Slide - Aula 8 - Extensões do Modelo de Regressão Linear Simples - Estatística Econômica e Introdução à Econometria - 2023-2

Métodos Econométricos Prof. Paulo Sérgio Coelho Aula 08: Extensões do Modelo de Regressão Linear Simples A regressão que passa pela origem ▪ Situações onde ▪ Exemplo: Modelo CAPM ▪ ERi: taxa esperada de retorno do ativo i; ▪ ERm: taxa esperada de retorno do mercado; ▪ rf: retorno livre de risco ▪ bi: coeficiente beta. Medida de risco sistemático, que não pode ser eliminado por meio da diversificação. Medida da volatidade do ativo: bi > 1 é volátil, bi < 1 é conservador. Prof. Paulo Sérgio Coelho 2 ( ) ( ) i f i m f ER r ER r b − = − 2 i i i Y X u = b + 𝑌𝑖 𝑋𝑖 Modelo de Mercado ▪ Se o CAPM for válido espera-se que ai = 0 Prof. Paulo Sérgio Coelho 3 ( ) i f i i m f i R r R r u a b − = + − + Linha do mercado de ativos Estimando um modelo onde b1 = 0 ▪ Aplicando MQO são obtidos: Prof. Paulo Sérgio Coelho 4 2 2 ˆ i i i X Y X b =   2ˆ ˆ i i i Y X u = b + ( ) 2 2 2 ˆ var i X  b =  2 2 1 iu  = n −  No modelo em que o intercepto está incluso tínhamos: 2 2 ˆ i i i x y x b =   ( ) 2 2 2 ˆ var ix  b =  2 2 2 iu  = n −  A regressão que passa pela origem ▪ Outras implicações: 1. nem sempre será zero; 2. r2, o coeficiente de determinação pode, em certos casos, ser negativo nos modelos em que o intercepto está ausente. Por isso é definido: Prof. Paulo Sérgio Coelho 5 iu  ( ) 2 2 2 2 bruto i i i i X Y r X Y =    A regressão que passa pela origem ▪ É preciso muito cuidado para usar esse modelo ▪ Só deve ser usado se existir uma expectativa a priori muito forte de que o intercepto não deve ser incluído ▪ Vantagens de usar um modelo com intercepto: 1. Se o termo de intercepto estiver incluído no modelo mas revelar-se insignificante (estatisticamente), para fins práticos tem-se uma regressão que passa pela origem; 2. Se de fato existir um intercepto no modelo, mas for ajustada a regressão que passa pela origem, está sendo cometido um erro de especificação. Prof. Paulo Sérgio Coelho 6 CAPM – Exemplo ▪ Excesso de retorno Yt (%) de um índice de 104 ações do setor de bens de consumo cíclico ▪ Excesso de retorno Xt (%) do índice do mercado de ações como um todo ▪ Dados do Reino Unido durante o período de 1980-1999, dados mensais, 240 observações. ▪ O Excesso de retorno refere-se ao excedente em relação a um ativo livre de risco. Prof. Paulo Sérgio Coelho 7 CAPM – Exemplo Gretl ▪ Arquivos do Gretl com dados ▪ Disponível em datafile ou arquivo de sessão Prof. Paulo Sérgio Coelho 8 Exemplo ▪ Na comparação dos modelos é possível perceber: ▪ Intercepto não apresenta significância no Modelo 1 ▪ As medidas de comparação de modelos disponíveis (R2 ajustado e log da verossimilhança) apontam para o modelo sem intercepto Prof. Paulo Sérgio Coelho 9 Mudanças nas unidades de medida 1. Mudança na escala de X: ▪ Uma alteração multiplicativa por um fator na escala de x leva a uma alteração multiplicativa pelo inverso do fator no coeficiente de x (e no seu erro padrão): 2. Mudança na escala de Y: ▪ Uma alteração multiplicativa por um fator na escala de y leva a uma alteração multiplicativa pelo mesmo fator em todos os coeficientes do modelo (e nos seus erros padrão): Prof. Paulo Sérgio Coelho 10 ( ) 1 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ t t t t Y X Y X f f b b b b  = +  = +       ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ t t t t Y X Y f f f X b b b b = +   =  +  Exemplo ▪ O produto interno explica o investimento? ▪ Vamos ver as escalas... ▪ GDPI: investimento (Y) ▪ GDP: produto (X) Prof. Paulo Sérgio Coelho 11 Exemplo - modelos Prof. Paulo Sérgio Coelho 12 GDPI em bilhões de dólares, GDP em milhões GDPI em milhões de dólares, GDP em bilhões As duas variáveis expressas em bilhões de dólares 𝑋 × 1.000 𝑌 × 1.000 𝑌 × 1.000 𝑋 × 1.000 As duas variáveis expressas em milhões de dólares Regressão com variáveis padronizadas ▪ Transformação de padronização: ▪ A análise do coeficiente angular torna-se em termos dos desvios padrões, e não da unidade nominal da variável ▪ Estratégia mais útil em modelos múltiplos, pois os coeficientes podem ser comparados entre si. ▪ r2 não costuma ser analisado, pois a regressão passa pela origem ▪ Vale a relação: Prof. Paulo Sérgio Coelho 13 * i i Y Y Y Y S − = * i i X X X X S − = Variáveis em forma padronizada têm média 0 e desvio padrão unitário 2 2 ˆ ˆ * X Y S S b b   =     Variações e elasticidade ▪ Modelo: ▪ Elasticidade: ▪ Variação absoluta: ▪ Variação relativa ou proporcional ▪ Variação percentual ou taxa de crescimento percentual Prof. Paulo Sérgio Coelho 15 ( ) Y f X = / / / / dY Y dY dX dX X X Y = 1 t t Y Y − − 1 1 1 1 t t t t t Y Y Y Y Y − − − − = − 1 1 100 t t t Y Y Y − − −  Formas funcionais mais comuns Prof. Paulo Sérgio Coelho 16 ▪ Transformações usuais ▪ Logaritmo (natural): ▪ Inversa: ▪ Com apenas estas duas transformações é possível estimar uma grande variedade de formas: 1. Modelo log-linear 2. Modelos semi-logaritmicos 3. Modelos recíprocos 4. Modelo recíproco logarítmico ln( ) X 1 X Modelo linear ▪ Inclinação constante: ▪ Elasticidade variável: ▪ Linear nas variáveis; Prof. Paulo Sérgio Coelho 17 -2 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 1 2 i i Y X b b = + 2 b 2 X b Y Modelo log-linear (modelo log-log, modelo de elasticidade constante) Prof. Paulo Sérgio Coelho 18 ( 1 ) 2 ln( ) ln ln( ) i i i Y X u b b = + + 2 1 iu i i Y X b e b = 1 2 ln( ) ln( ) i i i Y X u a b = + + 0 2 4 6 8 10 12 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 Modelo log-linear (cont.) ▪ Inclinação variável: ▪ Elasticidade constante: ▪ Muito popular, pois: ▪ pode representar uma série de curvas – ver slide seguinte; ▪ possui elasticidade constante Prof. Paulo Sérgio Coelho 19 2 Y X b 2 b 2 1 b  2 0 1  b  1 2 ln( ) ln( ) i i i Y u a b a = + + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Modelo log-linear (cont.) Prof. Paulo Sérgio Coelho 20 1 2 ln( ) ln( ) y x b b = + 2 1 b  − 2 1 0 −  b  2 b = −1 Exemplo Arquivo Ferramentas Dados Ver Acrescentar Amostra Variável Modelo Ajuda C:\Users\PC\OneDrive\Documentos\gretl Table 6_3_PS.gdt importado nº ID Nome da variável Descrição 0 const 1 EXPSERVICES Despesas com serviços 2 EXPDUR Despesas com bens duráveis 3 EXPNONDUR Despesas com bens não duráveis 4 PCEXP Despesas totais de consumo 5 l_PCEXP = logaritmo de PCEXP 6 l_EXPDUR = logaritmo de EXPDUR 7 l_EXPSERVICES = logaritmo de EXPSERVICES 8 t obs Trimestral: Intervalo completo 2003:1 - 2006:3 Prof. Paulo Sérgio Coelho 21 Informação d... Conjunto de ... Resumo Correlações Tabela de mo... Escalares Notas Mdlo Linear Mdlo log-log Mdlo Crescim... Mdlo Tendencia Gfco Linear Gfco log-log Gfco Crescim... Gfco Tendencia Exemplo – modelo linear Prof. Paulo Sérgio Coelho 22 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 7200 7300 7400 7500 7600 7700 7800 7900 8000 8100 EXPDUR PCEXP EXPDUR versus PCEXP (com ajustamento por mínimos quadrados) Y = -681, + 0,233X r2=0,9713 2 X Y  b = 7668,30 0,233 1,61 1.106,40  =  = 7.668,3 X = Y =1.106,4 As despesas com bens duráveis são muito sensíveis a variações nas despesas totais de consumo pessoal Exemplo – modelo log-linear Prof. Paulo Sérgio Coelho 23 6,85 6,9 6,95 7 7,05 7,1 7,15 8,88 8,9 8,92 8,94 8,96 8,98 9 l_EXPDUR l_PCEXP l_EXPDUR versus l_PCEXP (com ajustamento por mínimos quadrados) Y = -7,54 + 1,63X r2=0,9695  = 1,63 0 4 8 12 16 20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 Modelos semilogaritmos log-lin ▪ Interpretação de ▪ Inclinação variável: ▪ Elasticidade variável: ▪ Modelo para taxa de Crescimento Prof. Paulo Sérgio Coelho 24 1 2 ln( ) Y X b b = + 2Y b 2X b 2 0 b  2 0 b  2 b 2 variação relativa no regressando b = variação absoluta no regressor Modelo log-lin Modelo para taxa de crescimento Prof. Paulo Sérgio Coelho 25 ( ) 0 1 t tY Y r = + ( ) 0 ln ln ln 1 tY Y t r = + + ( ) 1 0 2 ln ln 1 Y r b b = = + 1 2 ln tY t b b = + Exemplo taxa de crescimento Prof. Paulo Sérgio Coelho 26 8,32 8,33 8,34 8,35 8,36 8,37 8,38 8,39 8,4 8,41 8,42 8,43 2003 2004 2005 2006 l_EXPSERVICES Exemplo Tendência Linear Prof. Paulo Sérgio Coelho 27 4100 4150 4200 4250 4300 4350 4400 4450 4500 4550 4600 2003 2004 2005 2006 EXPSERVICES 1 2 tY t b b = + -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0 1 2 3 4 5 Modelos semilogaritmos Modelo lin-log ▪ Interpretação de ▪ Inclinação variável: ▪ Elasticidade variável: Prof. Paulo Sérgio Coelho 28 1 2 ln( ) Y X b b = + 2 1 X b 2 1 Y b 2 0 b  2 0 b  2 b 2 variação absoluta no regressando variação relativa no regressor b = 2 / Y X X b  =  Prof. Paulo Sérgio Coelho 29 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 400 450 500 550 600 650 700 750 800 Despesas com alimentação Despesas totais Despesas com alimentação versus Despesas totais (com ajustamento por mínimos quadrados) O aumento de 1% (0,01) nas despesas totais leva ao aumento de 2,57 rupias nas despesas com alimentos -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 0 2 4 6 8 10 12 Modelo recíproco ▪ Inclinação variável (tendendo a zero): ▪ Elasticidade variável: ▪ A medida que X aumenta, Y tende para b1; Prof. Paulo Sérgio Coelho 30 1 2 1 Y X b b = + 2 2 1 b X − 2 1 b XY − 2 0 b  2 0 b  b1 Prof. Paulo Sérgio Coelho 31 0 50 100 150 200 250 300 350 0 5000 10000 15000 20000 Mortalidade Infantil PNB per capita em 1980 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 0 1 2 3 4 5 Modelo da hipérbole logarítmica ou Modelo recíproco logarítmico ▪ Inclinação variável: ▪ Elasticidade variável: ▪ Para valores positivos de b2 a curva é convexa na vizinhança da origem e côncava a partir de certo ponto. ▪ Para valores negativos de b2 a curva é uma hipérbole muito excêntrica. Prof. Paulo Sérgio Coelho 35 1 2 1 ln( ) i Y u x b b   = − +     2 2 y x b 2 1 x b 2 b  0 A escolha da forma funcional 1. A teoria subjacente pode sugerir uma forma funcional 2. Observar a taxa de variação (inclinação ou coeficiente angular) e a elasticidade: Prof. Paulo Sérgio Coelho 36 A escolha da forma funcional (cont.) 3. Os coeficientes do modelo devem satisfazer certas expectativas a priori (sinais?) 4. Às vezes mais de um modelo pode ajustar-se bem a determinado conjunto de dados. Neste caso é possível priorizar pelo valor de r2, mas é importante que a variável dependente seja a mesma, apenas os regressores podem mudar ou assumir diversas formas 5. Um modelo com r2 menor pode ser preferido se estiver de acordo com a base teórica, significância estatística e expectativa dos coeficientes 6. Quando não for fácil estabelecer uma forma funcional em particular é possível usar transformações de Box-Cox Prof. Paulo Sérgio Coelho 37