Transformada de Laplace - Definição, Propriedades e Aplicações

Cálculo IV Aula 17 ENGFPT01 Transformada de Laplace Definição Seja ft definida t 0 A integral imprópria ₀ Kstft dt é definida pelo limite ₀ Kstft dt limb ₀b Kst ft dt caso o limite exista Neste caso dizemos que a integral converge Definição Seja ft definida p t 0 então a integral Lft ₀ est ft dt Fs é chamada a transformada de Laplace de f caso a integral converja Notação Lft Fs Lgt Gs Lyt Ys Exemplo Calcule L1 Solução Por definição temos L1 ₀ est 1 dt limb ₀b est dt limb fracests t0tb limb frac1s fracesbs frac1s frac1s limb esb 0 se s 0 se s 0 L1 frac1s p s 0 Linearidade de L Sejam ft e gt tais que Lft e Lgt existem Então Lαft βgt αLft βLgt p todos α β R Condições suficientes p existência da transf de Laplace Lft f continua por partes em 0 se p cada ab0 existe um número finito de descontinidades de primeira espécie f ser de ordem exponencial se existem c M T 0 tais que ft Mect t T Exemplos t1 et t R et et t 0 cos t et t 0 Em geral tn Mect t T Exemplo ft et2 c R Teorema Seja f uma função cont por partes em 0 de ordem exponencial p t T Lft Fs existe s 0 Exemplo Calcule Lt Solução Por definição Lt ₀ˢ eˢᵗ t dt do lim b ₀ᵇ eˢᵗ t dt lim b eˢᵗ s tt0tb ₀ᵇ eˢᵗ s 1 dt lim b b eˢᵇ s 1s ₀ᵇ eˢᵗ 1 dt 1s lim b ₀ᵇ eˢᵗ 1 dt ₀ eˢᵗ 1 dt L1 1s Lt 1s² ps 0 Exemplo Calcule Le³ᵗ Solução Por definição Le³ᵗ lim b ₀ᵇ eˢᵗ e³ᵗ dt lim b ₀ᵇ es3t dt s 3 lim b es3t s3t0tb lim b 1s3 es3b s3 1s3 1s3 lim b es3b 0 se s3 0 ou s 3 se s3 0 ou s 3 Le³ᵗ 1s3 ps 3 Exemplo Calcular Lsen 2t Dicas Usar a definição Usar int por partes 2x Lsen 2t 2 s² 4 Teorema Transf de Laplace de funções básicas a L1 1s ps 0 b Ltⁿ n sⁿ¹ p n 1 2 3 c Leᵃᵗ 1 s a a ℝ d Lsen kt k s² k² k 0 e Lcos kt s s² k² k 0 f Lsenh kt k s² k² k 0 g Lcosh kt s s² k² k 0