Principio dos Trabalhos Virtuais - Introducao e Aplicacoes

Teoria das Estruturas II Introdução Princípio dos Trabalhos Virtuais O PTV constituise uma ferramenta de cálculo das mais versáteis encontrando aplicação na análise estrutural de Linhas de influência de estruturas isostáticas pelo processo das cadeias cinemáticas Cálculo de deslocamentos em estruturas Análise de estruturas hiperestáticas pelo método das rótulas plásticas Princípio dos Trabalhos Virtuais PTV Conceitos Virtual suscetível de acontecer quantidades puramente imaginárias e não precisam existir no sentido real ou físico Deslocamento virtual deslocamento infinitesimal hipotético de um ponto ou sistema de pontos materiais de modo que não se altere a configuração estática e geométrica do sistema e das forças que nele agem não violando as condições de equilíbrio a que tais forças obedecem O PTV pode ser aplicado aos corpos rígidos ou aos corpos estruturas deformáveis Princípio dos Trabalhos Virtuais PTV O Princípio dos Trabalhos Virtuais estabelece Este princípio pode ser usado no lugar das três equações de equilíbrio Fx0 Fy0 e M0 com o propósito de resolver problemas de equilíbrio estático Como o PTV consiste de apenas uma equação Wext 0 sua aplicação determina apenas uma incógnita havendo necessidade de se repetir o procedimento para cada incógnita procurada PTV aplicado aos Corpos Rígidos A condição necessária e suficiente para o equilíbrio de um ponto ou sistema de pontos materiais qualquer é ser nula a soma dos trabalhos virtuais em qualquer deslocamento virtual compatível com as ligações do sistema ou seja W virtual externo zero Roteiro para aplicação do PTV estruturas isostáticas 1 Retirase o vínculo correspondente à incógnita esforço procurado substituindoo pelo esforço para manter o equilíbrio A incógnita passa a ser considerada como carga externa 2 Aplicase um deslocamento virtual compatível com as ligações remanescentes da estrutura A retirada de um vínculo de uma estrutura isostática transformará a estrutura em uma cadeia cinemática ou mecanismo ou sistema móvel com um grau de liberdade composto de chapas 3 Calculase o trabalho virtual de todos os esforços externos igualandoo a zero PTV aplicado aos Corpos Rígidos Calcular a reação de apoio em B usando PTV de corpo rígido Exemplo 1 Exemplo 1 Solução 1 Estado de carregamento Forças em equilíbrio 2 Estado de deslocamento d deslocamento infinitesimal compatível com a vinculação 𝑊𝑒𝑥𝑡 0 𝑅𝐴 0 𝑅𝐵 𝛿 𝑃 𝛿𝑎 𝐿 0 𝑅𝐵 𝑃𝑎 𝐿 𝑡𝑔𝜃 𝜃 𝛿 𝐿 𝛿1 𝑎 𝛿 𝐿 𝛿1 𝛿𝑎 𝐿 OBS O sinal negativo significa que o deslocamento é contrário ao que seria produzido pela força Calcular o momento fletor Ms usando PTV Solução É possível calcular Ms sem conhecer as reações RA e RB Trocar Ms por uma rotação ou giro em S colocando uma rótula Exemplo 2 Exemplo 2 Solução 1 Estado de carregamento Forças em equilíbrio 2 Estado de deslocamento d deslocamento virtual infinitesimal 𝑊𝑒𝑥𝑡 0 𝑅𝐴 0 𝑅𝐵 0 10 𝛿 2 20 𝛿 2 𝑀𝑠 𝜃1 𝑀𝑠 𝜃2 0 5𝛿 10𝛿 𝑀𝑠 𝛿 4 𝑀𝑠 𝛿 4 0 𝑀𝑠 10 𝑡𝑔𝜃1 𝜃1 𝛿 4 𝜃2 𝜃1 𝛿1 2 𝛿 4 𝛿1 𝛿 2 Teoria das Estruturas II PTV aplicado aos corpos deformáveis Nas estruturas deformáveis devese levar em consideração não apenas o trabalho realizado pelas ações externas mas também o trabalho associado aos esforços internos na deformação dos elementos da estrutura As propriedades do material não entram em discussão e consequentemente o PTV aplicase a todas as estruturas independente do material se comportar linearmente ou não PTV aplicado aos corpos deformáveis Em uma estrutura deformável em equilíbrio a soma dos trabalhos virtuais das ações externas em um deslocamento compatível com as ligações é igual ao trabalho virtual interno realizado pelos esforços internos na deformação dos elementos da estrutura ou seja W externo W interno Seja a viga da figura PTV aplicado aos corpos deformáveis deformação angular d transversal deformação axial deformação d d d dv du O Trabalho interno realizado pelos esforços solicitantes do estado de carregamento c e do estado de deslocamentos d vale para o elemento diferencial Integrando ao longo de toda a estrutura obtémse a expressão para o trabalho virtual interno realizado na deformação dos elementos da estrutura Aplicando na expressão Wexterno Winterno obtémse a expressão geral do Princípio do Trabalho Virtual PTV para o caso de estruturas planas com carregamento no próprio plano PTV aplicado aos corpos deformáveis d c d c d c M d V dv N du dW int int estr d c estr d c estr d c M d V dv N du W estr d c estr d c estr d c ext M d V dv N du W O estado de deslocamentos pode ser provocado por Efeito térmico Erro de fabricação Carregamento externo Recalque de apoio PTV aplicado aos corpos deformáveis Um procedimento prático da aplicação do PTV para o cálculo de deslocamentos é adotar no estado de carregamento uma força unitária que age sozinha na estrutura que corresponde ao deslocamento procurado Caso o deslocamento procurado seja uma translação absoluta aplicase uma força unitária na direção e sentido do deslocamento procurado Caso o deslocamento procurado seja uma translação relativa entre dois pontos ao longo da linha que os une o carregamento unitário deve ser constituído de duas forças unitárias colineares e opostas agindo nos dois pontos considerados Caso o deslocamento procurado seja uma rotação absoluta a carga unitária correspondente deve ser um momento Caso o deslocamento seja a rotação relativa entre duas tangentes o carregamento constituirá de dois momentos unitários e opostos O processo da carga unitária para cálculo de deslocamentos O processo da carga unitária para cálculo de deslocamentos Deslocamento Procurado Carregamento Unitário Translação absoluta Força unitária na direção e sentido do deslocamento procurado Translação relativa entre dois pontos ao longo da linha que os une Duas forças unitárias colineares e opostas agindo nos dois pontos considerados Rotação absoluta Momento unitário Rotação relativa Dois momentos unitários e opostos No caso das treliças com as hipóteses usuais de cálculo articulações perfeitas e cargas apenas nos nós o único esforço que resulta nas barras da treliça é o esforço normal e tem valor constante para cada barra Assim como M Q zero apenas a integral que calcula o trabalho interno relacionada com o esforço normal é diferente de zero Temos então Como as normais são constantes para cada barra e a integral pode ser calculada como uma somatória das integrais em cada barra temos tirando os valores constantes de N fora das integrais Aplicação do PTV às treliças treliça d c procurado N du d 1 barra i d i barras ci procurado du N d Como obtémse Os deslocamentos L podem ser causados por cargas aplicadas que produzem normais Ndi nas barras i ou variação de temperatura e para cada um destes casos vale Caso força normal conforme Lei de Hooke Caso variação de temperatura i i i di di A E L L N t L L i di di d nabarra i barra i d L L du di i barras ci procurado N L d Aplicação do PTV às treliças Para a treliça e o carregamento mostrado determinar as componentes horizontal e vertical do deslocamento do nó 6 Considere EA105 kN Exercício 1 Cálculo do deslocamento horizontal do nó 6 Cálculo do deslocamento vertical do nó 6 Os cálculos são facilitados organizando os dados e calculando os produtos pela tabela Exercício 1 Solução treliça treliça b a EA dx N N du N 1 0 1 1 d d EA L N N V 2 0 6 d EA L N N H 1 0 6 d treliça treliça b a EA dx N N du N 2 0 1 1 d d Exercício 1 Solução m EA L N N H 4 5 1 0 6 5 806 10 10 580625 d m EA L N N V 5 5 2 0 6 5 25 10 10 5 25 d mm V 0 0525 d 6 mm H d 6 0 581 Para a treliça do problema anterior determinar o deslocamento relativo entre os nós 3 e 6 Considere EA105 kN Exercício 2 dH6 e dV6 Resolver a treliça p carregamento dado Reações de apoio ΣFx0 RH1 220 RH1 4 KN inverter ΣM10 122321s Rv2 20 Rv255 KN ΣFv0 Rv1 Rv2 10 Rv1 55 1 0 Rv1 45 kN Equilíbrio dos nós nó 1 Melhor começar pelo que tem 2 barras ΣFx 4 F120 F124kN ΣFy0 F13450 F1345 KN No 6 ΣF65 1kN 2kN F64 2kN F64 1 kN No 2 F23 F84 tg α15 2 tg α075 αarc075 α3687 dy α0600 cos α0800 EF x0 F21 F23 cos α0 4 F23080 F23 408 F23 5 kN EF y0 F23sin α F24 550 506 F24 550 F24 25 kN N6 3 F35 F34 F32F23 F3113 d2 EF x0 F34 F32 cos α0 F34 5080 F34 4 KN EF y0 F35 F31 F32 sen α0 F35 45 5060 F35 15 KN Exercício 2 Solução Problema 3 Duas forças unitárias colineares e opostas agindo nos dois pontos considerados 1 1 Exercício 2 Solução m EA L N N 4 5 1 0 36 1 63 10 10 16 3 d d36 0163mm É o caso dos pórticos planos e espaciais grelhas e vigas Para o carregamento externo as deformações podem ser tiradas da Lei de Hooke Onde E módulo de elasticidade longitudinal módulo de Young G módulo de elasticidade transversal A Área da seção transversal I Momento de inércia da seção transversal J Momento polar de inércia da seção transversal c fator de forma para redução da área da seção transversal PTV aplicado às estruturas de nós rígidos deformação angular de torção do plano d Fora deformação angular de flexão d deformação transversal deformação axial Caso plano GJ dx T EI dx M GA dx cV dv EA dx N du d d d d d d d d 2 1 E G Nas estruturas aporticadas a flexão das peças são preponderantes nos deslocamentos e deformações da estrutura A deformação por força cortante e força normal é em geral desprezível nas estruturas usuais em face da deformação causada pelo momento fletor Assim nos casos planos em geral considerase apenas a parcela correspondente ao trabalho interno realizado pelos momentos fletores Quando a integral é estendida a um trecho onde EI é constante o cálculo se resume à integração do produto de duas funções PTV aplicado às estruturas de nós rígidos estr d c procurado dx I E M M d d c M e M Determinar o deslocamento no meio do vão usando PTV Exercício 2 Estudo do carregamento Estudo do deslocamento d carregamento dado 12 12 12 qe qe qe qe 22 l Fql Eq de MC Mc 12 x c MC x2 Eq de Md M max l4 M max ql2 8 Determinar o deslocamento no meio do vão usando PTV levando em consideração o efeito da deformação por cortante Dados EI 1000 kNm² GA 200000 KN c 12 Exercício 3 Solução Exercício 3 1 Estado de carregamento 2 Estado de deslocamento EI dx M M GA dx cV V M d V dv du N W W d c d c d c d c d c ext 6 0 6 0 int RB0 1 RA0 d d Exercício 3 da cortante Efeito do momento fletor Efeito 9984 15 0 0 84375 00135 0 4 12 5 3 3 1 000 75 3 2 2 25 3 000 75 3 200 21 2 4 12 5 75 3 2 25 2 75 2 12 5 75 1 25 75 2 25 150 50 50 150 50 2 4 3 2 4 3 2 3 0 3 2 3 0 3 0 2 3 0 6 0 6 0 d d d d d d x x EI x x GA c x dx x EI x dx GA c dx EI x x x dx GA x c EI dx M M GA dx cV V d c d c A avaliação da integral do produto de duas funções pode ser feita através de tabelas Quando o diagrama do esforço considerado não se encontra diretamente na tabela ele deve ser separado em gráficos que estejam contemplados na tabela Os diagramas de MC referentes ao estado de carregamento com a carga unitária é sempre formado de trechos retos portanto em geral não apresentam dificuldade Os digramas de Md que são devidos ao carregamento real da estrutura pode necessitar ser separado na soma de dois ou mais diagramas mais simples conforme o esquema A integral fica Tabela de Integrais do produto de duas funções 2 1 d d d M M M 2 1 2 1 dx M M dx M M M M M dx M M d c d c d d c d c vale para F ou F G ou G e também para sinais opostos dos valores para a c para a L2 ou o ponto significa vértice da curva tg a linha de referência G2F F Tabela de integrais do produto de duas funções Número Número I II III IV V VI 0 1 2 3 4 5 6 Fx Fx dx 0 L 2 2 F2 L 3 1 F L F a F L2 2grau F F 2grau F F F 1 1 2 L 3 L 5 1 F2 L15 8 2 F L 2grau L2 G G 1 1 2 2 c L2 G G G L 2 1 FG F2 2 2 b d L 1 FG 6 L 1 d 1 L c 2 F 1 1 6 L d L G FG 2 L 2aL 6 ab 1 2 F2 1 2 2 1 F1 LF F L 3 1 2 G1 G2 L 1 FG G 2 FG L 2 1 FG L 3 1 1 L 6 FG 6 L 1 6 L 1 2 1 GF 2F F2G G 1 2 L 1 6 6 L 1 2 G 2F F 1 1 F 2F 1 2 2 2 L 3 FG FG L 3 1 1 L 4 FG 1 L 2 FG 1 GF F 2 3 L 1 1 GF F 2 1 4 L G 2 FG L 1 1 L 3 FG L 1 4 FG L 1 1 6 b L FG L a 6 L 1 1 FG L 12 1 FG L 1 3 FG L 1 3 FG G 1 2 L F3G G 2 1 12 1 L 1 1 F L 6 1 a G2 L b G1 L 12 FG 5 L 15 FG 8 1 1 3 cd L 2 FG L 7 L 48 FG 1 L 5 FG L 1 3 L 1ab 2 FG FG L 12 L d 1 d L 2 2 ac 2 ad L 1 6 FG 2 Para a viga do problema anterior determinar o deslocamento no ponto onde xL4 usando a Tabela de Integrais do produto de duas funções Exercício 4 Caso o estado de deslocamento d seja causado por uma variação não uniforme de temperatura a expressão geral do PTV usando a técnica da carga unitária fica Deformações por variação de temperatura d estr d c estr d c procurado M d du N Cuidado especial deve ser tomado em relação ao sinal do trabalho interno na deformação ou seja com o sinal dos resultados das integrais Caso as deformações por temperatura sejam concordantes com o sentido dos esforços do estado de deslocamento o sinal será positivo caso contrário negativo Assim a primeira integral será positiva para esforços normais de tração e a segunda será positiva quando o momento fletor Mc tracionar a fibra que se encontra mais distendida do trecho ou aquela com a temperatura mais elevada Deformações por variação de temperatura Para a mesma treliça do exemplo anterior determinar novamente a componente horizontal do deslocamento do nó 6 H6 com a treliça sem as forças aplicadas mas com uma variação de temperatura igual a 30o C apenas nas barras verticais da esquerda barras 13 e 35 Coeficiente de dilatação térmica do material 12 x 105 oC1 Exemplo Exemplo Solução A aplicação do PTV fornece Wext Wint 1 x ΔH6 Σ N1 ΔLT Como só ocorre ΔLT nas barras 13 e 35 temos ΔLT L α ΔT 15 x 12 x 105 x 30 54 x 104 m ΔH6 15 075 x 54 x 104 1215 x 103 m para a direita O pórtico plano da figura sofre um aumento de temperatura nas fibras externas de 50o C no pilar e 30o C na viga Determinar a rotação do nó B B Dados Coeficiente de dilatação térmica 12 x 105 oC1 altura das seções h 016m Exercício 5 2775103 rad antihorário Estado de deslocamento d dud α ΔT sup Δtin t dx2 dud α ΔT sup dx2 d φdx Δ ΔT sup Δtin t dxh dφdx ΔΔT sup dxh Ø B ε Estado de carregamento c ε Px 0 ε MA 0 Ax 0 1 Cy 3 0 Cy 13 Σ Fy 0 Ay Cy 0 Ay 13 0 Ay 13 Aplicação do PRV Ø B Nc dud Mc dud estrut Ø B pilar Nc dud viga Nc dud pilar Mc dud viga mc dud Ø B ₀⁶ 13 α Pilar Viga Ø B 13 2 ΔT sup2 ₀⁶ 6 dx 13 2 Δ T supn ₀³ 3 x dx Ø B 13 12 10⁵ so x 710⁶ 13 12 10⁵ 30 a16 x²2⁰ 6 Ø B 13 12 10⁵ 5062 13 12 10⁵ 50 a16 3²2 Ø B 2773 10³ rad anti horário A estrutura da figura apresenta uma variação de temperatura nas fibras externas de ambas as barras de 50o C Determinar o deslocamento vertical na extremidade livre C dc Dados Coeficiente de dilatação térmica 12 x 105 oC1 h 040m Exercício 6 1935103 m para baixo Para o pórtico da figura considere EI 10000kNm² e determine a O deslocamento do apoio D b A rotação do nó C Exercício 7 a 001973 m para direita b 1467103 rad antihorário Para o pórtico do exercício anterior determinar os mesmos deslocamentos para o carregamento abaixo EI 10000kNm² a O deslocamento do apoio D b A rotação do nó C Exercício 8 a 004325 m para direita b 2907103 rad antihorário Para o pórtico triarticulado da figura de E 2100 kNcm² e I 3105cm4 determinar o deslocamento horizontal da articulação C Exercício 9 1822cm para esquerda Para a viga biapoiada da figura de EI 50000kNm² determinar a O deslocamento vertical no meio do vão dC b A rotação na extremidade A A Exercício 10 a dC 06975mm para baixo b A 36104 rad horário Para a viga com balanço de EI 10000kNm² determinar a O deslocamento vertical na extremidade dC b A rotação na extremidade A A Exercício 11 a dC 855mm para cima b A 35625103 rad horário Para a treliça e o carregamento mostrado determinar o deslocamento vertical do nó D Considere EA105 kN Exercício 12 VD 2347 mm para baixo Para a treliça da figura considere EA 105 kN determine o deslocamento horizontal do nó E Exercício 13 HE 1042 mm para esq Para a treliça da figura considere EA 105 kN determine o deslocamento horizontal do nó E Exercício 13 HE 1042 mm para esq