Lista - Resistência ao Cisalhamento 2023-1

Mecânica dos Solos II Aulas Teórico - Práticas RC 1/9 RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 1. Sobre um solo arenoso compacto pretende-se construir um edifício. Visando a determinação da capacidade de suporte do solo foi realizado um ensaio de cisalhamento direto com o solo seco. A caixa de corte utilizada no ensaio tem secção quadrada, com 10 cm de lado e 5 cm de altura. Foram analisados 3 provetes, tendo-se obtido os resultados apresentados na Figura 1: Dl (mm) Dl (mm) T (N) Dh (mm) N = 1 KN N = 1 KN N = 2 KN N = 2 KN N = 4 KN N = 4 KN 2,0 2,5 3,0 20,0 20,0 690 815 410 1360 2720 -1,5 -2,8 -5,3 1620 Figura 1 em que: T – Força tangencial N – Força normal Dl = Deslocamento horizontal Dh – Deslocamento vertical a) Trace os gráficos -h e v-h; b) Em função do comportamento exibido, diga se este solo se comporta como um solo denso ou solto? Justifique. c) Determine os parâmetros de resistência ao cisalhamento correspondentes ao: i) estado de pico; ii) estado residual. d) Trace o círculo de Mohr que define o estado de tensão na rotura para os três ensaios na situação de pico. e) Determine as tensões principais e a sua direcção com a vertical, no momento da rotura. f) Calcule e represente a envolvente de rotura no sistema de eixos s’-t. 2. Sobre um maciço, que se sabe constituído por uma areia relativamente solta, pretende-se construir um aterro de dimensão longitudinal considerada infinita (Figura 2): a) Defina, no plano de Mohr e no plano s-t, o estado de tensão em repouso nos pontos A, B e C. b) Esboce, nos mesmos planos, a evolução do estado de tensão experimentada nos pontos A, B e C associada à construção dos dois primeiros metros de aterro. Admita para peso volúmico do material de aterro um valor de 20 kN/m3. c) Pretendendo efectuar a análise da estabilidade da fundação do aterro, efetuaram-se ensaios de cisalhamento direto sobre quatro provetes de areia preparados em laboratório com o mesmo índice de vazios de ocorrência. Os resultados obtidos foram os seguintes: Tensão Normal (kN/m2) 50 100 200 300 Tensão de Corte Máxima (kN/m2) 33 59 122 177 Determine os valores dos parâmetros de resistência ao cisalhamento da fundação do aterro. Mecânica dos Solos II Aulas Teórico - Práticas RC 2/9 d) Trace a envolvente de ruptura no plano s-t. e) Relacione os valores das tensões principais para que seja atingida a rotura por corte em qualquer ponto do solo de fundação do aterro. f) Calcule a altura do aterro para a qual acontece a rotura por corte no ponto A. g) Verifique a impossibilidade de ocorrer rotura por corte num ponto situado sobre o eixo de simetria a uma profundidade de 1 m (ponto D). Figura 2 3. A Figura 3 (a e b) mostra alguns resultados de ensaios de compressão triaxial realizados sobre 3 amostras indeformadas de um solo residual do granito. As amostras foram inicialmente consolidadas (adensadas) isotropicamente (3c = 100, 200 e 400 kPa) e depois levadas à ruptura em condições drenadas, aumentando a tensão axial e mantendo constante a tensão radial. a) Determine os parâmetros de resistência ao cisalhamento do solo (pico e última). Comente os resultados obtidos. b) Admitindo para o solo um comportamento elástico linear até 50% da tensão de ruptura, determine, para a tensão de confinamento de 400 kPa, os parâmetros elásticos. 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 2 4 6 8 10 12 14 Extensão Axial (%) (1 - 3) kPa 3 = 200 kPa 3 = 100 kPa 3 = 400 kPa Figura 3 a) Mecânica dos Solos II Aulas Teórico - Práticas RC 3/9 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 2 4 6 8 10 12 14 Extensão Axial (%) dV / V (%) 3 = 400 kPa Figura 3 b) 4. O parâmetro de resistência ao cisalhamento de uma areia grossa é: ’ = 30º. Três amostras deste solo, consolidadas anisotropicamente (3c = 100 kPa e 1c = 200 kPa), foram levadas à rotura da seguinte maneira: i) aumentando a tensão axial e mantendo constante a tensão radial; ii) mantendo a tensão axial e diminuindo a tensão radial; iii) mantendo constante a tensão média (s) e diminuindo a tensão radial. a) Para os três ensaios, trace a evolução até à rotura, no plano de Mohr e no plano s-t, do estado de tensão nas amostras. b) Dê exemplos de obras geotécnicas onde a evolução do estado de tensão seja semelhante com a simulada nos ensaios descritos. 5. Uma amostra de argila saturada foi consolidada numa câmara triaxial com uma tensão isotrópica de 350 kPa. Essa consolidação foi efectuada aplicando uma contrapressão de 200 kPa. De seguida fechou-se a válvula e levou-se a amostra à ruptura aumentando a tensão axial. A ruptura foi atingida quando o acréscimo da tensão axial era de 110 kPa. Nesse instante a tensão neutra desenvolvida valia 280 kPa. Determine: a) os parâmetros da tensão neutra (parâmetros de Skempton) no momento da ruptura; b) a resistência não drenada do solo (cu ou Su); c) o seu ângulo de atrito (’) em termos de tensões efectivas, admitindo que a argila é normalmente adensada; d) o valor da resistência não drenada obtida se a tensão de consolidação, em vez de 350 kPa, tivesse sido de 500 kPa. Mecânica dos Solos II Aulas Teórico - Práticas RC 4/9 6. Para a caracterização mecânica de uma argila realizaram-se dois ensaios triaxiais, um consolidado não drenado e outro drenado, sobre duas amostras saturadas, cujos resultados são incluídos na Figura 4. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 s = (1 + 3) / 2 ; s' = (1 + 3) / 2 kPa t = (1 - 3) / 2 kPa T. Totais T. Efectivas Ensaio 1 Ensaio 2 Figura 4 a) Identifique os ensaios. b) Atendendo aos resultados do ensaio 1: i) determine o valor da resistência não drenada; ii) determine os valores dos parâmetros da tensão neutra no momento da rotura; iii) se o valor do parâmetro da tensão neutra, Af, fosse menor, o que aconteceria ao valor da resistência não drenada? Justifique convenientemente a sua resposta. c) Calcule os parâmetros de resistência da argila em termos de tensões efectivas (c’, ’)? d) Se uma terceira amostra da mesma argila for submetida a um ensaio drenado de extensão com aumento da tensão média, partindo de um estado de tensão de consolidação anisotrópico (3c = 1c/2 = 75 kPa), qual o valor da tensão radial no momento da rotura. 7. Considere o perfil geológico representado na Figura 5. Para a caracterização da camada de argila foram colhidas duas amostras representativas, posteriormente ensaiadas num aparelho triaxial nas seguintes condições: Amostra Tipo Consolidação Contrapressão Pressão na câmara Rotura Pressão êmbolo Tensão neutra 1 Não Drenado Isotrópica 100 kPa 300 kPa 200 kPa 200 kPa 2 Drenado Isotrópica ---- 200 kPa 400 kPa ---- a) Determine os parâmetros de resistência ao cisalhamento em termos de tensões efectivas da argila considerada. b) Calcule os valores dos parâmetros da tensão neutra da argila no momento da ruptura. c) Justificando, diga qual deve ser o tipo da argila (sobreadensada ou normalmente adensada). Mecânica dos Solos II Aulas Teórico - Práticas RC 5/9 d) Qual a resistência ao cisalhamento que exibirá uma amostra da mesma argila submetida a um ensaio de cisalhamento directo, supondo que este é realizado a uma velocidade muito lenta e sob uma tensão vertical de 100 kPa. e) Calcule a resistência não drenada de uma amostra saturada desta mesma argila, quando sujeita a um ensaio triaxial não drenado, com uma pressão de consolidação de 300 kPa. f) Calcule a carga máxima que um aterro com 8 m de largura e grandes dimensões longitudinais pode transmitir ao solo de fundação sem que ocorra rotura no ponto P. Figura 5 8. A Figura 6 representa um maciço homogéneo de argila normalmente adensada com o nível freático à superfície. Sobre o maciço pretende-se construir rapidamente um aterro cujas dimensões são tais que provocam um aumento de tensão no ponto P de Dv = 33,2 kPa e de Dh = 10,8 kPa. Figura 6 a) Antes da construção do aterro, a resistência não drenada do maciço no ponto Q será menor, igual ou maior que a do ponto P? Justifique. b) Uma vez construído o aterro, diga, justificando, qual é a fase crítica em termos de estabilidade da obra: a situação imediatamente após a construção ou a situação a longo prazo? c) Admitindo para o parâmetro A um valor constante durante toda a fase construtiva de 0,5, marque num diagrama s-t e s’-t a evolução das tensões totais e das tensões efectivas entre o estado de repouso e o fim da consolidação associada à construção do aterro. Mecânica dos Solos II Aulas Teórico - Práticas RC 6/9 9. Considere um depósito arenoso sobre o qual foi construído um aterro com as características indicadas na Figura 7. Determine a altura que o nível freático poderá subir, acima do ponto P, sem que ocorra ruptura ao cisalhamento no referido ponto. Figura 7 10. Admitindo que: i) o ângulo de atrito de um solo residual é de 38º; ii) não foi possível levar à rotura, através de um ensaio drenado de compressão com diminuição da tensão média, um provete desse solo consolidado isotropicamente com uma tensão 80 kPa; estime o valor mínimo da coesão. 11. Para a caracterização da resistência ao corte de um solo argiloso saturado realizaram-se dois ensaios de compressão triaxial, um não drenado e outro drenado. a) Na Figura 8 apresenta-se a evolução das trajectórias das tensões totais e efectivas correspondentes ao primeiro dos ensaios: Com base nos dados fornecidos, determine os valores: i) diga se se trata de um solo normalmente adensado ou sobreadensado; ii) da contra-pressão aplicada; iii) das tensões de consolidação; iv) dos parâmetros da tensão neutra no momento da ruptura; v) da resistência não drenada. b) No segundo ensaio a amostra foi consolidada anisotropicamente (’1c = 60 kPa e ’3c=42kPa) e com a válvula de drenagem aberta foi levada à ruptura com a tensão média constante. Sabendo que no momento em que se atingiu a ruptura o aumento da tensão axial era de 35 kPa, determine os parâmetros de resistência ao cisalhamento da argila em termos de tensões efectivas. c) Para o caso de uma amostra deste mesmo solo consolidada isotropicamente a 120 kPa, determine o incremento da tensão axial para se atingir a ruptura em condições não drenadas. Mecânica dos Solos II Aulas Teórico - Práticas RC 7/9 Figura 8 12. Para a caracterização de um dado maciço de natureza argilosa foram realizadas, sobre amostras saturadas os seguintes ensaios: Ensaios de cisalhamento direto Ensaio Tensão Vertical de Consolidação Corte 1 100 kPa Drenado 2 200 kPa Drenado Figura 9 Ensaio triaxial Ensaio Consolidação Corte Ruptura Tipo h (kPa) Drenagem Tipo Dh (kPa) 3 Isotrópica 100 Não drenado Compressão c/ redução de s - 89,6 Tendo em conta os resultados obtidos: a) determine os parâmetros de resistência ao cisalhamento em termos de tensões efectivas; b) calcule os parâmetros de Skempton no momento da ruptura; c) estime o grau de sobreadensamento do depósito com base nos diferentes elementos conhecidos. Mecânica dos Solos II Aulas Teórico - Práticas RC 8/9 13. Considere o maciço estratificado representado na Figura 10. Para a caracterização do estrato argiloso foram recolhidas 3 amostras, que se verificaram estar saturadas. Figura 10 Ensaio Local da recolha Características do ensaio Tipo Consolidação (com u = 0) Corte Ruptura Tipo Drenagem a (kPa) r (kPa) u (kPa) 1 B Tensões efetivas in situ Compressão c/ aumento de s Não drenado 330,4 --- 0 2 B Tensões efecivas in situ Compressão c/ s constante Não drenado --- --- --- 3 C Tensões efetivas in situ Extensão c/ redução de s Drenado 36,4 --- --- a) Tendo em conta as características dos ensaios triaxiais realizados que são apresentados no quadro anterior: i) determine os parâmetros da tensão neutra característicos do comportamento não drenado do solo em ensaios triaxiais de compressão; ii) calcule os parâmetros de resistência ao corte do solo em termos de tensões efetivas; iii) tendo em conta os resultados anteriores, estime o grau de sobreadensamento do solo; iv) qual o valor da pressão neutra na rotura observada no ensaio 2? b) Verifique se ocorre rotura no ponto A aquando da construção de uma fundação contínua com 4 m de largura e cujo eixo passa por A, transmitindo ao terreno uma pressão uniforme de 100 kPa. Mecânica dos Solos II Aulas Teórico - Práticas RC 9/9 ANEXO Acréscimo de tensão sob uma carga de dimensão infinita ( ) z q sin cos 2    =   +   +     ( ) x q sin cos 2    =   −   +     y 2 q   =   ( ) xz q sin sin 2  =    +   âng. de 1 com a vertical  =  (ângulos em radianos) x/b z/b σz/q σx/q τzx/q β τmax/q σ1/q σ3/q 0,0 0 1,0000 1,0000 0 0 0 1,0000 1,0000 0,5 0,9594 0,4498 0 0 0,2548 0,9594 0,4498 1,0 0,8183 0,1817 0 0 0,3183 0,8183 0,1817 1,5 0,6678 0,0803 0 0 0,2937 0,6678 0,0803 2,0 0,5508 0,0410 0 0 0,2546 0,5508 0,0410 2,5 0,4617 0,0228 0 0 0,2195 0,4617 0,0228 3,0 0,3954 0,0138 0 0 0,1908 0,3954 0,0138 3,5 0,3457 0,0091 0 0 0,1683 0,3457 0,0091 4,0 0,3050 0,0061 0 0 0,1499 0,3050 0,0061 0,5 0 1,0000 1,0000 0 0 0 1,0000 1,0000 0,25 0,9787 0,6214 0,0522 8º35’ 0,1871 0,9871 0,6129 0,5 0,9028 0,3920 0,1274 13º17’ 0,2848 0,9323 0,3629 1,0 0,7352 0,1863 0,1590 14º52’ 0,3158 0,7763 0,1446 1,5 0,6078 0,0994 0,1275 13º18’ 0,2847 0,6370 0,0677 2,0 0,5107 0,0542 0,0959 11º25’ 0,2470 0,5298 0,0357 2,5 0,4372 0,0334 0,0721 9º49’ 0,2143 0,4693 0,0206 1,0 0,25 0,4996 0,4208 0,3134 41º25’ 0,3158 0,7760 0,1444 0,5 0,4969 0,3472 0,2996 37º59’ 0,3088 0,7308 0,1133 1,0 0,4797 0,2250 0,2546 31º43’ 0,2847 0,6371 0,0677 1,5 0,4480 0,1424 0,2037 26º34’ 0,2546 0,5498 0,0406 2,0 0,4095 0,0908 0,1592 22º30’ 0,2251 0,4751 0,0249 2,5 0,3701 0,0595 0,1243 19º20’ 0,1989 0,4137 0,0159 1,5 0,25 0,0177 0,2079 0,0606 73º47’ 0,1128 0,2281 0,0025 0,5 0,892 0,2850 0,1466 61º50’ 0,1765 0,3636 0,0106 1,0 0,2488 0,2137 0,2101 47º23’ 0,2115 0,4428 0,0198 1,5 0,2704 0,1807 0,2022 38º44’ 0,2071 0,4327 0,0184 2,0 0,2876 0,1268 0,1754 32º41’ 0,1928 0,4007 0,0143 2,5 0,2851 0,0892 0,1469 28º09’ 0,1765 0,3637 0,0106 2,0 0,25 0,0027 0,0987 0,0164 80º35’ 0,0507 0,1014 0,0002 0,5 0,0194 0,1714 0,0552 71º59’ 0,0940 0,1893 0,0014 1,0 0,0776 0,2021 0,1305 58º17’ 0,1424 0,2834 0,0052 1,5 0,1458 0,1847 0,1568 48º32’ 0,1578 0,3232 0,0074 2,0 0,1847 0,1456 0,1567 41º27’ 0,1579 0,3232 0,0073 2,5 0,2045 0,1256 0,1442 36º02’ 0,1515 0,3094 0,0064 2,5 0,5 0,0068 0,1104 0,0254 76º43’ 0,0569 0,1141 0,0003 1,0 0,0357 0,1615 0,0739 65º12’ 0,0970 0,1957 0,0016 1,5 0,0771 0,1645 0,1096 55º52’ 0,1180 0,2388 0,0028 2,0 0,1139 0,1447 0,1258 48º31’ 0,1265 0,2556 0,0036 2,5 0,1409 0,1205 0,1266 42º45’ 0,1269 0,2575 0,0036 3 0,5 0,0026 0,0741 0,0137 79º25’ 0,0379 0,0758 0,0001 1,0 0,0171 0,1221 0,0449 69º42’ 0,0690 0,1384 0,0005 1,5 0,0427 0,1388 0,0757 61º15’ 0,0895 0,1803 0,0012 2,0 0,0705 0,1341 0,0954 54º12’ 0,1006 0,2029 0,0018 2,5 0,0952 0,1196 0,1036 48º20’ 0,1054 0,2128 0,0020 3,0 0,1139 0,1019 0,1057 43º22’ 0,1058 0,2137 0,0020 FORMULÁRIO - MECÂNICA DOS SOLOS II – Resistência ao Cisalhamento Critério de ruptura de Mohr-Coulomb: '.tan ' '    = c + ' 2 ' ' ' cos 3 1 t R = − = =     ' 2 ' ' tan ' ' ' 3 1 s N m = + = +  =       R R m m − = + = ' ' ' ' 3 1           − = 3' ' arctan     N Relação, na ruptura, entre as tensões principais e os parâmetros de resistência: ( ) ' ' . ' .2 '.cos ' ' ' 3 1 3 1       sen c + + = − Critério de ruptura de Mohr-Coulomb no plano s´-t´: '.tan ' ' a s t + = '.cos ' '  a = c ' tan   = sen 2 3 1 s =  + 2 3 1 t =  − 2 ' ' ' 1  3 s =  + 2 ' ' ' 1  3 t =  − Variação da pressão neutra (Skempton): ( )  3  1 3 . .    −   +   = A B u ’ ’n3 ’n2 ’n1 1 2 3 ’  If f) τ (MPa) 0,544 0,272 0,201 0,138 0,049 0,1 0,2 0,25 0,4 0,451 σ (MPa) Mecânica dos Solos II Aulas Teórico - Práticas Soluções RC 1/2 Soluções dos problemas propostos Resistência ao Cisalhamento 1. b) Solo denso c) i) ' 0 kPa ; ' 35º p p c  = = ii) ' 0 kPa ; ' 26º r r c  = = e) Ensaio ’1 (kPa) ’3 (kPa)  1 235,2 63,4 62,5 2 468,0 127,4 62,5 3 938,6 254,0 62,5 f) 0 kPa ; 29,9º a  = = 2. a) 66 kPa ; 33 kPa ; 49,5 kPa ; 16,5 kPa V H s t   = = = = b) Ponto 1 (kPa) 3 (kPa) s (kPa) t (kPa) A 98,7 40,3 69,5 29,2 B 87,5 39,7 63,6 23,9 C 77,9 39,6 58,8 19,1 c) ' 0 kPa ; ' 30º c  = = d) 0 kPa ; 26,6º a  = = e) ( ) ( ) 1 3 1 3 ' ' ' ' ' cos ' sin ' 2 2 c       − +     =  +          f) h = 6 m g) Impossível 3. a) Pico - ' 26 kPa ; ' 42,8º p p c  = = Residual - ' 0 kPa ; ' 36,9º r r c  = = b) E = 50 MPa ;  = 0,25 4. b) i) Fundação ii) Escavação iii) Hasteal de um túnel 5. a) 1 ; 0,73 f B A = = b) 55 kPa u C = c) '  = 26,1º d) 110 kPa u C = Mecânica dos Solos II Aulas Teórico - Práticas Soluções RC 2/2 6. a) Ensaio 1 - CIUTC Ensaio 2 - CIDTC b) i) 80 kPa u C = ii) 1 ; 0,81 f B A = = c) ' 0 kPa ; ' 31,8º c  = = d) 1' 488,2 kPa  R = 7. a) ' 0 kPa ; ' 30º c  = = b) 1 ; 0,5 f B A = = c) Argila normalmente adensada d)  = 57,7 kPa e) 150 kPa u C = f) q = 26,4 kPa 8. a) Maior b) Após a construção 9. h = 9,9m 10. 19,5 kPa 11. a) i) Solo sobreadensado ii) 0 u = 40 kPa iii) 1 140 kPa ; 3 110 kPa   = = iv) 1 ; 0,07 f B A = = − v) 160 kPa u C = b) ' 17,6 kPa ; ' 35,7º c  = = c) 1 = 502 2, kPa 12. a) c´=0 kPa; ’=26,6º b) B=1; Af=0,5 c) OCR=1 13 a) i) 1 ; 0 f B A = = ii) ' 30 kPa ; ' 20º c  = = iii) Solo sobreadensado iv) fu = −90 kPa b) Há ruptura 1- a) Transformar força em tensão, dividindo pela área: 𝜏 = 𝑇 𝐴𝑇 = 𝑇 100𝑚𝑚 ∙ 50𝑚𝑚 𝜎 = 𝑁 𝐴𝑁 = 𝑇 100𝑚𝑚 ∙ 100𝑚𝑚 E transformar os deslocamentos em deformações: 𝜀ℎ = ∆𝑙 𝑙 = ∆𝑙 100 𝜀𝑣 = ∆ℎ ℎ = ∆ℎ 50 Aplicando tais transformações: N (kN) T (N) σ (MPa) τ (MPa) Δl (mm) Δh (mm) εh (mm/mm) εv (mm/mm) 1 410 0,1 0,082 2,0 -1,5 0,020 -0,030 2 690 0,2 0,138 2,5 -2,8 0,025 -0,056 4 815 0,4 0,163 3,0 -5,3 0,030 -0,106 1360 0,272 20,0 0,200 1620 0,324 2720 0,544 b) O solo tem comportamento denso, pois ao aplicar a tensão cisalhante em conjunto com a tensão normal de compressão, inicialmente ocorre deformação positiva dos grãos do solo, o que significa que houve uma expansão do solo, mesmo comprimindo, isso ocorre em solos densos que tem seus grãos rearranjados pela tensão, e não ocorre em solos soltos. c) Equação da envoltória: 𝜏 = 𝑐 + 𝜎 tan 𝜙 i) Estado de pico: σ (MPa) τ (MPa) 0,1 0,138 0,2 0,272 0,4 0,544 Aplicando os dados na equação: [ 0,138 = 𝑐 + 0,1 tan 𝜙 0,272 = 𝑐 + 0,2 tan 𝜙 0,544 = 𝑐 + 0,4 tan 𝜙 ] Por meio de uma regressão linear, se soluciona: 𝑐 = 0𝑘𝑃𝑎 tan 𝜙 = 0,7 → 𝜙 = 35° ii) Estado residual: σ (MPa) τ (MPa) 0,1 0,082 0,2 0,163 0,4 0,324 Aplicando os dados na equação: [ 0,082 = 𝑐 + 0,1 tan 𝜙 0,163 = 𝑐 + 0,2 tan 𝜙 0,324 = 𝑐 + 0,4 tan 𝜙 ] Por meio de uma regressão linear, se soluciona: 𝑐 = 0𝑘𝑃𝑎 tan 𝜙 = 0,488 → 𝜙 = 26° d) e) Tensões Principais: 𝜎1 = 0,1 + 0,4 2 + √(0,1 − 0,4 2 ) 2 + 0,0822 = 0,421𝑀𝑃𝑎 𝜎2 = 0,1 + 0,4 2 − √(0,1 − 0,4 2 ) 2 + 0,0822 = 0,079𝑀𝑃𝑎 Ângulos principais: tan 2𝜃𝑝1 = 2 ∙ 0,082 0,1 − 0,4 = −0,5467 2𝜃𝑝1 = −28,664° 𝜃𝑝1 = −14,332° 𝜃𝑝2 = −14,332 + 90° = 75,668° 4- a) Cenário (i) τ (kPa) 100 200 Cenário (ii) τ (kPa) 100 200 Cenário (iii) τ (kPa) 100 200 σ (kPa) σ (kPa) σ (kPa) τ=σ tan(30°) τ=σ tan(30°) τ=σ tan(30°) 2- a) Tensões em A, B e C: 𝜎𝑣 = 16,5 ∙ 4,0 = 66,0𝑘𝑃𝑎 𝜎ℎ = 0,5 ∙ 66,0 = 33,0𝑘𝑃𝑎 𝑠 = 66,0 + 33,0 2 = 49,5𝑘𝑃𝑎 𝑡 = 66,0 − 33,0 2 = 16,5𝑘𝑃𝑎 b) Acréscimo de tensão em A: 𝛼 = arctan(4 4) = 0,785𝑟𝑎𝑑 ∆𝜎𝑣 = 𝜎0 𝜋 (sen 2𝛼 + 2𝛼) = 20 ∙ 2 𝜋 ∙ (sen 1,570 + 1,570) = 32,72𝑘𝑃𝑎 ∆𝜎ℎ = 0,5 ∙ 32,72 = 16,36𝑘𝑃𝑎 Acréscimo de tensão em B: 𝛼 = arctan(8 4) = 1,107𝑟𝑎𝑑 𝛽 = arctan(4 4) = 0,785𝑟𝑎𝑑 ∆𝜎𝑣 = 𝜎0 𝜋 (sen 2𝛼 cos 2𝛽 + 2𝛼) = 20 ∙ 2 𝜋 ∙ (sen 2,214 ∙ cos 1,570 + 2,214) = 28,18𝑘𝑃𝑎 ∆𝜎ℎ = 0,5 ∙ 28,18 = 14,09𝑘𝑃𝑎 Acréscimo de tensão em C: 𝛼 = arctan(10 4 ) − arctan (2 4) = 0,727𝑟𝑎𝑑 𝛽 = arctan(6 4) = 0,983𝑟𝑎𝑑 ∆𝜎𝑣 = 𝜎0 𝜋 (sen 2𝛼 cos 2𝛽 + 2𝛼) = 20 ∙ 2 𝜋 ∙ (sen 1,453 ∙ cos 1,966 + 1,453) = 13,64𝑘𝑃𝑎 ∆𝜎ℎ = 0,5 ∙ 13,64 = 6,82𝑘𝑃𝑎 c) Equação da envoltória: 𝜏 = 𝑐 + 𝜎 tan 𝜙 Aplicando os dados na equação: [ 33 = 𝑐 + 50 tan 𝜙 59 = 𝑐 + 100 tan 𝜙 122 = 𝑐 + 200 tan 𝜙 177 = 𝑐 + 300 tan 𝜙 ] Por meio de uma regressão linear, se soluciona: 𝑐 = 2,95𝑘𝑃𝑎 tan 𝜙 = 0,5834 → 𝜙 = 30,26° d) 𝜏 = 2,95 + 𝜎 tan(30,26°) e) Tensão de cisalhamento em qualquer ponto: 𝜎1 − 𝜎3 2 = 𝜎1 + 𝜎3 2 sen 𝜙 𝜏𝑠𝑜𝑙 = 𝜎1 + 𝜎3 2 sen 𝜙 = 𝜎1 − 𝜎3 2 ∙ sen 30,26° 𝜏𝑠𝑜𝑙 = 0,2519(𝜎1 − 𝜎3) f) Tensão em A: 𝛼 = arctan(4 4) = 0,785𝑟𝑎𝑑 ∆𝜎𝑣 = 𝛾𝑑ℎ𝐷 + 𝜎0 𝜋 (sen 2𝛼 + 2𝛼) = 16,5 ∙ 4,0 + 20 ∙ ℎ 𝜋 ∙ (sen 1,570 + 1,570) = 66 + 16,36ℎ ∆𝜎ℎ = 0,5 ∙ (66 + 16,36ℎ) = 33 + 8,18ℎ Tensão resistente em A: 𝜏𝑟𝑒𝑠 = 2,95 + (66 + 16,36ℎ) ∙ tan 30,26° = 41,45 + 9,54ℎ Tensão solicitante em A: 𝜏𝑠𝑜𝑙 = 0,2519(𝜎1 − 𝜎3) 𝜏𝑠𝑜𝑙 = 0,2519 ∙ (66 + 16,36ℎ − 33 − 8,18ℎ) 𝜏𝑠𝑜𝑙 = 8,315 + 2,061ℎ Igualando as tensões: 𝜏𝑠𝑜𝑙 = 𝜏𝑟𝑒𝑠 8,315 + 2,061ℎ = 41,45 + 9,54ℎ A altura máxima é: ℎ = 6,00𝑚 g) Tensão em D: 𝛼 = arctan(4 1) = 1,326𝑟𝑎𝑑 ∆𝜎𝑣 = 𝛾𝑑ℎ𝐷 + 𝜎0 𝜋 (sen 2𝛼 + 2𝛼) = 16,5 ∙ 1,0 + 20 ∙ 4,52 𝜋 ∙ (sen 2,652 + 2,652) = 106,35𝑘𝑃𝑎 ∆𝜎ℎ = 0,5 ∙ 106,35 = 53,17𝑘𝑃𝑎 𝜏𝑠𝑜𝑙 = 0,4319 ∙ (106,35 − 53,17) = 22,97𝑘𝑃𝑎 Tensão resistente em D: 𝜏𝑟𝑒𝑠 = 2,95 + 106,35 ∙ tan 30,26° = 65,00𝑘𝑃𝑎 Portanto, é impossível ocorrer a rotura no ponto D, pois a tensão atuante é inferior a resistente! 3-a) Método s x t para pico: 𝜎3 (𝑘𝑃𝑎) 𝜎1 − 𝜎3 (𝑘𝑃𝑎) 𝜎1 (𝑘𝑃𝑎) 𝑠 = 𝜎1 + 𝜎3 2 (𝑘𝑃𝑎) 𝑡 = 𝜎1 − 𝜎3 2 (𝑘𝑃𝑎) 100 550 650 375 275 200 1000 1200 700 500 400 1800 2200 1300 900 Plotando o gráfico: A reta da regressão desses três pontos: 𝑡 = 0,6746𝑠 + 24,314 Parâmetros de resistência: 𝜙 = arcsen 0,6746 = 42,42° 𝑐 = 24,314 cos 42,42° = 32,94𝑘𝑃𝑎 Método s x t para última: 𝜎3 (𝑘𝑃𝑎) 𝜎1 − 𝜎3 (𝑘𝑃𝑎) 𝜎1 (𝑘𝑃𝑎) 𝑠 = 𝜎1 + 𝜎3 2 (𝑘𝑃𝑎) 𝑡 = 𝜎1 − 𝜎3 2 (𝑘𝑃𝑎) 100 250 350 225 125 200 600 800 500 300 400 1200 1600 1000 600 Plotando o gráfico: A reta da regressão desses três pontos: 𝑡 = 0,6113𝑠 Parâmetros de resistência: 𝜙 = arcsen 0,6113 = 37,68° 𝑐 = 0𝑘𝑃𝑎 0 200 400 600 800 1000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 t (kPa) s (kPa) s x t 0 200 400 600 800 0 200 400 600 800 1000 1200 t (kPa) s (kPa) s x t b) Tensão de ruptura: 𝜎1 − 𝜎3 = 1800𝑘𝑃𝑎 𝜎1 = 2200𝑘𝑃𝑎 Parâmetro elástico: 𝐸𝑠 = 50000𝑘𝑃𝑎 b) (i) Esse tipo de carregamento é semelhante ao que ocorre em estacas de fundação. À medida que uma estaca é cravada no solo, a tensão axial aumenta enquanto a tensão radial permanece relativamente constante. Isso pode ser observado em estacas de fundação de edifícios, pontes e outras estruturas que transferem cargas para o solo através de estacas. (ii) Essa condição é semelhante ao que ocorre em uma escavação profunda. Ao cavar uma vala ou trincheira, a tensão radial nas paredes do solo é reduzida devido à remoção do solo circundante. Enquanto isso, a tensão axial no solo abaixo do nível da escavação permanece relativamente constante. Esse tipo de carregamento pode ser observado em projetos de túneis, por exemplo, onde a escavação do solo ao redor da estrutura reduz a tensão radial. (iii) Essa condição é semelhante ao que ocorre em aterros. Quando camadas de solo são depositadas para construir um aterro ou aterramento, a tensão média no solo aumenta, mas a tensão radial diminui à medida que o solo é compactado e redistribuído. Esse tipo de carregamento pode ser encontrado em projetos de aterros rodoviários, aterros sanitários, plataformas industriais e outros projetos que envolvem a construção de camadas de solo compactado. 5- a) Parâmetro de Skempton: 𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜 → 𝐵 = 1,0 𝐴 = ∆𝑢 − ∆𝜎3 ∆𝜎1 − ∆𝜎3 = 280 − 200 110 = 0,73 b) 𝐶𝑢 = ∆𝜎1 − ∆𝜎3 2 = 110 2 = 55𝑘𝑃𝑎 c) 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜 → 𝑐 = 0 𝜏 = 𝑐 + 𝜎3 tan 𝜙′ 55 = 0 + 110 tan 𝜙′ 𝜙′ = 26,6° d) 𝑅𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑒𝑚𝑝𝑖𝑟𝑖𝑐𝑎 → 𝐶𝑢 𝜎𝑣′ = 0,22 𝐶𝑢 = 0,22𝜎𝑣′ = 0,22 ∙ 500 = 110𝑘𝑃𝑎 6- a) O ensaio 2 é o ensaio com tensões efetivas, pois a tensão neutra reduz a tensão normal do solo. Ensaio 1 - CIUTC e Ensaio 2 - CIDTC b) i) Resistência não drenada: → 𝐶𝑢 = 𝜎1 − 𝜎3 2 = 80𝑘𝑃𝑎 ii) 𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜 → 𝐵 = 1,0 𝐴 = ∆𝑢 − ∆𝜎3 ∆𝜎1 − ∆𝜎3 = 280 − 150 2 ∙ 80 = 0,81 iii) A resistência não drenada é uma medida da capacidade de um solo suportar cargas sem que ocorra drenagem de água. Ela está relacionada à coesão do solo, que é a capacidade das partículas do solo de se manterem unidas. A coesão é influenciada por fatores como a presença de argilas e siltes finos no solo. Se o valor do parâmetro da tensão neutra fosse menor, esperaria um aumento na resistência não drenada do solo. c) Parâmetros de resistência: 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜 → 𝑐′ = 0𝑘𝑃𝑎 𝜏 = 𝑐′ + 𝜎3 tan 𝜙′ 80 = 0 + (280 − 150) tan 𝜙′ 𝜙′ = 31,8° d) Tensão radial no momento da rotura: 𝜎1 − 𝜎3 2 = 𝜎1 + 𝜎3 2 sen 𝜙 𝜎1 − 150 = (𝜎1 + 150) sen 31,8° 𝜎1 − 150 = 0,527𝜎1 + 79,04 𝜎1 = 488,2𝑘𝑃𝑎 7- a) Parâmetros de resistência: 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜 → 𝑐′ = 0𝑘𝑃𝑎 𝜎1 − 𝜎3 2 = 𝜎1 + 𝜎3 2 sen 𝜙′ → 300 − 100 = (300 + 100) sen 𝜙′ 𝜙′ = 30° b) 𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜 → 𝐵 = 1,0 𝐴 = ∆𝑢 − ∆𝜎3 ∆𝜎1 − ∆𝜎3 = 200 − 100 300 − 100 = 0,5 c) Como a coesão é nula, a argila é normalmente adensada. d) 𝜏 = 𝑐′ + 𝜎3 tan 𝜙′ 𝜏 = 0 + 100 tan 30° 𝜏 = 57,7𝑘𝑃𝑎 e) → 𝐶𝑢 = 𝜎1 − 𝜎3 2 = 300 2 = 150𝑘𝑃𝑎 f) Acréscimo de tensão do deposito: 𝑥 𝑏 = 0 4 = 0 𝑧 𝑏 = 6 4 = 1,5 𝜎𝑧 = 0,6678𝑞 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 0,2937𝑞 Tensão vertical efetiva no ponto P: 𝜎𝑣′ = 21 ∙ 2,0 + 20 ∙ 4,0 − 10 ∙ 6,0 = 62𝑘𝑃𝑎 Tensão horizontal no repouso no ponto P: 𝜎ℎ ′ = 𝐾0𝜎𝑣′ = 0,5 ∙ 62 = 32𝑘𝑃𝑎 Tensão de cisalhamento no ponto P: 𝜃 = 45° + 𝜙 2 = 45° + 30° 2 = 60° 𝜏𝑠𝑜𝑙 = (𝜎𝑣 − 𝜎ℎ 2 ) sen 2𝜃 + 𝜏𝑚𝑎𝑥 = (62 − 32 2 ) ∙ sen 120° + 0,2937𝑞 = 13 + 0,2937𝑞 Máxima sobrecarga possível: 𝑐′ + 𝜎3 tan 𝜙′ = −(32 + 0,5874𝑞) 0 + 0,6678𝑞 ∙ tan 30° = −13 − 0,2937𝑞 → 𝑞 = 26,4𝑘𝑃𝑎 8- a) Será maior, pois em solo normalmente adensado a tensão de confinamento no ponto Q é maior que a tensão de confinamento no ponto P, com isso, a envoltória de resistência do solo é maior. b) No início da obra, após a construção, pois como o solo é normalmente adensado, assim que a nova tensão do aterro for aplicada, ele começará a adensar, o que pode prejudicar a estabilidade da obra. c) Não entendi, me desculpa 9- Acréscimo de tensão do deposito: 𝛼 = arctan ( 8 12) = 33,69° = 0,588𝑟𝑎𝑑 ∆𝜎 = 𝜎0 𝜋 (sen 2𝛼 + 2𝛼) = 160 𝜋 ∙ (sen 1,176 + 1,176) = 60,94𝑘𝑃𝑎 Tensão vertical efetiva no ponto P: 𝜎𝑣′ = 18 ∙ (12 − ℎ) + 20 ∙ ℎ − 10 ∙ ℎ + 60,94 𝜎𝑣′ = 28ℎ + 276,94𝑘𝑃𝑎 Tensão horizontal no repouso no ponto P: 𝜎ℎ ′ = 𝐾0𝜎𝑣′ 𝜎ℎ ′ = 0,5 ∙ (28ℎ + 276,94) 𝜎ℎ ′ = 14ℎ + 138,47𝑘𝑃𝑎 Tensão de cisalhamento no ponto P: 𝜃 = 45° + 𝜙 2 = 45° + 30° 2 = 60° 𝜏𝑠𝑜𝑙 = 𝜎𝑣 − 𝜎ℎ 2 sen 2𝜃 = (28ℎ + 276,94) − (14ℎ + 138,47) 2 ∙ sen 120° 𝜏𝑠𝑜𝑙 = 6,062ℎ + 60𝑘𝑃𝑎 Envoltória de resistência do solo: 𝜏𝑟𝑒𝑠 = 𝑐′ + 𝜎𝑣′ tan 𝜙′ 𝜏𝑟𝑒𝑠 = 0 + (28ℎ + 276,94) tan 30° 𝜏𝑟𝑒𝑠 = 16,166ℎ + 159,90𝑘𝑃𝑎 Igualando as tensões de cisalhamento: 𝜏𝑠𝑜𝑙 = 𝜏𝑟𝑒𝑠 6,062ℎ + 60 = 16,166ℎ + 159,90 ℎ = 9,89𝑚 10- Envoltória de resistência do solo: 𝜏𝑟𝑒𝑠 = 𝜏𝑠𝑜𝑙 𝜏𝑟𝑒𝑠 = 𝑐′ + 𝜎3 ′ tan 𝜙′ 80 = 𝑐′ + 80 ∙ tan 38° 80 = 𝑐′ + 62,50𝑘𝑃𝑎 Coesão: 𝑐 = 17,5𝑘𝑃𝑎 11- a) i) O solo é sobreadensado, pois a figura 8 mostra a trajetória das tensões, e graças ao ao formato de parábola, pode-se notar que no passado ele já foi submetido a tensões maior no passado que a atuante no momento ii) Contrapressão: 𝑢0 = 125 − 85 = 40𝑘𝑃𝑎 iii) Tensões s e t: 𝑡 = 𝜎1 − 𝜎3 2 = 160𝑘𝑃𝑎 𝑠 = 𝜎1 + 𝜎3 2 = 270𝑘𝑃𝑎 Resolvendo as equações para 𝜎3: 𝜎3 = 110𝑘𝑃𝑎 E obtendo 𝜎1: 𝜎1 = 250 − 110 = 140𝑘𝑃𝑎 iv) 𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜 → 𝐵 = 1,0 𝐴 = ∆𝑢 − ∆𝜎3 ∆𝜎1 − ∆𝜎3 = 40 − (250 − 125 2 ) 2 ∙ 160 = −0,07 v) Resistência não drenada: → 𝐶𝑢 = 𝜎1 − 𝜎3 2 = 𝑡 𝐶𝑢 = 160𝑘𝑃𝑎 b) Desculpa amigo, não sei fazer essa pelo visto, tudo que tentei não dá certo! c) Desculpa amigo, não sei fazer essa pelo visto, tudo que tentei não dá certo! 12- a) Equação da envoltória: 𝜏 = 𝑐′ + 𝜎′ tan 𝜙′ Aplicando os dados dos Ensaios de cisalhamento direto: [ 50 = 𝑐′ + 100 tan 𝜙′ 100 = 𝑐′ + 200 tan 𝜙′] Obtendo os parâmetros de resistência ao cisalhamento: 𝑐′ = 0 tan 𝜙′ = 0,5 → 𝜙′ = 26,6° b) 𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜 → 𝐵 = 1,0 𝐴 = ∆𝑢 − ∆𝜎3 ∆𝜎1 − ∆𝜎3 = 100 − 0 200 − 0 = 0,50 c) Grau de sobreadensamento: 𝑂𝐶𝑅 = 100 100 = 1,0 13- a) i) 𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜 → 𝐵 = 1,0 𝐴 = ∆𝑢 − ∆𝜎3 ∆𝜎1 − ∆𝜎3 = 0 − 0 330,4 − 0 = 0 ii) Desculpa amigo, não sei fazer essa pelo visto, tudo que tentei não dá certo! iii) Desculpa amigo, não sei fazer essa pelo visto, tudo que tentei não dá certo! iv) Desculpa amigo, não sei fazer essa pelo visto, tudo que tentei não dá certo! b) Acréscimo de tensão: 𝑥 𝑏 = 0 4 = 0 𝑧 𝑏 = 4 4 = 1,0 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 0,3183𝑞 Tensão vertical efetiva no ponto A: 𝜎𝑣′ = 18 ∙ 4,0 = 72𝑘𝑃𝑎 Tensão horizontal no repouso no ponto A: 𝜎ℎ ′ = 𝐾0𝜎𝑣′ 𝜎ℎ ′ = 0,5 ∙ 72 = 36𝑘𝑃𝑎 Tensão de cisalhamento no ponto A: 𝜃 = 45° + 𝜙 2 = 45° + 30° 2 = 60° 𝜏𝑠𝑜𝑙 = 𝜎𝑣 − 𝜎ℎ 2 sen 2𝜃 + 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 72 − 36 2 ∙ sen 120° = 15,59 + 31,83 = 47,42𝑘𝑃𝑎 Envoltória de resistência do solo: 𝜏𝑟𝑒𝑠 = 𝑐′ + 𝜎𝑣′ tan 𝜙′ 𝜏𝑟𝑒𝑠 = 0 + 72 tan 30° = 41,57𝑘𝑃𝑎 Portanto, haverá ruptura, fiz que a tensão de cisalhamento máxima em A é igual a 47,42kPa, e a envoltória suporta apenas 41,57kPa