Slide - Aula 9 - Regressão Múltipla - Estimação - Estatística Econômica e Introdução à Econometria - 2023-2

Métodos Econométricos Prof. Paulo Sérgio Coelho Aula 09: Regressão Múltipla: estimação Exemplo  Quanto gastar com propaganda?  Como se altera a receita total à medida que o nível de gastos com propaganda muda?  Um aumento nos gastos com propaganda elevaria a receita total?  O aumento na receita total é suficiente para justificar uma elevação nos gastos com propaganda?  O gerente também está interessado na estratégia de preços:  Reduzir os preços aumentará ou diminuirá a receita total?  Demanda inelástica x demanda elástica. Prof. Paulo Sérgio Coelho 2 O Modelo Econômico  Assumimos que a receita total, RT é linearmente relacionada com:  preço, p,  gastos em propaganda, a 𝑅𝑇 = 𝛽1 + 𝛽2𝑝 + 𝛽3𝑎  dados semanais, RT e a em milhares de unidades de moeda, e p na unidade de moeda Prof. Paulo Sérgio Coelho 3 Interpretação dos Parâmetros Intercepto  O intercepto, b1, permanece sendo:  o valor da variável dependente quando todas as variáveis explanatórias assumem valor zero;  Permanece sem interpretação econômica clara em alguns casos, mas é frequentemente incluído pois ajuda a estimação global do modelo e na previsão. Prof. Paulo Sérgio Coelho 4 Interpretação dos Parâmetros Inclinações  Demais parâmetros:  a variação no valor da variável dependente dado a mudança de uma unidade em uma variável explanatória, todas as outras variáveis mantidas constantes  b2 = a mudança em RT ($ 1000) quando p é aumentado em uma unidade ($1) e a é mantido constante, ou 𝛽2 = Δ𝑅𝑇 Δ𝑝 (𝑎 mantido constante) = 𝜕𝑅𝑇 𝜕𝑝  b2 > 0: demanda inelástica;  b2 < 0: demanda elástica. Prof. Paulo Sérgio Coelho 5 Interpretação dos Parâmetros Inclinações  O parâmetro b3 descreve a resposta da receita a mudanças no nível de gastos com propaganda; isto é,  b3 = a mudança em RT ($1000) quando a é aumentado em uma unidade ($1000), e p é mantido constante: 𝛽3 = Δ𝑅𝑇 Δ𝑎 (𝑝 mantido constante) = 𝜕𝑅𝑇 𝜕𝑎  Nós esperamos que o sinal de b3 seja positivo. Prof. Paulo Sérgio Coelho 6 Modelo Econômico multivariado  O modelo múltiplo descreve, não uma reta como o simples, mas um plano.  O plano intercepta o eixo vertical em b1. Os parâmetros b2 e b3 mensuram a inclinação do plano nas direções “eixo do preço” e “eixo da propaganda”, respectivamente. 𝑅𝑇 = 𝛽1 + 𝛽2𝑝 + 𝛽3𝑎 Prof. Paulo Sérgio Coelho 7 Modelo Econométrico  Reconhecemos que os dados semanais não seguirão uma relação linear exata: 𝐸(𝑅𝑇𝑖) = 𝛽1 + 𝛽2𝑝𝑖 + 𝛽3𝑎𝑖  Para diferenciar a receita total observada e o valor esperado da receita total, nós acrescentamos um termo de erro aleatório ao modelo: 𝑅𝑇𝑖 = 𝐸 𝑅𝑇𝑖 + 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑝 + 𝛽3𝑎 + 𝑢𝑖  O erro aleatório representa todos os fatores que fazem a receita total semanal diferir do seu valor esperado.  Ex.: clima, comportamento dos concorrentes, relatório técnicos sobre o consumo do produto em questão, etc. Prof. Paulo Sérgio Coelho 8 Modelo Clássico de Regressão Linear – MCRL Hipóteses 1. Modelo é linear nos parâmetros 2. 𝑐𝑜𝑣 𝑋2𝑖, 𝑢𝑖 = 𝑐𝑜𝑣 𝑋3𝑖, 𝑢𝑖 = 0 (ou todos 𝑋𝑖 fixos) 3. 𝐸 𝑢𝑖 𝑋2, 𝑋3, … , 𝑋𝑘 = 0 4. Homocedasticidade: 𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑖 = 𝜎2 5. Erros sem autocorrelação: 𝑐𝑜𝑣 𝑢𝑖, 𝑢𝑗 = 0 para 𝑖 ≠ 𝑗 6. 𝑛 > 𝑘 7. Todo 𝑋𝑖 deve variar 8. Nenhum par 𝑋𝑖 e 𝑋𝑗 têm relação linear exata 9. Ausência de viés de especificação Prof. Paulo Sérgio Coelho 9 Específicos da Regressão Múltipla Estimando os parâmetros  O método dos mínimos quadrados ainda é útil:  minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados de yt e seu valor esperado, ou seja, dos erros aleatórios  A mudança ocorre em função da quantidade de parâmetros do modelo:  O modelo possui 𝑘 coeficientes  Grau de liberdade: 𝑛 − 𝑘 Prof. Paulo Sérgio Coelho 10 Modelo estimado no Gretl Prof. Paulo Sérgio Coelho 11 Modelo Estimado pelo Gretl  Visão simplificada do modelo 𝑅𝑇 = 113,835 − 10,2560𝑝 + 2,67894𝑎 𝑒𝑝 3,19944 1,60069 0,11891 𝑅2 = 0,873894; 𝑛 = 78 Prof. Paulo Sérgio Coelho 12 Interpretação da estimativa  Parece que a demanda é elástica em relação ao preço:  Foi estimado que um aumento em $1 no preço levará a uma queda na receita semanal de $10.256  Foi estimado que um aumento no gasto com propaganda de $1.000 resultará em uma elevação da receita total de $2.679  Se o preço e o gasto com propaganda forem zero, a ganho de receita total seria de $113.835  Isso é obviamente incorreto  Nesse modelo, o intercepto é incluído para melhorar a capacidade de previsão e dar uma especificação matemática mais completa Prof. Paulo Sérgio Coelho 13 Usando o modelo para previsão  Para prever a receita total para um preço de $2 e um gasto com propaganda de $10.000, a previsão é dada por: 𝑅𝑇 = 113,835 − 10,2560 × 2 + 2,67894 × 10 𝑅𝑇 = 120,1124  Assim, o valor previsto da receita total para os valores específicos de p e a é aproximadamente $120.112. Prof. Paulo Sérgio Coelho 14 O problema da extrapolação  A interpretação de b2 também poderia ser:  A redução em $1 no preço levará a um aumento na receita semanal de $10.256  Porque o preço não pode ser reduzido até zero?  Obviamente que não conseguiríamos manter a elevação da receita total.  Os modelos estimados descrevem a relação entre as variáveis para valores semelhantes aos encontrados na amostra  A extrapolação dos resultados precisa ser feita com cautela. Prof. Paulo Sérgio Coelho 15 A variância do erro aleatório  O estimador de 𝜎2 por MQO é 𝜎 2 = 𝑢 𝑖 2 𝑛 − 𝑘 = 𝑆𝑄𝑅 𝑛 − 𝑘  No exemplo da rede de lanchonetes, nós temos 𝑘 = 3. A estimativa da variância do resíduo é: 𝜎 2 = 𝑆𝑄𝑅 𝑛 − 𝑘 = 2691,649 78 − 3 = 35,8886  E o erro padrão então é calculado: 𝜎 = 𝜎 2 = 38,4521 = 5,9907 Prof. Paulo Sérgio Coelho 16 Propriedades do Estimador de Mínimos Quadrados  O Teorema de Gauss-Markov: permanece válido para modelos múltiplos:  Se as hipóteses RM1-RM5 são mantidas, então os estimadores de mínimos quadrados são os melhores estimadores lineares não tendenciosos (BLUE – Best Linear Unbiased Estimators) dos parâmetros no modelo de regressão múltipla Prof. Paulo Sérgio Coelho 17 A hipótese de normalidade • Se nós formos capazes de assumir que os erros são normalmente distribuídos, então: • Yt também será uma variável aleatória normalmente distribuída; • Os estimadores de mínimos quadrados também terão distribuição de probabilidade normal, já que eles são funções lineares de Yt; • Se os erros não forem normalmente distribuídos, então os estimadores de mínimos quadrados serão aproximadamente normalmente distribuídos em grandes amostras. Prof. Paulo Sérgio Coelho 18 Medindo a qualidade do ajustamento Coeficientes de Determinação 𝑅2 = 𝑆𝑄𝐸 𝑆𝑇𝑄 = = 1 − 𝑆𝑄𝑅 𝑆𝑇𝑄 = 1 − 2.691,649 21.344,26074 = 1 − 0,1261 𝑅2 = 0,8739 Prof. Paulo Sérgio Coelho 19 𝑆𝑇𝑄 = 𝑠𝑦2 × 𝑛 − 1 = 16,649272 × 77 = ‭21.344,26074 ANOVA – Analise da Variância Gretl  Na janela do modelo estimado, seguir o menu:  Analise->ANOVA Prof. Paulo Sérgio Coelho 20 𝑆𝑄𝐸 𝑆𝑄𝑅 𝑆𝑇𝑄 𝑘 − 1 𝑛 − 𝑘 𝑛 − 1 𝑀𝑄𝐸 𝑀𝑄𝑅 𝑀𝑇𝑄 Observa-se que: • 𝑀𝑄𝑅 = 𝜎 2 • 𝑀𝑇𝑄 = 𝑠𝑦2 Medindo a qualidade do ajustamento Coeficientes de Determinação 𝑅2 = 𝑆𝑄𝐸 𝑆𝑇𝑄 = 18.652,6 21.344,3 = 0,8739 Prof. Paulo Sérgio Coelho 21 Interpretação do Coeficiente de Determinação  86,7% da variação na receita total é explicada pelo modelo  Ou: 86,7% da variação na RT é explicada pela variação no preço e pela variação no nível de gastos com propaganda  Outro modelo com 𝑅2 maior é melhor?  Se forem incluídas novos regressores o 𝑅2 vai aumentar  mesmo se não apresentarem qualquer justificativa econômica  À medida que se acrescenta mais variáveis, o 𝑆𝑄𝑅 diminui e o 𝑆𝑄𝐸 aumenta  No limite, se o modelo chegar a conter 𝑛 variáveis, então:  𝑆𝑄𝑅 = 0  𝑆𝑄𝐸 = 𝑆𝑇𝑄 e  𝑅2 = 1. Prof. Paulo Sérgio Coelho 22 Coeficiente de Determinação Ajustado  Uma medida alternativa para mensurar a qualidade do ajustamento é chamada de R2 ajustado;  Ele é usualmente apresentado pelos programas de regressão.  Ele é calculado como 𝑅 2 = 1 − 𝑆𝑄𝑅 𝑛 − 𝑘 𝑆𝑇𝑄 𝑛 − 1 = 1 − 𝑀𝑄𝑅 𝜎𝑦 2  O 𝑅2 ajustado é útil para comparar modelos:  Pondera o ganho de capacidade explicativa com o aumento de complexidade  Nem sempre aumenta quando um regressor é acrescentado Prof. Paulo Sérgio Coelho 23 Coeficiente de Determinação Ajustado Aplicando no exemplo  Para o exemplo da rede de lanchonetes: . 𝑅 2 = 1 − 𝑆𝑄𝑅 𝑛 − 𝑘 𝑆𝑇𝑄 𝑛 − 1 = 1 − 2.691,649 75 21.344,2607 77 = 1 − 35,8887 277,1982 = 1 − 0,1295 = 0,8705  É possível chegar a 𝑅 2 = 1 − (1 − 𝑅2) 𝑛 − 1 𝑛 − 𝑘 Prof. Paulo Sérgio Coelho 24