Lista de Exercicios 1 - Cálculo II - Derivadas Parciais e Pontos Críticos

Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Matemática e Estatística Disciplina Cálculo II Período 2024II Código 0109299 Turma 03 Professor Ditter Adolfo Yataco Tasayco 4 Lista de Exercícios 1 Calcular fxx fxy fyx e fyy onde a fxy ex x cosy y seny b fxy ln x2 y2 arctan yx 2 Considere a função fxy x3 y xy3 x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 Calcular caso existam os valores de 2 f x y 00 e 2 f y x 00 3 Considere a função fxy ex ey xy x2 y2 se xy 00 2 se xy 00 Calcular caso existam os valores de fxx 00 e fyy 00 4 Seja fxy ex sen y Considere Fst f gst hst onde g e h são funções de classe C2 em R2 tais que g11 0 h11 π gs 11 1 hs 11 3 gt 11 2 ht 11 1 Além disso gst 11 2 e hst 11 3 Determine o valor de 2 F t s 11 5 Seja z fxy uma função de classe C2 Considere Fr θ f r cos θ r sen θ Calcule Frr e Fθθ em função de fx fy fxx fxy fyx e fyy 6 Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções a fxy x2 xy y2 6x 2 b fxy x3 y3 15xy c fxy x3 y3 9x2 3y2 15x 9y d fxy xy x3 y2 e fxy 4xy2 2x2 y x f fxy x2 xy y2 1x 1y RESPOSTAS 1 a fxx ex x 2 cosy y seny fxy ex x 2 seny y cosy fyx fyy ex y seny x 2 cosy b fxx 2y2 2xy 2x2 x2 y22 fxy y2 x2 4xy x2 y22 fyx fyy 2x2 2xy 2y2 x2 y22 2 2 f x y 00 1 2 f y x 00 1 3 fxx 00 1 fyy 00 1 4 10 5 Frr cos2 θ fxx 2 sen θ cos θ fxy sen2 θ fyy Fθθ r2 cos2 θ fyy sen2 θ fxx 2 sen θ cos θ fxy r sen θ fy cos θ fx Para simplificar notações fx fy fxx fxy fyy estão avaliados em r cos θ r sen θ 6 a 42 é um ponto de mínimo relativo b 00 é um ponto de sela e 55 é um ponto de mínimo relativo c 11 e 53 são pontos de sela 13 é um ponto de mínimo relativo 51 é um ponto de máximo relativo d 00 é um ponto de sela e 16 112 é um ponto de máximo relativo e 0 12 e 0 12 são pontos de sela f 13 13 é um ponto de mínimo relativo