Lista de Exercícios Resolvidos - Método das Forças em Treliças Vigas e Pórticos

LISTA DE EXERCÍCIOS TEORIA DAS ESTRUTURAS II 202202 UEMG JOÃO MONLEVADE MATÉRIA MÉTODO DAS FORÇAS TRELIÇAS Utilizando o Método das Forças e a Superposição dos Casos Básicos calcule os esforços normais e as reações de apoio das treliças a seguir 1 Dados EA constante 2 Dados Apoios A e C são de segundo gênero EA constante 3 Dados Apoios A e B são de segundo gênero barras DC e DA foram confeccionadas 15 cm maiores todas as barras sofreram uma variação uniforme de temperatura de 40C apoio B sofreu um recalque de 3 cm para cima E200 GPa Área de cada barra 7cm² coeficiente de dilatação térmica 105C 4 Dados barra CD sofreu um aumento de temperatura de 20C apoio A sofreu um recalque de 3cm para baixo área de cada barra A 5 cm² modulo de elasticidade E 200GPa coeficiente de dilatação térmica 105C VIGAS Utilizando o Método das Forças e a Superposição dos Casos Básicos calcule as reações de apoio e desenhe os Diagramas de Momento Fletor DMF e Esforço Cortante DEC das vigas a seguir 5 Dados Temperatura na fibra superior 50C Temperatura na fibra superior 0C E 10 x 108 kNm2 I 10 x 103 m4 altura de todas as barras h 060m coeficiente de dilatação térmica 105C 6 Dados EI constante 7 A Sistema Principal obtido pela eliminação do apoio C B Sistema Principal obtido por rótula no apoio B Dados E200 GPa I 200 x 106 mm4 8 Dados A viga de aço teve o seu trecho AB reforçado Momento de inércia do trecho AB IAB 120x106mm4 Momento de inércia do trecho AB IBC 80x106mm4 Módulo de elasticidade E 200 GPa o apoio A sofreu um recalque rotacional de 0001 rad no sentido antihorário IAB 120x10 mm 6 4 A B C IBC 80x10 mm 6 4 3 m 3 m 60kNm PÓRTICOS Utilizando o Método das Forças e a Superposição dos Casos Básicos calcule as reações de apoio e desenhe os Diagramas de Momento Fletor DMF Esforço Cortante DEC e Esforço Normal DEN dos pórticos a seguir 9 Dados Temperatura na fibra superior da barra BC 0C Temperatura na fibra inferior da barra BC 16C E 10 x 108 kNm2 I 10 x 103 m4 altura de todas as barras h 060m coeficiente de dilatação térmica 105C 10 Dados EI constante 11 Dados recalque no apoio D igual a 3 cm para baixo rotação no engaste A igual 001 rad sentido horário Temperatura na fibra inferior da barra BC Ti 25ºC Temperatura na fibra superior da barra BC Ts 5ºC Adotar a estrutura dos casos básicos obtida pela liberação da rotação do apoio A altura de todas as barras h20 cm I 6000 cm4 E 200 GPa 10 kNm 30 kN A B C D Ts5ºC Ti25ºC 3cm 4 m 6 m 001 rad QUESTÃO 1 GRAU DE INDETERMINAÇÃO G 4 5 24 1 INLOS BARRAS NÓS ÂNGULOS COS X 4565 X 451 SEN X 0707 COS X 0707 NO A Σ F X 0 NAB NADX 0 NAB COS X NAD 0 NAB 0707 3333 NAB 25 KN NO C NCD 3535 NAD NCB 25 KN CASO 0 HC X1 ELIMINANDO HC Σ MA 0 VC 8 50 4 0 VC 25 KN HA 0 VA 25 KN ESFORÇOS NORMAIS BARRA AD NO A NAD Σ F Y 0 NADY 25 0 SEN X NAD 25 0 0707 NAD 25 NAD 3535 Σ F X 0 Σ M A 0 HA 1 VC 0 VA 0 EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE BARRA AB 1 25 4 AD 0 CB 1 25 4 CD 0 L 11 BARRA AB 1 1 4 BARBA BC 1 1 4 L 11 1 4 5 L 10 L 11 X 1 0 200 8 X 1 0 X 1 25 Σ FX 0 HA 25 Σ FX 0 HA 25 SIMETRIA N NO NAXI NAD 3535 0 0 3535 NAB 25 1 25 0 NCB 25 1 25 0 NCD 3535 0 3535 NSD 0 QUESTÃO 2 DXM α 1525 06 COS α 225 08 NO CASO 0 CASO 0 VB 0 X 1 HC 0 X 2 Σ Fx 0 HA 30 KW Σ MA 0 4 VC 30 15 VC 1125 Σ Fy 0 VA VC 0 VA 1125 Resolvendo a trelica NO A Σ Fy 0 1125 NAD SEN α NAD 1875 KN Σ Fx 0 30 NAB NAD COS α 0 NAB 15 KN Σ Fy 0 NCD SEN α 1125 0 NCD 1875 KN Σ Fx 0 NCB NCD COS α 0 NCB 15 NO D Σ Fy 0 NDB NCD SEN θ NAD SEN θ 0 NDB 0 CASO 1 VB 1 X 1 Σ MA 0 VC 4 12 0 VC 05 Σ Fy 0 VA 05 NO A Σ Fx 0 HA 0 NORMAIS NO CASO 1 NO C Σ Fy 0 05 NAD SEN α NAD 08333 NO B Σ Fx 0 NAB NAD COS α 0 NAB 0666 NO C Σ Fy 0 05 NCD SEN α NCD 0833 Σ Fx 0 NCB NCD COS α 0 NCB 0666 N BD 1 QUESTÃO 2 CASO 2 Hc1 Σ MA 0 VC 0 Σ Fx 0 HA 1 ESFORÇOS NORMAIS CASO 2 AB 15 0666 1 2 20 30 1332 0887 2 AD 1875 0833 0 25 3904 0 0 1734 0 BC 15 0666 1 2 20 30 1332 0887 2 CD 1875 0833 0 25 3904 0 0 1734 0 BD 0 1 0 15 0 0 0 15 0 Σ 40 60 2664 6742 4 4 EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE L10 L11 X1 L12 X2 0 L20 L12 X1 L22 X2 0 40 6742 X1 2664 X2 0 60 2664 X1 4 X2 0 RESOLVENDO O SISTEMA X1 0 X2 15 REAÇÕES FINAIS Σ Fx 0 30 HA 15 HA 15 Σ MA 0 VC 4 30 15 VC 1125 VA 1125 Σ Fy 0 NAD SEN α 1125 NAD 1875 Σ Fx 0 NAD COS α NAB 15 0 NAB 0 Σ Fy 0 1125 NCD SEN α 0 NCD 1875 Σ Fx 0 NCB 15 NCD COS α 0 NCB 0 ESFORÇOS NORMAIS FINAIS QUESTÃO 3 X1 NAC X2 HA CASO REAL 0 CASO 1 S MB 0 VA 3 0 VA 0 VB 0 S Fy 0 HB 0 Nó B S Fy 0 1 NBD seno 0 NBD 18 S FX 0 NAB NBD cos 0 NAB 15 kN Nó C S F y 0 NCA seno 1 0 NCA 180 S F x 0 NCD NCA cos 0 NCD 15 Nó A S F y 0 NAD NAC seno 0 NAD 180 seno 0 NAD 1 CASO 1 S Fx 0 HB 60 S Fy 0 VA VB 0 VB 40 Nó B S Fy 0 40 NDB seno 0 NDB 7207 S Fx 0 60 NAD NDB cos 0 60 NAD 60 0 NAD 0 Nó A S Fy 0 NAD 40 NAC seno 0 NAD 40 Nó C S FX 0 NCD 60 ESFORÇOS NORMAIS CASO 0 QUESTÃO 3 CASO 2 X2 HA S FX 0 NAB 1 NAC seno 0 1 1 NAC seno 0 NAC 0 S Fy 0 NAD 0 S Fy 0 NBD 0 S Fx 0 NBA 1 AB 3 0 15 1 0 675 45 0 3 AD 2 40 1 0 80 2 0 0 CD 3 0 15 0 0 675 0 0 BD 36 7207 18 0 167 1166 0 0 AC 36 0 18 0 0 1106 0 0 547 3762 45 0 3 DEFORMAÇÃO DEVIDO À TEMPERATURA d10 40 105 15 3 12 15 3 18 36 18 36 784 x 104 d20 40 105 13 12 x 103 DEFORMAÇÃO DEVIDO AO RECALQUE VB 0 PORTANTO NÃO HÁ DEFORMAÇÃO VB 0 DEVIDO AO RECALQUE DEFORMAÇÃO DEVIDO À FABRICAÇÃO DC E DA 15 CM MAIORES d10 0015 NDC NDA² 0015 1 15 00375 d20 0015 NDC² NDA² 0 d10 547EA 784 x 104 00375 QUESTÃO 3 d10 547EA 784 104 00375 39 x 103 0036716 d10 0040 d20 0 12 x 103 12 x 103 d11 3762EA 268 x 104 d12 45EA 32 x 105 d22 3EA 214 x 105 REAÇÕES FINAIS S MB 0 VB 3 60 2 VB 40kN S Fy 0 HB HA 60 HB 340 60 HB 340 60 400 Nó A S Fy 0 NAB NAC cos 0 175 NAC cos 0 NAC 210 S Fy 0 NAD NAC seno a 40 NAD 15655 Nó B S Fy 0 190 40 NBD seno 0 NBD 270 kN S Fx 0 NAB NBD cos 400 0 NAB 175 Nó D S Fx 0 NDC NDB cos 0 NDC 225 ESFORÇOS NORMAIS FINAIS EA 7m² 200 GPa EA 140 10³ kN m² d10 d11 x1 d12 x2 0 d20 d12 x1 d22 x2 0 0040 268 x 104 x1 32 x 105 x2 0 12 x 103 32 x 105 x1 214 x 105 x2 0 x1 180 kN NBC x2 340 kN HA QUESTÃO 4 Grau de indeterminação G1 4 7 25 1 Adotando X1 VB CASO 0 ΣMA 0 VC 4 200 3 100 1 VC 175 KN ΣFy0 VA VC 300 VA 125 KN Nó A ΣFy 0 125 NAE sen α 0 NAE 1768 ΣFx 0 NAB NAE cos α 0 NAB 125 Nó C ΣFy 0 175 NCD sen α 0 NCD 247 KN ΣFx 0 NBC NCD cos α 0 NBC 175 KN Nó E ΣFy 0 NEB sen α 1768 sen α 100 1 NEB 3536 ΣFx 0 NED NEB cos α 100 1 NED 150 CASO 1 ΣMA 0 VC 4 12 0 VC 05 ΣFx 0 HA 0 ΣFy 0 VA VC 1 VA 05 Nó A ΣFy 0 05 NAE sen α NAE 0707 ΣFx 0 NAB NAE cos α 0 NAB 05 Nó D ΣFy 0 200 247 sen α NDB sen α 0 200 175 NDB 0707 0 NDB 3536 Nó E ΣFy 0 NEB sen α 1768 sen α 100 1 NEB 3536 ΣFy 0 NED NEB cos α 1768 cos α 0 NED 25 125 0 NED 150 QUESTÃO 4 CASO 1 NÓ C NCD 0707 NCB 05 Nó E ΣFx0 1 NEB cos α 0707 cos α 0 NEB 0707 NÓ D ΣFy0 0707 sen α NDB sen α 0 NDB 0707 ΣFx0 NDE NDB cos α 0707 cos α 0 NDE 05 05 0 NDE 1 Deformação devido ao recalque l10 VA p 0 l10 VA p 05 003 0015 Reação em A no caso 1 Deformação devido a temperatura Barra CD Δt 20C Variação uniforme l10 N1 dut NCD dut dut α ΔtCC 105 20 20 105 NCD 0707 Valor da normal no caso 1 NCD 0707 L 0707 1414 1 l10 1 20 105 BARBA N0 N1 L N0 N1 L NABL AB 125 05 2 125 05 AE 1768 0707 1414 17675 0707 BC 175 05 2 175 05 CD 247 0707 1414 2469 0707 BD 3536 0707 1414 3535 0707 BE 3536 0707 1414 3535 0707 ED 150 1 2 300 2 Σ 102365 5828 EA 5 cm² 200 GPa EA 5 x 104 m² x 2 108 KN m² EA 100 x 103 l10 l11 x X1 0 102365 EA 20 105 0015 001023 20 105 0015 l10 0025 l11 5828 100 x 103 5828 x 105 0025 5828 x 105 X1 0 X1 429 KN QUESTÃO 4 DMF 0 DEN FINAL REAÇÕES FINAIS X1 429 VB ΣMA0 VC 4 429 2 100 1 200 3 VC 895 KN ΣFy0 VA VC 429 300 VA 895 ΣFx0 HA 0 Nó A ΣFy0 NAE sen α 895 NAE 1266 KN ΣFx0 NAB NAE cos α 0 NAB 895 KN QUESTÃO 5 40 kN 40 kN A B C D E 3 3 3 3 003 m t 40 x1 x1 40 CASO 0 VA 20 VC 40 VE 20 HA Δ 16 03 05 CASO 0 1 1 26 16 03 05 CASO 1 VC 26 CASO 1 DMF CASO 1 DMF CASO 0 DMF FINAL 375 375 125 125 125 275 DEC FINAL Para resolver foi liberado o momento no apoio C fazendo MC 0 4 incógnitas 3 equações 1 CASO 0 MC 0 ΣFx 0 HA 0 MC ΣMc 0 MC 40 x VA 3 x 0 P x 3 MC 0 0 40 3 VA 6 0 VA 20 kN Por simetria VA VE 20 kN GRÁFICO DO DMF CASO 0 Mx Mx 20x 0 P x 3 M 60 CASO 1 X1 Mc 1 ΣMc 0 MC VA x 0 1 VA 6 0 VA 16 VE ΣFy 0 VA VE VC 0 16 16 VC 0 VC 26 GRÁFICO DO DMF CASO 1 Mx Mx 16 x 0 P x 3 Mx 05 8 m x 6 MC 1 EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE Trecho 1 AB Trecho 2 BC Trecho 1 Integral from 0 to 1 with two triangles 60 and 05 Integral of M dx 13 60 05 30 Trecho 2 Integral from 0 to 1 with two triangles 60 and 05 16 360 2 05 1 60 Como trecho AC é igual CE Integral 10 2 30 2 60 180 Deformação devido a temperatura e recalque δ0t M1 Δt 0 δ0t M1αΔt1Δt5 ddeh M1 area do caso 1 bh2 z 6 12 2 6 δ0t αΔt1 Δt5 h M1 de 105 50 6 5 x 103 06 Recalque δ0t Ve1 P 0 δ P0 V0 P 16 003 5 x 103 δ0t δ P0 5 x 103 5 x 103 0 Logo δ10 180 11 1 1 13 6 1 1 2 Como trecho AC trecho CE 11 2 2 4 Equação 10 11 x1 0 180 4 x1 0 x1 45kNm x1 Mc Para calcular o diagrama final podese usar a fórmula M M0 M1 x1 M x3 60 05 45 375 M x6 0 1 45 45 M x9 60 05 45 375 Reações de apoio final 140 Mb 45 140 45 VA VB VC VA 6 Me 6 VA 403 0 45 6 VA 120 0 VA 125 VE ΣFy 0 VA VE VC 80 VC 55 kN QUESTÃO 6 50 30 MC HC Para resolver a questão foi escolhido eliminar VA e VB para transformar a estrutura em isostática 5 incógnitas 3 equações 2 CASO 0 FORÇAS DEVIDO AO CARREGAMENTO EXTERNO 20 50kNm MC HC ZE Fx 0 ΣFy 0 HE 0 VC 20 kN ΣMC 0 MC 20 8 50 0 MC 110 kNm DMF CASO 0 Mx 50 110 4 3 20 Mx 110 50 20 3 x 0 Px 0 Mx 100 Px 3 Mx 40 Px 5 M 0 CASO 1 X1 1 ΣFy 0 VC 1 ΣMC 0 MC 1 10 MC 10 DMF CASO 1 Mx 10 Mx 1 x 10 0 Mx 10 x Px 3 M 7 Px 6 M 4 CASO 2 X2 1 ΣFy 0 VC 1 ΣMC 0 MC 1 6 MC 6 DMF CASO 2 TRECHO 1 TRECHO 2 TRECHO 3 TRECHO 4 δ10 COMBINAÇÃO 10 TRECHO 10 TRECHO 2 TRECHO 3 TRECHO 4 NÃO HÁ MOMENTO KURI BEYER MMdxe 1240229 TABELA MHdxe EI EI 6 134240 100 13 71250 110 6 7 210040 6 10 2110 50 13333 13 41807240 2085 1200 δ10 133333 1200 2085 341833 δ11 COMBINAÇÃO 11 Pela tabela MMdx 1 3 L MM 1 3 101010 3 33333 δ11 33333 δ12 COMBINAÇÃO 12 TRECHO 1 TRECHO 2 0 TRECHO 3 e 4 MM dx MM dx 1 64 2106 EI 144 δ12 0 0 144 144 δ22 COMBINAÇÃO 22 1 6 666 72 δ22 72 δ20 COMBINAÇÃO 20 TRECHO 1 TRECHO 2 0 TRECHO 3 TRECHO 4 MM dx EI 1 6 340 21003 1 6 33 250110 6 2110 50 360 1 2 22502 1125 δ20 360 1125 1525 RESUMO FINAL DOS COEFICIENTES QUESTÃO 6 δ10 341833 δ10 δ11 x1 δ12 x2 0 δ11 33333 δ20 δ21 x1 δ22 x2 0 δ12 144 341833 33333 x1 144 x2 0 δ22 72 1485 144 x1 72 x2 0 δ20 1485 Resolvendo o sistema x1 1031 05 x2 CÁLCULO DOS DIAGRAMAS FINAIS 341833 33333 1031 05 x2 144 x2 0 x2 0807 x1 1031 050807 991 VA X1 991 VB X2 0807 ΣFY0 VAVB VC 20 991 0807 VC 20 VC 9283 KN 9283 ΣMc0 Mc 208 50 99110 0807 6 0 Mc 160 50 991 4842 0 Mc 606 KNm Seção M² 6 606 ma 606 9283 x O 2 0283 Px 3 M1 218 KNm 20 M² 20 x 991 2 x 0 991 Px 0 M² 1982 Px 2 M² 036 QUESTÃO 7 a ELIMINAÇÃO DO APOIO C CASO 0 Vc X1 CASO REAL MA0 FY0 Fz0 Vb 4 258 4 VaVB 258 HA0 VB 200 KN VA 0 Mc 25 x x 2 0 Pzc 4 Mzc 200 KNm CASO 1 Vc X1 1 Ma0 FZ0 Vb 4 18 0 Va VB 1 Vb 2 VA 1 Mxc 12 Pxc 4 Mxc 4 EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE δ10 TRECHO 1 200 1 4 14200 4 4 800 TRECHO 1 TRECHO 2 800 δ10 800 800 1600 δ11 1 3 449 64 3 4 9 δ11 2 61 3 δ10 δ11 x1 0 1600 128 3 x1 0 X1 375 KN REAÇÕES FINAIS Ma O 375 8 4 VB 258 4 VB 125 FY 0 VA VB VC 258 VA 375 QUESTÃO 7B b BE RÓTULA EM B CASO 0 CARREGAMENTOS REAIS MB0 HA 23 KNm A B C VA VB VC Σ Fy 0 VA Vb Vc 258 50 VB 50 200 VB 100 KN DMF CASO 0 50 50 HA 1 CASE 1 VC 025 VA 025 VB 05 DMF CASO 1 25 REAÇÕES FINAIS 375 125 375 3720 625 625 375 8 1 X1 0 400 3 3 3 X1 0 X1 50 KNm REAÇÕES FINAIS 25 Me 25xx2 VAx 0 Plx 4 Me 50 50 254 12 VA4 0 VA 375 KN CASO 0 REAÇÕES 25 Me 25xx VAx 0 MB 254 12 VA4 0 VA4 0 VA 50 KN VA VC 50 KN VB 100 KN Me 25xx 50x 0 Px 2 Me 50 CASO 1 X1 1 x1 Δ Δ Δ Δ Me VAx Px 4 MB 1 1 VA4 VA 14 VC Σ Ty 0 VA VB Vc 0 14 14 VB 0 VB 24 EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE δ10 TRECHO 1 10 13 LMH 13490 1 13 ITModa 2003 δ11 13 4 11 413 δ11 2 x 43 83 3 3 3 3 3 3 3 3 QUESTÃO 8 DADOS E 200 GPa IAB 120 x 106 mm4 IBC 80 x 106 mm4 EIAB 24000 KNm2 EIBC 16000 KNm2 sistema principal HA MA 1 B VA grau de liberdade 1 MA VA HA Vc 4 incógnitas M 0 Fx 0 Fy 0 3 equações GL 4 3 1 Para resolver foi escolhido eliminar o apoio C Vc para transformar a estrutura em isostática CÁLCULO DAS REAÇÕES Fxc0 ΣFy0 ΣMA0 HA0 VA 603 Va 180 KN MA 603 32 0 MA 270 KNm CASO 0 Forças externas DMF CASO 0 DIAGRAMA 270 60 Me Mz 60xexe 180xe 270 0 Px 0 M 270 Px 3 M 0 CASO 1 X1 1 REAÇÕES Fxc0 ΣFy0 ΣMA0 HA0 VA 1 MA 16 MA 6 MA HA VA 3 3 6 CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES QUESTÃO 8 60 KNm A B C DMF CASO 0 DMF CASO 1 δ10 TRECHO AB TRECHO BC 0 Pela tabela MMda 112 LMδ MA3Mb 112 112 3270 3 36 14175 EIAB 14175 24000 0059 Deformação devido a rotação em A ρ 0001 rad δ10p MA1 ρ0 0 δ10p MA1 ρ0 δ10p 6 0001 6 x 103 δ10p 0059 6 x 103 0053 EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE δ10 δ11X1 0 0053 31875 x 103 x1 0 X1 1662 KN Com esse valor de X1 encontramos as reações finais δ11 TRECHO AB KURT BEYER 6 6 Mda 16 LM2MAMb Mb 2MbMA 163 32366 26 3 63 EIAB TRECHO BC 3 3 13 3339 EIBC δ11 6324000 916000 31875 x 103 QUESTÃO 9 CASO 0 LIBERANDO O APOIO HD ΣMa 0 VD 6 16 6 6 3 VD 48 kV ΣFy 0 VA VD 166 VA 48 kN ΣFx 0 HA 0 Mx 16 x2 48x 0 Px 3 Mx 72 DMF CASO 0 CASO 1 HD X1 1 ΣFx 0 HA 1 ΣMa 0 VD 6 0 VD 0 VA 0 BARRA AB Mx 1 x Px 3 3 DEFORMAÇÃO DEVIDO A TEMPERATURA UNIFORME ΔT 0 16 2 8C ÁREA DO DEN 1 a Δt Nidle 105 8 16 48 x 104 LINEAR dθ a11s Midle 105 16 36 48 x 103 06 KURT BEYER θ 72 3 23 6 1 EI 869 864 x 103 EI θ 48 x 104 48 x 103 48 x 104 001392 mt L11 M1 M1 EI dx L11 13 333 2 336 L11 72 EI 72 x 104 001392 72 x 104 X1 0 X1 1933 kN HD DIAGRAMAS FINAIS VA 48 VD 48 Mx 1933 3 Mx 16Ge x2 58 48x 0 x 3 Mx 14 HA VA 48 VD 48 DEC DEN DMF QUESTÃO 10 5 INCÓGNITAS 3 EQUAÇÕES GL 2 CASO 0 HA 1 X2 VA 1 X1 ΣFx 0 HC 126 72 kN MC 12662 100 0 MC 216 100 0 MC 316 MC 316 HC 0 VC 1 MC 110 0 MC 10 DMF ΣFy 0 VA VD 166 VD 48 kN CASO 1 X1 VA CASO 2 HA 1 ΣFx 0 ΣFy 0 ΣMc 0 MC 16 0 MC 16 0 MC 6 DMF CASO 2 EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE CASO 0 CASO 1 BARRA C 12 6 10 100 316 12480 23 6 54 10 2160 CASO 0 CASO 1 BARRA A 12 5 10 5 100 3750 12480 2160 3750 14070 61010 600 13 10 10 10 10003 600 10003 93333 12 6 106 d12 180 13 6 66 72 d22 72 QUESTÃO 10 16 6 100 2 316 4392 13 6 54 6 648 d20 4392 648 3744 14070 93333x1 180x2 0 3744 180x1 72x2 0 d10 d11x1 d12x2 0 d20 d21x1 d22x2 x2 3744 180x172 x2 52 25x1 14070 93333 x1 1360 450x1 4710 48333x1 0 x1 975 x2 52 25 975 X2 2762 X1 VA 975 kN X2 HA 2762 kN QUESTÃO 10 HA A B C VC NC HC 12KN 6 5 5 100 VA 975 VC 975 KN HA HC 126 HC 4435 Σ Fy0 VA VC 0 Σ Fx0 Σ M c 0 Mc 100 126 62 975 10 4435 6 0 Mc 2476 KNm DEC FINAL DEN FINAL DMF FINAL QUESTÃO 11 CASO 0 X1 MA 0 Σ MA 0 VD 6 30 4 10 6 62 VD 10 Σ Fy0 VA VC 60 VA 50 Σ FTC 0 HA 30 DMF CASO 0 CASE 1 Σ MA 0 VD 6 1 0 VD 16 Σ Fx 0 HA 0 Σ Fy 0 VA 16 BARRA BC M xe M xe 10 xe 20 2 50 xe 120 P x 0 M xe 120 P x 3 M xe 15 P x 6 M xe 0 P x 5 M xe 5 COMBINAÇÃO DAS ÁREAS BARRA AB d10 12 4 120 1 240 BARRA BC 112 4 120 0333 3 1 13332 13 2 5 0333 111 d10 240 13332 111 37221 QUESTÃO 11 X1 M1 8955 KNm REAÇÃO DE APOIO ΣTx0 ΣMA0 HA30 Vb 6 30 4 8955 106662 Vd 29556 4925 KN VAVb 106 VA 4925 60 VA 604925 64925 kN DEC FINAL DMF FINAL MR 8955 30x 0 Px 4 Mx 3045 Mx 102 x2 3045 64925 x 0 Px 3 Mx 11929 27 QUESTÃO 11 RECALQUE NO APOIO D 3cm V0 REAÇÃO DE APOIO LMD NO CASO 1 Δ10 V0 D 16 003 5x103 DEFORMAÇÃO DEVIDO A TEMPERATURA UNIFORME VARIAÇÃO UNIFORME Δ 1E1 M α ΔTi Δts h Δ α ΔtNdxe Δt 255 2 15 VARIAÇÃO LINEAR Mde Q 14 4 Δ 105 15 16 42 2x104 Δ 105 255 02 42 6x103 142 2 ΔFINAl 2x104 6x103 62 x 103 DEFORMAÇÃO DEVIDO A ROTAÇÃO DE 001 rad MA Momento em A no caso 1 MA 1 Δ10R 1001 001 Δ10 FINAL Δ10 Δ10t Δ10R Δ10R 0031 62 x 103 5 x 103 001 CARGA TEMP RECAL ROTAÇÃO Δ10 Δ11 X1 0 00398 444 x 104 X1 0 X1 8955 E1 6000 cm4 200 GPA Δ10 372 21 0031 E1 12000 Δ10 FINAL 00398