Slide - Aula 10 - Regressão Múltipla - Inferência - Estatística Econômica e Introdução à Econometria - 2023-2

Métodos Econométricos Prof. Paulo Sérgio Coelho Aula 10: Regressão Múltipla: inferência Inferência sobre parâmetros individuais  Permanecem idênticos:  Intervalos de Confiança 𝛽 𝑖 − 𝑡𝛼∕2 × 𝜎 𝛽𝑖 ; 𝛽 𝑖 + 𝑡𝛼∕2 × 𝜎 𝛽𝑖  Testes de hipóteses Rejeita H0 se 𝑡stat > 𝑡𝛼 2 (bilateral) tstat < −tα ou 𝑡stat > 𝑡𝛼 (unilateral)  Salvaguardando que 𝑔𝑙 = 𝑛 − 𝑘 Prof. Paulo Sérgio Coelho 2 Exemplo  Dados Hipotéticos  Y: gastos de consumo  X2: renda  X3: riqueza Prof. Paulo Sérgio Coelho 3 Aula 10 consumo hipotetico.gretl Exemplo - modelo Prof. Paulo Sérgio Coelho 4 1 2 2 3 3 ˆY X X       Intervalo de Confiança Cálculos  95% para 𝛽2: 𝛽 2 − 𝑡0,025 × 𝜎 𝛽2 ; 𝛽 2 + 𝑡0,025 × 𝜎 𝛽2 → 𝛽 2 ± 𝑡0,025 × 𝜎 𝛽2  𝛽 2 = 0,9415  𝜎 𝛽2 = 0,8229  𝑡0,025 = 2,3646 0,9415 ± 2,3646 × 0,8229 0,9415 ± 1,9458 0,9415 − 1,9458 ; 0,9415 + 1,9458 −1,0043 ; 2,8873 Prof. Paulo Sérgio Coelho 5 Intervalo de Confiança Gretl Prof. Paulo Sérgio Coelho 6 Teste de Hipóteses Bilateral Cálculos  (𝛼 = 0,05)  𝐻0: 𝛽3 = 0,1 𝐻1: 𝛽3 ≠ 0,1  Região de Rejeição de 𝐻0: 𝑡 > 𝑡0,025;7  𝑡 = 𝛽 3−0,1 𝜎 𝛽3 = −0,0424−0,1 0,0807 = −1,7645  𝑡0,025;7 = 2,3646  Conclusão: não rejeita 𝐻0 Prof. Paulo Sérgio Coelho 7 Teste de Hipóteses Unilateral Cálculos  (𝛼 = 0,05)  𝐻0: 𝛽1 ≥ 30 𝐻1: 𝛽1 < 30  Região de Rejeição de 𝐻0: t < −𝑡0,05;7  𝑡 = 𝛽 1−30 𝜎 𝛽1 = 24,7757−30 6,7520 = − 5,2243 6,7520 = −0,7737  𝑡0,05;7 = 1,8946  Conclusão: não rejeita 𝐻0 Prof. Paulo Sérgio Coelho 8 A significância geral do modelo  A hipótese de que o modelo não apresenta significância é equivalente à hipótese de que os coeficientes angulares sejam simultaneamente iguais a zero:  Entretanto, se então e depende da relação entre e Prof. Paulo Sérgio Coelho 9 0 2 3 : 0 H         2 2 3 3 ˆ ˆ 2 /2 2 2 /2 ˆ ˆ 3 /2 3 3 /2 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 P t t P t t                                          2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 /2 2 2 /2 3 /2 3 3 /2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e P t t t t                                 2ˆ 3ˆ < 1 − 𝛼 Análise da Variância Prof. Paulo Sérgio Coelho 10 STQ = SQE + SQR Soma Total de Soma dos Quadrados Soma de Quadrados Quadrados Explicados dos Resíduos Na hipótese de normalidade dos resíduos e se H0 é 2 = 3 = 0 então Segue uma distribuição F com 2 graus de liberdade no numerador e (n – 3) graus de liberdade no denominador 𝐹 = 𝑀𝑆𝐸 𝑀𝑆𝑅 = 𝑆𝑄𝐸 𝑘 − 1 𝑆𝑄𝑅 𝑛 − 𝑘 Formalizando  Em um modelo com k variáveis (k – 1 regressores e a variável dependente): 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 + 𝑢𝑖  A hipótese de não significância é: 𝐻0: 𝛽2 = 𝛽3 = ⋯ = 𝛽𝑘 = 0  E a hipótese de significância é: H1: nem todos os coeficientes angulares são simultaneamente iguais a zero  A estatística 𝐹 = 𝑀𝑆𝐸 𝑀𝑆𝑅 = 𝑆𝑄𝐸 𝑔𝑙𝑛 𝑆𝑄𝑅 𝑔𝑙𝑑 = 𝑆𝑄𝐸 𝑘 − 1 𝑆𝑄𝑅 𝑛 − 𝑘  Tem Região de Rejeição: 𝐹 > 𝐹𝛼(𝑘 − 1; 𝑛 − 𝑘) Prof. Paulo Sérgio Coelho 11 A estatística F em termos do R2 Prof. Paulo Sérgio Coelho 12     / 1 / 1 SQE k n k SQE F SQR n k k SQR       1 n k SQE k STQ SQE       / 1 1 / n k SQE STQ k SQE STQ     2 2 1 1 n k R k R           2 2 / 1 1 / R k R n k     Por exemplo, considere uma regressão com 190 observações, tendo 3 regressores, e onde o R2 foi de 0,1092. • Este valor pode ser considerado baixo? • Qual o valor de F? • E F0,05? 7,6 2,65 Logo, rejeita-se H0 de que o modelo não é significante! Exemplo - modelo Prof. Paulo Sérgio Coelho 13 1 2 2 3 3 ˆY X X       Exemplo - modelo Prof. Paulo Sérgio Coelho 14 1 2 2 ˆY X     Exemplo - modelo Prof. Paulo Sérgio Coelho 15 1 3 3 ˆY X     Exemplo  O que ocorre? Prof. Paulo Sérgio Coelho 16 Teste de Significância do Modelo Prof. Paulo Sérgio Coelho 17 𝑆𝑄𝐸 𝑆𝑄𝑅 𝑀𝑆𝐸 𝑀𝑆𝑅 Regressão Múltipla Inferências comuns nos parâmetros  Testes t:  Testar coeficientes individuais;  Testes F 1. Testar a significância geral do modelo, ou seja, descobrir se todos os coeficientes angulares são simultaneamente iguais a zero; 2. Testar de dois ou mais coeficientes são iguais entre si; 3. Testar se os coeficientes satisfazem certas restrições; Prof. Paulo Sérgio Coelho 18 Apresentação dos dados – modelo múltiplo  Regressão da mortalidade infantil (CM) contra o Produto Nacional Bruto per capita (PGNP) e a taxa de alfabetização feminina (FLR), para uma amostra de 64 países:  Assumindo a hipótese de normalidade (ou para amostras grandes), intervalos de confiança e testes de hipótese sobre cada parâmetro isolado do modelo podem ser realizados, considerando gl = n – k Prof. Paulo Sérgio Coelho 19 Arquivo: Aula 08 Mortalidade Infantil.gretl Contribuição incremental ou marginal de um regressor  Se primeiro fizermos uma regressão simples, digamos com a variável de produto (PGNP)  E depois inserirmos uma segunda variável, a taxa de alfabetização feminina (FLR), é razoável se perguntar: 1. Qual a contribuição marginal da FLR, sabendo que o PFNP já estava no modelo? 2. A contribuição incremental da FLR é estatisticamente significativa? 3. Qual o critério para acrescentar variáveis ao modelo?  Podemos responder com a técnica ANOVA, alterada para incluir esta análise incremental Prof. Paulo Sérgio Coelho 20 A regressão simples Prof. Paulo Sérgio Coelho 21 A regressão múltipla Prof. Paulo Sérgio Coelho 22 ANOVA incremental Prof. Paulo Sérgio Coelho 23 SQE devido apenas ao PGNP SQE devido ao acréscimo da FLR SQE devido tanto a PGNP quanto à FLR SQR STQ 60.449,5 257.362 196.912,5 106.316 363.678 1 2 1 61 63 60.449,5 128.681 196.912,5 1.742,89 Fonte de variação SQ gl MSQ H0: o beta para FLR é zero 196.912,5 /1 196.912,5 112,98 106.316 / 61 1.742,89 F     1;61 3,998 F  valor p 1,64031e-015 Analisando a entrada de X3 depois da entrada de X2 Prof. Paulo Sérgio Coelho 24 Fonte de variação SQ gl MSQ SQE devido apenas a X2 SQE devido ao acréscimo de X3 SQE devido a X2 e X3 SQR     2 4 novo velho / gl / gl SQE SQE / quantidade de novos regressores / quantidade de parâmetros no novo modelo novo Q F Q SQR n     Total H0: 3 = 0 Para avaliar a contribuição incremental de X3, depois de levar em conta a contribuição de X2: Em termos de R2  Também é possível realizar o mesmo teste usando os valores de R2 ao invés dos SQE e SQR: Prof. Paulo Sérgio Coelho 25           2 2 novo velho 2 novo 2 2 novo velho 2 novo / gl 1 / gl / quantidade de novos regressores 1 / quantidade de parâmetros no novo modelo R R F R R R R n        Usando o Gretl  É possível medir o efeito da entrada de uma nova variável a partir de um modelo simples ou a retirada de uma variável já presente no modelo múltiplo: Prof. Paulo Sérgio Coelho 26 Usando o Gretl  É possível medir o efeito da entrada de uma nova variável a partir de um modelo simples ou a retirada de uma variável já presente no modelo múltiplo: Prof. Paulo Sérgio Coelho 27 Usando o Gretl  O resultado é o mesmo: Prof. Paulo Sérgio Coelho 28 A escolha ad hoc  Quando o fundamento teórico é fraco, alguns pesquisadores escolhem o modelo que proporciona o R2 ajustado mais alto  Incluindo uma variável:  O R2 ajustado aumenta sempre que a estatística t em módulo for maior do que um, ou quando F = t2 for maior do que um  O teste F permite medir a significância estatística deste aumento Prof. Paulo Sérgio Coelho 29 Teste de restrições de igualdade linear  Sendo Y = produção, X2 = insumo trabalho e X3 = insumo capital, a função de produção de Cobb-Douglas é:  A teoria econômica sugere que se houver retornos constantes de escala então: Prof. Paulo Sérgio Coelho 30 3 2 1 2 3 iu i i i Y X X  e    0 2 2 3 3 ln ln ln i i i i Y X X u        ou em que 0 ln 1    2 3 1     Teste de restrições de igualdade linear Abordagem do teste t  Observação: uma desigualdade não pode ser testada usando esta metodologia, é necessário usar técnicas de otimização – programação matemática Prof. Paulo Sérgio Coelho 31 H0: 2 + 3 = 1 H1: 2 + 3 ≠ 1             2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ep var var 2cov , t                    Mínimos Quadrados Restritos  O teste t é complexo e funciona como um exame post mortem  Alternativa: incorporar desde o início a restrição:  E então: Prof. Paulo Sérgio Coelho 32 2 3 1     2 3 1     3 2 1              0 3 2 3 3 0 2 3 3 2 ln 1 ln ln ln ln ln i i i i i i i i Y X X u X X X u                  2 0 3 3 2 ln ln ln ln i i i i i Y X X X u            2 0 3 3 2 ln / ln / i i i i i Y X X X u      ou ou Exemplo: Cobb Douglas Prof. Paulo Sérgio Coelho 33 Modelo sem restrição: 0 2 2 3 3 ln ln ln i i i i Y X X u        Modelo com restrição:     2 0 3 3 2 ln / ln / i i i i i Y X X X u      Arquivo Aula 10 CobbDouglas.gretl Sobre a economia mexicana: Exemplo: modelos estimados Prof. Paulo Sérgio Coelho 34 SR: Sem Restrição R: Restrito Abordagem do teste F Prof. Paulo Sérgio Coelho 35     / / R SR SR SQR SQR m F SQR n k    ou       2 2 2 / 1 / SR R SR R R m F R n k     R SR SQR  SQR 2 2 SR R R R  Atenção: o uso das expressões com base no R2 só pode ser feito quando a variável dependente for a mesma (mesma amostra, mesmo STQ) Sendo H0 a favor do modelo restrito, valendo qualquer conjunto de restrições lineares sobre os parâmetros, pois ocorre que: H0: 2 + 3 = 1 H1: 2 + 3 ≠ 1 Quantidade de restrições Região de Rejeição: 𝐹 > 𝐹𝛼 sendo gln = m e gld = n – k Teste de Hipóteses  Dados:  SQRR = 0,01662  SQRSR = 0,0136  m = 1  n = 20  k = 3  Assim, conclui-se que a economia mexicana, no período em estudo, apresentou retorno constante de escala, segundo modelo de CobbDouglas Prof. Paulo Sérgio Coelho 36     / / R SR SR SQR SQR m F SQR n k    = 0,01662 − 0,0136 1 0,0136 20 − 3 = 3,775 Sendo gln = 1 e gld = 17 temos 𝐹0,05 = 4,45 H0 não pode ser rejeitada Usando o Gretl para Restrições Lineares  A partir do modelo completo (Sem Restrição): Prof. Paulo Sérgio Coelho 37 Previsão – usando o Gretl  Considere o modelo de Regressão múltipla de demanda por frango: em que Y = consumo per capita de frango, X2 = renda real disponível per capita, X3 = preço real do frango, X4 = preço real da carne suína e X5 = preço real da carne bovina (arquivo Aula 10 Demanda Frango.gretl)  É possível usar o Gretl (ou outro software econométrico) para encontrar as previsões e os intervalos de confiança para as previsões paras as médias condicionais ou para os valores individuais de Y e exibir em um gráfico Prof. Paulo Sérgio Coelho 38 1 2 2 3 3 4 4 5 5 ln ln ln ln ln t t t t t t Y X X X X u            Previsões com o Gretl Prof. Paulo Sérgio Coelho 39 Previsão – com intervalos para valores individuais Prof. Paulo Sérgio Coelho 40 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 4,1 1960 1965 1970 1975 1980 l_Y previsão Intervalo a 95 por cento Previsão – com intervalos para as médias condicionais Prof. Paulo Sérgio Coelho 41 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 4,1 1960 1965 1970 1975 1980 l_Y previsão Intervalo a 95 por cento