Introducao a Pesquisa Operacional - Conceitos e Aplicacoes

A Pesquisa Operacional como ciência surgi para resolver de forma mais eficiente problemas na área de administração das organizações originados pelo crescente desenvolvimento provocado pela revolução industrial A partir da Revolução Industrial aumentam os problemas na gestão das organizações as diferentes componentes dentro da organização são sistemas autónomos com objetivos e gestão próprias os objetivos cruzamse o que pode ser melhor para uns pode ser prejudicial para outros PROBLEMA COMO GERIR PARA OBTER UMA MELHOR EFICÁCIA DENTRO DE TODA A ORGANIZAÇÃO O aparecimento de Pesquisa Operacional A origem da PO como ciência é atribuída à coordenação das operações militares durante a 2ª Guerra Mundial Em 1947 George Dantzig 19142005 e outros cientistas do Departamento da Força Aérea Americana APRESENTARAM UM MÉTODO DENOMINADO SIMPLEX para a resolução dos problemas de Programação Linear PL O que é a Pesquisa Operacional Conceito amplo Uma abordagem científica na tomada de decisões UM CONJUNTO DE MÉTODOS E MODELOS MATEMÁTICOS APLICADOS À RESOLUÇÃO DE COMPLEXOS PROBLEMAS NAS OPERAÇÕES ATIVIDADES DE UMA ORGANIZAÇÃO oue Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada cujo objetivo é a melhoria do desempenho de organizações ou seja é aplicada a sistemas produtivos que usam recursos materiais financeiros humanos e ambientais os chamados meios de produção Ela baseiase na formulação de modelos matemáticos a serem resolvidos sendo feita em seguida a análise e a implementação das soluções obtidas Introdução a Pesquisa Operacional 2 Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Áreas de atuação desenvolvidas na Pesquisa Operacional Problemas de Programação Linear PPL Problemas de Programação Não LinearPPNL Problemas de Programação Dinâmica PPD Problemas de Programação Inteira PPI Problemas de Otimização Global POG Outras áreas de atuação desenvolvidas na Pesquisa Operacional Análise Estatística Teoria de Jogos Teoria de Filas Organização do tráfego aéreo Construção de barragens Simulação Gestão de estoques etc QUAIS SÃO AS CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTAIS DA PO A APLICAÇÃO DE MÉTODOS CIENTÍFICOS NA GESTÃO DAS ORGANIZAÇÕES A ORIENTAÇÃO SISTÉMICA A EXTENSIBILIDADE A aplicação da Pesquisa Operacional tem provocado um significativo impacto na gestão e administração de empresas em diferentes organizações Com o desenvolvimento da informática nas últimas décadas PO tem sido estendida a numerosas organizações Denominada a ciência da administração a sua utilização e implementação tem sido estendida à Business Economia Industria e indústria militar Engenharia civil Governos Introdução a Pesquisa Operacional 3 Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Organização e Linha de Estudo Introdução a Pesquisa Operacional 4 Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional Programação Matemática 1 Programação Linear 2 Programação Não Linear O que são problemas de Programação Linear Os problemas de Programação Linear são uma classe particular de Problemas de Programação Matemática PM onde a função objetivo e as restrições podem ser representadas por funções lineares A Programação Linear determina o planeamento ótimo de atividades ou seja um plano ótimo que represente a melhor solução entre todas as alternativas possíveis O que são problemas de Pesquisa Operacional Os problemas de Pesquisa Investigação Operacional são problemas de maximização ou minimização de funções de variáveis designadas por objeto que dependem de um número finito de variáveis Estas variáveis podem ser independentes umas das outras ou podem estar relacionadas através de uma ou mais restrições O que são problemas de Programação Matemática Os problemas de Programação Matemática são uma classe particular de problemas de Pesquisa Operacional que surgem na década de quarenta aplicados nos campos da organização e da gestão económica em que o objetivo e as restrições são dados como funções matemáticas e relações funcionais Introdução a Pesquisa Operacional 5 Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Fase 4 Validação do modelo Apesar do modelo não representar com perfeição a realidade este deve reproduzir o comportamento do sistema Costumase então usar dados existentes para simular o modelo criado Fase 5 Implementação da solução Um acompanhamento especial deve ser feito quando convertemos a solução obtida pelo modelo em um nova regra operacional Algumas adaptações poderão ser necessárias Fase 6 Avaliação final Consiste na verificação dos resultados obtidos em todas as possíveis fases do processo Todas estas 6 fases serão representadas num modelo matemático para desenvolvimento de algoritmo que apresente a solução ótima para o problema real A estrutura de um trabalho de Pesquisa Operacional segundo Andrade EL 2009 significa a implementação completa em 6 fases passos Fase 1 Definição do problema Processo de identificação dos objetivos do estudo são identificadas as alternativas de decisão e são relatadas as limitações restrições do problema Fase 2 Construção do modelo que pode ou não ser matemático Quanto mais adequadamente esse modelo representar a realidade do problema melhor será a solução proveniente do processo como um todo Fase 3 Solução do modelo No caso dos modelos matemáticos a solução chamada de solução ótima é obtida através do algoritmo mais adequado Estrutura básica da Pesquisa Operacional 6 Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Construção de um Modelo Matemático Se realizada na obtenção dos três elementos 1 Variáveis de Decisão Como nas equações matemáticas que estudamos a obtenção da solução do problema se faz através da obtenção das variáveis do mesmo 2 Função Objetivo É a função matemática que através das variáveis de decisão melhor define o sistema real a construção nuca é exata 3 Restrições Representam as limitações físicas do sistema elas limitam os valores possíveis das variáveis de decisão a maior parte dos problemas tem valores de recursos finitos e limitados Os problemas de Pesquisa Operacional são problemas de maximização ou minimização de funções de variáveis designadas por objeto que dependem de um número finito de variáveis Estas variáveis podem ser independentes umas das outras ou podem estar relacionadas através de uma ou mais restrições Modelo Matemático De uma forma bastante resumida o modelo matemático é a representação das operações de um sistema real através de funções matemáticas É o modelo mais utilizado em Pesquisa Operacional e obviamente o queremos estudar Para a sua construção devese admitir que todas as variáveis importantes do sistema serão quantificáveis quantitativas A solução do modelo matemático se faz então pela resolução das equações definidas Modelo Matemático É uma representação simplificada de um problema real 7 Modelo Matemático Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Forma reduzida do Modelo de Programação Linear Maximizar z j1 n cjxj sujeito a j1 n aijxj bi i 12 m x1 x2 xn 0 Forma matricial do Modelo de Programação Linear Maximizar minimizar z 𝐜𝟏x1 𝐜𝟐x2 𝐜𝐧xn sujeito a 𝐚𝟏𝟏x1 𝐚𝟏𝟐x2 𝐚𝟏𝐣xj 𝐚𝟏𝐧xn 𝐛𝟏 𝐚𝟐𝟏x1 𝐚𝟐𝟐x2 𝐚𝟐𝐣xj 𝐚𝟐𝐧xn 𝐛𝟐 𝐚𝐢𝟏x1 𝐚𝐢𝟐x2 𝐚𝐢𝐣xj 𝐚𝐢𝐧xn 𝐛𝐢 𝐚𝐦𝟏x1 𝐚𝐦𝟐x2 𝐚𝐦𝐣xj 𝐚𝐦𝐧xn 𝐛𝐦 x1 x2 xj xn 0 restrições de não negatividade sendo que 𝐚𝐢𝐣 𝐛𝐢 e 𝐜𝐣 i12m e j12n são constantes Modelo matemático genérico de um Problema de Programação Linear Minimizar Maximizar f x1 x2 xn sujeito a g1 x1 x2 xn b1 gm x1 x2 xn bm onde x1 x2 xn são denominadas variáveis de decisão f x1 x2 xn é chamada de função objetivo g1 g2 gm são chamadas de funções restritivas ou restrições do modelo Os problemas de Programação Matemática podem ser classificados em 1 Se f x1 x2 xn e gi x1 x2 xn i 1 m são funções lineares então temos UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR PPL 2 Se f x1 x2 xn e gi x1 x2 xn i 1 m são funções não lineares então temos UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR PPNL 8 Modelo Matemático Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Aditividade considera as atividades variáveis de decisão do modelo como entidades totalmente independentes não permitindo que haja interdependência entre elas isto é não permitindo a existência de termos cruzados tanto na função objetivo como nas restrições Divisibilidade supõese que todas as variáveis de decisão possam ser divididas em qualquer número de partes isto é qualquer variável de decisão pode assumir qualquer valor fracionário Certeza considerase que todos os parâmetros do modelo sejam constantes e conhecidos Em problemas reais a hipótese de certeza quase nunca é satisfeita provocando a necessidade de análise de sensibilidade dos resultados Entendese por Solução qualquer especificação de valores dentro do domínio da funçãoobjetivo fX para as variáveis de decisão independentemente de se tratar de uma escolha desejável ou permissível Solução viável uma solução em que todas as restrições são satisfeitas Solução ótima uma solução viável que tem o valor mais favorável da funçãoobjetivo fX isto é maximiza ou minimiza a funçãoobjetivo podendo ser única ou não Todo problema de programação linear parte de algumas hipóteses que são consideradas quando tentamos resolvê lo Proporcionalidade o valor da funçãoobjetivo é diretamente proporcional ao valor de cada variável de decisão Professor Celso Luiz 9 Terminologia de um Modelo Matemático Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional A Tabela a seguir apresenta os investimentos disponíveis os valores de desembolso necessários para os 3 anos e o VPL de cada investimento Formule um PPL para que a VVC maximize o VPL de seus investimentos Modelo 1 Orçamento de Capital Imagine que a Volto Venture Capital SA VVC empresa de capital empreendedor do conglomerado Voltorantima SA tenha um orçamento de R 200 milhões para este ano R 250 milhões para o ano que vem e mais R 150 milhões para o outro ano Podemos resumir da forma Ano 0 R 200 milhões Ano 1 R 250 milhões Ano 2 R 150 milhões A VVC possui uma série de oportunidades disponíveis para investimento de forma que eles precisam definir onde seus investimentos devem ser realizados para que o VPL Valor Presente Líquido dos mesmos seja maximizado Como os investimentos são participações em outras empresas eles podem ser fracionados tendo em vista que não há limite mínimo de compra nem o interesse de se obter uma determinada participação nas empresas Precisa haver apenas uma proporcionalidade dos investimentos ao longo dos anos ou seja se a empresa adquirir um determinado percentual da empresa neste ano ela também deverá fazê lo nos próximos aportes da empresa para que a mesma participação seja mantida 10 Modelagem Matemática Investimento Desembolsos VPL Ano 0 Ano 1 Ano 2 A 12 34 12 20 B 54 94 67 15 C 65 28 49 34 D 38 0 8 17 E 52 21 42 56 F 98 73 25 76 G 14 48 53 29 TOTAL 334 298 256 247 Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Restrição 2 garantir que o investimento total em cada ano não exceda o orçamento Ano 0 12XA 54XB 65XC 38XD 52XE 98XF 15XG 200 Ano 1 34XA 94XB 28XC 0XD 21XE 73XF 48XG 250 Ano 2 12XA 67XB 49XC 8XD 42XE 25XF 53XG 150 Em síntese temse Maximizar 20XA 15XB 34XC 17XD 56XE 76XF 29XG sujeito a 12XA 54XB 65XC 38XD 52XE 98XF 15XG 200 34XA 94XB 28XC 0XD 21XE 73XF 48XG 250 12XA 67XB 49XC 8XD 42XE 25XF 53XG 150 XA XB XC XD XE XF e XG 1 XA XB XC XD XE XF e XG 0 Resposta Final XA1 XB0 XC0354 XD0 XE1 XF1 XG1 e VPLR 19303 milhões Construção do Modelo Matemático Passo 1 Determinar as Variáveis de Decisão Parcela assumida pela empresa em cada oportunidade de investimento Há 7 variáveis de decisão XA XB XC XD XE XF e XG todas confinadas ao intervalo entre 0 e 1 pois representam participações Cada Xletra corresponde ao tipo de investimento Passo 2 Determinar da Função Objetivo Maximização do VPL dos investimentos Maximizar 20XA15XB34XC17XD56XE76XF29XG Nota Os coeficientes associados as variáveis de decisão corresponde ao VPL de cada tipo de investimento Passo 3 Construção das restrições do Problema Restrição 1 Devem garantir que as participações nos investimentos não sejam maiores que 100 e nem menores que 0 Restrição de Não Negatividade 0 XA XB XC XD XE XF e XG 1 11 Modelagem Matemática Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Determine qual percentual do total deve ser aplicado em cada tipo de título Construção do Modelo Matemático Passo 1 Determinar as Variáveis de Decisão P1 Parcela do total aplicado no título do tipo 1 P2 Parcela do total aplicado no título do tipo 2 P3 Parcela do total aplicado no título do tipo 3 P4 Parcela do total aplicado no título do tipo 4 P5 Parcela do total aplicado no título do tipo 5 P6 Parcela do total aplicado no título do tipo 6 Passo 2 Determinar da Função Objetivo Maximizar 0087P1 0095P2 012P3 009P4 013P5 02P6 Passo 3 Construção das restrições do Problema Restrição 1 Relacionado ao Orçamento P1 P2 P3 P4 P5 P6 1 Restrição 2 Máximo de Aplicação por Tipo de Título P1 025 P2 025 P3 025 P4 025 P5 025 P6 025 Modelo 2 Escolha de carteira de investimentos Caso LCL Investimentos SA A LCL Investimentos SA gerencia recursos de terceiros por meio da escolha de carteiras de investimento para diversos clientes com base em bonds de diversas empresas Um de seus clientes exige que Não mais de 25 do total aplicado seja investido em um único investimento Um valor superior a 50 do total aplicado seja investido em títulos de maturidade maiores que dez anos O total aplicado em títulos de alto risco seja no máximo de 50 do total investido A Tabela mostra os dados dos títulos selecionados A tabela a seguir mostra os dados dos títulos selecionados 12 Modelagem Matemática Retorno Anual Anos para Vencimento Risco Título 1 87 15 1 Muito Baixo Título 2 95 12 3 Regular Título 3 120 8 4 Alto Título 4 90 7 2 Baixo Título 5 130 11 4 Alto Título 6 200 5 5 Muito Alto Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Em síntese temse Max i1 6 ci1Pi1 0087P1 0095P2 012P3 009P4 013P5 02P6 sujeito a P1 P2 P3 P4 P5 P6 1 P1 P2 P5 05 P3 P5 P6 05 0 P1 025 0 P2 025 0 P3 025 0 P4 025 0 P5 025 0 P6 025 Resposta Final 25 nos títulos 2 4 5 e 6 Restrição 3 Mínimo de Aplicação em Título de Maturidade maior que 10 anos P1 P2 P5 05 Título 1 Anos para vencimento 15 Título 2 Anos para vencimento 12 Título 3 Anos para vencimento 11 Restrição 4 Máximo de Aplicação em Título de Alto Risco P3 P5 P6 05 ou P1 P2 P4 05 Ambas as restrições representam a mesma coisa já que dizer que as restrições baixas e regulares devem ser maiores que 50 é o mesmo que dizer que as restrições altas e muito altas devem ser menores que 50 Logo devemos colocar apenas uma dessas restrições no nosso modelo 13 Modelagem Matemática Títulos de Alto Risco Título 3 Classif 4 Título 5 Classif 4 Título 6 Classif 5 Título 1 Classif 1 Título 2 Classif 3 Título 4 Classif 2 Títulos de Baixo Risco por exclusão Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional De acordo com o proprietário a Academia Núcleo sempre possuiu um grande número de alunos principalmente nas estações quentes do ano primavera e verão Com isso a academia enfrenta um problema de lotação durante o horário noturno nessas estações Como o espaço da academia não pode ser aumentado já que o prédio é alugado não é possível se fazer reformas e aumentar a capacidade da academia Sendo assim principalmente nos meses de verão o proprietário se defronta com dois problemas O primeiro deles é que o proprietário deve restringir o número de alunos que se matriculam na academia para que a quantidade de alunos não ultrapasse a capacidade da empresa sem contudo comprometer a receita da empresa O segundo problema é que o número de alunos inscritos em cada modalidade não deve ultrapassar a capacidade máxima possível das mesmas de forma a não comprometer o trabalho dos instrutores das atividades De acordo com o proprietário as modalidades oferecidas durante o período da noite e que serão utilizadas no problema são musculação spinning abdômen fisioterapia e RPG Modelo 3 Receita de uma Academia de Ginástica Fundada em maio de 2004 pelo seu proprietário Geraldo Ribeiro Leite Júnior a academia Núcleo localizase à Rua Francisco Masseli 866 no bairro BPS Itajubá Minas Gerais A Academia Núcleo trabalha com o seguinte lema Sintase em casa na Núcleo A oportunidade de abrir a academia surgiu logo após a saída do proprietário da academia localizada no Clube Itajubense O proprietário já possuía experiência no ramo Na época o proprietário da antiga academia FisioSport queria vender esta Assim os equipamentos foram comprados e os antigos funcionários passaram a trabalhar para a Núcleo No ano de 2006 que será ponto deste estudo a academia dispunha de 14 funcionários O horário de funcionamento 6h45min às 11h30min e das14h às 22h de segunda à sexta aos sábados o horário das 9h às 12h Durante o período estudado a Academia Núcleo apresentava as seguintes modalidades esportivas Natação Hidroginástica Musculação Spinning Abdômen RPG Fisioterapia Ginástica localizada Power fight Futsal infantil Cardiovascular Pilates 14 Modelagem Matemática Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Conforme o proprietário através de sua experiência ele sabe que o máximo de alunos que a academia suporta durante o período noturno é de 120 pessoas Além disso cada modalidade oferecida possui um número máximo possível de alunos inscrito para um mesmo período tabela abaixo Também com base nas planilhas financeiras da empresa e em suas tabelas de preço é possível estabelecer qual a receita por aluno de cada modalidade que a empresa oferece Além desses dados sabese através do proprietário que as atividades de RPG e Fisioterapia utilizam os mesmo professores e compartilham da mesma sala o que faz com que apesar da capacidade máxima de alunos de RPG e Modalidades durante o período noturno Modalidade Receita por aluno Capacidade Máxima de alunos Musculação R3500 80 Spinning R4000 20 Abdômen R2500 40 Fisioterapia R5000 25 RPG R6000 15 15 Modelagem Matemática fisioterapia serem 25 e 15 alunos respectivamente quando analisadas em conjunto é possível dizer que tais modalidades juntas não podem apresentar mais de trintas alunos em um mesmo período pois correse o risco de não conseguir atender todos os alunos e não oferecer os serviços da melhor maneira Os dados fornecidos pela empresa foram utilizados para a formulação do problema O objetivo é definir uma equação matemática através da Programação Linear que possibilite encontrar a melhor alocação de alunos por modalidade que maximize a receita da empresa Construção do Modelo Matemático Passo 1 Determinar as Variáveis de Decisão As variáveis de decisão representam cada modalidade física oferecida na academia Núcleo e que foram estudados pelo grupo X1 Número de alunos de MUSCULAÇÃO X2 Número de alunos de SPINNING X3 Número de alunos de ABDÔMEN X4 Número de alunos de FISIOTERAPIA X5 Número de alunos de RPG Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional 4 A quarta restrição diz respeito a quantidade de alunos de abdômen que a empresa está capacitada a receber X3 40 5 A quinta restrição diz respeito a quantidade de alunos da fisioterapia que a empresa está capacitada a receber X4 25 6 A sexta restrição diz respeito a quantidade de alunos de RPG que a empresa está capacitada a receber X5 30 7 A sétima restrição diz respeito a quantidade de alunos da fisioterapia e RPG que podem realizar as suas aulas ao mesmo tempo visto que essas duas atividades são realizadas no mesmo local X4 X5 30 Em síntese temse Max Z 35X1 40X2 25X3 50X4 60X5 sujeito a X1 X2 X3 X4 X5 120 X1 80 X2 20 X3 40 X4 25 X5 30 X4 X5 30 X1 X2 X3 X4 X5 0 Passo 2 Determinar da Função Objetivo A soma das receitas multiplicadas pela quantidade de alunos que realizaram a atividade irá resultar na receita total da academia no período Para isso segue a função objetivo que maximizará essa receita Max Z 35X1 40X2 25X3 50X4 60X5 Passo 3 Construção das restrições do Problema 1 A primeira restrição é relacionada a quantidade máxima de alunos que a empresa está capacitada a receber no período Para isso foi elaborada a seguinte restrição X1 X2 X3 X4 X5 120 2 A segunda restrição diz respeito a quantidade de alunos da musculação que a empresa está capacitada a receber X1 80 3 A terceira restrição diz respeito a quantidade de alunos do spinning que a empresa está capacitada a receber X2 20 16 Modelagem Matemática Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Modelo 4 Alocação de Pessoas Um hospital trabalha com um atendimento variável em demanda durante as 24 horas do dia As necessidades distribuemse segundo a tabela abaixo O horário de trabalho de um enfermeiro é de oito horas O enfermeiro que entra no turno 4 recebe uma gratificação de 50 sobre o salário e o enfermeiro que entra no turno 5 trabalha somente quatro horas Elaborar o Modelo de Programação Linear inteira que minimiza o gasto com a mão de obra Horário de alocação de enfermeiros Turno de trabalho horário Nº mínimo de enfermeiros 1 8h 12h 50 2 12h 16h 60 3 16 20h 50 4 20h 0h 40 5 0h 4h 30 6 4h 8h 20 17 Modelagem Matemática Construção do Modelo Matemático A maioria dos enfermeiros possui o mesmo salário sendo possível ponderar os salários dos enfermeiros dos turnos 4 e 5 na exata medida da diferença da compensação salarial Passo 1 Escolha da variável de decisão xi número de enfermeiros que entra em serviço no início do turno i i 1 2 6 Passo 2 Elaboração da função objetivo O objetivo será minimizar os enfermeiros trabalhando em um dia corrigindose o turno 4 em 15 e o turno 5 em 2 para levar em conta a diferente despesa da contratação de enfermeiros nos turnos Minimizar fx x1 x2 x3 15x4 2x5 x6 Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Em síntese temse Minimizar fx x1 x2 x3 15x4 2x5 x6 sujeito a x6 x1 50 x1 x2 60 x2 x3 50 x3 x4 40 x4 x5 30 x6 20 xi ℤ Passo 3 Formulação das restrições de turno Os ciclos de turno se complementam e seus funcionários por fazer para de dois turnos em função de seu período de trabalho Restrição associada aos 6 turnos 1º Turno x6 x1 50 2º Turno x1 x2 60 3º Turno x2 x3 50 4º Turno x3 x4 40 5º Turno x4 x5 30 6º Turno x6 20 4 Condições de integralidade e não negatividade x1 x2 x3 x4 x5 x6 Z conjunto dos inteiros positivos 18 Modelagem Matemática Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional O Governo subsidia a venda de alimentos como arroz feijão carne bovina e açúcar Sabemos que os alimentos subsidiados possuem os nutrientes que estão faltando no cardápio das pessoas conforme observado na tabela abaixo O interesse do Governo é que pessoas tenham uma dieta equilibrada que atenda aos valores mínimos dos nutrientes mas ao mesmo tempo que tenha o menor custo possível Como um modelo poderia ser construído de forma a capturar todos os interesses e restrições envolvidas Modelo 5 Problema da dieta Suponha que o Governo Federal tenha feito uma pesquisa numa comunidade desfavorecida do interior do Brasil e tenha identificado doenças desencadeadas especialmente devido à deficiência de vitaminas A e C cálcio e ferro A falta de vitamina A provoca problemas de visão e falta de defesa contra infecções enquanto a falta de vitamina C provoca inflamações gengivais e perda de dentes Falta de cálcio provoca espasmos musculares e tendência a osteoporose Finalmente falta de ferro provoca anemia comprometimento da capacidade de aprendizado e diminuição do rendimento no trabalho 19 Modelagem Matemática Item Unid Necessidade diária Composição por 100 g de parte comestível carne arroz feijão açúcar alface laranja Val energético cal 3200 225 364 337 385 15 42 Vitamina A mg 750 7 2 87 13 Vitamina C mg 70 3 12 59 Ferro mg 10 29 13 76 01 13 07 Cálcio mg 650 11 9 86 43 34 Preço 050 018 020 016 030 010 Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Restrição 4 Associado ao valor mínimo de Ferro 29X113X276X301X413X507X6 10 Restrição 5 Associado ao valor mínimo de Cálcio 11X19X286X343X534X6 0 Passo 3 Determinar da Função Objetivo Min Z05X1018X202X3016X403X501X6 Em síntese temse Min Z05X1018X202X3016X403X501X6 sujeito a 225X1364X2337X3385X415X542X6 3200 7X12X387X513X6 750 3X312X559X6 70 29X113X276X301X413X507X6 10 11X19X286X343X534X6 650 X1 X2 X3 X4 X5 0 Construção do Modelo Matemático Passo 1 Escolha da variável de decisão X1 Quantidade de carne a ser consumida X2 Quantidade de arroz a ser consumida X3 Quantidade de feijão a ser consumida X4 Quantidade de açúcar a ser consumida X5 Quantidade de alface a ser consumida X6 Quantidade de laranja a ser consumida Passo 2 Elaboração as restrições do problema Restrição 1 Associado ao valor mínimo de Valor Energético 225X1364X2337X3385X415X542X6 3200 Restrição 2 Associado ao valor mínimo de Vitamina A 7X12X387X513X6 750 Restrição 3 Associado ao valor mínimo de Vitamina C 3X312X559X6 70 20 Modelagem Matemática Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Construção do Modelo Matemático Antes de determinarmos as variáveis de decisão vejamos o Fluxo de Caixa Passo 1 Determinar as Variáveis de Decisão Pergunta O quanto investir em cada mês e em cada alternativa As quantidades são representadas por 11 variáveis A1 A6 B1 B4 C1 onde por exemplo A3 significa investir em A no mês 3 Passo 2 Determinar da Função Objetivo Maximizar o montante no final do período Maximizar A610005 B410021 C110035 Modelo 6 Gestão de Capital Multiperíodo O gerente financeiro responsável por gerenciar o fluxo de caixa de uma empresa deve maximizar o retorno dos investimentos e garantir que sejam suficientes para cobrir as despesas da empresa Para os próximos seis meses há três oportunidades de investimentos A seguir o fluxo de caixa com o resultado líquido de cada mês A empresa conta 300000 em caixa Quanto investir em cada mês com o objetivo de maximizar o montante no final do período 21 Modelagem Matemática Fundo Duração meses Retorno A 1 050 B 3 210 C 6 350 Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4 Mês 5 Mês 6 5000000 1200000 2300000 2000000 4100000 1300000 Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Em sintese temse Maximizar A610005 B410021 C110035 sujeito a A1 B1 C1 250000 A110005 A2 B2 12000 A210005 A3 B3 23000 A310005 B110021 A4 B4 20000 A410005 B210021 A5 41000 A510005 B310021 A6 13000 A1 A6 B1 B4 C1 0 Restrições de Não Negatividade Passo 3 Construção das restrições do Problema A cada mês o montante disponível para investimento deve ser igual ao total das despesas mais o montante investido Logo Mês 1 300000 50000 A1 B1 C1 Mês 2 A110005 12000 A2 B2 Mês 3 A210005 23000 A3 B3 Mês 4 A310005 B110021 20000 A4 B4 Mês 5 A410005 B210021 41000 A5 Mês 6 A510005 B310021 13000 A6 22 Modelagem Matemática Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Renda e custo de cada modelo de automóvel A empresa assumiu compromissos que obrigam a fornecer 1000 modelos de 1800 cc para exportação Por outro lado dado o declínio que se tem vindo a verificar na procura interna de modelos de 1100 cc e 1800 cc o Departamento Comercial estima em 1000 e 1500 unidades as vendas máximas destes dois modelos respectivamente Como o modelo de 1400 cc tem atualmente um grande sucesso comercial não se preveem limitações quanto às suas vendas No início do período orçamental os estoques dos 3 modelos são Modelo 1100 cc 200 automóveis Modelo 1400 cc 600 automóveis Modelo 1800 cc 200 automóveis A empresa mãe Itália tem capacidade disponível para produzir o modelo de 1100 cc e acordou no fornecimento deste modelo à MOTORAUTO até um limite máximo de 500 unidades ao preço de 1000 um incluindo frete durante esse período Estabeleça um PPL que permita planejar a atividade da empresa neste período Modelo 7 Planejamento da Produção de Automóveis A MOTORAUTO Ltda fabrica 3 modelos de automóveis nas suas três fábricas Modelo de 1100 cc Modelo de 1400 cc Modelo de 1800 cc Um conflito laboral faz prever uma greve prolongada na Fábrica 1 num futuro muito próximo Para fazer face a esta situação a direção da empresa decidiu preparar um plano excepcional de produção e vendas para o próximo período orçamental pressupondo que não haverá produção na Fábrica 1 durante esse período Neste mesmo período a capacidade da Fábrica 2 é de 4000 automóveis de 1100 cc ou 3000 automóveis de 1400 cc ou 2000 automóveis de 1800 cc ou qualquer combinação apropriada destes 3 modelos Uma combinação apropriada pode ser por exemplo 2000 modelos de 1100 cc 50 de capacidade 900 modelos de 1400 cc 30 de capacidade e 400 modelos de 1800 cc 20 de capacidade Analogamente a Fábrica 3 tem capacidade para 3000 modelos de 1100 cc ou 8000 modelos de 1400 cc ou qualquer combinação apropriada destes 2 modelos não sendo o modelo de 1800 cc produzido nesta Fábrica Os preços de venda e os custos variáveis unitários em um são os seguintes 23 Modelagem Matemática Mod 1100 cc Mod 1400 cc Mod1800 cc Venda Custo 1150 1450 1800 Fábrica 2 875 1260 1450 Fábrica 3 900 1100 VALORES EM ESTOQUE Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Restrição 2 Associação a Fábrica 3 1 3000 X2 1 8000 X5 1 Restrição 3 Associação ao Mercado do modelo 1100 cc 200 X1 X2 X3 1000 X3 500 Restrição 4 Associação ao Mercado do modelo 1800 cc 1000 200 X6 2500 Passo 3 Definir a Função Objetivo do Problema Margem bruta total Z 275 X1 250 X2 150 X3 190 X4 350 X5 350 X6 Em síntese Max Z 275X1 250X2 150X3 190X4 350X5 350X6 sujeito a 0025 X1 00333 X4 005 X6 100 0033 X2 00125 X5 100 X1 X2 X3 800 X3 500 X6 800 X6 2300 X1X60 Construção do Modelo Matemático Passo 1 Definir as Variáveis de Decisão X1 N de auto do mod 1100 cc a produzir na Fábrica 2 X2 N de auto do mod 1100 cc a produzir na Fábrica 3 X3 N de auto do mod 1100 cc provenientes da Itália X4 N de auto do mod 1400 cc a produzir na Fábrica 2 X5 N de auto do mod 1400 cc a produzir na Fábrica 3 X6 N de auto do mod 1800 cc a produzir na Fábrica 2 NOTA Como informado não são produzidos modelos de 1800 cc na fábrica 3 VER TABELA Passo 2 Definir as Restrições do Problema Restrição 1 Associação a Fábrica 2 1 4000 X1 1 3000 X4 1 2000 X6 1 24 Modelagem Matemática Professor Celso Luiz Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Plano cartesiano A restrição c não pode ser representada imediatamente Para podermos fazêlo devemos nos lembrar da representação de uma reta em R2 Se consideramos x1 a variável independente e x2 a variável dependente x2 sendo uma função de x1 a equação de uma reta é dada por x2 ax1 b em que a é o coeficiente angular da reta e b é o coeficiente linear Como temos uma inequação do tipo menor ou igual todos os pontos abaixo e sobre a reta satisfazem a restrição Portanto podemos analiticamente definir x1 2x2 9 2x2 9 x1 x2 9 2 1 2 x1 Quando envolve apenas duas variáveis de decisão a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente Considere o seguinte problema de programação linear Maximizar Z 5x1 2x2 sujeito a x1 3 a x2 4 b x1 2x2 9 c x1 x2 0 d Para resolvêlo graficamente o primeiro passo é estabelecer os dois eixos que irão representar as quantidades de x1 e x2 O passo seguinte é encontrar o conjunto de soluções viáveis do problema Algumas dessas restrições são de fácil interpretação As restrições a b e d impõem o conjunto de soluções viáveis representado na figura ao lado Professor Celso Luiz 25 Análise gráfica de um Modelo Matemático Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional Um procedimento simples porém não muito eficiente consiste em atribuir valores a Z tornando a funçãoobjetivo uma equação de uma reta Por um processo de tentativa e erro podemos chegar ao valor ótimo verificando a existência de pontos da reta que fazem parte do conjunto de soluções viáveis Ao encontrarmos o maior valor de Z possível estaremos encontrando o valor máximo para a funçãoobjetivo sob esse conjunto de restrições Esse procedimento pode ser representado como mostrado na simulação do gráfico ao lado Graficamente podemos representar o conjunto de soluções viáveis por meio da região ao lado Maximizar Z 5x1 2x2 sujeito a x1 3 a x2 4 b x1 2x2 9 c x1 x2 0 d Professor Celso Luiz 26 Análise gráfica de um Modelo Matemático Notas de aula Conceitos de Pesquisa Operacional