Slide - Aula 13 - Heterocedasticidade - Estatística Econômica e Introdução à Econometria - 2023-2

Métodos Econométricos Prof. Paulo Sérgio Coelho Aula 13: Heterocedasticidade Heterocedasticidade  Variância dos resíduos diferente, para diferentes porções da amostra  Qual a natureza da heterocedasticidade?  Quais são suas consequências práticas?  Como é detectada?  Quais medidas corretivas? Prof. Paulo Sérgio Coelho 2 Homocedasticidade X Heterocedasticidade  O que ocorre com a poupança quando aumenta a renda?  Parâmetros da regressão (principalmente o de inclinação)  O que ocorre com a minha capacidade preditiva quando aumenta a renda? Prof. Paulo Sérgio Coelho 3   2 2 1,2,..., E ui i n     2 2 1,2,..., i i E u i n   A natureza da heterocedasticidade Exemplo 1  Erros diminuem com o tempo ou tornam-se mais consistentes com o treino. Modelos de erro-aprendizagem Prof. Paulo Sérgio Coelho 4 A natureza da heterocedasticidade Exemplo 2  O aumento da renda está associado a mais renda discricionária e, portanto, mais opções para escolher como aplicar a renda.  O mesmo se aplica a empresas com lucros maiores, até porque são mais maduras Prof. Paulo Sérgio Coelho 5 A natureza da heterocedasticidade Exemplo 3  Pode ser consequência de dados discrepantes Prof. Paulo Sérgio Coelho 6 Em situações com valores tão extremos é difícil manter a hipótese de homocedasticidade 0 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 Y X Chile A natureza da heterocedasticidade Exemplo 4  Erros de especificação (variável omitida) também podem ser causadores da heterocedasticidade  Percepções x Despesa com Publicidade Prof. Paulo Sérgio Coelho 7 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 5 10 15 20 resíduo Resíduos da regressão (= observados - ajustados IMPRESSION) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 5 10 15 20 resíduo Resíduos da regressão (= observados - ajustados IMPRESSION) 1 2 i i Y X     2 1 2 3 i i i Y X X       A natureza da heterocedasticidade Exemplos...  Assimetria na distribuição de um ou mais regressores  Renda, riqueza e educação  Transformação incorreta dos dados  Transformações proporcionais ou de primeira diferença  Forma funcional incorreta  Linear X Log-linear  A heterocedasticidade é mais comum em dados de corte transversal, onde diferentes entidades econômicas (com significativa diferença em suas características) são observadas Prof. Paulo Sérgio Coelho 8 Remuneração (produção de não duráveis) por número de funcionários Prof. Paulo Sérgio Coelho 9 Em média, empresas maiores pagam mais Mas a variabilidade também aumenta Desvio padrão da remuneração X remuneração média Prof. Paulo Sérgio Coelho 10 O termo de variância do estimador  Se para cada i, haverá identidade (homocedasticidade)  Caso contrário, o estimador por MQO, , não é mais MELNT:  Continua sendo linear e não tendencioso, entretanto já não é o melhor  É possível obter um estimador que também seja linear e não tendencioso, mas que tenha a variância menor Prof. Paulo Sérgio Coelho 11 Na homocedasticidade Na heterocedasticidade   2 2 2 ˆ var ix     1 2 i i i Y X u          2 2 2 2 2 ˆ var i i i x x      2 2 i   2ˆ Método dos Mínimos Quadrados Generalizados MQG  As observações com maior dispersão deveriam ter um peso menor na estimação  Trazem mais incerteza do que as observações com menor dispersão  MQO não propicia isso, mas fazendo: Prof. Paulo Sérgio Coelho 12 1 2 i i i Y X u      1 0 2 i i i i Y X X u      sendo X0i = 1 para todo i 0 1 2 i i i i i i i i Y X X u                            sendo i conhecido para todo i * * * * * * 1 0 2 i i i i Y X X u      notação simplificada enfatizando as variáveis transformadas Correção da variância  Ou seja, a variância do termo de erro transformado 𝑢𝑖 ∗ agora é homecedástica  e estimados por MQO serão MELNT Prof. Paulo Sérgio Coelho 13     2 2 * * var i i i i u u E u E            2 2 1 i i  E u  se for conhecido i2    2 2 1 i i      2 2 i i E u  já que 1  * * 1 2   Diferença entre MQO e MQG  MQG é uma estratégia de correção do MQO para que alguma hipótese seja atendida  MQG desta forma funciona como MQP – Mínimos Quadrados Ponderados  O peso wi dá menos importância para observações com maior variância (menor confiança) Prof. Paulo Sérgio Coelho 14 O MQO minimiza E o MQG, 2 2 1 2 ˆ ˆ ( ) i i i u Y X        2 2 1 2 ˆ ˆ ( ) i i i i i wu w Y X        2 1/ i i w   sendo MQO na presença de heterocedasticidade  É possível mostrar que  Logo os testes t e F provavelmente darão resultados imprecisos, rejeitando H0 mais frequentemente do que o correto  Além disso, na presença de heterocedasticidade o estimador 𝜎2 é tendencioso  O uso dos procedimentos comuns de teste apesar da heterocedasticidade, quaisquer conclusão ou inferência poderão estar equivocadas Prof. Paulo Sérgio Coelho 15     * 2 2 ˆ ˆ var var    Detecção da Heterocedasticidade Métodos Informais  Natureza do problema  Dados envolvendo unidades heterogêneas geralmente apresentarão heterocedasticidade  Isso geralmente ocorre com dados de corte transversal  Análise Gráfica  Os resíduos da regressão estimada por MQO (sem suposição da heterocedasticidade) podem ajudar a investigar a hipótese de heterocedasticidade  O uso de 𝑢 𝑖 ao invés de 𝑢𝑖 é uma restrição técnica, mas se a amostra for grande é uma substituição razoável  Os gráficos são de 𝑢 𝑖 2 contra 𝑌 𝑖 e contra Xi Prof. Paulo Sérgio Coelho 16 Resíduos (ao quadrado) contra os valores estimados da variável dependente Prof. Paulo Sérgio Coelho 17 Único homocedástico Resíduos (ao quadrado) contra os valores de uma das variáveis regressoras Prof. Paulo Sérgio Coelho 18 Único homocedástico Detecção da Heterocedasticidade Métodos Formais  Teste de Park (1976)  A significância de  sugere heterocedasticidade  Duas etapas: estimar o MQO para ter os e então estimar o modelo sugerido  Este método deve ser usado apenas como exploratório pois apresenta falhas metodológicas Prof. Paulo Sérgio Coelho 19 2 2 iv i i X e    Suposição 2 2 ln ln ln i i i X v       ou Como não é conhecido, a sugestão é usar como proxy e calcular a seguinte regressão: 2 2 ln ˆ ln ln ln i i i i i u X v X v           ˆiu i2  ˆiu Detecção da Heterocedasticidade Métodos Formais  Teste de Glejser (1969)  Semelhante ao teste de Park, usa as seguintes formulas funcionais:  A significância de  sugere heterocedasticidade  Duas etapas: estimar o MQO para ter os e então estimar o modelo sugerido  Este modelo deve ser usado apenas como exploratório pois apresenta falhas metodológicas (heterocedasticidade em vi) Prof. Paulo Sérgio Coelho 20 1 2 i i i u X v      ˆiu 1 2 i i i u X v      1 2 1 i i i u v X      1 2 1 i i i u v X      1 2 i i i u X v      2 1 2 i i i u X v      Detecção da Heterocedasticidade Métodos Formais  Teste de correlação por ordem de Spearman 1. Ajuste a regressão aos dados em Y e X e obtenha os 2. Verifique a posição de cada observação quando ordenada pelos módulos dos resíduos, bem como por Xi (ou Yi) (ordem crescente ou decrescente) e calcule di = diferença de posições e então calcule o coeficiente de correlação por ordem: 3. Assumindo a hipótese nula de que o coeficiente de ordem populacional seja zero (sem heterocedasticidade), sendo n > 8, conduz-se o teste: Prof. Paulo Sérgio Coelho 21 iu   2 2 1 6 1 i s d r n n             2 2 1 s s r n t r    com gl = n – 2 Teste de correlação por ordem de Spearman Exemplo  Estimando o modelo onde retorno esperado é explicado pelo risco (desvio padrão) de um portifólio: Prof. Paulo Sérgio Coelho 22 1 2 i i E        110 1 6 0,3333 10 100 1 sr           0,3333 8 0,9998 1 0,1110 t    Teste de Goldfeld Quandt  Popular, aplicável quando se supõe que 𝜎𝑖 2 relaciona-se com uma dos regressores Em 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑥𝑖 + 𝑢𝑖 Supõe-se, por exemplo, que 𝜎𝑖 2 = 𝜎2𝑋𝑖 2  Etapas: 1. Ordenar crescentemente as observações de acordo com os valores de 𝑋𝑖 2. Omitir 𝑐 observações centrais e separar 𝑛 − 𝑐 ∕ 2 menores observações das 𝑛 − 𝑐 ∕ 2 maiores, gerando dois grupos 3. Ajustar as regressões MQO separadas para os dois grupos acima, obtendo SQR1 e SQR2, sendo SQR1 a soma dos quadrados dos resíduos do grupo com menor 𝜎2. Estas somas têm 𝑛 − 𝑐 2 − 𝑘 graus de liberdade Prof. Paulo Sérgio Coelho 23 Teste de Goldfeld Quandt Teste F  Hipóteses:  𝐻0: 𝜎1 2 = 𝜎2 2 𝐻1: 𝜎1 2 ≠ 𝜎2 2, onde 𝜎1 2 é a variância do grupo de menor variância e 𝜎2 2, do de maior.  Estatística de teste:  𝐹 = 𝑆𝑄𝑅2 𝑔𝑙 𝑆𝑄𝑅1 𝑔𝑙  Região de Rejeição de 𝐻0:  Se 𝐹 > 𝐹𝛼, considerando gln = gld = 𝑛 − 𝑐 2 − 𝑘 Prof. Paulo Sérgio Coelho 24 Teste de Goldfeld Quandt Exemplo  Dados:  𝑌: gastos de consumo ($)  𝑋: renda ($)  𝑛 = 30 famílias Prof. Paulo Sérgio Coelho 25 Aula 13 ConsumoRenda.gdt Modelo validado? Indícios de Heterocedasticidade? Teste de Goldfeld Quandt Exemplo Prof. Paulo Sérgio Coelho 26 Ordenação natural Ordenação por valores crescentes de 𝑋 Omissão de 𝑐 = 4 observações centrais Grupo com 𝑛 − 𝑐 2 = 13 observações Grupo com 𝑛 − 𝑐 2 = 13 observações  Para realizar o teste Definindo sub-amostras no Gretl Prof. Paulo Sérgio Coelho 27 Regressões nos grupos  Então:  SQR1=377,17  SQR2=1.536,80  gl = 𝑛 − 𝑐 2 − 𝑘 = 11  Então:  𝐹 = 1536,8 11 377,17∕11 = 4,07  𝐹0,05 = 2,02  Logo, 𝐻0: 𝜎1 2 = 𝜎2 2 é rejeitada, e há heterocedasticidade. Prof. Paulo Sérgio Coelho 28 Teste de White 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖  Etapas: 1. Tomar os resíduos estimados 𝑢 𝑖 2. Estimar a regressão auxiliar: 𝑢 𝑖 2 = 𝛼1 + 𝛼2X2i + 𝛼3𝑋3𝑖 + 𝛼4𝑋2𝑖 2 + 𝛼5𝑋3𝑖 2 + 𝛼6𝑋2𝑖𝑋3𝑖 + 𝑣𝑖 3. Sob H0 a homocedasticidade, então 𝑛 × 𝑅2~𝜒𝑔𝑙 2 , onde gl é a quantidade de termos regressores, no exemplo sob consideração, gl=5 4. Região de rejeição (heterocedasticidade): 𝑛 × 𝑅2 > 𝜒𝛼;𝑔𝑙 2 Prof. Paulo Sérgio Coelho 29 Teste de White Gretl Prof. Paulo Sérgio Coelho 30 Não rejeita H0 com 𝛼 = 0,05, mas rejeita com 𝛼 = 0,10 𝜒0,05 2 = 5,99 𝜒0,10 2 = 4,61 Outros Testes  Breush-Pagan-Godfrey  Teste de Koenker-Basset (KB)  Os testes são diversos e aplicados a casos mais específicos (com maior potência) ou mais gerais (com menor potência).  Ver artigo de John Lyon e Ching-Ling Tsai (1996) para comparação Prof. Paulo Sérgio Coelho 31 Medidas Corretivas  Se i é conhecido, pode-se usar o Método dos Mínimos Quadrados Ponderados:  Se i é desconhecido, pode-se assumir alguma hipótese de comportamento conjunto do i e Xi (MQG) Prof. Paulo Sérgio Coelho 32 * * 1 2 ˆ 1 ˆ ˆ i i i i i i i Y X u                 Variância do erro é proporcional ao quadrado do regressor  𝐸 𝑢𝑖 2 = 𝜎2𝑋𝑖 2  Solução: 𝑌𝑖 𝑋𝑖 = 𝛽1 1 𝑋𝑖 + 𝛽2 + 𝑢𝑖 𝑋𝑖  De fato se obtem a homocedasticidade pois 𝐸 𝑢𝑖 𝑋𝑖 2 = 1 𝑋𝑖 2 𝑢𝑖 2 = 𝜎2  De forma semelhante, se a variância do erro for porporcional ao quadrado do valor esperado da variável dependente: Hipótese 1 Prof. Paulo Sérgio Coelho 33 𝐸 𝑢𝑖 2 = 𝜎2 𝐸 𝑌𝑖 2 𝑌𝑖 𝑌 𝑖 = 𝛽1 1 𝑌 𝑖 + 𝛽2 𝑋𝑖 𝑌 𝑖 + 𝑢𝑖 𝑌 𝑖 Visualmente tem este aspecto  Variância do erro é proporcional ao valor do regressor  𝐸 𝑢𝑖 2 = 𝜎2𝑋𝑖  Solução: 𝑌𝑖 𝑋𝑖 = 𝛽1 1 𝑋𝑖 + 𝛽2 𝑋𝑖 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 𝑋𝑖  Que é equivalente a: 𝑌𝑖 𝑋𝑖 = 𝛽1 1 𝑋𝑖 + 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 𝑋𝑖 Hipótese 2 Prof. Paulo Sérgio Coelho 34 Visualmente tem este aspecto Medidas Corretivas i desconhecido Estimadores robustos de White  Vimos que na presença de heterocedasticidade os estimadores de variância dos 𝛽𝑘 são dados por: 𝑣𝑎𝑟 𝛽 𝑘 = 𝑥𝑘 2 𝜎𝑖 2 𝑥𝑘 2 2  Como 𝜎𝑖 2 não são diretamente observáveis, White sugere usar 𝑢 𝑖 2: 𝑣𝑎𝑟 𝛽 𝑘 = 𝑥𝑘 2 𝑢 𝑖 2 𝑥𝑘 2 2  Consistente, converge para a estimativa MQO em grandes amostras  Os erros padrão corrigidos podem ser maiores ou menores que os estimados por MQO Prof. Paulo Sérgio Coelho 35 Estimadores robustos de White Gretl Prof. Paulo Sérgio Coelho 36 (5,23139) (0,0286167) Os originais eram: