Prova Series Temporais

F. IBGE - ENCE Primeira VAE - Séries Temporais - Abril de 2014 Aluno: Arthur Ubera Siqueira (Nome em letra de forma) Nota: 2,5 Questão 1: (1 ponto) 0,5 Seja {X_t; t ∈ T} um processo estocástico de variáveis aleatórias contínuas, independentes e identicamente distribuídas. Logo, pode-se afirmar que {X_t; t ∈ T} é um processo estocástico estacionário de primeira e segunda ordem ou fortemente e fracamente estacionário. Pergunta-se: esta afirmativa é verdadeira? Justifique formalmente a sua resposta. Respostas: Verdadeira, pois por X_t ser independente e identicamente distribuído para todo t, E[X_t] = μ_t = μ e Var(X_t) = σ^2 e Cov(X_t, X_{t-k}) < ∞ portanto ele é estacionário de segunda ordem. Questão 2: (4 pontos) 0,5 Considere o modelo Y_t = 10 + Y_{t-1} + ε_{t-1} + ε_t; ε_t ~ RB(0,1). Pede-se: a) Calcule a E(Y_t): (1 pt) b) Calcule a Var(Y_t): (1 pt) c) Obtenha a expressão da função de autocorrelação de Y_t: (2 pts) Respostas: (1-L) Y_t = 10 + (1+L) ε_t Y_t = \frac{10}{1-L} + \frac{(1+L)}{1-L} ε_t E[Y_t] = \frac{10}{1-L} + \frac{(1+L)}{1-L} E[ε_t] = \frac{10}{1-L} = 10 Σ^∞_{n=0} L^n Var(Y_t) = 0 + \frac{(1+L)^2}{(1-L)^2} * Var(ε_t) = \frac{(1+L)^2}{(1-L)^2} Σ^∞_{n=0} Σ^∞_{m=0} L^n δ_k = E[ (Y_t Y_{t-k}) - E(Y_t) E(Y_{t-k}) ] = E[ (10+Y_{t-1}+ε_t+ε_{t-k}) Y_{t-k} - (\frac{10}{1-L})^2 ] = 10 E[ Y_{t-k} + ε_{t-1}-Y_{t-k-1} ] - \frac{10}{1-L} Δ_k = \frac{10^2}{1-L} - (\frac{10}{1-L})^2 + δ_{k-1} = \frac{10^2(1-L)}{(1-L)^2} + ρ_{k-1} * δ_{k-1}; δ_K > 1 ρ_0 = 1 ρ_K = \frac{δ_k}{δ_{δ}} + ρ_{k-1} = \frac{10^2}{1+L} \frac{1+L}{1-L^2} = \frac{1+L^2}{(1-L)^2}; ρ_K > 1 (\frac{1-L}) * K = 0 Questão 3: (2 pontos) 0,5 Seja Y_t = 2 - 0,8Y_{t-1} + βY_{t-2} + ε_t; ε_t ~ RB(0,σ^2). Pede-se: a) Determine, para que valores de β o modelo não será estacionário de segunda ordem; (1 pt) b) Determine, para que valores de β o polinômio auto-regressivo do modelo terá raízes complexas e fora do círculo unitário. (1 pt) Respostas: (1+0,8L - βL^2) Y_t = ε_t ∅(L) Y_t ~ AR(2) β é um polinômio de segunda ordem é necessário que as raízes de ∅(L) estejam fora do círculo unitário ∅(L) Modelo AR(2) 1 - ∅_2 L^2 = 0 → portanto |∅_2| < 1 então |β| < para o processo ser estacionário 1ª restrição |β| > 1 para o modelo não ser estacionário de segunda ordem 2ª restrição ∅_1 + ∅_2 < 1 ∅_2 < 1 - 0,8 = > ∅_2 < 0,2 para não ser estacionário 3ª restrição ∅_2 - ∅_1 < 1 β - 1 - 0,8 - 2 ∅_(<0), > < 1,2 para ser estacionário β > 0,2 para ser não estacionário Questão 4: (3 pontos) Considere o modelo Y_t = 2,2 Y_{t-1} - 0,9 Y_{t-2} - 0,8 Y_{t-3} + 0,5 Y_{t-4} + 0,4 \varepsilon_{t-1} - 0,3 \varepsilon_{t-2} + \varepsilon_{t}, \varepsilon_t ~ RB(0, \sigma^2) Obtenha uma representação ARIMA(p, d, q) para Y_t, tal que d(Δ^d Y_t) tenha uma representação ARMA(p, q) estacionária e invertível. Demonstre formalmente as suas respostas. Respostas: \Phi(L) (1 - 2,2 L + 0,9 L^2 + 0,8 L^3 - 0,5 L^4) Y_t = (1 + 0,4 L - 0,3 L^2) \epsilon_t Y_t ~ ARMA(1, 2) - O Δ^d Y_t ~ ARIMA(1, 0, 2) => \Phi(L) (1 - L)^d Y_t = Θ(L) \varepsilon_t Δ^d Y_t = (1 - L)^d Y_t = \frac{Ξ(L) \varepsilon_t}{\Phi(L)} = \Psi(L) \varepsilon_t Para ser estacionário é necessário que as raízes de \Phi(L)\nestejam fora do círculo unitário. E para ser invertível é necessário que as raízes de Θ(L) estejam fora do círculo unitário - sempre i (rascunho) com d = 0 : π Θ