hidráulicos forem idênticos a função de transferência ZsYs poderá ser obtida como segue Y s Z s T T s T T s T s 2 1 1 2 2 1 2 1 h h h Para a dedução dessa função de transferência tome como referência o Problema A49 Um diagrama de blocos desse sistema é mostrado na Figura 425 A função de transferência YsEs pode ser obtida como segue E s Y s a b b a b a s K T T s T T s T s s K 1 2 1 1 2 2 1 2 1 h h h Sob circunstâncias normais projetamos o sistema de forma que 1 a b a s K T T s T T s T s 2 1 1 2 2 1 2 1 h Então E s Y s a b T s T T s T T s K s K K s 2 1 p i d 1 1 2 2 1 2 h h h onde K a b T T T K a b T K a b T 2 1 p i d 1 1 2 1 2 FIGURA 425 b a b K s Ys Es Xs Zs T1 s T1 T2 s2 T1 2T2s 1 a a b Diagrama de blocos do sistema mostrado na Figura 424 FIGURA 424 e a b x y R R k2 k1 Área A z Diagrama esquemático de um controlador hidráulico proporcional integral derivativo 122 Engenharia de controle moderno Assim o controlador da Figura 424 é um controlador proporcionalintegralderivativo contro lador PID 45 Sistemas térmicos Sistemas térmicos são aqueles que envolvem transferência de calor de uma substância para outra Os sistemas térmicos podem ser analisados em termos de resistência e capacitância embora a resistência térmica e a capacitância térmica não possam ser representadas com precisão como parâmetros concentrados uma vez que estas normalmente são distribuídas nas substâncias Para uma análise mais precisa devem ser utilizados os modelos de parâmetros distribuídos Aqui entretanto para simplificar a análise vamos supor que um sistema térmico possa ser representado por um modelo de parâmetros concentrados que as substâncias caracterizadas pela resistência ao fluxo de calor tenham capacitância térmica desprezível e que as substâncias caracterizadas pela capacitância térmica tenham resistência desprezível ao fluxo de calor Existem três diferentes modos de o calor fluir de uma substância para outra condução con vecção e radiação Consideraremos aqui apenas a condução e a convecção A transferência de calor por radiação é significativa somente se a temperatura do emissor for muito alta comparada à do receptor A maioria dos processos térmicos nos sistemas de controle de processos não envolve transferência de calor por radiação Para a transferência de calor por condução ou convecção q K Di onde q taxa de fluxo de calor kcals Di diferença de temperatura C K coeficiente kcals C O coeficiente K é dado por K X kA D por condução HA por convecção onde k condutividade térmica kcalm s C A área normal ao fluxo de calor m2 DX espessura do condutor m H coeficiente de convecção kcalm2s C Resistência térmica e capacitância térmica A resistência térmica R para a transferência de calor entre duas substâncias pode ser definida como segue R variação na diferença de temperatura C variação na taxa do fluxo de calor kcals A resistência térmica para a transferência de calor por condução ou convecção é dada por R dq d K 1 Di h Como os coeficientes de condutividade térmica e convecção são quase constantes a resistência térmica tanto para condução como para convecção é constante A capacitância térmica C é definida por C variação no calor armazenado kcal variação na temperatura C ou C mc 123 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos onde m massa da substância considerada kg c calor específico da substância kcalkg C Sistemas térmicos Considere o sistema da Figura 426a Considerase que o reservatório seja isolado para eliminar as perdas de calor para o ar em torno do sistema Além disso supõese que não haja armazenamento de calor no material de isolamento e que o líquido do reservatório seja perfeitamente misturado de modo que a temperatura seja uniforme Assim utilizase um único valor para descrever a temperatura do líquido no reservatório e no fluxo do líquido de saída Vamos definir H i temperatura em regime permanente do líquido de entrada C H o temperatura em regime permanente do líquido de saída C G vazão em massa do líquido em regime permanente kgs M massa do líquido no reservatório kg c calor específico do líquido kcalkg C R resistência térmica C skcal C capacitância térmica kcalC H taxa de entrada de calor em regime permanente kcals Suponha que a temperatura do líquido de entrada seja mantida constante e que a taxa de entrada de calor no sistema calor fornecido pelo aquecedor sofra alteração repentina de H para H hi onde hi representa uma pequena variação da taxa de entrada de calor Então a taxa de saída de calor variará gradualmente de H para H ho A temperatura de saída do líquido também variará de H o para H o i Nesse caso ho C e R são obtidos respectivamente como ho Gci C Mc R h Gc 1 o i A equação de balanço de calor para esse sistema é C di hi hodt ou C dt di hi ho a qual pode ser reescrita como RC dt di i Rhi FIGURA 426 Aquecedor Líquido frio Misturador Líquido quente a b His R 1 RCs His Hs a Sistema térmico b diagrama de blocos do sistema 124 Engenharia de controle moderno Observe que a constante de tempo do sistema é igual a RC ou MG segundos A função de transferência relativa a i e hi é dada por H s s RCs R 1 i H h h onde Hs it e His hit Na prática a temperatura do líquido de entrada pode flutuar e atuar como carga de distúrbio Se for desejada uma temperatura de saída constante podese instalar um controlador automático para ajustar a taxa de entrada de calor para compensar as flutuações na temperatura do fluxo de entrada do líquido Se a temperatura do fluxo de entrada do líquido variar bruscamente de H i para H i ii enquanto a taxa de entrada de calor H e o fluxo do líquido G forem mantidos cons tantes então a taxa de saída do calor será alterada de H para H ho e a temperatura do fluxo de saída do líquido passará de H o para H o i A equação de balanço de calor para esse caso será C di Gcii hodt ou C dt di Gcii ho a qual pode ser reescrita como RC dt di i ii A função de transferência que relaciona θ e θi é dada por H s s RCs 1 1 i H h h onde Hs it e His iit Se esse sistema térmico for submetido a variações tanto da temperatura do fluxo de entrada do líquido como da taxa de entrada de calor enquanto a vazão do líquido for mantida constante a variação i da temperatura do fluxo de saída do líquido poderá ser dada pela seguinte equação RC dt di i ii Rhi A Figura 426b mostra um diagrama de blocos correspondente a esse caso Note que o sistema contém duas entradas Exemplos de problemas com soluções A41 No sistema de nível de líquido da Figura 427 suponha que a vazão em volume de saída Q m³s pela válvula de saída esteja relacionada com a altura do nível de H m pela relação Q K H 001 H FIGURA 427 Q Qi H Capacitância C Sistema de nível de líquido 125 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Suponha também que quando o fluxo de entrada Qi for 0015 m³s o nível do líquido perma neça constante Para t 0 o sistema está em regime permanente Qi 0015 m³s No instante t 0 a válvula de entrada é fechada e portanto não há fluxo de entrada para t 0 Determine o tempo necessário para esvaziar o reservatório até a metade da altura original A capacitância C do reservatório é de 2 m² Solução Quando o nível permanece estacionário o fluxo de entrada é igual ao fluxo de saída Assim a altura H0 do nível em t 0 é obtida da igualdade 0015 001 H0 ou H0 225 m A equação do sistema para t 0 é C dH Q dt ou dt dH C Q H 2 0 01 Então 0005 H dH dt Suponha que para t t1 H 1125 m Integrando ambos os lados da última equação obtemos 0005 H dH dt t 0 005 t 2 25 1 125 0 1 1 h Seguese que 2 2 0005 H t 2 1 125 2 25 2 25 1 125 1 ou t1 1757 Assim a altura do nível cai à metade do valor original 225 m em 1757 s A42 Considere o sistema de nível de líquido indicado na Figura 428 No sistema Q 1 e Q 2 são as taxas de regime permanente dos fluxos de entrada e H 1 e H 2 são as alturas dos níveis em regime permanente As grandezas qi1 qi2 h1 h2 q1 e qo são consideradas pequenas Obtenha a represen tação de espaço de estados para o sistema quando h1 e h2 são as saídas e qi1 e qi2 são as entradas Solução As equações para o sistema são C1 dh1 qi1 q1 dt 432 FIGURA 428 C1 C2 R1 R2 Q1 q1 Q2 qi2 Q1 qi1 Q1 Q2 qo H1 h1 H2 h2 Sistema de nível de líquido 126 Engenharia de controle moderno R h h q 1 1 2 1 433 C2 dh2 q1 qi2 qo dt 434 R h qo 2 2 435 Eliminando q1 da Equação 432 usando a Equação 433 resulta em dt dh C q R h h 1 i 1 1 1 1 1 2 c m 436 Eliminando q1 e qo na Equação 434 com o auxílio das equações 433 e 435 temos dt dh C R h h q R h 1 i 2 2 1 1 2 2 2 2 c m 437 Defina as variáveis de estado x1 e x2 como x1 h1 x2 h2 as variáveis de entrada u1 e u2 como u1 qi1 u2 qi2 e as variáveis de saída y1 e y2 como y1 h1 x1 y2 h2 x2 Então as equações 436 e 437 podem ser escritas como x R C x R C x C u x R C x R C R C x C u 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 o o e o Sob a representação vetorialmatricial padrão temos x x R C R C R C R C R C x x C C u u 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 o o e o R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW H G G que é a equação de estado e y y x x 1 0 0 1 1 2 1 2 G G G que é a equação de saída A43 O valor da constante de gás de qualquer gás pode ser determinado por meio de uma cuidadosa observação dos valores simultâneos de p y e T Obtenha a constante de gás Rar para o ar Note que a 0 C 273 K e 1013105 Pa o volume específico do ar é 0774 m³kg Então obtenha a capacitância de um recipiente de pressão de 0566 m³ que contém ar a 71 C 344 K Suponha que o processo de expansão seja isotérmico Solução Rar T p 273 1 013 10 0 744 5 y 287 NmkgK 127 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos De acordo com a Equação 412 a capacitância de um recipiente de pressão de 0566 m³ é 10 C nR T V N m kg 1 287 344 0 566 5 73 ar 6 2 Note que em termos de unidades SI Rar é dado por Rar 287 Nmkg K A44 No sistema pneumático de pressão da Figura 429a suponha que para t 0 o sistema esteja em regime permanente e a pressão de todo o sistema seja P Suponha também que os dois foles sejam idênticos Em t 0 a pressão de entrada muda de P para P pi Em seguida as pressões nos foles 1 e 2 mudam de P para P p1 e de P para P p2 respectivamente A capacidade volu me de cada fole é 5 104 m³ e a diferença de pressão de operação Dp diferença entre pi e p1 ou diferença entre pi e p2 fica entre 05 105 Nm² e 05 105 Nm² A correspondente vazão em massa kgs nas válvulas é mostrada na Figura 429b Suponha que os foles se expandam ou se contraiam linearmente com as pressões do ar que agem sobre eles a constante elástica equivalente dos foles seja k 1 105 Nm e cada fole tenha área A 15 104 m² Definindo o deslocamento do ponto médio da haste que interliga os dois foles como x determi ne a função de transferência XsPi s Suponha que o processo de expansão seja isotérmico e que a temperatura de todo o sistema permaneça igual a 30 C Suponha também que o expoente politrópico n seja 1 Solução Tomando como referência a Seção 43 a função de transferência P1sPi s pode ser obtida como P s P s R C 1 1 i s 1 1 h h 438 Da mesma maneira a função de transferência P2sPi s é P s P s R C 1 1 i s 2 2 h h 439 A força que age no fole 1 na direção x é AP p1 e a força que age no fole 2 no sentido negativo da direção x é APP p2 A força resultante equilibra kx que é a força elástica equivalente às laterais corrugadas dos foles Ap1 p2 kx ou AP1s P2s kXs 440 FIGURA 429 Fole 1 Fole 2 Válvula 1 Válvula 2 a b x Área A C C q1 q2 R1 R2 P p1 P p2 P pi Válvula 2 Válvula 1 05 105 3 105 15 105 05 105 DpNm2 qkgs a Sistema pneumático de pressão b curvas de diferença de pressão versus vazão em massa 128 Engenharia de controle moderno Observando as equações 438 e 439 vemos que P s P s R Cs R Cs P s R Cs R Cs R Cs R Cs P s 1 1 1 1 1 1 i i 1 2 1 2 1 2 2 1 e h h o h h h h Substituindo essa última equação na Equação 440 e reescrevendoa a função de transferência XsPi s é obtida como P s X s k A R Cs R Cs R C R C s 1 1 i 1 2 2 1 h h h h h 441 Os valores numéricos das resistências médias R1 e R2 são kg s N m kg s N m R dq d p R dq d p 3 10 0 5 10 0 167 10 1 5 10 0 5 10 0 333 10 1 1 5 5 10 2 2 2 5 5 10 2 D D O valor numérico da capacitância C de cada fole é 575 10 N m kg C nR T V 1 287 273 30 5 10 ar 4 9 2 h onde Rar 28 Nmkg K Veja o Problema A43 Consequentemente R1C 0167 1010 575 109 960 s R2C 0333 1010 575 109 192 s Substituindo os valores numéricos de numéricos de A k R1C e R2C na Equação 441 obtemos P s X s s s s 9 6 1 19 2 1 1 44 10 i 7 h h h h A45 Desenhe um diagrama de blocos do controlador pneumático indicado na Figura 430 Em seguida deduza a função de transferência desse controlador Suponha que Rd Ri Suponha também que os dois foles sejam idênticos Se a resistência Rd for removida substituída por um tubo do mesmo diâmetro da linha que ação de controle obteremos Se a resistência Ri for removida substituída por um tubo do mesmo diâmetro da linha que ação de controle obteremos FIGURA 430 e a b C C X x Pc pI Pc pII Ps I II Ri Rd Pc pc y Diagrama esquemático de um controlador pneumático 129 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Solução Vamos supor que quando e 0 a distância entre o bocal e a palheta seja X e a pressão de controle seja igual a P c Na presente análise vamos supor pequenos desvios dos respectivos valores de referência como segue e pequeno sinal de erro x pequena variação da distância bocalpalheta pc pequena variação no controle de pressão pI pequena variação de pressão no fole I causada por uma pequena variação na pressão de controle pII pequena variação de pressão no fole II causada por uma pequena variação na pressão de controle y pequeno deslocamento na extremidade inferior da palheta Nesse controlador pc é transmitida ao fole I por meio da resistência Rd Da mesma maneira pc é transmitida ao fole II por meio das resistências em série Rd e Ri A relação entre pI e pc é P s P s R Cs T s 1 1 1 1 c I d d h h onde Td Rd C tempo derivativo Do mesmo modo pII e pI estão relacionadas pela função de transferência P s P s R Cs Ts 1 1 1 1 I II i i h h onde Ti RiC tempo integrativo A equação de balanceamento de forças para os dois foles é pI pIIA ks y onde ks é a rigidez dos dois foles conectados e A é a área de secção transversal dos foles A relação entre as variáveis e x e y é x a b b e a b a y A relação entre pc e x é pc Kx K 0 A partir das equações deduzidas podese desenhar o diagrama de blocos do controlador como mostra a Figura 431a A simplificação desse diagrama de blocos resulta na Figura 431b A função de transferência entre Pcs e Es é E s P s K a b a k A Ts Ts T s a b b K 1 1 1 1 c s i i d e e h h o o Na prática um controlador sob condições normais de operação kaATisa bksTis 1Tds 1 é muito maior que a unidade e Ti Td Portanto a função de transferência pode ser simpli ficada como segue E s P s aATs bk Ts Ts aA bk T T T Ts T s k Ts T s 1 1 1 1 1 c i s i i s i i d i d p i d Z Z e e h h h h o o 130 Engenharia de controle moderno onde K aA bk p s Assim o controlador mostrado na Figura 430 é do tipo proporcionalintegralderivativo Se a resistência Rd for removida ou Rd 0 a ação de controle se tornará a de um controlador proporcionalintegral Se a resistência Ri for removida ou Ri 0 a ação se tornará a de um controlador proporcional de banda estreita ou de duas posições Note que as ações dos dois foles de realimentação cancelam uma à outra e não há realimentação A46 Em virtude da tolerância de fabricação as válvulas de carretel reais são tanto sobrepostas como subpostas Considere as válvulas de carretel sobreposta e subposta mostradas nas figuras 432a e b Esboce as curvas relacionando a área A descoberta da porta versus o deslocamento x FIGURA 431 Es Xs Pcs K a a b b a b A ks PIs PIIs 1 Td s 1 1 Ti s 1 a b K b a b Pcs Es Xs aATi s a b ksTi s 1 Td s 1 a Diagrama de blocos de controlador pneumático mostrado na Figura 430 b diagrama de blocos simplificado FIGURA 432 x0 2 x0 2 x0 2 x0 2 x x a b Alta pressão Baixa pressão Alta pressão Baixa pressão a Válvula de carretel sobreposta b válvula de carretel subposta 131 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Solução Para a válvula sobreposta existe uma zona morta entre 2 1 x0 e 2 1 x0 ou 2 1 x0 x 2 1 x0 A curva da área A descoberta da porta versus o deslocamento x está indicada na Figura 433a Essa válvula sobreposta é imprópria como válvula de controle Para a válvula subposta a curva da área A da porta versus o deslocamento x está indicada na Figura 433b A curva efetiva para a região subposta tem uma inclinação maior o que indica maior sensibilidade As válvulas utilizadas para controle normalmente são subpostas A47 A Figura 434 mostra um controlador hidráulico com bocal de jato O fluido hidráulico é ejetado do bocal de jato Se este for movido da posição neutra para a direita o êmbolo se moverá para a esquerda e viceversa A válvula do tipo bocal de jato não é tão utilizada quanto a válvula do tipo bocalpalheta em razão do maior fluxo nulo resposta lenta e outras características de imprevisi bilidade Sua principal vantagem consiste na insensibilidade a líquidos poluídos Suponha que o êmbolo esteja conectado a uma carga leve de modo que a força de inércia do ele mento de carga seja desprezível quando comparada à força hidráulica desenvolvida pelo êmbolo Que tipo de ação de controle esse controlador produz FIGURA 434 Óleo sob pressão A y x Controlador hidráulico com bocal de jato FIGURA 433 a b Área efetiva Área exposta à alta pressão Área exposta à baixa pressão A x x0 2 A x x0 2 a Curva da área A descoberta da porta versus o deslocamento x para a válvula sobreposta b curva da área A descoberta da porta versus o deslocamento x para uma válvula subposta 132 Engenharia de controle moderno Solução Defina o deslocamento do bocal de jato a partir da posição neutra como x e o deslocamento do êmbolo como y Se o bocal de jato for movido para a direita em um pequeno deslocamento x o óleo fluirá para o lado direito do êmbolo e o óleo existente do lado esquerdo do êmbolo retornará ao dreno O óleo que flui para dentro do cilindro está sob alta pressão o óleo que flui do cilindro de potência para o dreno está sob baixa pressão A diferença de pressão resultante causa o movimento do êmbolo para a esquerda Para um pequeno deslocamento do bocal de jato x a vazão q para o cilindro de potência é pro porcional a x ou seja q K1x Para o cilindro de potência At dy q dt onde A é a área do êmbolo e t é a densidade do óleo Então dt dy A q A K x Kx 1 t t onde K K1At constante A função de transferência YsXs é então X s Y s s K h h O controlador produz uma ação de controle integral A48 Explique a operação do sistema de controle de velocidade mostrado na Figura 435 Solução Se a velocidade da máquina aumenta a luva do regulador de esferas é movida para cima Esse movimento age como a entrada do controlador hidráulico Um sinal de erro positivo o movimento da luva para cima faz que o êmbolo se mova para baixo reduza a abertura da válvula de combustível e diminua a velocidade da máquina Um diagrama de blocos do sistema está indicado na Figura 436 FIGURA 435 Motor Óleo sob pressão k b z e y a1 a2 w Sistema de controle de velocidade 133 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos A função de transferência YsEs pode ser obtida a partir do diagrama de blocos como E s Y s a a a a a a bs k bs s K s K 1 1 2 2 1 2 1 h h Sendo válida a seguinte condição 1 a a a bs k bs s K 1 2 1 a função de transferência YsEs tornase E s Y s a a a a a a bs bs k a a bs k 1 1 2 2 1 1 2 1 2 Z c h h m O controlador de velocidade tem uma ação de controle proporcionalintegral A49 Obtenha a função de transferência ZsYs do sistema hidráulico da Figura 437 Suponha que os dois amortecedores hidráulicos do sistema sejam idênticos exceto pelos eixos dos êmbolos Solução Na dedução das equações do sistema vamos supor que a força F seja aplicada na extre midade direita do eixo causando o deslocamento y Todos os deslocamentos y w e z são medidos a partir das respectivas posições de equilíbrio quando nenhuma força é aplicada na extremidade direita do eixo Quando a força F é aplicada a pressão P1 tornase maior que a pressão P1 ou P1 P1 Da mesma maneira P2 P2 A equação de balanço de forças é a seguinte k2y w AP1 P1 AP2 P2 442 Como k1z AP1 P1 443 e q R P P 1 1 1 l temos k1z ARq1 FIGURA 437 R F R k2 k1 P1 q1 Área A z q2 w w y P2 P2 P1 Sistema hidráulico FIGURA 436 Es Ys Zs a2 a1 a2 K s a1 a1 a2 bs bs k Diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade mostrado na Figura 435 134 Engenharia de controle moderno Além disso como q1 dt Adw dzt temos q1 Aẇ żt ou w z A R k z 2 1 t o o Defina A²Rt B B é o coeficiente de atrito viscoso Então w z B k z 1 o o 444 Além disso para o lado direito do amortecedor temos q2 dt At dw Como q2 P2 P2R obtemos w A q A R A P P 2 2 2 2 t t l o h ou AP2 P2 Bẇ 445 Substituindo as equações 443 e 445 na Equação 442 temos k2 y k2w k1z Bẇ Transformando essa última equação por Laplace e supondo condições iniciais nulas obtemos k2Ys k2 BsWs k1Zs 446 Tomando a transformada de Laplace da Equação 444 e supondo condições iniciais nulas temos W s Bs k Bs Z s 1 h h 447 Utilizando a Equação 447 para eliminar Ws da Equação 446 obtemos k Y s k Bs Bs k Bs Z s k Z s 2 2 1 1 h h h h a partir da qual chegamos à função de transferência ZsYs como Y s Z s Bs k k s B k k k s 2 2 1 2 1 2 2 h h h Multiplicando numerador e denominador dessa última equação por Bk1k2 obtemos Y s Z s k k B s k B k B s k B s 2 1 1 2 2 2 2 1 1 e h h o Definindo Bk1 T1 Bk2 T2 Então a função de transferência ZsYs tornase Y s Z s T T s T T s T s 2 1 1 2 2 1 2 1 h h h A410 Considerando pequenos desvios em relação ao ponto de operação em regime permanente desenhe um diagrama de blocos do sistema de aquecimento de ar mostrado na Figura 438 Suponha que 135 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos a perda de calor para o meio ambiente e a capacitância térmica das partes de metal do aquecedor sejam desprezíveis Solução Vamos definir H i temperatura do ar de entrada em regime permanente C H o temperatura do ar de saída em regime permanente C G vazão em massa do ar na câmara de aquecimento kgs M massa de ar contido na câmara de aquecimento kg c calor específico do ar kcalkg C R resistência térmica C skcal C capacitância térmica do ar contido na câmara de aquecimento Mc kcal C H entrada de calor em regime estacionário kcals Vamos supor que a entrada de calor seja alterada de H para H h e a temperatura do ar de entrada seja bruscamente alterada de H i para H i ii Então a temperatura do ar de saída vai variar de H o para H o io A equação que descreve o comportamento do sistema é C dio h Gcii io dt ou C dt d h Gc o i o i i i h Notando que Gc R 1 obtemos C dt d h R 1 o i o i i i h ou RC dt d Rh o o i i i i Tomando as transformadas de Laplace de ambos os lados dessa última equação e substituindo a condição inicial em que i00 0 obtemos s RCs R H s RCs s 1 1 1 o i H H h h h O diagrama de blocos correspondente do sistema para essa equação é mostrado na Figura 439 FIGURA 438 H h Aquecedor Hi ii Ho io Sistema de aquecimento de ar 136 Engenharia de controle moderno A411 Considere o sistema formado pelo termômetro de mercúrio com parede fina de vidro da Figura 440 Suponha que o termômetro esteja a uma temperatura uniforme H temperatura ambiente e em t 0 ele seja imerso em um banho cuja temperatura seja H ib onde ib é a temperatura do banho que pode ser constante ou variável medida a partir da temperatura ambiente H Defina a temperatura instantânea do termômetro como H i de modo que i seja a variação da tempera tura do termômetro que satisfaz a condição i0 0 Obtenha um modelo matemático para esse sistema Obtenha também o análogo elétrico do sistema do termômetro Solução Um modelo matemático para esse sistema pode ser deduzido considerando o balancea mento térmico da seguinte maneira o calor de entrada do termômetro durante dt s é q dt onde q é o fluxo de calor de entrada no termômetro Esse calor é armazenado na capacitância térmica C do termômetro elevando desse modo a temperatura em di Assim a equação de balanço de calor é C di q dt 448 Como a resistência térmica R pode ser escrita como R dq d q i i D D h o fluxo de calor q pode ser dado em termos da resistência térmica R como q R R b b i i i i H H h h onde H ib é a temperatura do banho e H i é a temperatura do termômetro Então podemos reescrever a Equação 448 como C dt d R b i i i ou RC dt d b i i i 449 A Equação 449 é um modelo matemático do sistema do termômetro FIGURA 439 Hs 1 RCs 1 R RCs 1 His Hos Diagrama de blocos do sistema de aquecimento mostrado na Figura 438 FIGURA 440 Termômetro Banho H i H ib Sistema de termômetro de mercúrio com parede fina de vidro 137 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Com referência à Equação 449 um análogo elétrico para o sistema do termômetro pode ser descrito como RC dt de e e o o i Um circuito elétrico representado por essa última equação é mostrado na Figura 441 Problemas B41 Considere o sistema constituído pelo reservatório de água cônico da Figura 442 A vazão pela válvula é turbulenta e está relacionada com a altura do nível H por Q 0005 H onde Q é a vazão medida em m³s e H em metros Suponha que a altura do nível seja de 2 m em t 0 Qual será a altura do nível em t 60 s B42 Considere o sistema de controle de nível de líquido exposto na Figura 443 O controlador é do tipo proporcional O valor de referência do controlador é fixo Desenhe o diagrama de blocos desse sistema presumindo que as alterações nas variáveis sejam pequenas Obtenha a função de transferência entre o nível do segundo tanque e o distúrbio de entrada qd Obtenha o erro de estado permanente quando o distúrbio qd é uma função de degrau unitário FIGURA 442 2 m 3 m 2 m H r Sistema de reservatório de água cônico FIGURA 441 R C eo ei Análogo elétrico do sistema do termômetro mostrado na Figura 440 138 Engenharia de controle moderno B43 Para o sistema pneumático mostrado na Figura 444 suponha que os valores da pressão do ar e do deslocamento do fole em regime permanente sejam P e X respectivamente Suponha também que a pressão de entrada seja alterada de P para P pi onde pi é uma pequena variação na pres são de entrada Essa variação causará uma alteração no deslocamento do fole em uma pequena quantidade x Presumindo que a capacitância do fole seja C e que a resistência da válvula seja R obtenha a função de transferência relacionando x e pi B44 A Figura 445 mostra um controlador pneumático O relé pneumático tem como característica pc Kpb onde K 0 Que tipo de ação de controle esse controlador produz Obtenha a função de transferência PcsEs FIGURA 443 C2 R1 C1 h2 R2 Q qi qd Q q0 H Controlador proporcional Sistema de controle de nível líquido FIGURA 444 R C A X x P po P pi k Sistema pneumático 139 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos B45 Considere o controlador pneumático na Figura 446 Supondo que o relé pneumático tenha como característica pc Kpb onde K 0 determine qual a ação de controle desse controlador A entrada do controlador é e e a saída é pc B46 A Figura 447 mostra um controlador pneumático O sinal e é a entrada e a alteração na pressão de controle pc é a saída Obtenha a função de transferência PcsEs Presuma que o relé pneu mático tem como característica pc Kpb onde K 0 FIGURA 446 Sinal de erro atuante Palheta Bocal e a b X x R I k Orifício Ps Pb pb Pc pc Controlador pneumático FIGURA 445 k Orifício Sinal de erro atuante Palheta Bocal Ps e a b Pb pb X x Y y Pc pc Controlador pneumático 140 Engenharia de controle moderno B47 Considere o controlador pneumático da Figura 448 Que ação de controle esse controlador pro duz Suponha que o relé pneumático tenha como característica pc Kpb onde K 0 B48 A Figura 449 mostra uma válvula de palheta Ela está colocada entre dois bocais em oposição Se a palheta for deslocada ligeiramente para a direita ocorrerá um desequilíbrio de pressão nos bocais e o êmbolo se moverá para a esquerda e viceversa Esse dispositivo é frequentemente utilizado em servossistemas hidráulicos como válvula de primeiro estágio de servoválvulas de dois estágios Esse uso ocorre porque podem ser necessárias forças consideráveis para mover o carretel de grandes válvulas que resulta da força do fluxo contínuo Para reduzir ou compensar FIGURA 448 e a b k X x R2 I II R1 Ps Pb pb Pc pc Sinal de erro atuante Palheta Bocal Orifício Controlador pneumático FIGURA 447 Sinal de erro atuante Palheta Bocal e a b k X x R I II Orifício Ps Pb pb Pc pc Controlador pneumático 141 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos essa força é empregada frequentemente uma configuração de válvulas em dois estágios uma válvula de palheta ou de bocal de jato é utilizada como válvula de primeiro estágio capaz de produzir a força necessária para acionar uma válvula de carretel de segundo estágio A Figura 450 exibe um diagrama esquemático de um servomotor hidráulico no qual o sinal de erro é amplificado em dois estágios com a utilização de um bocal transferência e uma válvula piloto Esquematize o diagrama de blocos do sistema da Figura 450 e determine a função entre x e y onde x é a pressão do ar e y é o deslocamento do êmbolo B49 A Figura 451 é um diagrama esquemático de um sistema de controle do leme do profundor de uma aeronave O sinal de entrada do sistema é o ângulo i de deflexão da alavanca de controle e o sinal de saída é o ângulo de elevação z Suponha que os ângulos i e z sejam relativamente pequenos Mostre que para cada valor do ângulo i da alavanca de controle existe um valor de regime permanente do ângulo de elevação do leme do profundor z FIGURA 450 x y Óleo sob pressão Óleo sob pressão Diagrama esquemático de um servomotor hidráulico FIGURA 449 y Palheta x Válvula de palheta 142 Engenharia de controle moderno B410 Considere o sistema de controle de nível de líquido mostrado na Figura 452 A válvula de entrada é controlada por um controlador hidráulico de ação integral Suponha que a vazão de entrada em regime permanente seja Q e a de saída em regime permanente também seja Q a altura do nível em regime permanente seja H o deslocamento da válvula piloto em regime permanente seja X 0 e a posição da válvula em regime permanente seja Y Vamos supor que o ponto fixo R corresponda ao nível H em estado permanente O ponto de referência permanece fixo Suponha ainda que a vazão de entrada do distúrbio qd que é de pequeno valor seja aplicada ao reserva tório de água em t 0 Esse distúrbio causa a mudança da altura do nível de H para H h Essa alteração resulta em uma variação da vazão de saída de qo Por meio do controlador hidráulico a mudança da altura do nível causa uma mudança da vazão de entrada de Q para Q qi O con trolador integral tende a manter a altura do nível constante na medida do possível na presença do distúrbio Considere que todas as variações sejam pequenas FIGURA 452 C Capacitância R Resistência a b h Y y qd Q qi H h Q qo x Sistema de controle de nível de líquido FIGURA 451 i z l a b Óleo sob pressão Sistema de controle do leme do profundor de uma aeronave 143 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Vamos supor que a velocidade do êmbolo válvula seja proporcional ao deslocamento da válvula piloto x ou dt dy K x 1 onde K1 é uma constante positiva Também consideraremos que a variação na vazão de entrada qi é negativamente proporcional à variação da abertura y da válvula ou qi Ky y onde Ky é uma constante positiva Vamos supor os seguintes valores numéricos para o sistema C 2 m² R 05 sm² Ky 1 m²s a 025 m b 075 m K1 4 s1 obtenha a função de transferência HsQd s B411 Considere o controlador da Figura 453 O sinal de entrada é a pressão de ar pi medida a partir de alguma pressão de referência em regime permanente P e o sinal de saída é o deslocamento y do êmbolo Obtenha a função de transferência YsPi s B412 Um termopar tem uma constante de tempo de 2 s Um poço térmico possui uma constante de tempo de 30 s Quando o termopar é inserido no poço esse dispositivo de medição de temperatura pode ser considerado um sistema de duas capacitâncias Determine as constantes de tempo do sistema combinado termoparpoço térmico Suponha que o peso do termopar seja de 8 g e que o peso do poço térmico seja de 40 g Suponha também que os calores específicos do termopar e do poço térmico sejam os mesmos FIGURA 453 a a b b Ar pi Entrada y Saída x k Fole Controlador 144 Engenharia de controle moderno Análise de resposta transitória e de regime estacionário 5 C A P Í T U L O 51 Introdução Em capítulos anteriores foi dito que o primeiro passo para a análise de um sistema de controle é a obtenção de um modelo matemático do sistema Uma vez obtido esse modelo é possível analisar o desempenho do sistema a partir dos vários métodos disponíveis Na prática o sinal de entrada de um sistema de controle não é conhecido previamente ele é de caráter aleatório e seus valores instantâneos não podem ser expressos de maneira analítica Somente em alguns casos especiais o sinal de entrada é conhecido antecipadamente e pode ser expresso de maneira analítica ou por meio de curvas como no caso do controle automático das máquinasferramentas Na análise e no projeto de sistemas de controle devemos ter uma base de comparação do desempenho de vários sistemas de controle Essa base pode ser estabelecida detalhandose sinais de entrada de teste específicos e em seguida comparandose as respostas dos vários sistemas com esses sinais Muitos dos critérios de projeto têm como base as respostas a esses sinais ou a resposta dos sistemas às mudanças das condições iniciais sem qualquer sinal de teste O uso de sinais de teste pode ser justificado em virtude da correlação existente entre as características das respostas de um sistema a um sinal de entrada típico de teste e a capacidade de o sistema responder aos sinais de entrada reais Sinais típicos de testes Os sinais de entrada de teste geralmente utilizados são as funções degrau rampa parábola de aceleração impulso senoidais e ruído branco Neste capítulo usa mos sinais de teste como degrau rampa parábola de aceleração e impulso Com esses sinais de teste tanto a análise experimental como a análise matemática dos sistemas de controle podem ser obtidas facilmente uma vez que esses sinais são funções de tempo muito simples Podese determinar quais desses sinais típicos de entrada devem ser utilizados na análise das características do sistema pelo comportamento da entrada a que o sistema será submetido com maior frequência sob condições normais de operação Se as entradas de um sistema de controle são funções de tempo que variam gradualmente então a rampa em função do tempo pode ser um bom sinal de teste Da mesma maneira se um sistema estiver sujeito a variações bruscas de entrada a função degrau poderá ser um bom sinal de teste Da mesma forma se o sistema estiver sujeito a entradas de impacto uma função impulso poderá ser a melhor opção Uma vez projetado o sistema de controle com base nos sinais de teste o desempenho do sis tema em resposta a entradas reais geralmente é satisfatório O uso desses sinais possibilita a comparação do desempenho de vários sistemas em relação à mesma base Resposta transitória e resposta estacionária A resposta temporal de um sistema de controle consiste em duas partes a resposta transitória e a resposta estacionária Por resposta transitória entendese aquela que vai do estado inicial ao estado final Por resposta estacionária entendemos o comportamento do sinal de saída do sistema na medida em que t tende ao infinito Assim a resposta ct do sistema pode ser escrita como ct ctrt csst onde o primeiro termo do lado direito da equação é a resposta transitória e o segundo é a resposta estacionária Estabilidade absoluta estabilidade relativa e erro estacionário No projeto de um sistema de controle deve ser possível prever seu comportamento dinâmico a partir do conhe cimento de seus componentes A característica mais importante do comportamento dinâmico do sistema de controle é a estabilidade absoluta isto é se o sistema é estável ou instável Um sistema de controle está em equilíbrio se na ausência de qualquer distúrbio ou sinal de entrada a saída permanece no mesmo estado Um sistema de controle linear e invariante no tempo é estável se a saída sempre retorna ao estado de equilíbrio quando o sistema é submetido a uma condição inicial Um sistema de controle linear e invariante no tempo é criticamente estável se as oscilações do sinal de saída se repetirem de maneira contínua É instável se a saída divergir sem limites a partir do estado de equilíbrio quando o sistema for sujeito a uma condição inicial Nos casos reais o sinal de saída de um sistema físico pode aumentar até certo valor mas pode ser limitado por fins de curso mecânicos ou o sistema pode se romper ou se tornar não linear após o sinal de saída ultrapassar certa amplitude e desse modo as equações diferenciais do modelo não terão mais validade Outros comportamentos importantes do sistema além da estabilidade absoluta com os quais se deve ter uma consideração especial são a estabilidade relativa e o erro estacionário Como um sistema físico de controle contém energia armazenada a saída do sistema quando este é subme tido a um sinal de entrada não pode seguir a entrada imediatamente mas apresenta uma resposta transitória antes que um regime permanente seja obtido A resposta transitória de um sistema de controle prático frequentemente apresenta oscilações amortecidas antes de atingir o estado permanente Se o sinal de saída de um sistema em regime permanente não coincidir exatamente com a entrada dizse que o sistema apresenta um erro estacionário Esse erro é indicativo da precisão do sistema Na análise de um sistema de controle devese examinar o comportamento da resposta transitória e do estado estacionário Visão geral do capítulo Este capítulo trata das respostas do sistema aos sinais aperiódicos como degrau rampa aceleração e impulso em função do tempo Eis o resumo do capítulo a Seção 51 apresenta a matéria introdutória do capítulo A Seção 52 trata da resposta dos sistemas de primeira ordem a entradas aperiódicas A Seção 53 apresenta a resposta transitória de sistemas de segunda ordem São estudadas análises detalhadas das respostas dos sistemas de segunda ordem a excitações em degrau rampa e impulso A Seção 54 discute a análise da resposta tran sitória de sistemas de ordem superior A Seção 55 apresenta uma introdução à abordagem do MATLAB na solução de problemas de resposta transitória A Seção 56 fornece um exemplo de um problema de resposta transitória resolvido com o MATLAB A Seção 57 apresenta o critério de estabilidade de Routh A Seção 58 discute os efeitos das ações de controle integral e deriva tiva no desempenho dos sistemas Por fim a Seção 59 trata de erros estacionários e sistemas de controle com realimentação unitária 146 Engenharia de controle moderno 52 Sistemas de primeira ordem Considere o sistema de primeira ordem mostrado na Figura 51a Fisicamente esse sistema pode representar um circuito RC um sistema térmico ou algo semelhante A Figura 51b traz um diagrama de blocos simplificado A relação entradasaída é dada por R s C s Ts 1 1 h h 51 A seguir analisaremos as respostas do sistema a entradas como as funções degrau unitário rampa unitária e impulso unitário As condições iniciais são consideradas nulas Note que todos os sistemas que têm a mesma função de transferência apresentarão a mesma saída em resposta ao mesmo impulso Para determinado sistema físico pode ser dada uma inter pretação física à resposta matemática Resposta ao degrau unitário do sistema de primeira ordem Como a transformada de Laplace da função degrau unitário é 1s substituindo Rs 1s na Equação 51 obtemos C s Ts s s 1 1 1 h Expandindo Cs em frações parciais temos C s s Ts T s s T 1 1 1 1 1 h h 52 Considerando a transformada inversa de Laplace da Equação 52 obtemos ct 1 etT para t 0 53 A Equação 53 estabelece que inicialmente a resposta ct é zero e no fim tornase unitária Uma característica importante de uma curva de resposta exponencial ct é que em t T o valor de ct é 0632 ou a resposta ct alcançou 632 de sua variação total Isso pode ser facilmente comprovado substituindose t T em ct Ou seja cT 1 e 1 0632 Note que quanto menor a constante de tempo T mais rapidamente o sistema responde Outra característica importante da curva exponencial de resposta é que a inclinação da linha tangente em t 0 é 1T uma vez que dt dc T e T 1 1 t t T t 0 0 54 A saída alcançaria o valor final em t T se fosse mantida a velocidade inicial de resposta A partir da Equação 54 vemos que a inclinação da curva de resposta ct decresce monotonicamente de 1T em t 0 a zero em t A curva exponencial de resposta ct dada pela Equação 53 é mostrada na Figura 52 Em uma constante de tempo a curva da resposta exponencial vai de 0 a 632 do valor final Em duas constantes de tempo a resposta atinge 865 da resposta final Para t 3T 4T e 5T a resposta alcança 95 982 e 993 respectivamente da resposta final Assim para t 4T a resposta se mantém a 2 do valor final Como se vê na Equação 53 o estado permanente é alcançado mate maticamente apenas depois de um tempo infinito Na prática entretanto é razoável que o tempo FIGURA 51 Rs Es Cs Rs Cs a b 1 Ts 1 Ts 1 a Diagrama de blocos de um sistema de primeira ordem b diagrama de blocos simplificado 147 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário estimado de resposta seja o intervalo de tempo necessário para a curva alcançar e permanecer a 2 da linha do valor final ou quatro constantes de tempo Resposta à rampa unitária de sistemas de primeira ordem Como a transformada de Laplace da rampa unitária é 1s2 obtemos a saída do sistema da Figura 51a como C s Ts s 1 1 1 2 h Expandindo Cs em frações parciais temos C s s s T Ts T 1 1 2 2 h 55 Considerando a transformada inversa de Laplace da Equação 55 obtemos ct t T TetT para t 0 56 Então o sinal de erro et é et rt ct T1 etT Conforme t tende ao infinito etT se aproxima de zero e assim o sinal de erro et se aproxima de T ou e T A Figura 53 mostra a rampa unitária de entrada e a resposta do sistema O erro do sistema para seguir a rampa unitária como sinal de entrada é igual a T para t suficientemente grande Quanto menor a constante de tempo T menor o erro estacionário ao seguir a entrada em rampa Resposta ao impulso unitário de sistemas de primeira ordem Para o impulso unitário de entrada Rs 1 e a resposta do sistema da Figura 51a pode ser obtida como C s Ts 1 1 h 57 A transformada inversa de Laplace da Equação 57 resulta em 0 c t T e t 1 para t T h 58 A curva de resposta dada pela Equação 58 é mostrada na Figura 54 Uma propriedade importante de sistemas lineares invariantes no tempo Na análise anterior mostrouse que para a entrada em rampa unitária a saída ct é ct t T TetT para t 0 Veja a Equação 56 FIGURA 52 ct 1 0 0632 A B T 2T 3T 4T 5T t Inclinação 1 T ct 1 e t T 632 865 95 982 993 Curva exponencial de resposta 148 Engenharia de controle moderno Para a entrada em degrau unitário que é a derivada da entrada em rampa unitária a saída ct é ct 1 etT para t 0 Veja a Equação 53 Por fim para a entrada em impulso unitário que é a derivada da entrada em degrau unitário a saída ct é 0 c t T e t 1 para t T h Veja a Equação 58 A comparação das respostas do sistema com essas três entradas indica claramente que a resposta à derivada de um sinal de entrada pode ser obtida diferenciandose a resposta do sistema para o sinal original Podese ver também que a resposta à integral do sinal original pode ser obtida pela integração da resposta do sistema ao sinal original e pela determinação da constante de integração a partir da condição inicial de resposta nula Esta é uma propriedade dos sistemas lineares invariantes no tempo Os sistemas lineares variantes no tempo e sistemas não lineares não possuem essa propriedade 53 Sistemas de segunda ordem Nesta seção obteremos a resposta do sistema de controle típico de segunda ordem às entra das em degrau rampa e impulso Aqui consideraremos um servossistema como um exemplo de sistema de segunda ordem FIGURA 54 ct 0 2T T 4T 3T t 1 T ct e t T 1 T Resposta ao impulso unitário do sistema exposto na Figura 51a FIGURA 53 rt ct 6T 4T 2T 0 2T 4T 6T t T T rt t ct Erro de estado permanente Resposta de rampa unitária do sistema mostrado na Figura 51a 149 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Servossistema A Figura 55a mostra um servossistema constituído por um controlador pro porcional e elementos de carga elementos de inércia e de atrito viscoso Suponha que se deseje controlar a posição da saída c de acordo com a posição de entrada r A equação para os elementos de carga é Jc Bċ T onde T é o torque produzido pelo controlador proporcional cujo ganho é K Considerando as transformadas de Laplace de ambos os lados dessa última equação e supondo condições iniciais nulas obtemos Js2Cs BsCs Ts Então a função de transferência entre Cs e Ts é T s C s s Js B 1 h h h Pelo uso dessa função de transferência a Figura 55a pode ser redesenhada como na Figu ra 55b que pode ser modificada para o esquema mostrado na Figura 55c A função de transferência de malha fechada é então obtida como R s C s Js Bs K K s B J s K J K J 2 2 h h h h Esse sistema em que a função de transferência de malha fechada possui dois polos é chamado sistema de segunda ordem Alguns sistemas de segunda ordem podem conter um ou dois zeros Resposta ao degrau do sistema de segunda ordem A função de transferência de malha fechada do sistema mostrado na Figura 55c é R s C s Js Bs K K 2 h h 59 que pode ser reescrita como FIGURA 55 r K 1 sJs B e c T J B a Rs Rs Cs Cs Ts b K K sJs B c a Servossistema b diagrama de blocos c diagrama de blocos simplificado 150 Engenharia de controle moderno R s C s s J B J B J K s J B J B J K J K 2 2 2 2 2 2 c c h h m m G G Os polos de malha fechada são complexos conjugados se B2 4JK 0 e são reais se B2 4JK 0 Na análise da resposta transitória é conveniente escrever 2 2 J K J B n n 2 g v onde v é chamado atenuação n é a frequência natural não amortecida e ζ é o coeficiente de amortecimento do sistema O coeficiente de amortecimento ζ é a relação entre o amortecimento real B e o amortecimento crítico ou Bc 2 JK ou B B JK B 2 c g Em termos de ζ e n o sistema da Figura 55c pode ser modificado conforme mostra a Figu ra 56 e a função de transferência de malha fechada CsRs dada pela Equação 59 pode ser escrita como R s C s s s 2 n n n 2 2 2 g h h 510 Essa forma é chamada formapadrão do sistema de segunda ordem O comportamento dinâmico do sistema de segunda ordem pode ser descrito em termos de dois parâmetros ζ e n Se 0 ζ 1 os polos de malha fechada são complexos conjugados e se situam no semiplano esquerdo do plano s O sistema é então chamado subamortecido e a resposta transitória é oscilatória Se ζ 0 a resposta transitória não decai Se ζ 1 o sistema é denominado criticamente amortecido Os sistemas superamortecidos correspondem a ζ 1 Determinaremos agora a resposta do sistema mostrado na Figura 56 a uma entrada em degrau unitário Consideraremos três diferentes casos subamortecido 0 ζ 1 criticamente amortecido ζ 1 e superamortecido ζ 1 1 Sistema subamortecido 0 ζ 1 nesse caso CsRs pode ser escrito como R s C s s j s j n d n d n 2 g g h h h h onde d n 1 g2 A frequência d é chamada frequência natural amortecida do sistema Para uma entrada em degrau unitário Cs pode ser escrita como C s s s s 2 n n n 2 2 2 g h h 511 A transformada inversa de Laplace da Equação 511 pode ser obtida facilmente se Cs for escrita da seguinte maneira C s s s s s s s s s 1 2 2 1 n d n n d n n d n 2 2 2 2 2 2 g g g g g g h h h FIGURA 56 Rs Es Cs n ss 2ζn 2 Sistema de segunda ordem 151 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Consultando a tabela de transformadas de Laplace no Apêndice A podemos demonstrar que cos sen s s e t s e t n d n t d n d d t d 1 2 2 1 2 2 n n g g g g g h h G G Então a transformada inversa de Laplace da Equação 511 é obtida como cos sen tg C s c t e t t e t t 1 1 1 1 1 0 sen para t d d t d 1 2 2 1 2 n n g g g g g g g c c h h m m 6 512 A partir da Equação 512 podese ver que a frequência da oscilação transitória é a frequência natural amortecida do sistema d e assim varia de acordo com o coeficiente de amortecimento ζ O sinal de erro para esse sistema é a diferença entre a entrada e a saída e é cos sen e t r t c t e t t t 1 0 para t d d 2 n g g g c h h h m Esse sinal de erro apresenta uma oscilação senoidal amortecida Em regime permanente ou em t não existe erro entre a entrada e a saída Se o coeficiente de amortecimento ζ for igual a zero a resposta não será amortecida e as oscilações continuarão indefinidamente A resposta ct no caso de o amortecimento ser nulo pode ser obtida substituindo ζ 0 na Equação 512 o que resulta em ct 1 cos nt para t 0 513 Assim a partir da Equação 513 vemos que n representa a frequência natural do sistema sem amortecimento Isto é n é a frequência em que a resposta do sistema poderá oscilar se o amortecimento for reduzido a zero Se o sistema linear tiver algum amortecimento a frequência natural não amortecida do sistema não poderá ser observada experimentalmente A frequência que pode ser observada é a frequência natural amortecida d que é igual a n 1 g2 que é sempre menor que a frequência natural não amortecida Um aumento em ζ poderia reduzir a frequência natural amortecida d Se ζ for aumentado acima da unidade a resposta se tornará superamortecida e não oscilará 2 Sistema criticamente amortecido ζ 1 se os dois polos de CsRs forem iguais o sistema será dito criticamente amortecido Para uma entrada em degrau unitário Rs 1s e Cs podem ser escritas como C s s s n n 2 2 h h 514 A transformada inversa de Laplace da Equação 514 pode ser determinada como ct 1 ent1 nt para t 0 515 Esse resultado pode também ser obtido fazendose ζ se aproximar da unidade na Equação 512 e utilizando o seguinte limite lim sen lim sen t t t 1 1 1 d n n 1 2 1 2 2 g g g g g 3 Sistema superamortecido ζ 1 nesse caso os dois polos de CsRs são reais negativos e desiguais Para uma entrada em degrau unitário Rs 1s e Cs podem ser escritas como 152 Engenharia de controle moderno C s s s s 1 1 n n n n n 2 2 2 g g g g h h h 516 A transformada inversa de Laplace da Equação 516 é c t e e s e s e t 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 para t t n s t s t 2 2 1 2 2 1 2 1 2 n n 2 2 1 2 g g g g g g g g g g g c h h h m h h 517 onde s1 ζ 1 2 g n e s2 ζ 1 2 g n Assim a resposta ct inclui dois termos exponenciais decrescentes Quando ζ for de modo considerável maior que a unidade uma das duas exponenciais decrescentes decai mais rápido que a outra e assim o termo que decai mais rápido o que cor responde à menor constante de tempo pode ser desprezado Ou seja se s2 estiver situado muito mais próximo do eixo j que s1 que significa s2 s1 então para uma solução aproximada poderemos desprezar s1 Isso é permitido porque o efeito de s1 na resposta é muito menor que o de s2 já que o termo que contém s1 na Equação 517 decresce muito mais rapidamente que o termo que contém s2 Uma vez que o termo exponencial que decresce mais rapidamente tenha desaparecido a resposta será análoga à de um sistema de primeira ordem e CsRs poderá ser aproximada para R s C s s s s s 1 1 n n n n 2 2 2 2 g g g g h h Esse modo de aproximação é uma consequência direta do fato de que os valores iniciais e finais tanto de CsRs original como da aproximação são coincidentes Com a função de transferência de CsRs aproximada a resposta ao degrau unitário pode ser obtida como C s s 1 s 1 n n n n 2 2 g g g g h h A resposta no tempo ct é então igual a 1 0 c t e para t t 1 n 2 g g h h Isso fornece uma resposta aproximada ao degrau unitário quando um dos polos de CsRs puder ser desprezado A Figura 57 mostra uma família de curvas ct como resposta ao degrau unitário para diversos valores de ζ onde a abscissa é a variável adimensional nt As curvas são funções somente de ζ Essas curvas são obtidas a partir das equações 512 515 e 517 O sistema descrito por essas equações inicialmente estava em repouso Note que dois sistemas de segunda ordem que tenham o mesmo valor de ζ mas valores de n diferentes apresentam o mesmo sobressinal e o mesmo padrão oscilatório Dizse que esses sistemas têm a mesma estabilidade relativa A partir da Figura 57 vemos que um sistema subamortecido com ζ que varia entre 05 e 08 se aproxima mais rapidamente do valor final do que um sistema criticamente amortecido ou supe ramortecido Entre os sistemas que apresentam resposta sem oscilação um sistema criticamente amortecido é o que fornece a resposta mais rápida A resposta de um sistema superamortecido é sempre mais lenta qualquer que seja o sinal de entrada É importante notar que para sistemas de segunda ordem cujas funções de transferência de malha fechada sejam diferentes da que foi apresentada pela Equação 510 as curvas de resposta ao degrau podem parecer completamente diferentes das mostradas na Figura 57 153 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Definição das especificações da resposta transitória Com frequência as características de desempenho de um sistema de controle são especificadas em termos de resposta transitória a uma entrada em degrau unitário já que se trata de entrada suficientemente brusca e gerada com facilidade Quando a resposta a uma entrada em degrau é conhecida é possível calcular matematicamente a resposta a qualquer tipo de sinal de entrada A resposta transitória de um sistema a uma entrada em degrau unitário depende das condições iniciais Por conveniência na comparação entre as respostas transitórias de vários sistemas é uma prática comum utilizar uma condição inicial padrão que é a do sistema inicialmente em repouso com o valor da variável de saída e todas as suas derivadas em função do tempo iguais a zero Assim as características de resposta dos vários sistemas poderão ser facilmente comparadas Na prática antes de atingir o regime permanente a resposta transitória de um sistema de controle apresenta frequentemente oscilações amortecidas Na especificação das características das respostas transitórias de um sistema de controle a uma entrada em degrau unitário é comum especificar o seguinte 1 Tempo de atraso td 2 Tempo de subida tr 3 Tempo de pico tp 4 Máximo sobressinal ou apenas sobressinal Mp 5 Tempo de acomodação ts Essas especificações são definidas a seguir e são mostradas graficamente na Figura 58 1 Tempo de atraso td tratase do tempo requerido para que a resposta alcance metade de seu valor final pela primeira vez 2 Tempo de subida tr é o tempo requerido para que a resposta passe de 10 a 90 ou de 5 a 95 ou de 0 a 100 do valor final Para sistemas de segunda ordem subamor tecidos o tempo de subida de 0 a 100 é o normalmente utilizado Para os sistemas superamortecidos o tempo de subida de 10 a 90 é o mais comumente utilizado 3 Tempo de pico tp é o tempo para que a resposta atinja o primeiro pico de sobressinal 4 Máximo sobressinal em porcentagem Mp é o valor máximo de pico da curva de resposta medido a partir da unidade Se o valor final da resposta em regime permanente diferir da unidade então é comum utilizar porcentagem máxima de sobressinal definida por Porcentagem máxima de sobressinal 100 c c t c p 3 3 h h h FIGURA 57 20 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 08 nt ct ζ 0 01 02 03 04 05 06 07 10 20 Curva de resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Figura 56 154 Engenharia de controle moderno O valor máximo em porcentagem do sobressinal indica diretamente a estabilidade relativa do sistema 5 Tempo de acomodação ts é o tempo necessário para que a curva de resposta alcance valores em uma faixa geralmente de 2 ou 5 em torno do valor final aí permane cendo indefinidamente O tempo de acomodação está relacionado à maior constante de tempo do sistema de controle Podese determinar qual porcentagem deve ser utilizada no critério de erro a partir dos objetivos do projeto do sistema em questão As especificações no domínio de tempo dadas anteriormente são muito importantes porque a maioria dos sistemas de controle é sistema no domínio de tempo isto é devem fornecer respostas temporais aceitáveis Isso quer dizer que o sistema de controle deve ser modificado até que a resposta transitória seja satisfatória Observe que nem todas essas especificações se aplicam necessariamente a todos os casos dados Por exemplo para um sistema superamortecido os termos tempo de pico e máximo sobres sinal não se aplicam No caso dos sistemas que resultam em erros estacionários para entradas em degrau esse erro deve ser conservado em um nível de porcentagem específico Discussões detalhadas sobre erros estacionários serão apresentadas posteriormente na Seção 58 Alguns comentários sobre as especificações da resposta transitória Exceto para certas apli cações nas quais as oscilações não podem ser toleradas é desejável que a resposta transitória seja suficientemente rápida e amortecida Assim para uma resposta transitória desejável de um sistema de segunda ordem o coeficiente de amortecimento deve se situar entre 04 e 08 Valores pequenos de ζ ou seja ζ 04 resultam em excessivo sobressinal na resposta transitória e um sistema com um grande valor de ζ ou seja ζ 08 responde lentamente Veremos adiante que o máximo sobressinal e o tempo de subida são conflitantes entre si Em outras palavras tanto o máximo sobressinal como o tempo de subida não podem ser diminuídos simultaneamente Se um deles diminui o outro necessariamente se torna maior Sistemas de segunda ordem e especificações da resposta transitória A seguir obteremos o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação do sistema de segunda ordem dado pela Equação 510 Esses valores serão obtidos em termos de ζ e n Supõese que o sistema seja subamortecido Tempo de subida tr referente à Equação 512 obtemos o tempo de subida tr com ctr 1 1 1 cos sen c t e t t 1 r t d r d r 2 n r g g g c h m 518 Como eζntr 1 obtemos a partir da Equação 518 a seguinte equação FIGURA 58 ct 05 1 0 Tolerância aceitável Mp td t 005 ou 002 tr tp ts Curva de resposta em degrau unitário que mostra td tr tp Mp e ts 155 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário 0 cos sen t t 1 d r d r 2 g g Como n 1 g2 d e ζn v temos tg t 1 d r d 2 g g v Assim o tempo de subida tr é tg t 1 r d d d 1 v r b c m 519 onde o ângulo β é definido na Figura 59 Evidentemente para um menor valor de tr d deve ser maior Tempo de pico tp com o auxílio da Equação 512 podemos obter o tempo de pico diferenciando ct em relação ao tempo e igualando essa derivada a zero Como cos sen sen cos dt dc e t t e t t 1 1 n t d d t d d d d 2 2 n n g g g g g g g c e m o e os termos em cosseno nessa última equação cancelamse mutuamente dcdt calculada em t tp pode ser simplificada para 0 sen dt dc t e 1 t t d p n t 2 p n p g g h Dessa última equação resulta a seguinte expressão sen d tp 0 ou dtp 0 π 2π 3π Como o tempo de pico corresponde ao primeiro pico do sobressinal d tp π Então tp d r 520 O tempo de pico tp corresponde a meio ciclo da frequência de oscilação amortecida Máximo sobressinal Mp o máximo sobressinal ocorre no tempo de pico ou em t tp πd Ao supor que o valor final da saída seja unitário Mp é obtido a partir da Equação 512 como cos sen M c t e e e 1 1 p p 2 1 n d d 2 r g g r g r v r g g r c h m h h h 521 A porcentagem máxima de sobressinal é evdπ 100 FIGURA 59 j jd n v β ζn v n 1 ζ2 0 Definição do ângulo β 156 Engenharia de controle moderno Se o valor final c da saída não for unitário então será necessário utilizar a seguinte equação M c c t c p p 3 3 h h h Tempo de acomodação ts para um sistema subamortecido de segunda ordem a resposta transitória é obtida a partir da Equação 512 como 1 0 sen tg c t e t t 1 1 para t d 2 1 2 n g g g g c h m As curvas 1 eζnt 1 g2 são as curvas envoltórias da resposta transitória à entrada em degrau unitário A curvaresposta ct permanece sempre dentro de um par de curvas envoltórias como mostra a Figura 510 A constante de tempo dessas curvas envoltórias é 1ζn A velocidade de decaimento da resposta transitória depende do valor da constante de tempo 1ζn Para dado valor de n o tempo de acomodação ts é uma função do coeficiente de amor tecimento ζ A partir da Figura 57 vemos que para o mesmo n e para uma faixa de valores de ζ entre 0 e 1 o tempo de acomodação ts para um sistema ligeiramente amortecido é maior que para um sistema adequadamente amortecido Para um sistema superamortecido o tempo de acomodação ts se torna grande porque a resposta é lenta O tempo de acomodação correspondente à faixa de tolerância 2 ou 5 pode ser medido em termos da constante de tempo T 1ζn a partir das curvas da Figura 57 para valores dife rentes de ζ O resultado é mostrado na Figura 511 Para 0 ζ 09 se for utilizado o critério de 2 ts será aproximadamente quatro vezes a constante de tempo do sistema Se for usado o critério de 5 então ts será aproximadamente três vezes a constante de tempo Note que o tempo de acomodação atinge um valor mínimo em torno de ζ 076 para o critério de 2 ou ζ 068 para o critério de 5 e então aumenta quase linearmente para valores grandes de ζ A descontinuidade nas curvas da Figura 511 surge porque uma variação infinitesimal do valor de ζ pode causar uma variação finita no tempo de acomodação Por conveniência na comparação das respostas dos sistemas definimos comumente o tempo de acomodação ts como 4 t T 4 4 s n v g critério de 2 522 ou FIGURA 510 1 ct 1 1 1 ζ2 1 eζnt 1 ζ2 T 1 ζn 1 eζnt 1 ζ2 0 1 1 1 ζ2 3T 4T t T 2T Par de curvas envoltórias para a curva de resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Figura 56 157 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário 3 t T 3 3 s n v g critério de 5 523 Note que o tempo de acomodação é inversamente proporcional ao produto do coeficiente de amortecimento pela frequência natural do sistema não amortecido Como o valor de ζ é em geral determinado a partir da especificação do sobressinal máximo aceitável o tempo de acomodação é determinado principalmente pela frequência natural não amortecida n Isso significa que a duração do período transitório pode variar sem alteração do máximo sobressinal pelo ajuste da frequência natural não amortecida n A partir da análise anterior é evidente que para uma resposta rápida n deve ser grande Para limitar o máximo sobressinal Mp e fazer que o tempo de acomodação seja pequeno o coeficiente de amortecimento ζ não deve ser muito pequeno A relação entre a porcentagem do máximo sobressinal e o coeficiente de amortecimento Mp é apresentada na Figura 512 Note que se o coeficiente de amortecimento estiver situado entre 04 e 07 então a porcentagem do máximo sobressinal para a resposta ao degrau estará entre 25 e 4 É importante notar que as equações para a obtenção do tempo de subida tempo de pico máxi mo sobressinal e tempo de acomodação são válidas somente para o sistemapadrão de segunda ordem definido pela Equação 510 Se o sistema de segunda ordem contiver um zero ou dois zeros a forma da curva de resposta ao degrau unitário será muito diferente daquela mostrada na Figura 57 FIGURA 511 2T 3T 4T T 5T 6T 03 04 05 06 07 08 09 10 ζ Tempo de acomodação ts Faixa de tolerância de 2 Faixa de tolerância de 5 Curva de tempo de acomodação ts versus curvas ζ 158 Engenharia de controle moderno Exemplo 51 Considere o sistema mostrado na Figura 56 onde ζ 06 e n 5 rads Obteremos o tempo de subida tr o tempo de pico tp o máximo sobressinal Mp e o tempo de acomodação ts quando o sistema for submetido a uma entrada em degrau unitário A partir dos valores de ζ e n obtemos d n 1 g2 4 e v ζn 3 Tempo de subida tr o tempo de subida é t 4 3 14 r d r b b onde β é dado por 093 tg tg rad 3 4 d 1 1 b v O tempo de subida tr é então igual a 055 t 4 3 14 0 93 s r Tempo de pico tp o tempo de pico é 0785 t 4 3 14 s p d r Máximo sobressinal Mp o máximo sobressinal é Mp evd π e34314 0095 O máximo sobressinal em porcentagem é então 95 Tempo de acomodação ts para o critério de 2 o tempo de acomodação é 133 s t 4 3 4 s v Para o critério de 5 1 t 3 3 3 s s v Servossistema com realimentação de velocidade A derivada do sinal de saída pode ser utilizada para melhorar o desempenho do sistema Na obtenção da derivada do sinal de saída de posição é desejável utilizar um tacômetro em vez de diferenciar fisicamente o sinal de saída Note que a derivação amplifica os efeitos do ruído De fato se houver ruídos descontinuados a derivação amplificará mais o ruído descontinuado do que o sinal útil Por exemplo o sinal de FIGURA 512 ζ 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 05 10 15 Mp Mp Máximo sobressinal Cs Rs ωn s2 2ζωns ωn 2 2 Curva de Mp versus ζ 159 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário saída de um potenciômetro é um sinal de tensão descontínuo porque com o cursor em movi mento sobre as espirais do enrolamento são induzidas tensões por ocasião da comutação entre espirais gerando assim transitórios Portanto a saída do potenciômetro não pode ser seguida por um elemento diferenciador O tacômetro um gerador cc especial é frequentemente utilizado para medir a velocidade sem o processo de derivação O sinal de saída de um tacômetro é proporcional à velocidade angular do motor Considere o servossistema mostrado na Figura 513a Nesse dispositivo o sinal de veloci dade com o sinal de posição é realimentado como sinal de entrada produzindo o sinal de erro atuante Em qualquer servossistema esse sinal de velocidade pode ser gerado facilmente por um tacômetro A Figura 513a mostra o diagrama de blocos que pode ser simplificado como se pode ver na Figura 513b resultando em R s C s Js B KK s K K h 2 h h h 524 Comparandose as equações 524 e 59 notamos que a realimentação de velocidade tem como efeito aumentar o amortecimento O coeficiente de amortecimento ζ tornase KJ B KK 2 h g 525 A frequência natural não amortecida n K J não é afetada pela realimentação de velocida de Observando que o máximo sobressinal da resposta a uma entrada em degrau unitário pode ser controlado pelo coeficiente de amortecimento ζ podemos reduzir esse máximo sobressinal ajustando o valor da constante de realimentação de velocidade Kh a fim de fazer que ζ fique situado entre 04 e 07 Lembrese de que a realimentação de velocidade tem o efeito de aumentar o coeficiente de amortecimento sem afetar a frequência natural não amortecida do sistema FIGURA 513 Rs Cs a 1 s K Js B Kh Rs Cs b K sJs B KKh a Diagrama de blocos de um servossistema b diagrama de blocos simplificado 160 Engenharia de controle moderno Exemplo 52 Para o sistema da Figura 513a determine os valores de ganho K e a constante de realimentação de velocidade Kh de modo que o máximo sobressinal da resposta ao degrau unitário seja 02 e o tempo de pico seja 1 s Com esses valores de K e Kh obtenha o tempo de subida e o tempo de acomodação Suponha que J 1 kgm2 e B 1 Nmrads Determinação dos valores de K e Kh o máximo sobressinal Mp é dado pela Equação 521 como Mp e 1 2 g g r h Esse valor deve ser 02 Assim e 1 2 g g r h 02 ou 161 1 g2 gr que resulta em ζ 0456 O tempo de pico tp é especificado como 1 s portanto a partir da Equação 520 1 tp d r ou d 314 Como ζ é 0456 n é igual a 353 1 n d 2 g Como a frequência natural n é igual a K J K J2 n 2 n 125 Nm Então a partir da Equação 525 Kh é 0178 K K KJ K K 2 2 1 s h g b g Tempo de subida tr a partir da Equação 519 o tempo de subida tr é tr d r b onde 195 110 tg tg d 1 1 b v Portanto tr é tr 065 s Tempo de acomodação ts para o critério de 2 248 t 4 s s v Para o critério de 5 186 t 3 s s v Resposta ao impulso dos sistemas de segunda ordem Para um impulso unitário de entrada rt a transformada de Laplace correspondente é unitária ou seja Rs 1 A resposta ao impulso unitário Cs do sistema de segunda ordem mostrado na Figura 56 é igual a 161 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário C s s s 2 n n n 2 2 2 g h A transformada inversa de Laplace dessa equação fornece a solução para a resposta no tempo ct como segue Para 0 z 1 0 c t e t t 1 1 sen para n t n 2 2 n g g g h 526 Para z 1 ct 2 ntent para t 0 527 Para z 1 0 c t e e t 2 1 2 1 para n t n t 2 1 2 1 n n 2 2 g g g g g g h h h 528 Note que sem necessidade de recorrer à transformada inversa de Laplace de Cs podemos também obter a resposta no tempo ct derivando a resposta ao degrau unitário correspondente já que a função impulso unitário é a derivada da função degrau unitário Uma família de cur vas de resposta ao impulso unitário dada pelas equações 526 e 527 para vários valores de ζ é mostrada na Figura 514 As curvas ctn estão representadas no gráfico em função da variável adimensional nt e portanto são funções somente de ζ Para os casos de amortecimento crítico e superamortecimento a resposta ao impulso unitário é sempre positiva ou nula isto é ct 0 Isso pode ser visto a partir das equações 527 e 528 Para o caso de subamortecimento a resposta ao impulso unitário ct oscila em torno de zero e assume valores tanto positivos como negativos A partir da análise anterior podemos concluir que se a resposta ct ao impulso não muda de sinal o sistema deve ser criticamente amortecido ou superamortecido caso em que a resposta correspondente a um degrau não possui sobressinal mas aumenta ou diminui monotonicamente aproximandose de um valor constante O máximo sobressinal para a resposta ao impulso unitário do sistema subamortecido ocorre em 0 1 tg t 1 1 onde n 2 1 2 1 1 g g g g 529 A Equação 529 pode ser obtida igualando dcdt a zero e determinando t O máximo sobressinal é 0 1 exp tg c t 1 1 onde n 2 1 2 máx 1 1 g g g g g e h o 530 FIGURA 514 10 08 06 04 02 0 02 04 06 08 10 0 2 4 6 8 10 12 nt ct n ζ 01 ζ 03 ζ 05 ζ 07 ζ 10 Curvas de resposta ao impulso unitário do sistema mostrado na Figura 56 162 Engenharia de controle moderno A Equação 530 pode ser obtida substituindo a Equação 529 na Equação 526 Como a função de resposta ao impulso unitário é a derivada em relação ao tempo da função de resposta ao degrau unitário o máximo sobressinal Mp para a resposta ao degrau unitário pode ser determinado a partir da resposta ao impulso unitário correspondente Ou seja a área sob a curva de resposta ao impulso unitário a partir de t 0 até o instante do primeiro zero como mostra a Figura 515 é 1 Mp onde Mp é o máximo sobressinal da resposta ao degrau unitário dado pela Equação 521 O tempo de pico tp da resposta ao degrau unitário dado pela Equação 520 corresponde ao tempo necessário para que a resposta ao impulso unitário cruze pela primeira vez o eixo do tempo 54 Sistemas de ordem superior Nesta seção apresentaremos uma análise da resposta transitória de sistemas de ordem superior em termos gerais Veremos que a resposta dos sistemas de ordem superior é a soma das respostas de sistemas de primeira e de segunda ordem Resposta transitória de sistemas de ordem superior Considere o sistema mostrado na Figura 516 A função de transferência de malha fechada é R s C s G s H s G s 1 h h h h h 531 Em geral Gs e Hs são dadas como relação de polinômios em s ou G s q s p s H s d s n s e h h h h h h onde ps qs ns e ds são polinômios em s A função de transferência de malha fechada dada pela Equação 531 pode então ser escrita como R s C s q s d s p s n s p s d s a s a s a s a b s b s b s b m n n n n n m m m m 0 1 1 1 0 1 1 1 g g h h h h h h h h h FIGURA 515 ct 0 Resposta ao impulso unitário 1 Mp tp t Curva de resposta ao impulso unitário do sistema mostrado na Figura 56 FIGURA 516 Rs Cs Gs Hs Sistema de controle 163 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A resposta transitória desse sistema para dado sinal de entrada pode ser obtida por uma simula ção de computador Veja a Seção 55 Se uma expressão analítica para a resposta transitória for desejada então é necessário fatorar o polinômio do denominador O MATLAB pode ser utilizado para encontrar as raízes do polinômio do denominador Utilize o comando rootsden Uma vez que o numerador e o denominador tenham sido fatorados CsRs pode ser escrita como a seguir R s C s s p s p s p K s z s z s z n m 1 2 1 2 g g h h h h h h h h 532 Examinaremos o comportamento da resposta desse sistema para uma entrada em degrau unitário Considere primeiro o caso em que os polos de malha fechada são todos reais e distintos Para uma entrada em degrau unitário a Equação 532 pode ser escrita como C s s a s p a i i i n 1 h 533 onde ai é o resíduo do polo em s pi Se o sistema contém polos múltiplos então Cs terá termos multipolares A expansão em frações parciais de Cs dada pela Equação 533 pode ser obtida facilmente com o MATLAB Utilize o comando residue Consulte o Apêndice B Se todos os polos de malha fechada se situarem no semiplano esquerdo do plano s os valores dos resíduos determinarão a importância relativa dos componentes na forma expandida de Cs Se existir um zero de malha fechada próximo a um polo de malha fechada então o resíduo nesse polo será pequeno e o do termo correspondente da resposta transitória para esse polo se tornará pequeno Um par de polos e zeros próximos vai se cancelar mutuamente Se um polo estiver localizado muito longe da origem o resíduo nesse polo poderá ser pequeno Os transitórios corres pondentes a esse polo remoto são pequenos e de curta duração Os termos na forma expandida de Cs que tenham resíduos muito pequenos contribuem pouco para a resposta transitória e podem ser desprezados Nesse caso o sistema de ordem superior pode se aproximar de um de maior ordem Essa aproximação frequentemente nos possibilita avaliar as características da resposta de um sistema de ordem superior a partir de um sistema mais simplificado A seguir considere o caso em que os polos de Cs sejam constituídos pelos polos reais e de pares de polos complexos conjugados Um par de polos complexos conjugados resulta em um termo de segunda ordem em s Como a forma fatorada da equação característica de ordem ele vada consiste em termos de primeira e segunda ordens a Equação 533 pode ser reescrita como C s s a s p a s s b s c q r n 2 1 2 i j j q k k k k k k k k k k r 1 2 2 2 1 g g g h h h onde supomos que todos os polos de malha fechada sejam distintos Se entre os polos de malha fechada existirem polos múltiplos Cs deverá ter termos multipolares A partir dessa última equação vemos que a resposta de um sistema de ordem superior é composta por uma série de termos que contêm funções simples encontradas em respostas dos sistemas de primeira e segunda ordens A transformada inversa de Laplace ct da resposta ao degrau unitário Cs é então igual a cos sen c t a a e b e t c e t t 1 1 0 para j p t j q k t k r k k k t k r k k 1 1 2 1 2 j k k k k g g g g h 534 Assim a curva de resposta de um sistema estável de ordem superior é a soma de uma série de curvas exponenciais e curvas senoidais amortecidas Se todos os polos de malha fechada estiverem no semiplano esquerdo do plano s então os termos exponenciais e os termos exponenciais amortecidos da Equação 534 tenderão a zero à medida que t aumentar A saída em regime permanente é então c a 164 Engenharia de controle moderno Vamos supor que o sistema considerado seja estável Então os polos de malha fechada que estiverem situados distantes do eixo j terão grandes partes reais negativas Os termos expo nenciais que correspondem a esses polos decrescem rapidamente tendendo a zero Note que a distância horizontal a partir de um polo de malha fechada até o eixo j determina o tempo de acomodação dos componentes transitórios daquele polo Quanto menor a distância maior é o tempo de acomodação Devemos lembrar que o tipo de resposta transitória é determinado pelos polos de malha fechada enquanto a forma da resposta transitória é determinada principalmente pelos zeros de malha fechada Como vimos anteriormente os polos da entrada Rs resultam em termos da resposta de regime permanente na solução enquanto os polos de CsRs introduzem os termos da resposta transitória exponencial eou os termos da resposta transitória senoidal amortecida Os zeros de CsRs não afetam os expoentes dos termos exponenciais mas afetam os valores e os sinais dos resíduos Polos dominantes em malha fechada O domínio relativo dos polos de malha fechada é determinado pela relação das partes reais dos polos de malha fechada bem como pelo valor dos resíduos calculados nos polos As magnitudes dos resíduos dependem tanto dos polos como dos zeros de malha fechada Se as relações das partes reais forem maiores que 5 e não houver zeros nas proximidades então os polos de malha fechada mais próximos do eixo j serão dominantes no comportamento da resposta transitória porque correspondem aos termos da resposta transitória que decrescem lentamente Os polos que têm efeitos dominantes no comportamento da resposta transitória são chamados polos dominantes de malha fechada Muito frequentemente os polos dominantes apresentamse sob a forma de um par complexo conjugado Os polos dominantes de malha fechada são os de maior importância entre todos os polos de malha fechada Note que o ganho de um sistema de ordem superior é frequentemente ajustado para ter um par de polos complexos conjugados dominantes de malha fechada A presença desses polos em um sistema estável reduz o efeito de certas não linearidades como zona morta folga e atrito de Coulomb Análise de estabilidade no plano complexo A estabilidade de um sistema linear de malha fechada pode ser determinada a partir da localização dos polos de malha fechada no plano s Se qualquer um desses polos estiver no semiplano direito do plano s então com o decorrer do tempo eles darão origem ao modo dominante e a resposta transitória aumentará monotonica mente ou oscilará com amplitude crescente Isso representa um sistema instável Assim que for ligada a saída desse sistema poderá aumentar com o tempo Se não for alcançado um ponto de saturação do sistema ou se não houver um fim de curso mecânico então o sistema poderá estar sujeito a danos e apresentar falhas já que a resposta de um sistema físico real não pode aumentar indefinidamente Por isso nos usuais sistemas lineares de controle não são permitidos polos de malha fechada no semiplano direito do plano s Se todos os polos de malha fechada se situarem à esquerda do eixo j qualquer resposta transitória poderá alcançar o equilíbrio Isso caracteriza um sistema estável A estabilidade ou a instabilidade de um sistema linear é propriedade do próprio sistema e não depende da entrada ou da função de excitação do sistema Os polos da entrada ou da função de excitação não afetam a estabilidade do sistema mas contribuem somente para os termos da resposta de regime permanente na solução Assim o problema da estabilidade absoluta pode ser resolvido prontamente pela escolha dos polos de malha fechada no semiplano direito do plano s incluindo o eixo j Matematicamente os polos de malha fechada no eixo j resultarão em oscilações cuja amplitude não vai decrescer nem aumentar com o tempo Nos casos práticos em que existem ruídos entretanto a amplitude das oscilações pode aumentar a uma taxa deter minada pelo nível de potência do ruído Portanto um sistema de controle não deve ter polos de malha fechada no eixo j 165 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Observe que o simples fato de que todos os polos de malha fechada estejam situados no semiplano esquerdo do plano s não garante que as características da reposta transitória sejam satisfatórias Se os polos complexos conjugados dominantes de malha fechada estiverem situados próximos ao eixo j a resposta transitória poderá apresentar oscilações excessivas ou poderá ser muito lenta Dessa maneira para garantir que as características da resposta transitória sejam rápidas mas também suficientemente amortecidas é necessário que os polos de malha fechada do sistema se situem em uma região conveniente do plano complexo tal como a região delimitada pela área sombreada na Figura 517 Como a estabilidade relativa e o desempenho da resposta transitória de um sistema de con trole de malha fechada estão diretamente relacionados à configuração de polos e zeros de malha fechada no plano s frequentemente é necessário ajustar um ou mais parâmetros do sistema a fim de obter configurações satisfatórias Os efeitos da variação dos parâmetros do sistema nos polos de malha fechada serão discutidos com detalhes no Capítulo 6 55 Análise da resposta transitória com o MATLAB Introdução O processo prático para a representação gráfica das curvas de resposta em função do tempo dos sistemas de ordem maior que 2 é feito por meio de simulação por computador Nesta seção apresentaremos a abordagem computacional para a análise da resposta transitória com o MATLAB Em particular discutiremos resposta ao degrau resposta ao impulso resposta à rampa e resposta a outras entradas simples Representação de sistemas lineares com o MATLAB A função de transferência de um sistema é representada por dois vetores de números Considere o sistema R s C s s s s 4 25 2 25 2 h h 535 Esse sistema pode ser representado por dois vetoreslinha cada um com os coeficientes dos polinômios com potências de s decrescentes como segue num 2 25 den 1 4 25 Uma alternativa de representação é num 0 2 25 den 1 4 25 FIGURA 517 0 v v j Nesta região ζ 04 v 4 ts Região no plano complexo que satisfaz as condições ζ 04 e ts 4v 166 Engenharia de controle moderno Nessa expressão foi acrescentado um zero Note que se forem convenientemente completadas com zeros as dimensões dos vetores num e den tornamse as mesmas Uma vantagem de acrescentar zeros é que os vetores num e den podem ser somados diretamente Por exemplo num dem 0 2 25 1 4 25 1 6 50 Se num e den o numerador e o denominador da função de transferência de malha fechada forem conhecidos comandos como stepnumden stepnumdent gerarão as curvas das respostas ao degrau unitário O parâmetro t no comando step é o tempo especificado pelo usuário Para um sistema de controle definido em uma forma de espaço de estados onde a matriz de estado A a matriz de controle B a matriz de saída C e a matriz de transmissão direta D das equações de espaço de estados são conhecidas o comando stepABCD stepABCDt gerará as curvas de respostas ao degrau unitário O vetor tempo é determinado de maneira auto mática quando t não for explicitamente incluído nos comandos step Note que o comando stepsys pode ser utilizado para obter a resposta ao degrau unitário de um sistema Primeiro defina o sistema como sys tfnumden ou sys ssABCD Então para obter por exemplo a resposta ao degrau unitário forneça o comando stepsys ao computador Quando os comandos do degrau têm argumentos do lado esquerdo como yxt stepnum dent yxt stepABCDiu yxt stepABCDiu 536 nenhum gráfico é apresentado na tela Então é necessário utilizar um comando plot para ver as curvas de resposta As matrizes y e x contêm os valores de saída e de estado do sistema respecti vamente calculados nos pontos computacionais do tempo t y tem tantas colunas quantas forem as saídas e uma linha para cada elemento em t x tem tantas colunas quantos forem os estados e uma linha para cada elemento em t Note que na Equação 536 o escalar iu é um índice nas entradas do sistema e especifica qual entrada é utilizada para a resposta e t é o tempo especificado pelo usuário Se o sistema tiver múltiplas entradas e múltiplas saídas o comando step tal como é dado pela Equação 536 forne cerá uma série de gráficos de resposta ao degrau um para cada combinação de entrada e saída de ẋ Ax Bu y Cx Du Para mais detalhes veja o Exemplo 53 Exemplo 53 Considere o seguinte sistema x x x x u u y y x x u u 1 6 5 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 o o G G G G G G G G G G Obtenha as curvas de resposta ao degrau unitário 167 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Embora não seja necessário conhecer a expressão da matriz de transferência do sistema para obter as curvas de resposta ao degrau unitário com o MATLAB deduziremos essa expressão para referência Sendo o sistema definido como ẋ Ax Bu y Cx Du a matriz de transferência Gs é a matriz que relaciona Ys e Us como segue Ys GsUs Transformando por Laplace as equações de espaço de estados obtemos sXs x0 AXs BUs 537 Ys CXs DUs 538 Na dedução da matriz de transferência supomos que x0 0 Então a partir da Equação 537 obtemos Xs sI A 1BUs 539 Substituindo a Equação 539 na Equação 538 temos Ys CsI A 1B D Us Assim a matriz de transferência Gs é dada por Gs CsI A 1B D A matriz de transferência Gs para o sistema dado resulta em s s s s s s s s s s s s s 1 0 0 1 1 6 5 1 1 1 1 0 6 5 1 6 5 1 1 1 1 1 0 6 5 1 1 7 5 6 5 G C I A B 1 1 2 2 h h G G G G G G Portanto Y s Y s s s s s s s s s s s s U s U s 6 5 1 6 5 7 5 6 5 6 5 6 5 1 2 2 2 2 2 1 2 h h h h R T S S S SS V X W W W WW G G Como esse sistema contém duas entradas e duas saídas podemos definir quatro funções de transferência dependendo de quais sinais forem considerados entrada e saída Note que quando consideramos o sinal u1 como entrada supomos que o sinal u2 seja zero e viceversa As quatro funções de transferência são U s Y s s s s U s Y s s s s U s Y s s s s U s Y s s s 6 5 1 6 5 6 5 7 5 6 5 6 5 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 h h h h h h h h Considere que u1 e u2 são funções de degrau unitário As quatro curvas individuais de resposta ao degrau podem ser representadas com a utilização do comando stepABCD 168 Engenharia de controle moderno O Programa 51 em MATLAB produz essas quatro curvas de resposta ao degrau As curvas são mostradas na Figura 518 Note que o vetor de tempo t é automaticamente determinado uma vez que o comando não inclui t Programa 51 em MATLAB A 1 165 0 B 1 11 0 C 1 00 1 D 0 00 0 stepABCD Para traçar duas curvas de resposta ao degrau para a entrada u1 em um diagrama e duas cur vas de resposta ao degrau para a entrada u2 em outro diagrama podemos utilizar os comandos stepABCD1 e stepABCD2 respectivamente O Programa 52 em Matlab é um programa para traçar duas curvas de resposta ao degrau para a entrada u1 em um diagrama e duas curvas de resposta ao degrau para a entrada u2 em outro diagrama A Figura 519 mostra os dois diagramas cada um constituído por duas curvas de resposta ao degrau Esse programa Matlab usa comandos de texto Para tais comandos consulte o parágrafo seguinte a este exemplo FIGURA 518 Para Y2 15 2 1 05 0 0 4 8 12 Tempo s 15 2 1 05 0 0 4 8 12 Para Y1 04 06 02 02 0 0 04 04 06 02 02 04 0 4 8 12 0 4 8 12 De U1 De U2 Resposta ao degrau Amplitude Curvas de resposta ao degrau unitário 169 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Programa 52 em MATLAB Neste programa desenharemos curvas de resposta em degrau para um sistema com duas entradas u1 e u2 e duas saídas y1 e y2 Primeiro desenharemos as curvas de resposta em degrau quando a entrada for u1 Em seguida desenharemos as curvas de resposta em degrau quando a entrada for u2 Entram as matrizes A B C e D A 1 165 0 B 1 11 0 C 1 00 1 D 0 00 0 Para desenhar as curvas de resposta em degrau quando a entrada for u1 dê o comando stepABCD1 stepABCD1 grid title Gráficos de Resposta ao Degrau Unitário Entrada u1 u2 0 text34 006Y1 text34 14Y2 Em seguida desenharemos as curvas de resposta em degrau quando a entrada for u2 Dê o comando stepABCD2 stepABCD2 grid title Gráficos de Resposta ao Degrau Entrada u2 u1 0 text3014Y1 text2811Y2 FIGURA 519 Gráfico de resposta do degrau entrada u2 u1 0 Tempo s Amplitude 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 12 08 04 0 02 14 1 06 02 Y2 Y1 b Gráfico de resposta do degrau entrada u1 u2 0 2 15 1 05 0 05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s Amplitude Y2 Y1 a Curvas de resposta ao degrau unitário a u1 é a entrada u2 0 b u2 é a entrada u1 0 170 Engenharia de controle moderno Escrevendo texto nos gráficos da tela Para escrever texto nos gráficos da tela digite por exemplo os seguintes comandos text34 006Y1 e text3414Y2 O primeiro comando informa ao computador para escrever Y1 começando nas coordenadas x 34 e y 006 Da mesma maneira o segundo comando diz ao computador para escrever Y2 começando nas coordenadas x 34 e y 14 Veja o Programa 52 em MATLAB e a Figura 519a Outro modo de escrever um texto no gráfico é utilizando o comando gtext A sintaxe é gtexttext Quando o comando gtext é executado o computador espera até o cursor ser posicionado utilizandose o mouse na posição desejada na tela Quando o botão esquerdo do mouse for pressionado o texto entre aspas será escrito no gráfico na posição onde está o cursor Podese utilizar o comando gtext em um gráfico quantas vezes forem necessárias Veja por exemplo o Programa 515 em MATLAB Descrição do sistemapadrão de segunda ordem com o MATLAB Como foi mencionado anteriormente o sistema de segunda ordem G s s s 2 n n n 2 2 2 g h 540 é chamado sistemapadrão de segunda ordem Dados n e ζ o comando printsysnumden ou printsysnumdens imprime numden como uma relação de polinômios em s Considere por exemplo o caso em que n 5 rads e ζ 04 O Programa 53 em MATLAB gera o sistemapadrão de segunda ordem onde n 5 rads e ζ 04 Note que no programa MATLAB 53 num 0 é 1 Programa 53 em MATLAB wn 5 dampingratio 04 num0den ord2wndampingratio num 52num0 printsysnumdens numden 25 S2 4s 25 Obtenção da resposta ao degrau unitário a partir da função de transferência do sis tema Consideraremos a resposta ao degrau unitário do sistema definido por G s s 4s 25 25 2 h O Programa 54 em MATLAB fornecerá o gráfico da curva de resposta ao degrau unitário desse sistema O gráfico da curva de resposta ao degrau unitário é mostrado na Figura 520 171 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Programa 54 em MATLAB Resposta ao degrau unitário Digite o numerador e o denominador da função de transferência num 25 den 1 4 25 Digite o seguinte comando de resposta ao degrau stepnumden Digite os comandos para inserir a grade e o título do gráfico grid title Resposta ao Degrau Unitário de Gs 25s24s25 Note que na Figura 520 e em muitas outras as legendas dos eixos x e y são determina das automaticamente Se for desejado rotular os eixos x e y de modo diferente será necessário modificar o comando step Por exemplo se quisermos rotular o eixo x como t s e o eixo y como Saída então deveremos utilizar os comandos de resposta ao degrau com argumentos do lado esquerdo da igualdade como c stepnumdent ou mais genericamente yxt stepnumdent e usar o comando plotty Veja por exemplo o Programa 55 em MATLAB e a Figura 521 Programa 55 em MATLAB Resposta ao degrau unitário num 25 den 1 4 25 t 00013 yxt stepnumdent plotty grid titleResposta ao Degrau Unitário de Gs25sˆ24s25 xlabelt Sec ylabelOutput FIGURA 520 14 12 1 08 06 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 Tempo s Resposta ao degrau unitário de Gs 25s24s25 Amplitude Curva de resposta ao degrau unitário 172 Engenharia de controle moderno Obtenção do gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário com MATLAB O MATLAB permite traçar facilmente gráficos tridimensionais Os comandos para a obtenção de um gráfico tridimensional são mesh e surf A diferença entre os gráficos mesh e surf é que no primeiro são desenhadas apenas as linhas e no segundo os espaços entre as linhas são preenchidos por cores Neste livro usamos apenas o comando mesh Exemplo 54 Considere o sistema de malha fechada definido por R s C s s 2 s 1 1 2 g h h A frequência natural não amortecida n foi normalizada para 1 Trace as curvas de resposta ao degrau unitário ct quando ζ assumir os seguintes valores ζ 0 02 04 06 08 10 Trace também um gráfico tridimensional Um programa em MATLAB ilustrativo para gerar um diagrama bidimensional e um gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário desse sistema de segunda ordem é o Programa 56 em MATLAB Os gráficos resultantes são mostrados nas figuras 522a e b respectivamente Observe que usamos o comando meshtzetay para o gráfico tridimensio nal Podemos usar um comando meshy para obter o mesmo resultado Note que o comando meshtzetay ou meshy produzirá um gráfico tridimensional igual ao da Figura 522b mas com os eixos x e y permutados Veja o Problema A515 Quando queremos resolver um problema usando o MATLAB e se o processo de solução implica muitos cálculos repetitivos várias abordagens podem ser concebidas para simplificar o programa Uma abordagem frequentemente utilizada para simplificar os cálculos é for loops O Programa 56 em MATLAB usa um for loop Neste livro muitos programas em MATLAB dife rentes que utilizam for loops são apresentados para a solução de vários problemas Aconselhase ao leitor estudar atentamente esses problemas e familiarizarse com a abordagem FIGURA 521 14 12 1 08 06 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 Tempo s Resposta ao degrau unitário de Gs 25s24s25 Saída Curva de resposta ao degrau unitário 173 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário FIGURA 522 Gráfico das curvas de resposta ao degrau unitário com n 1 e ζ 0 02 04 06 08 1 Resposta 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 0 Tempo s a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 0 ζ 0 02 02 04 04 06 06 08 08 10 10 Gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário 01 08 06 04 02 0 0 2 4 6 8 10 05 1 15 2 Resposta ζ t s b a Gráfico bidimensional das curvas de resposta ao degrau unitário para ζ 0 02 04 06 08 e 10 b gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário 174 Engenharia de controle moderno Programa 56 em MATLAB Gráficos bidimensional e tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário para um sistema padrão de segunda ordem com wn 1 e zeta 0 02 04 06 08 e 1 t 00210 zeta 0 02 04 06 08 1 for n 16 num 1 den 1 2zetan 1 y151nxt stepnumdent end Para gerar o diagrama bidimensional utilize o comando plotty plotty grid titleGráfico das Curvas de Resposta ao Degrau com omegan 1 and zeta 0 02 04 06 08 1 xlabelt sec ylabelResposta text41186zeta 0 text351502 text3 512404 text3510806 text3509508 text3508610 Para gerar o gráfico tridimensional utilize o comando meshtzetay meshtzetay titleGráfico Tridimensional das Curvas de Resposta ao Degrau Unitário xlabelt Sec ylabelzeta zlabelResposta Obtenção do tempo de subida tempo de pico máximo sobressinal e tempo de aco modação com o MATLAB O MATLAB pode ser convenientemente utilizado para obter o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação Considere o sistema definido por R s C s s 6s 25 25 2 h h O Programa 57 em MATLAB calcula o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação Uma curva de resposta para esse sistema é mostrada na Figura 523 para verificação dos resultados obtidos pelo Programa 57 em MATLAB Note que esse programa também pode ser aplicado a sistemas de ordem superior Veja o Problema A510 175 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Programa 57 em MATLAB Este é um programa em MATLAB para determinar o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação de um sistema de segunda ordem e de um sistema de ordem superior Neste exemplo admitimos que zeta 06 e wn 5 num 25 den 1 6 25 t 000055 yxt stepnumdent r 1 while yr 10001 r r 1 end risetime r 10005 risetime 05550 ymaxtp maxy peaktime tp 10005 peaktime 07850 maxovershoot ymax1 maxovershoot 00948 s 1001 while ys 098 ys 102 s s 1 end settlingtime s 10005 settlingtime 11850 Resposta ao impulso A resposta ao impulso unitário de um sistema de controle pode ser obtida pelo uso de um dos seguintes comandos do MATLAB impulsenumden impulseABCD yxt impulsenumden yxt impulsenumdent 541 yxt impulseABCD yxt impulseABCDiu 542 yxt impulseABCDiut 543 FIGURA 523 Amplitude Tempo s Resposta ao degrau 06 04 02 08 1 12 14 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Curva de resposta ao degrau unitário 176 Engenharia de controle moderno O comando impulsenumden traça a curva de resposta ao impulso unitário na tela O comando impulseABCD produz uma série de gráficos de curvas de resposta ao impulso unitário uma para cada combinação de entrada e saída do sistema ẋ Ax Bu y Cx Du Observe que nas equações 542 e 543 o escalar iu é um índice nas entradas do sistema e espe cifica qual a entrada a ser utilizada para a resposta ao impulso Note também que se o comando usado não inclui explicitamente t o vetor tempo é deter minado automaticamente Se o comando incluir o vetor t fornecido pelo usuário como os comandos dados nas equações 541 e 543 esse vetor especifica os instantes de tempo nos quais se deseja que a resposta ao impulso seja calculada Se um comando do MATLAB for escrito com o argumento yxt do lado esquerdo da igualdade como no caso em que yxt impulseABCD esse comando retornará as saídas as respostas de estado do sistema e o vetor de tempo t Nenhum gráfico é desenhado na tela As matrizes y e x contêm os valores das saídas e das respostas de estado do sistema calcu ladas para os elementos nos pontos de tempo t y tem tantas colunas quantas forem as saídas e uma linha para cada elemento em t x tem tantas colunas quantas forem as variáveis de estado e uma linha para cada elemento em t Para traçar a curva de resposta temos de incluir um comando plot por exemplo plotty Exemplo 55 Obtenha a resposta ao impulso unitário do seguinte sistema R s C s G s s 0 2s 1 1 2 h h h O Programa 58 em MATLAB produzirá a resposta ao impulso unitário A Figura 524 mostra o gráfico resultante Programa 58 em MATLAB num 1 den 1 02 1 impulsenumden grid titleResposta ao impulso unitário de Gs 1s2 02s 1 FIGURA 524 Resposta ao impulso unitário de Gs 1s202s1 Tempo s Amplitude 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1 08 02 06 08 06 04 0 02 04 Curva de resposta ao impulso unitário 177 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Método alternativo para obter resposta ao impulso Note que quando as condições iniciais são nulas a resposta ao impulso unitário de Gs é a mesma que a resposta ao degrau unitário de sGs Considere a resposta ao impulso unitário do sistema apresentado no Exemplo 55 Como Rs 1 para a entrada em impulso unitário temos R s C s C s G s s s s s s s 0 2 1 1 0 2 1 1 2 2 h h h h Assim podemos converter a resposta ao impulso unitário de Gs na resposta ao degrau unitário de sGs Se digitarmos os seguintes valores de num e den no MATLAB num 0 1 0 den 1 02 1 e utilizarmos o comando de resposta ao degrau como indicado no Programa 59 em MATLAB obteremos uma curva de resposta ao impulso unitário do sistema como mostra a Figura 525 Programa 59 em MATLAB num 1 0 den 1 02 1 stepnumden grid titleResposta ao Degrau Unitário de sGs ss2 02s 1 Resposta à rampa Não existe um comando específico para rampa no MATLAB Assim é necessário utilizar o comando degrau ou o comando lsim que será visto adiante para obter a resposta à rampa Especificamente para obter a resposta à rampa do sistema de função de trans ferência Gs dividese Gs por s e utilizase o comando para a resposta ao degrau Por exemplo considere o sistema de malha fechada R s C s s s s 1 2 1 2 h h FIGURA 525 Resposta ao degrau unitário de sGs ss202s1 Tempo s Amplitude 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1 08 02 06 08 06 04 0 02 04 Curva de resposta ao impulso unitário obtida como a resposta ao degrau unitário de sGs ss2 02s 1 178 Engenharia de controle moderno Para uma entrada em rampa unitária Rs 1s2 Então C s s s s s s s s s s 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 h h Para obter a resposta desse sistema à rampa unitária digite os seguintes valores de numerador e denominador no programa em MATLAB num 2 1 den 1 1 1 0 e utilize o comando de resposta ao degrau Veja o Programa 510 em MATLAB O gráfico que resulta do processamento do programa é mostrado na Figura 526 Programa 510 em MATLAB Resposta à rampa unitária A resposta à rampa unitária é obtida como a resposta ao degrau unitário de Gss Digite o numerador e o denominador de Gss num 2 1 den 1 1 1 0 Especifique os instantes de tempo para o cálculo tais como t 00110 e então digite o comando de resposta ao degrau c stepnumdent t 00110 c stepnumdent No gráfico da curva de resposta à rampa adicione a referência A entrada de referência é t Acrescente ao argumento do comando plot o seguinte tt Assim o comando plot fica como a seguir plottcott plottcott Acrescente grade título xlabel e ylabel grid titleCurva de Resposta à Rampa Unitária para o Sistema Gs 2s 1s2 s 1 xlabelt s ylabelEntrada e Saída FIGURA 526 Curva de resposta à rampa unitária para o sistema Gs 2s 1s2 s 1 t s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Entrada e Saída 12 0 4 2 6 8 10 Curva de resposta em rampa unitária 179 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Resposta à rampa unitária de um sistema definido no espaço de estados A seguir trataremos da resposta à rampa unitária do sistema no modelo de espaço de estados Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx Du onde u é a função rampa unitária A seguir apresentaremos um exemplo simples para explicar o método Considere o caso em que A B x C D 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 h 6 6 G G Quando as condições iniciais forem nulas a resposta à rampa unitária será a integral da resposta ao degrau unitário Então a resposta à rampa unitária pode ser dada por z y dt t 0 544 A partir da Equação 544 obtemos ż y x1 545 Vamos definir z x3 Então a Equação 545 tornase ẋ3 x1 546 Combinando a Equação 546 com a equação original do espaço de estados obtemos x x x x x x u 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H 547 z x x x 0 0 1 1 2 3 6 H 548 onde u aparece na Equação 547 como a função de degrau unitário Essas equações podem ser escritas como ẋ AAx BBu z CCx DDu onde AA BB B CC DD 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 A C 6 6 H H H G Note que x3 é o terceiro elemento de x Um gráfico da curva de resposta à rampa unitária zt pode ser obtido executando o Programa 511 em MATLAB Um gráfico da curva de resposta à rampa unitária obtida como resultado desse programa em MATLAB é mostrado na Figura 527 180 Engenharia de controle moderno Programa 511 em MATLAB Resposta à rampa unitária A resposta à rampa unitária é obtida pela adição de uma nova variável de estado x3 A dimensão da equação de estado é acrescida de 1 Digite as matrizes A B C e D das equações originais de estado e de saída A 0 11 1 B 0 1 C 1 0 D 0 Digite as matrizes AA BB CC e DD das novas equações de estado e de saída aumentados AA A zeros21C 0 BB B0 CC 0 0 1 DD 0 Digite o comando de resposta ao degrau zxt stepAABBCCDD zxt stepAABBCCDD No gráfico x3 adicione a entrada em rampa unitária t digitando o seguinte comando plottx3ott x3 0 0 1x plottx3ott grid titleResposta à Rampa Unitária xlabelt s ylabelEntrada e Saída Obtenção da resposta a uma entrada arbitrária Para obter a resposta a uma entrada arbi trária podese utilizar o comando Isim Os comandos como lsimnumdenrt lsimABCDut y lsimnumdenrt y lsimABCDut FIGURA 527 Resposta à rampa unitária t s Entrada e Saída 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 5 1 0 8 6 3 2 4 7 10 Curva de resposta à rampa unitária 181 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário gerarão a resposta a uma entrada em função do tempo r ou u Veja os dois exemplos a seguir Veja também os problemas A514 a A516 Exemplo 56 Utilizando o comando Isim obtenha a resposta à rampa unitária do seguinte sistema R s C s s s s 1 2 1 2 h h Podemos obter a resposta à rampa unitária por meio do Programa 512 em MATLAB A Figura 528 mostra o gráfico resultante Programa 512 em MATLAB Resposta à rampa num 2 1 den 1 1 1 t 00110 r t y lsimnumdenrt plottrtyo grid titleResposta à Rampa Unitária Obtida com o Uso do Comando lsim xlabelt s ylabelEntrada e Saída do sistema text6346Entrada em Rampa Unitária text47590Saída Exemplo 57 Considere o sistema x x x x u y x x 1 1 0 5 0 0 1 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G FIGURA 528 Resposta à rampa unitária obtida com o uso do comando Isim t s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Entrada e Saída do sistema 12 0 4 2 6 8 10 Saída Entrada em rampa unitária Resposta à rampa unitária 182 Engenharia de controle moderno Utilizando o MATLAB obtenha as curvas de resposta yt quando a entrada u é dada por 1 u entrada em degrau unitário 2 u et Suponha que o estado inicial seja x0 0 Uma opção do programa em MATLAB para produzir as curvas de resposta desse sistema para a entrada em degrau unitário u 1 t e a entrada exponencial u et é mostrada no Programa 513 em MATLAB As curvas de resposta resultantes são apresentadas nas figuras 529a e b respectivamente Programa 513 em MATLAB t 00112 A 1 051 0 B 01 C 1 0 D 0 Para a entrada em degrau unitário u 1t utilize o comando y stepABCD1t y stepABCD1t plotty grid titleResposta ao Degrau Unitário xlabelt s ylabelSaída Para a resposta à ebtrada exponencial u expt utilize o comando z lsimABCDut u expt z lsimABCDut plottutzo grid titleResposta à Entrada Exponencial u expt xlabelt s ylabelEntrada Exponencial e Saída do sistema text23049Entrada Exponencial text64028Saída Resposta à condição inicial A seguir serão apresentados alguns métodos para a obtenção de resposta a uma condição inicial Os comandos que podem ser utilizados são step ou initial Veremos primeiro um método para obter a resposta a uma condição inicial utilizando um exemplo simples Depois discutiremos a resposta a uma condição inicial quando o sistema está represen tado na forma de espaço de estados Por fim apresentaremos um comando inicial para obter a resposta de dado sistema definido em um espaço de estados 183 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Exemplo 58 Considere o sistema mecânico mostrado na Figura 530 onde m 1 kg b 3 Nsm e k 2 Nm Suponha que em t 0 a massa m seja puxada para baixo de modo que x0 01 m e ẋ0 005 ms O deslocamento xt é medido a partir da posição de equilíbrio antes que a massa seja puxa da para baixo Obtenha o movimento da massa sujeita à condição inicial Considere a inexistên cia de uma força externa A equação do sistema é mẍ bẋ kx 0 com as condições iniciais x0 01 m e ẋ0 005 ms x é medido a partir da posição de equi líbrio A transformada de Laplace da equação do sistema resulta em ms2Xs sx0 ẋ0 bsXs x0 kXs 0 ou ms2 bs k Xs mx0s mẋ0 bx0 Resolvendo essa última equação para Xs e substituindo os valores numéricos dados obtemos FIGURA 529 Resposta ao degrau unitário t s 0 2 4 6 8 10 12 Saída 1 02 0 12 06 04 08 14 a Resposta à entrada exponencial u et t s 0 2 4 6 8 10 12 02 b Entrada exponencial e saída do sistema 08 0 1 04 02 06 12 Entrada exponencial Saínda a Resposta ao degrau unitário b resposta à entrada u et 184 Engenharia de controle moderno X s ms bs k mx s mx bx s s s s 0 0 0 3 2 0 1 0 35 2 2 o h h h h Essa equação pode ser escrita como segue X s s s s s s 3 2 0 1 0 35 1 2 2 h Então o movimento da massa m pode ser obtido como a resposta ao degrau unitário do seguinte sistema G s s s s s 3 2 0 1 0 35 2 2 h O Programa 514 em MATLAB fornecerá o gráfico do movimento da massa O gráfico é mos trado na Figura 531 Programa 514 em MATLAB Resposta à condição inicial A resposta do sistema à condição inicial é convertida a uma resposta ao degrau unitário modificandose o polinômio do numerador Digite o numerador e o denominador da função de transferência Gs num 01 035 0 den 1 3 2 Digite o comando de resposta ao degrau a seguir stepnumden Insira a grade e o título do gráfico grid titleResposta do sistema MassaMolaAmortecedor à Condição Inicial FIGURA 530 m k b x Sistema mecânico 185 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Resposta à condição inicial enfoque no espaço de estados caso 1 Considere o sistema definido por ẋ Ax x0 x0 549 Vamos obter a resposta xt quando a condição inicial x0 for especificada Suponha que não exista entrada de forças externas que atuem sobre esse sistema Suponha também que x seja um vetor de ordem n Primeiro obtenha as transformadas de Laplace de ambos os lados da Equação 549 sXs x0 AXs A equação pode ser escrita como sXs AXs x0 550 Considerando a transformada inversa de Laplace da Equação 550 temos ẋ Ax x0 δt 551 Note que ao obter inicialmente a transformada de Laplace de uma equação diferencial e depois considerar a transformada inversa de Laplace dessa equação transformada geramos uma equação diferencial que envolve a condição inicial Agora defina ż x 552 Então a Equação 551 pode ser escrita como z Aż x0 δt 553 Integrando a Equação 553 em relação a t obtemos ż Az x01t Az Bu 554 onde B x0 u 1t Referindose à Equação 552 o estado xt é dado por zt Assim x ż Az Bu 555 A solução das equações 554 e 555 fornece a resposta à condição inicial Em resumo a resposta da Equação 549 à condição inicial x0 é obtida resolvendose as seguintes equações no espaço de estados FIGURA 531 Resposta do sistema massamolaamortecedor à condição inicial Amplitude 012 002 0 008 004 006 01 Tempo s 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Resposta do sistema mecânico considerado no Exemplo 58 186 Engenharia de controle moderno ż Az Bu x Az Bu onde B x0 u 1t Os comandos do MATLAB para obter as curvas de resposta onde não especificamos o vetor de tempo t isto é deixamos o vetor de tempo ser determinado automaticamente pelo MATLAB são dados a seguir Especificar matrizes A e B xzt stepABAB x1 1 0 0 0x x2 0 1 0 0x h xn 0 0 0 1x plottx1tx2 txn Se escolhermos o vetor de tempo t por exemplo considere que o intervalo de tempo no cál culo seja de t 0 a t tp com o incremento de cálculo de Δt então usaremos os seguintes comandos MATLAB t 0 Δt tp Especificar matrizes A e B xzt stepABAB1t x1 1 0 0 0x x2 0 1 0 0x h xn 0 0 0 1x plottx1tx2 txn Veja o Exemplo 59 Resposta à condição inicial enfoque no espaço de estados caso 2 Considere o sistema definido por ẋ Ax x0 x0 556 y Cx 557 Suponha que x seja um vetor de ordem n e que y seja um vetor de ordem m Da mesma maneira que o caso 1 definindo ż x podemos obter a seguinte equação ż Az x01t Az Bu 558 onde B x0 u 1t Observando que x ż a Equação 557 pode ser escrita como y Cż 559 Substituindo a Equação 558 na Equação 559 obtemos y CAz Bu CAz CBu 560 A solução das equações 558 e 560 reescritas aqui 187 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário ż Az Bu y CAz CBu onde B x0 e u 1t fornecem a resposta do sistema para dada condição inicial Os comandos do MATLAB para a obtenção das curvas de resposta curvas de saída y1 versus t y2 versus t ym versus t são mostrados a seguir para dois casos Caso A Quando o vetor de tempo t não é especificado ou seja o vetor de tempo t deverá ser determinado automaticamente pelo MATLAB Especificar matrizes A B e C yzt stepABCACB y1 1 0 0 0y y2 0 1 0 0y h ym 0 0 0 1y plotty1ty2 tym Caso B Quando o vetor de tempo t é especificado t 0 Δt tp Especificar matrizes A B e C yzt stepABCACB1t y1 1 0 0 0y y2 0 1 0 0y h ym 0 0 0 1y plotty1ty2 tym Exemplo 59 Obtenha a resposta do sistema submetido à dada condição inicial x x x x x x 0 10 1 5 0 0 2 1 1 2 1 2 1 2 o o h h G G G G G ou ẋ Ax x0 x0 Obter a resposta do sistema à dada condição inicial vem a ser o mesmo que obter a resposta ao degrau unitário do seguinte sistema ż Az Bu x Az Bu onde B x0 u 1t Então uma opção do programa em MATLAB para obter a resposta é o Programa 515 em MATLAB As curvas de resposta resultantes são mostradas na Figura 532 188 Engenharia de controle moderno Programa 515 em MATLAB t 00013 A 0 110 5 B 21 xzt stepABAB1t x1 1 0x x2 0 1x plottx1xtx2 grid titleResposta à Condição Inicial xlabelt s ylabelVariáveis de Estado x1 e x2 gtextx1 gtextx2 Para um exemplo ilustrativo de como usar as equações 558 e 560 para encontrar a resposta à condição inicial veja o Problema A516 Obtenção da resposta à condição inicial pelo uso do comando inicial Se o sistema for definido no espaço de estados então o comando initialABCDinitial conditiont produzirá a resposta à condição inicial Considerando o sistema definido por ẋ Ax Bu x0 x0 y Cx Du onde A B C x D 0 10 1 5 0 0 0 0 0 2 1 0 6 G G G então o comando initial pode ser utilizado como mostra o Programa 516 em MATLAB para a obtenção da resposta à condição inicial As curvas de resposta x1t e x2t são mostradas na Figura 533 Elas são as mesmas que as da Figura 532 FIGURA 532 Resposta à condição inicial t s 0 05 1 15 2 25 3 Variáveis de estado x1 e x2 3 2 3 1 1 0 2 x1 x2 Resposta do sistema do Exemplo 59 à condição inicial 189 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Programa 516 em MATLAB t 00053 A 0 110 5 B 00 C 0 0 D 0 yx initialABCD21t x1 1 0x x2 0 1x plottx1otx1tx2xtx2 grid titleResposta à Condição Inicial xlabelt s ylabelVariáveis de Estado x1 e x2 gtextx1 gtextx2 Exemplo 510 Considere o seguinte sistema submetido às condições iniciais Não existem forças externas atuantes yq 8ÿ 17ẏ 10y 0 y0 2 ẏ0 1 ÿ0 05 Obtenha a resposta yt para a condição inicial dada Definindo as variáveis de estado como x1 y x2 ẏ x3 ÿ obtemos a seguinte representação para o sistema no espaço de estados x x x x x x x x x y x x x 0 0 10 1 0 17 0 1 8 0 0 0 2 1 0 5 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o h h h 6 H H H H H H FIGURA 533 Resposta à condição inicial t s 0 05 1 15 2 25 3 Variável de estado x1 e x2 3 3 2 1 0 1 2 x1 x2 Curvas de resposta à condição inicial 190 Engenharia de controle moderno Uma opção do programa em MATLAB para a obtenção da resposta yt é o Programa 517 em MATLAB A curva de resposta resultante é mostrada na Figura 534 Programa 517 em MATLAB t 000510 A 0 1 00 0 110 17 8 B 000 C 1 0 0 D 0 y initialABCD2105t plotty grid titleResposta à Condição Inicial xlabelt s ylabelSaída y 56 Critério de estabilidade de Routh O problema mais importante relacionado aos sistemas de controle lineares é o da estabilidade Isto é sob quais condições um sistema se tornará instável Se for instável como deveríamos estabilizálo Na Seção 54 foi visto que um sistema de controle é estável se e somente se todos os polos de malha fechada estiverem situados no semiplano esquerdo do plano s A maioria dos sistemas lineares de malha fechada tem funções de transferência de malha fechada da forma R s C s a s a s a s a b s b s b s b A s B s n n n n m m m m 0 1 1 1 0 1 1 1 g g h h h h onde a e b são constantes e m n Um critério simples conhecido como critério de estabi lidade de Routh nos possibilita determinar o número de polos de malha fechada que se situam no semiplano direito do plano s sem ter de fatorar o polinômio do denominador O polinômio pode incluir parâmetros que o MATLAB não pode tratar FIGURA 534 Saída y t s Resposta à condição inicial 05 1 15 2 25 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resposta yt à condição inicial 191 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Critério de estabilidade de Routh O critério de estabilidade de Routh nos diz se existem ou não raízes instáveis em uma equação polinomial sem que seja necessário resolvêla Este crité rio de estabilidade aplicase somente a polinômios com um número finito de termos Quando o critério é aplicado a um sistema de controle as informações sobre a estabilidade absoluta podem ser obtidas diretamente dos coeficientes da equação característica Eis o procedimento no critério de estabilidade de Routh 1 Escreva o polinômio em s da seguinte maneira a0 sn a1 sn 1 an 1 s an 0 561 onde os coeficientes são grandezas reais Suponha que an 0 isto é qualquer raiz nula foi removida 2 Se algum dos coeficientes for zero ou negativo na presença de pelo menos um coeficiente positivo então existirá uma ou várias raízes imaginárias ou que tenham partes reais posi tivas Assim nesse caso o sistema não será estável Se estivermos interessados somente na estabilidade absoluta não haverá necessidade de continuar o procedimento Observe que todos os coeficientes devem ser positivos Esta é uma condição necessária como podemos ver no argumento a seguir um polinômio em s tendo coeficientes reais sempre poderá ser fatorado em fatores lineares e quadráticos como s a e s2 bs c onde a b e c são reais Os fatores lineares resultam em raízes reais e os fatores quadráticos em raízes complexas conjugadas do polinômio O fator s2 bs c resulta em raízes com partes reais negativas somente se b e c forem ambos positivos Para que todas as raízes tenham partes reais negativas as constantes a b c etc em todos os fatores devem ser positivas O produto de qualquer número de fatores lineares e quadráticos que contenha somente coeficientes positivos resulta sempre em um polinômio com coeficientes positi vos É importante notar que a condição de que todos os coeficientes sejam positivos não é suficiente para assegurar estabilidade A condição necessária mas não suficiente para a estabilidade é que os coeficientes da Equação 561 estejam todos presentes e que todos tenham sinais positivos Se todos os a forem negativos estes podem ser feitos positivos multiplicando ambos os lados da equação por 1 3 Se todos os coeficientes forem positivos organize os coeficientes do polinômio em linhas e colunas de acordo com o seguinte padrão sn a0 a2 a4 a6 sn 1 a1 a3 a5 a7 sn 2 b1 b2 b3 b4 sn 3 c1 c2 c3 c4 sn 4 d1 d2 d3 d4 h h h s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1 O processo de formação das linhas continua até que se esgotem todos os elementos O número total de linhas é n 1 Os coeficientes b1 b2 b3 etc são calculados como segue 192 Engenharia de controle moderno b a a a a a b a a a a a b a a a a a 1 1 1 2 0 3 2 1 1 4 0 5 3 1 1 6 0 7 h O cálculo dos b continua até que os elementos restantes sejam todos zeros O mesmo padrão de multiplicação em cruz dos coeficientes das duas linhas anteriores é seguido para o cálculo de c d e etc Ou seja c b b a a b c b b a a b c b b a a b 1 1 1 3 1 2 2 1 1 5 1 3 3 1 1 7 1 4 h e d c c b b c d c c b b c 1 1 1 2 1 2 2 1 1 3 1 3 h Esse processo continua até que a nésima linha seja completada A matriz completa de coeficien tes é triangular Observe que ao desenvolver essa matriz uma linha inteira pode ser dividida ou multiplicada por um número positivo de modo a simplificar os cálculos numéricos subsequentes sem alterar a conclusão sobre a estabilidade O critério de estabilidade de Routh afirma que o número de raízes da Equação 561 com partes reais positivas é igual ao número de mudanças no sinal dos coeficientes da primeira coluna da matriz Devese notar que os valores exatos dos termos na primeira coluna não precisam ser conhecidos do contrário apenas os sinais são necessários A condição necessária e suficiente para que todas as raízes da Equação 561 se situem no semiplano esquerdo do plano s é que todos os coeficientes da Equação 561 sejam positivos e que todos os elementos da primeira coluna da matriz tenham sinais positivos Exemplo 511 Vamos aplicar o critério de estabilidade de Routh ao seguinte polinômio de terceira ordem a0s3 a1s2 a2s a3 0 onde todos os coeficientes são números positivos A matriz dos coeficientes é s3 a0 a2 s2 a1 a3 s1 a a a a a 1 1 2 0 3 s0 a3 A condição para que todas as raízes tenham partes reais negativas é dada por a1a2 a0a3 193 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Exemplo 512 Considere o seguinte polinômio s4 2s3 3s2 4s 5 0 Vamos seguir o procedimento visto e construir a matriz de coeficientes As duas primeiras linhas podem ser obtidas diretamente a partir do polinômio dado Os termos restantes são obtidos a partir destes Se algum dos coeficientes for inexistente este poderá ser substituído por zeros na tabela s4 1 3 5 s4 1 3 5 s3 2 4 0 s3 2 4 0 A segunda linha é dividida por 2 1 2 0 s2 1 5 s2 1 5 s1 6 s1 3 s0 5 s0 5 Neste exemplo o número de mudanças no sinal dos coeficientes na primeira coluna é 2 Isso quer dizer que existem duas raízes com partes reais positivas Note que o resultado não se altera quando os coeficientes de uma linha são multiplicados ou divididos por um número positivo visando simplificar o cálculo Casos especiais Se um termo na primeira coluna de qualquer linha for nulo mas os termos restantes não forem nulos ou não existirem então o termo nulo será substituído por um número positivo muito pequeno ϵ e o resto da matriz será calculada Considere por exemplo a seguin te equação s3 2s2 s 2 0 562 A matriz de coeficientes é s3 1 1 s2 2 2 s1 0 ϵ s0 2 Se o sinal do coeficiente acima do zero ϵ é o mesmo do coeficiente abaixo isso indica que existe um par de raízes imaginárias De fato a Equação 562 tem duas raízes em s j Entretanto se o sinal do coeficiente acima do zero ϵ for oposto ao do coeficiente abaixo isso indica que existe uma mudança de sinal Por exemplo na equação s3 3s 2 s 12s 2 0 a matriz dos coeficientes é Uma mudança de sinal s3 1 3 s2 0 ϵ 2 s1 3 2 e s0 2 Uma mudança de sinal Ocorreram duas mudanças de sinal dos coeficientes na primeira coluna Portanto há duas raízes no semiplano direito do plano s Isso está de acordo com o resultado correto indicado pela forma fatorada da equação polinomial Se todos os coeficientes em uma linha calculada forem nulos isso indica que há raízes de mesmo valor radialmente opostas situadas no plano s isto é duas raízes reais de igual valor e sinais opostos eou duas raízes imaginárias conjugadas Nesse caso podese continuar o cálculo do resto da matriz formandose um polinômio auxiliar com os coeficientes da última linha e utilizando os coeficientes da derivada desse polinômio na próxima linha Essas raízes de igual valor e situadas radialmente opostas no plano s podem ser determinadas resolvendo o polinômio 194 Engenharia de controle moderno auxiliar que é sempre par Para um polinômio auxiliar de grau 2n existem n pares de raízes iguais e opostas Por exemplo considere a seguinte equação s5 2s4 24s3 48s2 25s 50 0 A matriz de coeficientes é s5 1 24 25 s4 2 48 50 Polinômio auxiliar Ps s3 0 0 Os termos na linha s3 são todos nulos Note que esse caso ocorre somente em uma linha de número ímpar O polinômio auxiliar é então formado a partir dos coeficientes da linha s4 O polinômio auxiliar Ps é Ps 2s4 48s2 50 o que indica que existem dois pares de raízes de igual valor e sinais opostos isto é duas raízes reais com o mesmo valor mas sinais opostos ou duas raízes complexas conjugadas no eixo imaginário Esses pares são obtidos resolvendose a equação polinomial auxiliar Ps 0 A derivada de Ps em relação a s é 8 96 ds dP s s s 3 h Os termos na linha s3 são substituídos pelos coeficientes da última equação isto é 8 e 96 A matriz de coeficientes tornase então s5 1 24 25 s4 2 48 50 s3 8 96 Coeficientes de dPsds s2 24 50 s1 1127 0 s0 50 Vemos que ocorre uma mudança de sinal na primeira coluna da nova matriz Assim a equação original tem uma raiz com uma parte real positiva Resolvendose as raízes da equação polinomial auxiliar 2s4 48s2 50 0 obtemos s2 1 s2 25 ou s 1 s j5 Esses dois pares de raízes de Ps fazem parte das raízes da equação original De fato a equação original pode ser escrita na forma fatorada como a seguir s 1s 1s j5s j5s 2 0 É evidente que a equação original tem uma raiz com uma parte real positiva Análise da estabilidade relativa O critério de estabilidade de Routh fornece a resposta para a questão da estabilidade absoluta Isso em muitos casos práticos não é suficiente Normalmente é necessária uma informação sobre a estabilidade relativa do sistema Um método eficiente para examinar a estabilidade relativa é deslocar o eixo do plano s e aplicar o critério de estabilidade de Routh Isto é substituise s ŝ v v constante na equação característica do sistema escrevese o polinômio em termos de ŝ e aplicase o critério de estabilidade de Routh ao novo polinômio em ŝ O número de mudanças de sinal na primeira 195 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário coluna da matriz desenvolvida para o polinômio em ŝ é igual ao número de raízes que estão localizadas à direita da linha vertical s v Assim esse teste revela o número de raízes que se situam à direita da linha vertical s v Aplicação do critério de estabilidade de Routh à análise de sistemas de controle O critério de estabilidade de Routh é de utilidade limitada na análise de sistemas de controle linea res principalmente porque não sugere como melhorar a estabilidade relativa ou como estabilizar um sistema instável É possível entretanto determinar os efeitos da mudança de um ou dois parâmetros de um sistema examinando os valores que causam a instabilidade A seguir consi deraremos o problema da determinação do intervalo de variação de um parâmetro compatível com a estabilidade do sistema Considere o sistema mostrado na Figura 535 Vamos determinar o intervalo de valores de K para que haja estabilidade A função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s K K 1 2 2 h h h h A equação característica é s4 3s3 3s2 2s K 0 A matriz de coeficientes é então s4 1 3 K s3 3 2 0 s2 3 7 K s1 2 7 9 K s0 K Para que haja estabilidade K e todos os coeficientes na primeira coluna devem ser positivos Assim 9 14 K 0 Quando K 9 14 o sistema tornase oscilatório e matematicamente a oscilação é mantida com amplitude constante Note que os limites dos parâmetros de projeto que levam à estabilidade podem ser determi nados pelo uso do critério de estabilidade de Routh 57 Efeitos das ações de controle integral e derivativo no desempenho dos sistemas Nesta seção estudaremos os efeitos das ações de controle integral e derivativo no desem penho do sistema Aqui serão considerados somente sistemas simples de modo que os efeitos das ações de controle integral e derivativo sobre o desempenho do sistema possam ser vistos com clareza FIGURA 535 Rs Cs K ss2 s 1 s 2 Sistema de controle 196 Engenharia de controle moderno Ação de controle integral No controle proporcional de uma planta cuja função de transfe rência não possui um integrador 1s existe um erro estacionário ou erro residual na resposta a uma entrada em degrau Esse erro residual pode ser eliminado se uma ação de controle integral for incluída no controlador No controle integral de uma planta o sinal de controle o sinal de saída do controlador em qualquer instante é a área sob a curva do sinal de erro atuante até aquele momento O sinal de controle ut pode ter um valor não nulo quando o sinal de erro atuante et for zero como se pode ver na Figura 536a Isso é impossível no caso do controlador proporcional uma vez que um sinal de controle não nulo requer um sinal de erro atuante não nulo Um sinal de erro atuante em regime permanente significa que existe um erro residual A Figura 536b mostra a curva et versus t e a curva correspondente ut versus t quando o controlador é do tipo proporcional Observe que a ação de controle integral embora remova o erro residual ou o erro estacionário pode conduzir a uma resposta oscilatória com uma amplitude que decresce lentamente ou mesmo uma amplitude sempre crescente ambas em geral indesejáveis Sistemas de controle proporcional Veremos que para uma entrada em degrau o controle proporcional de um sistema sem integrador ocasionará um erro estacionário Mostraremos então que esse erro pode ser eliminado se for incluída no controlador uma ação de controle integral Considere o sistema mostrado na Figura 537 Obteremos o erro estacionário da resposta do sistema ao degrau unitário Defina G s Ts K 1 h Como 1 R s E s R s R s C s R s C s G s 1 1 h h h h h h h h o erro Es é dado como E s G s R s Ts K R s 1 1 1 1 1 h h h h FIGURA 537 1 Ts 1 Rs Es Cs K Controlador proporcional Planta Sistema de controle proporcional FIGURA 536 et ut 0 0 t t et ut 0 0 t t a b a Gráficos das curvas et e ut mostrando sinal de controle não nulo quando o sinal de erro atuante é zero controle integral b gráficos das curvas et e ut mostrando sinal de controle nulo quando o sinal de erro atuante é zero controle proporcional 197 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Para a entrada em degrau unitário Rs 1s temos E s Ts K Ts s 1 1 1 h O erro estacionário é lim lim lim e e t sE s Ts K Ts K 1 1 1 1 t s s 0 0 ss 3 h h Esse sistema sem um integrador no ramo direto sempre tem um erro estacionário na resposta ao degrau Esse erro estacionário é chamado erro residual A Figura 538 mostra a resposta ao degrau unitário e o erro residual Controle integral de sistemas Considere o sistema exposto na Figura 539 O controlador é integral A função de transferência de malha fechada do sistema é R s C s s Ts K K 1 h h h Portanto R s E s R s R s C s s Ts K s Ts 1 1 h h h h h h h Como o sistema é estável o erro estacionário para a resposta ao degrau unitário pode ser obtido aplicandose o teorema do valor final como segue lim lim e sE s Ts s K s Ts s 1 1 0 s s 0 0 2 2 ss h h O controle integral do sistema elimina então o erro estacionário na resposta ao degrau de entra da Este é um importante aperfeiçoamento em relação ao controle proporcional puro que não impede o erro residual Resposta a distúrbios do tipo torque controle proporcional Vamos estudar os efeitos de um distúrbio do tipo torque ou conjugado que ocorre no elemento de carga Considere o sis tema mostrado na Figura 540 O controlador proporcional transmite o torque T para posicionar o FIGURA 538 ct 1 0 t Erro residual Resposta ao degrau unitário e erro residual FIGURA 539 1 Ts 1 Rs Cs Es K s Sistema de controle integral 198 Engenharia de controle moderno elemento de carga que consiste em momento de inércia e atrito viscoso O torque que age como distúrbio é designado como D Supondo que a entrada de referência seja nula ou Rs 0 a função de transferência entre Cs e Ds será dada por D s C s Js bs K 1 p 2 h h Portanto D s E s D s C s Js bs K 1 p 2 h h h h O erro estacionário causado pelo torque de perturbação em degrau de valor Td é dado por lim lim e sE s Js bs K s s T K T s s p d p d 0 0 2 ss h Em regime permanente o controlador proporcional fornece um torque Td que é igual em valor mas de sinal oposto ao torque de perturbação Td A saída em regime permanente pelo torque de perturbação em degrau é c e K T p d ss ss O erro estacionário pode ser reduzido aumentandose o valor do ganho Kp O aumento desse valor entretanto tornará a resposta do sistema mais oscilatória Resposta a distúrbios do tipo torque controle proporcionalintegral Para eliminar o erro residual em virtude de um distúrbio do tipo torque o controlador proporcional pode ser substituído por um controlador proporcionalintegral Se for acrescentada uma ação de controle integral ao controlador enquanto existir um sinal de erro um torque será desenvolvido pelo controlador para reduzir esse erro desde que o siste ma de controle seja estável A Figura 541 mostra um controle proporcionalintegral em um sistema cujo elemento de carga é constituído pelo momento de inércia e atrito viscoso A função de transferência de malha fechada entre Cs e Ds é D s C s Js bs K s T K s p i p 3 2 h h Na ausência da entrada de referência ou rt 0 o sinal de erro é obtido a partir de FIGURA 540 R D C E T Kp 1 sJs b Sistema de controle de distúrbio por torque 199 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário E s Js bs K s T K s D s p i p 3 2 h h Se o sistema de controle for estável isto é se as raízes da equação característica 0 Js bs K s T K p i p 3 2 tiverem partes reais negativas então o erro estacionário na resposta a um torque de distúrbio em degrau unitário pode ser obtido pela aplicação do teorema do valor final como segue lim lim e sE s Js bs K s T K s s 1 0 s s p i p 0 0 3 2 2 ss h Assim o erro estacionário relativo ao torque de perturbação em degrau pode ser eliminado se o controlador for do tipo proporcionalintegral Observe que a ação de controle integral acrescentada ao controlador proporcional converteu o sistema originalmente de segunda ordem em um sistema de terceira ordem Então para um valor muito alto de Kp o sistema de controle pode se tornar instável uma vez que as raízes da equação característica podem conter partes reais positivas Um sistema de segunda ordem é sempre estável se os coeficientes da equação diferencial do sistema forem todos positivos É importante destacar que se o controlador fosse um controlador integral como na Figu ra 542 então o sistema sempre se tornaria instável porque a equação característica Js3 bs2 K 0 teria raízes com partes reais positivas Esse sistema instável não poderia ser utilizado na prática Note que no sistema da Figura 541 a ação de controle proporcional tende a estabilizar o sistema enquanto a ação de controle integral tende a eliminar ou reduzir o erro estacionário na resposta a várias entradas FIGURA 541 C E D R 0 T Kp1 1 Tis 1 sJs b Controle proporcional integral de um elemento de carga que consiste em momento de inércia e atrito viscoso FIGURA 542 C E D R 0 T K s 1 sJs b Controle integral de um elemento de carga que consiste em momento de inércia e atrito viscoso 200 Engenharia de controle moderno Ação de controle derivativo Uma ação de controle derivativo quando acrescentada a um controlador proporcional permite que se obtenha um controlador de alta sensibilidade Uma vantagem em utilizar a ação de controle derivativo é que esta responde a uma taxa de variação do erro atuante e pode produzir uma correção significativa antes que o valor do erro atuante se torne muito elevado Portanto o controle derivativo prevê o erro atuante inicia uma ação corretiva antecipada e tende a aumentar a estabilidade do sistema Embora o controle derivativo não afete diretamente o erro estacionário ele aumenta o amor tecimento do sistema permitindo assim o uso de um valor mais elevado do ganho K o que resultará em maior precisão no regime permanente Pelo fato de o controle derivativo operar sobre a taxa de variação do erro atuante e não sobre o próprio erro atuante esse modo nunca é utilizado sozinho Ele é sempre utilizado em combinação com uma ação de controle proporcional ou proporcionalintegral Controle proporcional de sistemas com carga inercial Antes de discutirmos o efeito da ação de controle derivativo no desempenho do sistema vamos considerar o controle proporcional de uma carga inercial Considere o sistema mostrado na Figura 543a A função de transferência de malha fechada é obtida como R s C s Js K K p 2 p h h Como as raízes da equação característica Js2 Kp 0 são imaginárias a resposta à entrada em degrau unitário continua a oscilar indefinidamente como mostra a Figura 543b Os sistemas de controle que apresentam essas características de resposta não são desejáveis Veremos que a adição do controle derivativo estabilizará o sistema Controle proporcionalderivativo de sistemas com carga inercial Vamos transformar um controlador proporcional em um controlador proporcionalderivativo cuja função de transferência é Kp1 Td s O torque desenvolvido pelo controlador é proporcional a Kpe Td ė O controle derivativo é essencialmente antecipatório medindo a velocidade dos erros instantâneos prevendo um grande sobressinal antes que ele ocorra e produzindo ações apropriadas de limitação antes que o sobressinal assuma um valor muito elevado Considere o sistema apresentado na Figura 544a A função de transferência de malha fechada é dada por FIGURA 543 Rs Cs a b Kp 1 Js2 ct 1 0 t a Controle proporcional de um sistema com carga inercial b resposta a uma entrada em degrau unitário 201 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário R s C s Js K T s K K T s 1 p d p p d 2 h h h A equação característica Js2 KpTd s Kp 0 tem agora duas raízes com partes reais negativas para os valores de J Kp e Td Assim o controle derivativo introduz um efeito de amortecimento A Figura 544b apresenta uma curva típica de resposta ct para uma entrada em degrau unitário Evidentemente a curva de resposta mostra uma melhoria significativa em relação à curva de resposta original da Figura 546b Controle proporcionalderivativo de sistemas de segunda ordem Podese obter uma conciliação entre o comportamento da resposta transitória aceitável e o comportamento aceitável em regime permanente utilizando uma ação de controle proporcionalderivativo Considere o sistema da Figura 545 A função de transferência de malha fechada é R s C s Js B K s K K K s d p p d 2 h h h O erro estacionário para uma entrada em rampa unitária é e K B p ss A equação característica é Js2 B Kds Kp 0 O coeficiente de amortecimento efetivo desse sistema é então B Kd em lugar de B Como o coeficiente de amortecimento ζ do sistema é K J B K 2 p d g FIGURA 544 b ct 1 0 t Rs Cs a Kp 1 Tds 1 Js2 a Controle proporcional derivativo de um sistema com carga inercial b resposta a uma entrada em degrau unitário FIGURA 545 Rs Cs Kp Kds 1 sJs B Sistema de controle 202 Engenharia de controle moderno é possível obter valores pequenos tanto para o erro estacionário ess correspondente a uma entrada em rampa como para o máximo sobressinal para uma entrada em degrau fazendo que o valor de B seja pequeno o de Kp elevado e o de Kd seja grande o bastante para que o valor de ζ fique entre 04 e 07 58 Erros estacionários em sistemas de controle com realimentação unitária Os erros em um sistema de controle podem ser atribuídos a muitos fatores Alterações na entrada de referência causarão erros inevitáveis durante o regime transitório podendo causar também erros estacionários Imperfeições nos componentes do sistema como atrito estático folga e deriva dos amplificadores bem como desgaste ou deterioração causarão erros em regi me permanente Nesta seção entretanto não discutiremos erros causados por imperfeições nos componentes do sistema Em vez disso vamos estudar um tipo de erro estacionário que é causado pela incapacidade de um sistema em seguir determinados tipos de sinais de entradas Qualquer sistema de controle físico apresenta inerentemente erros estacionários na resposta a certos tipos de entradas Um sistema pode não apresentar um erro estacionário a uma entrada em degrau mas o mesmo sistema pode apresentar um erro estacionário não nulo a uma entrada em rampa A única maneira possível de eliminar esse erro é modificando a estrutura do sistema O erro estacionário que um sistema apresenta em relação a determinado tipo de entrada depende do tipo de função de transferência de malha aberta desse sistema o que será discutido a seguir Classificação dos sistemas de controle Os sistemas de controle podem ser classificados de acordo com sua habilidade em seguir os sinais de entrada em degrau em rampa em parábola etc Este é um critério razoável de classificação pois as entradas reais com frequência podem ser consideradas combinações das entradas citadas Os valores dos erros estacionários relativos a essas entradas individuais são indicadores de qualidade do sistema Considere o sistema de controle com realimentação unitária com a seguinte função de trans ferência de malha aberta Gs G s s T s T s T s K T s T s T s 1 1 1 1 1 1 N p a b m 1 2 g g h h h h h h h Essa função de transferência contém o termo sN no denominador representando um polo de multi plicidade N na origem O presente método de classificação tem como base o número de integrações indicadas pela função de transferência de malha aberta Um sistema é chamado tipo 0 tipo 1 tipo 2 se N 0 N 1 N 2 respectivamente Note que essa classificação é diferente da que se refere à ordem de um sistema Conforme o tipo N aumenta a precisão aumenta por outro lado agravase a estabilidade do sistema É sempre necessária uma conciliação entre precisão em regime permanente e estabilidade relativa Veremos adiante que se Gs for escrita de modo que cada termo no numerador e no deno minador exceto os termos sN se aproxime da unidade à medida que s se aproxima de zero então o ganho K de malha aberta estará diretamente relacionado ao erro estacionário Erros estacionários Considere o sistema mostrado na Figura 546 A função de transferência de malha fechada é R s C s G s G s 1 h h h h A função de transferência entre o sinal de erro et e o sinal de entrada rt é 1 R s E s R s C s G s 1 1 h h h h h onde o erro et é a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de saída 203 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário O teorema do valor final oferece um modo conveniente de determinar o desempenho em regime permanente de um sistema estável Como Es é E s G s R s 1 1 h h h o erro estacionário é lim lim lim e e t sE s G s sR s 1 t s s 0 0 ss 3 h h h h As constantes de erro estático definidas a seguir são figuras de mérito dos sistemas de controle Quanto mais altas as constantes menor o erro estacionário Em dado sistema a saída pode ser a posição a velocidade a pressão a temperatura ou outros fatores A natureza física da saída entretanto é irrelevante nesta análise Assim a seguir chamaremos a saída de posição a taxa de variação da saída de velocidade etc Isso significa que no sistema de controle de tempera tura posição representa a temperatura de saída velocidade representa a taxa de variação da temperatura de saída e assim por diante Constante de erro estático de posição Kp O erro estacionário do sistema para uma entrada em degrau é lim e G s s s G 1 1 1 0 1 s 0 ss h h A constante de erro estático de posição Kp é definida por Kp lim s 0 Gs G0 Então o erro estacionário em termos da constante de erro estático de posição Kp é dado por e K 1 1 p ss Para um sistema do tipo 0 lim K T s T s K T s T s K 1 1 1 1 p s a b 0 1 2 g g h h h h Para um sistema do tipo 1 ou maior 1 lim K s T s T s K T s T s N 1 1 1 1 para p s N a b 0 1 2 g g 3 h h h h Então para um sistema do tipo 0 a constante de erro estático de posição Kp é finita ao passo que para um sistema do tipo 1 ou maior Kp é infinita Para uma entrada em degrau unitário o erro estacionário ess pode ser resumido como segue e K 1 1 ss para sistemas do tipo 0 ess 0 para sistemas do tipo 1 ou maiores FIGURA 546 Rs Cs Es Gs Sistema de controle 204 Engenharia de controle moderno A partir da análise anterior podese ver que a resposta de um sistema de controle com realimentação a uma entrada em degrau conterá um erro estacionário se não houver integração no ramo direto Se erros pequenos para entradas em degrau puderem ser tolerados então um sistema do tipo 0 poderá ser admissível desde que o ganho K seja suficientemente grande Se este for muito grande entretanto será difícil obter uma estabilidade relativa adequada Se for desejável um erro estacionário nulo para uma entrada em degrau o tipo do sistema deverá ser 1 ou maior Constante de erro estático de velocidade Ky O erro estacionário do sistema com uma entrada em rampa unitária é dado por lim lim e G s s s sG s 1 1 1 s s 0 2 0 ss h h A constante de erro estático de velocidade Ky é definida por Ky lim s 0 sGs Assim o erro estacionário em termos da constante de erro estático de velocidade Ky é dado por e K 1 ss y O termo erro de velocidade é empregado aqui para expressar o erro estacionário para uma entrada em rampa A dimensão do erro de velocidade é a mesma do erro do sistema Ou seja o erro de velocidade não é um erro na velocidade e sim um erro de posição em decorrência de uma entrada em rampa Para um sistema do tipo 0 0 lim K T s T s sK T s T s 1 1 1 1 s a b 0 1 2 g g y h h h h Para um sistema do tipo 1 lim K s T s T s sK T s T s K 1 1 1 1 s a b 0 1 2 g g y h h h h Para um sistema do tipo 2 ou maior 2 lim K s T s T s sK T s T s N 1 1 1 1 para s N a b 0 1 2 g g 3 y h h h h O erro estacionário ess para a entrada em rampa unitária pode ser resumido como segue ess K 1 y para sistemas do tipo 0 ess K 1 y K 1 para sistemas do tipo 1 ess K 1 y 0 para sistemas do tipo 2 ou maiores A análise anterior indica que um sistema do tipo 0 é incapaz de seguir em regime estacio nário uma entrada em rampa O sistema do tipo 1 com realimentação unitária pode seguir a entrada em rampa com um erro finito Em uma operação em regime estacionário a velocidade de saída é exatamente a mesma velocidade de entrada mas existe um erro de posição Esse erro é proporcional à velocidade de entrada e é inversamente proporcional ao ganho K A Figura 547 mostra um exemplo da resposta de um sistema do tipo 1 com realimentação unitária a uma entrada em rampa O sistema de tipo 2 ou maior pode seguir uma entrada em rampa em regime estacionário com erro nulo 205 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Constante de erro estático de aceleração Ka O erro estacionário do sistema com uma entrada em parábola unitária entrada em aceleração definida como rt t 2 2 para t 0 0 para t 0 é dado por lim lim e G s s s s G s 1 1 1 s s 0 3 0 2 ss h h A constante de erro estático de aceleração Ka é definida pela equação Ka lim s 0 s2Gs O erro estacionário é então e K 1 a ss Note que o erro de aceleração isto é o erro estacionário em virtude da entrada em parábola é um erro de posição Os valores de Ka são obtidos como segue Para um sistema do tipo 0 0 lim K T s T s s K T s T s 1 1 1 1 a s a b 0 1 2 2 g g h h h h Para um sistema do tipo 1 0 lim K s T s T s s K T s T s 1 1 1 1 a s a b 0 1 2 2 g g h h h h Para um sistema do tipo 2 lim K s T s T s s K T s T s K 1 1 1 1 a s a b 0 2 1 2 2 g g h h h h Para um sistema do tipo 3 ou maior 3 lim K s T s T s s K T s T s N 1 1 1 1 para a s N a b 0 1 2 2 g g 3 h h h h FIGURA 547 rt ct 0 t rt ct Resposta de um sistema do tipo 1 com realimentação unitária a uma entrada em rampa 206 Engenharia de controle moderno Assim o erro estacionário para uma entrada em parábola unitária é ess para sistemas dos tipos 0 e 1 ess K 1 para sistemas do tipo 2 ess 0 para sistemas do tipo 3 ou maiores Observe que tanto os sistemas do tipo 0 como os do tipo 1 são incapazes de seguir uma entrada em parábola no estado permanente O sistema do tipo 2 com realimentação unitária pode seguir uma entrada em parábola com um sinal de erro finito A Figura 548 mostra um exemplo da resposta de um sistema do tipo 2 com realimentação unitária a uma entrada em parábola O sistema do tipo 3 ou maior com realimentação unitária em regime permanente segue uma entrada em parábola com erro zero Resumo A Tabela 51 resume os erros estacionários para sistemas dos tipos 0 1 e 2 quando estes forem submetidos a diversas entradas Os valores finitos para erros estacionários aparecem na linha diagonal Acima da diagonal os erros estacionários são infinitos abaixo da diagonal são nulos Devese lembrar que os termos erro de posição erro de velocidade e erro de aceleração significam desvios em regime estacionário na posição da saída Um erro na velocidade finita implica que depois que os transitórios tenham desaparecido a entrada e a saída se movem na mesma velocidade mas têm uma diferença de posição finita As constantes de erro Kp Ky e Ka descrevem a habilidade de um sistema com realimentação unitária para reduzir ou eliminar o erro estacionário Portanto são indicativos do desempenho em regime permanente Em geral é desejável aumentar as constantes de erro enquanto se mantém a resposta transitória dentro de um limite aceitável Observe que para melhorar o desempenho FIGURA 548 rt ct 0 t rt ct Resposta de um sistema do tipo 2 com realimentação unitária a uma entrada em parábola TABELA 51 Entrada em degrau rt 1 Entrada em rampa rt t Entrada em aceleração rt 2 1 t2 Sistema do tipo 0 K 1 1 Sistema do tipo 1 0 K 1 Sistema do tipo 2 0 0 K 1 Erro estacionário em termos do ganho de K 207 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário em regime permanente é necessário aumentar o tipo do sistema adicionando um integrador ou integradores no ramo direto Entretanto isso introduz um problema adicional de estabilidade O projeto de um sistema satisfatório com mais de dois integradores em série no ramo direto geralmente não é fácil Exemplos de problemas com soluções A51 No sistema da Figura 549 xt é o deslocamento de entrada e θt é o deslocamento angular de saída Suponha que as massas envolvidas sejam desprezíveis e a restrição de todos os movimen tos seja pequena então o sistema pode ser considerado linear As condições iniciais de x e θ são nulas ou seja x0 0 e θ0 0 Mostre que esse sistema é um elemento derivador Em seguida obtenha a resposta θt quando xt for um degrau unitário Solução A equação para o sistema é bẋ Lio kLθ ou L b k L x i i o o A transformada de Laplace dessa última equação considerando condições iniciais nulas é Ls b k L s sX s H c m h h Assim X s s L s k b s 1 H h h h Portanto o sistema dado é um sistema derivador Para uma entrada em degrau unitário Xs 1s a saída Θs tornase s L s k b 1 1 H h h A transformada inversa de Laplace de Θs nos fornece t L e 1 k b t i h h FIGURA 549 Sem atrito x b k θ L Sistema mecânico 208 Engenharia de controle moderno Note que se o valor de kb for grande a resposta θt se aproximará de um sinal em forma de pulso como mostra a Figura 550 A52 Conjuntos de engrenagens são frequentemente utilizados nos servossistemas para reduzir a velo cidade aumentar o torque ou obter transferência de potência mais eficaz adequando a rotação do motor com a da carga considerada Considere o sistema de engrenagens mostrado na Figura 551 Nesse sistema a carga é acionada por um motor por meio de um conjunto de engrenagens Supondo que a rigidez dos eixos do conjunto de engrenagens seja infinita não exista nem folga nem deformação elástica e que o número de dentes de cada engrenagem seja proporcional ao respectivo raio obtenha o momento de inércia equivalente e o coeficiente de atrito viscoso equivalente referidos ao eixo do motor e ao eixo da carga Na Figura 551 o número de dentes nas engrenagens 1 2 3 e 4 são N1 N2 N3 e N4 respectivamente O deslocamento angular dos eixos 1 2 e 3 são θ1 θ2 e θ3 respectivamente Assim θ2 θ1 N1N2 e θ3θ2 N3N4 O momento de inércia e o coeficiente de atrito viscoso de cada engrenagem são designados como J1 b1 J2 b2 e J3 b3 respectivamente J3 e b3 incluem o momento de inércia e o coeficiente de atrito da carga FIGURA 550 xt t t 1 0 0 θt 1 L Entrada em degrau unitário e resposta do sistema mecânico mostrado na Figura 549 FIGURA 551 Eixo 1 Engrenagem 2 Engrenagem 1 Engrenagem 3 Engrenagem 4 Eixo 2 Eixo 3 J1 b1 N1 Torque de entrada do motor Tm t θ1 N2 N3 N4 θ2 θ3 Torque de carga TL t J2 b2 J3 b3 Sistema de engrenagens 209 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Solução Para esse sistema de engrenagens podemos obter as seguintes equações para o eixo 1 J1ip 1 b1io 1 T1 Tm 563 onde Tm é o torque desenvolvido pelo motor e T1 é o torque de carga na engrenagem 1 em razão do restante do conjunto de engrenagens Para o eixo 2 J2ip 2 b2io 2 T3 T2 564 onde T2 é o torque transmitido à engrenagem 2 e T3 é o torque de carga da engrenagem 3 em razão do restante do conjunto de engrenagens Como o trabalho realizado pela engrenagem 1 é igual ao realizado pela engrenagem 2 então T T T T N N ou 1 1 2 2 2 1 1 2 i i Se N1N2 1 a relação das engrenagens reduz a velocidade tanto quanto aumenta o torque Para o eixo 3 J3ip 3 b3io 3 TL T4 565 onde TL é o torque de carga e T4 é o torque transmitido para a engrenagem 4 T3 e T4 estão rela cionados por T T N N 4 3 3 4 e θ3 e θ1 estão relacionados por N N N N N N 3 2 4 3 1 2 1 4 3 i i i Eliminando T1 T2 T3 e T4 das equações 563 564 e 565 temos J b N N J b N N N N J b T T L m 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 4 1 3 3 3 3 3 i i i i i i p o p o p o h h Eliminando θ2 e θ3 dessa última equação e escrevendo a equação resultante em termos de θ1 e suas derivadas em relação ao tempo obtemos J N N J N N N N J b N N b N N N N b N N N N T T L m 1 2 1 2 2 2 1 2 4 3 2 3 1 1 2 1 2 2 2 1 2 4 3 2 3 1 2 1 4 3 i i p o e e e e e e e e o o o o o o o o G G 566 Assim o momento de inércia e o coeficiente de atrito viscoso equivalentes do conjunto de engre nagem referentes ao eixo 1 são dados respectivamente por J J N N J N N N N J b b N N b N N N N b eq 1 1 2 1 2 2 2 1 2 4 3 2 3 1 1 2 1 2 2 2 1 2 4 3 2 3 eq e e e e e e o o o o o o Da mesma maneira o momento de inércia e o coeficiente de atrito viscoso equivalentes do conjunto de engrenagens referentes ao eixo da carga eixo 3 são dados respectivamente por J J N N J N N N N J b b N N b N N N N b eq eq 3 3 3 4 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 3 3 4 2 2 1 2 2 3 4 2 1 e e e e e e o o o o o o 210 Engenharia de controle moderno A relação entre J1eq e J3eq é então J N N N N J eq eq 1 2 1 2 4 3 2 3 e o e o e entre b1eq e b3eq é b N N N N b eq eq 1 2 1 2 4 3 2 3 e o e o O efeito de J2 e J3 no momento de inércia equivalente é determinado pelas relações de engrena gens N1N2 e N3N4 Para conjuntos de engrenagens redutores de velocidade as relações N1N2 e N3N4 normalmente são menores que a unidade Se N1N2 1 e N3N4 1 então o efeito de J2 e J3 no momento de inércia equivalente J1eq é desprezível A mesma observação se aplica ao coefi ciente de atrito viscoso equivalente b1eq do conjunto de engrenagens Em termos do momento de inércia equivalente J1eq e do coeficiente de atrito viscoso equivalente b1eq a Equação 566 pode ser simplificada resultando J1eqip 1 b1eqio 1 nTL Tm onde n N N N N 2 4 1 3 A53 Quando o sistema mostrado na Figura 552a é submetido a um degrau unitário de entrada o sistema responde com uma saída como a indicada na Figura 552b Determine os valores de K e T a partir da curva de resposta Solução O máximo sobressinal de 254 corresponde a ζ 04 Da curva de resposta obtemos tp 3 Consequentemente 3 t 1 1 0 4 p d n n 2 2 r g r r Seguese que n 114 FIGURA 552 Rs Cs a b ct 1 0 3 t 0254 K sTs 1 a Sistema de malha fechada b curva de resposta ao degrau unitário 211 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A partir do diagrama de blocos temos R s C s Ts s K 2 K h h o que resulta em 2 T K T 1 n n g Portanto os valores de T e K ficam determinados como T K T 2 1 2 0 4 1 14 1 1 09 1 14 1 09 1 42 n n 2 2 g A54 Determine os valores de K e k do sistema de malha fechada mostrado na Figura 553 para que o máximo sobressinal da resposta ao degrau unitário seja 25 e o tempo de pico seja 2 s Suponha que J 1 kgm2 Solução A função de transferência de malha fechada é R s C s Js Kks K K 2 h h Substituindo J 1 kgm2 na última equação teremos R s C s s Kks K K 2 h h Note que neste problema n K 2ζn Kk O máximo sobressinal Mp é M e p 1 2 gr g cujo valor está especificado em 25 Então 025 e 1 2 gr g a partir do qual 1386 1 g2 gr ou ζ 0404 A especificação do tempo de pico tp é de 2 s Assim 2 tp d r FIGURA 553 Rs Cs k 1 s K Js Sistema de malha fechada 212 Engenharia de controle moderno ou d 157 Então a frequência natural não amortecida n é 172 1 1 0 404 1 57 n d 2 2 g Portanto obtemos K k K 1 72 2 95 2 2 95 2 0 404 1 72 0 471 N m s n n 2 2 g A55 A Figura 554a mostra um sistema mecânico vibratório Quando uma força de 89 N degrau de entrada é aplicada ao sistema a massa oscila como mostra a Figura 554b Determine m b e k do sistema a partir dessa curva de resposta O deslocamento x é medido a partir da posição de equilíbrio Solução A função de transferência desse sistema é P s X s ms bs k 1 2 h h Como P s s 8 9 h obtemos X s s ms bs k 8 9 2 h h Seguese que o valor de regime permanente de x é 003048 lim m x sX s k 8 9 s 0 3 h h Então k 292 Nm Note que Mp 95 corresponde a ζ 06 O tempo de pico tp é dado por t 1 0 8 p d n n 2 r g r r FIGURA 554 k b x a b P89 N force xt m 002048 0 1 2 3 4 5 t 00029 m m a Sistema mecânico vibratório b curva de resposta ao degrau 213 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A curva experimental mostra que tp 2 s Portanto 196 rad 2 0 8 3 14 s n Como 2 n km 292m obtemos 76 Kg m 292 1 96 292 n 2 2 Então b é determinado a partir de 2 m b n g ou b 2ζnm 2 06 196 76 179 Nsm A56 Considere a resposta ao degrau unitário do sistema de segunda ordem R s C s s s 2 n n n 2 2 2 g h h A amplitude da senoide exponencialmente amortecida varia como os termos de uma série geomé trica No instante t tp π d a amplitude é igual a eσ dπ Depois de uma oscilação ou seja para t tp 2π d 3π d a amplitude é igual a eσ d3π depois de outro ciclo de oscilação a amplitude é eσ d5π O logaritmo da relação de amplitudes sucessivas é denominado decremento logarítmico Determine o decremento logarítmico para esse sistema de segunda ordem Descreva um método para a determinação experimental do coeficiente de amortecimento a partir da taxa de decremento da oscilação Solução Vamos definir a amplitude da resposta oscilatória em t ti como xi onde ti tp i 1T T período de oscilação A relação de amplitudes em cada período das oscilações amortecidas é x x e e e e 2 1 3 2 2 1 d d d 2 v r v r v r gr g h h h Então o decremento logarítmico δ é ln x x 1 2 2 1 2 d g gr Esta é uma função apenas do coeficiente de amortecimento ζ Assim o coeficiente de amorteci mento ζ pode ser determinado utilizandose o decremento logarítmico Na determinação experimental do coeficiente de amortecimento ζ a partir da taxa de decremento das oscilações medimos a amplitude x1 no instante t tp e a amplitude xn no instante t tp n 1T Note que é necessário escolher n suficientemente grande para que a relação x1xn não seja próxima de 1 Então x x e n n 1 1 2 1 2 gr g h ou ln x x n 1 1 2 n 1 g2 gr h Portanto ln ln n x x n x x 4 1 1 1 1 n n 2 1 1 g r 2 e e o o G 214 Engenharia de controle moderno A57 No sistema mostrado na Figura 555 os valores numéricos de m b e k são dados como m 1 kg b 2 Nsm e k 100 Nm A massa é deslocada de 005 m e liberada sem velocidade inicial Determine a frequência da oscilação observada Determine também a amplitude quatro ciclos depois O deslocamento x é medido a partir da posição de equilíbrio Solução A equação de movimento para o sistema é mẍ bẋ kx 0 Substituindo os valores numéricos de m b e k nessa equação temos ẍ 2ẋ 100x 0 onde as condições iniciais são x0 005 e ẋ0 0 A partir dessa última equação obtemos a frequência natural não amortecida n e o coeficiente de amortecimento ζ como n 10 ζ 01 A frequência realmente observada nas oscilações é a frequência natural amortecida d 10 995 rad 1 1 0 01 s d n 2 g Na presente análise ẋ0 é dada como zero Assim a solução xt pode ser escrita como cos sen x t x e t t 0 1 t d d 2 n g g g c h h m Seguese que para t nT onde T 2πd xnT x0eζnnT Consequentemente a amplitude após quatro ciclos é x4T x0eζn4T x0e0110406315 005e 2526 005 007998 0004 m A58 Obtenha a resposta ao degrau unitário tanto analítica como computacionalmente do seguinte sistema de ordem superior R s C s s s s s s s s 8 40 96 80 3 25 72 80 4 3 2 3 2 h h Obtenha a expansão de Cs em frações parciais com o MATLAB para o caso em que Rs seja um degrau unitário Solução O Programa 518 em MATLAB gera a curva de resposta ao degrau unitário mostrada na Figura 556 Ele também fornece a expansão de Cs em frações parciais como segue FIGURA 555 k m b x Sistema amortecedor massamola 215 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário C s s s s s s s s s s j j s j j s s s s s s s s s 8 40 96 80 3 25 72 80 1 2 4 0 2813 0 1719 2 4 0 2813 0 1719 2 0 4375 2 0 375 1 2 4 0 5626 2 2 4 0 3438 4 2 0 4375 2 0 375 1 4 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 h h h h h h h Programa 518 em MATLAB Resposta ao degrau unitário de CsRs e expansão em frações parciais de Cs num 3 25 72 80 den 1 8 40 96 80 stepnumden v 0 3 0 12 axisv grid Para obter a expansão em frações parciais de Cs digite os comandos num1 3 25 72 80 den1 1 8 40 96 80 0 rpk residuenum1den1 num1 25 72 80 den1 1 8 40 96 80 0 rpk residuenum1den1 r 02813 01719i 02813 01719i 04375 03750 10000 p 20000 40000i 20000 40000i 20000 20000 0 k Então a resposta no tempo ct pode ser dada por ct 05626e 2t cos 4t 03438e 2t sen 4t 04375e 2t 0375te 2t 1 A curva de resposta é uma superposição de uma curva exponencial com uma senoide amortecida conforme se pode ver na Figura 556 216 Engenharia de controle moderno A59 Quando um sistema de malha fechada envolve uma dinâmica no numerador a curva de resposta ao degrau unitário pode apresentar um grande sobressinal Obtenha a resposta ao degrau unitário do seguinte sistema utilizando o MATLAB R s C s s s s 4 4 10 4 2 h h Obtenha também a resposta à rampa unitária com o MATLAB Solução O Programa 519 em MATLAB produz tanto a resposta ao degrau unitário como a resposta à rampa unitária do sistema dado A curva de resposta ao degrau unitário e a curva de resposta à rampa unitária juntamente com a entrada em rampa unitária são mostradas nas figuras 557a e b respectivamente Observe que a curva de resposta ao degrau unitário apresenta um sobressinal superior a 215 A curva de resposta à rampa unitária está avançada em relação à curva do sinal de entrada Esses fenômenos ocorrem por causa da presença de um grande termo derivativo no numerador Programa 519 em MATLAB num 10 4 den 1 4 4 t 000210 y stepnumdent plotty grid titleResposta do Degrau Unitário xlabelt s ylabelOutput num1 10 4 den1 1 4 4 0 y1 stepnum1den1t plotttty1 v 0 10 0 10 axisv grid titleResposta à Rampa Unitária xlabelt s ylabelEntrada e Saída em Rampa Unitária text6150Entrada em Rampa Unitária text3571Saída FIGURA 556 Amplitude Tempo s Resposta ao degrau 06 04 02 08 1 12 0 0 05 1 15 2 25 3 Curva de resposta ao degrau unitário 217 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A510 Considere o sistema de ordem superior definido por R s C s s s s s s s 6 11 3223 18 12 811 6 3223 18 12 811 4 3 2 2 h h Utilizando o MATLAB desenhe a curva de resposta ao degrau unitário desse sistema Utili zando o MATLAB obtenha o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação Solução O Programa 520 em MATLAB imprime a curva de resposta ao degrau unitário bem como fornece o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomo dação A curva de resposta ao degrau unitário é mostrada na Figura 558 FIGURA 557 Saída t s Resposta ao degrau unitário a 05 1 15 2 25 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Entrada e saída em rampa unitária t s Resposta à rampa unitária b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Entrada em rampa unitária Saída a Curva de resposta ao degrau unitário b curva de resposta à rampa unitária com entrada em rampa unitária 218 Engenharia de controle moderno Programa 520 em MATLAB Este programa destinase a desenhar a curva de resposta ao degrau unitário bem como fornece o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação Neste programa o tempo de subida é o tempo requerido para que a resposta suba desde 10 até 90 de seu valor final num 63223 18 12811 den 1 6 113223 18 12811 t 000220 yxt stepnumdent plotty grid titleResposta ao Degrau Unitário xlabelt s ylabelSaída yt r1 1 while yr1 01 r1 r11 end r2 1 while yr2 09 r2 r21 end risetime r2r10 02 risetime 05800 ymaxtp maxy peaktime tp1002 peaktime 16600 maxovershoot ymax1 maxovershoot 06182 s 1001 while ys 098 ys 102 s s1 end settlingtime s1002 settlingtime 100200 FIGURA 558 Saída y t t s Resposta ao degrau unitário 06 04 02 08 1 12 14 16 18 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Curva de resposta ao degrau unitário 219 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A511 Considere o sistema de malha fechada definido por R s C s s s 2 n n n 2 2 2 g h h Utilizando um for loop escreva um programa em MATLAB para obter a resposta ao degrau unitário desse sistema para os quatro casos seguintes Caso 1 ζ 03 n 1 Caso 2 ζ 05 n 2 Caso 3 ζ 07 n 4 Caso 4 ζ 08 n 6 Solução Defina 2 n a e 2ζn b Então os vetores a e b têm quatro elementos cada um como segue a 1 4 16 36 b 06 2 56 96 Utilizando os vetores a e b o Programa 521 em MATLAB fornece as curvas de resposta ao degrau unitário como mostra a Figura 559 Programa 521 em MATLAB a 1 4 16 36 b 06 2 56 96 t 0018 y zeros814 for i 14 num ai den 1 bi ai yi stepnumdent end plotty1oty2xty3ty4 grid titleCurvas de Resposta ao Degrau Unitário para os Quatro Casos xlabelt s ylabelSaídas gtext1 gtext2 gtext3 gtext4 FIGURA 559 Curvas de resposta ao degrau unitário para os quatro casos t s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Saídas 14 0 04 02 06 08 1 12 1 2 3 4 Curvas de resposta ao degrau unitário para os quatro casos 220 Engenharia de controle moderno A512 Utilizando o MATLAB obtenha a resposta à rampa unitária do sistema de controle de malha fechada cuja função de transferência é R s C s s s s s 6 9 10 10 3 2 h h Obtenha também a resposta desse sistema quando a entrada for dada por r e 05t Solução O Programa 522 em MATLAB fornece a resposta à rampa unitária e a resposta à entrada exponencial r e 05t As curvas de resposta resultantes são mostradas nas figuras 560a e b respectivamente Programa 522 em MATLAB Resposta à Rampa Unitária num 1 10 den 1 6 9 10 t 00110 r t y lsimnumdenrt plottrtyo grid titleResposta à Rampa Unitária com o Uso de Comando lsim xlabelt s ylabelSaída text3265Entrada em Rampa Unitária text6031Saída Resposta à Entrada r1 exp05t num 0 0 1 10 den 1 6 9 10 t 00112 r1 exp05t y1 lsimnumdenr1t plottr1ty1o grid titleResposta à Entrada r1 exp05t xlabelt s ylabelEntrada e Saída text14075Entrada r1 exp05t text62034Saída 221 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A513 Obtenha a resposta do sistema de malha fechada definido por R s C s s s 5 5 2 h h quando a entrada rt for dada por rt 2 t A entrada rt é uma entrada em degrau de valor 2 mais a entrada em rampa unitária Solução Um programa possível é o Programa 523 em MATLAB A Figura 561 mostra a curva de resposta resultante juntamente com o traçado da função de entrada FIGURA 560 Resposta à rampa unitária com o uso do comando lsim t s Saída 9 5 1 8 6 3 2 4 7 10 Entrada em rampa unitária a 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Saída Resposta à entrada r1 e05t Entrada r1 e05t Saída t s 0 2 4 6 8 10 12 b Entrada e saída 1 01 0 04 02 03 05 06 07 08 09 a Curva de resposta à rampa unitária b resposta à entrada exponencial r1 e 05t 222 Engenharia de controle moderno Programa 523 em MATLAB num 5 den 1 1 5 t 000510 r 2t c lsimnumdenrt plottrtco grid titleResposta à Entrada rt 2 t xlabelt s ylabelSaída ct e Entrada rt 2 t A514 Obtenha a resposta do sistema mostrado na Figura 562 quando a entrada rt for dada por rt 2 1 t2 A entrada rt é uma entrada em aceleração unitária Solução A função de transferência de malha fechada é R s C s s s 2 2 2 h h O Programa 524 em MATLAB fornece a resposta à aceleração unitária A Figura 563 mostra a resposta resultante juntamente com a entrada em aceleração unitária FIGURA 561 Resposta à entrada rt 2 t t s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Saída ct e entrada rt 2 t 12 0 4 2 6 8 10 Resposta à entrada rt 2 t FIGURA 562 2 ss 1 Rs Cs Sistema de controle 223 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Programa 524 em MATLAB num 2 den 1 1 2 t 00210 r 05t2 y lsimnumdenrt plottrtyoty grid titleResposta à Aceleração Unitária xlabelt s ylabelEntrada e Saída text21275Entrada em Aceleração Unitária text7275Saída A515 Considere o sistema definido por R s C s s 2 s 1 1 2 g h h onde ζ 0 02 04 06 08 e 10 Escreva um programa em MATLAB utilizando um for loop para obter os gráficos bidimensional e tridimensional da saída do sistema A entrada é a função degrau unitário Solução O Programa 525 em MATLAB é uma opção de programa para obter os gráficos bidi mensional e tridimensional A Figura 564a mostra o gráfico bidimensional das curvas de res posta ao degrau unitário para vários valores de ζ A Figura 564b exibe o gráfico tridimensional obtido pelo comando meshy e a Figura 564c é obtida com o uso do comando meshy Esses dois gráficos tridimensionais são basicamente os mesmos A única diferença é que o eixo x e o eixo y são permutados FIGURA 563 Resposta à aceleração unitária t s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Entrada e saída 50 0 10 5 15 20 25 30 35 40 45 Entrada em aceleração unitária Saída Resposta à entrada em aceleração unitária 224 Engenharia de controle moderno Programa 525 em MATLAB t 00212 for n 16 num 1 den 1 2n102 1 y161nxt stepnumdent end plotty grid titleCurvas de Resposta ao Degrau Unitário xlabelt s ylabelSaídas gtextzeta 0 gtext02 gtext04 gtext06 gtext08 gtext10 Para desenhar um gráfico tridimensional digite o seguinte comando meshy ou meshy Mostramos dois gráficos tridimensionais um usando meshy e o outro usando meshy Esses dois gráficos são os mesmos exceto que os eixos x e são y são permutados meshy titleGráfico Tridimensional das Curvas de Resposta do Degrau Unitário com o Uso do Comando meshy xlabeln onde n 123456 ylabelValores de Tempo Computados zlabelSaídas meshy titleGráfico Tridimensional das Curvas de Resposta ao Degrau Unitário com o Uso do Comando meshy permutado xlabelValores de Tempo Computados ylabeln onde n 123456 zlabelSaídas FIGURA 564 a 0 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 2 4 6 8 10 12 Saída t s z 0 ζ 0 02 02 04 04 06 06 08 08 10 10 Curvas de resposta ao degrau unitário a Gráfico bidimensional das curvas de resposta ao degrau unitário b gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário com o uso do comando meshy c gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário com o uso do comando meshy 225 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A516 Considere o sistema submetido à condição inicial dada a seguir x x x x x x x x x y x x x 0 0 10 1 0 17 0 1 8 0 0 0 2 1 0 5 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o h h h 6 H H H H H H Não há função de entrada ou função de força nesse sistema Obtenha a resposta yt versus t para a condição inicial dada utilizando as equações 558 e 560 080 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 05 1 15 2 Saída Valores de tempo computados n onde n 1 2 3 4 5 6 b Gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário com o uso do comando meshy 06 5 4 3 2 1 0 10 20 30 40 50 60 70 05 1 15 2 Saídas n onde n 1 2 3 4 5 6 Valores de tempo computados c Gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário com o uso do comando meshy permutado 226 Engenharia de controle moderno Solução Uma opção de programa MATLAB baseado nas equações 558 e 560 é o Programa 526 em MATLAB A Figura 565 mostra a curva de resposta resultante Note que o problema foi resolvido com o uso do comando initial no Exemplo 516 A curva de resposta resultante aqui é exatamente a mesma mostrada na Figura 534 Programa 526 em MATLAB t 000510 A 0 1 00 0 110 17 8 B 2105 C1 0 0 yxt stepABCACB1t plotty grid titleResposta à Condição Inicial xlabelt s ylabelSaída y A517 Considere a seguinte equação característica s4 Ks3 s2 s 1 0 Determine o intervalo de valores de K para que o sistema seja estável Solução A matriz dos coeficientes de Routh é s4 1 1 1 s3 K 1 0 s2 K K 1 1 s1 1 K K 1 2 s0 1 para que haja estabilidade é necessário que FIGURA 565 Saída y t s Resposta à condição inicial 05 1 15 2 25 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resposta yt à condição inicial dada 227 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário K K K K K 0 1 0 1 1 0 2 2 2 2 A partir da primeira e da segunda condição K deve ser maior que 1 Note que para K 1 o termo 1 K 2K 1 é sempre negativo pois 0 K K K K K K 1 1 1 1 1 2 1 h Assim as três condições não podem ser satisfeitas simultaneamente Então não existe um valor de K que permita a estabilidade do sistema A518 Considere a equação característica dada por a0sn a1sn 1 a2sn 2 an 1s an 0 567 O critério de estabilidade de Hurwitz apresentado a seguir fornece condições para que todas as raízes tenham partes reais negativas em termos dos coeficientes dos polinômios Conforme as dis cussões sobre o critério de estabilidade de Routh na Seção 56 para que todas as raízes tenham partes reais negativas todos os coeficientes a devem ser positivos Esta é uma condição necessária mas não suficiente Se essa condição não for satisfeita isso indicará que algumas das raízes têm partes reais positivas ou são imaginárias ou nulas A condição suficiente para que todas as raízes tenham parte real negativa é dada pelo seguinte critério de estabilidade de Hurwitz se todos os coeficientes do polinômio forem positivos eles serão organizados no seguinte determinante a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n 1 0 3 2 1 0 5 4 3 2 1 2 3 4 1 2 g g g g g D onde para s n substituímos as por zero Para que todas as raízes tenham parte real negativa é necessário e suficiente que os menores principais sucessivos de Δn sejam positivos Os menores principais sucessivos são os seguintes determinantes a a a a a a a a a i n 0 0 0 1 2 1 i i i i 1 0 3 2 1 2 1 2 2 2 3 1 g g g g f D h onde as 0 se s n Note que algumas das condições para os determinantes de ordem inferior estão incluídas nas condições dos determinantes de ordem mais elevada Se todos esses determinantes forem positivos e a0 0 como foi admitido anteriormente o estado de equilíbrio do sistema cuja equação característica é dada pela Equação 567 será assintoticamente estável Observe que para o critério de estabilidade não são necessários os valores exatos dos determinantes mas somente o sinal desses determinantes Agora considere a seguinte equação característica a0s4 a1s3 a2s2 a3s a4 0 228 Engenharia de controle moderno Obtenha as condições de estabilidade utilizando o critério de estabilidade de Hurwitz Solução As condições para que se tenha estabilidade são que todos os coeficientes a sejam positivos e que a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 2 1 0 3 2 1 2 0 3 3 1 0 3 2 1 4 3 1 2 3 1 4 0 3 2 3 1 2 0 3 1 2 4 2 2 D D h h É evidente que se todos os coeficientes a forem positivos e se a condição Δ3 0 for satisfeita a condição Δ2 0 também será atendida Portanto para que todas as raízes da equação caracterís tica em questão tenham parte real negativa é necessário e suficiente que todos os coeficientes a sejam positivos e que Δ3 0 A519 Mostre que a primeira coluna da matriz de Routh de sn a1sn 1 a2sn 2 an 1s an 0 é dada por 1 n n 1 1 2 2 3 1 D D D D D D D onde a a a a a a a a a a n r 1 0 0 1 0 0 0 1 r r r 1 3 5 2 1 2 4 1 3 2 h h h h h D h ak 0 se k n Solução A matriz dos coeficientes de Routh tem a seguinte forma 1 a2 a4 a6 an a1 a3 a5 b1 b2 b3 c1 c2 h h h O primeiro termo da primeira coluna da matriz de Routh é 1 O próximo termo da primeira coluna é a1 que é igual a Δ1 O próximo termo é b1 que é igual a a a a a 1 1 2 3 1 2 D D O próximo termo na primeira coluna é c1 que é igual a 229 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário b b a a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 1 3 1 2 1 1 2 3 1 1 2 3 3 1 1 1 4 5 1 2 3 1 2 3 3 2 1 2 4 1 5 2 3 D D E E E Os termos restantes na primeira coluna da matriz de Routh podem ser determinados de modo análogo A matriz de Routh possui a propriedade de que os últimos termos não nulos de qualquer coluna são os mesmos isto é se a matriz for a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 b1 b2 b3 c1 c2 c3 d1 d2 e1 e2 f1 g1 então a7 c3 e2 g1 e se a matriz for a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 0 b1 b2 b3 c1 c2 0 d1 d2 e1 0 f1 então a6 b3 d2 f1 Em qualquer um dos casos o último termo da primeira coluna é igual a an ou a a n n n n n n 1 1 1 D D D D Por exemplo se n 4 então a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 4 1 3 5 7 2 4 6 1 3 5 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 3 4 D D 230 Engenharia de controle moderno Assim foi demonstrado que a primeira coluna da matriz de Routh é dada por 1 n n 1 1 2 2 3 1 g D D D D D D D A520 Mostre que o critério de estabilidade de Routh e o critério de estabilidade de Hurwitz são equi valentes Solução Se escrevermos todos os determinantes de Hurwitz na forma triangular a a a i n 0 1 2 i ii 11 22 j f D h onde os elementos abaixo da linha diagonal são todos zeros e os elementos acima são valores quaisquer então as condições de Hurwitz para a estabilidade assintótica se tornam Δi a11a22 aii 0 i 1 2 n que são equivalentes às condições a11 0 a22 0 ann 0 Mostraremos que essas condições são equivalentes a a1 0 b1 0 c1 0 onde a1 b1 c1 são elementos da primeira coluna na matriz de Routh Considere por exemplo o seguinte determinante de Hurwitz que corresponde a i 4 a a a a a a a a a a a a a a 0 0 4 1 0 3 2 1 0 5 4 3 2 7 6 5 4 D O determinante ficará inalterado se a linha i for subtraída k vezes da linha j Subtraindo da segunda linha a0 a1 vezes a primeira linha obtemos a a a a a a a a a a a a a 0 0 0 4 11 3 22 1 0 5 23 3 2 7 24 5 4 D onde a11 a1 a22 a2 a a 1 0 a3 a23 a4 a a 1 0 a5 a24 a6 a a 1 0 a7 De forma similar subtraindo da quarta linha a0 a1 vezes a terceira linha obtemos a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 4 11 3 22 1 5 23 3 43 7 24 5 44 D t 231 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário onde â43 a2 a a 1 0 a3 â44 a4 a a 1 0 a5 Em seguida subtraindo da terceira linha a1 a22 vezes a segunda linha temos a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 4 11 3 22 5 23 33 43 7 24 34 44 D t t onde a33 a3 a a 22 1 a23 a34 a5 a a 22 1 a24 Por fim subtraindo da última linha â43a33 vezes a terceira linha obtemos a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 4 11 3 22 5 23 33 7 24 34 44 D onde a a a a a 44 44 33 43 34 t t A partir dessa análise vemos que Δ4 a11 a22 a33 a44 Δ3 a11 a22 a33 Δ2 a11 a22 Δ1 a11 As condições de Hurwitz para a estabilidade assintótica Δ1 0 Δ2 0 Δ3 0 Δ4 0 reduzemse às condições a11 0 a22 0 a33 0 a44 0 A matriz de Routh para o polinômio a0s4 a1s3 a2s2 a3s a4 0 onde a0 0 e n 4 é dada por a0 a2 a4 a1 a3 b1 b2 c1 d1 232 Engenharia de controle moderno Observando a matriz de Routh vemos que a a a a a a a b a a a a a b a b a b c a a a a a a d 11 1 22 2 1 0 3 1 33 3 22 1 23 1 3 1 1 2 1 44 44 33 43 34 4 1 t t A última equação é obtida a partir do fato de que a34 0 â44 a4 e a4 b2 d1 Então as con dições de Hurwitz para a estabilidade assintótica tornamse a1 0 b1 0 c1 0 d1 0 Assim fica demonstrado que as condições de Hurwitz para a estabilidade assintótica podem ser reduzidas às condições de Routh para a estabilidade assintótica O mesmo argumento pode ser estendido aos determinantes de Hurwitz de qualquer ordem e a equivalência entre o critério de estabilidade de Routh e o de Hurwitz pode ser estabelecida A521 Considere a equação característica s4 2s3 4 Ks2 9s 25 0 Utilizando o critério de estabilidade de Hurwitz determine o intervalo de valores de K para que haja estabilidade Solução Comparando a equação característica a seguir s4 2s3 4 Ks2 9s 25 0 com a seguinte equação característica de quarta ordem a0s4 a1s3 a2s2 a3s a4 0 temos a0 1 a1 2 a2 4 K a3 9 a4 25 O critério de estabilidade de Hurwitz estabelece que Δ4 é dado por a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 4 1 0 3 2 1 0 4 3 2 4 D Para que todas as raízes tenham parte real negativa é necessário e suficiente que os menores sucessivos principais de Δ4 sejam positivos Os menores sucessivos principais são a a a a a K K a a a a a a a K K 2 2 1 9 4 2 1 0 0 2 1 0 9 4 2 0 25 9 18 109 1 1 2 1 0 3 2 3 1 0 3 2 1 4 3 D D D Para que todos os menores principais sejam positivos é necessário que Δi i 1 2 3 seja posi tivo Portanto devemos ter 2K 1 0 18K 109 0 233 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário de onde concluímos que a região de K para que haja estabilidade é K 18 109 2 A522 Explique por que o controle proporcional de uma planta que não possui propriedade de integra ção o que significa que a função de transferência da planta não inclui o fator 1s apresenta erro residual na resposta ao degrau Solução Considere por exemplo o sistema mostrado na Figura 566 Se em regime permanente c for igual a uma constante não nula igual a r então e 0 e u Ke 0 resultando em c 0 o que contradiz a suposição de que c r constante não nula Esse sistema de controle requer um erro residual não nulo Em outras palavras se e for igual em regime permanente a r1 K então u Kr1 K e c Kr1 K o que resulta no sinal de erro e r1 K Assim o erro residual de r1 K deve existir nesse sistema em particular A523 O diagrama de blocos da Figura 567 mostra um sistema de controle de velocidade no qual o elemento de saída do sistema é submetido a um distúrbio de torque No diagrama rs s Ts e Ds são as transformadas de Laplace da velocidade de referência da velocidade de saída do torque de excitação e do distúrbio de torque respectivamente Na ausência de um distúrbio de torque a velocidade de saída é igual à velocidade de referência Analise a resposta desse sistema a um degrau unitário do torque de distúrbio Suponha que a entrada de referência seja zero ou rs 0 Solução A Figura 568 é um diagrama de blocos convenientemente modificado para essa análise A função de transferência de malha fechada é D s s Js K 1 XD h h onde Ds é a transformada de Laplace da velocidade de saída causada pelo torque de distúrbio Para um torque de distúrbio em degrau unitário a velocidade de saída em regime permanente é FIGURA 566 r c e u K 1 Ts 1 Sistema de controle FIGURA 567 Ds Es Ts Ωs Ωrs K 1 Js Diagrama de blocos de um sistema de controle de velocidade 234 Engenharia de controle moderno lim lim s s Js K s s K 1 1 D s D s 0 0 3 X h h A partir dessa análise concluímos que se um distúrbio de torque em degrau for aplicado ao ele mento de saída do sistema resultará em um erro de velocidade de modo que o torque resultante do motor cancelará exatamente o distúrbio de torque Para desenvolver esse torque do motor é necessário que haja o erro na velocidade de modo que resulte em um torque não nulo A dis cussão continua no Problema A524 A524 No sistema considerado no Problema A523 desejase eliminar tanto quanto possível os erros de velocidade causados por distúrbios de torque É possível cancelar o efeito de um distúrbio de torque em regime permanente de tal modo que um distúrbio de torque constante aplicado ao elemento de saída não cause alteração da velocidade em regime permanente Solução Suponha que escolhamos um controlador conveniente cuja função de transferência é Gcs como mostra a Figura 569 Então na ausência da entrada de referência a função de transferência de malha fechada entre a velocidade de saída Ds e o distúrbio de torque Ds é D s s Js G s Js Js G s 1 1 1 1 D c c X h h h h A velocidade de saída em regime permanente em virtude de um distúrbio de torque em degrau unitário é lim lim s s Js G s s s G 1 0 1 D s D s c c 0 0 3 X h h h h Para satisfazer a condição D 0 devemos optar por Gc0 Isso pode ser realizado se escolhermos Gcs s K FIGURA 568 K 1 Js ΩDs Ds Diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade da Figura 567 quando rs 0 235 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A ação de controle integral continuará a corrigir o erro até que ele se anule Esse controlador entretanto apresenta um problema de estabilidade porque a equação característica mostra duas raízes imaginárias Um método de estabilização para esse sistema é adicionar um modo proporcional ao controlador ou seja escolher Gcs Kp s K Com esse controlador o diagrama de blocos da Figura 569 na ausência da entrada de refe rência pode ser modificado para o da Figura 570 A função de transferência de malha fechada DsDs tornase D s s Js K s K s D p 2 X h h Para um torque de distúrbio em degrau unitário a velocidade de saída em regime permanente é 0 lim lim s s Js K s K s s 1 D s D s p 0 0 2 2 3 X h h Então vemos que o controlador proporcionalintegral elimina o erro de velocidade em regime permanente O uso da ação de controle integral aumenta a ordem do sistema em uma unidade Isso tende a produzir uma resposta oscilatória No presente sistema um torque de distúrbio em degrau causará um erro transitório na velocidade de saída mas o erro se tornará nulo em regime permanente O integrador produz uma saída não nula com erro nulo A saída não nula do integrador produz um torque no motor que cancela exatamente o torque de distúrbio Note que mesmo que o sistema tenha um integrador na planta por exemplo um integrador na função de transferência da planta isso não elimina o erro estacionário em razão de um torque de distúrbio em degrau Para eliminálo devemos ter um integrador antes do ponto de entrada do torque de distúrbio FIGURA 569 Ds Es Ts Ωs Ωrs Gcs 1 Js Diagrama de blocos de um sistema de controle de velocidade FIGURA 570 1 Js Kps K s ΩDs Ds Diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade da Figura 569 quando Gcs Kp Ks e Ωrs 0 236 Engenharia de controle moderno A525 Considere o sistema mostrado na Figura 571a O erro estacionário a uma entrada em rampa unitária é ess2ζn Mostre que esse erro pode ser eliminado se a entrada no sistema for feita por meio de um filtro proporcionalderivativo como pode ser visto na Figura 571b e o valor de k for estabelecido adequadamente Note que o erro et é dado por rt ct Solução A função de transferência de malha fechada do sistema mostrado na Figura 571b é R s C s s s ks 2 1 n n n 2 2 2 g h h h Então R s C s s s s s ks R s 2 2 n n n n 2 2 2 2 g g f h h p h Se a entrada for uma rampa unitária então o erro estacionário será lim e r c s s s s s ks s k 2 2 1 2 s n n n n n n n 0 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 g g g f h h h p Portanto se k é escolhido como k 2 n g podese fazer que o erro estacionário para seguir a entrada em rampa seja zero Note que se existir variação nos valores de ζ eou n causada por mudanças ambientais ou de envelhecimento dos componentes podese ter como resultado um erro estacionário não nulo A526 Considere o sistema de controle estável com realimentação unitária com função de transferência no ramo direto Gs Suponha que a função de transferência de malha fechada possa ser escrita como R s C s G s G s T s T s T s T s T s T s m n 1 1 1 1 1 1 1 n a b m 1 2 g g h h h h h h h h h h h Mostre que e t dt T T T T T T n a b m 0 1 2 g g 3 h h h onde et rt ct é o erro na resposta ao degrau unitário Mostre também que lim K sG s T T T T T T 1 1 s n a b m 0 1 2 g g y h h h FIGURA 571 Rs Cs a b 1 ks n ss 2ζn 2 n ss 2ζn 2 a Sistema de controle b sistema de controle com filtro de entrada 237 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Solução Vamos definir Tas 1Tbs 1 Tms 1 Ps e T1s 1T2s 1 Tns 1 Qs Então R s C s Q s P s h h h h e E s Q s Q s P s R s h h h h h Para uma entrada em degrau unitário Rs 1s e E s sQ s Q s P s h h h h Como o sistema é estável 80 etdt converge para um valor constante Observando que lim lim e t dt s s E s E s s s 0 0 0 3 h h h temos lim lim lim e t dt sQ s Q s P s Q s sQ s Q s P s Q s P s s s s 0 0 0 0 3 l l l l l h h h h h h h h h h 6 Como lim s 0 P s Ta Tb Tm lim s 0 Q s T1 T2 Tn temos e 0 3 e tdt T1 T2 Tn Ta Tb Tm Para uma entrada em degrau unitário rt sendo lim lim lim lim e t dt E s G s R s G s s sG s K 1 1 1 1 1 1 1 s s s s 0 0 0 0 0 3 y h h h h h h temos lim K sG s T T T T T T 1 1 s n a b m 0 1 2 g g y h h h Observe que os zeros no semiplano esquerdo isto é Ta Tb Tm positivos melhorarão Ky Polos próximos à origem ocasionam baixas constantes de erro de velocidade a menos que existam zeros nas proximidades Problemas B51 Um termômetro requer 1 minuto para indicar 98 da resposta a uma entrada em degrau Supondo que o termômetro seja um sistema de primeira ordem determine a constante de tempo 238 Engenharia de controle moderno Se o termômetro for imerso em um banho cuja temperatura muda linearmente a uma taxa de 10omin qual será o erro apresentado pelo termômetro B52 Considere a resposta ao degrau unitário do sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja G s s s 1 1 h h Obtenha o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação B53 Considere o sistema de malha fechada dado por R s C s s s 2 n n n 2 2 2 g h h Determine os valores de ζ e de n de modo que o sistema responda a uma entrada em degrau com aproximadamente 5 de sobressinal e com um tempo de acomodação de 2 segundos Utilize o critério de 2 B54 Considere o sistema mostrado na Figura 572 O sistema está inicialmente em repouso Suponha que o carro seja posto em movimento por uma força impulsiva de valor unitário O sistema pode ser parado por outra força impulsiva B55 Obtenha a resposta ao impulso unitário e a resposta ao degrau unitário de um sistema com rea limentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja G s s 2s 1 2 h B56 Sabese que a função de transferência de um sistema oscilatório tem a seguinte forma G s s 2 n n n 2 2 2 g h Suponha que haja um registro da oscilação com amortecimento como mostra a Figura 573 Determine o coeficiente de amortecimento ζ do sistema a partir do gráfico FIGURA 572 x m k Força impulsiva δt Sistema mecânico FIGURA 573 x1 T t t1 xn tn Oscilação decrescente 239 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário B57 Considere o sistema mostrado na Figura 574a O coeficiente de amortecimento do sistema é 0158 e a frequência natural não amortecida é 316 rads Para melhorar a estabilidade relativa utilizamos a realimentação tacométrica A Figura 574b mostra esse sistema com o tacômetro no ramo de realimentação Determine o valor de Kh de modo que o coeficiente de amortecimento seja 05 Desenhe as curvas de resposta ao degrau unitário do sistema original e do sistema com realimentação tacométrica Desenhe também as curvas de erro versus tempo para a resposta à rampa unitária de ambos os sistemas B58 Considerando o sistema apresentado na Figura 575 determine os valores de K e k de modo que o sistema tenha um coeficiente de amortecimento ζ igual a 07 e uma frequência natural não amortecida n de 4 rads B59 Considere o sistema mostrado na Figura 576 Determine o valor de k de modo que o coeficiente de amortecimento ζ seja 05 Então obtenha o tempo de subida tr o tempo de pico tp o máximo sobressinal Mp e o tempo de acomodação ts na resposta ao degrau unitário FIGURA 574 Rs Cs Rs Cs a b 10 s s 1 Kh 10 s 1 1 s a Sistema de controle b sistema de controle com realimentação tacométrica FIGURA 575 Rs Cs 1 s K s 2 k Sistema de malha fechada 240 Engenharia de controle moderno B510 Utilizando o MATLAB obtenha a resposta ao degrau unitário à rampa unitária e ao impulso unitário do seguinte sistema R s C s s 2s 10 10 2 h h onde Rs e Cs são as transformadas de Laplace da entrada rt e da saída ct respectivamente B511 Utilizando o MATLAB obtenha a resposta ao degrau unitário à rampa unitária e ao impulso unitário do seguinte sistema x x x x u y x x 1 1 0 5 0 0 5 0 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G onde u é a entrada e y a saída B512 Obtenha o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação na resposta ao degrau unitário do sistema de malha fechada dado a seguir tanto analítica como computacionalmente R s C s s 2s 36 36 2 h h B513 A Figura 577 mostra três sistemas O sistema I é um servossistema posicionador O sistema II é um servossistema posicionador com ação de controle PD O sistema III é um servossistema posicionador com realimentação de velocidade Compare as respostas ao degrau unitário ao impulso unitário e à rampa unitária dos três sistemas Qual dos sistemas é melhor com respeito à velocidade de resposta e ao máximo sobressinal na resposta ao degrau FIGURA 576 Rs Cs 1 s 16 s 08 k Diagrama de blocos de um sistema 241 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário B514 Considere o sistema de controle de posição mostrado na Figura 578 Escreva um programa em MATLAB para obter a resposta do sistema ao degrau unitário bem como a resposta à rampa unitária Desenhe as curvas x1t versus t x2t versus t x3t versus t e et versus t onde et rt x1t tanto para a resposta ao degrau unitário como para a resposta à rampa unitária B515 Utilizando o MATLAB obtenha a curva de resposta ao degrau unitário do sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja G s s s 2 s 4 10 h h h Utilizando o MATLAB obtenha também o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobres sinal e o tempo de acomodação na curva de resposta ao degrau unitário FIGURA 577 08 5 5 CIIIs Rs Sistema III 1 5s 1 1 s CIIs Rs Sistema II 51 08s 1 s5s 1 Cs Rs Sistema I 1 s5s 1 Servossistema posicionador Sistema I servossistema posicionador com ação de controle PD Sistema II e servossistema posicionador com realimentação de velocidade Sistema III FIGURA 578 5 4 x1 x2 x3 r e 1 s 1 s 2 01s 1 Sistema de controle de posição 242 Engenharia de controle moderno B516 Considere o sistema de malha fechada definido por R s C s s s s 2 1 2 1 2 g g h h onde ζ 02 04 06 08 e 10 Utilizando o MATLAB desenhe um gráfico bidimensional das curvas de resposta ao impulso unitário Desenhe também um gráfico tridimensional dessas curvas de resposta B517 Considere o sistema de segunda ordem definido por R s C s s s s 2 1 1 2 g h h onde ζ 02 04 06 08 e 10 Desenhe um gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário B518 Obtenha a resposta à rampa unitária do sistema definido por x x x x u y x x 0 1 1 1 0 1 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G onde u é a entrada em rampa unitária Utilize o comando Isim para obter a resposta B519 Considere o sistema dado pela equação diferencial ÿ 3ẏ 2y 0 y 0 01 ẏ 0 005 Usando o MATLAB obtenha a resposta yt sujeita à condição inicial indicada B520 Determine o intervalo de valores de K para a estabilidade do sistema de controle com realimen tação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja G s s s s K 1 2 h h h B521 Considere a seguinte equação característica s4 2s3 4 Ks2 9s 25 0 Utilizando o critério de estabilidade de Routh determine o intervalo de K para a estabilidade B522 Considere o sistema de malha fechada mostrado na Figura 579 Determine o intervalo de valores de K compatíveis com a estabilidade do sistema Suponha que K 0 B523 Considere o sistema de controle de posição de um satélite mostrado na Figura 580a A saída do sistema apresenta oscilações continuadas não desejáveis Esse sistema pode ser estabilizado pelo uso de realimentação tacométrica como mostra a Figura 580b Se KJ 4 que valor de Kh resultará em um coeficiente de amortecimento igual a 06 FIGURA 579 Rs Cs K s 2 s 1s2 6s 25 Sistema de malha fechada 243 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário B524 Considere o servossistema com realimentação tacométrica mostrado na Figura 581 Determine os intervalos de valores de K e de Kh que tornam o sistema estável Note que Kh deve ser positivo B525 Considere o sistema ẋ Ax onde a matriz A é dada por b b b 0 0 1 0 0 1 A 3 2 1 H A é chamada matriz de Schwarz Mostre que a primeira coluna da tabela de Routh da equação característica sI A 0 consiste em 1 b1 b2 e b1b3 B526 Considere um sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha fechada seja R s C s s as b Ks b 2 h h FIGURA 580 Rs Cs b Kh K Js 1 s Rs Cs a K 1 Js2 a Sistema instável de controle de atitude de um satélite b sistema estabilizado FIGURA 581 Kh K Cs Rs 20 s 1 s 4 1 s Servossistema com realimentação tacométrica 244 Engenharia de controle moderno Determine a função de transferência de malha aberta Gs Mostre que o erro estacionário na resposta à rampa unitária é dado por e K b a K 1 ss y B527 Considere um sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja G s s Js B K h h Discuta os efeitos que as variações de K e de B produzem sobre o erro estacionário da resposta à entrada em rampa unitária Esboce curvas típicas de resposta à rampa unitária para valores pequenos médios e elevados de K supondo que B seja constante B528 Se o ramo direto de um sistema de controle contiver pelo menos um integrador então a saída continua variando enquanto o erro estiver presente Ela deixa de variar somente quando o erro for precisamente zero Se um distúrbio externo entra no sistema é conveniente que haja um elemento integrador entre o elemento medidor de erro e o ponto de entrada do distúrbio de modo que o efeito do distúrbio externo possa ser anulado em regime permanente Mostre que se o distúrbio for uma função rampa então o erro estacionário causado por esse distúrbio em rampa somente poderá ser eliminado se houver dois integradores antes do ponto de entrada do distúrbio 245 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 6 C A P Í T U L O 61 Introdução A característica básica da resposta transitória de um sistema de malha fechada está intima mente relacionada à localização dos polos de malha fechada Se o ganho de malha do sistema for variável então a localização dos polos de malha fechada dependerá do valor do ganho de malha escolhido É importante então que o projetista saiba como os polos de malha fechada se movem no plano s à medida que o ganho de malha varia Do ponto de vista do projeto em alguns sistemas o simples ajuste do ganho pode mover os polos de malha fechada para as localizações desejadas Então o problema do projeto pode se reduzir à escolha de um valor de ganho apropriado Se apenas o ajuste do ganho não produzir o resultado desejado será necessário adicionar um compensador ao sistema Este assunto será discutido em detalhes nas seções 66 a 69 Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica A determinação das raízes de uma equação característica de grau superior a 3 é trabalhosa e requer a busca de uma solução por meio de um computador O MATLAB fornece uma solução simples para esse problema Entretanto apenas a determinação das raízes da equação característica pode ser uma solução limi tada porque à medida que o ganho da função de transferência de malha aberta varia a equação característica se altera e os cálculos devem ser refeitos Um método simples para a determinação das raízes da equação característica foi desenvolvido por W R Evans e tem sido amplamente utilizado na engenharia de controle Esse método chama do método do lugar das raízes permite que as raízes da equação característica sejam representadas graficamente para todos os valores de um parâmetro do sistema As raízes correspondentes a um valor específico desse parâmetro podem então ser localizadas no gráfico resultante Observe que o parâmetro é normalmente o ganho mas é possível utilizar qualquer outra variável da função de transferência de malha aberta A menos que se estabeleça o contrário vamos supor que o ganho da função de transferência de malha aberta seja o parâmetro a ser variado por toda a gama de valores de zero a infinito Utilizando o método do lugar das raízes o projetista pode prever quais os efeitos da varia ção do valor do ganho ou da adição de polos de malha aberta eou zeros de malha aberta sobre a localização dos polos de malha fechada Portanto é desejável que o projetista tenha uma boa compreensão do método de geração do lugar das raízes do sistema de malha fechada tanto manualmente como por meio de aplicativos como o MATLAB No projeto de um sistema de controle linear vemos que o método do lugar das raízes prova sua eficiência pois indica o modo pelo qual os polos e os zeros de malha aberta devem ser modi ficados para que a resposta satisfaça às especificações de desempenho do sistema Esse método é em particular eficiente para a obtenção rápida de resultados aproximados Pelo fato de a geração do lugar das raízes pelo MATLAB ser bastante simples podese pensar que esboçar o lugar das raízes manualmente seja desperdício de tempo e esforço Entretanto a experiência em esboçar manualmente o lugar das raízes é da maior importância para a interpre tação do próprio lugar das raízes gerado por computador além de servir para que se tenha de maneira rápida uma ideia aproximada do lugar das raízes Visão geral do capítulo A estrutura deste capítulo é como se segue a Seção 61 apresentou uma introdução ao método do lugar das raízes A Seção 62 detalha os conceitos básicos do método do lugar das raízes e apresenta o procedimento geral para o esboço desse método com exemplos ilustrativos A Seção 63 discute a geração do gráfico do lugar das raízes pelo MATLAB A Seção 64 trata de um caso especial quando o sistema de malha fechada apresenta realimentação positiva A Seção 65 apresenta os aspectos gerais do método do lugar das raízes no projeto de sistemas de malha fechada A Seção 66 mostra o projeto de sistemas de controle com compensação por avanço A Seção 67 trata da técnica de compensação por atraso A Seção 68 aborda a técnica de compensação por atraso e avanço Por fim a Seção 69 discute a técnica de compensação paralela 62 Gráfico do lugar das raízes Condições de ângulo e de módulo Considere o sistema mostrado na Figura 61 A função de transferência de malha fechada é R s C s G s H s G s 1 h h h h h 61 A equação característica desse sistema de malha fechada é obtida igualando a zero o denominador do lado direito da Equação 61 Ou seja 1 GsHs 0 ou GsHs 1 62 Aqui vamos supor que GsHs seja uma relação dos polinômios em s Note que podemos estender a análise ao caso em que GsHs apresenta retardo de transporte eTs Como GsHs é uma grandeza complexa a Equação 62 pode ser dividida em duas equações equiparandose os ângulos e módulos de ambos os lados respectivamente obtendose Condição angular G s H s h h 1802k 1 k 0 1 2 63 Condição de módulo GsHs 1 64 Os valores de s que satisfazem tanto a condição angular como a de módulo são as raízes da equa ção característica ou os polos de malha fechada Um lugar dos pontos no plano complexo que FIGURA 61 Hs Gs Cs Rs Sistema de controle 247 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes satisfaz somente a condição angular é o lugar das raízes As raízes da equação característica os polos de malha fechada que correspondem a dado valor do ganho podem ser determinadas pela condição de módulo Os detalhes sobre a aplicação das condições de ângulo e de módulo para a obtenção dos polos de malha fechada serão apresentados posteriormente nesta seção Em muitos casos GsHs envolve um parâmetro de ganho K e a equação característica pode ser escrita como 1 0 s p s p s p K s z s z s z n m 1 2 1 2 g g h h h h h h Então o lugar das raízes do sistema é o lugar dos polos de malha fechada quando o ganho K varia de zero a infinito Note que para começar o esboço do lugar das raízes de um sistema pelo método do lugar das raízes devemos conhecer a localização dos polos e zeros de GsHs Lembrese de que os ângulos dos vetores no plano complexo grandezas complexas que se originam nos polos e zeros de malha aberta e vão até o ponto de teste s são medidos no sentido antihorário Por exemplo se GsHs for dado por G s H s s p s p s p s p K s z 1 2 3 4 1 h h h h h h h onde p2 e p3 são polos complexos conjugados então o ângulo de GsHs será G s H s 1 1 2 3 4 z i i i i h h onde z1 θ1 θ2 θ3 e θ4 são medidos no sentido antihorário como mostram as figuras 62a e b O módulo de GsHs para esse sistema é G s H s A A A A KB 1 2 3 4 1 h h onde A1 A2 A3 A4 e B1 são os módulos das grandezas complexas s p1 s p2 s p3 s p4 e s z1 respectivamente como mostra a Figura 62a Note que pelo fato de os polos e zeros complexos conjugados de malha aberta caso existam situaremse sempre simetricamente em relação ao eixo real o lugar das raízes tam bém será sempre simétrico em relação a esse eixo Portanto será necessário construir apenas a metade superior do lugar das raízes e desenhar a imagem espelhada da metade superior na metade inferior do plano s FIGURA 62 Ponto de teste Ponto de teste p4 p3 p2 p1 s s z1 ϕ1 ϕ1 j θ4 θ2 θ3 θ4 θ1 θ3 θ1 θ2 v 0 p4 p2 A4 B1 A3 A2 A1 p1 p3 z1 j v 0 b a a e b Diagramas que mostram medidas dos ângulos a partir do ponto de testes s e dos polos e zeros de malha aberta 248 Engenharia de controle moderno Exemplos ilustrativos Serão apresentados a seguir dois exemplos ilustrativos de construção do gráfico do lugar das raízes Embora existam métodos computacionais facilmente acessíveis para construir o lugar das raízes utilizaremos aqui computação gráfica combinada com inspe ção para determinar o lugar geométrico sobre o qual as raízes da equação característica do sistema de malha fechada devem ser localizadas Esse método gráfico aumentará a compreensão de como os polos de malha fechada se movem no plano complexo quando os polos e zeros de malha aberta se deslocam Ainda que apenas sistemas simples tenham sido apresentados para fins de ilustração o procedimento para a construção do lugar das raízes de sistema de ordem mais elevada não é mais complicado Pelo fato de as medidas gráficas dos ângulos e dos módulos estarem envolvidas na análise será muito conveniente utilizar a mesma escala tanto para o eixo das abscissas como para o das ordenadas quando se desenha o lugar das raízes em gráficos no papel Exemplo 61 Considere o sistema com realimentação negativa mostrado na Figura 63 Vamos supor que o valor do ganho K seja não negativo Para esse sistema 1 G s s s s K H s 1 2 h h h h Vamos esboçar o gráfico do lugar das raízes e em seguida determinar o valor de K de modo que o coeficiente de amortecimento z do par de polos complexos conjugados dominantes de malha fechada seja 05 Para o sistema dado a condição angular é G s s s s K s s s k k 1 2 1 2 180 2 1 0 1 2 c f h h h h h A condição de módulo é 1 G s s s s K 1 2 h h h Um procedimento típico para esboçar o gráfico do lugar das raízes é o seguinte 1 Determinar o lugar das raízes no eixo real O primeiro passo na construção de um gráfico do lugar das raízes é localizar no plano complexo os polos de malha aberta s 0 s 1 e s 2 Não existem zeros de malha aberta nesse sistema As posições dos polos de malha aberta são indicadas por cruzes As posições dos zeros de malha aberta neste livro serão indicadas por pequenos círculos Observe que os pontos de partida do lugar das raízes os pontos correspon dentes a K 0 são os polos de malha aberta O número de lugares das raízes individuais para esse sistema é 3 que é igual ao número de polos de malha aberta Para determinar o lugar das raízes no eixo real selecionase um ponto de teste s Se esse ponto de teste estiver no eixo real positivo então 0 s s s 1 2 c FIGURA 63 Rs Cs K ss 1 s 2 Sistema de controle 249 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Isso demonstra que a condição angular não pode ser satisfeita Então não existe lugar das raízes no eixo real positivo A seguir selecionase um ponto de teste no eixo real negativo entre 0 e 1 Então 180 0 s s s 1 2 c c Assim 180 s s s 1 2 c e a condição angular é satisfeita Dessa maneira o segmento do eixo real negativo entre 0 e 1 pertence ao lugar das raízes Se um ponto de teste for selecionado entre 1 e 2 então 180 0 s s s 1 2 c c e 360 s s s 1 2 c Podese observar então que a condição angular não será satisfeita Portanto o eixo real negati vo entre 1 e 2 não pertence ao lugar das raízes Da mesma maneira se um ponto de teste for localizado no eixo real negativo entre 2 e a condição angular será satisfeita Portanto o lugar das raízes existirá sobre o eixo real negativo entre 0 e 1 e entre 2 e 2 Determinar as assíntotas do lugar das raízes As assíntotas do lugar das raízes à medida que s se aproxima do infinito podem ser definidas da seguinte maneira se um ponto de teste for selecionado muito distante da origem então lim lim lim G s s s s K s K 1 2 s s s 3 3 3 3 h h h e a condição angular tornase 3 180 s k k 2 1 0 1 2 c f h h ou Ângulos í 012 das ass ntotas k k 3 180 2 1 c f h Como o ângulo se repete à medida que k varia os ângulos distintos para as assíntotas são deter minados como 60 60 e 180 Assim existem três assíntotas A que corresponde ao ângulo de 180 é o eixo real negativo Antes de podermos desenhar essas assíntotas no plano complexo devemos determinar o ponto onde elas cruzam o eixo real Como G s s s s K 1 2 h h h se um ponto de teste estiver muito distante da origem então Gs poderá ser escrito como G s s s K 3 3 2 g h Para valores elevados de s essa última equação pode ser aproximada como G s s K 1 3 Z h h 65 Um gráfico do lugar das raízes de Gs dado pela Equação 65 consiste em três retas Isso pode ser visto a seguir onde a equação do lugar das raízes é 180 s K k 1 2 1 3 c h h ou 3 180 s k 1 2 1 c h 250 Engenharia de controle moderno que pode ser escrita como 60 s k 1 2 1 c h Substituindo s v j nessa última equação obtemos 60 j k 1 2 1 c v h ou 60 60 0 tg 1 1 c c c v Considerando a tangente de ambos os lados dessa última equação 0 1 3 3 v que podem ser escritas como 1 0 1 0 0 3 3 v v Essas três equações representam três linhas retas como mostra a Figura 64 Essas três linhas retas são as assíntotas Elas se encontram no ponto s 1 Assim a abscissa de intersecção entre as assíntotas e o eixo real é obtida igualando a zero o denominador do lado direito da Equação 65 e resolvendo para s As assíntotas são praticamente partes do lugar das raízes nas regiões muito distantes da origem 3 Determinar o ponto de partida do eixo real Para desenhar com precisão o lugar das raízes devese definir o ponto de partida do eixo real onde as ramificações do lugar das raízes originárias dos polos em 0 e 1 saem do eixo real à medida que K aumenta e se movem no plano complexo O ponto de partida do eixo real corresponde a um ponto no plano s onde ocorrem raízes múltiplas da equação característica Existe um método simples para a determinação do ponto de partida do eixo real que apre sentaremos a seguir Escreveremos a equação característica como fs Bs KAs 0 66 FIGURA 64 j v 0 1 j 3 j 3 v 1 3 0 v 1 3 0 0 Três assíntotas 251 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes onde As e Bs não contêm K Note que fs 0 tem raízes múltiplas nos pontos onde 0 ds df s h Isso pode ser visto como segue Suponha que fs tenha raízes múltiplas de ordem r onde r 2 Então fs pode ser escrita como fs s s1rs s2 s sn Derivando essa equação em relação a s e estimandose o valor de dfsds em s s1 teremos 0 ds df s s s1 h 67 Isso indica que raízes múltiplas de fs satisfazem à Equação 67 A partir da Equação 66 obtemos 0 ds df s B s KA s l l h h h 68 onde A s ds dA s B s ds dB s l l h h h h O valor específico de K que produzirá raízes múltiplas da equação característica é obtido a partir da Equação 68 como K A s B s l l h h Se substituirmos esse valor de K na Equação 66 teremos 0 f s B s A s B s A s l l h h h h h ou BsAs BsAs 0 69 Se a Equação 69 for resolvida em relação a s podem ser obtidos os pontos onde ocorram as raízes múltiplas Por outro lado a partir da Equação 66 obtemos K A s B s h h e ds dK A s B s A s B s A s 2 l l h h h h h Se dKds for igualado a zero obteremos novamente a Equação 69 Assim os pontos de partida do eixo real podem ser determinados a partir das raízes de ds dK 0 Podese notar que nem todas as soluções da Equação 69 ou de dKds 0 correspondem ao ponto de partida real do eixo real Se um ponto no qual dKds 0 estiver sobre o lugar das raízes este será mesmo um ponto de partida ou de chegada ao eixo real Em outras palavras se o valor de K for real e positivo em um ponto em que dKds 0 então este será de fato um ponto de partida ou de chegada do eixo real No presente exemplo a equação característica Gs 1 0 é dada por 1 0 s s s K 1 2 h h ou K s3 3s2 2s 252 Engenharia de controle moderno Definindo dKds 0 obtemos ds dK 3s2 6s 2 0 ou s 04226 s 15774 Como o ponto de partida do eixo real deve estar sobre o lugar das raízes entre 0 e 1 está claro que s 04226 corresponde efetivamente ao ponto de partida do eixo real O ponto s 15774 não está sobre o lugar das raízes Então esse ponto não é realmente um ponto nem de partida nem de chegada De fato o cálculo dos valores de K correspondentes a s 04226 e s 15774 resulta em K 03849 para s 04226 K 03849 para s 15774 4 Determinar os pontos em que o lugar das raízes cruza o eixo imaginário Esses pontos podem ser determinados com a utilização do critério de estabilidade de Routh do seguinte modo como a equação característica para o presente sistema é s3 3s2 2s K 0 a matriz de Routh tornase s3 1 2 s2 3 K s1 K 3 6 s0 K O valor de K que faz que o termo s1 na primeira coluna seja igual a zero é K 6 Os pontos de cruzamento com o eixo imaginário podem então ser determinados com a resolução da equação auxiliar obtida a partir da linha s2 isto é 3s2 K 3s2 6 0 do que resulta s j 2 As frequências no ponto de cruzamento do eixo imaginário são portanto 2 O valor do ganho correspondente aos pontos de cruzamento é K 6 Um método alternativo é fazer s j na equação característica igualar a zero tanto a parte real como a parte imaginária e então resolver para e K Para o presente sistema a equação característica com s j é j3 3j2 2j K 0 ou K 32 j2 3 0 Igualando tanto a parte real como a imaginária dessa última equação a zero obtemos K 32 0 2 3 0 A partir da qual 2 K 6 ou 0 K 0 Assim o lugar das raízes cruza o eixo imaginário em 2 e o valor de K no ponto de cru zamento é 6 Além disso um ramo do lugar das raízes no eixo real toca o eixo imaginário em 0 O valor de K nesse ponto é zero 5 Escolher um ponto de teste nos entornos do eixo j e da origem como mostra a Figura 65 e aplicar a condição angular Se um ponto de teste estiver sobre o lugar das raízes então a soma 253 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes dos três ângulos q1 q2 q3 deve ser 180 Se o ponto de teste não satisfizer à condição angular selecione outro ponto de teste até que a condição seja atendida A soma dos ângulos no ponto de teste indicará a direção em que o ponto de teste deve ser movido Continue com esse processo e localize um número suficiente de pontos que satisfaçam à condição do ângulo 6 Desenhar o lugar das raízes com base nas informações obtidas nos passos anteriores como mostra a Figura 66 7 Determinar um par de polos complexos conjugados dominantes de malha fechada de modo que o coeficiente de amortecimento z seja 05 Os polos de malha fechada com z 05 situados em linhas que passam pela origem e formam os ângulos cos1 z cos1 05 60 com o eixo real negativo Com o auxílio da Figura 66 esses polos de malha fechada com z 05 são obtidos da seguinte maneira s1 03337 j05780 s2 03337 j05780 O valor de K que fornece esses polos é determinado pela condição de módulo como segue K ss 1 s 2s 03337 j05780 10383 Utilizando esse valor de K o terceiro polo é obtido em s 23326 FIGURA 65 j j1 j1 1 2 s 1 s 2 θ2 θ1 θ3 0 s v Construção do lugar das raízes FIGURA 66 j j1 j1 1 2 3 0 v K 6 K 6 K 10383 K 10383 K K j2 j2 60 1 Gráfico do lugar das raízes 254 Engenharia de controle moderno Observe que a partir do passo 4 podese ver que para K 6 os polos de malha fechada dominantes se situam no eixo imaginário em s j 2 Com esse valor de K o sistema apre sentará oscilações permanentes Para K 6 os polos de malha fechada dominantes se situam no semiplano direito do plano s resultando em um sistema instável Por fim note que se necessário o lugar das raízes pode ser facilmente graduado em termos dos valores de K utilizando para isso a condição de módulo Simplesmente selecionase um ponto sobre o lugar das raízes medese o módulo das três grandezas complexas s s 1 e s 2 e multiplicamse esses valores o produto é igual ao valor do ganho K naquele ponto ou s s 1 s 2 K A graduação do lugar das raízes pode ser feita facilmente com a utilização do MATLAB Veja a Seção 63 Exemplo 62 Neste exemplo será esboçado o gráfico do lugar das raízes de um sistema com polos de malha aberta complexos conjugados Considere o sistema mostrado na Figura 67 Para esse sistema 1 G s s s K s H s 2 3 2 2 h h h onde K 0 Vêse que Gs tem um par de polos complexos conjugados em s 1 j 2 s 1 j 2 Um procedimento típico para esboçar o gráfico do lugar das raízes é o seguinte 1 Determinar o lugar das raízes no eixo real Para qualquer ponto de teste s no eixo real a soma das contribuições angulares dos polos complexos conjugados é 360 como mostra a Figura 68 Assim o efeito resultante dos polos complexos conjugados sobre a condição angular no eixo real é nulo A localização do lugar das raízes sobre o eixo real é determinada pelo zero de malha aberta existente nesse mesmo eixo Um teste simples revela que o intervalo entre 2 e no eixo real negativo constitui uma parte do lugar das raízes Verificase que como esse lugar está situado entre dois zeros em s 2 e s é de fato uma parte formada por dois ramos do lugar das raízes cada um partindo de um dos dois polos complexos conjugados Em outras palavras dois ramos do lugar das raízes se separam em um ponto da região sobre o eixo real negativo entre 2 e FIGURA 68 j 1 0 2 v j 2 j 2 Ponto de teste θ2 θ1 Determinação do lugar das raízes no eixo real FIGURA 67 Rs Cs Ks 2 s2 2s 3 Sistema de controle 255 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Como existem dois polos de malha aberta e um zero existe apenas uma assíntota que coin cide com o eixo real negativo 2 Determinar o ângulo de partida dos polos complexos conjugados de malha aberta A presença de um par de polos complexos conjugados de malha aberta requer a determinação do ângulo de partida desses polos O conhecimento desse ângulo é importante já que o lugar das raízes próximo a um polo complexo fornece informações de como o polo originário do polo complexo migra para o eixo real ou se estende sobre a assíntota Referindose à Figura 69 se for escolhido um ponto de teste móvel em uma região muito próxima do polo complexo conjugado de malha aberta em s p1 verificase que a soma das contribuições angulares do polo em s p2 e do zero em s z1 pode ser considerada invariável Se o ponto de teste estiver sobre o lugar das raízes então a soma de z1 q1 e q2 deverá ser 1802k 1 onde k 0 1 2 Assim no exemplo z1 θ1 θ2 1802k 1 ou θ1 180 θ2 z1 180 θ2 z1 O ângulo de partida é então θ1 180 θ2 z1 180 90 55 145 Como o lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real o ângulo de partida do polo em s p2 é 145 3 Determinar o ponto de chegada ao eixo real Um ponto de chegada ao eixo real existe onde um par de ramos do lugar das raízes se funde quando K aumenta Para esse problema o ponto de chegada ao eixo real pode ser determinado da seguinte maneira dado que K s s s 2 2 3 2 temos 0 ds dK s s s s s 2 2 2 2 2 3 2 2 h h h h o que resulta em s2 4s 1 0 FIGURA 69 j 0 v θ2 s p2 ϕ1 ϕ1 z1 p1 θ2 θ1 Determinação do ângulo de partida 256 Engenharia de controle moderno ou s 37320 ou s 02680 Note que o ponto s 37320 está sobre o lugar das raízes Então este é efetivamente um ponto de chegada ao eixo real Note que no ponto s 37320 o valor do ganho correspondente é K 54641 Como o ponto s 02680 não está sobre o lugar das raízes não pode ser um ponto de chegada ao eixo real Para o ponto s 02680 o valor correspondente do ganho é K 14641 4 Esboçar o gráfico do lugar das raízes tomando por base as informações obtidas nos pas sos anteriores Para determinar com precisão o lugar das raízes devem ser determinados vários pontos entre o ponto de chegada ao eixo real e os polos complexos de malha aberta pelo método de tentativa e erro Para facilitar o esboço do gráfico do lugar das raízes devese encontrar a direção na qual o ponto de teste deve ser movido guardando mentalmente a soma das variações dos ângulos nos polos e nos zeros A Figura 610 mostra um gráfico completo do lugar das raízes para o sistema considerado O valor do ganho K em qualquer ponto do lugar das raízes pode ser determinado aplicandose a condição de módulo ou por meio do MATLAB veja a Seção 63 Por exemplo o valor de K em que os polos complexos conjugados de malha fechada têm o coeficiente de amortecimento z 07 pode ser encontrado pela localização das raízes como mostra a Figura 610 e calculando o valor de K da seguinte maneira 134 K s s j s j 2 1 2 1 2 s j 1 67 1 70 h h Ou utilizar o MATLAB para determinar o valor de K veja a Seção 64 Observe que nesse sistema o lugar das raízes no plano complexo é parte de um círculo Esse lugar das raízes circulares não ocorre na maioria dos sistemas Lugares das raízes circulares podem ocorrer em sistemas que têm dois polos e um zero dois polos e dois zeros ou um polo e dois zeros Mesmo nesses sistemas a ocorrência de partes de lugares das raízes circulares depende da localização dos polos e dos zeros existentes Para mostrar a existência de partes circulares do lugar das raízes no presente sistema é necessário deduzir a equação do lugar das raízes Para esse sistema a condição de ângulo é 180 s s j s j k 2 1 2 1 2 2 1 c h FIGURA 610 j j1 j1 1 2 3 4 0 v Linha de ζ 07 j2 j2 145 1 Gráfico do lugar das raízes 257 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Se s v j for substituído nessa última equação obtemos 180 j j j j j k 2 1 2 1 2 2 1 c v v v h que pode ser escrita como 180 tg tg tg k 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 c v v v c c c m m m h ou 180 tg tg tg k 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 c v v v c c c m m m h Considerando as tangentes de ambos os lados dessa última equação e utilizando a relação 1 tg tg tg tg tg x y x y x y h 610 obtemos 180 tg tg tg tg tg k 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 v v v c c c m m m h E E ou 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 v v v v v v c c m m que pode ser simplificada para 1 2 2 1 2 2 2 v v v h h h ou v 22 2 3 0 Essa última equação é equivalente a 0 ou v 22 2 3 2 Essas duas equações são equações do lugar das raízes do presente sistema Observe que a primeira 0 é a equação para o eixo real O eixo real entre s 2 e s corresponde ao lugar das raízes para K 0 A parte remanescente do eixo real corresponde ao lugar das raízes quando K é negativo Nesse sistema K é não negativo Note que K 0 corresponde ao caso em que a realimentação é positiva A segunda equação para o lugar das raízes é a equação de um círculo com centro em v 2 0 e raio igual a 3 A parte do círculo à esquerda dos polos com plexos conjugados corresponde ao lugar das raízes para K 0 A parte remanescente do círculo corresponde ao lugar das raízes quando K é negativo É importante notar que equações de fácil interpretação para o lugar das raízes podem ser deduzidas apenas para sistemas simples Para sistemas complexos que contenham muitos polos e zeros qualquer tentativa de dedução de equações para o lugar das raízes é desencorajada Essas equações deduzidas são muito complicadas e sua configuração no plano complexo é difícil de ser visualizada Regras para a construção do lugar das raízes Para um sistema complexo com muitos polos e zeros de malha aberta a construção do gráfico do lugar das raízes pode parecer complicada mas na verdade não é difícil se forem aplicadas as regras de construção para esse fim Pela localização de pontos específicos e assíntotas e pelo cálculo dos ângulos de partida de polos complexos e ângulos de chegada em zeros complexos podese construir a forma geral do lugar das raízes sem dificuldade 258 Engenharia de controle moderno Vamos resumir agora as regras e os procedimentos gerais para a construção do lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 611 Inicialmente obtenha a equação característica 1 GsHs 0 Em seguida modifique essa equação de modo que o parâmetro de interesse apareça como fator de multiplicação na forma 1 0 s p s p s p K s z s z s z n m 1 2 1 2 g g h h h h h h 611 Na presente discussão supomos que o parâmetro de interesse seja o ganho K sendo K 0 No caso de K 0 o que corresponde à realimentação positiva a condição de ângulo deve ser modi ficada Veja a Seção 64 Verificase entretanto que o método ainda é aplicável a sistemas com outros parâmetros de interesse além do ganho Veja a Seção 66 1 Localizar os polos e zeros de GsHs no plano s Os ramos do lugar das raízes se iniciam nos polos de malha aberta e terminam nos zeros zeros finitos ou zeros no infinito A partir da forma fatorada da função de transferência de malha aberta determinar a localização dos polos e dos zeros de malha aberta no plano s Note que os zeros de malha aberta são os zeros de GsHs enquanto os zeros de malha fechada constituem os zeros de Gs e os polos de Hs Observe que os lugares das raízes são simétricos ao eixo real do plano s pois os polos com plexos e os zeros complexos ocorrem apenas em pares conjugados Um gráfico do lugar das raízes possui tantos ramos quantas forem as raízes da equação caracte rística Como o número de polos de malha aberta geralmente excede o número de zeros o número de ramos é igual ao de polos Se o número de polos de malha fechada for o mesmo que o de polos de malha aberta então o número de ramos individuais do lugar das raízes que terminam em zeros finitos de malha aberta será igual ao número m dos zeros de malha aberta Os ramos restantes n m que terminam no infinito n m zeros implícitos no infinito ao longo das assíntotas Se forem incluídos polos e zeros no infinito o número de polos de malha aberta será igual ao de zeros de malha aberta Portanto podese afirmar que os lugares das raízes que se iniciam nos polos de GsHs e terminam nos zeros de GsHs à medida que K varia de zero a infinito inclui os polos e zeros que se situam tanto no plano finito de s como no infinito 2 Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real Os trechos do lugar das raízes no eixo real são determinados pelos polos e zeros de malha aberta que se encontram sobre ele Os polos e zeros complexos conjugados de malha aberta da função de transferência não têm nenhum efeito na determinação dos trechos do lugar das raízes no eixo real porque a contribuição angular de um par de polos ou zeros complexos conjugados sobre o eixo real é de 360 Cada região do lugar das raízes no eixo real se estende sobre uma área de um polo ou zero a outro polo ou zero Para a construção dos trechos do lugar das raízes no eixo real escolha um ponto de teste sobre ele Se o número total de polos reais e zeros reais à direita desse ponto de teste for ímpar então esse ponto estará situado em uma região do lugar das raízes Se polos de malha aberta e zeros de malha aberta forem polos simples e zeros simples então o lugar das raízes e seus complementos formarão segmentos alternados ao longo do eixo real FIGURA 611 Hs Gs Cs Rs Sistema de controle 259 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 3 Determinar as assíntotas dos lugares das raízes Se o ponto de teste s estiver localizado distante da origem então o ângulo de cada vetor do plano complexo poderá ser consi derado o mesmo Um zero de malha aberta e um polo de malha aberta podem cancelar seus efeitos mutuamente Portanto os lugares das raízes se os valores de s forem muito elevados deverão ser assintóticos para as retas cujos ângulos inclinações são dados por Ângulos das assíntotas n m k k 180 2 1 0 1 2 c f h h onde n número finito de polos de GsHs m número de zeros finitos de GsHs Aqui k 0 corresponde às assíntotas de menor ângulo em relação ao eixo real Embora k assu ma um número infinito de valores à medida que k aumenta o ângulo se repete e o número de assíntotas distintas é n m Todas as assíntotas se cruzam em um ponto no eixo real Os pontos de intersecção são obtidos como a seguir se tanto o numerador como o denominador da função de transferência de malha aberta forem expandidos o resultado será G s H s s p p p s p p p K s z z z s z z z n n n n m m m m 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 g g g g g g h h h h 6 Se um ponto de teste for situado muito distante da origem então dividindo o denominador pelo numerador será possível escrever GsHs como G s H s s p p p z z z s K n m n m n m 1 2 1 2 1 g g g h h h h 6 ou G s H s s n m p p p z z z K n m n m 1 2 1 2 g g h h h h G 612 A abscissa do ponto de intersecção das assíntotas com o eixo real é então obtida igualandose a zero o denominador do lado direito da Equação 612 e resolvendo para s ou s n m p p p z z z n m 1 2 1 2 g g h h 613 O Exemplo 61 mostra por que a Equação 613 resulta na intersecção Uma vez determinada a intersecção podese desenhar as assíntotas no plano complexo É importante notar que as assíntotas mostram o comportamento dos lugares das raízes para s 1 Um ramo do lugar das raízes pode se situar de um lado da assíntota correspondente ou pode cruzar a assíntota correspondente de um lado ao outro 4 Determinar os pontos de partida e os de chegada ao eixo real Em virtude da simetria conjugada do lugar das raízes os pontos de partida ao eixo real e os de chegada estão localizados sobre o eixo real ou ocorrem em pares complexos conjugados Se um lugar das raízes estiver localizado entre dois polos de malha aberta adjacentes no eixo real então existirá pelo menos um ponto de partida do eixo real entre os dois polos Da mesma maneira se o lugar das raízes estiver entre dois zeros adjacentes um dos zeros pode estar localizado em no eixo real então sempre existirá pelo menos um ponto de chegada entre os dois zeros Se o lugar das raízes se situar entre um polo e um zero de malha aberta finito ou infinito sobre o eixo real poderão existir pontos de partida e de chegada simultaneamente mas não de modo isolado Suponha que a equação característica seja dada por Bs KAs 0 260 Engenharia de controle moderno Os pontos de partida e os de chegada ao eixo real correspondem às raízes múltiplas da equação característica Então como foi discutido no Exemplo 61 os pontos de partida e de chegada podem ser determinados a partir das raízes de 0 ds dK A s B s A s B s A s 2 l l h h h h h 614 onde o apóstrofo indica a diferenciação em relação a s É importante notar que os pontos de partida e os de chegada devem ser as raízes da Equação 614 mas nem todas as raízes da Equação 614 são pontos de partida ou pontos de chegada Se uma raiz real da Equação 614 estiver sobre a região do lugar das raízes no eixo real então este é realmente um ponto de partida ou de chagada Se uma raiz real da Equação 614 não estiver sobre a região do lugar das raízes no eixo real então essa raiz não corresponderá nem a um ponto de partida nem a um ponto de chegada Se duas raízes s s1 e s s1 da Equação 614 forem um par de complexos conjugados e se não for certo que pertençam ao lugar das raízes então será necessário verificar o valor correspondente de K Se o valor de K correspondente a uma raiz s s1 de dKds 0 for positivo o ponto s s1 será realmente um ponto de partida ou um ponto de chegada Como se supõe que K seja não negativo se o valor de K assim obtido for negativo ou um vetor no plano complexo então o ponto s s1 não será nem um ponto de partida nem um ponto de chegada 5 Determinar o ângulo de partida de um polo complexo ou de chegada a um zero complexo do lugar das raízes Para esboçar o lugar das raízes com precisão razoável devese determinar a direção dos ramos do lugar das raízes próximos aos polos e zeros complexos Se um ponto de teste for escolhido e movido nas proximidades de um polo complexo ou de um zero com plexo podese considerar que a soma das contribuições angulares de todos os outros polos e zeros permanece invariável Assim o ângulo de partida ou o ângulo de chegada do lugar das raízes de um polo complexo ou em um zero complexo pode ser determinado subtraindo de 180 a soma de todos os ângulos dos vetores de todos os outros polos e zeros que chegam ao polo complexo ou do zero complexo em questão incluindo os sinais apropriados Ângulo de partida de um polo complexo 180 soma dos ângulos dos vetores que chegam ao polo complexo em questão com origem em outros polos soma dos ângulos dos vetores que chegam ao polo complexo em questão com origem nos zeros Ângulo de chegada em um zero complexo 180 soma dos ângulos dos vetores que chegam ao zero complexo em questão originários de outros zeros soma dos ângulos dos vetores de chegada ao zero complexo em questão partindo dos polos O ângulo de partida é mostrado na Figura 612 FIGURA 612 j v Ângulo de partida θ2 θ1 ϕ 0 Construção do lugar das raízes Ângulo de partida 180 θ1 θ2 z 261 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 6 Encontrar os pontos onde o lugar das raízes pode cruzar o eixo imaginário Os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo j podem ser determinados facilmente a pelo uso do critério de estabilidade de Routh ou b fazendo s j na equação característica igualando a zero tanto a parte real como a parte imaginária e resolvendo para e K Os valores de assim determinados fornecem as frequências em que o lugar das raízes cruza o eixo imaginário O valor de K correspondente a cada frequência de cruzamento representa o ganho nesse ponto de cruzamento 7 Obter uma série de pontos de teste na região da origem do plano s e esboçar o lugar das raízes Determinar o lugar das raízes em ampla região nas proximidades do eixo j e da origem A parte mais importante do lugar das raízes não se situa nem no eixo real nem junto às assíntotas mas em uma região próxima ao eixo j e à origem O formato do lugar das raízes nessa importante região do plano s deve ser obtido com uma precisão razoável Se for necessário obter a forma do lugar das raízes com exatidão podese usar o MATLAB em vez de fazer o cálculo manualmente 8 Determinar os polos de malha fechada Um ponto em particular sobre cada um dos ramos do lugar das raízes será um polo de malha fechada se o valor de K nesse ponto satisfizer a condição de módulo Reciprocamente a condição de módulo possibilita que se deter mine o valor do ganho K em qualquer ponto especificado sobre o lugar das raízes Se necessário o lugar das raízes pode ser graduado em função de K Os valores de K variam continuamente ao longo do lugar das raízes O valor de K correspondente a um ponto s no lugar das raízes pode ser obtido com a utilização da condição de módulo ou seja â â produto da dist ncia entre o ponto e os zeros produto da dist ncia entre o ponto e os polos K s s Esse valor pode ser calculado tanto gráfica como analiticamente O MATLAB pode ser utilizado para graduar o lugar das raízes em função de K Veja a Seção 63 Se o ganho K da função de transferência de malha aberta for um dado do problema então pela aplicação da condição de módulo podese determinar as posições corretas dos polos de malha fechada em cada um dos ramos do lugar das raízes para dado valor de K Para isso pode se utilizar o método de tentativa e erro ou o MATLAB que será apresentado na Seção 63 Comentários sobre os gráficos do lugar das raízes Observe que a equação característica do sistema de realimentação negativa cuja função de transferência de malha aberta é G s H s s a s a K s b s b n m n n n m m m 1 1 1 1 g g h h h h é uma equação algébrica de grau n em s Se a ordem do numerador de GsHs for menor que a do denominador em duas ou mais unidades o que significa que existem dois ou mais zeros no infinito então o coeficiente a1 será a soma negativa das raízes das equações e é independente de K Nesse caso se algumas das raízes se moverem para a esquerda sobre o lugar das raízes à medida que K aumenta então as outras raízes devem se mover para a direita conforme K aumenta Essa informação é útil na determinação da forma geral do lugar das raízes Note também que uma pequena alteração na posição dos polos e zeros pode ocasionar mudanças importantes na configuração do lugar das raízes A Figura 613 demonstra que uma pequena variação no posicionamento de um zero ou de um polo resultará em uma configuração do lugar das raízes bastante diferente Cancelamento dos polos de Gs com zeros de Hs É importante notar que se o deno minador de Gs e o numerador de Hs contiverem fatores comuns então os polos e os zeros de malha aberta correspondentes se cancelarão mutuamente reduzindo o grau da equação carac terística em uma ou mais unidades Por exemplo considere o sistema da Figura 614a Esse sistema possui realimentação de velocidade Mudando o diagrama de blocos da Figura 614a 262 Engenharia de controle moderno para o mostrado na Figura 614b fica claro que Gs e Hs têm em comum o fator s 1 A função de transferência de malha fechada CsRs é R s C s s s s K s K 1 2 1 h h h h h A equação característica é ss 2 Ks 1 0 Entretanto em virtude do cancelamento dos termos s 1 que aparecem em Gs e Hs temse G s H s s s s s K s s s s s K 1 1 1 2 1 2 2 h h h h h h h A equação característica reduzida é ss 2 K 0 O gráfico do lugar das raízes de GsHs não mostra todas as raízes da equação característica mas apenas as raízes da equação reduzida FIGURA 613 j v j v Gráficos do lugar das raízes FIGURA 614 Cs Rs a 1 s K s 1 s 2 Cs Rs c 1 s 1 K ss 1 s 2 K ss 2 s 1 Hs Cs Rs b Gs a Sistema de controle com realimentação de velocidade b e c diagramas de blocos modificados 263 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Para obter o conjunto completo dos polos de malha fechada devese adicionar o polo can celado de GsHs aos polos de malha fechada obtidos a partir do gráfico do lugar das raízes de GsHs É importante lembrar que o polo cancelado de GsHs é um polo de malha fechada do sistema como mostra a Figura 614c Configurações típicas de polos e zeros e o lugar das raízes correspondentes Em resumo mostramos na Tabela 61 várias configurações de polos e zeros de malha aberta e seus correspondentes lugares das raízes O padrão do lugar das raízes depende apenas da separação relativa dos polos e zeros de malha aberta Se o número de polos exceder o número de zeros finitos em três ou mais unidades haverá um valor do ganho K além do qual o lugar das raízes entrará no semiplano direito do plano s e assim o sistema se tornará instável Para que um sistema seja estável todos os polos de malha fechada devem se situar no semiplano esquerdo do plano s Observe que uma vez que se tenha alguma experiência com o método é possível avaliar com facilidade as alterações no lugar das raízes em decorrência de modificações no número e no posicionamento dos polos e zeros Conseguese isso visualizando o gráfico do lugar das raízes resultante das várias configurações de polos e zeros TABELA 61 j v j v j v j v j v j v j v j v j v j v j v j v Configurações de polos e zeros de malha aberta e os lugares das raízes correspondentes 264 Engenharia de controle moderno Resumo A partir das discussões anteriores fica claro que é possível esboçar um gráfico do lugar das raízes com razoável precisão para dado sistema seguindo regras simples É aconselhável que o leitor estude os vários gráficos do lugar das raízes apresentados nos problemas resolvidos no final do capítulo Nos estágios preliminares de um projeto não são necessárias as posições precisas dos polos de malha fechada Frequentemente necessitase apenas das localizações aproximadas para fazer uma estimativa do desempenho do sistema É importante então que o projetista tenha a capacidade de esboçar rapidamente o lugar das raízes de dado sistema 63 Desenhando o gráfico do lugar das raízes com o MATLAB Nesta seção apresentamos o método de geração do gráfico do lugar das raízes e a obtenção de informações relevantes usando o MATLAB Desenhando o gráfico do lugar das raízes com o MATLAB Na construção do gráfico do lugar das raízes a equação do sistema é apresentada na forma da Equação 611 que pode ser escrita como 1 0 den K num onde num é o polinômio do numerador e den o polinômio do denominador Ou seja num s z1s z2 s zm sm z1 z2 zmsm1 z1z2 zm den s p1s p2 s pn sn p1 p2 pnsn1 p1 p2pn Note que ambos os vetores num e den devem ser escritos segundo as potências decrescentes de s Um comando MATLAB comumente utilizado para desenhar o lugar das raízes é rlocusnumden Esse comando faz que o gráfico do lugar das raízes seja desenhado na tela O vetor de ganho K é determinado automaticamente O vetor K contém todos os valores do ganho para os quais os polos de malha fechada são calculados Para os sistemas definidos no espaço de estados rlocusABCD traça o lugar das raízes do sistema determinando automaticamente o vetor de ganho Note que os comandos rlocusnumdenK e rlocusABCDK utilizam o vetor de ganho K informado pelo usuário Se for desejável traçar o lugar das raízes com as marcas o ou x será necessário utilizar o seguinte comando r rlocusnumden plotro ou plotr x Traçar o gráfico do lugar das raízes utilizando as marcas o ou x é instrutivo uma vez que cada um dos polos de malha fechada calculados será mostrado graficamente algumas regiões do lugar das raízes são mais densamente ocupadas por essas marcas e em outras a ocupação é mais esparsa O MATLAB fornece seu próprio conjunto de valores de ganho utilizado no cálculo para traçar um lugar das raízes Isso é feito por uma rotina interna de passo variável adaptativo O MATLAB também utiliza no comando plot uma forma automática de escalar os eixos Exemplo 63 Considere o sistema mostrado na Figura 615 Trace o lugar das raízes com razão de quadratura de modo que uma linha com inclinação 1 seja uma linha verdadeiramente a 45 Escolha a região do lugar das raízes delimitada por 265 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 6 x 6 6 y 6 onde x e y são respectivamente a coordenada do eixo real e a coordenada do eixo imaginário Para configurar na tela determinada região que tenha a forma de um quadrado utilize o seguinte comando v 6 6 6 6 axisv axissquare Com esse comando a região do gráfico ficará configurada de acordo com a especificação e uma linha de coeficiente angular 1 estará de fato a 45 sem apresentar distorção decorrente da forma irregular da tela Neste problema o denominador é determinado pelo produto dos termos de primeira e segunda ordens Portanto devese multiplicar esses termos para obter um polinômio em s A multiplicação desses termos pode ser feita facilmente com a utilização do comando de convolução como é mostrado a seguir Defina a ss 1 a 1 1 0 b s2 4s 16 b 1 4 16 Em seguida utilize o seguinte comando c convab Observe que convab fornece o produto dos dois polinômios a e b O resultado do processa mento é apresentado a seguir a 1 1 0 b 1 4 16 c conv ab c 1 5 20 16 0 O polinômio do denominador é então den 1 5 20 16 0 Para determinar os polos complexos conjugados de malha aberta as raízes de s2 4s 16 0 devese digitar o comando roots como a seguir r rootsb r 20000 3464li 20000 3464li Consequentemente o zero de malha aberta e os polos de malha aberta do sistema são os seguintes Zero de malha aberta s 3 Polos de malha aberta s 0 s 1 s 2 j34641 O Programa 61 em MATLAB traça o gráfico do lugar das raízes para esse sistema A Figura 616 mostra o gráfico resultante FIGURA 615 Ks 3 ss 1s2 4s 16 Sistema de controle 266 Engenharia de controle moderno Programa 61 em MATLAB Gráfico do lugar da raízes num 1 3 den 1 5 20 16 0 rlocusnumden v 6 6 6 6 axisv axissquare grid titleGráfico do Lugar das Raízes de Gs Ks 3ss 1s2 4s 16 Note que no Programa 61 em MATLAB em vez de den 1 5 20 16 0 podese codificar den conv 1 1 0 1 4 16 Os resultados serão os mesmos Exemplo 64 Considere o sistema de realimentação negativa cuja função de transferência em malha aberta GsHs é G s H s s s s s K s s s s K 0 5 0 6 10 1 1 10 3 5 2 4 3 2 h h h h Não existem zeros de malha aberta Os polos de malha aberta estão localizados em s 03 j31480 s 03 j31480 s 05 e s 0 Digitando o Programa 62 em MATLAB no computador obtémse o gráfico do lugar das raízes mostrado na Figura 617 FIGURA 616 0 2 Eixo real Eixo imaginário 6 4 2 4 6 0 2 6 4 2 4 6 Gráfico do lugar das raízes de Gs Ks 3ss 1s2 4s 16 Gráfico do lugar das raízes 267 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Programa 62 em MATLAB Gráfico do lugar da raízes num 1 den 1 11 103 5 0 r locusnumden plotr o v 6 6 6 6 axisv grid titleGráfico do Lugar das Raízes de Gs Kss 05s2 06s 10 xlabelEixo Real ylabelEixo Imaginário Observe que nas regiões próximas de x 03 y 23 e x 03 y 23 dois ramos se aproximam um do outro Podese desejar saber se esses dois ramos devem ou não se tocar Para analisar essa situação é possível traçar gráficos do lugar das raízes com pequenos incrementos no valor de K na região crítica Pelo método convencional de tentativa e erro ou usando o comando rlocfind que será apresentado adiante nesta seção encontrase a região de interesse específica como utilizando aquela em que 20 K 30 Utilizando o Programa 63 em MATLAB obtemos o gráfico do lugar das raízes mostrado na Figura 618 Esse gráfico mostra que os dois ramos que se aproximam no semiplano superior ou no semiplano inferior não se tocam Programa 63 em MATLAB Gráfico do lugar da raízes num 1 den 1 11 103 5 0 K1 00220 K2 200130 K3 3051000 K K1 K2 K3 r locusnumdenK plotr o v 4 4 4 4 axisv grid titleGráfico do Lugar das Raízes de Gs Kss 05s2 06s 10 xlabelEixo Real ylabelEixo Imaginário FIGURA 617 Eixo real 6 4 6 4 2 2 0 Eixo imaginário 6 2 4 6 2 0 4 Gráfico do lugar das raízes de Gs Kss 05s2 06s 10 Gráfico do lugar das raízes 268 Engenharia de controle moderno Exemplo 65 Considere o sistema mostrado na Figura 619 As equações do sistema são ẋ Ax Bu y Cx Du u r y Neste problema obteremos o gráfico do lugar das raízes do sistema definido no espaço de estados Como exemplo consideremos o caso em que as matrizes A B C e D são A B C D 0 0 160 1 0 56 0 1 14 0 1 14 1 0 0 0 6 6 H H 615 O gráfico do lugar das raízes desse sistema pode ser obtido com a utilização do seguinte comando do MATLAB rlocusABCD Esse comando produz o mesmo gráfico do lugar das raízes que é obtido pelo comando rlocus numden onde num e den são obtidos a partir de numden ss2tfABCD como a seguir num 0 0 1 0 den 1 14 56 160 FIGURA 618 Eixo real 4 2 3 4 2 1 3 1 0 Eixo imaginário 4 1 3 3 4 2 0 1 2 Gráfico do lugar das raízes de Gs Kss 05s2 06s 10 Gráfico do lugar das raízes FIGURA 619 r u B y A C D x x Sistema de controle de malha fechada 269 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes O Programa 64 em MATLAB gera o gráfico do lugar das raízes mostrado na Figura 620 Programa 64 em MATLAB Gráfico do lugar da raízes A 0 1 00 0 1160 56 14 B 0114 C 1 0 0 D 0 K 001400 rlocusABCDK v 20 20 20 20 axisv grid titleGráfico do Lugar das Raízes do Sistema Definido no Espaço de Estados Lugares com z constante e lugares com n constante Lembrese de que no plano com plexo o coeficiente de amortecimento z de um par de polos complexos conjugados pode ser expresso em termos do ângulo z que é medido em relação ao eixo real negativo como mostra a Figura 621a com ζ cos z Em outras palavras as linhas de coeficiente de amortecimento z constante são linhas radiais que passam pela origem como mostra a Figura 621b Por exemplo se o coeficiente de amorteci mento for 05 será necessário que os polos complexos estejam situados em linhas que passem pela origem formando ângulos de 60 com o eixo real negativo Se a parte real de um par de polos complexos conjugados for positiva o que significa que o sistema é instável o z corres pondente será negativo O coeficiente de amortecimento determina a localização angular dos polos enquanto a distância entre o polo e a origem é determinada pela frequência natural não amortecida n Os lugares de n constantes são círculos Para desenhar linhas com ζ constante e círculos com n constante no gráfico do lugar das raízes com o MATLAB devese utilizar o comando sgrid FIGURA 620 Eixo real 20 15 20 0 15 10 5 5 10 Eixo imaginário 20 5 20 10 15 0 15 10 5 Gráfico do lugar das raízes do sistema definido no espaço de estados Gráfico do lugar das raízes do sistema definido no espaço de estados onde A B C e D são dadas pela Equação 615 270 Engenharia de controle moderno Traçando grades polares no gráfico do lugar das raízes O comando sgrid sobrepõe linhas de coeficiente de amortecimento constante z 0 1 com incremento de 01 e círculos de n constante no gráfico do lugar das raízes Veja o Programa 65 em MATLAB e o gráfico resultante mostrado na Figura 622 Programa 65 em MATLAB sgrid v 3 3 3 3 axisv axissquare titleLinhas com zeta Constantes e Círculos omegan Constantes xlabelEixo Real ylabelEixo Imaginário FIGURA 621 0 j j n d ϕ v 0 v 02 02 05 05 07 07 08 08 ζ 09 ζ 09 ζ 0 ζ 0 ζ 0 ζ 1 a b a Polos complexos b linhas com coeficiente de amortecimento z constantes FIGURA 622 3 2 1 0 3 2 1 0 1 3 2 1 3 2 Eixo real Linhas com ζ constantes e círculos com n constantes Eixo imaginário 2 1 2 1 05 034 016 064 05 034 016 064 076 086 094 0985 076 086 094 0985 Linhas com ζ constantes e círculos com n constantes 271 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Se forem desejáveis apenas determinadas linhas com z constante como a linha com z 05 e a linha com z 0707 e determinados círculos com n constante como o círculo com n 05 o círculo com n 1 e o círculo com n 2 utilizase o seguinte comando sgrid05 0707 05 1 2 Se for desejável desenhar linhas com z constante e círculos com n constante como os fornecidos anteriormente para um gráfico do lugar das raízes de um sistema com num 0 0 0 1 den 1 4 5 0 então execute o Programa 66 em MATLAB O gráfico resultante do lugar das raízes é mostrado na Figura 623 Programa 66 em MATLAB num 1 den 1 4 5 0 K 00011000 r rlocusnum denK plotr v 3 1 2 2 axisv axissquare sgrid050707 0512 sgrid titleGráfico do Lugar das Raízes com Linhas com zeta 05 e 0707 e com Círculos omegan 05 1 e 2 xlabelEixo Real ylabelEixo Imaginário gtextomegan 2 gtextomegan 1 gtextomegan 05 Insira o marcador x em cada um dos 3 polos de malha aberta gtextx gtextx gtextx Se quisermos omitir todas as linhas de valores inteiros z ou todos os círculos de valores n constantes devemos utilizar chaves vazias nos argumentos do comando sgrid Por exemplo se for desejável desenhar somente a linha com coeficiente de amortecimento constante correspondente a z 05 e nenhum círculo com n constante no gráfico do lugar das raízes podemos usar o comando Sgrid05 FIGURA 623 05 0707 05 0707 n 1 n 05 n 2 1 05 0 05 1 15 2 25 3 0 05 1 15 2 05 1 15 2 Eixo real Gráficos do lugar das raízes com linhas ζ 05 e 0707 e com círculos n 05 1 e 2 Eixo imaginário 05 1 2 Linhas com ζ constante e círculos com n constante sobrepostos no lugar das raízes 272 Engenharia de controle moderno Sistemas condicionalmente estáveis Considere o sistema com realimentação negativa mos trado na Figura 624 Podemos traçar o gráfico do lugar das raízes para esse sistema aplicando as regras e procedimentos gerais para a construção do lugar das raízes ou usar o MATLAB para obter gráficos de lugar das raízes O Programa 67 em MATLAB vai traçar o diagrama de lugar das raízes para o sistema A Figura 625 mostra o gráfico resultante Programa 67 em MATLAB num 1 2 4 den convconv1 4 01 6 1 14 1 rlocusnum den v 7 3 5 5 axisv axissquare grid titleGráfico do Lugar das Raízes de Gs Ks2 2s 4ss 6s 2 14s 1 text10 055K 12 text1030K 73 text10415K 154 Podese ver pelo gráfico da Figura 625 que o sistema é estável apenas para amplitudes limi tadas do valor de K ou seja 0 K 12 e 73 K 154 O sistema tornase instável se 12 K 73 e se 154 K Se K assumir um valor correspondente a uma operação instável o sistema pode deixar de funcionar ou tornarse não linear em virtude da não linearidade resultante de saturação que pode existir Tal sistema é chamado condicionalmente estável Na prática os sistemas condicionalmente estáveis não são desejáveis A estabilidade con dicional é perigosa mas ocorre em certos sistemas particularmente em sistemas que tenham um ramo direto instável Um ramo direto instável pode ocorrer se o sistema tiver uma malha interna Aconselhase evitar tal estabilidade condicional já que se o ganho cair abaixo do valor FIGURA 624 Rs Cs Ks2 2s 4 ss 4 s 6s2 14s 1 Sistema de controle FIGURA 625 Eixo real 5 4 3 2 1 6 7 3 0 2 1 Eixo imaginário 5 5 4 3 2 3 2 1 4 0 1 Gráfico do lugar das raízes de Gs Ks2 2s 4ss 4s 6s2 14s 1 K 12 K 73 K 154 Gráfico do lugar das raízes de um sistema condicionalmente estável 273 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes crítico seja qual for o motivo o sistema se tornará instável Note que a inclusão de uma rede de compensação adequada eliminará a estabilidade condicional A inclusão de um zero fará que o lugar das raízes se incline para a esquerda Veja a Seção 65 Portanto a estabilidade condicional pode ser eliminada incluindose a compensação adequada Sistemas de fase não mínima Se todos os polos e zeros do sistema estiverem no semiplano s esquerdo então o sistema é chamado sistema de fase mínima Se o sistema tiver pelo menos um polo ou zero no semiplano s direito será denominado sistema de fase não mínima O termo fase não mínima vem das características de mudança de fase de tal sistema quando sujeito a entradas senoidais Considere o sistema mostrado na Figura 626a Para esse sistema 1 G s s Ts K T s T H s 1 1 0 a a 2 h h h h h Este é um sistema de fase não mínima já que há um zero no semiplano s direito Para esse sis tema a condição angular é G s s Ts K T s s Ts K T s k k 1 1 1 1 180 180 2 1 0 1 2 a a c c f h h h h h h h ou 0 s Ts K T s 1 1 a c h h 616 O lugar das raízes pode ser obtido a partir da Equação 616 A Figura 626b mostra um grá fico de lugar das raízes para esse sistema Pelo diagrama vemos que o sistema é estável se o ganho K for menor que 1Ta Para obter um gráfico de lugar das raízes com o MATLAB digite o numerador e o denomi nador como de costume Por exemplo se T 1 s e Ta 05 s digite os seguintes num e den no programa num 05 1 dem 1 1 0 O Programa 68 em MATLAB resulta no lugar das raízes mostrado na Figura 627 FIGURA 626 a b Rs Cs j K 0 K 0 K K 1 Ta K 1 Ta K 1 Ta 1 T v K1 Tas sTs 1 a Sistema de fase não mínima b gráfico do lugar das raízes 274 Engenharia de controle moderno Programa 68 em MATLAB num 0 05 1 den 1 1 0 k1 000130 k2 301100 K3 1005500 K k1 k2 k3 rlocusnumdenK v 2 6 4 4 axisv axissquare grid titleGráfico do Lugar das Raízes de Gs K1 05sss 1 Posicione a marca x de cada um dos 2 polos de malha aberta Posicione a marca o do zero de malha aberta gtextx gtextx gtexto Ortogonalidade do lugar das raízes e lugares de ganho constante Considere o sistema de realimentação negativa cuja função de transferência de malha aberta é GsHs No plano GsHs os lugares em que GsHs constante são círculos com centro na origem e os luga res correspondentes a G s H s h h 1802k 1 onde k 0 1 2 se situam no eixo real negativo do plano GsHs como mostra a Figura 628 Note que o plano complexo utilizado aqui não é o plano s mas o plano GsHs Os lugares das raízes e os lugares de ganho constante no plano s são mapeamentos confor mes dos lugares de G s H s h h 1802k 1 e de GsHs constante no plano GsHs Como a fase constante e os lugares de ganho constante no plano GsHs são ortogonais os lugares das raízes e os lugares de ganho constante no plano s são ortogonais A Figura 629a mostra os lugares das raízes e os lugares de ganho constante para o seguinte sistema 1 G s s s K s H s 2 3 2 2 h h h Note que como a configuração de polos e zeros é simétrica em relação ao eixo real os lugares de ganho constante também são simétricos em relação ao eixo real A Figura 629b mostra o lugar das raízes e os lugares de ganho constante para o sistema 1 G s s s s K H s 1 2 h h h h FIGURA 627 Gráfico do lugar das raízes de Gs K1 05sss 1 Eixo real Eixo imaginário 1 3 42 1 0 1 2 3 4 5 6 2 1 2 0 3 4 Gráfico do lugar das raízes de G s s s K s 1 1 0 5 h h h 275 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Observe que como a configuração dos polos no plano s é simétrica em relação ao eixo real e como a linha paralela ao eixo imaginário passa pelo ponto v 1 0 os lugares de ganho constante são simétricos em relação à linha 0 eixo real e à linha v 1 Verificase nas figuras 629a e b que cada ponto no plano s tem o valor correspondente de K Se for utilizado o comando rlocfind apresentado a seguir o MATLAB vai fornecer o valor de K do ponto específico assim como os polos de malha fechada mais próximos que correspondem a esse valor de K Determinando o valor do ganho K em um ponto arbitrário no lugar das raízes Na análise de sistemas de malha fechada pelo MATLAB é necessário frequentemente determinar o valor do ganho K em um ponto arbitrário do lugar das raízes Isso pode ser feito com a utilização do comando rlocfind como segue K r rlocfindnum den O comando rlocfind que deve seguir um comando rlocus sobrepõe coordenadas xy móveis na tela Com o mouse posicionase a origem das coordenadas xy sobre o ponto desejado no lugar FIGURA 628 Re Im 0 Plano Gs Hs Re Im 0 Plano Gs Hs Constante Gs Hs Gs Hs 180 2k 1 Diagrama de ganho constante e lugares de fase constante no plano GsHs FIGURA 629 a b v j 0 K 6 K 6 j4 j6 j4 K 1 K 2 K 1 6 4 2 4 6 K 10 K 03 j2 j2 j6 K 03 K 03 2 v j 0 j2 j3 j2 3 2 1 2 j1 j1 j3 1 B C A Gráfico do lugar das raízes e lugares de ganho constante a Sistema com Gs Ks 2s2 2s 3 Hs 1 b sistema com Gs Kss 1s 2 Hs 1 276 Engenharia de controle moderno das raízes e pressionase o botão do mouse Em seguida o MATLAB exibe na tela as coordenadas daquele ponto o valor do ganho naquele ponto e os polos de malha fechada correspondentes a esse valor de ganho Se o ponto selecionado não estiver no lugar das raízes tal como o ponto A na Figura 629a o comando rlocfind fornece as coordenadas desse ponto selecionado o valor do ganho desse ponto como K 2 e a posição dos polos de malha fechada como os pontos B e C correspondentes a esse valor de K Note que cada ponto no plano s tem um valor de ganhoVeja por exemplo as figuras 629a e b 64 Gráficos do lugar das raízes para sistemas com realimentação positiva Lugar das raízes para sistemas com realimentação positiva1 Em um sistema de controle complexo pode haver uma malha de realimentação positiva interna como mostra a Figura 630 Essa malha é normalmente estabilizada pela malha externa A seguir avaliaremos apenas a malha de realimentação positiva interna A função de transferência de malha fechada da malha interna é R s C s G s H s G s 1 h h h h h A equação característica é 1 GsHs 0 617 Essa equação pode ser resolvida por um método análogo ao utilizado na Seção 62 para o caso do lugar das raízes A condição de ângulo entretanto deve ser alterada A Equação 617 pode ser reescrita como GsHs 1 que é equivalente às duas equações a seguir G s H s h h 0 k360 k 0 1 2 GsHs 1 Para o caso de realimentação positiva a soma total de todos os ângulos dos polos e zeros de malha aberta deve ser igual a 0 k360 Assim esse lugar das raízes segue uma condição angular de 0 em vez da condição de 180 considerada previamente A condição de módulo permanece inalterada Para ilustrar o gráfico do lugar das raízes de um sistema com realimentação positiva utili zaremos as seguintes funções de transferência Gs e Hs como exemplo 1 G s s s s K s H s 3 2 2 2 2 h h h h h O ganho K é admitido como positivo 1 Veja Wojcik nas Referências ao final do livro FIGURA 630 Cs G1s H1s Rs Hs Gs Sistema de controle 277 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes As regras para a construção do lugar das raízes dadas na Seção 62 devem ser modificadas da seguinte maneira A Regra 2 é modificada como segue se o número total de polos e zeros reais à direita do ponto de teste no eixo real for par então esse ponto de teste estará posicionado no lugar das raízes A Regra 3 é modificada como segue Ângulos das assíntotas n m k k 360 0 1 2 c f h onde n número de polos finitos de GsHs m número de zeros finitos de GsHs A Regra 5 é modificada como segue o cálculo do ângulo de partida de um polo complexo de malha aberta ou do ângulo de chegada de um polo complexo de malha aberta ou em um zero complexo pode ser determinado subtraindo de 0 a soma de todos os ângulos dos vetores com origem nos outros polos e zeros que se dirigem ao polo complexo ou ao zero complexo em questão incluindo os sinais apropriados As demais regras para a construção do gráfico do lugar das raízes permanecem as mesmas Agora vamos aplicar as regras modificadas para a construção do gráfico do lugar das raízes 1 Posicione os polos de malha aberta s 1 j s 1 j s 3 e zero s 2 no plano complexo À medida que K cresce de 0 a os polos de malha fechada têm origem nos polos de malha aberta e terminam nos zeros de malha aberta finitos ou infinitos exata mente como nos casos de sistemas com realimentação negativa 2 Determine os lugares das raízes no eixo real Os lugares das raízes existem no eixo real entre 2 e e entre 3 e 3 Determine as assíntotas do lugar das raízes Para o presente sistema Ângulos das assíntotas 180 k 3 1 360 c c Isso significa simplesmente que as assíntotas estão sobre o eixo real 4 Determine os pontos de partida e de chegada Dado que a equação característica é s 3s2 2s 2 Ks 2 0 obtemos K s s s s 2 3 2 2 2 h h Derivando K em relação a s obtemos ds dK s s s s 2 2 11 20 10 2 3 2 h Note que 2s3 11s2 20s 10 2s 08s2 47s 624 2s 08s 235 j077s 235 j077 O ponto s 08 está sobre o lugar das raízes Como esse ponto se situa entre dois zeros um zero finito e outro infinito é de fato um ponto de chegada do eixo real Os pontos s 235 j077 não satisfazem a condição angular e portanto não são nem pontos de partida nem de chegada 5 Determine o ângulo de partida do lugar das raízes de um polo complexo Para o polo complexo em s 1 j o ângulo de partida θ é θ 0 27 90 45 ou θ 72 278 Engenharia de controle moderno O ângulo de partida do polo complexo em s 1 j é 72 6 Escolha um ponto de teste em uma região ampla próxima ao eixo j e à origem e aplique a condição angular Determine um número suficiente de pontos que satisfaça a condição angular A Figura 631 mostra o lugar das raízes do sistema dado com realimentação positiva O lugar das raízes é mostrado com linhas e uma curva tracejadas Note que se 3 K s s s s 2 3 2 2 s 2 0 2 h h uma das raízes reais entra no semiplano direito do plano s Então para valores de K maiores que 3 o sistema tornase instável Para K 3 o sistema deve ser estabilizado com uma malha externa Note que a função de transferência para o sistema com realimentação positiva é dada por R s C s G s H s G s s s s K s K s 1 3 2 2 2 2 2 h h h h h h h h h Para comparar o gráfico do lugar das raízes desse sistema e o do sistema correspondente com realimentação negativa a Figura 632 mostra o lugar das raízes do sistema com realimentação negativa cuja função de transferência é dada por R s C s s s s K s K s 3 2 2 2 2 2 h h h h h h FIGURA 631 5 4 3 2 1 1 2 v j 0 j1 j2 j1 j2 Gráfico do lugar das raízes para um sistema com realimentação positiva com Gs Ks 2s 3 s2 2s 2 Hs 1 FIGURA 632 5 4 3 2 1 1 2 v j 0 j1 j2 j3 j1 j3 j2 Gráfico do lugar das raízes para um sistema com realimentação negativa com Gs Ks 2s 3 s2 2s 2 Hs 1 279 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes A Tabela 62 mostra vários gráficos do lugar das raízes de sistemas com realimentação positiva e realimentação negativa As funções de transferência de malha fechada são dadas por R C GH G R C GH G 1 1 para sistemas com realimentação negativa para sistemas com realimentação positiva onde GH é a função de transferência de malha aberta Na Tabela 62 nos gráficos do lugar das raízes dos sistemas com realimentação negativa as linhas e as curvas estão traçadas com linhas contínuas e nos gráficos dos sistemas com realimentação positiva estão com linhas e curvas tracejadas TABELA 62 j v j v j v j v j v j v j v j v j v j v As linhas e curvas contínuas correspondem aos sistemas com realimenta ção negativa as linhas e as curvas tracejadas correspondem aos sistemas com realimentação positiva Gráficos do lugar das raízes de sistemas com realimentação positiva e com realimentação negativa 280 Engenharia de controle moderno 65 Abordagem do lugar das raízes no projeto de sistemas de controle Considerações preliminares de projeto Na construção de um sistema de controle sabemos que uma modificação adequada na dinâmica da planta pode ser uma maneira simples de atender às especificações de desempenho Isso no entanto pode não ser possível em muitas situações práticas porque a planta pode ser fixa e não ser passível de modificações Nesses casos devemos ajustar outros parâmetros que não aqueles da planta fixa Neste livro consideramos que a planta é dada e inalterável Na prática o gráfico do lugar das raízes de um sistema pode indicar que o desempenho dese jado não pode ser atingido simplesmente com o ajuste de ganho ou de algum outro parâmetro ajustável De fato em alguns casos o sistema pode ser instável em todos os valores de ganho ou de outro parâmetro ajustável Tornase então necessário remodelar os lugares das raízes para atender às especificações de desempenho Os problemas de projeto portanto tornamse aqueles de melhorar o desempenho do sistema por meio da inclusão de um compensador A compensação de um sistema de controle fica reduzida ao projeto de um filtro cujas características tendem a compensar as características indesejáveis e inalteráveis da planta Projeto pelo método de lugar das raízes O projeto pelo método de lugar das raízes baseiase na modificação do lugar das raízes do sistema por meio do acréscimo de polos e zeros à função de transferência de malha aberta do sistema forçando o lugar das raízes a passar pelos polos de malha fechada desejados no plano s A característica do projeto pelo método do lugar das raízes é que ele se baseia no pressuposto de que o sistema de malha fechada tem um par dominante de polos de malha fechada Isso significa que o efeito dos zeros e polos adicionais não afeta muito as características de resposta No projeto de um sistema de controle se for necessário outro ajuste além do ganho ou de outro parâmetro devemos modificar o lugar das raízes original pela inserção de um compen sador apropriado Uma vez que os efeitos da adição de polos eou zeros no gráfico do lugar das raízes forem perfeitamente compreendidos podemos determinar facilmente a localização dos polos e zeros do compensador que vão remodelar o lugar das raízes conforme o desejado Em essência no projeto pelo método do lugar das raízes o lugar das raízes do sistema é modificado por meio de um compensador de modo que um par de polos de malha fechada dominantes possa ser colocado na posição desejada Compensação em série e compensação em paralelo ou por realimentação As figu ras 633a e b mostram os esquemas de compensação comumente utilizados pelos sistemas de controle com realimentação A Figura 633a mostra a configuração em que o compensador Gcs é colocado em série com a planta Esse esquema é chamado compensação em série A alternativa para a compensação em série é retornar os sinalis a partir de determinados elementos e inserir um compensador no ramo da realimentação interna resultante como mostra a Figura 633b Essa compensação é chamada compensação em paralelo ou compensação por realimentação Na compensação de um sistema de controle normalmente vemos que o problema se reduz ao projeto adequado de um compensador em série ou em paralelo A escolha entre o compensa dor em série e o compensador em paralelo depende da natureza dos sinais no sistema do nível de potência nos vários pontos dos componentes disponíveis da experiência do projetista de considerações econômicas entre outras Em geral a compensação em série pode ser mais simples que a compensação em paralelo entretanto a compensação em série requer frequentemente amplificadores adicionais para aumentar o ganho eou produzir isolamento Para evitar dissipação de potência o compensador em série é colocado no ponto de menor potência do ramo direto Devese notar que em geral o número de componentes requeridos na compensação em paralelo será menor que o número de componentes 281 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes na compensação em série desde que esteja disponível um sinal adequado porque a transferên cia de energia ocorre do nível mais alto de potência para o nível mais baixo Isso significa que amplificadores adicionais podem ser desnecessários Nas seções 66 a 69 discutiremos primeiro as técnicas de compensação em série e depois apresentaremos uma técnica de compensação em paralelo utilizando o projeto de um sistema de controle com realimentação de velocidade Compensadores comumente usados Se for necessário um compensador para satisfazer às especificações de desempenho o projetista deve implementar um dispositivo físico que tenha a função de transferência prescrita para o compensador Vários dispositivos físicos têm sido utilizados para esse fim De fato muitas ideias excelentes e úteis para a construção física de compensadores podem ser encontradas na literatura Se for aplicada uma excitação senoidal à entrada de uma rede e a resposta em regime per manente que também é senoidal tiver um avanço de fase então a rede será chamada rede de avanço de fase O valor do ângulo de avanço de fase é uma função da frequência de entrada Se a resposta em regime permanente tiver um atraso de fase então a rede será denominada rede de atraso de fase Em uma rede de atraso e avanço de fase tanto o atraso como o avanço de fase ocorrem no sinal de saída mas em regiões de frequências diferentes o atraso de fase ocorre na região de baixa frequência e o avanço de fase ocorre na região de alta frequência Um compensador com características de uma estrutura de avanço de fase de atraso de fase ou de atraso e avanço de fase é chamado compensador por avanço de fase compensador por atraso de fase ou compensador por atraso e avanço de fase respectivamente Entre os vários tipos de compensadores são amplamente empregados os compensadores por avanço de fase compensadores por atraso de fase compensadores por atraso e avanço de fase e compensadores por realimentação de velocidade tacométricos Neste capítulo a maior parte das discussões estará limitada a esses tipos Os compensadores por avanço de fase atraso de fase e atraso e avanço de fase podem ser dispositivos eletrônicos como circuitos com amplificadores operacionais ou redes RC elétricas mecânicas pneumáticas hidráulicas ou uma combinação desses tipos e amplificadores Compensadores em série usados frequentemente em sistemas de controle são os compensa dores por avanço de fase por atraso de fase e por atraso e avanço de fase Os controladores PID que são frequentemente usados nos sistemas de controle industriais são discutidos no Capítulo 8 FIGURA 633 G1s G2s Hs Gcs Gcs Gs Hs a b a Compensação em série b compensação em paralelo ou por realimentação 282 Engenharia de controle moderno Note que no projeto de um sistema de controle pelo método do lugar das raízes ou pelo método de resposta em frequência o resultado final não é único porque a melhor solução ou a solução ótima pode não ser precisamente definida se forem dadas as especificações de domínio do tempo ou de domínio de frequência Efeitos da adição de polos A adição de um polo à função de transferência de malha aberta tem o efeito de deslocar o lugar das raízes para a direita tendendo a diminuir a estabilidade relativa do sistema e fazendo com que a acomodação da resposta seja mais lenta Lembrese de que a adição de um controle integral acrescenta um polo na origem tornando assim o sistema menos estável A Figura 634 mostra exemplos de lugares das raízes que ilustram os efeitos da adição de um polo a um sistema com um único polo e da adição de dois polos a um sistema com um único polo Efeitos da adição de zeros A adição de um zero à função de transferência de malha aberta tem o efeito de deslocar o lugar das raízes para a esquerda tendendo a tornar o sistema mais estável e mais rápida a acomodação da resposta Fisicamente a adição de um zero na função de transferência do ramo direto significa adicionar um controle derivativo ao sistema O efeito desse controle é introduzir certo grau de antecipação no sistema e aumentar a velocidade da resposta transitória A Figura 635a mostra o lugar das raízes de um sistema que é estável para pequenos valores de ganho mas é instável para valores elevados As figuras 635b c e d mostram os gráficos do lugar das raízes do sistema quando um zero é adicionado à função de transferência de malha aberta Note que quando um zero é inserido no sistema da Figura 635a ele se torna estável para todos os valores de ganho FIGURA 635 a j v b j v c j v d j v a Gráfico do lugar das raízes de um sistema com três polos b c e d gráficos do lugar das raízes que mostram os efeitos da adição de um zero ao sistema com três polos FIGURA 634 a j v b j v c j v a Gráfico do lugar das raízes de um sistema com um único polo b gráfico do lugar das raízes de um sistema com dois polos c gráfico do lugar das raízes de um sistema com três polos 283 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 66 Compensação por avanço de fase Na Seção 65 apresentamos uma introdução à compensação de sistemas de controle e discu timos o material preliminar para o método do lugar das raízes no projeto de sistemas de controle e sua compensação Nesta seção trataremos do projeto de sistemas de controle utilizandose a técnica de compensação por avanço de fase No projeto de um sistema de controle colocamos um compensador em série com a função de transferência inalterável Gs para obter um comporta mento desejável Então o maior problema tornase a escolha criteriosa dos polos e zeros do compensador Gcs onde deverão estar os polos de malha fechada dominantes no lugar desejado do plano s de forma a atender às especificações de desempenho Compensadores por avanço de fase e compensadores por atraso de fase Existem várias maneiras de construir compensadores de avanço de fase e de atraso de fase como as redes eletrônicas utilizando amplificadores operacionais redes elétricas RC e sistemas mecânicos do tipo molaamortecedor A Figura 636 mostra um circuito eletrônico que utiliza amplificadores operacionais A função de transferência para esse circuito foi obtida no Capítulo 3 como segue veja a Equação 336 E s E s R R R R R C s R C s R C R C s R C s R C K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 1 1 1 1 i o c c 1 3 2 4 2 2 1 1 3 2 4 1 2 2 1 1 a a a h h 618 onde T R C T R C K R C R C c 1 1 2 2 3 2 4 1 a Observe que K R C R C R C R C R R R R R C R C c 3 2 4 1 1 1 2 2 1 3 2 4 1 1 2 2 a a Essa rede tem um ganho dc de Kcα R2R4R1R3 A partir da Equação 618 vemos que essa rede é uma rede de avanço de fase se R1C1 R2C2 ou a 1 Essa rede será de atraso de fase se R1C1 R2C2 As configurações dos polos e zeros dessa rede quando R1C1 R2C2 e quando R1C1 R2C2 são mostradas nas figuras 637a e b respectivamente FIGURA 636 C1 C2 R1 R2 R3 R4 Eis Eos Es Circuito eletrônico que é uma rede de avanço de fase se R1C1 R2C2 e uma rede de atraso de fase se R1C1 R2C2 284 Engenharia de controle moderno Técnicas de compensação por avanço de fase baseadas no método do lugar das raí zes O método do lugar das raízes para projetos é muito eficiente quando as especificações são dadas em termos de grandezas no domínio do tempo como o coeficiente de amortecimento e a frequência natural não amortecida dos polos de malha fechada dominantes máximo sobressinal tempo de subida e tempo de acomodação Considere o problema de um projeto no qual o sistema original seja instável para todos os valores de ganho ou que seja estável mas apresente características de resposta transitória inde sejáveis Nesses casos é necessário redesenhar o lugar das raízes na região próxima ao eixo j e à origem de modo que os polos de malha fechada dominantes tenham localização desejada no plano complexo Esse problema pode ser resolvido pela inserção de um compensador por avanço de fase apropriado em cascata com função de transferência no ramo direto Os procedimentos para o projeto de um compensador por avanço de fase para o sistema da Figura 638 pelo método do lugar das raízes podem ser enunciados como segue 1 Com base nas especificações de desempenho determine a localização desejada dos polos de malha fechada dominantes 2 Desenhe o gráfico do lugar das raízes do sistema não compensado sistema original e verifique se é possível apenas com o ajuste do ganho obter os polos de malha fechada desejados Caso não seja possível calcule a deficiência de ângulo z Esse ângulo deve ser completado pelo compensador por avanço de fase desde que o novo lugar das raízes passe pela localização desejada dos polos de malha fechada dominantes 3 Suponha que o compensador por avanço de fase Gcs seja G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 0 1 c c c 1 1 a a a a h h onde a e T são determinados com base na deficiência angular Kc é determinado a partir do requisito de ganho de malha aberta 4 Se não forem especificadas as constantes de erro estático determine a posição do polo e do zero do compensador por avanço de fase de modo que esse compensador complete o ângulo z necessário Se não for imposto nenhum outro requisito ao sistema tente fazer FIGURA 637 j v a 1 R2C2 1 R1C1 j v b 1 R2C2 1 R1C1 0 0 Configurações de polos e zeros a rede por avanço de fase b rede por atraso de fase FIGURA 638 Gcs Gs Sistema de controle 285 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes que o valor de a seja o maior possível Um valor elevado de a geralmente resulta em um valor elevado de Kυ o que é desejável Observe que lim lim K sG s G s K sG s s c c s c 0 0 a y h h h 5 Determine o valor de Kc do compensador de avanço de fase a partir da condição de módulo Uma vez projetado o compensador verifique se todas as especificações de desempenho foram alcançadas Se o sistema compensado não satisfizer às especificações de desempenho então repita os procedimentos de projeto ajustando o polo e o zero do compensador até que essas especificações sejam atendidas Se for requerida uma constante de erro estático de valor elevado acrescente uma rede de atraso de fase em cascata ou substitua o compensador por avanço de fase por um compensador por atraso e avanço de fase Note que se os polos de malha fechada selecionados como dominantes não forem realmente dominantes será necessário modificar a posição desse par de polos dominantes Os outros polos de malha fechada que não os dominantes apenas modificam a resposta obtida a partir desses polos dominantes A importância das modificações depende da localização dos polos de malha fechada remanescentes Além disso os zeros de malha fechada afetam a resposta se estiverem situados próximos da origem Exemplo 66 Considere o sistema mostrado na Figura 639a A função de transferência do ramo direto é G s s s 1 10 h h O gráfico do lugar das raízes desse sistema é mostrado na Figura 639b A função de transfe rência de malha fechada é 05 05 R s C s s s s j s j 10 10 31225 31225 10 2 h h h h Os polos de malha fechada estão situados em s 05 j31225 O coeficiente de amortecimento dos polos de malha fechada é ζ 12 10 01581 A frequência natural não amortecida dos polos de malha fechada é n 10 31623 rads Como o coeficiente FIGURA 639 Rs Cs a b 10 ss 1 Gs Polos de malha fechada j 1 3 2 1 j3 j2 j1 j3 j2 j1 v a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 286 Engenharia de controle moderno de amortecimento é muito pequeno o sistema terá um grande sobressinal na resposta em degrau o que não é desejável Desejase projetar um compensador por avanço de fase Gcs como mostra a Figura 640a de forma que os polos de malha fechada dominantes tenham um coeficiente de amortecimento de z 05 e a frequência natural não amortecida n 3 rads As localizações desejadas dos polos de malha fechada dominantes podem ser determinadas por s2 2ζns 2 n s2 3s 9 s 15 j25981s 15 j25981 Seguese que s 15 j25981 Veja a Figura 640b Em alguns casos depois de obtido o lugar das raízes do sistema original os polos de malha fechada dominantes podem ser movidos para a posição desejada simplesmente pelo ajuste do ganho Entretanto este não é o caso do sistema em questão Por essa razão vamos inserir um compensador por avanço de fase no ramo direto Um procedimento geral para determinar o compensador por avanço de fase é o seguinte primeiro determine a soma dos ângulos junto a um dos polos de malha fechada dominantes na posição desejada com os polos e zeros de malha aberta do sistema original e em seguida o ângulo z necessário a ser acrescentado para que a soma total dos ângulos seja igual a 1802k 1 O compensador por avanço de fase deve contribuir com esse ângulo z Se o ângulo z for muito grande então podem ser necessárias duas ou mais redes de avanço de fase e não uma única Considere que o compensador Gcs tem a seguinte função de transferência G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 0 1 c c c 1 1 a a a a h h O ângulo entre o polo na origem e o polo de malha fechada dominante em s 15 j25981 é 120º O ângulo do polo em s 1 ao polo de malha fechada desejado é 100894º Portanto a deficiência angular é Deficiência angular 180 120 100894 40894 A deficiência angular de 40894º deve ser preenchida por um compensador de avanço de fase FIGURA 640 a 10 ss 1 Gs Rs Cs Gcs b Polo de malha fechada desejado j 1 3 15 j25981 j2 j1 j3 j2 j1 v 60 n 3 a Sistema de compensação b posição de polos de malha fechada desejados 287 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Note que a solução para esse problema não é única Existe uma infinidade de soluções Apresentaremos duas possibilidades de solução a seguir Método 1 Há muitas maneiras de determinar a localização do zero e do polo do compen sador por avanço de fase A seguir apresentaremos um procedimento para obter o maior valor possível para a Note que um valor maior de α resulta em um valor de Kυ maior Na maioria dos casos quanto maior o valor de Kυ melhor é o desempenho do sistema Primeiro trace uma reta horizontal passando pelo ponto P a localização desejada para um dos polos de malha fechada dominantes Isso é mostrado na Figura 641 pela reta PA Trace também uma reta conectando o ponto P à origemTrace a bissetriz do ângulo entre as retas PA e PO como mostra a Figura 641 Desenhe duas retas PC e PD que formem ângulos z2 com a bissetriz PB As intersecções de PC e PD com o eixo real negativo fornecem as localizações necessárias para o polo e o zero da rede de avanço de fase O compensador assim projetado fará que o ponto P seja um ponto de compensação do sistema sobre o lugar das raízes O ganho de malha aberta será determinado pela condição de módulo No sistema considerado o ângulo de Gs no polo de malha fechada desejado é 220894 s s 1 10 s j 1 5 2 5981 c h Assim se for necessário forçar o lugar das raízes a passar pelo polo de malha fechada desejado o compensador por avanço de fase deve contribuir com z 40894 nesse ponto Seguindo o procedimento de projeto apresentado anteriormente podemos determinar o polo e o zero do compensador por avanço de fase Considerando a Figura 642 seccionando o ângulo APO em duas partes iguais e tomando 40894º2 de cada lado encontramse os lugares do zero e do polo como segue zero em s 19432 polo em s 46458 Assim Gcs pode ser dado como G s K s T s T K s s 1 1 4 6458 1 9432 c c c a h Para esse compensador o valor de a é α 1943246458 0418 O valor de Kc pode ser determinado a partir da condição de módulo 1 K s s 4 6458 s s 1 9432 1 10 c s j 1 5 2 5981 h ou FIGURA 641 j v O A P C B D 1 αT 1 T ϕ 2 ϕ 2 Determinação do polo e do zero de uma rede de avanço de fase 288 Engenharia de controle moderno 12287 K s s s s 10 1 9432 4 6458 1 c s j 1 5 2 5981 h h h Logo o compensador por avanço de fase Gcs projetado é dado por 12287 G s s s 4 6458 1 9432 c h Portanto a função de transferência de malha aberta do sistema projetado tornase 12287 G s G s s s 4 6458 s s 1 9432 1 10 c c h h m h e a função de transferência de malha fechada tornase R s C s s s s s s s s s s 1 4 6458 12 287 1 9432 12 287 1 9432 5 646 16 933 23 876 12 287 23 876 3 2 h h h h h h A Figura 643 mostra o gráfico de lugar das raízes para o sistema projetado FIGURA 643 j 1 3 1 2 4 5 j2 j1 j3 j3 j2 j1 v Gráfico do lugar das raízes do sistema projetado FIGURA 642 j 1 0 2 19432 46458 A P j3 j2 j1 j2 j1 v 20447 20447 3 Determinação do polo e do zero de um compensador por avanço de fase 289 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Vale a pena verificar a constante de erro estático de velocidade Kυ para o sistema projetado lim lim K sG s G s s s s s s 1 2287 4 6458 1 9432 1 10 5 139 s c s 0 0 y h h h E Note que o terceiro polo de malha fechada do sistema projetado é encontrado pela divisão da equação característica pelos fatores conhecidos como segue s3 5646s2 16933s 23875 s 15 j25981s 15 j25981s 265 O método de compensação precedente nos possibilita situar os polos dominantes de malha fechada nos pontos desejados do plano complexo O terceiro polo em s 265 está bastante próximo do zero adicionado em s 19432 Assim o efeito desse polo sobre a resposta tran sitória é relativamente pequeno Desde que nenhuma restrição tenha sido imposta ao polo não dominante e que não haja nenhuma especificação relativa ao valor da constante de erro estático de velocidade concluímos que o atual projeto é satisfatório Método 2 Se determinarmos o zero do compensador de avanço de fase em s 1 de forma que ele cancele o polo da planta em s 1 o polo compensador deverá estar localizado em s 3 Veja a Figura 644 Então o compensador de avanço tornase G s K s s 3 1 c c h O valor de Kc pode ser determinado por meio da condição de módulo 1 K s s 3 s s 1 1 10 c s j 1 5 2 5981 h ou 09 K s s 10 3 c s j 1 5 2 5981 h Então 09 G s s s 3 1 c h FIGURA 644 j 1 3 1 2 4 j2 j1 j3 j2 j1 v Polo de malha fechada desejado Polo compensador Zero compensador 60 120 Polo compensador e zero compensador 290 Engenharia de controle moderno A função de transferência de malha aberta do sistema projetado é 09 G s G s s s s s s s 3 1 1 10 3 9 c h h h h A função de transferência de malha fechada do sistema projetado é R s C s s 3s 9 9 2 h h Note que no caso em questão o zero ou o compensador de avanço de fase cancelará um polo da planta resultando em um sistema de segunda ordem em lugar de um sistema de terceira ordem como projetamos por meio do Método 1 A constante do erro estático de velocidade para o caso em questão é obtida como segue lim lim K sG s G s s s s 3 9 3 s s 0 0 y h h h E Observe que o sistema projetado pelo Método 1 resulta em um valor maior para a constante de erro estático de velocidade Isso significa que o sistema projetado pelo Método 1 terá erros menores de estado permanente nas entradas em rampa do que o sistema projetado pelo Método 2 Para variações na combinação de zero e polo do compensador que acrescentem 40894º o valor de Kυ será diferente Embora alguma mudança possa ser feita no valor de Kυ por meio da alteração do lugar de polo e de zero do compensador de avanço de fase se for desejável um grande aumento no valor Kυ será preciso mudar o compensador de avanço de fase para um compensador de atraso e avanço de fase Comparação das respostas ao degrau dos sistemas compensados e não compensados A seguir examinaremos as respostas ao degrau unitário e à rampa unitária dos três sistemas o sistema original não compensado o sistema projetado pelo Método 1 e o sistema projetado pelo Método 2 O programa do MATLAB utilizado para obter as curvas de resposta ao degrau unitário é o Programa 69 em MATLAB onde num1 e den1 indicam o numerador e o denominador do sistema projetado pelo Método 1 e num2 e den2 indicam o sistema projetado pelo Método 2 Num e den também são utilizados para o sistema sem compensação original A Figura 645 mostra as curvas de resposta ao degrau unitário resultantes O programa em MATLAB para obter as curvas de resposta à rampa unitária dos Programa 69 em MATLAB Resposta ao degrau unitário do sistema compensado e não compensado num1 12287 23876 den1 1 5646 16933 23876 num2 9 den2 1 3 9 num 10 den 1 1 10 t 00055 c1 stepnum1den1t c2 stepnum2den2t c stepnumdent plottc1tc2tcx grid titleResposta ao degrau unitário do sistema compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas c1 c2 e c text151148Sistema compensado Método 1 text09048Sistema compensado Método 2 text251067Sistema não compensado 291 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes sistemas projetados é o Programa 610 em MATLAB no qual usamos o comando step para obter respostas de rampa unitária utilizando os numeradores e denominadores dos sistemas projetados com o Método 1 e com o Método 2 como segue num1 12287 23876 den1 1 5646 16933 23876 0 num2 9 den2 1 3 9 0 A Figura 646 mostra as curvas de resposta à rampa unitária resultantes Programa 610 em MATLAB Resposta à rampa unitária do sistema compensado num1 12287 23876 den1 1 5646 16933 23876 0 num2 9 den2 1 3 9 0 t 00055 c1 stepnum1den1t c2 stepnum2den2t plottc1tc2tt grid titleResposta à rampa unitária do sistema compensado xlabelt s ylabelEntrada em rampa unitária e Saídas c1 e c2 text25538Entrada text05528Sistema compensado Método 1 text235175Sistema compensado Método 2 Ao examinar essas curvas de resposta note que o sistema compensado projetado pelo Método 1 exibe um sobressinal um pouco maior na resposta ao degrau do que o sistema compensado projetado pelo Método 2 No entanto o primeiro tem melhores características de resposta para a entrada em rampa do que o segundo Portanto é difícil dizer qual o melhor A decisão quanto FIGURA 645 Saídas c1 c2 e c 04 08 18 0 1 05 15 0 2 25 t s 3 35 4 45 5 12 06 1 02 14 16 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema compensado Método 1 Sistema compensado Método 2 Sistema não compensado Curvas de resposta ao degrau unitário para os sistemas projetados e para o sistema original sem compensação 292 Engenharia de controle moderno à escolha deve ser feita conforme os requisitos de resposta como sobressinais menores para entradas do tipo degrau ou erros de estado permanente menores após uma entrada em rampa ou entrada variável esperados no sistema projetado Se houver o requisito tanto de sobressinais menores nas entradas em degrau quanto de erros de estado permanente menores após alterações na entrada é possível que seja necessário usar um compensador de atraso e avanço de fase Veja a Seção 68 quanto às técnicas para compensadores de atraso e avanço de fase 67 Compensação por atraso de fase Compensador eletrônico por atraso de fase usando amplificadores operacionais A configuração do compensador eletrônico por atraso de fase com a utilização de amplificadores ope racionais é a mesma que a do compensador por avanço de fase mostrado na Figura 636 Escolhendo R2C2 R1C1 no circuito mostrado na Figura 636 este se torna um compensador por atraso de fase Com base na Figura 636 a função de transferência do compensador por atraso de fase é dada por E s E s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 i o c c b b b t t h h onde 1 T R C T R C R C R C K R C R C c 1 1 2 2 1 1 2 2 3 2 4 1 2 b b t Note que utilizamos β no lugar de a nas expressões apresentadas No compensador por avanço de fase usamos a para indicar a relação R2C2R1C1 que era menor que 1 ou 0 a 1 Neste capítulo vamos supor sempre que 0 a 1 e β 1 Técnicas de compensação por atraso de fase baseadas no método do lugar das raízes Considere o problema de determinar uma rede de compensação apropriada para o caso em que o sistema apresente resposta transitória com características satisfatórias mas as características em FIGURA 646 Entrada em rampa unitária e saídas c1 e c2 Respostas à rampa unitária do sistema compensado Sistema compensado Método 1 Entrada Sistema compensado Método 2 1 05 15 0 2 25 3 35 4 45 5 t s 5 2 0 3 45 1 05 4 25 35 15 Curvas de resposta à rampa unitária de sistemas projetados 293 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes regime permanente sejam insatisfatórias A compensação nesse caso consiste essencialmente no aumento do ganho de malha aberta sem alterar apreciavelmente as características da respos ta transitória Isso significa que o lugar das raízes nas proximidades dos polos dominantes de malha fechada não deve ser modificado significativamente mas o ganho de malha aberta deve ser aumentado tanto quanto necessário Isso pode ser obtido se for colocado um compensador por atraso de fase em cascata com a função de transferência do ramo direto dada Para evitar uma modificação apreciável no lugar das raízes a contribuição angular da rede de atraso de fase deve ser limitada a um valor pequeno digamos inferior a 5º Para assegurar que isso ocorra colocamos o polo e o zero da rede de atraso de fase relativamente próximos um do outro e próximos da origem do plano s Então os polos de malha fechada do sistema compensado serão apenas um pouco deslocados das posições originais Por essa razão as características da resposta transitória terão apenas uma ligeira alteração Considere um compensador por atraso de fase Gcs onde G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 c c c b b b t t h 619 Se colocarmos o zero e o polo do compensador por atraso de fase muito próximos um do outro então s s1 onde s1 é um dos polos dominantes de malha fechada os módulos de s1 1T e s1 1βT serão quase iguais ou G s K s T s T K 1 1 c c c 1 1 1 Z b t t h Para fazer que a contribuição angular da porção de atraso de fase do compensador seja pequena será necessário que 5 0 s T s T 1 1 1 1 c c 1 1 b Isso quer dizer que se o ganho K c do compensador por atraso de fase for definido como igual a 1 as características da resposta transitória não serão alteradas Isso significa que o ganho resultante da função de transferência de malha aberta pode ser aumentado de um fator β onde β 1 Se o polo e o zero forem colocados muito próximos da origem então o valor de β pode ser aumentado Podese utilizar um valor alto de β se for possível a implementação física de um compensador por atraso de fase Note que o valor de T deve ser elevado mas seu valor exato não é crítico Entretanto não deve ser muito alto para evitar dificuldades na implementação do compensador por atraso de fase em decorrência dos componentes físicos Um aumento do ganho significa um aumento das constantes de erro estático Se a função de transferência de malha aberta do sistema não compensado for Gs então a constante de erro estático de velocidade Kυ do sistema não compensado será lim K sG s s 0 y h Se for escolhido um compensador como o que é dado pela Equação 619 então para o sistema compensado com a função de transferência de malha aberta GcsGs a constante de erro estático de velocidade se tornará lim lim K sG s G s G s K K K s c s c c 0 0 b y y y t t h h h onde Kυ é a constante de erro estático de velocidade do sistema não compensado Assim se o compensador for o dado pela Equação 619 então a constante de erro estático de velocidade deverá ser multiplicada por K cβ onde K c é aproximadamente a unidade 294 Engenharia de controle moderno O principal efeito negativo da compensação por atraso de fase é que o zero do compensador que será gerado próximo da origem cria um polo de malha fechada também próximo da origem Esse polo de malha fechada e esse zero do compensador produzirão uma cauda alongada de pequena amplitude na resposta ao degrau aumentando assim o tempo de acomodação Procedimentos de projeto de compensação por atraso de fase pelo método do lugar das raízes O procedimento para o projeto de compensadores por atraso de fase para o sistema da Figura 647 pelo método do lugar das raízes pode ser enunciado como segue vamos supor que o sistema não compensado satisfaça às especificações da resposta transitória por meio do simples ajuste do ganho se não for esse o caso considere como referência a Seção 68 1 Desenhe o gráfico do lugar das raízes para o sistema não compensado no qual a função de transferência de malha aberta é Gs Com base nas especificações da resposta transitória localize os polos dominantes de malha fechada sobre o lugar das raízes 2 Suponha que a função de transferência do compensador por atraso de fase seja dada pela Equação 619 G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 c c c b b b t t h Então a função de transferência de malha aberta do sistema compensado tornase GcsGs 3 Calcule a particular constante de erro estático especificada no problema 4 Determine o acréscimo na constante de erro estático necessário para satisfazer às espe cificações 5 Determine o polo e o zero do compensador por atraso de fase que produzam o aumento necessário no valor em particular da constante de erro estático sem modificar aprecia velmente o lugar das raízes Note que a relação entre o valor do ganho requerido pelas especificações e o ganho encontrado no sistema não compensado deve ser igual à relação entre a distância do zero à origem e a distância do polo à origem 6 Desenhe o novo gráfico do lugar das raízes para o sistema compensado Posicione os polos dominantes de malha fechada desejados sobre o lugar das raízes Se a contribuição angular da rede de atraso for muito pequena isto é de uns poucos graus então o lugar das raízes original e o novo serão quase idênticos Caso contrário haverá uma pequena discrepância entre eles Localize então sobre o novo lugar das raízes os polos dominantes de malha fechada desejados com base nas especificações da resposta transitória 7 Ajuste o ganho K c do compensador a partir da condição de módulo de modo que os polos dominantes de malha fechada se situem na posição desejada K c será aproximadamente 1 Exemplo 67 Considere o sistema mostrado na Figura 648a A função de transferência do ramo direto é G s s s 1 s 2 1 06 h h h FIGURA 647 Gcs Gs Sistema de controle 295 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes A Figura 648b mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema A função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s j s j s 1 2 1 06 1 06 0 3307 0 5864 0 3307 0 5864 2 3386 1 06 h h h h h h h Os polos dominantes de malha fechada são s 03307 j05864 O coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada é z 0491 A frequência natural não amortecida dos polos de malha fechada dominantes é 0673 rads A constante de erro estático de velocidade é 053 s1 É desejável aumentar a constante de erro estático de velocidade Kυ para aproximadamente 5 s1 sem que haja modificação significativa na posição dos polos dominantes de malha fechada Para atender a essa especificação vamos inserir um compensador por atraso de fase em cascata com a função de transferência de ramo direto de acordo com a Equação 619 Para aumentar a constante de erro estático de velocidade por um fator em torno de 10 escolhemos β 10 e posicionamos o zero e o polo do compensador por atraso de fase em s 005 e s 0005 respectivamente A função de transferência do compensador por atraso de fase vem a ser G s K s s 0 005 0 05 c c t h A contribuição angular dessa rede de atraso de fase próxima de um polo de malha fechada domi nante é de aproximadamente 4 Pelo fato de essa contribuição angular não ser muito pequena existe uma ligeira alteração no novo lugar das raízes próximo aos polos dominantes de malha fechada desejados A função de transferência de malha aberta do sistema compensado tornase G s G s K s s s s s s s s s K s 0 005 0 05 1 2 1 06 0 005 1 2 0 05 c c t h h h h h h h h FIGURA 648 106 ss 1 s 2 Polo de malha fechada j1 j2 j1 0 1 2 3 1 j v a b j2 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 296 Engenharia de controle moderno onde K 106K c A Figura 649 mostra o gráfico de blocos do sistema compensado A Figura 650a exibe o gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo dos polos dominantes de malha fechada e inclui também o gráfico do lugar das raízes do sistema original A Figura 650 b expõe o gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo à origem O Programa 611 em MATLAB gera os gráficos do lugar das raízes mostrados pelas figuras 650 a e b Programa 611 em MATLAB Gráficos de lugar das raízes dos sistemas compensado e não compensado Digite os numeradores e denominadores dos sistemas compensado e não compensado numc 1 005 denc 1 3005 2015 001 0 num 106 den 1 3 2 0 Digite o comando rlocus Esboce o gráfico do lugar das raízes de ambos os sistemas rlocusnumcdenc hold Current plot held rlocusnumden v 3 1 2 2 axisv axissquare grid text2802Sistema compensado text2812Sistema não compensado text28058Polo de malha fechada original text01085Novo polo de text01062malha fechada titleGráficos do lugar das raízes dos sistemas compensado e não compensado hold Current plot released Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo da origem rlocusnumcdenc v 06 06 06 06 axisv axissquare grid titleGráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo da origem Se o coeficiente de amortecimento dos novos polos dominantes de malha fechada permanecer o mesmo então os polos serão obtidos a partir do novo gráfico do lugar das raízes como segue s1 031 j055 s2 031 j055 O ganho de malha aberta K é determinado a partir da condição de módulo como segue FIGURA 649 Kc s 005 s 0005 Kc 0966 106 ss 1 s 2 Sistema compensado 297 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes K s s s s s 0 05 0 005 1 2 1 0235 s j 0 31 0 55 h h h Então o ganho do compensador por atraso de fase K c é determinado como 09656 K K 1 06 1 06 1 0235 c t Assim a função de transferência do compensador por atraso de fase projetado é 09656 9656 G s s s s s 0 005 0 05 200 1 20 1 c h 620 Portanto o sistema compensado tem a seguinte função de transferência de malha aberta G s s s s s s s s s s s 0 005 1 2 1 0235 0 05 200 1 1 0 5 1 5 12 20 1 1 h h h h h h h h h A constante de erro estático de velocidade Kυ é 512 lim K sG s s s 0 1 1 y h No sistema compensado a constante de erro estático de velocidade aumentou para 512 s1 ou 512053 966 vezes o valor original O erro estacionário a uma excitação em rampa decresceu para cerca de 10 do valor do erro do sistema original Assim o objetivo principal do projeto de aumentar a constante de erro estático para aproximadamente 5 s1 foi essencialmente alcançado Note que como o polo e o zero do compensador por atraso de fase estão muito próximos entre si e posicionados muito perto da origem o efeito sobre a forma do lugar das raízes original FIGURA 650 Eixo real 25 3 0 1 05 05 15 2 1 a Eixo imaginário 2 2 15 1 15 1 0 05 05 Gráficos do lugar das raízes dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Polo de malha fechada original Sistema compensado Novo polo de malha fechada 04 06 02 02 04 0 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo da origem Eixo real Eixo imaginário 01 01 05 03 04 03 0 02 02 04 05 b a Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado e do sistema não compensado b gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo da origem 298 Engenharia de controle moderno é pequeno Exceto pela presença de uma pequena região do lugar das raízes próxima à origem os lugares das raízes dos sistemas não compensado e compensado serão muito semelhantes Entretanto o valor da constante de erro estático de velocidade do sistema compensado é 966 vezes maior que o do sistema não compensado Os outros dois polos de malha fechada do sistema compensado são encontrados em s3 2326 s4 00549 A inserção do compensador por atraso de fase aumenta a ordem do sistema de 3 para 4 acres centando um polo adicional de malha fechada próximo do zero do compensador de atraso de fase O polo de malha fechada adicionado em s 00549 fica próximo de zero em s 005 Esse par de zero e polo produz uma cauda longa de pequena amplitude na resposta transitória como será visto adiante na resposta ao degrau unitário Como o polo em s 2326 está muito distante do eixo j em comparação com os polos dominantes de malha fechada o efeito desse polo sobre a resposta transitória também é pequeno Por essa razão podese considerar os polos em s 031 j055 como os polos dominantes de malha fechada A frequência natural não amortecida dos polos dominantes de malha fechada do sistema compensado é 0631 rads Esse valor é aproximadamente 6 menor que o valor original 0673 rads Isso implica que a resposta transitória do sistema compensado fica mais lenta que a resposta do sistema original A resposta levará mais tempo para se acomodar O máximo sobressinal na resposta ao degrau será maior no sistema compensado Se esses efeitos adversos puderem ser tolerados a compensação por atraso de fase que foi discutida aqui se apresentará como uma solução satisfatória para esse problema de projeto Em seguida vamos comparar as respostas a uma rampa unitária do sistema compensado com a do sistema não compensado e verificar que o desempenho em regime permanente é muito melhor no sistema compensado do que no não compensado Para obter a resposta a uma rampa unitária com o MATLAB utilizamos o comando step para o sistema CssRs Como CssRs para o sistema compensado é sR s C s s s s s s s s s s s s s s 0 005 1 2 1 0235 0 05 1 0235 0 05 3 005 2 015 1 0335 0 0512 1 0235 0 0512 5 4 3 2 h h h h h h h 6 temos numc 10235 00512 denc 1 3005 2015 10335 00512 0 Além disso CssRs para o sistema não compensado é sR s C s s s s s s s s s 1 2 1 06 1 06 3 2 1 06 1 06 4 3 2 h h h h 6 Então num 106 den 1 3 2 106 0 O Programa 612 em MATLAB produz o gráfico das curvas de resposta a uma rampa unitária A Figura 651 mostra o resultado Fica claro que o sistema compensado apresenta um erro esta cionário muito menor um décimo do erro estacionário do original ao seguir uma entrada em rampa unitária 299 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Programa 612 em MATLAB Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado A resposta à rampa unitária será obtida como a resposta ao degrau unitário do sistema CssRs Digite os numeradores e denominadores de C1ssRs e C2ssRs onde C1s e C2s são transformados em Laplace dos sinais de saída dos sistemas compensado e não compensado respectivamente numc 10235 00512 denc 1 3005 2015 10335 00512 0 num 106 den 1 3 2 106 0 Especifique o intervalo de tempo tal como t 00150 e digite o comando step e o comando plot t 00150 c1 stepnumcdenct c2 stepnumdent plottc1tc2tt grid text2227Sistema compensado text26213Sistema não compensado titleRespostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas c1 e c2 O Programa 613 em MATLAB fornece as curvas de resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado A Figura 652 mostra as curvas de resposta ao degrau unitário desses sistemas Note que o sistema compensado por atraso de fase apresenta um máximo sobres sinal maior e uma resposta mais lenta que o sistema original não compensado Observe que um par constituído por um polo em s 00549 e um zero em s 005 gera uma cauda de pequena amplitude e longa duração na resposta transitória Se o valor mais alto do máximo sobressinal e a resposta mais lenta não forem desejados tornase necessário utilizar um compensador por atraso e avanço de fase como apresentado na Seção 68 FIGURA 651 t s 10 0 5 35 50 30 40 45 20 15 25 Saídas c1 e c2 50 0 15 5 35 25 30 20 45 40 10 Resposta à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado Resposta dos sistemas compensado e não compensado a uma entrada em rampa O compensador é dado pela Equação 620 300 Engenharia de controle moderno Programa 613 em MATLAB Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Digite os numeradores o denominadores dos sistemas compensado e não compensado numc 10235 00512 denc 1 3005 2015 10335 00512 num 106 den 1 3 2 106 Especifique o intervalo de tempo tal como t 00140 e digite o comando step e o comando plot t 00140 c1 stepnumcdenct c2 stepnumdent plottc1tc2 grid text13112Sistema compensado text136088Sistema não compensado titleRespostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas c1 e c2 Comentários Entretanto devese observar que em certas circunstâncias tanto o compensador por avanço de fase como o compensador por atraso de fase podem satisfazer às especificações dadas tanto as especificações da resposta transitória como as de regime permanente Assim ambas as formas de compensação podem ser utilizadas 68 Compensação por atraso e avanço de fase A compensação por avanço de fase basicamente aumenta tanto a velocidade de resposta como a estabilidade do sistema A compensação por atraso de fase melhora a precisão do sistema em regime permanente mas reduz a velocidade de resposta FIGURA 652 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Saídas c1 e c2 Sistema não compensado Sistema compensado t s 5 0 30 40 25 35 15 10 20 14 04 0 12 08 1 06 02 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado O compensador é dado pela Equação 620 301 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Se for desejado melhorar não só a resposta transitória mas também a resposta em regime permanente podese utilizar simultaneamente o compensador por avanço de fase e o compen sador por atraso de fase No entanto em vez de inserir os compensadores por avanço de fase e por atraso de fase como elementos separados é econômico utilizar um único compensador por atraso e avanço de fase O compensador por atraso e avanço de fase combina as vantagens da compensação por atraso de fase e por avanço de fase Como o compensador por atraso e avanço de fase possui dois polos e dois zeros essa compensação aumenta a ordem do sistema em duas unidades a menos que ocorra o cancelamento de polos e zeros no sistema compensado Compensador eletrônico por atraso e avanço de fase com a utilização de amplificado res operacionais A Figura 653 mostra um compensador eletrônico por atraso e avanço de fase com a utilização de amplificadores operacionais A função de transferência desse compensador pode ser obtida como segue a impedância complexa Z1 é dada por Z R C s R 1 1 1 1 1 1 1 3 ou Z R R C s R C s R 1 1 1 1 3 1 1 1 3 h h Da mesma maneira a impedância complexa Z2 é dada por Z R R C s R C s R 1 1 2 2 4 2 2 2 4 h h Temse então E s E s Z Z R R R C s R R C s R R C s R C 1 1 1 1 i 1 2 3 4 1 1 1 3 1 2 4 2 2 2 h h h h A função de transferência do inversor de sinal é E s E s R R o 5 6 h h Assim a função de transferência do compensador mostrado na Figura 653 é E s E s E s E s E s E s R R R R R C s R R C s R R C s R C s 1 1 1 1 i o o i 3 5 4 6 1 1 1 3 1 2 4 2 2 2 h h h h h h h h G G 621 FIGURA 653 C1 C2 R1 R5 Eis Eos Es Rede de avanço e atraso de fase Inversor de sinal Z1 Z2 R2 R3 R4 R6 Compensador por avanço e atraso de fase 302 Engenharia de controle moderno Vamos definir T R R C T R C T R C T R C C 1 1 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4 2 c b h h A Equação 621 tornase E s E s K T s T s T s T s K s T s T s T s T 1 1 1 1 1 1 1 i o c c 1 1 2 2 1 2 1 2 c b c b c b f e e c e e h h p o o m o o 622 onde 1 1 R R R R R R K R R R R R R R R R R c 1 1 3 2 2 4 1 3 5 2 4 6 2 4 1 3 2 2 c b Observe que g é frequentemente escolhido como igual a β Técnicas de compensação por atraso e avanço de fase baseadas no método do lugar das raízes Considere o sistema mostrado na Figura 654 Suponha que tenha sido utilizado o compensador por atraso e avanço de fase G s K T s T s T s T s K s T s T s T s T 1 1 1 1 1 1 1 c c c 1 2 1 2 1 1 2 2 c b c b c b J L K K KK J L K K KK e N P O O OO N P O O OO h o h h h 623 onde β 1 e g 1 Considere Kc pertencente à porção de avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase No projeto de compensadores por atraso e avanço de fase consideramse dois casos g β e g β Caso 1 g β Nesse caso o procedimento de projeto é uma combinação de um projeto de compensador por avanço de fase e de um compensador por atraso de fase O procedimento do projeto do compensador por atraso e avanço de fase é o seguinte 1 Com base nas especificações de desempenho dadas determine a localização desejada dos polos dominantes de malha fechada 2 Utilizando a função de transferência de malha aberta Gs do sistema não compensado determine a deficiência angular z para que os polos dominantes de malha fechada estejam na posição desejada A parte de avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase deve contribuir com esse ângulo z 3 Supondo que adiante será escolhido T2 suficientemente alto para que o módulo da parte de atraso de fase s T s T 1 1 1 2 1 2 b seja aproximadamente igual à unidade onde s s1 é um dos polos dominantes de malha fechada escolha os valores de T1 e g a partir do requisito FIGURA 654 Gcs Gs Sistema de controle 303 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes s T s T 1 1 1 1 1 c z A escolha de T1 e g não é única Uma infinidade de pares de T1 e g é possível Então determine o valor de Kc da condição de módulo 1 K s T s T G s 1 c 1 1 1 1 1 c h 4 Se a constante de erro estático de velocidade Kυ for especificada determine o valor de β que satisfaça esse requisito para Kυ A constante de erro estático de velocidade Kυ é dada por lim lim lim K sG s G s sK s T s T s T s T G s sK G s 1 1 1 s c s c s c 0 0 1 1 2 2 0 c b c b y J L K K K J L K K K N P O O O N P O O O h h h h onde Kc e g já foram determinados no passo 3 Assim dado o valor de Kυ podese determinar o valor de β com base nessa última equação Então utilizando o valor de β assim determinado escolha o valor de T2 tal que s T s T s T s T 1 1 1 5 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 c c 1 1 Z b b O Exemplo 68 ilustra o procedimento de projeto apresentado Caso 2 g β Se for requerido que g β na Equação 623 então o procedimento de projeto para o compensador por atraso e avanço de fase pode ser modificado como segue 1 Com base nas especificações de desempenho dadas determine a posição desejada dos polos dominantes de malha fechada 2 O compensador por atraso e avanço de fase dado pela Equação 623 é modificado para G s K T s T s T s T s K s T s T s T s T 1 1 1 1 1 1 1 c c c 1 2 1 2 1 2 1 2 b b b b e e e e e h o h h h o o o o 624 onde β 1 A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é Gcs Gs Se a constante de erro estático de velocidade Kυ for especificada determine o valor do coeficiente Kc a partir da seguinte equação lim lim K sG s G s sK G s s c s c 0 0 y h h h 304 Engenharia de controle moderno 3 Para obter a posição desejada dos polos dominantes de malha fechada determine a con tribuição angular z que deve ser fornecida pela porção de avanço de fase do compensador de atraso e avanço de fase 4 Para o compensador por atraso e avanço de fase será escolhido mais à frente um valor de T2 suficientemente grande para que o módulo dado por s T s T 1 1 1 2 1 2 b seja aproximadamente igual à unidade onde s s1 é um dos polos dominantes de malha fechada Determine os valores de T1 e β com base nas condições de módulo e de ângulo K s T s T G s s T s T 1 1 1 c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b z J L K K K N P O O O h 5 Utilizando o valor de β determinado escolha o valor de T2 para que s T s T s T s T 1 1 1 5 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 c c 1 1 Z b b O valor de βT2 a maior constante de tempo do compensador por atraso e avanço de fase não deve ser muito grande para que seja fisicamente realizável Um exemplo de projeto de compensador por atraso e avanço de fase com g β é dado no Exemplo 69 Exemplo 68 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 655 A função de transferência de ramo direto é G s s s 0 5 4 h h Esse sistema possui polos de malha fechada em s 02500 j19843 O coeficiente de amortecimento é 0125 a frequência natural não amortecida é 2 rads e a cons tante de erro estático de velocidade é 8 s1 É desejável tornar o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada igual a 05 e aumentar a frequência natural não amortecida para 5 rads e a constante de erro FIGURA 655 4 ss 05 Sistema de controle 305 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes estático de velocidade para 80 s1 Projete um compensador apropriado para atender a todas as especificações de desempenho Vamos supor que seja utilizado um compensador por atraso e avanço de fase com a função de transferência G s K s T s T s T s T 1 1 1 1 1 c c 1 1 2 2 2 2 c b c b J L K K KK J L K K KK N P O O OO N P O O OO h h onde g é diferente de β Então a função de transferência em malha aberta do sistema compensado será G s G s K s T s T s T s T G s 1 1 1 c c 1 1 2 2 c b J L K K KK J L K K KK N P O O OO N P O O OO h h h A partir das especificações de desempenho os polos dominantes de malha fechada devem situarse em s 250 j433 Como 235 s s 0 5 4 s j 2 50 4 33 c h a parte relativa ao avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase deve contribuir com 55 de modo que o lugar das raízes passe pela localização desejada dos polos dominantes de malha fechada No projeto da parte de avanço de fase do compensador primeiro são determinadas as posições do zero e do polo que fornecerão a contribuição de 55 Existem muitas possibilidades de escolha mas aqui foi adotado o zero em s 05 de maneira que cancele o polo da planta em s 05 Uma vez escolhido o zero o polo pode ser localizado de modo que a contribuição angular seja 55 Por um cálculo simples ou por meio de análise gráfica verificase que o polo deve situarse em s 5021 Assim a parte relativa ao avanço de fase do compensador será K s T s T K s s 1 5 02 0 5 c c 1 1 c Assim 2 1004 T 0 5 5 02 1 c Em seguida determine o valor de Kc com base na condição de módulo 1 K s s 5 02 s s 0 5 0 5 4 c s j 2 5 4 33 h Então 626 K s s 4 5 02 c s j 2 5 4 33 h A parte de atraso de fase do compensador pode ser projetada como segue primeiro determinase o valor de β para satisfazer o requisito da constante de erro estático de velocidade lim lim lim K sG s G s sK G s s 6 26 10 04 s s 0 5 4 4 988 80 s c s c s 0 0 0 c b b b y h h h h h 306 Engenharia de controle moderno Então β é determinado como β 1604 Por fim escolhese um valor de T2 tal que satisfaça as duas condições a seguir 1 5 0 s T s T s T s T 16 04 1 1 16 04 1 1 s j s j 2 2 2 50 4 33 2 2 2 50 4 33 c c 1 1 Z Podemos escolher vários valores para T2 e verificar se as condições de módulo e angular são satisfeitas Com cálculos simples chegamos a T2 5 1 módulo 098 210 ângulo 0 Como T2 5 satisfaz as duas condições podemos escolher T2 5 Agora a função de transferência do compensador por atraso e avanço de fase projetado é dada por G s s s s s s s s s s s s s 6 26 2 10 04 2 1 16 04 5 1 5 1 6 26 5 02 0 5 0 01247 0 2 0 1992 1 80 19 1 10 2 1 5 1 c J L K K KK J L K K KK e e N P O O OO N P O O OO h h o o h h h h O sistema compensado terá a função de transferência de malha aberta G s G s s s s s 5 02 0 01247 25 04 0 2 c h h h h h Em virtude do cancelamento dos termos s 05 o sistema compensado é de terceira ordem Matematicamente esse cancelamento é exato mas na prática ele não é exato porque a dedução do modelo matemático do sistema envolve em geral algumas aproximações e como resultado as constantes de tempo não são precisas O gráfico do lugar das raízes do sistema compensado é mostrado na Figura 656a Uma visão aumentada do gráfico do lugar das raízes próximo à origem é mostrada na Figura 656b Pelo fato de a contribuição angular da parte de atraso de fase do compensador de atraso e avanço de fase ser muito pequena há apenas um pequeno deslocamento da posição desejada s 25 j433 A equação característica para o sistema compensado é ss 502s 001247 2504s 02 0 ou s3 50325s2 251026s 5008 s 24123 j42756s 24123 j42756s 02078 0 Então os novos polos de malha fechada ficam localizados em s 24123 j42756 O novo coeficiente de amortecimento é z 0491 Portanto o sistema compensado atende a todas as especificações de desempenho requeridas O terceiro polo de malha fechada do sistema com pensado está localizado em s 02078 Como esse polo está muito próximo do zero situado em s 02 o efeito desse polo na resposta é pequeno Note que em geral se um polo e um zero estiverem situados próximos um do outro sobre o semieixo real negativo e próximo à origem então essa combinação de polo e zero produzirá uma espécie de cauda alongada de pequena amplitude na resposta transitória 307 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes As curvas de resposta ao degrau unitário e as curvas de resposta à rampa unitária antes e depois da compensação são mostradas na Figura 657 Observe que há uma longa cauda de baixa amplitude na resposta ao degrau unitário do sistema compensado Exemplo 69 Considere novamente o sistema de controle do Exemplo 68 Suponha que seja utilizado um compensador por atraso e avanço de fase na forma dada pela Equação 624 ou FIGURA 656 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Eixo imaginário 10 5 5 10 0 Eixo real a 2 2 8 6 0 4 10 10 4 6 8 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo da origem Eixo real Eixo imaginário 05 0 01 03 04 02 005 005 02 015 025 015 0 01 01 025 02 b a Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado b gráfico do lugar das raízes próximo da origem FIGURA 657 t s 1 0 6 8 5 7 3 2 4 a Saídas 04 08 18 0 12 06 1 02 14 16 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado Erro estacionário do sistema compensado 00125 Erro estacionário do sistema não compensado 0125 Sistema compensado Sistema não compensado t s 2 1 7 9 6 8 10 0 4 3 5 b Saídas 10 4 0 6 9 2 1 8 5 7 3 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Curvas da resposta transitória dos sistemas compensado e não compensado a Curvas de resposta ao degrau unitário b curvas de resposta à rampa unitária 308 Engenharia de controle moderno G s K s T s T s T s T 1 1 1 1 c c 1 2 1 2 2 b b b c c e e h m m o o h Supondo que as especificações sejam as mesmas dadas no Exemplo 68 projete um compensador Gcs As localizações desejadas para os polos dominantes de malha fechada são s 250 j433 A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é G s G s K s T s T s T s T s s 1 1 1 0 5 4 c c 1 2 1 2 b b c c e e h h m m o o h Como o requisito da constante de erro estático de velocidade Kυ é 80 s1 temos 8 80 lim lim K sG s G s K K 0 5 4 s c s c c 0 0 y h h Portanto Kc 10 A constante de tempo T1 e o valor de β são determinados a partir de s T s T s s s T s T s T s T 1 0 5 40 1 4 77 8 1 1 55 s j s j 1 1 2 5 4 33 1 1 1 1 2 5 4 33 c b b b h A deficiência angular de 55 foi obtida no Exemplo 68 Com base na Figura 658 podemos localizar facilmente os pontos A e B tais que 55 APB PB PA 8 4 77 c Utilize abordagem gráfica ou trigonométrica O resultado é AO 238 BO 834 ou T1 2 38 1 0420 β 834T1 3503 A parte relativa ao avanço de fase da rede de atraso e avanço de fase tornase então 10 s s 8 34 2 38 c m Para a porção relativa ao atraso de fase podemos escolher T2 de forma que satisfaça às condições 1 5 0 s T s T s T s T 3 503 1 1 3 503 1 1 s j s j 2 2 2 50 4 33 2 2 2 50 4 33 c c 1 1 Z 309 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Com cálculos simples constatamos que T2 5 então 1 módulo 098 15 ângulo 0 e se escolhermos T2 10 temos 1 módulo 099 1 ângulo 0 Como T2 é uma das constantes de tempo do compensador por atraso e avanço de fase não deve ser muito grande Se T2 10 for aceitável do ponto de vista prático podemos escolher T2 10 Então 00285 T 1 3 503 10 1 2 b Assim o compensador por atraso e avanço de fase tornase G s s s s s 10 8 34 2 38 0 0285 0 1 c c c h h m m O sistema compensado terá a função de transferência de malha aberta G s G s s s s s s s 8 34 0 0285 0 5 40 2 38 0 1 c h h h h h h h Nenhum cancelamento ocorre nesse caso e o sistema compensado é de quarta ordem Pelo fato de a contribuição angular da parte relativa ao atraso de fase da rede de atraso e avanço ser muito pequena os polos dominantes de malha fechada ficam muito próximos da localização desejada De fato a localização dos polos dominantes de malha fechada pode ser encontrada a partir da seguinte equação característica a equação característica do sistema compensado é s 834s 00285ss 05 40s 238s 01 0 que pode ser simplificada para s4 88685s3 444219s2 993188s 952 s 24539 j43099s 24539 j43099s 01003s 38604 0 Os polos dominantes de malha fechada estão localizados em s 24539 j43099 Os outros polos de malha fechada estão localizados em s 01003 s 38604 FIGURA 658 0 j v A B P 55 j5 j4 j3 j2 j1 j4 j3 j2 j1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 Determinação da localização desejada do polo e do zero 310 Engenharia de controle moderno Como o polo de malha fechada em s 01003 está muito próximo de um zero em s 01 eles quase se cancelam Assim o efeito desse polo de malha fechada é muito pequeno O polo de malha fechada restante s 38604 não cancela completamente o zero em s 24 O efeito desse zero é causar maior sobressinal na resposta ao degrau do que no caso de um sistema seme lhante mas sem esse zero A Figura 659a mostra as curvas de resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado As curvas de resposta à rampa unitária de ambos os sistemas estão representadas na Figura 659b O máximo sobressinal na resposta ao degrau do sistema compensado é aproximadamente 38 Este é bem mais elevado que o máximo sobressinal de 21 do projeto apresentado no Exemplo 68 É possível reduzir o máximo sobressinal de um pequeno valor a partir de 38 mas não para 20 se for requerido g β como neste exemplo Note que por não se exigir g β temos um parâmetro adicional a ser ajustado o que permite reduzir o máximo sobressinal FIGURA 659 t s 1 05 0 35 45 3 4 5 2 15 25 a Saídas 04 08 18 0 12 06 1 02 14 16 Resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado t s 05 0 3 4 25 35 15 1 2 b Saídas 15 25 4 05 0 35 2 3 1 Resposta à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado a Curvas de resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado b curvas de resposta à rampa unitária para ambos os sistemas 311 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 69 Compensação em paralelo Foram apresentadas até aqui técnicas de compensação em série com a utilização de com pensadores por avanço de fase por atraso de fase ou por atraso e avanço de fase Nesta seção discutiremos as técnicas de compensação em paralelo Como no projeto de compensação em paralelo o controlador ou compensador fica na malha interna o projeto pode parecer mais complicado que no caso da compensação em série Entretanto isso não acontecerá se a equação característica for reescrita de modo que fique com a mesma forma da equação característica do sistema compensado em série Nesta seção será apresentado um problema de projeto simples que envolve compensação em paralelo Princípio básico de projeto de um sistema compensado em paralelo Com base na Figura 660a a função de transferência de malha fechada do sistema com compensação em série é R C G GH G G 1 c c A equação característica é 1 GcGH 0 Dados G e H o problema de projeto vem a ser a determinação do compensador Gc que satisfaça às especificações dadas A função de transferência de malha fechada do sistema com compensação em paralelo Figura 660b é R C G G G G H G G 1 c 2 1 2 1 2 A equação característica é 1 G1G2H G2Gc 0 Dividindo essa equação característica pela soma dos termos que não contêm Gc obtemos 1 0 G G H G G 1 c 1 2 2 625 FIGURA 660 G1s G2s Hs Gcs Gcs Gs Hs a b C R R C a Compensação em série b compensação em paralelo ou por realimentação 312 Engenharia de controle moderno Se definirmos G G G H G 1 f 1 2 2 a Equação 625 tornase 1 GcGf 0 Como Gf é uma função de transferência fixa o projeto de Gc será o mesmo que no caso da com pensação em série Então o mesmo método se aplica ao sistema com compensação em paralelo Sistemas com realimentação de velocidade Um sistema com realimentação de velocidade sistema com realimentação tacométrica é um exemplo de sistema com compensação em paralelo O controlador ou compensador nesse sistema é um elemento de ganho O ganho do componente de realimentação na malha interna deve ser adequadamente determinado para que o sistema como um todo satisfaça às especificações de projeto dadas A característica desse sistema com reali mentação de velocidade é que o parâmetro variável não aparece como fator de multiplicação na função de transferência de malha aberta de maneira que a aplicação direta da técnica de projeto pelo lugar das raízes não é possível Entretanto se a equação característica for reescrita de modo que o parâmetro variável apareça como um fator de multiplicação então o projeto pelo método do lugar das raízes se tornará possível Um exemplo de projeto de sistema de controle que utiliza a técnica de compensação em paralelo é apresentado no Exemplo 610 Exemplo 610 Considere o sistema mostrado na Figura 661 Desenhe o gráfico do lugar das raízes Em segui da determine o valor de k para que o coeficiente de amortecimento do polo dominante de malha fechada seja 04 Aqui o sistema envolve realimentação de velocidade A função de transferência de malha aberta é s s s ks 1 4 20 20 Função de transferência de malha aberta h h Note que a variável ajustável k não aparece como um fator de multiplicação A equação carac terística do sistema é s3 5s2 4s 20ks 20 0 626 Definindo 20k K a Equação 626 tornase s3 5s2 4s Ks 20 0 627 Dividindo ambos os lados da Equação 627 pela soma dos termos que não contêm K obtémse 1 0 s s s Ks 5 4 20 3 2 ou FIGURA 661 Cs Rs 20 s 1 s 4 1 s k Sistema de controle 313 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 1 0 s j s j s Ks 2 2 5 h h h 628 A Equação 628 tem a forma da Equação 611 Vamos esboçar agora o lugar das raízes do sistema dado pela Equação 628 Note que os polos de malha aberta estão localizados em s j2 s j2 e s 5 e o zero de malha aberta está localizado em s 0 O lugar das raízes existe sobre o eixo real entre 0 e 5 Como lim lim s j s j s Ks s K 2 2 5 s s 2 3 3 h h h temos  í 90 ngulos da ass ntota k 2 180 2 1 c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real pode ser encontrada a partir de lim lim lim s s s Ks s s K s K 5 4 20 5 2 5 s s s 3 2 2 2 g 3 3 3 h como s 25 O ângulo de partida ângulo θ do polo em s j2 é obtido como segue θ 180 90 218 90 1582 Portanto o ângulo de partida do polo s j2 é 1582 A Figura 662 mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema Note que dois ramos do lugar das raízes têm origem nos polos em s j2 e terminam nos zeros no infinito O ramo restante tem origem no polo em s 5 e termina no zero em s 0 FIGURA 662 j j6 j5 j4 j3 j2 j1 j6 j5 j4 j3 j2 j1 v 1 1 0 2 3 4 5 6 7 s 21589 j49652 Q P s 10490 j24065 s 29021 6642 Gráfico do lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 661 314 Engenharia de controle moderno Note que os polos de malha fechada com z 04 devem se situar sobre as retas que passam pela origem e formam os ângulos de 6642º com o semieixo real negativo Nesse caso existem duas intersecções do ramo do lugar das raízes no semiplano superior do plano s e a reta cujo ângulo é 6642º Portanto dois valores de K vão fornecer o coeficiente de amortecimento dos polos de malha fechada z 04 No ponto P o valor de K é 89801 K s s j s j s 2 2 5 s j 1 0490 2 4065 h h h Consequentemente 04490 k K P 20 no ponto No ponto Q o valor de K é 28260 K s s j s j s 2 2 5 s j 2 1589 4 9652 h h h Consequentemente 14130 k K Q 20 no ponto Assim temos duas soluções para esse problema Para k 04490 os três polos de malha fechada estão localizados em s 10490 j24065 s 10490 j24065 s 29021 Para k 14130 os três polos de malha fechada estão localizados em s 21589 j49652 s 21589 j49652 s 06823 É importante evidenciar que o zero na origem é o zero de malha aberta mas não o zero de malha fechada Isso fica claro porque o sistema original mostrado na Figura 661 não tem um zero de malha fechada pois R s G s s s s ks 1 4 20 1 20 h h h h h O zero de malha aberta em s 0 foi introduzido no processo de modificação da equação carac terística de modo que a variável ajustável K 20k se apresentasse como fator de multiplicação Foram obtidos dois valores diferentes de k que satisfazem o requisito de ser o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada igual a 04 A função de transferência de malha fechada com k 04490 é dada por R s C s s s s s j s j s 5 12 98 20 20 1 0490 2 4065 1 0490 2 4065 2 9021 20 3 2 h h h h h A função de transferência de malha fechada com k 14130 é dada por R s C s s s s s j s j s 5 32 26 20 20 2 1589 4 9652 2 1589 4 9652 0 6823 20 3 2 h h h h h Note que o sistema no qual k 04490 tem um par de polos complexos conjugados dominantes de malha fechada enquanto no sistema com k 14130 o polo dominante de malha fechada em s 06823 é real e os polos complexos conjugados de malha fechada não são dominantes Nesse caso a resposta característica é determinada essencialmente pelo polo real de malha fechada 315 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Vamos comparar as respostas ao degrau unitário de ambos os sistemas O Programa 614 em MATLAB pode ser utilizado para traçar as curvas de resposta ao degrau unitário no mesmo diagrama A Figura 663 mostra as curvas de resposta ao degrau unitário resultantes c1t para k 04490 e c2t para k 14130 Programa 614 em MATLAB Resposta ao degrau unitário Digites os numeradores e denominadores dos sistemas com k 04490 e k 14130 respectivamente num1 20 den1 1 5 1298 20 num2 20 den2 1 5 3226 20 t 00110 c1 stepnum1den1t c2 stepnum2den2t plottc1tc2 text25112k 04490 text37085k 14130 grid titleRespostas ao degrau unitário dos dois sistemas xlabelt s ylabelSaídas c1 e c2 Na Figura 663 observamos que a resposta do sistema com k 04490 é oscilatória O efeito do polo de malha fechada em s 29021 sobre a resposta em degrau unitário é pequeno Para o sistema com k 14130 as oscilações devidas aos polos de malha fechada em s 21589 j49652 são atenuadas mais rapidamente do que a resposta puramente exponencial devida somente ao polo de malha fechada em s 06823 O sistema com k 04490 que apresenta uma resposta mais rápida com um máximo sobres sinal relativamente pequeno tem uma característica de resposta bem melhor do que o sistema com k 14130 que apresenta uma resposta superamortecida lenta Portanto podese escolher k 04490 para o sistema em questão FIGURA 663 t s 0 1 10 5 2 3 4 6 7 8 9 Saídas c1 e c2 12 04 0 06 02 1 08 Resposta ao degrau unitário dos dois sistemas k 14130 k 04490 Curvas de resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Figura 661 para um coeficiente de amortecimento z dos polos dominantes de malha fechada igual a 04 Dois valores possíveis de k resultam em um coeficiente de amortecimento z igual a 04 316 Engenharia de controle moderno Exemplos de problemas com soluções A61 Desenhe o lugar das raízes do sistema mostrado da Figura 664a Suponha que o ganho K seja positivo Observe que para valores de K pequenos ou grandes o sistema é superamortecido e para valores médios de K é subamortecido Solução Eis o procedimento para traçar o gráfico do lugar das raízes 1 Localize os polos e zeros de malha aberta no plano complexo Existe o lugar das raízes no eixo real negativo entre 0 e 1 e entre 2 e 3 2 O número de polos de malha aberta e de zeros finitos é o mesmo Isso significa que não há assíntotas na região complexa do plano s 3 Determine os pontos de partida e de chegada ao eixo real A equação característica do sistema é 1 0 s s K s s 1 2 3 h h h ou K s s s s 2 3 1 h h h Os pontos de partida e de chegada são determinados a partir de ds dK s s s s s s s s s s s s 2 3 2 1 2 3 1 2 5 2 3 4 0 634 2 366 0 2 2 h h h h h h h h h h h 6 6 como segue s 0634 s 2366 Note que ambos os pontos estão sobre o lugar das raízes Portanto eles são realmente pontos de partida e de chegada No ponto s 0634 o valor de K é FIGURA 664 a b Rs Cs j v K 00718 K 14 3 2 1 0 1 j1 j2 j1 j2 Ks 2 s 3 ss 1 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 317 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 00718 K 1 366 2 366 0 634 0 366 h h h h Da mesma maneira em s 2366 14 K 0 366 0 634 2 366 1 366 h h h h Pelo fato de o ponto s 0634 estar entre dois polos ele é um ponto de partida e pelo fato de o ponto s 2366 estar entre dois zeros ele é um ponto de chegada 4 Determine um número suficiente de pontos que satisfaça à condição angular Podese verificar que o lugar das raízes possui um círculo com o centro em 15 que passa pelos pontos de partida e de chegada O gráfico do lugar das raízes para esse sistema é mostrado na Figura 664b Note que o sistema é estável para todos os valores positivos de K já que todo o lugar das raízes se situa no semiplano esquerdo do plano s Pequenos valores de K 0 K 00718 correspondem a um sistema superamortecido Valores intermediários de K 00718 K 14 correspondem a um sistema subamortecido Por fim valores grandes de K 14 K correspondem a um sistema superamortecido Com um valor grande de K o regime permanente pode ser atingido muito mais rapidamente do que com valores pequenos de K O valor de K deve ser ajustado de modo que o desempenho do sistema seja ótimo de acordo com um dado índice de desempenho A62 Desenhe o lugar das raízes do sistema de controle mostrado na Figura 665a Solução Existe um ramo do lugar das raízes no eixo real entre os pontos s 1 e s 36 As assíntotas podem ser determinadas como segue  í 90 90 ngulos das ass ntotas k 3 1 180 2 1 c c c h FIGURA 665 a b j v 4 3 2 0 1 j3 j1 j1 j3 1 j2 j2 Ks 1 s2s 36 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 318 Engenharia de controle moderno A intersecção das assíntotas com o eixo real é dada por 13 s 3 1 0 0 3 6 1 Como a equação característica é s3 36s2 Ks 1 0 temos K s s s 1 3 6 3 2 Os pontos de partida e de chegada são encontrados por 0 ds dK s s s s s s 1 3 7 2 1 3 6 2 2 3 2 h h h h ou s3 33s2 36 s 0 de onde obtemos s 0 s 165 j09367 s 165 j09367 O ponto s 0 corresponde realmente a um ponto de partida Os pontos s 165 j09367 no entanto não são pontos de partida nem de chegada porque os valores correspondentes de K são números complexos Para testar os pontos onde os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário substituímos s j na equação característica obtendo j3 36 j2 K j K 0 ou K 362 j K 2 0 Note que essa equação somente será satisfeita se 0 K 0 Em virtude da presença de um duplo polo na origem o lugar das raízes é tangente ao eixo j em 0 Os ramos do lugar das raízes não cruzam o eixo j A Figura 665b é o gráfico do lugar das raízes do sistema A63 Desenhe o lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 666a Solução Existe um ramo do lugar das raízes entre os pontos s 04 e s 36 Os ângulos das assíntotas podem ser determinados como segue  í 90 90 ngulos das ass ntotas k 3 1 180 2 1 c c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real é dada por 16 s 3 1 0 0 3 6 0 4 Em seguida encontramos o ponto de partida Como a equação característica é s3 36s2 Ks 04K 0 temos K s s s 0 4 3 6 3 2 Os pontos de partida e de chegada ficam determinados com o auxílio da equação 0 ds dK s s s s s s 0 4 3 7 2 0 4 3 6 2 2 3 2 h h h h 319 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes da qual resulta s3 24s2 144s 0 ou ss 122 0 Então os pontos de partida e de chegada são s 0 e s 12 Note que s 12 é uma raiz dupla Quando uma raiz dupla ocorre em dKds 0 no ponto s 12 d 2Kds2 0 nesse ponto O valor do ganho K no ponto s 12 é 432 K s s s 4 3 6 s 3 2 1 2 Isso significa que com K 432 a equação característica tem uma raiz tripla no ponto s 12 Isso pode ser facilmente verificado como segue s3 36s2 432s 1728 s 123 0 Então os ramos da raiz tripla se encontram no ponto s 12 Os ângulos de partida dos ramos do lugar das raízes no ponto s 12 que tendem às assíntotas são 1803 isto é 60 e 60 Veja o Problema A64 Por fim devemos examinar os ramos do lugar das raízes que cruzam o eixo imaginário Pela substituição de s j na equação característica temos j3 36 j2 Kj 04K 0 ou 04K 362 jK 2 0 Essa equação só é satisfeita se 0 e K 0 No ponto 0 o lugar das raízes é tangente ao eixo j por causa de um polo duplo na origem Não há pontos onde os ramos do lugar das raízes cruzem o eixo imaginário FIGURA 666 a b j v 4 3 2 0 1 j3 j1 j1 j3 j2 j2 Ks 04 s2s 36 1 60 60 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 320 Engenharia de controle moderno Um gráfico do lugar das raízes para esse sistema é mostrado na Figura 666b A64 Obtenha para o Problema A63 a equação dos ramos do lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 666a Mostre que os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo real no ponto de partida do eixo real com ângulos de 60 Solução As equações dos ramos do lugar das raízes podem ser obtidas a partir da condição angular 180 s s K s k 3 6 0 4 2 1 2 c h h h que pode ser escrita como 2 180 s s s k 0 4 3 6 2 1 c h Substituindo s v j obtemos 2 180 j j j k 0 4 3 6 2 1 c v v v h ou 2 180 tg tg tg k 0 4 3 6 2 1 1 1 1 c v v v c c c m m m h Rearranjando os termos temos 180 tg tg tg tg k 0 4 3 6 2 1 1 1 1 1 c v v v v c c c c m m m m h Considerando as tangentes de ambos os lados dessa última equação e notando que 180 tg tg k 3 6 2 1 3 6 1 c v v c m h E obtemos 1 0 4 0 4 1 3 6 3 6 v v v v v v v v que pode ser simplificada como segue 0 4 0 4 3 6 3 6 2 2 v v v v v v v v h h h h ou v3 24v2 144v 162 v2 0 que pode ser ainda mais simplificada como vv 122 v 162 0 Para v 16 podemos escrever essa última equação como 0 1 2 1 6 1 2 1 6 v v v v v v h h G G o que nos fornece as seguintes equações para o lugar das raízes 0 1 2 1 6 1 2 1 6 v v v v v v h h 321 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes A equação 0 representa o eixo real O lugar das raízes para 0 K encontrase entre s 04 e s 36 O eixo real além desse segmento linear e da origem s 0 corresponde ao lugar das raízes para K 0 As equações 1 2 1 6 v v v h 629 representam os ramos complexos para 0 K Esses dois ramos situamse entre v 16 e v 0 Veja a Figura 666b As inclinações dos ramos complexos do lugar das raízes no ponto de partida v 12 podem ser obtidas avaliando ddv na Equação 629 no ponto v 12 d d 1 6 0 4 1 2 3 1 2 1 2 v v v v v Como tg1 3 60 os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo real com ângulos de 60 A65 Considere o sistema da Figura 667a Trace o gráfico do lugar das raízes desse sistema Observe que para valores de K pequenos ou grandes o sistema é subamortecido e para valores interme diários de K ele é superamortecido Solução Existe um ramo do lugar das raízes entre a origem e Os ângulos das assíntotas dos ramos do lugar das raízes são obtidos como segue  í 60 60 180 ngulos das ass ntotas k 3 180 2 1 c c c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real fica localizada no eixo real em 13333 s 3 0 2 2 Os pontos de partida e de chegada ao eixo real são localizados por dKds 0 Como a equação característica é s3 4s2 5s K 0 FIGURA 667 a b K ss2 4s 5 j v 4 3 2 0 1 j3 j2 j1 j2 j1 j3 1 K 2 K 1852 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 322 Engenharia de controle moderno temos K s3 4s2 5s Então impomos ds dK 3s2 8s 5 0 de onde resulta s 1 s 16667 Como esses dois pontos pertencem ao lugar das raízes eles são efetivamente pontos de partida e de chegada No ponto s 1 o valor de K é 2 e no ponto s 16667 o valor de K é 1852 O ângulo de partida do polo complexo no semiplano superior do plano s é obtido com o auxílio da equação θ 180 15343 90 ou θ 6343 O ramo do lugar das raízes que parte do polo complexo no semiplano superior do plano s chega ao eixo real no ponto s 16667 Em seguida determinamos os pontos em que os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imagi nário Substituindo s j na equação característica temos j3 4j2 5j K 0 ou K 42 j5 2 0 e a partir dele obtemos 5 K 20 ou 0 K 0 Os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário nos pontos 5 e 5 O ramo do lugar das raízes sobre o eixo real toca o eixo j em 0 A Figura 667b mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema Note que como esse sistema é de terceira ordem existem três polos de malha fechada A natureza da resposta do sistema à determinada entrada depende da localização dos polos de malha fechada Para 0 K 1852 existe um par de polos complexos conjugados e um polo real todos de malha fechada Para 1852 K 2 existem três polos reais de malha fechada Por exemplo os polos de malha fechada estão localizados em s 1667 s 1667 s 0667 para K 1852 s 1 s 1 s 2 para K 2 Para 2 K existe um conjunto de polos de malha fechada formado por um par de polos complexos conjugados e um polo real Assim pequenos valores de K 0 K 1852 correspondem a um sistema subamortecido Como o polo dominante é o polo real de malha fechada apenas uma pequena oscilação pode ser notada na resposta transitória Valores intermediários de K 1852 K 2 correspondem a um sistema subamortecidoValores grandes de K 2 K correspondem a um sistema subamortecido Para valores grandes de K o sistema responde muito mais rapida mente do que para valores pequenos de K A66 Trace o lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 668a Solução Os polos de malha aberta estão localizados em s 0 s 1 s 2 j3 e s 2 j3 Existe um ramo do lugar das raízes no eixo real entre os pontos s 0 e s 1 Os ângulos das assíntotas são determinados como 323 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes  í 45 45 135 135 ngulos das ass ntotas k 4 180 2 1 c c c c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real é determinada a partir de 125 s 4 0 1 2 2 Os pontos de partida e de chegada são obtidos a partir de dKds 0 Como K ss 1s2 4s 13 s4 5s3 17s2 13s temos ds dK 4s3 15s2 34s 13 0 do que resulta s 0467 s 1642 j2067 s 1642 j2067 O ponto s 0467 pertence ao lugar das raízes Portanto tratase realmente de um ponto de partida O valor dos ganhos K nos pontos s 1642 j2067 são números complexos Como os valores de ganhos não são reais e positivos esses pontos não são pontos de partida nem de chegada O ângulo de partida do polo complexo situado no semiplano superior do plano s é θ 180 12369 10844 90 ou θ 14213 Em seguida determinamos os pontos em que o lugar das raízes cruza o eixo j A equação característica é s4 5s3 17s2 13s K 0 Substituindo s j na equação característica temos j4 5j3 17j2 13j K 0 ou K 4 172 j13 52 0 FIGURA 668 a b j v 4 3 6 5 3 2 2 0 1 j3 j4 j5 j1 j1 j3 j4 j5 1 j2 j2 K ss 1 s2 4s 13 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 324 Engenharia de controle moderno da qual obtemos 16125 K 3744 ou 0 K 0 Os ramos do lugar das raízes que se estendem para o semiplano direito do plano s cruzam o eixo imaginário em 16125 Além disso o ramo do lugar das raízes sobre o eixo real toca o eixo imaginário em 0 A Figura 668b mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema Note que os ramos do lugar das raízes que se estendem para o semiplano direito do plano s cruzam as respectivas assíntotas A67 Desenhe o lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 669a Determine os valores de K para os quais o sistema é estável Solução Os polos de malha aberta estão localizados em s 1 s 2 j 3 e s 2 j 3 Um ramo do lugar das raízes existe no eixo real entre os pontos s 1 e s As assíntotas dos ramos do lugar das raízes são determinadas como segue  í 60 60 180 ngulos das ass ntotas k 3 180 2 1 c c c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real é obtida por 1 s 3 1 2 2 Os pontos de partida e de chegada ao eixo real podem ser localizados a partir de dKds 0 Como K s 1s2 4s 7 s3 3s2 3s 7 temos ds dK 3s2 6s 3 0 ou seja s 12 0 FIGURA 669 j v j3 j2 j1 a b K s 1 s2 4s 7 j3 j1 4 3 2 0 1 K 7 K 8 K 16 1 j2 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 325 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Então a equação dKds 0 tem uma raiz dupla em s 1 Isso significa que a equação caracte rística tem uma raiz tripla em s 1 O ponto de encontro está localizado em s 1 Três ramos do lugar das raízes se cruzam nesse ponto de encontro Os ângulos de partida dos ramos nesse ponto de encontro são 1803 isto é 60 e 60 Em seguida vamos determinar os pontos onde os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo ima ginário Notando que a equação característica é s 1s2 4s 7 K 0 ou s3 3s2 3s 7 K 0 substituímos s j nessa equação e obtemos j3 3j2 3j 7 K 0 Reescrevendo essa última equação obtemos K 7 32 j3 2 0 Essa equação é satisfeita quando 3 K 7 32 16 ou 0 K 7 Os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário em 3 onde K 16 e 0 onde K 7 Como o valor de K na origem é 7 o intervalo dos valores do ganho K para estabilidade é 7 K 16 A Figura 669b mostra o gráfico do lugar das raízes para esse sistema Note que todos os ramos são retilíneos O fato de os ramos do lugar das raízes serem retilíneos pode ser verificado como a seguir como a condição angular é 180 s s j s j K k 1 2 3 2 3 2 1 c h h h h temos 180 s s j s j k 1 2 3 2 3 2 1 c h Substituindo s v j nessa última equação 180 j j j j j k 1 2 3 2 3 2 1 c v v v h ou 180 j j j k 2 3 2 3 1 2 1 c v v v h h h que pode ser reescrita como 180 tg tg tg k 2 3 2 3 1 2 1 1 1 1 c v v v e e e o o o h Considerando as tangentes de ambos os lados da última equação obtemos 1 2 3 2 3 2 3 2 3 1 v v v v v e oe o ou 4 4 3 2 2 1 2 2 v v v v h 326 Engenharia de controle moderno que pode ser simplificada para 2v 2v 1 v2 4v 7 2 ou 3v2 6v 3 2 0 A simplificação adicional dessa última equação permite escrever 0 1 3 1 1 3 1 v v c mc m que define três linhas 0 1 0 1 0 3 1 3 1 v v Assim os ramos do lugar das raízes consistem em três linhas retas Note que o lugar das raízes para K 0 consiste nas três semirretas mostradas na Figura 669b Veja que cada semirreta parte dos polos de malha aberta e se estende ao infinito na direção de 180 60 ou 60 medidos a partir do eixo real A parte restante das linhas retas corresponde a K 0 A68 Considere um sistema com realimentação unitária com a seguinte função de transferência do ramo direto G s s s s K 1 2 h h h Desenhe o lugar das raízes e suas assíntotas com o MATLAB Solução Desenharemos o lugar das raízes e as assíntotas em um diagrama Como a função de transferência no ramo direto é dada por G s s s s K s s s K 1 2 3 2 3 2 h h h a equação para as assíntotas pode ser obtida como segue notando que lim lim s s s K s s s K s K 3 2 3 3 1 1 s s 3 2 3 2 3 Z 3 3 h a equação para as assíntotas pode ser dada por G s s K 1 a 3 h h Assim para o sistema temos num 1 den 1 3 2 0 e para as assíntotas numa 1 dena 1 3 3 1 Usando os seguintes comandos de lugar das raízes e plot r rlocusnumden a rlocusnumadena plotr a o número de linhas de r e de a deve ser o mesmo Para garantir isso incluímos a constante de ganho K nos comandos Por exemplo K1 00103 K2 03000505 327 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes K3 050510 K4 105100 K K1 K2 K3 K4 r rlocusnumdenK a rlocusnumadenaK y r a ploty O Programa 615 em MATLAB gerará o gráfico do lugar das raízes e suas assíntotas como mostra a Figura 670 Programa 615 em MATLAB Gráficos do lugar das raízes num 1 den 1 3 2 0 numa 1 dena 1 3 3 1 K1 00103 K2 03000505 K3 050510 K4 105100 K K1 K2 K3 K4 r rlocusnumdenK a rlocusnumadenaK y r a ploty v 4 4 4 4 axisv grid titleGráfico do lugar das raízes de Gs Kss 1s 2 e assíntotas xlabelEixo real ylabelEixo imaginário Desenhe manualmente na cópia impressa os polos em malha aberta Podese desenhar dois ou mais gráficos no mesmo diagrama usando o comando hold O Programa 616 em MATLAB utiliza o comando hold A Figura 671 mostra o gráfico do lugar das raízes resultante FIGURA 670 Gráfico do lugar das raízes de Gs Kss 1s 2 e assíntotas Eixo imaginário 4 4 0 3 2 1 1 2 3 Eixo real 4 1 3 2 1 0 4 2 3 Gráfico do lugar das raízes 328 Engenharia de controle moderno Programa 616 em MATLAB Gráficos do lugar das raízes num 1 den 1 3 2 0 numa 1 dena 1 3 3 1 K1 00103 K2 03000505 K3 050510 K4 105100 K K1 K2 K3 K4 r rlocusnumdenK a rlocusnumadenaK plotro hold Current plot held plota v 4 4 4 4 axisv grid titleGráfico do lugar das raízes de Gs Kss1s2 e assíntotas xlabelEixo real ylabelEixo imaginário A69 Desenhe e faça o gráfico do lugar das raízes e as assíntotas de um sistema com realimentação unitária cuja função de transferência no ramo direto é a seguinte G s s s s s K 2 2 2 5 2 2 h h h Determine os pontos exatos onde os lugares das raízes cruzam o eixo j Solução A função de transferência do ramo direto Gs pode ser escrita como G s s s s s K 4 11 14 10 4 3 2 h Observe que à medida que s se aproxima do infinito lim s 3 Gs pode ser escrita como FIGURA 671 Gráfico do lugar das raízes de Gs Kss 1s 2 e assíntota Eixo imaginário 4 4 0 3 2 1 1 2 3 Eixo real 4 1 3 2 1 0 4 2 3 Gráfico do lugar das raízes 329 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes lim lim lim lim G s s s s s K s s s s K s K 4 11 14 10 4 6 4 1 1 s s s s 4 3 2 4 3 2 4 Z 3 3 3 3 h h onde usamos a seguinte fórmula s a4 s4 4as3 6a2s2 4a3s a4 A expressão lim lim G s s K 1 s s 4 3 3 h h fornece a equação para as assíntotas O Programa 617 em MATLAB permite desenhar o gráfico do lugar das raízes de Gs e suas assíntotas Observe que o numerador e o denominador de Gs são num 1 nen 1 4 11 14 10 Para o numerador e o denominador das assíntotas lim s 3 Gs usamos numa 1 dena 1 4 6 4 1 A Figura 672 mostra o gráfico do lugar das raízes e das assíntotas Como a equação característica do sistema é s2 2s 2s2 2s 5 K 0 Programa 617 em MATLAB Gráfico do lugar das raízes num 1 den 1 4 11 14 10 numa 1 dena 1 4 6 4 1 r rlocusnumden plotr hold Current plot held plotro rlocusnumadena v 6 4 5 5 axisv axissquare grid titleGráfico do lugar das raízes e assíntota os pontos onde os lugares das raízes cruzam o eixo imaginário podem ser encontrados substituindo se s j com a equação característica como segue j2 2j 2j2 2j 5 K 4 112 10 K j 43 14 0 e igualando a parte imaginária a zero O resultado é 18708 Portanto os pontos exatos onde os lugares das raízes atravessam o eixo j são 18708 Igualando a parte real a zero constatamos que o valor do ganho K no ponto de cruzamento é 1625 330 Engenharia de controle moderno A610 Considere um sistema com realimentação unitária cuja função de transferência do ramo direto Gs é dada por G s s s s s K s 2 2 2 5 1 2 2 h h h h Desenhe o gráfico do lugar das raízes utilizando o MATLAB Solução A função de transferência do ramo direto Gs pode ser escrita como G s s s s s K s 4 11 14 10 1 4 3 2 h h Uma opção de programa MATLAB para desenhar o gráfico do lugar das raízes está no Programa 618 em MATLAB A Figura 673 mostra o gráfico resultante Programa 618 em MATLAB num 1 1 den 1 4 11 14 10 K1 0012 K2 200225 K3 250510 K4 10150 K K1 K2 K3 K4 r rlocusnumdenK plotr o v 8 2 5 5 axisv axissquare grid titleGráfico do lugar das raízes de Gs Ks1s22s2s22s5 xlabelEixo real ylabelEixo imaginário FIGURA 672 4 2 0 6 4 2 0 1 5 3 2 4 2 1 5 4 3 Eixo real Eixo imaginário Gráfico do lugar das raízes e assíntotas Gráfico do lugar das raízes e assíntotas 331 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes A611 Obtenha a função de transferência do sistema mecânico mostrado na Figura 674 Suponha que o deslocamento xi seja a entrada e o deslocamento xo seja a saída do sistema Solução Com base no diagrama obtemos as seguintes equações de movimento b2ẋi ẋo b1ẋo ẏ b1ẋo ẏ ky Considerando as transformadas de Laplace dessas duas equações e supondo as condições iniciais nulas e em seguida eliminando Ys obtemos X s X s b b b b b b k b s k b s 1 1 i o 1 2 2 1 2 2 1 1 h h FIGURA 673 3 2 1 0 1 4 5 8 2 7 6 0 1 3 2 4 5 2 1 5 4 3 Eixo real Eixo imaginário Gráfico do lugar das raízes de Gs Ks 1s2 2s 2s2 2s 5 Gráfico do lugar das raízes FIGURA 674 b2 b1 k y xi xo Sistema mecânico 332 Engenharia de controle moderno Esta é a função de transferência entre Xos e Xis Definindo 1 k b T b b b 1 1 2 2 a 1 obtemos X s X s Ts Ts s T s T 1 1 1 1 i o a a a h h Esse sistema é uma estrutura mecânica de avanço de fase A612 Obtenha a função de transferência do sistema mecânico mostrado na Figura 675 Suponha que o deslocamento xi seja a entrada e o deslocamento xo seja a saída Solução As equações do movimento desse sistema são b2ẋi ẋo k2xi xo b1ẋo ẏ b1ẋo ẏ k1 y Considerando as transformadas de Laplace dessas duas equações e supondo condições iniciais nulas obtemos b2sXis sXos k2Xis Xos b1sXos sYs b1sXos sYs k1Ys Se for eliminado Ys das duas últimas equações obteremos a função de transferência XosXis como X s X s k b s k b s k b s k b s k b s 1 1 1 1 i o 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 c c c c h h m m m m Defina T k b T k b 1 1 1 2 2 2 Se k1 k2 b1 e b2 forem escolhidos de forma que haja um β que satisfaça à seguinte equação k b k b k b T T 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 b b b h 630 FIGURA 675 b1 b2 y xi xo k2 k1 Sistema mecânico 333 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Então XosXis pode ser determinada por X s X s T s T s T s T s s T s T s T s T 1 1 1 1 1 1 1 i o 1 2 1 2 1 2 1 2 b b b b c c c e e h h m h h h m m o o Note que dependendo da escolha de k1 k2 b1 e b2 pode não haver β que satisfaça à Equação 630 Se tal β existir e for um dado s1 onde s s1 é um dos polos de malha fechada dominantes do sistema de controle para o qual desejamos usar esse dispositivo mecânico as seguintes condições são satisfeitas 1 5 0 s T s T s T s T 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 c c 1 1 Z b b e então o sistema mecânico mostrado na Figura 675 funciona como compensador de atraso e avanço de fase A613 Considere o modelo de sistema de controle de um veículo espacial mostrado na Figura 676 Projete um compensador de avanço de fase Gcs tal que o coeficiente de amortecimento z e a frequência natu ral não amortecida n dos polos dominantes de malha fechada sejam 05 e 2 rads respectivamente Solução Primeira tentativa suponha que o compensador por avanço de fase Gcs seja G s K s T s T 1 1 0 1 c c 1 1 a a J L K K K N P O O O h h A partir das especificações z 05 e n 2 rads os polos dominantes de malha fechada devem estar localizados em s 1 j 3 Devemos calcular primeiro a deficiência angular nesse polo de malha fechada Deficiência angular 120 120 108934 180 708934 Essa deficiência angular deve ser compensada por um compensador de avanço de fase Existem muitas maneiras de determinar a localização dos polos e zeros da rede de avanço de fase Vamos esco lher o zero do compensador em s 1 Então com base na Figura 677 temos a seguinte equação 034641 tg x 1 1 73205 90 70 8934 c c h ou 1 6 x 0 34641 1 73205 FIGURA 676 Rs Cs Compensador de avanço de fase Gcs Veículo espacial Sensor 1 s2 1 01s 1 Sistema de controle de veículo espacial 334 Engenharia de controle moderno Portanto G s K s s 6 1 c c h O valor de Kc pode ser determinado com base na condição de módulo 1 K s s s s 6 1 1 0 1 1 1 c s j 2 1 3 como segue 112000 K s s s s 1 6 0 1 1 c s j 2 1 3 h h Assim 112 G s s s 6 1 c h Como a função de transferência de malha aberta tornase G s G s H s s s s s s s s s 11 2 6 0 1 1 1 0 1 1 6 6 11 2 1 c 2 4 3 2 h h h h h h um gráfico do lugar das raízes do sistema compensado pode ser obtido facilmente com o MATLAB digitandose num e den e utilizandose o comando rlocus O resultado é mostrado na Figura 678 A função de transferência de malha fechada do sistema compensado tornase R s C s s s s s s s 6 0 1 1 11 2 1 11 2 1 0 1 1 2 h h h h h h h A Figura 679 mostra a curva de resposta ao degrau unitário Mesmo que o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada seja 05 o valor do sobressinal está muito acima do esperado Uma visão mais detalhada do gráfico do lugar das raízes indica que a presença do zero em s 1 aumenta o valor do máximo sobressinal Em geral se um ou mais zeros de malha fechada um ou mais zeros do compensador ficam à direita do par dominante de polos complexos conjugados então esses polos dominantes já não são mais dominantes Se um máximo sobressinal elevado não puder ser tolerado os zeros do compensador devem ser deslocados o suficiente para a esquerda FIGURA 677 j v 1 0 191066 708934 j173205 x Determinação do polo da rede de avanço de fase 335 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Nesse projeto é desejável modificar o compensador e fazer que o máximo sobressinal seja menor Isso pode ser feito pela modificação do compensador por avanço de fase como será apresentado na segunda tentativa a seguir Segunda tentativa para modificar a forma do lugar das raízes podemos utilizar duas redes por avanço de fase cada uma contribuindo com metade do ângulo de avanço de fase que é 7089342 354467 Vamos escolher a localização dos zeros em s 3 Esta é uma escolha arbitrária Podem ser feitas outras escolhas como s 25 e s 4 Uma vez escolhidos os dois zeros em s 3 a localização necessária dos polos pode ser deter minada como mostra a Figura 680 ou 54466 009535 tg tg y 1 1 73205 40 89334 35 4467 c c c h FIGURA 678 Eixo real 10 5 10 5 0 Eixo imaginário 0 10 5 5 10 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado FIGURA 679 t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 Saída 05 15 0 1 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado Resposta ao degrau unitário do sistema compensado 336 Engenharia de controle moderno do que resulta 1 191652 y 0 09535 1 73205 Então o compensador por avanço de fase terá a seguinte função de transferência G s K s s 19 1652 3 c c 2 c h m O valor de Kc pode ser determinado com base na condição de módulo como segue 1 K s s s s 19 1652 3 1 0 1 1 1 c s j 2 2 1 3 c m ou Kc 1743864 Então o compensador por avanço de fase projetado é 1743864 G s s s 19 1652 3 c 2 c h m Assim a função de transferência de malha aberta tornase 1743864 G s G s H s s s s s 19 1652 3 1 0 1 1 1 c 2 2 c h h h m A Figura 681a mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Note que não existe zero de malha fechada próximo à origem Uma visão ampliada do gráfico do lugar das raízes próximo à origem é mostrada na Figura 681b A função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s s s 19 1652 0 1 1 174 3864 3 174 3864 3 0 1 1 2 2 2 2 h h h h h h h Os polos de malha fechada encontrados são os seguintes s 1 j173205 s 91847 j74814 s 279606 FIGURA 680 20 16 12 8 4 1 0 j v 354467 4089334 j173205 y Determinação do polo da rede de avanço de fase 337 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes As figuras 682a e b mostram as respostas ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensado A curva de resposta ao degrau unitário é razoável e a resposta à rampa unitária parece aceitável Observe que na resposta à rampa unitária a saída está um pouco adiantada em relação à entrada Isso ocorre porque o sistema tem uma função de transferência de realimentação igual a 101s 1 Se for construído o gráfico do sinal de realimentação em função de t juntamente com a entrada em rampa unitária notase que em regime permanente o primeiro não estará à frente da entrada em rampa Veja a Figura 682c FIGURA 681 Eixo real 25 30 0 10 5 5 15 20 10 a Eixo imaginário 10 5 15 0 10 15 5 20 20 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Polos de malha fechada Eixo real 4 1 0 2 2 3 1 b Eixo imaginário 2 1 3 1 2 3 0 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo a origem Polos de malha fechada a Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado b gráfico do lugar das raízes próximo à origem 338 Engenharia de controle moderno FIGURA 682 t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 a Saída 04 08 14 0 12 06 1 02 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado t s 1 0 5 4 2 3 b Entrada em rampa unitária e saída 15 25 35 2 3 0 05 1 4 45 5 Resposta à rampa unitária do sistema compensado Saída t s 1 0 5 4 2 3 c Entrada em rampa unitária e sinal de realimentação 15 25 35 2 3 0 05 1 4 45 5 Sinal de realimentação na resposta à rampa unitária Sinal de realimentação a Resposta ao degrau unitário do sistema compensado b resposta à rampa unitária do sistema compensado c gráfico do sinal de realimentação em função de t na resposta à rampa unitária 339 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes A614 Considere um sistema com uma planta instável como mostra a Figura 683a Utilizando o método do lugar das raízes projete um controlador proporcionalderivativo isto é determine os valores de Kp e de Td para que o coeficiente de amortecimento z do sistema de malha fechada seja 07 e a frequência natural não amortecida n seja 05 rads Solução Note que a função de transferência de malha aberta possui dois polos em s 1085 e s 1085 e um zero em s 1Td que ainda não é conhecido Como os polos de malha fechada desejados devem ter n 05 rads e z 07 eles devem estar situados em 05 s 180 c 45 573 c z 07 corresponde a uma reta cujo ângulo com o eixo real negativo é de 45573 Assim os polos de malha fechada desejados estão em s 035 j0357 Os polos de malha aberta e o polo desejado de malha fechada no semiplano superior estão localizados no diagrama da Figura 683b A deficiência angular no ponto s 035 j0357 é 166026 25913 180 11939 Isso significa que o zero em s 1Td deve contribuir com 11939 o qual por sua vez determina a localização do zero como segue 2039 s T 1 d FIGURA 683 a b Kp1 Tds 1 10000 s2 11772 0 j v 45573 j3 j2 j1 j1 j3 j2 25913 166026 Polo de malha fechada 1085 2 1085 4 3 2039 a Controle PD de uma planta instável b gráfico do lugar das raízes do sistema 340 Engenharia de controle moderno Portanto temse K T s K T T s K T s 1 1 2 039 p d p d d p d e h o h 631 O valor de Td é 04904 T 2 039 1 d O valor do ganho Kp pode ser determinado com base na condição de módulo como segue 1 K T s s 10000 1 1772 2 039 p d s j 2 0 35 0 357 h ou KpTd 69995 Então 14273 K 0 4904 6999 5 p Substituindo os valores numéricos de Td e Kp na Equação 631 obtemos Kp1 Td s 142731 04904s 69995s 2039 que é a função de transferência do controlador proporcionalderivativo desejado A615 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 684 Projete um compensador por atraso de fase Gcs tal que a constante de erro estático de velocidade Kυ seja 50 s1 sem modificar apreciavelmente a localização original dos polos de malha fechada que estão em s 2 j 6 Solução Suponha que a função de transferência do compensador por atraso de fase seja G s K s T s T 1 1 1 c c 2 b b t h h Como Kυ foi especificado em 50 s1 temse 25 50 lim K sG s s s K 4 10 s c c 0 b y t h h Assim Kcβ 20 Agora escolha K c 1 Então β 20 Escolha T 10 Então o compensador por atraso de fase pode ser dado por G s s s 0 005 0 1 c h A contribuição angular do compensador por atraso de fase no polo s 2 j 6 de malha fechada é FIGURA 684 Gcs Rs Cs 10 ss 4 Sistema de controle 341 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes tg tg G s 1 9 6 1 995 6 1 3616 s j c 2 6 1 1 c h que é pequena O valor de Gcs em s 2 j6 é 0981 Portanto a modificação na posição dos polos dominantes de malha fechada também é muito pequena A função de transferência de malha aberta do sistema tornase G s G s s s 0 005 s s 0 1 4 10 c h h h A função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s 4 005 10 02 1 10 1 3 2 h h Para comparar as características da resposta transitória antes e depois da compensação as res postas ao degrau unitário e à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado são mostradas nas figuras 685a e b respectivamente O erro estacionário na resposta à rampa unitária é mostrado na Figura 685c O compensador por atraso de fase projetado é aceitável FIGURA 685 t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 a Saídas 04 08 0 12 06 1 02 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 b Rampa de entrada e saída 2 4 0 6 3 5 1 7 8 9 10 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compesando Sistema não compensado com erro estacionário de 04 Sistema compensado com erro estacionário de 002 t s 36 355 35 385 395 38 39 40 37 365 375 c Rampa de entrada e saídas 375 385 40 35 395 38 39 355 37 365 36 Resposta à rampa unitária 35 t 40 Sistema não compensado Sistema compensado a Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado b respostas à rampa unitária de ambos os sistemas c respostas à rampa unitária que mostra os erros estacionários 342 Engenharia de controle moderno A616 Considere um sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência do ramo direto é dada por G s s s 2 s 8 10 h h h Projete um compensador que os polos de malha fechada dominantes estejam localizados em s 2 j2 3 e a constante de erro estático de velocidade Kυ seja igual a 80 s1 Solução A constante de erro estático de velocidade do sistema não compensado é Kυ 16 10 0625 Como desejamos Kυ 80 tornase necessário multiplicar o ganho de malha aberta por 128 Isso significa que necessitamos também de um compensador por atraso de fase O gráfico do lugar das raízes do sistema sem compensação mostra que não é possível trazer os polos domi nantes de malha fechada para 2 j2 3 apenas pelo ajuste do ganho Veja a Figura 686 Isso significa que também é necessário um compensador por avanço de fase Então utilizaremos um compensador por atraso e avanço de fase Vamos supor que a função de transferência do compensador por atraso e avanço de fase seja G s K s T s T s T s T 1 1 1 c 1 1 2 2 b b J L K K KK J L K K KK N P O O OO N P O O OO h onde Kc 128 Isso porque 80 lim lim K sG s G s sK G s K 16 10 s c s c c 0 0 y h h h e obtemos Kc 128 A deficiência angular no polo desejado de malha fechada s 2 j2 3 é Deficiência angular 120 90 30 180 60 A parte de avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase deve contribuir com 60º Para escolhermos T1 podemos utilizar o método gráfico apresentado na Seção 68 A parte relativa ao avanço de fase deve satisfazer às seguintes condições 1 s T s T G s 128 1 s j 1 1 1 1 1 2 2 3 1 b J L K K K N P O O O h FIGURA 686 Eixo real 10 5 10 5 0 Eixo imaginário 10 10 6 6 8 4 0 2 2 8 4 Gráfico do lugar das raízes de Gs 10ss 2s 8 Polo desejado de malha fechada Polo complexo conjugado em malha fechada Gráfico do lugar das raízes de Gs 10ss 2s 8 343 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes e 60 s T s T 1 s j 1 1 1 1 2 2 3 1 c b A primeira condição pode ser simplificada como segue s T s T 1 13 3333 1 s j 1 1 1 1 2 2 3 1 b Utilizando o mesmo método da Seção 68 o zero s 1T1 e o polo s βT1 podem ser deter minados como segue 370 5335 T T 1 1 1 b Veja a Figura 687 O valor de β fica determinado como β 14419 Para a porção de atraso de fase do compensador escolhemos 001 T 1 b 2 Então 01442 T 1 2 Notando que 09837 s s 0 01 0 1442 s j 1 1 2 2 3 1 1697 s s 0 01 0 1442 s j 1 1 2 2 3 1 c a contribuição angular da parte de atraso de fase é 1697 e a contribuição de módulo é 09837 Isso significa que os polos de malha fechada dominantes ficam próximos da localização desejada s 2 j2 3 Assim o compensador projetado FIGURA 687 5335 133333x 370 60 x j v s1 0 Determinação gráfica do zero e do polo da parte de avanço de fase do compensador 344 Engenharia de controle moderno 128 G s s s s s 53 35 3 70 0 01 0 1442 c c c h m m é aceitável A função de transferência do ramo direto do sistema tornase G s G s s s s s s s s 53 35 0 01 2 8 1 280 3 7 0 1442 c h h h h h h h h Um gráfico do lugar das raízes do sistema compensado é mostrado na Figura 688a Um gráfico ampliado do lugar das raízes próximo à origem é exposto na Figura 688b Para constatar a melhora do desempenho do sistema compensado veja as respostas ao degrau uni tário e à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado mostrados nas figuras 689a e b respectivamente FIGURA 688 Eixo real 40 60 20 60 40 20 0 a Eixo imaginário 60 60 40 40 0 20 20 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Eixo real 10 5 10 5 0 b Eixo imaginário 10 10 8 6 8 6 0 4 2 2 4 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo à origem Polos desejados de malha fechada a Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado b gráfico do lugar das raízes próximo à origem 345 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes A617 Considere o sistema mostrado na Figura 690 Projete um compensador por atraso e avanço de fase de forma que a constante de erro estático de velocidade Kυ seja 50 s1 e o coeficiente de amor tecimento z dos polos dominantes de malha fechada seja 05 Escolha o zero da porção de avanço de fase do compensador por atraso e avanço de modo que cancele o polo em s 1 da planta Determine todos os polos de malha fechada do sistema compensado FIGURA 689 t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 a Saídas 04 08 14 0 12 06 1 02 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 b Saídas 3 5 0 9 4 7 1 8 6 2 10 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado a Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado b respostas à rampa unitária de ambos os sistemas FIGURA 690 1 ss 1 s 5 Gcs Sistema de controle 346 Engenharia de controle moderno Solução Vamos utilizar o compensador por atraso e avanço de fase dado por G s K s T s T s T s T K T s T s T s T s 1 1 1 1 1 1 1 c c c 1 1 2 2 1 2 1 2 b b b b J L K K K J L K K K c N P O O O N P O O O h m h h h onde β 1 Então lim lim K sG s G s s T s T K T s T s s s s K 1 1 1 1 1 5 1 5 s c s c c 0 0 1 2 1 2 b b y c h h m h h h h h A especificação Kυ 50 sec1 determina o valor de Kc ou Kc 250 Escolhemos agora T1 1 para que s 1T1 cancele o termo s 1 da planta A parte de avanço de fase tornase então s s 1 b Para a parte de atraso de fase do compensador é requerido 1 5 s T s T s T s T 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 c c 1 1 Z b b onde s s1 é um dos polos dominantes de malha fechada Observandose esses requisitos para a parte de atraso de fase do compensador para s s1 a função de transferência de malha aberta tornase G s G s K s s s s s K s s s 1 1 5 1 5 1 c c c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Z b b c h h m h h h h Então em s s1 as seguintes condições de módulo e de ângulo devem ser satisfeitas 1 K s s s 5 1 c 1 1 1 b h h 632 180 K s s s k 5 1 2 1 c 1 1 1 c b h h h 633 onde k 0 1 2 Nas equações 632 e 633 β e s1 são desconhecidos Sendo o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada especificado como z 05 o polo de malha fechada s s1 pode ser escrito como s1 x j 3 x onde x ainda é indeterminado Note que a condição de módulo Equação 632 pode ser reescrita como 1 x j x x j x x j x K 3 3 5 3 c b h h h Observando que Kc 250 temos 125 x x x x x 3 5 3 2 2 2 2 b h h 634 347 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes A condição de ângulo Equação 633 pode ser reescrita como 120 180 tg tg K x j x x j x x j x x x x x 3 3 5 3 1 3 5 3 c 1 1 c c b b e e h h h o o ou 60 tg tg x x x x 3 5 3 1 1 c b e e o o 635 Devemos resolver as equações 634 e 635 para β e x Utilizando o método de tentativa e erro é possível obtermos os seguintes resultados β 16025 x 19054 Assim s1 19054 j 3 19054 19054 j33002 A parte de atraso de fase do compensador por atraso e avanço de fase pode ser determinada a seguir Notando que o polo e o zero da parte de atraso de fase do compensador devem estar localizados perto da origem podemos escolher 001 T 1 b 2 Ou seja 016025 625 T T 1 ou 2 2 Com a escolha de T2 625 encontramos s T s T j j j j 1 1 1 9054 3 3002 0 01 1 9054 3 3002 0 16025 1 89054 3 3002 1 74515 3 3002 0 98 1 1 2 1 2 Z b 636 e 1937 tg tg s T s T j j 1 1 1 9054 3 3002 0 01 1 9054 3 3002 0 16025 1 74515 3 3002 1 89054 3 3002 1 2 1 2 1 1 c b e e o o 637 Como 5 1937 0 nossa escolha de T2 625 é aceitável Então o compensador por atraso e avanço de fase que acabamos de projetar pode ser escrito como 250 G s s s s s 16 025 1 0 01 0 16025 c c c h m m Consequentemente o sistema compensado tem a seguinte função de transferência de malha aberta G s G s s s s s s 0 01 5 16 025 250 0 16025 c h h h h h h 348 Engenharia de controle moderno Um gráfico do lugar das raízes do sistema compensado é apresentado na Figura 691a Uma ampliação do gráfico do lugar das raízes próximo à origem é mostrada na Figura 691b A função de transferência de malha fechada tornase R s C s s s s s s s 0 01 5 16 025 250 0 16025 250 0 16025 h h h h h h h Os polos de malha fechada ficam localizados em s 18308 j32359 s 01684 s 17205 Note que os polos dominantes de malha fechada s 18308 j32359 diferem dos polos domi nantes de malha fechada s s1 admitidos no cálculo de β e T2 Pequenos desvios dos polos dominantes de malha fechada 18308 j32359 em relação a s s1 19054 j33002 são causados pelas aproximações ocorridas na determinação da parte de atraso de fase do compen sador Veja as equações 636 e 637 FIGURA 691 Eixo real 20 5 0 10 10 15 5 a Eixo imaginário 5 5 15 0 10 10 15 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Eixo real 1 05 05 1 0 b Eixo imaginário 06 0 06 02 02 1 1 08 04 08 04 Gráfico do lugar das raízes do sistema próximo à origem a Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado b gráfico do lugar das raízes próximo à origem 349 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes As figuras 692a e b mostram a resposta ao degrau unitário e à rampa unitária respectivamente do sistema projetado Note que o polo de malha fechada em s 01684 quase cancela o zero em s 016025 Entretanto esse par de polo e zero de malha fechada localizado próximo à origem produz uma cauda alongada de pequena amplitude Como o polo de malha fechada em s 17205 está localizado muito longe à esquerda em relação aos polos de malha fechada em s 18308 j32359 o efeito desse polo real na resposta do sistema é muito pequeno Portanto os polos de malha fechada em s 18308 j32359 são na verdade os polos dominantes de malha fechada que determinam as características da resposta do sistema de malha fechada Na resposta à rampa unitária o erro estacionário de acompanhamento à rampa de entrada tornase 1Kυ 50 1 002 A618 A Figura 693a é um diagrama de blocos do modelo de um sistema de controle de variação de posição A função de transferência de malha fechada desse sistema é R s C s s s s s s j s j s s 0 1 6 0 1 2 0 1 0 0417 2 4489 0 0417 2 4489 0 0167 2 0 05 3 2 h h h h h h FIGURA 692 t s 4 2 0 14 12 8 6 10 a Saída 04 08 14 0 12 06 1 02 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 b Saída 3 7 0 9 4 8 2 6 5 1 10 Resposta à rampa unitária do sistema compensado a Resposta ao degrau unitário do sistema compensado b resposta à rampa unitária do sistema compensado 350 Engenharia de controle moderno A resposta ao degrau unitário desse sistema é mostrada na Figura 693b A resposta mostra oscilações de alta frequência no início em razão dos polos em s 00417 j24489 A resposta é dominada pelo polo em s 00167 O tempo de acomodação é aproximadamente 240 s É desejável acelerar a resposta e também eliminar o modo oscilatório no início da resposta Projete um compensador adequado que os polos dominantes de malha fechada estejam em s 2 j2 3 Solução A Figura 694 mostra um diagrama de blocos do sistema compensado Note que o zero de malha aberta em s 005 e o polo em s 0 geram um polo de malha fechada entre s 0 e s 005 Esse polo de malha fechada tornase um polo dominante de malha fechada e faz que a resposta seja muito lenta Então é necessário substituir esse zero por um zero que esteja localizado longe do eixo j por exemplo um zero em s 4 Agora escolhemos um compensador da seguinte maneira G s G s s s 2 0 1 4 c c t h h FIGURA 693 Tempo s 50 0 200 300 250 100 150 b Amplitude 03 06 0 1 04 07 01 09 08 05 02 Resposta ao degrau unitário do sistema não compensado Rs Cs 1 Giroscópio de velocidade Servomecanismo hidráulico Aeronave 1 s 2s 01 s2 01s 4 a a Sistema de controle de variação de posição b resposta ao degrau unitário FIGURA 694 Gcs Rs Cs 1 Giroscópio de velocidade Servomecanismo hidráulico Aeronave 1 s 2s 01 s2 01s 4 Sistema de controle de variação de posição 351 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Então a função de transferência de malha fechada do sistema compensado tornase G s G s G s s s s s s s G s s s s s 2 0 1 4 1 0 1 4 2 0 1 0 1 4 4 c c c 2 2 t t h h h h h Para determinar Ĝcs pelo método do lugar das raízes necessitamos encontrar a deficiência angular no polo desejado de malha fechada em s 2 j2 3 A deficiência angular pode ser encontrada como segue Deficiência angular 143088 120 109642 60 180 13273 Portanto o compensador de avanço Ĝcs deve acrescentar 13273 Como a deficiência angular é 13273 são necessários dois compensadores por avanço de fase cada um contribuindo com 66365 Assim Ĝcs terá a seguinte forma G s K s s s s c c p z 2 t e h o Suponha que tenham sido escolhidos dois zeros em s 2 Então os dois polos dos compensa dores podem ser obtidos a partir da relação 04376169 tg s 2 3 4641 90 66 365 p c c h ou s 2 0 4376169 3 4641 9 9158 p Veja a Figura 695 Portanto G s K s s 9 9158 2 c c 2 t c h m O compensador completo Gcs para esse sistema será G s G s s s K s s s s 2 0 1 4 9 9158 2 2 0 1 4 c c c 2 2 t h h h h O valor de Kc pode ser determinado com base na condição de módulo Como a função de trans ferência de malha aberta é FIGURA 695 2 4 6 2 0 4 8 10 12 j4 j2 j4 j2 66365 sp s 2 j2 3 j v Polo e zero de Gˆ cs 352 Engenharia de controle moderno G s G s K s s s s s s 9 9158 0 1 4 2 4 c c 2 2 2 h h h h h h a condição de módulo tornase 1 K s s s s s s 9 9158 0 1 4 2 4 c s j 2 2 2 2 2 3 h h h h Então K s s s s s s 2 4 9 9158 0 1 4 88 0227 c s j 2 2 2 2 2 3 h h h h Assim o compensador Gcs tornase 880227 G s s s s s 9 9158 2 0 1 2 4 c 2 2 h h h h h A função de transferência de malha aberta é dada por G s G s s s s s s s 9 9158 0 1 4 88 0227 2 4 c 2 2 2 h h h h h h O gráfico do lugar das raízes do sistema compensado é mostrado na Figura 696 Os polos de malha fechada desse sistema compensado estão indicados no gráfico Os polos de malha fechada raízes da equação característica s 991582ss2 01s 4 880227s 22s 4 0 são os seguintes s 20000 j34641 s 75224 j65326 s 08868 Agora que o compensador foi projetado vamos examinar as características da resposta transitória utilizando o MATLAB A função de transferência de malha fechada é dada por FIGURA 696 Eixo real 15 10 5 15 5 10 0 Eixo imaginário 10 0 10 5 5 15 15 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Polos de malha fechada Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado 353 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes R s C s s s s s s s s s 9 9158 0 1 4 88 0227 2 4 88 0227 2 4 2 2 2 2 h h h h h h h h As figuras 697a e b mostram os gráficos de resposta ao degrau unitário e da resposta à rampa unitária do sistema compensado Essas curvas de resposta mostram que o sistema projetado é aceitável A619 Considere o sistema mostrado na Figura 698a Determine o valor de a de modo que o coeficiente de amortecimento z dos polos dominantes de malha fechada seja 05 Solução A equação característica é 1 0 s s s s a 1 8 10 h h h A variável a não é um fator de multiplicação Então devemos modificar a equação característica Assim a equação característica pode ser escrita como FIGURA 697 t s 1 05 0 35 45 3 4 5 2 15 25 a Saída 04 08 14 0 12 06 1 02 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado t s 0 5 4 6 2 1 3 b Entrada e saída 2 4 6 0 3 5 1 Resposta à rampa unitária do sistema compensado a Resposta ao degrau unitário do sistema compensado b resposta à rampa unitária do sistema compensado 354 Engenharia de controle moderno s3 9s2 18s 10a 0 reescrevemos essa equação de modo que a apareça como um fator de multiplicação como segue 1 0 s s s a 9 18 10 2 h Defina 10a K Então a equação característica tornase 1 0 s s s K 9 18 2 h Note que a forma dessa equação característica é adequada para a construção do lugar das raízes Esse sistema possui três polos e nenhum zero Os três polos estão em s 0 s 3 e s 6 Existe um ramo do lugar das raízes sobre o eixo real entre os pontos s 0 e s 3 Existe também outro ramo entre os pontos s 6 e s As assíntotas do lugar das raízes serão encontradas como segue  í 60 60 180 ngulos das ass ntotas k 3 180 2 1 c c c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real é obtida a partir de 3 s 3 0 3 6 Os pontos de partida do eixo real e de chegada no eixo real podem ser determinados a partir de dKds 0 onde K s3 9s2 18s Agora definimos FIGURA 698 a b s a s 8 10 ss 1 j4 j3 j2 j4 j3 j2 j1 0 1 1 3 5 7 2 2 4 6 j v 60 K 28 K 28 j1 j6 j6 j5 j5 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes onde K 10a 355 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes ds dK 3s2 18s 18 0 de onde vem s2 6s 6 0 ou s 1268 s 4732 O ponto s 1268 está sobre um ramo do lugar das raízes Consequentemente o ponto s 1268 é de fato um ponto de partida do eixo real Entretanto o ponto s 4732 não está sobre o lugar das raízes e portanto não é ponto nem de partida nem de chegada Em seguida vamos determinar os pontos em que os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário Substituindo s j na equação característica que é s3 9s2 18s K 0 resulta em j3 9j2 18j K 0 ou K 92 j18 2 0 de onde obtemos 3 2 K 92 162 ou 0 K 0 Os pontos de cruzamento estão em 3 2 e o valor correspondente do ganho K é 162 Um ramo do lugar das raízes também toca o eixo imaginário em 0 A Figura 698b mostra um esboço do lugar das raízes do sistema Como o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada foi especificado como 05 o polo de malha fechada desejado no semiplano superior do plano s fica localizado na intersecção do ramo do lugar das raízes nesse semiplano s com a reta que tem uma inclinação de 60º em relação ao semieixo real negativo Os polos dominantes de malha fechada desejados ficam localizados em s 1 j1732 s 1 j1732 Nesses pontos o valor do ganho K é 28 Então a K 10 28 Como o sistema possui dois ou mais polos do que zeros de fato três polos e nenhum zero o terceiro polo pode ser localizado no eixo real negativo com base no fato de que a soma dos três polos de malha fechada seja 9 Então concluise que o terceiro polo está em s 9 1 j1732 1 j1732 ou s 7 A620 Considere o sistema mostrado na Figura 699a Desenhe o lugar das raízes do sistema com realimentação de velocidade em que o ganho k varia de zero a infinito Determine o valor de k de modo que os polos de malha fechada tenham o coeficiente de amortecimento z igual a 07 Solução A função de transferência de malha aberta é çã ê Fun o de transfer ncia de malha aberta s k s 1 10 10 h Como k não é um fator de multiplicação modificamos a equação de modo que k apareça como tal Sendo a equação característica s2 s 10ks 10 0 356 Engenharia de controle moderno reescrevemos a equação como segue 1 0 s s ks 10 10 2 638 Defina 10k K Então a Equação 638 tornase 1 0 s s Ks 10 2 Observe que o sistema tem um zero em s 0 e dois polos em s 05 j31225 Como esse siste ma possui dois polos e um zero é possível que exista um lugar das raízes circular De fato esse sistema tem um lugar das raízes circular como veremos Como a condição de ângulo é 180 s s Ks k 10 2 1 2 c h temos 180 s s j s j k 0 5 3 1225 0 5 3 1225 2 1 c h Substituindo s v j nessa última equação e reorganizando os termos obtemos 180 j j j k 0 5 3 1225 0 5 3 1225 2 1 c v v v h h h que pode ser reescrita como 180 tg tg tg k 0 5 3 1225 0 5 3 1225 2 1 1 1 1 c v v v c c c m m m h Considerando as tangentes de ambos os lados dessa última equação obtemos 1 0 5 3 1225 0 5 3 1225 0 5 3 1225 0 5 3 1225 v v v v v c mc m FIGURA 699 Rs Cs 1 s k j v a b 10 s 1 j4 j3 j2 j1 j1 j3 j2 j4 0 1 1 4 6 2 3 5 7 2 K 3427 4557 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes onde K 10k 357 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes que pode ser simplificada para 0 5 3 1225 2 0 5 2 2 2 v v v h h h ou v2 10 2 0 do que resulta 0 ou v2 2 10 Note que 0 corresponde ao eixo real O eixo real negativo entre s 0 e s corresponde a K 0 e o eixo real positivo corresponde a K 0 A equação v2 2 10 é uma equação de uma circunferência com centro em v 0 0 e raio igual a 10 A parte dessa circunferência que está à esquerda dos polos complexos corresponde ao lugar das raízes para K 0 A parte da circunferência que fica à direita dos polos complexos corresponde ao lugar das raízes para K 0 A Figura 699b mostra o gráfico do lugar das raízes para K 0 Como desejamos z 07 para os polos de malha fechada determinamos a intersecção do ramo cir cular do lugar das raízes com uma reta que forma um ângulo de 4557 note que cos 4557 07 com o semieixo real negativo A intersecção está em s 2214 j2258 O ganho K correspondente a esse ponto é 3427 Então o valor desejado do ganho k do ramo de realimentação de velocidade é k K 10 03427 Problemas B61 Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema de controle de malha fechada sendo 1 G s s K s H s 1 2 h h h B62 Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema de controle de malha fechada sendo 1 G s s s s s K H s 1 4 5 2 h h h h B63 Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema sendo 1 G s s s s s K H s 0 5 0 6 10 2 h h h h B64 Trace o gráfico do lugar das raízes para um sistema de controle sendo 1 G s s s K s s H s 2 10 6 10 2 2 h h h são arcos do círculo cujo centro é a origem e cujo raio é igual a 10 B65 Trace o gráfico do lugar das raízes para um sistema de controle de malha fechada sendo 1 G s s s K s H s 3 6 0 2 2 h h h h B66 Trace o gráfico do lugar das raízes para um sistema de controle de malha fechada sendo 1 G s s s s K s H s 4 11 9 2 h h h h 358 Engenharia de controle moderno Situe os polos de malha fechada no lugar das raízes cujos polos dominantes tenham coeficiente de amortecimento igual a 05 Determine o valor correspondente ao ganho K B67 Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 6100 Determine o intervalo de valores do ganho K que corresponde à estabilidade B68 Considere um sistema de controle com realimentação unitária com a seguinte função de trans ferência de ramo direto G s s s s K 4 8 2 h h Desenhe o lugar das raízes do sistema Se o valor do ganho K for igual a 2 onde se situam os polos de malha fechada B69 Considere o sistema no qual a função de transferência de malha aberta é dada por G s H s s s s K s 3 3401 7 0325 0 6667 4 3 2 h h h Mostre que a equação para as assíntotas é dada por G s H s s s s K 4 0068 5 3515 2 3825 a a 3 2 h h Trace o gráfico do lugar das raízes e das assíntotas do sistema utilizando o MATLAB B610 Considere o sistema com realimentação unitária em que a função de transferência de ramo direto é G s s s K 1 h h O lugar de ganho constante do sistema para dado valor de K é definido pela seguinte equação 1 s s K 1 h Mostre que os lugares de ganho constante para 0 K podem ser dados por vv 1 22 2 K2 Esboce os lugares de ganho constante para K 1 2 5 10 e 20 no plano s B611 Considere o sistema mostrado na Figura 6101 Trace o gráfico do lugar das raízes utilizando o MATLAB Situe os polos de malha fechada para o ganho K for igual a 2 FIGURA 6100 2 s2 s 2 s 1 s 5 K Rs Cs Sistema de controle FIGURA 6101 1 s 1 Ks 1 ss2 2s 6 Sistema de controle 359 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes B612 Trace os gráficos do lugar das raízes para os sistemas de fase não mínima mostrados na Figura 6102a e b respectivamente B613 Considere o sistema mecânico mostrado na Figura 6103 que consiste em uma mola e dois amortecedores Obtenha a função de transferência do sistema O deslocamento xi é a entrada e o deslocamento xo é a saída Nesse sistema a estrutura mecânica é de avanço de fase ou de atraso de fase B614 Considere o sistema mostrado na Figura 6104 Desenhe o gráfico do lugar das raízes do sistema Determine o valor de K para que o coeficiente de amortecimento z dos polos dominantes de malha fechada seja 05 Em seguida determine todos os polos de malha fechada Trace o diagrama das curvas de resposta ao degrau unitário usando o MATLAB FIGURA 6102 Ks 1 s 2 s 4 G1s a b K1 s s 2 s 4 G2s a e b Sistema de fase não mínima FIGURA 6103 b2 b1 k xi xo Sistema mecânico FIGURA 6104 K ss2 4s 5 Sistema de controle 360 Engenharia de controle moderno B615 Determine os valores de K T1 e T2 do sistema mostrado na Figura 6105 para que os polos domi nantes de malha fechada tenham coeficiente de amortecimento z 05 e a frequência natural não amortecida n 3 rads B616 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 6106 Determine o ganho K e a constante de tempo T do controlador Gcs tal que os polos de malha fechada estejam localizados em s 2 j2 B617 Considere o sistema mostrado na Figura 6107 Projete um compensador de avanço de fase que os polos dominantes estejam localizados em s 2 j2 3 Trace a curva de resposta ao degrau unitário do sistema projetado com o MATLAB B618 Considere o sistema mostrado na Figura 6108 Projete um compensador de modo que os polos dominantes de malha fechada fiquem localizados em s 1 j1 FIGURA 6105 C R T1s 1 K T2s 1 10 ss 1 Sistema de controle FIGURA 6106 1 ss 2 KTs 1 Gcs Gs Sistema de controle FIGURA 6107 Gcs 5 s05s 1 Sistema de controle FIGURA 6108 Gcs 1 s2 Compensador de avanço de fase Veículo espacial Sistema de controle 361 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes B619 Considerando o sistema mostrado na Figura 6109 projete um compensador cuja constante de erro estático Kυ seja 20 s1 sem modificação apreciável da localização original s 2 j2 3 do par de polos complexos conjugados de malha fechada B620 Considere o sistema de posicionamento angular mostrado na Figura 6110 Os polos dominantes de malha fechada estão localizados em s 360 j480 O coeficiente de amortecimento z dos polos dominantes de malha fechada é 06 A constante de erro estático de velocidade Kυ é 41 s1 o que significa que para uma entrada em rampa de 360s o erro estático de acompanhamento da rampa é 41 360 878 s s e K i c 1 c i y y Desejase diminuir eυ para um décimo do valor atual ou aumentar o valor da constante de erro estático de velocidade Kυ para 41 s1 Desejase também manter o coeficiente de amortecimento z dos polos dominantes de malha fechada em 06 É permitida uma pequena modificação na frequência natural não amortecida n dos polos dominantes de malha fechada Projete um com pensador por atraso de fase apropriado para aumentar a constante de erro estático de velocidade conforme desejado B621 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 6111 Projete um compensador de modo que os polos dominantes de malha fechada estejam localizados em s 2 j2 3 e a constante de erro estático de velocidade Kυ seja 50 s1 FIGURA 6109 Gcs 16 ss 4 Sistema de controle FIGURA 6110 Gcs 820 ss 10 s 20 Sistema de posicionamento angular FIGURA 6111 Gcs 10 ss 2 s 5 Sistema de controle 362 Engenharia de controle moderno B622 Considere o sistema mostrado na Figura 6112 Projete um compensador tal que a curva de resposta ao degrau unitário apresente um máximo sobressinal de 30 ou menos e o tempo de acomodação seja de 3 s ou menos B623 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 6113 Projete um compensador de modo que a curva de resposta ao degrau unitário apresente um máximo sobressinal de 25 ou menos e o tempo de acomodação seja de 5 s ou menos B624 Considere o sistema de controle com realimentação de velocidade mostrado na Figura 6114 Determine os valores do ganho do amplificador K e do ganho da realimentação de velocidade Kh de modo que sejam satisfeitas as seguintes especificações 1 Coeficiente de amortecimento dos polos de malha fechada de 05 2 Tempo de acomodação 2 s 3 Constante de erro estático de velocidade Kυ 50 s1 4 0 Kh 1 B625 Considere o sistema mostrado na Figura 6115 O sistema possui realimentação de velocidade Determine o valor do ganho K de modo que os polos dominantes de malha fechada tenham um coeficiente de amortecimento igual a 05 Utilizando o ganho K assim determinado obtenha a resposta ao degrau unitário do sistema FIGURA 6112 Gcs 2s 1 ss 1 s 2 Sistema de controle FIGURA 6113 Gcs 1 s2 s 4 Sistema de controle FIGURA 6114 Rs Cs 1 s Kh K 2s 1 Sistema de controle 363 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes B626 Considere o sistema mostrado na Figura 6116 Construa o gráfico do lugar das raízes quando a varia de zero a Determine o valor de a para que o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada seja 05 B627 Considere o sistema mostrado na Figura 6117 Desenhe o gráfico do lugar das raízes para valores de k que variem de 0 a Qual é o valor de k para que o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada seja 05 Determine a constante de erro estático de velocidade do sistema para esse valor de k B628 Considere o sistema mostrado na Figura 6118 Supondo que o valor do ganho K varie de 0 a construa o gráfico do lugar das raízes quando Kh 01 03 e 05 Compare as respostas ao degrau unitário do sistema para os três casos a seguir 1 K 10 Kh 01 2 K 10 Kh 03 3 K 10 Kh 05 FIGURA 6115 Rs Cs 1 s 02 K s 1 s 2 Sistema de controle FIGURA 6117 s 14 s 5 10 ss 1 ks s 10 Sistema de controle FIGURA 6116 s a 2 s2 s 2 Sistema de controle 364 Engenharia de controle moderno FIGURA 6118 Rs Cs 1 s Kh K s 1 Sistema de controle 365 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 7 C A P Í T U L O 71 Introdução O termo resposta em frequência significa a resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal Nos métodos de resposta em frequência variamos a frequência do sinal de entrada dentro de certo intervalo e estudamos a resposta resultante Neste capítulo apresentamos os métodos de resposta em frequência para análise e projeto de sistemas de controle A informação que obtemos com base nessa análise é diferente da que é obtida na análise com base no lugar das raízes De fato os métodos da resposta em frequência e do lugar das raízes são complementares Uma vantagem do método da resposta em frequência é que podemos utilizar os dados obtidos diretamente a partir das medições feitas nos sistemas físicos sem a necessidade de recorrermos aos respectivos modelos matemáticos Em muitos projetos práticos de sistemas de controle ambos os métodos são empregados Os engenheiros de controle devem estar familiarizados com os dois Os métodos de resposta em frequência foram desenvolvidos entre as décadas de 1930 e 1940 por Nyquist Bode Nichols e muitos outros Os métodos de resposta em frequência são dos mais pode rosos na teoria de controle convencional Também são indispensáveis na teoria de controle robusto O critério de estabilidade de Nyquist nos possibilita pesquisar tanto a estabilidade absoluta como a relativa dos sistemas lineares de malha fechada com base no conhecimento de suas características de resposta em frequência de malha aberta Uma vantagem do método de resposta em frequência é que seus testes são em geral simples e podem ser realizados com exatidão com a utilização de geradores de sinais senoidais facilmente acessíveis e equipamentos de medição precisos Muitas vezes as funções de transferência de componentes complicados podem ser determinadas experimentalmente por meio de testes de resposta em frequência Além disso o enfoque dessa resposta apresenta a vantagem de permitir que se projete um sistema de maneira que os efeitos de ruídos indesejáveis sejam desprezíveis e que essa análise e esse projeto possam ser estendidos a certos sistemas de controle não lineares Embora a resposta em frequência de um sistema de controle apresente um quadro qualitati vo da resposta transitória a correlação entre a resposta em frequência e a resposta transitória é indireta exceto para o caso de sistemas de segunda ordem No projeto de um sistema de malha fechada ajustamos as características da resposta em frequência da função de transferência de malha aberta utilizando vários critérios de projeto para obter características aceitáveis da res posta transitória do sistema Obtenção das respostas em regime permanente às entradas senoidais Vamos mostrar que a resposta em regime permanente da função de transferência de um sistema pode ser obtida diretamente a partir da função de transferência senoidal isto é a função de transferência na qual s é substituído por j onde é a frequência Considere o sistema linear estável e invariante no tempo mostrado na Figura 71 A entrada e a saída do sistema cuja função de transferência é Gs são designadas por xt e yt respec tivamente Se a entrada xt for um sinal senoidal a saída em regime permanente também será um sinal senoidal com a mesma frequência mas possivelmente o módulo e o ângulo de fase serão diferentes Vamos supor que o sinal de entrada seja dado por xt X sen t Neste livro é sempre medida em rads Quando a frequência é medida em cicloss usamos a notação f Ou seja 2pf Considere que a função de transferência Gs do sistema possa ser escrita como uma relação de dois polinômios em s ou seja G s q s p s s s s s s s p s n 1 2 g h h h h h h h A transformada de Laplace da saída Ys é então Y s G s X s q s p s X s h h h h h h 71 onde Xs é a transformada de Laplace da entrada xt Será mostrado que depois de esperar até que as condições de regime permanente tenham sido alcançadas a resposta em frequência pode ser calculada substituindose s por j na função de transferência Será mostrado também que a resposta em regime permanente pode ser dada por G j Me M j z z h onde M é a relação de amplitude entre a saída e a entrada senoidal e z é a defasagem ou diferença de fase entre a entrada senoidal e a saída senoidal No teste da resposta em frequência variase a frequência de entrada de modo que seja coberto todo o intervalo de frequências de interesse A resposta em regime permanente de um sistema linear estável invariante no tempo a uma entrada senoidal não depende das condições iniciais Assim podemos supor que as condições iniciais sejam nulas Se Ys tiver somente polos distintos então a expansão em frações parciais da Equação 71 quando xt X sen t resulta em Y s G s X s G s s X s j a s j a s s b s s b s s b n n 2 2 1 1 2 2 g r h h h h 72 onde a e bi sendo i 1 2 n são constantes e ā é o complexo conjugado de a A transformada inversa de Laplace da Equação 72 é yt aejt āe jt b1es1t b2es2t bnesnt t 0 73 Para um sistema estável s1 s2 sn têm partes reais negativas Portanto conforme t tende a infinito os termos es1t es2t e esnt tendem a zero Assim todos os termos do lado direito da Equação 73 exceto os dois primeiros se anulam em regime permanente FIGURA 71 Gs Xs xt Ys yt Sistema estável linear invariante no tempo 367 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Se Ys possuir polos múltiplos sj de multiplicidade mj então yt terá termos como t hjesjt hj 0 1 2 mj 1 Para um sistema estável os termos t hjesjt tendem a zero à medida que t tende a infinito Assim independentemente de o sistema ter ou não todos os polos distintos a resposta em regime permanente tornase ysst aejt āe jt 74 onde a constante a pode ser calculada com base na Equação 72 como segue a G s s X s j j XG j 2 s j 2 2 h h h Note que a G s s X s j j XG j 2 s j 2 2 r h h h Como G j é uma grandeza complexa ela pode ser escrita da seguinte maneira G j G je jz onde G j representa o módulo e z representa o ângulo de G j ou seja parte á tg de imagin ria de G j G j G j parte real 1 z h h h G O ângulo z pode ser negativo positivo ou zero Da mesma maneira obtemos a seguinte expres são de Gj Gj Gjejz G j ejz Notando então que a j X G j e a j X G j e 2 2 j j z z r h h a Equação 74 pode ser escrita como sen sen y t X G j j e e X G j t Y t 2 j t j t ss z z z z h h h h h h h 75 onde Y XG jVemos que se um sistema estável linear invariante no tempo for submetido a uma entrada senoidal terá em regime permanente uma saída senoidal com a mesma frequência da entrada No entanto em geral a amplitude e a fase da saída serão diferentes da amplitude e da fase da entrada De fato a amplitude da saída é dada pelo produto da amplitude da entrada por G j enquanto o ângulo de fase da saída difere do ângulo de fase da entrada pelo valor z G j h A Figura 72 mostra um exemplo de sinais senoidais de entrada e de saída FIGURA 72 X Y t Entrada xt X sen t Saída yt Y sen t z Sinais senoidais de entrada e de saída 368 Engenharia de controle moderno Do que acabamos de ver concluímos este importante resultado para entradas senoidais G j X j Y j h h h relação de amplitude entre a saída senoidal e a entrada senoidal G j X j Y j h h h defasagem da saída senoidal em relação à entrada senoidal Em consequência a resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal pode ser obtida diretamente a partir de X j Y j G j h h h A função G j é chamada função de transferência senoidal É a relação entre Y j e X j tratase de uma grandeza complexa e pode ser representada pelo módulo e pelo ângulo de fase tendo a frequência como parâmetro A função de transferência senoidal de qualquer sistema linear é obtida pela substituição de s por j na função de transferência do sistema Como já mencionado no Capítulo 6 um ângulo de fase positivo é denominado avanço de fase e um ângulo de fase negativo e conhecido como atraso de fase Uma rede que tenha as carac terísticas de avanço de fase é chamada rede de avanço de fase enquanto uma rede que tenha as características de atraso de fase é denominada rede de atraso de fase Exemplo 71 Considere o sistema mostrado na Figura 73 A função de transferência Gs é G s Ts K 1 h Para a entrada senoidal xt X sen t a saída em regime permanente ysst pode ser encontrada como a seguir Substituindo j por s em Gs temos G j jT K 1 h A relação de amplitude entre a saída e a entrada é G j T K 1 2 2 h enquanto o ângulo de fase z é z G j h tg 1T Assim a resposta em regime permanente ysst à entrada xt X sen t pode ser obtida a partir da Equação 75 como segue tg sen y t T XK t T 1 2 2 1 ss h h 76 Podese ver a partir da Equação 76 que se for pequeno a amplitude da resposta em regime per manente ysst será quase K vezes a amplitude da entrada Se for pequeno a defasagem da saída será pequena Se for grande a amplitude da saída será pequena e quase inversamente proporcional a A defasagem aproximase de 90 à medida que tende ao infinito Esta é uma rede de atraso de fase FIGURA 73 y x Gs K Ts 1 Sistema de primeira ordem 369 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Exemplo 72 Considere a rede dada por G s s T s T 1 1 2 1 h Determine se esta é uma rede de avanço ou de atraso de fase Para a entrada senoidal xt X sen t a saída em regime permanente ysst pode ser encon trada como segue Como G j j T j T T T j T T j 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 h h h temos G j T T T T 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 h e tg tg G j T T 1 1 1 2 z h Assim a saída em regime permanente é sen tg tg y t T T XT T t T T 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 ss h h Com base nessa expressão concluímos que se T1 T2 então tg 1T1 tg 1T2 0 Assim se T1 T2 então a rede será de avanço de fase Se T1 T2 então a rede será uma rede de atraso de fase Apresentação das características da resposta em frequência na forma gráfica A função de transferência senoidal uma função complexa da frequência é caracterizada por seu módulo e ângulo de fase com a frequência como parâmetro Existem três representações das funções de transferência senoidais utilizadas comumente 1 Diagrama de Bode ou gráfico logarítmico 2 Diagrama de Nyquist ou diagrama polar 3 Diagrama do logaritmo do módulo versus ângulo de fase carta de Nichols Discutiremos essas representações em detalhes neste capítulo Discutiremos também a obtenção dos diagramas de Bode e de Nyquist e das cartas de Nichols utilizando o MATLAB Visão geral do capítulo A Seção 71 traz uma introdução à resposta em frequência A Seção 72 apresenta diagramas de Bode de funções de transferência de vários sistemas A Seção 73 trata dos diagramas polares de funções de transferência A Seção 74 exibe os diagramas de módulo versus ângulo de fase A Seção 75 fornece em detalhes o critério de estabilidade de Nyquist A Seção 76 discute a análise de estabilidade utilizando o critério de estabilidade de Nyquist A Seção 77 introduz medidas para análise de estabilidade relativa A Seção 78 apresenta um método para a obtenção da resposta em frequência de malha fechada a partir da resposta em frequência de malha aberta pelo uso das circunferências M e N Discutese também o uso da carta de Nichols A Seção 79 trata da determinação da função de transferência com base no levantamento experimental A Seção 710 apresenta aspectos introdutórios de projeto de sistemas de controle pela resposta em frequência As seções 711 712 e 713 abordam em detalhes as técnicas de compensação por avanço de fase compensação por atraso de fase e compensação por atraso e avanço de fase respectivamente 370 Engenharia de controle moderno 72 Diagramas de Bode Diagramas de Bode ou gráficos logarítmicos Um diagrama de Bode é constituído por dois gráficos um é o gráfico do logaritmo do módulo de uma função de transferência senoidal o outro é o gráfico do ângulo de fase Ambos são traçados em relação à frequência em escala logarítmica A representação padrão do logaritmo do módulo de G j é 20 logG j onde a base do logaritmo é 10 A unidade utilizada nessa representação do módulo é o decibel normalmente abreviado como dB Na representação logarítmica as curvas são desenhadas em papel semilog com a utilização da escala logarítmica para a frequência e a escala linear tanto para módulo mas em decibéis como para ângulo em graus O intervalo da frequência de interesse determina o número de ciclos logarítmicos requeridos na abscissa A principal vantagem de utilizar o diagrama de Bode é que a multiplicação dos módulos pode ser convertida em soma Além disso existe um meio simples de esboçar uma curva aproximada do logaritmo do módulo baseada em aproximações assintóticas Essas aproximações por retas assíntotas são suficientes se forem desejadas apenas informações aproximadas sobre as carac terísticas da resposta em frequência Se for necessária a curva exata as correções poderão ser feitas facilmente nesses gráficos assintóticos básicos A expansão da faixa de baixas frequências pelo uso da escala logarítmica de frequência é muito vantajosa visto que as características dos sistemas em baixas frequências na prática são as mais importantes O fato de não ser possível traçar as curvas até a frequência zero em virtude da escala logarítmica log 0 não cria nenhum problema sério Note que a determinação experimental de uma função de transferência pode ser feita de modo simples se os dados da resposta em frequência forem apresentados sob a forma de um diagrama de Bode Fatores básicos de G jH j Conforme foi afirmado anteriormente a principal vanta gem em utilizar o gráfico logarítmico é a relativa facilidade de traçar as curvas de resposta em frequên cia Os fatores básicos que ocorrem habitualmente em qualquer função de transferência G jH j são 1 Ganho K 2 Fatores integral e derivativo j1 3 Fatores de primeira ordem 1 jT1 4 Fatores quadráticos 1 2ζ jn jn21 Uma vez familiarizados com os gráficos logarítmicos desses fatores básicos é possível utilizá los na construção de um gráfico logarítmico composto para qualquer forma geral de G jH j esboçando as curvas para cada fator e adicionando graficamente as curvas individuais porque a adição do logaritmo dos ganhos corresponde à sua multiplicação O ganho K Um número maior que uma unidade possui um valor positivo em decibéis enquanto um número menor que uma unidade tem valor negativo A curva de módulo em dB de um ganho constante K é uma reta horizontal de valor 20 log K decibéis O ângulo de fase do ganho K é zero O efeito da variação do ganho K na função de transferência é deslocar para cima ou para baixo a curva de módulo em dB da função de transferência em um valor constante correspondente mas isso não tem nenhum efeito sobre a curva de ângulo de fase Um gráfico de conversão de um número em decibel está indicado na Figura 74 O valor em decibel de qualquer número pode ser obtido com o auxílio desse gráfico Quando um número aumenta em um fator de 10 o valor correspondente em decibel fica acrescido de 20 Esse resul tado pode ser verificado a partir do seguinte 20 logK 10 20 log K 20 De maneira semelhante 20 logK 10n 20 log K 20n 371 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Observe que quando expresso em decibéis o recíproco de um número difere de seu valor apenas no sinal isto é para o número K 20 20 log log K K 1 Fatores integral e derivativo j1 O valor logarítmico de 1j em decibéis é 20 20 log log j 1 dB O ângulo de fase de 1j é constante e igual a 90 Nos diagramas de Bode as relações de frequência são expressas em termos de oitavas ou de décadas Uma oitava é um intervalo de frequência de 1 a 21 onde 1 é qualquer valor de fre quência Uma década corresponde a um intervalo de frequência de 1 a 101 onde novamente 1 é qualquer valor de frequência Na escala logarítmica do papel semilog qualquer relação de frequência dada pode ser representada pela mesma distância horizontal Por exemplo a distância horizontal entre 1e 10 é igual a distância entre 3 e 30 Se for construído um gráfico de 20 log dB versus em escala logarítmica o resultado será uma reta Para traçar essa reta é necessário localizar um ponto 0 dB 1 sobre ela Como 20 log 10 dB 20 log 20 dB a inclinação da reta será 20 dBdécada ou 6 dBoitava De maneira semelhante o módulo de j em decibéis é 20 log j 20 log dB O ângulo de fase de j é constante e igual a 90º A curva do logaritmo do módulo é uma reta com inclinação de 20 dBdécada As figuras 75a e b mostram as curvas de resposta em fre quência para 1j e j respectivamente Podese ver com clareza que as diferenças nas curvas das respostas em frequência dos fatores 1j e j estão nos sinais das inclinações das curvas do logaritmo do módulo e nos sinais dos ângulos de fase Ambas as grandezas logarítmicas tornam se iguais a 0 dB em 1 Se a função de transferência possuir o fator 1jn ou jn as grandezas logarítmicas se tornarão respectivamente 20 20 20 log log log j n j n 1 dB n h FIGURA 74 Decibéis dB Números 001 002 004 01 02 04 06 1 2 3 4 5 6 8 10 20 10 0 10 20 30 40 Gráfico de conversão de um número em decibel 372 Engenharia de controle moderno ou 20 log jn n 20 log j 20n log dB As inclinações das curvas do módulo em dB para os fatores 1jn e jn são respectivamente 20n dBdécada e 20n dBdécada O ângulo de fase de 1jn é igual a 90 n em toda a faixa de frequência enquanto o de jn é igual a 90 n em toda a faixa de frequência As curvas de módulo passarão pelo ponto 0 dB 1 Fatores de primeira ordem 1 jT1 O módulo em dB do fator de primeira ordem 1 1 jT é 20 20 log log dB j T T 1 1 1 2 2 Para baixas frequências como 1T o módulo em dB pode ser aproximado por 20 20 1 0 log log dB T 1 2 2 Z Assim a curva de módulo em dB em baixas frequências é uma reta de 0 dB constante Para altas frequências como 1T 20 20 log log dB T T 1 2 2 Z Esta é uma expressão aproximada para a faixa de altas frequências Em 1T o valor do módulo é de 0 dB em 10T o módulo é de 20 dB Portanto o valor de 20 log T dB decresce em 20 dB para cada década de Para 1T a curva de módulo em dB é então uma reta com uma inclinação de 20 dBdécada ou 6 dBoitava Nossa análise mostra que a representação logarítmica da curva de resposta em frequência do fator 11 jT pode ser aproximada por duas retas assíntotas uma em 0 dB para a faixa de frequência 0 1T e outra reta com inclinação de 20 dBdécada ou 6 dBoitava para a faixa de frequência 1T A Figura 76 mostra a curva exata do módulo em dB as assín totas e a curva exata vértice do ângulo de fase A frequência na qual as duas assíntotas se encontram é chamada frequência de canto ou fre quência de mudança de inclinação quebra Para o fator 11 jT a frequência 1T é a frequência de canto visto que em 1T as duas assíntotas têm o mesmo valor A expressão FIGURA 75 dB 40 20 0 40 20 01 10 1 100 Inclinação 20 dBdécada Diagrama de Bode de Gj 1j a z 0 180 90 01 10 1 100 dB 40 20 0 40 20 01 10 1 100 Inclinação 20 dBdécada Diagrama de Bode de Gj j b z 180 0 90 01 10 1 100 a Diagrama de Bode de G j 1j b diagrama de Bode de G j j 373 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência assintótica na baixa frequência em 1T é 20 log 1 dB 0 dB e a expressão assintótica na alta frequência em 1T é também 20 log 1 dB 0 dB A frequência de canto divide a resposta em frequência em duas regiões a curva da região de baixa frequência e a curva da região de alta frequência A frequência de canto é muito importante no esboço das curvas logarítmicas de resposta em frequência O ângulo de fase exato z do fator 11 jT é z tg 1T Na frequência zero o ângulo de fase é 0 Na frequência de canto o ângulo de fase é 1 45 tg tg T 1 T 1 c z No infinito o ângulo de fase tornase igual a 90 Como o ângulo de fase é dado pela função arco tangente ele é simétrico em relação ao ponto de inflexão em z 45 O erro na curva de grandeza causado pelo uso das assíntotas pode ser calculado O erro máximo ocorre na frequência de canto e é aproximadamente igual a 3 dB visto que 20 20 1 10 2 303 log log log 1 1 dB O erro em uma oitava abaixo da frequência de canto isto é em 12T é 20 20 1 20 097 log log log dB 4 1 1 2 5 O erro em uma oitava acima da frequência de canto isto é em 2T é 20 20 2 20 097 log log log dB 2 1 2 5 2 Portanto o erro em uma oitava abaixo ou acima da frequência de canto é aproximadamente igual a 1 dB De maneira semelhante o erro em uma década abaixo ou acima da frequência de canto é aproximadamente 004 dB A Figura 77 mostra que o erro em decibéis em decorrência do uso da expressão assintótica da curva de resposta em frequência de 11 jT é simétrico em relação à frequência de canto Como as assíntotas são fáceis de desenhar e estão suficientemente próximas da curva exata o uso dessas aproximações no traçado dos diagramas de Bode é conveniente para determinar com rapidez e um mínimo de cálculo a natureza geral das características da resposta em frequência FIGURA 76 10 0 10 20 0 45 90 z dB 1 20T 1 10T 1 5T 1 T 1 2T 2 T 5 T 10 T 20 T Curva exata Assíntota Assíntota Frequência de canto Curva de módulo em dB com as assíntotas e a curva de ângulo de fase de 11 jT 374 Engenharia de controle moderno e podem ser usadas na maioria dos projetos preliminares Se forem desejadas curvas de resposta em frequência mais precisas podemos fazer correções facilmente com base na curva indicada na Figura 77 Na prática a curva precisa de resposta em frequência pode ser traçada se forem introduzidas uma correção de 3 dB na frequência de canto e uma correção de 1 dB nos pontos uma oitava abaixo e acima da frequência de canto e se em seguida esses pontos forem ligados por uma curva suave Note que uma variação na constante de tempo T desloca a frequência de canto para a esquerda ou para a direita mas a forma das curvas de módulo em dB e do ângulo de fase permanece a mesma A função de transferência 11 jT tem as características de um filtro passabaixa Para as frequências acima de 1T o módulo em dB cai rapidamente em direção a Isso se deve essencialmente à presença da constante de tempo No filtro passabaixa a saída pode seguir com fidelidade a entrada senoidal a baixas frequências Entretanto à medida que a frequência de entrada aumenta a saída não pode seguir mais a entrada porque é necessário certo intervalo de tempo para o sistema atingir uma amplitude elevada Assim em altas frequências a amplitude da saída tende a zero e o ângulo de fase da saída tende a 90 Portanto se a função de entrada contém muitos harmônicos então os componentes de baixa frequência são reproduzidos com fidelidade na saída enquanto os componentes de alta frequência são atenuados na amplitude e defasados na fase Assim um elemento de primeira ordem fornece uma duplicação exata ou quase exata somente para fenômenos constantes ou lentamente variáveis Uma vantagem do diagrama de Bode é que para fatores recíprocos por exemplo o fator 1 jT as curvas de módulo em dB e do ângulo de fase necessitam trocar apenas o sinal visto que 20 20 log log j T j T 1 1 1 e tg j T T j T 1 1 1 1 A frequência de canto é a mesma para ambos os casos A inclinação da assíntota de alta frequência de 1 jT é 20 dBdécada e o ângulo de fase varia de 0 a 90 conforme a frequência aumenta de zero a infinito A Figura 78 mostra a curva de módulo em dB juntamente com as assíntotas e o ângulo de fase do fator 1 jT Para traçar a curva de ângulo de fase com precisão devem ser localizados vários pontos sobre a curva Os ângulos de fase de 1 jT1 são FIGURA 77 0 1 2 3 4 dB Frequência de canto 1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 3 T 5 T 10 T Erro do módulo em dB na expressão assintótica da curva de resposta em frequência 11 jT 375 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência T T T T T 45 1 26 6 2 1 5 7 10 1 63 4 2 84 3 10 em em em em em c c c c c Para os casos em que dada função de transferência possui termos como 1 jTn pode ser feita uma construção assintótica similar A frequência de canto ainda está em 1T e as assín totas são linhas retas A assíntota de baixa frequência é uma reta horizontal em 0 dB enquanto a assíntota de alta frequência tem uma inclinação de 20n dBdécada ou 20n dBdécada O erro envolvido nas expressões assintóticas é n vezes o correspondente a 1 jT1 O ângulo de fase é n vezes o correspondente a 1 jT1 em cada ponto de frequência Fatores quadráticos 1 2z jn jn21 Os sistemas de controle frequentemente possuem fatores quadráticos da forma G j j j 1 2 1 n n 2 g c c h m m 77 Se z 1 esse fator quadrático pode ser expresso como um produto de dois fatores de primeira ordem com polos reais Se 0 z 1 esse fator quadrático é um produto de dois fatores com plexos conjugados As aproximações assintóticas para as curvas de resposta em frequência não são precisas para um fator com baixos valores de z pois o módulo e a fase do fator quadrático dependem tanto da frequência de canto como do coeficiente de amortecimento z Podese obter da seguinte forma a curva assintótica de resposta em frequência como 20 20 log log j j 1 2 1 1 2 n n n n 2 2 2 2 2 g g c c c c m m m m FIGURA 78 dB 40 20 0 40 20 z 90 0 45 Curva exata Assíntota 001 T 01 T 1 T 10 T 001 T 01 T 1 T 10 T Assíntota Curva de módulo em dB juntamente com a assíntota e a curva de ângulo de fase de 1 jT 376 Engenharia de controle moderno para baixas frequências como n o módulo em dB passa a ser 20 log 1 0 dB Portanto a assíntota de baixa frequência é uma reta horizontal em 0 dB Para altas frequências como n o módulo em dB passa a ser 20 40 log log dB n n 2 2 A equação da assíntota de alta frequência é uma reta que possui uma inclinação de 40 dB década desde que 40 40 40 log log 10 n n A assíntota de alta frequência cruza a de baixa frequência em n pois nessa frequência 40 40 1 0 log log dB n n Essa frequência n é a frequência de canto do fator quadrático considerado As duas assíntotas que foram deduzidas são independentes do valor de z Próximo à frequên cia n ocorre um pico de ressonância como pode ser esperado a partir da Equação 77 O coeficiente de amortecimento z determina a amplitude desse pico de ressonância Obviamente existem erros na aproximação através de retas assíntotas A amplitude do erro depende do valor de z Ele será grande para valores pequenos de z A Figura 79 mostra as curvas exatas de módulo em dB juntamente com as retas assíntotas e as curvas exatas do ângulo de fase do fator quadrá FIGURA 79 20 10 10 0 z dB 0 90 180 04 06 08 1 2 4 6 8 10 01 02 n ζ 01 ζ 02 ζ 03 ζ 05 ζ 07 ζ 10 ζ 01 ζ 02 ζ 03 ζ 05 ζ 07 ζ 10 Assíntota Curva de módulo em dB com as assíntotas e as curvas de ângulo de fase da função de transferência quadrática dadas pela Equação 77 377 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência tico dado pela Equação 77 para alguns valores de z Se forem desejadas correções nas curvas assintóticas as correções necessárias em um número suficiente de pontos podem ser obtidas a partir da Figura 79 O ângulo de fase do fator quadrático 1 2z jn jn2 1 é tg j j 1 2 1 1 2 n n n n 2 1 2 z g g c c c m m m R T S S SS V X W W WW 78 O ângulo de fase é uma função tanto de como de z Em 0 o ângulo de fase é igual a 0 Na frequência de canto n o ângulo de fase é 90 independentemente de z dado que 90 tg tg 0 2 1 13 c z g c m Em o ângulo de fase tornase 180º A curva de ângulo é antissimétrica em relação ao ponto de inflexão o ponto onde z 90 Não existem meios simples de traçar essas curvas de ângulo de fase É necessário referirse às curvas de ângulo de fase indicadas na Figura 79 As curvas de resposta em frequência do fator 1 2 j j n n 2 g c c m m podem ser obtidas simplesmente pela inversão do sinal do módulo em dB e das curvas de ângulo de fase do fator j j 1 2 1 n n 2 g c c m m Para obter as curvas de resposta em frequência de dada função quadrática devese inicialmente determinar o valor da frequência de canto n e do coeficiente de amortecimento z Então utili zando a família de curvas dada pela Figura 79 podem ser construídas as curvas de resposta em frequência A frequência de ressonância r e o valor de pico de ressonância Mr O módulo de G j j j 1 2 1 n n 2 g c c h m m é G j 1 2 1 n n 2 2 2 2 g e e h o o 79 Se G j apresentar um valor de pico em alguma frequência esta é denominada frequência de ressonância Se o numerador de G j for constante ocorrerá um valor de pico de G jquando g 1 2 n n 2 2 2 2 g e e h o o 710 for um mínimo Como a Equação 710 pode ser escrita como 4 g 1 2 1 n n 2 2 2 2 2 2 2 g g g h h h H 711 o valor mínimo de g ocorre em n 1 2 g2 Portanto a frequência de ressonância r é r n 1 2 g2 para 0 ζ 0707 712 Conforme o coeficiente de amortecimento z tender a zero a frequência de ressonância ten derá a n Para 0 z 0707 a frequência de ressonância r é menor que a frequência natural 378 Engenharia de controle moderno amortecida d n 1 2 g2 que é apresentada na resposta transitória Podese ver na Equação 712 que para z 0707 não existe pico de ressonância O valor de G j decresce monotoni camente com o aumento da frequência A grandeza é menor que 0 dB para todos os valores de 0 Lembrese de que para 07 z 1 a resposta ao degrau é oscilatória mas as oscilações são bastante amortecidas e dificilmente são perceptíveis Para 0 z 0707 o valor do pico de ressonância Mr G jr pode ser determinado substituindose a Equação 712 na Equação 79 Para 0 z 0707 M G j G j 2 1 1 max r r 2 g g h h 713 Para z 0707 Mr 1 714 À medida que z tende a zero Mr tende ao infinito Isso significa que se o sistema não amorte cido for excitado em sua frequência natural o valor de G j se tornará infinito A Figura 710 mostra a relação entre Mr e z O ângulo de fase de G j na frequência em que ocorre o pico de ressonância pode ser obtido substituindose a Equação 712 na Equação 78 Assim na frequência de ressonância r 90 tg sen G j 1 2 1 r 1 2 1 2 c g g g g h Procedimento geral para a construção do diagrama de Bode O MATLAB fornece um meio fácil para a construção dos diagramas de Bode O método do MATLAB é apresentado adiante nesta seção Aqui entretanto consideraremos o caso em que desejamos construir os diagramas de Bode manualmente sem utilizar o MATLAB De início reescrevemos a função de transferência senoidal G jH j como produto de fatores básicos discutidos anteriormente Em seguida identificamos a frequência de canto asso ciada a esses fatores básicos Por fim traçamos as curvas assintóticas de módulo em dB com as inclinações apropriadas entre as frequências de canto A curva exata que fica muito próxima da curva assintótica pode ser obtida fazendose as correções apropriadas A curva de ângulo de fase de G jH j pode ser desenhada adicionandose as curvas de ângulo de fase dos fatores individuais O uso dos diagramas de Bode com o emprego de aproximações assintóticas requer muito menos tempo do que outros métodos que podem ser utilizados para a determinação da resposta FIGURA 710 14 12 10 8 6 4 2 0 ζ 02 10 08 06 04 Mr em dB Curva Mr versus ζ do sistema de segunda ordem 11 2ζ jn jn2 379 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência em frequência de uma função de transferência A facilidade de construção das curvas de resposta em frequência de dada função de transferência e a facilidade de modificação da curva de resposta em frequência quando for adicionada compensação são as principais razões pelas quais os diagramas de Bode são frequentemente utilizados na prática Exemplo 73 Desenhe o diagrama de Bode da seguinte função de transferência G j j j j j j 2 2 10 3 2 h h h h h 6 Efetue as correções para que a curva de módulo em dB seja precisa Para evitar possíveis erros na construção da curva de módulo em dB é desejável pôr G j na forma normalizada a seguir onde as assíntotas de baixa frequência dos fatores de primeira ordem e do fator de segunda ordem são a reta de 0 dB G j j j j j j 2 1 2 2 1 7 5 3 1 2 c c h h m h m E Essa função é composta pelos seguintes fatores 75 1 j j j j j 3 1 2 1 2 2 1 1 2 1 c h m h G As frequências de canto do terceiro quarto e quinto termos são 3 2 e 2 respec tivamente Note que o último termo tem o coeficiente de amortecimento de 03536 Para construir o diagrama de Bode as curvas assintóticas de cada um dos fatores são mostradas separadamente na Figura 711 A curva composta é então obtida adicionandose algebricamente as curvas individuais também mostradas na Figura 711 Note que quando as curvas assintóticas individuais são adicionadas a cada frequência a inclinação da curva composta é cumulativa Abaixo de 2 o gráfico tem uma inclinação de 20 dBdécada Na primeira frequência de canto 2 a inclinação muda para 60 dBdécada que continua até a próxima frequência de canto 2 onde a inclinação passa a ser 80 dBdécada Na última frequência de canto 3 a inclinação muda para 60 dBdécada Uma vez que essa curva aproximada de módulo em dB tenha sido desenhada a curva real pode ser obtida adicionandose as correções a cada frequência de canto e às frequências uma oitava abaixo e acima das frequências de canto Para os fatores de primeira ordem 1 jT1 as correções são 3 dB na frequência de canto e 1 dB nas frequências uma oitava abaixo e acima da frequência de canto As correções necessárias para o fator quadrático são obtidas a partir da Figura 79 A curva exata de módulo em dB de G j é a curva tracejada mostrada na Figura 711 Note que qualquer modificação na inclinação da curva de módulo é feita apenas nas frequên cias de canto da função de transferência G j Portanto em vez de construir as curvas individuais de módulo e adicionálas como foi mostrado podemos traçar a curva de módulo sem desenhar as curvas individuais Podemos começar por desenhar a porção de menor frequência da reta isto é a reta com a inclinação 20 dBdécada para 2 À medida que a frequência aumenta obtemos o efeito dos polos complexos conjugados termo quadrático na frequência de canto 2 Os polos complexos conjugados fazem que as inclinações da curva de módulo mudem de 20 para 60 dBdécada Na frequência de canto seguinte 2 o efeito do polo é mudar a inclinação para 80 dBdécada Por fim na frequência de canto 3 o efeito do zero é mudar a inclinação de 80 para 60 dBdécada Para a construção da curva completa de ângulo de fase devem ser esboçadas as curvas de ângulo de fase de todos os fatores A soma algébrica de todas as curvas de ângulo de fase fornece a curva completa de ângulo de fase como mostra a Figura 711 380 Engenharia de controle moderno Sistemas de fase mínima e sistemas de fase não mínima As funções de transferência que não possuem polos nem zeros no semiplano direito do plano s são funções de transferência de fase mínima enquanto as que possuem polos e zeros no semiplano direito do plano s são funções de transferência de fase não mínima Os sistemas com funções de transferência de fase mínima são denominados sistemas de fase mínima ao passo que aqueles com funções de transferência de fase não mínima são denominados sistemas de fase não mínima Para os sistemas com as mesmas características de módulo a gama de valores do ângulo de fase da função de transferência de fase mínima é mínima entre todos esses sistemas enquanto a gama de valores do ângulo de fase de qualquer função de transferência de fase não mínima é maior que esse mínimo Note que para um sistema de fase mínima a função de transferência pode ser determinada univocamente apenas a partir da curva de módulo Para um sistema de fase não mínima isso não acontece Multiplicando qualquer função de transferência por filtros passatudo a curva de módulo não se altera mas a curva de ângulo de fase é modificada Considere como exemplo os dois sistemas cujas funções de transferência senoidal são res pectivamente 0 G j j T j T G j j T j T T T 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 h h FIGURA 711 40 20 0 20 dB 40 Curva exata 02 04 06 08 1 2 4 6 8 10 270 180 90 0 90 02 04 06 08 1 2 4 6 8 10 z Gj 2 2 5 5 4 4 3 1 Gj 3 1 Diagrama de Bode do sistema considerado no Exemplo 73 381 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência As configurações de polos e zeros desses sistemas são mostradas na Figura 712 As duas funções de transferência senoidais têm as mesmas características de módulo mas diferentes característi cas de ângulo de fase como mostra a Figura 713 Esses dois sistemas diferem entre si pelo fator G j j T j T 1 1 h O módulo do fator 1 jT1 jT é sempre a unidade O ângulo de fase no entanto é igual 2 tg 1T e varia de 0º a 180º à medida que varia de zero a infinito Conforme já foi dito para um sistema de fase mínima as características de módulo e de ângulo de fase estão relacionadas univocamente Isso quer dizer que se a curva de módulo de um sistema for especificada para toda a gama de valores de frequência de zero a infinito a curva de ângulo de fase será determinada de forma única e viceversa Isso entretanto não ocorre com os sistemas de fase não mínima As situações de fase não mínima podem surgir de duas maneiras diferentes Uma delas é simplesmente quando um sistema inclui um elemento ou elementos de fase não mínima A outra situação pode ocorrer no caso em que se tenha uma malha interna instável Para um sistema de fase mínima o ângulo de fase em tornase 90q p onde p e q são os graus dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência respectivamente No sistema de fase não mínima o ângulo de fase em difere do 90q p Em qualquer dos dois sistemas a inclinação da curva de módulo em dB em é igual a 20q p dBdécada Portanto é possível detectar se o sistema é de fase mínima pelo exame da inclinação tanto da assíntota de alta frequência da curva de módulo em dB quanto pelo ângulo de fase em Se a inclinação da curva de módulo em dB conforme tende ao infinito for 20q p dBdécada e o ângulo de fase em for igual a 90q p então o sistema será de fase mínima Os sistemas de fase não mínima são lentos na resposta em virtude do comportamento incorreto no início da resposta Na maioria dos sistemas de controle práticos o atraso de fase excessivo FIGURA 712 j 1 T 1 T1 1 T1 v G1s 1 Ts 1 T1s j 1 T v G2s 1 Ts 1 T1s 0 0 Configurações de polos e zeros de um sistema de fase mínima G1s e de um sistema de fase não mínima G2s FIGURA 713 z 0º 90º 180º G1j G2j Características do ângulo de fase dos sistemas G1s e G2s mostrados na Figura 712 382 Engenharia de controle moderno deve ser evitado cuidadosamente No projeto de um sistema se a velocidade de resposta for de importância fundamental não se deverá utilizar componentes de fase não mínima Um exemplo comum de elementos de fase não mínima que podem estar presentes em sistemas de controle é o retardo de transporte ou tempo morto Devese notar que as técnicas de análise e projeto de resposta em frequência a serem apre sentadas neste e no próximo capítulo são válidas para sistemas tanto de fase mínima como de fase não mínima Retardo de transporte O retardo de transporte que também é chamado tempo morto tem comportamento de fase não mínima e apresenta um atraso de fase excessivo sem atenuação nas altas frequências Esses retardos de transporte normalmente existem nos sistemas térmicos hidráulicos e pneumáticos Considere o retardo de transporte dado por G j ejT O módulo é sempre igual à unidade pois G j cos T j sen T 1 Portanto o módulo em dB do retardo de transporte ejT é igual a 0 dB O ângulo de fase do retardo de transporte é G j h T radianos 573 T graus O ângulo de fase varia linearmente com a frequência A característica do ângulo de fase do retardo de transporte é mostrada na Figura 714 Exemplo 74 Construa o diagrama de Bode da seguinte função de transferência G j j T e 1 j L h FIGURA 714 0 100 200 300 400 500 600 01 02 04 06 08 1 10 2 4 6 8 T ejT G Gj ejT Gj 0 dB Característica do ângulo de fase do retardo de transporte 383 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência O módulo em dB é log log log log G j e j T j T 20 20 20 1 1 0 20 1 1 j L h O ângulo de fase de G j é tg G j e j T L T 1 1 j L 1 h As curvas de módulo em dB e de ângulo de fase dessa função de transferência com L 05 e T 1 estão indicadas na Figura 715 Relacionamento entre tipo de sistema e curva de módulo em dB Considere o sistema de controle com realimentação unitária As constantes de erro estático de posição de velocidade e de aceleração descrevem o comportamento de baixa frequência dos tipos 0 1 e 2 respectivamente Para dado sistema apenas uma das constantes de erro estático é finita e significativa Quanto maior o valor da constante de erro estático finita maior o ganho de malha quando tende a zero O tipo de sistema determina a inclinação da curva de módulo em dB em baixas frequências Portanto a informação relativa ao erro estático de um sistema de controle para dada entrada pode ser determinada a partir da observação da região de baixas frequências da curva de módulo em dB Determinação das constantes de erro estático de posição Considere o sistema de controle com realimentação unitária indicado na Figura 716 Suponha que a função de transferência de malha aberta seja dada por G s s T s T s T s K T s T s T s 1 1 1 1 1 1 N p a b m 1 2 g g h h h h h h h FIGURA 715 0 20 10 0 10 20 100 200 300 0 90 180 270 01 02 04 06 08 1 10 2 4 6 8 dB e05 j 1 j e05 j 1 1 j e05 j 1 j Diagrama de Bode do sistema ejL1 jT com L 05 e T 1 384 Engenharia de controle moderno ou G j j T j T j T j K T j T j T j 1 1 1 1 1 1 N p a b m 1 2 g g h h h h h h h h A Figura 717 mostra um exemplo do diagrama do módulo em dB de um sistema do tipo 0 Nesse sistema o módulo de G j nas baixas frequências é igual a Kp ou lim 3 G j K Kp O resultado é que a assíntota de baixa frequência é uma reta horizontal de 20 log Kp dB Determinação da constante de erro estático de velocidade Considere o sistema de controle com realimentação unitária mostrado na Figura 716 A Figura 718 mostra um exemplo do diagrama de módulo em dB de um sistema do tipo 1 A intersecção do segmento inicial 20 dBdécada ou sua extensão com a reta 1 vale 20 log Ky Podese ver isso a seguir Em um sistema tipo 1 1 G j j K para y h Então 20 20 log log j K K 1 y y A intersecção do segmento inicial de 20 dBdécada ou sua extensão com o eixo de 0 dB ocorre em uma frequência numericamente igual a Ky Para verificar isso defina a frequência nessa intersecção como 1 então 1 j K 1 y FIGURA 716 Rs Cs Es Gs Sistema de controle com realimentação unitária FIGURA 717 dB 20 log Kp 0 20 dBdécada 40 dBdécada em escala logarítmica Curva de módulo em dB de um sistema tipo 0 385 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência ou Ky 1 Como exemplo considere o sistema do tipo 1 com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s Js F K h h Se definirmos a frequência de canto como 2 e a frequência de intersecção do segmento de 40 dBdécada ou sua extensão com o eixo de 0 dB como 3 então J F J K 2 3 2 Como K F K 1 y seguese que 12 2 3 ou 3 1 2 3 No diagrama de Bode log 1 log 3 log 3 log 2 Então o ponto 3 está justamente no meio entre os pontos 2 e 1O coeficiente de amorteci mento z do sistema é então KJ F 2 2 3 2 g Determinação da constante de erro estático de aceleração Considere o sistema de con trole com realimentação unitária mostrado na Figura 716 A Figura 719 mostra um exemplo do diagrama de módulo em dB de um sistema do tipo 2 A intersecção do segmento inicial 40 dB década ou sua extensão com a reta 1 tem módulo de 20 log Ka Como em baixas frequências 1 G j j K para a 2 h h FIGURA 718 dB 0 20 dBdécada 40 dBdécada em escala logarítmica 20 log Kυ 1 2 3 1 Curva de módulo em dB de um sistema tipo 1 386 Engenharia de controle moderno resulta que 20 20 log log j K K a a 2 1 h A frequência a na intersecção do segmento inicial 40 dBdécada ou sua extensão com a reta 0 dB nos fornece o valor numérico da raiz quadrada de Ka Isso pode ser visto como segue 20 20 1 0 log log j K a a 2 h do que resulta K a a Construção do diagrama de Bode com o MATLAB O comando bode calcula módulos e ângulos de fase da resposta em frequência de sistemas contínuos no tempo lineares e invariantes no tempo Quando o comando bode sem os argumentos do lado esquerdo é digitado no computador o MATLAB gera um diagrama na tela do monitor Os comandos bode utilizados com maior frequência são bodenumden bodenumdenw bodeABCD bodeABCDw bodeABCDiuw bodesys Quando for executado com argumentos do lado esquerdo como magphasew bodenumdenw o comando bode retorna a resposta em frequência do sistema por meio das matrizes mag phase e w Nenhum gráfico é traçado na tela do monitor As matrizes mag e phase contêm os módulos e os ângulos de fase da resposta em frequência do sistema calculados em relação às frequências especificadas pelo usuário Obtémse o ângulo de fase em graus O módulo pode ser convertido em decibéis pelo comando magdB 20log10mag FIGURA 719 dB 0 20 dBdécada 40 dBdécada 60 dBdécada em escala logarítmica 20 log Ka 1 a Ka Curva de módulo em dB de um sistema tipo 2 387 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Outros comandos de Bode com argumentos no lado esquerdo são magphasew bodenumden magphasew bodenumdenw magphasew bodeABCD magphasew bodeABCDw magphasew bodeABCDiuw magphasew bodesys Para especificar a faixa de frequência utilize o comando logspaced1d2 ou logspaced1d2n O comando logspaced1d2 gera um vetor de 50 pontos igualmente espaçados em uma escala logarítmica entre as décadas 10d1 e 10d2 Os 50 pontos incluem ambos os pontos extremos Existem 48 pontos entre os pontos extremos Para gerar 50 pontos entre 01 rads e 100 rads utilize o comando w logspace12 O comando logspaced1d2n gera n pontos igualmente espaçados em uma escala loga rítmica entre as décadas 10d1 e 10d2 os n pontos incluem ambos os extremos Por exemplo para gerar 100 pontos entre 1 rads e 1000 rads digite o seguinte comando w logspace03100 Para incorporar os pontos de frequências especificados pelo usuário no traçado de diagra mas de Bode o comando bode deve incluir o vetor de frequência w como bode numdenw e magphasew bodeABCDw Exemplo 75 Considere a seguinte função de transferência G s s 4s 25 25 2 h Construa o diagrama de Bode para essa função de transferência Quando o sistema estiver definido na forma G s s s den num h h h utilize o comando bodenumden para desenhar o diagrama de Bode Quando numerador e denominador contiverem os coeficientes polinomiais de s em ordem decrescente do expoente o comando bodenumden desenha o diagrama de Bode O Programa 71 em MATLAB traça o diagrama de Bode para esse sistema A Figura 720 apresenta o diagrama de Bode resultante Programa 71 em MATLAB num 25 den 1 4 25 bodenumden titleDiagrama de Bode de Gs 25s2 4s 25 388 Engenharia de controle moderno Exemplo 76 Considere o sistema indicado na Figura 721 A função de transferência de malha aberta é G s s s s s s 1 2 9 9 0 2 1 2 2 h h h Trace o diagrama de Bode O Programa 72 em MATLAB gera o diagrama de Bode para esse sistema A Figura 722 mostra o diagrama resultante A faixa de frequências nesse caso é determinada automaticamente como o intervalo entre 001 e 10 rads Programa 72 em MATLAB num 9 18 9 den 1 12 9 0 bodenumden titleDiagrama de Bode de Gs 9s2 02s 1ss2 12s 9 Se for desejável traçar o diagrama de Bode para o intervalo entre 001 e 1000 rads digite o seguinte comando w logspace23100 Esse comando gera 100 pontos espaçados regularmente em escala logarítmica entre 001 e 100 rads Note que esse vetor w especifica as frequências em radianos por segundo nas quais a resposta em frequência será calculada Se utilizarmos o comando bodenumdenw FIGURA 720 Frequência rads Diagrama de Bode Gs 25s2 4s 25 200 50 100 150 0 60 40 20 Fase graus Magnitude dB 20 0 100 101 102 Diagrama de Bode de G s s 4s 25 25 2 h FIGURA 721 9s2 02s 1 ss2 12s 9 Sistema de controle 389 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência então a faixa de frequência será a que foi definida pelo usuário mas a gama de valores do módulo e do ângulo de fase será determinada automaticamente Veja o Programa 73 em MATLAB e o diagrama resultante na Figura 723 Programa 73 em MATLAB num 9 18 9 den 1 12 9 0 w logspace23100 bodenumdenw titleDiagrama de Bode de Gs 9s2 02s 1ss2 12s 9 FIGURA 722 Frequência rads Diagrama de Bode Gs 9s2 02s 1ss2 12s 9 100 0 50 100 50 20 Fase graus Magnitude dB 10 40 0 10 20 30 102 101 100 101 Diagrama de Bode de G s s s s s s 1 2 9 9 0 2 1 2 2 h h h FIGURA 723 Frequência rads Diagrama de Bode Gs 9s2 02s 1ss2 12s 9 100 50 0 50 100 50 Fase graus Magnitude dB 0 50 102 101 100 101 102 103 Diagrama de Bode de G s s s s s s 1 2 9 9 0 2 1 2 2 h h h 390 Engenharia de controle moderno Obtenção do diagrama de Bode dos sistemas definidos no espaço de estados Consi dere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx Du onde x vetor de estado vetor n y vetor de saída vetor m u vetor de controle vetor r A matriz de estado matriz n n B matriz de controle matriz n r C matriz de saída matriz m n D matriz de transmissão direta matriz m r Podemos obter o diagrama de Bode desse sistema executando o comando bodeABCD ou outros relacionados no início desta seção O comando bode ABCD produz uma série de diagramas de Bode um para cada entrada do sistema com a gama de valores de frequência determinada automaticamente Serão utilizados mais pontos quando a resposta do sistema estiver mudando rapidamente O comando bode ABCDiu onde iu é a iésima entrada no sistema produz os diagra mas de Bode da entrada iu para todas as saídas y1 y2 ym do sistema com o intervalo de valores de frequência determinado automaticamente O escalar iu é um índice nas entradas do sistema e especifica qual entrada deve ser utilizada na construção do diagrama de Bode Se o vetor de controle u tiver três entradas tais que u u u u 1 2 3 H então iu deverá ser definido como 1 2 ou 3 Se o sistema tiver apenas uma entrada u então um dos seguintes comandos pode ser selecionado bodeABCD ou bodeABCD1 Exemplo 77 Considere o seguinte sistema x x x x u y x x 0 25 1 4 0 25 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G Esse sistema tem uma entrada u e uma saída y Utilizando o comando bodeABCD e executando no computador o Programa 74 em MATLAB obtemos o diagrama de Bode mos trado na Figura 724 Programa 74 em MATLAB A 0 125 4 B 025 C 1 0 D 0 bodeABCD titleDiagrama de Bode 391 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Se substituirmos o comando bodeABCD no Programa 74 em MATLAB por bodeABCD1 então o MATLAB vai produzir o diagrama de Bode idêntico ao que se vê na Figura 724 73 Diagramas polares O diagrama polar de uma função de transferência senoidal G j é um gráfico do módulo de G j versus o ângulo de fase de G j em coordenadas polares com variando de zero a infinito Assim o diagrama polar é o lugar dos vetores G j G j h com variando de zero ao infinito Note que no diagrama polar um ângulo de fase positivo negativo é medido no sentido antihorário horário a partir do eixo real positivo O diagrama polar é frequentemente chamado diagrama de Nyquist Um exemplo desse tipo de diagrama é apresentado na Figura 725 Cada ponto no diagrama polar de G j representa o ponto terminal de um vetor para determinado FIGURA 724 Frequência rads Diagrama de Bode 200 50 100 150 0 60 40 20 Fase graus Magnitude dB 20 0 100 101 102 Diagrama de Bode do sistema considerado no Exemplo 77 FIGURA 725 Im Re G j 0 1 2 3 G j Im G j Re Gj Diagrama polar 392 Engenharia de controle moderno valor de No diagrama polar é importante indicar os valores da frequência ao longo da curva As projeções de G j nos eixos real e imaginário são seus componentes real e imaginário O MATLAB pode ser utilizado para a obtenção do diagrama polar G j ou para obter G j e G j h com precisão e para vários valores de no intervalo de interesse dos valores de frequência Uma vantagem em utilizar um diagrama polar é que este representa as características da resposta em frequência de um sistema em toda a faixa de frequências em um único gráfico Uma desvantagem é que o diagrama não indica claramente as contribuições de cada fator individual sobre a função de transferência de malha aberta Fatores integral e derivativo j1 O diagrama polar de G j 1j é o eixo imaginário negativo visto que G j j j 1 1 1 90c h O diagrama polar de G j j é o eixo imaginário positivo Fatores de primeira ordem 1 jT1 Para a função de transferência senoidal tg G j j T T T 1 1 1 1 2 2 1 h os valores de G j em 0 e 1T são respectivamente 1 G j G j T 0 0 1 2 1 45 e c c c h m Se tende ao infinito o módulo de G j tende a zero e o ângulo de fase tende a 90 À medi da que a frequência varia de zero ao infinito o diagrama polar dessa função de transferência descreve uma semicircunferência como mostra a Figura 726a O centro fica localizado no ponto 05 do eixo real e o raio é igual a 05 Para comprovar que o diagrama polar do fator de primeira ordem G j 11 jT é uma semicircunferência defina G j X jY onde á parte real de parte imagin ria de X T G j Y T T G j 1 1 1 2 2 2 2 h h FIGURA 726 Im Re 0 0 05 05 a b 1 1 2T 2 1 1 T 1 G j1 T G j1 T 0 Y X 0 T 1 2T 2 a Diagrama polar de 1 1 jT b diagrama de G j no plano XY 393 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Então obtemos X Y T T T T 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c e c c m o m m Assim no plano XY G j é uma circunferência com centro em X 2 1 Y 0 e raio igual a 2 1 como mostra a Figura 726b O semicírculo inferior corresponde a 0 e o semicírculo superior a 0 O diagrama polar da função de transferência 1 jT é simplesmente a metade superior da reta que passa pelo ponto 10 no plano complexo e é paralela ao eixo imaginário como mos tra a Figura 727 O diagrama polar de 1 jT tem uma aparência completamente diferente da aparência de 11 jT Fatores quadráticos 1 2z jn jn21 As porções relativas às baixas e às altas frequências do diagrama polar da seguinte função de transferência senoidal G j j j 1 2 1 n n 2 g c c h m m para ζ 0 são dadas respectivamente por lim 0 G j 1 0c e lim 3 G j 0 180c O diagrama polar dessa função de transferência senoidal iniciase em 1 0c e termina em 0 180c à medida que aumenta de zero a infinito Assim a parte relativa à alta frequência de G j é tangente ao eixo real negativo A Figura 728 apresenta exemplos do diagrama polar da função de transferência considerada A forma exata do diagrama polar depende do valor do coeficiente de amortecimento z mas a forma geral do diagrama é a mesma tanto para o caso subamortecido 1 z 0 como para o superamortecido z 1 Para o caso subamortecido em que n temos G jn 1 j2z e o ângulo de fase em que n é 90 Portanto podese observar que a frequência na qual o lugar geométrico de G j cruza o eixo imaginário é a frequência natural não amortecida n No diagrama polar a frequência cujo ponto está mais distante da origem corresponde à frequência de ressonância r O valor de pico de G j é obtido pela relação entre o módulo do vetor na frequência de ressonância r e o módulo do vetor em 0 A frequência de ressonância r está indicada no diagrama polar da Figura 729 Para o caso superamortecido à medida que z aumenta muito além da unidade o lugar geomé trico de G j aproximase de uma semicircunferência Podese observar esse fato nos sistemas muito amortecidos em que as raízes características são reais e uma delas é bem menor que a outra Dado que para z suficientemente grande o efeito da maior raiz maior em valor absoluto na resposta é muito pequeno o sistema se comporta como de primeira ordem A seguir considere a seguinte função de transferência senoidal G j j j j 1 2 1 2 n n n n 2 2 2 g g c c e e h m m o o A porção da curva relativa às baixas frequências é lim 0 G j 1 0c e a porção relativa às altas frequências é lim 3 G j 180c Como a parte imaginária de G j é positiva para 0 e é monotonicamente crescente e a parte real de G j decresce monotonicamente a partir da unidade a forma geral do diagrama polar de G j é a indicada na Figura 730 O ângulo de fase fica entre 0 e 180 394 Engenharia de controle moderno FIGURA 727 Im Re 0 1 0 Diagrama polar de 1 jT FIGURA 729 Im Re 0 Pico de ressonância n r 0 Diagrama polar que indica o pico de ressonância e a frequência de ressonância r FIGURA 730 Im Re 0 0 1 Diagrama polar de 1 2 j j n n 2 g c c m m para z 0 FIGURA 728 0 Im Re 0 1 ζ Grande ζ Pequeno n n n n Diagrama polar de j j 1 2 1 n n 2 g c c m m para z 0 395 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Exemplo 78 Considere a seguinte função de transferência de segunda ordem G s s Ts 1 1 h h Construa o diagrama polar dessa função de transferência Como a função de transferência senoidal pode ser escrita como segue G j j j T T T j T 1 1 1 1 1 2 2 2 2 h h h a porção relativa à baixa frequência do diagrama polar é lim 0 G j T j e a porção relativa à alta frequência é lim 3 G j 0 j0 A Figura 731 apresenta a forma geral do diagrama polar de G j O diagrama de G j é assintótico em relação à reta vertical que passa pelo ponto T 0 Como essa função de transfe rência possui um integrador 1s a forma geral do diagrama polar difere substancialmente dos diagramas da função de transferência de segunda ordem que não têm um integrador Exemplo 79 Obtenha o diagrama polar da seguinte função de transferência G j j T e 1 j L h Como G j pode ser escrita como G j e j T 1 1 j L c h h m o módulo e o ângulo de fase são respectivamente G j e j T T 1 1 1 1 j L 2 2 h e tg G j e j T L T 1 1 j L 1 h Visto que o módulo decresce monotonicamente a partir da unidade e o ângulo de fase também decresce monotônica e indefinidamente o diagrama polar da função de transferência dada é uma espiral como mostra a Figura 732 FIGURA 731 Im Re 0 0 T Diagrama polar de 1j1 jT 396 Engenharia de controle moderno Formas gerais do diagrama polar Os diagramas polares de uma função de transferência como G j j j T j T K j T j T a j a j b j b j 1 1 1 1 a b n n m m 1 2 1 0 1 1 1 0 g g g g m h h h h h h h h h h onde n m ou o grau do polinômio do denominador é maior que o do numerador terão as seguintes formas gerais 1 Para λ 0 ou sistemas tipo 0 o ponto de início do diagrama polar que corresponde a 0 é finito e está sobre o eixo real positivo A tangente do diagrama polar em 0 é perpendicular ao eixo real O ponto terminal que corresponde a está sobre a origem e a curva é tangente a um dos eixos 2 Para λ 1 ou sistemas tipo 1 o termo j no denominador contribui com 90 do ângulo de fase total de G j para 0 Em 0 o módulo de G j é infinito e o ângulo de fase é 90 Em baixas frequências o diagrama polar é assintótico a uma reta paralela ao eixo imaginário negativo Em o módulo tornase nulo e a curva converge para a origem tangenciando um dos eixos 3 Para λ 2 ou sistemas tipo 2 o termo j2 no denominador contribui com 180 para o ângulo de fase total de G j para 0 Em 0 o módulo de G j é infinito e o ângulo de fase é igual a 180 Em baixas frequências o diagrama polar pode ser assintótico a uma reta paralela ao eixo real negativo Em o módulo tornase nulo e a curva é tangente a um dos eixos As formas gerais dos ramos de baixa frequência dos diagramas polares dos sistemas dos tipos 0 1 e 2 são apresentadas na Figura 733 Podese observar que se o grau do polinômio do denominador de G j for maior que o do numerador então os lugares geométricos de G j vão convergir para a origem no sentido horário Em os lugares são tangentes a um ou outro eixo como mostra a Figura 734 FIGURA 732 Im Re 1 Diagrama polar de ejL1 jT FIGURA 733 Im Re 0 0 0 0 Sistema tipo 2 Sistema tipo 1 Sistema tipo 0 Diagrama polar de sistemas tipos 0 1 e 2 397 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Note que quaisquer formas complicadas nas curvas do diagrama polar são causadas pela dinâ mica do numerador isto é pelas constantes de tempo no numerador da função de transferência A Figura 735 mostra exemplos de gráficos polares de funções de transferência com dinâmica no numerador Na análise de sistemas de controle o diagrama polar de G j deve ser determinado com precisão na faixa de frequências de interesse A Tabela 71 apresenta traçados de diagramas polares de diversas funções de transferência Construção de diagramas de Nyquist com o MATLAB Os diagramas de Nyquist assim como os diagramas de Bode são comumente utilizados para a representação da resposta em frequência de sistemas de controle com realimentação lineares e invariantes no tempo Os dia gramas de Nyquist são diagramas polares enquanto os diagramas de Bode são retangulares Um dos diagramas pode ser mais conveniente para uma operação em particular mas dada operação sempre pode ser conduzida por qualquer um dos dois diagramas O comando MATLAB nyquist calcula a resposta em frequência de sistemas de tempo con tínuo lineares e invariantes no tempo Quando executado sem argumentos no lado esquerdo o comando nyquist fornece um diagrama de Nyquist na tela do monitor O comando nyquistnumden desenha o diagrama de Nyquist da função de transferência G s s s den num h h h FIGURA 734 Im Re 0 n m 1 n m 2 n m 3 Gj bojm aojn Diagramas polares em alta frequência FIGURA 735 Im Re 0 0 Im Re 0 0 Diagramas polares de funções de transferência com dinâmica no numerador 398 Engenharia de controle moderno onde num e den contêm os coeficientes dos polinômios em ordem decrescente dos expoentes de s Outros comandos nyquist geralmente utilizados são nyquistnumdenw nyquistABCD nyquistABCDw nyquistABCDiuw nyquistsys O comando que contém o vetor frequência w especificado pelo usuário como nyquistnumdenw calcula a resposta em frequência para os vários valores da frequência especificados em radianos por segundo Quando executado com argumentos no lado esquerdo como reimw nyquistnumden reimw nyquistnumdenw TABELA 71 Im Re Im Re 0 0 0 Im Re Im Re 0 0 Im Re Im Re 0 Im Im Im Im Re Re Re Re 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 j 1 1 1 1 jT jT 1 jT jω jT 1 jT 1 a 0 0 0 0 0 1 j2 1 jT 1 jaT a 1 1 1 jT1 1 jT2 1 jT3 n2 jj2 2ζn j n2 1 jT1 j 1 jT2 1 jT3 1 Diagramas polares de funções de transferência simples 399 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência reimw nyquistABCD reimw nyquistABCDw reimw nyquistABCDiuw reimw nyquistsys o MATLAB retorna a resposta em frequência do sistema nas matrizes re im e w Nenhum diagrama é apresentado na tela As matrizes re e im contêm as partes real e imaginária da resposta em frequência do sistema calculadas em pontos de frequências especificados no vetor w Note que re e im têm tantas colunas quantas forem as respostas e uma linha para cada elemento de w Exemplo 710 Considere a seguinte função de transferência de malha aberta G s s 0 8s 1 1 2 h Desenhe um diagrama de Nyquist com o MATLAB Como o sistema é dado na forma da função de transferência o comando nyquistnumden pode ser utilizado para traçar um diagrama de Nyquist O Programa 75 em MATLAB produz o diagrama de Nyquist indicado na Figura 736 Nesse diagrama os intervalos nos eixos real e imaginário são automaticamente determinados Programa 75 em MATLAB num 1 den 1 08 1 nyquistnumden grid titleDiagrama de Nyquist de Gs 1s2 08s 1 Se desejarmos traçar o diagrama de Nyquist utilizando intervalos de valores determinados manualmente por exemplo 2 a 2 sobre o eixo real e 2 a 2 no eixo imaginário digitamos o seguinte comando no computador v 2 2 2 2 axisv FIGURA 736 Eixo real 05 1 15 05 1 0 Eixo imaginário 15 15 05 1 0 05 1 Diagrama de Nyquist de Gs 1s2 08s 1 Diagrama de Nyquist de G s s 0 8s 1 1 2 h 400 Engenharia de controle moderno ou combinando essas duas linhas em apenas uma axis 2 2 2 2 Veja o Programa 76 em MATLAB e o diagrama de Nyquist resultante indicado na Figura 737 Programa 76 em MATLAB Diagrama de Nyquist num 1 den 1 08 1 nyquistnumden v 2 2 2 2 axisv grid titleDiagrama de Nyquist de Gs 1s2 08s 1 Atenção Na construção do diagrama de Nyquist em que uma operação MATLAB apresenta Divide by zero divisão por zero o diagrama de Nyquist resultante pode estar incorreto Por exemplo se a função de transferência de Gs for dada por G s s s 1 1 h h então o comando MATLAB num 1 den 1 1 0 nyquistnumden produzirá um diagrama de Nyquist incorreto Um exemplo de diagrama de Nyquist com erro é apresentado na Figura 738 Se esse diagrama de Nyquist indesejado aparecer na tela do com putador será possível fazer a correção especificandose axisv Por exemplo se executarmos o comando axis v 2 2 5 5 axisv no computador então será possível obter o diagrama de Nyquist corretoVeja o Exemplo 711 FIGURA 737 Eixo real 2 2 15 15 1 05 0 05 1 Eixo imaginário 1 05 2 2 05 15 0 1 15 Diagrama de Nyquist de Gs 1s2 08s 1 Diagrama de Nyquist de G s s 0 8s 1 1 2 h 401 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Exemplo 711 Desenhe o diagrama de Nyquist da seguinte Gs G s s s 1 1 h h O Programa 77 em MATLAB produzirá um diagrama correto de Nyquist na tela do monitor mesmo que a mensagem Divide by zero possa aparecer na tela A Figura 739 mostra o diagrama de Nyquist resultante Programa 77 em MATLAB Diagrama de Nyquist num 1 den 1 1 0 nyquistnumden v 2 2 5 5 axisv grid titleDiagrama de Nyquist de Gs 1ss 1 FIGURA 738 Eixo real 12 14 0 04 02 08 1 06 Eixo imaginário 150 150 50 100 0 50 100 Diagrama de Nyquist Diagrama de Nyquist incorreto FIGURA 739 Eixo real 15 2 1 2 05 15 05 1 0 Eixo imaginário 2 1 5 5 1 2 3 4 0 3 4 Diagrama de Nyquist de Gs 1ss 1 Diagrama de Nyquist de G s s s 1 1 h h 402 Engenharia de controle moderno Note que o diagrama de Nyquist apresentado na Figura 739 inclui os lugares tanto para 0 como para 0 Se desejarmos traçar o diagrama de Nyquist somente para as regiões em que a frequência é positiva 0 então será necessário utilizar o comando reimwnyquistnumdenw O Programa 78 em MATLAB utiliza esse comando nyquist A Figura 740 apresenta o diagrama de Nyquist resultante Programa 78 em MATLAB Diagrama de Nyquist num 1 den 1 1 0 w 0101100 reimw nyquistnumdenw plotreim v 2 2 5 5 axisv grid titleDiagrama de Nyquist de Gs 1ss 1 xlabelEixo real ylabelEixo imaginário Desenho de diagramas de Nyquist de um sistema definido no espaço de estados Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx Du onde x vetor de estado vetor n y vetor de saída vetor m u vetor de controle vetor r A matriz de estado matriz n n B matriz de controle matriz n r C matriz de saída matriz m n D matriz de transmissão direta matriz m r FIGURA 740 Eixo real 15 2 1 2 05 15 05 1 0 Eixo imaginário 2 1 5 5 1 2 3 4 0 3 4 Diagrama de Nyquist de Gs 1ss1 Diagrama de Nyquist de G s s s 1 1 h h para 0 403 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Podese obter o diagrama de Nyquist para esse sistema por meio do comando nyquistABCD Esse comando produz uma série de diagramas de Nyquist um para cada combinação de entrada e de saída do sistema O intervalo de valores de frequência é determinado automaticamente O comando nyquistABCDiu produz diagramas de Nyquist a partir da entrada única iu para todas as saídas do sistema com o intervalo de valores de frequência determinado automaticamente O escalar iu é um índice na entrada do sistema e especifica a entrada a ser utilizada para a resposta em frequência O comando nyquistABCDiuw utiliza o vetor w com valores de frequência especificados pelo usuário O vetor w especifica as frequências em radianos por segundo em que a resposta em frequência deve ser calculada Exemplo 712 Considere o sistema definido por x x x x u y x x u 0 25 1 4 0 25 1 0 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 6 G G G G G Desenhe o diagrama de Nyquist Esse sistema possui uma única entrada u e uma única saída y O diagrama de Nyquist pode ser obtido por meio do comando nyquistABCD ou do comando nyquistABCD1 O Programa 79 em MATLAB fornecerá o diagrama de Nyquist Note que se obtém o mesmo resultado utilizando qualquer um dos dois comandos A Figura 741 apresenta o diagrama de Nyquist fornecido pelo Programa 79 em MATLAB FIGURA 741 Eixo real 04 06 06 1 04 08 0 02 02 12 Eixo imaginário 1 0 15 05 05 15 1 Diagrama de Nyquist Diagrama de Nyquist do sistema considerado no Exemplo 712 404 Engenharia de controle moderno Programa 79 em MATLAB A 0 125 4 B 025 C 1 0 D 0 nyquistABCD grid titleDiagrama de Nyquist Exemplo 713 Considere o sistema definido por x x x x u u y y x x u u 1 6 5 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 o o G G G G G G G G G G Esse sistema possui duas entradas e duas saídas Existem quatro relações senoidais de entrada saída Y1 jU1 jY2 jU1 j Y1 jU2 j e Y2 jU2 j Desenhe o diagrama de Nyquist para o sistema Quando se considera a entrada u1 presumimos que a entrada u2 seja zero e viceversa Podese obter os quatro diagramas de Nyquist utilizando o comando nyquistABCD O Programa 710 em MATLAB produz os quatro diagramas de Nyquist que são apresentados na Figura 742 Programa 710 em MATLAB A 1 165 0 B 1 11 0 C 1 00 1 D 0 00 0 nyquistABCD FIGURA 742 4 2 0 2 4 1 05 0 05 1 4 2 0 2 4 4 2 0 2 4 1 2 0 1 Eixo real 3 1 2 0 1 3 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 De U1 De U2 De U1 De U2 Eixo real Eixo real Eixo real Para Y2 Eixo imaginário Para Y1 Para Y2 Para Y1 Diagramas de Nyquist Os diagramas de Nyquist considerados no Exemplo 713 405 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 74 Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase Outra maneira de representar graficamente as características da resposta em frequência é com a utilização do diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase que é um diagrama do módulo em decibéis versus o ângulo de fase ou a margem de fase para uma gama de valores de frequência de interesse A margem de fase é a diferença entre o próprio ângulo de fase z e 180 isto é z 180 180 z A curva é graduada em termos da frequência Esses diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase normalmente são chamados carta de Nichols No diagrama de Bode as características de resposta em frequência de G j são representadas em papel semilog por duas curvas separadas a curva de módulo em dB e a curva de ângulo de fase enquanto no diagrama do módulo em dB versus ângulo de fase as duas curvas do diagrama de Bode são combinadas em uma única No método manual o diagrama do módulo em dB ver sus fase pode ser construído facilmente pela leitura dos valores do módulo em dB e do ângulo de fase a partir do diagrama de Bode Note que no diagrama de módulo em dB versus fase uma variação na constante de ganho de G j simplesmente desloca a curva para cima para ganhos crescentes ou para baixo para ganhos decrescentes mas a forma da curva permanece a mesma As vantagens do diagrama de módulo em dB versus fase são que a estabilidade relativa do sistema de malha fechada pode ser determinada rapidamente e que a compensação pode ser reali zada com facilidade O diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase da função de transferência senoidal G j e o de 1G j são antissimétricos em relação à origem pois dB dB G j G j 1 em em h h e G j G j 1 h h FIGURA 743 0 5 5 10 0 90 180 G em dB G Mr Mr 02n 05n n 2n r a 0 0 Im Re r n r n Mr b c 12 15 6 3 0 1 6 3 9 90 180 0 G em dB G Três representações da resposta em frequência de j j 1 2 1 n n 2 g c c m m para z 0 a Diagrama de Bode b diagrama polar c diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase 406 Engenharia de controle moderno A Figura 743 compara as curvas de resposta em frequência de G j j j 1 2 1 n n 2 g c c h m m em três diferentes representações No diagrama de módulo em dB versus fase a distância ver tical entre os pontos 0 e r onde é a frequência de ressonância é o valor de pico de G j em decibéis Como as características do módulo em dB e do ângulo de fase das funções de transferência básicas foram discutidas em detalhes nas seções 72 e 73 aqui será suficiente dar exemplos de alguns diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase A Tabela 72 mostra esses exemplos Entretanto na Seção 76 falaremos mais sobre as cartas de Nichols 75 Critério de estabilidade de Nyquist O critério de estabilidade de Nyquist determina a estabilidade de um sistema de malha fechada com base na resposta em frequência de malha aberta e nos polos de malha aberta TABELA 72 G em dB 20 10 0 10 20 180 0 180 G G em dB 20 10 0 10 20 180 0 180 G G em dB 20 10 0 10 20 180 0 180 G G em dB 20 10 0 10 20 180 0 180 G G em dB 20 10 0 10 20 180 0 180 G G em dB 20 10 0 10 20 180 0 180 G 0 1 G 1 j G 1 1 jT 0 G j2 2ζnj n2 n2 G 1 jT G ejL G 1 j1 jT 0 0 0 0 Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase de funções de transferência simples 407 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Esta seção apresenta as bases matemáticas para o entendimento do critério de estabilidade de Nyquist Considere o sistema de malha fechada da Figura 744 A função de transferência de malha fechada é R s C s G s H s G s 1 h h h h h Para obter estabilidade todas as raízes da equação característica 1 GsHs 0 devem ficar no semiplano esquerdo do plano s Observe que embora os polos e os zeros da função de transferência de malha aberta GsHs possam estar no semiplano direito do plano s o sistema é estável se todos os polos da função de transferência de malha fechada isto é as raízes da equação característica estiverem no semiplano esquerdo do plano s O critério de estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em frequência de malha aberta G jH j ao número de zeros e polos de 1 GsHs que se situam no semiplano direito do plano s Esse critério deduzido por H Nyquist é útil na engenharia de controle porque a estabilidade absoluta do sistema de malha fechada pode ser determinada graficamente a partir das curvas de resposta em frequência de malha aberta e não há necessidade de determinar de maneira efetiva os polos de malha fecha da As curvas de resposta em frequência de malha aberta obtidas analítica e experimentalmente podem ser utilizadas na análise de estabilidade Isso é conveniente porque no projeto de um sistema de controle expressões matemáticas de alguns dos componentes frequentemente não são conhecidas apenas os dados da resposta em frequência estão disponíveis O critério de estabilidade de Nyquist é fundamentado em um teorema a partir da teoria de variáveis complexas Para entender o critério primeiro discutiremos o mapeamento de contornos no plano complexo Vamos supor que a função de transferência de malha aberta GsHs seja representada pela relação de polinômios em s Para um sistema fisicamente realizável o grau do polinômio do denominador da função de transferência de malha fechada deve ser maior ou igual ao do polinô mio do numerador Isso significa que para qualquer sistema realizável fisicamente o limite de GsHs à medida que s tende ao infinito é nulo ou uma constante Estudo preliminar A equação característica do sistema indicado na Figura 744 é Fs 1 GsHs 0 Mostraremos que a dada trajetória contínua e fechada no plano s que não passe por quaisquer pontos singulares corresponde uma curva fechada no plano Fs O número e o sentido dos envolvimentos da origem do plano Fs pela curva fechada desempenham um papel particular mente importante no que segue Posteriormente o número e o sentido dos envolvimentos serão relacionados à estabilidade do sistema Considere por exemplo a seguinte função de transferência de malha aberta G s H s s 1 2 h h FIGURA 744 Rs Cs Gs Hs Sistema de malha fechada 408 Engenharia de controle moderno A equação característica é F s G s H s s s s 1 1 1 2 1 1 0 h h h 715 A função Fs é analítica1 em todos os pontos do plano s exceto em seus pontos singulares Para cada ponto de analiticidade no plano s corresponde um ponto no plano Fs Por exemplo se s 2 j1 então Fs será 2 1 F j j j j 2 1 2 1 1 2 1 1 h Assim o ponto s 2 j1 no plano s é mapeado no ponto 2 j1 no plano Fs Portanto como foi dito anteriormente a dada trajetória contínua e fechada no plano s que não passe por quaisquer pontos singulares corresponde uma curva fechada no plano Fs Para a equação característica Fs dada pela Equação 715 o mapeamento conforme as linhas 0 1 2 e das linhas v 0 1 2 veja a Figura 745a fornece os círculos no plano Fs como mostra a Figura 745b Suponha que o ponto representativo s trace um contorno no sentido horário no plano s Se o contorno no plano s envolver o polo de Fs o lugar geométrico de Fs envolverá uma vez a origem do plano Fs no sentido antihorário Veja a Figura 746a Se o contorno no plano s envolver um zero de Fs haverá um envolvimento da origem do plano Fs pelo lugar geométrico de Fs no sentido horário Veja a Figura 746b Se o contorno no plano s envolver tanto o zero como o polo ou se o contorno não envolver nem o zero nem o polo então não haverá o envolvimento da origem do plano Fs pelo lugar geométrico de Fs Veja as figuras 746 c e d Pela análise precedente podemos ver que o sentido do envolvimento da origem do plano Fs pelo lugar geométrico de Fs depende do fato de o contorno no plano s envolver um polo ou um zero Note que a localização de um polo ou um zero no plano s seja no semiplano direito ou no semiplano esquerdo não faz nenhuma diferença mas o envolvimento de um polo ou um zero faz Se o contorno no plano s envolver igual número de polos e de zeros então a curva fechada correspondente no plano Fs não envolverá a origem do plano Fs A discussão precedente é uma explicação gráfica do teorema do mapeamento que é a base do critério de estabilidade de Nyquist 1 Uma função complexa Fs é dita analítica em uma região se Fs e todas as suas derivadas existirem nessa região FIGURA 745 Plano s Plano Fs 3 2 0 2 2 3 4 2 3 Re Im j 2 v 1 v 2 v 1 v 0 2 1 1 v 2 v 0 2 1 0 1 2 j2 j1 j1 j2 1 1 3 1 a b Mapeamento conforme da grade do plano s no plano Fs onde Fs s 1s 1 409 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Teorema do mapeamento Seja Fs a relação de dois polinômios em s Seja P o número de polos e Z o número de zeros de Fs que estão no interior de um contorno fechado no plano s considerandose a multiplicidade dos polos e dos zeros Esse contorno não deve passar por nenhum dos polos ou zeros de Fs Esse contorno no plano s é então mapeado no plano Fs como uma curva fechada Quando o ponto representativo descreve todo o contorno do plano s no sentido horário o número total N de envolvimentos da origem no sentido horário no plano Fs é igual a Z P Note que por esse teorema do mapeamento o número de zeros e polos não pode ser determinado apenas sua diferença Não apresentaremos aqui a prova formal desse teorema mas deixamos essa prova para o Problema A76 Note que um número positivo N indica um excesso de zeros em relação aos polos na função Fs e um N negativo indica um excesso de polos em relação aos zeros Nas aplicações que envolvem sistemas de controle o número P pode ser facilmente determinado por Fs 1 GsHs a partir da função GsHs Portanto se N for determinado a partir do diagrama FIGURA 746 j Plano s j2 j1 0 j1 j2 3 1 1 2 2 A B C D v j j2 j1 0 j1 j2 3 1 1 2 A B C D v j j2 0 j2 3 1 1 A B C D v j 0 3 1 1 2 2 G H F E C D B A v Im Plano Fs 2 1 0 1 2 1 2 A A D D A C B B C D E F G B C D C B Re Im 2 1 0 1 2 1 2 Re Im 2 1 0 1 2 1 1 2 Re Im 2 1 0 1 2 3 1 1 2 Re 3 1 3 1 2 2 2 j1 j1 j2 j1 j1 j2 3 H A a b c d Contornos fechados no plano s e suas curvas fechadas correspondentes no plano Fs onde Fs s 1 s 1 410 Engenharia de controle moderno de Fs o número de zeros no interior do contorno fechado do plano s poderá ser determinado facilmente Observe que as formas exatas do contorno no plano s e do lugar geométrico de Fs são irrelevantes no que se refere ao envolvimento da origem uma vez que os envolvimentos dependem apenas da inclusão dos polos eou dos zeros de Fs pelo contorno no plano s Aplicações do teorema do mapeamento à análise de estabilidade dos sistemas de malha fechada Para a análise de estabilidade dos sistemas de controle lineares fazemos o contorno no plano s envolver todo o semiplano direito O contorno é constituído por todo o eixo j de a e de um percurso semicircular de raio infinito no semiplano direito do plano s Esse contorno é denominado percurso de Nyquist Esse percurso é feito no sentido horário O percurso de Nyquist envolve todo o semiplano direito do plano s e todos os zeros e polos de 1 GsHs que têm partes reais positivas Se no semiplano direito do plano s não houver zeros de 1 GsHs então também não haverá polos de malha fechada e o sistema será estável É necessário que o contorno fechado ou o percurso de Nyquist não passe sobre zeros e polos de 1 GsHs Se GsHs tiver um polo ou polos na origem do plano s o mapeamento do plano s 0 fica indeterminado Nesses casos a origem é evitada tomandose um desvio ao seu redor Uma discussão detalhada desse caso especial será feita posteriormente Se o teorema do mapeamento for aplicado ao caso especial em que Fs é igual a 1 GsHs então poderemos fazer a seguinte afirmação se o contorno fechado no plano s envolver todo o semiplano direito do plano s como mostra a Figura 747 então o número de zeros no semiplano direito da função Fs 1 GsHs será igual ao número de polos da função Fs 1 GsHs no semiplano direito do plano s mais o número de envolvimentos no sentido horário da origem do plano 1 GsHs pela curva fechada correspondente nesse último plano Tendo sido admitida a condição de lim s 0 1 GsHs constante a função de 1 GsHs permanece constante à medida que s percorre a semicircunferência de raio infinito Por essa razão podese determinar o envolvimento da origem do plano 1 GsHs pelo lugar geométrico de 1 GsHs considerando apenas uma parte do contorno fechado no plano s a saber o eixo j Os envolvimentos da origem se houver algum ocorrerão somente enquanto um ponto representativo se mover de j para j ao longo do eixo j contanto que não haja nenhum zero ou polo no eixo j Note que a parte do contorno de 1 GsHs de a é simplesmente 1 G jH j Como 1 G jH j é a soma vetorial do vetor unitário e do vetor G jH j 1 G jH j é idêntico ao vetor traçado a partir do ponto 1 j0 ao ponto terminal do vetor G jH j como mostra a Figura 748 O envolvimento da origem pelo diagrama de 1 G jH j é exatamente equivalente ao envolvimento do ponto 1 j0 pelo lugar geométrico de G jH j Assim a esta bilidade de um sistema de malha fechada pode ser investigada examinandose os envolvimentos do ponto 1 j0 pelo lugar geométrico de G jH jO número de envolvimentos no sentido horário do ponto 1 j0 pode ser encontrado traçandose um vetor com origem no ponto 1 j0 e extremi FIGURA 747 j v 0 Plano s Contorno fechado no plano s 411 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência dade no lugar geométrico de G jH j com início em passando por 0 e terminando em e contandose o número de rotações do vetor no sentido horário A construção do gráfico de G jH j relativo ao percurso de Nyquist é direta O mapea mento do eixo negativo j é a imagem especular em relação ao eixo real do mapeamento do eixo positivo j isto é o diagrama de G jH j e o diagrama de GjHj são simétricos em relação ao eixo real A semicircunferência de raio infinito é mapeada na origem do plano GH ou em um ponto do eixo real do plano GH Na discussão precedente admitiuse que GsHs fosse uma relação de dois polinômios em s Portanto o retardo de transporte eTs foi excluído da discussão Note entretanto que uma discussão similar é aplicável aos sistemas com retardo de transporte embora aqui não seja apre sentada nenhuma comprovação A estabilidade de um sistema com retardo de transporte pode ser determinada a partir das curvas de resposta em frequência de malha aberta examinandose o número de envolvimentos do ponto 1 j0 como no caso de um sistema cuja função de trans ferência de malha aberta é uma relação de dois polinômios em s Critério de estabilidade de Nyquist A análise anterior utilizando o envolvimento do ponto 1 j0 pelo lugar geométrico de G jH j é resumida no seguinte critério de estabilidade de Nyquist Critério de estabilidade de Nyquist para um caso especial em que GsHs não possui nem polos nem zeros sobre o eixo j no sistema indicado na Figura 744 se a função de transferência de malha aberta GsHs tiver k polos no semiplano direito do plano s e lim s 0 GsHs constante então por questão de estabilidade o lugar geométrico de G jH j à medida que varia de a deve envolver o ponto 1 j0 k vezes no sentido antihorário Observações sobre o critério de estabilidade de Nyquist 1 Esse critério pode ser expresso como Z N P onde Z número de zeros de 1 GsHs no semiplano direito do plano s N número de envolvimentos do ponto 1 j0 no sentido horário P número de polos GsHs no semiplano direito do plano s Se P não for zero para um sistema de controle estável devese ter Z 0 ou N P o que significa que se deve ter P envolvimentos do ponto 1 j0 no sentido antihorário Se GsHs não tiver nenhum polo no semiplano direito do plano s então Z N Portanto para que haja estabilidade não devem existir envolvimentos do ponto 1 j0 pelo lugar geométrico de G jH j Nesse caso não é necessário considerar o lugar geométrico para todo o eixo j apenas para a parte relativa à frequência positiva A FIGURA 748 Im Re 0 1 1 Gj Hj Im Re 0 1 1 Gj Hj Gj Hj Plano GH Plano 1 GH Diagrama de 1 G jH j no plano 1 GH e no plano GH 412 Engenharia de controle moderno estabilidade desse sistema pode ser determinada verificandose se o ponto 1 j0 está envolvido pelo diagrama de Nyquist de G jH j A região envolvida pelo diagrama de Nyquist é apresentada pela Figura 749 Para que haja estabilidade o ponto 1 j0 deve estar fora da região sombreada 2 Devemos ser cuidadosos ao testarmos a estabilidade de sistemas de malhas múltiplas visto que eles podem incluir polos no semiplano direito do plano s Note que embora uma malha interna possa ser instável o sistema de malha fechada como um todo pode se tornar estável por meio de um projeto apropriado A verificação simples dos envolvimentos do ponto 1 j0 pelo lugar geométrico de G jH j não é suficiente para detectar a instabilidade em sistemas de múltiplas malhas Nesses casos entretanto podese determinar facilmente a possível existência de polos de 1 GsHs no semiplano direito do plano s aplicandose o critério de estabilidade de Routh ao denominador de GsHs Se funções transcendentais como o retardo de transporte eTs estiverem incluídas em GsHs estas devem ser aproximadas por uma expansão em série antes que o critério de estabilidade de Routh possa ser aplicado 3 Se o lugar geométrico de G jH j passar pelo ponto 1 j0 então os zeros da equação característica ou polos de malha fechada estão localizados sobre o eixo j Isso não é desejável para os sistemas de controle práticos Para um sistema de malha fechada bem projetado nenhuma das raízes da equação característica deve estar sobre o eixo j Caso especial em que GsHs possui polos eou zeros sobre o eixo j Na discussão anterior assumimos que a função de transferência de malha aberta GsHs não tivesse nem polos nem zeros na origem Agora será considerado o caso em que GsHs contém polos eou zeros sobre o eixo j Como o percurso de Nyquist não deve passar pelos polos ou zeros de GsHs se a função GsHs tiver polos ou zeros na origem ou sobre o eixo j em outros pontos que não a origem o contorno no plano s deve ser modificado O modo usual de modificar o contorno próximo à origem é utilizar uma semicircunferência de raio infinitesimal f como está indicado na Figura 750 Observe que essa semicircunferência pode estar no semiplano direito do plano s ou no semi plano esquerdo do plano s Aqui consideramos a semicircunferência no semiplano direito do plano s Um ponto s representativo movese ao longo do eixo negativo j de j a j0 A partir de s j0 a s j0 o ponto movese ao longo da semicircunferência de raio f onde f 1 e depois prossegue ao longo do eixo positivo j desde j0 até j A partir de s j o contorno segue uma semicircunferência de raio infinito e o ponto representativo movese de volta para o ponto de início s j A área que o contorno fechado modificado evita é muito pequena e tende a zero à medida que o raio f tende a zero Portanto todos os polos e zeros eventualmente existentes no semiplano direito do plano s são envolvidos por esse contorno FIGURA 749 Im Re 0 1 Plano GH Região envolvida por um diagrama de Nyquist 413 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Considere por exemplo um sistema de malha fechada cuja função de transferência de malha aberta seja dada por G s H s s Ts K 1 h h h Os pontos correspondentes a s j0 e s j0 no lugar geométrico de GsHs no plano GsHs são j e j respectivamente No percurso semicircular com raio f onde f 1 a variável complexa s pode ser escrita como s fejθ onde θ varia de 90 a 90 Então GsHs tornase G e H e e K K e j j j j f f f f i i i i h h O valor Kf tende a infinito à medida que f tende a zero e θ varia de 90 a 90 conforme um ponto representativo s se move ao longo da semicircunferência no plano s Portanto os pontos G j0H j0 j e G j0H j0 j são ligados por uma semicircunferência de raio infinito no semiplano direito do plano GH A semicircunferência infinitesimal em torno da origem no plano s mapeia no plano GH uma semicircunferência de raio infinito A Figura 751 mostra o contorno no plano s e o lugar geométrico de GsHs no plano GH Os pontos A B e C no contorno do plano s mapeiam nos respectivos pontos A B e C no lugar geométrico de Gs Hs Como se vê na Figura 751 os pontos D E e F na semicircunferência de raio infinito no plano s são mapeados na origem do plano GH Como não existem polos no semiplano direito do plano s e o lugar geométrico de GsHs não envolve o ponto 1 j0 não há zeros da função 1 GsHs no semiplano direito do plano s Portanto o sistema é estável Para uma função de transferência de malha aberta GsHs que envolve um fator 1sn onde n 2 3 o diagrama de GsHs descreve no sentido horário n semicircunferências de raio infinito em torno da origem à medida que um ponto representativo s se move ao longo do semicírculo de raio f onde f 1 Por exemplo considere a seguinte função de transferência de malha aberta G s H s s Ts K 1 2 h h h Então lim G s H s e K K e s e j j 2 2 2 2 j f f f i i i h h FIGURA 750 j j v v 0 Plano s Plano s j 0 j 0 s є e jθ є Contorno próximo à origem do plano s e contorno fechado no plano s que evita os polos e os zeros na origem 414 Engenharia de controle moderno Conforme θ varia de 90 a 90 no plano s o ângulo de GsHs varia de 180 a 180 como mostra a Figura 752 Uma vez que não há nenhum polo no semiplano direito do plano s e que o lugar geométrico envolve o ponto 1 j0 duas vezes no sentido horário para qualquer valor positivo de K existem dois zeros de 1 GsHs no semiplano direito do plano s Portanto o sistema é sempre instável Note que uma análise similar pode ser feita se GsHs possuir polos eou zeros sobre o eixo j O critério de estabilidade de Nyquist pode agora ser generalizado como segue Critério de estabilidade de Nyquist para um caso geral em que GsHs tem polos eou zeros no eixo j no sistema apresentado na Figura 744 se a função de trans ferência de malha aberta GsHs possuir k polos no semiplano direito do plano s então para que haja estabilidade o lugar geométrico de GsHs à medida que um ponto representativo s descrever o percurso modificado de Nyquist no sentido horário deverá envolver o ponto 1 j0 k vezes no sentido antihorário FIGURA 751 j v Plano s D C A B E F j 0 j 0 j j є 1 0 1 D E F Plano GH Re A B C Im 0 Contorno no plano s e o lugar geométrico de GsHs no plano GH onde GsHs KsTs 1 FIGURA 752 j Plano s v Plano GH Re j 0 j 0 j j є 1 0 0 1 Im Contorno no plano s e o lugar geométrico de GsHs no plano GH onde Gs Hs Ks2Ts 1 415 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 76 Análise de estabilidade Nesta seção apresentaremos vários exemplos ilustrativos da análise de estabilidade de sis temas de controle utilizando o critério de estabilidade de Nyquist Se o percurso de Nyquist no plano s envolver Z zeros e P polos de 1 GsHs e não passar por nenhum polo ou zero de 1 GsHs à medida que um ponto representativo s descrever o percurso de Nyquist no sentido horário então o contorno correspondente no plano GsHs envolverá o ponto 1 j0 N Z P vezes no sentido horário Valores negativos de N impli cam envolvimentos no sentido antihorário Examinando a estabilidade de sistemas lineares de controle utilizando o critério de estabilidade de Nyquist vemos que podem ocorrer três possibilidades 1 Não existe nenhum envolvimento do ponto 1 j0 Isso implica que o sistema será estável se não houver polos de GsHs no semiplano direito do plano s caso contrário o sistema será instável 2 Existe um ou mais envolvimentos do ponto 1 j no sentido antihorário Nesse caso o sistema será estável se o número de envolvimentos no sentido antihorário for o mesmo que o número de polos de GsHs no semiplano direito do plano s caso contrário o sistema será instável 3 Existe um ou mais envolvimentos do ponto 1 j0 no sentido horário Nesse caso o sistema é instável Nos exemplos a seguir vamos supor que os valores do ganho K e das constantes de tempo como T T1 e T2 sejam todos positivos Exemplo 714 Considere um sistema de malha fechada cuja função de transferência de malha aberta é dada por G s H s T s T s K 1 1 1 2 h h h h Examine a estabilidade do sistema Um diagrama de G jH j é apresentado na Figura 753 Dado que GsHs não tem nenhum polo no semiplano direito do plano s e que o ponto 1 j0 não é envolvido pelo lugar geométrico de G jH j esse sistema é estável para quaisquer valores positivos de K T1 e T2 Exemplo 715 Considere o sistema com a seguinte função de transferência G s H s s T s T s K 1 1 1 2 h h h h FIGURA 753 Im Re 1 Plano GH Gj Hj 0 Diagrama polar de G jH j considerado no Exemplo 714 416 Engenharia de controle moderno Determine a estabilidade do sistema para dois casos 1 o ganho K é pequeno e 2 K é grande A Figura 754 mostra os diagramas de Nyquist da função de transferência de malha aberta com um pequeno valor de K e com um valor elevado de K O número de polos de GsHs no semiplano direito do plano s é zero Portanto para que esse sistema seja estável é necessário que N Z 0 ou que o lugar geométrico de GsHs não envolva o ponto 1 j0 Para valores pequenos de K não há nenhum envolvimento do ponto 1 j0 Portanto o sistema é estável para valores pequenos de K Para valores elevados de K o lugar geométrico de GsHs envolve o ponto 1 j0 duas vezes no sentido horário indicando dois polos de malha fechada no semiplano direito do plano s e o sistema é instável Para que haja boa precisão do sistema K deve ser grande Do ponto de vista da estabilidade entretanto um valor elevado de K causa estabilidade deficiente ou até mesmo instabilidade Para obter uma conciliação entre precisão e estabilidade é necessário inserir uma rede de compensação no sistema As técnicas de compensação no domínio de frequência são discutidas nas seções 711 a 713 Exemplo 716 A estabilidade de um sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta G s H s s T s K T s 1 1 2 1 2 h h h h depende dos valores relativos de T1 e T2 Construa os diagramas de Nyquist e determine a esta bilidade do sistema A Figura 755 mostra os diagramas do lugar geométrico de GsHs para três casos T1 T2 T1 T2 e T1 T2 Para T1 T2 o lugar geométrico de GsHs não envolve o ponto 1 j0 e o sis tema de malha fechada é estável Para T1 T2 o lugar geométrico de GsHs passa pelo ponto 1 j0 o que indica que os polos de malha fechada estão localizados no eixo j Para T1 T2 o lugar geométrico de GsHs envolve o ponto 1 j0 duas vezes no sentido horário Portanto o sistema de malha fechada tem dois polos de malha fechada no semiplano direito do plano s e é instável FIGURA 754 Im Re Re 1 1 Plano GH 0 0 Im Plano GH 0 0 Pequeno valor de K Grande valor de K Estável Instável P 0 P 0 N 0 Z 0 N 2 Z 2 Diagramas polares do sistema considerado no Exemplo 715 417 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Exemplo 717 Considere o sistema de malha fechada que tem a seguinte função de transferência de malha aberta G s H s s Ts K 1 h h h Determine a estabilidade do sistema A função GsHs tem um polo s 1T no semiplano direito do plano s Portanto P 1 O diagrama de Nyquist apresentado na Figura 756 indica que o gráfico GsHs envolve o ponto 1 j0 uma vez no sentido horário Portanto N 1 Como Z N P determinamos que Z 2 Isso significa que o sistema de malha fechada tem dois polos de malha fechada no semiplano direito do plano s e é instável Exemplo 718 Investigue a estabilidade de um sistema de malha fechada com a seguinte função de transferên cia de malha aberta G s H s s s K s K 1 3 2 1 h h h h h A função de transferência de malha aberta tem um polo s 1 no semiplano direito do plano s ou P 1 O sistema de malha aberta é instável O diagrama de Nyquist mostrado na Figura 757 FIGURA 755 Im Re Plano GH 0 0 Im Re Plano GH 0 0 Im Re Plano GH 0 0 T1 T2 Estável T1 T2 O lugar geométrico de Gj Hj passa pelo ponto 1 j0 T1 T2 Instável Diagramas polares do sistema considerado no Exemplo 716 FIGURA 756 Im Re Plano GH 0 0 1 Diagrama polar do sistema considerado no Exemplo 717 418 Engenharia de controle moderno indica que o ponto 1 j0 é envolvido pelo lugar geométrico de GsHs uma vez no sentido antihorário Portanto N 1 Então Z é encontrado a partir de Z N P a zero o que indica que não há zeros de 1 GsHs no semiplano direito do plano s e o sistema de malha fechada é estável Este é um dos exemplos em que um sistema de malha aberta instável se torna estável quando em malha fechada Sistemas condicionalmente estáveis A Figura 758 mostra um exemplo de um lugar geomé trico de G jH j em que o sistema de malha fechada pode se tornar instável pela variação do ganho de malha aberta Se o ganho de malha aberta aumentar suficientemente o lugar geo métrico de G jH j envolverá o ponto 1 j0 duas vezes e o sistema se tornará instável Se o ganho de malha aberta diminuir suficientemente o lugar geométrico envolverá de novo o ponto 1 j0 duas vezes Para a operação estável do sistema considerado aqui o ponto 1 j0 não deve estar localizado nas regiões OA e BC indicadas na Figura 758 Sistemas como este que são estáveis apenas para intervalos limitados de valores do ganho de malha aberta em que o ponto 1 j0 fica completamente fora do lugar geométrico de G jH j são sistemas condicionalmente estáveis Um sistema condicionalmente estável é estável para valores de ganho de malha aberta que estejam entre valores críticos mas é instável se o ganho de malha aberta for aumentado ou dimi nuído Um sistema como este tornase instável quando é aplicado um sinal de entrada de grande amplitude dado que um grande sinal de entrada pode causar saturação o que por sua vez reduz o ganho de malha aberta do sistema É recomendável evitar essa situação FIGURA 757 Im Re Plano GH 0 0 1 Diagrama polar do sistema considerado no Exemplo 718 FIGURA 758 Im Re Plano GH 0 0 A B C Diagrama polar de um sistema condicionalmente estável 419 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Sistemas de malhas múltiplas Considere o sistema da Figura 759 Este é um sistema de malhas múltiplas A malha interna possui a função de transferência G s G s H s G s 1 2 2 2 h h h h Se Gs for instável os efeitos da instabilidade serão produzidos por um polo ou polos no semi plano direito do plano s Então a equação característica da malha interna 1 G2sH2s 0 possui um zero ou zeros no semiplano direito do plano s Se G2s e H2s tiverem polos aí então o número Z1 de zeros do semiplano direito do plano s de 1 G2sH2s poderá ser determinado a partir de Z1 N1 P1 onde N1 é o número de envolvimentos do ponto 1 j0 no sentido horário pelo lugar geométrico de G2sH2s Como a função de transferência de malha aberta do sistema inteiro é dada por G1sGsH1s a estabilidade desse sistema de malha fechada pode ser determinada pelo diagrama de Nyquist de G1sGsH1s e pelo conhecimento dos polos de G1sGsH1s do semiplano direito do plano s Note que se uma malha de realimentação for eliminada por meio de reduções do diagrama de blocos existe a possibilidade de serem introduzidos polos instáveis se o ramo direto for eliminado por meio de reduções do diagrama de blocos existe uma possibilidade de serem introduzidos zeros no semiplano direito Portanto devem ser observados todos os polos e os zeros do semi plano direito à medida que estes apareçam a partir de reduções de malhas intermediárias Esse conhecimento é necessário para a determinação da estabilidade de sistemas de malhas múltiplas Exemplo 719 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 760 O sistema contém duas malhas Deter mine o intervalo de valores do ganho K para a estabilidade do sistema por meio do critério de estabilidade de Nyquist O ganho K é positivo Para examinar a estabilidade do sistema de controle é necessário esboçar o lugar geométrico de Nyquist de Gs onde Gs G1sG2s FIGURA 759 Rs Cs Gs G1s G2s H1s H2s Sistema de malhas múltiplas FIGURA 760 Rs Cs Ks 05 G1s G2s 1 s2s 1 Sistema de controle 420 Engenharia de controle moderno Entretanto os polos de Gs não são conhecidos nesse ponto Portanto é necessário examinar a malha interna para saber se há polos no semiplano direito do plano s Isso pode ser feito facilmente pela aplicação do critério de estabilidade de Routh Dado que G s s s 1 1 2 3 2 h a tabela de Routh é a seguinte s3 1 0 s2 1 1 s1 1 0 s0 1 Observe que há duas mudanças de sinal na primeira coluna Então existem dois polos de G2s no semiplano direito do plano s Uma vez determinado o número de polos de G2s no semiplano direito do plano s fazemos o esboço do lugar geométrico do diagrama de Nyquist onde G s G s G s s s K s 1 0 5 1 2 3 2 h h h h Nosso problema é determinar o intervalo de valores do ganho K para que haja estabilidade Por essa razão em vez de construir o diagrama dos lugares geométricos de G j para vários valores de K traçamos o diagrama do lugar geométrico de Nyquist de G jK A Figura 761 mostra o diagrama de Nyquist ou diagrama polar de G jK FIGURA 761 Im 08 07 j15 G K Plano 06 09 j1 Gj K 04 1 j05 15 14 3 0 02 01 1 05 0 05 1 Re 2 j05 j1 j15 Diagrama polar de G jK 421 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Como Gs tem dois polos no semiplano direito do plano s temse P 2 Notando que Z N P para que haja estabilidade a condição é Z 0 ou N 2 Ou seja o lugar geométrico de G j deve envolver o ponto 1 j0 duas vezes no sentido antihorário A partir da Figura 761 vêse que se o ponto crítico estiver entre 0 e 05 então o lugar geométrico de G jK envolverá esse ponto duas vezes no sentido antihorário Portanto devemos ter 05K 1 A faixa de valores do ganho K para se ter estabilidade é 2 K Critério de estabilidade de Nyquist aplicado aos diagramas polares inversos Na análise anterior o critério de estabilidade de Nyquist foi aplicado aos diagramas polares da função de transferência de malha aberta GsHs Algumas vezes na análise de sistemas de malhas múltiplas a função de transferência inversa pode ser utilizada para permitir a análise gráfica isso evita grande parte do cálculo numérico O critério de estabilidade de Nyquist pode ser igualmente aplicado aos gráficos polares inversos A dedução matemática do critério de estabilidade de Nyquist dos diagramas polares inversos é a mesma que a dos diagramas polares diretos O diagrama polar inverso de G jH j é um gráfico de 1G jH j como uma função de Por exemplo se G jH j é G j H j j T j T 1 h h então 1 G j H j j T 1 1 h h O diagrama polar inverso para 0 é a metade inferior da reta vertical que tem início no ponto 1 0 sobre o eixo real O critério de estabilidade de Nyquist aplicado ao diagrama polar inverso pode ser expresso como segue para um sistema de malha fechada ser estável o envolvimento do ponto 1 j0 se houver pelo lugar geométrico de 1GsHs à medida que s percorrer o percurso de Nyquist deverá ser no sentido antihorário e o número desses envolvimentos deverá ser igual ao número de polos de 1GsHs isto é os zeros de GsHs que se situam no semiplano direito do plano s O número de zeros de GsHs no semiplano direito do plano s pode ser determinado pelo critério de estabilidade de Routh Se a função de transferência de malha aberta GsHs não tiver zeros no semiplano direito do plano s então para que o sistema de malha fechada seja estável o número de envolvimentos do ponto 1 j0 pelo lugar geométrico de 1GsHs deverá ser zero Note que embora o critério de estabilidade de Nyquist possa ser aplicado aos gráficos polares inversos se dados experimentais da resposta em frequência forem incorporados a contagem dos envolvimentos do lugar geométrico de 1GsHs pode ser difícil porque a mudança de fase correspondente à trajetória semicircular infinita no plano s é difícil de ser medida Por exemplo se a função de transferência de malha aberta GsHs envolver um retardo de transporte tal que G s H s s Ts Ke 1 j L h h h então o número de envolvimentos do ponto 1 j0 pelo lugar geométrico de 1GsHs se tornará infinito e o critério de estabilidade de Nyquist não poderá ser aplicado ao diagrama polar inverso dessa função de transferência de malha aberta Em geral se os dados experimentais da resposta em frequência não puderem ser colocados de maneira analítica tanto o lugar geométrico de G jH j como o de 1G jH j deverão ser construídos graficamente Além disso o número de zeros de GsHs no semiplano 422 Engenharia de controle moderno direito deve ser determinado Ou seja é mais difícil determinar os zeros de GsHs no semi plano direito em outras palavras determinar se dado componente é ou não de fase mínima do que determinar os polos de GsHs no semiplano direito em outras palavras determinar se o componente é ou não estável Dependendo de serem os dados gráficos ou analíticos e de estarem ou não incluídos compo nentes de fase não mínima deve ser utilizado um teste de estabilidade apropriado para sistemas de malhas múltiplas Se os dados forem fornecidos de maneira analítica ou se as expressões matemáticas para todos os componentes forem conhecidas a aplicação do critério de estabilidade de Nyquist aos diagramas polares inversos não causará dificuldade e os sistemas de múltiplas malhas poderão ser analisados e projetados no plano GH inverso Veja o Problema A715 77 Análise de estabilidade relativa Estabilidade relativa No projeto de um sistema de controle exigese que o sistema seja estável Além disso é necessário que o sistema tenha uma estabilidade relativa adequada Nesta seção mostraremos não apenas quando um sistema é estável mas também qual é o grau de estabilidade de um sistema estável O diagrama de Nyquist também fornece informações de como a estabilidade pode ser melhorada se isso for necessário Na discussão a seguir vamos supor que o sistema considerado tenha realimentação unitária Note que é sempre possível reduzir um sistema com elementos de realimentação a um sistema com realimentação unitária como mostra a Figura 762 Portanto é possível estender a análise de estabilidade relativa do sistema com realimentação unitária a sistemas com realimentação não unitária Vamos supor também que a menos que seja dito o contrário os sistemas sejam de fase míni ma isto é a função de transferência de malha aberta não possui polos nem zeros no semiplano direito do plano s Análise da estabilidade relativa pelo mapeamento conforme Um dos problemas impor tantes na análise de um sistema de controle é determinar todos os polos de malha fechada ou pelo menos aqueles mais próximos do eixo j ou o par dominante de polos de malha fechada Se as características da resposta em frequência de um sistema de malha aberta são conhecidas é possível estimar os polos de malha fechada mais próximos do eixo j Devese observar que não é necessário que o lugar geométrico de Nyquist de G j seja uma função analiticamente conhecida de O lugar geométrico de Nyquist como um todo pode ser obtido experimentalmente A técnica apresentada aqui é essencialmente gráfica e está baseada no mapeamento conforme do plano s no do plano Gs FIGURA 762 Rs Cs G H Rs GH Cs 1 H Modificação de um sistema com elementos na realimentação em um sistema com realimentação unitária 423 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Considere o mapeamento conforme das retas de v constante retas s v j onde v é constante e é variável e retas de constante retas s v j onde é constante e v é variável no plano s A reta v 0 o eixo j no plano s é mapeada no diagrama de Nyquist no plano Gs As retas de v constante no plano s são mapeadas em curvas similares ao diagrama de Nyquist e são de certo modo paralelas ao diagrama de Nyquist como mostra a Figura 763 As retas de constante no plano s são mapeadas em curvas também mostradas na Figura 763 Embora as formas dos lugares geométricos de v constante e constante no plano Gs e a proximidade do lugar geométrico de G j do ponto 1 j0 dependam de um Gs par ticular a aproximação do lugar geométrico de G j ao ponto 1 j0 é uma indicação da estabilidade relativa de um sistema estável Em geral esperase que quanto mais próximo o lugar geométrico de G j esteja do ponto 1 j0 maior será o máximo sobressinal na resposta transitória ao degrau e maior o tempo de acomodação Considere os dois sistemas mostrados nas figuras 764a e b Na Figura 764 os indi cam os polos de malha fechada O sistema a é obviamente mais estável do que o sistema b porque os polos de malha fechada do sistema a estão localizados mais à esquerda do que os do sistema b As figuras 765a e b mostram o mapeamento adequado das grades do plano s no plano Gs Quanto mais próximos do eixo j estiverem localizados os polos de malha fechada mais próximo estará o lugar geométrico de G j do ponto 1 j0 Margens de fase e de ganho A Figura 766 mostra os diagramas polares de G j para três valores diferentes do ganho K de malha aberta Para um valor elevado do ganho K o sistema é instável À medida que o ganho é reduzido a certo valor o lugar geométrico de G j passa pelo ponto 1 j0 Isso significa que com esse valor de ganho o sistema está no limite da instabilidade e apresentará oscilações sustentadas Para um valor pequeno do ganho K o sistema é estável FIGURA 763 Plano s j Gj v 0 j4 j3 j2 j1 v4 v3 v2 v1 Plano G Im Re 1 0 Curvas constantes v Curvas constantes 4 3 2 1 v4 v3v2 v1 Mapeamento conforme de grades do plano s no plano Gs FIGURA 764 Plano s j v 0 a b Plano s j v 0 Dois sistemas com dois polos de malha fechada cada um 424 Engenharia de controle moderno Em geral quanto mais próximo o lugar geométrico de G j chegar do envolvimento do ponto 1 j0 mais oscilatória será a resposta do sistema A proximidade do lugar geométrico G j do ponto 1 j0 pode ser utilizada como uma medida da margem de estabilidade Isso não se aplica entretanto aos sistemas condicionalmente estáveis É prática comum representar a proximidade em termos de margem de fase e margem de ganho Margem de fase a margem de fase é o atraso de fase adicional na frequência de cruzamento de ganho necessária para que o sistema atinja o limiar de instabilidade A frequência de cruzamento de ganho é a frequência na qual o módulo da função de transferência de malha aberta G j é unitário A margem de fase g é 180 mais o ângulo de fase z da função de transferência na frequência de malha aberta de cruzamento de ganho ou g 180 z As figuras 767a b e c ilustram a margem de fase tanto de um sistema estável como de um sistema instável em diagramas de Bode diagramas polares e diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase No diagrama polar podese traçar uma reta a partir da origem até o ponto em que a circunferência unitária cruza o lugar geométrico de G j Se a reta estiver abaixo acima do eixo real negativo então o ângulo g será positivo negativo O ângulo entre o eixo real negativo e essa reta é a margem de fase A margem de fase é positiva para g 0 e negativa para g 0 Para que um sistema de fase mínima seja estável a margem de fase deve ser positiva Nos diagramas logarítmicos o ponto crítico no plano complexo corresponde às retas 0 dB e 180 Margem de ganho a margem de ganho é o recíproca do módulo G j na fre quência em que o ângulo é 180 Definir a frequência de cruzamento de fase 1 FIGURA 765 Im Re Plano G 0 1 Gj a b Im Re Plano G 0 1 Gj Mapeamento conforme da grade do plano s dos sistemas mostrados na Figura 764 no plano Gs FIGURA 766 Im Re Plano G 0 1 K Grande K Pequeno K Ganho de malha aberta Diagramas polares de j j T j T K j T j T 1 1 1 1 a b 1 2 g g h h h h h 425 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência como a frequência em que o ângulo de fase da função de transferência de malha aberta é igual a 180 resulta na margem de ganho Kg K G j 1 g 1 h Em termos de decibéis Kg dB 20 log Kg 20 log G j1 A margem de ganho expressa em decibéis será positiva se Kg for maior que a unidade e será negativa se Kg for menor que a unidade Portanto uma margem de ganho positiva em decibéis FIGURA 767 G em dB G em dB 0 0 G em dB G em dB 90 180 270 90 180 270 G G Log Log Log Log Margem de ganho positiva Margem de fase positiva Margem de ganho negativa Margem de fase negativa Sistema estável Im Im Re Re Sistema instável Sistema estável Sistema instável Sistema estável Sistema instável a b c Margem de fase negativa Margem de fase negativa Margem de ganho positiva Margem de ganho positiva Margem de fase positiva Margem de fase positiva Margem de ganho negativa Margem de ganho negativa 1 Kg ϕ γ Gj Plano G Plano G 1 Kg ϕ γ Gj 1 1 1 1 0 0 270 180 90 270 180 90 G G Margens de ganho e de fase de sistemas estáveis e instáveis a Diagramas de Bode b diagramas polares c diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase 426 Engenharia de controle moderno significa que o sistema é estável e uma margem de ganho negativa em decibéis significa que o sistema é instável As figuras 767 a b e c mostram a margem de ganho Para um sistema de fase mínima estável a margem de ganho indica em quanto o ganho pode ser aumentado antes que o sistema se torne instável Para um sistema instável a margem de ganho é indicativa de quanto o ganho deve decrescer para que o sistema se torne estável A margem de ganho de um sistema de primeira ou de segunda ordens é infinita visto que os diagramas polares para esses sistemas não cruzam o eixo real negativo Portanto teoricamente os sistemas de primeira ou segunda ordens não podem ser instáveis Note entretanto que os sistemas ditos de primeira ou de segunda ordens são apenas aproximações no sentido de que pequenas constantes de tempo são desprezíveis na dedução de equações dos sistemas e portanto não são verdadeiramente sistemas de primeira ou de segunda ordens Se essas pequenas constantes de tempo forem levadas em consideração os sistemas denominados de primeira ou de segunda ordens poderão se tornar instáveis Devese observar que para um sistema de fase não mínima em que a malha aberta é instá vel a condição de estabilidade não será satisfeita a menos que o diagrama de G j envolva o ponto 1 j0 Portanto um sistema estável de fase não mínima terá margens de fase e de ganho negativas Também é importante destacar que os sistemas condicionalmente estáveis terão duas ou mais frequências de cruzamento de fase e alguns sistemas de ordem superior com dinâmicas complica das no numerador poderão ter também duas ou mais frequências de cruzamento de ganho como mostra a Figura 768 Para sistemas estáveis que tenham duas ou mais frequências de cruzamento de ganho a margem de fase é medida pela frequência de cruzamento de ganho mais alta Alguns comentários sobre margens de fase e de ganho As margens de fase e de ganho de um sistema de controle são uma medida da proximidade do diagrama polar em relação ao ponto 1 j0 Portanto essas margens podem ser utilizadas como critérios de projeto É importante notar que apenas a margem de ganho ou apenas a margem de fase não fornece indicação suficiente sobre a estabilidade relativa Ambas devem ser fornecidas para determinação da estabilidade relativa Para um sistema de fase mínima as margens de fase e de ganho devem ser positivas para que o sistema seja estável Margens negativas indicam instabilidade Margens de fase e de ganho apropriadas protegem contra variações nos componentes do sistema e são especificadas por valores positivos definidos Os dois valores limitam o FIGURA 768 Im Im Re Re 0 0 ω1 1 2 2 3 3 Frequências de cruzamento de fase 1 2 3 Frequências de cruzamento de ganho 1 2 3 Diagramas polares que indicam mais de duas fases ou frequências de cruzamento de ganho 427 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência comportamento do sistema de malha fechada nas proximidades da frequência de ressonân cia Para obter um desempenho satisfatório a margem de fase deve estar entre 30 e 60 e a margem de ganho deve ser maior que 6 dB Com esses valores um sistema de fase mínima tem estabilidade garantida mesmo que o ganho de malha aberta e as constantes de tempo dos componentes variem dentro de certos limites Embora as margens de fase e de ganho forneçam apenas estimativas aproximadas do coeficiente de amortecimento efetivo do sistema de malha fechada elas oferecem meios convenientes para o projeto de sistemas de controle ou do ajuste de constantes de ganho de sistemas Nos sistemas de fase mínima as características de módulo e de fase da função de transferência de malha aberta estão definitivamente relacionadas O requisito que a margem de fase esteja entre 30 e 60 significa que em um diagrama de Bode a inclinação da curva de módulo em dB na frequência de cruzamento de ganho deve ser menor que 40 dBdécada Na maioria dos casos práticos é desejável uma inclinação de 20 dBdécada na frequência de cruzamento de ganho para ter estabilidade Se a inclinação for de 40 dBdécada o sistema tanto poderá ser estável como instável Mesmo que o sistema seja estável entretanto a margem de fase será pequena Se a inclinação na frequência de cruzamento de ganho for 60 dBdécada ou maior o sistema será provavelmente instável Para sistemas de fase não mínima a interpretação correta da margem de estabilidade requer um estudo cuidadoso A melhor maneira de determinar a estabilidade de sistemas de fase não mínima é utilizar a técnica do diagrama de Nyquist em vez da técnica do diagrama de Bode Exemplo 720 Obtenha as margens de fase e de ganho do sistema da Figura 769 para os dois casos em que K 10 e K 100 As margens de fase e de ganho podem ser obtidas facilmente a partir do diagrama de Bode A Figura 770a mostra o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta dada com K 10 As margens de fase e de ganho para K 10 são Margem de fase 21 Margem de ganho 8 dB Portanto o ganho do sistema pode ser aumentado em 8 dB antes de ocorrer a instabilidade O aumento do ganho de K 10 para K 100 desloca o eixo 0 dB para baixo em 20 dB como mostra a Figura 770b As margens de ganho e de fase são Margem de fase 30 Margem de ganho 12 dB Portanto o sistema é estável para K 10 mas instável para K 100 Observe que um dos aspectos mais convenientes da técnica do diagrama de Bode é a facili dade com que as variações de ganho podem ser avaliadas Note que para obter um desempenho satisfatório a margem de fase deve aumentar para 30 60 Isso pode ser feito pela redução do ganho K Entretanto a diminuição de K não é desejável uma vez que um valor pequeno de K resulta em um grande erro na entrada em rampa Isso sugere que pode ser necessária uma modi ficação na curva de resposta em frequência de malha aberta pela adição de um compensador As técnicas de compensação serão discutidas detalhadamente nas seções 711 a 713 FIGURA 769 Rs Cs K ss 1 s 5 Sistema de controle 428 Engenharia de controle moderno Obtenção da margem de ganho margem de fase frequência de cruzamento de fase e frequência de cruzamento de ganho com o MATLAB A margem de ganho margem de fase frequência de cruzamento de fase e frequência de cruzamento de ganho podem ser obtidas facilmente com o MATLAB O comando a ser utilizado é Gmpmwcpwcg marginsys onde Gm é a margem de ganho pm é a margem de fase wcp é a frequência de cruzamento de fase e wcg é a frequência de cruzamento de ganho Para obter detalhes de como utilizar esse comando veja o Exemplo 721 Exemplo 721 Construa o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta Gs do sistema de malha fechada da Figura 771 Determine a margem de ganho a margem de fase a frequência de cruzamento de fase e a frequência de cruzamento de ganho utilizando o MATLAB O Programa 711 em MATLAB gera o diagrama de Bode e fornece a margem de ganho margem de fase frequência de cruzamento de fase e frequência de cruzamento de ganho O diagrama de Bode de Gs é mostrado na Figura 772 FIGURA 770 30 20 10 0 30 20 10 0 90 180 270 G em dB G em dB G 02 04 06 08 1 2 4 6 8 10 0 90 30 180 270 G 02 04 06 08 1 2 4 6 8 10 a b K 10 K 100 8 dB Margem de fase 21 30 20 10 0 10 50 40 Margem de ganho 12 dB Margem de fase Margem de ganho Diagramas de Bode do sistema mostrado na Figura 769 a com K 10 e b com K 100 FIGURA 771 Gs 20s 1 ss 5s2 2s 10 Sistema de malha fechada 429 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Programa 711 em MATLAB num 20 20 den conv1 5 01 2 10 sys tfnumden w logspace12100 bodesysw Gmpmwcpwcg marginsys GmdB 20log10Gm GmdB pm wcp wcg ans 99293 1036573 40131 04426 Amplitude do pico de ressonância Mr e da frequência de ressonância r Considere o sistemapadrão de segunda ordem mostrado na Figura 773 A função de transferência de malha fechada é R s C s s s 2 n n n 2 2 2 g h h 716 onde z e n são o coeficiente de amortecimento e a frequência natural não amortecida respecti vamente A resposta em frequência de malha fechada é R j C j j Me 1 2 1 n n j 2 2 g a c h h m onde tg M 1 2 1 1 2 n n n n 2 2 2 2 1 2 2 g a g c c m m Como foi visto na Equação 712 para 0 z 0707 o valor máximo de M ocorre na frequência r onde FIGURA 772 Frequência rads Diagrama de Bode 300 100 150 200 250 0 50 100 Fase graus Magnitude dB 50 50 0 101 100 101 40131 04426 102 99293 dB 1036573 Diagrama de Bode de Gs apresentado na Figura 771 430 Engenharia de controle moderno r n 1 2 g2 717 A frequência r é a frequência de ressonância Nessa frequência o valor de M é máximo e é dado pela Equação 713 reescrita como M 2 1 1 r 2 g g 718 onde Mr é definido como a amplitude do pico de ressonância A amplitude do pico de ressonância está relacionada ao amortecimento do sistema A amplitude do pico de ressonância fornece uma indicação da estabilidade relativa do sistema Uma grande amplitude do pico de ressonância indica a presença de um par de polos dominantes de malha fechada com um coeficiente de amortecimento pequeno o que produz uma resposta transitória indesejada Por outro lado uma amplitude do pico de ressonância menor indica a ausência de um par de polos de malha fechada com um pequeno coeficiente de amortecimento significando que o sistema é bem amortecido É necessário lembrar que r é real apenas se z 0707 Portanto não há ressonância de malha fechada se z 0707 O valor de Mr é unitário somente se z 0707 Veja a Equação 714 Como os valores de Mr e r podem ser medidos facilmente em um sistema físico eles são muito úteis para a verificação da concordância entre a análise teórica e a experimental Entretanto devese observar que nos problemas práticos de projeto a margem de fase e a margem de ganho são mais frequentemente especificadas do que a amplitude do pico de resso nância para indicar o coeficiente de amortecimento de um sistema Correlação entre a resposta transitória ao degrau e a resposta em frequência no sistemapadrão de segunda ordem O máximo sobressinal na resposta ao degrau unitário do sistemapadrão de segunda ordem indicado na Figura 773 pode ser correlacionado de maneira precisa com a amplitude do pico de ressonância da resposta em frequência Assim essencialmente as mesmas informações sobre a dinâmica do sistema estão tanto na resposta em frequência como na resposta transitória A resposta do sistema indicado na Figura 773 a uma entrada em degrau unitário é dada pela Equação 512 ou 1 0 cos sen c t e t t t 1 para t d d 2 n g g g c h m onde d n 1 g2 719 Por outro lado o máximo sobressinal Mp da resposta ao degrau unitário é dado pela Equação 521 ou M e p 1 2 g g r h 720 Esse máximo sobressinal ocorre na resposta transitória que tem a frequência natural amortecida d n 1 g2 O máximo sobressinal tornase excessivo para valores de z 04 Como o sistema de segunda ordem indicado na Figura 773 tem a função de transferência de malha aberta G s s s 2 n n 2 g h h FIGURA 773 Rs Cs n ss 2ζ n 2 Sistemapadrão de segunda ordem 431 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência para operação senoidal o módulo de G j tornase unitário quando 1 4 2 n 4 2 g g que pode ser obtida igualandose G j à unidade e resolvendose para Nessa frequência o ângulo de fase de G j é 90 tg G j j j 2 2 1 4 2 n 1 4 2 c g g g g h Portanto essa margem de fase g é 90 tg tg G j 180 2 1 4 2 1 4 2 2 1 4 2 1 4 2 c c c g g g g g g h 721 A Equação 721 fornece a relação entre o coeficiente de amortecimento z e a margem de fase g Note que a margem de fase γ é uma função apenas do coeficiente de amortecimento z A seguir vamos resumir a correlação entre a resposta transitória ao degrau e a resposta em frequência do sistemapadrão de segunda ordem dado pela Equação 716 1 A margem de fase e o coeficiente de amortecimento estão diretamente relacionados A Figura 774 mostra um gráfico da margem de fase g em função do coeficiente de amorte cimento z Note que para o sistemapadrão de segunda ordem mostrado na Figura 773 a margem de fase g e o coeficiente de amortecimento z estão aproximadamente relacionados por uma reta para 0 z 06 como segue 100c g c Assim a margem de fase de 60 corresponde a um coeficiente de amortecimento de 06 Para os sistemas de ordem superior que tenham um par de polos dominantes de malha fechada esse relacionamento pode ser utilizado como regra prática de proceder na avalia ção da estabilidade relativa da resposta transitória isto é o coeficiente de amortecimento a partir da resposta em frequência FIGURA 774 90 60 30 00 04 08 12 16 20 ζ γ Aproximação em linha reta Curva γ margem de fase versus ζ do sistema da Figura 773 432 Engenharia de controle moderno 2 Considerando as equações 717 e 719 vemos que os valores de r e d são quase iguais para valores pequenos de z Assim para pequenos valores de z o valor de r é indicativo da velocidade da resposta transitória do sistema 3 A partir das equações 718 e 720 notamos que quanto menor é o valor de z maiores são os valores de Mr e Mp A Figura 775 mostra a correlação entre Mr e Mp como função de z Podese ver uma estreita relação entre Mr e Mp para z 04 Para valores muito pequenos de z Mr tornase muito elevado Mr 1 enquanto o valor de Mp não excede 1 Correlação entre a resposta transitória ao degrau e a resposta em frequência nos sistemas genéricos O projeto de sistemas de controle é frequentemente executado com base na resposta em frequência A principal razão para isso é a relativa simplicidade desse método em comparação aos demais Como em muitas aplicações a resposta transitória do sistema a entradas aperiódicas é mais importante do que a resposta em regime permanente a entradas senoidais surge a questão da correlação entre a resposta transitória e a resposta em frequência Para o sistemapadrão de segunda ordem mostrado na Figura 773 as relações matemáticas que correlacionam a resposta transitória ao degrau e a resposta em frequência podem ser facil mente obtidas A resposta temporal do sistemapadrão de segunda ordem pode ser prevista de modo exato a partir do conhecimento de Mr e r de sua resposta em frequência de malha fechada Para sistemas de segunda ordem não redutíveis à formapadrão e para sistemas de maior ordem a correlação é mais complexa e a resposta transitória não pode ser prevista com facilidade a partir da resposta em frequência Isso acontece porque os zeros eou polos adicionais podem mudar a correlação entre a resposta transitória e a resposta em frequência existente no sistema de segunda ordem Existem técnicas matemáticas disponíveis para a obtenção da correlação exata mas são muito trabalhosas e de pouco valor prático A aplicabilidade da correlação entre a resposta transitória e a resposta em frequência existente para o sistemapadrão de segunda ordem mostrado na Figura 773 aos sistemas de maior ordem depende da presença de um par dominante de polos complexos conjugados na malha fechada desses últimos sistemas Evidentemente se a resposta em frequência de um sistema de maior ordem for dominada por um par de polos complexos conjugados de malha fechada a correlação entre a resposta transitória e a resposta em frequência existente no sistema de segunda ordem poderá ser estendida ao sistema de maior ordem Para sistemas lineares invariantes no tempo e de maior ordem que tenham um par dominante de polos complexos conjugados de malha fechada geralmente existem as seguintes relações entre a resposta transitória ao degrau e à resposta em frequência FIGURA 775 3 Mr 2 1 Mp 0 02 04 06 08 10 ζ Mr 1 2ζ 1 ζ 2 Mp ctp 1 Equação 521 Curvas Mr versus ζ e Mp versus ζ para o sistema apresentado na Figura 773 433 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 1 O valor de Mr é indicativo da estabilidade relativa Normalmente o desempenho transitório satisfatório é obtido se o valor de Mr está dentro do intervalo 10 Mr 14 0 dB Mr 3 dB que corresponde a um coeficiente de amortecimento efetivo de 04 z 07 Para valores de Mr maiores que 15 a resposta transitória ao degrau pode apresentar diversos sobressinais Note que em geral um valor elevado de Mr corresponde a um sobressinal alto na resposta transitória ao degrau Se o sistema for submetido a sinais com ruído cujas frequências estejam próximas da frequência de ressonância r o ruído será ampliado na saída e apresentará sérios problemas 2 A amplitude da frequência de ressonância r é indicativo da velocidade da resposta tran sitória Quanto maior o valor de r mais rápida a resposta temporal Em outras palavras o tempo de subida varia inversamente a r Em termos da resposta em frequência de malha aberta a frequência natural amortecida da resposta transitória está situada entre a frequência de cruzamento de ganho e a frequência de cruzamento de fase 3 A frequência do pico de ressonância r e a frequência natural amortecida d da resposta transitória ao degrau são muito próximas uma da outra nos sistemas pouco amortecidos As três relações mostradas anteriormente são úteis para correlacionar a resposta transitória ao degrau com a resposta em frequência de sistemas de maior ordem desde que estes possam ser aproximados a um sistemapadrão de segunda ordem ou a um par de polos complexos con jugados de malha fechada Se um sistema de maior ordem satisfizer essa condição um conjunto de especificações no domínio do tempo poderá ser traduzido para especificações no domínio de frequência Isso simplifica grandemente o trabalho de projeto ou de compensação de sistemas de maior ordem Além disso para a margem de fase a margem de ganho o pico de ressonância Mr e a frequên cia de ressonância r existem outras grandezas no domínio de frequência comumente utilizadas nas especificações de desempenho São a frequência de corte a banda passante e a taxa de corte Elas serão definidas a seguir Frequência de corte e banda passante Com base na Figura 776 a frequência b na qual a amplitude da resposta em frequência de malha fechada é 3 dB abaixo de seu valor na frequência zero é denominada frequência de corte Assim 3 dB R j C j R j C j 0 0 para b 1 2 h h h h Para os sistemas em que C j0Rj0 0 dB 3 dB R j C j para b 1 2 h h FIGURA 776 dB 0 3 Banda passante b em escala logarítmica Diagrama de uma curva de resposta em frequência de malha fechada que indica a frequência de corte b e a banda passante 434 Engenharia de controle moderno O sistema de malha fechada filtra o sinal dos componentes cujas frequências são maiores que a frequência de corte e transmite o sinal daqueles componentes com frequências menores que a fre quência de corte O intervalo de frequências 0 b no qual a amplitude de C jR j não cai abaixo de 3 dB é chamado banda passante do sistema A banda passante indica a frequência em que o ganho começa a cair a partir de seu valor de baixa frequência Portanto a banda passante mostra até que ponto o sistema seguirá bem uma entrada senoidal Note que para dado n o tempo de subida aumenta com o crescimento do coeficiente de amortecimento z Por outro lado a banda passante decresce com o aumento de z Portanto o tempo de subida e a banda passante são inversamente proporcionais entre si A especificação da banda passante pode ser determinada pelos seguintes fatores 1 A capacidade de reproduzir o sinal de entrada Uma banda passante grande corresponde a um tempo de subida pequeno ou resposta rápida De modo genérico podese dizer que a banda passante é proporcional à velocidade de resposta Por exemplo para reduzir o tempo de subida na resposta ao degrau de um fator 2 a banda passante deve ser aumentada aproximadamente de um fator 2 2 As características de filtragem necessárias de ruídos de alta frequência Para o sistema seguir entradas arbitrárias com precisão deve haver uma grande banda passante Do ponto de vista do ruído entretanto a banda passante não deve ser muito grande Assim existem requisitos conflitantes com relação à banda passante e geralmente é necessário que haja uma conciliação para a realização de um bom projeto Note que um sistema com uma grande banda passante requer componentes de alto desempenho Assim o custo dos componentes geralmente aumenta de acordo com a banda passante Taxa de corte A taxa de corte é a inclinação da curva de módulo em dB próxima à frequência de corte A taxa de corte indica a capacidade de um sistema distinguir o sinal de ruído Podese notar que uma curva de resposta em frequência de malha fechada com característica de corte acentuada pode ter uma amplitude do pico de ressonância muito grande o que implica o sistema ter uma margem de estabilidade pequena Exemplo 722 Considere os dois seguintes sistemas R s C s s R s C s s 1 1 3 1 1 Sistema I Sistema II h h h h Compare as bandas passantes desses dois sistemas Mostre que o sistema com a banda passante maior possui uma velocidade de resposta mais rápida e pode seguir melhor a entrada do que o sistema com a banda passante menor A Figura 777a mostra as curvas de resposta em frequência de malha fechada dos dois sistemas As curvas assintóticas são indicadas pelas linhas tracejadas Verificase que a banda passante do sistema I é 0 1 rads e que a do sistema II é 0 033 rads As figuras 777 b e c mostram respectivamente as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária dos dois sistemas Evidentemente o sistema I cuja banda passante é três vezes mais larga que a do sistema II tem uma velocidade de resposta mais rápida e pode seguir melhor o sinal de entrada 435 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Utilização do MATLAB na obtenção do pico de ressonância frequência de ressonân cia e banda passante O pico de ressonância é o valor da máxima amplitude em decibéis da resposta em frequência de malha fechada A frequência de ressonância é a frequência correspon dente a esse valor de máxima amplitude Os comandos em MATLAB a serem utilizados para a obtenção do pico de ressonância e frequência de ressonância são os seguintes magphasew bodenumdenw ou magphasew bodesysw Mpk maxmag resonantpeak 20log10Mp resonantfrequency wk Podese obter a banda passante inserindo as seguintes linhas no programa n 1 while 20log10magn 3 n n 1 end bandwidth wn Veja no Exemplo 723 um programa em MATLAB detalhado Exemplo 723 Considere o sistema apresentado na Figura 778 Utilizando o MATLAB obtenha o diagrama de Bode para a função de transferência de malha fechada Obtenha também o pico de ressonância a frequência de ressonância e a banda passante O Programa 712 em MATLAB produz um diagrama de Bode do sistema de malha fechada bem como o pico de ressonância a frequência de ressonância e a banda passante A Figura 779 mostra o diagrama de Bode resultante FIGURA 777 dB 0 20 033 I I I II II II 1 1 1 1 em escala logarítmica a b c 0 0 ct rt ct rt rt t t Comparação das características dinâmicas dos dois sistemas considerados no Exemplo 722 a Curvas de resposta em frequência de malha fechada b curvas de resposta ao degrau unitário c curvas de resposta à rampa unitária FIGURA 778 1 s05s 1 s 1 Rs Cs Sistema de malha fechada 436 Engenharia de controle moderno Programa 712 em MATLAB nump 1 denp 05 15 1 0 sysp tfnumpdenp sys feedbacksysp1 w logspace11 bodesysw magphasew bodesysw Mpk maxmag resonantpeak 20log10Mp resonantpeak 52388 resonantfrequency wk resonantfrequency 07906 n 1 while 20logmagn 3 n n 1 end bandwidth wn bandwidth 12649 O pico de ressonância é obtido de 52388 dB A frequência de ressonância é 07906 rads A banda passante é 12649 rads Esses valores podem ser verificados a partir da Figura 778 78 Resposta em frequência de malha fechada de sistemas com realimentação Resposta em frequência de malha fechada Para um sistema estável de malha fechada com realimentação unitária a resposta em frequência de malha fechada pode ser obtida facilmente a FIGURA 779 Frequência rads Diagrama de Bode 300 50 100 150 200 250 0 60 40 20 Fase graus Magnitude dB 20 0 101 100 101 Diagrama de Bode da função de transferência do sistema de malha fechada indicado na Figura 778 437 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência partir da resposta em frequência de malha aberta Considere o sistema com realimentação unitária indicado na Figura 780a A função de transferência de malha fechada é R s C s G s G s 1 h h h h No diagrama de Nyquist ou diagrama polar da Figura 780b o vetor OA representa G j1 onde 1 é a frequência no ponto A O comprimento do vetor OA é G j1 e o ângulo do vetor OA é G j 1 h O vetor PA com início no ponto 1 j0 e extremidade no lugar geométrico de Nyquist representa 1 G j1 Portanto a relação de OA e PA representa a resposta em frequência de malha fechada ou G j G j R j C j 1 PA OA 1 1 1 1 h h h h O módulo da função de transferência de malha fechada em 1 é a relação entre os módulos OA e PA O ângulo de fase da função de transferência em 1 é o ângulo formado pelos vetores OA e PA ou seja z θ mostrado na Figura 780b A curva de resposta em frequência de malha fechada pode ser obtida medindose o módulo e o ângulo de fase em diferentes pontos de frequências Vamos definir o módulo da resposta em frequência de malha fechada como M e o ângulo de fase como a ou R j C j Me j a h h A seguir determinaremos os lugares geométricos de módulo constante e os lugares geométricos de ângulo de fase constante Esses lugares geométricos são convenientes na determinação da resposta em frequência de malha fechada a partir do diagrama polar ou do diagrama de Nyquist Lugares geométricos de módulo constante circunferências M Para obter os lugares geométricos de módulo constante devese observar primeiro que G j é uma grandeza com plexa e pode ser escrita como segue G j X jY onde X e Y são grandezas reais Então M é dado por M X jY X jY 1 FIGURA 780 a b Gs Im Re O P 1 jθ A G jω θ z 1 z θ a Sistema com realimentação unitária b determinação da resposta em frequência de malha fechada a partir da resposta em frequência de malha aberta 438 Engenharia de controle moderno e M 2 é M X Y X Y 1 2 2 2 2 2 h Portanto X 21 M 2 2M 2X M 2 1 M 2Y 2 0 722 Se M 1 então a partir da Equação 722 obtémse X 2 1 Esta é a equação de uma reta paralela ao eixo Y e que passa pelo ponto 2 1 0 c m Se M 1 a Equação 722 pode ser escrita como 0 X M M X M M Y 1 2 1 2 2 2 2 2 2 Se o termo M 2M 2 12 for adicionado a ambos os lados dessa equação obteremos X M M Y M M 1 1 2 2 2 2 2 2 2 e o h 723 A Equação 723 é a equação de uma circunferência com centro X M 2M 2 1 Y 0 e raio MM 2 1 Os lugares geométricos de M constante no plano Gs constituem pois uma família de cir cunferências Para dado valor de M o centro e o raio da circunferência correspondente podem ser facilmente calculados Por exemplo para M 13 o centro é em 245 0 e o raio é 188 A Figura 781 mostra a família de circunferências de M constante Podese ver que à medida que M se torna cada vez maior comparado à unidade as circunferências M tornamse cada vez menores e convergem para o ponto 1 j0 Para M 1 o centro das circunferências M fica à esquerda do ponto 1 j0 De maneira semelhante à medida que M se torna cada vez menor em relação à unidade as circunferências M tendem a diminuir e convergem para a origem Para 0 M 1 os centros das circunferências M ficam à direita da origem A condição M 1 cor responde ao lugar geométrico dos pontos equidistantes da origem e do ponto 1 j0 Como foi dito anteriormente esta é uma reta que passa pelo ponto 2 1 0 c m e é paralela ao eixo imaginário FIGURA 781 4 3 2 1 0 1 2 X Y M 12 M 13 M 1 M 14 M 16 M 20 M 30 M 50 1 2 1 2 M 08 M 04 M 06 Uma família de circunferências com M constante 439 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência As circunferências com M constante correspondentes a M 1 ficam à esquerda da reta M 1 e aquelas correspondentes a 0 M 1 ficam à direita da reta M 1 As circunferências M são simétricas em relação à reta correspondente a M 1 e em relação ao eixo real Lugares geométricos de ângulo de fase constante circunferências N Vamos obter o ângulo de fase α em termos de X e Y Como e X jY X jY 1 j a o ângulo de fase α é tg tg X Y X Y 1 1 1 a c c m m Se definirmos tg α N então tg tg tg N X Y X Y 1 1 1 c c m m G Como 1 tg tg tg tg tg A B A B A B h obtemos N X Y X Y X Y X Y X X Y Y 1 1 1 2 2 c m ou 0 X X Y N Y 1 2 2 A adição de 4 1 12N2 a ambos os lados dessa última equação resulta em X Y N N 2 1 2 1 4 1 2 1 2 2 2 c c c m m m 724 Esta é a equação de uma circunferência de centro X 2 1 Y 12N e de raio N 4 1 1 2 2 h Por exemplo se a 30 então N tg a 0577 e o centro e o raio da circunferência corres pondente a a 30 são encontrados em 05 0866 e na unidade respectivamente Como a Equação 724 é satisfeita quando X Y 0 e X 1 Y 0 independentemente do valor de N cada circunferência passa pela origem e pelo ponto 1 j0 Os lugares geométricos de a constante podem ser facilmente construídos desde que o valor de N seja dado Uma família de circunferências N constante é mostrada na Figura 782 tendo a como parâmetro Podese notar que o lugar geométrico de N constante para dado valor de α não é realmente toda a circunferência mas apenas um arco Em outras palavras os arcos relativos a α 30 e α 150 são partes da mesma circunferência Isso acontece porque se o ângulo for acrescido de 180 ou múltiplos destes a tangente do ângulo permanecerá a mesma O uso das circunferências M e N nos possibilita determinar toda a resposta em frequência de malha fechada a partir da resposta em frequência de malha aberta G j sem calcular o módulo e a fase da função de transferência de malha fechada para cada frequência As intersecções do lugar geométrico de G j com as circunferências M e N fornecem os valores de M e N nos pontos do lugar geométrico de G j 440 Engenharia de controle moderno As circunferências N são de valores múltiplos no sentido de que as circunferências relativas a a a1 e a a a1 180n n 1 2 são as mesmas Na utilização das circunferências N para a determinação dos ângulos de sistemas de malha fechada devese interpretar o valor apropriado de a Para evitar qualquer erro devemos iniciar na frequência zero que corresponde a a 0 e continuar nas frequências mais altas A curva de ângulo de fase deve ser contínua Graficamente as intersecções do lugar geométrico de G j com as circunferências M fornecem os valores de M nas frequências indicadas no lugar geométrico de G j Portanto a circunferência com M constante de menor raio que é tangente ao lugar geométrico de G j fornece o valor da amplitude do pico de ressonância Mr Se desejarmos que o pico de ressonância seja inferior a determinado valor então o sistema não deverá envolver o ponto crítico ponto 1 j0 e ao mesmo tempo não deverá haver intersecções da circunferência M específica e do lugar geométrico de G j A Figura 783a mostra o lugar geométrico de G j superposto à família das circunfe rências M A Figura 783b apresenta a curva G j superposta à família de circunferências N A partir desses diagramas é possível obter a resposta em frequência por inspeção Vêse que a circunferência M 11 cruza o lugar geométrico de G j no ponto de frequências 1 Isso significa que nessa frequência o módulo em dB da função de transferência de malha aberta é 11 Na Figura 783a a circunferência M 2 é exatamente tangente ao lugar geométrico de G j Portanto existe apenas um ponto no lugar geométrico de G j para o qual C jR j é igual a 2 A Figura 783c mostra a curva de resposta em frequência de malha fechada do sistema A curva superior é a curva M versus a frequência e a curva inferior é a curva de ângulo de fase α versus a frequência O valor do pico de ressonância é o valor de M correspondente à circunferência M de menor raio que é tangente ao lugar geométrico de G j Portanto no diagrama de Nyquist o valor do pico de ressonância Mr e a frequência de ressonância r podem ser determinados a partir do ponto de tangência da circunferência M com a curva G j No presente exemplo Mr 2 e r 4 FIGURA 782 3 3 3 2 2 1 1 1 2 2 X Y α 20 α 30 α 40 α 100 60 120 80 60 120 80 α 100 α 40 α 30 α 20 Uma família de circunferências de N constante 441 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Carta de Nichols Ao considerar os problemas de projeto achamos conveniente construir os lugares geométricos M e N no plano de módulo em dB versus fase O gráfico que representa os lugares geométricos de M e N no diagrama de módulo em dB versus fase é denominado carta de Nichols O lugar geométrico de G j traçado na carta de Nichols fornece ao mesmo tempo tanto as características de ganho como as características de fase da função de transferência de malha fechada A carta de Nichols é mostrada na Figura 784 para ângulos de fase entre 0 e 240 Note que o ponto crítico ponto 1 j0 é mapeado na carta de Nichols como o ponto 0 dB 180 A carta de Nichols contém curvas de módulo constante e ângulo de fase constante de malha fechada O projetista pode determinar graficamente a margem de fase a margem de ganho a amplitude do pico de ressonância a frequência de ressonância e a banda passante do sistema de malha fechada a partir do lugar geométrico de malha aberta G j A carta de Nichols é simétrica em relação ao eixo de 180 Os lugares geométricos de M e N são repetidos a cada 360 e há simetria para cada intervalo de 180 Os lugares geométricos FIGURA 783 α G 1 G M G 1 G Im Re Im Re 2 0 0 2 2 4 4 2 4 2 2 4 M 12 M 14 M 11 M 11 M 2 M 06 M 12 G j G j 1 a b c 20 60 20 40 10 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2 15 1 05 0 0 90 180 270 1 2 3 4 5 a Lugar geométrico de G j superposto à família de circunferências M b lugar geométrico de G j superposto à família de circunferências N c curva de resposta em frequência de malha fechada 442 Engenharia de controle moderno de M estão centrados em torno do ponto crítico 0 dB 180 A carta de Nichols é útil para a determinação da resposta em frequência de malha fechada a partir da malha aberta Se a curva de resposta em frequência de malha aberta for superposta à carta de Nichols as intersecções dessa curva de resposta em frequência de malha aberta G j com os lugares geométricos de M e N fornecerão os valores do módulo M e do ângulo de fase a da resposta em frequência de malha fechada para a frequência correspondente a cada ponto de intersecção Se o lugar geométrico de G j não cruzar o lugar geométrico de M Mr mas for tangente a ele então o valor do pico de ressonância de M da resposta em frequência de malha fechada será dada por Mr A frequência de ressonância é dada pela frequência no ponto de tangência Como exemplo considere o sistema com realimentação unitária que possui a seguinte função de transferência de malha aberta 1 G j s s s K K 1 0 5 1 h h h Para determinar a resposta em frequência de malha fechada utilizando a carta de Nichols o lugar geométrico de G j é construído no plano do módulo em dB versus ângulo de fase com o uso do MATLAB ou do diagrama de Bode A Figura 785a mostra o lugar geométrico de G j juntamente com os lugares geométricos de M e N A curva de resposta em frequência de malha fechada pode ser construída pela leitura dos módulos e dos ângulos de fase para as frequências de vários pontos sobre o lugar geométrico de G j com o auxílio dos lugares geométricos de M e N como mostra a Figura 785b Como o contorno de maior valor tocado por G j é o de 5 dB a amplitude do pico de ressonância Mr é de 5 dB A frequência correspondente de res sonância é 08 rads Observe que o ponto de cruzamento de fase é o ponto onde o lugar geométrico de G j cruza o eixo de 180 para o presente sistema 14 rads e o ponto do cruzamento de ganho é o ponto onde a curva cruza o eixo de 0 dB para o presente sistema 076 rads A margem de fase é a distância horizontal medida em graus entre o ponto do cruzamento de ganho e o ponto crítico 0 dB 180 A margem de ganho é a distância em decibéis entre o ponto da fase de cruzamento e o ponto crítico FIGURA 784 R C G 025 dB 05 dB 1 dB 2 dB 3 dB 4 dB 5 dB 6 dB 9 dB 18 dB 12 dB 6 dB 5 dB 4 dB 3 dB 2 dB 1 dB 05 dB 025 dB 01 dB 01 dB 0 dB 12 dB 120 150 180 150 120 90 60 30 20 10 5 2 90 60 30 20 10 5 2 0 2 5 10 20 30 60 36 32 28 24 20 16 12 8 4 0 16 12 8 4 240 210 180 150 120 90 60 30 0 GH GH em dB Carta de Nichols 443 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência A banda passante do sistema de malha fechada pode ser facilmente determinada a partir do lugar geométrico de G j na carta de Nichols A frequência na intersecção do lugar geométrico de G j com o lugar geométrico de M 3 dB indica a banda passante Se o ganho de malha aberta K variar a forma do lugar geométrico de G j no diagrama de módulo em dB versus fase permanecerá a mesma mas será deslocada para cima se K aumentar ou para baixo se K diminuir ao longo do eixo vertical Portanto o lugar geométrico de G j cruza os lugares geométricos de M e N diferentemente resultando em diferentes curvas de res posta em frequência de malha fechada Para um pequeno valor do ganho K o lugar geométrico de G j não tangencia nenhum lugar geométrico M o que significa que não há ressonância na resposta em frequência de malha fechada Exemplo 724 Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G j j j K 1 h h Determine o valor de K tal que Mr 14 O primeiro passo para a determinação do ganho K é esboçar o diagrama polar de K G j j j 1 1 h h A Figura 786 mostra o lugar geométrico Mr 14 e o lugar geométrico de G jK A mudança de ganho não afeta o ângulo de fase mas apenas move a curva verticalmente para cima para K 1 e para baixo para K 1 Na Figura 786 o lugar geométrico de G jK deve aumentar em 4 dB de modo que ele seja tangente ao lugar geométrico de Mr desejado e que todo o lugar geométrico de G jK seja FIGURA 785 20 16 12 8 4 0 16 12 8 4 240 210 180 150 120 90 a b G 1 dB 3 dB 025 dB 5 dB 12 dB G em dB 1 dB 5 dB 12 dB 18 14 12 1 08 06 04 02 30 20 10 60 120 150 90 em rads G 1 G G 1 G em dB 270 180 90 15 10 5 0 5 10 0 01 02 04 06 08 1 2 a Gráfico de G j sobreposto à carta de Nichols b curvas de resposta em frequência de malha fechada 444 Engenharia de controle moderno externo ao lugar geométrico de Mr 14 O valor do deslocamento vertical do lugar geométrico de G jK determina o ganho necessário para conseguir o valor desejado de Mr Assim resol vendo a equação 20 log K 4 obtemos K 159 79 Determinação experimental de funções de transferência O primeiro passo para a análise e o projeto de um sistema de controle é estabelecer um modelo matemático da planta considerada A obtenção analítica do modelo pode ser muito difícil Devemos obtêlo por meio de análise experimental A importância dos métodos de resposta em frequência é que a função de transferência da planta ou de qualquer outro componente do sistema pode ser obtida por medidas simples de resposta em frequência Se forem medidas a relação de amplitudes e a defasagem em um número suficiente de frequên cias dentro do intervalo de frequências de interesse elas podem ser representadas no diagrama de Bode Então a função de transferência pode ser determinada por aproximação assintótica Construímos curvas assintóticas de módulo em dB constituídas por diversos segmentos Com algumas tentativas de localização das frequências de canto geralmente é possível determinar um resultado muito aproximado da curva real Note que se a frequência for indicada em ciclos por segundo em vez de em radianos por segundo as frequências de canto deverão ser convertidas em radianos por segundo antes de serem calculadas as constantes de tempo Geradores de sinais senoidais Ao efetuar testes de resposta em frequência devese ter dis poníveis geradores adequados de sinais senoidais Os sinais devem ser de natureza mecânica elétrica ou pneumática O intervalo de frequências necessárias para o teste é de aproximadamente 0001 a 10 Hertz para sistemas de constante de tempo elevada e de 01 a 1000 Hz para sistemas FIGURA 786 G em dB G 15 10 5 0 5 10 15 90 120 150 180 Mr 14 20 log K 4 G j Gj K Determinação do ganho K com a utilização da carta de Nichols 445 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência de constante de tempo pequena O sinal senoidal deve ser razoavelmente livre de harmônicos e de distorções Para intervalos de frequências muito baixas abaixo de 001 Hz pode ser utilizado um gerador mecânico de sinais juntamente com um transdutor pneumático ou elétrico adequado se necessário Para o intervalo de frequências de 001 a 1000 Hz pode ser utilizado um gerador de sinais elétricos conveniente juntamente com um transdutor adequado Determinação de função de transferência de fase mínima a partir do diagrama de Bode Como afirmamos anteriormente um sistema de fase mínima pode ser determinado pela curva de resposta em frequência examinandose as características de alta frequência Para determinar a função de transferência de início devemos traçar as assíntotas às curvas de módulo em dB obtidas experimentalmente As assíntotas devem ter inclinações múltiplas de 20 dBdécada Se a inclinação da curva de módulo em dB obtida experimentalmente mudar de 20 para 40 dBdécada em 1 ficará evidente que existe um fator 11 j1 na função de transferência Se a inclinação mudar em 40 dBdécada em 2 deverá haver um fator quadrático como segue j j 1 2 1 2 2 2 g c c m m na função de transferência A frequência de ressonância natural não amortecida desse fator qua drático é igual à frequência de canto 2 O coeficiente de amortecimento z pode ser determinado a partir da curva experimental de módulo em dB medindose a amplitude do pico de ressonância próximo à frequência 2 e comparandose esse valor com as curvas mostradas na Figura 79 Uma vez determinados os fatores da função de transferência G j o ganho pode ser obtido a partir da porção de baixa frequência da curva de módulo em dB Como termos como 1 j1 e 1 2z j2 j22 se tornam unitários quando tende a zero para frequências muito baixas a função de transferência senoidal G j pode ser escrita como limG j j K 0 m h h Em muitos casos práticos l é igual a 0 1 ou 2 1 Para l 0 ou sistemas tipo 0 G j K para 1 ou 20 log G j 20 log K para 1 A assíntota de baixa frequência é uma linha horizontal de 20 log K dB O valor de K pode ser obtido dessa assíntota horizontal 2 Para l 1 ou sistemas tipo 1 1 G j j K para h ou 20 log G j 20 log K 20 log para 1 o que indica que a assíntota de baixa frequência tem inclinação de 20 dBdécada A frequência na qual a assíntota de baixa frequência ou sua extensão cruza a linha de 0 dB é numericamente igual a K 3 Para l 2 ou sistemas tipo 2 1 G j j K para 2 h h 446 Engenharia de controle moderno ou 20 log G j 20 log K 40 log para 1 A assíntota de baixa frequência tem inclinação de 40 dBdécada A frequência na qual essa assíntota ou sua extensão cruza a linha de 0 dB é numericamente igual a K Exemplos de curvas de módulo em dB de sistemas tipo 0 tipo 1 e tipo 2 são mostrados na Figura 787 juntamente com a frequência com a qual o ganho K está relacionado A curva de ângulo de fase obtida experimentalmente fornece meios para testar a função de transferência obtida a partir da curva de módulo em dB Para sistemas de fase mínima a curva de ângulo de fase obtida experimentalmente deve coincidir razoavelmente bem com a curva de ângulo de fase obtida teoricamente da função de transferência que acaba de ser determinada As duas curvas de ângulo de fase devem coincidir exatamente tanto para as frequências muito bai xas como para as muito altas Se os ângulos de fase obtidos experimentalmente em frequências muito altas comparadas com as frequências de canto não coincidirem com 90q p onde p e q são respectivamente os graus dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência então a função de transferência deverá ser de fase não mínima Funções de transferência de fase não mínima Se na extremidade de alta frequência o atraso de fase calculado for 180 menor que o obtido experimentalmente então um dos zeros da função de transferência deverá situarse no semiplano direito do plano s em vez de no semiplano esquerdo Se o atraso de fase calculado diferir do atraso de fase determinado experimentalmente em uma taxa constante de variação de fase então haverá um retardo de transporte ou tempo morto Se supormos que a função de transferência seja GseTs onde Gs é uma relação de polinômios em s então FIGURA 787 a 0 20 20 log K 40 40 dB K K em escala logarítmica b c 0 20 20 20 20 40 40 40 40 dB em escala logarítmica 0 dB em escala logarítmica 0 dB em escala logarítmica 0 dB ω em escala logarítmica K K a Curva de módulo em dB de um sistema tipo 0 b curva de módulo em dB de um sistema tipo 1 c curva de módulo em dB de um sistema tipo 2 As inclinações mostradas são em dBdécada 447 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência lim lim lim d d G j e d d G j e d d G j T T T 0 j T j T 3 3 3 h h h 8 8 B B onde utilizamos o fato de que lim 3 G j h constante Assim a partir dessa última equação podemos avaliar a amplitude do atraso de transporte T Algumas observações sobre a determinação experimental das funções de transferência 1 Em geral é mais fácil fazer medições precisas da amplitude do que da defasagem As medições de defasagem podem envolver erros causados pela instrumentação ou pela má interpretação dos resultados experimentais 2 A resposta em frequência do equipamento de medição utilizado para medir a resposta do sistema deve ter uma curva de módulo versus frequência praticamente horizontal Além disso o ângulo de fase deve ser aproximadamente proporcional à frequência 3 Os sistemas físicos podem apresentar diversos tipos de não linearidades Portanto é necessário considerar cuidadosamente a amplitude dos sinais senoidais de entrada Se a amplitude do sinal de entrada for muito grande o sistema saturará e o teste de resposta em frequência apresentará resultados imprecisos Por outro lado um pequeno sinal pro vocará erros causados pela zona morta Então deve ser feita uma escolha cuidadosa da amplitude do sinal senoidal de entrada É necessário fazer uma amostragem da forma de onda do sinal de saída do sistema para ter a certeza de que essa forma de onda é senoidal e o sistema está operando na região linear durante o período de teste A forma de onda da saída do sistema não é senoidal quando o sistema está operando em uma região não linear 4 Se o sistema em consideração estiver operando continuamente por dias ou semanas então a operação normal não precisará ser interrompida para a execução dos testes de resposta em frequência O sinal senoidal de teste pode ser superposto às entradas normais de operação Assim para sistemas lineares a resposta causada pelo sinal senoidal fica superposta à saída normal Para a determinação da função de transferência enquanto o sistema está em operação normal sinais estocásticos sinais de ruído branco são utilizados frequentemente Se forem utilizadas funções de correlação a função de transferência do sistema poderá ser determinada sem interrupção da operação normal de funcionamento Exemplo 725 Determine a função de transferência do sistema cujas curvas de resposta em frequência experi mentais são mostradas na Figura 788 O primeiro passo na determinação da função de transferência é aproximar a curva de módulo em dB por assíntotas com inclinações de 20 dBdécada e seus múltiplos como mostra a Figura 788 Em seguida estimamos as frequências de canto Para o sistema mostrado na Figura 788 foi estimada a seguinte forma da função de transferência G j j j j j K j 1 1 2 8 8 1 0 5 2 g c c h h m m h E O valor do coeficiente de amortecimento z pode ser estimado pelo exame do pico de ressonân cia perto de 6 rads Considerando a Figura 79 z fica determinado como 05 O ganho K é numericamente igual à frequência da intersecção da extensão da assíntota de baixa frequência que tem inclinação de 20 dBdécada e a linha de 0 dB O valor de K fica determinado como 10 Portanto G j fica determinada por tentativa como G j j j j j j 1 1 8 8 10 1 0 5 2 c c h h m m h E 448 Engenharia de controle moderno ou G s s s s s s 1 8 64 320 2 2 h h h h Essa função de transferência é uma primeira tentativa porque não examinamos ainda a curva de ângulo de fase Uma vez anotadas as frequências de canto na curva de módulo em dB a curva de ângulo de fase correspondente a cada fator componente da função de transferência pode ser facilmente obtida A soma dessas curvas componentes do ângulo de fase é a da função de transferência admiti da A curva de ângulo de fase de G j é denotada por G na Figura 788 Nessa figura vemos de modo claro a discrepância entre a curva de ângulo de fase calculada e a curva de ângulo de fase obtida experimentalmente A diferença entre as duas curvas nas frequências muito elevadas parece ter uma taxa de variação constante Assim a discrepância entre as curvas de ângulo de fase deve ser causada por um retardo de transporte Então vamos supor que a função de transferência completa seja GseTs Como a dis crepância entre os ângulos de fase calculados e experimentais é igual a 02 rad para frequências muito elevadas podemos determinar o valor de T como segue 02 lim d d G j e T j T 3 h ou T 02 s Desse modo a presença do atraso de transporte pode ser determinada e a função de transferência completa obtida a partir das curvas experimentais é G s e s s s s s e 1 8 64 320 2 Ts s 2 0 2 h h h h FIGURA 788 40 20 0 20 40 60 dB 80 100 01 02 04 06 1 4 2 6 10 20 40 500 400 300 200 100 0 em rads G Amplitude assintótica K 10 Amplitude experimental Ângulo de fase experimental Diagrama de Bode de um sistema As curvas sólidas foram obtidas experimentalmente 449 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 710 Projeto de sistemas de controle pela resposta em frequência No Capítulo 6 apresentamos a análise e o projeto pelo lugar das raízes Esse método mostrou se muito útil para moldar as características da resposta transitória de sistemas de controle de malha fechada além de nos fornecer a informação direta sobre a resposta transitória do sistema de malha fechada A técnica da resposta em frequência por outro lado nos fornece essa infor mação apenas indiretamente Entretanto como será visto nas últimas três seções deste capítulo o método da resposta em frequência é muito útil no projeto de sistemas de controle Em qualquer problema de projeto o projetista fará bem em utilizar ambos os métodos no projeto e na escolha de um compensador capaz de produzir uma resposta de malha fechada o mais próximo possível da desejada Na maioria dos projetos de sistemas de controle geralmente o desempenho da resposta tran sitória é muito importante No método da resposta em frequência especificamos o desempenho da resposta transitória de maneira indireta Isto é o desempenho da resposta transitória é especi ficado em termos de margem de fase margem de ganho amplitude do pico de ressonância estas dão uma ideia aproximada do amortecimento do sistema frequência de cruzamento de ganho frequência de ressonância a banda passante estas dão uma estimativa da velocidade da resposta transitória e constantes de erro estático que fornecem a precisão do regime permanente Embora a correlação entre a resposta transitória e a resposta em frequência seja indireta as especificações no domínio de frequência podem ser facilmente encontradas pelo método do diagrama de Bode Depois de projetar a malha aberta pela técnica da resposta em frequência os polos e zeros de malha fechada podem ser determinados Então as características da resposta transitória devem ser verificadas para avaliar se o sistema projetado satisfaz aos requisitos no domínio de tempo Se isso não ocorrer devese modificar o compensador e repetir a análise até que seja obtido um resultado satisfatório O projeto no domínio de frequência é simples e direto O diagrama da resposta em frequência indica claramente o modo pelo qual o sistema deve ser modificado embora não possa ser feita uma previsão quantitativa precisa das características da resposta transitória O método da resposta em frequência pode ser aplicado a sistemas ou componentes cujas características dinâmicas são fornecidas na forma de dados de resposta em frequência Note que em virtude da dificuldade na dedução de equações que regem certos componentes como componentes pneumáticos e hidráulicos suas características dinâmicas em geral são determinadas experimentalmente por meio de testes de resposta em frequência Os diagramas de resposta em frequência obtidos expe rimentalmente podem ser combinados entre si quando se utiliza a técnica do diagrama de Bode Observe também que tratandose de ruídos de alta frequência verificamos que o uso da resposta em frequência é mais conveniente que outros métodos Basicamente existem duas técnicas de projeto no domínio da frequência Uma é a técnica do diagrama polar e a outra é a do diagrama de Bode Quando se adiciona um compensador o diagrama polar não mantém a forma original e portanto é necessário traçar um novo diagrama polar o que consome tempo e certamente é inconveniente Por outro lado o diagrama de Bode do compensador pode simplesmente ser acrescentado ao diagrama original e assim fica simples construir o diagrama completo de Bode Além disso se o ganho de malha aberta for alterado a curva de módulo será deslocada para cima ou para baixo sem mudança de inclinação e a curva de ângulo de fase permanecerá a mesma Portanto para fins de projeto é melhor trabalhar com o diagrama de Bode Uma técnica comum utilizada no diagrama de Bode é a de ajustar inicialmente o ganho de malha aberta para atender ao requisito de precisão em regime permanente Em seguida são tra çadas as curvas de módulo e de fase não compensadas de malha aberta com o ganho de malha aberta que foi ajustado Se as especificações de margem de fase e margem de ganho não forem satisfeitas determinase um compensador apropriado que reformule a função de transferência 450 Engenharia de controle moderno de malha aberta Por fim se houver alguns requisitos a serem satisfeitos tentamos satisfazêlos a menos que alguns deles sejam mutuamente contraditórios Informações fornecidas pela resposta em frequência de malha aberta A região de baixa frequência a região bem abaixo da frequência de cruzamento de ganho do lugar geomé trico indica o comportamento em regime permanente do sistema de malha fechada A região de média frequência a região próxima à frequência de cruzamento de ganho do lugar geométrico indica a estabilidade relativa A região de alta frequência a região bem acima da frequência de cruzamento de ganho indica a complexidade do sistema Requisitos da resposta em frequência de malha aberta Podese dizer que em muitos casos práticos a compensação é essencialmente uma conciliação entre a precisão em regime permanente e a estabilidade relativa Para se ter uma constante de erro de velocidade elevada e ainda uma estabilidade relativa satis fatória verificase que é necessário reconfigurar a curva de resposta em frequência de malha aberta O ganho na região de baixa frequência deve ser suficientemente elevado e próximo da frequên cia de cruzamento de ganho e a inclinação da curva de módulo em dB no diagrama de Bode deve ser 20 dBdécada nas vizinhanças da frequência de cruzamento de ganho Essa inclinação deve se estender sobre uma faixa de frequência bastante ampla para assegurar uma margem de fase adequada Na região de alta frequência o ganho deve ser atenuado tão rapidamente quanto possível para que os efeitos de ruído sejam minimizados A Figura 789 indica exemplos de curvas de resposta em frequência de malha aberta e de malha fechada geralmente desejáveis e indesejáveis Considerando a Figura 790 vemos que a reconfiguração da curva de resposta em frequência de malha aberta pode ser feita desde que a parte relativa à alta frequência siga o lugar geomé trico de G1 j e a parte relativa à baixa frequência siga o lugar geométrico de G2 j O lugar geométrico redefinido de Gc jG j deve ter as margens de fase e ganho razoáveis ou deve ser tangente a uma circunferência M adequada como se pode ver na figura Características básicas de compensação por avanço atraso e atrasoavanço de fase A compensação por avanço de fase resulta essencialmente em uma melhoria apreciável na resposta transitória e em uma pequena variação da precisão em regime estacionário Ela pode acentuar os efeitos dos ruídos de alta frequência A compensação por atraso de fase por outro lado produz uma sensível melhora na precisão do regime estacionário à custa de um aumento da duração da resposta transitória A compensação por atraso de fase suprime os efeitos dos sinais de ruído de alta frequência A compensação por atraso e avanço de fase combina as características tanto da compensação por avanço como da compensação por atraso de fase O uso de um compensador por avanço ou atraso de fase aumenta a ordem do sistema de uma unidade a menos que ocorra cancelamento entre o zero do compensador e um polo da função de transferência de malha aberta não compensada O uso de um compensador de atraso e avanço eleva a ordem do sistema em duas unidades a menos que ocorra o cancelamento entre zeros do compensador de atraso e FIGURA 789 Im Re 1 0 Desejável Indesejável Im dB Re Log 1 0 Desejável Indesejável a b Desejável Indesejável a Exemplos de curvas de resposta em frequência de malha aberta desejáveis e indesejáveis b exemplos de curvas de resposta em frequência de malha fechada desejáveis e indesejáveis 451 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência avanço de fase e polos da função de transferência de malha aberta não compensada o que significa que o sistema se torna mais complexo e fica mais difícil controlar o comportamento da resposta transitória Cada situação em particular determina o tipo de compensação a ser utilizada 711 Compensação por avanço de fase Inicialmente estudaremos as características de frequência do compensador por avanço de fase A seguir será apresentada a técnica de projeto do compensador por avanço de fase pelo uso do diagrama de Bode Características dos compensadores por avanço de fase Considere um compensador por avanço de fase que tenha a seguinte função de transferência K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 0 1 c c 1 1 a a a a h onde a é chamado fator de atenuação do compensador por avanço de fase Ele possui um zero em s 1T e um polo em s 1aT Como 0 a 1 vêse que o zero fica sempre localizado à direita do polo no plano complexo Note que para um pequeno valor de a o polo fica localizado distante à esquerda O valor mínimo de a é limitado pela construção física do compensador por avanço de fase Esse valor mínimo de a é geralmente adotado em torno de 005 Isso significa que o valor de avanço de fase máximo que pode ser conseguido é de aproximadamente 65º Veja a Equação 725 A Figura 791 indica o diagrama polar de K j T j T 1 1 0 1 c 1 1 a a a h com Kc 1 Para dado valor de α o ângulo entre o eixo real positivo e a linha tangente traçada a partir da origem até o semicírculo fornece o ângulo máximo de avanço de fase zm A frequência no ponto de tangência será chamada m A partir da Figura 791 o ângulo de fase em m é zm onde sen 2 1 2 1 1 1 zm a a a a 725 A Equação 725 relaciona o ângulo de avanço de fase máximo e o valor de a FIGURA 790 Im Re 1 0 Circunferência M G2j G1j Gc jG j Curva de resposta em frequência de malha aberta reconfigurada 452 Engenharia de controle moderno A Figura 792 apresenta o diagrama de Bode de um compensador por avanço de fase quan do Kc 1 e a 01 As frequências de canto do compensador por avanço de fase são 1T e 1aT 10T Pelo estudo da Figura 792 vêse que m é a média geométrica das duas frequências de canto ou log log log T T 2 1 1 1 m a c m Portanto T 1 m a 726 Como se vê na Figura 792 o compensador por avanço de fase é basicamente um filtro passa alta As altas frequências passam mas as baixas são atenuadas Técnicas de compensação por avanço de fase baseadas na abordagem por resposta em frequência A principal função do compensador por avanço de fase é reconfigurar a curva de resposta em frequência para conseguir um ângulo de avanço de fase suficiente para compensar o atraso de fase excessivo associado aos componentes de um sistema fixo Considere o sistema da Figura 793 Suponha que as especificações de desempenho sejam dadas em termos de margem de fase margem de ganho constante de erro estático de velocidade etc O procedimento para projetar um compensador por avanço de fase pelo método de resposta em frequência pode ser o seguinte 1 Suponha o seguinte compensador por avanço de fase G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 0 1 c c c 1 1 a a a a h h FIGURA 791 Im Re m 0 1 0 zm 1 2 1 α α 1 2 1 α Diagrama polar de um compensador por avanço de fase α jT 1 jαT 1 onde 0 α 1 FIGURA 792 10 0 em rads 10 20 90 0 dB 01 T 1 T 10 T 100 T 10 T zm Diagrama de Bode de um compensador por avanço de fase α jT 1 jαT 1 onde α 01 453 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Defina Kcα K Então G s K Ts Ts 1 1 c a h A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é G s G s K Ts Ts G s Ts Ts KG s Ts Ts G s 1 1 1 1 1 1 c 1 a a a h h h h h onde G1s KGs Determine o ganho K a fim de satisfazer o requisito da constante de erro estático dado 2 Utilizando o ganho K assim determinado construa o diagrama de Bode de G1 j o sistema com o ganho ajustado mas não compensado Avalie a margem de fase 3 Determine o ângulo de avanço de fase necessário que deve ser acrescentado ao sistema Adicione 5º a 12º ao ângulo assim determinado porque a adição do compensador por avanço de fase desloca a frequência de cruzamento de ganho para a direita e diminui a margem de fase 4 Determine o fator de atenuação a utilizando a Equação 725 Defina a frequência em que o módulo do sistema não compensado G1 j seja igual a 20 log 1 a Selecione essa frequência como a nova frequência de cruzamento de ganho que corresponde a m 1 a T e a defasagem máxima zm ocorre nessa frequência 5 Determine as frequências de canto do compensador por avanço de fase como segue Zero do compensador por avanço de fase T 1 Polo do compensador por avanço de fase T 1 a 6 Utilizando o valor de K determinado na etapa 1 e o de a determinado na etapa 4 calcule a constante Kc a partir de K K c a 7 Verifique a margem de ganho para se certificar de que ela é satisfatória Se não for repita o processo de projeto pela modificação da localização de polo zero do compensador até que um resultado satisfatório seja obtido Exemplo 726 Considere o sistema da Figura 794 A função de transferência de malha aberta é G s s s 2 4 h h FIGURA 793 Gcs Gs Sistema de controle 454 Engenharia de controle moderno Desejase projetar um compensador para o sistema de modo que a constante de erro estático de velocidade Kυ seja 20 s 1 a margem de fase seja pelo menos 50 e a margem de ganho seja pelo menos 10 dB Utilizaremos um compensador por avanço de fase como segue G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 c c c a a a h O sistema compensado terá a função de transferência de malha aberta GcsGs Defina G s KG s s s K 2 4 1 h h h onde K Kca A primeira etapa do projeto é ajustar o ganho K para atender às especificações de desempenho em regime permanente ou propiciar a constante de erro estático de velocidade requerido Como essa constante é especificada em 20 s 1 obtémse 2 20 lim lim lim K sG s G s s Ts Ts G s s s s K K 1 1 2 4 s c s s 0 0 1 0 a y h h h h ou K 10 Com K 10 o sistema compensado satisfará o requisito relativo ao regime permanente A seguir construímos o diagrama de Bode de G j j j j j 2 40 0 5 1 20 1 h h h A Figura 795 apresenta as curvas de módulo e de ângulo de fase de G1 j A partir desse dia grama as margens de ganho e de fase do sistema são 17 e dB respectivamente A margem de fase de 17 implica que o sistema é bastante oscilatório Assim satisfazendo a especificação de regime permanente o resultado é um desempenho da resposta transitória insatisfatório A espe cificação requer uma margem de fase de pelo menos 50 Portanto o avanço de fase adicional necessário para satisfazer o requisito de estabilidade relativa é de 33 Para obter uma margem de fase de 50 sem que haja decréscimo no valor de K o compensador por avanço de fase deve contribuir com o ângulo de fase requerido Notando que a adição de um compensador por avanço de fase modifica a curva de módu lo em dB no diagrama de Bode percebemos que a frequência de cruzamento de ganho será deslocada para a direita Devemos compensar o aumento do atraso de fase de G1 j causado por esse aumento da frequência de cruzamento de ganho Considerandose o deslocamento da frequência de cruzamento de ganho podese supor que zm o avanço de fase máximo requerido seja de aproximadamente 38 Isso significa que foram adicionados 5 ao compensador para o deslocamento da frequência de cruzamento de ganho Como sen 1 1 zm a a FIGURA 794 4 ss 2 Sistema de controle 455 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência zm 38 corresponde a a 024 Uma vez que o fator de atenuação a tenha sido determinado com base no ângulo de avanço de fase requerido a próxima etapa é determinar as frequências de canto 1T e 1aT do compensador por avanço de fase Para isso devese notar primeiro que o ângulo de avanço de fase máximo zm ocorre na média geométrica das duas frequências de canto ou 1 a T Veja a Equação 726 O valor da alteração na curva de módulo em dB em 1 a T em decorrência da inclusão do termo Ts 1aTs 1 é j T j T j j 1 1 1 1 1 1 1 T 1 a a a a a a h Observe que 62 dB 1 0 24 1 0 49 1 a e G1 j 62 dB corresponde a 9 radsVamos selecionar essa frequência para ser a nova frequência de cruzamento de ganho c Notandose que essa frequência corresponde a 1 a T ou c 1 a T obtémse 441 T 1 a c e 184 T 1 c a a O compensador por avanço de fase determinado assim é G s K s s K s s 18 4 4 41 0 054 1 0 227 1 c c ca h onde o valor de Kc é determinado como 417 K K 0 24 10 c a Portanto a função de transferência do compensador é FIGURA 795 1 2 4 8 em rads 40 20 0 20 40 0 90 180 10 20 40 60 100 17 dB Diagrama de Bode de G1 j 10G j 40 j j 2 456 Engenharia de controle moderno 417 10 G s s s s s 18 4 4 41 0 054 1 0 227 1 c h Note que 10 K G s G s G s G s G s G s 10 c c c 1 h h h h h h A Figura 796 mostra a curva de módulo em dB e a curva de ângulo de fase de Gc j10 O sistema compensado tem a seguinte função de transferência 417 G s G s s s 18 4 s s 4 41 2 4 c h h h As curvas sólidas na Figura 796 indicam a curva de módulo e a de ângulo de fase do sistema compensado Note que a banda passante é aproximadamente igual à frequência de cruzamento de ganho O compensador por avanço de fase produz um aumento de 63 para 9 rads na frequência de cruzamento de ganho O aumento nessa frequência significa um aumento da banda passante Isso implica um aumento da velocidade de resposta As margens de fase e de ganho são de apro ximadamente 50 e dB respectivamente O sistema compensado da Figura 797 portanto atende tanto ao requisito de regime permanente como ao de estabilidade relativa Observe que para os sistemas do tipo 1 como o sistema que acabamos de ver o valor da constante de erro estático de velocidade Kυ é simplesmente o valor da frequência correspondente à intersecção da extensão da reta de inclinação de 20 dBdécada e da reta de 0 dB como indica a Figura 796 Observe também que a inclinação da curva de módulo foi alterada próximo à frequência de cruzamento de ganho de 40 dBdécada para 20 dB década FIGURA 796 40 20 0 20 40 0 90 180 Gc 10 Kv 50 1 2 4 6 em rads 10 20 40 60 100 Gc 10 GcG GcG 6 dB G1 10G G1 10G dB Diagrama de Bode do sistema compensado 457 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência A Figura 798 mostra os diagramas polares da função de transferência de malha aberta com o ganho ajustado mas não compensado G1 j 10 G j e a função de transferência de malha aberta compensada Gc jG j A partir da Figura 798 vêse que a frequência de ressonância do sistema não compensado é em torno de 6 rads e que a do sistema compensado é de aproxi madamente 7 rads Isso indica também que a banda passante aumentou Com base na Figura 798 constatase que o valor do pico de ressonância Mr do sistema não compensado com K 10 é 3 O valor de Mr do sistema compensado é obtido como 129 Isso mostra claramente que a estabilidade relativa do sistema compensado melhorou Note que se o ângulo de fase de G1 j decrescer rapidamente nas proximidades da frequên cia de cruzamento de ganho a compensação por avanço de fase se torna ineficaz porque o des locamento da frequência de cruzamento de ganho para a direita torna difícil obter um avanço de fase suficiente para a nova frequência de cruzamento de ganho Isso significa que para fornecer a margem de fase desejada devese utilizar um valor muito pequeno para a O valor de a entre tanto não deve ser muito pequeno menor que 005 nem o avanço de fase máximo zm deve ser muito grande superior a 65 porque esses valores vão requerer um ganho adicional de valor excessivo Se for necessário mais que 65 duas ou mais redes por avanço de fase poderão ser utilizadas em série com um amplificador de isolamento Por fim vamos estudar as características da resposta transitória do sistema projetado Serão obtidas as curvas de resposta ao degrau unitário e a rampa unitária dos sistemas compensado e FIGURA 797 4 ss 2 417s 441 s 184 Sistema compensado FIGURA 798 Mr 129 4 3 2 1 1 2 3 4 0 1 Mr 3 Im Re 1 4 4 6 6 10 10 3 3 G1 j GcjG j Diagramas polares da função de transferência de malha aberta com o ganho ajustado mas não compensado G1 e da função de transferência de malha aberta compensada GcG 458 Engenharia de controle moderno não compensado com a utilização do MATLAB Note que as funções de transferência de malha fechada dos sistemas compensado e não compensado são dadas respectivamente por R s C s s 2s 4 4 2 h h e R s C s s s s s 20 4 203 6 735 588 166 8 735 588 3 2 h h Os programas em MATLAB para a obtenção das curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária são dados pelo Programa 713 em MATLAB A Figura 799 indica as curvas de resposta ao degrau unitário antes e depois da compensação Além disso a Figura 7100 representa as curvas de resposta à rampa unitária antes e depois da compensação Essas curvas de resposta indicam que o sistema projetado é satisfatório Devese observar que os polos do sistema de malha fechada para o sistema compensado estão localizados como segue s 69541 j80592 s 64918 Em razão de os polos dominantes de malha fechada estarem situados distantes do eixo j a resposta é rapidamente atenuada Programa 713 em MATLAB Respostas ao degrau unitário num 4 den 1 2 4 numc 1668 735588 denc 1 204 2036 735588 t 00026 c1x1t stepnumdent c2x2t stepnumcdenct plot tc1tc2 grid titleRespostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas text04131Sistema compensado text155088Sistema não compensado Respostas à rampa unitária num1 4 den1 1 2 4 0 num1c 1668 735588 den1c 1 204 2036 735588 0 t 00025 y1z1t stepnum1den1t y2z2t stepnum1cden1ct plotty1ty2tt grid titleRespostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas text08937Sistema compensado text22511Sistema não compensado 459 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 712 Compensação por atraso de fase Nesta seção discutiremos inicialmente o diagrama de Nyquist e o diagrama de Bode do compensador por atraso de fase Então serão apresentadas as técnicas de compensação por atraso de fase com enfoque na resposta em frequência Características dos compensadores de atraso de fase Considere um compensador por atraso de fase que tenha a seguinte função de transferência G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 1 c c c 2 b b b b h h No plano complexo um compensador por atraso de fase tem um zero em s 1T e um polo em s 1βT O polo fica localizado à direita do zero FIGURA 7100 Saídas 5 2 0 35 45 15 05 3 4 25 1 t s 0 1 05 5 35 45 3 4 2 15 25 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Sistema compensado Sistema não compensado Curvas de resposta à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado FIGURA 799 Saídas 14 06 0 1 12 04 02 08 t s 0 1 6 4 5 2 3 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema compensado Sistema não compensado Curvas de resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado 460 Engenharia de controle moderno A Figura 7101 mostra um diagrama polar do compensador por atraso de fase A Figura 7102 indica o diagrama de Bode do compensador onde Kc 1 e β 10 As frequências de canto do compensador por atraso de fase estão em 1T e 1βT Como se vê na Figura 7102 onde os valores de Kc e β são iguais a 1 e 10 respectivamente o módulo do compensador por atraso de fase fica igual a 10 ou 20 dB em baixas frequências e igual à unidade ou 0 dB em altas frequências Portanto o compensador por atraso de fase é essencialmente um filtro passabaixa Técnicas de compensação por atraso de fase baseadas na resposta em frequência A principal função de um compensador por atraso de fase é produzir atenuação na faixa de altas frequências para fornecer ao sistema uma margem de fase suficiente A característica do atraso de fase é não acarretar consequências na compensação por atraso de fase O procedimento para o projeto de compensadores por atraso de fase para o sistema da Figura 793 com base na resposta em frequência pode ser estabelecido como segue 1 Suponha o seguinte compensador por atraso de fase G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 1 c c c 2 b b b b h h Defina Kcβ K Então G s K Ts Ts 1 1 c b h FIGURA 7102 30 20 em rads 10 0 0 90 dB 001 T 01 T 1 T 10 T Diagrama de Bode de um compensador por atraso de fase β jT 1 jβT 1 com β 10 FIGURA 7101 Im 0 Re 0 Kc Kcβ Diagrama polar de um compensador por atraso de fase Kcβ jT 1 jβT 1 461 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência A função de transferência do sistema compensado de malha aberta é G s G s K Ts Ts G s Ts Ts KG s Ts Ts G s 1 1 1 1 1 1 c 1 b b b h h h h h onde G1s KGs Determine o ganho K para que o requisito relativo à constante de erro estático de veloci dade seja atendido 2 Se o sistema não compensado G1 j KG j com ganho ajustado não satisfizer as especificações de margem de ganho e de fase determine o ponto de frequências onde o ângulo de fase da função de transferência de malha aberta seja igual a 180 mais a margem de fase requerida A margem de fase requerida é a margem de fase especificada mais 5 a 12 A adição de 5 a 12 compensa o atraso de fase do compensador Selecione essa frequência como a nova frequência de cruzamento de ganho 3 Para prevenir efeitos nocivos do atraso de fase causados pelo compensador o polo e o zero do compensador devem ficar localizados substancialmente abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho Portanto escolha a frequência de canto 1T correspondente ao zero do compensador por atraso de fase uma oitava ou uma década abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho Se as constantes de tempo do compensador por atraso de fase não se tornarem muito elevadas a frequência de canto 1T poderá ser escolhida uma década abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho Note que foram escolhidos os polos e os zeros do compensador suficientemente pequenos Assim o atraso de fase ocorre em uma região de baixa frequência de modo que não afete a margem de fase 4 Determine a atenuação necessária para baixar a curva de módulo a 0 dB na nova frequên cia de cruzamento de ganho Notandose que essa atenuação é de 20log β determine o valor de β Então a outra frequência de canto correspondente ao polo do compensador por atraso de fase é determinada a partir de 1βT 5 Utilizando o valor de K determinado na etapa 1 e o de β determinado na etapa 4 calcule a constante Kc a partir de K K c b Exemplo 727 Considere o sistema mostrado na Figura 7103 A função de transferência de malha aberta é dada por G s s s 1 0 5s 1 1 h h h É desejável compensar o sistema de modo que a constante de erro estático de velocidade Kυ seja de 5 s 1 a margem de fase seja de pelo menos 40 e a margem de ganho seja de pelo menos 10 dB Vamos utilizar um compensador por atraso de fase do seguinte modo G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 1 c c c 2 b b b b h h Defina Kcβ K Defina também G s KG s s s s K 1 0 5 1 1 h h h h 462 Engenharia de controle moderno A primeira etapa do projeto é ajustar o ganho K para atender à constante de erro estático de velocidade requerido Assim lim lim lim lim K sG s G s s Ts Ts G s sG s s s s sK K 1 1 1 0 5 1 5 s c s s s 0 0 1 0 1 0 b y h h h h h h ou K 5 Com K 5 o sistema compensado satisfaz o requisito de desempenho em regime permanente Em seguida construímos o diagrama de Bode de G j j j 1 0 5j 1 5 1 h h h A Figura 7104 apresenta a curva de módulo e de ângulo de fase de G1 j A partir desse dia grama a margem de fase é determinada como 20 o que significa que o sistema de ganho ajustado mas não compensado é instável Notandose que a inserção de um compensador por atraso de fase modifica a curva de ângulo de fase do diagrama de Bode devese acrescentar de 5 a 12 à margem de fase especificada para compensar a modificação na curva de ângulo de fase Como a frequência correspondente a uma margem de fase de 40 é 07 rads a nova frequência de cruzamento de ganho do sistema com pensado deve ser escolhida próximo desse valor Para evitar constantes de tempo muito altas do compensador por atraso de fase selecionaremos a frequência de canto 1T que corresponde FIGURA 7103 1 ss 1 05s 1 Sistema de controle FIGURA 7104 11 dB 0 dB 0 90 180 270 em rads 002 0004 G1 G1 GcG Gc K Gc 40 20 20 40 40 001 004 01 06 02 04 1 2 4 GcG Diagramas de Bode de G1 função de transferência de malha aberta com o ganho ajustado mas não compensado Gc compensador e GcG função de transferência de malha aberta compensada 463 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência ao zero do compensador por atraso de fase como 01 rads Como essa frequência de canto não fica muito abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho a modificação na curva de ângulo de fase pode não ser pequena Portanto adicionamos em torno de 12 à margem de fase dada como uma tolerância a ser levada em conta no ângulo de atraso de fase introduzido pelo compen sador A margem de fase requerida é agora de 52 O ângulo de fase da função de transferência de malha aberta não compensada é 128 em aproximadamente 05 rads Assim escolhemos a nova frequência de cruzamento de ganho como 05 rads Para trazer a curva de módulo abaixo de 0 dB nessa nova frequência de cruzamento de ganho o compensador por atraso de fase deve fornecer a atenuação necessária que nesse caso é de 20 dB Então 20 20 log 1 b ou β 10 A outra frequência de canto 1βT que corresponde ao polo do compensador por atraso de fase é então determinada como 001 T 1 rads b Portanto a função de transferência do compensador por atraso de fase é G s K s s K s s 10 100 1 10 1 100 1 10 1 c c c h h Tendo sido determinado K 5 e β 10 temos 05 K K 10 5 c b A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é G s G s s s s s s 100 1 1 0 5 1 5 10 1 c h h h h h h A Figura 7104 indica as curvas de módulo e de ângulo de fase de Gc jG j A margem de fase do sistema compensado é de aproximadamente 40 que é o valor requerido A margem de ganho é de cerca de 11 dB que é bastante aceitável A constante de erro estático de velocidade é 5 s 1 conforme requerida O sistema compensado dessa maneira atende aos requisitos tanto de regime permanente como de estabilidade relativa Note que a nova frequência de cruzamento de ganho decresce de 1 para 05 rads aproxima damente Isso significa que a banda passante do sistema foi reduzida Para apresentar ainda outros efeitos da compensação por atraso de fase a Figura 7105 traz os diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase do sistema G1 j ajustado mas não compensado e do sistema compensado Gc jG j O diagrama de G1 j mostra claramente que o sistema com ganho ajustado mas não compensado é instável A adição do compensador por atraso de fase estabiliza o sistema O diagrama de Gc jG j é tangente ao lugar geomé trico M 3 dB Portanto o valor do pico de ressonância é de 3 dB ou 14 e esse pico ocorre em 05 rads Compensadores projetados por métodos diferentes ou por projetistas diferentes adotando o mesmo critério podem ter aspecto suficientemente diferente Entretanto qualquer sistema bem projetado vai fornecer um desempenho similar de resposta transitória e de regime permanente Podese escolher entre as muitas alternativas a partir das considerações econômicas de que as constantes de tempo do compensador por atraso de fase não devem ser muito elevadas 464 Engenharia de controle moderno Por fim estudaremos a resposta ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensado e do sistema original não compensado sem ajuste de ganho As funções de transferência de malha fechada dos sistemas compensado e não compensado são R s C s s s s s s 50 150 5 101 5 51 5 50 5 4 3 2 h h e R s C s s s s 0 5 1 5 1 1 3 2 h h respectivamente O Programa 714 em MATLAB fornecerá as respostas dos sistemas compensado e não compensado à rampa unitária As figuras 7106 e 7107 apresentam respectivamente as curvas resultantes de resposta ao degrau unitário e de resposta à rampa unitária A partir das cur vas de resposta vemos que o sistema projetado satisfaz as especificações dadas e é satisfatório FIGURA 7105 8 4 0 4 90 24 16 20 12 8 12 16 20 240 210 180 150 120 G1 G1 em dB 06 04 08 1 01 02 2 06 04 08 G1 GcG 3 dB 1 2 4 Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase de G1 função de transferência de malha aberta com ganho ajustado mas não compensada e GcG função de transferência de malha aberta compensada FIGURA 7106 Saídas 14 06 0 1 12 04 02 08 t s 0 10 5 40 30 35 25 15 20 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema compensado Sistema não compensado Curvas de resposta ao degrau unitário para os sistemas compensado e não compensado Exemplo 727 465 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Programa 714 em MATLAB Resposta ao degrau unitário num 1 den 05 15 1 1 numc 50 5 denc 50 1505 1015 51 5 t 00140 c1x1t stepnumdent c2x2t stepnumcdenct plottc1tc2 grid titleRespostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas text127127Sistema compensado text12207Sistema não compensado Resposta à rampa unitária num1 1 den1 05 15 1 1 0 num1c 50 5 den1c 50 1505 1015 51 5 0 t 00120 y1z1t stepnum1den1t y2z2t stepnum1cden1ct plotty1ty2tt grid titleRespostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas text833Sistema compensado text835Sistema não compensado Note que o zero e os polos do sistema de malha fechada projetado são os seguintes Zero em s 01 Polos em s 02859 j05196 s 01228 s 23155 FIGURA 7107 Saídas 20 8 0 12 18 4 2 16 10 14 6 t s 0 4 2 20 14 18 12 16 8 6 10 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Sistema compensado Sistema não compensado Curvas de resposta à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Exemplo 727 466 Engenharia de controle moderno Os polos de malha fechada dominantes estão muito próximos do eixo j resultando em uma resposta lenta Além disso o polo de malha fechada em s 01228 e o zero de malha fechada em s 01 produzem uma cauda de pequena amplitude lentamente decrescente Alguns comentários sobre a compensação por atraso de fase 1 Os compensadores por atraso de fase são essencialmente filtros passabaixa Portanto a compensação por atraso de fase permite um ganho elevado em baixas frequências o que melhora o desempenho em regime permanente e reduz o ganho no intervalo de frequências críticas mais altas de modo que melhore a margem de fase Note que na compensação por atraso de fase utilizamos a característica de atenuação desse tipo de compensador nas altas frequências em vez da característica de atraso de fase A característica de atraso de fase não é utilizada com objetivos de compensação 2 Suponha que o zero e o polo de um compensador por atraso de fase estejam localizados em s z e s p respectivamente A localização exata do zero e do polo não é funda mental desde que estejam próximos da origem e que a relação zp seja igual ao fator de multiplicação requerido pela constante de erro estático de velocidade Devese notar entretanto que o zero e o polo do compensador por atraso de fase não devem estar situados desnecessariamente próximos à origem porque o compensador criará um polo de malha fechada adicional na mesma região em que se situam o zero e o polo do compensador O polo de malha fechada localizado perto da origem faz que a atenuação da resposta transitória fique muito lenta embora seu valor seja muito pequeno pois o zero do compen sador por atraso de fase quase cancela os efeitos desse polo Entretanto a resposta transitória decaimento é tão lenta que o tempo de acomodação ficará afetado de forma prejudicial Observase também que no sistema compensado por um compensador por atraso de fase a função de transferência entre o distúrbio da planta e o erro do sistema pode não envolver um zero que esteja próximo desse polo Portanto a resposta transitória a uma entrada de perturbação pode ter uma duração muito longa 3 A atenuação causada pelo compensador por atraso de fase deslocará a frequência de cru zamento de ganho para um ponto de menor frequência onde a margem de fase é aceitável Assim o compensador por atraso de fase reduzirá a banda passante do sistema e resultará em uma resposta transitória mais lenta A curva de ângulo de fase de Gc jG j fica inalterada perto e acima da nova frequência de cruzamento de ganho 4 Como o compensador por atraso de fase tende a integrar o sinal de entrada ele atua apro ximadamente como um controlador proporcionalintegral Em virtude disso um sistema compensado por atraso de fase tende a ser menos estável Para evitar essa característica indesejável a constante de tempo T deve ser suficientemente maior que a maior constante de tempo do sistema 5 A estabilidade condicional pode ocorrer quando um sistema a ser compensado pelo uso de um compensador por atraso de fase apresentar saturação ou limitação Quando ocorrer saturação ou limitação no sistema o ganho de malha efetivo ficará reduzido Então o sistema fica menos estável podendo mesmo resultar em uma operação instável como mostra a Figura 7108 Para que isso seja evitado o sistema deve ser projetado de modo que o efeito da compensação por atraso de fase se torne significativo apenas quando a amplitude da entrada aplicada em elementos dotados de saturação seja pequena Isso pode ser feito por meio de compensação com malha interna de realimentação 467 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 713 Compensação por atraso e avanço de fase Estudaremos inicialmente as características da resposta em frequência do compensador por atraso e avanço de fase Em seguida apresentaremos a técnica de compensação baseada na resposta em frequência Característica do compensador por atraso e avanço de fase Considere o compensador por atraso e avanço de fase dado por G s K s T s T s T s T 1 1 1 c c 1 1 2 2 c b J L K K KK J L K K KK N P O O OO N P O O OO h 727 onde g 1 e β 1 O termo s T s T T s T s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 c c c c f p h produz o efeito de rede de avanço de fase e o termo s T s T T s T s 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 b b b b c m h produz o efeito de rede de atraso de fase No projeto de um compensador por atraso e avanço de fase frequentemente selecionamos g β Isso não é necessário Podese é claro selecionar g β A seguir vamos considerar o caso em que g β O diagrama polar do compensador por atraso e avanço de fase com Kc 1 e g β é o indicado na Figura 7109 Podese ver que para 0 1 o compensador atua como um compensador por atraso de fase enquanto para 1 ele atua como um compensador por avanço de fase A frequência 1 é a frequência em que o ângulo de fase é zero Este é dado por T T 1 1 1 2 Para deduzir essa equação veja o Problema A721 FIGURA 7108 dB 40 30 20 10 0 10 20 90 180 270 07 1 2 4 6 8 10 20 Ganho elevado Ganho reduzido em rads z 0 z 0 Diagrama de Bode de um sistema condicionalmente estável 468 Engenharia de controle moderno A Figura 7110 mostra o diagrama de Bode de um compensador por atraso e avanço de fase quando Kc 1 g β 10 e T2 10T1 Note que a curva de módulo tem o valor de 0 dB nas regiões de baixa e de alta frequência Compensação por atraso e avanço de fase baseada no critério da resposta em frequên cia O projeto de um compensador por atraso e avanço de fase pelo critério da resposta em frequência tem como base a combinação das técnicas de projeto discutidas na compensação por avanço de fase e na compensação por atraso de fase Vamos supor que o compensador por atraso e avanço de fase seja da seguinte maneira G s K T s T s T s T s K s T s T s T s T 1 1 1 1 1 1 1 c c c 1 2 1 2 1 2 1 2 b b b b c c c e e h m h h h m m o o 728 onde β 1 A parte relativa ao avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase a parte que envolve T1 altera a curva de resposta em frequência pela adição de um ângulo de avanço de fase e o aumento da margem de fase na frequência de cruzamento de ganho A parte relativa ao atraso de fase a porção que envolve T2 fornece atenuação perto e acima da frequência de cruzamento de ganho e desse modo permite um aumento de ganho na faixa de baixa frequência para melhorar o desempenho em regime permanente Vamos ilustrar os procedimentos para o projeto de um compensador de atraso e avanço de fase por meio de um exemplo FIGURA 7109 Im Re 0 1 1 0 Diagrama polar de um compensador por atraso e avanço de fase dado pela Equação 727 com Kc 1 e γ β FIGURA 7110 10 0 10 20 30 90 0 90 em rads dB 001 T1 1 T1 10 T1 01 T1 0001 T1 100 T1 Diagrama de Bode de um compensador por atraso e avanço de fase dado pela Equação 727 com Kc 1 γ β 10 e T2 10T1 469 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Exemplo 728 Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência é G s s s s K 1 2 h h h Desejase que a constante de erro estático de velocidade seja 10 s 1 a margem de fase seja 50 e a margem de ganho seja 10 dB ou mais Suponha que seja utilizado o compensador por atraso e avanço de fase dado pela Equação 728 Note que a porção de avanço de fase aumenta tanto a margem de fase como a banda passante do sistema o que implica o aumento da velocidade de resposta A porção de atraso de fase mantém o ganho nas baixas frequências A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é GcsGs Como o ganho K da planta é ajustável vamos supor que Kc 1 Então lim s 0 GcsGs 1 A partir do requisito da constante de erro estático de velocidade obtemos 10 lim lim K sG s G s sG s s s s K K 1 2 2 s c s c 0 0 y h h h h h Portanto K 20 A seguir vamos construir o diagrama de Bode do sistema não compensado com K 20 como mostra a Figura 7111 A margem de fase do sistema com ganho ajustado mas não compensado é de 32 o que indica que o sistema com ganho ajustado mas não compensado é instável A próxima etapa no projeto de um compensador por atraso e avanço de fase é escolher uma nova frequência de cruzamento de ganho A partir da curva de ângulo de fase de G j notase que G j h 180 em 15 rads É conveniente escolher a nova frequência de cruzamento de ganho como 15 rads de modo que o ângulo de avanço de fase requerido em 15 rads seja de aproximadamente 50 o que é inteiramente possível utilizandose uma única rede por atraso e avanço de fase FIGURA 7111 em rads dB 60 40 20 0 40 20 90 0 90 180 270 002 001 004 01 02 04 06 G GcG G GcG Gc Gc 16 dB 1 2 4 6 10 32 50 Diagramas de Bode de G função de transferência de malha aberta com ganho ajustado mas não compensado Gc compensador e GcG função de transferência de malha aberta compensada 470 Engenharia de controle moderno Uma vez escolhida a frequência de cruzamento de ganho como 15 rads podese determinar a frequência de canto da porção de atraso de fase do compensador por atraso e avanço de fase Vamos escolher a frequência de canto 1T2 que corresponde ao zero da porção de atraso de fase do compensador como uma década abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho ou em 015 rads Lembrese de que para o compensador por avanço de fase o ângulo por avanço de fase máximo zm é dado pela Equação 725 onde a nesse caso é 1β Substituindo a 1β na Equação 725 temse sen 1 1 1 1 2 1 m z b b b b Note que β 10 corresponde a zm 549 Como é necessária uma margem de fase de 50 podese escolher β 10 Observe que será utilizado um valor vários graus menor que o ângulo máximo 549 Assim β 10 Em seguida a frequência de canto 1βT2 o que corresponde ao polo da porção por atraso de fase do compensador tornase 0015 rads A função de transferência da porção de atraso de fase do compensador por atraso e avanço de fase tornase 10 s s s s 0 015 0 15 66 7 1 6 67 1 c m A porção de avanço de fase pode ser determinada como segue sendo a nova frequência de cruzamento de ganho 15 rads obtémse G j15 como 13 dB a partir da Figura 7111 Portanto se o compensador por atraso e avanço de fase contribui com 13 dB em 15 rads então a nova frequência de cruzamento de ganho será conforme o desejado A partir desse requi sito é possível traçar uma reta com inclinação de 20 dB por década passando pelo ponto 15 rads 13 dB As intersecções dessa reta com a reta 0 dB e com a linha 20 dB determinam as frequências de canto Assim as frequências de canto da porção por avanço de fase são 07 rads e 7 rads Portanto a função de transferência da porção de avanço de fase do compen sador por atraso e avanço de fase é s s s s 7 0 7 10 1 0 143 1 1 43 1 c m Combinando as funções de transferência das porções de atraso e de avanço de fase do compensador obtémse a função de transferência do compensador por atraso e avanço de fase Como escolhemos Kc 1 temse G s s s s s s s s s 7 0 7 0 015 0 15 0 143 1 1 43 1 66 7 1 6 67 1 c c c c c h m m m m As curvas de módulo em dB e de ângulo de fase do compensador por atraso e avanço de fase que acaba de ser projetado estão representadas na Figura 7111 A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é G s G s s s s s s s s s s s s s s s 7 0 015 1 2 0 7 0 15 20 0 143 1 66 7 1 1 0 5 1 10 1 43 1 6 67 1 c h h h h h h h h h h h h h h 729 A Figura 7111 também mostra as curvas de módulo em dB e de ângulo de fase do sistema da Equação 729 A margem de fase do sistema compensado é 50 a margem de ganho é 16 dB e a constante de erro estático de velocidade é 10 s 1 Portanto todos os requisitos foram atendidos e o projeto está completo 471 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência A Figura 7112 mostra os diagramas polares de G j função de transferência de malha aberta de ganho ajustado mas não compensado e Gc jG j função de transferência de malha aberta compensada O lugar geométrico de Gc jG j é tangente à circunferência M 12 em aproximadamente 2 rads Isso indica claramente que o sistema compensado tem estabilidade relativa satisfatória A banda passante do sistema compensado é ligeiramente maior que 2 rads A seguir serão estudadas as características da resposta transitória do sistema compensado O sistema de ganho ajustado mas não compensado é instável A função de transferência de malha fechada do sistema compensado é R s C s s s s s s s s 4 7691 47 7287 110 3026 163 724 82 10 95 381 81 10 5 4 3 2 2 h h As figuras 7113 e 7114 apresentam as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária respectivamente obtidas por meio do MATLAB FIGURA 7112 M 12 015 1 Im Re G GcG 02 04 8 7 6 5 4 3 2 1 2 0 1 1 2 2 2 1 4 3 5 8 7 1 2 6 Diagramas polares de G ganho ajustado e GcG FIGURA 7113 Saída 16 06 0 1 14 04 02 12 08 t s 0 4 2 20 14 18 12 16 8 6 10 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado Resposta ao degrau unitário do sistema compensado Exemplo 728 472 Engenharia de controle moderno Observe que o sistema de controle de malha fechada projetado tem os seguintes zeros e polos de malha fechada Zero em s 01499 s 06993 Polos em s 08973 j14439 s 01785 s 05425 s 74923 O polo em s 01785 e o zero em s 01499 estão localizados muito próximos um do outro Esse par de polo e zero produz uma cauda longa e de pequena amplitude na resposta ao degrau como se vê na Figura 7113 Além disso o polo em s 05425 e o zero em s 06993 estão localizados razoavelmente próximos um do outro Esse par acrescenta amplitude ao efeito cauda longa Resumo do projeto de sistemas de controle pelo método da resposta em frequência As últimas três seções apresentaram procedimentos detalhados para projetar compensadores por avanço por atraso e por atraso e avanço de fase por meio de exemplos simples Mostramos que o projeto de um compensador para atender às especificações dadas em termos de margem de fase e margem de ganho pode ser realizado de modo simples e direto pelo diagrama de Bode Deve se notar que não são todos os sistemas que podem ser compensados com um compensador por avanço atraso ou atraso e avanço de fase Em alguns casos podem ser utilizados compensadores com polos e zeros complexos Para sistemas que não podem ser projetados pelo método do lugar das raízes ou da resposta em frequência podese utilizar o método de localização de polos Veja o Capítulo 10 Em dado problema de projeto se tanto os métodos convencionais de projeto como o método de localização de polos puderem ser utilizados os métodos convencionais do lugar das raízes ou da resposta em frequência normalmente resultarão em um compensador estável de menor ordem Note que o projeto satisfatório de um compensador para um sistema complexo pode requerer uma aplicação criativa de todos os métodos disponíveis de projeto Comparação entre compensação por avanço de fase atraso de fase e atraso e avanço de fase 1 A compensação por avanço de fase é comumente utilizada para melhorar as margens de estabilidade A compensação por atraso de fase é usada para melhorar o desempenho em estado permanente A compensação por avanço de fase atinge o resultado desejado pelos méritos de sua contribuição de avanço de fase enquanto a compensação por atraso de fase alcança o resultado pelos méritos de sua propriedade de atenuação nas altas frequências FIGURA 7114 Saída 20 8 0 12 18 4 2 16 10 14 6 t s 0 4 2 20 14 18 12 16 8 6 10 Resposta à rampa unitária do sistema compensado Resposta à rampa unitária do sistema compensado Exemplo 728 473 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 2 Em alguns problemas de projeto tanto a compensação por atraso de fase como a compen sação por avanço de fase podem satisfazer às especificações A compensação por avanço de fase fornece uma frequência de cruzamento de ganho maior que é possível com a compensação por atraso de fase Uma frequência de cruzamento de ganho maior significa uma banda passante maior Uma banda passante maior significa a redução no tempo de acomodação A banda passante de um sistema com compensação por avanço de fase é sempre maior que no caso da compensação por atraso de fase Portanto se for desejada uma banda passante grande ou uma resposta rápida devese empregar a compensação por avanço de fase Entretanto se estiverem presentes sinais de ruído uma banda passante poderá não ser desejável uma vez que ela torna o sistema mais suscetível aos sinais de ruído em virtude do aumento no ganho nas altas frequências Nesse caso devese usar a compensação por atraso de fase 3 A compensação por avanço de fase requer um aumento adicional no ganho para com pensar a atenuação inerente à rede por avanço de fase Isso significa que a compensação por avanço de fase requererá um ganho maior que o necessário para compensação por atraso de fase Um ganho maior na maioria dos casos implica maior espaço maior peso e maior custo 4 A compensação por avanço de fase pode gerar sinais de maior amplitude no sistema Esses sinais maiores não são desejáveis pois podem causar saturação no sistema 5 A compensação por atraso de fase reduz o ganho do sistema nas altas frequências sem reduzir o ganho em baixas frequências Como a banda passante do sistema é pequena a velocidade de resposta é menor Pelo fato de o ganho em alta frequência ser reduzido podese aumentar o ganho total do sistema Desse modo aumentase também o ganho em baixa frequência melhorando a precisão em regime permanente Além disso quaisquer ruídos de alta frequência existentes no sistema podem ser atenuados 6 A compensação por atraso de fase introduz um par de polos zero próximo à origem que vai gerar uma longa cauda de pequena amplitude na resposta transitória 7 Se forem desejáveis tanto respostas rápidas como precisão em regime permanente poderá ser empregado um compensador por atraso e avanço de fase Utilizandose um compensa dor por atraso e avanço de fase o ganho em baixa frequência pode ser aumentado o que significa melhor precisão em regime permanente e ao mesmo tempo podese aumentar a banda passante e as margens de estabilidade 8 Embora um grande número de tarefas práticas possa ser realizado por compensadores por avanço de fase por atraso de fase ou por atraso e avanço de fase para sistemas complica dos a compensação pelo simples uso desses compensadores pode não produzir resultados satisfatórios Então devese empregar outros compensadores tendo configurações de polos e zeros diferentes Comparação gráfica A Figura 7115a mostra a curva de resposta ao degrau unitário e a curva de resposta à rampa unitária de um sistema não compensado As curvas típicas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária de um sistema compensado que utiliza compensadores por avanço atraso e atraso e avanço de fase respectivamente estão indicadas nas figuras 7115b c e d O sistema com um compensador por avanço de fase apresenta a resposta mais rápida enquanto o sistema com um compensador por atraso de fase exibe a resposta mais lenta mas com melhoras consideráveis na resposta à rampa unitária O sistema com o compensador por atraso e avanço de fase fornece um compromisso melhoramentos consideráveis tanto na resposta transitória como na resposta em regime permanente podem ser esperados As curvas de resposta mostradas representam a natureza dos melhoramentos que podem ser esperados dos diferentes tipos de compensadores Compensação por realimentação Um tacômetro é um dos dispositivos de realimentação de velocidade Outro dispositivo comum de realimentação de velocidade é o giroscópio de 474 Engenharia de controle moderno velocidade Os giroscópios de velocidade normalmente são utilizados em sistemas de pilotagem automática de aeronaves A realimentação de velocidade que emprega tacômetro é muito utilizada em servossistemas posicionadores Note que se um sistema for submetido a sinais de ruído a realimentação de veloci dade pode ocasionar alguma dificuldade caso o esquema específico de realimentação de velocidade produza a diferenciação do sinal de saída O resultado é a acentuação dos efeitos de ruído Cancelamento de polos indesejáveis Como a função de transferência de elementos em cascata é o produto das funções de transferência individuais é possível o cancelamento de alguns polos ou zeros indesejáveis se for utilizado um elemento de compensação em cascata com seus polos e zeros sendo ajustados para cancelar polos ou zeros indesejáveis do sistema original Por exemplo uma constante de tempo elevada T1 pode ser cancelada pelo uso de uma rede por avanço de fase T1s 1T2s 1 como segue T s T s T s T s 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 e oe o Se T2 for muito menor que T1 podemos efetivamente eliminar a constante de tempo elevada T1 A Figura 7116 mostra o efeito do cancelamento de uma constante de tempo elevada na resposta transitória ao degrau Quando o sistema original tiver um polo indesejável situado no semiplano direito do plano s esse esquema de compensação não deve ser utilizado dado que embora seja matematica mente possível cancelar o polo indesejável pela adição de um zero o cancelamento exato é fisicamente impossível em virtude das imprecisões envolvidas na localização de polos e zeros Um polo no semiplano direito do plano s não cancelado exatamente pelo zero do compensador poderá levar a uma operação instável porque a resposta vai conter um termo exponencial que aumenta com o tempo FIGURA 7116 x x y z y z t t t 1 T1s 1 T1s 1 T2s 1 Curvas de resposta ao degrau indicando o efeito do cancelamento de uma constante de tempo elevada FIGURA 7115 ct 1 0 t ct 1 0 t ct 1 0 t ct 1 0 t ct 0 t ct 0 t ct 0 t ct 0 t ess ess ess ess a b c d Curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária a Sistema não compensado b sistema compensado por avanço de fase c sistema compensado por atraso de fase d sistema compensado por atraso e avanço de fase 475 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Note que se um polo no semiplano esquerdo do plano s for quase cancelado mas não preci samente como é quase sempre o caso a combinação polozero não cancelada fará que a resposta tenha um componente de pequena amplitude mas de longa duração na resposta transitória Se o cancelamento não for exato mas razoavelmente bom então esse componente será pequeno Observe que o sistema de controle ideal não é o que tem uma função de transferência unitá ria Fisicamente um sistema de controle como este não pode ser construído uma vez que não é possível transferir instantaneamente energia da entrada para a saída Além disso como o ruído quase sempre está presente sob uma ou outra forma um sistema com uma função de transferência unitária não é desejado Na maioria dos casos práticos um sistema de controle desejável deve possuir um conjunto de polos dominantes de malha fechada complexos conjugados com um coeficiente de amortecimento e frequência natural não amortecida razoáveis A determinação da parte significativa da configuração de polos e zeros de malha fechada como a localização dos polos dominantes de malha fechada é baseada nas especificações que fornecem o desempenho desejado do sistema Cancelamento de polos complexos conjugados indesejáveis Se a função de transferência de uma planta contiver um ou mais pares de polos complexos conjugados então um compensador por avanço por atraso ou por atraso e avanço de fase poderá não produzir resultados satisfatórios Nesse caso uma rede com dois zeros e dois polos poderá ser útil Se forem escolhidos zeros que cancelem os polos complexos conjugados indesejáveis da planta então poderemos essen cialmente substituir os polos indesejáveis por polos aceitáveis Ou seja se os polos complexos conjugados indesejáveis se situarem no semiplano esquerdo do plano s e estiverem sob a forma s s 2 1 2 1 1 1 2 g então a inserção de uma rede de compensação com a função de transferência s s s s 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 g g resulta em uma efetiva mudança dos polos complexos conjugados indesejáveis para polos aceitáveis Note que mesmo que o cancelamento possa não ser exato o sistema compensado apresentará características de resposta melhores Como foi dito anteriormente esse critério não pode ser utilizado se os polos complexos conjugados indesejáveis estiverem no semiplano direito do plano s Redes habituais constituídas apenas por componentes RC cujas funções de transferência possuam dois zeros e dois polos são redes em ponte T Exemplos de redes em ponte T e suas funções de transferência estão indicados na Figura 7117 As deduções das funções de transfe rência de redes em ponte T foram dadas no Problema A35 FIGURA 7117 C2 R R C1 R2 C C R1 ei eo ei eo a b Eos Eis RC1RC2s2 2RC2s 1 RC1RC2s2 RC1 2RC2s 1 Eos Eis R1CR2Cs2 2R1Cs 1 R1CR2Cs2 R2C 2R1Cs 1 Rede em ponte T 476 Engenharia de controle moderno Comentários finais Nos exemplos de projetos apresentados neste capítulo tratamos principal mente das funções de transferência dos compensadores Nos problemas reais de projetos devemos escolher os equipamentos Assim devemos satisfazer as limitações adicionais do projeto como custo tamanho peso e confiabilidade O sistema projetado pode atender às especificações sob condições normais de operação mas pode se desviar consideravelmente das especificações quando as alterações ambientais forem sig nificativas Como as alterações ambientais afetam as constantes de ganho e de tempo do sistema tornase necessário conseguir meios automáticos ou manuais de ajuste de ganho para compensar essas mudanças ambientais e também para compensar os efeitos de não linearidades que não foram levados em conta no projeto bem como as tolerâncias de fabricação de uma unidade para outra na produção de componentes do sistema Os efeitos de tolerância de fabricação ficam suprimidos em um sistema de malha fechada portanto os efeitos podem não ser críticos em operações de malha fechada mas críticos em operações de malha aberta Além disso o projetista deve levar em conta que qualquer sistema está sujeito a pequenas variações causadas principalmente pela deterioração normal do sistema Exemplos de problemas com soluções A71 Considere o sistema cuja função de transferência de malha fechada é R s C s s s s 2 5 10 1 h h h h h Evidentemente os polos de malha fechada estão localizados em s 2 e s 5 e o sistema não é oscilatório Mostre que a resposta em frequência de malha fechada desse sistema apresenta um pico de ressonância embora o coeficiente de amortecimento dos polos de malha fechada seja maior que a unidade Solução A Figura 7118 mostra o diagrama de Bode do sistema O valor do pico de ressonância é de aproximadamente 35 dB Note que na ausência do zero o sistema de segunda ordem com z 07 não exibirá o pico de ressonância entretanto a presença de um zero de malha fechada vai causar esse pico FIGURA 7118 15 10 5 0 5 10 15 90 45 0 45 90 02 04 06 1 2 4 6 10 20 40 em rads C j R j C j R j em dB Assíntota Diagrama de Bode de 101 j2 j 5 j 477 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência A72 Considere o sistema definido por x x x x u u y y x x 0 25 1 4 1 0 1 1 1 0 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 o o G G G G G G G G Obtenha as funções de transferência senoidal Y1 jU1 j Y2 jU1 j Y1 jU2 j e Y2 jU2 j Ao deduzir Y1 jU1 j e Y2 jU1 j vamos supor que U2 j 0 De maneira semelhante ao obtermos Y1 jU2 j e Y2 jU2 j supomos que U1 j 0 Solução A expressão da matriz de transferência para o sistema definido por ẋ Ax Bu ẏ Cx Du é dada por Ys GsUs onde Gs é a matriz de transferência e é dada por Gs CsI A 1B D Para o sistema considerado aqui a matriz de transferência tornase C I A B D s s s s s s s s s s s s s s s s s s 1 0 0 1 25 1 4 1 0 1 1 4 25 1 4 25 1 1 0 1 1 4 25 4 4 25 25 4 25 5 4 25 25 1 2 2 2 2 2 h R T S S SS V X W W WW G G G G G Então Y s Y s s s s s s s s s s s s U s U s 4 25 4 4 25 25 4 25 5 4 25 25 1 2 2 2 2 2 1 2 h h h h R T S S S SS V X W W W WW H H Ao supor que U2 j 0 encontramos Y1 jU1 j e Y2 jU1 j como segue U j Y j j j j U j Y j j j 4 25 4 4 25 25 2 1 2 1 2 2 h h h h h h De maneira semelhante ao supor que U1 j 0 encontramos Y1 jU2 j e Y2 jU2 j como segue U j Y j j j j U j Y j j j j 4 25 5 4 25 25 2 1 2 2 2 2 h h h h h h Note que Y2 jU2 j é uma função de transferência de fase não mínima A73 Considerando o Problema A72 desenhe os diagramas de Bode do sistema utilizando o MATLAB 478 Engenharia de controle moderno Solução O Programa 715 em MATLAB produz os diagramas de Bode do sistema Há quatro conjuntos de diagramas de Bode dois para a entrada 1 e dois para a entrada 2 Esses diagramas de Bode são mostrados na Figura 7119 Programa 715 em MATLAB A 0 125 4 B 1 10 1 C 1 00 1 D 0 00 0 bodeABCD A74 Utilizando o MATLAB construa os diagramas de Bode para o sistema de malha fechada indi cado na Figura 7120 para K 1 K 10 e K 20 Desenhe as três curvas de módulo no mesmo diagrama e as três curvas de ângulo de fase em outro diagrama Solução A função de transferência de malha fechada é dada por R s C s s s s K K s s s K K 1 5 6 5 3 2 h h h h FIGURA 7119 Frequência rads Fase graus Magnitude dB Diagramas de Bode 100 101 102 100 101 102 De U1 De U2 40 20 0 100 0 100 100 0 100 200 0 200 Para Y1 Para Y2 Diagramas de Bode 479 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Então o numerador e o denominador de CsRs são nun K den 1 6 5 K Uma opção do programa em MATLAB é o Programa 716 em MATLAB Os diagramas de Bode resultantes são mostrados nas figuras 7121a e b FIGURA 7120 K ss 1 s 5 Rs Cs Sistema de malha fechada FIGURA 7121 Frequência rads Diagrama de Bode de Gs Kss 1s 5 onde K 1 K 10 e K 20 140 Magnitude dB 120 100 80 60 40 20 20 0 101 100 101 102 K 10 K 20 K 1 a Frequência rads 300 200 150 100 50 250 0 Fase graus 101 100 101 102 K 10 K 20 K 1 b Diagramas de Bode a curvas de módulo versus frequência b curvas de ângulo de fase versus frequência 480 Engenharia de controle moderno Programa 716 em MATLAB w logspace12200 for i 13 if i 1 K 1magphasew bodeK1 6 5 Kw mag1dB 20log10mag phase1 phase end if i 2 K 10magphasew bodeK1 6 5 Kw mag2dB 20log10mag phase2 phase end if i 3 K 20magphasew bodeK1 6 5 Kw mag3dB 20log10mag phase3 phase end end semilogxwmag1dBwmag2dBwmag3dB grid titleDiagrama de Bode de Gs Kss 1s 5 where K 1 K 10 and K 20 xlabelFrequência rads ylabelGanho dB text1231K 1 text118K 10 text1131K 20 semilogxwphase1wphase2wphase3 grid xlabelFrequência rads ylabelFase graus text0290K 1 text0220K 10 text1620K 20 A75 Prove que o diagrama polar da função senoidal de transferência 0 G j j T j T 1 para 3 h é uma semicircunferência Determine o centro e o raio da circunferência Solução A função senoidal de transferência dada G j pode ser escrita como segue G j X jY onde X T T Y T T 1 1 2 2 2 2 2 2 Então 2 X Y T T T T 2 1 4 1 1 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c m h h h Assim vemos que o diagrama de G j é uma circunferência de centro 05 0 e raio igual a 05 A semicircunferência superior corresponde a 0 e a semicircunferência inferior a 0 A76 Prove o seguinte teorema sobre mapeamento seja Fs uma relação de polinômios em s Seja P o número de polos e Z o número de zeros de Fs situados no interior de um contorno fechado no plano s já considerada a multiplicidade de polos e zeros Suponha que o contorno fechado seja de modo que não passe sobre nenhum dos polos ou zeros de Fs O contorno fechado no plano s fica então mapeado no plano Fs como uma curva fechada O número N de envolvimentos da origem do plano Fs no sentido horário quando o ponto representativo s traça no plano s o contorno completo no sentido horário é igual a Z P Solução Para provar esse teorema utilizamos o teorema de Cauchy e o teorema do resíduo O teorema de Cauchy afirma que a integral de Fs em um contorno fechado no plano s é zero se Fs for analítica2 no interior e no próprio contorno ou 2 Para a definição de função analítica veja a nota de rodapé da página 409 481 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência F s ds 0 h o Suponha que Fs seja dada por F s s p s p s z s z X s m m k k 1 2 1 2 1 2 1 2g g h h h h h h onde Xs é analítico no contorno fechado do plano s e todos os polos e zeros estejam localizados no interior do contorno Então a relação FsFs pode ser escrita como F s F s s z k s z k s p m s p m X s X s 1 1 2 2 1 1 2 2 g g l l c e h h m o h h 730 Isso pode ser visto a partir da seguinte consideração se F s for dado por F s s z1k Xs então F s terá um zero de késima ordem em s z1 Diferenciando Fs em relação a s temos F s ks z1k 1 Xs s z1kXs Então F s F s s z k X s X s 1 l l t t h h h h 731 Vemos que considerando a relação F sF s o zero de késima ordem de F s tornase um polo simples de F sF s Se o último termo do lado direito da Equação 731 não contém nenhum polo ou zero do contorno fechado no plano s FsFs é analítica no interior do contorno com exceção do zero no ponto s z1 Então considerando a Equação 730 e utilizando o teorema do resíduo que diz que a integral de FsFs ao longo de um contorno fechado no sentido horário no plano s é igual a 2pj vezes os resíduos nos polos simples de FsFs ou 2 F s F s ds j resíduos r l c h h m o temos 2 2 F s F s ds j k k m m j Z P 1 2 1 2 g g r r l h h h h h 6 o onde Z k1 k2 número total de zeros de Fs situados no interior do contorno fechado do plano s P m1 m2 número total de polos de Fs situados no interior do contorno fechado do plano s Os k zeros ou polos múltiplos são considerados k zeros ou polos localizados no mesmo ponto Como Fs é uma grandeza complexa ela pode ser escrita como Fs Fejθ e ln Fs lnF jθ Notando que FsFs pode ser escrita como ln F s F s ds d F s l h h h obtemos ln F s F s ds d F j ds di l h h 482 Engenharia de controle moderno Se o contorno fechado no plano s for mapeado no contorno fechado G no plano Fs então ln F s F s ds d F j d j d j P Z 2 i i r C C l h h h o o o A integral Γ F é zero pois o valor de ln F é o mesmo tanto no ponto inicial como no ponto final do contorno Γ Assim obtemos P Z 2 2 1 r i i A diferença angular entre os valores final e inicial de θ é igual à mudança total do ângulo de fase de FsFs à medida que o ponto representativo no plano s se move ao longo do contorno fechado Notando que N é o número de voltas no sentido horário em torno da origem do plano Fs e θ2 θ1 é zero ou um múltiplo de 2p rad obtemos N 2 2 1 r i i Assim temos a relação N Z P Isso prova o teorema Observe que por esse teorema do mapeamento o número exato de zeros e polos não pode ser determinado mas apenas sua diferença Note também que a partir das figuras 7122a e b vemos que se θ não variar em 2p rad então a origem do plano Fs não pode ser envolvida A77 O diagrama polar de Nyquist de resposta em frequência de malha aberta de um sistema de controle com realimentação unitária é mostrado na Figura 7123a Ao supor que o percurso de Nyquist no plano s englobe todo o semiplano direito do plano s trace o diagrama de Nyquist completo no plano G Em seguida responda às seguintes questões a Se a função de transferência de malha aberta não possui polos no semiplano direito do plano s o sistema de malha fechada é estável b Se a função de transferência de malha aberta possui um polo e nenhum zero no semiplano direito do plano s o sistema de malha fechada é estável c Se a função de transferência de malha aberta possui um zero e nenhum polo no semiplano direito do plano s o sistema de malha fechada é estável Solução A Figura 7123b mostra o diagrama de Nyquist completo no plano G Eis as respostas às três questões FIGURA 7122 Re Im θ1 θ2 θ2 Origem envolvida θ2 θ1 2 Origem não envolvida θ2 θ1 0 Plano Fs Plano Fs 0 a b Re Im 0 θ1 Determinação do envolvimento da origem do plano Fs 483 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência a O sistema de malha fechada é estável porque o ponto crítico 1 j0 não é envolvido pelo diagrama de Nyquist Ou seja como P 0 e N 0 temos Z N P 0 b A função de transferência de malha aberta tem um polo no semiplano direito do plano s Então P 1 O sistema de malha aberta é instável Para que o sistema de malha fechada seja estável o diagrama de Nyquist deve envolver o ponto crítico uma vez no sentido anti horário Entretanto o diagrama de Nyquist não envolve nem uma vez o ponto crítico 1 j0 no sentido antihorário Então N 0 Portanto Z N P 1 O sistema de malha fechada é instável c Como a função de transferência de malha aberta tem um zero mas nenhum polo no semi plano direito do plano s temos Z N P 0 Assim o sistema de malha fechada é estável Note que os zeros da função de transferência de malha aberta não afetam a estabilidade do sistema de malha fechada A78 O sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta é está vel com K 2 G s H s s s s K 1 2 1 h h h h Determine o valor crítico do ganho K para que haja estabilidade Solução A função de transferência de malha aberta é G j H j j j j K j K 1 2 1 3 1 2 2 2 h h h h h Essa função de transferência de malha aberta não tem polos no semiplano direito do plano s Então para que haja estabilidade o ponto crítico 1 j0 não deve ser envolvido Determinemos o ponto em que o diagrama de Nyquist cruza o eixo real negativo Façamos a parte imaginária de G jH j ser igual a zero ou 1 22 0 de onde 2 1 Substituindo 1 2 em G jH j obtemos FIGURA 7123 0 Re a Im 1 0 Re Im 1 Plano G 0 0 b a Diagrama de Nyquist b diagrama de Nyquist completo no plano G 484 Engenharia de controle moderno G j H j K 2 1 2 1 3 2 e e o o O valor crítico do ganho K é obtido igualandose 2K3 a 1 ou 1 3 K 2 Então K 2 3 O sistema é estável se 0 K 2 3 Então o sistema com K 2 é instável A79 Considere o sistema de malha fechada mostrado na Figura 7124 Determine o valor crítico de K para que haja estabilidade utilizando o critério de estabilidade de Nyquist Solução O diagrama polar de fórmula G j j K 1 h é uma circunferência com centro em K2 no eixo real negativo e raio K2 como mostra a Figura 7125a Para variando de a o lugar geométrico de G j faz uma rotação no sentido contrário dos ponteiros do relógio Nesse sistema P 1 porque há um polo de Gs no semiplano direito do plano s Para que o sistema de malha fechada seja estável Z deve ser igual a 0 Portanto N Z P deve ser igual a 1 ou deve haver um envolvimento no sentido antihorário do ponto 1 j0 para que haja estabilidade Se não houver envolvimento do ponto 1 j0 o sistema FIGURA 7125 Re Im Re Re Im Im 1 1 Plano G Plano G Plano G Estável Instável a b 0 0 0 P 1 N 1 Z 0 P 1 N 0 K 1 K 1 Z 1 K 2 K 2 a Diagrama polar de K j 1 b diagramas polares de K j 1 para os casos estável e instável FIGURA 7124 Rs Cs K s 1 Sistema de malha fechada 485 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência será instável Assim para que haja estabilidade K deve ser maior que a unidade e K 1 é o caso limite da estabilidade A Figura 7125b mostra ambos os casos de estabilidade e instabilidade dos diagramas de G j A710 Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s Ke 1 s 0 8 h Utilize o diagrama de Nyquist para determinar o valor crítico de K para que haja estabilidade Solução Para esse sistema cos sen cos sen sen cos G j j Ke K j j K j 1 1 0 8 0 8 1 1 0 8 0 8 0 8 0 8 j 0 8 2 2 h h h h h 6 A parte imaginária de G j é igual a zero se sen 08 cos 08 0 Então tg 08 Resolvendo essa equação para o menor valor positivo de obtemos 24482 Substituindo 24482 em G j obtemos 0378 cos sen G j K K 2 4482 1 2 4482 1 9586 2 4482 1 9586 2 h h O valor crítico de K para que haja estabilidade será obtido se fizermos que G j24482 seja igual a 1 Então 0378K 1 ou K 265 A Figura 7126 mostra o diagrama polar ou de Nyquist de 265e 08j1 j e 2651 j O sistema de primeira ordem sem retardo de transporte é estável para todos os valores de K mas com um retardo de transporte de 08 segundo tornase instável para K 265 FIGURA 7126 Re Im 4 3 245 2 15 1 2 1 1 1 2 3 1 0 6 8 9 10 05 265 1 j 265 e08j 1 j Diagramas polares de 265e 08j1 j e 2651 j 486 Engenharia de controle moderno A711 Considere o sistema com realimentação unitária com a seguinte função de transferência de malha aberta G s s s s s s 1 10 20 0 5 2 h h h h Trace o diagrama de Nyquist com o MATLAB e examine a estabilidade do sistema de malha fechada Solução O Programa 717 em MATLAB produz o diagrama de Nyquist mostrado na Figura 7127 Essa figura mostra que o diagrama de Nyquist não envolve o ponto 1 j0 Então N 0 no critério de estabilidade de Nyquist Como não há nenhum polo de malha aberta no semiplano direito do plano s P 0 Portanto Z N P 0 O sistema de malha fechada é estável Programa 717 em MATLAB num 20 20 10 den 1 11 10 0 nyquistnumden v 2 3 3 3 axisv grid A712 Considere o mesmo sistema discutido no Problema A711 Desenhe o diagrama de Nyquist somente para a região de frequências positivas Solução O desenho de um diagrama de Nyquist apenas para a região de frequências positivas pode ser feito com o auxílio do seguinte comando reimw nyquistnumdenw A região de frequências pode ser dividida em diversas subregiões utilizandose diferentes incrementos Por exemplo a região de frequências de interesse pode ser dividida em três sub regiões como segue w1 010110 w2 102100 w3 10010500 w w1 w2 w3 FIGURA 7127 Eixo real 1 05 15 2 3 1 15 05 2 25 0 Eixo imaginário 3 3 2 1 2 1 0 Diagrama de Nyquist Diagrama de Nyquist de G s s s s s s 1 10 20 0 5 2 h h h h 487 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência O Programa 718 em MATLAB utiliza essa região de frequências Com esse programa obtemos o diagrama de Nyquist visto na Figura 7128 Programa 718 em MATLAB num 20 20 10 den 1 11 10 0 w1 010110 w2 102100 w3 10010500 w w1 w2 w3 reimw nyquistnumdenw plotreim v 3 3 5 1 axisv grid titleDiagrama de Nyquist de Gs 20s2 s 05ss 1s 10 xlabelEixo real ylabelEixo imaginário A713 Com referência ao Problema A712 desenhe o diagrama polar de Gs onde G s s s s s s 1 10 20 0 5 2 h h h h Localize no diagrama polar os pontos de frequências onde 02 03 05 1 2 6 10 e 20 rads Determine também os módulos e os ângulos de fase de G j nos pontos de frequências especificados Solução No Programa 719 em MATLAB utilizamos o vetor de frequência w que é constituído por três subvetores de frequência w1 w2 e w3 Em vez desse vetor w podemos utilizar simples mente o vetor de frequências w logscaled1 d2 n O Programa 719 em MATLAB utiliza o seguinte vetor de frequências w logscale12100 Esse programa em MATLAB desenha o diagrama polar e localiza os pontos de frequências especificados no diagrama polar como mostra a Figura 7129 FIGURA 7128 Eixo real 3 3 2 1 0 1 2 Eixo imaginário 3 5 1 1 4 2 0 Diagrama de Nyquist de Gs 20s2 s 05ss 1s 10 Diagrama de Nyquist para a região de frequências positivas 488 Engenharia de controle moderno Programa 719 em MATLAB num 20 20 10 den 1 11 10 0 ww logspace12100 nyquistnumdenww v 2 3 5 0 axisv grid hold Current plot held w 02 03 05 1 2 6 10 20 reimw nyquistnumdenw plotreimo text1148w 02 text113103 text1251705 text137041 text18032 text14116 text0770810 text00370820 Para obter os valores de ganho e fase em graus de Gjw nos valores especificados de w digite o comando magphasew bodenumdenw magphasew bodenumdenw A tabela seguinte mostra os valores especificados da frequência w e os valores correspondentes do módulo e fase em graus w mag phase ans 02000 49176 789571 03000 32426 722244 05000 19975 559925 10000 15733 241455 20000 17678 144898 60000 16918 310946 100000 14072 450285 200000 08933 634385 FIGURA 7129 Eixo real 1 05 15 2 3 1 15 05 2 25 0 Eixo imaginário 5 0 05 1 25 3 35 4 45 2 15 Diagrama de Nyquist w 02 03 05 6 2 1 10 20 Diagrama polar de G j dado no Problema A713 489 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência A714 Considere um sistema com realimentação unitária positiva cuja função de transferência de malha aberta é G s s s s s 5 4 4 6 2 2 h Desenhe o diagrama de Nyquist Solução O diagrama de Nyquist do sistema com realimentação positiva pode ser obtido se num e den forem definidos como num 1 4 6 den 1 5 4 e se for utilizado o comando nyquistnum den O Programa 720 em MATLAB produz o diagrama de Nyquist como mostra a Figura 7130 Esse sistema é instável porque o ponto 1 j0 é envolvido uma vez no sentido horário Note que este é um caso especial em que o diagrama de Nyquist passa pelo ponto 1 j0 e também envolve esse ponto uma vez no sentido horário Isso significa que o sistema de malha fechada é degenerado o sistema se comporta como se fosse um sistema instável de primeira ordem Veja a seguinte função de transferência de malha fechada do sistema com realimentação positiva R s C s s s s s s s s s s 5 4 4 6 4 6 2 4 6 2 2 2 2 h h h Note que o diagrama de Nyquist para o caso de realimentação positiva é a imagem especular em relação ao eixo imaginário do diagrama de Nyquist para o caso da realimentação negativa Isso pode ser visto na Figura 7131 que foi obtida com o auxílio do Programa 721 em MATLAB Note que o caso da realimentação positiva é instável mas o caso da realimentação negativa é estável Programa 720 em MATLAB num 1 4 6 den 1 5 4 nyquistnumden grid titleDiagrama de Nyquist de Gs s2 4s 6s2 5s 4 FIGURA 7130 Eixo real 14 15 09 07 1 08 12 13 11 Eixo imaginário 02 01 05 05 01 02 03 04 0 03 04 Diagrama de Nyquist de Gs s2 4s 6s2 5s 4 Diagrama de Nyquist de um sistema com realimentação positiva 490 Engenharia de controle moderno Programa 721 em MATLAB num1 1 4 6 den1 1 5 4 num2 1 4 6 den2 1 5 4 nyquistnum1den1 hold on nyquistnum2den2 v 2 2 1 1 axisv grid titleDiagrama de Nyquist de Gs e Gs text1005Gs text057048Use este diagrama text057061de Nyquist para o sistema text057073com realimentação negativa text1305Gs text17048Use este diagrama text17061de Nyquist para o sistema text17073com realimentação positiva A715 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 760 Consulte o Exemplo 719 Usando o diagrama polar inverso determine o alcance do ganho de K para estabilidade Solução Como G s s s 1 1 2 3 2 h temos G s G s G s s s K s 1 0 5 1 2 3 2 h h h h Portanto a função de transferência inversa do ramo direto é FIGURA 7131 Eixo real 15 2 1 2 05 15 05 1 0 Eixo imaginário 04 02 1 1 02 04 06 08 0 06 08 Diagramas de Nyquist de Gs e Gs Gs Gs Utilize esse diagrama de Nyquist para o sistema com realimentação positiva Utilize esse diagrama de Nyquist para o sistema com realimentação negativa Diagramas de Nyquist de um sistema com realimentação positiva e de um sistema com realimentação negativa 491 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência G s K s s s 1 0 5 1 3 2 h h Observe que 1Gs tem um polo em s 05 e não tem polo no semiplano direito do plano s Portanto a equação de estabilidade de Nyquist Z N P se reduz a Z N já que P 0 A equação reduzida determina que o número Z de zeros de 1 1Gs no semiplano direito do plano s é igual a N o número de envolvimentos no sentido horário do ponto 1 j0 Para estabilidade N deve ser igual a zero ou não deve haver envolvimento A Figura 7132 mostra o diagrama de Nyquist ou diagrama polar de KG j Note que como G j K j j j j j j 0 5 1 0 5 0 5 0 25 0 5 0 5 1 0 5 3 2 2 2 4 2 e h h h o h H o lugar geométrico de KG j cruza o eixo real negativo em 2 e o ponto de cruzamento no eixo real negativo é 2 A partir da Figura 7132 vemos que se o ponto crítico estiver na região entre 2 e não estará envolvido Portanto para estabilidade é preciso que 1 K 2 1 Assim o alcance de ganho de K para estabilidade é 2 K que é o mesmo resultado que obtivemos no Exemplo 719 FIGURA 7132 Im Re K Plano G K G Lugar geométrico 2 0 2 0 2 Diagrama polar de KG j 492 Engenharia de controle moderno A716 A Figura 7133 mostra o diagrama de blocos do sistema de controle de um veículo espacial Determine o ganho K tal que a margem de fase seja de 50º Qual é a margem de ganho nesse caso Solução Como G j j K j 2 2 h h h temos 2 180 tg G j j j 2 2 1 c h A condição de que a margem de fase seja de 50º significa que G j c h deve ser igual a 130 onde c é a frequência de cruzamento de ganho ou G j c h 130 Então definimos 50 tg 2 c 1 c a partir do qual obtemos c 23835 rads Como a curva de ângulo de fase nunca cruza a linha de 180 a margem de ganho é dB Notando que o módulo de G j deve ser igual a zero dB em 23835 temos 1 j K j 2 2 2 3835 h h A partir disso obtemos 18259 K 2 2 3835 2 3835 2 2 2 Esse valor de K fornece a margem de fase de 50 A717 Para o sistemapadrão de segunda ordem R s C s s s 2 n n n 2 2 2 g h h mostre que a banda passante b é dada pela fórmula 1 2 4 4 2 b n 2 4 2 1 2 g g g h Note que bn é uma função somente de z Desenhe a curva de bn versus z Solução A banda passante b é determinada a partir de C jbR jb 3 dB Frequen temente em vez de 3 dB utilizamos 301 dB que é igual a 0707 Logo 0707 R j C j j j 2 b b b n b n n 2 2 2 g h h h h FIGURA 7133 Gs Ks 2 1 s2 Sistema de controle de veículo espacial 493 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Então 0707 2 n b n b n 2 2 2 2 2 g h h da qual obtemos 05 4 n n b n b 4 2 2 2 2 2 2 g h 8 B Dividindo ambos os lados da última equação por 4 n obtemos 1 05 1 4 n b n b 2 2 2 2 g e e o o G 3 Resolvendo essa última equação para bn2 temos 2 1 4 4 2 n b 2 2 4 2 g g g e o Como bn2 ficamos com o sinal positivo nessa última equação Então 1 2 4 4 2 b n 2 2 2 4 2 g g g h ou 1 2 4 4 2 b n 2 4 2 1 2 g g g h A Figura 7134 mostra a curva de bn versus z A718 O diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta Gs de um sistema de controle com realimentação unitária é mostrado na Figura 7135 Sabese que a função de transferência de malha aberta é de fase mínima Esse diagrama mostra que existe um par de polos complexos conjugados em 2 rads Determine o coeficiente de amortecimento do termo quadrático desse par de polos complexos conjugados Determine também a função de transferência Gs FIGURA 7134 20 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 0 02 04 06 08 10 ζ b n Curva de b n versus ζ onde b é a banda passante 494 Engenharia de controle moderno Solução Considerando a Figura 79 e examinando o diagrama de Bode da Figura 7135 deter minamos o coeficiente de amortecimento z e a frequência natural não amortecida do sistema n do termo quadrático como ζ 01 n 2 rads Notando que existe outra frequência de canto em 05 rads e que a inclinação da curva de módulo na região de baixa frequência é de 40 dBdécada G j pode ser experimentalmente determinada como G j j j j K j 2 0 1 1 0 5 1 2 2 c c h h m h m E Como a partir da Figura 7135 temos que G j01 40 dB o valor do ganho K pode ser deter minado como igual à unidade Além disso a curva de ângulo de fase calculada G j h versus coincide com a curva dada Então a função de transferência Gs pode ser determinada por tentativa como G s s s s s 0 4 4 4 2 1 2 2 h h h A719 Um sistema de controle de malha fechada pode incluir um elemento instável na malha Quando se quiser aplicar o critério de estabilidade de Nyquist em um sistema como este as curvas de resposta em frequência para o elemento instável deverão ser obtidas Como podemos obter experimentalmente as curvas de resposta em frequência para um elemen to instável Sugira uma possível abordagem para a determinação experimental da resposta em frequência de um elemento linear instável Solução Uma possibilidade é medir a resposta em frequência característica do elemento instável utilizandoo como parte de um sistema estável FIGURA 7135 40 20 20 dB 0 40 60 80 01 02 04 06 1 4 2 6 10 20 40 60 100 270 180 90 0 em rads Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta de um sistema de controle com realimentação unitária 495 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Considere o sistema mostrado na Figura 7136 Suponha que G1s seja instável O sistema completo pode ser definido como estável pela escolha conveniente do elemento linear G2s Aplicamos um sinal senoidal na entrada Em regime permanente todos os sinais na malha serão senoidais Medimos o sinal et a entrada do elemento instável e xt a saída do elemento ins tável Alterando a frequência e possivelmente a amplitude por conveniência da medida de et e de xt do sinal senoidal de entrada e repetindo esse processo é possível obter a resposta em frequência do elemento linear instável A720 Mostre que uma rede por avanço de fase e uma rede por atraso de fase inseridas em cascata em uma malha aberta atuam como controle proporcionalderivativo na região em que é pequeno e como controle proporcionalintegral na região em que é grande respectivamente Solução Na região em que é pequeno o diagrama polar da estrutura por avanço de fase é aproximadamente o mesmo que o do controlador proporcionalderivativo Isso está indicado na Figura 7137a Da mesma maneira na região em que é grande o diagrama polar da rede por atraso de fase se aproxima do controlador proporcionalintegral como mostra a Figura 7137b A721 Considere o compensador por atraso e avanço de fase Gcs definido por G s K s T s T s T s T 1 1 1 c c 1 2 1 2 b b c c e e h m m o o Mostre que na frequência 1 onde T T 1 1 1 2 FIGURA 7136 G1s G2s r e x c Sistema de controle FIGURA 7137 Im Im Re 0 Controlador PD Rede por avanço de fase α 0 0 a b Controlador PI 1 Re 0 1 Rede por atraso de fase 1 β a Diagramas polares de uma rede por avanço de fase e de um controlador proporcional derivativo b diagramas polares de uma rede por atraso de fase e de um controlador proporcional integral 496 Engenharia de controle moderno o ângulo de fase de Gc j tornase zero Esse compensador atua como um compensador por atraso de fase para 0 1 e atua como um compensador por avanço de fase para 1 Consulte a Figura 7109 Solução O ângulo de Gc j é dado por tg tg tg tg G j j T j T j T j T T T T T 1 1 1 c 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 b b b b h Em 1 1 T T 1 2 temos tg tg tg tg G j T T T T T T T T 1 c 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 b b h Como tg tg tg T T T T T T T T T T T T 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 3 e o ou 90 tg tg T T T T 1 2 1 1 1 2 c e também 90 tg tg T T T T 1 1 2 1 1 1 2 c b b temos 0 G j c 1 c h Portanto o ângulo de Gc j1 tornase 0 em 1 1 T T 1 2 A722 Considere o sistema de controle indicado na Figura 7138 Determine o valor do ganho K de modo que a margem de fase seja 60 Qual é a margem de ganho para esse valor de ganho K Solução A função de transferência de malha aberta é G s K s s s s s s s K s 0 5 0 1 1 10 1 5 0 5 10 1 3 2 h h h Vamos construir o diagrama de Bode de Gs quando K 1 O Programa 722 em MATLAB pode ser utilizado com essa finalidade A Figura 7139 mostra o diagrama de Bode gerado por esse programa A partir desse diagrama a margem de fase requerida de 60 ocorre na frequência 115 rads O módulo de G j nessa frequência é obtido como 145 dB O ganho K deve satisfazer à seguinte equação 20 log K 145 dB FIGURA 7138 K s 01 s 05 10 ss 1 Sistema de controle 497 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência ou K 0188 Programa 722 em MATLAB num 10 1 den 1 15 05 0 bodenumden titleDiagrama de Bode de Gs 10s 1ss 05s 1 Portanto determinamos o valor de K Como a curva do ângulo não cruza a reta 180 a margem de ganho é dB Para verificar os resultados vamos traçar o diagrama de Nyquist de G no intervalo de frequências w 05001115 O ponto final do lugar geométrico 115 rads será sobre uma circunferência no plano de Nyquist Para verificar a margem de fase é conveniente traçar o diagrama de Nyquist em um diagrama polar utilizando reticulado polar Para traçar o diagrama de Nyquist em um diagrama polar inicialmente se define o vetor z por z re iim reiθ onde r e q teta são dados por r absz theta anglez A expressão abs representa a raiz quadrada da soma do quadrado da parte real com o quadrado da parte imaginária angle significa tg 1 parte imagináriaparte real Se utilizarmos o comando polarthetar o MATLAB vai produzir um diagrama em coordenadas polares O uso em seguida do comando grid traça as retas e os círculos do reticulado O Programa 723 em MATLAB gera o diagrama de Nyquist de G j onde está entre 05 e 115 rads O diagrama resultante está indicado na Figura 7140 Note que o ponto G j115 fica sobre o círculo unitário e o ângulo de fase desse ponto é 120 Então a margem de fase é 60 FIGURA 7139 Frequência rads Diagrama de Bode de Gs 10s 1ss 05s 1 200 150 50 100 50 Fase graus Magnitude dB 0 100 50 103 102 101 100 101 Diagrama de Bode de G s s s s s 0 5 1 10 1 h h h 498 Engenharia de controle moderno O fato de o ponto G j115 estar sobre o círculo unitário confirma que para 115 rads o módulo é igual a 1 ou 0 dB Portanto 115 é a frequência de cruzamento de ganho Assim K 0188 fornece a margem de fase desejada de 60 Programa 723 em MATLAB Diagrama de Nyquist em cordenadas retangulares num 188 0188 den 1 15 05 0 w 05001115 reimw nyquistnumdenw Converter coordenadas retangulares em coordenadas polares definindo z r como z re iim r absz theta anglez Para desenhar o gráfico polar utilize o comando polarthetar polarthetar text13Verificação da margem de fase text0317Diagrama de Nyquist text22075Margem de fase text2211é 60 graus text14507Círculo unitário Note que para inserir texto no diagrama polar se digita o comando text como segue textxy Por exemplo para escrever diagrama de Nyquist com início no ponto 03 17 digitase o seguinte comando text03 17diagrama de Nyquist O texto fica escrito horizontalmente na tela A723 Se a função de transferência de malha aberta Gs contiver polos complexos conjugados ligeira mente amortecidos então mais de um dos lugares geométricos M poderá ser tangente ao lugar geométrico de G j FIGURA 7140 A margem de fase é de 60 graus 270 240 210 180 150 120 90 60 30 0 300 330 2 1 05 Verificação da margem de fase 25 15 Diagrama de Nyquist Círculo unitário Diagrama de Nyquist de G j indicando a margem de fase de 60 499 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s s s s 0 5 0 6 10 29 h h h 732 Construa o diagrama de Bode dessa função de transferência de malha aberta Construa também o diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase e mostre que dois lugares geométricos de M são tangentes ao lugar geométrico de G j Por fim trace o diagrama de Bode da função de transferência de malha fechada Solução A Figura 7141 mostra o diagrama de Bode de G j A Figura 7142 apresenta o diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase de G j Vêse que o lugar geométrico de G j é tangente ao lugar geométrico de M 8 dB para 097 rads e é tangente ao lugar geométrico de M 4 dB para 28 rads A Figura 7143 mostra o diagrama de Bode da função de transferência de malha fechada A curva de módulo em dB da resposta em frequência de malha fechada mostra dois picos de ressonân cia Note que um caso assim ocorre quando a função de transferência de malha fechada inclui FIGURA 7141 40 20 0 dB 20 40 0 90 180 270 360 01 02 04 1 2 4 10 em rads Diagrama de Bode de Gs dado pela Equação 732 FIGURA 7142 30 24 18 12 6 0 18 12 6 360 270 180 90 M 05 dB M 2 dB M 8 dB M 2 dB M 4 dB 01 03 05 1 15 2 25 3 35 G G em dB Diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase de Gs dado pela Equação 732 500 Engenharia de controle moderno o produto de dois termos de segunda ordem ligeiramente amortecidos e as duas frequências de ressonância correspondentes estão suficientemente separadas uma da outra De fato a função de transferência de malha fechada desse sistema pode ser escrita como R s C s G s G s s s s s 1 0 487 1 0 613 9 9 2 2 h h h h h h É claro que o denominador da função de transferência de malha fechada é um produto de dois termos de segunda ordem ligeiramente amortecidos os coeficientes de amortecimento são 0243 e 0102 e as duas frequências de ressonância estão suficientemente separadas A724 Considere o sistema da Figura 7144a Projete um compensador de modo que o sistema de malha fechada satisfaça os seguintes requisitos constante de erro estático de velocidade 20 s 1 margem de fase 50 e margem de ganho F 10 dB Solução Para satisfazer os requisitos tentaremos um compensador Gcs como segue G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 c c c a a a h Se o compensador por avanço de fase não funcionar tentaremos um compensador de modo diferente O sistema compensado é mostrado na Figura 7144b FIGURA 7143 20 0 20 40 0 90 180 270 360 01 02 04 06 1 2 4 6 10 em rads dB Diagrama de Bode de Gs 1 Gs onde Gs é dado pela Equação 732 FIGURA 7144 Gcs Gs Gs 10 ss 1 b 10 ss 1 a a Sistema de controle b sistema compensado 501 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Defina G s KG s s s K 1 10 1 h h h onde K Kca O primeiro passo no projeto é o ajuste do ganho K para atender às especificações de regime permanente ou fornecer a constante de erro estático de velocidade Como a constante de erro estático de velocidade Kυ é dada como 20 s 1 temse lim lim lim K sG s G s s Ts Ts G s s s s s K K K 1 1 1 10 10 20 2 s c s s 0 0 1 0 a y h h h h ou K 2 Com K 2 o sistema compensado satisfará o requisito em regime permanente A seguir vamos construir o diagrama de Bode de G s s s 1 20 1 h h O Programa 724 em MATLAB produz o diagrama de Bode indicado na Figura 7145 Por esse diagrama vemos que a margem de fase obtida é de 14 A margem de ganho é dB Programa 724 em MATLAB num 20 den 1 1 0 w logspace12100 bodenumdenw titleDiagrama de Bode de G1s 20ss 1 FIGURA 7145 Frequência rads Diagrama de Bode de G1s 20ss 1 200 100 150 50 100 Fase graus Magnitude dB 50 50 0 101 100 101 102 Diagrama de Bode de G1s 502 Engenharia de controle moderno Como a especificação pede que a margem de fase seja de 50 o avanço de fase adicional neces sário para satisfazer o requisito é 36 Um compensador por avanço de fase pode contribuir com esse valor Notando que a adição do compensador por avanço de fase modifica a curva de módulo em dB no diagrama de Bode percebemos que a frequência de cruzamento de ganho será deslocada para a direita Devemos compensar o aumento do atraso de fase de G1 j em virtude desse aumento na frequência de cruzamento de ganho Levandose em consideração o deslocamento da frequência de cruzamento de ganho devemos supor que zm o avanço de fase máximo requerido seja de aproximadamente 41 Isso significa que aproximadamente 5 foram adicionados ao compen sador para deslocar a frequência de cruzamento de ganho Como sen 1 1 zm a a zm 41 corresponde a a 02077 Note que a 021 corresponde a zm 4076 A escolha de zm 41 ou zm 4076 não deve fazer diferença na solução final Portanto vamos escolher a 021 Uma vez que o fator de atenuação a tenha sido determinado com base no requisito do ângulo de fase o próximo passo é determinar as frequências de canto 1T e 1aT do compensador por avanço de fase Note que o ângulo de fase máximo zm ocorre na média geométrica de duas frequências de canto ou 1 a T O resultado da modificação na curva de módulo em dB em 1 a T em razão da inclusão do termo Ts 1aTs 1 é j T j T j j 1 1 1 1 1 1 1 1 T a a a a a a Observe que 67778 dB 1 0 21 1 a Devemos então obter a frequência em que quando for adicionado o compensador por avanço de fase o ganho resultante seja 0 dB A partir da Figura 7145 vemos que o ponto de frequências onde o módulo de G1 j é 67778 dB está entre 1 e 10 rads Portanto construímos um novo diagrama de Bode de G1 j no intervalo de frequência entre 1 e 10 para situar o ponto exato onde G1 j 67778 dB O Programa 725 em MATLAB produz um diagrama de Bode nessa faixa de frequência que está indicado na Figura 7146 Desse diagrama vêse que o ponto de frequências onde G1 j 67778 dB ocorre em 65686 rads Vamos selecionar essa nova frequência de cruzamento de ganho ou c 65686 rads Notando que essa frequência corresponde a 1 a T ou T 1 c a obtemos 65686 30101 T 1 0 21 c a e 143339 T 1 0 21 6 5686 c a a 503 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Programa 725 em MATLAB num 20 den 1 1 0 w logspace01100 bodenumdenw titleDiagrama de Bode de G1s 20ss 1 O compensador por avanço de fase assim determinado é G s K s s K s s 14 3339 3 0101 0 06976 1 0 3322 1 c c ca h onde Kc é determinado como 95238 K K 0 21 2 c a Assim a função de transferência do compensador é 95238 2 G s s s s s 14 3339 3 0101 0 06976 1 0 3322 1 c h O Programa 726 em MATLAB produz o diagrama de Bode desse compensador por avanço de fase que está indicado na Figura 7147 A função de transferência de malha aberta do sistema projetado é G s G s s s s s s s s s 9 5238 14 3339 3 0101 1 10 15 3339 14 3339 95 238 286 6759 c 3 2 h h h Programa 726 em MATLAB numc 95238 286676 denc 1 143339 w logspace13100 bodenumcdencw titleDiagrama de Bode de Gcs 95238s 30101s 143339 FIGURA 7146 Frequência rads Diagrama de Bode de G1s 20ss 1 180 140 130 150 160 170 120 20 10 0 Fase graus Magnitude dB 40 30 20 10 100 101 Diagrama de Bode de G1s 504 Engenharia de controle moderno O Programa 727 em MATLAB produzirá o diagrama de Bode de GcsGs que está indicado na Figura 7148 A partir do Programa 727 em MATLAB e da Figura 7148 vêse claramente que a margem de fase é aproximadamente 50 e a margem de ganho é dB Como a constante de erro estático de velocidade Kυ é 20 s 1 todas as especificações foram satisfeitas Antes de concluirmos este problema é necessário verificar as características de resposta transitória Resposta ao degrau unitário vamos comparar a resposta ao degrau unitário do sistema compen sado com a do sistema original não compensado A função de transferência de malha fechada do sistema original não compensado é R s C s s s 10 10 2 h h A função de transferência de malha fechada do sistema compensado é R s C s s s s s 15 3339 110 5719 286 6759 95 238 286 6759 3 2 h h O Programa 728 em MATLAB produz as respostas ao degrau unitário dos sistemas compen sado e não compensado A Figura 7149 apresenta as curvas de resposta resultantes O sistema FIGURA 7147 Frequência rads Diagrama de Bode de Gcs 95238s 30101s 143339 0 40 30 20 10 60 50 5 Fase graus Magnitude dB 10 20 15 101 100 101 102 103 Diagrama de Bode de Gcs Programa 727 em MATLAB num 95238 2866759 den 1 153339 143339 0 sys tfnumden w logspace 13100 bodesysw grid titleDiagrama de Bode de GcsGs Gmpmwcpwcg marginsys GmdB 20log10Gm Gmdbpmwcpwcg ans Inf 494164 Inf 65686 505 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência compensado claramente apresenta uma resposta satisfatória Note que o zero e os polos de malha fechada estão localizados da seguinte maneira Zero em s 30101 Polos em s 52880 j56824 s 47579 Resposta à rampa unitária é conveniente verificar a resposta à rampa unitária do sistema compensado Como Kυ 20 s 1 o erro estacionário ao seguir a entrada em rampa unitária será 1Kυ 005 A constante de erro estático de velocidade do sistema não compensado é 10 s 1 Portanto o sistema original não compensado terá um erro estacionário duas vezes maior ao seguir a entrada em rampa unitária O Programa 729 em MATLAB produz as curvas de resposta à rampa unitária Note que a resposta à rampa unitária é obtida como a resposta ao degrau unitário de CssRs As curvas resultantes estão indicadas na Figura 7150 O erro estacionário do sistema compensado é igual à metade daquele do sistema original não compensado Programa 728 em MATLAB Respostas ao degrau unitário num1 10 den1 1 1 10 num2 95238 2866759 den2 1 153339 1105719 2866759 t 00016 c1x1t stepnum1den1t c2x2t stepnum2den2t plottc1tc2 grid titleRespostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas text170145Sistema não compensado text1105Sistema compensado FIGURA 7148 Frequência rads Diagrama de Bode de GcsGs 200 100 150 50 100 Fase graus Magnitude dB 50 50 0 101 100 101 102 103 Diagrama de Bode de GcsGs 506 Engenharia de controle moderno Programa 729 em MATLAB Respostas à rampa unitária num1 10 den1 1 1 10 0 num2 95238 2866759 den2 1 153339 1105719 2866759 0 t 00013 c1x1t stepnum1den1t c2x2t stepnum2den2t plottc1tc2tt grid titleRespostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas text12065Sistema não compensado text0113Sistema compensado FIGURA 7149 Saídas 18 08 0 12 16 06 02 1 14 04 t s 0 1 6 4 5 2 3 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado FIGURA 7150 Saídas 3 0 2 25 1 05 15 t s 0 05 3 2 25 1 15 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Sistema compensado Sistema não compensado Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado 507 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência A725 Considere um sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s s s K 1 4 h h h Projete um compensador por atraso e avanço de fase Gcs de modo que a constante de erro estático de velocidade seja 10 s 1 a margem de fase seja de 50 e a margem de ganho seja de 10 dB ou mais Solução Vamos projetar um compensador como segue G s K s T s T s T s T 1 1 1 c c 1 2 1 2 b b c c e e h m m o o Então a função de transferência de malha aberta do sistema compensado é GcsGs Como o ganho K da planta é ajustável vamos supor que Kc 1 Então lim s 0 Gcs 1 A partir dos requisitos da constante de erro estático de velocidade obtemos lim lim K sG s G s sG s s s s K K 1 4 4 10 s c s c 0 0 y h h h h h Então K 40 Inicialmente vamos construir o diagrama de Bode do sistema não compensado com K 40 O Programa 730 em MATLAB pode ser utilizado para traçar o diagrama de Bode O diagrama obtido está indicado na Figura 7151 Programa 730 em MATLAB num 40 den 1 5 4 0 w logspace11100 bodenumdenw titleDiagrama de Bode de Gs 40ss 1s 4 FIGURA 7151 Frequência rads Diagrama de Bode de Gs 40ss 1s 4 250 100 150 200 50 40 20 0 Fase graus Magnitude dB 40 20 101 100 101 Diagrama de Bode de Gs 40ss 1s 4 508 Engenharia de controle moderno Vemos pela Figura 7151 que a margem de fase do sistema de ganho ajustado mas não compensa do é 16 o que indica que o sistema é instável O próximo passo no projeto de um compensador por atraso e avanço de fase é escolher uma nova frequência de cruzamento de ganho Com base na curva de ângulo de fase de G j notamos que a frequência de cruzamento de fase é 2 rads Podemos escolher a nova frequência de cruzamento de ganho como 2 rads de modo que o ângulo de avanço de fase requerido em 2 rads seja cerca de 50 Um único compensador por atraso e avanço de fase pode fornecer esse valor de ângulo de avanço de fase muito facilmente Uma vez escolhida a frequência de cruzamento de ganho como 2 rads podemos determinar as frequências de canto da porção de atraso de fase do compensador Vamos escolher a frequência de canto 1T2 que corresponde ao zero da porção de atraso do compensador como uma década abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho ou em 02 rads Para a outra frequência de canto 1βT2 necessitamos do valor de β O valor de β pode ser determinado a partir de considerações sobre a porção de avanço de fase do compensador apresentada a seguir Para o compensador por avanço de fase o ângulo de fase máximo zm é dado por sen 1 1 zm b b Note que β 10 corresponde a zm 549 Como é necessária uma margem de fase de 50 podemos escolher β 10 Observe que utilizaremos vários graus a menos que o ângulo máximo de 549 Portanto β 10 Então a frequência de canto 1βT2 que corresponde ao polo da porção do ângulo de atraso de fase do compensador é 002 A função de transferência da porção de atraso de fase do compensador por atraso e avanço de fase é 10 s s s s 0 02 0 2 50 1 5 1 c m A porção de avanço de fase pode ser determinada como segue sendo a nova frequência de cruzamento de ganho 2 rads de acordo com a Figura 7151 G j2 é 6 dB Assim se o compensador por atraso e avanço de fase contribuir com 6 dB para 2 rads então a nova frequência de cruzamento de ganho será a desejada Com base nesse requisito é possível desenhar uma linha reta com inclinação de 20 dBdécada passando pelo ponto 2 rads 6 dB Uma reta assim foi traçada manualmente na Figura 7151 As intersecções dessa reta com a reta de 0 dB e a reta de 20 dB determinam as frequências de canto A partir dessas considerações as frequências de canto para essa porção por avanço de fase do compensador podem ser determi nadas como 04 rads e 4 rads Portanto a função de transferência do compensador por atraso e avanço de fase é s s s s 4 0 4 10 1 0 25 1 2 5 1 c m Combinando as funções de transferência das porções de atraso e de avanço de fase podese obter a função de transferência Gcs do compensador por atraso e avanço de fase Como foi escolhido Kc 1 temse G s s s s s s s s s 4 0 4 0 02 0 2 0 25 1 50 1 2 5 1 5 1 c h h h h h O diagrama de Bode do compensador por atraso e avanço de fase Gcs pode ser obtido se inserirmos o Programa 731 em MATLAB no computador O diagrama resultante é mostrado na Figura 7152 509 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Programa 731 em MATLAB numc 1 06 008 denc 1 402 008 bodenumcdenc titleDiagrama de Bode do compensador de AvançoAtraso A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é G s G s s s s s s s s s s s s s s s 4 0 02 0 4 0 2 1 4 40 9 02 24 18 16 48 0 32 40 24 3 2 c 5 4 3 2 2 h h h h h h h h Utilizando o Programa 732 em MATLAB podemos obter as curvas de ângulo de fase e de módulo em dB da função de transferência de malha aberta projetada GcsGs indicadas na Figura 7153 Note que o polinômio do denominador den1 foi obtido utilizandose o comando conv como segue a 1 402 008 b 1 5 4 0 convab ans 10000 90200 241800 164800 0320000 0 Como a margem de fase do sistema compensado é 50 a margem de ganho é 12 dB e a constante de erro estático de velocidade é 10 s 1 todos os requisitos foram satisfeitos A seguir vamos estudar as características da resposta transitória do sistema projetado Resposta ao degrau unitário notando que Programa 732 em MATLAB num1 40 24 32 den1 1 902 2418 1648 032 0 bodenum1den1 titleDiagrama de Bode de GcsGs FIGURA 7152 Frequência rads Diagrama de Bode de compensador por atraso e avanço de fase 50 0 50 20 15 Fase graus Magnitude dB 10 0 5 103 102 101 100 101 102 Diagrama de Bode do compensador projetado 510 Engenharia de controle moderno G s G s s s s s s s s 4 0 02 1 4 40 0 4 0 2 c h h h h h h h h temos R s C s G s G s G s G s s s s s s s s s s 1 4 0 02 1 4 40 0 4 0 2 40 0 4 0 2 c c h h h h h h h h h h h h h h Para determinar o polinômio do denominador com o MATLAB podemos proceder da seguinte maneira Defina as s 4s 002 s2 402s 008 bs s 1s 4 s3 5s2 4s cs 40s 04s 02 40s2 24s 32 Então temos a 1 402 008 b 1 5 4 0 c 40 24 32 Utilizando o programa em MATLAB a seguir obtemos o polinômio do denominador a 1 402 008 b 1 5 4 0 c 40 24 32 p convab 0 0 0 c p 10000 90200 241800 564800 243200 32000 Utilizamos o Programa 733 em MATLAB para obter a resposta ao degrau unitário do sistema compensado A Figura 7154 mostra a curva de resposta ao degrau unitário Note que o sistema com ganho ajustado mas não compensado é instável FIGURA 7153 Frequência rads Diagrama de Bode de GcsGs 300 250 200 150 100 50 0 100 Fase graus Magnitude dB 50 0 50 100 104 103 102 101 100 101 102 Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta Gcs Gs do sistema compensado 511 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Programa 733 em MATLAB Resposta ao degrau unitário num 40 24 32 den 1 902 2418 5648 2432 32 t 00240 stepnumdent grid titleResposta ao degrau unitário do sistema compensado Resposta à rampa unitária a resposta à rampa unitária do sistema pode ser obtida se digitarmos o Programa 734 em MATLAB no computador Convertemos aqui a resposta à rampa unitária de GcG1 GcG na resposta ao degrau unitário de GcGs1 GcG A curva de resposta à rampa unitária obtida por meio desse programa é mostrada na Figura 7155 FIGURA 7154 Amplitude 12 04 0 1 02 06 08 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado t s 0 10 5 40 30 35 25 15 20 Curva de resposta ao degrau unitário do sistema compensado FIGURA 7155 Entrada e saída em rampa unitária ct 20 8 0 12 18 4 2 16 10 14 6 t s 0 4 2 20 14 18 12 16 8 6 10 Resposta à rampa unitária do sistema compensado Resposta à rampa unitária do sistema compensado 512 Engenharia de controle moderno Programa 734 em MATLAB Resposta à rampa unitária num 40 24 32 den 1 902 2418 5648 2432 32 0 t 000520 c stepnumdent plottctt grid titleResposta à rampa unitária do sistema compensado xlabelt s ylabelEntrada e saída em rampa unitária ct Problemas B71 Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s 1 10 h Obtenha a resposta em regime estacionário desse sistema quando ele for submetido aos seguintes sinais de entrada a rt sent 30 b rt 2 cos2t 45 c rt sent 30 2 cos2t 45 B72 Considere o sistema cuja função de transferência de malha fechada é R s C s T s K T s 1 1 1 2 h h h Obtenha a resposta em regime permanente do sistema quando submetido a um sinal de entrada rt R sen t B73 Utilizando o MATLAB desenhe os diagramas de Bode das G1s e G2s dadas a seguir G s s s G s s s 1 2 1 1 2 1 1 2 h h onde G1s é um sistema de fase mínima e G2s é um sistema de fase não mínima B74 Desenhe o diagrama de Bode de G s s s s s s 0 8 9 10 0 4 1 2 2 h h h B75 Dada G s s s 2 n n n 2 2 2 g h mostre que G j 2 1 n g h B76 Considere um sistema de controle com realimentação unitária que tem a seguinte função de transferência de malha aberta 513 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência G s s s s 1 0 5 3 2 h Este é um sistema de fase não mínima Dois dos três polos de malha aberta estão localizados no semiplano direito do plano s como segue Polos de malha aberta em s 14656 s 02328 j07926 s 02328 j07926 Desenhe o diagrama de Bode de Gs com o MATLAB Explique por que a curva de ângulo de fase começa em 0º e se aproxima de 180 B77 Desenhe os diagramas polares da função de transferência de malha aberta G s H s s Ts K T s T s 1 1 1 a b 2 h h h h h para os seguintes dois casos a Ta T 0 Tb T 0 b T Ta 0 T Tb 0 B78 Desenhe o diagrama de Nyquist para o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s K s 1 1 h h Utilizando o critério de estabilidade de Nyquist determine a estabilidade do sistema de malha fechada B79 Um sistema com a função de transferência de malha aberta G s H s s T s K 1 2 1 h h h é inerentemente instável Esse sistema pode ser estabilizado pela adição de um controle deriva tivo Esboce os diagramas polares para a função de transferência de malha aberta com e sem o controle derivativo B710 Considere o sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta G s H s s s s K s 2 10 10 0 5 2 h h h h h Desenhe os diagramas polares tanto diretos como inversos de GsHs com K 1 e K 10 Aplique o critério de estabilidade de Nyquist a esses diagramas e determine a estabilidade do sistema para esses valores de K B711 Considere o sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta G s H s s Ke 2s h h Determine o máximo valor de K para o qual o sistema é estável B712 Desenhe o diagrama de Nyquist para a seguinte Gs G s s s 0 8s 1 1 2 h h B713 Considere um sistema de controle dotado de realimentação unitária com a seguinte função de transferência de malha aberta 514 Engenharia de controle moderno G s s s s 0 2 1 1 3 2 h Desenhe o diagrama de Nyquist de Gs e examine a estabilidade do sistema B714 Considere um sistema de controle dotado de realimentação unitária com a seguinte função de transferência de malha aberta G s s s s s s 0 2 1 2 1 3 2 2 h Desenhe o diagrama de Nyquist de Gs e examine a estabilidade do sistema de malha fechada B715 Considere o sistema de controle dotado de realimentação unitária com o seguinte Gs G s s s 1 1 h h Suponha que escolhamos o contorno de Nyquist mostrado na Figura 7156 Desenhe o lugar geométrico correspondente de G j no plano Gs Utilizando o critério de estabilidade de Nyquist determine a estabilidade do sistema B716 Considere o sistema de malha fechada mostrado na Figura 7157 Gs não possui polos no semiplano direito do plano s Se o diagrama de Nyquist for o indicado na Figura 7158a esse sistema será estável Se o diagrama de Nyquist for o indicado na Figura 7158b esse sistema será estável FIGURA 7156 j v ϵ Contorno de Nyquist FIGURA 7157 Gs Sistema de malha fechada 515 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência B717 O diagrama de Nyquist de um sistema dotado de realimentação unitária tem a função de trans ferência Gs no ramo direto mostrada na Figura 7159 Se Gs tiver um polo no semiplano direito do plano s o sistema será estável Se Gs não tiver nenhum polo no semiplano direito do plano s mas tiver um zero nesse semi plano o sistema será estável B718 Considere o sistema de controle com realimentação unitária com a seguinte função de transfe rência de malha aberta Gs G s s s s K s 1 10 2 h h h h Desenhe o diagrama de Nyquist de Gs para K 1 10 e 100 B719 Considere um sistema com realimentação negativa com a seguinte função de transferência de malha aberta G s s s 1 s 2 2 h h h FIGURA 7158 0 Re Re Im Im 0 1 1 a b Diagramas de Nyquist FIGURA 7159 0 1 Re Im Gj Diagrama de Nyquist 516 Engenharia de controle moderno Desenhe o diagrama de Nyquist de Gs Se o sistema tivesse realimentação positiva mas com a mesma função de transferência de malha aberta Gs como seria o diagrama de Nyquist B720 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 7160 Desenhe os diagramas de Nyquist de Gs sendo G s s s s k s s k s 1 5 10 10 6 5 10 10 3 2 h h h h 6 para k 03 05 e 07 B721 Considere o sistema definido por x x x x u u y y x x u u 1 6 5 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 o o G G G G G G G G G G Há quatro diagramas de Nyquist distintos nesse sistema Desenhe dois diagramas de Nyquist para a entrada u1 em um gráfico e dois diagramas de Nyquist para a entrada u2 em outro gráfico Escreva um programa em MATLAB para obter esses dois gráficos B722 Com relação ao Problema B721 é desejável traçar apenas Y1 jU1 j para 0 Escreva um programa em MATLAB para gerar esse diagrama Se for desejável traçar Y1 jU1 j para que mudanças devem ser feitas no programa em MATLAB B723 Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s as 1 2 h Determine o valor de a de forma que a margem de fase seja 45º B724 Considere o sistema mostrado na Figura 7161 Desenhe o diagrama de Bode da função de trans ferência de malha aberta Gs Determine a margem de fase e a margem de ganho FIGURA 7160 k 1 s 10 s 1 s 5 Sistema de controle FIGURA 7161 Gs 25 ss 1 s 10 Sistema de controle 517 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência B725 Considere o sistema da Figura 7162 Desenhe o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta Gs Determine a margem de fase e a margem de ganho com o MATLAB B726 Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s s s K 4 2 h h Determine o valor do ganho K tal que a margem de fase seja de 50 Qual é a margem de ganho com esse mesmo valor de K B727 Considere o sistema da Figura 7163 Desenhe o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta e determine o valor do ganho K para que a margem de fase seja de 50 Qual é a margem de ganho desse sistema com esse valor de K B728 Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s s s K 0 5 2 h h Determine o valor de K tal que o valor do pico de ressonância na resposta em frequência seja de 2 dB ou Mr 2 dB B729 A Figura 7164 mostra o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta Gs de um sistema de controle com realimentação unitária Sabese que a função de transferência de malha aberta é de fase mínima Pelo diagrama podese ver que há um par de polos complexos conjugados em 2 rads Determine o coeficiente de amortecimento do termo quadrático que envolve os dois polos complexos conjugados Determine também a função de transferência Gs FIGURA 7162 Gs 20s 1 ss2 2s 10 s 5 Sistema de controle FIGURA 7163 10 ss 1 K s 01 s 05 Sistema de controle 518 Engenharia de controle moderno B730 Desenhe os diagramas de Bode para o controlador PI dado por 5 G s s 1 2 1 c c h m e para o controlador PD dado por Gcs 51 05s B731 A Figura 7165 mostra o diagrama de blocos do controle de atitude de um veículo espacial Determine o ganho constante proporcional Kp e o tempo derivativo Td de forma que a banda passante do sistema de malha fechada seja de 04 a 05 rads Note que a banda passante de malha fechada é próxima à frequência de ganho de cruzamento O sistema deve ter uma margem de fase adequada Trace as curvas de resposta em frequência de malha aberta e de malha fechada em diagramas de Bode B732 A partir do sistema de malha fechada mostrado na Figura 7166 desenhe um compensador por avanço de fase Gcs tal que a margem de fase seja de 45º a margem de ganho não seja inferior a 8 dB e o erro estático constante de velocidade Kυ seja de 40 s1 Trace as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensado utilizando o MATLAB FIGURA 7164 40 20 20 dB 0 40 60 80 01 02 04 06 1 4 2 6 10 20 40 60 100 270 180 90 0 em rads Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta de um sistema de controle com realimentação unitária FIGURA 7165 Kp1 Tds 1 s2 Diagrama de blocos do sistema de controle de atitude de um veículo espacial 519 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência FIGURA 7168 Gcs 1 ss 1s 5 Sistema de controle B733 Considere o sistema mostrado na Figura 7167 Desejase projetar um compensador com erro estático de velocidade constante de 40 s1 margem de fase de 50º e margem de ganho de 8 dB ou mais Trace as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensando utilizando o MATLAB B734 Considere o sistema mostrado na Figura 7168 Projete um compensador por atraso e por avanço de fase com erro estático de velocidade constante Kv de 20 s1 margem de fase de 60º e margem de ganho de pelo menos 8 dB Trace as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensando utilizando o MATLAB FIGURA 7166 Gcs K s01s 1s 1 Sistema de malha fechada FIGURA 7167 Gcs 1 Hydraulic servo 1 s Aircraft 2s 01 s2 01s 4 Rate gyro C R Sistema de controle 520 Engenharia de controle moderno Controladores PID e controladores PID modificados 8 C A P Í T U L O 81 Introdução Em capítulos anteriores discutimos brevemente esquemas básicos de controle PID Por exem plo apresentamos controladores PID eletrônicos hidráulicos e pneumáticos Também projetamos sistemas de controle nos quais controladores PID estavam envolvidos É interessante notar que mais da metade dos controladores industriais em uso atualmente emprega esquemas de controle PID ou PID modificado Como a maioria dos controladores PID é ajustada em campo diferentes tipos de regras de sintonia vêm sendo propostas na literatura Com a utilização dessas regras de sintonia ajustes finos no controlador PID podem ser feitos em campo Além disso métodos de sintonia automá tica vêm sendo desenvolvidos e alguns controladores PID têm a capacidade de fazer sintonia automática online Estruturas PID modificadas como o controle IPD e o controle PID com vários graus de liberdade atualmente estão em uso na indústria Vários métodos práticos de comutação suave de operação manual para operação automática e ganho programado estão comercialmente disponíveis A utilidade dos controles PID está na sua aplicabilidade geral à maioria dos sistemas de con trole Em particular quando o modelo matemático da planta não é conhecido e portanto métodos de projeto analítico não podem ser utilizados controles PID se mostram os mais úteis Na área dos sistemas de controle de processos sabese que os esquemas básicos de controle PID e os controles PID modificados provaram sua utilidade conferindo um controle satisfatório embora em muitas situações eles possam não proporcionar um controle ótimo Neste capítulo apresentaremos primeiro o projeto de um sistema de controle com um PID utilizando as regras de ajuste de Ziegler e Nichols Depois discutiremos um projeto de controlador PID com o método tradicional de resposta em frequência seguido da abordagem de otimização computacional no projeto de controladores PID Em seguida discutiremos controles PID modi ficados como o controle PID e o controle IPD Em sequência introduziremos o controle com vários graus de liberdade o qual pode satisfazer os requisitos conflitantes que os sistemas de controle com um grau de liberdade não podem Para a definição de sistema de controle com vários graus de liberdade veja a Seção 86 Em casos práticos pode existir um requisito relativo à resposta da entrada de distúrbio e outro requisito relativo à resposta da entrada de referência Muitas vezes esses dois requisitos são conflitantes entre si e não podem ser satisfeitos no caso de um grau de liberdade Aumentando os graus de liberdade somos capazes de satisfazer a ambos Neste capítulo apresentaremos em detalhes sistemas de controle com dois graus de liberdade O método de otimização computacional para o projeto de sistemas de controle apresentado neste capítulo tais como a busca de conjuntos ótimos de valores de parâmetro para satisfazer especificações dadas de resposta transitória pode ser usado tanto no projeto de sistemas de con trole de um grau de liberdade como nos de vários graus de liberdade desde que seja conhecido um modelo matemático razoavelmente preciso da planta Visão geral do capítulo A Seção 81 apresentou o material introdutório do capítulo A Seção 82 lida com o projeto de um controlador PID com as regras de ZieglerNichols A Seção 83 abor da o projeto de um controlador PID pelo método de resposta em frequência A Seção 84 discute uma abordagem computacional para a obtenção dos parâmetros ótimos de controladores PID A Seção 85 trata dos sistemas de controle PID com vários graus de liberdade inclusive os sis temas PID modificados 82 Regras de sintonia de Ziegler Nichols para controladores PID Controle PID de plantas A Figura 81 mostra o controle PID de uma planta Se um modelo matemático da planta pode ser obtido então é possível aplicar várias técnicas de projeto na deter minação dos parâmetros do controlador que atenderão às especificações do regime transitório e do regime permanente do sistema de malha fechada Contudo se a planta for muito complexa de modo que seu modelo matemático não possa ser obtido facilmente então a abordagem analítica do projeto do controlador PID não será possível Temos então de recorrer a abordagens experi mentais de sintonia de controladores PID O processo de selecionar parâmetros do controlador que garantam dada especificação de desempenho é conhecido como sintonia do controlador Ziegler e Nichols sugeriram regras para a sintonia de controladores PID o que significa ajustar os valores de Kp Ti e Td base adas na resposta experimental ao degrau ou no valor de Kp que resulta em uma estabilidade marginal quando somente uma ação proporcional é utilizada As regras de ZieglerNichols as quais serão brevemente apresentadas a seguir são úteis quando os modelos matemáticos da planta são desconhecidos Essas regras podem é claro ser aplicadas ao projeto de sistemas com modelos matemáticos conhecidos Elas sugerem um conjunto de valores de Kp Ti e Td que vão proporcionar uma operação estável do sistema Contudo o sistema resultante pode exibir um sobressinal máximo grande na resposta do degrau o que é inaceitável Nesse caso precisamos fazer uma série de sintonias finas até que um resultado aceitável seja obtido De fato as regras de sintonia de ZieglerNichols fornecem estimativas dos valores dos parâmetros e proporcionam um ponto de partida na sintonia fina e não os valores definitivos de Kp Ti e Td logo na primeira tentativa Regras de ZieglerNichols para sintonia de controladores PID Ziegler e Nichols propu seram regras para a determinação de valores do ganho proporcional Kp do tempo integral Ti e FIGURA 81 Planta Kp1 Tds 1 Tis Controle PID de uma planta 522 Engenharia de controle moderno do tempo derivativo Td baseadas nas características da resposta transitória de dada planta Essa determinação dos parâmetros dos controladores PID ou de sintonia dos controladores PID pode ser feita por engenheiros de campo por meio de experimentos com a planta Muitas regras de sintonia para controladores PID já foram sugeridas desde a proposta de Ziegler e Nichols Elas estão disponíveis na literatura e com os fabricantes desses controladores Existem dois métodos denominados regras de sintonia de ZieglerNichols o primeiro e o segundo método Fornecemos aqui uma breve apresentação dos dois Primeiro método No primeiro método obtemos experimentalmente a resposta da planta a uma entrada em degrau unitário como mostra a Figura 82 Se a planta não possui integradores ou polos complexos conjugados dominantes então essa curva de resposta ao degrau unitário pode ter o aspecto de um S como se pode ver na Figura 83 Esse método se aplica se a curva de resposta ao degrau de entrada tiver o aspecto de um S Essa curva de resposta ao degrau pode ser gerada experimentalmente ou a partir de uma simulação dinâmica da planta A curva com o formato em S pode ser caracterizada por duas constantes o atraso L e a cons tante de tempo T O atraso e a constante de tempo são determinados desenhandose uma linha tangente no ponto de inflexão da curva com o formato em S e determinandose a intersecção da linha tangente com o eixo dos tempos e a linha ct K como mostra a Figura 83 A função de transferência CsUs pode ser aproximada por um sistema de primeira ordem com um atraso de transporte como segue U s C s Ts Ke 1 Ls h h Ziegler e Nichols sugeriram escolher os valores de Kp Ti e Td de acordo com a fórmula que aparece na Tabela 81 Note que o controlador PID sintonizado pelo primeiro método das regras de ZieglerNichols fornece FIGURA 82 Planta ut ct 1 Resposta ao degrau unitário de uma planta FIGURA 83 Linha tangente no ponto de inflexão K 0 ct t L T Curva de resposta em forma de S 523 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados G s K Ts T s L T Ls Ls T s s L 1 1 1 2 1 2 1 0 5 0 6 1 c p i d 2 e c c h o m m Portanto o controlador PID tem um polo na origem e zeros duplos em s 1L Segundo método No segundo método definimos primeiro Ti e Td 0 Usando somente a ação de controle proporcional veja a Figura 84 aumente Kp de 0 ao valor crítico Kcr no qual a saída exibe uma oscilação sustentada pela primeira vez Se a saída não exibe uma oscilação sustentada para qualquer valor que Kp pode assumir então esse método não se aplica Portanto o ganho crítico Kcr e o período Pcr correspondente são determinados experimentalmente veja a Figura 85 Ziegler e Nichols sugeriram escolher os valores dos parâmetros Kp Ti e Td de acordo com a fórmula mostrada na Tabela 82 TABELA 81 Tipo de controlador Kp Ti Td P L T 0 PI 09 L T L 0 3 0 PID 12 L T 2L 05L Regra de sintonia de Ziegler Nichols baseada na resposta ao degrau da planta primeiro método FIGURA 84 Kp Planta rt ct ut Sistema de malha fechada com um controlador proporcional FIGURA 85 Pcr 0 t ct Oscilação sustentada com período Pcr Pcr é medido em segundos 524 Engenharia de controle moderno Note que o controlador PID sintonizado pelo segundo método das regras de ZieglerNichols fornece G s K Ts T s K P s P s K P s s P 1 1 0 6 1 0 5 1 0 125 0 075 4 c p i d 2 cr cr cr cr cr cr e c e h o m o Portanto o controlador PID tem um polo na origem e zeros duplos em s 4Pcr Note que se o sistema tem um modelo matemático conhecido como a função de transferên cia então podemos utilizar o método do lugar das raízes para encontrar o ganho crítico Kcr e a frequência de oscilações sustentadas cr onde 2πcr Pcr Esses valores podem ser encontrados a partir dos pontos de cruzamento dos ramos do lugar das raízes com o eixo j Obviamente se os ramos do lugar das raízes não cruzam o eixo j esse método não se aplica Comentários As regras de sintonia de ZieglerNichols e outras regras de sintonia apresenta das na literatura vêm sendo muito utilizadas para sintonizar controladores PID em sistemas de controle de processo em que as dinâmicas da planta não são precisamente conhecidas Por muitos anos essas regras de sintonia provaram ser muito úteis As regras de sintonia de ZieglerNichols podem é claro ser aplicadas às plantas cujas dinâmicas são conhecidas Se as dinâmicas da planta são conhecidas várias abordagens gráficas e analíticas para o projeto de controladores PID estão disponíveis além das regras de ZieglerNichols Exemplo 81 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 86 no qual um controlador PID é utilizado para controlar o sistema O controlador PID tem a função de transferência G s K Ts T s 1 1 c p i d e h o Embora vários métodos analíticos estejam disponíveis para o projeto de um controlador PID para o sistema dado vamos aplicar uma regra de sintonia de ZieglerNichols na determinação dos parâmetros Kp Ti e Td Em seguida obtenha a curva de resposta ao degrau unitário e verifique se o TABELA 82 Tipo de controlador Kp Ti Td P 05Kcr 0 PI 045Kcr 1 2 1 Pcr 0 PID 06Kcr 05Pcr 0125Pcr Regra de sintonia de Ziegler Nichols baseada no ganho crítico Kcr e no período crítico Pcr segundo método FIGURA 86 Gcs Controlador PID 1 ss 1s 5 Cs Rs Sistema com controle PID 525 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados sistema projetado exibe aproximadamente 25 de sobressinal máximo Se o sobressinal máximo for excessivo 40 ou mais faça uma sintonia fina e reduza o valor do sobressinal máximo para aproximadamente 25 ou menos Como a planta tem um integrador utilizamos o segundo método das regras de sintonia de ZieglerNichols Fazendo Ti e Td 0 obtemos a função de transferência de malha fechada como segue R s C s s s s K K 1 5 p p h h h h O valor de Kp que torna o sistema marginalmente estável de modo que ocorram oscilações sus tentadas pode ser obtido pelo uso do critério de estabilidade de Routh Uma vez que a equação característica do sistema em malha fechada é s3 6s2 5s Kp 0 o arranjo de Routh fica s3 1 5 s2 6 Kp s1 K 6 30 p s0 Kp Examinando os coeficientes da primeira coluna da tabela de Routh determinamos que oscilações sustentadas existirão se Kp 30 Portanto o valor crítico Kcr é Kcr 30 Com o ganho Kp igual a Kcr 30 a equação característica resulta em s3 6s2 5s 30 0 Para encontrar a frequência da oscilação sustentada substituímos s j na equação característica como segue j3 6j2 5j 30 0 ou 65 2 j5 2 0 a partir da qual determinamos a frequência da oscilação sustentada como 2 5 ou 5 Logo o período de oscilação sustentada é 28099 P 2 5 2 cr r r Referindonos à Tabela 82 determinamos Kp Ti e Td como segue Kp 06Kcr 18 Ti 05Pcr 1405 Td 0125Pcr 035124 A função de transferência do controlador PID é portanto G s K Ts T s s s s s 1 1 18 1 1 405 1 0 35124 6 3223 1 4235 c p i d 2 e c h o m h 526 Engenharia de controle moderno O controlador PID tem um polo na origem e um zero duplo em s 14235 Um diagrama de blocos do sistema de controle com o controlador PID projetado é mostrado na Figura 87 Em seguida vamos examinar a resposta do sistema ao degrau unitário A função de transfe rência CsRs é dada por R s C s s s s s s s 6 11 3223 18 12 811 6 3223 18 12 811 4 3 2 2 h h A resposta ao degrau unitário desse sistema pode ser facilmente obtida com o MATLAB Veja o Programa 81 em MATLAB A curva de resposta ao degrau unitário resultante é mostrada na Figura 88 O sobressinal máximo na resposta ao degrau unitário é de aproximadamente 62 O valor do sobressinal máximo é excessivo Ele pode ser reduzido fazendose uma sintonia fina dos parâmetros do controlador Essa sintonia fina pode ser feita no computador Obtemos que mantendo Kp 18 e movendo o zero duplo do controlador PID para s 065 ou seja utilizando o controlador PID 18 13846 G s s s s s 1 3 077 1 0 7692 0 65 c 2 e h o h 81 o sobressinal máximo na resposta ao degrau unitário pode ser reduzido para aproximadamente 18 veja a Figura 89 Se o ganho proporcional Kp for aumentado para 3942 sem alterar a localização do zero duplo s 065 ou seja utilizando o controlador PID 3942 30322 G s s s s s 1 3 077 1 0 7692 0 65 c 2 c h m h 82 FIGURA 87 Controlador PID 1 ss 1s 5 63223 s 142352 s Cs Rs Diagrama de blocos do sistema com o controlador PID projetado com o uso da regra de sintonia de ZieglerNichols segundo método FIGURA 88 Resposta ao degrau unitário Tempo s 0 2 14 12 8 10 4 6 Amplitude 0 08 18 12 06 02 14 16 1 04 Curva de resposta ao degrau unitário de um sistema com controlador PID projetado com o uso da regra de sintonia de Ziegler Nichols segundo método 527 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Programa 81 em MATLAB Resposta ao degrau unitário num 63223 18 12811 den 1 6 113223 18 12811 stepnumden grid titleResposta ao degrau unitário então a velocidade de resposta é aumentada porém o sobressinal máximo também é aumentado para aproximadamente 28 como mostra a Figura 810 Uma vez que o sobressinal máximo nesse caso é bem próximo a 25 e a resposta é mais rápida do que a do sistema com Gcs dada pela Equação 81 podemos considerar a Gcs dada pela Equação 82 como aceitável Assim os valores sintonizados de Kp Ti e Td resultam em FIGURA 89 Resposta ao degrau unitário Amplitude 0 06 12 08 04 02 1 Tempo s 0 1 7 6 4 5 2 3 Resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Figura 86 com o controlador PID que tem como parâmetros Kp 18 Ti 3077 e Td 07692 FIGURA 810 Amplitude 14 08 04 0 1 12 06 02 Resposta ao degrau unitário Tempo s 0 05 5 45 3 35 4 1 15 2 25 Resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Figura 86 com o controlador PID que tem como parâmetros Kp 3942 Ti 3077 e Td 07692 528 Engenharia de controle moderno Kp 3942 Ti 3077 Td 07692 É interessante observar que esses valores são de aproximadamente o dobro dos valores sugeri dos pelo segundo método das regras de sintonia de ZieglerNichols O aspecto importante a ser observado aqui é que a regra de sintonia de ZieglerNichols forneceu um ponto de partida para a sintonia fina É instrutivo notar que para o caso em que o zero duplo está localizado em s 14235 aumentar o valor de Kp aumenta a velocidade de resposta Contudo sendo o sobressinal máximo o objetivo a variação do ganho Kp tem pouquíssima influência A razão para isso pode ser vista por meio da análise do lugar das raízes A Figura 811 mostra o gráfico do lugar das raízes para o sistema projetado pelo uso do segundo método das regras de sintonia de ZieglerNichols Uma vez que os ramos dominantes do lugar das raízes estão sobre as linhas z 03 para uma faixa con siderável de K variar o valor de K de 6 a 30 não alterará muito o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada Contudo a variação da localização do zero duplo tem um efeito significativo no sobressinal máximo porque o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes da malha fechada pode ser alterado significativamente Isso também pode ser visto pela análise do lugar das raízes A Figura 812 mostra o gráfico do lugar das raízes para o sistema em que o controlador PID tem o zero duplo em s 065 Observe a alteração na configuração do lugar das raízes Essa alteração na configuração torna possível modificar o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada Na Figura 812 note que no caso em que o sistema tiver ganho K 30322 os polos de malha fechada em s 235 j482 agirão como polos dominantes Dois polos adicionais de malha fechada estão muito próximos ao zero duplo em s 065 resultando que esses polos de malha fechada e o zero duplo se cancelam entre si O par dominante de polos de malha fechada determina na verdade a natureza da resposta Por outro lado quando o sistema tem um K 13846 os polos de malha fechada em s 235 j262 não são realmente dominantes porque os outros dois polos de malha fechada que estão próximos ao zero duplo em s 065 têm um efeito considerável na resposta O sobressinal máximo na resposta ao degrau nesse caso FIGURA 811 1 ss 1s 5 j j3 j2 j1 j3 j2 j1 3 2 1 4 5 1 0 v K 632 K 632 K 632 K 632 ζ 03 ζ 03 K s 142352 s Gráfico do lugar das raízes do sistema quando o controlador PID tem um zero duplo em s 14235 529 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados 18 é muito maior que no caso em que o sistema é de segunda ordem possuindo apenas polos dominantes de malha fechada No último caso o sobressinal máximo na resposta ao degrau seria de aproximadamente 6 É possível fazer uma terceira uma quarta e ainda outras tentativas para obter uma resposta melhor No entanto isso requer muitos cálculos gastandose muito tempo Se mais tentativas forem desejadas sugerese o uso da abordagem computacional apresentada na Seção 103 O Problema A812 resolve essa questão com a abordagem computacional por meio do MATLAB Ele determina o conjunto de valores de parâmetros que vão levar o máximo sobressinal a 10 ou menos e o tempo de acomodação a 3 segundos ou menos Uma solução para esse problema obtida no Problema A812 é que para o controlador PID definido por G s K s s a c 2 h h os valores de K e a são K 29 a 025 com o sobressinal máximo igual a 952 e o tempo de acomodação igual a 178 s Outra possível solução obtida naquele problema é K 27 a 02 com 55 de sobressinal máximo e 289 s de tempo de acomodação Veja o Problema A812 para obter detalhes FIGURA 812 1 ss 1s 5 K s 0652 s j j8 j6 j4 j2 j6 j8 j4 j2 6 4 2 8 10 2 0 v K 60 K 30322 K 30322 K 13846 K 13846 K 13846 K 60 ζ 0358 ζ 067 Gráfico do lugar das raízes do sistema em que o controlador PID tem um zero duplo em s 065 K 13846 corresponde à Gcs dada pela Equação 81 e K 30322 corresponde à Gcs dada pela Equação 82 530 Engenharia de controle moderno 83 Projeto de controladores PID pelo método de resposta em frequência Nesta seção apresentamos o projeto de um controlador PID com base no método de resposta em frequência Considere o sistema mostrado na Figura 813 Usando o método de resposta em frequência projete um controlador PID de forma que a constante de erro estático de velocidade seja 4 s1 a margem de fase seja de 50º ou mais e a margem de ganho seja de 10 dB ou mais Obtenha as curvas de resposta ao degrau unitário e de rampa unitária do sistema com controle PID com o MATLAB Digamos que o controlador PID seja G s s K as 1 bs 1 c h h h Como a constante de erro estático de velocidade Kυ está especificada em 4 s 1 temos lim lim K sG s s s s K as bs s K 1 1 1 1 1 1 4 s c s 0 2 0 2 y h h h Portanto G s s as bs 4 1 1 c h h h Em seguida traçamos o diagrama de Bode de G s s s 1 24 h h O Programa 82 em MATLAB produz um diagrama de Bode para Gs A Figura 814 mostra o diagrama de Bode resultante Precisamos de uma margem de fase de pelo menos 50º e de uma margem de ganho de pelo menos 10 dB No diagrama de Bode da Figura 814 vemos que a frequência de cruzamento de ganho é de aproximadamente 18 rads Suponhamos que a frequência de cruzamento de ganho do sistema compensado fique em algum ponto entre 1 e 10 rads Considerando que G s s as bs 4 1 1 c h h h escolhemos a 5 Então as 1 contribuirá com um avanço de fase de até 90º da região das altas frequências O Programa 83 em MATLAB gera o diagrama de Bode de Programa 82 em MATLAB num 4 den 1 000000000001 1 0 w logspace11200 bodenumdenw titleDiagrama de Bode de 4ss21 FIGURA 813 Gcs 1 s2 1 Sistema de controle 531 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados s s s 1 4 5 1 2 h h A Figura 815 mostra o diagrama de Bode resultante Programa 83 em MATLAB num 20 4 den 1 000000000001 1 0 w logspace21101 bodenumdenw titleDiagrama de Bode de Gs 45s1ss21 FIGURA 814 Frequência rads Diagrama de Bode de 4ss2 1 300 100 50 150 200 250 0 50 0 Fase graus Magnitude dB 50 101 100 101 Diagrama de Bode de 4ss2 1 FIGURA 815 Frequência rads Diagrama de Bode de Gs 45s 1ss2 1 200 50 100 150 0 20 0 Fase graus Magnitude dB 60 20 40 102 101 100 101 Diagrama de Bode de Gs 45s 1 ss2 1 532 Engenharia de controle moderno Com base no diagrama de Bode da Figura 815 escolhemos o valor de b O termo bs 1 precisa resultar em uma margem de fase de pelo menos 50º Com ensaios simples no MATLAB constatamos que b 025 gera a margem de fase de pelo menos 50º e uma margem de ganho de dB Portanto escolhendo b 025 temos G s s s s 4 5 1 0 25 1 c h h h e a função de transferência de malha aberta do sistema projetado tornase Função de transferência de malha aberta s s s s s s s s 4 5 1 0 25 1 1 1 5 21 4 2 3 2 h h O Programa 84 em MATLAB produz o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta A Figura 816 mostra o diagrama de Bode resultante Nele vemos que a constante de erro estático de velocidade é 4 s1 a margem de fase é 55º e a margem de ganho é de dB Portanto o sistema projetado satisfaz todos os requisitos e consequentemente é aceitável Note que existe uma infinidade de sistemas que satisfazem todos os requisitos o presente sistema é apenas um deles Em seguida vamos obter a resposta em degrau unitário e a resposta em rampa unitária do sistema projetado A função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s s 5 22 4 5 21 4 3 2 2 h h Observe que os zeros de malha fechada estão localizados em Programa 84 em MATLAB num 5 21 4 den 1 0 1 0 w logspace22100 bodenumdenw titleDiagrama de Bode de 45s1025s1ss21 FIGURA 816 Frequência rads Diagrama de Bode de 45s 1025s 1ss2 1 200 100 50 0 50 150 100 50 Fase graus Magnitude dB 0 100 50 102 101 100 101 102 Diagrama de Bode de 45s 1025s 1 ss2 1 533 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados s 4 s 02 Os polos de malha fechada estão localizados em s 24052 j39119 s 24052 j39119 s 01897 Note que os polos conjugados complexos de malha fechada têm um coeficiente de amortecimento de 05237 O Programa 85 em MATLAB produz a resposta em degrau unitário e a resposta em rampa unitária FIGURA 817 Saída ct t s Resposta ao degrau unitário do sistema compensado 14 12 1 08 06 04 02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Curva de resposta ao degrau unitário Programa 85 em MATLAB Resposta ao degrau unitário num 5 21 4 den 1 5 22 4 t 000114 c stepnumdent plottc grid titleResposta ao degrau unitário do sistema compensado xlabelt s ylabelSaída ct Resposta a rampa unitária num1 5 21 4 den1 1 5 22 4 0 t 000220 c stepnum1den1t plottctt titleResposta a rampa unitária do sistema compensado xlabelt s ylabelEntrada e saída em rampa unitária ct text1088Sistema compensado 534 Engenharia de controle moderno As figuras 817 e 818 mostram respectivamente a curva de resposta ao degrau unitário e a curva de resposta à rampa unitária resultantes Observe que o polo de malha fechada em s 01897 e o zero em s 02 produzem uma cauda longa de baixa amplitude na resposta ao degrau unitário Para outro exemplo de projeto de um controlador PID com base no método de resposta em frequência veja o Problema A87 84 Projeto de controladores PID com abordagem de otimização computacional Nesta seção exploraremos como obter um conjunto ótimo ou conjuntos ótimos de valores de parâmetros para controladores PID a fim de satisfazer as especificações da resposta temporal com o uso do MATLAB Apresentaremos dois exemplos para ilustrar a abordagem Exemplo 82 Considere o sistema controlado por PID mostrado na Figura 819 O controlador PID é dado por G s K s s a c 2 h h Desejase encontrar uma combinação de K e a de modo que o sistema de malha fechada seja subamortecido e o sobressinal máximo na resposta ao degrau unitário seja de no máximo 10 Não incluiremos mais nenhuma condição neste problema mas outras condições podem ser incluídas como a de que o tempo de acomodação seja menor do que um valor especificado Veja por exemplo o Exemplo 83 FIGURA 818 Entrada e saída em rampa unitária ct t s Resposta à rampa unitária do sistema compensado 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Sistema compensado Entrada em rampa unitária e a curva de saída FIGURA 819 Rs K Cs Controlador PID 12 036s3 186s2 25s 1 s a2 s Sistema com controle PID 535 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Pode haver mais de um conjunto de parâmetros que satisfaça as especificações Neste exemplo obteremos todos os conjuntos de parâmetros que satisfazem às especificações dadas Para resolver o problema com o MATLAB primeiro especificamos a região onde procurar K e a adequados Em seguida escrevemos um programa de modo que por meio da resposta ao degrau unitário seja encontrada uma combinação de K e a que satisfaça o critério de que o sobressinal máximo seja de 10 ou menor Note que o ganho K não deve ser grande demais para evitar que o sistema exija uma unidade de força desnecessariamente grande Suponha que a região de busca de K e a seja 2 K 3 e 05 a 15 Se não houver uma solução nessa região temos de expandila No entanto em alguns problemas não há solução seja qual for a região de busca No método computacional precisamos determinar o tamanho do passo para cada K e a Em um projeto de fato temos de escolher passos pequenos o bastante No entanto neste exemplo para evitar uma quantidade exagerada de cálculos vamos escolher um valor razoável do tamanho do passo digamos 02 para K e a É possível escrever vários programas diferentes em MATLAB que resolvam esse problema Aqui vamos apresentar um deles o Programa 86 em MATLAB Observe que nesse programa utilizamos dois loops for Começamos o programa com o loop externo para fazer variar os valores de K Então variamos os valores de a no loop interno Continuamos escrevendo o programa em MATLAB de forma que os loops aninhados no programa comecem com o menor valor de K e de a e prossigam em direção aos mais altos Note que dependendo do sistema e das áreas de busca para K e a bem como do tamanho escolhido para os passos pode levar de vários segundos a alguns minutos para que o MATLAB calcule o conjunto desejado de valores Neste programa a sentença solutionK Ki aj m produzirá uma tabela de valores de K a e m No sistema em questão há 15 conjuntos de K e a que exibem m 110 ou seja o sobressinal máximo é menor do que 10 Para ordenar os conjuntos de soluções em função da magnitude do sobressinal máximo começando com o menor valor de m e terminando com o maior valor de m na tabela usamos o comando sortsolution sortrowssolution3 Programa 86 em MATLAB Valores de K e a para teste K 20 22 24 26 28 30 a 05 07 09 11 13 15 Avalia a resposta ao degrau unitário em malha fechada em cada combinação de K e a que fará o máximo sobressinal ser menor que 10 t 00015 g tf12036 186 25 1 k 0 for i 16 for j 16 gc tfKi1 2aj aj2 1 0 controlador G gcg1 gcg Fundação de transferência em malha fechada y stepGt m maxy if m 110 k k1 solutionk Ki aj m end end continua 536 Engenharia de controle moderno end solution Imprime a tabela de solução solution 20000 05000 09002 20000 07000 09807 20000 09000 10614 22000 05000 09114 22000 07000 09837 22000 09000 10772 24000 05000 09207 24000 07000 09859 24000 09000 10923 26000 05000 09283 26000 07000 09877 28000 05000 09348 28000 07000 10024 30000 05000 09402 30000 07000 10177 sortsolution sortrowssolution3 Imprime a tabela de solução ordenada pela coluna 3 sortsolution 20000 05000 09002 22000 05000 09114 24000 05000 09207 26000 05000 09283 28000 05000 09348 30000 05000 09402 20000 07000 09807 22000 07000 09837 24000 07000 09859 26000 07000 09877 28000 07000 10024 30000 07000 10177 20000 09000 10614 22000 09000 10772 24000 09000 10923 Gera o gráfico da resposta com o maior sobressinal que é menor que 10 K sortsolutionk1 K 24000 a sortsolutionk2 a 09000 gc tfK1 2a a2 1 0 G gcg1 gcg stepGt grid Veja Figura 8 20 Se você quiser exibir a resposta com o menor sobressinal que é maior do que 0 digite os seguintes valores de K e a K sortsolution111 K 28000 a sortsolution112 a 07000 continua continuação 537 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados gc tfK1 2a a2 1 0 G gcg1 gcg stepGt grid Veja Figura 8 21 Para traçar o gráfico da curva de resposta ao degrau unitário do último conjunto de valores de K e a da tabela ordenada digitamos os comandos K sortsolution k1 a sortsolution k2 e usamos o comando step A Figura 820 mostra a curva de resposta ao degrau unitário resul tante Para traçar a curva de resposta ao degrau unitário com o menor sobressinal encontrado na tabela escolhida que seja maior que 0 digite os comandos K sortsolution 111 a sortsolution 112 e use o comando step A Figura 821 mostra a curva de resposta ao degrau unitário resultante Para traçar o gráfico da curva de resposta ao degrau unitário com qualquer conjunto mostrado na tabela escolhida especificamos os valores de K e a digitando o comando sortsolution apropriado Observe que dentro da especificação de sobressinal máximo entre 10 e 5 haveria três conjuntos de soluções K 20000 a 09000 m 10614 K 22000 a 09000 m 10772 K 24000 a 09000 m 10923 Curvas de resposta ao degrau unitário para esses três casos são mostradas na Figura 822 Veja que o sistema com maior ganho K tem o menor tempo de subida e o maior sobressinal máximo Para dizer qual das três alternativas é a melhor dependemos do objetivo do sistema FIGURA 820 Amplitude t s Resposta ao degrau 12 14 1 08 06 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Resposta em degrau unitário do sistema com K 24 e a 09 O sobressinal máximo é 923 continuação 538 Engenharia de controle moderno Exemplo 83 Considere o sistema mostrado na Figura 823 Queremos descobrir todas as combinações de valores de K e a de forma que o sistema em malha fechada tenha um sobressinal máximo inferior a 15 e de no mínimo 10 na resposta ao degrau unitário Além disso o tempo de acomodação deve ser menor que 3 s Neste problema considere que a região de busca seja 3 K 5 e 01 a 3 Determine a melhor escolha dos parâmetros K e a Neste problema escolhemos tamanhos razoáveis para os passos digamos 02 para K e 01 para a O Programa 87 em MATLAB fornece a solução para este problema Pela tabela sortso lution parece que a primeira linha é uma boa escolha A Figura 824 mostra a curva de resposta ao degrau unitário para K 32 e a 09 Como esta alternativa requer um valor de K menor do que a maioria das outras escolhas podemos optar por ela como a melhor FIGURA 821 Amplitude t sec Resposta ao degrau 14 12 1 08 06 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Resposta do sistema ao degrau unitário com K 28 e a 07 O sobressinal máximo é 024 FIGURA 822 Amplitude t s Curvas de resposta ao degrau unitário 14 12 1 08 06 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 K 24 a 09 K 22 a 09 K 2 a 09 Curvas de resposta ao degrau unitário com K 2 e a 09 K 22 e a 09 K 24 e a 09 539 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Programa 87 em MATLAB t 00018 k 0 for K 3025 for a 01013 num 4K 8Ka 4Ka2 den 1 6 84K 48Ka 4Ka2 y stepnumdent s 801while ys098 ys102 s s 1end ts s 1001 ts tempo de estabilização m maxy if m115 m110 if ts300 k k1 solutionk K a m ts end end end end solution solution 30000 10000 11469 27700 32000 09000 11065 28300 34000 09000 11181 27000 36000 09000 11291 25800 38000 09000 11396 24700 40000 09000 11497 23800 42000 08000 11107 28300 FIGURA 823 Rs Cs Controlador PID 4 s3 6s2 8s 4 Planta s a2 s K Sistema com controle PID com controlador PID simplificado FIGURA 824 0 0 02 04 06 08 1 12 14 2 4 6 8 t s Saída yt Resposta ao degrau unitário Curva de resposta ao degrau unitário do sistema com K 32 e a 09 continua 540 Engenharia de controle moderno 44000 08000 11208 25900 46000 08000 11304 24300 48000 08000 11396 23100 50000 08000 11485 22100 sortsolution sortrowssolution3 sortsolution 32000 09000 11065 28300 42000 08000 11107 28300 34000 09000 11181 27000 44000 08000 11208 25900 36000 09000 11291 25800 46000 08000 11304 24300 48000 08000 11396 23100 38000 09000 11396 24700 30000 10000 11469 27700 50000 08000 11485 22100 40000 09000 11497 23800 Gera gráfico da curva de resposta com o menor sobressinal mostrado na tabela sortsolution K sortsolution11 a sortsolution12 K 32000 a 09000 num 4K 8Ka 4Ka2 den 1 6 84K 48Ka 4Ka2 num num 128000 230400 103680 den den 10000 60000 208000 270400 103680 y stepnumdent plotty Veja a Figura 8 24 grid titleResposta ao degrau unitário xlabelt s ylabelSaída yt 85 Variantes dos esquemas de controle PID Considere o sistema de controle PID básico mostrado na Figura 825a em que o sistema está sujeito a distúrbios e ruídos A Figura 825b é um diagrama de blocos modificado do mesmo sistema No sistema de controle PID básico como aquele mostrado na Figura 825b se a entrada de referência for uma função degrau então por causa da presença do termo derivativo na ação de controle a variável manipulada ut envolverá uma função impulso função delta Em um controlador PID real em vez do termo derivativo puro Tds empregamos T s T s 1 d d c onde o valor de g é algo em torno de 01 Portanto quando uma entrada de referência for uma função degrau a variável manipulada ut não envolverá uma função impulso mas sim uma função pulso estreita Esse fenômeno é denominado salto do valor de referência Controle PID Para evitar o fenômeno salto do valor de referência podemos colocar a ação derivativa somente no ramo de realimentação para que a diferenciação ocorra apenas no sinal de continuação 541 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados realimentação e não no sinal de referência O esquema de controle organizado dessa maneira é denominado controle PID A Figura 826 mostra um sistema com controle PID A partir da Figura 826 pode ser visto que o sinal manipulado Us é dado por U s K Ts R s K Ts T s B s 1 1 1 1 p i p i d e e h o h o h Note que na ausência de distúrbios e ruídos a função de transferência de malha fechada do sistema de controle PID básico mostrado na Figura 825b e o sistema de controle PID mostrado na Figura 826 são dados respectivamente por R s Y s Ts T s Ts T s K G s K G s 1 1 1 1 1 i d i d p p p p e e h h o o h h FIGURA 825 Controlador PID Planta Gps 1 Tis 1 Tds Saída Ys Ruído Ns Entrada de referência Rs a b Distúrbio Ds Gps Ys Ns Rs Es Bs Sinal medido Bs Us Ds Kp a Sistema com controle PID b diagrama de blocos equivalente FIGURA 826 1 Tis 1 Gps Ys Ns Rs Es Bs Us Ds Kp Tds Bs Sistema com controle PID 542 Engenharia de controle moderno e R s Y s Ts Ts T s K G s K G s 1 1 1 1 1 i i d p p p p e e h h o o h h É importante salientar que na ausência de entrada de referência e de ruídos a função de transferência de malha fechada entre o distúrbio Ds e a saída Ys em qualquer caso é a mesma e é dada por D s Y s K G s Ts T s G s 1 1 1 p p i d p e h h h o h Controle IPD Considere novamente o caso em que a entrada de referência seja uma função degrau O controle PID e o controle PID envolvem uma função degrau no sinal manipulado Essa alteração degrau no sinal manipulado pode não ser desejada em muitas ocasiões Portanto pode ser vantajoso mover a ação proporcional e a ação derivativa para o ramo de realimentação para que essas ações afetem somente o sinal de realimentação A Figura 827 mostra esse esquema de controle Ele é chamado controle IPD O sinal manipulado é dado por U s K Ts R s K Ts T s B s 1 1 1 p i p i d e h h o h Note que a entrada de referência de Rs aparece apenas na parte integral do controle Então no controle IPD é imperativo ter a ação de controle integral para uma operação apropriada do sistema de controle A função de transferência de malha fechada YsRs na ausência da entrada de distúrbio e da entrada de ruído é dada por R s Y s Ts K G s Ts T s K G s 1 1 1 1 i p p i d p p e e h h o h o h Observese que na ausência da entrada de referência e de sinais de ruído a função de trans ferência de malha fechada entre a entrada de distúrbio e a saída é dada por D s Y s K G s Ts T s G s 1 1 1 p p i d p e h h h o h Essa expressão é a mesma daquela do controle PID ou do controle PID FIGURA 827 1 Tis Gps Ys Ns Rs Bs Bs Us Ds Kp Tds 1 Sistema com controle por IPD 543 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Controle PID com dois graus de liberdade Mostramos que o controle PID é obtido movendose a ação de controle derivativa para o ramo de realimentação e o controle IPD é obtido movendose a ação de controle proporcional e a ação de controle derivativa para o ramo de realimentação Em vez de mover totalmente a ação de controle derivativa ou a ação de con trole proporcional para o ramo de realimentação é possível mover somente partes dessas ações de controle para o ramo de realimentação mantendo as porções restantes no ramo direto Na lite ratura propõese o controle PIPD As características desse esquema de controle se situam entre o controle PID e o controle IPD Da mesma maneira o controle PIDPD pode ser considerado Nesses esquemas de controle temos um controlador no ramo direto e outro controlador no ramo de realimentação Esses esquemas de controle nos levam a um esquema de controle mais geral com dois graus de liberdade Discutiremos detalhes desse esquema de controle com dois graus de liberdade nas seções subsequentes deste capítulo 86 Controle com dois graus de liberdade Considere o sistema mostrado na Figura 828 em que o sistema está sujeito à entrada de distúrbio Ds e ao ruído de entrada Ns além da entrada de referência Rs Gcs é a função de transferência do controlador e Gps é a função de transferência da plantaVamos supor que Gps seja fixa e inalterável Para esse sistema três funções de transferência de malha fechada YsRs Gyr YsDs Gyd e YsNs Gyn podem ser obtidas São elas G R s Y s G G G G G D s Y s G G G N s Y s G G G G 1 1 1 yr c p c p yd c p p yn c p c p G h h h h h h Obtendo YsRs vamos supor que Ds 0 e Ns 0 Comentários similares se aplicam à obten ção de YsDs e YsNs Os graus de liberdade do sistema de controle se referem a quantas dessas funções de transferência de malha fechada são independentes No caso presente temos G G G G G G G G yr p p yd yn p yd p FIGURA 828 Gps Ys Ns Rs Bs Us Ds Gcs Sistema de controle com um grau de liberdade 544 Engenharia de controle moderno Se uma das três funções de transferência de malha fechada Gyr Gyn e Gyd for dada as duas outras estarão fixadas Isso significa que o sistema mostrado na Figura 828 é um sistema de controle com um grau de liberdade Em seguida considere o sistema mostrado na Figura 829 em que Gps é a função de trans ferência da planta Para esse sistema as funções de transferência de malha fechada Gyr Gyn e Gyd são dadas respectivamente por G R s Y s G G G G G G D s Y s G G G G G N s Y s G G G G G G 1 1 1 yr c c p c p yd c c p p yn c c p c c p 1 2 1 1 2 1 2 1 2 h h h h h h h h h h Logo temos G G G G G G G yr c yd yn p yd p 1 Nesse caso se Gyd é dada então Gyn está fixada mas Gyr não está pois Gc1 é independente de Gyd Então duas entre as três funções de transferência de malha fechada Gyr Gyd e Gyn são inde pendentes Logo este é um sistema de controle com dois graus de liberdade Da mesma maneira o sistema mostrado na Figura 830 também é um sistema de controle com dois graus de liberdade porque para ele FIGURA 830 Gps Gc1s Gc2s Ys Ns Us Ds Rs Bs Sistema de controle com dois graus de liberdade FIGURA 829 Gps Gc1s Ys Ns Rs Bs Us Ds Gc2s Bs Sistema de controle com dois graus de liberdade 545 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados G R s Y s G G G G G G G G G D s Y s G G G G N s Y s G G G G 1 1 1 1 yr c p c p c p c p yd c p p yn c p c p 1 1 1 2 1 1 1 h h h h h h Logo G G G G G G G G G G yr c yd p p yd yn p yd p 2 Claramente se Gyd é dada então Gyn está fixada mas Gyr não está fixada porque Gc2 é indepen dente de Gyd Veremos na Seção 87 que nesse sistema de controle com dois graus de liberdade tanto as características de malha fechada como as características de realimentação podem ser ajustadas independentemente para melhorar o desempenho da resposta do sistema 87 Abordagem por alocação de zeros para a melhoria das características de resposta Mostraremos aqui que com o uso da abordagem de alocação de zeros apresentada adiante nesta seção podemos atingir o seguinte As respostas à entrada de referência do tipo rampa e à entrada de referência de acele ração não exibem erros estacionários Em sistemas de controle de alto desempenho é sempre desejado que a saída do sistema acom panhe as alterações da entrada com um mínimo de erro Para entradas do tipo degrau rampa e aceleração é desejado que a saída do sistema não exiba erro estacionário A seguir demonstraremos como projetar sistemas de controle que não exibem erros estacio nários no acompanhamento de entradas do tipo rampa e aceleração e ao mesmo tempo forçam a resposta à entrada de distúrbio a se anular rapidamente Considere o sistema de controle com dois graus de liberdade mostrado na Figura 831 Suponha que a função de transferência da planta Gps seja uma função de transferência de fase mínima e que seja dada por G s K B s A s p h h h FIGURA 831 Gps Gc1s Ys Rs Ds Gc2s Sistema de controle com dois graus de liberdade 546 Engenharia de controle moderno onde As s z1s z2 s zm Bs sNs pN1s pN2s pn e N pode ser 0 1 2 com n m Suponha também que Gc1 seja um controlador PID em série com um filtro 1As ou G s s s s A s 1 c1 1 1 1 2 a b c h h e Gc2 seja um controlador PID PI PD I D ou P em série com um filtro 1As Ou seja G s s s s A s 1 c2 2 2 2 2 a b c h h onde alguns dos parâmetros a2 β2 e g2 podem ser nulos Portanto é possível escrever Gc1 Gc2 como G G s s s A s 1 c c 1 2 2 a b c h 83 onde a β e g são constantes Portanto D s Y s G G G G s s s B s K K B s A s sB s s s K sKA s 1 1 c c p p 1 2 2 2 a b c a b c h h h h h h h h h Por causa da presença do s no numerador a resposta yt à entrada de distúrbio do tipo degrau tende a zero à medida que t tende a infinito como é exibido a seguir Como Y s sB s s s K sKA s D s 2 a b c h h h h h se a entrada de distúrbio for uma função degrau de amplitude d ou D s s d h e presumindo que o sistema seja estável então lim lim y s sB s s s K sKA s s d sB K sKA d 0 0 0 s s 0 2 0 3 a b c b h h h h h h G A resposta yt a uma entrada de distúrbio do tipo degrau terá a forma geral mostrada na Figura 832 Note que YsRs e YsDs são dadas por R s Y s G G G G G D s Y s G G G G 1 1 c c p c p c c p p 1 2 1 1 2 h h h h h h Veja que os denominadores de YsRs e YsDs são os mesmos Antes de escolhermos os polos de YsRs necessitamos alocar os zeros de YsRs Alocação de zeros Considere o sistema R s Y s s a s a s a s a s a p s n n n n n 1 1 1 2 2 1 0 g h h h 547 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Se escolhermos ps como ps a2s2 a1s a0 a2s s1s s2 isto é escolhendo os zeros s s1 e s s2 de modo que juntos com a2 o polinômio do numerador ps seja igual à soma dos últimos três termos do polinômio do denominador então o sistema não exibirá erros estacionários na resposta à entrada em degrau rampa e aceleração Requisitos sobre as características da resposta do sistema Suponha que seja desejado que o sobressinal máximo na resposta a uma entrada de referência do tipo degrau unitário esteja entre limites mínimos e máximos selecionados arbitrariamente por exemplo 2 sobressinal máximo 10 em que escolhemos o limite inferior como ligeiramente acima de zero para evitarmos obter siste mas superamortecidos Quanto menor o limite superior mais difícil será determinar os coeficientes a Em alguns casos pode não haver nenhuma combinação de a que satisfaça à especificação Então devemos permitir um limite superior mais elevado para o sobressinal máximo Utilizamos o MATLAB para procurar pelo menos um conjunto de a que satisfaça à especificação Como uma solução prática computacional em vez de buscar pelo a tentamos obter polos de malha fechada aceitáveis buscando uma região razoável no semiplano esquerdo s para cada polo de malha fechada Uma vez determinados todos os polos de malha fechada então todos os coefi cientes an an 1 a1 a0 são determinados Determinação de Gc2 Agora que todos os coeficientes da função de transferência YsRs são conhecidos e YsRs é dada por R s Y s s a s a s a s a s a a s a s a n n n n n 1 1 1 2 2 1 0 2 2 1 0 g h h 84 temos R s Y s G D s Y s sB s s s K G sKA s s a s a s a s a s a G sKA s c c n n n n n c 1 2 1 1 1 1 2 2 1 0 1 g a b c h h h h h h h h Como Gc1 é um controlador PID e é dado por G s s s A s 1 c1 1 1 1 2 a b c h YsRs pode ser escrita como R s Y s s a s a s a s a s a K s s n n n n n 1 1 1 2 2 1 0 1 1 1 2 g a b c h h h FIGURA 832 0 t y Curva típica de resposta a uma entrada de distúrbio do tipo degrau 548 Engenharia de controle moderno Portanto escolhemos Kγ1 a2 Kα1 a1 Kβ1 a0 de modo que G Ks a s a a s A s 1 c1 1 0 2 2 h 85 A resposta desse sistema a uma entrada de referência do tipo degrau unitário pode ser obtida de modo que exiba um sobressinal máximo escolhido entre valores máximos e mínimos como 2 sobressinal máximo 10 A resposta do sistema a uma entrada de referência do tipo rampa ou a uma entrada de referência do tipo aceleração pode ser obtida de modo que não exiba erro estacionário A característica do sistema da Equação 84 geralmente exibe um tempo de acomodação pequeno Se desejarmos diminuir ainda mais o tempo de acomodação então precisaremos permitir um sobressinal máximo maior por exemplo 2 sobressinal máximo 20 O controlador Gc2 pode agora ser determinado a partir das equações 83 e 85 Como G G s s s A s 1 c c 1 2 2 a b c h temos G s s s Ks a s a a s A s Ks K a s K a K a s A s 1 1 c2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 a b c a b c h h h h h E 86 Os dois controladores Gc1 e Gc2 são dados pelas equações 85 e 86 respectivamente Exemplo 84 Considere o sistema de controle com dois graus de liberdade mostrado na Figura 833 A função de transferência da planta é dada por G s s s 1 10 p h h Projete os controladores Gc1s e Gc2s de modo que o sobressinal máximo na resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário seja menor que 19 mas superior a 2 e que o tempo de acomodação seja menor que 1 s Desejase que os erros estacionários no acompanhamento à entrada de referência do tipo rampa e à entrada de referência do tipo aceleração sejam nulos A resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário deve apresentar uma pequena amplitude que vai tender a zero rapidamente Para projetar controladores Gc1s e Gc2s apropriados note primeiro que D s Y s G G G G 1 p c c p 1 2 h h h Para simplificar a notação vamos definir Gc Gc1 Gc2 Então D s Y s G G G s s G s s s s G 1 1 1 10 1 10 1 10 10 p c p c c h h h h h 549 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Em segundo lugar note que R s Y s G G G G s s G G 1 1 10 10 p c p c c c 1 1 h h h Observe que a equação característica de YsDs e a de YsRs são idênticas Podemos ser induzidos a escolher um zero de Gcs em s 1 a fim de cancelar o polo em s 1 da planta Gps Contudo o polo cancelado s 1 tornase um polo de malha fechada do sistema global como vemos a seguir Se definirmos Gcs como um controlador PID tal que G s s K s s 1 c b h h h 87 Então D s Y s s s s K s s s s K s s 1 10 1 10 1 10 10 2 b b h h h h h h h 6 O polo de malha fechada em s 1 é um polo de resposta lenta e se esse polo de malha fechada for incluído no sistema o tempo de acomodação não será menor que 1 s Portanto não devemos escolher Gcs como aquele dado pela Equação 87 O projeto dos controladores Gc1s e Gc2s consiste em duas etapas Etapa 1 do projeto projetamos para satisfazer os requisitos com relação à resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau Ds Nesse estágio do projeto admitimos que a entrada de referência seja zero Suponha que Gcs seja um controlador PID como segue G s s K s s c a b h h h Então a função de malha fechada YsDs resulta em D s Y s s s G s s s K s s s s K s s s 1 10 10 1 10 10 1 10 10 c 2 a b a b h h h h h h h h h Note que a presença de s no numerador de YsDs garante que a resposta estacionária à entrada de distúrbio do tipo degrau seja zero FIGURA 833 Gps Gc1s Ys Rs Us Ds Gc2s Sistema de controle com dois graus de liberdade 550 Engenharia de controle moderno Vamos supor que os polos dominantes desejados sejam complexos conjugados e sejam dados por s a jb e que o polo remanescente de malha fechada seja real e localizado em s c Note que nesse problema existem três requisitos O primeiro é que a resposta à entrada de distúrbio seja amortecida rapidamente O segundo requisito é que o sobressinal máximo na res posta à entrada ao degrau unitário esteja entre 19 e 2 e o tempo de acomodação seja menor que 1 s O terceiro requisito é que os erros estacionários na resposta de ambas as entradas de referência rampa e aceleração sejam nulos Um conjunto ou conjuntos de valores razoáveis de a b e c deve ser buscado com a utilização de uma abordagem computacional Para satisfazer o primeiro requisito escolhemos a região de busca para a b e c como 2 a 6 2 b 6 6 c 12 Essa região é mostrada na Figura 834 Se os polos dominantes de malha fechada s a jb estiverem localizados em qualquer lugar da região sombreada a resposta à entrada em degrau amortecerá rapidamente O primeiro requisito será atingido Note que o denominador de YsDs pode ser escrito como s2s 1 10Ks α s β s3 1 10Ks2 10Kα βs 10Kαβ s a jbs a jbs c s3 2a cs2 a2 b2 2acs a2 b2c Como os denominadores de YsDs e YsRs são os mesmos o denominador de YsDs determina também as características da resposta à entrada de referência Para satisfazer o terceiro requisito recorremos ao método de alocação de zeros e escolhemos a função de transferência de malha fechada YsRs do seguinte modo FIGURA 834 0 j6 j4 j2 j6 j4 j2 6 4 2 8 10 12 2 v Região para a e b Região para c j Regiões de busca para a b e c 551 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados R s Y s s a c s a b ac s a b c a c s a b ac s a b c 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 h h h h h h h h que nesse caso faz o terceiro requisito ser automaticamente satisfeito Nosso problema se torna então a busca de um conjunto ou conjuntos dos polos desejados de malha fechada em termos de a b e c na região específica para que o sistema satisfaça os requisitos da resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário de que o sobressinal máximo esteja entre 19 e 2 e o tempo de acomodação seja menor que 1 s Se um conjunto aceitável não puder ser encontrado na região de busca precisamos aumentar a região Na busca com a utilização de recursos computacionais precisamos adotar uma medida de passo razoável Nesse problema admitimos que ele seja 02 O Programa 88 em MATLAB produz uma tabela de conjuntos de valores aceitáveis de a b e c Utilizando esse programa descobrimos que o requisito da resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário é atendido por qualquer um dos 23 conjuntos mostrados na tabela do Programa 88 em MATLAB Note que a última linha na tabela corresponde ao último ponto de busca Esse ponto não satisfaz o requisito e portanto pode simplesmente ser ignorado No programa escrito o último ponto de busca produz a última linha na tabela se ele satisfizer ou não o requisito Programa 88 em MATLAB t 00014 k 0 for i 121 ai 62i02 for j 121 bj 62j02 for h 131 ch 122h02 num 0 2aich ai2bj22aich ai2bj2ch den 1 2aich ai2bj22aich ai2bj2ch y stepnumdent m maxy s 401 while ys 098 ys 102 s s1 end ts s1001 if m 119 m 102 ts 10 k k1 tablek ai bj ch m ts end end end end tablek ai bj ch m ts table 42000 20000 120000 11896 08500 40000 20000 120000 11881 08700 40000 20000 118000 11890 08900 40000 20000 116000 11899 09000 38000 22000 120000 11883 09300 38000 22000 118000 11894 09400 38000 20000 120000 11861 08900 38000 20000 118000 11872 09100 38000 20000 116000 11882 09300 38000 20000 114000 11892 09400 36000 24000 120000 11893 09900 36000 22000 120000 11867 09600 36000 22000 118000 11876 09800 36000 22000 116000 11886 09900 36000 20000 120000 11842 09200 continua 552 Engenharia de controle moderno 36000 20000 118000 11852 09400 36000 20000 116000 11861 09500 36000 20000 114000 11872 09700 36000 20000 112000 11883 09800 34000 20000 120000 11820 09400 34000 20000 118000 11831 09600 34000 20000 116000 11842 09800 32000 20000 120000 11797 09600 20000 20000 60000 12163 18900 Como observamos anteriormente 23 conjuntos das variáveis a b e c satisfazem o requisito As curvas de resposta ao degrau unitário do sistema com qualquer um dos 23 conjuntos são praticamente as mesmas A curva de resposta ao degrau unitário com a 42 b 2 c 12 é mostrada na Figura 835a O sobressinal máximo é 1896 e o tempo de acomodação é 085 s Com a utilização desses valores de a b e c os polos desejados de malha fechada ficam localizados em s 42 j2 s 12 Usando esses polos de malha fechada o denominador de YsDs resulta em s2s 1 10Ks αs β s 42 j2s 42 j2s 12 ou s31 10Ks2 10Kα βs 10Kαβ s3 204s2 12244s 25968 Igualando os coeficientes de mesma potência em s em ambos os lados dessa última equação obtemos 1 10K 204 10Kα β 12244 10Kαβ 25968 Portanto 194 K 19 4 122 44 19 4 259 68 a b ab Então Gcs pode ser escrito como G s K s s s s K s s s s s 1 94 12 244 25 968 c 2 2 a b a b ab h h h h 6 A função de transferência de malha fechada YsDs resulta em D s Y s s s G s s s s s s s s s 1 10 10 1 10 1 94 12 244 25 968 10 20 4 122 44 259 68 10 c 2 3 2 h h h h Utilizando essa expressão a resposta yt à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário pode ser obtida como mostra a Figura 835b continuação 553 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados A Figura 836a traz a resposta do sistema à entrada de referência do tipo degrau unitário quando a b e c são escolhidos como a 32 b 2 c 12 A Figura 836b mostra a resposta desse sistema quando ele está sujeito a uma entrada de distúrbio do tipo degrau unitário Comparando a Figura 835a com a Figura 836a concluímos que elas são praticamente as mesmas Contudo comparando as figuras 835b e 836b concluímos que a primeira é ligeiramente melhor que a última Comparando as respostas dos sistemas de cada conjunto da tabela concluímos que o primeiro conjunto de valores a 42 b 2 c 12 é um dos melhores Portanto como solução para esse problema escolhemos a 42 b 2 c 12 FIGURA 835 Saída t s a Resposta ao degrau unitário a 42 b 2 c 12 06 08 1 12 14 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 b Saída t s Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário 002 003 004 005 006 007 001 0 001 0 05 1 15 2 25 3 35 4 a Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário a 42 b 2 c 12 b resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário a 42 b 2 c 12 554 Engenharia de controle moderno Etapa 2 do projeto em seguida determinamos Gc1 Como YsRs pode ser dada por R s Y s G G G G s s s s s s s G s s s sG 1 1 1 10 1 94 12 244 25 968 1 10 20 4 122 44 259 68 10 p c p c c c 1 2 1 3 2 1 h h h h FIGURA 836 a Saída t s Resposta ao degrau unitário a 32 b 2 c 12 06 08 1 12 14 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 b Saída t s Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário 002 003 004 005 006 007 008 009 001 0 001 0 05 1 15 2 25 3 35 4 a Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário a 32 b 2 c 12 b resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário a 32 b 2 c 12 555 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados nosso problema se torna projetar Gc1s para satisfazer os requisitos das respostas às entradas do tipo degrau rampa e aceleração Como o numerador envolve um s Gc1s deve incluir um integrador para cancelar esse s Embora desejemos um s no numerador da função de transferência de malha fechada YsDs para obtermos erro estacionário nulo à entrada de distúrbio do tipo degrau não desejamos ter um s no numerador da função de transferência de malha fechada YsRs Para eliminar o erro estacionário na resposta à entrada de referência do tipo degrau e para eliminar erros estacio nários no acompanhamento de entradas de referência do tipo rampa e entradas de referência do tipo aceleração o numerador de YsRs deve ser igual aos últimos três termos do denominador como foi mencionado anteriormente Ou seja 10sGc1s 204s2 12244s 25968 ou 204 12244 G s s s 25 968 c1 h Logo Gc1s é um controlador PID Como Gcs é dado por G s G s G s s s s 1 94 12 244 25 968 c c c 1 2 2 h h h obtemos G s G s G s s s s s s 1 94 12 244 25 968 2 04 12 244 25 968 0 1 c c c 2 1 c c h h h m m Logo Gc2s é um controlador derivativo Um diagrama de blocos do sistema projetado é mos trado na Figura 837 A função de transferência de malha fechada YsRs tornase agora R s Y s s s s s s 20 4 122 44 259 68 20 4 122 44 259 68 3 2 2 h h As respostas à entrada de referência do tipo rampa unitária e à entrada de referência do tipo acele ração unitária são mostradas nas figuras 838a e b respectivamente Os erros estacionários no acompanhamento à entrada em rampa e à entrada em aceleração são nulos Então todos os requi sitos do problema são satisfeitos Logo os controladores projetados Gc1s e Gc2s são aceitáveis FIGURA 837 Ys Rs Ds Gc2s Gc1s 01s 10 ss 1 25968 s 204s 12244 Diagrama de blocos do sistema projetado 556 Engenharia de controle moderno Exemplo 85 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 839 Este é um sistema com dois graus de liberdade No projeto considerado aqui admitimos que o ruído de entrada Ns seja zero Supo nha que a função de transferência da planta Gps seja dada por G s s 1 s 5 5 p h h h Suponha também que o controlador Gc1s seja do tipo PID Ou seja G s K Ts T s 1 1 c p i d 1 e h o O controlador Gc2s é do tipo P ou PD Se Gc2s envolve uma ação de controle integral então ela vai introduzir um componente em rampa no sinal de entrada o que não é desejado Portanto Gc2s não deve incluir a ação de controle integral Então vamos supor que Gc2s Kpt 1 T s dt onde Tdt pode ser zero FIGURA 838 Resposta à rampa unitária t s 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 Entrada e saída em rampa unitária 2 0 04 02 06 08 1 12 14 16 18 a Saída Entrada em rampa unitária Resposta à aceleração unitária t s 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 Entrada e saída em aceleração unitária 25 0 05 1 15 2 b Entrada em aceleração unitária Saída a Resposta à entrada de referência do tipo rampa unitária b resposta à entrada de referência do tipo aceleração unitária 557 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Vamos projetar os controladores Gc1s e Gc2s para que as respostas à entrada de distúrbio do tipo degrau e à entrada de referência do tipo degrau apresentem características desejáveis no sentido de que 1 A resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau tenha um pico pequeno finalmente ten dendo a zero Ou seja não vai existir erro estacionário 2 A resposta à entrada de referência do tipo degrau exibirá menos que 25 de sobressinal com um tempo de acomodação menor que 2 s Os erros estacionários à entrada de refe rência do tipo rampa e à entrada do tipo aceleração devem ser nulos O projeto desse sistema de controle com dois graus de liberdade pode ser conduzido pelas etapas 1 e 2 a seguir 1 Determine Gc1s de modo que a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau seja de características desejáveis 2 Projete Gc2s de modo que as respostas às entradas de referência sejam de características desejáveis sem alterar a resposta ao degrau de distúrbio considerado na etapa 1 Projeto de Gc1s primeiro note que admitimos que a entrada de ruído Ns seja nula Para obter a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau vamos supor que a entrada de referência seja nula Então o diagrama de blocos que relaciona Ys e Ds pode ser desenhado como mostra a Figura 840 A função de transferência YsDs é dada por D s Y s G G G 1 c p p 1 h h onde G s K Ts T s 1 1 c p i d 1 e h o Esse controlador possui um polo na origem e dois zeros Se supusermos que os dois zeros estejam localizados no mesmo lugar um zero duplo então Gc1s poderá ser escrito como G s K s s a c1 2 h h FIGURA 839 Gps Gc1s Gc2s Ys Ns Us Ds Rs Bs Sistema de controle com dois graus de liberdade FIGURA 840 Ds Ys Gps Gc1s Sistema de controle 558 Engenharia de controle moderno Então a equação característica do sistema tornase 1 1 0 G s G s s K s a s 1 s 5 5 c p 1 2 h h h h h ou ss 1s 5 5Ks a2 0 que pode ser escrita como s3 6 5Ks2 5 10Kas 5Ka2 0 88 Se colocarmos o zero duplo entre s 3 e s 6 então o gráfico do lugar das raízes de Gc1s Gps poderá ficar parecido com aquele mostrado na Figura 841 A velocidade de resposta deve ser grande mas não mais rápida que o necessário porque respostas rápidas em geral implicam componentes maiores ou mais caros Portanto podemos escolher os polos dominantes de malha fechada em s 3 j2 Note que essa escolha não é única Existe uma infinidade de possíveis polos de malha fechada que poderíamos escolher Uma vez que o sistema é de terceira ordem existem três polos de malha fechada O terceiro está localizado no eixo real negativo do lado esquerdo do ponto s 5 Vamos substituir s 3 j2 na Equação 88 3 j23 6 5K 3 j22 5 10Ka 3 j2 5Ka2 0 que pode ser simplificada para 24 25K 30Ka 5Ka2 j 16 60K 20Ka 0 Igualando a parte real e a parte imaginária a zero respectivamente obtemos 24 25K 30Ka 5Ka2 0 89 16 60K 20Ka 0 810 A partir da Equação 810 temos K 5a 15 4 811 FIGURA 841 Gráficos do lugar das raízes s a2s3 6s2 5s com a 3 a 4 a 45 e a 6 Eixo real Eixo imaginário 2 4 6 814 12 10 8 6 4 2 0 2 4 2 0 6 8 a 6 a 45 a 4 a 3 Gráficos do lugar das raízes de 5Ks a2ss 1s 5 onde a 3 a 4 a 45 e a 6 559 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Substituindo a Equação 811 na Equação 89 obtemos a2 13 ou a 36056 ou 36056 Note que os valores de K resultam em K 13210 para a 36056 K 01211 para a 36056 Como Gc1s está no ramo de realimentação o ganho K deve ser positivo Logo escolhemos K 13210 a 36056 Então Gc1s pode ser dado por G s K s s a s s s s s 1 3210 3 6056 1 3210 9 5260 17 1735 c1 2 2 2 h h h Para determinar Kp Ti e Td procedemos como segue G s s s s s s 1 3210 7 2112 13 9 5260 1 0 5547 1 0 1387 c1 2 c h h m 812 Logo Kp 95260 Ti 05547 Td 01387 Para verificar a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário obtemos a função de transferência de malha fechada YsDs D s Y s G G G s s s K s a s s s s s 1 1 5 5 5 12 605 52 63 85 8673 5 c p p 1 2 3 2 h h h h h A resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário é mostrada na Figura 842 A curva de resposta parece boa e aceitável Note que os polos de malha fechada estão localizados em s 3 j2 e s 66051 Os polos complexos conjugados de malha fechada agem como polos dominantes de malha fechada Projeto de Gc2s projetamos agora Gc2s para obtermos as respostas desejadas às entradas de referência A função de transferência de malha fechada YsRs pode ser dada por R s Y s G G G G G s s s s s s s s K T s s s s s s K T s K s 1 1 1 321 9 526 17 1735 1 5 5 1 321 9 526 17 1735 1 1 5 5 12 6051 52 63 85 8673 6 6051 5 47 63 5 85 8673 c p c c p p d p d p 1 1 2 2 2 3 2 2 t t t t t h h h h h h h h h h E 560 Engenharia de controle moderno Alocação de zeros alocamos dois zeros juntos com a constante de ganho dc de modo que o numerador seja igual à soma dos últimos três termos do denominador Ou seja 66051 5Kpt Tdt s2 4769 5Kpt s 858673 126051s2 5263s 858673 Igualando os coeficientes dos termos de s2 e dos termos em s nos dois lados dessa última equação 66051 5Kpt Tdt 126051 4763 5Kpt 5263 de onde obtemos Kpt 1 Tdt 12 Portanto Gc2s 1 12s 813 Com esse controlador Gc2s a função de transferência YsRs resulta em R s Y s s s s s s 12 6051 52 63 85 8673 12 6051 52 63 85 8673 3 2 2 h h A resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário tornase como mostra a Figura 843a A resposta exibe o sobressinal máximo de 21 e o tempo de acomodação de aproximadamente 16 s As figuras 843b e c mostram a resposta à rampa e a resposta à aceleração Os erros estacionários de ambas as respostas são nulos A resposta ao distúrbio do tipo degrau foi satis fatória Portanto os controladores projetados Gc1s e Gc2s dados pelas equações 812 e 813 respectivamente são satisfatórios Se as características da resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário não forem satisfatórias teremos de alterar a localização dos polos dominantes de malha fechada e repetir o procedimento de projeto Os polos dominantes de malha fechada devem ficar em certa região no semiplano esquerdo do plano s tal que 2 a 6 2 b 66 c 12 Se a busca computacional for desejada escreva um programa similar ao Programa 88 em MATLAB e execute o processo de busca Então um conjunto ou conjuntos desejados de valores de a b e c podem ser encontrados de modo que a resposta do sistema à entrada de referência do tipo degrau unitário satisfaça todos os requisitos relativos ao sobressinal máximo e ao tempo de acomodação FIGURA 842 yd t t s Resposta ao degrau unitário de YsDs 003 004 005 006 007 008 009 01 002 001 0 0 05 1 15 2 25 3 Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário 561 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados FIGURA 843 a yrt t s Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário 06 08 1 12 14 04 02 0 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 b yrt t s Resposta à entrada de referência do tipo rampa unitária 06 08 1 12 14 16 18 2 04 02 0 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 Entrada Saída c yrt t s Resposta à entrada de referência do tipo aceleração unitária 06 08 1 12 14 16 18 2 04 02 0 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 Entrada Saída a Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário b resposta à entrada de referência do tipo rampa unitária c resposta à entrada de referência do tipo aceleração unitária 562 Engenharia de controle moderno Exemplos de problemas com soluções A81 Descreva brevemente as características dinâmicas do controlador PI do controlador PD e do controlador PID Solução O controlador PI é caracterizado pela função de transferência G s K Ts 1 1 c p i e h o O controlador PI é um compensador de atraso Ele possui um zero em s 1Ti e um polo em s 0 Logo a característica do controlador PI é possuir ganho infinito na frequência nula Isso melhora as características de regime permanente Entretanto a inclusão da ação de controle PI no sistema aumenta em 1 o número que define o tipo do sistema compensado Isso resulta em um sistema compensado menos estável ou até mesmo faz o sistema se tornar instável Portanto os valores de Kp e Ti devem ser escolhidos cuidadosamente para garantir uma resposta temporal apro priada Projetando de maneira adequada o controlador PI é possível fazer a resposta temporal à entrada em degrau exibir um sobressinal relativamente pequeno ou nenhum A velocidade de resposta contudo fica muito lenta Isso ocorre porque o controlador PI sendo um filtro passa baixa atenua os componentes de alta frequência do sinal O controlador PD é uma versão simplificada do compensador de avanço que possui a função de transferência Gcs em que Gc s Kp1 Td s O valor de Kp é normalmente determinado a fim de satisfazer os requisitos de regime estacionário A frequência de canto 1Td é escolhida de modo que o avanço de fase ocorra na vizinhança do ganho de frequência de cruzamento Embora a margem de fase possa ser aumentada o ganho do compensador continua a aumentar na região de frequência 1Td Então o controlador PD é um filtro passaalta Esse aumento contínuo do ganho é indesejável uma vez que ele amplifica os ruídos de alta frequência que podem estar presentes no sistema A compensação em avanço pode proporcionar um avanço de fase suficiente enquanto o aumento do ganho na região de alta frequência é muito menor que o do controlador PD Portanto preferese a compensação em avanço no lugar do controle PD Como a função de transferência do controlador PD envolve um zero mas nenhum polo não é possível realizála somente por meio de elementos RLC passivos A realização do controlador PD com amplificadores operacionais resistores e capacitores é possível mas como o controlador PD é um filtro passaalta como mencionado anteriormente o processo de diferenciação envolvido pode causar sérios problemas de ruído em vários casos Contudo não existem problemas se o controlador PD é realizado por meio de elementos hidráulicos ou pneumáticos O controlador PD assim como no caso do compensador de avanço melhora as características de resposta temporal e a estabilidade do sistema e aumenta a banda passante desse sistema o que implica um tempo de subida rápido O controlador PID é uma combinação dos controladores PI e PD Ele é um compensador do tipo atraso e avanço Note que a ação de controle PI e a ação de controle PD ocorrem em diferentes regiões de frequência A ação de controle PI ocorre na região de baixa frequência e a ação de controle PD ocorre na região de alta frequência O controle PID pode ser utilizado quando o sistema requer melhorias no desempenho transitório e no desempenho em regime estacionário A82 Mostre que a função de transferência UsEs do controlador PID mostrado na Figura 844 é E s U s K T T T T T s T T T T s 1 1 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 h h h E Suponha que o ganho K seja muito grande quando comparado com a unidade ou K 1 563 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Solução E s U s K K T s T s T s K K K T s T s T s K T s K T s T s K T s T s K T s T s T T K T T T T T s T T T T s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 Z e e e e h h o o h h o h o h E A83 Considere o circuito com dois amplificadores operacionais mostrado na Figura 845 É um con trolador PID modificado no qual a função de transferência envolve um integrador e um termo de atraso de primeira ordem Obtenha a função de transferência desse controlador PID Solução Como Z R C s R R C s R R R R C s 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 3 1 FIGURA 844 K Es Us 1 K0 T1s 1 T1s 1 1 T2s Controlador PID FIGURA 845 Eis Es Eos Z1 Z2 C1 C2 R1 R2 R4 R3 R5 Controlador PID modificado 564 Engenharia de controle moderno e Z R C s 1 2 2 2 temos E s E s Z Z C s R R R R C s R C s 1 R C s 1 i 1 2 2 1 3 1 3 1 2 2 1 1 h h h h h Além disso E s E s R R o 4 5 h h Consequentemente E s E s E s E s E s E s R R R C R s R R R R C s R C s R C s R R R R s s R R C R R s R C s R C 1 1 1 1 1 i o o i 4 1 3 2 5 1 3 1 3 1 1 1 2 2 4 3 5 2 1 3 1 1 3 1 1 2 2 e e e e h h h h h h h o h h o o o Observe que R1C1 e R2C2 determinam as localizações dos zeros do controlador enquanto R1 R3 e C1 afetam a localização do polo no eixo real negativo A razão R5R4 ajusta o ganho do controlador A84 Na prática é impossível realizar um diferenciador puro Logo temos sempre de aproximar o diferenciador puro Td s por alguma coisa como T s T s 1 d d c Uma maneira de realizar esse diferenciador aproximado é com a utilização de um integrador no ramo de realimentação Mostre que a função de transferência de malha fechada do sistema mostrado na Figura 846 é dada pela expressão precedente Nos diferenciadores disponíveis comercialmente o valor de g pode ser ajustado como 01 Solução A função de transferência de malha fechada do sistema mostrado na Figura 846 é R s C s T s T s T s 1 1 1 1 d d d c c c h h Note que esse diferenciador com um atraso de primeira ordem reduz a banda passante do sistema de controle de malha fechada e o efeito danoso dos sinais de ruído A85 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 847 É um controle PID de uma planta de segunda ordem Gs Suponha que os distúrbios Ds entrem no sistema como está mostrado no diagrama Suponha ainda que a entrada de referência Rs seja normalmente mantida constante e as características da resposta aos distúrbios sejam muito importantes nesse sistema FIGURA 846 Rs Cs 1 γ 1 Tds Diferenciador aproximado 565 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Projete um sistema de controle de modo que a resposta a qualquer distúrbio do tipo degrau seja rejeitada rapidamente de 2 a 3 s de tempo de acomodação usando o critério de 2 Escolha a configuração dos polos de malha fechada para que exista um par de polos dominantes de malha fechada A partir daí obtenha a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário Obtenha também a resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário Solução O controlador PID possui a função de transferência G s s K as 1 bs 1 c h h h Para a entrada de distúrbio na ausência da entrada de referência a função de transferência de malha fechada resulta em D s C s s s s K as bs s s Kab s Ka Kb s K s 3 6 9 1 1 3 6 9 d 2 3 2 h h h h h h h 814 A especificação requer que a resposta ao distúrbio do tipo degrau unitário seja tal que o tempo de acomodação esteja entre 2 e 3 s e o sistema tenha um amortecimento razoável Podemos inter pretar a especificação como z 05 e n 4 rads para os polos dominantes de malha fechada Podemos escolher o terceiro polo em s 10 para que o efeito desse polo real na resposta seja pequeno Então a equação característica desejada pode ser escrita como s 10s2 2 05 4s 42 s 10s2 4s 16 s3 14s2 56s 160 A equação característica do sistema dado pela Equação 814 é s3 36 Kab s2 9 Ka Kbs K 0 Logo requeremos que 36 Kab 14 9 Ka Kb 56 K 160 o que leva a ab 0065 a b 029375 O controlador PID agora resulta em G s s K abs a b s s s s s s s 1 160 0 065 0 29375 1 10 4 4 5192 15 385 c 2 2 2 h h h h 6 FIGURA 847 Controlador PID Planta Gs Cs Rs Ds Kas 1bs 1 s 1 s2 36s 9 Sistema com controle PID 566 Engenharia de controle moderno Com esse controlador PID a resposta ao distúrbio é dada por C s s s s s D s s s s s D s 14 56 160 10 4 16 d 3 2 2 h h h h h Claramente para uma entrada de distúrbio do tipo degrau unitário a saída em regime estacionário é nula uma vez que 0 lim lim lim c t sC s s s s s s 10 4 16 1 t d t d t 0 0 2 2 3 h h h h A resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário pode ser facilmente obtida com o MATLAB O Programa 89 em MATLAB produz uma curva de resposta como mostra a Figura 848a A partir da curva de resposta notamos que o tempo de acomodação é de aproximadamente 27 s A resposta amortece rapidamente Portanto o sistema projetado aqui é aceitável FIGURA 848 Saída da entrada de distúrbio 14 6 2 4 8 12 4 10 0 2 103 Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário t s 0 05 5 45 3 35 4 1 15 2 25 a Saída da entrada de referência 12 06 0 08 10 04 02 Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário t s 0 05 5 45 3 35 4 1 15 2 25 b a Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário b resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário 567 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Programa 89 em MATLAB Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário numd 1 0 dend 1 14 56 160 t 00015 c1x1t stepnumddendt plottc1 grid titleResposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário xlabelt s ylabelSaída da entrada do distúrbio Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário numr 104 47 160 denr 1 14 56 160 c2x2t stepnumrdenrt plottc2 grid titleResposta à entrada de referência do tipo degrau unitário xlabelt s ylabelSaída da entrada de referência Para a entrada de referência rt a função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s s s s s s s 14 56 160 10 4 4 5192 15 385 14 56 160 10 4 47 160 r 3 2 2 3 2 2 h h h A resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário pode ser obtida com o uso do Pro grama 89 em MATLAB A curva de resposta resultante é mostrada na Figura 848b A curva de resposta mostra que o sobressinal máximo é de 73 e o tempo de acomodação é de 12 s O sistema tem características de resposta bastante aceitáveis A86 Considere o sistema mostrado na Figura 849 Desejase projetar um controlador PID Gcs de modo que os polos dominantes de malha fechada estejam localizados em s 1 j 3 Para o controlador PID escolha a 1 e com isso determine os valores de K e b Esboce o gráfico do lugar das raízes para o sistema projetado Solução Como G s G s K s s s b s 1 1 1 c 2 h h h h a soma dos ângulos em s 1 j 3 que é um dos polos desejados de malha fechada a partir do zero em s 1 e dos polos em s 0 s j e s j é 90 143794 120 110104 283898 FIGURA 849 Rs Cs Controlador PID Planta Gcs Gs s a s b s K 1 s2 1 Sistema com controle PID 568 Engenharia de controle moderno Logo o zero em s b deve contribuir com 103898 Isso requer que o zero esteja localizado em b 05714 A constante de ganho K pode ser determinada pela condição de módulo 1 K s s s s 1 0 5714 1 1 s j 2 1 3 h h ou K 23333 Então o compensador pode ser escrito como 23333 G s s s 1 s 0 5714 c h h h A função de transferência de malha aberta resulta em G s G s s s s s 2 3333 1 0 5714 1 1 c 2 h h h h A partir dessa equação podese traçar o gráfico do lugar das raízes do sistema compensado A Figura 850 é o gráfico do lugar das raízes A função de transferência de malha fechada é dada por R s C s s s s s s s 2 3333 1 0 5714 2 3333 1 0 5714 3 h h h h h h Os polos de malha fechada estão localizados em s 1 j 3 e s 03333 A curva de resposta ao degrau unitário é mostrada na Figura 851 O polo de malha fechada em s 03333 e o zero em s 05714 produzem uma cauda longa de pequena amplitude FIGURA 850 Eixo real 5 0 1 1 3 4 2 Eixo imaginário 2 0 3 3 2 1 1 Gráfico do lugar das raízes de GcsGs Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado 569 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados A87 Considere o sistema mostrado na Figura 852 Projete um compensador cuja constante de erro estático de velocidade seja 4 s1 a margem de fase seja de 50º e a margem de ganho seja de 10 dB no mínimo Com o MATLAB trace as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensado Trace também um diagrama de Nyquist do sistema compensado utilizando o MATLAB Usando o critério de estabilidade de Nyquist verifique se o sistema projetado é estável Solução Como a planta não tem um integrador é necessário incluir um integrador no compen sador Determinemos que o compensador seja 1 lim G s s K G s G s c c s c 0 t t h h h onde G s ct h será determinado posteriormente Como a constante de erro estático de velocidade está especificada em 4 s1 temos 01 4 lim lim K sG s s s s s K G s s s K 1 0 1 1 0 1 s c s c 0 2 0 2 y t h h Assim K 40 Portanto G s s G s 40 c c t h h Em seguida traçamos um diagrama de Bode de G s s s s 1 40 0 1 2 h h h O Programa 810 em MATLAB produz um diagrama de Bode para Gs como mostra a Figura 853 FIGURA 851 t s 0 8 12 10 4 2 6 Amplitude 04 08 12 06 1 02 0 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado Resposta ao degrau unitário do sistema compensado FIGURA 852 Gcs s 01 s2 1 Sistema de controle 570 Engenharia de controle moderno Programa 810 em MATLAB Diagrama de Bode num 40 4 den 1 0000000001 1 0 bodenumden titleDiagrama de Bode de Gs 40s01ss21 Precisamos de uma margem de fase de 50º e de uma margem de ganho de no mínimo 10 dB Vamos determinar que G s ct h seja G s ct h as 1 a 0 Então Gcs contribuirá com um avanço de fase de até 90 na região de alta frequência Com ensaios simples no MATLAB constatamos que a 01526 nos dá uma margem de fase de 50º e uma margem de ganho de dB Veja o Programa 811 em MATLAB e o diagrama de Bode resultante mostrado na Figura 854 Nesse diagrama de Bode vemos que a constante de erro estático de velocidade é 4 s1 a margem de fase é de 50º e a margem de ganho é de dB Portanto o sistema projetado satisfaz todos os requisitos Programa 811 em MATLAB Diagrama de Bode num conv40 401526 1 den 1 0000000001 1 0 sys tfnumden w logspace22100 bodesysw Gmpmwcpwcg marginsys GmdB 20log10Gm GmdBpmwcpwcg ans Inf 500026 NaN 80114 titleDiagrama de Bode de Gs 40s0101526s1ss21 FIGURA 853 Frequência rads Diagrama de Bode de Gs 40s 01ss2 1 200 50 100 150 0 100 Fase graus Magnitude dB 0 300 200 100 103 102 101 100 101 Diagrama de Bode de Gs 40s 01ss2 1 571 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados O compensador projetado tem a seguinte função de transferência G s s G s s s 40 40 0 1526 1 c c t h h h A função de transferência de malha aberta do sistema projetado é Função de transferência de malha aberta s s s s s s s s 40 0 1526 1 1 0 1 1 6 104 40 6104 4 2 2 2 h h Em seguida verificaremos as respostas do sistema projetado ao degrau unitário à rampa unitária A função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s s 6 104 41 6104 4 6 104 40 6104 4 3 2 2 h h Os polos de malha fechada estão localizados em s 30032 j56573 s 30032 j56573 s 00975 O Programa 812 em MATLAB gerará a curva de resposta ao degrau unitário do sistema proje tado A Figura 855 mostra a curva de resposta ao degrau unitário resultante Observe que o polo de malha fechada em s 00975 e o zero da planta em s 01 produzem uma longa cauda de baixa amplitude Programa 812 em MATLAB Resposta ao degrau unitário num 6104 406104 4 den 1 6104 416104 4 t 000110 stepnumdent grid FIGURA 854 Frequência rads Diagrama de Bode de Gs 40s 0101526s 1ss2 1 200 50 50 0 100 150 100 50 Fase graus Magnitude dB 0 100 50 102 101 100 101 102 Diagrama de Bode de Gs 40s 01 01526s 1 ss2 1 572 Engenharia de controle moderno O Programa 813 em MATLAB gera a curva de resposta à rampa unitária do sistema projetado A Figura 856 mostra a curva de resposta resultante Programa 813 em MATLAB Resposta à rampa unitária num 0 0 6104 406104 4 den 1 6104 416104 4 0 t 000120 c stepnumdent plottctt titleResposta à rampa unitária xlabelts ylabelFunção Entrada em Rampa e Saída text3115Função Entrada em Rampa text138112Saída FIGURA 855 t s 2 1 7 9 6 8 10 0 4 3 5 Amplitude 14 08 0 12 04 02 1 06 Resposta ao degrau Curva de resposta ao degrau unitário em CsRs 6104s 406104s 4 s3 6104s2 416104s 4 FIGURA 856 Saída Função entrada em rampa t s 4 2 14 18 12 16 20 0 8 6 10 Função Entrada em Rampa e Saída 20 8 0 12 18 4 2 16 10 14 6 Resposta à rampa unitária Curva de resposta à rampa unitária em Cs Rs 6104s2 406104s 4 s3 6104s2 416104s 4 573 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Diagrama de Nyquist Constatamos anteriormente que os três polos de malha fechada do sistema projetado estão todos no semiplano esquerdo do plano s Consequentemente o sistema projetado é estável Nesse caso o objetivo de traçar o diagrama de Nyquist não é testar a estabilidade do sistema mas aperfeiçoar nosso entendimento da análise de estabilidade de Nyquist Se o sistema é complicado o diagrama de Nyquist pode ter uma aparência tão complicada que não será fácil contar o número de envolvimentos do ponto 1 j0 Como o sistema projetado inclui três polos de malha aberta no eixo j o diagrama de Nyquist ficará bastante complicado como veremos a seguir Defina a função de transferência de malha aberta do sistema projetado como Gs Então G s G s s s s s s s 1 0 1 1 6 104 40 6104 4 c 2 2 2 h h h Vamos escolher um percurso de Nyquist modificado como mostra a Figura 857a O percurso modificado envolve três polos de malha aberta s 0 s j1 e s j1 Agora defina s1 s v0 Então o percurso de Nyquist no plano s1 tornase aquele mostrado na Figura 857b No plano s1 a função de transferência de malha aberta tem três polos no semiplano direito do plano s1 Digamos que v0 001 Como s s1 v0 temos Gs Gs1 001 Função de transferência de malha aberta no plano s1 s s s s s s s s s s s 0 01 0 02 1 0001 6 104 0 02 0 0001 40 6104 0 01 4 0 03 1 0003 0 010001 6 104 40 48832 3 5945064 1 1 2 1 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 2 1 h h h h Um programa em MATLAB para obter o diagrama de Nyquist é mostrado no Programa 814 em MATLAB A Figura 858 mostra o diagrama de Nyquist resultante Programa 814 em MATLAB Diagrama de Nyquist num 6104 4048832 35945064 den 1 003 10003 0010001 nyquistnumden v 1500 1500 2500 2500 axisv FIGURA 857 Plano s Plano s1 j a b 0 v v0 j 0 v a Percurso de Nyquist modificado no plano s b percurso de Nyquist no plano s1 574 Engenharia de controle moderno A partir do diagrama obtido não é fácil determinar os envolvimentos do ponto 1 j0 no lugar geométrico de Nyquist Portanto temos de redesenhar esse diagrama de Nyquist qualitativamen te para mostrar os detalhes próximos do ponto 1 j0 O diagrama de Nyquist redesenhado é mostrado pela Figura 859 A partir do diagrama redesenhado constatamos que o ponto 1 j0 é envolvido três vezes no sentido antihorário Portanto N 3 Como a função de transferência de malha aberta tem três polos no semiplano direito do plano s1 temos P 3 Então temos Z N P 0 Isso significa que não há polos de malha fechada no semiplano direito do plano s1 Portanto o sistema é estável FIGURA 858 1500 1000 500 0 500 1000 1500 Eixo real Diagrama de Nyquest Eixo imaginário 2500 2000 1500 1000 500 0 500 1000 1500 2000 2500 Diagrama de Nyquist FIGURA 859 Im Re 0 0 Diagrama de Nyquist redesenhado 575 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados A88 Demonstre que o sistema com controle IPD mostrado na Figura 860a é equivalente ao sistema com controle PID com filtro de entrada mostrado na Figura 860b Solução A função de transferência de malha fechada CsRs do sistema com controle IPD é R s C s K Ts T s G s Ts K G s 1 1 1 p i d p i p p e h h o h h A função de transferência de malha fechada CsRs do sistema com controle PID com filtro de entrada mostrado na Figura 860b é R s C s Ts TT s K Ts T s G s K Ts T s G s K Ts T s G s Ts K G s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i i d p i d p p i d p p i d p i p p 2 e e e h h o h o h o h h As funções de transferência de malha fechada de ambos os sistemas são as mesmas Portanto os dois sistemas são equivalentes A89 A ideia básica do controle IPD é evitar sinais de controle elevados que vão causar o fenômeno de saturação no sistema Levando as ações de controle proporcionalderivativo para o ramo de realimentação é possível escolher valores de Kp e Td maiores que aqueles possíveis pelo esquema de controle PID Compare qualitativamente as respostas do sistema com controle PID e IPD em relação à entrada de distúrbio e à entrada de referência Solução Considere primeiro a resposta do sistema com controle IPD à entrada de distúrbio Como no controle IPD de uma planta é possível selecionar valores de Kp e Td maiores que FIGURA 860 a b Kp Tis Gps Cs Rs Kp1 Tds Gps Cs Rs Kp1 Tds 1 Tis 1 1 Tis TiTds2 a Sistema com controle IPD b sistema com controle PID com filtro de entrada 576 Engenharia de controle moderno aqueles do caso com controle PID o sistema com controle IPD vai atenuar o efeito do distúrbio mais rapidamente que no caso do sistema com controle PID Em seguida considere a resposta do sistema com controle IPD à entrada de referência Como o sistema com controle IPD é equivalente ao sistema com controle PID com o filtro de entrada veja o Problema A88 o sistema com controle PID apresentará respostas mais rápidas que o sistema com controle IPD correspondente contanto que um fenômeno de saturação não ocorra no sistema com controle PID A810 Em alguns casos é desejável prover um filtro de entrada como mostra a Figura 861a Observe que o filtro de entrada Gf s está fora da realimentação Portanto ele não afeta a estabilidade da porção de malha fechada do sistema Uma vantagem de ter o filtro de entrada é que os zeros da função de transferência de malha fechada podem ser modificados cancelados ou substituídos por outros para que a resposta de malha fechada seja aceitável Mostre que a configuração da Figura 861a pode ser modificada para ficar como aquela mos trada na Figura 861b onde Gd s Gf s 1Gcs A estrutura de compensação mostrada na Figura 861b é algumas vezes denominada compensação de comando Solução Para o sistema da Figura 861a temos R s C s G s G s G s G s G s 1 f c p c p h h h h h h h 815 Para o sistema da Figura 861b temos Us Gd sRs GcsEs Es Rs Cs Cs GpsUs Logo Cs GpsGd sRs GcsRs Cs ou R s C s G s G s G s G s G s 1 c p d c p h h h h h h h 6 816 FIGURA 861 a b Gcs Cs Rs Gps Gf s Gcs Cs Rs Es Gds Gps Us a Diagrama de blocos do sistema de controle com filtro de entrada b diagrama de blocos modificado 577 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Substituindo Gd s Gf s 1Gcs na Equação 816 obtemos R s C s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s 1 1 c p f c c c p f c p c p h h h h h h h h h h h h h h 6 que é a mesma da Equação 815 Logo mostramos que os sistemas que aparecem nas figuras 861a e b são equivalentes Veja que o sistema mostrado na Figura 861b tem um controlador de avanço Nesse caso Gd s não afeta a estabilidade da porção de malha fechada do sistema A811 Um sistema de malha fechada tem a característica de que a função de transferência de malha fechada será aproximadamente igual ao inverso da função de transferência da realimentação sempre que o ganho de malha aberta for muito maior que a unidade A característica de malha aberta pode ser modificada adicionandose um ramo interno de rea limentação com uma característica igual à inversa da característica desejada de malha aberta Suponha que dado sistema com realimentação unitária tenha a seguinte função de transferência de malha aberta G s T s T s K 1 1 1 2 h h h Determine a função de transferência Hs do elemento no ramo interno de realimentação para que a malha interna se torne sem efeito tanto em baixas como em altas frequências Solução A Figura 862a mostra o sistema original e a Figura 862b a malha interna de rea limentação adicionada em torno de Gs Como E s C s G s H s G s H s G s H s G s H s 1 1 1 h h h h h h h h h h se o ganho de malha interna for grande se comparado com a unidade então GsHs1 Gs Hs é aproximadamente igual a um e a função de transferência CsEs é aproximadamente igual a 1Hs Por outro lado se o ganho GsHs for muito menor que a unidade a malha interna se tornará sem efeito e CsEs se tornará aproximadamente igual à Gs Para tornar a malha interna sem efeito tanto nas baixas como nas altas faixas de frequência é preciso que GjHj 1 para 1 e 1 FIGURA 862 a b Gs C R Gs Hs C E R GHs 1 Hs C E R a Sistema de controle b adição da malha interna de realimentação para modificar a característica de malha fechada 578 Engenharia de controle moderno Como neste problema G j j T j T K 1 1 1 2 h h h o requisito pode ser satisfeito se Hs for escolhido como Hs ks porque lim lim lim lim G j H j j T j T Kkj G j H j j T j T Kkj 1 1 0 1 1 0 0 0 1 2 1 2 3 3 h h h h h h h h Então com Hs ks realimentação de velocidade a malha interna fica sem efeito tanto nas regiões de baixa como nas de alta frequência Ela se torna efetiva apenas na região de frequên cias intermediárias A812 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 863 Este é o mesmo sistema que o consi derado no Exemplo 81 Naquele exemplo projetamos um controlador PID Gcs iniciando pelo segundo método das regras de sintonia de ZieglerNichols Aqui projetaremos um controlador PID utilizando a abordagem computacional com o MATLAB Determinaremos os valores de K e a do controlador PID G s K s s a c 2 h h de forma que a resposta ao degrau unitário apresente o sobressinal máximo entre 10 e 2 102 saída máxima 110 e o tempo de acomodação seja menor que 3 s A região de busca é 2 K 50 005 a 2 Vamos escolher o incremento de K como 1 e o de a como 005 Escreva um programa em MATLAB que permita determinar todos os possíveis conjuntos das variáveis K e a que satisfarão as especificações dadas Obtenha o gráfico das curvas de resposta ao degrau unitário do sistema projetado com os conjuntos escolhidos das variáveis K e a Solução A função de transferência da planta é G s s s s 6 5 1 p 3 2 h A função de transferência de malha fechada CsRs é dada por R s C s s s K s Kas Ka Ks Kas Ka 6 5 2 2 4 3 2 2 2 2 h h h Um possível programa em MATLAB que gerará o primeiro conjunto das variáveis K e a que satisfarão as especificações fornecidas é dado pelo Programa 815 em MATLAB Nesse programa FIGURA 863 Rs Cs Controlador PID 1 ss 1 s 5 Gcs Sistema de controle 579 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados utilizamos dois loops de for A especificação relativa ao tempo de acomodação é interpretada pelas seguintes quatro linhas s 501 while ys 098 and ys 102 s s 1 end ts s 1 001 ts 30 Note que para t 00015 temos 501 instantes temporais de cálculo O último instante temporal corresponde a s 501 A solução obtida por esse programa é K 32 a 02 com o sobressinal máximo igual a 969 e com o tempo de acomodação igual a 264 s A curva resultante de resposta ao degrau unitário é mostrada na Figura 864 Programa 815 em MATLAB t 00015 for K 5012 for a 2005005 num K 2Ka Ka2 den 1 6 5K 2Ka Ka2 y stepnumdent m maxy s 501 while ys 098 ys 102 s s1 end ts s1001 if m 110 m 102 ts 30 break end end if m 110 m 102 ts 30 break end end plotty grid titleResposta ao degrau unitário xlabelt s ylabelSaída solution Kamts solution 320000 02000 10969 26400 Em seguida consideramos o caso em que desejamos encontrar todos os conjuntos das variáveis que satisfarão as especificações dadas Um possível programa em MATLAB para esse propósito é o Programa 816 em MATLAB Note que na tabela mostrada no programa a última linha k ou a primeira linha da tabela ordenada pode ser ignorada Estes são os últimos valores de K e a da busca Programa 816 em MATLAB t 00015 k 0 for i 149 Ki 51i1 for j 140 continua 580 Engenharia de controle moderno aj 205j005 num Ki 2Kiaj Kiajaj den 1 6 5Ki 2Kiaj Kiajaj y stepnumdent m maxy s 501 while ys 098 ys 102 s s1 end ts s1001 if m 110 m 102 ts 30 k k1 tablek Ki aj m ts end end end tablek Ki aj m ts table 320000 02000 10969 26400 310000 02000 10890 26900 300000 02000 10809 27300 290000 02500 10952 17800 290000 02000 10726 27800 280000 02000 10639 28300 270000 02000 10550 28900 20000 00500 03781 50000 sorttable sortrowstable3 sorttable 20000 00500 03781 50000 270000 02000 10550 28900 280000 02000 10639 28300 290000 02000 10726 27800 300000 02000 10809 27300 310000 02000 10890 26900 290000 02500 10952 17800 320000 02000 10969 26400 K sorttable71 K FIGURA 864 Saída t s Resposta ao degrau unitário 14 12 1 08 06 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Curva de resposta ao degrau unitário continua continuação 581 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados 29 a sorttable72 a 02500 num K 2Ka Ka2 den 1 6 5K 2Ka Ka2 y stepnumdent plotty grid hold Current plot held K sorttable21 K 27 a sorttable22 a 02000 num K 2Ka Ka2 den 1 6 5K 2Ka Ka2 y stepnumdent plotty titleCurva de Resposta do Degrau Unitário xlabelt sec ylabelOutput text122122K 29 a 025 text122072K 27 a 02 A partir da tabela ordenada percebese que K 29 a 025 sobressinal máximo 952 tempo de acomodação 178 s e K 27 a 02 sobressinal máximo 55 tempo de acomodação 289 s são as duas melhores escolhas As curvas de resposta ao degrau unitário para esses dois casos são mostradas na Figura 865 A partir dessas curvas podemos concluir que a melhor escolha depende FIGURA 865 Saída t s Curvas de resposta ao degrau unitário 14 12 1 08 06 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 K 29 a 025 K 27 a 02 Curvas de resposta ao degrau unitário continuação 582 Engenharia de controle moderno do objetivo do sistema Se desejamos um sobressinal máximo pequeno K 27 a 02 será a melhor escolha Se um tempo de acomodação menor for mais importante que um sobressinal máximo pequeno então K 29 a 025 será a melhor escolha A813 Considere o sistema de controle com dois graus de liberdade mostrado na Figura 866 A planta Gps é dada por G s s s 1 100 p h h Supondo que a entrada de ruído Ns seja nula projete os controladores Gc1s e Gc2s para que o sistema projetado satisfaça o seguinte 1 A resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau tenha uma amplitude pequena e tenda a zero rapidamente na ordem de 1 s a 2 s 2 A resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário tenha um sobressinal máximo de 25 ou menos e o tempo de acomodação seja de 1 s ou menos 3 Os erros estacionários no acompanhamento à entrada de referência do tipo rampa e à entrada de referência do tipo aceleração sejam nulos Solução As funções de transferência de malha fechada da entrada de distúrbio e da entrada de referência são dadas respectivamente por D s Y s G s G s G s R s Y s G s G s G s G s G s 1 1 c p p c p c c p 1 1 1 2 h h h h h h h h h h h h 6 Vamos supor que Gc1s seja um controlador PID e tenha a seguinte forma G s s K s a c1 2 h h A equação característica do sistema é 1 1 G s G s s K s a s s 1 100 c p 1 2 h h h h Note que os polos de malha aberta estão localizados em s 0 um polo duplo e s 1 Os zeros estão localizados em s a um zero duplo A seguir utilizaremos a abordagem do lugar das raízes para determinar os valores de a e K Vamos determinar que os polos dominantes de malha fechada estejam em s 5 j5 Então a deficiência angular no polo de malha fechada em s 5 j5 é 135 135 12866 180 21866 FIGURA 866 Gps Gc1s Gc2s Ys Ns Us Ds Rs Bs Sistema de controle com dois graus de liberdade 583 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados O zero duplo em s a deve contribuir com 21866 Cada zero deve contribuir com 10933 Por meio de cálculos simples encontramos a 32460 O controlador Gc1s é então determinado como G s s K s 3 2460 c1 2 h h A constante K deve ser determinada pelo uso da condição do módulo Essa condição é Gc1sGpss 5 j5 1 Como G s G s s K s s s 3 2460 1 100 c p 1 2 h h h h obtemos K s s s 100 3 2460 1 0 11403 s j 2 2 5 5 h h O controlador Gc1s resulta portanto em G s s s s s s s s 0 11403 3 2460 0 11403 0 74028 1 20148 0 74028 1 20148 0 11403 c1 2 2 h h 817 Então a função de transferência de malha fechada YsDs é obtida como segue D s Y s G s G s G s s s s s s s s s s s 1 1 0 11403 3 2460 1 100 1 100 12 403 74 028 120 148 100 c p p 1 2 3 2 h h h h h h h h A curva de resposta quando Ds é um distúrbio do tipo degrau unitário é mostrada na Figura 867 Em seguida consideramos as respostas às entradas de referência A função de transferência de malha fechada YsRs é R s Y s G s G s G s G s G s 1 c p c c p 1 1 2 h h h h h h h 6 Vamos definir Gc1s Gc2s Gcs Então R s Y s G s G s G s G s s s s sG s 1 12 403 74 028 120 148 100 c p c p c 1 3 2 h h h h h h h 584 Engenharia de controle moderno Para satisfazer os requisitos sobre as respostas à entrada de referência do tipo rampa e à entrada de referência do tipo aceleração utilizamos a abordagem por alocação de zeros Ou seja escolhemos o numerador de YsRs como a soma dos últimos três termos do denominador ou 100sGcs 12403s2 74028s 120148 a partir do qual obtemos G s s s s s s 0 12403 0 74028 1 20148 0 74028 1 20148 0 12403 c 2 h 818 Logo a função de transferência de malha fechada YsRs resulta em R s Y s s s s s s 12 403 74 028 120 148 12 403 74 028 120 148 3 2 2 h h As curvas de resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário à entrada de referência do tipo rampa unitária e à entrada de referência do tipo aceleração unitária são mostradas nas figuras 868a b e c respectivamente O sobressinal máximo da resposta ao degrau unitário é aproximadamente 25 e o tempo de acomodação é de aproximadamente 12 s Os erros esta cionários na resposta à rampa e na resposta à aceleração são nulos Portanto o controlador Gcs projetado dado pela Equação 818 é satisfatório Por fim determinamos Gc2s Considerando que Gc2s Gcs Gc1s e a partir da Equação 817 07403 011403 G s s s 1 20148 c1 h FIGURA 867 yd t t s Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário 06 08 1 12 14 16 18 2 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário 585 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados FIGURA 868 a t s Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário 06 08 1 12 14 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 yr t b t s Resposta à entrada de referência do tipo rampa unitária 15 2 25 3 1 05 0 0 05 1 15 2 25 3 Entrada Saída yr t c yr t t s Resposta à entrada de referência do tipo aceleração unitária 06 08 1 12 14 16 18 2 04 02 0 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 Entrada Saída Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário b resposta à entrada de referência do tipo rampa unitária c resposta à entrada de referência do tipo aceleração unitária 586 Engenharia de controle moderno obtemos G s s s s s s 0 7403 1 20148 0 12403 0 7403 1 20148 0 11403 0 01 c2 e e h o o 819 As equações 817 e 819 fornecem as funções de transferência dos controladores Gc1s e Gc2s respectivamente O diagrama de blocos do sistema projetado é mostrado na Figura 869 Note que se o sobressinal máximo fosse muito maior que 25 eou se o tempo de acomodação fosse maior que 12 s então poderíamos supor uma região de busca como 3 a 6 3 b 6 e 6 c 12 e utilizar o método computacional apresentado no Exemplo 84 para encontrar um conjunto ou conjuntos de variáveis que forneceriam a resposta desejada à entrada de referência do tipo degrau unitário Problemas B81 Considere o controlador PID eletrônico mostrado na Figura 870 Determine os valores de R1 R2 R3 R4 C1 e C2 do controlador para que a função de transferência Gcs EosEi s seja G s s s s s 39 42 1 3 077 1 0 7692 30 3215 0 65 c 2 c h m h FIGURA 869 100 ss 1 001s Ys Ds Rs 120148 s 07403 011403s Diagrama de blocos do sistema projetado FIGURA 870 Eis Es Eos C1 C2 R1 R2 R3 R4 Controlador PID eletrônico 587 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados B82 Considere o sistema mostrado na Figura 871 Suponha que o distúrbio Ds entre no sistema como mostra o diagrama Determine os parâmetros K a e b de modo que a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário e a resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário satisfaçam às seguintes especificações a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau deve ser atenuada rapidamente sem erro estacionário e a resposta à entrada de referência do tipo degrau deve exibir um máximo sobressinal de 20 ou menos e um tempo de acomodação de 2 s B83 Prove que o sistema com controle PID mostrado na Figura 872a é equivalente ao sistema com controle IPD com um controle de avanço apresentado na Figura 872b B84 Considere os sistemas mostrados nas figuras 873a e b O sistema exposto na Figura 873a é o sistema projetado no Exemplo 81 A resposta à entrada de referência do tipo degrau uni tário na ausência da entrada de distúrbio é apresentada na Figura 810 O sistema exibido na Figura 873b é um sistema com controle IPD que utiliza os mesmos Kp Ti e Td do sistema mostrado na Figura 873a FIGURA 871 Cs Rs Ds Kas 1bs 1 s 2s 2 s 1s 10 Sistema de controle FIGURA 872 a b Kp Ti s Gps Cs Rs Kp1 Tds Kp1 Tds Gps Cs Rs Kp1 Tds 1 Tis a Sistema com controle PID b sistema com controle IPD com um controle de avanço 588 Engenharia de controle moderno Obtenha a resposta do sistema com controle IPD à entrada de referência do tipo degrau unitário com o MATLAB Compare as curvas de resposta ao degrau unitário dos dois sistemas B85 Referindose ao Problema B84 obtenha a resposta ao sistema controlado por PID mostrado na Figura 873a à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário Mostre que para a entrada de distúrbio as respostas do sistema com controle PID mostrado na Figura 873a e do sistema com controle IPD exposto na Figura 873b são exatamente as mesmas Quando considerar Ds como entrada suponha que a entrada de referência Rs seja nula e viceversa Compare também a função de transferência CsRs de ambos os sistemas B86 Considere o sistema mostrado na Figura 874 Esse sistema está sujeito a três sinais de entrada a entrada de referência a entrada de distúrbio e a entrada de ruído Mostre que a equação carac terística desse sistema é a mesma qualquer que seja o sinal de entrada escolhido como entrada B87 Considere o sistema mostrado na Figura 875 Obtenha a função de transferência de malha fechada da entrada de referência CsRs e a função de transferência de malha fechada da entrada de dis túrbio CsDs Quando considerar Rs como entrada suponha que Ds seja nula e viceversa FIGURA 873 a b Cs Rs Ds Controlador PID 3942 1 1 3077s 07692s 1 ss 1 s 5 Ds Cs Rs 1 07692s 3942 1 ss 1 s 5 1 3077s a Sistema com controle PID b sistema com controle IPD FIGURA 874 G2s Hs Cs Ruído Ns Rs Distúrbio Ds G1s Sistema de controle 589 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados B88 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 876a onde K é um ganho ajustável e Gs e Hs são componentes fixos A função de transferência de malha fechada do distúrbio é D s C s KG s H s 1 1 h h h h Para minimizar o efeito dos distúrbios o ganho K ajustável deve ser escolhido o maior possível Isso é verdade também para o sistema da Figura 876b B89 Prove que os sistemas de controle mostrados nas figuras 877a b e c são sistemas com dois graus de liberdade Nos diagramas Gc1 e Gc2 são controladores e Gp é a planta FIGURA 875 G1s G2s Rs Cs Ds G3s H1s H2s Sistema de controle FIGURA 876 Gs Rs Cs Ds Ds K Hs Gs Rs Cs K Hs a b a Sistema de controle com distúrbio que entra no ramo de avanço b sistema de controle com distúrbio que entra no ramo de realimentação 590 Engenharia de controle moderno B810 Mostre que o sistema de controle exibido na Figura 878 é um sistema de controle com três graus de liberdade As funções de transferência Gc1 Gc2 e Gc3 são controladores A planta consiste nas funções de transferência G1 e G2 FIGURA 877 Ds Rs Ys Gp Gc1 Gc2 a b c Ds Ys Ns Gp Gc1 Gc2 Ds Ys Ns Gp Gc1 Gc2 Rs Rs Ns a b c Sistemas com dois graus de liberdade FIGURA 878 Ds Rs Ys Ns Gc2 Gc1 Gc3 G1 G2 Sistema com três graus de liberdade 591 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados B811 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 879 Suponha que o controlador PID seja dado por G s K s s a c 2 h h Desejase que a resposta ao degrau unitário do sistema exiba um sobressinal máximo de menos de 10 porém maior que 2 para evitar um sistema quase superamortecido e o tempo de acomodação seja menor que 2 s Utilizando a abordagem computacional apresentada na Seção 84 escreva um programa em MATLAB para determinar os valores de K e a que satisfarão às especificações dadas Escolha a região de busca como 1 K 4 04 a 4 Escolha o incremento de K e a como 005 Escreva o programa para que os loops aninhados iniciem com o maior valor de K e a e diminuam até o menor valor Usando a primeira solução encontrada desenhe a curva de resposta ao degrau unitário B812 Considere o mesmo sistema de controle tratado no Problema B811 Figura 879 O controlador PID é dado por G s K s s a c 2 h h Desejase determinar os valores de K e a de modo que a resposta do sistema ao degrau unitário exiba o máximo sobressinal menor que 8 porém maior que 3 e o tempo de acomodação de menos de 2 s Escolha a região de busca como 2 K 4 05 a 3 Escolha o incremento de K e a como 005 Primeiro escreva um programa em MATLAB para que os loops aninhados do programa iniciem com o maior valor de K e a e diminuam até o menor valor e que o processamento termine quando um conjunto aceitável de K e a for encontrado pela primeira vez Em seguida escreva um programa em MATLAB que encontre todos os possíveis conjuntos de K e a que satisfarão às especificações dadas Entre os vários conjuntos de K e a que satisfazem às especificações dadas determine a melhor escolha Então desenhe as curvas de resposta ao degrau unitário do sistema utilizando a melhor escolha de K e a B813 Considere o sistema de controle com dois graus de liberdade mostrado na Figura 880 A planta Gps é dada por G s s s s s s 1 4 13 3 5 p 2 h h h h FIGURA 879 Rs Cs Controlador PID 12 03s 1 s 1 12s 1 Gcs Sistema de controle 592 Engenharia de controle moderno Projete os controladores Gc1s e Gc2s de modo que a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário tenha uma amplitude pequena e tenda rapidamente a zero em aproximadamente 2 s A resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário deve ser tal que o sobressinal máximo seja 25 ou menos e o tempo de acomodação seja 2 s Além disso os erros estacionários da resposta às entradas do tipo rampa e do tipo aceleração devem ser nulos B814 Considere o sistema mostrado na Figura 881 A planta Gps é dada por G s s s s s 3 5 2 1 p h h h h Determine os controladores Gc1s e Gc2s de modo que para a entrada de distúrbio do tipo degrau a resposta exiba uma pequena amplitude e tenda rapidamente a zero em questão de 1 ou 2 s Para a resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário desejase que o máximo sobressinal seja 20 ou menos e o tempo de acomodação seja 1 s ou menos Para a entrada de referência do tipo rampa e entrada de referência do tipo aceleração os erros estacionários devem ser nulos B815 Considere o sistema de controle com dois graus de liberdade mostrado na Figura 882 Projete os controladores Gc1s e Gc2s de modo que a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau exiba uma pequena amplitude e tenda rapidamente a zero de 1 a 2 s e a resposta à entrada de referência do tipo degrau exiba 25 ou menos de sobressinal máximo e o tempo de acomodação seja menor que 1 s O erro estacionário no acompanhamento da entrada de referência do tipo rampa ou da entrada de referência do tipo aceleração deve ser nulo FIGURA 880 Gps Gc1s Gc2s Ys Us Ds Rs Bs Sistema de controle com dois graus de liberdade FIGURA 881 Gps Gc1s Ys Rs Us Ds Gc2s Sistema de controle com dois graus de liberdade 593 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados FIGURA 882 1 s2 C1s Ys Rs Ds C2s Sistema de controle com dois graus de liberdade 594 Engenharia de controle moderno Análise de sistemas de controle no espaço de estados 9 C A P Í T U L O 91 Introdução1 Um sistema moderno complexo pode ter muitas entradas e muitas saídas e elas podem ser interrelacionadas de maneira complexa Para analisar esse sistema é essencial reduzir a com plexidade das expressões matemáticas bem como recorrer aos computadores para a maioria dos processamentos tediosos necessários na análise A abordagem com base no espaço de estados é a mais apropriada para analisar o sistema sob esse ponto de vista Enquanto a teoria de controle convencional é fundamentada na relação entradasaída ou função de transferência a teoria de controle moderno é baseada na descrição de um sistema de equações em termos de n equações diferenciais de primeira ordem as quais podem ser combi nadas em uma equação diferencial vetorialmatricial de primeira ordem O uso de uma notação vetorialmatricial simplifica bastante a representação matemática do sistema de equações O aumento no número das variáveis de estado no número de entradas ou no número de saídas não aumenta a complexidade das equações De fato a análise de sistemas complicados com múltiplas entradas e múltiplas saídas pode ser conduzida por procedimentos que são apenas ligeiramente mais complicados do que os necessários à análise dos sistemas de equações diferenciais escalares de primeira ordem Este capítulo e o próximo abordam a análise por espaço de estados e o projeto de sistemas de controle Materiais básicos da análise por espaço de estados incluindo a representação de sistemas no espaço de estados controlabilidade e observabilidade são apresentados neste capí tulo Métodos úteis de projeto fundamentados no controle por realimentação de estado são fornecidos no Capítulo 10 Visão geral do capítulo A Seção 91 apresentou uma introdução à análise de sistemas de con trole no espaço de estados A Seção 92 trata da representação no espaço de estados de funções de transferência Aqui apresentamos várias formas canônicas de equações no espaço de estados A Seção 93 discute a transformação de modelos de sistema como de função de transferência para modelos no espaço de estados e viceversa com o MATLAB A Seção 94 mostra a solução das equações de estado invariantes no tempo A Seção 95 fornece alguns resultados úteis sobre a análise vetorialmatricial que são necessárias quando se estudam a análise e o controle de 1 Note que neste livro um asterisco utilizado como um sobrescrito da matriz como A implica que ele é o conjugado transposto da matriz A O conjugado transposto é o conjugado do transposto de uma matriz Para uma matriz real uma matriz cujos elementos são todos reais o conjugado transposto A é o mesmo que o transposto AT sistemas no espaço de estados A Seção 96 discute a controlabilidade de sistemas de controle e a Seção 97 trata da observabilidade de sistemas de controle 92 Representação de funções de transferência no espaço de estados Muitas técnicas estão disponíveis para a obtenção da representação no espaço de estados de funções de transferência No Capítulo 2 apresentamos alguns desses métodos Esta seção traz as representações no espaço de estados nas formas controlável observável diagonal ou na forma canônica de Jordan Métodos de obtenção dessas representações no espaço de estados a partir de funções de transferência são discutidos nos problemas A91 a A94 Representação no espaço de estados em formas canônicas Considere um sistema defi nido por y a y a y a y b u b u b u b u n n n n n n n n 1 1 1 0 1 1 1 g g o o h h h h 91 onde u é a entrada e y é a saída Essa equação também pode ser escrita como U s Y s s a s a s a b s b s b s b n n n n n n n n 1 1 1 0 1 1 1 g g h h 92 A seguir introduziremos as representações no espaço de estados de sistemas definidos pelas equações 91 ou 92 nas formas canônicas controlável observável e diagonal ou de Jordan Forma canônica controlável A seguinte representação no espaço de estados é denominada forma canônica controlável x x x x a a a a x x x x u 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n n n n n n 1 2 1 1 2 1 1 2 1 h h h h g g g g h h h o o o o R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W WW 93 y b a b b a b b a b x x x b u n n n n n 0 1 1 0 1 1 0 1 2 0 g h R T S S S SS 6 V X W W W WW 94 A forma canônica controlável é importante na discussão do projeto de sistemas de controle pela abordagem por alocação de polos Forma canônica observável A seguinte representação no espaço de estados é denominada forma canônica observável x x x a a a x x x b a b b a b b a b u 0 1 0 0 0 0 0 0 1 n n n n n n n n 1 2 1 1 1 2 0 1 1 0 1 1 0 h h h g g g h h h h o o o R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW 95 y x x x x b u 0 0 0 1 n n 1 2 1 0 g h R T S S S S S SS 6 V X W W W W W WW 96 596 Engenharia de controle moderno Note que a matriz de estado n n da equação de estado dada pela Equação 95 é a transposta daquela equação de estado definida pela Equação 93 Forma canônica diagonal Considere a função de transferência definida pela Equação 92 Consideramos aqui o caso em que o polinômio do denominador envolve somente raízes distintas Para o caso de raízes distintas a Equação 92 pode ser escrita como U s Y s s p s p s p b s b s b s b b s p c s p c s p c n n n n n n n 1 2 0 1 1 1 0 1 1 2 2 g g g h h h h h 97 A forma canônica diagonal da representação no espaço de estados desse sistema é dada por x x x p p p x x x u 0 0 1 1 1 n n n 1 2 1 2 1 2 h j h h o o o R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW 98 y c c c x x x b u n n 1 2 1 2 0 g h R T S S S SS 6 V X W W W WW 99 Forma canônica de Jordan Em seguida consideraremos o caso em que o polinômio do denominador da Equação 92 envolve múltiplas raízes Para esse caso a forma canônica diagonal anterior precisa ser modificada para a forma canônica de Jordan Suponha por exemplo que os pi sejam diferentes entre si exceto pelos três primeiros pi que são iguais ou seja que p1 p2 p3 Então a forma fatorada de YsUs resulta em U s Y s s p s p s p s p b s b s b s b n n n n n 1 3 4 5 0 1 1 1 g g h h h h h h A expansão em frações parciais dessa última equação resulta em U s Y s b s p c s p c s p c s p c s p c n n 0 1 3 1 1 2 2 1 3 4 4 g h h h h A representação desse sistema no espaço de estados na forma canônica de Jordan é dada por x x x x x p p p p p x x x x x u 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 n n n 1 2 3 4 1 1 1 4 1 2 3 4 h h g g h h g g j h h h o o o o o R T S S S S S S S S R T S S S S S S SS R T S S S S S S S S R T S S S S S S S S V X W W W W W W W W V X W W W W W W WW V X W W W W W W W W V X W W W W W W W W 910 y c c c x x x b u n n 1 2 1 2 0 g h R T S S S SS 6 V X W W W WW 911 Exemplo 91 Considere o sistema dado por U s Y s s s s 3 2 3 2 h h Obtenha a representação no espaço de estados nas formas canônicas controlável observável e diagonal 597 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Forma canônica controlável x t x t x t x t u t y t x t x t 0 2 1 3 0 1 3 1 1 2 1 2 1 2 o o h h h h h h h h 6 G G G G G Forma canônica observável x t x t x t x t u t y t x t x t 0 1 2 3 3 1 0 1 1 2 1 2 1 2 o o h h h h h h h h 6 G G G G G Forma canônica diagonal x t x t x t x t u t y t x t x t 1 0 0 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 o o h h h h h h h h 6 G G G G G Autovalores de uma matriz A n n Os autovalores de uma matriz A n n são as raízes da equação característica lI A 0 Os autovalores também são denominados raízes características Considere por exemplo a seguinte matriz A 0 0 6 1 0 11 0 1 6 A H A equação característica é 0 6 1 11 0 1 6 6 11 6 1 2 3 0 I A 3 2 m m m m m m m m m m h h h Os autovalores de A são as raízes da equação característica ou seja 1 2 e 3 Diagonalização de uma matriz n n Note que se uma matriz A n n com autovalores distintos é dada por A a a a a 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n n 1 2 1 h h h g g g g h R T S S S S S SS V X W W W W W WW 912 598 Engenharia de controle moderno a transformação x Pz onde 1 1 1 P n n n n n n 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 h h g g g g h m m m m m m m m m R T S S S S S SS V X W W W W W WW λ1 λ2 λn n autovalores distintos de A transformará P 1AP em uma matriz diagonal ou 0 0 P AP n 1 1 2 j m m m R T S S S S SS V X W W W W WW Se a matriz A definida pela Equação 912 envolve múltiplos autovalores então a diagonali zação é impossível Por exemplo se a matriz A 3 3 onde a a a 0 0 1 0 0 1 A 3 2 1 H possui os autovalores l1 l1 l3 então a transformação x Sz onde 1 0 1 2 1 S 1 1 2 1 3 3 2 m m m m m R T S S SS V X W W WW resultará em 0 0 1 0 0 0 S 1 AS 1 1 3 m m m R T S S SS V X W W WW Esta é a forma canônica de Jordan Exemplo 92 Considere a seguinte representação no espaço de estados do sistema x x x x x x u 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 6 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H 913 y x x x 1 0 0 1 2 3 6 H 914 As equações 913 e 914 podem ser colocadas em uma formapadrão como ẋ Ax Bu 915 y Cx 916 onde 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 6 1 0 0 A B C 6 H H Os autovalores da matriz A são λ1 1 λ2 2 λ3 3 599 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Logo os três autovalores são distintos Se definirmos um conjunto das novas variáveis de estado z1 z2 e z3 pela transformação x x x z z z 1 1 1 1 2 4 1 3 9 1 2 3 1 2 3 H H H ou x Pz 917 onde 1 1 1 1 1 1 1 2 4 1 3 9 P 1 1 2 2 2 2 3 3 2 m m m m m m H H 918 então substituindo a Equação 917 na Equação 915 obtemos Pż APz Bu Prémultiplicando ambos os lados dessa última equação por P 1 obtemos ż P 1APz P 1Bu 919 ou z z z z z z u 3 3 1 2 5 4 1 5 0 5 1 0 5 0 0 6 1 0 11 0 1 6 1 1 1 1 2 4 1 3 9 3 3 1 2 5 4 1 5 0 5 1 0 5 0 0 6 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H H H H Simplificando temos z z z z z z u 1 0 0 0 2 0 0 0 3 3 6 3 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H 920 A Equação 920 também é uma equação de estado que descreve o mesmo sistema definido pela Equação 913 A equação de saída Equação 916 é modificada para y CPz ou y z z z z z z 1 0 0 1 1 1 1 2 4 1 3 9 1 1 1 1 2 3 1 2 3 6 6 H H H 921 Note que a matriz de transformação P definida pela Equação 918 modifica a matriz de coeficientes de z para a matriz diagonal Como é facilmente visto a partir da Equação 920 as três equações de estado escalares são desacopladas Observe também que os elementos da diagonal da matriz P 1AP na Equação 919 são idênticos aos três autovalores de A É muito importante notar que os autovalores de A e os de P 1AP são idênticos A seguir provaremos isso para um caso geral Invariância dos autovalores Para provar a invariância dos autovalores sob uma transformação linear precisamos mostrar que os polinômios característicos λI A e λI P 1AP são idênticos Como o determinante de um produto é o produto dos determinantes obtemos 600 Engenharia de controle moderno λI P 1AP λP 1P P 1AP P 1λI AP P 1λI AP P 1PλI A Sabendo que o produto dos determinantes P 1 e P é igual ao determinante do produto P 1P obtemos λI P 1AP P 1PλI A λI A Dessa maneira provamos que os autovalores de A são invariantes em uma transformação linear Não unicidade do conjunto de variáveis de estado Um conjunto de variáveis de estado não é único para dado sistema Suponha que x1 x2 xn seja um conjunto de variáveis de estado Então podemos tomar qualquer conjunto de funções como outro conjunto de variáveis de estado x 1 X1x1 x2 xn x 2 X2x1 x2 xn h x n Xnx1 x2 xn desde que para cada conjunto de valores x 1 x 2 x n corresponda um único conjunto de valores x1 x2 xn e viceversa Portanto se x é um vetor de estado então x onde x Px também é um vetor de estado admitindo que P seja não singular Diferentes vetores de estado carregam a mesma informação sobre o comportamento do sistema 93 Transformação de modelos de sistemas com o MATLAB Nesta seção consideraremos a transformação do modelo do sistema de função de transfe rência para espaço de estados e viceversa Começaremos nossa discussão com a transformação de função de transferência para espaço de estados Vamos escrever a função de transferência de malha fechada como em em U s Y s s s denominador polinomial numerador polinomial den num h h Uma vez que temos essa expressão do tipo função de transferência o comando em MATLAB A B C D tf2ssnumden fornecerá uma representação no espaço de estados É importante notar que a representação no espaço de estados de qualquer sistema não é única Existem inúmeras de fato infinitas representações para o mesmo sistema O comando em MATLAB fornece uma dessas possíveis representações no espaço de estados Formulação no espaço de estados de funções de transferência Considere a função de transferência R s Y s s s s s 6 5 10 10 10 3 2 h h 922 601 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Existem inúmeras novamente infinitas representações possíveis no espaço de estados para esse sistema Uma possível representação no espaço de estados é x x x x x x u y x x x u 0 0 10 1 0 5 0 1 6 0 10 50 1 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 6 H H H H H Outra possível representação no espaço de estados entre as infinitas alternativas é x x x x x x u 6 1 0 5 0 1 10 0 0 1 0 0 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H 923 y x x x u 0 10 10 0 1 2 3 6 6 H 924 O MATLAB transforma a função de transferência dada pela Equação 922 na representação no espaço de estados dada pelas equações 923 e 924 Para o sistemaexemplo considerado aqui o Programa 91 em MATLAB produzirá as matrizes A B C e D Programa 91 em MATLAB num 10 10 den 1 6 5 10 ABCD tf2ssnumden A 6 5 10 1 0 0 0 1 0 B 1 0 0 C 0 10 10 D 0 Transformação de espaço de estados para função de transferência Para obter a função de transferência a partir das equações no espaço de estados utilize o seguinte comando numden ss2tfABCDiu iu precisa ser especificado para sistemas com mais de uma entrada Por exemplo se o sistema tiver três entradas u1 u2 u3 então iu deve ser 1 2 ou 3 onde 1 implica u1 2 implica u2 e 3 implica u3 Se o sistema tiver apenas uma entrada tanto numden ss2tfABCD como numden ss2tfABCD1 podem ser usadas Veja o Exemplo 93 e o Programa 92 em MATLAB Para o caso em que o sistema tem múltiplas entradas e múltiplas saídas veja o Exemplo 94 602 Engenharia de controle moderno Exemplo 93 Obtenha a função de transferência do sistema definido pelas seguintes equações no espaço de estados x x x x x x u y x x x 0 0 5 008 1 0 25 1026 0 1 5 03247 0 25 04 121 005 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H O Programa 92 em MATLAB produzirá a função de transferência para o sistema dado A função de transferência obtida é dada por U s Y s s s s s 5 0325 25 1026 5 008 25 04 5 008 3 2 h h Programa 92 em MATLAB A 0 1 00 0 15008 251026 503247 B 02504 121005 C 1 0 0 D 0 numden ss2tfABCD num 0 00000 250400 50080 den 10000 50325 251026 50080 O mesmo resultado pode ser obtido introduzindose o seguinte comando numden ss2tfABCD1 num 0 00000 250400 50080 den 10000 50325 251026 50080 Exemplo 94 Considere um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas Quando o sistema possui mais de uma saída o comando NUMden ss2tfABCDiu produz funções de transferência para todas as saídas em relação a cada entrada Os coeficientes do numerador são colocados na matriz NUM que possui tantas linhas quanto for o número de saídas Considere o sistema definido por x x x x u u y y x x u u 0 25 1 4 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 o o G G G G G G G G G G Esse sistema possui duas entradas e duas saídas Quatro funções de transferência estão envolvidas Y1sU1s Y2sU1s Y1sU2s e Y2sU2s Considerando a entrada u1 vamos supor que a entrada u2 seja nula e viceversa Veja o resultado do Programa 93 em MATLAB 603 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Programa 93 em MATLAB A 0 125 4 B 1 10 1 C 1 00 1 D 0 00 0 NUMden ss2tfABCD1 NUM 0 1 4 0 0 25 den 1 4 25 NUMden ss2tfABCD2 NUM 0 10000 50000 0 10000 250000 den 1 4 25 Esta é a representação em MATLAB das quatro seguintes funções de transferência U s Y s s s s U s Y s s s U s Y s s s s U s Y s s s s 4 25 4 4 25 25 4 25 5 4 25 25 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 h h h h h h h h 94 Resolvendo a equação de estado invariante no tempo Nesta seção obteremos a solução geral da equação de estado linear e invariante no tempo Primeiro consideraremos o caso homogêneo e depois o caso não homogêneo Solução da equação de estado homogênea Antes de resolver a equação diferencial vetorial matricial vamos rever a solução diferencial escalar ẋ ax 925 Resolvendo essa equação podemos supor uma solução de xt na forma xt b0 b1t b2t 2 bkt k 926 Substituindo a solução nessa forma na Equação 925 obtemos b1 2b2t 3b3t2 kbkt k 1 ab0 b1t b2t 2 bkt k 927 Se a solução presumida for a solução verdadeira então a Equação 927 será válida para qualquer t Portanto igualando os coeficientes de potências iguais em t obtemos b ab b ab a b b ab a b b k a b 2 1 2 1 3 1 3 2 1 1 k k 1 0 2 1 2 0 3 2 3 0 0 h 604 Engenharia de controle moderno O valor de b0 é determinado substituindose t 0 na Equação 926 ou x0 b0 Logo a solução xt pode ser escrita como x t at a t k a t x e x 1 2 1 1 0 0 k k at 2 2 g g c h m h h Agora resolveremos a equação diferencial vetorialmatricial ẋ Ax 928 onde x vetor n A matriz constante n n Por analogia com o caso escalar vamos supor que a solução esteja na forma de uma série vetorial de potências em t ou xt b0 b1t b2t2 bkt k 929 Substituindo a solução nessa forma na Equação 928 obtemos b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k 1 Ab0 b1t b2t 2 bkt k 930 Se a solução presumida for a solução verdadeira então a Equação 930 será válida para qualquer t Portanto igualando os coeficientes de mesma potência de t em ambos os lados da Equação 930 obtemos k 2 1 2 1 3 1 3 2 1 1 b Ab b Ab A b b Ab A b b A b k k 1 0 2 1 2 0 3 2 3 0 0 h Substituindo t 0 na Equação 929 obtemos x0 b0 Logo a solução xt pode ser escrita como 2 t g t g t k 2 1 1 0 x x k k 2 A t I A A c h m h A expressão dentro dos parênteses no lado direito dessa última equação é uma matriz n n Por causa de sua similaridade com a série infinita de potências de uma exponencial escalar a denominamos matriz exponencial e escrevemos t e g t g A 2 t k 2 1 1 I A A k k t 2 A Em termos da matriz exponencial a solução da Equação 928 pode ser escrita como xt eAtx0 931 Como a matriz exponencial é muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares a seguir examinaremos suas propriedades Matriz exponencial Podese provar que a matriz exponencial de uma matriz A n n kt e k A t k k 0 A 3 605 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados converge absolutamente para todo t finito Portanto o cálculo dos elementos de eAt pelo uso da expansão em série é facilmente realizado pelo computador Por causa da convergência da série infinita S k 0 Aktkk ela pode ser diferenciada termo a termo resultando em dt d e t t k t t t k t e t t k t e 2 1 2 1 2 1 A A A A A I A A A A I A A A A A t k k k k t k k t 2 3 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 A A A g g g g g g h h h E E A matriz exponencial possui a propriedade eAt s eAteAs Isso pode ser provado como segue t e e k k s i k i t s k t s e A A A A t s k k k k k k k k i k i i k k k t s 0 0 0 0 0 A A A 3 3 3 3 3 e e e o o h o h h Em particular se s t então eAteAt eAteAt eAt t I Então a inversa de eAt é eAt Uma vez que a inversa de eAt sempre existe eAt é não singular É muito importante lembrar que eA Bt eAteBt se AB BA eA Bt eAteBt se AB BA Para provar isso note que e t t t e e t t t t t t t t t t t t t t 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 I A B A B A B I A A A I B B B I A B A AB B B A B AB B t t t 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 3 3 A B A B g g g g c c h h h m m h h Logo 2 2 e e e t t 2 3 BA AB BA ABA B A BAB A B AB t t t 2 2 2 2 2 3 A B A B g h Não existirá diferença entre eABt e eAteBt se A e B comutarem Abordagem pela transformada de Laplace na solução de equações de estado homo gêneas Vamos primeiro considerar o caso escalar 606 Engenharia de controle moderno ẋ ax 932 Considerando a transformada de Laplace da Equação 932 obtemos sXs x0 aXs 933 onde Xs x Resolvendo a Equação 933 para Xs temos X s s a x s a x 0 0 1 h h h h A transformada inversa de Laplace dessa última equação fornece a solução xt eatx0 A abordagem precedente para a solução da equação diferencial escalar homogênea pode ser estendida para a equação de estado homogênea ẋt Axt 934 Considerando a transformada de Laplace dos dois lados da Equação 934 obtemos sXs x0 AXs onde Xs x Portanto sI A Xs x0 Prémultiplicando ambos os lados dessa última equação por sI A 1 obtemos Xs sI A 1x0 A transformada inversa de Laplace de Xs fornece a solução xt Então xt 1sI A 1x0 935 Note que s s s s I A I A A 1 2 3 2 g h Portanto a transformada inversa de Laplace de sI A 1 fornece s t t t e 2 3 I A I A A A t 1 1 2 2 3 3 A g h 6 936 A transformada inversa de Laplace de uma matriz é a matriz obtida pela transformada inversa de Laplace de todos os seus elementos A partir das equações 935 e 936 a solução da Equação 934 é obtida como xt eAtx0 A importância da Equação 936 está no fato de que ela fornece um meio conveniente para a determinação da solução da matriz exponencial na forma fechada Matriz de transição de estado Podemos escrever a solução da equação de estado homogênea ẋ Ax 937 como xt Utx0 938 onde Ut é uma matriz n n que é a solução única de U t AUt U0 I Para verificar isso note que x0 U0x0 x0 e ẋt U tx0 AUtx0 Axt Confirmamos portanto que a Equação 938 é a solução da Equação 937 A partir das equações 931 935 e 938 obtemos 607 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Ut eAt 1sI A 1 Note que U 1t eAt U 1 A partir da Equação 938 notamos que a solução da Equação 937 é simplesmente uma transfor mação de condições iniciais Portanto a matriz Ut é denominada matriz de transição de estado Esta contém toda a informação a respeito da resposta livre do sistema definido pela Equação 937 Se os autovalores l1 l2 ln da matriz A são distintos então Ut contém as n exponenciais eλ1t eλ2t eλnt Em particular se a matriz A é diagonal então diagonal t e e e e 0 0 A t t t t A n 1 2 j U m m m h h R T S S S SS V X W W W WW Se existe uma multiplicidade nos autovalores por exemplo se os autovalores de A forem l1 l1 l1 l4 l5 ln então Ut conterá em adição às exponenciais el1t el4t el5t elnt termos do tipo tel1t e t2ellt Propriedades das matrizes de transição de estado Agora resumiremos as propriedades importantes da matriz de transição de estado Ut Para o sistema invariante no tempo ẋ Ax para o qual Ut eAt temos 1 U0 eA0 I 2 Ut eAt eAt 1 U t 1 ou U 1t Ut 3 Ut1 t2 eAt1 t2 eAt1eAt2 Ut1 Ut2 Ut2 Ut1 4 Utn Unt 5 Ut2 t1 Ut1 t0 Ut2 t0 Ut1 t0 Ut2 t1 Exemplo 95 Obtenha a matriz de transição de estado Ut do seguinte sistema x x x x 0 2 1 3 1 2 1 2 o o G G G Obtenha também a inversa da matriz de transição de estado U 1t Para esse sistema 0 2 1 3 A G A matriz de transição de estado Ut é dada por Ut eAt 1sI A 1 Como s s s s s 0 0 0 2 1 3 2 1 3 I A G G G a inversa de sI A é dada por 608 Engenharia de controle moderno s s s s s s s s s s s s s s s 1 2 1 3 2 1 1 2 3 1 2 2 1 2 1 1 2 I A 1 h h h h h h h h h h h R T S S S SS V X W W W WW H Logo t e s e e e e e e e e 2 2 2 2 I A t t t t t t t t t 1 1 2 2 2 2 A U h h 6 G Sabendo que U 1t Ut obtemos a inversa da matriz de transição de estado como segue t e e e e e e e e e 2 2 2 2 t t t t t t t t t 1 2 2 2 2 A U h G Solução das equações de estado não homogêneas Começaremos considerando o caso escalar ẋ ax bu 939 Vamos reescrever a Equação 939 como ẋ ax bu Multiplicando ambos os lados dessa equação por eat obtemos e x t ax t dt d e x t e bu t at at at o h h h h 6 6 Integrando essa equação entre 0 e t temos e x t x e bu d 0 at a t 0 x x x h h h ou x t e x e e bu d 0 at at a t 0 x x x h h h O primeiro termo do lado direito é a resposta à condição inicial e o segundo termo é a resposta à entrada ut Agora consideraremos a equação de estado não homogênea descrita por ẋ Ax Bu 940 onde x vetor n u vetor r A matriz constante n n B matriz constante n r Escrevendo a Equação 940 como ẋt Axt But e prémultiplicando ambos os lados dessa equação por eAt obtemos e t t dt d e t e t x Ax x Bu t t t A A A o h h h h 6 6 Integrando a equação precedente entre 0 e t temos e t e d 0 x x Bu t t 0 A A x x x h h h 609 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados ou t e e d 0 x x Bu t t t 0 A A x x x h h h h 941 A Equação 941 também pode ser escrita como t t t d 0 x x Bu t 0 x x x U U h h h h h 942 onde Ut eAt A Equação 941 ou a 942 é a solução da Equação 940 A solução xt é clara mente a soma de um termo que consiste na transição do estado inicial e de um termo proveniente do vetor de entrada Abordagem pela transformada de Laplace na solução das equações de estado não homogêneas A solução da equação de estado não homogênea ẋ Ax Bu também pode ser obtida por meio da abordagem pela transformada de Laplace A transformada de Laplace dessa última equação resulta em sXs X0 Axs BUs ou sI AXs x0 BUs Prémultiplicando ambos os lados dessa última equação por sI A 1 obtemos Xs sI A 1x0 sI A 1BUs Utilizando a relação dada pela Equação 936 temos Xs eAtx0 eAtBUs A transformada inversa de Laplace dessa última equação pode ser obtida pelo uso da integral de convolução como segue t e e d 0 x x Bu t t 0 A A t x x x h h h h Solução em termos de xt0 Até agora supusemos que o instante inicial fosse nulo No entanto se o instante inicial for dado por t0 em vez de 0 então a solução da Equação 940 precisará ser modificada para t e t e d x x Bu t t t t 0 0 A A 0 x x x h h h h h 943 Exemplo 96 Obtenha a resposta temporal do seguinte sistema x x x x u 0 2 1 3 0 1 1 2 1 2 o o G G G G onde ut é a função degrau unitário que ocorre em t 0 ou ut 1t Para esse sistema 0 2 1 3 0 1 A B G G A matriz de transição de estado Ut eAt foi obtida no Exemplo 95 como t e e e e e e e e e 2 2 2 2 t t t t t t t t t 2 2 2 2 A U h G A resposta ao degrau unitário é então obtida como 610 Engenharia de controle moderno t e e e e e e e e e d 0 2 2 2 2 0 1 1 x x t t t t t t t t t t 2 2 2 2 0 A x x x x x x x x x h h h h h h h h h h 6 G G ou x t x t e e e e e e e e x x e e e e 2 2 2 2 0 0 2 1 2 1 t t t t t t t t t t t t 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 h h h h G G G H Se o estado inicial for nulo ou x0 0 então xt poderá ser simplificada para x t x t e e e e 2 1 2 1 t t t t 1 2 2 2 h h G H 95 Alguns resultados úteis na análise vetorialmatricial Nesta seção apresentamos alguns resultados úteis na análise vetorialmatricial que utilizare mos na Seção 96 Especificamente apresentamos o teorema de CayleyHamilton o polinômio mínimo o método de interpolação de Sylvester para o cálculo de eAt e a independência linear de vetores Teorema de CayleyHamilton O teorema de CayleyHamilton é bastante útil na prova de teoremas que envolvem equações matriciais ou soluciona problemas que envolvem equações matriciais Considere uma matriz A n n e sua equação característica λI A λn a1λn 1 an 1λ an 0 O teorema de CayleyHamilton estabelece que a matriz A satisfaz sua própria equação caracte rística ou que An a1An 1 an 1A anI 0 944 Para provar esse teorema note que adjl I A é um polinômio em l de grau n 1 Ou seja adjλI A B1λn 1 B2λn 2 Bn 1λ Bn onde B1 I Como λI A adjλI A adjλI AλI A λI AI obtemos λI AI Iλn a1Iλn 1 an 1Iλ anI λI A B1λn 1 B2λn 2 Bn 1λ Bn B1λn 1 B2λn 2 Bn 1λ BnλI A A partir dessa equação observamos que A e Bi i 1 2 n comutam Logo o produto de lI A e adjlI A se tornará nulo se qualquer um deles for nulo Se A for substituído por l nessa última equação então evidentemente lI A se tornará nulo Portanto obtemos An a1An 1 an 1A anI 0 Isso prova o teorema de CayleyHamilton ou a Equação 944 Polinômio mínimo Referindose ao teorema de CayleyHamilton toda matriz A n n satis faz sua própria equação característica A equação característica não é contudo necessariamente a equação escalar de menor grau satisfeita por A O polinômio de menor grau que tem A como uma raiz é denominado polinômio mínimo Ou seja o polinômio mínimo de uma matriz A n n é definido como o polinômio zl de grau mínimo zλ λm a1λm 1 am 1λ am m n 611 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados tal que zA 0 ou zA Am a1Am 1 am 1A amI 0 O polinômio mínimo tem grande importância no cálculo computacional de polinômios de uma matriz n n Vamos supor que dl um polinômio em l seja o máximo divisor comum de todos os ele mentos de lI A Podemos mostrar que se o coeficiente do termo de maior grau em l de dl for escolhido como 1 então o polinômio mínimo zl é dado por d I A z m m m h h 945 Veja o Problema A98 para a obtenção da Equação 945 Note que o polinômio mínimo zl de uma matriz A n n pode ser determinado pelo seguinte procedimento 1 Forme e escreva os elementos de adjlI A como polinômios fatorados em l 2 Determine dl como o máximo divisor comum de todos os elementos de adjlI A Escolha o coeficiente do termo de maior grau em l de dl como 1 Se não há divisor comum dl 1 3 O polinômio mínimo zl é então dado por lI A dividido por dl Matriz exponencial eAt Na solução de problemas de engenharia de controle normalmente é necessário calcular eAt Se a matriz A for fornecida com todos os seus elementos na forma numé rica o MATLAB fornece uma maneira simples para o cálculo de eAT onde T é uma constante Além dos métodos computacionais inúmeros métodos analíticos estão disponíveis para o cálculo de eAt Apresentaremos três métodos aqui Cálculo de eAt método 1 Se a matriz A pode ser transformada na forma diagonal então eAt pode ser dada por e e e e e 0 0 P P P P t t t t t 1 1 A D n 1 2 j m m m R T S S S SS V X W W W WW 946 onde P é uma matriz que diagonaliza A Para a obtenção da Equação 946 veja o Problema A911 Se a matriz A pode ser transformada na forma canônica de Jordan então eAt pode ser dada por eAt SeJtS 1 onde S é uma matriz de transformação que transforma a matriz A na forma canônica J Como exemplo considere a seguinte matriz A A 0 0 1 1 0 3 0 1 3 H A equação característica é lI A l3 3l2 3l 1 l 13 0 Portanto a matriz A tem um autovalor múltiplo de ordem 3 em l 1 Pode ser mostrado que a matriz A tem um autovetor múltiplo de ordem 3 A matriz de transformação que vai transformar a matriz A na forma canônica de Jordan pode ser dada por S 1 1 1 0 1 2 0 0 1 H A inversa da matriz S é 612 Engenharia de controle moderno S 1 1 1 0 1 2 0 0 1 1 H Então podese verificar que 1 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 1 0 3 0 1 3 1 1 1 0 1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 S AS J 1 H H H H Sabendose que e e te e t e te e 0 0 0 2 1 t t t t t t t 2 J R T S S S SS V X W W W WW encontramos e e e te e t e te e e te t e t e te t e te t e e te t e te t e t e te t e e te t e 1 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 0 2 1 1 1 1 0 1 2 0 0 1 2 1 2 1 2 1 3 2 1 2 1 2 2 1 S S t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A J R T S S S SS R T S S S S SS V X W W W WW V X W W W W WW H H Cálculo de eAt método 2 O segundo método de cálculo de eAt utiliza a abordagem pela trans formada de Laplace Referindose à Equação 936 eAt pode ser dada como segue eAt 1 sI A 1 Então para obter eAt primeiro inverta a matriz sI A Isso resulta em uma matriz cujos ele mentos são funções racionais em s Então considere a transformada inversa de Laplace de cada elemento da matriz Exemplo 97 Considere a seguinte matriz A A 0 0 1 2 G Calcule eAt pela utilização dos dois métodos analíticos apresentados previamente Método 1 Os autovalores de A são 0 e 2 l1 0 l2 2 Uma matriz de transformação necessária P pode ser obtida como P 1 0 1 2 G Então a partir da Equação 946 eAt é obtida como segue e e e e e 1 0 1 2 0 0 1 0 2 1 2 1 1 0 2 1 1 At t t t 0 2 2 2 h R T S S SS V X W W WW G G H 613 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Método 2 Como s s s s s 0 0 0 0 1 2 0 1 2 I A G G G obtemos 2 s s s s s 1 0 2 1 1 I A 1 h h R T S S SS V X W W WW Portanto e s e e 1 0 2 1 1 I A t t t 1 1 2 2 A h h 6 H Cálculo de eAt método 3 O terceiro método é fundamentado no método de interpolação de Sylvester Veja o Problema A912 para obter a fórmula de interpolação de Sylvester Conside raremos primeiro o caso em que as raízes do polinômio mínimo zl de A são distintas A partir disso lidaremos com o caso de raízes múltiplas Caso 1 o polinômio mínimo de A envolve apenas raízes distintas Admitiremos que o grau do polinômio mínimo de A é m Utilizando a fórmula de interpolação de Sylvester podese mostrar que eAt pode ser obtida resolvendose o determinante da seguinte equação 2 e e e e 1 1 1 I A A A 0 m m m m m m m t t t t 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 A m 1 2 h h h g g g g h h m m m m m m m m m m m m 947 Resolvendose a Equação 947 para eAt eAt pode ser obtida em termos de Ak k 0 1 2 m 1 e de elit i 1 2 3 m A Equação 947 pode ser expandida por exemplo em relação à última coluna Note que resolver a Equação 947 é o mesmo que escrever eAt α0tI α1tA α2tA2 αm 1tAm 1 948 e determinar akt para k 0 1 2 m 1 por meio da solução do seguinte conjunto de m equações para o akt t t t t e t t t t e t t t t e t t m t m m m m m 0 1 1 2 1 2 1 1 0 1 2 2 2 2 1 2 0 1 2 2 1 m m m 1 1 1 m 1 2 g g h g a a m a m a m a a m a m a m a a m a m a m m m m h h h h h h h h h h h h Se A é uma matriz n n e possui autovalores distintos então o número de akt a ser determinado é m n Se A contém autovalores múltiplos mas seu polinômio mínimo possui somente raízes simples então o número m de akt a ser determinado é menor do que n Caso 2 o polinômio mínimo de A envolve raízes múltiplas Como um exemplo considere o caso em que o polinômio mínimo de A possui três raízes iguais l1 l2 l3 e possui outras raízes l4 l5 lm todas elas distintas Aplicando a fórmula de interpolação de Sylvester podese mostrar que eAt pode ser obtida a partir da seguinte equação determinante 614 Engenharia de controle moderno 3 2 m m m t e te e e e e 0 0 1 1 1 0 1 1 2 3 3 2 1 2 1 2 I A A A A 0 m m m m m m m m m m t t t t t t 1 4 1 1 2 4 2 2 1 1 2 1 3 4 3 3 1 3 1 2 1 1 4 1 1 1 2 A m 1 1 1 4 h h h h g g g g g g g h h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m h h h 949 A Equação 949 pode ser resolvida em eAt ao expandila em relação à última coluna Devese notar que exatamente como no caso 1 resolver a Equação 949 em eAt é o mesmo que escrever eAt α0tI α1tA α2tA2 αm 1tAm 1 950 e determinar akt para k 0 1 2 m 1 para akt a partir de t t m m t t e t t t m t te t t t t e t t t t e t t t t e 3 2 1 2 2 2 3 1 m m t m m t m m t m m t m m m m m t 2 3 1 1 1 3 2 1 2 1 3 1 2 1 1 2 0 1 1 2 1 2 1 1 1 0 1 4 2 4 2 1 4 1 0 1 2 2 1 1 m 1 1 1 4 g g g g h g a a m a m a a m a m a m a a m a m a m a a m a m a m a a m a m a m m m m m m h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h A extensão é imediata a outros casos em que por exemplo existem dois ou mais conjuntos de raízes múltiplas Note que se o polinômio mínimo de A não for encontrado será possível subs tituir o polinômio característico pelo polinômio mínimo A quantidade de cálculos pode sem dúvida aumentar Exemplo 98 Considere a matriz A 0 0 1 2 G Determine eAt utilizando a fórmula de interpolação de Sylvester A partir da Equação 947 obtemos I A e e e 1 1 0 A t t t 1 2 1 2 m m m m Substituindo 0 para l1 e 2 para l 2 na última equação obtemos I A e e 1 1 0 2 1 0 A t t 2 Expandindo o determinante obtemos 2eAt A 2I Ae 2t 0 615 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados ou 2 e e e e e 2 1 2 1 0 0 1 2 2 0 0 2 0 0 1 2 1 0 2 1 1 A I A t t t t t 2 2 2 2 A h h G G G H 4 Uma abordagem alternativa é utilizar a Equação 948 Determinamos primeiro a0t e a1t a partir de α0t α1tλ1 eλ1t α0t α1tλ2 eλ2t Como l1 0 e l 2 2 as últimas duas equações resultam em α0t 1 α0t 2α1t e 2t Resolvendo para a0t e a1t temos 1 t t e 2 1 1 t 0 1 2 a a h h h Então eAt pode ser escrita como I A I A e t t e e e 2 1 1 1 0 2 1 1 At t t t 0 1 2 2 2 a a h h h h H Vetores linearmente independentes Os vetores x1 x2 xn são ditos linearmente inde pendentes se c1x1 c2x2 cnxn 0 como c1 c2 cn são constantes implica que c1 c2 cn 0 De modo recíproco os vetores x1 x2 xn são ditos linearmente dependentes se e somente se xi puder ser expresso como uma combinação linear de xj j 1 2 n j i ou x c x i j j j i n j 1 para algum conjunto de constantes cj Isso significa que se xi pode ser expresso como uma com binação linear de outros vetores do conjunto ele é linearmente dependente deles ou não é um membro independente do conjunto Exemplo 99 Os vetores x x x 1 2 3 1 0 1 2 2 4 1 2 3 H H H são linearmente dependentes uma vez que x1 x2 x3 0 616 Engenharia de controle moderno Os vetores y y y 1 2 3 1 0 1 2 2 2 1 2 3 H H H são linearmente independentes uma vez que c1y1 c2y2 c3y3 0 implica que c1 c2 c3 0 Note que se uma matriz n n for não singular ou seja que o posto da matriz seja n ou que o determinante seja não nulo então n vetorescoluna ou linha serão linearmente independen tes Se a matriz n n for singular ou seja que o posto da matriz seja menor que n ou que o determinante seja nulo então n vetores coluna ou linha serão linearmente dependentes Para demonstrar isso veja que 1 2 3 1 0 1 2 2 4 1 2 3 1 0 1 2 2 2 singular não singular x x x y y y 1 2 3 1 2 3 6 6 H H 96 Controlabilidade Controlabilidade e observabilidade Um sistema será dito controlável no instante t0 se for possível por meio de um vetor de controle não limitado transferir o sistema de qualquer estado inicial xt0 para qualquer outro estado em um intervalo de tempo finito Um sistema será dito observável no instante t0 se com o sistema no estado xt0 for possível determinar esse estado a partir da observação da saída durante um intervalo de tempo finito Os conceitos de controlabilidade e observabilidade foram introduzidos por Kalman Eles têm papel importante no projeto de sistemas de controle no espaço de estados De fato as con dições de controlabilidade e observabilidade podem ditar a existência de uma solução completa para o problema de projeto do sistema de controle A solução desse problema pode não existir se o sistema considerado é não controlável Embora a maioria dos sistemas físicos seja contro lável e observável os modelos matemáticos correspondentes podem não exibir a propriedade de controlabilidade e observabilidade Então é necessário conhecer as condições nas quais um sistema é controlável e observável Esta seção lida com a controlabilidade e a seção seguinte com observabilidade A seguir determinaremos primeiro a condição para controlabilidade completa de estado A partir disso determinaremos maneiras alternativas da condição para completa controlabilidade de estado seguida por discussões sobre controlabilidade completa da saída Por fim apresentaremos o conceito de estabilizabilidade Controlabilidade completa de estado de sistemas de tempo contínuo Considere o sistema de tempo contínuo ẋ Ax Bu 951 onde x vetor de estado vetor n u sinal de controle escalar A matriz n n B matriz n 1 617 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados O sistema descrito pela Equação 951 será dito de estado controlável em t t0 se for possível construir um sinal de controle não limitado que transfira o sistema de um estado inicial para qualquer estado final em um intervalo de tempo finito t0 t t1 Se todo estado for controlável então o sistema será considerado de estado completamente controlável Determinaremos agora a condição para a controlabilidade completa de estado Sem perda de generalidade podemos supor que o estado final seja a origem do espaço de estados e o instante inicial seja nulo ou t0 0 A solução da Equação 951 é t e e u d 0 x x B t t t 0 A A x x x h h h h Aplicando a definição dada de controlabilidade completa de estado temos t e e u d 0 x 0 x B t t t 1 0 A A 1 1 1 x x x h h h h ou e u d x 0 B t 0 A 1 x x x h h 952 Referindose à Equação 948 ou à Equação 950 eAT pode ser escrita como k e A k k n 0 1 A a x x h 953 Substituindo a Equação 953 na Equação 952 temos k u d x 0 A B k t k n 0 0 1 1 a x x x h h h 954 Vamos colocar u d k t k 0 1 a x x x b h h Então a Equação 954 tornase x 0 A B B AB A B k k k n n n 0 1 1 0 1 1 g h b b b b h R T S S S SS 6 V X W W W WW 955 Se o sistema for de estado completamente controlável então dado qualquer estado inicial x0 a Equação 955 deverá ser satisfeita Isso requer que o posto da matriz n n BABAn 1B seja n A partir dessa análise podemos estabelecer as condições para a controlabilidade completa de estado como segue o sistema dado pela Equação 951 é de estado completamente controlável se e somente se os vetores B AB An 1 B forem linearmente independentes ou a matriz n n BABAn 1B tiver posto n O resultado obtido pode ser estendido ao caso em que o vetor de controle u seja de dimensão r Se o sistema é descrito por ẋ Ax Bu onde u é um vetor de dimensão r então podese provar que a condição para controlabilidade completa de estado é que a matriz n nr 618 Engenharia de controle moderno BABAn 1B tenha posto n ou contenha n vetorescoluna linearmente independentes A matriz BABAn 1B é comumente denominada matriz de controlabilidade Exemplo 910 Considere o sistema dado por x x x x u 1 0 1 1 1 0 1 2 1 2 o o G G G G Como 1 0 1 0 singular B AB 6 G o sistema não é de estado completamente controlável Exemplo 911 Considere o sistema dado por x x x x u 1 2 1 1 0 1 1 2 1 2 o o 6 G G G G Para esse caso 0 1 1 1 não singular B AB 6 G O sistema é portanto de estado completamente controlável Forma alternativa da condição de controlabilidade completa de estado Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu 956 onde x vetor de estado vetor n u vetor de controle vetor r A matriz n n B matriz n r Se os autovetores de A são distintos então é possível encontrar uma matriz de transformação P de modo que 0 0 P AP D n 1 1 2 j m m m R T S S S S SS V X W W W W WW Note que se os autovalores de A são distintos então os autovetores de A são distintos contudo a recíproca não é verdadeira Por exemplo uma matriz real simétrica n n que possui múltiplos autovalores tem n autovetores distintos Note também que cada coluna da matriz P é um autovetor de A associado a li i 1 2 n Vamos definir x Pz 957 Substituindo a Equação 957 na Equação 956 obtemos ż P 1APz P 1Bu 958 Definindo P 1 B F fij 619 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados podemos reescrever a Equação 958 como ż1 λ1z1 f11u1 f12u2 f1r ur ż2 λ2z2 f21u1 f22u2 f2r ur h żn λn zn fn1u1 fn2u2 fnr ur Se os elementos de qualquer linha da matriz F n r são todos nulos então a variável de estado correspondente não pode ser controlada por nenhum dos ui Portanto a condição de controlabili dade completa de estado é que os autovetores de A sejam distintos assim o sistema é de estado completamente controlável se e somente se nenhuma linha de P 1B tiver todos os elementos nulos É importante notar que para aplicar essa condição de controlabilidade completa de estado precisamos colocar a matriz P 1AP da Equação 958 na forma diagonal Se a matriz A na Equação 956 não tiver autovalores distintos então a diagonalização será impossível Nesse caso podemos transformar A na forma canônica de Jordan Se por exemplo A tiver os autovalores l1 l1 l1 l4 l4 l6 ln e tiver n 3 autovalores distintos a forma canônica de Jordan de A será 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 J n 1 1 1 4 4 6 j m m m m m m m R T S S S S S S S S S SS V X W W W W W W W W W WW As submatrizes quadradas na diagonal principal são chamadas blocos de Jordan Suponha que desejamos encontrar a matriz de transformação S de modo que S 1AS J Se definirmos um novo vetor de estado z por x Sz 959 então a substituição da Equação 959 na Equação 956 resulta em ż S 1ASz S 1Bu Jz S 1Bu 960 A condição para controlabilidade completa de estado do sistema da Equação 956 pode ser esta belecida como segue o sistema é de estado completamente controlável se e somente se 1 não houver dois blocos de Jordan na matriz J da Equação 960 associados ao mesmo autovalor 2 os elementos de qualquer linha de S 1B que correspondem à última linha de cada bloco de Jordan não forem todos nulos e 3 os elementos de cada linha de S 1B que correspondem a autovalores distintos não forem todos nulos 620 Engenharia de controle moderno Exemplo 912 Os seguintes sistemas são de estado completamente controlável x x x x u x x x x x x u x x x x x x x x x x u u 1 0 0 2 2 5 1 0 0 1 1 0 0 0 2 0 4 3 2 0 0 0 1 2 0 0 1 2 5 0 0 1 5 0 0 3 0 2 1 0 0 0 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 o o o o o o o o o o R T S S S S S SS R T S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W W WW V X W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W WW G G G G H H H H G Os seguintes sistemas não são de estado completamente controlável x x x x u x x x x x x u u x x x x x x x x x x u 1 0 0 2 2 0 1 0 0 1 1 0 0 0 2 4 0 3 2 0 0 2 0 0 0 1 2 0 0 1 2 5 0 0 1 5 4 2 1 3 0 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 o o o o o o o o o o R T S S S S S SS R T S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W W WW V X W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W WW G G G G H H H H G Condição de controlabilidade completa de estado no plano s A condição de controla bilidade completa de estado pode ser estabelecida em termos de funções de transferência ou de matrizes de transferência Podese provar que uma condição necessária e suficiente para a controlabilidade completa de estado é que não ocorram cancelamentos na função de transferência ou matriz de transferência Se ocorrerem cancelamentos o sistema não poderá ser controlado na direção do modo cancelado Exemplo 913 Considere a seguinte função de transferência U s X s s s s 2 5 1 2 5 h h h h Claramente ocorre o cancelamento do fator s 25 no numerador e no denominador dessa função de transferência Assim um grau de liberdade é perdido Por causa desse cancelamento o sistema não é de estado completamente controlável A mesma conclusão pode ser obtida escrevendose essa função de transferência na forma de uma equação de estado Uma representação no espaço de estados é x x x x u 0 2 5 1 1 5 1 1 1 2 1 2 o o G G G G Uma vez que 1 1 1 1 B AB 6 G o posto da matriz BAB é 1 Então chegamos à mesma conclusão o sistema não é de estado completamente controlável 621 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Controlabilidade de saída No projeto prático de um sistema de controle podemos desejar controlar a saída em vez de controlar o estado do sistema A controlabilidade completa de estado não é necessária nem suficiente para controlar a saída do sistema Por essa razão é desejável definir em separado a controlabilidade de saída Considere o sistema descrito por ẋ Ax Bu 961 y Cx Du 962 onde x vetor de estado vetor n u vetor de controle vetor r y vetor de saída vetor m A matriz n n B matriz n r C matriz m n D matriz m r O sistema descrito pelas equações 961 e 962 será considerado de saída completamente contro lável se for possível construir um vetor de controle ut não limitado que transfira qualquer saída inicial yt0 para qualquer saída final yt1 em um intervalo de tempo finito t0 t t1 Podese provar que a condição de saída é como segue o sistema descrito pelas equações 961 e 962 é de saída completamente controlável se e somente se a matriz m n 1r CBCABCA2BCAn 1BD tiver posto m Para uma prova veja o Problema A916 Note que a presença do termo Du na Equação 962 sempre ajuda a estabelecer a controlabilidade de saída Sistema não controlável Um sistema não controlável possui um subsistema que é fisicamente desconectado da entrada Estabilizabilidade Para sistemas parcialmente controláveis se os modos não controláveis forem estáveis e os modos instáveis forem controláveis o sistema será considerado estabilizável Por exemplo o sistema definido por x x x x u 1 0 0 1 1 0 1 2 1 2 o o G G G G não é de estado controlável O modo estável que corresponde ao autovalor 1 não é controlá vel O modo instável que corresponde ao autovalor 1 é controlável Esse sistema pode ser feito estável pelo uso de uma realimentação apropriada Assim o sistema é estabilizável 97 Observabilidade Nesta seção discutiremos a observabilidade de sistemas lineares Considere o sistema sem excitação descrito pelas seguintes equações ẋ Ax 963 y Cx 964 onde x vetor de controle vetor n y vetor de saída vetor m A matriz n n C matriz m n O sistema será considerado completamente observável se todo estado xt0 puder ser determinado pela observação de yt durante um intervalo de tempo finito t0 t t1 O sistema é portanto 622 Engenharia de controle moderno completamente observável se cada transição do estado puder afetar cada elemento do vetor de saída O conceito de observabilidade é útil na solução de problemas de reconstrução de variá veis de estado não mensuráveis a partir de variáveis mensuráveis no menor intervalo possível de tempo Nesta seção tratamos somente de sistemas lineares e invariantes no tempo Portanto sem perda de generalidade podemos supor que t0 0 O conceito de observabilidade é muito importante porque na prática a dificuldade encon trada com o controle por realimentação de estado é que algumas das variáveis de estado não são acessíveis por medição direta resultando ser necessário estimar a variável de estado não men surável para construir os sinais de controle Será mostrado na Seção 105 que essas estimativas das variáveis de estado são possíveis se e somente se o sistema for completamente observável Na discussão das condições de observabilidade consideramos sistemas sem excitação como mostram as equações 963 e 964 A razão para isso é apresentada a seguir Se um sistema é descrito por ẋ Ax Bu y Cx Du então t e e d 0 x x Bu t t t 0 A A x x x h h h h e yt é t e e d 0 y C x C Bu Du t t t 0 A A x x x h h h h Como as matrizes A B C e D são conhecidas e ut também é conhecido os dois últimos termos do lado direito dessa última equação são quantidades conhecidas Portanto eles podem ser subtraídos do valor observado de yt Consequentemente para investigar uma condição necessária e suficiente para a observabilidade completa é suficiente considerar o sistema descrito pelas equações 963 e 964 Observabilidade completa de sistemas de tempo contínuo Considere o sistema descrito pelas equações 963 e 964 O vetor de saída yt é yt CeAtx0 Referindose à Equação 948 ou à Equação 950 temos k e t A t k k n 0 1 A a h onde n é o grau do polinômio característico Observe que as equações 948 e 950 com m subs tituindo n podem ser deduzidas usandose o polinômio característico Logo obtemos k y CA x t t 0 k k n 0 1 a h h h ou yt α0tCx0 α1tCAx0 αn 1tCAn 1x0 965 Se o sistema é completamente observável então dada a saída yt durante um intervalo de tempo 0 t t1 x0 é unicamente determinado pela Equação 965 Podese mostrar que isso requer que o posto da matriz nm n C CA CAn 1 h R T S S S S SS V X W W W W WW 623 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados seja n Veja o Problema A919 para a obtenção dessa condição A partir dessa análise podemos estabelecer a condição de observabilidade completa a seguir O sistema descrito pelas equações 963 e 964 é completamente observável se e somente se o posto da matriz n nm CACAn 1C for n ou tiver n vetorescoluna linearmente independentes Essa matriz é denominada matriz de observabilidade Exemplo 914 Considere o sistema descrito por x x x x u y x x 1 2 1 1 0 1 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G Esse sistema é controlável e observável Uma vez que o posto da matriz 0 1 1 1 B AB 6 G é 2 o sistema é de estado completamente controlável Para a controlabilidade de saída vamos determinar o posto da matriz CB CAB Uma vez que CBCAB 0 1 o posto desta matriz é 1 Consequentemente o sistema é de saída completamente controlável Para testar a condição de observabilidade examine o posto de C AC Visto que 1 0 1 1 C A C 6 G o posto de CAC é 2 Como consequências o sistema é completamente observável Condição de observabilidade completa no plano s As condições de observabilidade completa também podem ser estabelecidas em termos de funções de transferência ou matrizes de transferência A condição necessária e suficiente para observabilidade completa é que não haja cancelamento na função de transferência ou matriz de transferência Se ocorrerem cancelamentos o modo cancelado não poderá ser observado na saída Exemplo 915 Mostre que o seguinte sistema não é completamente observável ẋ Ax Bu y Cx onde x x x 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 1 4 5 1 x A B C 1 2 3 6 H H H Note que a função de controle u não afeta a observabilidade completa do sistema para examinála podemos simplesmente impor u 0 Para esse sistema temos 4 5 1 6 7 1 6 5 1 C A C A 2 C h R T S S SS 6 V X W W WW 624 Engenharia de controle moderno Note que 0 4 5 1 6 7 1 6 5 1 Logo o posto da matriz CACA2C é menor que 3 Portanto o sistema não é com pletamente observável De fato ocorrem cancelamentos nesse sistema na função de transferência do sistema A função de transferência entre X1s e Us é U s X s s s s 1 2 3 1 1 h h h h h e a função de transferência entre Ys e X1s é X s Y s s 1 s 4 1 h h h h Logo a função de transferência entre a saída Ys e a entrada Us é U s Y s s s s s s 1 2 3 1 4 h h h h h h h Claramente os dois fatores s 1 se cancelam Isso significa que existem estados iniciais x0 não nulos que não podem ser determinados a partir da medição de yt Comentários A função de transferência não possui cancelamentos se e somente se o sistema for de estado completamente controlável e observável Isso significa que a função de transferência que possui cancelamentos não carrega toda a informação que caracteriza a dinâmica do sistema Forma alternativa da condição de observabilidade completa Considere o sistema descrito pelas equações 963 e 964 reescritas como ẋ Ax 966 y Cx 967 Suponha que a matriz de transformação P transforme A em uma matriz diagonal ou P 1AP D onde D é uma matriz diagonalVamos definir x Pz Então as equações 966 e 967 podem ser escritas como ż P 1APz Dz y CPz Logo yt CPeDtz0 ou y CP z CP t e e e e z e z e z 0 0 0 0 0 0 t t t t t t n 1 2 n n 1 2 1 2 j h m m m m m m h h h h h R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW O sistema é completamente observável se nenhuma das colunas da matriz CP m n tiver todos os elementos nulos Isso é porque se a iésima coluna de CP tiver todos os elementos nulos então a variável de estado zi0 não vai aparecer na equação de saída e portanto não pode ser determinada pela observação de yt Assim x0 que é relacionado com z0 por meio da matriz 625 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados não singular P não pode ser determinado Lembrese de que esse teste somente se aplica se a matriz P 1AP estiver na forma diagonal Se a matriz A não puder ser transformada em uma matriz diagonal então com o uso de uma matriz de transformação apropriada S podemos transformar A na forma canônica de Jordan ou S 1AS J onde J é a forma canônica de Jordan Vamos definir x Sz Então as equações 966 e 967 podem ser escritas como ż S 1ASz Jz y CSz Logo yt CSeJtz0 O sistema é completamente observável se 1 não houver dois blocos de Jordan na matriz J asso ciados aos mesmos autovalores 2 não houver colunas de CS correspondentes à primeira linha de cada bloco de Jordan que são constituídas por elementos nulos e 3 não houver colunas de CS correspondentes a autovalores distintos que são formados por elementos nulos Para esclarecer a condição 2 no Exemplo 916 circulamos com linhas tracejadas as colunas de CS que correspondem à primeira linha de cada bloco de Jordan Exemplo 916 Os seguintes sistemas são completamente observáveis x x x x y x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x 1 0 0 2 1 3 2 0 0 1 2 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 2 0 0 0 1 2 0 0 1 2 3 0 0 1 3 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 4 5 o o o o o o o o o o R T S S S S S SS R T S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS 6 V X W W W W W WW V X W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW G G G G H H H G H H G H Os seguintes sistemas não são completamente observáveis x x x x y x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x 1 0 0 2 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 3 4 2 0 0 0 1 2 0 0 1 2 3 0 0 1 3 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 4 5 o o o o o o o o o o R T S S S S S SS R T S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS 6 V X W W W W W WW V X W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW G G G G H H H G H H G H 626 Engenharia de controle moderno Princípio da dualidade Discutiremos agora a relação entre controlabilidade e observabilidade Introduziremos o princípio da dualidade devido a Kalman para esclarecer aparentes analogias entre controlabilidade e observabilidade Considere o sistema S1 descrito por ẋ Ax Bu y Cx onde x vetor de estado vetor n u vetor de controle vetor r y vetor de saída vetor m A matriz n n B matriz n r C matriz m n e o sistema dual S2 definido por ż Az Cv n Bz onde z vetor de estado vetor n v vetor de controle vetor m n vetor de saída vetor r A transposta conjugada de A B transposta conjugada de B C transposta conjugada de C O princípio da dualidade estabelece que o sistema S1 será de estado completamente controlável observável se e somente se o sistema S2 for completamente observável de estado controlável Para verificar esse princípio vamos escrever as condições necessárias e suficientes da con trolabilidade completa de estado e da observabilidade completa para sistemas S1 e S2 Para o sistema S1 1 Uma condição necessária e suficiente para a controlabilidade completa de estado é que o posto da matriz n nr BABAn 1B seja n 2 Uma condição necessária e suficiente para a observabilidade completa é que o posto da matriz n nm CACAn 1C seja n Para o sistema S2 1 Uma condição necessária e suficiente para a observabilidade completa de estado é que o posto da matriz n nm CACAn 1C seja n 2 Uma condição necessária e suficiente para a observabilidade completa é que o posto da matriz n nr BABAn 1B seja n 627 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Comparando essas condições a veracidade do princípio é aparente Com o uso desse princípio a observabilidade de um sistema dado pode ser verificada testandose a controlabilidade de estado do seu dual Detectabilidade Para um sistema parcialmente observável se os modos não observáveis forem estáveis e os modos observáveis forem instáveis o sistema será considerado detectável Note que o conceito de detectabilidade é dual ao conceito de estabilizabilidade Exemplos de problemas com soluções A91 Considere a função de transferência definida pela Equação 92 reescrita como U s Y s s a s a s a b s b s b s b n n n n n n n n 1 1 1 0 1 1 1 g g h h 968 Obtenha a seguinte forma canônica controlável da representação no espaço de estados desta função de transferência x x x x a a a a x x x x u 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n n n n n n 1 2 1 1 2 1 1 2 1 h h h h g g g g h h h o o o o R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W WW 969 y b a b b a b b a b x x x b u n n n n n 0 1 1 0 1 1 0 1 2 0 g h R T S S S SS 6 V X W W W WW 970 Solução A Equação 968 pode ser escrita como U s Y s b s a s a s a b a b s b a b s b a b n n n n n n n n n 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 g g h h h h h que pode ser modificada para Ys b0Us Ŷs 971 onde Y s s a s a s a b a b s b a b s b a b U s n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 g g t h h h h h Vamos reescrever essa última equação da seguinte maneira b a b s b a b s b a b Y s s a s a s a U s Q s n n n n n n n n n 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 g g t h h h h h h A partir dessa última equação as duas equações seguintes podem ser obtidas como snQs a1sn 1Qs an 1sQs anQs Us 972 Ŷs b1 a1b0sn 1Qs bn 1 an 1b0sQs bn anb0Qs 973 Agora defina as variáveis de estado como segue 628 Engenharia de controle moderno X1s Qs X2s sQs h Xn 1s sn 2Qs Xns sn 1Qs Então evidentemente sX1s X2s sX2s X3s h s que pode ser reescrita como ẋ1 x2 ẋ2 x3 h 974 ẋn 1 xn Sabendo que snQs sXns podemos reescrever a Equação 972 como sXns a1 Xns an 1 X2s an X1s Us ou ẋn an x1 an 1 x2 a1xn u 975 Além disso a partir das equações 971 e 973 obtemos Ys b0Us b1 a1b0sn 1Qs bn 1 an 1b0sQs bn anb0Qs b0Us b1 a1b0 Xns bn 1 an 1b0 X2s bn anb0 X1s A transformada inversa de Laplace dessa equação de saída resulta em y bn anb0x1 bn 1 an 1b0x2 b1 a1b0xn b0u 976 Combinando as equações 974 e 975 em uma equação diferencial vetorialmatricial obtemos a Equação 969 A Equação 976 pode ser reescrita na forma da Equação 970 As equações 969 e 970 estão na forma canônica controlável A Figura 91 mostra a representação por diagrama de blocos do sistema definido pelas equações 969 e 970 629 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados A92 Considere a seguinte função de transferência U s Y s s a s a s a b s b s b s b n n n n n n n n 1 1 1 0 1 1 1 g g h h 977 Obtenha a seguinte forma canônica observável da representação por espaço de estados para esta função de transferência x x x a a a x x x b a b b a b b a b u 0 1 0 0 0 0 0 0 1 n n n n n n n n 1 2 1 1 1 2 0 1 1 0 1 1 0 h h h g g g h h h h o o o R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW 978 y x x x x b u 0 0 0 1 n n 1 2 1 0 g h R T S S S S S SS 6 V X W W W W W WW 979 Solução A Equação 977 pode ser alterada para a seguinte forma snYs b0Us sn 1a1Ys b1Us san 1Ys bn 1Us anYs bnUs 0 Dividindo toda a equação por sn e rearranjando obtemos Y s b U s s b U s a Y s s b U s a Y s s b U s a Y s 1 1 1 n n n n n n 0 1 1 1 1 1 g h h h h h h h h 6 6 6 980 Agora defina as variáveis de estado como segue X s s b U s a Y s X s X s s b U s a Y s X s X s s b U s a Y s X s X s s b U s a Y s 1 1 1 1 n n n n n n n n 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 h h h h h h h h h h h h h h h h 6 6 6 6 981 FIGURA 91 b0 y u a1 a2 an1 an xn 1 xn x1 x2 b1 a1b0 b2 a2b0 bn 1 an 1b0 bn anb0 Diagrama de blocos do sistema definido pelas equações 969 e 970 forma canônica controlável 630 Engenharia de controle moderno A Equação 980 pode ser escrita como Ys b0Us Xns 982 Substituindo a Equação 982 na Equação 981 e multiplicando ambos os lados das equações por s obtemos sXns Xn 1s a1Xns b1 a1b0Us sXn 1s Xn 2s a2Xns b2 a2b0Us h sX2s X1s an 1Xns bn 1 an 1b0Us sX1s an Xns bn an b0Us Considerando a transformada inversa de Laplace das n equações precedentes e escrevendoas na ordem reversa obtemos ẋ1 anxn bn an b0u ẋ2 ẋ1 an 1xn bn 1 an 1b0u h ẋn 1 xn 2 a2xn b2 a2b0u ẋn xn 1 a1xn b1 a1b0u Por sua vez a transformada inversa de Laplace da Equação 982 fornece y xn b0u Se as equações de estado e de saída forem reescritas na forma vetorialmatricial padrão obtêmse as equações 978 e 979 A Figura 92 mostra uma representação de blocos do sistema definido pelas equações 978 e 979 FIGURA 92 y u an1 a1 an xn 1 x1 x2 xn b0 bn anb0 bn 1 an 1b0 b1 a1b0 Representação por diagrama de blocos do sistema definido pelas equações 978 e 979 forma canônica observável 631 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados A93 Considere a função de transferência definida por U s Y s s p s p s p b s b s b s b b s p c s p c s p c n n n n n n n 1 2 0 1 1 1 0 1 1 2 2 g g g h h h h h 983 onde pi pj Obtenha a representação por espaço de estados desse sistema na seguinte forma canônica diagonal x x x p p p x x x u 0 0 1 1 1 n n n 1 2 1 2 1 2 h j h h o o o R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW 984 y c c c x x x b u n n 1 2 1 2 0 g h R T S S S SS 6 V X W W W WW 985 Solução A Equação 983 pode ser escrita como Y s b U s s p c U s s p c U s s p c U s n n 0 1 1 2 2 g h h h h h 986 Defina as variáveis de estado como segue X s s p U s X s s p U s X s s p U s 1 1 1 n n 1 1 2 2 h h h h h h h que podem ser reescritas como sX1s p1 X1s Us sX2s p2 X2s Us h sXns pnXns Us A transformada inversa de Laplace dessas equações fornece ẋ1 p1x1 u ẋ2 p2x2 u h 987 ẋn pn xn u Essas n equações compõem uma equação de estado 632 Engenharia de controle moderno Em termos das variáveis de estado X1s X2s Xns a Equação 986 pode ser escrita como Ys b0Us c1 X1s c2 X2s cn Xns A transformada inversa de Laplace dessa última equação é y c1x1 c2x2 cn xn b0u 988 que é a equação de saída A Equação 987 pode ser colocada na forma da equação vetorialmatricial dada pela Equação 984 A Equação 988 pode ser colocada na forma da Equação 985 A Figura 93 mostra uma representação por diagrama de blocos do sistema definido pelas equa ções 984 e 985 Observe que se escolhemos as variáveis de estado como X s s p c U s X s s p c U s X s s p c U s n n n 1 1 1 2 2 2 h t t t h h h h h h então obtemos uma representação por espaço de estados ligeiramente diferente Essa escolha das variáveis de estado fornece sX 1s p1X 1s c1Us sX 2s p2X 2s c2Us h sX ns pn X ns cnUs FIGURA 93 u y xn x2 x1 c2 1 s p2 c1 b0 cn 1 s p1 1 s pn Representação por diagrama de blocos do sistema definido pelas equações 984 e 985 forma canônica diagonal 633 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados a partir da qual obtemos xto 1 p1x 1 c1u xto 2 p2x 2 c2u h 989 xto n pn x n cn u Com referência à Equação 986 a equação de saída resulta em Ys b0Us X 1s X 2 X ns a partir da qual obtemos y x 1 x 2 x n b0u 990 As equações 989 e 990 fornecem a seguinte representação por espaço de estados para o sistema x x x p p p x x x c c c u y x x x b u 0 0 1 1 1 n n n n n 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 h j h h g h to to to t t t t t t R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS 6 V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW A94 Considere o sistema definido por U s Y s s p s p s p s p b s b s b s b n n n n n 1 3 4 5 0 1 1 1 g g h h h h h h 991 e que contém um polo triplo em s p1 Supomos que exceto pelos três primeiros pi que são iguais os outros pi sejam diferentes entre si Obtenha a forma canônica de Jordan da represen tação por espaço de estados desse sistema Solução A expansão em frações parciais da Equação 991 resulta em U s Y s b s p c s p c s p c s p c s p c n n 0 1 3 1 1 2 2 1 3 4 4 g h h h h que pode ser escrita como Y s b U s s p c U s s p c U s s p c U s s p c U s s p c U s n n 0 1 3 1 1 2 2 1 3 4 4 g h h h h h h h h h 992 Defina 634 Engenharia de controle moderno X s s p U s X s s p U s X s s p U s X s s p U s X s s p U s 1 1 1 1 1 n n 1 1 3 2 1 2 3 1 4 4 h h h h h h h h h h h h h Note que existe a seguinte relação entre X1s X2s e X3s X s X s s p X s X s s p 1 1 2 1 1 3 2 1 h h h h Então a partir da definição anterior das variáveis de estado e das relações precedentes obtemos sX1s p1 X1s X2s sX2s p1 X2s X3s sX3s p1 X3s Us sX4s p4 X4s Us h sXns pn Xns Us A transformada inversa de Laplace das n equações precedentes fornece ẋ1 p1x1 x2 ẋ2 p1x2 x3 ẋ3 p1x3 u ẋ4 p4x4 u h ẋn pn xn u A equação de saída Equação 992 pode ser reescrita como Ys b0Us c1 X1s c2 X2s c3 X3s c4 X4s cn Xns A transformada inversa de Laplace dessa equação de saída é y c1x1 c2x2 c3x3 c4x4 cn xn b0u 635 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Desse modo a representação por espaço de estados do sistema para o caso em que o polinômio do denominador envolve uma raiz tripla em p1 pode ser dado como segue x x x x x p p p p p x x x x x u 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 n n n 1 2 3 4 1 1 1 4 1 2 3 4 h h g g h h g g j h h h o o o o o R T S S S S S S SS R T S S S S S S SS R T S S S S S S SS R T S S S S S S SS V X W W W W W W WW V X W W W W W W WW V X W W W W W W WW V X W W W W W W WW 993 y c c c x x x b u n n 1 2 1 2 0 g h R T S S S SS 6 V X W W W WW 994 A representação por espaço de estados no formato dado pelas equações 993 e 994 está na forma canônica de Jordan A Figura 94 mostra uma representação por diagrama de blocos do sistema dado pelas equações 993 e 994 A95 Considere a função de transferência U s Y s s s s s 5 03247 25 1026 5 008 25 04 5 008 3 2 h h Obtenha uma representação por espaço de estados desse sistema com o MATLAB Solução O comando em MATLAB ABCD tf2ssnumden produzirá uma representação por espaço de estados do sistema Veja o Programa 94 em MATLAB FIGURA 94 y u c1 1 s p1 1 s p1 1 s p1 c4 1 s p4 c2 c3 x3 x4 xn x2 x1 b0 cn 1 s pn Representação por diagrama de blocos do sistema definido pelas equações 993 e 994 forma canônica de Jordan 636 Engenharia de controle moderno Programa 94 em MATLAB num 2504 5008 den 1 503247 251026 5008 ABCD tf2ssnumden A 50325 251026 50080 10000 0 0 0 10000 0 B 1 0 0 C 0 250400 50080 D 0 Esta é a representação em MATLAB das seguintes equações de estados x x x x x x u y x x x u 5 0325 1 0 25 1026 0 1 5 008 0 0 1 0 0 0 25 04 5 008 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 6 H H H H H A96 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu onde x vetor de estado vetor n u vetor de controle vetor r A matriz constante n n B matriz constante n r Obtenha a resposta do sistema a cada uma das seguintes entradas a Os r componentes de u são funções impulso de vários valores b Os r componentes de u são funções degrau de vários valores c Os r componentes de u são funções rampa de vários valores Solução a Resposta ao impulso com referência à Equação 943 a solução da equação de estado dada é t e t e d x x Bu t t t t t 0 A A 0 0 x x x h h h h h Substituindo t0 0 dentro dessa solução obtemos t e e d 0 x x Bu t t t A A 0 x x x h h h h Vamos escrever a entrada impulso ut como ut δtw 637 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados onde w é um vetor cujos componentes são os valores das r funções impulso aplicados em t 0 A solução da equação de estado quando a entrada ao impulso dtw é fornecida em t 0 é t e e d e e 0 0 x x B w x Bw t t t t t 0 A A A A d x x x h h h h h 995 b Resposta ao degrau vamos escrever a entrada ao degrau ut como ut k onde k é um vetor cujos componentes são os valores das r funções degrau aplicados em t 0 A solução para a entrada ao degrau em t 0 é dada por t e e d e e d e e t t t 0 0 2 0 2 3 x x Bk x I A A Bk x I A A Bk t t t t t t t t 0 2 2 0 2 2 3 A A A A A A g g x x x x x c c h h h m h m h E Se A é não singular então essa última equação pode ser simplificada resultando em xt eAtx0 eAt A 1eAt I Bk eAtx0 A 1eAt I Bk 996 c Resposta à rampa vamos escrever a entrada em rampa ut como ut tv onde v é um vetor cujos componentes são os valores das funções rampa aplicados em t 0 A solução para a entrada em rampa tv fornecida em t 0 é 2 3 4 t e e d e e e d e e t t t t 0 0 0 2 3 4 5 x x B v x Bv x I A A A Bv t t t t t t t t 0 0 2 3 2 4 3 5 A A A A A A A g x x x x x x c h h h h m h Se A é não singular então essa última equação pode ser simplificada resultando em xt eAtx0 A 2eAt I At Bv eAtx0 A 2eAt I A 1t Bv 997 A97 Obtenha a reposta yt do seguinte sistema x x x x u x x y x x 1 1 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 2 1 2 1 2 o o h h 6 G G G G G G G onde ut é uma entrada ao degrau unitário que ocorre em t 0 ou ut 1t Solução Para esse sistema 1 1 0 5 0 0 5 0 A B G G A matriz de transição de estado Ut eAt pode ser obtida como segue 638 Engenharia de controle moderno Ut eAt 1sI A 1 Como s s s s s s s s s s s s s 1 1 0 5 0 5 1 1 0 5 1 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 1 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 I A 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 h h h h h R T S S S SS V X W W W WW H H temos cos sen sen sen cos sen t e s e t t e t e t e t t 0 5 0 5 2 0 5 0 5 0 5 0 5 I A t t t t t 1 1 0 5 0 5 0 5 0 5 A U h h h h 6 G Uma vez que x0 0 e k 1 com referência à Equação 996 temos cos sen sen sen cos sen t e e k e e t t e t e t e t t 0 0 2 1 2 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 1 x x A I B A I B t t t t t t t 1 1 0 5 0 5 0 5 0 5 A A A h h h h h h H G H Logo a saída yt pode ser dada por sen05 y t x x x e t 1 0 t 1 2 1 0 5 h 6 G A98 O teorema de CayleyHamilton estabelece que toda matriz A n n satisfaz sua própria equação característica No entanto a equação característica não é necessariamente a equação escalar de mínimo grau que A satisfaz O polinômio de grau mínimo que tem A como uma raiz é denomi nado polinômio mínimo Ou seja o polinômio mínimo de uma matriz A n n é definido como o polinômio zl de grau mínimo zλ λm a1λm 1 am 1 λ am m n tal que zA 0 ou zA Am a1Am 1 am 1 A am I 0 O polinômio mínimo tem papel importante na solução de polinômios de uma matriz n n Vamos supor que dl um polinômio em l seja o máximo divisor comum de todos os elementos de adjlI A Mostre que se o coeficiente do termo de mais alto grau em l de dl for escolhido como 1 então o polinômio mínimo zl será dado por d I A z m m m h h Solução Por hipótese o máximo divisor comum da matriz adjlI A é dl Consequentemente adjλI A dλ B λ onde o máximo divisor comum dos n2 elementos que são funções de l de Bl é unitário Como λI A adjλI A λI A I 639 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados obtemos dλ λI A Bλ λI A I 998 a partir da qual determinamos que lI A é divisível por dlVamos colocar λI A dλ ψλ 999 Uma vez que o coeficiente do termo de mais alto grau em termos de l do dl foi escolhido como 1 o coeficiente de mais alto grau em termos de l do yl também é 1 A partir das equa ções 998 e 999 temos λI A Bλ ψλI Logo ψA 0 Note que yl pode ser escrita como ψλ gλzλ αλ onde al é de um grau menor que zl Como yA 0 e zA 0 precisamos ter aA 0 Além disso como zl é o polinômio mínimo al precisa ser identicamente nulo ou ψλ gλzλ Note que como zA 0 podemos escrever zλI λI A Cλ Logo ψλI gλzλI gλλI A Cλ Observando que λI A Bλ ψλI obtemos Bλ gλCλ Como o máximo divisor comum dos n2 elementos de Bl é unitário temos gλ 1 Consequentemente ψλ zλ Então a partir dessa última equação e da Equação 999 obtemos d I A z m m m h h A99 Se uma matriz A n n possui n autovalores distintos então o polinômio mínimo de A é idêntico ao polinômio característico Além disso se os autovalores múltiplos de A estão ligados em uma cadeia de Jordan o polinômio mínimo e o polinômio característico são idênticos Entretanto se os autovalores múltiplos de A não forem ligados em uma cadeia de Jordan o polinômio mínimo é de grau menor que o do polinômio característico Usando as seguintes matrizes A e B como exemplos comprove as declarações precedentes com relação ao polinômio mínimo quando autovalores múltiplos estiverem envolvidos 2 0 0 1 2 3 4 0 1 2 0 0 0 2 3 0 0 1 A B H H Solução Primeiro considere a matriz A O polinômio característico é dado por I A 2 0 0 1 2 3 4 0 1 2 1 2 m m m m m m h h H Logo os autovalores de A são 2 2 e 1 Podese mostrar que a forma canônica de Jordan de A é 640 Engenharia de controle moderno 2 0 0 1 2 0 0 0 1 H e que os autovalores múltiplos são ligados em uma cadeia de Jordan como é mostrado Para determinar o polinômio mínimo vamos obter primeiro adjlI A Ela é dada por adj 2 1 0 0 11 2 1 3 2 4 2 0 2 I A 2 m m m m m m m m m h h h h h h h h h H Observe que não existe divisor comum de todos os elementos de adjlI A Consequentemente dl 1 Portanto o polinômio mínimo zl é idêntico ao polinômio característico ou zλ λI A λ 22λ 1 λ3 5λ2 8λ 4 Cálculos simples provam que 5 8 4 8 0 0 72 8 21 28 0 1 5 4 0 0 16 4 9 12 0 1 8 2 0 0 1 2 3 4 0 1 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A I 0 3 2 H H H H H mas 3 2 4 0 0 16 4 9 12 0 1 3 2 0 0 1 2 3 4 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 13 0 0 0 0 0 A A I 0 2 H H H H Portanto mostramos que o polinômio mínimo e o polinômio característico da matriz A são os mesmos Em seguida considere a matriz B O polinômio característico é dado por 2 0 0 0 2 3 0 0 1 2 1 I B 2 m m m m m m h h Cálculos simples revelam que a matriz B tem três autovetores e que a forma canônica de Jordan de B é dada por 2 0 0 0 2 0 0 0 1 H Portanto os autovalores múltiplos não são ligados Para obter o polinômio mínimo calculamos primeiro adjlI B adj 2 1 0 0 0 2 1 3 2 0 0 2 I B 2 m m m m m m m h h h h h h h H 641 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados A partir do qual é evidente que dλ λ 2 Portanto 3 2 d 2 2 1 I B 2 2 z m m m m m m m m h h h h Como uma verificação vamos calcular zB 3 2 3 2 4 0 0 0 4 9 0 0 1 2 0 0 0 2 3 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 B B B I 0 2 z h H H H H Para a matriz B dada o grau do polinômio mínimo é menor em uma unidade que o grau do poli nômio característico Como mostrado aqui se os autovalores múltiplos de uma matriz n n não estão ligados em uma cadeia de Jordan o polinômio mínimo é de grau menor que o do polinômio característico A910 Mostre que com o uso do polinômio mínimo a inversa de uma matriz A não singular pode ser expressa como um polinômio em A com coeficientes escalares como segue a a a a 1 A A A A I m m m m m 1 1 1 2 2 1 g h 9100 onde a1 a2 am são coeficientes do polinômio mínimo zλ λm a1λm 1 am 1λ am Em seguida obtenha a inversa da seguinte matriz A A 1 3 1 2 1 0 0 2 3 H Solução Para uma matriz A não singular seu polinômio mínimo zA pode ser escrito como z A Am a1Am 1 am 1A amI 0 onde am 0 Portanto a a a a 1 I A A A A m m m m m 1 1 2 2 1 g h Prémultiplicando por A 1 obtemos a a a a 1 A A A A I m m m m m 1 1 1 2 2 1 g h que é a Equação 9100 Para a matriz A fornecida adjlI A pode ser dada por adj 4 3 3 7 1 2 6 2 3 2 4 2 2 7 I A 2 2 2 m m m m m m m m m m h H Claramente não há divisor comum dl para todos os elementos de adjlI A Portanto dl 1 Consequentemente o polinômio mínimo zl é dado por d I A I A z m m m m h h Assim o polinômio mínimo zl é o mesmo que o polinômio característico Como o polinômio característico é lI A λ3 3λ2 7λ 17 642 Engenharia de controle moderno obtemos zλ λ3 3λ2 7λ 17 Identificando os coeficientes ai do polinômio mínimo que nesse caso é o mesmo que o poli nômio característico temos a1 3 a2 7 a3 17 A inversa de A pode ser obtida a partir da Equação 9100 como segue a a a 1 17 1 3 7 17 1 7 2 2 0 7 2 4 8 9 3 1 3 1 2 1 0 0 2 3 7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 17 1 3 7 1 6 3 2 4 2 7 17 3 17 7 17 1 17 6 17 3 17 2 17 4 17 2 17 7 A A A I A A I 1 3 2 1 2 2 h h R T S S SS R T S S SS R T S S SS R T S S SS R T S S S S S SS V X W W WW V X W W WW V X W W WW V X W W WW V X W W W W W WW Z a bb bb A911 Mostre que se a matriz A pode ser diagonalizada então eAt PeDtP 1 onde P é uma matriz de transformação diagonalizante que transforma A em uma matriz diagonal Ou P 1AP D onde D é a matriz diagonal Mostre também que se a matriz A pode ser transformada na forma canônica de Jordan então eAt SeJtS 1 onde S é a matriz de transformação que transforma A para a forma canônica de Jordan J ou S 1AS J Solução Considere a equação de estado ẋ Ax Se uma matriz quadrada pode ser diagonalizada então existe uma matriz diagonalizante matriz de transformação que pode ser obtida por um métodopadrão Seja P a matriz diagonalizante de A Vamos definir x Px Então xto P 1APx Dx onde D é uma matriz diagonal A solução dessa última equação é x t eDtx 0 Portanto xt Px t PeDtP 1x0 Notando que xt também pode ser dada pela equação xt eAtx0 obtemos eAt PeDtP 1 ou 643 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados e e e e e 0 0 P P P P t t t t t 1 1 A D n 1 2 j m m m R T S S S SS V X W W W WW 9101 Em seguida consideraremos o caso em que a matriz A pode ser transformada na forma canônica de Jordan Considere novamente a equação de estado ẋ Ax Primeiro obtenha uma matriz de transformação S que vai transformar a matriz A na forma canô nica de Jordan de modo que S 1AS J onde J é a matriz na forma canônica de Jordan Agora defina x Sx Então xto S 1ASx Jx A solução dessa última equação é x t eJtx 0 Portanto xt Sx t SeJtS 1x0 Uma vez que a solução xt também pode ser dada pela equação xt eAtx0 obtemos eAt SeJtS 1 Note que eJt é uma matriz triangular o que significa que os elementos abaixo ou acima depen dendo do caso da linha diagonal principal são nulos cujos elementos são elt telt 2 1 t2elt e assim por diante Por exemplo se a matriz J tiver a seguinte forma canônica de Jordan 0 0 1 0 0 1 J 1 1 1 m m m R T S S SS V X W W WW então e e te e t e te e 0 0 0 2 1 Jt t t t t t t 2 1 1 1 1 1 1 m m m m m m R T S S S SS V X W W W WW De maneira semelhante se 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 J 1 1 1 4 4 6 7 m m m m m m m R T S S S S S S S S SS V X W W W W W W W W WW 644 Engenharia de controle moderno então e e te e t e te e e te e e e 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 t t t t t t t t t t t t 2 J 1 1 1 1 1 1 4 4 4 6 7 m m m m m m m m m m m R T S S S S S S S S SS V X W W W W W W W W WW A912 Considere o seguinte polinômio em l de grau m 1 supondo que l1 l2 lm sejam distintos pk k k k k k k m k k m 1 1 1 1 1 1 g g g g m m m m m m m m m m m m m m m m m h h h h h h h h h onde k 1 2 m Observe que p i k i k 1 0 se se k i m h Então o polinômio fl de grau m 1 f f p f k k m k k k m k k k k k k m k k m 1 1 1 1 1 1 1 1 g g g g m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m h h h h h h h h h h h h considera os valores de f lk nos pontos lk Essa última equação é comumente denominada fór mula de interpolação de Lagrange O polinômio f l de grau m 1 é determinado a partir dos m dados independentes f l1 f l2 f lm Ou seja o polinômio f lpassa pelos m pontos f l1 f l2 f lm Como f l é um polinômio de grau m 1 ele é unicamente determinado Quaisquer outras representações do polinômio de grau m 1 podem ser reduzidas ao polinômio f l de Lagrange Ao supor que os autovalores de uma matriz A n n sejam distintos substitua A por l no poli nômio pkl Obtemos então A A I A I A I A I pk k k k k k k m k k m 1 1 1 1 1 1 g g g g m m m m m m m m m m m m h h h h h h h h h Observe que pkA é um polinômio em A de grau m 1Veja também que p i k i k se se I I 0 k i m h Agora defina f f p f A A A I A I A I A I k k m k k k m k k k k k k m k k m 1 1 1 1 1 1 1 1 g g g g m m m m m m m m m m m m m m h h h h h h h h h h h h 9102 645 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados A Equação 9102 é conhecida como fórmula de interpolação de Sylvester A Equação 9102 é equivalente à seguinte equação f f f f 1 1 1 I A A A A 0 m m m m m m m m 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 h h g g g g g h h m m m m m m m m m m m m h h h h 9103 As equações 9102 e 9103 são frequentemente utilizadas na determinação de funções fA da matriz A por exemplo lI A 1 eAt e assim por diante Note que a Equação 9103 também pode ser escrita como 2 f f f f 1 1 1 I A A A A 0 m m m m m m m m 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 h h h g g g g h h m m m m m m m m m m m m h h h h 9104 Mostre que as equações 9102 e 9103 são equivalentes Para simplificar os argumentos suponha que m 4 Solução A Equação 9103 onde m 4 pode ser expandida como segue 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 f f f f f f f f f f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I A A A A A I A A A I A A A I A A A I A A A 1 1 2 1 3 1 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 3 3 4 4 2 4 3 4 1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 4 4 2 4 3 4 1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 4 4 2 4 3 2 1 1 2 1 3 3 3 2 3 3 4 4 2 4 3 1 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 4 4 2 4 3 m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m D h h h h h h h h h h Como 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 4 4 2 4 3 4 3 4 2 4 1 3 2 3 1 2 1 m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m h h h h h h e 2 3 I A A A A I A I A I 1 1 1 i i i j j j k k k k j i k j k i j i 2 3 2 3 2 3 m m m m m m m m m m m m m m m m m m h h h h h h 646 Engenharia de controle moderno obtemos Δ fAλ4 λ3λ4 λ2λ4 λ1λ3 λ2λ3 λ1λ2 λ1 fλ4A λ3IA λ2IA λ1Iλ3 λ2λ3 λ1λ2 λ1 fλ3A λ4IA λ2IA λ1Iλ4 λ2λ4 λ1λ2 λ1 fλ2A λ4IA λ3IA λ1Iλ4 λ3λ4 λ1λ3 λ1 fλ1A λ4IA λ3IA λ2Iλ4 λ3λ4 λ2λ3 λ2 0 Resolvendo essa última equação para fA obtemos f f f f f f A A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I k k m k k k k k k m k k m 1 1 2 1 3 1 4 2 3 4 2 2 1 2 3 2 4 1 3 4 3 3 1 3 2 3 4 1 2 4 4 4 1 4 2 4 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 g g g m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h onde m 4 Dessa maneira mostramos a equivalência das equações 9102 e 9103 Apesar de supormos que m 4 todo o argumento pode ser estendido para um m inteiro positivo e arbitrá rio Para o caso em que a matriz A envolve múltiplos autovalores consulte o Problema A913 A913 Considere a fórmula de interpolação de Sylvester na forma dada pela Equação 9104 2 f f f f 1 1 1 I A A A A 0 m m m m m m m m 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 h h h g g g g h h m m m m m m m m m m m m h h h h Essa fórmula de determinação de fA se aplica ao caso em que o polinômio mínimo de A envolve somente raízes distintas Suponha que o polinômio mínimo de A envolva raízes múltiplas Então as linhas no determi nante que correspondem às raízes múltiplas tornamse idênticas Portanto uma modificação do determinante na Equação 9104 se torna necessária Modifique a maneira da fórmula de interpolação de Sylvester dada pela Equação 9104 para o caso em que o polinômio mínimo de A envolve raízes múltiplas Para obter uma equação deter minante modificada suponha que existam três raízes iguais l1 l2 l3 no polinômio mínimo de A e outras raízes l4 l5 lm que sejam distintas Solução Uma vez que o polinômio mínimo de A envolve três raízes iguais o polinômio mínimo zl pode ser escrito como zλ λm a1λm 1 am 1λ am λ λ13λ λ4λ λ5 λ λ m Uma função arbitrária fA de uma matriz A n n pode ser escrita como fA gAzA αA onde o polinômio mínimo zA é de grau m e aA é um polinômio em A de grau m 1 ou menor Consequentemente temos fλ gλzλ αλ onde al é um polinômio em l de grau m 1 ou menor que pode então ser escrito como αλ α0 α1λ α2λ2 αm 1λm 1 9105 647 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados No presente caso temos f λ gλzλ αλ gλλ λ13λ λ4 λ λm αλ 9106 Substituindo l1 l4 lm por l na Equação 9106 obtemos as seguintes equações m 2 fλ1 αλ1 fλ4 αλ4 h 9107 f λm αλm Diferenciando a Equação 9106 em relação a l obtemos d d f h d d 1 2 m m m m m m a m h h h h 9108 onde h d d g m 1 2 1 3 4 g m m m m m m m m m m m h h h h h h 6 A substituição de l1 por l na Equação 9108 fornece d d f f d d 1 1 1 m m m m a m m m m m l h h h Com relação à Equação 9105 essa última equação resulta em fλ1 α1 2α2λ1 m 1αm 1λ1 m 2 9109 Da mesma maneira diferenciando a Equação 9106 duas vezes em relação a l e substituindo l1 por l obtemos d d f f d d 2 2 1 2 2 1 1 m m m m a m m m m m h h h Essa última equação pode ser escrita como f λ1 2α2 6α3λ1 m 1m 2αm 1λ1 m 3 9110 Reescrevendo as equações 9110 9109 e 9107 obtemos m m f m f f f f 3 2 1 2 2 2 1 m m m m m m m m m m m m m m 2 3 1 1 1 3 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 1 2 1 2 1 1 1 1 0 1 4 2 4 2 1 4 1 4 0 1 2 2 1 1 g g g g h g a a m a m m a a m a m m a a m a m a m m a a m a m a m m a a m a m a m m l h h h h h h h h 9111 Essas m equações simultâneas determinam os valores de ak onde k 0 1 2 p m 1 Sabendo que zA 0 por ser um polinômio mínimo chegamos a uma fA como segue f A gAzA αA αA Consequentemente com relação à Equação 9105 temos fA αA α0I α1A α2A2 αm 1Am 1 9112 648 Engenharia de controle moderno onde os valores de ak são dados em termos de fl1 f l1 f l1 fl4 fl5 flm Em termos da equação determinante fA pode ser obtida resolvendose a seguinte equação m m m f f f f f f 0 0 1 1 1 0 1 1 2 3 3 2 1 2 1 2 I A A A A A 0 m m m m m m m m m m m 1 4 1 1 2 4 2 2 2 1 1 2 1 3 4 3 3 3 1 3 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 1 4 h h h h g g g g g g h h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m l h h h h h h h h h 9113 A Equação 9113 mostra as modificações desejadas na forma do determinante Essa equação forne ce a forma da fórmula de interpolação de Sylvester quando o polinômio mínimo de A envolve três raízes iguais A modificação necessária na forma do determinante para outros casos é imediata A914 Usando a fórmula de interpolação de Sylvester determine eAt onde A 2 0 0 1 2 3 4 0 1 H Solução Com relação ao Problema A99 o polinômio característico e o polinômio mínimo são os mesmos para esta A O polinômio mínimo polinômio característico é dado por zλ λ 22λ 1 Note que l1 l2 2 e l3 1 Com relação à Equação 9112 e sabendose que fA neste problema é eAt temos eAt α0tI α1tA α2tA2 onde a0t a1t e a2t são determinados pelas equações α1t 2α2tλ1 teλ1t α0t α1tλ1 α2tλ2 1 eλ1t α0t α1tλ3 α2tλ2 3 eλ3t Substituindo l1 2 e l3 1 nessas três equações temos α1t 4α2t te2t α0t 2α1t 4α2t e2t α0t α1t α2t et Resolvendo para a0t a1t e a2t obtemos α0t 4et 3e2t 2te2t α1t 4et 4e2t 3te2t α2t et e2t te2t 649 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Portanto e e e te e e te e e te e e e te e e e e e e 4 3 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 4 3 2 0 0 1 2 3 4 0 1 4 0 0 16 4 9 12 0 1 0 0 12 12 13 3 3 4 4 0 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A h h h H H H H A915 Mostre que o sistema descrito por ẋ Ax Bu 9114 y Cx 9115 onde x vetor de estado vetor n u vetor de controle vetor r y vetor de saída vetor m m n A matriz n n B matriz n r C matriz m n é de saída completamente controlável se e somente se a matriz composta P m nr onde P CBCABCA2BCAn 1B tiver posto m Observe que a controlabilidade completa de estado não é necessária nem suficiente para a controlabilidade completa de saída Solução Suponha que o sistema seja de saída controlável e a saída yt partindo de qualquer saída inicial y0 possa ser transferida para a origem do espaço de saída em um intervalo de tempo finito 0 t T Ou seja yT CxT 0 9116 Como a solução da Equação 9114 é t e e d 0 x x Bu t t 0 A A x x x h h h E em t T temos T e e d 0 x x Bu T T 0 A A x x x h h h E 9117 Substituindo a Equação 9117 na Equação 9118 obtemos T T e e d 0 y Cx C x Bu 0 T T 0 A A x x x h h h h E 9118 Por outro lado y0 Cx0 Veja que a controlabilidade completa de saída significa que o vetor Cx0 gera o espaço de saída de dimensão m Como eAT é não singular se Cx0 gera o espaço de saída de dimensão m então CeATx0 também o fará e viceversa A partir da Equação 9120 obtemos e e e d e T d 0 C x C Bu C Bu T T T T 0 0 A A A A x x x x x x h h h 650 Engenharia de controle moderno Note que 0 T eAτBu T τ dτ pode ser expressa como a soma de AiBj ou seja e T d Bu A B T i j i j j r i p 0 1 0 1 A x x c x h onde u T d escalar i j i j T 0 c a x x x h h e ait satisfaz A eA i i p i 0 1 a x x h p grau do polinômio mínimo de A e Bj é jésima coluna de B Portanto podemos escrever CeATx0 como e 0 C x CA B T i j j r i p i j 1 0 1 A c h A partir dessa última equação vemos que CeATx0 é uma combinação linear de CAiBj i 0 1 2 p 1 j 1 2 r Note que se o posto de Q onde Q CBCABCA2BCAp 1B p n for m então o posto de P também será m e viceversa Isso é óbvio se p n Se p n então CAhBj onde p h n 1 são linearmente dependentes de CBj CABj CAp 1Bj Consequentemente o posto de P é igual ao posto de Q Se o posto de P for m então CeATx0 gera o espaço de saída de dimensão m Isso significa que o posto de P é m então Cx0 também gera o espaço de saída de dimensão m e o sistema é de saída completamente controlável Reciprocamente suponha que o sistema seja de saída completamente controlável mas que o posto de P seja k onde k m Então o conjunto de todas as saídas iniciais que podem ser trans feridas para a origem é do espaço de dimensão k Consequentemente a dimensão desse conjunto é menor que m Isso contradiz a hipótese de que o sistema é de saída completamente controlável Isso completa a prova Note que se pode provar imediatamente que no sistema das equações 9114 e 9115 a contro labilidade completa de estado para 0 t T implica a controlabilidade completa de saída para 0 t T se e somente se m linhas de C forem linearmente independentes A916 Discuta a controlabilidade de estado do seguinte sistema x x x x u 3 2 1 1 5 1 4 1 2 1 2 o o G G G G 9119 Solução Para esse sistema 3 2 1 1 5 1 4 A B G G Como 3 2 1 1 5 1 4 1 4 AB G G G vemos que os vetores B e AB não são linearmente independentes e o posto da matriz BAB é 1 Portanto o sistema não é de estado completamente controlável De fato a eliminação de x2 da Equação 9119 ou as seguintes equações simultâneas ẋ1 3x1 x2 u ẋ2 2x1 15x2 4u levam a 651 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados ẍ1 15ẋ1 25x1 u 25u ou na forma de uma função de transferência U s X s s s s 2 5 1 2 5 1 h h h h Note que o cancelamento do fator s 25 ocorre no numerador e no denominador da função de transferência Por causa desse cancelamento esse sistema não é de estado completamente controlável Este é um sistema instável Lembrese de que estabilidade e controlabilidade são coisas bem diferentes Existem muitos sistemas que são instáveis mas que são de estado com pletamente controlável A917 Uma representação no espaço de estados de um sistema na forma canônica controlável é dada por x x x x u 0 0 4 1 1 3 0 1 1 2 1 2 o o G G G G 9120 y x x 0 8 1 1 2 6 G 9121 O mesmo sistema pode ser representado pela seguinte equação no espaço de estados que está na forma canônica observável x x x x u 0 1 0 4 1 3 0 8 1 1 2 1 2 o o G G G G 9122 y x x 0 1 1 2 6 G 9123 Mostre que a representação no espaço de estados dada pelas equações 9120 e 9121 fornece um sistema que é de estado controlável porém não é observável Mostre por outro lado que a representação no espaço de estados definida pelas equações 9122 e 9123 fornece um sistema que não é de estado completamente controlável porém é observável Explique o que causa a aparente diferença na controlabilidade e observabilidade do mesmo sistema Solução Considere o sistema definido pelas equações 9120 e 9121 O posto da matriz de controlabilidade 0 1 1 1 3 B AB 6 G é 2 Portanto o sistema é de estado completamente controlável O posto da matriz de observa bilidade 0 8 1 0 4 0 5 C A C 6 G é 1 Portanto o sistema não é observável Em seguida considere o sistema definido pelas equações 9122 e 9123 O posto da matriz de controlabilidade 0 8 1 0 4 0 5 B AB 6 G é 1 Portanto o sistema não é de estado completamente controlável O posto da matriz de obser vabilidade 0 1 1 1 3 C A C 6 G é 2 Portanto o sistema é observável 652 Engenharia de controle moderno A aparente diferença na controlabilidade e observabilidade do mesmo sistema é causada pelo fato de que o sistema original apresenta cancelamentos de polos e zeros na função de transferência Com relação à Equação 229 para D 0 temos Gs CsI A 1B Se utilizarmos as equações 9120 e 9121 então G s s s s s s s s s s 0 8 1 0 4 1 1 3 0 1 1 3 0 4 1 0 8 1 1 3 0 4 1 0 1 0 8 0 5 0 8 1 2 h h h 6 6 G G G G Note que a mesma função de transferência pode ser obtida por meio das equações 9122 e 9123 Claramente ocorre um cancelamento nessa função de transferência Se um cancelamento de polos e zeros ocorre na função de transferência então a controlabilidade e observabilidade variam dependendo de como as variáveis de estado são escolhidas Lembrese de que para ser de estado completamente controlável e observável a função de transferência não pode ter qualquer cancelamento de polos e zeros A918 Prove que o sistema definido por ẋ Ax y Cx onde x vetor de estado vetor n y vetor de saída vetor m m n A matriz n n C matriz m n é completamente observável se e somente se a matriz composta P mn n onde P C CA CAn 1 h R T S S S SS V X W W W WW tiver posto n Solução Obteremos primeiro a condição necessária Suponha que posto P n Então existe x0 de modo que Px0 0 ou 0 0 0 0 0 Px C CA CA x Cx CAx CA x 0 n n 1 1 h h h h h h h R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW Consequentemente obtemos para certo x0 CAix0 0 para i 0 1 2 n 1 Note que a partir da Equação 948 ou 950 temos eAt α0tI α1tA α2tA2 αm 1tAm 1 653 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados onde mm n é o grau do polinômio mínimo de A Portanto para certo x0 temos CeAtx0 Cα0tI α1tA α2tA2 αm 1tAm 1x0 0 Consequentemente para certo x0 yt Cxt CeAt x0 0 implicando que para certo x0 x0 não pode ser determinado a partir de yt Consequentemente o posto da matriz P precisa ser igual a n Em seguida obteremos a condição suficiente Suponha que o posto de P n Como yt CeAt x0 prémultiplicando ambos os lados dessa última equação por eAt C obtemos eAt Cyt eAt CCeAt x0 Se integrarmos essa última equação de 0 a t obtemos e t dt e e 0 dt C y C C x t t t t t 0 0 A A A h h 9124 Note que o lado esquerdo dessa equação é uma quantidade conhecida Defina t e t dt quantidade conhecida Q C y t t 0 A h h 9125 Então a partir das equações 9124 e 9125 temos Qt Wt xt 9126 onde t e e d W C C t 0 A A x x x h Podese mostrar como segue que Wt é uma matriz não singular se Wt fosse igual a 0 então 0 t e dt x W x C t x t 1 2 0 A 1 h significando que CeAt x 0 para 0 t t1 o que implica que o posto P n Consequentemente Wt 0 ou Wt é não singular Então a partir da Equação 9126 obtemos x0 Wt 1 Qt 9127 e x0 pode ser determinado a partir da Equação 9127 Portanto provamos que x0 pode ser determinado a partir de yt se e somente se o posto de P n Note que x0 e yt são relacionados por yt CeAt x0 α0tCx 0 α1tCAx0 αn 1tCAn 1x0 Problemas B91 Considere a seguinte função de transferência U s Y s s s s 5 6 6 2 h h Obtenha a representação no espaço de estados desse sistema na a forma canônica controlável e b forma canônica observável 654 Engenharia de controle moderno B92 Considere o seguinte sistema yq 6ӱ 11ẏ 6y 6u Obtenha a representação no espaço de estados do sistema na forma canônica diagonal B93 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx onde A B C 1 4 2 3 1 2 1 1 6 G G Transforme o sistema de equações para a forma canônica controlável B94 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx onde 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 1 1 0 A B C 6 H H Obtenha a função de transferência YsUs B95 Considere a seguinte matriz A 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 A R T S S S SS V X W W W WW Obtenha os autovalores l1 l2 l3 e l4 da matriz A Em seguida obtenha a matriz de transforma ção P de modo que P 1AP diagonalλ1 λ2 λ3 λ4 B96 Considere a seguinte matriz A 0 2 1 3 A G Determine eAt por três métodos B97 Dado o sistema de equações x x x x x x 2 0 0 1 2 0 0 1 2 1 2 3 1 2 3 o o o H H H determine a solução em termos das condições iniciais x10 x20 e x30 B98 Determine x1t e x2t do sistema descrito por x x x x 0 3 1 2 1 2 1 2 o o G G G 655 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados onde as condições iniciais são x x 0 0 1 1 1 2 h h G G B99 Considere a seguinte equação de estado e de saída x x x x x x u y x x x 6 11 6 1 0 0 0 1 0 2 6 2 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H Mostre que a equação de estado pode ser transformada na seguinte forma pelo uso de uma matriz de transformação apropriada z z z z z z u 0 1 0 0 0 1 6 11 6 1 0 0 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H Então obtenha a saída y em termos de z1 z2 e z3 B910 Obtenha a representação no espaço de estados com o MATLAB do seguinte sistema U s Y s s s s s s 14 56 160 10 4 47 160 3 2 2 h h B911 Obtenha com o MATLAB uma representação por função de transferência do seguinte sistema x x x x x x u y x x x 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H B912 Obtenha com o MATLAB uma representação por função de transferência do seguinte sistema x x x x x x u u y x x x 2 0 0 1 2 1 0 0 3 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 o o o 6 H H H H G H B913 Considere o sistema definido por x x x x x x u y x x x 1 0 1 2 1 0 2 1 1 2 0 1 1 1 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H O sistema é de estado completamente controlável e completamente observável 656 Engenharia de controle moderno B914 Considere o sistema dado por x x x x x x u u y y x x x 2 0 0 0 2 3 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2 3 o o o H H H H G G G H O sistema é de estado completamente controlável e completamente observável O sistema é de saída completamente controlável B915 O seguinte sistema é de estado completamente controlável e completamente observável x x x x x x u y x x x 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 1 20 9 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H B916 Considere o sistema definido por x x x x x x u y c c c x x x 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H Exceto por uma escolha óbvia de c1 c2 c3 0 determine um exemplo de um conjunto de c1 c2 c3 que tornará o sistema não observável B917 Considere o sistema x x x x x x 2 0 0 0 2 3 0 0 1 1 2 3 1 2 3 o o o H H H A saída é dada por y x x x 1 1 1 1 2 3 6 H a Mostre que o sistema não é completamente observável b Mostre que o sistema será completamente observável se a saída for dada por y y x x x 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 3 G G H 657 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Projeto de sistemas de controle no espaço de estados 10 C A P Í T U L O 101 Introdução Este capítulo discute métodos de projeto no espaço de estados baseados nos métodos da alocação de polos observadores o regulador quadrático ótimo e os aspectos introdutórios dos sistemas de controle robusto O método da alocação de polos é de certa maneira similar ao método do lugar das raízes no qual alocamos os polos de malha fechada nas posições desejadas A diferença básica é que no projeto pelo lugar das raízes alocamos somente os polos dominantes de malha fechada nas posições desejadas enquanto no projeto por alocação de polos alocamos todos os polos de malha fechada nas posições desejadas Começamos apresentando os materiais básicos sobre a alocação de polos em sistemas regu ladores Discutimos então o projeto de observadores de estado seguido pelo projeto de sistemas reguladores e sistemas de controle utilizando a abordagem da alocação de polos com observadores de estado Em seguida apresentamos os sistemas reguladores quadráticos ótimos e por fim uma introdução aos sistemas de controle robusto Visão geral do capítulo A Seção 101 apresenta material introdutório e a Seção 102 dis cute a abordagem da alocação de polos no projeto de sistemas de controle Começamos com a obtenção das condições necessárias e suficientes para uma alocação arbitrária de polos Então calculamos equações da matriz de ganho K de realimentação de estado da alocação de polos A Seção 103 traz a solução do problema de alocação de polos com o MATLAB A Seção 104 discute o projeto de servossistemas usando a abordagem por alocação de polos A Seção 105 mostra os observadores de estado e discute os observadores de ordem plena e os de ordem mínima Obtêmse também as funções de transferência dos controladores por meio de observadores A Seção 106 apresenta o projeto de sistemas reguladores com observadores A Seção 107 trata do projeto de sistemas de controle com observadores A Seção 108 discute os sistemas reguladores quadráticos ótimos Note que a matriz de ganho K de realimentação de estado pode ser obtida tanto pelo método da alocação de polos como pelo método do controle quadrático ótimo Por fim a Seção 109 exibe os sistemas de controle robusto As discussões limitamse apenas a questões introdutórias 102 Alocação de polos Nesta seção apresentaremos um método de projeto comumente denominado alocação de polos ou designação de polos Admitimos que todas as variáveis de estado sejam mensuráveis e que estejam disponíveis para realimentação Será mostrado que se o sistema considerado for de estado completamente controlável então os polos de malha fechada do sistema poderão ser alocados em qualquer posição desejada por meio de uma realimentação de estado empregando uma matriz de ganho apropriada Essa técnica de projeto iniciase com a determinação dos polos de malha fechada desejados com base nas especificações da resposta temporal eou da resposta em frequência como velocidade coe ficiente de amortecimento ou banda passante bem como das especificações de regime permanente Vamos supor que os polos desejados de malha fechada devam estar em s m1 s m2 s mn Escolhendo uma matriz de ganho apropriada de realimentação de estado é possível forçar o sistema a ter polos de malha fechada nas posições desejadas desde que o sistema original seja de estado completamente controlável Neste capítulo limitamos nossa discussão aos sistemas de uma entrada e uma saída Ou seja vamos supor que o sinal de controle ut e o sinal de saída yt sejam escalares No desenvolvimento desta seção vamos supor que o sinal de referência rt seja nulo Na Seção 107 discutiremos o caso em que o sinal de referência rt é não nulo A seguir provaremos que há uma condição necessária e suficiente para que os polos de malha fechada possam ser alocados em posições arbitrárias no plano s o estado do sistema precisa ser completamente controlável Então discutiremos métodos para a determinação da matriz de ganho de realimentação de estado requerida Note que quando o sinal de controle é uma quantidade vetorial os aspectos matemáticos do esquema de alocação de polos se tornam complicados Não discutiremos esse caso neste livro Quando o sinal de controle é uma quantidade vetorial a matriz de ganho de realimentação de estado não é única É possível escolher livremente mais de n parâmetros ou seja além de podermos alocar corretamente n polos de malha fechada temos a liberdade de satisfazer alguns requisitos extras se existirem do sistema de malha fechada Projeto por alocação de polos Na abordagem convencional para projetar o sistema de uma entrada e uma saída projetamos um controlador compensador tal que os polos dominantes de malha fechada tenham um coeficiente de amortecimento z desejado e uma frequência natural não amortecida n Nessa abordagem a ordem do sistema pode ser aumentada em 1 ou 2 a menos que ocorram cancelamentos de polos e zeros Note que nessa abordagem admitimos que os efeitos na resposta dos polos não dominantes de malha fechada sejam desprezíveis Em vez de especificar somente os polos dominantes de malha fechada abordagem pelo projeto convencional a presente abordagem especifica todos os polos de malha fechada Contudo existe um custo associado à alocação de todos os polos de malha fechada porque essa alocação requer que todas as variáveis de estado possam ser medidas com sucesso ou então requer a inclusão de um observador de estado no sistema Também existe uma condição com relação ao sistema para que os polos de malha fechada sejam arbitrariamente alocados em posições escolhidas O requisito é que o sistema seja de estado completamente controlável Provaremos esse fato nesta seção Considere o sistema de controle ẋ Ax Bu 101 y Cx Du onde x vetor de estado vetor n y sinal de saída escalar u sinal de controle escalar A matriz constante n n B matriz constante n 1 659 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados C matriz constante 1 n D constante escalar Escolheremos o sinal de controle como u Kx 102 Isso significa que o sinal de controle u é determinado por um estado instantâneo Esse esquema é denominado realimentação de estado A matriz K 1 n é denominada matriz de ganho de realimentação de estado Vamos supor que todas as variáveis de estado estejam disponíveis para rea limentação Na análise seguinte vamos supor que u seja não limitado Um diagrama de blocos desse sistema é mostrado na Figura 101 Esse sistema de malha fechada não possui entradas Seu objetivo é manter a saída nula Por causa dos distúrbios que podem estar presentes a saída vai se desviar de zero A saída não nula vai retornar para o valor nulo correspondente à entrada de referência nula por causa do esquema de realimentação de estado do sistema Esse sistema em que a entrada de referência é sempre nula é denominado sistema regulador Note que se a referência de entrada do sistema for sempre uma constante não nula o sistema também será denominado sistema regulador A substituição da Equação 102 na Equação 101 resulta em ẋt A BKxt A solução dessa equação é dada por xt eA BKtx0 103 onde x0 é o estado inicial causado pelos distúrbios externos A estabilidade e a característica da resposta temporal são determinadas pelos autovalores da matriz A BK Se a matriz K for esco lhida corretamente a matriz A BK poderá ser assintoticamente estável e para todo x0 0 será possível fazer xt tender a 0 à medida que t tender a infinito Os autovalores da matriz A BK são denominados polos reguladores Se eles forem posicionados no lado esquerdo do plano s então xt tenderá a 0 à medida que t tender a infinito O problema de alocar polos reguladores polos de malha fechada nas posições desejadas é denominado problema de alocação de polos A seguir provaremos que a alocação arbitrária de polos para dado sistema é possível se e somente se o sistema for de estado completamente controlável Condição necessária e suficiente para alocação arbitrária de polos Provaremos que há uma condição necessária e suficiente para uma alocação arbitrária de polos o estado do sistema precisa ser completamente controlável Obteremos primeiro a condição necessária Começamos provando que se o sistema não for de estado completamente controlável então existem autova lores da matriz A BK que não podem ser controlados por realimentação de estado Suponha que o sistema dado pela Equação 101 não seja de estado completamente controlável Então o posto da matriz de controlabilidade será menor que n ou posto BABAn 1B q n FIGURA 101 u A B C K D x x Sistema de controle de malha fechada com u Kx 660 Engenharia de controle moderno Isso significa que existem q vetorescoluna linearmente independentes na matriz de controlabili dade Vamos definir esses vetorescoluna linearmente independentes como f1 f2 fq e escolher também n q vetores adicionais vq 1 vq 2 vn de dimensão n de modo que P f1f2fqvq 1vq 2vn tenha posto n Então podese mostrar que A P AP A 0 A A B P B B 0 1 11 12 22 1 11 t t G G Veja o Problema A101 para a obtenção dessas equações Agora defina K KP k1k2 Então temos B k s s s s s s s s s 0 0 0 I A BK P I A BK P I P AP P BKP I A BK I A 0 A A k k I A B k A B I A I A B k I A q q n q q n q 1 1 1 11 12 22 11 1 2 11 11 1 12 11 2 22 11 11 1 22 t t t h 6 G G onde Iq é uma matrizidentidade de dimensão q e In q é uma matrizidentidade de dimensão n q Note que os autovalores de A22 não dependem de K Assim se o sistema não for de estado completamente controlável então existem autovalores da matriz A que não poderão ser arbitra riamente alocados Por consequência para alocar os autovalores da matriz A BK de maneira aleatória o sistema deve ser de estado completamente controlável condição necessária Em seguida provaremos a condição suficiente ou seja se o sistema for de estado completa mente controlável então todos os autovalores da matriz A poderão ser arbitrariamente alocados Para provar a condição suficiente é conveniente transformar a equação de estado dada pela Equação 101 na forma canônica controlável Defina uma matriz de transformação T por T MW 104 onde M é a matriz de controlabilidade M BABAn 1B 105 e W a a a a a a 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 n n n n 1 2 1 2 3 1 h h g g g g h h R T S S S S S SS V X W W W W W WW 106 onde os ai são coeficientes do polinômio característico sI A sn a1sn 1 an 1s an Defina um novo vetor de estado x por x Tx Se o posto da matriz M de controlabilidade for n significando que o sistema é de estado completa mente controlável então a inversa da matriz T existe e a Equação 101 poderá ser modificada para 661 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados xto T 1ATx T 1Bu 107 onde a a a a 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 T AT n n n 1 1 2 1 h h h g g g g h R T S S S S S SS V X W W W W W WW 108 0 0 0 1 T 1 B h R T S S S S S SS V X W W W W W WW 109 Veja os problemas A102 e A103 para obter as equações 108 e 109 A Equação 107 está na forma canônica controlável Assim dada uma equação de estado a Equação 101 ela pode ser transformada para a forma canônica controlável se o sistema for de estado completamente con trolável e se transformarmos o vetor de estado x no vetor de estado x com a utilização da matriz de transformação T dada pela Equação 104 Vamos escolher um conjunto de autovalores desejados como m1 m2 mn Então a equação característica desejada resulta em s μ1s μ2 s μn sn α1sn 1 αn 1s αn 0 1010 Vamos escrever KT δn δn 1 δ1 1011 Quando u KTx for utilizada para controlar o sistema dado pela Equação 107 a equação do sistema resultará em xto T 1ATx T 1BKTx A equação característica é sI T 1AT T 1BKT 0 Essa equação característica é igual à equação característica do sistema definido pela Equação 101 quando u Kx for utilizada como sinal de controle Isso pode ser observado como a seguir Como ẋ Ax Bu A BKx a equação característica desse sistema é sI A BK T 1sI A BKT sI T 1AT T 1BKT 0 Vamos agora simplificar a equação característica do sistema na forma canônica controlável Com relação às equações 108 109 e 1011 temos s s a a a s a s a s a s a s a s a 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 I T AT T BKT I n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 h h g g g h h g h h g g g h g d d d d d d d d d h h h R T S S S S SS R T S S S SS 6 V X W W W W WW V X W W W WW 1012 662 Engenharia de controle moderno Esta é a equação característica do sistema com realimentação de estado Consequentemente ela deve ser igual à Equação 1010 a equação característica desejada Igualando os coeficientes de mesma potência em s temos a1 δ1 α1 a2 δ2 α2 an δn αn Resolvendo as equações precedentes para os d e substituindoas na Equação 1011 obtemos K δn δn 1 δ1T 1 αn anαn 1 an 1α2 a2α1 a1T 1 1013 Assim se o sistema for de estado completamente controlável todos os autovalores poderão ser arbitrariamente alocados escolhendose a matriz K de acordo com a Equação 1013 condição suficiente Provamos então a condição necessária e suficiente para uma alocação arbitrária de polos o estado do sistema é completamente controlável Note que se o sistema não for de estado completamente controlável mas for estabilizável então será possível tornar todo o sistema estável alocando os polos de malha fechada nas posições desejadas para os q modos controláveis Os n q modos não controláveis remanescentes são estáveis Logo o sistema completo pode ser feito estável Determinação da matriz K com a utilização da matriz de transformação T Suponha que o sistema seja definido por ẋ Ax Bu e que o sinal de controle seja dado por u Kx A matriz de ganho K de realimentação que força os autovalores de A BK a serem m1 m2 mn valores desejados pode ser determinada pelas seguintes etapas se mi for um autovalor complexo então seu conjugado também precisará ser um autovalor de A BK Etapa 1 verifique a condição de controlabilidade do sistema Se o sistema for de estado com pletamente controlável então utilize os passos seguintes Etapa 2 a partir da equação característica da matriz A ou seja sI A sn a1sn 1 an 1s an determine os valores de a1 a2 an Etapa 3 determine a matriz de transformação T que transforma a equação de estado do sistema na forma canônica controlável Se a equação do sistema dado já estiver na forma canônica con trolável então T I Não é necessário escrever a equação de estado na forma canônica controlável Tudo o que precisamos aqui é encontrar a matriz T A matriz de transformação T é dada pela Equação 104 ou T MW onde M é dada pela Equação 105 e W é dada pela Equação 106 Etapa 4 utilizando os autovalores desejados polos desejados de malha fechada escreva o polinômio característico desejado s μ1s μ2 s μn sn α1sn 1 αn 1s αn e determine os valores de a1 a2 an 663 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Etapa 5 a matriz de ganho K de realimentação de estado requerida pode ser determinada pela Equação 1013 reescrita desta maneira K αn anαn 1 an 1α2 a2α1 a1T 1 Determinação da matriz K com a utilização do método de substituição direta Se o sistema for de ordem baixa n 3 a substituição direta da matriz K no polinômio característico desejado poderá ser mais simples Por exemplo se n 3 então escreva a matriz de ganho K de realimentação de estado como K k1 k2 k3 Substitua essa matriz K no polinômio característico desejado sI A BK e igual a s m1 s m2 s m3 ou sI A BK s μ1s μ2s μ3 Como ambos os lados da equação característica são polinômios em s igualando os coeficientes de mesma potência em s em ambos os lados é possível determinar os valores de k1 k2 e k3 Essa abordagem é conveniente se n 2 ou 3 Para n 4 5 6 essa abordagem pode se tornar muito tediosa Note que se o sistema não for de estado completamente controlável a matriz K não poderá ser determinada não existe solução Determinação da matriz K com a utilização da fórmula de Ackermann Existe uma fórmula bem conhecida denominada fórmula de Ackermann para a determinação da matriz de ganho K de realimentação de estado Apresentaremos esta fórmula a seguir Considere o sistema ẋ Ax Bu onde utilizamos o controle por realimentação de estado u Kx Vamos supor que o sistema seja de estado completamente controlável Vamos supor também que os polos desejados de malha fechada estejam em s m1 s m2 s mn O uso do controle por realimentação de estado u Kx modifica a equação do sistema para ẋ A BKx 1014 Vamos definir à A BK A equação característica desejada é sI A BK sI à s μ1s μ2 s μn sn α1sn 1 αn 1s αn 0 Como o teorema de CayleyHamilton estabelece que à satisfaz sua própria equação caracterís tica temos zà Ãn α1Ãn 1 αn 1à αnI 0 1015 Utilizaremos a Equação 1015 na obtenção da fórmula de Ackermann Para simplificar o pro cedimento consideramos o caso em que n 3 O procedimento pode ser facilmente estendido para qualquer outro n positivo e inteiro Considere as seguintes identidades I I à A BK Ã2 A BK2 A2 ABK BKà Ã3 A BK3 A3 A2BK ABKà BKÃ2 664 Engenharia de controle moderno Multiplicando as equações precedentes na mesma ordem respectivamente por a3 a2 a1 e a0 onde a0 1 e somando os resultados obtemos α3I α2à α1Ã2 Ã3 α3I α2A BK α1A2 ABK BKà A3 A2BK ABKà BKÃ2 α3I α2A α1A2 A3 α2BK α1ABK α1BKà A2BK ABKà BKÃ2 1016 Com relação à Equação 1015 temos α3I α2à α1Ã2 Ã3 zà 0 Temos também que α3I α2A α1A2 A3 zA 0 Substituindo as últimas duas equações na Equação 1016 temos zà zA α2BK α1BKà BKÃ2 α1ABK ABKà A2BK Como zà 0 obtemos A B K KA KA AB K KA A BK B AB A B K KA KA K KA K 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 z a a a a a a u u u u u u h h h R T S S S SS 6 V X W W W WW 1017 Uma vez que o sistema é de estado completamente controlável a inversa da matriz de contro labilidade BABA2B existe Prémultiplicando ambos os lados da Equação 1017 pela inversa da matriz de controla bilidade obtemos B AB A B A K KA KA K KA K 2 1 2 1 2 1 z a a a u u u h 6 H Prémultiplicando ambos os lados dessa última equação por 0 0 1 obtemos 0 0 1 0 0 1 B AB A B A K KA KA K KA K K 2 1 2 1 2 1 z a a a u u u h 6 6 6 H que pode ser reescrita como 0 0 1 K B AB A B A 2 1z h 6 6 Essa última equação fornece a matriz de ganho K de realimentação de estado requerida Para um n inteiro positivo e arbitrário temos K 0 0 0 1BABAn 1B 1zA 1018 A Equação 1018 é conhecida como fórmula de Ackermann para a determinação da matriz de ganho K de realimentação de estado Sistemas reguladores e sistemas de controle Sistemas que incluem controladores podem ser divididos em duas categorias sistemas reguladores onde o sinal de referência é constante incluindo o zero e sistemas de controle onde o sinal de referência varia com o tempo A seguir consideraremos os sistemas reguladores Os sistemas de controle serão considerados na Seção 107 665 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Escolhendo a localização dos polos de malha fechada desejados O primeiro passo na abordagem de projeto por alocação de polos consiste em escolher a localização dos polos de malha fechada desejados A técnica mais frequentemente utilizada está baseada na escolha desses polos com base na experiência do projeto pelo lugar das raízes alocando um par de polos dominantes de malha fechada e escolhendo os outros polos de modo que eles fiquem bem distantes à esquerda dos polos dominantes de malha fechada Observe que se alocarmos os polos dominantes de malha fechada distantes do eixo j de modo que a resposta do sistema se torne muito rápida os sinais no sistema se tornarão muito elevados fazendo que o sistema se torne não linear o que deve ser evitado Outra opção de projeto é baseada na abordagem pelo controle quadrático ótimo Essa abor dagem determinará os polos desejados de malha fechada para que haja uma conciliação entre a resposta aceitável e o total de energia de controle requerida Veja a Seção 108 Note que requerer uma resposta de alta velocidade implica exigir grande quantidade de energia de controle Da mesma maneira em geral um aumento na velocidade de resposta requer um atuador maior e mais pesado que custará mais Exemplo 101 Considere o sistema regulador mostrado na Figura 102 A planta é dada por ẋ Ax Bu onde A B 0 0 1 1 0 5 0 1 6 0 0 1 H H O sistema utiliza o controle por realimentação de estado u Kx Vamos escolher os polos desejados de malha fechada em s 2 j4 s 2 j4 s 10 Fazemos essa escolha porque sabemos por experiência que esse conjunto de polos de malha fechada resultará em uma resposta temporal razoável ou ao menos aceitável Determine a matriz de ganho K de realimentação de estado Primeiro precisamos verificar a matriz de controlabilidade do sistema Como a matriz de controlabilidade M é dada por 0 0 1 0 1 6 1 6 31 M B AB A B 2 R T S S SS 6 V X W W WW encontramos M 1 e portanto o posto de M 3 Assim o sistema é de estado completamente controlável e a alocação arbitrária de polos é possível FIGURA 102 x u A B K Sistema regulador 666 Engenharia de controle moderno A seguir resolveremos esse problema Demonstraremos cada um dos três métodos apresen tados neste capítulo Método 1 o primeiro método faz uso da Equação 1013 A equação característica do sistema é s s s s s s s s a s a s a 0 1 1 5 0 1 6 6 5 1 0 I A 3 2 3 1 2 2 3 Portanto a1 6 a2 5 a3 1 A equação característica desejada é s 2 j4s 2 j4s 10 s3 14s2 60s 200 s3 α1s2 α 2s α3 0 Portanto α1 14 α2 60 α3 200 Com relação à Equação 1013 temos K α3 a3α2 a2α1 a1T 1 onde para esse problema T I uma vez que a equação de estado é fornecida na forma canônica controlável Então temos K 200 160 514 6 199 55 8 Método 2 definindo a matriz desejada de ganho K de realimentação de estado como K k1 k2 k3 e igualando sI A BK com a equação característica desejada obtemos s s s s k k k s k s k s k s k s k s k s s s 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 5 0 1 6 0 0 1 0 1 1 5 0 1 6 6 5 1 14 60 200 I A BK 1 2 3 1 2 3 3 3 2 2 1 3 2 h h 6 H H H Logo 6 k3 14 5 k2 60 1 k1 200 a partir da qual obtemos k1 199 k2 55 k3 8 ou K 199 55 8 Método 3 o terceiro método faz uso da fórmula de Ackermann Com relação à Equação 1018 temos K 0 0 1BABA2B 1zA 667 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Como 14 60 200 0 0 1 1 0 5 0 1 6 14 0 0 1 1 0 5 0 1 6 60 0 0 1 1 0 5 0 1 6 200 1 0 0 1 1 0 0 0 1 199 8 7 55 159 43 8 7 117 A A A A I 3 2 3 2 z h H H H H H e 0 0 1 0 1 6 1 6 31 B AB A B 2 6 H obtemos 0 0 1 0 0 1 0 1 6 1 6 31 199 8 7 55 159 43 8 7 117 0 0 1 5 6 1 6 1 0 1 0 0 199 8 7 55 159 43 8 7 117 199 55 8 K 1 6 6 6 H H H H Como era de esperar as matrizes de ganho K obtidas pelos três métodos são as mesmas Com essa realimentação de estado os polos de malha fechada ficam alocados em s 2 j4 e s 10 como especificado Note que se a ordem n do sistema for 4 ou maior os métodos 1 e 3 serão recomendados uma vez que todas as manipulações matriciais podem ser realizadas pelo computador Se o método 2 for usado os cálculos manuais se tornarão necessários pois o computador pode não ser apro priado para lidar com uma equação característica com parâmetros desconhecidos k1 k2 kn Comentários É importante notar que a matriz K não é única para um sistema dado mas depende da localização desejada dos polos de malha fechada que determinam a velocidade e o amortecimento da resposta selecionados Note que a seleção dos polos de malha fecha da desejados ou da equação característica desejada é um compromisso entre a velocidade de resposta do vetor de erro e a sensibilidade aos distúrbios e aos ruídos de medida Ou seja se aumentarmos a velocidade da resposta do erro em geral os efeitos contrários nos distúrbios e nos ruídos de medida aumentarão Se o sistema for de segunda ordem então as dinâmicas do sistema resposta característica poderão ser precisamente correlacionadas com as localizações dos polos de malha fechada e com os zeros da planta Para sistemas de ordem superior a localização dos polos de malha fechada e as dinâmicas do sistema resposta característica não são tão facilmente correlacionadas Consequentemente para a determinação da matriz de ganho K de realimentação de estado para dado sistema é desejável examinar a resposta característica por meio de simulações computacionais para várias matrizes K distintas com base em várias e distintas equações características desejadas e escolher aquela que confere o melhor desempenho global do sistema 668 Engenharia de controle moderno 103 Resolvendo problemas de alocação de polos com o MATLAB Problemas de alocação de polos podem ser facilmente resolvidos com o MATLAB o qual possui dois comandos acker e place para o cálculo da matriz de ganho K de realimenta ção O comando acker é baseado na fórmula de Ackermann Esse comando se aplica somente a sistemas de uma entrada e uma saída Os polos desejados de malha fechada podem incluir polos múltiplos situados na mesma posição Se o sistema envolver múltiplas entradas para um conjunto especificado de polos de malha fechada a matriz de ganho K de realimentação de estado não será única e teremos um grau de liberdade adicional ou graus de liberdade para escolher K Existem várias abordagens que per mitem utilizar construtivamente essa liberdade adicional na determinação de K Um uso comum é maximizar a margem de estabilidade A alocação de polos baseada nessa abordagem é denominada alocação robusta de polos O comando em MATLAB para a alocação robusta de polos é place Embora o comando place possa ser utilizado tanto para os sistemas de uma entrada como para os de múltiplas entradas ele requer que a multiplicidade dos polos desejados de malha fechada não seja superior ao posto de B Ou seja se a matriz B for uma matriz n 1 o comando place requererá que não haja polos múltiplos no conjunto de polos desejados de malha fechada Para sistemas de uma entrada os comandos acker e place produzem a mesma K Contudo para sistemas de múltiplas entradas devese utilizar o comando place em vez do comando acker Note que quando o sistema de uma entrada é pouco controlável alguns problemas compu tacionais podem ocorrer se o comando acker for utilizado Nesses casos é preferível utilizar o comando place desde que não haja polos múltiplos envolvidos no conjunto desejado dos polos de malha fechada Para utilizar os comandos acker ou place introduzimos primeiro as seguintes matrizes no programa matriz A matriz B matriz J onde a matriz J é a que consiste nos polos desejados de malha fechada de modo que J μ1 μ2 μn A partir disso introduzimos K ackerABJ ou K placeABJ Observe que o comando eig ABK pode ser utilizado para verificar que o K então obtido fornece os autovalores desejados Exemplo 102 Considere o mesmo sistema que foi considerado no Exemplo 101 A equação do sistema é ẋ Ax Bu onde A B 0 0 1 1 0 5 0 1 6 0 0 1 H H Utilizandose o controle por realimentação de estado u Kx desejase obter os polos de malha fechada em s mi i 1 2 3 onde μ1 2 j4 μ2 2 j4 μ3 10 Determine com o MATLAB a matriz de ganho K de realimentação de estado 669 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados O programa em MATLAB que gera a matriz K é mostrado nos programas 101 e 102 O Progra ma 101 em MATLAB utiliza o comando acker e o Programa 102 em MATLAB o comando place Programa 101 em MATLAB A 0 1 00 0 11 5 6 B 001 J 2j4 2j4 10 K ackerABJ K 199 55 8 Programa 102 em MATLAB A 0 1 00 0 11 5 6 B 001 J 2j4 2j4 10 K placeABJ place ndigits 15 K 1990000 550000 80000 Exemplo 103 Considere o mesmo sistema discutido no Exemplo 101 Desejase que esse sistema regulador tenha polos de malha fechada em s 2 j4 s 2 j4 s 10 A matriz necessária de ganho K de realimentação de estado foi obtida no Exemplo 101 como segue K 199 55 8 Utilizando o MATLAB obtemos a resposta do sistema à seguinte condição inicial x 0 1 0 0 h H Resposta à condição inicial para obter a resposta a uma dada condição inicial x0 substituímos u Kx na equação da planta para obter x A BK x x 0 1 0 0 o h h H Para exibir as curvas de resposta x1 versus t x2 versus t e x3 versus t podemos utilizar o comando initial Primeiro definimos as equações do sistema no espaço de estados como segue ẋ A BKx Iu y Ix Iu onde incluímos u um vetor de entrada de dimensão 3 Esse vetor u é considerado 0 no cálculo da resposta à condição inicial Então definimos sys ssA Bk eye3 eye3 eye3 e utilizamos o comando initial como x initialsys 100t onde t é o intervalo de tempo que desejamos utilizar como t 00014 670 Engenharia de controle moderno Então obtemos x1 x2 e x3 como segue x1 1 0 0x x2 0 1 0x x3 0 0 1x e utilizamos o comando plot Esse programa é mostrado no Programa 103 em MATLAB As curvas de resposta resultantes são mostradas na Figura 103 Programa 103 em MATLAB Resposta à condição inicial A 0 1 00 0 11 5 6 B 001 K 199 55 8 sys ssABK eye3 eye3 eye3 t 00014 x initialsys100t x1 1 0 0x x2 0 1 0x x3 0 0 1x subplot311 plottx1 grid titleResposta à condição inicial ylabelvariável de estado x1 subplot312 plottx2grid ylabelvariável de estado x2 subplot313 plottx3grid xlabelt s ylabelvariável de estado x3 FIGURA 103 Resposta à condição inicial variável de estado x1 05 0 05 1 15 2 25 3 35 4 0 05 1 15 2 25 3 35 4 0 05 1 15 2 25 3 35 4 0 05 1 variável de estado x2 3 1 2 0 1 variável de estado x3 10 0 5 5 10 t s Resposta à condição inicial 671 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados 104 Projeto de servossistemas Nesta seção discutiremos a abordagem de alocação de polos para servossistemas de tipo 1 Limitaremos aqui nossos sistemas ao caso de um sinal escalar u de controle e um sinal escalar y A seguir discutiremos primeiro o problema de projetar servossistemas do tipo 1 quando a planta envolve um integrador A partir daí discutiremos o projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta não possuir integradores Projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta possui um integrador Suponha que a planta seja definida por ẋ Ax Bu 1019 y Cx 1020 onde x vetor de estado para a planta vetor n u sinal de controle escalar y sinal de saída escalar A matriz constante n n B matriz constante n 1 C matriz constante 1 n Como foi estabelecido anteriormente vamos supor que o sinal de controle u e de saída y sejam escalares Por meio da escolha apropriada de um conjunto de variáveis de estado é possível escolher a saída igual a uma das variáveis de estado Veja o método apresentado no Capítulo 2 para a obtenção da representação de estado de funções de transferência para os quais a saída y se torna igual a x1 A Figura 104 mostra uma configuração geral de servossistemas do tipo 1 quando a planta possui um integrador Vamos supor aqui que y x1 Nesta análise supomos que o sinal de refe rência r seja uma função degrau Nesse sistema utilizamos o seguinte esquema de controle por realimentação de estado u k k k x x x k r x k r 0 Kx n n 2 3 1 2 1 1 1 g h h R T S S S SS 6 V X W W W WW 1021 FIGURA 104 x Ax Bu y Cx x2 x3 xn k2 k1 k3 kn r u x y x1 Servossistema do tipo 1 quando a planta possui um integrador 672 Engenharia de controle moderno onde K k1 k2 kn Suponha que a entrada de referência função degrau seja aplicada em t 0 Então para t 0 as dinâmicas do sistema podem ser descritas pelas equações 1019 e 1021 ou ẋ Ax Bu A BKx Bk1r 1022 Projetaremos servossistemas do tipo 1 de forma que os polos de malha fechada estejam localiza dos nas posições desejadas O sistema projetado será um sistema assintoticamente estável y tenderá ao valor constante r e u tenderá a zero r é uma entrada em degrau Note que no regime permanente temos ẋ A BKx Bk1r 1023 Sabendo que rt é uma entrada em degrau temos r rt rconstante para t 0 Subtraindo a Equação 1023 da Equação 1022 obtemos ẋt ẋ A BKxt x 1024 Defina xt x et Então a Equação 1024 se torna ė A BKe 1025 A Equação 1025 descreve as dinâmicas de erro O projeto de um servossistema do tipo 1 é convertido aqui para o projeto de um sistema regulador assintoticamente estável de maneira que et tende a zero para qualquer condição inicial e0 fornecida Se o sistema definido pela Equação 1019 for de estado completamente controlável então com a especificação dos autovalores desejados m1 m2 mn da matriz A BK a matriz K poderá ser determinada pela técnica de alocação de polos apresentada na Seção 102 Os valores estacionários de xt e ut podem ser encontrados como segue no regime per manente t temos a partir da Equação 1022 ẋ 0 A BKx Bk1r Como os valores desejados dos autovalores de A BK estão todos do lado esquerdo no plano s existe a inversa da matriz A BK Consequentemente x pode ser determinada como x A BK 1Bk1r Da mesma maneira u pode ser obtida como u Kx k1r 0 Veja o Exemplo 104 para verificar essa última equação Exemplo 104 Projete um servossistema do tipo 1 para o caso em que a função de transferência da planta possui um integrador Suponha que a função de transferência da planta seja dada por U s Y s s s 1 s 2 1 h h h h Os polos desejados de malha fechada são s 2 j2 3 e s 10 Suponha que a configuração do sistema seja a mesma mostrada na Figura 104 e que a entrada de referência r seja uma função degrau Obtenha a resposta ao degrau unitário do sistema projetado Defina as variáveis de estado x1 x2 e x3 como segue x1 y x2 ẋ1 x3 ẋ2 673 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Então a representação no espaço de estados do sistema resulta em ẋ Ax Bu 1026 y Cx 1027 onde A B C 0 0 0 1 0 2 0 1 3 0 0 1 1 0 0 6 H H Com relação à Figura 104 e sabendo que n 3 o sinal de controle u é dado por u k2 x2 k3 x3 k1 r x1 Kx k1r 1028 onde K k1 k2 k3 A matriz de ganho K de realimentação de estado pode ser obtida facilmente com o MATLAB Veja o Programa 104 em MATLAB A matriz de ganho K de realimentação de estado é portanto K 160 54 11 Resposta ao degrau unitário do sistema projetado a resposta ao degrau unitário do sistema projetado pode ser obtida como demonstrado a seguir Como 0 0 0 1 0 2 0 1 3 0 0 1 160 54 11 0 0 160 1 0 56 0 1 14 A BK 6 H H H a partir da Equação 1022 a equação de estado do sistema projetado é x x x x x x r 0 0 160 1 0 56 0 1 14 0 0 160 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H 1029 e a equação de saída é y x x x 1 0 0 1 2 3 6 H 1030 Resolvendo as equações 1029 e 1030 para yt onde r é uma função degrau unitário obtémse a curva de resposta ao degrau unitário yt versus t O Programa 105 em MATLAB fornece a curva de resposta ao degrau unitário A curva resultante de resposta ao degrau unitário é mostrada na Figura 105 Programa 104 em MATLAB A 0 1 00 0 10 2 3 B 001 J 2j2sqrt3 2j2sqrt3 10 K ackerABJ K 1600000 540000 110000 674 Engenharia de controle moderno Programa 105 em MATLAB Resposta ao degrau unitário Entre coma matriz de estado a matriz de controle a matriz de saída e a matriz de transição do sistema projetado AA 0 1 00 0 1160 56 14 BB 00160 CC 1 0 0 DD 0 Entre com o comando step e com o comando plot t 00015 y stepAABBCCDD1t plotty grid titleResposta ao degrau unitário xlabelt s ylabelSaída y Note que como u Kx k1r Kx k1r temos u x x x r r r 160 54 11 160 160 54 11 0 0 160 0 1 2 3 3 3 3 3 h h h h 6 6 H H No regime permanente o sinal de controle u se torna nulo FIGURA 105 Resposta ao degrau unitário Saída y 0 06 12 08 04 02 1 t s 0 35 1 05 25 5 4 45 15 2 3 Curva de resposta ao degrau unitário yt versus t para o sistema projetado no Exemplo 104 675 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta não possui integrador Se a planta não tiver integrador planta do tipo 0 o princípio básico do projeto de um servossistema do tipo 1 será inserir um integrador no ramo direto entre o comparador de erro e a planta como mostra a Figura 106 O diagrama de blocos da Figura 106 é uma forma básica do servossistema do tipo 1 onde a planta não possui integrador A partir do diagrama obtemos ẋ Ax Bu 1031 y Cx 1032 u Kx k1p 1033 p r y r Cx 1034 onde x vetor de estado da planta vetor n u sinal de controle escalar y sinal de saída escalar p saída do integrador variável de estado do sistema escalar r sinal de entrada de referência função degrau escalar A matriz constante n n B matriz constante n 1 C matriz constante 1 n Vamos supor que a planta dada pela Equação 1031 seja de estado completamente controlável A função de transferência da planta pode ser dada por Gps CsI A 1B Para evitar a possibilidade de o integrador inserido ser cancelado por um zero na origem da planta vamos supor que Gps não possua zeros na origem Suponha que a entrada de referência função degrau seja aplicada em t 0 Então para t 0 as dinâmicas do sistema podem ser descritas por uma equação que é a combinação das equações 1031 e 1034 t t t t u t r t 0 0 1 x A C 0 x B 0 p p o o h h h h h h G G G G G 1035 Projetaremos um sistema assintoticamente estável tal que x p e u tendam a valores constantes respectivamente Então no regime permanente obtemos y r Note que no regime permanente temos u r 0 0 1 x A C 0 x B 0 3 3 3 3 3 3 p p o o h h h h h h G G G G G 1036 FIGURA 106 y K A B kI C x r ξ ξ u Servossistema do tipo 1 676 Engenharia de controle moderno Sabendo que rt é uma entrada em degrau temos r rt r constante para t 0 Subtraindo a Equação 1036 da Equação 1035 obtemos t t t t u t u 0 0 x x A C 0 x x B 3 3 3 3 3 p p p p o o o o h h h h h h h h h h 6 G G G G 1037 Defina xt x xet pt p p et ut u uet Então a Equação 1037 pode ser escrita como t t t t u t 0 0 x A C 0 x B e e e e e p p o o h h h h h G G G G 1038 onde uet Kxet k1pet 1039 Defina um novo vetor de erro et de ordem n 1 por t t t n 1 vetor e xe e p h h h h G Então a Equação 1038 resulta em ė Âe B ue 1040 onde 0 0 A A C 0 B B t t G G e a Equação 1039 resulta em ue K e 1041 onde K KkI A equação de estado do erro pode ser obtida pela substituição da Equação 1041 na Equação 1040 ė  B K e 1042 Se os autovalores desejados da matriz  B K ou seja os polos desejados de malha fechada forem especificados por m1 m2 mn 1 então a matriz de ganho K de realimentação de estado e a constante de ganho integral kI poderão ser determinadas pela técnica de alocação de polos apresentada na Seção 102 desde que o sistema definido pela Equação 1040 seja de estado completamente controlável Note que se a matriz 0 A C B G tem posto n 1 então o sistema definido pela Equação 1040 é de estado completamente con trolável Veja o Problema A1012 Como geralmente é o caso nem todas as variáveis de estado podem ser medidas diretamente Dessa maneira precisamos utilizar um observador de estado A Figura 107 mostra um diagrama de blocos de um servossistema do tipo 1 com um observador de estado Na figura cada bloco com um símbolo de integral representa um integrador 1s Uma discussão detalhada dos obser vadores de estado é dada na Seção 105 677 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Exemplo 105 Considere o sistema de controle de um pêndulo invertido mostrado na Figura 108 Neste exem plo estamos preocupados com o movimento do pêndulo e com o movimento do carro no plano da página Desejase manter tanto quanto possível o pêndulo invertido na vertical e ainda controlar a posição do carro por exemplo movendo o carro por degraus Para controlar a posição do carro precisamos construir um servossistema do tipo 1 O sistema do pêndulo invertido montado em um carro não possui um integrador Portanto injetamos o sinal de posição y que indica a posição do carro de volta para a entrada e inserimos um integrador no ramo direto como mostra a Figura 109 Vamos supor que o ângulo θ e a velocidade angular io sejam pequenos tal que sen θ Z θ cos θ Z 1 e θio 2 Z 0 Vamos supor também que os valores numéricos de M m e l sejam dados por M 2 kg m 01 kg l 05 m Anteriormente no Exemplo 36 obtivemos as equações para o sistema de pêndulo invertido mostrado na Figura 36 que é o mesmo da Figura 108 Com relação à Figura 36 começamos com as equações de equilíbrio de força e equilíbrio de conjugado e chegamos às equações 320 FIGURA 107 y K A B kI C x r u Observador ξ ξ Servossistema do tipo 1 com observador de estado FIGURA 108 0 M P z u mg m ℓ sen θ x x ℓ cos θ ℓ θ Sistema de controle do pêndulo invertido 678 Engenharia de controle moderno e 321 para a modelagem do sistema de pêndulo invertido Com relação às equações 320 e 321 as equações do sistema de controle do pêndulo invertido mostrado na Figura 108 são Mlip M mgθ u 1043 Mẍ u mgθ 1044 Quando os valores numéricos dados são substituídos as equações 1043 e 1044 resultam em ip 20601θ u 1045 ẍ 05u 04905θ 1046 Vamos definir as variáveis de estado x1 x2 x3 e x4 por x1 θ x2 io x3 x x4 ẋ Então com relação às equações 1045 e 1046 e à Figura 109 considerandose a posição do carro x como a saída do sistema obtemos as equações como segue ẋ Ax Bu 1047 y Cx 1048 u Kx kI p 1049 p r y r Cx 1050 onde A B C 0 20 601 0 0 4905 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 5 0 0 1 0 R T S S S S SS R T S S S S SS 6 V X W W W W WW V X W W W W WW Para o servossistema do tipo 1 temos que a equação de estado do erro é dada pela Equação 1040 ė Âe B ue 1051 FIGURA 109 x Ax Bu y Cx k1 kI k2 k3 k4 r u x y ξ ξ Sistema de controle do pêndulo invertido Servossistema do tipo 1 quando a planta não possui integrador 679 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados onde A A C B B 0 0 20 601 0 0 4905 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 5 0 0 t t R T S S S S S SS R T S S S S S SS V X W W W W W WW V X W W W W W WW G G e o sinal de controle é dado pela Equação 1041 ue K e onde K KkI k1 k2 k3 k4 kI Para obter uma velocidade e um amortecimento razoáveis na resposta do sistema projetado por exemplo o tempo de acomodação aproximadamente entre 4 5 s e o máximo sobressinal entre 15 16 na resposta ao degrau do carro vamos escolher os polos desejados de malha fechada em s mi i 1 2 3 4 5 onde μ1 1 j 3 μ2 1 j 3 μ3 5 μ4 5 μ5 5 Determinaremos a matriz de ganho de realimentação de estado necessária com o uso do MATLAB Antes de irmos adiante precisamos examinar o posto da matriz P onde 0 P A C B G A matriz P é dada por 0 0 20 601 0 0 4905 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 5 0 P A C B R T S S S S SS V X W W W W WW G 1052 O posto dessa matriz vale 5 Por consequência o sistema definido pela Equação 1051 é de estado completamente controlável e uma alocação arbitrária de polos é portanto possível O Programa 106 em MATLAB produz a matriz K de ganho de realimentação de estado Logo obtemos K k1 k2 k3 k4 1576336 353733 560652 367466 e kI 509684 Programa 106 em MATLAB A 0 1 0 0 20601 0 0 0 0 0 0 1 04905 0 0 0 B 01005 C 0 0 1 0 Ahat A zeros41 C 0 Bhat B0 J 1jsqrt3 1jsqrt3 5 5 5 Khat ackerAhatBhatJ Khat 1576336 353733 560652 367466 509684 Características da resposta ao degrau unitário do sistema projetado Uma vez determinada a matriz de ganho K de realimentação e a constante kl de ganho da integral podese obter a resposta 680 Engenharia de controle moderno ao degrau da posição do carro resolvendose a seguinte equação que é obtida pela substituição da Equação 1049 na Equação 1035 k r 0 1 0 x A BK C B I x p p oo E G E G 1053 A saída yt do sistema é x3t ou y r 0 0 1 0 0 0 x p 6 6 E 1054 Defina as matrizes de estado de controle de saída e a matriz de transmissão direta do sistema dado pelas equações 1053 e 1054 como AA BB CC e DD respectivamente O Programa 107 em MATLAB pode ser utilizado para obter as curvas de resposta ao degrau do sistema projetado Note que para obter a resposta ao degrau unitário introduzimos o comando yxt stepAABBCCDD1t A Figura 1010 mostra as curvas x1 versus t x2 versus t x3 saída y versus t x4 versus t e x5 p versus t Note que yt x3t tem aproximadamente 15 de sobressinal e um tempo de acomodação de aproximadamente 45 s A variável pt x5t tende a 11 Esse resultado pode ser obtido como a seguir Como ẋ 0 Ax Bu ou r u 0 0 0 0 0 20 601 0 0 4905 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 5 3 h R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW FIGURA 1010 0 02 0 6 4 2 t s 0 2 1 1 0 6 4 2 05 15 0 6 4 2 0 1 t s t s 0 05 05 0 6 4 2 t s 0 2 1 1 0 6 4 2 t s x1 x3 x5 x2 x4 x1 versus t x2 versus t x3 versus t x4 versus t x5 versus t Curvas de x1 versus t x2 versus t x3 saída y versus t x4 versus t e x5 p versus t 681 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Programa 107 em MATLAB O seguinte programa obtém a resposta ao degrau do sistema do pêndulo invertido recémprojetado A 0 1 0 020601 0 0 00 0 0 104905 0 0 0 B 01005 C 0 0 1 0 D 0 K 1576336 353733 560652 367466 KI 509684 AA A BK BKIC 0 BB 00001 CC C 0 DD 0 Para obter separadamente as curvas de resposta x1 versus t x2 versus t x3 versus t x4 versus t e x5 versus t digite o seguinte comando t 00026 yxt stepAABBCCDD1t x1 1 0 0 0 0x x2 0 1 0 0 0x x3 0 0 1 0 0x x4 0 0 0 1 0x x5 0 0 0 0 1x subplot321 plottx1 grid titlex1 versus t xlabelt s ylabelx1 subplot322 plottx2 grid titlex2 versus t xlabelt s ylabelx2 subplot323 plottx3 grid titlex3 versus t xlabelt s ylabelx3 subplot324 plottx4 grid titlex4 versus t xlabelt s ylabelx4 subplot325 plottx5 grid titlex5 versus t xlabelt s ylabelx5 obtemos u 0 Como u 0 temos a partir da Equação 1033 u 0 Kx kI p portanto 11 k Kx k k x r r 1 1 50 9684 56 0652 I I 3 3 3 3 3 p h h h 6 Por isso para r 1 temos p 11 Note que como em todo problema de projeto se a velocidade e o amortecimento não forem satisfatórios então precisaremos modificar a equação característica desejada e determinar uma nova matriz K Devemse repetir as simulações computacionais até que um resultado satisfatório seja obtido 682 Engenharia de controle moderno 105 Observadores de estado Na abordagem por alocação de polos no projeto de sistemas de controle vamos supor que todas as variáveis de estado estejam disponíveis para realimentação Na prática contudo nem todas as variáveis estão disponíveis para realimentação Então precisamos estimar as variáveis de estado não disponíveis A estimativa de variáveis de estado não mensuráveis é comumente denominada observação Um dispositivo ou programa de computador que estima ou observa as variáveis de estado é denominado observador de estado ou simplesmente observador Se o observador de estado observa todas as variáveis do sistema independentemente de algumas das variáveis de estado estarem disponíveis para medição direta ele é denominado observador de estado de ordem plena Haverá vezes em que isso não será necessário quando necessitarmos da observação somente das variáveis de estado não mensuráveis e não das variáveis que são direta mente mensuráveis Por exemplo como as variáveis de saída são observáveis e são linearmente relacionadas com as variáveis de estado não precisamos observar todas as variáveis de estado mas somente n m dessas variáveis onde n é a dimensão do vetor de estado e m é a dimensão do vetor de saída Um observador que estima menos que n variáveis de estado onde n é a dimensão do vetor de estado é denominado observador de estado de ordem reduzida ou simplesmente observador de ordem reduzida Se a ordem do observador de estado de ordem reduzida for a menor possível o observador será denominado observador de estado de ordem mínima ou observador de ordem mínima Nesta seção discutiremos tanto os observadores de ordem plena como os observadores de ordem mínima Observador de estado Um observador de estado estima as variáveis de estado baseado nas medidas das variáveis de saída e das variáveis de controle Aqui o conceito de observabilidade discutido na Seção 97 tem um papel importante Como será visto mais tarde observadores de estado podem ser projetados se e somente se a condição de observabilidade for satisfeita Nas discussões seguintes sobre observadores de estado utilizaremos a notação xu para repre sentar o vetor de estado observado Em muitos casos práticos o vetor de estado observado xu é utilizado na realimentação de estado para gerar o vetor de controle desejado Considere a planta definida por ẋ Ax Bu 1055 y Cx 1056 O observador é um subsistema reconstrutor do vetor de estado da planta O modelo matemático do observador é basicamente o mesmo que o da planta exceto por um termo adicional que incor pora o erro de estimação para compensar as incertezas nas matrizes A e B e a ausência do erro inicial O erro de estimação ou erro de observação é a diferença entre a saída medida e a saída estimada O erro inicial é a diferença entre o estado inicial e o estado inicial estimado Portanto definimos o modelo matemático do observador como xuo Axu Bu Key Cxu A KeCxu Bu Key 1057 onde xu é o estado estimado e Cxu é a saída estimada As entradas do observador são a saída y e a entrada de controle u A matriz Ke denominada matriz de ganho do observador é uma matriz de penalização do termo de correção que envolve a diferença entre a saída medida y e a saída estimada Cxu Esse termo corrige continuamente a saída do modelo e aumenta o desem penho do observador A Figura 1011 mostra o diagrama de blocos do sistema e o observador de estado de ordem plena Observador de estado de ordem plena A ordem do observador de estado que será discutida aqui é a mesma da planta Suponha que a planta seja definida pelas equações 1055 e 1056 e que o modelo do observador seja definido pela Equação 1057 683 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Para obter a equação do erro de observação vamos subtrair a Equação 1057 a partir da Equação 1055 ẋ xuo Ax Axu KeCx Cxu A KeCx xu 1058 Defina a diferença entre x e xu como o vetor de erro e ou e x xu Então a Equação 1058 tornase ė A KeCe 1059 A partir da Equação 1059 notamos que o comportamento dinâmico do vetor de erro é deter minado pelos autovalores da matriz A Ke C Se a matriz A Ke C for uma matriz estável o vetor de erro convergirá para zero qualquer que seja o vetor de erro inicial e0 Ou seja xu t convergirá para xt independentemente do valor de x0 e xu 0 Se os autovalores da matriz A Ke C forem escolhidos de tal maneira que o comportamento dinâmico do vetor de erro seja assintoticamente estável e adequadamente rápido então qualquer vetor de erro tenderá a zero a origem com uma velocidade adequada Se a planta for completamente observável então poderá ser provado que é possível escolher a matriz Ke tal que A Ke C tenha seus autovalores arbitrariamente escolhidos Ou seja a matriz de ganho Ke do observador pode ser determinada para fornecer a matriz A Ke C desejada Discutiremos esse assunto a seguir O problema dual O problema de projetar um observador de ordem plena resulta na determinação da matriz de ganho Ke do observador tal que as dinâmicas do erro definido pela Equação 1059 sejam assintoticamente estáveis com uma velocidade suficiente de resposta A estabilidade assintótica e a velocidade de resposta das dinâmicas do erro são determinadas pelos autovalores da matriz A Ke C Consequentemente o projeto do observador de ordem plena resulta na determinação de uma Ke apropriada tal que A Ke C possua os autovalores desejados Assim o problema aqui resulta no mesmo que o problema de alocação de polos que discutimos na Seção 102 De fato os problemas são matematicamente os mesmos Essa propriedade é denominada dualidade Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx FIGURA 1011 u y y Observador de estado de ordem plena A B C Ke A B C x x Diagrama de blocos do sistema e do observador de estado de ordem plena quando a entrada u e a saída y são escalares 684 Engenharia de controle moderno No projeto do observador de estado de ordem plena podemos resolver o problema dual ou seja resolver o problema de alocação de polos para o sistema dual ż Az Cυ n Bz considerando o sinal de controle υ como υ Kz Se o sistema dual for de estado completamente controlável então a matriz de ganho K de rea limentação de estado poderá ser determinada de tal forma que a matriz A CK fornecerá o conjunto dos autovalores desejados Se m1 m2 mn forem os autovalores desejados da matriz do observador de estado então tomandose os mesmos mi como os autovalores desejados da matriz de ganho de realimentação de estado do sistema dual obteremos sI A CK s μ1s μ2 s μn Sabendo que os autovalores de A CK e os de A KC são os mesmos temos sI A CK sI A KC Comparando o polinômio característico sI A KC com o polinômio característico para o sistema observador sI A KeC recorra à Equação 1057 descobrimos que Ke e K são relacionados por Ke K Assim utilizando a matriz K determinada pela abordagem de alocação de polos no sistema dual a matriz de ganho Ke do observador do sistema original pode ser determinada utilizandose a relação Ke K Veja o Problema A1010 para obter detalhes Condição necessária e suficiente para observação de estado Como foi discutido uma condição necessária e suficiente para a determinação da matriz de ganho Ke do observador na determinação dos autovalores de A Ke C mostra que o dual do sistema original ż Az Cυ é de estado completamente controlável A condição de controlabilidade completa de estado para esse sistema com dualidade é que o posto de CACAn 1C seja n Esta é a condição de observabilidade completa do sistema original definido pelas equa ções 1055 e 1056 Isso significa que uma condição necessária e suficiente para a observação do estado do sistema definido pelas equações 1055 e 1056 mostra que o sistema é comple tamente observável Uma vez que tenhamos selecionado os autovalores desejados ou a equação característica desejada o observador de estado de ordem plena poderá ser projetado desde que a planta seja completamente observável Os autovalores desejados da equação característica devem ser esco lhidos de modo que o observador de estado responda pelo menos duas a cinco vezes mais rápido que o sistema de malha fechada considerado Como foi estabelecido anteriormente a equação do observador de estado de ordem plena é xuo A KeCxu Bu Key 1060 Note que até agora estivemos supondo que as matrizes A B e C do observador são exatamente as mesmas da planta física Se existirem discrepâncias entre as matrizes A B e C do observador e da planta as dinâmicas do erro do observador não serão mais governadas pela Equação 1059 Isso significa que o erro pode não tender a zero como esperado Portanto precisamos escolher Ke tal que o observador seja estável e o erro permaneça aceitavelmente pequeno na presença de pequenos erros de modelagem 685 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Técnica da transformação para obtenção da matriz de ganho Ke do observador de estado Seguindo a mesma abordagem que utilizamos na determinação da equação da matriz de ganho K de realimentação de estado podemos obter as seguintes equações a a a a a a K Q WN e n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 h h a a a a a a h R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW 1061 onde Ke é uma matriz n 1 Q WN 1 e a a a a a a 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 N C A C A C W n n n n n 1 1 2 1 2 3 1 g h h g g g g h h h R T S S S S SS 6 V X W W W W WW Recorra ao Problema A1010 para a obtenção da Equação 1061 Abordagem pela substituição direta para obtenção da matriz de ganho Ke do observa dor de estado Da mesma maneira que o caso de alocação de polos se o sistema for de ordem reduzida então a substituição direta da matriz Ke no polinômio característico desejado poderá ser mais simples Por exemplo se x for um vetor de dimensão 3 então escreva a matriz de ganho Ke do observador como K k k k e e e e 1 2 3 H Substitua essa matriz Ke no polinômio característico desejado sI A KeC s μ1s μ2s μ3 Igualando os coeficientes de mesma potência em s em ambos os lados dessa última equação podemos determinar os valores de ke1 ke2 e ke3 Essa abordagem será conveniente se n 1 2 ou 3 onde n é a dimensão do vetor de estado x Embora essa abordagem possa ser utilizada quando n 4 5 6 os cálculos envolvidos poderão se tornar muito tediosos Outra abordagem para a determinação da matriz de ganho Ke do observador de estado refere se ao uso da fórmula de Ackermann Ela é apresentada a seguir Fórmula de Ackermann Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu 1062 y Cx 1063 Na Seção 102 obtivemos a fórmula de Ackermann para o problema de alocação de polos do sis tema definido pela Equação 1062 O resultado foi dado pela Equação 1018 reescrita deste modo K 0 0 0 1BABAn 1B 1zA Para o dual do sistema definido pelas equações 1062 e 1063 ż Az Cυ n Bz a fórmula de Ackermann precedente para a alocação de polos é modificada para K 0 0 0 1CACAn 1C 1zA 1064 686 Engenharia de controle moderno Como foi estabelecido anteriormente a matriz de ganho Ke do observador de estado é dada por K sendo K dada pela Equação 1064 Assim 0 0 0 1 0 0 0 1 K K A C CA CA CA A C CA CA CA e n n n n 2 1 1 2 1 1 h h h h z z h h R T S S S S SS R T S S S S SS R T S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W WW V X W W W W WW V X W W W W WW V X W W W W WW 1065 onde zs é o polinômio característico desejado do observador de estado ou zs s μ1s μ2 s μn onde m1 m2 mn são os autovalores desejados A Equação 1065 é denominada fórmula de Ackermann da determinação da matriz de ganho Ke do observador Comentários sobre a seleção da melhor Ke Com relação à Figura 1011 note que o sinal de realimentação que passa pela matriz de ganho Ke do observador serve como um sinal de cor reção do modelo da planta fazendo que incertezas da planta sejam levadas em consideração Se incertezas significativas estiverem envolvidas o sinal de realimentação que passa pela matriz Ke precisará ser relativamente grande Contudo se a saída do sinal estiver significativamente contaminada por distúrbios e ruídos de medida então a saída y não é confiável e o sinal de realimentação que passa pela matriz Ke deverá ser relativamente pequeno Na determinação da matriz Ke devemos examinar cuidadosamente os efeitos dos distúrbios e dos ruídos de medida relacionados com a saída y Lembrese de que a matriz de ganho Ke do observador depende da equação característica desejada s μ1s μ2 s μn 0 A escolha de um conjunto m1 m2 mn em muitos exemplos não é única Como regra contudo os polos do observador devem ser de duas a cinco vezes mais rápidos que os polos do controlador para garantir que o erro de observação erro de estimação convirja rapidamente para zero Isso significa que o erro de estimativa do observador decai de duas a cinco vezes mais rápido que o vetor de estado x Essa redução mais rápida do erro do observador comparada com as dinâmicas desejadas faz os polos do controlador serem dominantes na resposta do sistema É importante notar que se o ruído do sensor for considerável poderemos escolher os polos do observador mais lentos que duas vezes a velocidade dos polos do controlador tal que a banda passante do sistema se torne menor e filtre o ruído Nesse caso a resposta do sistema será forte mente influenciada pelos polos do observador Se estes estiverem localizados à direita dos polos do controlador no lado esquerdo do plano s a resposta do sistema será dominada pelos polos do observador em vez de pelos polos do controle No projeto de observadores de estado é aconselhável determinar várias matrizes de ganho Ke do observador baseadas em diferentes equações características desejadas Para cada uma das diferentes matrizes Ke devese realizar simulações para determinar o desempenho do sistema resultante Selecionamos então a melhor Ke do ponto de vista do desempenho do sistema glo bal Em vários casos práticos a seleção da melhor matriz Ke se resume a um compromisso entre velocidade de resposta e sensibilidade aos distúrbios e ruídos Exemplo 106 Considere o sistema ẋ Ax Bu y Cx onde A B C 0 1 20 6 0 0 1 0 1 6 G G 687 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Utilizamos a realimentação por estado observado tal que u Kxu Projete um observador de ordem plena supondo que a configuração do sistema seja idêntica àquela mostrada na Figura 1011 Considere que os autovalores desejados da matriz do observador sejam μ1 10 μ2 10 O projeto do observador de estado se reduz à determinação de uma matriz apropriada de ganho Ke do observador Vamos examinar a matriz de observabilidade O posto de 0 1 1 0 C A C 6 G é 2 Por consequência o sistema é completamente observável e a determinação da matriz de ganho do observador é possível Resolveremos esse problema por três métodos Método 1 determinaremos a matriz de ganho do observador com a utilização da Equação 1061 O sistema dado já está na forma canônica observável Assim a matriz de transformação Q WN 1 é I Como a equação característica do sistema dado é 206 0 I A s s s s s a s a 1 20 6 2 2 1 2 6 G temos a1 0 a2 206 A equação característica desejada é s 102 s2 20s 100 s2 α1s α2 0 Logo α1 20 α2 100 Então a matriz de ganho Ke do observador pode ser obtida a partir da Equação 1061 como segue a a 1 0 0 1 100 20 6 20 0 120 6 20 K WN e 1 2 2 1 1 a a h G G G G Método 2 com relação à Equação 1059 ė A KeCe a equação característica do observador resulta em sI A KeC 0 Defina K k k e e e 1 2 G Então a equação característica resulta em s s k k s k s k s k s k 0 0 0 1 20 6 0 0 1 1 20 6 20 6 0 e e e e e e 1 2 1 2 2 2 1 6 G G G 1066 Como a equação característica desejada é s2 20s 100 0 comparando a Equação 1066 com essa última equação obtemos ke1 1206 ke2 20 688 Engenharia de controle moderno ou K 120 6 e 20 G Método 3 utilizaremos a fórmula de Ackermann dada pela Equação 1065 K A C CA 0 1 e 1 z h G G onde zs s μ1s μ2 s2 20s 100 Logo zA A2 20A 100I e 20 100 0 1 1 0 0 1 120 6 20 412 120 6 0 1 1 0 0 1 120 6 20 K A A I e 2 1 h G G G G G G Como era de esperar obtivemos a mesma Ke independentemente do método empregado A equação do observador de estado de ordem plena é dada pela Equação 1057 xuo A KeCxu Bu Key ou x x x x u y 0 1 100 20 0 1 120 6 20 1 2 1 2 uo uo u u G G G G G Por fim note que similarmente ao caso de alocação de polos se a ordem n do sistema for 4 ou maior os métodos 1 e 3 serão recomendados uma vez que todas as manipulações computa cionais podem ser conduzidas por um computador enquanto o método 2 sempre requer cálculos manuais de uma equação característica que envolve parâmetros desconhecidos ke1 ke2 ken Efeitos da adição do observador em um sistema de malha fechada No processo de projeto por alocação de polos vamos supor que o estado real xt estava disponível para fins de realimen tação Na prática contudo o estado real xt pode não ser mensurável de modo que seja preciso projetar um observador e utilizar o estado observado xu t na realimentação como mostra a Figura 1012 O processo de projeto portanto passa a ter dois estágios sendo o primeiro a determina ção da matriz de ganho K de realimentação que produzirá a equação característica desejada e o segundo consiste na determinação da matriz de ganho Ke do observador que produzirá a equação característica do observador desejada Vamos agora investigar o efeito do uso do estado observado xu t em vez do uso do estado real xt na equação característica de um sistema de controle de malha fechada Considere o sistema de estado completamente controlável e observável definido pelas equações ẋ Ax Bu y Cx Para o controle por realimentação de estado baseado no estado observado xu u Kxu Com esse controle a equação de estado resulta em ẋ Ax BKxu A BKx BK x xu 1067 689 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados A diferença entre o estado real xt e o estado observado xu t foi definida como o erro et et xt xu t A substituição do vetor de erro et na Equação 1067 fornece ẋ A BKx BKe 1068 Note que a equação do erro do observador foi dada pela Equação 1059 repetida aqui ė A KeCe 1069 Combinando as equações 1068 e 1069 obtemos x e A BK 0 BK A K C x e e oo G G G 1070 A Equação 1070 descreve as dinâmicas do sistema de controle realimentado por estado obser vado A equação característica do sistema é 0 s s I A BK 0 BK I A K C e G ou sI A BK sI A KeC 0 Note que os polos de malha fechada do sistema de controle realimentado por estado observado consistem nos polos decorrentes do projeto por alocação de polos e dos polos decorrentes do projeto isolado do observador Isso significa que o projeto da alocação de polos e o projeto do observador são independentes entre si Eles podem ser conduzidos separadamente e combi nados para formar o sistema de controle realimentado por estado observado Observe que se a ordem da planta for n então o observador também será de enésima ordem se o observador de estado de ordem plena for usado e a equação característica resultante do sistema de malha fechada global se tornará de ordem 2n Função de transferência do controlador baseado em observador Considere a planta definida por ẋ Ax Bu y Cx FIGURA 1012 u y y A B C Ke K A B C x x Sistema de controle realimentado por estado observado 690 Engenharia de controle moderno Suponha que a planta seja completamente observável Considere que é utilizado um controle do tipo realimentação de estado observado u Kxu Então as equações do observador são dadas por xuo A KeC BKxu Ke y 1071 u Kxu 1072 uma vez que a Equação 1071 é obtida pela substituição de u Kxu na Equação 1057 Considerando a transformada de Laplace da Equação 1071 ao supor uma condição inicial nula e resolvendo para Xs obtemos Xs sI A KeC BK 1KeYs Substituindo este Xs na transformada de Laplace da Equação 1072 obtemos Us KsI A KeC BK 1KeYs 1073 Então a função de transferência UsYs pode ser obtida como K I A K C BK K Y s U s s e e 1 h h h A Figura 1013 mostra a representação por diagrama de blocos do sistema Note que a função de transferência KsI A KeC BK 1Ke age como um controlador do sistema Por isso denominamos a função de transferência Y s U s s den num K I A K C BK K e e 1 h h h 1074 do controlador baseado em observador ou simplesmente função de transferência do controlador observador Note que a matriz do controladorobservador A KeC BK pode ser estável ou não embora A BK e A Ke C sejam escolhidas para serem estáveis De fato em alguns casos a matriz A Ke C BK pode ser pouco estável ou mesmo instável Exemplo 107 Considere o projeto de um sistema regulador para a seguinte planta ẋ Ax Bu 1075 y Cx 1076 onde 0 20 6 1 0 0 1 1 0 A B C 6 G G Suponha que se utilize a abordagem por alocação de polos para projetar o sistema e que os polos desejados de malha fechada para esse sistema estejam em s mi i 1 2 onde m1 18 j24 e m2 18 j24 A matriz de ganho K de realimentação de estado nesse caso resulta em FIGURA 1013 Rs 0 Ys Us Planta Ys KsI A KeC BK1Ke Representação por diagrama de blocos do sistema com um controlador observador 691 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados K 296 36 Utilizando essa matriz de ganho K de realimentação de estado o sinal de controle u fica definido por u x 29 6 3 6 x Kx 1 2 6 G Suponha que se utilize um controle por realimentação do estado observado em vez do controle por realimentação do estado real ou u x 29 6 3 6 x Kx 1 2 u u u 6 G e escolhemos os polos do observador para estar em s 8 s 8 Obtenha a matriz de ganho Ke do observador e desenhe um diagrama de blocos para o sistema de controle realimentado por meio do estado observado Então obtenha a função de transferência UsYs do controladorobservador e desenhe outro diagrama de blocos com o controlador observador como um controlador em série no ramo direto Por fim obtenha a resposta do sistema às seguintes condições iniciais x e x x 0 1 0 0 0 0 0 5 0 u h h h h G G Para o sistema definido pela Equação 1075 o polinômio característico é 206 I A s s s s s a s a 20 6 1 2 2 1 2 Assim a1 0 a2 206 O polinômio característico desejado do observador é s μ1s μ2 s 8s 8 s2 16s 64 s2 α1s α2 Consequentemente α1 16 α2 64 Para a determinação da matriz de ganho do observador utilizamos a Equação 1061 ou K WN a a e 1 2 2 1 1 a a h G onde a 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 N C A C W 1 6 G G G Assim 0 1 1 0 1 0 0 1 64 20 6 16 0 0 1 1 0 84 6 16 16 84 6 Ke 1 G G G G G G 4 1077 A Equação 1077 fornece a matriz de ganho Ke do observador A equação do observador é dada pela Equação 1060 xuo A KeCxu Bu Ke y 1078 692 Engenharia de controle moderno Como u Kxu a Equação 1078 resulta em xuo A KeC BKxu Ke y ou x x x x y x x y 0 20 6 1 0 16 84 6 1 0 0 1 29 6 3 6 16 84 6 16 93 6 1 3 6 16 84 6 1 2 1 2 1 2 uo uo u u u u 6 6 G G G G G G G G G 4 O diagrama de blocos do sistema realimentado por meio do estado observado é mostrado na Figura 1014a Com relação à Equação 1074 a função de transferência do controladorobservador é Y s U s s s s s s s 29 6 3 6 16 93 6 1 3 6 16 84 6 19 6 151 2 778 2 3 690 7 K I A K C BK K e e 1 1 2 h h h 6 G G FIGURA 1014 Rs 0 Ys Us Ys 1 s2 206 b u y x x C A C K B B 0 1 0 1 1 0 1 0 0 206 1 0 0 206 1 0 16 846 296 36 a 7782s 36907 s2 196s 1512 a Diagrama de blocos do sistema realimentado por meio do estado observado b diagrama de blocos da função de transferência do sistema 693 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Logicamente a mesma função de transferência pode ser obtida com o MATLAB Por exemplo o Programa 108 em MATLAB produz a função de transferência do controladorobservador para o caso de um observador de ordem plena A Figura 1014b mostra um diagrama de blocos do sistema A dinâmica do sistema de controle realimentado por meio do estado observado projetado anteriormente pode ser descrita pelas seguintes equações Para a planta x x x x u y x x 0 20 6 1 0 0 1 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G Para o observador x x x x y u x x 16 93 6 1 3 6 16 84 6 29 6 3 6 1 2 1 2 1 2 uo uo u u u u 6 G G G G G O sistema como um todo é de quarta ordem A equação característica do sistema é sI A BKsI A KeC s2 36s 9s2 16s 64 s4 196s3 1306s2 3744s 576 0 A equação característica também pode ser obtida a partir do diagrama de blocos No sistema mostrado na Figura 1014b Uma vez que a função de transferência de malha fechada é R s Y s s s s s s 19 6 151 2 20 6 778 2 3 690 7 778 2 3 690 7 2 2 h h h h a equação característica é s2 196s 1512 s2 206 7782s 36907 s4 196s3 1306s2 3744s 576 0 Naturalmente a equação característica do sistema é a mesma tanto para a representação no espaço de estados como para a representação por função de transferência Por fim obteremos a resposta do sistema à seguinte condição inicial x e 0 1 0 0 0 5 0 h h G G Programa 108 em MATLAB Obtendo a função de transferência de controladorobservador observador de ordem completa A 0 1206 0 B 01 C 1 0 K 296 36 Ke 16846 AA AKeCBK BB Ke CC K DD 0 numden ss2tfAABBCCDD num 10e003 0 07782 36907 den 10000 196000 1512000 694 Engenharia de controle moderno Com relação à Equação 1070 a reposta à condição inicial pode ser determinada a partir de 0 0 1 0 0 5 0 x e A BK 0 BK A K C x e x e e o o h h R T S S S SS V X W W W WW G G G G Um programa em MATLAB que permite obter a resposta é mostrado no Programa 109 em MATLAB As curvas de resposta resultantes são mostradas na Figura 1015 Programa 109 em MATLAB A 0 1 206 0 B 01 C 1 0 K 296 36 Ke 16 846 sys ssABK BK zeros22 AKeCeye4eye4eye4 t 00014 z initialsys10050t x1 1 0 0 0z x2 0 1 0 0z e1 0 0 1 0z e2 0 0 0 1z subplot221 plottx1 grid titleResposta à condição inicial ylabelvariável de estado x1 subplot222 plottx2grid titleResposta à condição inicial ylabelvariável de estado x2 subplot223 plotte1grid xlabelt s ylabelvariável de estado de erro e1 subplot224 plotte2grid xlabelt s ylabelvariável de estado de erro e2 FIGURA 1015 Resposta à condição inicial Resposta à condição inicial variável de estado x1 variável de estado x2 variável de estado de erro e1 variável de estado de erro e2 15 1 05 0 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 t s t s 3 4 05 01 0 01 02 03 04 05 06 15 1 05 0 05 0 05 15 1 2 25 Curvas de resposta à condição inicial 695 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Observador de ordem mínima Os observadores discutidos até agora são projetados para reconstruir todas as variáveis de estado Na prática algumas das variáveis de estado podem ser precisamente medidas e não necessitam ser estimadas Suponha que o vetor de estado x seja um vetor de dimensão n e que a saída seja um vetor y de dimensão m que pode ser medido Como as m variáveis de saída são combinações lineares das variáveis de estado então m variáveis de estado não precisam ser estimadas Precisamos estimar apenas n m variáveis de estado Então o observador de ordem reduzida se torna um observa dor de ordem n m Esse observador de ordem n m é um observador de ordem mínima A Figura 1016 mostra o diagrama de blocos de um sistema com um observador de ordem mínima É importante notar contudo que se a medida das variáveis de saída envolve ruídos signifi cativos e é relativamente imprecisa então o uso de observadores de ordem plena poderá resultar em um desempenho melhor Para apresentar a ideia básica do observador de ordem mínima sem complicações matemáticas desnecessárias mostraremos o caso em que a saída é um escalar ou seja m 1 e obteremos as equações de estado do observador de ordem mínima Considere o sistema ẋ Ax Bu 1079 y Cx 1080 onde o vetor de estado x pode ser dividido em duas partes xa um escalar e xb um vetor de dimensão n 1 Aqui a variável de estado xa é igual à saída y e portanto pode ser diretamente medida enquanto xb é a porção não mensurável do vetor de estado Desse modo a equação de estado particionado e a de saída resultam em x A x B u x A A A x B a b aa ba ab bb a b a b o o H H H H 1081 1 y x 0 x a b 6 G 1082 onde Aaa escalar Aab matriz 1 n 1 Aba matriz n 1 1 Abb matriz n 1 n 1 Ba escalar Bb matriz n 1 1 FIGURA 1016 u y x y Planta C A B K x Observador de ordem mínima Transformação Sistema de controle realimentado por estado observado com um observador de ordem mínima 696 Engenharia de controle moderno A partir da Equação 1081 a equação da porção mensurável do estado resulta em ẋa Aaaxa Aabxb Bau ou ẋa Aaaxa Bau Aabxb 1083 Os termos do lado esquerdo da Equação 1083 podem ser medidos Essa equação age como a equação de saída No projeto de observadores de ordem mínima consideramos o lado esquerdo dessa equação como quantidades conhecidas Assim a equação 1083 relaciona quantidades mensuráveis e não mensuráveis de estado Da Equação 1081 a equação da porção não mensurável do estado resulta em ẋb Aba xb Abbxb Bbu 1084 Sabendo que os termos Abaxa e Bbu são quantidades conhecidas a Equação 1084 descreve as dinâmicas da porção não mensurável do estado A seguir apresentaremos um método para a determinação do observador de ordem mínima O procedimento de projeto pode ser simplificado se utilizarmos a técnica de projeto desenvolvida para o observador de ordem plena Vamos comparar a equação de estado do observador de ordem plena com a do observador de ordem mínima A equação de estado do observador de estado de ordem plena é ẋ Ax Bu e a equação de estado do observador de ordem mínima é ẋb Abb xa Aba xa Bbu A equação de saída do observador de ordem plena é y Cx e a equação de saída do observador de ordem mínima é ẋa Aaaxa Bau Aab xb O projeto do observador de ordem mínima pode ser conduzido como segue primeiro note que a equação do observador de ordem plena é dada pela Equação 1057 que repetimos aqui xuo A KeCxu Bu Ke y 1085 Então fazendo as substituições da Tabela 101 na Equação 1085 obtemos xuo b Abb KeAabxub Aba xa Bbu Ke ẋa Aaa xa Bau 1086 onde a matriz de ganho Ke do observador de estado é uma matriz n 1 1 Na Equação 1086 note que para estimar xub precisamos diferenciar xa Isso representa uma dificuldade pois a dife renciação amplifica ruídos Se xa y for ruidoso o uso de ẋa será inaceitável TABELA 101 Observador de estado de ordem mínima A A bb Bu y A C ab Ke matriz n 1 Ke matriz n 1 1 x a Aaa xa Ba u Aba x a Bb u x b x Observador de estado de ordem plena Lista das substituições necessárias para escrever a equação do observador de estado de ordem mínima 697 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Para evitar essa dificuldade eliminamos ẋa da seguinte maneira Primeiro reescreva a Equação 1086 como xuo b Ke ẋa Abb KeAab xu b Aba KeAaay Bb KeBau Abb KeAabxu b Ke y Abb KeAabKe Aba KeAaa y Bb KeBau 1087 Defina xb Ke y xb Ke xa h e xu b Ke y xu b Ke xa hu 1088 Então a Equação 1087 resulta em huo Abb KeAabhu Abb Ke AabKe Aba KeAaay Bb Ke Bau 1089 Defina  Abb KeAab B ÂKe Aba Ke Aaa F Bb KeBa Então a Equação 1089 resulta em huo Âhu B y F u 1090 Juntas as equações 1090 e 1088 definem o observador de ordem mínima Como 1 y x x y y y 1 0 x x x x 0 I K K x a b a b b n b e e 1 u u u u 6 6 G G G G G onde 0 é um vetorlinha que contém n 1 zeros se definirmos 1 C 0 I D K n e 1 t t G G então poderemos escrever xu em termos de hu e y como segue xu Ĉhu D y 1091 Essa equação fornece a transformação de hu em xu A Figura 1017 mostra o diagrama de blocos do sistema de controle realimentado por estado observado com o observador de ordem mínima fundamentado nas equações 1079 1080 1090 e 1091 e u Kxu Em seguida obteremos a equação do erro do observador Utilizando a Equação 1083 a Equação 1086 pode ser modificada para xuo b Abb KeAabxub Aba xa Bbu KeAabxb 1092 Subtraindo a Equação 1092 da Equação 1084 obtemos ẋb xuo b Abb KeAabxb xu b 1093 Defina e xb xu b h hu 698 Engenharia de controle moderno Então a Equação 1093 resulta em ė Abb KeAabe 1094 Esta é a equação do erro do observador de ordem mínima Note que e é um vetor de dimensão n 1 As dinâmicas de erro podem ser livremente escolhidas seguindose a técnica desenvolvida para o observador de ordem plena desde que o posto da matriz A A A A A ab ab bb ab bb n 2 h R T S S S S SS V X W W W W WW seja n 1 Esta é a condição de observabilidade completa aplicada ao observador de ordem mínima A equação característica do observador de ordem mínima é obtida a partir da Equação 1094 como segue sI Abb KeAab s μ1s μ2 s μn 1 sn 1 α 1sn 2 α n 2s α n 1 0 1095 onde m1 m2 mn 1 são os autovalores desejados do observador de ordem mínima A matriz de ganho Ke do observador pode ser determinada escolhendose primeiro os autovalores dese jados do observador de ordem mínima ou seja alocandose as raízes da equação característica a Equação 1095 nas posições desejadas e utilizandose o procedimento desenvolvido para o observador de ordem plena com as modificações apropriadas Por exemplo se a fórmula de determinação da matriz de ganho Ke dada pela Equação 1061 for utilizada ela deverá ser modificada para FIGURA 1017 u y x x C B K Observador de ordem mínima Transformação D C F A B x A h h Sistema com realimentação por estado observado onde o observador é de ordem mínima 699 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados a a a a a a K Q WN e n n n n n n n n 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 h h a a a a a a t t t t t t t t t t t t t t t h R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW 1096 onde Ke será uma matriz n 1 1 e matriz n n a a a a a a n n 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 matriz N A A A A A W ab bb ab bb n ab n n n n 2 2 3 1 3 4 1 g h h g g g g h h t t t t t t t t h h h h h R T S S S S SS 6 V X W W W W WW Note que â1 â2 ân 2 são os coeficientes na equação característica da equação de estado sI Abb sn 1 â1sn 2 ân 2s ân 1 0 Da mesma maneira se a fórmula de Ackermann dada pela Equação 1065 for usada então ela deverá ser modificada para K A A A A A A A A 0 0 0 1 e bb ab ab bb ab bb n ab bb n 3 2 1 h h z h R T S S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W W WW V X W W W W WW 1097 onde zAbb Abb n 1 α 1Abb n 2 α n 2Abb α n 1I Sistema de controle realimentado por meio de estado observado com observador de ordem mínima Para o caso do sistema de controle realimentado por estado observado com observador de ordem plena mostramos que os polos de malha fechada consistem nos polos devidos ao projeto isolado da alocação de polos e dos polos devidos ao projeto isolado do observador Consequentemente o projeto da alocação de polos e o projeto do observador de estado de ordem plena são independentes entre si Para o caso do sistema de controle realimentado por estado observado com observador de ordem mínima a mesma conclusão se aplica A equação característica do sistema pode ser obtida como sI A BKsI Abb KeAab 0 1098 Veja o Problema A1011 para obter detalhes Os polos de malha fechada do sistema de contro le realimentado por estado observado com um observador de ordem mínima compreendem os polos de malha fechada da alocação de polos os autovalores da matriz A BK e os polos de malha fechada devidos ao observador de ordem mínima os autovalores da matriz Abb KeAab Portanto o projeto da alocação de polos e o projeto do observador de estado de ordem mínima são independentes entre si Determinação da matriz de ganho Ke do observador com o MATLAB Por causa da dua lidade entre a alocação de polos e o projeto do observador o mesmo algoritmo pode ser aplicado tanto para o problema de alocação de polos como para o problema de projeto do observador Assim os comandos acker e place podem ser usados para a determinação da matriz de ganho Ke do observador Os polos de malha fechada do observador são os autovalores da matriz A Ke C Os polos de malha fechada do problema de alocação de polos são os autovalores da matriz A BK 700 Engenharia de controle moderno Com base na dualidade entre o problema de alocação de polos e o problema de projeto do observador podemos determinar Ke considerando o problema de alocação de polos para o sis tema dual Ou seja determinamos Ke por meio da alocação dos autovalores de A CKe nas posições desejadas Como Ke K para o observador de ordem plena utilizamos o comando Ke ackerACL onde L é o vetor dos autovalores desejados do observador Da mesma maneira podemos utilizar para o observador de ordem plena Ke placeACL desde que L não contenha polos múltiplos Nos comandos anteriores o apóstrofo indica a transposição Para os observadores de ordem mínima ou ordem reduzida use os seguintes comandos Ke ackerAbbAabL ou Ke placeAbbAabL Exemplo 108 Considere o sistema ẋ Ax Bu y Cx onde A B C 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 1 1 0 0 R T S S SS 6 V X W W WW H Vamos supor que desejemos alocar os polos de malha fechada em s1 2 j2 3 s2 2 j2 3 s3 6 Então a matriz de ganho K necessária da realimentação de estado resultará em K 90 29 4 Veja o Programa 1010 em MATLAB para a determinação da matriz K com o MATLAB Em seguida vamos supor que a saída y possa ser medida precisamente tal que a variável de estado x1 que é igual a y não precise ser estimada Vamos projetar um observador de ordem mínima O observador de ordem mínima é de segunda ordem Suponha que escolhemos os polos desejados de malha fechada em s 10 s 10 Com relação à Equação 1095 a equação característica do observador de ordem mínima é sI Abb KeAab s μ1s μ2 s 10s 10 s2 20s 100 0 A seguir utilizaremos a fórmula de Ackermann dada pela Equação 1097 0 1 K A A A A e bb ab ab bb 1 z h G G 1099 onde zAbb Abb 2 α 1Abb α 2I Abb 2 20Abb 100I Como x x x x 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 1 x x A B a b 1 2 3 u u u u G H H H 701 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados temos 0 0 A B 1 0 0 6 0 11 1 6 0 1 A A A B aa ab ba bb a b 6 H G H A Equação 1099 agora resulta em 0 11 1 6 20 0 11 1 6 100 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 89 154 14 5 0 1 14 5 Ke 2 1 G G G G G G G G 4 A determinação desta Ke com o MATLAB é dada pelo Programa 1010 em MATLAB Com relação às equações 1088 e 1089 a equação do observador de ordem mínima pode ser dada por huo Abb Ke Aabhu Abb Ke AabKe Aba Ke Aaay Bb Ke Bau 10100 onde hu xu b Ke y xu b Ke x1 Sabendo que 0 11 1 6 14 5 1 0 14 16 1 6 A K A bb e ab 6 G G G a equação do observador de ordem mínima Equação 10100 resulta em y u 14 16 1 6 14 16 1 6 14 5 0 6 14 5 0 0 1 14 5 0 2 3 2 3 h h h h uo uo u u G G G G G G G G G 4 4 ou y u 14 16 1 6 191 260 0 1 2 3 2 3 h h h h uo uo u u G G G G G Programa 1010 em MATLAB A 0 1 00 0 16 11 6 B 001 J 2j2sqrt3 2j2sqrt3 6 K ackerABJ K 900000 290000 40000 Abb 0 111 6 Aab 1 0 L 10 10 Ke ackerAbbAabL Ke 14 5 702 Engenharia de controle moderno onde x x Ke y 2 3 2 3 h h u u u u G G ou x x Ke x 2 3 2 3 1 h h u u u u G G Se a realimentação do estado observado for utilizada então o sinal de controle u resultará em Kx K u x x x 1 2 3 u u u H onde K será a matriz de ganho de realimentação de estado A Figura 1018 é um diagrama de blocos que mostra a configuração do sistema com a realimentação do estado observado onde o observador é de ordem mínima Função de transferência do controlador baseado em observador de ordem mínima Na equação do observador de ordem mínima dada pela Equação 1089 huo Abb KeAabhu Abb KeAabKe Aba KeAaay Bb KeBau defina similarmente à determinação da Equação 1090  Abb KeAab B ÂKe Aba Ke Aaa F Bb Ke Ba FIGURA 1018 h h u y x x Planta C A B Observador de ordem mínima Transformação 0 1 0 0 1 0 0 0 1 x1 Kex1 1 Ke 1 14 5 0 6 14 5 14 16 1 6 Bb KeBa Abb KeAab Aba KeAaa Ke 90 29 4 K h Sistema com realimentação por estado observado onde o observador de ordem mínima é projetado conforme o Exemplo 108 703 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Então as três equações seguintes definem o observador de ordem mínima huo Âhu B y F u 10101 hu xu b Ke y 10102 u Kxu 10103 Como a Equação 10103 poda ser reescrita como u K y K y K y Kx K x K x K K K a b b a b b b a b e h u u u u h 6 G 10104 pela substituição da Equação 10104 na Equação 10101 obtemos huo Âhu B y F Kbhu Ka KbKey  F Kbhu B F Ka KbKe y 10105 Defina à  F Kb B B F Ka KbKe C Kb D Ka KbKe Então as equações 10104 e 10105 podem ser escritas como huo Ãhu By 10106 u Chu Dy 10107 As equações 10106 e 10107 definem o controlador baseado em observador de ordem mínima Considerando u como saída e y como entrada Us pode ser escrita como Us CsI à 1B DYs CsI à 1B D Ys Como a entrada do controladorobservador é Ys em vez de Ys a função de transferência do controladorobservador é Y s U s s D den num C I A 1 B u u u u h h h 6 10108 Essa função de transferência pode ser facilmente obtida com o uso da seguinte declaração em MATLAB numden ss2tfAtilde Btilde Ctilde Dtilde 10109 106 Projeto de sistemas reguladores com observadores Nesta seção vamos considerar um problema de projeto de sistemas reguladores utilizando o método de alocação de polos com observador Considere o sistema regulador mostrado na Figura 1019 A entrada de referência é zero A função de transferência da planta é G s s s s s 4 6 10 2 h h h h Utilizando o método de alocação de polos projete um controlador de modo que quando o sistema for submetido à seguinte condição inicial 704 Engenharia de controle moderno 0 1 0 0 0 1 0 x e h h H G onde x é o vetor de estado da planta e e é o vetor de erro do observador o máximo sobressinal de yt seja de 25 a 35 e o tempo de acomodação seja de cerca de 4 s Suponha que estejamos utilizando um observador de ordem mínima Vamos supor que apenas a saída y seja mensurável Utilizaremos o seguinte procedimento de projeto 1 Obtenha um modelo para a planta no espaço de estados 2 Escolha os polos de malha fechada para efeito de alocação de polos e os polos desejados do observador 3 Determine a matriz de ganho de realimentação de estado K e a matriz de ganho Ke do observador 4 Utilizando as matrizes de ganho K e Ke obtidas na etapa 3 obtenha a função de trans ferência do controladorobservador Se for um controlador estável verifique a resposta para dada condição inicial Se a resposta não for aceitável ajuste a alocação de polos de malha fechada eou a alocação de polos do observador até obter uma resposta aceitável Etapa 1 do projeto vamos obter a representação no espaço de estados da planta Como a função de transferência da planta é U s Y s s s s s 4 6 10 2 h h h h h a equação diferencial correspondente é yq 10ӱ 24ẏ 10u 20u Considerando a Seção 25 vamos definir as variáveis de estado x1 x2 e x3 como segue x1 y β0u x2 ẋ1 β1u x3 ẋ2 β2u Além disso ẋ3 é definido por ẋ3 a3x1 a2x2 a1x3 β3u 24x2 10x3 β3u onde β0 0 β1 0 β2 10 e β3 80 Veja a Equação 235 para cálculo dos b Em seguida a equação no espaço de estados e a equação de saída podem ser obtidas como segue x x x x x x u 0 0 0 1 0 24 0 1 10 0 10 80 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H FIGURA 1019 r 0 y u Planta y Controlador Sistema regulador 705 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados y x x x u 1 0 0 0 1 2 3 o o o 6 6 H Etapa 2 do projeto como primeira tentativa vamos escolher os polos de malha fechada dese jados em s 1 j2 s 1 j2 s 5 e escolher os polos desejados do observador em s 10 s 10 Etapa 3 do projeto utilizaremos o MATLAB para calcular a matriz de ganho K de realimentação de estado e a matriz de ganho Ke do observador O Programa 1011 em MATLAB produz as matrizes K e Ke No programa as matrizes J e L representam os polos de malha fechada desejados para efeito de alocação de polos e de polos desejados do observador respectivamente As matrizes K e Ke são obtidas como K 1 25 1 25 0 19375 10 24 K e 6 G Etapa 4 do projeto vamos determinar a função de transferência do controladorobservador Considerando a Equação 10108 a função de transferência do controladorobservador pode ser dada por G s Y s U s s D den num C I A B c 1 u u u u h h h h 6 Utilizaremos o MATLAB para calcular a função de transferência do controladorobservador O Programa 1012 em MATLAB produz essa função de transferência O resultado é G s s s s s s s s s 17 30 9 1 73 5 125 18 6119 1 6119 9 1 5 6425 2 4344 c 2 2 h h h h h Defina como Sistema 1 o sistema com esse controladorobservador A Figura 1020 mostra o diagrama de blocos do Sistema 1 Programa 1011 em MATLAB Obtendose a matriz de ganhos de realimentação de estados K A 0 1 00 0 10 24 10 B 01080 C 1 0 0 J 1j2 1j2 5 K ackerABJ K 12500 12500 019375 Obtendose a matriz de ganho do observador Ke Aaa 0 Aab 1 0 Aba 00 Abb 0 124 10Ba 0 Bb 1080 L 10 10 Ke ackerAbbAabL Ke 10 24 706 Engenharia de controle moderno Programa 1012 em MATLAB Determinação de funçáo de transferência do controladorobservador A 0 1 00 0 10 24 10 B 01080 Aaa 0 Aab 1 0 Aba 00 Abb 0 124 10 Ba 0 Bb 1080 Ka 125 Kb 125 019375 Ke 1024 Ahat Abb KeAab Bhat AhatKe Aba KeAaa Fhat Bb KeBa Atilde Ahat FhatKb Btilde Bhat FhatKa KbKe Ctilde Kb Dtilde Ka KbKe numden ss2tfAtilde Btilde Ctilde Dtilde num 91000 735000 1250000 den 10000 170000 300000 O controladorobservador tem um polo no semiplano direito do plano s 16119 A exis tência de um polo de malha aberta no semiplano direito do plano s no controladorobservador significa que o sistema é de malha aberta e instável embora o sistema de malha fechada seja estável Isso pode ser visto a partir da equação característica deste último sistema sI A BK sI Abb KeAab s5 27s4 255s3 1025s2 2000s 2500 s 1 j2s 1 j2s 5s 10s 10 0 Veja o Programa 1013 em MATLAB para o cálculo da equação característica Uma desvantagem de utilizar um controlador instável é que o sistema se torna instável se o ganho do sistema se tornar pequeno Esse sistema de controle não é nem desejado nem aceitável Então para obter um sistema satisfatório é necessário modificar a alocação de polos de malha fechada eou a alocação de polos do observador Programa 1013 em MATLAB Obtendose a equação característica num1den1 ss2tfABKeye3eye3eye31 num2den2 ss2tfAbbKeAabeye2eye2eye21 characteq convden1den2 characteq 10e003 00010 00270 02550 10250 20000 25000 FIGURA 1020 r 0 y u 91s2 735s 125 s2 17s 30 10s 2 ss 4 s 6 Controladorobservador Planta Diagrama de blocos do Sistema 1 707 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Segunda tentativa vamos conservar os polos de malha fechada desejados como antes para efeito de alocação de polos mas vamos modificar a localização dos polos do observador como segue s 45 s 45 Assim L 45 45 Utilizando o MATLAB encontramos a nova matriz Ke como 1 6 25 Ke G A seguir vamos obter a função de transferência do controladorobservador O Programa 1014 em MATLAB produz essa função de transferência como segue G s s s s s s s s s 6 2 1406 1 2109 11 2125 25 3125 5 619 0 381 1 2109 5 3582 3 9012 c 2 2 h h h h h Note que este é um controlador estável Defina como Sistema 2 o sistema com esse controlador observador Para obtermos a resposta do Sistema 2 a dada condição inicial vamos prosseguir 0 1 0 0 0 1 0 x e h h H G Pela substituição de u Kxu na equação no espaço de estados da planta obtemos e x x 0 0 x Ax BKx Ax BK x Ax BK x e Ax BK x e Ax BKx B K K a b a b a b o u u u 6 G G G G 3 10110 A equação do erro do observador de ordem mínima é ė Abb KeAabe 10111 Programa 1014 em MATLAB Determinação da função de transferência do controladorobservador A 0 1 00 0 10 24 10 B 01080 Aaa 0 Aab 1 0 Aba 00 Abb 0 124 10 Ba 0 Bb 1080 Ka 125 Kb 125 019375 Ke 1625 Ahat Abb KeAab Bhat AhatKe Aba KeAaa Fhat Bb KeBa Atilde Ahat FhatKb Btilde Bhat FhatKa KbKe Ctilde Kb Dtilde Ka KbKe numden ss2tfAtildeBtildeCtildeDtilde num 12109 112125 253125 den 10000 60000 21406 708 Engenharia de controle moderno Combinando as equações 10110 e 10111 obtemos x e A BK 0 BK A K A x e b bb e ab oo G G H com a condição inicial 0 0 1 0 0 1 0 x e h h R T S S S S SS V X W W W W WW G O Programa 1015 em MATLAB produz a resposta a dada condição inicial A Figura 1021 mostra as curvas de resposta Elas parecem ser aceitáveis Programa 1015 em MATLAB Resposta à condição inicial A 0 1 00 0 10 24 10 B 01080 K 125 125 019375 Kb 125 019375 Ke 1625 Aab 1 0 Abb 0 124 10 AA ABK BKb zeros23 AbbKeAab sys ssAAeye5eye5eye5 t 00018 x initialsys10010t x1 1 0 0 0 0x x2 0 1 0 0 0x x3 0 0 1 0 0x e1 0 0 0 1 0x e2 0 0 0 0 1x subplot321 plottx1 grid xlabel t s ylabelx1 subplot322 plottx2 grid xlabel t s ylabelx2 subplot323 plottx3 grid xlabel t s ylabelx3 subplot324 plotte1 grid xlabelt s ylabele1 subplot325 plotte2 grid xlabelt s ylabele2 Em seguida verificaremos as características da resposta em frequência O diagrama de Bode de malha aberta do sistema projetado está indicado na Figura 1022 A margem de fase é de cerca de 40 e a margem de ganho é dB A Figura 1023 mostra o diagrama de Bode do sistema de malha fechada A banda passante do sistema é de aproximadamente 38 rads Por fim vamos comparar os gráficos do lugar das raízes do primeiro sistema com L 10 10 e o do segundo sistema com L 45 45 O gráfico do primeiro sistema indicado na Figura 1024a mostra que o sistema é instável para pequenos ganhos cc e se torna estável para ganhos cc elevados Por outro lado o gráfico do segundo sistema indicado na Figura 1024b mostra que o sistema é estável para qualquer ganho cc positivo Comentários 1 No projeto de sistemas reguladores note que se os polos dominantes do controlador estiverem situados muito à esquerda do eixo j os elementos da matriz de ganho K de 709 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados FIGURA 1021 x1 0 2 4 6 8 t s 0 2 4 6 8 t s 0 2 4 6 8 t s 0 2 4 6 8 t s 0 2 4 6 8 t s 05 0 05 1 e2 3 2 1 0 x2 15 05 1 0 05 x3 5 5 0 10 15 e1 0 1 05 15 Resposta à condição inicial x10 1 x20 0 x30 0 e10 1 e20 0 FIGURA 1022 Frequência rads Diagrama de Bode do Sistema 2 malha aberta 200 150 100 50 100 Fase graus Magnitude dB 50 0 50 100 103 102 101 100 101 102 Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta do Sistema 2 710 Engenharia de controle moderno realimentação de estado se tornarão grandes Os valores elevados de ganho farão que a saída do atuador seja grande de modo que haja saturações Então o sistema projetado não se comportará conforme o previsto 2 Também pelo posicionamento dos polos do observador bem à esquerda do eixo j o controladorobservador se torna instável embora o sistema de malha fechada seja estável Um controladorobservador instável não é aceitável 3 Se o controladorobservador se tornar instável mova os polos do observador para a direita no semiplano esquerdo do plano s até que o controladorobservador se torne estável Tam bém pode ser necessário modificar as localizações dos polos de malha fechada desejados FIGURA 1023 Frequência rads Diagrama de Bode do Sistema 2 malha fechada 200 50 100 150 0 60 40 Fase graus Magnitude dB 20 20 0 101 100 101 102 Diagrama de Bode da função de transferência de malha fechada do Sistema 2 FIGURA 1024 Gráfico do lugar das raízes de 91s3 917s2 2720s 2500 s5 27s4 164s3 108s2 720s Eixo real Eixo imaginário 2 4 6 814 12 10 8 6 4 2 0 2 4 2 0 6 8 a Gráfico do lugar das raízes de 12109s3 136343s2 477375s 50625 s5 16s4 861406s3 165406s2 513744s Eixo real Eixo imaginário 2 3 4 58 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 4 5 b a Gráfico do lugar das raízes do sistema com polos do observador em s 10 e s 10 b gráfico do lugar das raízes do sistema com polos do observador em s 45 e s 45 711 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados 4 Note que se os polos do observador estiverem situados muito à esquerda do eixo j a banda passante do observador aumentará e causará problemas de ruídos Se houver um problema sério de ruído os polos do observador não poderão ficar alocados muito à esquerda do eixo j O requisito geral é que a banda passante seja suficientemente baixa para que o ruído do sensor não se torne um problema 5 A banda passante do sistema com o observador de ordem mínima é mais alta que a do sistema com o observador de ordem plena uma vez que os polos múltiplos do observador estão situados no mesmo lugar para ambos os observadores Se o ruído do sensor for um problema sério o uso de um observador de ordem plena será recomendável 107 Projeto de sistemas de controle com observadores Na Seção 106 discutimos o projeto de sistemas reguladores com observadores Os siste mas não tinham referência ou entradas de comando Nesta seção vamos considerar o projeto de sistemas de controle com observadores quando os sistemas tiverem entradas de referência ou entradas de comando A saída do sistema de controle deve seguir a entrada que é variável no tempo Ao seguir a entrada de comando o sistema deve apresentar desempenho satisfatório um tempo razoável de subida sobressinal tempo de acomodação e assim por diante Nesta seção vamos considerar sistemas de controle que são projetados utilizandose a alocação de polos com observador Vamos considerar especificamente sistemas utilizando controladoresobservadores Na Seção 106 discutimos os sistemas reguladores cujo diagrama de blocos está indicado na Figura 1025 Esse sistema não tem entrada de referência ou seja r 0 Quando o sistema tem uma entrada de referência são concebíveis várias configurações de diagramas de blocos cada uma tendo um controladorobservador As figuras 1026a e b apresentam duas dessas configurações vamos considerálas nesta seção Configuração 1 considere o sistema indicado na Figura 1027 Nesse sistema a entrada de refe rência é simplesmente adicionada ao somador Gostaríamos de projetar o controladorobservador de modo que na resposta ao degrau unitário o máximo sobressinal seja menor do que 30 e o tempo de acomodação esteja em torno de 5 s A seguir vamos projetar primeiro um sistema regulador Em seguida utilizando o controlador observador projetado vamos simplesmente adicionar a entrada de referência r no somador Antes de projetar o controladorobservador necessitamos obter a representação da planta no espaço de estados Como U s Y s s s 1 21 h h h obtemos yq ẏ u FIGURA 1025 r 0 y u y Controladorobservador Planta Sistema regulador 712 Engenharia de controle moderno Escolhendo as variáveis de estado x1 y x2 ẏ x3 ӱ temos ẋ Ax Bu y Cx onde 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 A B C 6 H H Em seguida escolhemos os polos de malha fechada desejados para efeito de alocação de polos em s 1 j s 1 j s 8 e os polos desejados do observador em s 4 s 4 A matriz de ganho K de realimentação de estado e a matriz de ganho Ke do observador podem ser obtidas como segue 16 17 10 8 15 K Ke 6 G FIGURA 1026 r y Planta r u Controlador observador u r y u Planta r y Controlador observador a b a Sistema de controle com controlador observador no ramo direito b sistema de controle com controlador observador no ramo de realimentação FIGURA 1027 r y u Controlador observador 1 ss2 1 Planta Sistema de controle com controlador observador no ramo direto 713 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Veja o Programa 1016 em MATLAB Programa 1016 em MATLAB A 0 1 00 0 10 1 0 B 001 J 1j 1j 8 K ackerABJ K 16 17 10 Aab 1 0 Abb 0 11 0 L 4 4 Ke ackerAbbAabL Ke 8 15 A função de transferência do controladorobservador é obtida por meio do Programa 1017 em MATLAB O resultado é G s s s s s s j s j s j s j 18 113 302 303 256 9 5 6569 9 5 6569 302 0 5017 0 772 0 5017 0 772 c 2 2 h h h h h Programa 1017 em MATLAB Determinação da função de transferência do controladorobservador A 0 1 00 0 10 1 0 B 001 Aaa 0 Aab 1 0 Aba 00 Abb 0 11 0 Ba 0 Bb 01 Ka 16 Kb17 10 Ke 815 Ahat Abb KeAab Bhat AhatKe Aba KeAaa Fhat Bb KeBa Atilde Ahat FhatKb Btilde Bhat FhatKa KbKe Ctilde Kb Dtilde Ka KbKe numden ss2tfAtildeBtildeCtildeDtilde num 3020000 3030000 2560000 den 1 18 113 A Figura 1028 apresenta o diagrama de blocos do sistema regulador que acabou de ser pro jetado A Figura 1029 mostra o diagrama de blocos de uma configuração possível do sistema de controle baseado no sistema regulador da Figura 1028 A curva de resposta ao degrau unitário desse sistema de controle está indicada na Figura 1030 O máximo sobressinal é de cerca de 28 e o tempo de acomodação é de cerca de 45 s Assim o sistema projetado satisfaz os requisitos do projeto Configuração 2 a Figura 1031 mostra uma configuração diferente do sistema de controle O controladorobservador está situado no ramo de realimentação A entrada r é introduzida no sistema de malha fechada por meio do bloco de ganho N A partir desse diagrama de blocos a função de transferência é obtida como 714 Engenharia de controle moderno FIGURA 1028 y y u 302s2 303s 256 s2 18s 113 Controladorobservador 1 ss2 1 Planta Sistema regulador com controlador observador FIGURA 1029 y r y r u 302s2 303s 256 s2 18s 113 1 ss2 1 Controladorobservador Planta Sistema de controle com controlador observador no ramo direto FIGURA 1030 Saída y t s Resposta ao degrau unitário de 302s2 303s 256s5 18s4 114s3 320s2 416s 256 06 08 1 12 14 04 02 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resposta ao degrau unitário do sistema de controle mostrado na Figura 1029 FIGURA 1031 y Nr u u r 302s2 303s 256 s2 18s 113 1 ss2 1 N Sistema de controle com controlador observador no ramo de realimentação 715 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados R s Y s s s s s s s N s s 1 18 113 302 303 256 18 113 2 2 2 2 h h h h h Determinamos o valor da constante N tal que para a entrada r em degrau unitário a saída y se torne unitária à medida que t tende a infinito Assim escolhemos 22655 N 113 256 A Figura 1032 mostra a resposta do sistema ao degrau unitário Note que o máximo sobressinal é muito pequeno aproximadamente 4 O tempo de acomodação é de cerca de 5 s Comentários Consideramos duas configurações possíveis para os sistemas de controle de malha fechada utilizando controladoresobservadores Como foi afirmado anteriormente outras configurações são possíveis A primeira configuração que posiciona o controladorobservador no ramo direto geralmente fornece um sobressinal consideravelmente grande A segunda configuração que posiciona o controladorobservador no ramo de realimentação produz um sobressinal menor Essa curva de resposta é bastante similar à do sistema projetado pelo método de alocação de polos utilizando o controladorobservador Veja a curva de resposta do sistema ao degrau unitário mostrada na Figura 1033 projetada pelo método de alocação de polos sem observador Aqui os polos dese jados de malha fechada utilizados são s 1 j s 1 j s 8 Note que nesses dois sistemas o tempo de subida e o tempo de acomodação são determinados principalmente pelos polos desejados de malha fechada para efeito de alocação de polos Veja as figuras 1032 e 1033 Os diagramas de Bode do sistema 1 de malha fechada indicado na Figura 1029 e do sistema 2 de malha fechada mostrado na Figura 1031 são apresentados na Figura 1034 A partir dessa figura vemos que a banda passante do sistema 1 é 5 rads e a do sistema 2 é 13 rads Resumo do método de projeto no espaço de estados 1 O método de projeto no espaço de estados com base no enfoque de alocação de polos combinado com observador é muito poderoso É um método no domínio do tempo Os FIGURA 1032 Saída y t s Resposta ao degrau unitário de 22655s2 40779s 256s5 18s4 114s3 320s2 416s 256 06 08 1 12 14 04 02 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resposta ao degrau unitário do sistema indicado na Figura 1031 Os polos de malha fechada para efeito de alocação de polos são s 1 j s 8 Os polos do observador estão em s 4 s 4 716 Engenharia de controle moderno polos desejados de malha fechada podem ser alocados arbitrariamente desde que a planta seja de estado completamente controlável 2 Se nem todas as variáveis de estado puderem ser medidas devese incorporar um obser vador para estimar as variáveis de estado não mensuráveis 3 No projeto de um sistema utilizando o método de alocação de polos é necessário con siderar vários conjuntos diferentes de polos de malha fechada desejados comparar as características de resposta e escolher a melhor delas 4 A banda passante do controladorobservador geralmente é grande porque escolhemos polos do observador bem à esquerda no plano s Uma banda passante grande transmite ruídos de alta frequência causando problemas de ruído FIGURA 1033 Saída y t s Resposta ao degrau unitário do sistema sem observador 06 08 1 12 14 04 02 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resposta ao degrau unitário do sistema de controle projetado pelo método de alocação de polos sem observador Os polos de malha fechada estão em s 1 j s 8 FIGURA 1034 Frequência rads Diagrama de Bode dos sistemas de malha fechada 300 0 100 200 100 150 100 Fase graus Magnitude dB 50 50 0 101 100 101 102 Sistema 1 Sistema 2 Sistema 1 Sistema 2 Diagramas de Bode do sistema 1 de malha fechada mostrado na Figura 1029 e do sistema 2 de malha fechada mostrado na Figura 1031 717 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados 5 Geralmente a adição de um observador ao sistema reduz a margem de estabilidade Em alguns casos um controladorobservador pode ter zeros no semiplano direito do plano s o que significa que o controlador pode ser estável mas de fase não mínima Em outros casos o controlador pode ter polos no semiplano direito do plano s isto é o controlador é instável Então o sistema projetado pode se tornar condicionalmente estável 6 Quando o sistema é projetado pelo método de alocação de polos com observador é reco mendável verificar as margens de estabilidade margem de fase e margem de ganho utilizandose o método da resposta em frequência Se as margens de estabilidade do sis tema projetado forem pequenas é possível que o sistema se torne instável se o modelo matemático envolver incertezas 7 Note que para sistemas de ordem n os métodos clássicos de projeto os métodos do lugar das raízes e de resposta em frequência resultam em compensadores de ordem pequena primeira ou segunda ordens Como os controladores com base em observadores são de ordem n ou de ordem N m se for utilizado o observador de ordem mínima para um sistema de ordem n o sistema projetado se tornará de ordem 2n ou de ordem 2n m Como os compensadores de menor ordem são mais baratos que os de maior ordem o projetista deve aplicar primeiro os métodos clássicos e se não puder ser determinado nenhum compensador adequado então deve tentar o método de projeto de alocação de polos com observador apresentado neste capítulo 108 Sistemas reguladores quadráticos ótimos Uma vantagem do método de controle quadrático ótimo sobre o método de alocação é que o primeiro fornece um modo sistemático de cálculo da matriz de ganho de controle por reali mentação de estado O problema do regulador quadrático ótimo Vamos considerar agora o problema do regu lador quadrático ótimo que dada a equação do sistema ẋ Ax Bu 10112 permite determinar a matriz K do vetor de controle ótimo ut Kxt 10113 para minimizar o índice de desempenho J dt x Qx u Ru 0 3 h 10114 onde Q é uma matriz hermitiana definida positiva ou semidefinida positiva ou real simétrica e R é uma matriz hermitiana definida positiva ou real simétrica Note que o segundo termo do lado direito da Equação 10114 representa o consumo de energia dos sinais de controle As matrizes Q e R determinam a importância relativa do erro e o consumo dessa energia Nesse problema vamos supor que o vetor de controle ut não seja limitado Como será visto posteriormente a lei de controle linear dada pela Equação 10113 é a lei de controle ótimo Portanto se os elementos não conhecidos da matriz K forem determinados para minimizar o índice de desempenho então ut Kxt será ótimo para qualquer estado inicial x0 O diagrama de blocos mostrando a configuração ótima está indicado na Figura 1035 Vamos resolver agora o problema de otimização Substituindo a Equação 10113 na Equação 10112 obtemos ẋ Ax BKx A BKx Nas deduções seguintes vamos supor que a matriz A BK seja estável ou que os autovalores de A BK tenham partes reais negativas 718 Engenharia de controle moderno Substituindo a Equação 10113 na Equação 10114 temos J dt dt x Qx x K RKx x Q K RK x 0 0 3 3 h h Fazendo x Q K RK x x Px dt d h h onde P é uma matriz hermitiana definida positiva ou simétrica real Assim obtemos xQ KRKx ẋPx xPẋ xA BKP PA BKx Comparando ambos os lados da última equação e notando que essa deve ser verdadeira qualquer que seja x temos necessariamente A BKP PA BK Q KRK 10115 Podese provar que se A BK for uma matriz estável existirá uma matriz definida positiva P que satisfaça a Equação 10115 Veja o Problema A1015 Portanto o procedimento consiste em determinar os elementos de P a partir da Equação 10115 e verificar se ela é definida positiva Note que mais de uma matriz P pode satisfazer essa equação Se o sistema for estável sempre existirá uma matriz P definida positiva que satisfaça essa equação Isso quer dizer que se resolvermos essa equação e encontrarmos uma matriz definida positiva P o sistema será estável Outras matrizes P que satisfazem essa equação não são definidas positivas e devem ser descartadas O índice de desempenho J pode ser calculado como J dt 0 0 x Q K RK x x Px x Px x Px 0 0 3 3 3 3 h h h h h Como se supõe que todos os autovalores de A BK tenham partes reais negativas temos x 0 Portanto obtemos J x0Px0 10116 Assim o índice de desempenho J pode ser obtido em termos da condição inicial x0 e P Para obter a solução do problema de controle quadrático ótimo procedemos da seguinte maneira ao supor que R seja uma matriz hermitiana definida positiva ou real simétrica podese escrever R TT onde T é uma matriz não singular Então a Equação 10115 pode ser escrita como A KBP PA BK Q KTTK 0 que pode ser reescrita como AP PA TK T 1BP TK T 1BP PBR 1 Q 0 FIGURA 1035 x Ax Bu x u K Sistema regulador ótimo 719 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados A minimização de J em relação a K requer a minimização de xTK T 1BPTK T 1BPx em relação a K Veja o Problema A1016 Como essa última expressão é não negativa o mínimo ocorre quando ela é zero ou quando TK T 1BP Portanto K T 1T 1BP R 1BP 10117 A Equação 10117 fornece a matriz ótima K Assim a lei de controle ótimo do problema de controle quadrático ótimo quando o índice de desempenho é dado pela Equação 10114 é linear e é dada por ut Kxt R 1BPxt A matriz P na Equação 10117 deve satisfazer a Equação 10115 ou a seguinte equação reduzida AP PA PBR 1BP Q 0 10118 A Equação 10118 é denominada equação matricial reduzida de Riccati As etapas do projeto podem ser expressas como segue 1 Resolva a Equação 10118 equação matricial reduzida de Riccati para a matriz P Se existir uma matriz definida positiva P certos sistemas podem não ter a matriz definida positiva P o sistema será estável ou a matriz A BK será estável 2 Substitua essa matriz P na Equação 10117 A matriz K resultante é a matriz ótima Um exemplo de projeto baseado nesse enfoque é dado no Exemplo 109 Note que se a matriz A BK for estável o método apresentado sempre fornecerá o resultado correto Por fim observe que se o índice de desempenho for dado em termos do vetor de saída em vez do vetor de estado isto é J dt y Qy u Ru 0 3 h então a expressão do índice pode ser modificada utilizandose a equação de saída y Cx para J dt x C QCx u Ru 0 3 h 10119 e as etapas do projeto apresentadas nesta seção podem ser aplicadas para obter a matriz ótima K Exemplo 109 Considere o sistema indicado na Figura 1036 Ao supor que o sinal de controle seja ut Kxt determine a matriz de ganho K ótima de realimentação de ganho ótimo de modo que o seguinte índice de desempenho seja minimizado FIGURA 1036 u x1 Planta x2 K Sistema de controle 720 Engenharia de controle moderno J u dt x Qx T 2 0 3 h onde 1 0 0 0 Q n n h G A partir da Figura 1036 vemos que a equação de estado da planta é ẋ Ax Bu onde 0 0 1 0 0 1 A B G G Mostraremos o uso da equação matricial reduzida de Riccati no projeto do sistema de controle ótimo Vamos resolver a Equação 10118 reescrevendoa como AP PA PBR 1BP Q 0 Notando que a matriz A é real e a matriz Q é real simétrica vemos que a matriz P é uma matriz real simétrica Portanto essa última equação pode ser escrita como p p p p p p p p p p p p p p p p 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 11 12 12 22 11 12 12 22 11 12 12 22 11 12 12 22 n 6 6 G G G G G G G G G Essa equação pode ser simplificada para p p p p p p p p p p 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 11 12 11 12 12 2 12 22 12 22 22 2 n G G G G G da qual são obtidas as três equações seguintes 1 p2 12 0 p11 p12p22 0 μ 2p12 p2 22 0 Resolvendo essas três equações simultâneas para p11 p12 e p22 impondo que P seja definida positiva obtemos 2 2 p p p p 1 1 P 11 12 12 22 n n G G Considerando a Equação 10117 a matriz de ganho K ótima de realimentação é obtida como 2 p p p p p p 1 0 1 1 K R B P 1 11 12 12 22 12 22 n 6 6 6 8 G B Assim o sinal de controle ótimo é u x 2 x Kx 1 2 n 10120 Note que a lei de controle dada pela Equação 10120 produz um resultado ótimo para qualquer estado inicial para o índice de desempenho dado A Figura 1037 é o diagrama de blocos desse sistema 721 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Como a equação característica é 2 1 0 I A BK s s s 2 n se m 1 os dois polos de malha fechada se situam em s 0866 j05 s 0866 j05 Estes correspondem aos polos desejados de malha fechada quando m 1 Resolvendo o problema do regulador quadrático ótimo com o MATLAB No MATLAB o comando lqrABQR resolve o problema do regulador quadrático linear de tempo contínuo e a equação de Riccati associada Esse comando calcula a matriz de ganho K ótima de realimentação de modo que a lei de controle de realimentação u Kx minimiza o índice de desempenho J dt x Qx u Ru 0 3 h sujeita à equação de estado ẋ Ax Bu Outro comando KPE lqrABQR retorna a matriz de ganho K o vetor de autovalores E e a matriz P a única solução definida positiva da equação matricial associada de Riccati PA AP PRB 1 BP Q 0 Se a matriz A BK for uma matriz estável essa solução definida positiva P sempre existirá Os autovalores do vetor E fornecem os polos de malha fechada de A BK É importante notar que para certos sistemas a matriz A BK não pode se tornar uma matriz estável qualquer que seja a K escolhida Nesse caso não existe uma matriz P definida positiva para a equação matricial de Riccati Para esse caso os comandos K lqr ABQR KPE lqrABQR não fornecem a solução Veja o Programa 1018 em MATLAB Exemplo 1010 Considere o sistema definido por x x x x u 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 o o G G G G Mostre que o sistema não pode ser estabilizado pelo esquema de controle por realimentação de estado FIGURA 1037 u x1 Planta x2 μ 2 Controle ótimo da planta apresentada na Figura 1036 722 Engenharia de controle moderno u Kx qualquer que seja a matriz K escolhida Note que esse sistema é de estado não controlável Defina K k1 k2 Então k k k k 1 0 1 2 1 0 1 0 1 2 A BK 1 2 1 2 6 G G G Portanto a equação característica tornase s s k k s s k s 1 0 1 2 1 2 0 I A BK 1 2 1 h h Os polos de malha fechada estão localizados em s 1 k1 s 2 Como o polo em s 2 está no semiplano direito do plano s o sistema é instável qualquer que seja a matriz K escolhida Em consequência as técnicas de controle quadrático ótimo não podem ser aplicadas a esse sistema Vamos supor que as matrizes Q e R do índice de desempenho quadrático sejam dadas por R 1 0 0 1 1 Q 6 G e que escrevemos o Programa 1018 em MATLAB A solução resultante pelo MATLAB é K NaN NaN NaN significa not a number ou seja não é um número Quando a solução de um problema de controle quadrático ótimo não existe o MATLAB informa que a matriz K é constituída por NaN Programa 1018 em MATLAB Projeto do sistema regulador quadrático ótimo A 1 10 2 B 10 Q 1 00 1 R 1 K lqrABQR Cuidado a matriz é singular no trabalho de precisão K NaN NaN Se digitarmos o comando KPE lqrABQR então KPE lqrABQR Cuidado a matriz é singular no trabalho de precisão K NaN NaN P Inf Inf Inf Inf E 20000 14142 723 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Exemplo 1011 Considere o sistema descrito por ẋ Ax Bu onde 0 0 1 1 0 1 A B G G O índice de desempenho J é dado por J u Ru dt x Qx 0 3 l l h onde Q R 1 0 0 1 1 6 G Suponha que seja utilizado o seguinte controle u u Kx Determine a matriz de ganho K ótima de realimentação Podese obter a matriz de ganho K ótima de realimentação resolvendose a seguinte equação de Riccati para uma matriz definida positiva P AP PA PRB 1 BP Q 0 O resultado é 2 1 1 1 P G Substituindo essa matriz P na equação a seguir temos a matriz ótima K R 1 0 1 2 1 1 1 1 1 K 1 B P l 6 6 6 G Assim o sinal ótimo de controle é dado por u Kx x1 x2 O Programa 1019 em MATLAB também fornece a solução desse problema Programa 1019 em MATLAB Projeto do sistema regulador quadrático ótimo A 0 10 1 B 01 Q 1 0 0 1 R 1 K lqrABQR K 10000 10000 Exemplo 1012 Considere o sistema dado por ẋ Ax Bu onde 0 0 35 1 0 27 0 1 9 0 0 1 A B H H 724 Engenharia de controle moderno O índice de desempenho J é dado por J u Ru dt x Qx 0 3 l l h onde Q R 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 6 H Obtenha a matriz definida positiva P de solução da equação de Riccati a matriz de ganho K ótima de realimentação e os autovalores da matriz A BK O Programa 1020 em MATLAB fornecerá a solução desse problema A seguir vamos obter a resposta x do sistema regulador para a condição inicial x0 onde x 0 1 0 0 h H Com realimentação de estado u Kx a equação de estado desse sistema tornase ẋ Ax Bu A BKx Então o sistema ou sys pode ser dado por sys ssABKeye3 eye3 eye3 O Programa 1021 em MATLAB produz a resposta para dada condição inicial A Figura 1038 mostra as curvas de resposta Programa 1020 em MATLAB Projeto do sistema regulador quadrático ótimo A 0 1 00 0 135 27 9 B 001 Q 1 0 00 1 00 0 1 R 1 KPE lqrABQR K 00143 01107 00676 P 42625 24957 00143 24957 28150 01107 00143 01107 00676 E 50958 19859 17110i 19859 17110i FIGURA 1038 x1 06 08 1 12 04 02 0 0 2 4 6 8 02 t s x2 0 2 4 6 8 0 02 02 04 08 06 1 12 t s x3 0 2 4 6 8 3 2 1 0 1 2 t s Curvas de resposta à condição inicial 725 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Programa 1021 em MATLAB Resposta à condição inicial A 0 1 00 0 135 27 9 B 001 K 00143 01107 00676 sys ssABK eye3eye3eye3 t 00018 x initialsys100t x1 1 0 0x x2 0 1 0x X3 0 0 1x subplot221 plottx1 grid xlabelt s ylabelx1 subplot222 plottx2 grid xlabelt s ylabelx2 subplot223 plottx3 grid xlabelt s ylabelx3 Exemplo 1013 Considere o sistema indicado na Figura 1039 A planta é definida pelas seguintes equações no espaço de estados ẋ Ax Bu y Cx Du onde A B C D 0 0 0 1 0 2 0 1 3 0 0 1 1 0 0 0 6 6 H H O sinal de controle u é dado por u k1r x1 k2 x2 k3 x3 k1r k1x1 k2 x2 k3 x3 Na determinação da lei de controle ótimo vamos supor que a entrada seja zero ou r 0 Vamos determinar a matriz de ganho K de realimentação de estado onde K k1 k2 k3 de modo que o seguinte índice de desempenho seja minimizado J u Ru dt x Qx 0 3 l l h FIGURA 1039 x Ax Bu k2 k3 y Cx k1 r u x x2 x3 y x1 Sistema de controle 726 Engenharia de controle moderno onde 1 q q q R x x x y y y 0 0 0 0 0 0 Q x 11 22 33 1 2 3 o p R T S S SS V X W W WW H H Para obter uma resposta rápida q11 deve ser suficientemente grande comparado a q22 q33 e R Nesse problema escolhemos q11 100 q22 q33 1 R 001 Para resolver esse problema com o MATLAB utilizamos o comando K lqrABQR O Programa 1022 em MATLAB conduz à solução desse problema Programa 1022 em MATLAB Projeto do sistema regulador quadrático ótimo A 0 1 00 0 10 2 3 B 001 Q 100 0 00 1 00 0 1 R 001 K lqrABQR K 1000000 531200 116711 A seguir vamos investigar as características da resposta ao degrau unitário do sistema proje tado utilizando a matriz K já determinada A equação de estado do sistema projetado é ẋ Ax Bu Ax BKx k1r A BKx Bk1r e a equação de saída é y x x x 1 0 0 Cx 1 2 3 6 H Para obter a resposta ao degrau unitário utilize o seguinte comando yxt stepAABBCCDD onde AA A BK BB Bk1 CC C DD D O Programa 1023 em MATLAB produz a resposta ao degrau unitário do sistema projetado A Figura 1040 mostra as curvas de resposta x1 x2 e x3 versus t em um diagrama 727 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Programa 1023 em MATLAB Resposta ao degrau unitário do sistema projetado A 0 1 00 0 10 2 3 B 001 C 1 0 0 D 0 K 1000000 531200 116711 k1 K1 k2 K2 k3 K3 Defina matriz de estado matriz de controle matriz de saída e matriz de transmissão direta dos sistemas projetados como BB CC e DD AA A BK BB Bk1 CC C DD D t 00018 yxt step AABBCCDD1t plottx grid titleCurvas de resposta x1 x2 x3 versus t xlabelt s ylabelx1x2x3 text26135x1 text1215x2 text0635x3 Comentários finais sobre sistemas reguladores ótimos 1 Dado um estado inicial xt0 qualquer o problema do regulador ótimo é encontrar um possível vetor de controle ut que transfira o estado para a região do espaço de estados desejada e para o qual o índice de desempenho seja minimizado Para que exista um vetor de controle ótimo ut o sistema deve ser de estado completamente controlável 2 O sistema que minimiza ou maximiza conforme o caso o índice de desempenho sele cionado é por definição ótimo Embora o controlador possa em muitas aplicações prá FIGURA 1040 5 2 1 4 2 0 1 3 t s 0 5 2 3 1 4 8 6 7 Curvas de resposta x1 x2 x3 versus t x1 x2 x3 x1 x2 x3 Curvas de resposta x1 versus t x2 versus t e x3 versus t 728 Engenharia de controle moderno ticas não ter nada a ver com a característica ótima o ponto importante é que o projeto baseado no índice quadrático de desempenho resulte em um sistema de controle estável 3 A característica de uma lei de controle ótimo baseada em um índice quadrático de desem penho é a de ser uma função linear das variáveis de estado o que implica a necessidade de realimentar todas as variáveis de estado Isso requer que todas essas variáveis estejam disponíveis para realimentação Se nem todas as variáveis estiverem disponíveis para realimentação então será necessário empregar um observador de estado para estimar as variáveis de estado não mensuráveis e utilizar os valores estimados para gerar sinais de controle ótimo Note que os polos de malha fechada do sistema projetado por meio do método do regulador quadrático ótimo podem ser encontrados a partir de sI A BK 0 Como esses polos correspondem aos polos de malha fechada desejados no método de alocação as funções de transferência dos controladoresobservadores podem ser obtidas ou da Equação 1074 se o observador for de ordem plena ou da Equação 10108 se o observador for de ordem mínima 4 Se o sistema de controle ótimo for projetado no domínio do tempo será desejável inves tigar as características da resposta em frequência para compensar efeitos de ruído As características da resposta em frequência do sistema devem ser tais que o sistema atenue fortemente na faixa de frequências em que são esperados os ruídos e a ressonância dos componentes Para compensar os efeitos de ruído devemos em alguns casos modificar a configuração ótima e aceitar um desempenho abaixo de ótimo ou alterar o índice de desempenho 5 Se o limite superior de integração no índice de desempenho J dado pela Equação 10114 for finito então se pode mostrar que o vetor de controle ótimo ainda é uma função linear das variáveis de estado mas com coeficientes variantes no tempo Portanto a determinação do vetor de controle ótimo envolve as matrizes ótimas variantes no tempo 109 Sistemas de controle robusto Suponha que para dado determinado objeto de controle por exemplo um sistema com braço flexível queiramos projetar um sistema de controle O primeiro passo no projeto de um sistema de controle é a obtenção de um modelo matemático do objeto de controle com base nas leis da física Frequentemente o modelo pode ser não linear e é possível que tenha parâmetros distribuídos Um modelo assim pode ser difícil de analisar É desejável fazer uma aproximação por meio de uma equação linear de coeficientes constantes que proporcionará uma aproximação bastante boa do objeto real Observe que embora o modelo a ser usado para fins de projeto seja simplificado é necessário que tal modelo inclua todas as características intrínsecas do objeto real Presumindo que podemos obter um modelo que se aproxima satisfatoriamente do sistema real precisamos obter um modelo simplificado com o objetivo de projetar o sistema de controle que requer um compensador da menor ordem possível Portanto o modelo do objeto de controle seja ele qual for provavelmente incluirá um erro no processo de modelagem Observe que no método de resposta em frequência para o projeto de sistemas de controle usamos as margens de fase e de ganho para solucionar os erros de modelagem No entanto no método de espaço de estados que se baseia nas equações diferenciais da dinâmica da planta tais margens não fazem parte do processo de projeto Como a planta real difere do modelo usado no projeto surge a questão quanto ao controlador projetado por meio de um modelo ser capaz de funcionar satisfatoriamente na planta real Para ter certeza de que isso acontecerá a teoria do controle robusto foi desenvolvida por volta de 1980 729 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados A teoria do controle robusto parte do pressuposto de que os modelos que usamos para projetar sistemas de controle contêm erros de modelagem Nesta seção vamos apresentar uma introdução a essa teoria Fundamentalmente a teoria presume que existe incerteza ou erro entre a planta real e seu modelo matemático e inclui essa incerteza ou erro no processo de projeto do sistema de controle Sistemas projetados com base na teoria do controle robusto têm as seguintes propriedades 1 Estabilidade robusta O sistema de controle projetável é estável na presença de distúrbios 2 Desempenho robusto O sistema de controle manifesta características de reposta prede terminadas na presença de distúrbios Essa teoria requer considerações baseadas na análise de resposta em frequência e na análise de domínio do tempo Em virtude da complexidade matemática associada à teoria do controle robusto a discussão detalhada dessa teoria está além do escopo do estudante dos últimos anos de engenharia Nesta seção será apresentada apenas uma discussão introdutória à teoria do controle robusto Elementos de incerteza na dinâmica das plantas O termo incerteza referese às diferenças ou erros entre o modelo da planta e a planta em si Elementos de incerteza que podem surgir em sistemas práticos podem ser classificados como incerteza estruturada e incerteza não estruturada Exemplos de incerteza estruturada são todas as variações de parâmetro na dinâmica da planta como variações nos polos e zeros na função de transferência da planta Exemplos de incerteza não estruturada incluem as incertezas dependentes de frequência como modos de alta frequência que normalmente negligenciamos na modelagem da dinâmica das plantas Por exemplo na modelagem de um sistema de braço flexível o modelo pode incluir um número finito de modos de oscilação Os modos de oscilação que não são incluí dos na modelagem comportamse como incerteza do sistema Outro exemplo de incerteza ocorre na linearização de uma planta não linear Se a planta real for não linear e o modelo for linear a diferença atua como incerteza não estruturada Nesta seção consideramos o caso em que a incerteza é não estruturada Além disso presu mimos que a planta tem apenas uma incerteza Algumas plantas podem ter vários elementos de incerteza Na teoria de controle robusto definimos a incerteza não estruturada como Ds Como a descrição exata de Ds é desconhecida fazemos uma estimativa de Ds quanto à magnitude e característica de fase e usamos essa estimativa no projeto do controlador que estabiliza o sistema de controle A estabilidade de um sistema com incerteza não estruturada pode então ser examinada utilizandose o teorema do ganho pequeno que será dado em seguida à definição da norma H Norma H A norma H de um sistema estável com entrada e saídas unitárias é o maior fator de amplificação possível da resposta em estado permanente à excitação senoidal Para um escalar Us U resulta no valor máximo de Uj É a chamada norma H Veja a Figura 1041 FIGURA 1041 Us U Uj em dB z Diagrama de Bode e a norma H U 730 Engenharia de controle moderno Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados 731 Na teoria do controle robusto medimos a magnitude da função de transferência pela norma H Suponha que a função de transferência Φs seja própria e estável Observe que uma função de transferência Φs será identificada como própria se Φ for limitada e definida Se Φ 0 será chamada estritamente própria A norma H de Φs é definida por Φ σΦjω σ Φjω significa o valor singular máximo de Φjω σ significa σmax Observe que o valor singular de uma função de transferência Φ é definido por σiΦ λiΦΦ onde λiΦΦ é o autovalor de iésima grandeza de ΦΦ e é sempre um valor não negativo e real Tornando Φ menor tornamos o efeito da entrada w na saída z menor Frequentemente ocorre que em vez de usar o valor máximo singular de Φ usamos a desigualdade Φ γ e limitamos a magnitude de Φs por γ Para que Φ seja de magnitude pequena escolhemos um γ pequeno e impomos que Φ γ Teorema do ganho pequeno Considere o sistema de malha fechada mostrado na Figura 1042 Na figura Δs e Ms são funções de transferência próprias e estáveis O teorema do ganho pequeno diz que se ΔsMs 1 então este sistema de malha fechada é estável Ou seja se a norma H de ΔsMs for menor do que 1 esse sistema de malha fechada será estável Esse teorema é uma extensão do critério de estabilidade de Nyquist É importante notar que o teorema do ganho pequeno proporciona condição suficiente para a estabilidade Ou seja um sistema pode ser estável mesmo que não satisfaça esse teorema no entanto se um sistema satisfaz o teorema do ganho pequeno ele sempre será estável Sistema com incerteza não estruturada Em alguns casos um erro de incerteza não estruturada pode ser considerado multiplicativo de forma que G G1 Δm onde G é a dinâmica da planta real e G é a dinâmica do modelo da planta Em outros casos um erro de incerteza não estruturada pode ser considerado aditivo de forma que G G Δa Em ambos os casos presumimos que a norma Δm ou Δa é delimitada de forma que Δm γm Δa γa onde γm e γa são constantes positivas FIGURA 1042 Sistema de malha fechada Estabilidade robusta Vamos definir que G dinâmica da planta real G dinâmica do modelo da planta Dm incerteza não estruturada multiplicativa Presumimos que Dm seja estável e que seu limite superior seja conhecido Presumimos também que G e G tenham a seguinte relação G GI Δm Considere o sistema mostrado na Figura 1043a Vamos examinar a função de transferência entre o ponto A e o ponto B Observe que a Figura 1043a pode ser redesenhada como mostra a Figura 1043b A função de transferência entre o ponto A e o ponto B pode ser dada por KG KG KG KG 1 1 1 h FIGURA 1043 m T B A K f w u z y P G w u y K WmI e c y z G K m m d y u K G y u B z w A A B G K m a b y u A B a Diagrama de blocos de um sistema com incerteza não estruturada multiplicativa b a d modificações sucessivas no diagrama de blocos de a e diagrama de blocos de planta generalizada com incerteza não estruturada multiplicativa f diagrama da planta generalizada 732 Engenharia de controle moderno Defina 1 KG 1KG T 10121 Usando a Equação 10121 podemos redesenhar a Figura 1043b como a Figura 1043c Aplicando o teorema do ganho pequeno ao sistema que consiste em Dm e T como mostra a Figura 1043c obtemos que a condição de estabilidade é ΔmT 1 10122 Em geral é impossível modelar Dm com precisão Portanto vamos usar uma função de transfe rência escalar Wm j de forma que j W j m m 1 v D h h onde v Dm j é o maior valor singular de Dmj Considere em lugar da Desigualdade 10122 a seguinte desigualdade WmT 1 10123 Se a Desigualdade 10123 for verdadeira a Desigualdade 10122 sempre será satisfeita Tornando a norma H de WmT menor que 1 obtemos o controlador K que tornará o sistema estável Suponha que na Figura 1043a cortemos a reta no ponto A Obteremos então a Figura 1043d Substituindo Dm por WmI obtemos a Figura 1043e Redesenhando a Figura 1043e obtemos a Figura 1043f A Figura 1043f é chamada diagrama de planta generalizada Considerando a Equação 10121 T é dado por T KG KG 1 10124 Então a Desigualdade 10123 pode ser reescrita como 1 K s G s W K s G s 1 m 1 3 h h h h 10125 Obviamente para um modelo estável de planta Gs Ks 0 vai satisfazer a Desigualdade 10125 No entanto Ks 0 não é a função de transferência desejável para o controlador Para encontrar uma função de transferência aceitável para Ks podemos acrescentar outra condição por exemplo que o sistema resultante tenha desempenho robusto de forma que a saída acompanhe a entrada com erro mínimo ou outra condição razoável A seguir obteremos a condição para o desempenho robusto Desempenho robusto Considere o sistema mostrado na Figura 1044 Suponha que queira mos que a saída yt acompanhe a entrada rt tão próximo quanto possível ou seja queremos que 0 lim lim r t y t e t t t 3 3 h h h 6 Como a função de transferência YsRs é R s Y s KG KG 1 h h temos 1 R s E s R s R s Y s R s Y s KG 1 1 h h h h h h h FIGURA 1044 r e y Ks Gs Sistema de malha fechada 733 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Defina KG S 1 1 onde S é normalmente chamado função de sensibilidade e T definido pela Equação 10124 é denominado função complementar de sensibilidade Neste problema de desempenho robusto queremos que a norma H de S seja menor que a função de transferência desejada Ws 1 ou S Ws 1 que pode ser escrita como Ws S 1 10126 Combinando as Desigualdades 10123 e 10126 obtemos 1 W S W T s m 1 3 onde T S 1 ou 1 W s K s G s K s G s W s K s G s 1 1 1 m s 1 3 h h h h h h h h 10127 Nosso problema então se torna encontrar Ks que satisfaça a Desigualdade 10127 Observe que dependendo dos Wms e Wss escolhidos vários Ks poderão satisfazer a Desigualdade 10127 ou pode não haver Ks que satisfaça a Desigualdade 10127 Um problema de controle robusto desse tipo que utiliza a Desigualdade 10127 é chamado problema de sensibilidade mista A Figura 1045a é um diagrama de planta generalizada no qual duas condições estabili dade robusta e desempenho robusto estão especificadas A Figura 1045b mostra uma versão simplificada do diagrama FIGURA 1045 K G b w u w u z y y P K WmI WsI a y z2 z1 z a Diagrama de planta generalizada b versão simplificada do diagrama de planta generalizada mostrado em a 734 Engenharia de controle moderno Encontrando a função de transferência zsws a partir de um diagrama de planta generalizada Considere o diagrama de planta generalizada mostrado na Figura 1046 Nesse diagrama ws é o distúrbio exógeno e us é a variável manipulada zs é a variável controlada e ys é a variável observada Considere o sistema de controle que consiste na planta generalizada Ps e no controlador Ks A equação que estabelece a relação entre as saídas zs e ys e as entradas ws e us da planta generalizada Ps é z s y s P P P P w s u s 11 21 12 22 h h h h G G G A equação que estabelece a relação entre us e ys é dada por us Ksys Defina a função de transferência que relaciona a variável controlada zs ao distúrbio exógeno ws como Us Então zs Usws Observe que Us pode ser determinada como segue como zs P11ws P12us ys P21ws P22us us Ksys obtemos ys P21ws P22Ksys Portanto I P22Ks ys P21ws ou ys I P22Ks 1P21ws Consequentemente zs P11ws P12KsI P22Ks 1P21ws P11 P12KsI P22Ks 1P21ws Logo Us P11 P12KsI P22Ks 1P21 10128 Exemplo 1015 Vamos determinar a matriz P no diagrama de planta generalizada do sistema de controle con siderado no Exemplo 1014 Deduzimos a Desigualdade 10125 para que o sistema de controle tenha estabilidade robusta Reescrevendo a Desigualdade 10125 temos FIGURA 1046 Ks Ps w u z y P11 P21 P12 P22 Diagrama de planta generalizada 735 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados 1 KG W KG 1 m 1 3 10129 Se definirmos KG W KG 1 1 m U 10130 então a Desigualdade 10129 pode ser escrita como U1 1 Considerando a Equação 10128 reescrita como U P11 P12KI P22K 1P21 observe que se escolhermos a matriz P da planta generalizada como P I W G G 0 m G 10131 Então obteremos U P11 P12KI P22K 1P21 WmKGI KG 1 que é exatamente o mesmo que U1 na Equação 10130 Deduzimos no Exemplo 1014 que se quisermos que a saída y acompanhe a entrada r o mais perto possível precisamos que a norma H de U2s onde I KG Ws 2 U 10132 seja menor que 1 Veja a Desigualdade 10126 Observe que a variável controlada z está relacionada ao distúrbio exógeno w por z Usw e considerando a Equação 10128 Us P11 P12KI P22K 1P21 Observe que se escolhermos a matriz P como P W I W G G s s H 10133 então obtemos P P K I P K P W W KG I KG W KG KG W KG 1 1 1 1 s s s s 11 12 22 1 21 1 U h h G E que é o mesmo que U2 na Equação 10132 Se ambas as condições de estabilidade robusta e desempenho robusto forem necessárias o sistema de controle deve satisfazer a condição dada pela Desigualdade 10127 reescrita como 1 W KG KG W KG 1 1 1 m s 1 10134 Para a matriz P combinamos as equações 10133 e 10131 e obtemos 736 Engenharia de controle moderno P W I W G W G G 0 s s m R T S S SS V X W W WW 10135 Se construirmos Ps conforme dado pela Equação 10135 então o problema de projetar um sis tema de controle para satisfazer tanto a condição de estabilidade robusta quanto a de desempenho robusto pode ser formulado usandose a planta generalizada representada pela Equação 10135 Conforme mencionado anteriormente esse problema é chamado problema de sensibilidade mista Usandose a planta generalizada dada pela Equação 10135 podemos determinar o controlador Ks que satisfaz a Desigualdade 10134 O diagrama de planta generalizada para o sistema con siderado no Exemplo 1014 tornase como o que é mostrado na Figura 1047 Problema de controle H infinito Para projetar um controlador K de um sistema de controle de forma que ele satisfaça várias especificações de estabilidade e desempenho utilizamos o conceito de planta generalizada Conforme mencionamos anteriormente uma planta generalizada é um modelo linear que consiste em um modelo da planta e funções de ponderação correspondentes às especificações para o desempenho exigido Considerando a planta generalizada mostrada na Figura 1048 o problema de controle H infinito é o problema de projetar um controlador K que torne a norma H da função de transferência entre o distúrbio exógeno w e a variável controlada z menor que um valor especificado O motivo pelo qual empregamos plantas generalizadas em lugar de diagramas de blocos individuais de sistemas de controle é que vários sistemas de controle com elementos de incerteza foram projetados utilizandose plantas generalizadas e consequentemente abordagens de projeto usandose essas plantas estão disponíveis Observe que qualquer função de ponderação como Ws é um parâmetro importante que influenciará o controlador Ks resultante De fato a qualidade do sistema consequentemente projetado depende da escolha da função ou das funções de ponderação utilizadas no projeto FIGURA 1047 K w u z2 y O I WmG G z1 Ws WsG Planta generalizada do sistema discutido no Exemplo 1015 FIGURA 1048 K w u z y Planta generalizada Diagrama de planta generalizada 737 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados O controlador que é a solução para o problema de controle H infinito é normalmente cha mado controlador H infinito Solução de problemas de controle robusto Existem três abordagens estabelecidas para a solução de problemas de controle robusto São elas 1 Resolver o problema de controle robusto deduzindo as equações de Riccati e resolvendoas 2 Resolver o problema de controle robusto utilizando a abordagem de desigualdade da matriz linear 3 Resolver o problema de controle robusto que inclui incertezas estruturais utilizando a abordagem de análise de m e a síntese de m A solução de problemas de controle por meio de qualquer um dos métodos citados requer amplo conhecimento de matemática Nesta seção apresentamos apenas uma introdução à teoria de controle robusto Resolver qualquer problema de controle robusto requer conhecimento matemático além do escopo dos estudantes dos últimos anos de engenharia Portanto o leitor interessado poderá optar por um curso de extensão universitária para estudar o assunto mais detalhadamente Exemplos de problemas com soluções A101 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu Suponha que esse sistema não seja de estado completamente controlável Então o posto da matriz de controlabilidade é menor que n ou posto BABAn 1 B q n 10136 Isso significa que existem q vetorescoluna linearmente independentes na matriz de controlabi lidade Vamos representar esses vetores por f1 f2 fq Vamos escolher também n q vetores de dimensão n adicionais vq 1 vq 2 vn de modo que P f1f2fqvq 1vq 2vn seja de posto n Utilizando a matriz P como matriz de transformação defina P 1AP  P 1B B Mostre que  pode ser dada por A A 0 A A 11 12 22 t G onde A11 é uma matriz q q A12 é uma matriz q n q A22 é uma matriz n q n q e 0 é uma matriz n q q Mostre também que a matriz B pode ser dada por B B 0 11 t G onde B11 é uma matriz q 1 e 0 é uma matriz n q 1 Solução Note que AP P ou Af1Af2AfqAvq 1Avn f1f2fqvq 1vn 10137 738 Engenharia de controle moderno Além disso P PB 10138 Como temos q vetorescoluna linearmente independentes f1 f2 fq podemos usar o teorema de CayleyHamilton para exprimir os vetores Af1 Af2 Afq em termos de q vetores Ou seja Af1 a11f1 a21f2 aq1fq Af2 a12f1 a22f2 aq2fq h Afq a1qf1 a2qf2 aqqfq Então a Equação 10137 pode ser escrita como segue a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 Af Af Af Av Av f f f v v q q n q q n q q q qq q q qq q q nq n n qn q n nn 1 2 1 1 2 1 11 21 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 g g g g h h g g g g g h h h h g g g g g h h R T S S S S S S S S SS 6 6 V X W W W W W W W W WW Defina a a a a a a a a a a a a n q q a a a a 0 0 0 0 matriz zero A A A A q q q qq q q qq n n qn q q nq q n nn 11 21 1 1 2 11 1 1 2 1 1 1 2 12 21 1 1 1 1 22 h g g g h h g g g h h g g h h g g h h R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW H H Então a Equação 10137 pode ser escrita como Af Af Af Av Av f f f v v A 0 A A q q n q q n 1 2 1 1 2 1 11 12 22 g g g g 6 6 G Assim AP P A 0 A A 11 12 22 G 739 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Então P AP A A 0 A A 1 11 12 22 t G Em seguida considerando a Equação 10138 temos B f1f2fqvq 1vnB 10139 Considerando a Equação 10136 observe que o vetor B pode ser escrito em termos de q vetores coluna linearmente independentes f1 f2 fq Assim temos B b11f1 b21f2 bq1fq Em consequência a Equação 10139 pode ser escrita como segue b b b b b b 0 0 f f f f f f v v q q q q n q 11 1 21 2 1 1 2 1 11 21 1 g g g h h R T S S S S S S S S SS 6 V X W W W W W W W W WW Então B B 0 11 t G onde b b b B q 11 11 21 1 h R T S S S SS V X W W W WW A102 Considere o sistema de estado completamente controlável ẋ Ax Bu Defina a matriz de controlabilidade M M BABAn 1B Mostre que M AM a a a a 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n n n 1 1 2 1 h h g g g g h h R T S S S S S SS V X W W W W W WW onde a1 a2 an são os coeficientes do polinômio característico sI A sn a1sn 1 an 1s an Solução Consideremos o caso em que n 3 Mostraremos que a a a 0 1 0 0 0 1 AM M 3 2 1 R T S S SS V X W W WW 10140 O lado esquerdo da Equação 10140 é AM ABABA2B ABA2BA3B 740 Engenharia de controle moderno O lado direito da Equação 10140 é a a a a a a 0 1 0 0 0 1 B AB A B AB A B B AB A B 2 3 2 1 2 3 2 1 2 R T S S SS 6 6 V X W W WW 10141 O teorema de CayleyHamilton afirma que a matriz A satisfaz sua própria equação característica ou no caso em que n 3 A3 a1A2 a2A a3I 0 10142 Utilizandose a Equação 10142 a terceira coluna do lado direito da Equação 10141 tornase a3B a2AB a1A2B a3I a2A a1A2 B A3B Assim a Equação 10141 tornase a a a 0 1 0 0 0 1 B AB A B AB A B A B 2 3 2 1 2 3 R T S S SS 6 6 V X W W WW Então o lado esquerdo e o lado direito da Equação 10140 são iguais Mostramos assim que a Equação 10140 está correta Consequentemente a a a 0 1 0 0 0 1 M 1 AM 3 2 1 H A demonstração precedente pode ser facilmente estendida ao caso geral para qualquer n inteiro e positivo A103 Considere o sistema de estado completamente controlável ẋ Ax Bu Defina M BABAn 1B e W a a a a a a 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 n n n n 1 2 1 2 3 1 h h g g g g h h R T S S S S SS V X W W W W WW onde os ai são os coeficientes do polinômio característico sI A sn a1sn 1 an 1s an Defina também T MW Mostre que a a a a 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 T AT T B n n n 1 1 2 1 1 h h h g g g g h h R T S S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W W WW V X W W W W WW 741 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Solução Consideremos o caso em que n 3 Mostraremos que a a a 0 0 1 0 0 1 T AT MW A MW W M AM W 1 1 1 1 3 2 1 h h h H 10143 Considerando o Problema A102 temos a a a 0 1 0 0 0 1 M 1 AM 3 2 1 H Então a Equação 10143 pode ser reescrita como a a a a a a 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 W W 1 3 2 1 3 2 1 H H Portanto devemos mostrar que a a a a a a 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 W W 3 2 1 3 2 1 R T S S SS R T S S SS V X W W WW V X W W WW 10144 O lado esquerdo da Equação 10144 é a a a a a a a a 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 2 1 2 1 1 3 1 H H H O lado direito da Equação 10144 é a a a a a a a a 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 2 1 1 3 2 1 3 1 H H H Evidentemente a Equação 10144 é verdadeira Então mostramos que a a a 0 0 1 0 0 1 T AT 1 3 2 1 H Em seguida devemos mostrar que 0 0 1 T 1 B H 10145 Observe que a Equação 10145 pode ser escrita como 0 0 1 0 0 1 B T MW H H Notando que T B a a a 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 B AB A B B AB A B 2 2 1 1 2 6 6 H H H H temos 0 0 1 T 1 B H 742 Engenharia de controle moderno A demonstração feita aqui pode ser facilmente estendida para o caso geral de qualquer n inteiro e positivo A104 Considere a equação de estado ẋ Ax Bu onde 1 4 1 3 0 2 A B G G O posto da matriz de controlabilidade M 0 2 2 6 M B AB 6 G é 2 Então o sistema é de estado completamente controlável Transforme a equação de estado dada para a forma canônica controlável Solução Como I A s s s s s s s s a s a 1 4 1 3 1 3 4 2 1 2 2 1 2 h h temos a1 2 a2 1 Defina T MW onde 0 2 2 6 2 1 1 0 M W G G Então 0 2 2 6 2 1 1 0 2 2 0 2 T G G G e 0 5 0 5 0 0 5 T 1 G Defina x Tx Então a equação de estado tornase xto T 1ATx T 1Bu Como 0 5 0 5 0 0 5 1 4 1 3 2 2 0 2 0 1 1 2 T 1 AT G G G G e 0 5 0 5 0 0 5 0 2 0 1 T 1 B G G G 743 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados temos x x x x u 0 1 1 2 0 1 1 2 1 2 to to t t G G G G que está na forma canônica controlável A105 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx onde 0 2 1 3 0 2 1 0 A B C 6 G G A equação característica do sistema é 3 2 0 I A s s s s s s s 2 1 3 1 2 2 h h Os autovalores da matriz A são 1 e 2 Desejase obter os autovalores 3 e 5 utilizando uma realimentação de estado na forma u Kx Determine a matriz de ganho K de realimentação bem como o sinal de controle u Solução O sistema é de estado completamente controlável pois o posto de 0 2 2 6 M B AB 6 G é 2 Então é possível a alocação arbitrária dos polos Como a equação característica do sistema original é s2 3s 2 s2 a1s a2 0 temos a1 3 a2 2 A equação característica desejada é s 3s 5 s2 8s 15 s2 α1s α2 0 Então α1 8 α2 15 É importante mencionar que a equação de estado original não está na forma canônica controlável porque a matriz B não é 0 1 G Então a matriz T de transformação deve ser determinada a 1 1 0 0 2 2 6 3 1 1 0 2 0 0 2 T MW B AB 1 6 G G G G Então T 0 5 0 0 0 5 1 G Considerando a Equação 1013 a matriz de ganho de realimentação é dada por 744 Engenharia de controle moderno a a 15 2 8 3 0 5 0 0 0 5 6 5 2 5 K T 2 2 1 1 1 a a 6 6 6 G Assim o sinal u de controle será u x 6 5 2 5 x Kx 1 2 6 G A106 A planta de um sistema regulador é U s Y s s s s 1 2 3 10 h h h h h Defina as variáveis de estado como x1 y x2 ẋ1 x3 ẋ2 Utilizando o controle por realimentação de estado u Kx desejase alocar os polos de malha fechada em s 2 j2 3 s 2 2j 3 s 10 Obtenha com o auxílio do MATLAB a matriz de ganho K necessária de realimentação de estado Solução A equação de estado desse sistema é x x x x x x u y x x x u 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 10 1 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H Então D 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 10 1 0 0 0 A B C 6 6 H H Note que para a alocação de polos as matrizes C e D não afetam a matriz de ganho K de rea limentação de estado Dois programas em MATLAB para a obtenção da matriz de ganho K de realimentação de estado são dados nos programas 1024 e 1025 Programa 1024 em MATLAB A 0 1 00 0 16 11 6 B 0010 J 2j2sqrt3 2j2sqrt3 10 K ackerABJ K 154000 45000 08000 745 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Programa 1025 em MATLAB A 0 1 00 0 1 6 11 6 B 0010 J 2j2sqrt3 2J2Sqrt3 10 K placeABJ place ndigits 15 K 154000 45000 08000 A107 Considere o sistema completamente observável ẋ Ax y Cx Defina a matriz de observabilidade N N CACAn 1C Mostre que N A N a a a a 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n n 1 1 2 1 h h h g g g g h h R T S S S S S SS V X W W W W W WW 10146 onde a1 a2 an são os coeficientes do polinômio característico sI A sn a1sn 1 an 1s an Solução Consideremos o caso em que n 3 Então a Equação 10146 pode ser escrita como N A N a a a 0 0 1 0 0 1 1 3 2 1 h R T S S SS V X W W WW 10147 A Equação 10147 pode ser reescrita como N A N a a a 0 0 1 0 0 1 3 2 1 H 10148 Mostraremos que a Equação 10148 é verdadeira O lado esquerdo dessa equação é 2 2 N A C CA CA A CA CA CA3 H H 10149 O lado direito é 2 2 A a a a a a a a a a 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 N C CA CA C CA C CA CA 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 R T S S SS R T S S SS R T S S SS V X W W WW V X W W WW V X W W WW H 10150 O teorema de CayleyHamilton afirma que a matriz A satisfaz sua própria equação característica ou A3 a1A2 a2A a3I 0 746 Engenharia de controle moderno Então a1CA2 a2CA a3C CA3 Dessa maneira o lado direito da Equação 10150 se torna igual ao lado direito da Equação 10149 Consequentemente N A N a a a 0 0 1 0 0 1 3 2 1 H que é a Equação 10148 Essa última equação pode ser escrita sob a forma N A N a a a 0 0 1 0 0 1 1 3 2 1 h R T S S SS V X W W WW A demonstração apresentada aqui pode ser estendida ao caso geral de qualquer n inteiro e positivo A108 Considere o sistema completamente observável definido por ẋ Ax Bu 10151 y Cx Du 10152 Defina N CACAn 1C e W a a a a a a 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 n n n n 1 2 1 2 3 1 h h g g g g h h R T S S S S S SS V X W W W W W WW onde os a são os coeficientes do polinômio característico sI A sn a1sn 1 an 1s an Defina também Q WN 1 Mostre que a a a a b a b b a b b a b 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Q AQ CQ Q B n n n n n n n 1 1 2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 h h g g g g h h g h R T S S S S S SS R T S S S S SS 6 V X W W W W W WW V X W W W W WW onde os bk k 0 1 2 n são os coeficientes que aparecem no numerador da função de trans ferência quando CsI A 1B D for escrito sob a forma C I A B s D s a s a s a b s b s b s b n n n n n n n n 1 1 1 1 0 1 1 1 g g h 747 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados onde D b0 Solução Consideremos o caso em que n 3 Mostraremos que Q AQ WN A WN a a a 0 1 0 0 0 1 1 1 3 2 1 h h H 10153 Note que considerando o Problema A107 temos WN A WN W N A N W W W a a a 0 0 1 0 0 1 1 1 1 3 2 1 1 h h h 6 H Então devemos mostrar que W W a a a a a a 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 3 2 1 1 3 2 1 R T S S SS R T S S SS V X W W WW V X W W WW ou W W a a a a a a 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 3 2 1 3 2 1 R T S S SS R T S S SS V X W W WW V X W W WW 10154 O lado esquerdo da Equação 10154 é a a a a a a a a a a a 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 W 3 2 1 2 1 1 3 2 1 3 1 H H H H O lado direito da Equação 10154 é a a a a a a a a a a a 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 W 3 2 1 3 2 1 2 1 1 3 1 H H H H Assim verificamos que a Equação 10154 é verdadeira Então fica provado que a Equação 10153 é verdadeira A seguir vamos mostrar que CQ 0 0 1 ou CWN 1 0 0 1 Note que 2 2 a a a 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 WN C CA CA C CA CA C 2 1 1 h 6 6 6 H H H 748 Engenharia de controle moderno Então mostramos que 0 0 1 CWN 1 CQ Em seguida defina x Qx Então a Equação 10151 tornase xto Q 1AQx Q 1Bu 10155 e a Equação 10152 tornase y CQx Du 10156 Considerando a Equação 10153 a Equação 10155 tornase x x x a a a x x x u 0 1 0 0 0 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 c c c to to to t t t R T S S SS V X W W WW H H H onde Q B 3 2 1 1 c c c H A função de transferência Gs para o sistema definido pelas equações 10155 e 10156 é Gs CQsI Q 1AQ 1Q 1B D Sabendose que CQ 0 0 1 temos G s s s a a s a D 0 0 1 1 0 0 1 3 2 1 1 3 2 1 c c c h 6 H H Note que D b0 Como s s a a s a s a s a s a s a s a s a a s a s s a s a s a s 1 0 0 1 1 1 3 2 1 1 3 1 2 2 3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 3 2 H H temos G s s a s a s a s s D s a s a s a s s b s a s a s a b s a b s a b s a b s a s a s a b s b s b s b 1 1 3 1 2 2 3 2 3 2 1 3 1 2 2 3 1 2 2 3 0 3 1 2 2 3 0 3 1 1 0 2 2 2 0 3 3 0 3 1 2 2 3 0 3 1 2 2 3 c c c c c c c c c h h h 6 H Então γ1 b1 a1b0 γ2 b2 a2b0 γ3 b3 a3b0 749 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Portanto mostramos que b a b b a b b a b Q 1 B 3 2 1 3 3 0 2 2 0 1 1 0 c c c H H Note que a demonstração feita aqui pode ser facilmente estendida para o caso de qualquer valor inteiro e positivo de n A109 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx onde A B C 1 4 1 3 0 2 1 1 6 G G O posto da matriz de observabilidade N 1 1 3 2 N C A C 6 G é 2 Então o sistema é completamente observável Transforme as equações do sistema para a forma canônica observável Solução Como sI A s2 2s 1 s2 a1s a2 temos a1 2 a2 1 Defina Q WN 1 onde a 1 1 3 2 1 1 0 2 1 1 0 N W 1 G G G Então 2 1 1 0 1 3 1 2 1 1 0 1 1 1 0 1 Q 1 1 G G G G 4 e 1 1 0 1 Q 1 G Defina x Qx Então a equação de estado tornase xto Q 1AQx Q 1Bu ou 750 Engenharia de controle moderno x x x x u x x u 1 1 0 1 1 4 1 3 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 0 1 1 2 0 2 1 2 1 2 1 2 to to t t t t G G G G G G G G G G 10157 A equação de saída tornase y CQx ou y x x x x 1 1 1 1 0 1 0 1 1 2 1 2 t t t t 6 6 G G G 10158 As equações 10157 e 10158 estão na forma canônica observável A1010 Para o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx considere o problema de projetar um observador de estado tal que os autovalores desejados para a matriz de ganho do observador sejam m1 m2 mn Mostre que a matriz de ganho do observador dada pela Equação 1061 reescrita como K WN a a a e n n n n 1 1 1 1 1 h a a a h R T S S S SS V X W W W WW 10159 pode ser obtida a partir da Equação 1013 considerandose o problema dual Isto é a matriz Ke pode ser determinada considerandose o problema de alocação de polos para o sistema dual obtendose a matriz de ganho K de realimentação de estado e considerandose sua transposta conjugada Ke K Solução O dual do sistema dado é ż Az Cv n Bz 10160 Utilizandose o controle por realimentação de estado υ Kz a Equação 10160 tornase ż A CKz A Equação 1013 reescrita aqui é K αn anαn 1 an 1α2 a2α1 a1T 1 10161 onde T MW CACAn 1CW Para o sistema original a matriz de observabilidade é CACAn 1C N Então a matriz T também pode ser escrita como T NW Como W W temos T WN WN 751 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados e T 1 WN 1 Considerando o conjugado transposto de ambos os termos da Equação 10146 temos K T T WN a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 h h h a a a a a a a a a h h h R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW Como Ke K essa última equação é a mesma Equação 10159 Assim obtivemos a Equação 10159 considerando o problema dual A1011 Considere um sistema de controle com realimentação por estado observado com um observador de ordem mínima descrito pelas seguintes equações ẋ Ax Bu 10162 y Cx u Kxu 10163 onde x x x x x x a b a b u u G G xa é a variável de estado que pode ser diretamente medida e xu b corresponde às variáveis de estado observadas Mostre que os polos de malha fechada do sistema compreendem os polos de malha fechada graças à alocação de polos autovalores da matriz A BK e os polos de malha fechada em virtude do observador de ordem mínima autovalores da matriz Abb Ke Aab Solução A equação do erro do observador de ordem mínima pode ser deduzida como indica a Equação 1094 reescrita como ė Abb KeAabe 10164 onde e xb xu b A partir das equações 10162 e 10163 obtemos x x 0 0 x Ax BKx Ax BK x Ax BK x e Ax BK x e A BK x BK e a b a b o u u h G G G G 3 10165 Combinando as equações 10164 e 10165 e escrevendo K KaKb obtemos x e A BK 0 BK A K A x e b bb e ab oo G G G 10166 A Equação 10166 descreve a dinâmica de um sistema com realimentação por estado observador com um observador de ordem mínima A equação característica desse sistema é s s 0 I A BK 0 BK I A K A b bb e ab 752 Engenharia de controle moderno ou sI A BKsI Abb KeAab 0 Os polos de malha fechada de um sistema de controle com realimentação por estado observador com um observador de ordem mínima consistem nos polos de malha fechada graças à alocação de polos e nos polos de malha fechada em virtude do observador de ordem mínima Portanto o projeto de alocação de polos e o projeto do observador de ordem mínima são independentes entre si A1012 Considere um sistema de estado completamente controlável definido por ẋ Ax Bu 10167 y Cx onde x vetor de estado vetor n u sinal de controle escalar y sinal de saída escalar A matriz constante n n B matriz constante n 1 C matriz constantes 1 n Suponha que o posto da seguinte matriz n 1 n 1 0 A C B G seja n 1 Mostre que o sistema definido por ė Âe B ue 10168 onde u u t u 0 A A C 0 B B 0 e 3 t t h h G G é de estado completamente controlável Solução Defina M BABAn 1B Como o sistema é definido pela Equação 10167 de estado completamente controlável o posto da matriz M é n Então o posto de M 1 0 0 G é n 1 Considere a seguinte equação 0 1 0 A C B M 0 0 AM CM B G G G 10169 Como a matriz 0 A C B G é de posto n 1 o lado esquerdo da Equação 10169 é de posto n 1 Portanto o lado direito da Equação 10169 também é de posto n 1 Como 753 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados 0 0 0 AM CM B A B AB A B C B AB A B B AB CB A B CAB A B CA B B AB A B A B B n n n n n 1 1 2 1 2 g g g g g t t t t t t t 6 6 6 G H G vemos que o posto de B ÂB Â2B ÂnB é n 1 Assim o sistema definido pela Equação 10168 é de estado completamente controlável A1013 Considere o sistema indicado na Figura 1049 Utilizando o método de alocação de polos com observador projete um sistema regulador tal que o sistema mantenha a posição zero y1 0 e y2 0 na presença de distúrbios Adote para os polos de malha fechada a serem alocados o seguinte posicionamento s 2 j2 3 s 2 j2 3 s 10 s 10 sendo os polos desejados do observador de ordem mínima s 15 s 16 Inicialmente determine a matriz de ganho K de realimentação de estado e a matriz de ganho Ke do observador Depois obtenha a resposta do sistema a uma condição inicial arbitrária por exemplo y10 01 y2 0 0 ẏ10 0 ẏ20 0 e10 01 e2 0 005 onde e1 e e2 são definidos por e1 y1 ỹ1 e2 y2 ỹ2 Suponha que m1 1 kg m2 2 kg k 36 Nm e b 06 Nsm Solução As equações do sistema são m1ӱ1 k y2 y1 b ẏ2 ẏ1 u m2ӱ2 k y1 y2 b ẏ1 ẏ2 Substituindo m1 m2 k e b pelos valores numéricos dados e simplificando obtemos ӱ1 36y1 36y2 06ẏ1 06ẏ2 u ӱ2 18y1 18y2 03ẏ1 03ẏ2 Vamos escolher as variáveis de estado da seguinte maneira x1 y1 FIGURA 1049 m1 m2 y1 y2 u k b Regulador Sistema mecânico 754 Engenharia de controle moderno x2 y2 x3 ẏ1 x4 ẏ2 Assim temos a seguinte equação de estado x x x x x x x x u y y x x x x 0 0 36 18 0 0 36 18 1 0 0 6 0 3 0 1 0 6 0 3 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 o o o o R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW G G Defina 0 0 36 18 0 0 36 18 1 0 0 6 0 3 0 1 0 6 0 3 0 0 1 0 A A A A A B B B aa ba ab bb a b R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW G G A matriz de ganho K de realimentação de estado e a matriz de ganho Ke do observador podem ser facilmente obtidas com auxílio do MATLAB como segue 130 4444 41 5556 23 1000 15 4185 14 4 0 3 0 6 15 7 K Ke 6 G Veja o Programa 1026 em MATLAB Resposta às condições iniciais a seguir obtemos a resposta do sistema projetado às condições iniciais dadas Como u u x Ax B Kx x x x y x a b b o u u u u G G Programa 1026 em MATLAB A 0 0 1 00 0 0 136 36 06 0618 18 03 03 B 0010 J 2j2sqrt3 2j2sqrt3 10 10 K ackerABJ K 1304444 415556 231000 154185 Aab 1 00 1 Abb 06 0603 03 L 15 16 Ke placeAbbAabL place ndigits 15 Ke 144000 06000 03000 157000 755 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados temos ẋ Ax BKxu A BKx BKx xu 10170 Note que x x x x x x 0 x x 0 e 0 I e Fe a b a b b b u u u G G G G G onde F 0 I G Então a Equação 10170 pode ser escrita como ẋ A BKx BKFe 10171 Como a partir da Equação 1094 temos ė Abb KeAabe 10172 combinando as equações 10171 e 10172 em uma única equação temos x e A BK 0 BKF A K A x e bb e ab oo G G G A matriz de estado aqui é uma matriz 6 6 A resposta do sistema às condições iniciais pode ser facilmente obtida com o MATLAB Veja o Programa 1027 em MATLAB As curvas de resposta obtidas estão na Figura 1050 Essas curvas de resposta parecem ser aceitáveis FIGURA 1050 x1 0 1 2 3 4 t s 0 1 2 3 4 t s 0 1 2 3 4 t s 0 1 2 3 4 t s 0 1 2 3 4 t s 005 0 01 005 015 e1 0 005 01 0 1 2 3 4 t s e2 0 002 004 006 x2 002 002 0 004 006 x3 06 02 04 0 02 x4 02 01 0 01 02 Resposta à condição inicial Resposta à condição inicial Curvas de resposta às condições iniciais 756 Engenharia de controle moderno Programa 1027 em MATLAB Resposta à condição inicial A 0 0 1 00 0 0 136 36 06 0618 18 03 03 B 0010 K 1304444 415556 231000 154185 Ke 144 0603 157 F 0 00 01 00 1 Aab 1 00 1 Abb 06 0603 03 AA ABK BKF zeros24 AbbKeAab sys ssAAeye6eye6eye6 t 00014 y initialsys0100001005t x1 1 0 0 0 0 0y x2 0 1 0 0 0 0y x3 0 0 1 0 0 0y x4 0 0 0 1 0 0y e1 0 0 0 0 1 0y e2 0 0 0 0 0 1y subplot321 plottx1 grid titleResposta à condição inicial xlabelt s ylabelx1 subplot322 plottx2 grid titleResposta à condição inicial xlabelt s ylabelx2 subplot323 plottx3 grid xlabelt s ylabelx3 subplot324 plottx4 grid xlabelt s ylabelx4 subplot325 plotte1 grid xlabelt sylabele1 subplot326 plotte2 grid xlabelt s ylabele2 A1014 Considere o sistema mostrado na Figura 1051 Projete observadores de ordem plena e de ordem mínima para a planta Suponha que se deseje que os polos de malha fechada no que se refere aos polos alocados estejam localizados em s 2 j2 3 s 2 j2 3 Suponha também que se deseje que os polos do observador estejam localizados em a s 8 s 8 para o observador de ordem plena b s 8 para o observador de ordem mínima Compare as respostas às condições iniciais especificadas a seguir a para o observador de ordem plena x10 1 x20 0 e10 1 e20 0 b para o observador de ordem mínima x10 1 x20 0 e10 1 Compare também as bandas passantes de ambos os sistemas Solução Determinemos inicialmente a representação no espaço de estados do sistema Definindo as variáveis de estado x1 e x2 como x1 y FIGURA 1051 r 0 y u y Controlador observador 4 ss 2 Planta Sistema regulador 757 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados x2 ẏ obtemos x x x x u y x x 0 0 1 2 0 4 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G Para a parte de alocação de polos determinamos a matriz de ganho K de realimentação de estado Utilizando o MATLAB achamos K como K 4 05 Veja o Programa 1028 em MATLAB Em seguida determinamos a matriz de ganho Ke do observador de ordem plena Utilizando o MATLAB achamos Ke como K 14 e 36 G Veja o Programa 1028 em MATLAB Programa 1028 em MATLAB Obtendose as matrizes K e Ke A 0 10 2 B 04 C 1 0 J 2j2sqrt3 2j2sqrt3 L 8 8 K ackerABJ K 40000 05000 Ke ackerACL Ke 14 36 Agora determinamos a resposta do sistema à condição inicial dada Considerando a Equação 1070 temos x e A BK 0 BK A K C x e e oo G G G Essa equação define a dinâmica do sistema projetado utilizando o observador de ordem plena O Programa 1029 em MATLAB produz a resposta à condição inicial dada As curvas de resposta resultantes são mostradas na Figura 1052 758 Engenharia de controle moderno Programa 1029 em MATLAB Resposta à condição inicial Observador de ordem plena A 0 10 2 B 04 C 1 0 K 4 05 Ke 1436 AA ABK BK zeros22 AKeC sys ssAA eye4 eye4 eye4 t 00018 x inicialsys 1010t x1 1 0 0 0x x2 0 1 0 0x e1 0 0 1 0x e2 0 0 0 1x subplot221 plottx1 grid xlabelt s ylabelx1 subplot222 plottx2 grid xlabelt s ylabelx2 subplot223 plotte1 grid xlabelt s ylabele1 subplot224 plotte2 grid xlabelt s ylabele2 Para obter a função de transferência do controladorobservador utilizamos o MATLAB O Programa 1030 em MATLAB produz essa função de transferência O resultado é s s s s j s j s 18 108 74 256 9 5 1962 9 5 1962 74 3 4595 den num 2 h h h FIGURA 1052 x1 x2 e1 e2 04 06 08 1 02 0 02 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 04 06 08 1 12 04 02 0 02 0 1 1 2 05 0 1 15 3 2 t s t s 0 2 4 6 8 t s t s Curvas de resposta à condição inicial 759 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Programa 1030 em MATLAB Determinação da função de transferência do controladorobservador Observador de ordem pelna A 0 10 2 B 04 C 1 0 K 4 05 Ke 1436 numden ss2tfAKeCBK KeK0 num 0 740000 2560000 den 1 18 108 Em seguida obtemos a matriz de ganho Ke do observador para o observador de ordem mínima O Programa 1031 em MATLAB produz Ke O resultado é Ke 6 Programa 1031 em MATLAB Obtendo Ke Observador de ordem mínima Aab 1 Abb 2 LL 8 Ke ackerAbbAabLL Ke 6 A resposta do sistema com observador de ordem mínima à condição inicial pode ser obtida como segue substituindo u Kxu na equação da planta dada pela Equação 1079 temos K K e 0 x Ax BKx Ax BKx BK x x A BK x B a b o u u h h 6 G ou ẋ A BKx BKbe A equação do erro é ė Abb Ke Aabe Então a dinâmica do sistema fica definida por e K A K A e 0 x A BK B x b bb e ab oo G G G Com base nessa última equação o Programa 1032 em MATLAB produz a resposta a uma con dição inicial dada As curvas de resposta resultantes são mostradas na Figura 1053 760 Engenharia de controle moderno Programa 1032 em MATLAB Resposta à condição inicial Observador de ordem mínima A 0 10 2 B 04 K 4 05 Kb 05 Ke 6 Aab 1 Abb 2 AA ABK BKb zeros12 AbbKeAab sys ssAAeye3eye3eye3 t 00018 x initialsys101t x1 1 0 0x x2 0 1 0x e 0 0 1x subplot221 plottx1 grid xlabelt s ylabelx1 subplot222 plottx2 grid xlabelt s ylabelx2 subplot223 plotte grid xlabelt s ylabele A função de transferência do controladorobservador quando o sistema utiliza o observador de ordem mínima pode ser obtida pelo uso do Programa 1033 em MATLAB O resultado é s s s s 10 7 32 10 7 4 5714 den num h FIGURA 1053 x1 x2 e 06 08 1 12 04 02 0 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 02 0 02 04 06 08 1 0 05 05 1 2 15 25 t s t s t s Curvas de resposta à condição inicial 761 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Programa 1033 em MATLAB Determinação da função de transferência do controladorobservador Observador de ordem mínima A 0 10 2 B 04 Aaa 0 Aab 1 Aba 0 Abb 2 Ba 0 Bb 4 Ka 4 Kb 05 Ke 6 Ahat Abb KeAab Bhat AhatKe Aba KeAaa Fhat Bb KeBa Atilde Ahat FhatKb Btilde Bhat FhatKa KbKe Ctilde Kb Dtilde Ka KbKe numden ss2tfAtilde Btilde Ctilde Dtilde num 7 32 den 1 10 O controladorobservador é evidentemente um compensador de avanço de fase Os diagramas de Bode do Sistema 1 sistema de malha fechada com observador de ordem plena e do Sistema 2 sistema de malha fechada com observador de ordem mínima são mostrados na Figura 1054 Evidentemente a banda passante do Sistema 2 é maior que a do Sistema 1 Este tem melhor característica de rejeição a ruído em altas frequências que o Sistema 2 A1015 Considere o sistema ẋ Ax onde x é um vetor de estado vetor de dimensão n e A é uma matriz constante n n Vamos supor que A seja não singular Prove que se o estado x 0 de equilíbrio for assintoticamente FIGURA 1054 Frequência rads Diagramas de Bode dos sistemas 300 100 200 250 50 150 0 100 50 Fase graus Magnitude dB 50 0 101 100 101 102 Sistema 1 Sistema 2 Sistema 1 Sistema 2 Diagramas de Bode do Sistema 1 sistema com observador de ordem plena e Sistema 2 sistema com observador de ordem mínima Sistema 1 296s 1024 s4 20s3 144s2 512s 1024 Sistema 2 28s 128 s3 12s2 48s 128 762 Engenharia de controle moderno estável isto é se A for uma matriz estável então existirá uma matriz hermitiana definida positiva P tal que AP PA Q onde Q será uma matriz hermitiana positiva definida Solução A equação diferencial matricial Ẋ AX XA X0 Q tem a solução X eAtQeAt Integrando ambos os lados dessa equação matricial diferencial de t 0 para t obtemos dt dt 0 X X A X X A 0 0 3 3 3 c c h h m m Sabendo que A é uma matriz estável e portanto X 0 obtemos dt dt X 0 Q A X X A 0 0 3 3 c c h m m Seja dt e e dt P X t Q t 0 0 A A 3 3 Note que os elementos de eAt são somas finitas de termos como elit telit tmi 1 elit onde li são os autovalores de A e mi é a multiplicidade de li Como os li têm partes reais negativas e t Qe dt t 0 A A 3 existe Observe que e e dt P Q P t t 0 A A 3 Assim P é hermitiana ou simétrica se P for uma matriz real Mostramos então que para A estável e para uma matriz Q hermitiana positiva definida existe uma matriz hermitiana P tal que AP PA Q Agora devemos provar que P é positiva definida Considere a seguinte forma hermitiana e e dt e e dt 0 0 para para x Px x Q x Q x x 0 x 0 x t t t t 0 0 A A A A 2 3 3 h h Então P é positiva definida Isso completa a prova A1016 Considere o sistema de controle descrito por ẋ Ax Bu 10173 onde A B 0 0 1 0 0 1 G G Ao supor que a lei de controle linear u Kx k1x1 k2x2 10174 763 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados determine as constantes k1 e k2 de modo que o índice de desempenho a seguir seja minimizado J x xdt T 0 3 Considere apenas o caso em que a condição inicial seja c 0 0 x h G Escolha a frequência natural não amortecida do sistema como 2 rads Solução Substituindo a Equação 10174 na Equação 10173 obtemos ẋ Ax BKx ou x x x x k x k x k k x x 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G G 10175 Portanto k k 0 1 A BK 1 2 G Eliminando x2 da Equação 10175 temos ẍ1 k2ẋ1 k1x1 0 Como a frequência natural não amortecida do sistema foi especificada como 2 rads obtémse k1 4 Assim k 0 4 1 A BK 2 G sendo A BK uma matriz estável para k2 0 Nosso problema agora é determinar o valor de k2 de modo que o índice de desempenho J dt 0 0 0 x x x P x T T 0 3 h h h seja minimizado onde a matriz P é determinada a partir da Equação 10115 reescrita como A BKP PA BK Q KRK Como nesse sistema Q I e R 0 essa última equação pode ser simplificada para A BKP PA BK I 10176 Visto que o sistema contém apenas vetores reais e matrizes reais P se torna uma matriz real simétrica A Equação 10176 pode ser escrita como k p p p p p p p p k 0 1 4 0 4 1 1 0 0 1 2 11 12 12 22 11 12 12 22 2 G G G G G Resolvendo para a matriz P obtemos p p p p k k k 2 5 8 8 1 8 1 8 5 P 11 12 12 22 2 2 2 R T S S S SS V X W W W WW G 764 Engenharia de controle moderno Então o índice de desempenho é J c p p p p c p c k k c 0 0 0 0 2 5 8 x Px T 11 12 12 22 11 2 2 2 2 e h h o 6 G G 10177 Para minimizar J diferenciamos J em relação a k2 e igualamos 2J2k2 a zero como segue 0 k J k c 2 5 8 1 2 2 2 2 2 2 c m Então k2 20 Com esse valor de k2 temos 22J2k2 2 0 Portanto o valor mínimo de J é obtido substituindose k2 20 na Equação 10177 ou J 2 c 5 2 mín O sistema projetado tem a lei de controle u 4x1 20 x2 O sistema projetado é ótimo pois resulta em um valor mínimo do índice de desempenho J para a condição inicial fornecida A1017 Considere o mesmo sistema de pêndulo invertido discutido no Exemplo 105 O sistema é mos trado na Figura 108 onde M 2 kg m 01 kg e l 05 m O diagrama de blocos do sistema está indicado na Figura 109 As equações do sistema são dadas por ẋ Ax Bu y Cx u Kx k1p p r y r Cx onde 0 20 601 0 0 4905 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 5 0 0 1 0 A B C R T S S S SS R T S S S SS 6 V X W W W WW V X W W W WW Considerando a Equação 1051 a equação de erro do sistema é dada por ė Âe B ue onde 0 0 20 601 0 0 4905 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 5 0 A A C 0 B B t t R T S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W WW V X W W W W WW G G e o sinal de controle é dado pela Equação 1041 ue K e 765 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados onde k k k k k k t t x x x x x x K K e x x x x I I e e 1 2 3 4 1 2 3 4 3 3 p p p i i t o o h h h h R T S S S SS R T S S S SS 6 6 V X W W W WW V X W W W WW G G Utilizando o MATLAB determine a matriz de ganho de realimentação de estado K de modo que o índice de desempenho J seja minimizado J u Ru dt e Qe 0 3 h onde 001 R 100 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Q R T S S S S SS V X W W W W WW Obtenha a resposta ao degrau unitário do sistema projetado Solução Um programa em MATLAB para determinar K é dado pelo Programa 1034 em MATLAB O resultado é k1 188079 k2 370738 k3 266767 k4 305824 kI 100000 Reposta ao degrau unitário Uma vez determinada a matriz de ganho K de realimentação e a constante de ganho integral kI podemos determinar a resposta ao degrau unitário do sistema projetado A equação do sistema é u r 0 0 1 x A C 0 x B 0 p p oo E G E G G 10178 Veja a Equação 1035 Como u Kx k1p A Equação 10178 pode ser escrita como segue k r 0 1 x A BK C B x 0 I p p oo E G E G 10179 Programa 1034 em MATLAB Projeto do sistema de controle quadrático ótimo A 0 1 0 020601 0 0 00 0 0 104905 0 0 0 B 01005 C 0 0 1 0 D 0 Ahat A zeros41C 0 Bhat B0 Q 100 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1 R 001 Khat lqrAhatBhatQR Khat 1880799 370738 266767 305824 100000 766 Engenharia de controle moderno A equação de saída é y r 0 0 C x p 6 6 E O Programa 1035 em MATLAB fornece a resposta ao degrau unitário do sistema dado pela Equação 10179 As curvas de resposta resultantes são apresentadas na Figura 1055 Ela mostra as curvas de resposta θ x1t versus t io x2t versus t y x3t versus t ẏ x4t versus t e p x5t versus t onde a entrada rt para o carro é a função degrau unitário rt 1 m Todas as condições iniciais são nulas A Figura 1056 é uma versão ampliada da posição do carro y x3t versus t O carro se move muito pouco para trás durante o primeiro 06 segundo ou aproximadamente isso Observe que a velocidade do carro é negativa no primeiro 04 segundo Isso é em virtude de o sistema pênduloinvertidosobrecarro ser um sistema de fase não mínima Comparando as características da resposta desse sistema com as do Exemplo 105 notamos que a resposta do presente sistema é menos oscilatória e exibe um máximo sobressinal menor na resposta de posição x3 versus t O sistema projetado pelo método do regulador quadrático ótimo geralmente apresenta estas características menos oscilatória e bem amortecida Programa 1035 em MATLAB Resposta à entrada em degrau unitário A 0 1 0 020601 0 0 00 0 0 104905 0 0 0 B 01005 C 0 0 1 0 D 0 K 1880799 370738 266767 305824 kI 100000 AA ABK BkI C 0 BB 00001 CC C 0 DD D t 000110 yxt stepAABBCCDD1t x1 1 0 0 0 0x x2 0 1 0 0 0x x3 0 0 1 0 0x x4 0 0 0 1 0x x5 0 0 0 0 1x subplot321 plottx1 grid xlabelt s ylabelx1 subplot322 plottx2 grid xlabelt s ylabelx2 subplot323 plottx3 grid xlabelt s ylabelx3 subplot324 plottx4 grid xlabelt s ylabelx4 subplot325 plottx5 grid xlabelt s ylabelx5 767 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados A1018 Considere a estabilidade de um sistema com incerteza não estruturada aditiva como mostra a Figura 1057a Defina G dinâmica da planta real G modelo da dinâmica da planta Da incerteza não estruturada aditiva FIGURA 1055 x1 0 2 4 6 8 10 t s 0 2 4 6 8 10 t s 0 2 4 6 8 10 t s 0 2 4 6 8 10 t s 0 2 4 6 8 10 t s 002 0 002 004 x5 0 1 2 3 x2 005 005 0 01 015 x3 05 05 0 1 15 x4 02 02 0 04 06 Curvas de resposta ao degrau unitário FIGURA 1056 Posição do carro x3 versus t Posição do carro x3 t s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 1 08 06 04 02 0 02 Curva da posição do carro versus t 768 Engenharia de controle moderno FIGURA 1057 a Diagrama de blocos de um sistema com incerteza aditiva não estruturada b a d modificações sucessivas no diagrama de blocos de a e diagrama de blocos mostrando uma planta generalizada com incerteza não estruturada aditiva f diagrama de planta generalizada Presuma que Δa seja estável e que seu limite superior seja conhecido Presuma também que G e G tenha a seguinte relação G G Δa Obtenha a condição de que o controlador K deve satisfazer para que haja estabilidade robusta Obtenha também um diagrama de planta generalizada para esse sistema Solução Vamos obter a função de transferência entre o ponto A e o ponto B na Figura 1057a Redesenhando a Figura 1057a obtemos a Figura 1057b Então a função de transferência entre os pontos A e B pode ser obtida como K1 GK K1 GK1 Defina K1 GK1 Ta Então a Figura 1057b pode ser redesenhada como a Figura 1057c Por meio do teorema do ganho pequeno a condição para estabilidade robusta do sistema de malha fechada pode ser obtida como ΔaTa 1 10180 Como é impossível modelar Da com precisão temos de encontrar uma função escalar Wa j tal que v Δa j Wa j para todo e usar essa Waj em vez de Da Então a condição para a estabilidade robusta do sistema de malha fechada pode ser dada por WaTa 1 10181 Se a Desigualdade 10181 for verdadeira é evidente que a Desigualdade 10180 também será verdadeira Portanto esta é a condição para garantir a estabilidade robusta do sistema projetado Na Figura 1057e o Da da Figura 1057d foi substituído por WaI Resumindo se fizermos que a norma H da função de transferência entre w e z seja menor que 1 o controlador K que satisfaz a Desigualdade 10181 poderá ser determinado A Figura 1057e pode ser redesenhada como a Figura 1057f que é o diagrama de planta generalizada para o sistema considerado Observe que para esse problema a matriz U que relaciona a variável controlada z e o distúrbio exógeno w é dada por z Usw WaTaw WaKI GK 1w Considerando que us Ksys e recorrendo à Equação 10128 Us é dada pelos elementos da matriz P como segue Us P11 P12KI P22K 1P21 Para tornar essa Us igual a WaKI GK 1 podemos escolher P11 0 P12 Wa P21 I e P22 G Então a matriz P para esse problema pode ser obtida como P I W G 0 a G Problemas B101 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx onde A B C 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 1 1 0 R T S S SS R T S S SS 6 V X W W WW V X W W WW Transforme as equações do sistema para a forma canônica controlável e b forma canônica observável B102 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu 770 Engenharia de controle moderno y Cx onde A B C 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 1 1 1 1 1 R T S S SS R T S S SS 6 V X W W WW V X W W WW Transforme as equações do sistema para a forma canônica observável B103 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx onde A B 0 0 1 1 0 5 0 1 6 0 1 1 R T S S SS V X W W WW H Usando o controle de realimentação de estado u Kx desejamos ter os polos de malha fechada em s 2 j4 s 10 Determine a matriz de ganho K de realimentação de estado B104 Resolva o Problema 103 com o MATLAB B105 Considere o sistema definido por x x x x u 0 0 1 2 1 0 1 2 1 2 o o G G G G Mostre que esse sistema não pode ser estabilizado pelo controle de realimentação de estado u Kx qualquer que seja a matriz K escolhida B106 Um sistema regulador tem a planta U s Y s s s s 1 2 3 10 h h h h h Defina as variáveis de estado como x1 y x2 ẋ1 x3 ẋ2 Usandose o controle de realimentação de estado u Kx desejamos localizar os polos de malha fechada em s 2 j2 3 s 2 j2 3 s 10 Determine a matriz de ganho K de realimentação de estado necessária B107 Resolva o Problema 106 com o MATLAB B108 Considere o servossistema do tipo 1 indicado na Figura 1058 As matrizes A B e C na Figura 1058 são dadas por A B C 0 0 0 1 0 5 0 1 6 0 0 1 1 0 0 6 H H Determine as constantes de ganho de realimentação k1 k2 e k3 de modo que os polos de malha fechada estejam localizados em s 2 j4 s 2 j4 s 10 771 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Obtenha a resposta ao degrau unitário e trace a curva de saída yt versus t B109 Considere o sistema de pêndulo invertido indicado na Figura 1059 Suponha que M 2 kg m 05 kg l 1 m Defina as variáveis de estado como x1 θ x2 io x3 x x4 ẋ e as variáveis de saída como y1 θ x1 y2 x x3 Obtenha as equações no espaço de estados desse sistema Desejase ter polos de malha fechada em s 4 j4 s 4 j4 s 20 s 20 Determine a matriz de ganho K de realimentação de estado Usando a matriz de ganho K de realimentação de estado assim determinada examine o desempe nho do sistema por meio de simulação por computador Escreva um programa em MATLAB para obter a resposta do sistema a uma condição inicial arbitrária Obtenha as curvas de resposta x1t versus t x2t versus t x3t versus t e x4t versus t para o seguinte conjunto de condições iniciais x10 0 x20 0 x30 0 x40 1 ms FIGURA 1058 x Ax Bu y Cx x2 x3 k2 k1 k3 r u x y x1 Servossistema do tipo 1 FIGURA 1059 0 M P z u mg m ℓ sen θ x x ℓ cos θ ℓ θ Sistema de pêndulo invertido 772 Engenharia de controle moderno B1010 Considere o sistema definido por ẋ Ax y Cx onde A C 1 1 1 2 1 0 6 G Projete um observador de estado de ordem plena Os polos desejados do observador são s 5 e s 5 B1011 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx onde A B C 0 0 5 1 0 6 0 1 0 0 0 1 1 0 0 R T S S SS 6 V X W W WW H Projete um observador de estado de ordem plena supondo que os polos do observador estejam localizados em s 10 s 10 s 15 B1012 Considere o sistema definido por x x x x x x u y x x x 0 0 1 244 1 0 0 3956 0 1 3 145 0 0 1 244 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H Dado o conjunto de polos desejados do observador como s 5 j5 3 s 5 j5 3 s 10 projete um observador de ordem plena B1013 Considere o sistema duplo integrador definido por ӱ u Se escolhermos as variáveis de estado como x1 y x2 ẏ então a representação do sistema no espaço de estados ficará a seguinte x x x x u y x x 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G 773 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Desejase projetar um regulador para esse sistema Utilizando o método de alocação de polos com observador projete um controladorobservador Para efeito de alocação escolha os polos de malha fechada desejados em s 07071 j07071 s 07071 j07071 e admitindo que o observador utilizado seja de ordem mínima escolha o polo do observador em s 5 B1014 Considere o sistema ẋ Ax Bu y Cx onde A B C 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 1 1 0 0 R T S S SS 6 V X W W WW H Projete um sistema regulador pelo método de alocação de polos com observador Admita que os polos de malha fechada desejados para efeito de alocação de polos estejam localizados em s 1 j s 1 j s 5 Os polos desejados do observador estão situados em s 6 s 6 s 6 Obtenha também a função de transferência do controladorobservador B1015 Utilizando o método de alocação de polos com observador projete controladoresobservadores um com um observador de ordem plena e outro com um observador de ordem mínima para o sistema mostrado na Figura 1060 Os polos de malha fechada desejados para efeito de alocação de polos são s 1 j2 s 1 j2 s 5 Os polos desejados do observador são s 10 s 10 s 10 para o observador de ordem plena s 10 s 10 para o observador de ordem mínima Compare as respostas ao degrau unitário dos sistemas projetados Compare também as bandas passantes de ambos os sistemas B1016 Utilizando o método de alocação de polos com observador projete os sistemas de controle mos trados nas figuras 1061 a e b Suponha que os polos desejados de malha fechada para efeito de alocação de polos estejam localizados em s 2 j2 s 2 j2 e que os polos desejados do observador estejam localizados em s 8 s 8 FIGURA 1060 Ys Rs Us Controlador observador s2 2s 50 ss 4 s 6 Sistema de controle com controlador observador no ramo direto 774 Engenharia de controle moderno Obtenha a função de transferência do controladorobservador Compare as respostas ao degrau unitário de ambos os sistemas No sistema b determine a constante N de modo que a resposta em regime permanente y seja unitária quando a entrada for uma entrada em degrau unitário B1017 Considere o sistema definido por ẋ Ax onde A a 0 0 1 1 0 2 0 1 R T S S SS V X W W WW a parâmetro ajustável 0 Determine o valor do parâmetro a para minimizar o índice de desempenho a seguir J x xdt T 0 3 Suponha que o estado inicial x0 seja dado por x c 0 0 0 1 h H B1018 Considere o sistema indicado na Figura 1062 Determine o valor do ganho K de modo que o coeficiente de amortecimento z do sistema de malha fechada seja igual a 05 Em seguida deter mine também a frequência natural não amortecida n do sistema de malha fechada Ao supor que e0 1 e ė0 0 calcule e t dt 2 0 3 h FIGURA 1062 r 0 c u e K 5 s 1 2s 1 Sistema de controle FIGURA 1061 Ys Rs Controlador observador 1 ss 1 1 ss 1 Ys Controlador observador b Rs N a Planta Sistemas de controle com controlador observador a controlador observador no ramo direto b controlador observador no ramo de realimentação 775 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados B1019 Determine o sinal de controle ótimo u do sistema definido por ẋ Ax Bu onde A B 0 0 1 1 0 1 G G de modo que o seguinte índice de desempenho seja minimizado J u dt x x T 2 0 3 h B1020 Considere o sistema x x x x u 0 0 1 0 0 1 1 2 1 2 o o G G G G Desejase encontrar o sinal de controle ótimo u de modo que o índice de desempenho J u dt 1 0 0 x Qx Q T 2 0 n 3 h G seja minimizado Determine o sinal ótimo ut B1021 Considere o sistema de pêndulo invertido indicado na Figura 1059 Desejase projetar um sistema regulador que mantenha o pêndulo invertido na posição vertical na presença de perturbações em termos do ângulo θ eou velocidade angular io O sistema regulador é necessário para retornar o carro à sua posição de referência no final de cada processo Não há entrada de referência para o carro A equação no espaço de estados do sistema é dada por ẋ Ax Bu onde A B x x x 0 20 601 0 0 4905 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 5 i i o o R T S S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W W WW V X W W W WW V X W W W WW Vamos usar o esquema de controle de realimentação de estado u Kx Usando o MATLAB determine a matriz de ganho de realimentação de estado K k1 k2 k3 k4 de modo que o seguinte índice de desempenho J seja minimizado J u Ru dt x Qx 0 3 h onde 1 Q R 100 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 R T S S S S SS V X W W W W WW 776 Engenharia de controle moderno Em seguida obtenha a resposta do sistema para a seguinte condição inicial x x x x 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 4 h h h h R T S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W WW V X W W W W WW Trace as curvas de resposta θ versus t io versus t x versus t e ẋ versus t 777 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Tabelas para a transformada de Laplace A A P Ê N D I C E O Apêndice A apresenta inicialmente as variáveis complexas e as funções complexas Em seguida traz tabelas de pares para a transformada de Laplace e as propriedades de transformadas de Laplace Por fim demonstra teoremas da transformada de Laplace usados frequentemente e as transformadas de Laplace de funções de pulso e impulso Variáveis complexas Um número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária ambas constantes Se a parte real eou a imaginária forem variáveis teremos então o que se denomina variável complexa Na transformada de Laplace utilizase a notação s como variável complexa Ou seja s v j onde v é a parte real e é a parte imaginária Funções complexas Uma função complexa Gs uma função de s que tem uma parte real e uma parte imaginária ou Gs Gx jGy onde Gx e Gy são quantidades reais O módulo de Gs é G G x y 2 2 e o argumento angular q de Gs é tg 1 GyGx O ângulo é medido no sentido antihorário a partir do sentido positivo do eixo real O complexo conjugado de Gs é G s Gx jGy As funções complexas normalmente encontradas na análise de sistemas de controle linear são funções unívocas de s e são determinadas univocamente para dado valor de s Uma função complexa Gs é dita analítica em uma região se Gs e todas as suas derivadas existirem nessa região A derivada de uma função analítica Gs é dada por lim lim ds d G s s G s s G s s G s s 0 0 D D D D D D h h h Como Ds Dv jD Ds pode tender a zero ao longo de um número infinito de diferentes per cursos Isso pode ser demonstrado mas não será provado aqui pois se as derivadas calculadas ao longo de dois percursos específicos ou seja Ds Dv e Ds jD forem iguais a derivada será a mesma para qualquer outro percurso Ds Dv jD e portanto ela existe Para um percurso específico Ds Dv o que significa que o caminho é paralelo ao eixo real lim ds d G s G j G G j G x y x y 0 2 2 2 2 v v v v D D D D Dv e h o Para outro caminho específico Ds jD o que significa que o caminho é paralelo ao eixo ima ginário lim ds d G s j G j j G j G G j x y x y 0 2 2 2 D D D D D D f h p Se essas duas derivadas forem iguais G j G G j G x y y x 2 2 2 2 2 2 2 2 v v ou se as duas condições a seguir G G G G e x y y x 2 2 2 2 2 2 2 2 v v forem satisfeitas então a derivada dGsds será univocamente determinada Essas duas condi ções são conhecidas como condições de CauchyRiemann Se essas condições forem satisfeitas a função Gs será analítica Como exemplo vamos considerar a seguinte Gs G s s 1 1 h Então G j j G jG 1 1 x y v v h onde G G 1 1 1 e x y 2 2 2 2 v v v h h Podese observar que exceto para o ponto s 1 ou seja v 1 0 Gs satisfaz as con dições de CauchyRiemann G G G G 1 1 1 2 1 x y y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v v v v v v h h h h 6 6 Então Gs 1s 1 é analítica em todo o plano s exceto em s 1 A derivada dGsds exceto em s 1 é dada por ds d G s G j G G j G j s 1 1 1 1 x y y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v v v h h h Note que a derivada de uma função analítica pode ser obtida simplesmente pela derivação de Gs em relação à s Nesse exemplo ds d s s 1 1 1 1 2 c m h Os pontos do plano s nos quais a função Gs é analítica são conhecidos como pontos ordi nários ao passo que os pontos do plano s nos quais a função Gs não é analítica são denomina dos pontos singulares Os pontos singulares em que a função Gs ou suas derivadas tendem ao infinito são denominados polos Os pontos singulares nos quais Gs é nula são chamados zeros Se Gs tender ao infinito enquanto s tende a p e se a função Gss pn para n 1 2 3 779 Apêndice A Tabelas para a transformada de Laplace tiver um valor finito não nulo em s p então s p será chamado polo de ordem n Se n 1 o polo é denominado polo simples Se n 2 3 o polo é chamado polo de segunda ordem de terceira ordem e assim por diante Para ilustrar considere a função complexa G s s s s s K s s 1 5 15 2 10 2 h h h h h h onde Gs tem zeros em s 2 s 10 polos simples em s 0 s 1 e s 5 e um polo duplo polo múltiplo de ordem 2 em s 15 Note que Gs se torna zero em s Como para valores elevados de s G s s K 3 Z h Gs possui um zero triplo zero múltiplo de ordem 3 em s Se pontos no infinito forem incluídos Gs terá o mesmo número de polos e de zeros Em resumo Gs tem cinco zeros s 2 s 10 s s s e cinco polos s 0 s 1 s 5 s 15 s 15 Transformada de Laplace Vamos definir ft uma função de tempo em que ft 0 para t 0 s uma variável complexa um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser transformada por meio da integral de Laplace e dt st 0 3 Fs transformada de Laplace de ft Então a transformada de Laplace de ft é dada por f t F s e dt f t f t e dt st st 0 0 3 3 h h h h 6 6 O processo inverso de determinação da função de tempo ft a partir da transformada de Laplace Fs é chamado transformada inversa de Laplace e a notação utilizada para designála é 1 A transformada inversa de Laplace pode ser obtida a partir de Fs com o auxílio da seguinte integral de inversão 1 0 F s f t j F s e ds t 2 1 para st c j c j 2 r 3 3 h h h 6 onde c a abscissa de convergência é uma constante real e é escolhida com valor superior à parte real de todos os pontos singulares de Fs Assim o caminho de integração é paralelo ao eixo j e é deslocado do eixo de um valor de c Esse caminho de integração fica à direita de todos os pontos singulares O cálculo da integral de inversão é aparentemente complicado Na prática raramente uti lizamos essa integral para a obtenção de ft Frequentemente usamos os métodos de expansão em frações parciais dado no Apêndice B A seguir apresentamos a Tabela A1 que traz pares de transformadas de Laplace de funções comumente encontradas e a Tabela A2 que traz propriedades de transformadas de Laplace 780 Engenharia de controle moderno TABELA A1 f t Fs 1 Impulso unitário δt 1 2 Degrau unitário 1t s 1 3 t s 1 2 4 n t 1 n 1 h n 1 2 3 s 1 n 5 t n n 1 2 3 s n n 1 6 eat s a 1 h 7 teat s a 1 2 h 8 n t e 1 1 n at 1 h n 1 2 3 s a 1 n h 9 t neat n 1 2 3 s a n n 1 h 10 sen t s2 2 11 cos t s s 2 2 12 senh t s2 2 13 cosh t s s 2 2 14 a e 1 1 at h s s a 1 h 15 b a e e 1 at bt h s a s b 1 h h 16 b a be ae 1 bt at h s a s b s h h 17 ab a b be ae 1 1 1 at bt h E s s a s b 1 h h 18 a e ate 1 1 at at 2 h s s a 1 2 h 19 a at e 1 1 at 2 h s s a 1 2 h 20 eat sen t s a 2 2 h Pares de transformadas de Laplace continua 781 Apêndice A Tabelas para a transformada de Laplace f t Fs 21 eat cos t s a s a 2 2 h 22 sen e t 1 1 0 1 n t n 2 2 n 1 1 g g g g h s s 2 n n n 2 2 2 g 23 tg e t 1 1 1 1 0 1 0 2 t sen n 2 2 1 2 n 1 1 1 1 g g z z g g g z r g h h s s s 2 n n 2 2 g 24 sen tg e t 1 1 1 1 1 0 1 0 2 t n 2 2 1 2 n 1 1 1 1 g g z z g g g z r g h h 2 s s n s n n 2 2 2 g h 25 1 cos t s s2 2 2 h 26 t sen t s s 2 2 2 3 h 27 sen t t cos t s 2 2 2 2 3 h 28 tsen t 2 1 s s 2 2 2 h 29 t cos t s s 2 2 2 2 2 h 30 cos cos t t 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 h h s s s 2 1 2 2 2 2 h h 31 sen cos t t t 2 1 h s s 2 2 2 2 h continuação 782 Engenharia de controle moderno TABELA A2 1 Af t AFs 2 f1t f2t F1s F2s 3 dt d f t sF s f 0 L h h h E 4 dt d f t s F s sf f 0 0 L 2 2 2 o h h h h E 5 dt d f t s F s s f f t dt d f t 0 onde L n n n n k k n k k k k 1 1 1 1 1 h h h h h h h E 6 f t dt s F s s f t dt 1 L n t 0 h h h E E 7 f t dt s F s s f t dt 1 L n n n k k n k t 1 1 0 g g h h h h h E E 8 f t dt s F s L t 0 h h E 9 lim f t dt F s f t dt se existe s 0 0 0 3 3 h 10 eαt f t Fs a 11 f t α1t α eαsFs α 0 12 tf t ds dF s L h h 6 13 t f t ds d F s L 2 2 2 h h 6 14 t f t ds d F s 1 L n n n n h h h 6 n 1 2 3 15 lim t f t F s ds t f t 1 1 se existe L s t 0 3 h h h E 16 f a aF as 1 L c m h E 17 f t f d F s F s L t 0 1 2 x x x 1 2 h h h h E 18 f t g t j F p G s p dp 2 1 L c j c j r 3 3 h h h h 6 Propriedades das transformadas de Laplace 783 Apêndice A Tabelas para a transformada de Laplace Por fim apresentamos dois teoremas frequentemente utilizados juntamente com as trans formadas de Laplace da função pulso e da função impulso Teorema do valor inicial lim lim f f t sF s 0 t s 0 3 h h h Teorema do valor final lim lim f f t sF s t s 0 3 3 h h h Função pulso f t t A t t A t t 1 1 0 0 0 h h h f t t s A t s A e L st 0 0 0 6 h Função impulso lim para para g t t A t t t t t 0 0 0 t 0 0 0 0 0 1 1 1 1 h lim lim g t t s A e dt d t s dt d A e s As A 1 1 t st t st 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h h h h 6 6 G 784 Engenharia de controle moderno Expansão em frações parciais B A P Ê N D I C E Antes de apresentarmos a abordagem do MATLAB para a expansão em frações parciais das funções de transferência vamos discutir o método manual para essa expansão Expansão em frações parciais quando Fs envolve somente polos distintos Conside remos Fs escrito na forma fatorada F s A s B s s p s p s p K s z s z s z m n para n m 1 2 1 2 g g 1 h h h h h h h h h onde p1 p2 pn e z1 z2 zm podem ser quantidades reais ou complexas mas para cada com plexo pi ou zj existe o correspondente complexo conjugado de pi ou zj respectivamente Se Fs possuir somente polos distintos então ela poderá ser expandida em uma soma de frações parciais simples como está indicado a seguir F s A s B s s p a s p a s p a n n 1 1 2 2 g h h h B1 onde ak k 1 2 n são constantes O coeficiente ak é chamado resíduo do polo em s pk O valor de ak pode ser encontrado ao se multiplicar ambos os lados da Equação B1 por s pk e ao fazer s pk o que resulta em s p A s B s s p a s p s p a s p s p a s p s p a s p a k s p k k k k k n n k s p k 1 1 2 2 k k g g h h h h h h h G G Vemos que todos os termos expandidos são eliminados com exceção de ak Assim o resíduo ak é determinado por a s p A s B s k k s pk h h h G Note que como ft é uma função real de tempo se p1 e p2 forem complexos conjugados então os resíduos a1 e a2 também serão complexos conjugados Somente um dos complexos conjugados a1 ou a2 deve ser calculado porque o outro é conhecido automaticamente Como s p a a e k k k p t 1 k G ft é obtido como ft 1Fs a1e p1t a2ep2t anepnt para t 0 Exemplo B1 Determine a transformada inversa de Laplace de F s s s s 1 2 3 h h h A expansão em frações parciais de Fs é F s s s s s a s a 1 2 3 1 2 1 2 h h h onde a1 e a2 são determinadas como a s s s s s s a s s s s s s 1 1 2 3 2 3 2 2 1 2 3 2 3 1 s s s s 1 1 1 2 2 2 h h h h h h E E E E Assim f t F s s s e e t 1 2 2 1 2 0 para t t 1 1 1 2 h h 6 E E Exemplo B2 Obtenha a transformada inversa de Laplace de G s s s s s s 1 2 5 9 7 3 2 h h h Nesse caso como o grau do polinômio do numerador é maior que o do polinômio do denominador devemos dividir o numerador pelo denominador 2 G s s s s s 1 2 3 h h h Observe que a transformada de Laplace da função impulso unitário dt é 1 e que a transformada de Laplace de ddtdt é s O terceiro termo do lado direito da última equação é Fs no Exemplo B1 Assim a transformada inversa de Laplace de Gs é dada por 2 2 0 g t dt d t t e e para t t t2 d d h h h Exemplo B3 Encontre a transformada inversa de Laplace de F s s s s 2 5 2 12 2 h Observe que o polinômio do denominador pode ser fatorado da seguinte maneira s2 2s 5 s 1 j2s 1 j2 Se a função Fs incluir um par de polos complexos conjugados não é conveniente expandir Fs do modo usual em frações parciais mas fazer a expansão na soma de uma função senoidal amortecida e uma função cossenoidal amortecida Observandose que s2 2s 5 s 12 22 e tendo como referência a transformada de Laplace de eat sen t e eat cos t podemos reescrever da seguinte maneira 786 Engenharia de controle moderno sen cos e t s e t s s t t 2 2 2 2 a a a a a h h 6 6 a função Fs pode ser escrita como a função senoidal amortecida e a função cossenoidal amor tecida F s s s s s s s s s 2 5 2 12 1 2 10 2 1 5 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 h h h h h Seguese que 5 2 5 2 2 2 0 sen cos f t F s s s s e t e t t 1 2 2 1 2 1 para 1 1 2 2 1 2 2 1 1 h h h h 6 G G Expansão em frações parciais quando Fs inclui polos múltiplos Em vez de discutirmos um caso genérico utilizaremos um exemplo para mostrar como obter a expansão em frações parciais de Fs Consideremos a seguinte Fs F s s s s 1 2 3 3 2 h h A expansão em frações parciais dessa Fs envolve três termos F s A s B s s b s b s b 1 1 1 1 2 2 3 3 h h h h h onde b3 b2 e b1 são determinados a seguir Por meio da multiplicação de ambos os lados dessa última equação por s 13 teremos s A s B s b s b s b 1 1 1 3 1 2 2 3 h h h h h B2 Se s 1 a Equação B2 dará s A s B s b 1 s 3 1 3 h h h G Além disso a diferenciação de ambos os lados da Equação B2 referente a s resulta em 2 ds d s A s B s b b s 1 1 3 2 1 h h h h G B3 Se definirmos s 1 na Equação B3 então ds d s A s B s b 1 s 3 1 2 h h h G Pela diferenciação de ambos os lados da Equação B3 em relação a s o resultado é 2 ds d s A s B s b 1 2 2 3 1 h h h G Pela análise precedente podese constatar que os valores de b3 b2 e b1 são determinados sistematicamente como 787 Apêndice B Expansão em frações parciais b s A s B s s s b ds d s A s B s ds d s s s b ds d s A s B s ds d s s 1 2 3 2 1 2 3 2 2 0 2 1 1 2 1 2 3 2 1 2 1 s s s s s s s 3 3 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1 2 2 3 1 2 2 2 1 h h h h h h h h h h h h h h G G E G G 3 3 Desse modo obteremos 0 f t F s s s s e t e t e t 1 1 1 0 1 2 0 1 para t t t 1 1 1 2 1 3 2 2 h h h h h 6 E G G Comentários Para as funções de grande complexidade com denominadores que envolvem polinômios de ordem elevada a expansão em frações parciais pode consumir muito tempo Nesses casos o uso do MATLAB é recomendado Expansão em frações parciais com o MATLAB O MATLAB tem um comando para obter a expansão em frações parciais de BsAs Considere a seguinte função BsAs A s B s s a s a b s b s b den num n n n n n n 1 1 0 1 1 g g h h onde alguns dos ai e bj podem ser nulos No MATLAB os vetores linha num e den são formados pelos coeficientes do numerador e do denominador da função de transferência Ou seja num b0 b1 bn den 1 a1 an O comando rpk residuenumden determina os resíduos r os polos p e os termos diretos k da expansão em frações parciais da relação entre dois polinômios Bs e As A expansão em frações parciais de BsAs é dada por A s B s s p r s p r s p n r n k s 1 1 2 2 g h h h h h h h h h B4 788 Engenharia de controle moderno Comparando as equações B1 e B4 notamos que p1 p1 p2 p2 pn pn r1 a1 r2 a2 rn an ks é um termo direto Exemplo B4 Considere a seguinte função de transferência A s B s s s s s s s 6 11 6 2 5 3 6 3 2 3 2 h h Para essa função num 2 5 3 6 den 1 6 11 6 O comando rpk residuenumden apresenta o seguinte resultado rpk residuenumden r 60000 40000 30000 p 30000 20000 10000 k 2 Note que os resíduos retornam na coluna vetor r o lugar dos polos na coluna vetor p e o termo direto na linha vetor k Esta é a representação em MATLAB da seguinte expansão em frações parciais de BsAs A s B s s s s s s s s s s 6 11 6 2 5 3 6 3 6 2 4 1 3 2 3 2 3 2 h h Observe que se p j p j 1 p j m 1 isto é pj pj1 pjm1 o polo p j é um polo de multiplicidade m Nesses casos a expansão inclui termos como segue s p j r j s p j r j s p j r j m 1 1 m 2 g h h h h h h 6 6 Para obter mais detalhes veja o Exemplo B5 Exemplo B5 Expanda a seguinte BsAs em frações parciais com MATLAB A s B s s s s s s s s s 1 2 3 3 3 1 2 3 3 2 3 2 2 h h h Para essa função temos num 1 2 3 den 1 3 3 1 O comando rpk residuenumden apresenta o resultado mostrado a seguir 789 Apêndice B Expansão em frações parciais num 1 2 3 den 1 3 3 1 rpk residuenumden r 10000 00000 20000 p 10000 10000 10000 k Esta é a representação em MATLAB da seguinte expansão em frações parciais de BsAs A s B s s s s 1 1 1 0 1 2 2 3 h h h h Note que o termo direto k é zero 790 Engenharia de controle moderno Álgebra vetorial e matricial C A P Ê N D I C E Neste Apêndice vamos primeiro revisar o determinante de uma matriz e em seguida defini remos matriz adjunta matriz inversa e derivada e integral de uma matriz Determinante de uma matriz Para toda matriz quadrada existe um determinante O determi nante da matriz quadrada A é geralmente escrito A ou det A O determinante tem as seguintes propriedades 1 Se duas linhas ou colunas consecutivas forem intercambiadas o determinante mudará de sinal 2 Se qualquer linha ou coluna consistir apenas em zeros o valor do determinante será zero 3 Se os elementos de qualquer linha ou de qualquer coluna forem exatamente k vezes os de outra linha ou de outra coluna então o valor do determinante será zero 4 Se qualquer múltiplo constante de outra linha ou coluna for somado a qualquer linha ou coluna o valor do determinante permanecerá inalterado 5 Se um determinante for multiplicado por uma constante somente uma linha ou uma coluna será multiplicada por essa constante Observe porém que o determinante de k multiplicado por uma matriz A n n é kn multiplicado pelo determinante de A ou kA knA Isso ocorre porque k ka ka ka ka ka ka ka ka ka A n n m m nm 11 21 1 12 22 2 1 2 h h g g g h R T S S S S SS V X W W W W WW 6 O determinante do produto de duas matrizes quadradas A e B é o produto dos determi nantes ou seja AB A B Se B matriz nm e C matriz mn então detIn BC detIm CB Se A 0 e D matriz mm então det det det A C B D A S G onde S D CA1B Se D 0 então det det det A C B D D T G onde T A BD1C Se B 0 ou C 0 então det det det det det det A C 0 D A D A 0 B D A D G G Posto da matriz Dizse que a matriz A é uma matriz de posto m se houver uma submatriz M mm de A tal que o determinante de M seja não nulo e o determinante de toda submatriz rr onde r m 1 de A seja zero Como exemplo considere a seguinte matriz A 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0 4 0 2 2 R T S S S S SS V X W W W W WW Observe que A 0 Uma de várias das maiores submatrizes cujo determinante não é igual a zero é 1 0 1 2 1 0 3 1 1 H Portanto o posto da matriz A é 3 Menor Mij Se a iésima linha e a jésima colunas forem removidas de uma matriz A nn a matriz resultante será uma matriz n 1n 1 O determinante dessa matriz n 1n 1 é chamado menor Mij da matriz A Cofator Aij O cofator Aij do elemento aij da matriz A n n é definido pela equação Aij 1ijMij Ou seja o cofator Aij do elemento aij é 1ij multiplicado pelo determinante da matriz formado removendose iésima linha e a jésima coluna de A Observe que o cofator Aij do ele mento aij é o coeficiente do termo aij na expansão do determinante A já que se demonstra que ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain A Se ai1 ai2 ain forem substituídos por aj1 aj2 ajn então aj1Ai1 aj2Ai2 ajn Ain 0 i j porque o determinante de A nesse caso tem duas linhas idênticas Portanto obtemos jk a A A ik k n ji 1 d Da mesma forma 792 Engenharia de controle moderno a A A ki kj k n ij 1 d Matriz Adjunta A matriz B cujo elemento na iésima linha e jésima coluna é igual a Aji é chamada ajunta de A e é identificada por adj A ou B bij Aji adj A Ou seja a adjunta de A é a transposta da matriz cujos elementos são os cofatores de A ou adj A A A A A A A A A A n n n n nm 11 12 1 21 22 2 1 2 h h g g g h R T S S S SS V X W W W WW Veja que o elemento da jésima linha e iésima coluna do produto Aadj A é jk jk a b a A A ki k n ik k n ji 1 1 d Portanto Aadj A é uma matriz diagonal com elementos diagonais iguais a A ou Aadj A A I Da mesma forma o elemento da jésima linha e da iésima coluna do produto adj A A é b a A a A jk ki k n kj ki k n ij 1 1 d Portanto temos a relação Aadj A adj AA A I C1 Assim adj A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A n n n n nn 1 11 12 1 21 22 2 1 2 h h g g g h R T S S S S S S S SS V X W W W W W W W WW onde Aij é o cofator de aij da matriz A Consequentemente os termos da iésima coluna de A1 são lA multiplicado pelos cofatores da iésima linha da matriz original A Por exemplo se A 1 3 1 2 1 0 0 2 3 H então a adjunta de A e o determinante de A são respectivamente adjA 1 0 2 3 3 1 2 3 3 1 1 0 2 0 0 3 1 1 0 3 1 1 2 0 2 1 0 2 1 3 0 2 1 3 2 1 3 7 1 6 3 2 4 2 7 R T S S S S S S S S SS V X W W W W W W W W WW H 793 Apêndice C Álgebra vetorial e matricial e A 17 Assim a inversa de A é adj A A A 17 3 17 7 17 1 17 6 17 3 17 2 17 4 17 2 17 7 1 R T S S S S S SS V X W W W W W WW A seguir damos fórmulas para encontrar as matrizes inversas das matrizes 22 e 33 Para as matrizes 22 0 a c b d ad bc A onde G a matriz inversa é dada por ad bc d c b a A 1 1 G Para a matriz 33 0 a d g b e h c f i A onde A H a matriz inversa é dada por e h f i d g f i d g e h b h c i a g c i a g b h b e c f a d c f a d b e A A 1 1 R T S S S S S S S S SS V X W W W W W W W W WW Observe que A11 A A1 A1 A1 A1 Existem várias outras fórmulas disponíveis Presuma que A matriz nn B matriz nm C matriz mn e D matriz mm Então A BC1 A1 A1BIm CA1B1CA1 Se A 0 e D 0 então A B D A A BD D A C D A D CA D 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 G G G G Se A 0 S D CA1 B S 0 então A C B D A A BS CA S CA A BS S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 G G Se D 0 T A BD1 C T 0 então 794 Engenharia de controle moderno A C B D T D CT T BD D D CT BD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 G G Por fim apresentamos o método do MATLAB para a obtenção da matriz inversa de uma matriz quadrada Se todos os elementos da matriz forem dados como valores numéricos este método é o melhor Método do MATLAB para a obtenção da matriz inversa de uma matriz quadrada A matriz inversa de uma matriz A pode ser obtida com o comando invA Por exemplo se a matriz A for dada por A 1 3 1 1 4 2 2 0 5 H então a matriz inversa da matriz A será obtida como segue A 1 1 23 4 01 2 5 invA ans 22222 01111 08889 16667 03333 06667 02222 01111 01111 Ou seja A 2 2222 1 6667 0 2222 0 1111 0 3333 0 1111 0 8889 0 6667 0 1111 1 H O MATLAB diferencia entre maiúsculas e minúsculas É importante observar que o MATLAB é case sensitive ou seja distingue entre letras maiúsculas e minúsculas Portanto x e X não são a mesma variável Todos os nomes de função devem estar em letras minúsculas como invA eigA e polyA Diferenciação e integração de matrizes A derivada de uma matriz nm At é por defi nição a matriz nm da qual cada elemento é o derivado do elemento correspondente da matriz original desde que todos os elementos aijt tenham derivados com relação a t Ou seja dt d t dt d a t dt d a t dt d a t dt d a t dt d a t dt d a t dt d a t dt d a t dt d a t dt d a t A ij n n m m nm 11 21 1 12 22 2 1 2 h h g g g h c h hm h h h h h h h h h R T S S S S S S S SS V X W W W W W W W WW Da mesma forma a integral de uma matriz nm At é por definição t dt a t dt a t dt a t dt a t dt a t dt a t dt a t dt a t dt a t dt a t dt A ij n n m m nm 11 21 1 12 22 2 1 2 h h g g g h e h h o h h h h h h h h h R T S S S S S S S S V X W W W W W W W W 795 Apêndice C Álgebra vetorial e matricial Diferenciação do produto de duas matrizes Se as matrizes At e Bt podem ser diferen ciadas com relação a t então dt d t t dt d t t t dt d t A B A B A B h h h h h h 8 B Aqui novamente a multiplicação de At e dBtdt ou dAtdt e Bt é em geral não comutativa Diferenciação de A1t Se uma matriz At e sua inversa A1t forem diferenciáveis com relação a t então a derivada de A1t é dada por dt d t t dt d t t A A A A 1 1 1 h h h h A derivada pode ser obtida pela diferenciação de AtA1t com relação a t Como dt d t t dt d t t t dt d t A A A A A A 1 1 1 h h h h h h 8 B e dt d t t dt d A A I 0 1 h h 8 B obtemos t dt d t dt d t t A A A A 1 1 h h h h ou dt d t t dt d t t A A A A 1 1 1 h h h h 796 Engenharia de controle moderno Referências Anderson B D O e J B Moore Linear Optimal Control Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1971 Athans M e P L Falb Optimal Control An Introduction to the Theory and Its Applications New York McGrawHill Book Company 1965 Barnet S Matrices Polynomials and Linear TimeInvariant Systems IEEE Trans Automatic Control 1973 pp 110 Bayliss L E Living Control Systems London English Universities Press Limited 1966 Bellman R Introduction to Matrix Analysis New York McGrawHill Book Company 1960 Bode H W Network Analysis and Feedback Design New YorkVan Nostrand Reinhold 1945 Brogan W L Modern Control Theory Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1985 Butman S e R Sivan Sussman On Cancellations Controllability and Observability IEEE Trans Automatic Control 1964 pp 3178 Campbell D P Process Dynamics New York John Wiley Sons Inc 1958 Cannon R Dynamics of Physical Systems New York McGrawHill Book Company 1967 Chang P M and S Jayasuriya An Evaluation of Several Controller Synthesis Methodologies Using a Rotating Flexible Beam as a Test Bed ASME J Dynamic Systems Measurement and Control 117 1995 pp 36073 Cheng D K Analysis of Linear Systems Reading MA AddisonWesley Publishing Company Inc 1959 Churchill R V Operational Mathematics 3rd ed New York McGrawHill Book Company 1972 Coddington E A and N Levinson Theory of Ordinary Differential Equations New York McGraw Hill Book Company 1955 Craig J J Introduction to Robotics Mechanics and Control Reading MAAddisonWesley Publishing Company Inc 1986 Cunningham W J Introduction to Nonlinear Analysis New York McGrawHill Book Company 1958 Dorf R C and R H Bishop Modern Control Systems 9th ed Upper Saddle River NJ Prentice Hall 2001 Enns M J R Greenwood III J E Matheson and F T Thompson Practical Aspects of StateSpace Methods Part I System Formulation and Reduction IEEE Trans Military Electronics 1964 pp 8193 Evans W R Graphical Analysis of Control Systems AIEE Trans Part II 67 1948 pp 54751 Evans W R Control System Synthesis by Root Locus Method AIEE Trans Part II 69 1950 pp 669 Evans W RThe Use of Zeros and Poles for Frequency Response or Transient Response ASME Trans 76 1954 pp 113544 Evans W R Control System Dynamics New York McGrawHill Book Company 1954 Franklin G F J D Powell and A EmamiNaeini Feedback Control of Dynamic Systems 3rd ed Reading MAAddisonWesley Publishing Company Inc 1994 Friedland B Control System Design New York McGrawHill Book Company 1986 Fu K S R C Gonzalez and C S G Lee Robotics Control Sensing Vision and Intelligence New York McGrawHill Book Company 1987 Gantmacher F R Theory of Matrices Vols I and II NewYork Chelsea Publishing Company Inc 1959 Gardner M F and J L Barnes Transients in Linear Systems New York John Wiley Sons Inc 1942 Gibson J E Nonlinear Automatic Control New York McGrawHill Book Company 1963 Gilbert E GControllability and Observability in Multivariable Control Systems J SIAM Control ser A 1 1963 pp 12851 Graham D and R C Lathrop The Synthesis of Optimum Response Criteria and Standard Forms AIEE Trans Part II 72 1953 pp 27388 Hahn W Theory and Application of Liapunovs Direct Method Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1963 Halmos P R Finite Dimensional Vector Spaces New YorkVan Nostrand Reinhold 1958 Higdon D T and R H Cannon Jr On the Control of Unstable MultipleOutput Mechanical Sys tems ASME Paper no 63WA148 1963 Irwin J D Basic Engineering Circuit Analysis New York Macmillan Inc 1984 Jayasuriya S Frequency Domain Design for Robust Performance Under Parametric Unstructured or Mixed Uncertainties ASME J Dynamic Systems Measurement and Control 115 1993 pp 43951 Kailath T Linear Systems Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1980 Kalman R E Contributions to the Theory of Optimal Control Bol Soc Mat Mex 5 1960 pp 10219 Kalman R EOn the General Theory of Control Systems Proc First Intern Cong IFAC Moscow 1960 Automatic and Remote Control London Butterworths Company Limited 1961 pp 48192 Kalman R ECanonical Structure of Linear Dynamical Systems Proc Natl Acad Sci USA 48 1962 pp 596600 Kalman R EWhen Is a Linear Control System Optimal ASMEJ Basic Engineering ser D 86 1964 pp 5160 Kalman R E and J E Bertram Control System Analysis and Design via the Second Method of Lyapunov I ContinuousTime Systems ASME J Basic Engineering ser D 82 1960 pp 37193 Kalman R E Y C Ho and K S NarendraControllability of Linear Dynamic Systems in Con tributions to Differential Equations Vol 1 New YorkWileyInterscience Publishers Inc 1962 798 Engenharia de controle moderno Kautsky J and N Nichols Robust Pole Assignment in Linear State Feedback Intern J Control 41 1985 pp 112955 Kreindler E and P E Sarachick On the Concepts of Controllability and Observability of Linear Systems IEEE Trans Automatic Control 1964 pp 12936 Kuo B C Automatic Control Systems 6th ed Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1991 LaSalle J P and S Lefschetz Stability by Liapunovs Direct Method with Applications New York Academic Press Inc 1961 Levin W S The Control Handbook Boca Raton FL CRC Press 1996 Levin W S Control System Fundamentals Boca Raton FL CRC Press 2000 Luenberger D GObserving the State of a Linear System IEEE Trans Military Electr 1964 pp 7480 Luenberger D G An Introduction to Observers IEEE Trans Automatic Control 1971 pp 596602 Lure A I and E N RozenvasserOn Methods of Constructing Liapunov Functions in the Theory of Nonlinear Control Systems Proc First Intern Cong IFAC Moscow 1960 Automatic and Remote Control London Butterworths Company Limited 1961 pp 92833 MathWorks Inc The Student Edition of MATLAB version 5 Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1997 Melbourne W G Three Dimensional Optimum Thrust Trajectories for PowerLimited Propulsion Systems ARS J 31 1961 pp 17238 Melbourne W G and C G Sauer JrOptimum Interplanetary Rendezvous with Power Limited Vehicles AIAA J 1 1963 pp 5460 Minorsky N Nonlinear Oscillations New YorkVan Nostrand Reinhold 1962 Monopoli R V Controller Design for Nonlinear and TimeVarying Plants NASA Jan 1965 Noble B and J Daniel Applied Linear Algebra 2nd ed Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1977 Nyquist H Regeneration Theory Bell System Tech J 11 1932 pp 12647 Ogata K State Space Analysis of Control Systems Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1967 Ogata K Solving Control Engineering Problems with MATLAB Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1994 Ogata K Designing Linear Control Systems with MATLAB Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1994 Ogata K DiscreteTime Control Systems 2nd ed Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1995 Ogata K System Dynamics 4th ed Upper Saddle River NJ Prentice Hall 2004 Ogata K MATLAB for Control Engineers Upper Saddle River NJ Pearson Prentice Hall 2008 Phillips C L and R D Harbor Feedback Control Systems Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1988 Pontryagin L S V G Boltyanskii R V Gamkrelidze and E F Mishchenko The Mathematical Theory of Optimal Processes New York John Wiley Sons Inc 1962 Rekasius Z VA General Performance Index for Analytical Design of Control Systems IRE Trans Automatic Control 1961 pp 21722 Rowell G and D Wormley System Dynamics Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1997 Schultz W C and V C Rideout Control System Performance Measures Past Present and Future IRE Trans Automatic Control 1961 pp 2235 Smith R J Electronics Circuits and Devices 2d ed New York John Wiley Sons Inc 1980 799 Referências Staats P F A Survey of Adaptive Control Topics Plan B paper Dept of Mech Eng University of Minnesota March 1966 Strang G Linear Algebra and Its Applications New York Academic Press Inc 1976 Truxal J G Automatic Feedback Systems Synthesis New York McGrawHill Book Company 1955 UmezEronini E System Dynamics and Control Pacific Grove CA BrooksCole Publishing Company 1999 Valkenburg M E Network Analysis Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1974 Van Landingham H F and W A Blackwell Controller Design for Nonlinear and TimeVarying Plants Educational Monograph College of Engineering Oklahoma State University 1967 Webster J G Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering Vol 4 New York John Wiley Sons Inc 1999 Wilcox R B Analysis and Synthesis of Dynamic Performance of Industrial Organizations The Application of Feedback Control Techniques to Organizational Systems IRE Trans Automatic Control 1962 pp 5567 Willems J C and S K Mitter Controllability Observability Pole Allocation and State Recons truction IEEE Trans Automatic Control 1971 pp 58295 Wojcik C KAnalytical Representation of the Root Locus ASME J Basic Engineering ser D 86 1964 pp 3743 Wonham W MOn Pole Assignment in MultiInput Controllable Linear SystemsIEEE Trans Automatic Control 1967 pp 66065 Zhou K J C Doyle and K Glover Robust and Optimal Control Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1996 Zhou K and J C Doyle Essentials of Robust Control Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1998 Ziegler J G and N B Nichols Optimum Settings for Automatic Controllers ASME Trans 64 1942 pp 75968 Ziegler J G and N B NicholsProcess Lags in Automatic Control CircuitsASME Trans 65 1943 pp 43344 800 Engenharia de controle moderno Índice remissivo A Abordagem de otimização computacional para projeto de controlador PID 53541 Ação de controle de duas posições ou onoff 1920 Ação de controle de duas posições 1920 Ação de controle derivativa 10709 201 Ação de controle integral 21 19697 Ação de controle pneumática proporcionalintegral 109 11 Ação de controle pneumática proporcionalintegralderi vativa 11012 Ação de controle proporcional 21 Ação de controle proporcionalderivativa 212 Ação de controle proporcionalintegral 21 Ação de controle proporcionalintegralderivativa 212 Ações básicas de controle de duas posições ou onoff 19 de duas posições 1920 integral 21 proporcional 21 proporcionalderivativo 21 proporcionalintegral 21 proporcionalintegralderivativo 30 Ações de controle 18 Alocação de polo robusto 66869 Alocação de zero 5464856061 abordagem para melhorar as características de res posta 54648 Alocação do polo condições necessárias e suficientes para alocação arbitrária 66061 Amortecedor 57 119 Amortecedor 57 11920 Amplificador diferencial 689 Amplificador do tipo bocalpalheta 100 Amplificador inversor 689 Amplificador não inversor 6970 Amplificador operacional 689 Amplificador pneumático do tipo bocal palheta 100 Amplificadores operacionalis 689 Análise de estabilidade de Nyquist 41523 Análise de estabilidade 41523 no plano complexo 165 Ângulo máximo de avanço de fase 45253 456 Ângulo condição de ângulo 248 de chegada 261 de partida 256 261 Aproximação linear de modelos matemáticos nãolineares 367 Assíntotas de diagrama de Bode 373374 do lugar das raízes 25051 25960 Atenuação 150 Atraso de transporte 383 características do ângulo de fase de 383 Atuador 189 B Bloco funcional 145 Bloco 145 Blocos de Jordan 620 C Cancelamento de polos e zeros 26263 Capacitância térmica 123 Capacitância de sistema de pressão 979 de sistema térmico 123 de tanque de água 94 Carta de Nichols 44245 Circuito de atraso de primeira ordem 70 Circuito LRC 634 Circuitos de amplificador operacional 823 para compensador por avanço ou atraso de fase tabela de 75 Circunferências M 43839 uma família de constantes 439 Circunferências N 44041 uma família de constantes 441 Classificação dos sistemas de controle 203 Coeficiente da válvula 115 Coeficiente de amortecimento 150 linhas de constante 270 Coeficiente de atrito viscoso equivalente 578 211 Cofator 79273 Compensação de atraso e avanço de fase 30102 30506 308 343 46874 Compensação de comando 577 Compensação em série 28182 312 Compensação paralela 28182 31213 Compensação por atraso de fase 293 Compensação por realimentação 28182 312 475 Compensação em série 281 paralela 281 realimentação 281 Compensador de atraso e avanço de fase diagrama de Bode 510 diagrama polar de 46869 eletrônico 30103 projerto pelo método de lugar das raízes 30203 34648 projeto pelo método de resposta em frequência 46974 Compensador de avanço de fase 284 452 diagrama de Bode 45253 diagrama polar 45253 projeto pelo método de lugar das raízes 28490 projeto pelo método de resposta em frequência 45260 Compensador por atraso de fase 284 293 460 diagrama de Bode 461 diagrama polar de 461 projeto pelo método de lugar das raízes 293 295 projeto pelo método de resposta em frequência 46068 Compensador de atraso de fase 295 46162 de avanço de fase 28586 45355 de avanço ou atraso de fase 30305 46870 Compensadores por avanço por atraso e por atraso e avanço de fase comparação entre 47374 Condição de magnitude 24748 Condição inicial resposta a 18391 Condições de CauchyRiemann 77879 Transferência de calor por condução 123 Constante de erro estático de aceleração 206 386 determinação de 38687 Constante de erro estático de posição 20304 38485 Constante de erro estático de velocidade 205 385 Constante de gás 989 para o ar 12728 universal 989 Constante de torque de motor 84 Constante elástica da mola equivalente 57 Constante universal dos gases 989 Controlabilidade completa de estado 61721 no plano s 62122 Controlabilidade completa de saída 650 Controlabilidade de saída 622 Controlabilidade do estado completa 61718 619 621 Controlabilidade 61722 matriz 61819 saída 622 Controlador automático 18 Controlador baseado em observador função de transferência de 691 Controlador de duas posições ou onoff 19 Controlador de duas posições 19 Controlador de pilha 104 Controlador eletrônico 678 73 Controlador hidráulico com bocal de jato 13233 integral 117 proporcional 118 proporcionalderivativo 12122 proporcionalintegral 12021 proporcionalintegralderivativo 12223 Controlador integral 19 Controlador observador no ramo de realimentação do sistema de controle 713 71518 no ramo direto do sistema de controle 71316 Controlador PD 56263 Controlador PI 12 56263 Controlador pneumático de duas posições 104 Controlador pneumático de duas posições ou onoff 104 Controlador pneumático proporcional 10205 tipo forçadistância 10204 tipo forçaequilíbrio 10405 Controlador pneumático proporcionalderivativo 10809 Controlador proporcional 19 Controlador proporcionalderivativo 19 496 Controlador proporcionalintegral 19 110 496 Controlador proporcionalintegralderivativo 19 Controlador 19 Controladores com bocal de jato 13133 Controladores industriais 19 Controladores pneumáticos 12931 14041 Controle de realimentação 23 Controle de sistema de tráfego 7 Controle integral 198 Controle IPD 54344 Controle PD 340 Controle PID 54144 802 Engenharia de controle moderno Controle PIDPD 54344 Controle PIPD 54344 Controle proporcional 197 Controle proporcionalderivativo de sistema com carga de inércia 201 de sistema de segunda ordem 202 Controle robusto sistema 134 72838 teoria12 6 Convolução integral de 134 Critério de estabilidade de Nyquist 40716 aplicado a diagramas polares inversos 42223 Critério de estabilidade de Routh 19197 Curva de resposta em freqüência de malha aberta reconfigurada 452 Curva em forma de S 52223 Curva exponencial de resposta 148 Curvas de resposta a impulso unitário obtenção com o uso do MATLAB 17778 uma família de 16162 Curvas de resposta em frequência em malha fechada formas desejáveis de 451 formas indesejáveis de 451 D Década 372 Decibel 371 Decremento logarítmico 214 Desempenho robusto 6 729 73334 Detectabilidade 62728 Determinante 791 Diagonalização da matriz nn 598 Diagrama de bloco 145 redução 234 412 Diagrama de Bode 371 de fatores de primeira ordem 37374 37576 de fatores quadráticos 37678 de sistema definido em espaço de estado 39192 erro em expressão assintótica de 371 construção com MATLAB 38790 procedimento geral de construção 379 Diagrama de corpo livre 612 Diagrama de Nyquist 371 40203 40506 de sistema com realimentação positiva 48992 de sistema definido no espaço de estados 40306 Diagrama polar inverso 42223 49193 Diagrama polar 371 39293 39596 Diagrama tridimensional 17475 das curvas de resposta ao degrau unitário com MATLAB 17375 Diagramas de Nichols 371 Diferenciação de matriz 79596 de matriz inversa 796 do produto de duas matrizes 79596 Diferenciador aproximado 565 Distúrbios 23 22 Dualidade 68485 E eAt cálculo de 61213 Elemento de medição 18 Entrada de aceleração unitária 223 Entrada de referência 18 Equação característica 598 Equação de erro do observador 68384 Equação de espaço de estados 256 correlação entre função de transferência e 596 601 solução de 604 Equação de estado não homogênea solução da 60910 Equação de estado 267 solução de homogênea 604 solução de nãohomogênea 60910 solução pela transformada de Laplace 60607 Equação de Riccati 720 Equação de saída 267 Equação matricial de Riccati reduzida 72022 Equação matricial de Riccati 722 724 Erro de atuação 7 Erro de estado estacionário 146 20304 em termos de ganho K 207 para entrada em parabólica unitária 20607 para entrada em rampa unitária 206 Erro de velocidade 205 Erro estacionário 234 Espaço de estados 256 Espaço morto 367 Especificações de desempenho 8 Estabilidade absoluta 146 Estabilidade condicional 27374 46768 Estabilidade relativa 146 19596 423 Estabilidade robusta 6 72931 Estabilizabilidade 62728 Estado 25 EvansW R 1 910 246 Expansão em frações parciais 78590 com MATLAB 78890 Expansão em série de Taylor 368 F Fator quadrático 37677 curvas de ângulo de fase de 37778 curvas de magnitude logarítimica de 37778 Filtro de entrada 23637 577 Filtro passaaltas 45354 Força contraeletromotriz 84 constante 84 Forma canônica controlável 596 62728 Forma canônica de Jordan 597 634 64344 Forma canônica diagonal 633 Forma canônica observável 59697 631 803 Índice remissivo Formas canônicas controláveis 596 diagonais 59697 Jordan 597 599 observáveis 59697 Fórmula de Ackermann para alocação de polos 66465 para matriz de ganhos do observador 68687 Fórmula de interpolação de Lagrange 645 Frequencia de corte ou de mudança de inclinação 373 Frequência de canto ou de mudança 373 Frequência de corte 474 Frequência de cruzamento de fase 42730 Frequência de cruzamento de ganho 42730 Frequência de ressonância 395 43031 Frequência natural amortecida 152 Frequência natural não amortecida 150 Função analítica 779 Função complexa 778 Função de transferência de fase mínima 381 Função de transferência de fase não mínima381 447 Função de transferência do observadorcontrolador 691 92 Função de transferência em cascata 17 Função de transferência em malha aberta 16 Função de transferência em malha fechada 167 Função de transferência do ramo direto 16 Função de transferência senoidal 36869 Função de transferência 123 de controlador de ordem mínima baseado em observador 704 de elementos em cascata 645 de elementos sem carga em cascata 678 de malha fechada 17 de sistema de malha fechada 17 de sistema de realimentação 16 de sistemas em cascata 17 de sistemas paralelos 17 determinação experimental de 44849 expressão em termos de ABC e D 29 malha aberta 16 antecipação 16 observadorcontrolador 69192 70608 senoidal 36869 Função impulso 784 Função peso 145 Função pulso 784 G Ganho derivativo 74 Ganho integral 534 Ganho proporcional 212 534 Gerador senoidal de sinais 44546 Gráficos logarítmicos 371 H Hazen 1 910 I Impedância complexa 66 Impedância abordagem para obter função de transferência 667 Incerteza não estruturada aditiva 76869 multiplicativa 731 sistema com 731 Índice de desempenho 718 Integração de matriz 79596 Intervalo diferencial 201 Inversão de matrizes abordagem MATLAB para obter 79495 Inversor de sinal 6970 K Kalman R E 10 617 L Largura de banda 434 493 Lei das correntes de Kirchhoff 634 Lei das malhas de Kirchhoff 634 Lei das tensões de Kirchhoff 634 Lei dos gases ideais 989 Lei dos nós de Kirchhoff 634 Linearização de sistemas não lineares 367 Linha de conversão de um número em decibel 371 Linhas z constantes 272 Lugar das raízes circular 258 Lugar das raízes 24748 método 24647 Lugares geométricos de ganho constante 27678 Lugares das raízes para sistema com realimentação positiva 27780 regras gerais de construção 25862 Lugares geométricos de ângulo de fase constante circun ferências N 44041 Lugares geométricos de magnitude constante circunfe rências M 43839 Lugares geométricos de vn constante 70 Lugares geométricos de z constantes 270 M Magnitude do pico de ressonância 379 43031 Magnitude log de curvas de função de transferência qua drática 37778 Mapeamento conforme 409 42325 Margem de fase 42428 versus curva z 433 Margem de ganho 42428 Margnitude log versus gráfico de fases 371 40507 MATLAB Comandos MATLAB ABCD tf2ssnumden 34 601 63637 Gmpmwcpwcg marginsys 42930 KPE lqrABQR 722 804 Engenharia de controle moderno Kr rlocfindnumden 27778 magphasew bodeABCD 387 magphasew bodeABCDiuw 387 magphasew bodeABCDw 387 magphasew bodenumden 387 magphasew bodenumdenw 387 436 magphasew bodesys 387 magphasew bodesysw 436 Mpk maxmag 436 numden feedbacknum1den1 num2den2 178 numden parallelnum1den1 num2den2 178 numden seriesnum1den1 num2den2 178 numden ss2tfABCD 35 602 numden ss2tfABCDiu 356 50 602 NUMden ss2tfABCDiu 51 60304 rpk residuenumden 216 78889 reimw nyquistABCD 399400 reimw nyquistABCDiuw 399400 reimw nyquistABCDw 399400 reimw nyquistnumden 399400 reimw nyquistnumdenw 399400 reimw nyquistsys 399400 y x t impulseABCD 17677 y x t impulseABCDiu 17677 y x t impulseABCDiut 17677 y x t impulsenumden 17677 y x t impulsenumdent 17677 y x t stepABCDiu 167 y x t stepABCDiut 167 y x t stepnumdent 167 172 bodeABCD 387 391 bodeABCDiu 39192 bodeABCDiuw 387 bodeABCDw 387 bodenumden 387 bodenumdenw 387 390 504 bodesys 387 bodesysw 505 c stepnumdent 172 construção do diagrama de Bode com o 38788 construção do lugar das raízes com o 26566 escrever texto em diagramas com o 17071 expansão em frações parciais com o 78890 for loop 21920 225 536 gtext text 171 impulseABCD 17677 impulsenum den 17677 initialABCDinitial conditiont 189 invA 79495 K ackerABJ 66970 K lqrABQR 722 K placeABJ 66970 Ke ackerACL 700 Ke ackerAbbAabL 700 Ke placeACL 700 Ke placeAbbAabL 700 logspaced1d2 352 logspaced1d2n 38788 lqrABQR 72122 lsimABCDut 18182 lsimnumdenrt 18182 magdB 20log10mag 387 meshy 17475 225 meshy 17475 225 mesh 17475 NaN 723 nyquistABCD 399400 40405 nyquistABCDiu 404 nyquistABCDiuw 399400 404 nyquistABCDw 399400 nyquistnum denw 399400 nyquistnumden 399400 nyquistsys 399400 obtenção de resposta a uma condição inicial com o 242 obtenção de sobressinal máximo com o 176 obtenção de tempo de pico com o 176 polarthetar 499 printsysnumden 1718 171 printsysnumdens 171 r absz 498 residue 785 resonantfrequency wk 436 resonantpeak 20log10Mp 436 rlocfind 27778 rlocusABCD 26970 rlocusABCDK 265 26970 rlocusnumden 26566 rlocusnumdenK 265 sgrid 271 sortsolution 536 stepABCD 16769 stepABCDiu 167 stepnumden 167 stepnumdent 167 stepsys 167 sys ssABCD 167 sys tfnumden 167 text 17071 theta anglez 498 w logspaced2d3100 390 y lsimABCDut 18182 y lsimnumdenrt 18182 z rejim 498 Matriz adjunta793 Matriz de entrada 267 Matriz de ganho de realimentação por estado 660 abordagem MATLAB para determinar 66869 Matriz de ganho do observador de estado abordagem de substituição direta para obtenção de 68687 abordagem de transformação para obtenção de 686 fórmula de Ackermann para obtenção de 68687 Matriz de margem de ganho do observador 686 determinação pelo MATLAB 700 Matriz de saída 267 805 Índice remissivo Matriz de Schwarz 24445 Matriz de transferência 30 Matriz de transição de estado 60708 propriedades da 608 Matriz de transmissão direta 267 Matriz do observadorcontrolador 69192 Matriz exponencial 605 61116 solução fechada para 60607 Matriz de estado 267 Menor complementar 79293 Modelo matemático 11 Modelos matemáticos não lineares aproximação linear de 368 Momento de inércia equivalente 211 N Não linearidade da lei quadrática 37 Nãounicidade de um conjunto de variáveis de estado 600 Nichols 1 910 366 Norma de H infinito 5 730 Nyquist H 1 910 366 O Observabilidade completa 62324 condições para 62425 no plano s 624 Observabilidade 617 62228 completa 62325 matriz 599 Observação de estado condições necessárias e suficientes para 68486 Observação 683 Observador de estado de ordem mínima 683 Observador de estado de ordem plena 68384 Observador de estado de ordem reduzida 683 Observador de estado 681704 projeto com MATLAB 700 servossistema tipo 1 com 678 Observador de ordem mínima 695704 controlador baseado em 704 Observador de ordem reduzida 683 Observador 68384 de ordem mínima 695700 de ordem plena 68384 modelo matemático de 683 projeto de um sistema de controle com 71218 Oitava 372 Ortogonalidade do lugar de raízes e lugar de ganho cons tante 27576 P Palheta 100 válvula 142 Percurso de Nyquist 499 Pico de ressonância 379 395 43031 versus curva z 379 Planta geral 73438 diagrama 73237 76970 Planta 23 Polinômio característico 29 Polinômio de Lagrange 645 Polinômio mínimo 61112 64143 Polinômios auxiliares 195 Polo simples 779 Polo de ordem n 779 simples 779 Polos complexos conjugados cancelamento de indesejáveis 476 Polos de malha fechada dominantes 165 Ponto de chegada ao eixo real 252 257 26061 320 Ponto de partida do eixo real 25152 26061 320 Ponto de ramificação 15 Ponto de soma 15 Ponto ordinário 779 Pontos singulares 779 Posto da matriz 79192 Princípio da dualidade 627 Princípio da superposição 367 Problema de alocação de polo 65969 resolução com MATLAB 66870 Problema de controle de H infinito 737 Problema de controle quadrático ótimo solução com MATLAB para 727 Problema do regulador ótimo 72829 Processo 23 R Raízes características 598 Raízes características 598 invariabilidade das 600 Realimentação de velocidade 16061 313 475 Rede de atraso de fase 72 496 Rede de atraso e avanço de fase eletrônico 30103 mecânica 333 Rede de avanço de fase 496 eletrônica 72 mecânica 332 Rede em ponte T 7980 476 Redes polares 271 Regras de ajuste de ZieglerNichols 910 52231 primeiro método 52224 segundo método 52425 Regulador de velocidade de Watt 3 Relé com escape 101 Relé de ação reversa 102 Relé do tipo sem escape 101 Relé pneumático 101 com atuação reversa 102 do tipo com escape 101 do tipo sem escape 101 806 Engenharia de controle moderno Representação de espaço de estados em formas canônicas 596 em sistemas de enésima ordem 314 Resíduos 785 Resistência de fluxo turbulento 93 Resistência do fluxo laminar 93 Resistência térmica 123 Resistência de sistemas térmicos 123 de fluxo turbulento 93 do fluxo laminar 923 do fluxo de gás 978 de sistemas de pressão 979 Resposta à rampa unitária de sistema de primeira ordem 148 de sistema de segunda ordem 17881 de sistema definido em espaço de estados 18081 Resposta ao degrau unitário de sistema de primeira ordem 147 de sistema de segunda ordem 148 152 154 Resposta ao impulso 148 16163 17678 função 1415 Resposta de impulso unitário de sistema de primeira ordem 148 de sistema de segunda ordem 16162 Resposta do sistema a condição inicial abordagem MATLAB para obtenção de 18391 Resposta em degrau 63738 de sistema de segunda ordem 15054 Resposta em estado estacionário 146 Resposta em frequência em malha fechada 437 Resposta em frequência 366 compensação por atraso baseada na 46068 compensação por atraso e avanço de fase baseada em 46874 compensação por avanço baseada em 45260 correlação entre resposta em degrau e 43134 Resposta em rampa 178 Resposta transitória 146 análise com MATLAB 16691 de sistema de ordem superior 16364 especificações 15455 Resposta a condição inicial 18391 a distúrbio de torque 199200 a entrada arbitrária 18182 S Salto no valoralvo 54142 Segunda lei de Newton 589 Sensor 17 Servomecanismo 12 Servomotor hidráulico 11517 142 Servossistema hidráulico 11213 Servossistema posicionador 846 Servossistema tipo 1 projeto de 67583 projeto de alocação de polos de 67278 Servossistema 84 14850 com realimentação de velocidade 15961 com realimentação por tacômetro 24445 projeto de 67283 Sinais de teste 145 Sinal de controle 23 Sistema com três graus de liberdade 591 Sistema condicionalmente estável 27374 41920 46768 Sistema controlado por IPD 54344 57576 589 com controle antecipativo 588 Sistema criticamente amortecido 152 Sistema de aquecimento de ar 137 Sistema de controle com um grau de liberdade 54445 Sistema de controle de leme profundor de uma aeronave 142 Sistema de controle de malha aberta 7 desvantagens do 8 vantagens do 8 Sistema de controle de malha fechada 7 Sistema de controle de variação de atitude 351 Sistema de controle de nível de líquidos 143 Sistema de controle de pêndulo invertido 67883 Sistema de controle de realimentação 6 Sistema de controle de veículo espacial 334 49293 Sistema de controle de velocidade 34 13334 Sistema de controle PID 52531 53536 56569 575 76 58889 básico 54142 com dois graus de liberdade 54346 com filtro de entrada 576 com uso de amplificadores operacionais 734 controlador PID 521 53031 56264 56768 579 modificado 564 Sistema de controle realimentado por estado observado 691 Sistema de fase mínima 38182 Sistema de malha fechada 17 Sistema de malhas múltiplas 41920 Sistema de pêndulo invertido 604 878 Sistema de pêndulo ligado a molas 878 Sistema de pressão 979 Sistema de primeira ordem 14749 resposta à rampa unitária 148 resposta ao degrau unitário 14748 resposta ao impulso unitário 148 Sistema de realimentação positiva Diagrama de Nyquist para 49092 lugar das raízes para 27780 Sistema de realimentação 17 Sistema de segunda ordem padrão 171 Sistema de segunda ordem 14849 curvas de resposta em degrau unitário de 154 especificação de resposta transitória de 155 forma padrão de 151 resposta ao impulso de 16163 resposta em degrau de 15059 807 Índice remissivo Sistema de suspensão automotiva 76 Sistema de suspensão de motocicleta 77 Sistema de suspensão de automóveis 767 de motocicletas 77 fórmula de interpolação de Sylvester 615 64549 Sistema de tanque de água cônico 13738 Sistema de termômetro de mercúrio 13637 Sistema diferenciador 208 Sistema em cascata 17 Sistema empresarial 45 Sistema fluídos modelagem matemática dos 91 Sistema hidráulico 967 11225 13435 comparado ao sistema pneumático 967 vantagens e desvantagens do 11213 Sistema não controlável 622 Sistema linear invariante no tempo 112 14849 Sistema linear variante no tempo 112 Sistema linear 1112 coeficiente constante 112 Sistema massamolaamortecedor 589 Sistema mecânico de atrasoavanço 333 Sistema mecânico de avanço 332 Sistema mecânico vibratório 213 Sistema não amortecido 15152 Sistema não linear 367 Sistema organizacional de engenharia 46 Sistema pneumático de pressão 12728 Sistema regulador com controlador de observador 704 12 71415 Sistema regulador quadrático ótimo 71820 projeto com MATLAB de 72122 Sistema superamortecido 15354 Sistema termômetro 13638 Sistema tipo 0 203 207 447 curva de magnitude logarítmica para 38485 447 diagrama polar de 397 Sistema tipo 1 385 curva de magnitude logarítmica para 385 447 diagrama polar de 397 Sistema tipo 2 386 curva de magnitude logarítmica para 386 447 diagrama polar de 397 Sistema 23 Sistemas de controle de temperatura 46 Sistemas de fase não mínima 27475 381 383 Sistemas de nível de líquido 92 945 1257 Sistemas de ordem maior 163 critério de estabilidade de Hurwitz 22829 23134 determinantes de Hurwitz 22834 equivalência do critério de estabilidade de Routhe 23133 resposta transitória de 16364 Sistemas pneumáticos 96112 139 comparados aos sistemas hidráulicos 967 Sistemas térmicos 9112325 Sobressinal máximo percentual 15455 Sobressinal máximo na resposta ao degrau unitário 15456 na resposta ao impulso unitário 163 versus curva z 158 T Tacômetro 16061 realimentação 313 Taxa de corte 435 Técnica de designação ou alocação de polo 659 Tempo de acomodação 15457 obtenção com MATLAB 176 versus curva z 158 Tempo de atraso 15455 Tempo de avanço de fase 45 Tempo de pico 15456 17475 Tempo de subida 15455 obtenção com MATLAB 17476 Tempo derivativo 212 534 Tempo integral 212 534 Teorema de Cauchy 48182 Teorema de CayleyHamilton 611 639 Teorema do ganho pequeno 731 Teorema do mapeamento 41011 Teorema do valor final 784 Teorema do valor inicial 784 Teorema dos resíduos 482 Teoria do controle clássico 12 Teoria do controle convencional 25 Teoria do controle moderno 6 25 versus teoria do controle convencional 25 Texto escrever na tela de gráfico 17071 Tipos de sistema 38485 tipo 0 203 207 38485 397 44647 tipo 1 203 207 385 397 44647 tipo 2 203 207 386 397 44647 Transferência de calor por condução 123 Transformação de espaço de estados para função de transferência 356 602 de função de transferência para espaço de estados 346 601 Transformada de Laplace 780 propriedades da 783 tabela de 78182 Transformada inversa de Laplace 780 Transformada inversa de Laplace método de expansão em frações parciais para obtenção da 78590 Trem de engrenagens 209 sistema 20911 Tsistema de controle com dois graus de liberdade 54446 54963 58287 59293 V Válvula de carretel 808 Engenharia de controle moderno modelo matemático linearizado de 115 Valor de referência 18 Válvula atuadora pneumática 10607 Válvula de carretel subposta 13132 Válvula de sobreposição nula 117 Válvula eletromagnética 20 Válvula piloto 11213 Válvula sobreposta 117 Válvula tipo carretel sobreposta 13132 Válvula de sobreposição nula 117 sobreposta 117 subposta 117 Variável complexa 778 Variável controlada 23 Variável de estado 25 Variável manipulada 23 Vetor de estado 256 Vetores dependência linear de 616 independência linear de 616 Z Zero 779 de ordem m 780 809 Índice remissivo ISBN 9788576058106 svpearsoncombr A Sala Virtual oferece para professores manual de soluções em inglês e apresentações em PowerPoint Engenharia w w w p e a r s o n c o m b r Engenharia de controle moderno chega à quinta edição renovado com uma didática diferenciada que intensifica o processo de ensinoaprendizagem e faz com que passe despercebido o fato de o livro ter quatro décadas de mercado Isso porque a obra que foi totalmente revista e reformulada traz agora novos exercícios e exemplos bem como exibições do MATLAB que facilitam a utilização do programa na aplicação do conteúdo apresentado Ideal para cursos como engenharia automação industrial e eletrotécnica este clássico de Ogata não pode faltar na estante daqueles que como a própria obra querem fazer história Katsuhiko ENGENHARIA DE CONTROLE MODERNO 5a EDIÇÃO OGATA