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ANÁLISES DE SÉRIES TEMPORAIS\n\nGARRER, R.\n\nResumo:\nO principal objetivo da aplicação de modelos de séries temporais é a obtenção de projeções para os valores futuros de uma variável em estudo. A escolha do modelo mais adequado depende de uma análise dos valores observados para a série. No presente capítulo, é introduzida a utilização de modelos de Reino Temporal conhecidos como \"modelos de homogeneidade aproximativa\". Estes apresentam uma forma paramétrica, que torna mais ágil a definição da estimativa que se demanda. São apresentadas também as técnicas para a estimativa de modelos para séries compostas (série temporal simples), série de renda-luz (série lombar dentada) e séries associativas. Em adição é apresentada uma comparação entre os modelos de séries temporais e os de regressão linear.\n\nAbstract:\n\"Time series analysis.\"\nThe main goal of applying time series models is to obtain projections for the future values of the variable being studied. The choice of the most suitable model depends on an analysis of the values observed in the series. The present chapter introduces the use of time series models known as \"exponential smoothing models.\" Such models, as far as parameter estimation is concerned, are much simpler and easier to understand than other models. The chapter presents the methods for statistical modeling of static series (simple exponential smoothing), series with a linear trend (double exponential smoothing) and series with seasonal trend (multiplicative and additive seasonal models). A comparison between the models of time series and of linear regression is also presented. Introdução\n\nA partir da possibilidade de mensuração do tempo, podemos estabelecer algumas relações entre a passagem do tempo e a ocorrência de fenômenos biológicos. Ao observarmos um fenômeno (variável) na natureza, podemos perceber que este é estimulado por uma infinidade de outros fenômenos (variáveis) correlacionados a ele, uns com interferência maior e outros com menor. Uma das variáveis que podem estar interferindo no desenrolar e o transcurso do tempo, o que se coloca, neste momento, é o nível de importância da passagem do tempo para as alterações que o processo vem sofrendo. Falar que um elemento da espécie humana tem setenta anos de idade nos faz, imediatamente, imaginar um senhor com cabelos brancos, dificuldade de locomoção, uma grande experiência de vida e etc. Note que o exemplo apresentado descreve um grupo de variáveis altamente associadas à passagem do tempo, logo o tempo pode ser uma boa variável para expressar o desenvolvimento destas variáveis. Um contra-exemplo poderia ser o que se considera o estado de saúde de um gato também a partir de sua idade. Note que a dificuldade das estimativas associadas nas duas situações são imensas, como o exemplo da palavra \"intimamente\" não deve ser entendido como sendo o tempo o único condutor do fenômeno, mais sim, o principal condutor. Uma infinidade de outras variáveis sempre estarão interferindo no processo, porém, o tempo é o principal condutor. Se voltarmos ao exemplo do homem de setenta anos, poderíamos argumentar que seu envelhecimento pode ser afetado por questões éticas, tipo de alimentação, dificuldades para a obtenção da sobrevivência; porém, inegavelmente, estamos falando de um homem que apresenta, claramente, os sinais de envelhecimento causados pelo tempo.\n\nPrevisão ou projeção ?\nÉ muito comum se observar nos livros textos sobre séries temporais a palavra previsão se referir as estimativas futuras feitas a partir do estudo de uma série temporal (ST), como se o analista uma pré visão (ver antes mesmo do fato acontecer), o que é absolutamente falso. Neste capítulo, abordaremos a palavra projeção para as estimativas dos valores futuros da série. A escolha da palavra projeção parece fazer sentido no sentido de que, na verdade, o que proporemos para valores futuros é o provável desdobramento do passado, ou seja, teremos o passado para o futuro, e, jamais, teremos o futuro para o presente, até porque este procedimento está vedado aos seres humanos.\n\nObjetivo dos modelos de séries temporais\nO principal objetivo do estudo das séries temporais é a obtenção de uma estimativa (projeção) para os valores futuros. Do pôs das projeções podemos nos planejar melhor para o futuro. Outro ponto importante é o estudo da tendência do fenômeno, se este está crescido, diminuindo, ou mesmo permanece estável no período em estudo. Uma outra utilidade da análise das séries temporais é o estudo dos fenômenos sazonais. \n\nSe tivéssemos que dizer numa única frase para que servem os modelos de séries temporais, diríamos que eles servem para \"Administrar a incerteza que tem o homem em relação ao futuro\". Um exemplo que pode ser dado é a relação entre a projeção da produção de alimentos e o crescimento populacional. Poderíamos ainda em estudar a evolução no tempo da devastação de uma floresta com os seus animais, ou, a evolução da contaminação de uma população por um certo tipo de vírus.\n\nA filosofia de funcionamento dos modelos de séries temporais\n\nA ideia básica é de que o passado é o melhor elemento para se estimar o futuro (isto é uma hipótese básica), neste sentido os valores observados da série no passado serão projetados para o futuro, como decorrência natural da hipótese de trabalho, portanto, o passado apresenta conhecimento sobre o futuro. Neste pensar a estimação dos valores passa de uma dependência para um controle. A escolha dos dados mais parâmetros do modelo não dependem diretamente do tempo, e sim, dos valores passados da série, e estes sim, supõe-se correlacionados com o tempo. Embora pareça uma diferença insignificante, este fato vai diferenciar os modelos de séries temporais de outros modelos também associados ao tempo.\n\nOutro ponto importante na estimação dos parâmetros dos modelos de séries temporais é que, geralmente, as observações do passado não entram com os mesmos pesos para compor as estimativas. Os modelos de séries temporais exploram a ideia de que a média que as observações se afastam do tempo do momento presente, estes perdem importância no processo de construção das projeções. A ideia aqui é de que uma boa projeção para amanhã deve estar mais associada ao hoje do que ao ontem, que por sua vez é mais importante que antes do ontem e assim por diante.\n\nCuidado no uso dos modelos de séries temporais\n\nConforme dito, a hipótese fundamental para o uso dos modelos de séries temporais é que o tempo é o principal condutor do fenômeno em estudo. Se porventura tivermos um outro elemento intervindo no processo, relacionado ao tempo, os modelos de ST não serão aplicados. Um exemplo que poderíamos apresentar é a aplicação de um modelo de ST para o crescimento da população de um certo animal na floresta e no período do estudo, o homem provocou uma grande devastação. Neste exemplo qualquer modelo de ST seria inútil, porque neste período houve uma forte intervenção independente do tempo. Definição de séries temporais\nUma série temporal é uma sequência de valores observados no tempo de forma equidistante, ou seja, o espaço temporal entre suas observações deve ser igual.\n\nO que caracteriza um modelo de série temporal é a aplicação de problemas de modelagem estatística disponível hoje, o que não impede de se desenvolverem no futuro modelos que dispensem esta restrição. Esta restrição se configura num problema intransponível quando se tenta utilizar dados existentes não planejados para ST. Por isso se iniciarmos o experimento já tivermos em mente a utilização de modelos de séries temporais, o espaçamento igual no tempo aparece como um caminho natural no plano amostral.\n\nNotação para os modelos de séries temporais:\nZ_t - Valor observado da ST no momento t\nh - Horizonte de projeção (número de passos a ser projetado)\nZ̅_t(h) - Projeção feita no ponto de projeção 1 para o horizonte h\nZ̅_{t-1} - Projeção para o momento t feita no momento anterior, o mesmo que Z̅_{t-1}(1)\nε_t - Variável aleatória que representa o erro de projeção no momento, supomos ainda que esta tem média 0 e variância constante, σ²\n\nA generalização do modelo de ST seria:\nZ̅_t = f(ε_{t-k}, Z̅_{t-1}, Z̅_{t-2}, ..., Z̅_{t-k}) + ε_t ou ainda:\nZ_t = Z̅_{t-1}(1) + ε_t A diferença entre os modelos de ST e os de regressão\nOs modelos de regressão exploram a relação existente entre um grupo de variáveis para prever o comportamento de outra. Por exemplo, pode-se propor um modelo onde a população de jacarés é explicada em função do número de predadores, disponibilidade de alimentos, questões climáticas e etc. Nada impede que uma das variáveis explicativas seja também o tempo. Podemos voltar ao exemplo da população de jacarés e elegermos o rabo como um explicador da população; porém, isto não transforma o modelo de regressão num modelo de séries temporais. Lembrem-se que o que utilizamos nos modelos de séries temporais não é o tempo, e sim, os valores passados da própria série. Se tentássemos explicar a avaliação da população de jacarés somente em função do tempo não teríamos um modelo de séries temporais, mesmo usando a hipótese de que o número de jacarés...\n\nExiste também um ponto onde os modelos de séries temporais e os modelos de regressão se encontrariam: são os modelos auto-regressivos. Neste tipo de modelo é explorada a ideia da ST de que a evolução simultânea dos valores de série indica que os valores de série se correlacionam com seus valores passados (ST). Todas as variáveis estatísticas desenvolvidas para os modelos de regressão cobrem neste ponto a modelagem. De forma contrária, são diferentemente aplicadas neste modelo a função de erro.\n\nST e os modelos de sobrevivência\nO objetivo destes modelos é estimar a probabilidade de um elemento de uma população sobreviver a um certo período de tempo, por exemplo, a probabilidade de uma cobai... (continua na próxima página) Séries estacionárias\nDiremos que uma ST apresenta um comportamento estacionário se esta, ao longo do período em estudo, se comporta como uma flutuação aleatória em torno de um nível constante que independe da passagem do tempo (Fig. 1), em termos de modelo temos:\n\nZ_t = μ + ε_t,\n\nNo caso da Fig. 1 temos:\nZ_t = 100 + ε_t, com E(ε_t) = 0, V(ε_t) = 75 e COV(ε_t, ε_j) = 0 para j ≠ t\n\nObserve que o caso apresentado acima é totalmente fantasioso pois sabemos, a priori, que a forma funcional da série, em casos práticos, é vedada à lei de formação da série; portanto, ao trazermos um gráfico da mesma, podemos ter uma box nição se estamos considerando uma ST estacionária ou não. Apresentaremos mais tarde um teste estatístico de significância que nos ajudará a decidir sobre a presença de estacionariedade ou tendência da ST.\n\nAmortecimento exponencial simples (AES)\nO modelo AES apresenta a ideia de que o valor de uma ST no ponto t (Z_t) pode ser expresso como uma média ponderada dos valores anteriores (Z_{t-1}, Z_{t-2}, ..., Z_1), onde esses valores decrescem de forma exponencial à medida que nos afastamos para trás do ponto t. Destes modo temos:\nZ̅_t = α Z_t-1 + (1-α)Z̅_{t-1}\n0 ≤ α ≤ 1\nonde α é chamada de constante de amortecimento. O modelo acima pode ser expresso da seguinte forma :\n\n\\[ \\hat{Z_{t}} = \\alpha Z_{t-1} + (1-\\alpha)Z_{t-1}\\]\n\\[ \\hat{Z_{t}} = \\alpha Z_{t-1} + (1-\\alpha) \\hat{Z_{t-1}}\\]\n\\[ \\hat{Z_{t}} = Z_{t-1} + \\alpha(1-\\alpha)Z_{t-2} + (1+\\alpha)\\hat{Z_{t-1}}\\]\n\\[ = Z_{t-1} + \\alpha(1-\\alpha)Z_{t-2} + \\alpha(1+\\alpha)\\hat{Z_{t-1}}\\]\n\\[ = Z_{t-1} + \\alpha(1-\\alpha)Z_{t-2} + \\alpha(1-\\alpha)Z_{t-3} + ... + \\alpha(1-\\alpha)^{j}Z_{t-j} + (1+\\alpha)\\hat{Z_{t}}\\]\n\nDa forma expandida apresentada por último podemos perceber que:\n1. A projeção para o momento t é uma ponderação dos valores anteriores.\n2. O peso dececrese exponentialmente e medindo que no afastamos do momento t.\n3. Se temos uma constante de amortecimento exponencial perto de 1, estamos valorizando os pontos mais perto do ponto de projeção no modelo de projeção.\n4. Nos resta o problema de fazer uma projeção para o momento 1 (\\hat{Z_{1}}) para começarmos o processo iterativo.\n5. Temos também o problema de arbitrar a constante de amortecimento exponencial \\alpha.\n\nA primeira projeção (\\hat{Z_{1}}) aparece no modelo de projeção multiplicada por (1-\\alpha), como 0<\\alpha<1 e o tamanho da amostra (t) e razoavelmente grande, (1-\\alpha) deve estar bem perto de zero. Por exemplo, se \\alpha=0.5 e t=40, (1-\\alpha) = 0.0000000000000009: em suma, não importa muito o valor que arbitramos para \\hat{Z_{1}} pois quando este for multiplicado por (1-\\alpha) o resultado será praticamente zero, porém, continuamos na situação de ter que arbitrar um valor qualquer. Um bom candidato a ser \\hat{Z_{1}} é Z_{1}, pois já se encontra perto do valor de \\mu e a série é estacionária.\n\nA constante de amortecimento \\alpha\nA forma adequada de se obter o melhor valor para \\alpha é através de método numérico, não existindo um método analítico para otimizar a constante de amortecimento. Estimador para o erro quadrático médio (EQM) das projeções\n\nAssim como ocorre nos modelos de regressão linear simples, a estimativa do EQM será dada pela média dos quadrados da diferença entre os valores observados e os valores projetados, ou seja, a projeção um passo à frente:\n\\[ EQM = \\frac{(Z_{1} - \\hat{Z_{1}})^{2} + (Z_{2} - \\hat{Z_{2}})^{2} + \\ldots + (Z_{N} - \\hat{Z_{N}})^{2}}{N} = \\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{N} (Z_{i} - \\hat{Z_{i}})^{2} \\]\n\nObserve que o próprio EQM apresentado pode ser uma medida de qualidade para o ajustamento. Outro indicador de qualidade de ajustamento é o erro percentual absoluto médio (EPAM). Este indicador expressa o quanto, em média, estamos errando percentualmente ao utilizarmos este modelo. O EPAM possui uma grande vantagem sobre a variação pois as pessoas estão acostumadas a tratar com percentuais. Ao analisar por exemplo, onde, as estimativas nos trazem 3% de erro, isto é mais fácil de ser assimilado do que afirmar que um modelo para prever população de crianças de 103 indivíduos ao quadrado. O EPAM é definido por:\n\\[ EPAM = \\frac{N}{n-1} \\sum_{i=1}^{N} \\frac{|Z_{i}- \\hat{Z_{i}}|}{N} \\]\n\nOutra medida de qualidade para o ajustamento é o erro absoluto médio (EAM). A desvantagem do EAM em relação ao EPAM, é que o EAM é influenciado pela unidade de medida da série temporal. Por exemplo, um EAM de 100 Kg pode ser muito grande se estamos estimando o peso de seres humanos, porém, se a estimativa trata da produção de cereais de um país das dimensões do Brasil, um erro de 100 Kg é infinitamente pequeno. Embora o EAM tenha muitas vantagens, o EPAM ele será de grande valia na construção de intervalos de confiança para as projeções. O EAM será definido como:\n\\[ EAM = \\frac{\\sum |Z_{i} - \\hat{Z_{i}}|}{N} - \\Delta \\]\n\nIntervalo de confiança para as projeções\nO erro absoluto na projeção feita no tempo t para h passos a frente, erro de \\hat{Z}_{t}(h), um nível de confiança (100-\\tau), será dado por:\n\\[ IC^{(100-\\tau)}_{N} (h) = (\\hat{Z}_{N}(h) - E^{(100-\\tau)}_{N}(h); \\hat{Z}_{N}(h) + E^{(100-\\tau)}_{N}(h)) \\]\nOnde : \\[ z_{\\alpha/2} \\] é o escore da distribuição normal padrão para PN(0,1)>z_{\\alpha/2}=Y+Z\n\\[ \\Delta \\] é o erro absoluto médio e d_{\\alpha,\\beta} = 1.25 Logo o intervalo de confiança para uma projeção feita no tempo t para h passos a frente será dado por :\n\\[ IC^{(100-\\tau)}_{N}(h) = (\\hat{Z}_{N}(h) - E^{(100-\\tau)}_{N}(h); \\hat{Z}_{N}(h) + E^{(100-\\tau)}_{N}(h)) \\]\nPara maiores detalhes ver Bowerman & O’Connell (1979).\n\nA Tabela 1 apresenta um exemplo de aplicação do modelo de AES e os erros associados. A Tabela 2 mostra os intervalos de confiança das projeções.\n\nTabela 1. Exemplo de aplicação de um modelo AES.\n\n| SÉRIE TEMPO | AVERAGE | ERRO 1ª PASSO | ERRO QUAD. | ERRO ABSOL. | % ABS |\n|--------|--------|----------|---------|---------|-------|\n| 302 | 300,87 | -2,13 | 4,53 | 2,13 | 0,70 |\n| 309 | 299,89 | -9,11 | R$2,93 | 9,11 | 2,95 |\n| 280 | 299,98 | 19,98 | 399,38 | 19,98 | 7,14 |\n| 315 | 299,78 | -15,32 | 231,51 | 15,32 | 5,70 |\n| 287 | 299,94 | 12,94 | 167,36 | 12,94 | 4,51 |\n| ... | ... | ... | ... | ... | ... |\n| 279 | 299,88 | 20,68 | 436,09 | 20,68 | 7,48 | Garber, R.\n\nNo nosso exemplo da Tabela 1 os parâmetros do modelo e erros associados são:\n\\[ \\alpha=0,01; \\; Z_{1} = 300; \\; \\gamma_{Z} =1,96 \\; (y=5\\%); \\]\n\\[ EQM=181,61; \\; EAM^{*}=11,17; \\; EPAM=3,93; \\]\n\nTabela 2. Intervalo de confiança para as projeções do exemplo de AES da Tabela 1.\n\n Horizonte projetado Limite inferior Projeções Limite superior \n 31 (h=1) 271,20 299,88 328,56 \n 32 (h=2) 271,20 299,88 328,56 \n 33 (h=3) 271,20 299,88 328,56 \n 34 (h=4) 271,20 299,88 328,56 \n\nFig. 2. Projeções do exemplo apresentado na Tabela 1. Série Tempo representa a variável em estudo Z.\n\nComo já era esperado as projeções representam uma linha paralela ao eixo do tempo, lembre-se que este modelo supõe que a ST é composta por um nível constante e uma flutuação aleatória (Fig. 2). A projeção representa o nível, e o intervalo de confiança considera a flutuação aleatória.\n\nSéries que apresentam tendência linear\n\nEstudaremos agora as séries que apresentam tendência linear crescente ou decrescente. O ambiente onde se vive este tipo de série é aquele onde o nível da série cresce ou decresce com o passar do tempo com incremento aproximadamente constante. Do ponto de vista de modelagem estatística este tipo de série pode ser expressa como:\n\\[ Z_{t} = \\beta_{0} + \\beta_{1}t + \\epsilon_{t} \\]