Aula 14 Calculo IV: Equacoes Nao Homogeneas e Metodo dos Coeficientes a Determinar

Cálculo IV Aula 14 ENGFPT01 Equações NãoHomogêneas Método dos Coeficientes a Determinar Uma EDO linear não homogênea é da forma a0 yn a1 yn1 a2 yn2 any b 1 onde b é uma função de x A solução geral de 1 é da forma y yc yp 2 em que yp é solução particular conhecida yc é solução complementar ou seja é sol de a0 ycn a1 ycn1 an yc 0 yc é solução da eq homogênea associada Obs 2 é solução de 1 pois y yc yp y yc yp yn ycn ypn Logo a0 yn a1 yn1 an y a0 ycn ypn a1 ycn1 ypn1 an yc yp a0 ycn an yc a0 ypn an yp 0 b Método dos Coeficientes a Determinar Método de Descartes 1º caso b é um polinômio de grau m yp é um polinômio de grau m h onde h é a menor ordem de derivada da equação Exemplo y 5y 6y 2x2 1 b Neste caso b 2x2 1 m2 Como h0 yp Ax2 Bx C Cálculo de yc yc 5yc 6yc 0 Equação Característica x2 5x 6 0 r12 r23 Logo yc c1 e2x c2 e3x Cálculo de yp yp Ax2 Bx C Derivando temos yp 2Ax B yp 2A Substituindo na EDO 2A 5 2Ax B 6 Ax2 Bx C 2x2 1 6Ax2 10A B x 2A 5B 6C 2x2 1 Assim 6A 2 10A 6B 0 2A 5B 6C 1 6A 2 A 13 10A 6B 0 6B 10A B 1018 B 59 23 259 6C 1 C 527 Sendo assim yp x23 5x9 527 Portanto a solução geral é y c1 e2x c2 e3x x23 5x9 527 yc yp 2 caso b e da forma ekx yp Axh ekx onde h é o grau de multiplicidade de k como raiz real da eq característica Exemplo Resolver y 7y 10y 8e2xb Cálculo de yc Eq característica r2 7r 10 0 r1 2 r2 5 Logo yc c1 e2x c2 e5x Cálculo de yp b 8e2x k2 Raízes da eq característica r1 2 r2 3 h 1 yp é da forma yp Axe2x Derivando yp Ae2x 2Ax e2x yp 2Ae2x 2Ae2x 4Ax e2x 4Ae2x 4Ax e2x Substituindo 4Ae2x 4Ax e2x 7Ae2x 2Ax e2x 10Ax e2x 8e2x 3Ae2x 8e2x A 83 yp 83 x e2x Portanto a solução geral é y c1 e2x c2 e5x 83 x e2x Exemplo y 4y 4y 8e2x Cálculo de yc r2 4r 4 0 r 22 0 r1 2 r2 2 Logo yc c1 e2x c2 x e2x Cálculo de yp b 8e2x k 2 Raízes da eq característica r1 2 r2 2 h 2 yp A x2 e2x Derivando yp 2An e2x 2x Ae2x yp 2Ae2x 4x e2x 4x Ae2x 4Ax2 e2x 2Ae2x 8Ax e2x 4Ax2 e2x Substituindo 2Ae2x 8Ax e2x 4A x2 e2x 4 2x e2x 2x2 Ae2x 8e2x 2Ae2x 8e2x 2A 8 A 4 yp 4 x2 e2x Portanto a sol geral é y c1 e2x c2 e5x 4x2 e2x