Vibrações Mecânicas - Cálculo de Frequências Naturais e Modos de Vibração

P2 20141 VIBRAÇÕES MECÂNICAS 1 a75 mm L 200 mm M 0275 kg Kx Ky K 5000 Nm θ1 rotação em torno de CM no plano xz θ2 rotação em torno de CM no plano y z ΣFx Mx ΣFx 2Kx Kθθει ΣFy My ΣFy 2Ky Kθθ1 Kθθ1 ΣMx Jxxθθ ΣMx Kya Kya Ka²θ1 Ka²θ1 ΣMy Jyyθθ ΣMy Kxa Kxa Ka²θ2 Ka²θ2 M w²Ψ e ınt K Ψe ınt m 0 0 0 0 m 0 0 0 0 Ixx 0 0 0 Jyy Mw² K Ψ 0 2KlMw² 0 0 0 0 2KMw² 0 0 0 0 2Ka² Ixxw³ 0 0 0 0 2Ka²Jyyω³ Ψ 123 Z a dít z 2k mw² 2k mw² 2ka² Jxxω² 2ka² Jyyω² 0 W1 2 2km ω1 2km 191 rads ω3 2 2Ka²Jxx ω3 2Ka²Jxx 247 rads Jeto estranho Fazendo do jeito que eu sei M 0275 0 0 0 0 0275 0 0 0 0 0 92104 0 0 0 0 92104 M1 36364 0 0 0 0 36364 0 0 0 1087 0 0 0 1087 k 10000 0 0 0 0 10000 0 0 0 0 0 56015 0 0 56015 D M1 k 36364 0 0 0 0 36364 0 0 0 0 0 61144 0 0 61144 λ136364 ω1 191 rads λ2 61144 ω2 247 rads b U1 1000 U3 0010 U2 0100 U4 0001 c Considerando as rigidezas do mancal de direita ΣFx Kx k10 x kθθ2 kθθ110 11 Kx 09 kθθ θ2Fy Ky k10 y kθθ1 kθθ110 11Ky 09kθθ1 ΣMx Kya k10ya Kaθ1 k10 a²θ1 09 Kya 11 ka² θ1 ΣMy Kxa k10 xa Ka² θ2 k10 a² θ2 09 Kxa 12 Ka² θ2 K 11 K 0 0 09 ka 0 11K 09 ka 0 09 Ka 11 Ka² 09 Ka 0 0 11 Ka² 5500 0 0 3375 0 5500 3375 0 0 3375 309375 0 3375 0 0 309375 1ª Questão Considere a vibração do eixo de um motor elétrico como uma vibração transversal O eixo com massa M0275kg diâmetro 15mm e comprimento 200mm fica suportado por mancais modelados como molas nas direções horizontais x e y com rigidez KxKy5000Nm sem amortecimento Os mancais estão dispostos simetricamente a uma distância de 75mm do centro de massa do eixo Considere que o motor não pode se movimentar na direção axial Calcule a as frequências naturais do sistema b os modos naturais de vibração c os modos naturais de vibração considerando que as rigidezas de apenas um dos mancais seja reduzida por um fator de 10 d De forma qualitativa qual a influência que você esperaria nas frequências naturais do sistema caso o rotor estivesse girando em alta velocidade de rotação 2ª Questão Considere um pêndulo duplo simples com massas M1M21kg e comprimentos L1200mm e L2350mm As massas estão também cada uma ligadas ao referencial inercial na direção de seus movimentos por uma mola de rigidez K100Nm Linearizando o sistema de equações de movimento calcule a as frequências naturais do sistema b a matriz modal do sistema c a matriz de massa modal d a matriz de rigidez modal e Quanto esta mola contribuiria para a rigidez em cada um dos novos modos de vibração 3ª Questão Considere um disco sólido de alumínio com raio R200mm e espessura de apenas 4mm Foram constatadas falhas de fundição que provocaram bolhas no interior do disco Uma das bolhas possui diâmetro de 2mm e está situada a uma distância R1120mm do centro do disco Outra bolha com 15mm de diâmetro está situada a R2100mm do centro Tomandose uma referência para a posição angular dos defeitos a segunda bolha está situada em um ângulo de 45 em relação à primeira Para balanceamento do disco pretendese utilizar uma massa de aço posicionada na borda do disco Qual o valor desta massa e em que posição angular ela deverá ser colocada m m1 m2 1 kg l1 200 mm 02 m l2 350 mm 035 m k 500 Nm Pequenos ângulos ij e ij nulos cosθ 1 senθ θ massa 2 ΣFy 0 T2 mg ΣFx m l1θ1 l2θ2 T2θ2 k l1θ1 l2θ2 m l1θ1 l2θ2 ml1θ1 l2θ2 k l1θ1 mg k l2θ2 0 massa 1 ΣFy 0 T1 T2 mg 2 mg ΣFx ml1θ1 T1θ1 T2θ2 k l1θ1 ml1θ1 2 mgθ1 mgθ2 k l2θ2 ml1θ1 ml1θ1 mg kl1θ1 mgθ2 0 M θ K θ 0 02 0 θ1 396 98 θ1 0 02 035 θ2 20 448 θ2 a D M1 k 5 0 396 98 D 198 49 356 956 λ1 2334 ω1 1528 rads λ2 1206 ω2 1098 rads u1 1358 1 u2 0636 1 Logo a matriz modal u será u 1358 0636 1 1 c Mmodal UT M U Mmodal 1358 1 02 0 1358 0636 0 d Kmodal UT k U Kmodal 3 R 200 mm 02 m R1 120 mm 012 m R2 100 mm 01 m r1 1 mm 0001 m r2 075 mm 000075 m ρALU 2700 kgm3 m1 ρAlu V1 ρAlu 43 π r12 m1 113 x 105 kg m2 ρAlu V2 ρAlu 43 π r22 m2 977 x 106 kg Em y m1 R1 m2 R2 22 mc yc 0 1 Em x m1 0 m2 R2 22 mc xc 0 2 Considere a modelagem dos movimentos em um plano vertical do eixo traseiro de um carro como uma viga rígida de massa M uniformemente distribuída sobre um comprimento L Em suas extremidades estão suportadas as rodas cada uma com massa m Considere a massa do carro como muito grande comparada à massa do eixo A suspensão traseira é composta de duas molas simétricas em relação ao ponto central do eixo com rigidez K já incluindo a rigidez do pneu e amortecimento C de cada lado do veículo 1ª Questão Sendo as massas M 14kg e m 3kg o comprimento L 15m e a rigidez K 50000 Nm Quais seriam as frequências naturais de vibração do eixo Quais seriam os modos de vibração do eixo Se a rigidez da mola situada do lado direito do veículo fosse reduzida em 20 por exemplo devido ao pneu mal calibrado quais seriam as novas frequências naturais Como ficariam os modos de vibração neste caso 2ª Questão Qual seria o valor da constante de amortecimento C para que o fator de amortecimento do modo de vibração de translação vertical fosse de 07 Qual seria o fator de amortecimento neste caso para o segundo modo de vibração 3ª Questão Em uma análise modal experimental foram determinadas as duas primeiras frequências naturais de um sistema como sendo 251Hz e 628Hz Os modos de vibração correspondentes considerandose apenas estes dois graus de liberdade foram 12T e 13T Sabese também que as massas associadas aos graus de liberdade nas coordenadas físicas do problema seriam de 5kg iguais em ambos os graus de liberdade Determine as massas modais Determine as rigidezas modais 4ª Questão No balanceamento da roda dianteira de uma motocicleta foram feitas medições de deslocamento de vibração nos mancais do eixo que a suporta Em relação a uma referência angular arbitrada na roda a vibração na condição desbalanceada forneceu uma amplitude de módulo 2 em um ângulo de fase de 0 Após a colocação de uma massa de teste de 30g na parte interna do aro da roda em uma posição angular de 90 foi realizada nova medição de vibração obtendose uma amplitude de módulo 283 e ângulo de fase 45 O responsável pelo balanceamento não soube informar as unidades dos valores medidos Qual será a massa necessária para balancear a roda se a mesma for colocada também na parte interna do aro e em que posição angular deveria a mesma ser fixada PD 20142 VIBRAÇÕES MECÂNICAS 1 a M2mx kx cx kx cx k0L2 C0L2 k0L2 C02 M2mx 2kx 2cx I J BARRA J MASSA 1 J MASSA 2 J ML212 mL22 mL22 J ML212 ml22 J0 SOMA Mo ML212 ml220 KxL2 CxL2 KxL2 CxL2 K0L22 C0L2 K0L2 C0L2 ML212 ml220 k0L22 C0L22 Os sinais mudam p seg p esquerda dos iguais M2m 0 0 ML212 ml22x 0 2c 0 0 cL22x 0 2K 0 0 KL22x 0 F1 F2 0 M 20 0 0 6 M1 005 0 0 16 K 105 0 0 56250 D M1K 5103 0 0 9375 detD lambda I 0 det5103 lambda 0 0 9375 lambda 0 Autovalores lambda1 5000 lambda2 9375 Frequencias naturais W1 7071 rads e W2 9622 rads b Autovetores v1 1 0 e v2 0 1 c M2mx kx cx 08kx cx k0L2 C0L2 08K0L2 C0L2 M2mx 18kx 2cx 02k0L2 ML212 ml220 KxL2 CxL2 08KxL2 cxL2 K0L2 C0L2 08K0L2 C0L2 ML212 ml220 02xL5 18k0L24 2c0L24 Mm 0 0 ML212 ml22x 0 2c 0 0 CL22x 0 18k 01kL 01kL 18kL24x 0 F1 F2 0 K 90000 7500 7500 50625 D M1K 4500 375 1250 84375 M 005 0 0 16 lambda1 831462 lambda2 4062288 W1 9118 rads W2 6799 rads autovetores v1 0007 v2 324 2 xi ccc Ceqsqrt4megkg 2csqrt4112m2k 2csqrt420250000 07 c 98995 Nsm b xi ccc Ceqsqrt4megkg CL22sqrt4ML212 ml222 K22 989951532sqrt414132 31522500001522 xi 09585 3 f1 251Hz f2 608Hz u1 12T u2 13T m1 ma 5kg M 5 0 0 5 M1 02 0 0 02 W1 2pif1 W1 15771 rads W2 2pif2 W2 39458 rads W12 u1TKu1u1Tmu1 W12 12a b b c12 125 0 0 512 a2b b2c12 5 0 0 512 a2b2b1c25 W12 a4b4c25 a4b4c 25 W12 1 W22 13a b b c13 135 0 0 513 a3b b13c13 5 1513 a 3b 3bc50 W22 a 6b 9c50 a 6b 9c 50 W22 2 D M1K 02a 02b 02b 02c detD λI 0 b² ac 25λ² 5cλ 5cλ 0 25 substitui errado b² ac 624100 700a 700c 0 25 3 b² ac 3900625 1975a 1975c 0 25 4 b² 700a 700c ac 624100 5 b² 1975a 1975c ac 3900625 6 Diminuindo 6 de 3 1185a 1185c 3276525 a 2765 c 7 1 a 4b 4c 25 w₁² b 25w₁² a 4c 4 8 2 a 6b 9c 50 w₂² substituindo 8 em 2 a 6 25w₁² a 4c 4 9c 50w₂² 4a 150 w₁² 6a 24c 36c 200w₂² 10a 60c 200 w₂² 150 w₁² a 6c 20 w₃² 15 w₁² 9 Aplicando 7 em 9 7c 20395² 15158² 2765 c 405270 a 402505 b 14861875 Logo K 402505 14861875 14861875 405270 Portanto Kmodal UᵀKU Kmodal 1 2 1 3 402505 14861875 14861875 405270 1 7 2 3 Mmodal UᵀMU Mmodal 1 2 1 3 5 0 0 5 1 1 2 3 Mmodal Considerando uma base para máquina modelada como uma viga rígida homogênea com massa M e comprimento L e que o movimento se dá em um plano vertical responda às questões seguintes A viga está apoiada em suas extremidades por duas molas Em uma extremidade se apoia em uma mola com constante elástica K enquanto na outra extremidade se apoia em uma mola com o dobro desta constante elástica ou seja 2K 1ª Questão Uma máquina de massa m é posicionada no meio do vão da viga Escreva a equação de movimento correspondente a ser utilizada para as análises de vibrações e faça um diagrama esquemático da situação 1 Ponto Quais seriam as frequências naturais do sistema considerando M1500kg L6m K2x10⁶Nm m250kg 1 Ponto Quais seriam os modos de vibração naturais do sistema para cada frequência natural 1 Ponto Caso outra mola igual fosse colocada no meio do vão quais seriam as novas frequências e novos modos de vibração naturais do sistema 2 Pontos 2ª Questão Considere que no sistema original da questão anterior com apenas duas molas a máquina cause uma excitação vertical de vibração na viga por desbalanceamento sendo o desbalanceamento equivalente de 002kgm Se a rotação nominal da máquina é de 1200RPM calcule Qual o valor do deslocamento de vibração da viga na posição da máquina com a máquina em sua rotação nominal 2 Pontos Qual o valor da aceleração de vibração da viga em uma de suas extremidades com a máquina em sua rotação nominal 1 Ponto Qual a pior rotação para se operar a máquina no que tange à vibração do sistema 1 Ponto 3ª Questão Calcule para o sistema original da questão anterior com apenas duas molas As massas e rigidezas modais de cada modo de vibração 1 Ponto 2021 2 VIBRAÇÕES MECÂNICAS 1 a M mẍ KθL2 x 2KθL2 x M mẍ 3Kx KθL2 Iθ M₀ ML²12 θ KθL2 xL2 2KθL2 xL2 ML²12 θ KxL2 3KθL²4 Logo M m 0 0 ML²12ẍ θ 3K Kθ2 Kθ2 3K L²4x θ F 0 b Para M 1500kg L 6m k 210⁶ Nm m 250kg temos M 1750 0 0 4500 M¹ 11750 0 0 14500 D M¹K 11750 0 0 14500610⁶ 610⁶ 610⁶ 5410⁶ D 610⁶1750 610⁶1750 610⁶4500 5410⁶4500 detD λI 0 det610⁶1750 λ 610⁶1750 610⁶4500 5410⁶4500 λ 0 28810⁸7 10810⁵7 λ λ² 3210⁶7 0 Portanto rnos que λ1 292484154 λ2 1250372989 Logo as frequências naturais são w1 5411 rads w2 11182 rads c Pelo symbolo os autovetores são v1 681 1 e v2 038 1 d Com uma roda no muso não tem influência no momento Mm x 4 kx kθL2 Mm 0 0 ML212 x θ 4k kL2 kL2 3kL24x θ F 0 D M1K 1750 0 0 45008106 6106 6106 54106 D 8106 6106 6106 54106 Autovalores λ1 1257143 λ2 4000 symbolos Freq naturais w1 6325 rads w2 11222 rads Autovetores v1 042857 1 v2 6 1 We 12002π60 12566 rads We2 M KY F ZYF Y Z1F Z We2 M K Z We2Mm 3k kL2 kL2 We2 ML212 3kL24 Z 216348892 6106 6106 17061152 Z1 573161 46875 104103 2602470163403 46875 54083773 2602470163403 83281013 F Fn 0 Z1 F 16105 569106 logo Y x θ 16105 569106 a Na posição da máquina X 16105 mm b Na extremidade da viga d x lθ2 16105 656106 d 331105 mm a We2 d a 125662 331105 a 0522 ms2 c A pior notação está relacionada às frequências naturais do sistema OU encontrar a matriz do deslocamento em função do w e achar o máximo Fn mm We2 Fn 002 125662 Fn 3158 N 3 Mmodal UT M U Kmodal UT K U U 681 038 1 1 UT 681 1 038 1 Mmodal681 1 038 11750 0 0 4500681 038 1 1 Mmodal 85658 0 0 47527 119175 4500 665 4500 Kmodal 681 1 038 16106 6106 6106 54106681 038 1 1 Kmodal 2505106 0 0 5943106 3486106 1314106 828106 5628106