Transformada de Laplace Inversa - Teoria e Exemplos

Cálculo IV Aula 18 ENGFP TO 1 Transformada de Laplace Inversa Se ft está definida p t 0 então a transformada de Laplace de f é L ft ₀ est ft dt Fs caso a integral convirja Neste caso dizemos que ft é a transformada inversa de Fs Notação ft L¹ Fs Teorema Transformadas Inversas a 1 L¹ 1s b tⁿ L¹ nsⁿ¹ n 123 c eat L¹ 1sa a ɛ R d sen kt L¹ ks²k² e cos kt L¹ ss²k² k 0 f senh kt L¹ ks²k² g cosh kt L¹ ss²k² Linearidade de L¹ Se α β ɛ R e Fs Lft e Gs Lgt então L¹ αFs βGs αL¹ Fs βL¹ Gs Exemplo Calcule L¹ 1s⁵ Em geral temos L¹ nsⁿ¹ tⁿ n 123 Para n 4 L¹ 1s⁵ L¹ 1s⁴¹ 14 L¹ 4s⁴¹ 14 t⁴ t⁴24 Exemplo Calcule L¹ 1s²64 L¹ 1s²64 L¹ 1s²8² 18 L¹ 8s²8² 18 sen 8t Exemplo Calcule L¹ 3s5s²7 L¹ 3s5s²7 L¹ 3ss²7 5s²7 3 L¹ ss²7 5 L¹ 1s²7 3 L¹ ss²7² 57 L¹ 7s²7² 3 cos 7 t 57 sen 7 t Exemplo Calcule L¹ Fss1 s2 s4 Existem A B C ɛ R tais que 1s1 s2 s4 As1 Bs2 Cs4 A s2 s4 B s1 s4 C s1 s2s1 s2 s4 Logo 1 A s2 s4 B s1 s4 C s1 s2 s1 1 A 3 5 A 115 s 2 1 B 3 2 B 16 s 4 1 C 5 2 C 110 Portanto L¹ Fs L¹ 115s1 16s2 110s4 115 L¹ 1s1 16 L¹ 1s2 110 L1 1s4 115 et 16 e2t 110 e4t Teorema comportamento de Fs quando s seja ft contínua por partes em 0 e de ordem exponencial então lim s Lft lim s Fs 0 é uma condição necessária p1 que Fs seja transformada de ft Exemplo Fs s2 e Gs ss1 não podem ser transformadas de Laplace de ft e gt pois caso contrário pelo teorema deveríamos ter lim s Fs lim s Gs 0 Mas lim s Fs lim s s2 0 lim s Gs lim s ss1 lim s 111s 1 0