Matemática Superior para Engenharia - Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais

Matemática Superior para Engenharia ERWIN KREYSZIG Volume 2 9A EDIÇÃO LTC Análise de Fourier Equações Diferenciais Parciais EDPs CAPÍTULO 11 Séries Integrais e Transformadas de Fourier CAPÍTULO 12 Equações Diferenciais Parciais EDPs A análise de Fourier relacionase aos fenômenos periódicos que ocorrem com bastante freqüência em engenharia e outras aplicações considere por exemplo as peças rotativas de máquinas as correntes elétricas alternadas ou o movimento dos planetas As funções periódicas relacionadas a esses fenômenos podem ser complicadas Tal situação impõe a importante tarefa prática de representar essas funções com plicadas por meio de funções periódicas simples a saber de senos e cossenos Essas representações serão as séries infinitas chamadas de séries de Fourier1 A criação dessas séries foi um dos eventos mais decisivos da matemática aplicada e vale dizer que também exerceu uma considerável influência na matemática como um todo no que se refere ao conceito de função à teoria da integração à teoria da convergência das séries etc veja a Ref GR7 no Apêndice 1 O Capítulo 11 trata principalmente das séries de Fourier Entretanto as idéias subjacentes podem também ser estendidas a fenômenos nãoperiódicos Isso leva às integrais e transformadas de Fourier Um nome comum para toda essa área é análise de Fourier O Capítulo 12 trata das equações diferenciais parciais EDPs mais importantes da física e da engenharia Esta é a área onde a análise de Fourier tem suas aplicações mais fundamentais relacionadas a problemas de limite e de valor inicial em mecânica fluxo de calor eletrostática e outros campos P A R T E C 1 JEANBAPTISTE JOSEPH FOURIER 17681830 físico e matemático francês que viveu e lecionou em Paris acompanhou Napoleão na Guerra do Egito e foi posteriormente prefeito de Grenoble Os tópicos iniciais sobre as séries de Fourier podem ser encontrados nos trabalhos de Euler e de Daniel Bernoulli porém foi Fourier quem os empregou de um modo sistemático e geral em seu trabalho principal Théorie analytique de la chaleur Teoria Analítica do Calor Paris 1822 onde desenvolveu a teoria da condução do calor equação do calor veja a Seção 125 fazendo dessas séries uma das ferramentas mais importantes da matemática aplicada CAPÍTULO 11 Séries Integrais e Transformadas de Fourier As séries de Fourier Seção 111 são séries infinitas concebidas para representar funções periódicas gerais em termos de funções simples a saber de senos e cossenos Elas constituem uma ferramenta muito importante especialmente na solução de problemas envolvendo EDOs e EDPs Neste capítulo discutiremos as séries de Fourier e seu uso em engenharia de um ponto de vista prático em conexão com as EDOs e com a aproximação das funções periódicas A aplicação disso nas EDPs é apresentada no Capítulo 12 A teoria das séries de Fourier é complicada embora veremos que a aplicação destas séries é um tanto simples As séries de Fourier são num certo sentido mais universais que as conhecidas séries de Taylor do cálculo porque muitas funções periódicas descontínuas de interesse prático podem ser desenvolvidas em séries de Fourier porém naturalmente não têm representações em séries de Taylor Nas últimas seções 117119 consideraremos as integrais de Fourier e as transformadas de Fourier que estendem as idéias e técnicas das séries de Fourier às funções nãoperiódicas e que têm aplicações fundamentais nas EDPs o que será mostrado no próximo capítulo Prérequisito cálculo integral elementar necessário para os coeficientes de Fourier Seções que podem ser omitidas num curso mais curto 114119 Referências e Respostas dos Problemas Parte C do Apêndice 1 e Apêndice 2 111 Séries de Fourier As séries de Fourier são a ferramenta básica para se representar as funções periódicas as quais desempenham um importante papel nas aplicações Uma função fx é chamada de função periódica se fx for definida para todo x real talvez exceto em alguns pontos como xπ2 3π2 para tan x e se existir algum número p positivo denominado período de fx tal que 1 fxpfx para todo x O gráfico de uma função assim é obtido pela repetição periódica de seu gráfico num intervalo qualquer de comprimento p Fig 255 Funções periódicas conhecidas são as funções do seno e cosseno Exemplos de funções que não são periódicas são x x2 x3 ex cosh x e ln x para mencionarmos apenas algumas Se fx tem período p ela também tem o período 2p pois 1 implica que fx2pfxppfxpfx etc portanto para qualquer inteiro n1 2 3 2 fxnpfx para todo x Fig 255 Função periódica Além disso se fx e gx têm período p então afxbgx com quaisquer constantes a e b também tem o período p Nosso problema nas primeiras seções deste capítulo será representar várias funções fx de período 2π em termos das funções simples 3 1 cos x sen x cos 2x sen 2x cos nx sen nx Todas essas funções têm o período 2π Elas constituem o chamado sistema trigonométrico A Fig 256 mostra as primeiras delas exceto para a constante 1 que é periódica com qualquer período A série a ser obtida será uma série trigonométrica ou seja uma série da forma 4 a0 a1 cos x b1 sen x a2 cos 2x b2 sen 2x a0 Σ an cos nx bn sen nx an1 a0 a1 b1 a2 b2 são constantes chamadas de coeficientes da série Observamos que cada termo tem o período 2π Logo se os coeficientes são tais que a série convirja sua soma será uma função de período 2π Podese demonstrar que se a série no lado esquerdo de 4 convergir então a inserção de parênteses à direita fornece uma série que converge e que tem a mesma soma da série à esquerda Isso justifica a igualdade em 4 Agora suponha que fx seja uma dada função de período 2π e seja tal que possa ser representada por uma série 4 ou seja 4 converge e além disso possui a soma fx Então usando o sinal de igualdade escrevemos 5 fx a0 Σ an cos nx bn sen nx an1 0 π 2π cos x 0 π 2π cos 2x 0 π 2π cos 3x 0 π 2π sen x 0 π 2π sen 2x 0 π 2π sen 3x Fig 256 Funções cosseno e seno de período 2π e dizemos que 5 é a série de Fourier de fx Provaremos que neste caso os coeficientes de 5 são os chamados coeficientes de Fourier de fx dados pelas fórmulas de Euler a a0 12π from π to π fx dx b an 1π from π to π fx cos nx dx n1 2 c bn 1π from π to π fx sen nx dx n1 2 O nome série de Fourier é às vezes também usado no caso excepcional em que 5 com os coeficientes 6 não converge ou não tem a soma fx isso pode acontecer embora tenha um interesse meramente teórico Sobre Euler veja a nota de rodapé 4 na Seção 25 Um Exemplo Básico Antes de obtermos as fórmulas de Euler 6 vamos nos familiarizar com a aplicação de 5 e de 6 para o caso de um exemplo importante Como você trabalhará com outras funções similares a esta tente compreender totalmente cada detalhe das integrações as quais devido ao n envolvido diferem um tanto das que você já praticou no cálculo Você deve evitar o uso rotineiro do computador preferindo ao invés disso fazer observações de que modo funções contínuas cossenos e senos podem representar uma dada função descontínua Como a qualidade da aproximação aumenta à medida que consideramos um número crescente de termos da série Por que as funções de aproximação chamadas de somas parciais da série são sempre nulas em 0 e Por que o fator 1n obtido na integração é importante EXEMPLO 1 Onda Retangular Periódica Fig 257a Encontre os coeficientes de Fourier da função periódica fx na Fig 257a A fórmula é 7 fx k se x 0 k se 0 x e fx 2 fx As funções desse tipo ocorrem como forças externas agindo em sistemas mecânicos forças eletromotrizes em circuitos elétricos etc O valor de fx em um único ponto não afeta a integral logo podemos deixar fx indefinida em x 0 e x Solução De 6a obtemos a0 0 Também podemos ver isto sem integração pois a área sob a curva fx entre e é nula De 6b an 1 fx cos nx dx 1 k cos nx dx k cos nx dx 1 k sen nx n00 k sen nx n 0 porque sen nx 0 em 0 e para todo n 1 2 Similarmente de 6c obtemos bn 1 fx sen nx dx 1 k sen nx dx k sen nx dx 1 k cos nx n00 k cos nx n00 a A função dada fx onda retangular periódica b As três primeiras somas da série de Fourier correspondente Fig 257 Exemplo 1 Como cos cos e cos 0 1 isto fornece bn k n cos 0 cos n cos n cos 0 2k n 1 cos n Ora cos 1 cos 1 cos 1 etc em geral cos 1 para ímpar 1 para par e portanto 1 cos 2 para ímpar 0 para par Como os coeficientes de Fourier bn de nossa função são b1 4k b2 0 b3 4k 3 b4 0 b5 4k 5 Como os an são nulos a série de Fourier de fx é 8 4k sen x 13 sen 3x 15 sen 5x As somas parciais são S1 4k sen x S2 4k sen x 13 sen 3x etc Seus gráficos na Fig 257 parecem indicar que a série é convergente e tem a soma fx a função dada Notemos que em x 0 e em x os pontos de descontinuidade de fx todas as somas parciais valem zero que é a média aritmética dos limites k e k da nossa função nesses pontos Além disso supondo que fx seja a soma da série e fazendo x 2 temos f2 k 4k 1 13 15 portanto 1 13 15 17 4 Este é um famoso resultado obtido por Leibniz em 1673 a partir de considerações geométricas e ilustra o fato de que os valores de várias séries com termos constantes podem ser obtidos avaliandose as séries de Fourier em pontos específicos Demonstração das Fórmulas de Euler 6 A chave para as fórmulas de Euler 6 é a ortogonalidade de 3 um conceito de importância fundamental como se segue TEOREMA 1 Ortogonalidade do Sistema Trigonométrico 3 O sistema trigonométrico 3 é ortogonal no intervalo x logo também no intervalo 0 x 2 ou em qualquer outro intervalo de comprimento 2 devido à periodicidade ou seja a integral do produto de duas funções quaisquer em 3 sobre esse intervalo vale 0 de modo que para quaisquer n e m inteiros a cos nx cos mx dx 0 n m 9 b sen nx sen mx dx 0 n m c sen nx cos mx dx 0 n m ou n m PROVA A demonstração disso é feita por uma simples transformação trigonométrica dos integrandos passandoos de produtos para somas Em 9a e 9b por 11 do Apêndice A31 cos nx cos mx dx 12 cos n mx dx 12 cos n mx dx sen nx sen mx dx 12 cos n mx dx 12 cos n mx dx Como m n inteiro as integrais no lado direito são todas iguais a 0 Similarmente em 9c para todos os m e n inteiros sem exceção você pode ver por quê sen nx cos mx dx 12 sen n mx dx 12 sen n mx dx 0 0 Aplicação do Teorema 1 à Série de Fourier 5 Provemos 6a Em 5 integrando de a em ambos os lados obtemos fx dx a0 an cos nx bn sen nx dx Suponhamos agora que seja possível integrar termo a termo Na prova do Teorema 2 diremos quando isso é verdadeiro Então obtemos fx dx a0 dx an cos nx dx bn sen nx dx O primeiro termo no lado direito é igual a 2a0 A integração mostra que todas as outras integrais são nulas Logo a divisão por fornece 6a Provemos 6b Multiplicando 5 em ambos os lados por cos mx com qualquer inteiro positivo fixo m e integrando de a temos 10 fx cos mx dx a0 an cos nx bn sen nx cos mx dx Agora integramos termo a termo Então no lado direito obtemos uma integral de a0 cos mx que vale 0 uma integral de an cos nx cos mx que é igual a am para n m e 0 para n m segundo 9a e uma integral de bn sen nx cos mx que é 0 para todo n e m segundo 9c Logo o lado direito de 10 é igual a am Dividindo por obtemos 6b com m no lugar de n Finalmente provemos 6c Multiplicando 5 em ambos os lados por sen mx com qualquer inteiro positivo fixo m e integrando de a obtemos 11 fx sen mx dx a0 an cos nx bn sen nx sen mx dx Integrando termo a termo obtemos no lado direito uma integral de a0 sen mx que é 0 uma integral de an cos nx sen mx que é 0 por 9c e uma integral bn sen nx sen mx que é bm se n m e 0 se n m por 9b Isto implica 6c com n representado por m e completa a prova das fórmulas de Euler 6 para os coeficientes de Fourier Provemos a convergência no Teorema 2 Provaremos a convergência para uma função contínua fx que possui derivadas primeiras e segundas contínuas Integrando 6b por partes obtemos an frac1pi intpipi fx cos nx dx fracfx sen nxnpi Bigpipi frac1npi intpipi fx sen nx dx O primeiro termo no lado direito vale zero Uma outra integração por partes fornece an fracfx cos nxn2 pi Bigpipi frac1n2 pi intpipi fx cos nx dx O primeiro termo à direita é nulo por causa da periodicidade e continuidade de fx Como f é contínua no intervalo de integração temos fx M para uma constante apropriada M Além disso cos nx leq 1 Seguese que an frac1n2 pi left intpipi fx cos nx dx right frac1n2 pi intpipi M dx frac2Mn2 Similarmente bn 2 M n2 para todo n Logo o valor absoluto de cada termo da série de Fourier de fx é no máximo igual ao termo correspondente da série a0 2M left 1 1 frac122 frac122 frac132 frac132 cdots right que é convergente Logo essa série de Fourier converge e a prova fica completa Os leitores já familiarizados com a convergência uniforme verão que pelo teste de Weierstrass na Seção 155 sob as suposições aqui presentes a série de Fourier converge uniformemente e nossa demonstração de 6 usando a integração termo a termo justificase então pelo Teorema 3 da Seção 155 A prova da convergência no caso de uma função fx contínua por intervalos e a prova de que sob as suposições mencionadas no teorema a série de Fourier 5 com os coeficientes 6 representa fx são substancialmente mais complicadas veja por exemplo a Ref C12 Convergência em um Salto como Indicada no Teorema 2 A onda retangular no Exemplo 1 apresenta um salto em x 0 Neste ponto seu limite à esquerda é k e seu limite à direita é k Fig 257 Logo a média desses limites é 0 A série de Fourier 8 para a onda de fato converge para este valor quando x 0 porque nesse caso todos os seus termos são nulos Algo similar ocorre com os outros saltos Isto está em concordância com o Teorema 2 Resumo Uma série de Fourier de uma função dada fx de período 2pi é uma série com a forma 5 e que tem os coeficientes dados pelas fórmulas de Euler 6 O Teorema 2 determina as circunstâncias suficientes para que essa série convirja e tenha o valor fx em cada x exceto nas descontinuidades de fx onde a série é igual à média aritmética dos limites de fx à direita e à esquerda nesses pontos 1324 SÉRIES DE FOURIER Mostrando os detalhes do que fizer encontre a série de Fourier da fx dada que se supõe ter o período 2pi Esboce ou represente graficamente as somas parciais até a parte contendo cos 5x e sen 5x 13 14 15 16 17 18 19 20 21 fx x2 pi x pi 22 fx x2 0 x 2pi 23 fx fracx24 ext se frac12 pi x frac12 pi fracx24 ext se frac12 pi x frac32 pi 24 fx 4x ext se pi x 0 4x ext se 0 x pi 25 Descontinuidades Verifique a última sentença do Teorema 2 referente às descontinuidades de fx no Problema 13 26 EXPERIMENTO DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL Gráficos Escreva um programa para representar graficamente as somas parciais das séries a seguir Com base no gráfico tente adivinhar qual função fx a série em questão pode representar Então confirme ou não sua suposição utilizando as fórmulas de Euler a 2 sen x frac13 sen 3x frac15 sen 5x cdots 2 frac12 sen 2x frac14 sen 4x frac16 sen 6x cdots b frac12 frac4pi2 cos x frac19 cos 3x frac125 cos 5x cdots c frac25 pi2 4 cos x frac14 cos 2x frac19 cos 3x frac116 cos 4x cdots 27 EXPERIMENTO DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL Ordem dos Coeficientes de Fourier A ordem parece ser 1n se f for descontínua 1n2 se f for contínua mas f dfdx é descontínua 1n3 se f e f são contínuas mas f é descontínua etc Tente verificar isto por meio de exemplos e tente proválo integrando por partes as fórmulas de Euler Qual é o significado prático disto 28 PROJETO Fórmulas de Euler em Termos de Saltos sem Integração Mostre que para uma função cuja derivada terceira é identificada nula an frac1npi left sum js sen nxs frac1n sum js cos nxs frac1n2 sum js sen nxs right bn frac1npi left sum js cos nxs frac1n sum js sen nxs frac1n2 sum js cos nxs right onde n 1 2 e a soma é feita sobre todos os saltos js js js de f f f respectivamente situados em xs 29 Aplique as fórmulas do Projeto 28 à função do Problema 21 e compare os resultados 30 EXPERIMENTO DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL Ortogonalidade Integre e represente graficamente a integral do produto cos mx cos nx com vários inteiros m e n de sua escolha de a até a como uma função de a e confirme a ortogonalidade de cos mx e cos nx m eq n para a pi a partir do gráfico Para quais m e n obteríamos a ortogonalidade para a pi 2 pi 3 pi 4 Um outro a Estenda esse experimento para cos mx sen nx e sen mx sen nx com os coeficientes a0 frac12pi intpipi gv dv an frac1pi intpipi gv cos nv dv bn frac1pi intpipi gv sen nv dv Podemos agora escrever a mudança de escala como v kx com k tal que o período anterior v 2 pi fornece para a nova variável x o novo período x 2L Portanto 2 pi k 2L Logo k pi L e v kx pi x L Isto implica que dv pi L dx o que ao se fazer a substituição em 2 cancela 12 pi e 1 pi dando no lugar disso os fatores 12L e 1 L Escrevendo gv fx obtemos assim de 1 a série de Fourier da função fx de período 2L fx a0 sumn1infty left an cos fracn piL x bn sen fracn piL x right com os coeficientes de Fourier de fx dados pelas fórmulas de Euler a0 frac12L intLL fx dx an frac1L intLL fx cos fracn pi xL dx n 1 2 cdots bn frac1L intLL fx sen fracn pi xL dx n 1 2 cdots Como na Seção 111 continuamos a dizer que 5 com coeficientes quaisquer é uma série trigonométrica E podemos integrar de 0 a 2L ou sobre qualquer outro intervalo de comprimento p 2L Onda Retangular Periódica Encontre a série de Fourier da função Fig 259 fx left beginarrayll 0 ext se 2 x 1 k ext se 1 x 1 quad p 2L 4 quad L 2 0 ext se 1 x 2 endarray right Solução De 6a obtemos a0 k 2 verifique De 6b obtemos an frac12 int22 fx cos fracn pi x2 dx frac12 int11 k cos fracn pi x2 dx frac2kn pi sen fracn pi2 Portanto an 0 se n for par e an 2k n pi se n 1 5 9 cdots an 2k n pi se n 3 7 11 cdots De 6c constatamos que bn 0 para n 1 2 cdots Logo a série de Fourier é fx frack2 frac2kpi left cos fracpi2 x frac13 cos frac3 pi2 x frac15 cos frac5 pi2 x cdots right Fig 259 Exemplo 1 Exemplo 2 Onda Retangular Periódica Encontre a série de Fourier da função Fig 260 fx k se 2 x 0 k se 0 x 2 p 2L 4 L 2 Solução a0 0 de 6a De 6b com 1L 12 an 12 20k cos nπx2 dx 02k cos nπx2 dx 12 2k nπ sennπx220 2k nπ sennπx2 02 0 de modo que a série de Fourier não possui nenhum termo em cossenos De 6c bn 12 2knπ cos nπx2 00 2knπ cos nπx2 20 knπ 1 cos nπ cos nπ 1 4knπ se n13 0 se n24 Logo a série de Fourier de fx é fx 4kπ sen π2 x 13 sen 3π2 x 15 sen 5π2 x É interessante o fato de que poderíamos chegar a esta fórmula a partir de 8 da Seção 111 a saber pela mudança de escala 3 Realmente escrevendo v no lugar de x temos em 8 da Seção 111 4kπ sen v 13 sen 3v 15 sen 5v Como o período 2π em v corresponde a 2L 4 temos que k πL π2 e v kx πx2 em 3 logo obtemos a série de Fourier de fx como antes Exemplo 3 Meiaonda Retificadora Uma tensão senoidal E sen ωt onde t é o tempo atravessa um retificador de meiaonda que absorve a porção negativa da onda Fig 261 Encontre a série de Fourier da função periódica resultante ut 0 se L t 0 E sen ωt se 0 t L p2L2πω L πω Solução Como u 0 quando L t 0 obtemos de 6a com t no lugar de x a0 ω2π 0πωE sen ωt dt Eπ e de 6b usando a fórmula 11 do Apêndice A31 com x ωt e y not an ωπ 0πωE sen ωt cos nωt dt ωE2π 0πωsen 1nωt sen 1nωt dt Se n1 a integral à direita é zero e se n23 prontamente obtemos an ωE2π cos 1nωt1nω cos 1nωt1nω0πω E2π cos 1nπ11n cos 1nπ11n Se n é ímpar essa expressão é igual a zero e para n par temos an E2π 21n 21n 2En1n1π n24 De modo similar encontramos de 6c que b1 E2 e bn 0 para n 23 Conseqüentemente ut Eπ E2 sen ωt 2Eπ 113 cos 2ωt 135 cos 4ωt PROBLEMAS PROPOSTOS 112 111 SÉRIES DE FOURIER DE PERÍODO p 2L Encontre a série de Fourier da função fx de período p 2L e faça um gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais Mostre os detalhes do que fizer 1 fx 1 2 x 0 fx 1 0 x 2 p 4 2 fx 0 2 x 0 fx 4 0 x 2 p 4 3 fx x2 1 x 1 p 2 4 fx πx32 1 x 1 p 2 5 fx sen πx 0 x 1 p 1 6 fx cos πx 12 x 12 p 1 7 fx x 1 x 1 p 2 8 fx 1 x se 1 x 0 1 x se 0 x 1 p 2 9 fx 1 x2 1 x 1 p 2 10 fx 0 2 x 0 fx x 0 x 2 p 4 11 fx x 1 x 0 fx x 0 x 1 fx 1 1 x 3 p 4 12 Retificador Encontre a série de Fourier da função obtida quando passamos a tensão vt V0 cos 100πt através de um retificador de meiaonda 13 Mostre que as conhecidas identidades cos3 x 34 cos x 14 cos 3x e sen3 x 34 sen x 14 sen 3x podem ser interpretadas como expansões em séries de Fourier Desenvolva cos4 x 14 Obtenha a série do Problema 7 a partir da série do Problema 8 15 Obtenha a série do Problema 6 a partir da série do Problema 5 16 Obtenha a série do Problema 3 a partir da série do Problema 21 em Problemas Propostos 111 17 Usando o Problema 3 mostre que 1 14 19 116 112 π2 18 Mostre que 1 14 19 116 112 π2 19 PROJETO DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL Séries de Fourier de Funções de Período 2L a Escreva um programa para obter as somas parciais de uma série de Fourier 1 b Aplique o programa aos Problemas 25 representando num mesmo gráfico as primeiras somas parciais de cada uma das quatro séries Escolha as primeiras cinco ou mais somas parciais até elas se aproximarem razoavelmente bem da função dada Compare e comente 20 EXPERIMENTO DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL Fenômeno de Gibbs As somas parciais snx de uma série de Fourier apresentam oscilações perto de um ponto de descontinuidade Essas oscilações não desaparecem com o aumento de n mas ao invés disso aproximamse cada vez mais de picos agudos Isso foi matematicamente explicado por J W Gibbs³ Faça o gráfico de snx no Problema 10 Quando n valer digamos 50 você verá de modo bastante distinto essas oscilações Considere similarmente outras séries de Fourier de sua escolha Faça comparações 113 Funções Pares e Ímpares Expansões de Meiaescala No Exemplo 1 da Seção 112 a função é par e sua série de Fourier tem somente termos em cossenos Já no Exemplo 2 da Seção 112 a função é ímpar e sua série de Fourier tem somente termos em senos Lembre que g é par se gx gx de modo que seu gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical Fig 262 Já uma função h é ímpar se hx hx Fig 263 3 Josiah Willard Gibbs 18391903 matemático norteamericano assumiu a cátedra de física matemática em Yale em 1871 e foi um dos fundadores do cálculo vetorial o outro foi O Heaviside veja a Seção 61 da termodinâmica matemática e da mecânica estatística Seus trabalhos foram de grande importância para o desenvolvimento da física matemática Ora na série de Fourier 5 da Seção 112 os termos em cossenos são pares e os termos em senos são ímpares Assim não deve constituir uma surpresa o fato de que uma função par seja representada por uma série de termos em cossenos e uma função ímpar por uma série de termos em senos conforme mostram as Figs 262 e 263 e o Teorema 1 Séries de Fourier de Cossenos Séries de Fourier de Senos A série de Fourier de uma função par de período 2L é uma série de Fourier de cossenos 1 f x a0 n1an cos nπxL f par com os coeficientes observe a integração é feita somente de 0 a L 2 a0 1L 0Lfx dx an 2L 0Lfx cos nπxL dx n12 A série de Fourier de uma função ímpar de período 2L é uma série de Fourier de senos 3 f x n1bn sen nπxL f ímpar com os coeficientes 4 bn 2L 0Lfx sen nπxL dx PROVA Como a integral definida de uma função fornece a área entre os limites da integração sob a curva da função temos que LLgx dx 20Lgx dx para g par LLhx dx 0 para h ímpar conforme fica óbvio pelos gráficos de g e h Prove isso formalmente Consideremos agora que f seja par Então 6a da Seção 112 fornece a0 em 2 Além disso o integrando em 6b da Seção 112 é par um produto de funções pares é par de modo que 6b fornece an em 2 Além disso o integrando em 6c da Seção 112 é a função par f multiplicada pelo seno ímpar de modo que o integrando o produto é ímpar a integral é zero e não há em 1 qualquer termo dado em seno Similarmente se f é ímpar em 6a e 6b da Seção 112 as integrais para a0 e an são nulas f vezes o seno em 6c é par 6c implica 4 e não há em 3 qualquer termo em cossenos O Caso do Período 2π Se L π então fx a0 n1an cosnx f par com os coeficientes 2 a0 1π 0πfx dx an 2π 0πfx cosnx dx n12 e fx n1bn sen nx f ímpar com os coeficientes 4 bn 2π 0πfx sen nx dx n12 Uma ilustração disso está no Exemplo 1 da Seção 111 onde fx é ímpar e é representada por uma série de Fourier em senos Outras simplificações resultam da seguinte propriedade cuja prova bastante simples é deixada para o estudante Soma e Múltiplo Escalar Os coeficientes de Fourier de uma soma f1 f2 são as somas dos correspondentes coeficientes de Fourier de f1 e f2 Os coeficientes de Fourier de cf são o produto de c pelos correspondentes coeficientes de Fourier de f Pulso Retangular A função fx na Fig 264 é a soma da função fx no Exemplo 1 da Seção 111 com a constante k Portanto desse exemplo e do Teorema 2 concluímos que fx k 4kπ sen x 13 sen 3x 15 sen 5x Retificador de Meiaonda No Exemplo 3 da Seção 112 a função vt tem uma série de Fourier de cossenos mais um único termo vt E2 sen ωt Concluímos disso e do Teorema 2 que ut vt deve ser uma função par Verifique isto graficamente Veja a Fig 265 Onda Dentedeserra Encontre a série de Fourier da função Fig 266 fx x π se π x π e fx 2π fx Solução Temos que f f1 f2 onde f1 x e f2 π Os coeficientes de Fourier de f2 são nulos à exceção do primeiro o termo constante que é igual a π Logo pelo Teorema 2 os coeficientes de Fourier an bn são os de f1 à exceção de a0 que é igual a π Como f1 é ímpar an 0 para n 1 2 e bn 2π 0π f1x sen nx dx 2π 0π x sen nx dx Integrando por partes obtemos bn 2π x cos nxn 0π 1n 0π cos nx dx 2n cos n π Logo b1 2 b2 22 b3 23 b4 24 e a série de Fourier de fx é fx π 2 sen x 12 sen 2x 13 sen 3x Expansões de Meiaescala As expansões de meiaescala são séries de Fourier A idéia é simples e útil e é explicada pela Fig 267 Desejamos representar fx na Fig 267a por uma série de Fourier onde por exemplo fx pode ter a forma de uma corda distorcida de um violino ou representar a temperatura numa barra metálica de comprimento L Os problemas correspondentes serão discutidos no Capítulo 12 Vemnos então a seguinte idéia Fig 267 a Função fx dada sobre um intervalo 0 x L b Extensão par da escala intervalo cheia L x L curva grossa e a extensão periódica de período 2L sobre o eixo x c Extensão ímpar sobre L x L curva grossa e extensão periódica de período 2L sobre o eixo x Poderíamos estender fx como uma função de período L e expandir a função estendida numa série de Fourier Porém em geral tal série conteria tanto termos em cossenos como em senos Podemos então melhorar isso e obter uma série mais simples Com efeito para nossa função f dada podemos calcular os coeficientes de Fourier a partir de 2 ou de 4 do Teorema 1 optando pelo caminho que nos parecer mais prático Se usarmos 2 obteremos 1 Esta é a extensão periódica par f1 de f na Fig 267b Se em vez disso escolhermos 4 obteremos 3 a extensão periódica ímpar f2 de f na Fig 267c Ambas as extensões têm o período 2L e a isso se deve o nome expansões de meiaescala f é dada e tem interesse físico somente na metade da escala ou seja na metade do intervalo de periodicidade de comprimento 2L Ilustremos essas idéias com um exemplo de que também precisaremos no Capítulo 12 O Triângulo e Suas Expansões de Meiaescala Encontre as duas expansões de meiaescala da função Fig 268 fx 2kL x se 0 x L2 2kL L x se L2 x L Solução a Extensão periódica par De 2 obtemos a0 1L 2kL 0L2 x dx 2kL L2L L x dx k2 an 2L 2kL 0L2 x cos nπL x dx 2kL L2L L x cos nπL x dx Consideremos an Para a primeira integral a integração por partes fornecenos 0L2 x cos nπL x dx Lxnπ sen nπL x 0L2 Lnπ 0L2 sen nπL x dx L22nπ sen nπ2 L2n2π2 cos nπ2 1 Similarmente para a segunda integral obtemos L2L L x cos nπL x dx Lnπ L L2 sen nπ2 L2n2π2 cos nπ cos nπ2 Insiramos esses dois resultados na fórmula de an Os termos em seno se cancelam e o mesmo ocorre com um fator L2 Isso dá an 4kn2π2 2 cos nπ2 cos nπ 1 Portanto a2 16k22π2 a6 16k62π2 a10 16k102π2 e an 0 se n 2 6 10 14 Logo a primeira expansão de meiaescala de fx é Fig 269a fx k2 16kπ2 122 cos 2πL x 162 cos 6πL x Essa série de Fourier em cossenos representa a extensão periódica par da função fx dada de período 2L b Extensão periódica ímpar Similarmente de 4 obtemos 5 bn 8kn2π2 sen nπ2 Logo a outra expansão de meiaescala de fx é Fig 269b fx 8kπ2 112 sen πL x 132 sen 3πL x 152 sen 5πL x Esta série representa a extensão periódica ímpar de fx de período 2L Aplicações básicas destes resultados serão mostradas nas Seções 123 e 125 Fig 264 Exemplo 1 Fig 265 ut vt com E 1 ω 1 a A função fx b Somas parciais S1 S2 S3 S20 Fig 266 Exemplo 3 a A função dada fx b fx estendida como uma função periódica par de período 2L c fx estendida como uma função periódica ímpar de período 2L Fig 267 a Função fx dada sobre um intervalo 0 x L b Extensão par curva grossa c Extensão ímpar curva grossa Fig 268 A função dada no Exemplo 4 a Extensão par b Extensão ímpar Fig 269 Extensões periódicas de fx no Exemplo 4 PROBLEMAS PROPOSTOS 113 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES As seguintes funções são pares ímpares ou nem pares nem ímpares 1 x x² sen nx x x² ex ln x x cosh x 2 sen x² sen² x x senh x x³ eπx xex tang 2x x1 x² As funções a seguir que se supõem ser periódicas e de período 2π são pares ímpares ou nem pares nem ímpares 3 fx x³ π x π 4 fx x² π2 x 3π2 5 fx e4x π x π 6 fx x³ sen x π x π 7 fx xx x³ π x π 8 fx 1 x x³ x⁵ π x π 9 fx 11 x² se π x 0 fx 11 x² se 0 x π 10 PROJETO Funções Pares e Ímpares a As expressões a seguir são pares ou ímpares Somas e produtos de funções pares e de funções ímpares Produtos de funções pares por funções ímpares Valores absolutos de funções ímpares fx fx e fx fx para fx arbitrária b Escreva ekx 11 x sen x k cosh x k na forma de somas de uma função par com uma função ímpar c Encontre todas as funções que são simultaneamente pares e ímpares d A função cos³ x é par ou ímpar E sen³ x Encontre a série de Fourier dessas funções Você reconhece identidades familiares SÉRIES DE FOURIER DE FUNÇÕES PARES E ÍMPARES A função dada é par ou ímpar Encontre sua série de Fourier Faça um esboço ou gráfico da função e de algumas somas parciais Mostre os detalhes do que fizer 11 fx π x π x π 12 fx 2 xx 1 x 1 13 fx x se π2 x π2 π x se π2 x 3π2 14 fx π ex se π x 0 π ex se 0 x π 15 fx 2 se 2 x 0 0 se 0 x 2 16 fx 1 ½x se 2 x 2 0 se 2 x 6 p 8 1725 EXPANSÕES DE MEIAESCALA Encontre a a série de Fourier de cossenos b a série de Fourier de senos Faça um esboço de fx e de suas duas extensões periódicas Mostre os detalhes do que fizer 17 fx 1 0 x 2 18 fx x 0 x ½ 19 fx 2 x 0 x 2 20 fx 0 0 x 2 1 2 x 4 1 0 x 1 21 fx 2 1 x 2 22 fx x 0 x π2 π2 π2 x π 23 fx x 0 x L 24 fx x² 0 x L 25 fx π x 0 x π 26 Ilustre as fórmulas na prova do Teorema 1 com exemplos Prove as fórmulas 114 Séries de Fourier Complexas Opcional Nesta seção opcional mostraremos que a série de Fourier 1 fx a₀ aₙ cos nx bₙ sen nx pode ser escrita na forma complexa o que às vezes simplifica os cálculos veja o Exemplo 1 a seguir Essa forma complexa pode ser obtida porque no caso complexo a função exponencial eit relacionase a cos t e sen t pela fórmula básica de Euler veja 11 na Seção 22 2 eit cos t i sen t Portanto eit cos t i sen t Inversamente adicionando e subtraindo essas duas fórmulas obtemos 3 a cos t ½eit eit b sen t 12i eit eit De 3 usando 1i i em sen t e fazendo t nx em ambas as fórmulas obtemos aₙ cos nx bₙ sen nx ½ aₙeinx einx 12i bₙeinx einx ½ aₙ ibₙeinx ½ aₙ ibₙeinx Insiramos esta expressão em 1 Escrevendo a₀ c₀ ½aₙ ibₙ cₙ e ½aₙ ibₙ kₙ obtemos de 1 4 fx c₀ cₙ einx kₙ einx Os coeficientes c₁ c₂ e k₁ k₂ são obtidos de 6b e 6c na Seção 111 e então 2 acima com t nx 5 cₙ ½ aₙ ibₙ 12π ππ fxcos nx i sen nx dx 12π ππ fx einx dx kₙ ½ aₙ ibₙ 12π ππ fxcos nx i sen nx dx 12π ππ fx einx dx Finalmente podemos combinar 5 numa única fórmula usando o truque de escrever kₙ cn Então 4 5 e c₀ a₀ em 6a da Seção 111 fornecem com a soma começando de 6 fx cₙ einx cₙ 12π ππ fx einx dx n 0 1 2 Esta é a chamada forma complexa da série de Fourier ou mais sucintamente série complexa de Fourier de fx Os cₙ são chamados de coeficientes complexos de Fourier de fx Para uma função de período 2L esse raciocínio nos leva à série complexa de Fourier 7 fx cₙ einπxL cₙ 12L LL fx einπxL dx n 0 1 2 EXEMPLO 1 Série Complexa de Fourier Encontre a série de Fourier de fx ex se π x π e fx 2π fx e obtenha a partir dela a série de Fourier usual Solução Como sen nπ 0 para n inteiro temos einπ cos nπ i sen nπ cos nπ 1ⁿ Com isto obtemos de 6 por integração cₙ 12π ππ ex einx dx 12π 11 in ex einx xππ 12π 11 in eπ eπ1ⁿ No lado direito 11 in 1 in1 in1 in 1 in1 n² e eπ eπ 2 senh π Logo a série complexa de Fourier é 8 ex senh ππ 1ⁿ 1 in1 n² einx π x π Obtenhamos disto a série real de Fourier Usando 2 com t nx e i² 1 temos em 8 1 in einx 1 incos nx i sen nx cos nx n sen nx in cos nx sen nx Ora 8 também possui um termo correspondente com n em vez de n Como cos nx cos nx e sen nx sen nx obtemos neste termo 1 in einx 1 incos nx i sen nx cos nx n sen nx in cos nx sen nx Se somarmos essas duas expressões as partes imaginárias se cancelam Portanto sua soma é 2cos nx n sen nx n 1 2 Para n 0 obtemos 1 e não 2 porque há somente um termo Logo a série real de Fourier é 9 ex 2 senh ππ ½ 11 1² cos x sen x 11 2² cos 2x 2 sen 2x Na Fig 270 a aproximação ruim que ocorre próximo dos saltos em π é um caso do fenômeno de Gibbs veja o experimento de álgebra computacional em Problemas Propostos 112 Fig 270 Soma parcial de 9 termos de n 0 a 50 PROBLEMAS PROPOSTOS 114 1 Revisão de cálculo Faça uma revisão de números complexos 2 Funções pares e ímpares Mostre que os coeficientes complexos de Fourier de uma função par são reais e que os de uma função ímpar são imaginários puros 3 Coeficientes de Fourier Mostre que a₀ c₀ aₙ cₙ cn bₙ icₙ cn 4 Verifique os cálculos no Exemplo 1 5 Encontre mais alguns termos em 9 e usando o computador represente graficamente as somas parciais 6 No Exemplo 1 obtenha a série real diretamente a partir das fórmulas de Euler na Seção 11 713 SÉRIE COMPLEXA DE FOURIER Encontre a série complexa de Fourier das seguintes funções Mostre os detalhes do que fizer 7 fx 1 se π x 0 fx 1 se 0 x π 8 Converta a série do Problema 7 para a forma real 9 fx x π x π 10 Converta a série do Problema 9 para a forma real 11 fx x² π x π 12 Converta a série do Problema 11 para a forma real 13 fx x 0 x 2π 14 PROJETO Coeficientes Complexos de Fourier É muito interessante o fato de cₙ em 6 poder ser obtido diretamente por um método similar ao utilizado para aₙ e bₙ na Seção 111 Para isto multiplique a série em 6 por eimx com um m inteiro fixo e integre termo a termo de π a π em ambos os lados o que é permitido por exemplo no caso da convergência uniforme a fim de obter ππ fx eimx dx cₙ ππ ein mx dx Mostre que a integral no lado direito é igual a 2π quando n m e 0 quando n m use 3b de modo a obter a fórmula do coeficiente em 6