Controle de Processos - Comportamento Dinâmico e Identificação de Processo

Enildo Alves Bernardes bernardesenildogmailcom Controle de Processo Parte 5 Comportamento Dinâmico e Identificação de Processo Na parte 5 nós vamos investigar com mais detalhes a dinâmica de processos com estruturas específicas na tentativa de identificar as principais características de desempenho Consideraremos também a aproximação de sistemas de alta ordem por funções de transferência de ordem baixa Por fim abordaremos resposta de frequência e identificação de processo ou seja o uso de dados obtidos de experimentos em plantas para construir relações dinâmicas entre as entradas e saídas do processo Sumário 51 Comportamento Dinâmico de Processos Simples 1 511 Sistemas de Primeira Ordem 2 5111 Efeito da constante de tempo na velocidade da resposta de um sistema de controle 5 512 Sistemas Integrantes 6 513 Sistema de Segunda Ordem 8 Anexo A Estratégia para Implementar Projetos de Controle e Especificação de Desempenho 14 Estratégia para Implementar Projetos de Controle 14 Especificações de Desempenho 15 Resposta Transitória 17 Resposta em Regime Permanente 20 Constantes de erro em estado estacionário e número do tipo de sistema 23 514 Sistemas de ordem Superior 27 5141 𝒏 Processos de Primeira Ordem em Série 27 5142 Processos com Tempo Morto 27 5143 Comportamento LeadLag avaçoatraso 31 52 Aproximação de Sistemas de Ordem Superior 33 521 A Regra da Metade de Skogestad 34 53 Abordagem Empírica para Desenvolver Funções de transferência para processos existentes 36 531 Sinais de Excitação para Testes de Identificação 38 54 Resposta de Frequência 40 541 Construção da Resposta de Frequência 42 542 Resposta de Frequência de Sistemas de Primeira ordem 45 543 Tempo Morto Puro 47 544 Resposta de Frequência de Sistemas com Integradores Puros 47 545 Resposta de Frequência de Sistemas Derivativos puros 48 546 Sistemas de Segunda Ordem 48 547 Combinando Razões de Amplitudes e Ângulos de Fase 49 55 Representações Gráficas das Funções de Frequência 52 551 Diagrama de Bode 52 552 Gráficos de Bode Assintóticos 62 56 Diagrama de Nyquist 67 561 Construção Aproximada de Gráficos de Nyquist para Sistemas de Primeira Ordem 67 562 Gráfico de Nyquist Gerado pelo MATLAB 68 563 Gráficos de Bode e Nyquist de um Sistema de Segunda Ordem 70 565 Gráficos de Bode e Nyquist para um Sistema de Primeira Ordem com Tempo Morto 75 57 Testes de identificação em malha aberta e em malha fechada 78 571 Métodos gráficos para identificação de processos 81 5712 Método do Coeficiente Angular Máximo 86 5713 Método dos dois pontos para Estimar a Constante de tempo 87 Anexo B Revisão de Tópico de Álgebra Linear para o Método dos Mínimos Quadrados 91 572 Identificação do Processo Usando Métodos Numéricos 92 5721 O Método dos Mínimos Quadrados 93 573 Uso da Função Solver do Excel para a Estimativa do Vetor de Parâmetros em Identificação de Sistema 95 574 Programa Usando MATLAB Para a Estimativa de Parâmetros em Identificação de Sistema 97 58 Identificação do Processo no Domínio da Frequência 103 581 Teste Pulso 104 1 51 Comportamento Dinâmico de Processos Simples Inicialmente são considerados processos simples sem controlador Figura 51 e seu comportamento em malha aberta é estudado Seja 𝐺𝑠 a função de transferência do sistema sujeita a uma entrada 𝑈𝑠 Exceto para possíveis atrasos 𝐺𝑠 é uma fração racional Para qualquer entrada física degrau impulso rampa senoidal 𝑈𝑠 também pode ser expresso como uma fração racional portanto A transformada de Laplace 𝑌𝑠 da saída pode ser decomposta em desde que o produto 𝐺𝑠𝑈𝑠 seja estritamente próprio grau do numerador grau do denominador e que os denominadores 𝐷𝑔𝑠 e 𝐷𝑢𝑠 não tenham raízes comuns A resposta 𝑦𝑛𝑡 depende dos polos de 𝐺𝑠 e é chamada de resposta natural do sistema enquanto 𝑦𝑓𝑡 depende dos polos de 𝑈𝑠 ligados ao tipo de entrada e é referida como a resposta forçada do sistema Figura 51 Diagrama de blocos de um processo 𝐺𝑠 𝑁𝑔𝑠 𝐷𝑔𝑠 𝑈𝑠 𝑁𝑢𝑠 𝐷𝑢𝑠 51 𝑌𝑠 𝐺𝑠𝑈𝑠 𝑁𝑔𝑠 𝑁𝑢𝑠 𝐷𝑔𝑠 𝐷𝑢𝑠 𝑁1𝑠 𝐷𝑔𝑠 𝑁2𝑠 𝐷𝑢𝑠 𝑌𝑛 𝑌𝑓 52 Resposta resposta natural resposta forçada 53 2 511 Sistemas de Primeira Ordem Um sistema de primeira ordem é descrito por uma equação diferencial de primeira ordem da forma A corresponde função de transferência é igual a Na qual 𝜏𝑝 e 𝐾𝑝 são a constante de tempo e o ganho do processo respectivamente Se a entrada 𝑢 do processo é uma função degrau com magnitude 𝑀 a transformada de Laplace da entrada é Utilizando a definição da função de transferência a transformada de Laplace da saída é obtida E a resposta no domínio do tempo Figura 52 é 𝜏𝑝 𝑑𝑦𝑡 𝑑𝑡 𝑦𝑡 𝐾𝑝𝑢𝑡 54 𝐺𝑠 𝐾𝑝 𝜏𝑝𝑠 1 55 𝑈𝑠 𝑀 𝑠 56 𝑌𝑠 𝐺𝑠𝑈𝑠 𝐾𝑝 𝜏𝑝𝑠 1 𝑀 𝑠 𝑀𝐾𝑝 𝑠 𝑀𝐾𝑝𝜏𝑝 𝜏𝑝𝑠 1 𝑌𝑓 𝑌𝑛 57 𝑦𝑡 𝑀𝐾𝑝1 𝑒𝑡𝜏𝑝 58 3 As partes forçada e natural da resposta são respectivamente iguais a Com relação à entrada de magnitude 𝑀 a saída assintótica quando 𝑡 é assim multiplicada pelo ganho do processo 𝐾𝑝 Um processo de primeira ordem também é chamado de atraso de primeira ordem A constante de tempo 𝜏𝑝 corresponde ao tempo necessário para que a resposta do sistema atinja 632 de seu valor assintótico para uma entrada em degrau Após 2𝜏𝑝 a resposta chega a 865 e após 5𝜏𝑝 chega a 993 Tabela 51 Figura 52 Resposta de um sistema de primeira ordem 𝑲𝒑 𝟏 𝝉𝒑 𝟐 para uma entrada degrau unitário 𝑦𝑓𝑡 𝑀𝐾𝑝 𝑦𝑛𝑡 𝑀𝐾𝑝𝑒𝑡𝜏𝑝 59 4 O tempo de 4𝜏 é a base de demarcação entre a parte transitória e a parte de regime permanente da resposta temporal de um sistema de controle Figura 53 Quando a saída real atinge 982 do valor de regime permanente após o sistema começar a reagir à perturbação degrau dizse que o regime permanente foi alcançado O tempo 4𝜏 é denominado de tempo de resposta ou tempo de acomodação de um sistema de controle Para 𝑡 𝜏 1 𝑒1 0632 Para 𝑡 4𝜏 1 𝑒4 0982 Para 𝑡 5𝜏 1 𝑒5 0993 𝑦𝑡 𝑀𝐾𝑝1 𝑒𝑡𝜏𝑝 Figura 53 Resposta no tempo de um sistema de controle de primeira ordem submetido à função degrau unitário 5 Vários sistemas físicos reais têm dinâmicas de primeira ordem Exemplos de tais sistemas são Sistemas que armazenam massa energia ou momento Sistemas que apresentam resistência ao fluxo de massa energia ou momento 5111 Efeito da constante de tempo na velocidade da resposta de um sistema de controle Uma diminuição no valor da constante de tempo de um sistema de controle indica que o regime permanente é atingido mais cedo Portanto uma constante de tempo menor significa uma resposta mais rápida de um sistema de controle conforme ilustrado em Figura 54 Figura 54 Comparação do tempo de resposta de dois sistemas de controle tendo constantes de tempo 𝝉𝟏 e 𝝉𝟐 𝝉𝟏 𝝉𝟐 6 512 Sistemas Integrantes Processos integrantes ou capacitivos puros são aqueles cuja dinâmica contém apenas a derivada de primeira ordem de 𝑦𝑡 A função de transferência correspondente é A transformada de Laplace da saída de tal sistema para uma função degrau com magnitude 𝑀 é A resposta no domínio do tempo 𝑦𝑡 Figura 55 é portanto igual a 𝑑𝑦𝑡 𝑑𝑡 𝐾𝑝𝑢𝑡 510 𝐺𝑠 𝐾𝑝 𝑠 511 𝑌𝑠 𝐾𝑝 𝑠 𝑀 𝑠 512 𝑦𝑡 𝑀𝐾𝑝𝑡 513 Figura 55 Resposta de um sistema capacitivo puro 𝑲𝒑 𝟏 para uma entrada degrau unitário 7 O processo é chamado de capacitivo puro ou integrador puro O termo capacitivo significa o acúmulo de cargas elétricas energia ou massa Um tanque pulmão pode se comportar como um processo capacitivo puro O tipo mais comum de processo integrante é o nível em um tanque para o qual a saída e a entrada são fixadas independentemente do nível A Figura 56 mostra um processo de nível não integrante que é um processo autorregulável porque a vazão através da válvula de controle é dependente do nível no tanque A Figura 57 mostra um processo integrante que é um processo não autorregulável porque a vazão através da válvula de controle é independente do nível no tanque O processo na Figura 57 é não autorregulável porque a bomba tira uma vazão constante de líquido do tanque Assim se a vazão na entrada 𝐹entra aumentar ou diminuir o nível de líquido no tanque vai aumentar ou diminuir até o tanque transbordar ou secar respectivamente Figura 56 Esquema de um nível autorregulável em um tanque que não é um processo integrante Figura 57 Esquema de um nível não autorregulável em um tanque que é um processo integrante 8 513 Sistema de Segunda Ordem Um sistema de segunda ordem é descrito por uma equação diferencial de segunda ordem escrita na forma clássica como Com a correspondente função de transferência Na qual𝜏𝑛 é o período natural de oscilação do sistema que determina o tempo de estabilização do sistema 𝜁 é o fator de amortecimento e 𝐾𝑝 é o ganho em regime permanente do sistema A função de transferência de um sistema de segunda ordem às vezes é escrita como Na qual 𝜔𝑛 1𝜏𝑛 é a frequência natural não amortecida e 𝜎 𝜁𝜔𝑛 é o parâmetro de amortecimento Vários processos físicos reais exibem dinâmicas de segunda ordem entre eles estão Dois sistemas de primeira ordem em série Sistemas intrínsecos de segunda ordem por exemplo sistemas mecânicos com aceleração Função de transferência em malha fechada de um processo de primeira ordem com um controlador PI 𝜏𝑛2 d2𝑦𝑡 d𝑡2 2𝜁𝜏𝑛 d𝑦𝑡 d𝑡 𝑦𝑡 𝐾𝑝𝑢𝑡 514 𝐺𝑠 𝐾𝑝 𝜏𝑛2𝑠2 2𝜁𝜏𝑛𝑠 1 515 𝐺𝑠 𝐾𝑝𝜔𝑛2 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛2 516 9 Observe que a função de transferência 𝐺𝑠 definida pela Equação 515 tem dois polos raízes de 𝜏𝑛2𝑠2 2𝜁𝜏𝑛𝑠 1 0 que são iguais a Se o período natural 𝜏𝑛 for fixo então a posição dos polos depende apenas do fator de amortecimento 𝜁 A forma da resposta em malha aberta para uma determinada entrada é determinada pela localização desses polos no plano 𝑠 Para 0 𝜁 1 a frequência natural 𝜔𝑛 é igual à distância dos polos a origem a frequência amortecida 𝜔𝑟 é igual à distância dos polos ao eixo real e o parâmetro de amortecimento 𝜎 é igual à distância dos polos ao eixo imaginário Se a entrada é uma função degrau com magnitude 𝑀 a transformada de Laplace da saída é igual a Que pode ser decomposta em A resposta global consiste nas respostas forçada e natural 𝑠𝑖 1 𝜏𝑛 𝜁 𝜏2 1 se 𝜁 1 1 𝜏𝑛 𝜁 𝑗1 𝜁2 𝜔𝑛 𝜁 𝑗1 𝜁2 𝜎 𝑗𝜔𝑟 se 0 𝜁 1 517 𝑌𝑠 𝐾𝑝 𝜏𝑛2𝑠2 2𝜁𝜏𝑛𝑠 1 𝑀 𝑠 518 𝑌𝑠 𝑀𝐾𝑝 𝑠 𝑀𝐾𝑝𝜏𝑛2 𝑠 2𝜁𝜏 𝜏𝑛2𝑠2 2𝜁𝜏𝑛𝑠 1 𝑌𝑓s 𝑌𝑛𝑠 519 𝑦𝑡 𝑦𝑓𝑡 𝑦𝑛𝑡 520 10 A resposta forçada é igual a A resposta global é A resposta forçada é constante e igual a 𝑀𝐾𝑝 enquanto a resposta natural tende a 0 quando 𝑡 A resposta natural depende do valor de 𝜁 Figura 58 Para 𝜁 1 haverá dois polos reais e distintos A resposta é superamortecida sistemas multicapacitivos sem overshoot Para 𝜁 1 haverá um polo múltiplo de segunda ordem A resposta é criticamente amortecida o que corresponde à resposta mais rápida que superamortecimento Para 0 𝜁 1 haverá dois polos conjugados complexos com parte real negativa A resposta é subamortecida Essa resposta é inicialmente mais rápida do que as respostas criticamente amortecidas e superamortecidas que são lentas a desvantagem é a presença de overshoot 𝑦𝑓𝑡 𝑀𝐾𝑝 521 𝑦𝑡 𝑀𝐾𝑝 1 𝑒𝜁𝑡𝜏𝑛 cosh 𝜁2 1 𝜏𝑛 𝑡 𝜁 𝜁2 1 senh 𝜁2 1 𝜏𝑛 𝑡 Se 𝜁 1 𝑀𝐾𝑝 1 1 𝑡 𝜁 𝑒𝑡𝜏𝑛 Se 𝜁 1 𝑀𝐾𝑝 1 𝑒𝜁𝑡𝜏𝑛 cos 1 𝜁2 𝜏𝑛 𝑡 𝜁 𝜁2 1 sen 1 𝜁2 𝜏𝑛 𝑡 Se 0 𝜁 1 11 Figura 58 Resposta normalizada de um sistema de segunda ordem para uma função degrau unitário considerando diferentes valores do fator de amortecimento 𝜻 025 1 13 resultando em resposta subamortecida oscilatória criticamente amortecida e sobreamortecida 𝑲𝒑 𝟏 𝝉 𝟏 12 Com referência à resposta subamortecida da Figura 59 os seguintes termos são definidos Sobreelevação overshoot Razão de decaimento Figura 59 Resposta de um sistema de segunda ordem para uma entrada degrau unitário overshoot 𝐴 𝐵 exp 𝜋𝜁 1 𝜁2 522 Razão de decaimento 𝐶 𝐴 exp 2𝜋𝜁 1 𝜁2 overshoot2 523 13 Para um sistema com fator de amortecimento 𝜁 igual a zero o sistema oscila continuamente com o período natural de oscilação 𝑇𝑛 2𝜋𝜏𝑛 2𝜋𝜔𝑛 O período real de oscilação 𝑇𝑟 é o tempo entre dois picos sucessivos caracterizado por sua frequência amortecida 𝜔𝑟 Tempo de elevação este é o tempo requerido para cruzar o novo valor de regime permanente pela primeira vez Pode ser definido também como o tempo requerido para ir de 10 a 90 do novo valor de regime permanente Neste caso ele pode ser aproximado por Tempo de alcance do primeiro pico o tempo necessário para que a resposta atinja o primeiro pico Tempo de estabilização ou tempo de resposta tempo necessário para que a resposta permaneça em um intervalo entre ε 5 2 1 do valor de regime permanente final Para ε 1 segundo Goodwin e Sin 1984 o tempo de acomodação é 𝜔𝑟 𝜔𝑛1 𝜁2 1 𝜁2 𝜏𝑛 2𝜋 𝑇𝑟 524 𝑡elev 𝜏𝑛 𝜋 𝜙 1 𝜁2 𝜙 arctg 1 𝜁2 𝜁 525 𝑡elev 25𝜏𝑛 526 𝑡p 𝜋 𝜔𝑟 𝜋 𝜔𝑛1 𝜁2 𝜋𝜏𝑛 1 𝜁2 527 𝑡resp 46𝜏𝑛 𝜁 528 14 Anexo A Estratégia para Implementar Projetos de Controle e Especificação de Desempenho Estratégia para Implementar Projetos de Controle O objetivo final da engenharia de sistemas de controle é construir sistemas físicos reais para executar algumas tarefas específicas Para atingir esse objetivo são necessários o projeto e a implementação física de uma estratégia de controle A abordagem padrão para projetar o sistema de controle é a seguinte Um modelo matemático é construído fazendo suposições necessárias sobre várias quantidades imprecisas da dinâmica do sistema Se o objetivo for bem definido em termos matemáticos precisos então as estratégias de controle podem ser derivadas matematicamente por exemplo otimizando algum critério de desempenho Esta é a base de todas as estratégias de controle baseadas em modelos Esta abordagem é viável quando é possível especificar matematicamente o objetivo e o modelo Para algumas aplicações de controle geralmente é possível a identificação de modelos matemáticos de sistemas próximos o suficiente da realidade No entanto para aplicações de controle de processos sistemas de controle de pressão vazão nível de líquido temperatura e composição a identificação precisa da dinâmica do processo pode ser cara mesmo que uma identificação significativa seja possível Isso ocorre porque os processos industriais são relativamente lentos e complexos Para ε 2 𝑡resp 4𝜏𝑛 𝜁 Para ε 5 𝑡resp 3𝜏𝑛 𝜁 528𝑎 528𝑏 15 Portanto no campo do controle de processos não é incomum seguir uma abordagem ad hoc destinada a essa finalidade para o desenvolvimento de controladores quando o desempenho do sistema de controle pode ser flexibilizado Na abordagem ad hoc selecionamos um determinado tipo de controlador com base na experiência anterior com o processo a ser controlado e em seguida definimos os parâmetros do controlador por experiência uma vez que o controlador é instalado O projeto experimental das configurações do controlador passou a ser conhecido como a sintonia do controlador Especificações de Desempenho Os objetivos de um sistema de controle são 1 A saída 𝑦 deve seguir a entrada 𝑦𝑠𝑝 ver Figura 110 e 2 O efeito de variáveis perturbadoras 𝑑 devem ser eliminadosminimizados O desempenho do sistema de controle depende das características e da natureza de 𝑦𝑠𝑝 e de 𝑑 Funções matemáticas precisas para 𝑦𝑠𝑝 e 𝑑 geralmente não são conhecidas na prática por exemplo em um sistema de aquecimento residencial nós podemos ter muito claro que 𝑦𝑠𝑝 será constante digamos 22 C mas não podemos predizer a variação da perturbação principal a temperatura do exterior A natureza imprecisa de muitas perturbações práticas e incertezas de modelos tornam difícil o desenvolvimento de critérios de desempenho experimentados pelos sistemas reais É comum avaliar o desempenho da resposta do sistema com base em sinais de teste padrão simples como impulso degrau rampa parábola e onda senoidal Esta abordagem tem sido bemsucedida por várias razões A experiência com o desempenho real de várias classes de sistemas de controle estabeleceu uma boa correlação entre a resposta dos sistemas às entradas padrão e a capacidade dos sistemas de realizar as tarefas exigidas 16 O projeto está muito preocupado com a comparação de sistemas competitivos Muitas vezes esta comparação pode ser feita quase tão bem em termos de insumos padrão quanto em termos de insumos reais Os critérios padrões de desempenho de uso comum podem ser classificados como pertencentes ao domínio do tempo ou ao domínio da frequência As especificações no domínio do tempo têm a ver com a resposta a degraus rampas parábolas e similares enquanto as especificações no domínio da frequência se preocupam com certas características da resposta de frequência do sistema Ambos os tipos de especificações são frequentemente aplicados ao mesmo sistema para garantir que certas características de comportamento serão obtidas Podese notar que todas as especificações de desempenho não têm sentido a menos que o sistema seja absolutamente estável O estudo de um sistema de controle envolve essencialmente a avaliação das respostas transitórias e estacionárias do sistema e a robustez do desempenho contra incertezas do modelo e perturbações A natureza da resposta transitória de um sistema de controle linear é revelada por qualquer um dos sinais de teste padrão impulso degrau rampa parábola já que esta natureza depende apenas dos polos do sistema e não do tipo de entrada Portanto é suficiente analisar a resposta transitória a um dos sinais de teste padrão geralmente uma entrada em degrau é usada para esse propósito A resposta em regime permanente depende do sistema e do tipo de entrada Do ponto de vista do regime permanente a entrada mais fácil geralmente é a entrada em degrau pois requer apenas a manutenção da saída em um valor constante quando o transitório terminar Um problema mais difícil é o rastreamento de uma entrada em rampa O rastreamento de uma parábola é ainda mais difícil porque uma função parabólica é um grau mais rápida que a função rampa Na prática raramente achamos necessário usar um sinal mais rápido que uma função parabólica as características dos sinais reais que os sistemas de controle encontram são adequadamente representadas por funções em degrau rampa e parabólicas 17 O princípio da superposição nos permite considerar a resposta separadamente considerando mudanças no setpoint e nas perturbações A robustez descreve a capacidade do sistema de funcionar satisfatoriamente diante de inconsistências do modelo utilizado para o projeto e da planta real Resposta Transitória A resposta transitória de um sistema de controle prático frequentemente exibe oscilações amortecidas antes de atingir o regime permanente Ao especificar as características de resposta transitória de um sistema de controle para uma entrada em degrau unitário é comum especificar o seguinte i tempo de elevação ii tempo de pico iii Overshoot e iv tempo de resposta O tempo de elevação e o overshoot são considerados critérios de velocidade de resposta Claramente quanto menores forem esses valores mais rápida será a resposta do sistema O overshoot é usado principalmente para estabilidade relativa Valores superiores a cerca de 40 podem indicar que o sistema está perigosamente próximo da instabilidade O tempo de resposta combina aspectos de estabilidade e velocidade de resposta e é amplamente utilizado Observe na Figura A1 que o sistema A que tem um tempo de elevação muito mais curto que o sistema B não é em certo sentido realmente mais rápido que B uma vez que não se estabiliza na vizinhança do valor desejado até um tempo mais tardio por causa da característica indesejável de ultrapassar o valor final e depois ter que voltar na direção oposta 18 A maioria das ferramentas de análise e projeto de sistemas de controle feedback pressupõe que um modelo suficientemente preciso do processo a ser controlado tenha sido estabelecido Usando este modelo o projeto é realizado para atender às especificações de desempenho no domínio do tempo eou no domínio da frequência As ferramentas de análise que verificam o projeto também utilizam o mesmo modelo Este projeto certamente será decepcionante quando o sistema de controle for colocado em uso na vida real Isso ocorre porque em um sistema razoavelmente complexo sempre existem discrepâncias entre o modelo e o processo real Os métodos de projeto que nos permitem considerar explicitamente essas discrepâncias ou seja projetar um controlador sem ter um modelo matemático preciso em mãos ainda precisam amadurecer Precisamos de um projeto que não seja válido apenas para o modelo aproximado mas que seja válido com certeza para uma classe de modelos de plantas e portanto para o processo real Uma boa robustez contra erros de modelagem e contra variações nos parâmetros do modelo devido a efeitos ambientais e outros é um requisito importante do projeto Figura A1 Significância do tempo de resposta 19 Valores maiores de 𝜁 fornecem valores menores de overshoot mas resposta mais lenta Às vezes nenhum overshoot é desejável mas geralmente isso penaliza desnecessariamente a velocidade de resposta Muitos sistemas são projetados para overshoot de 5 a 25 Para projetos com overshoot inferior a 5 o preço é pago em termos de velocidade de resposta e os projetos com overshoot superior a 25 correm o risco de ficar próximos da instabilidade Qual é o melhor fator de amortecimento 𝜁 a ser usado A seleção do fator de amortecimento para aplicações de controle industrial requer um compromisso entre a estabilidade e a velocidade de resposta Um fator de amortecimento menor diminui o tempo de elevação mas aumenta o overshoot A escolha final do fator de amortecimento é subjetiva Muitos sistemas são projetados para fatores de amortecimento na faixa de 04 a 07 isso corresponde a um overshoot na faixa de 5 a 25 Se permitido pelas considerações de tempo de elevação 𝜁 próximo de 07 é a escolha mais óbvia porque resulta em um tempo de elevação mínimo Se o requisito for projetar um sistema de controle extremamente exato cujos erros de regime permanente sejam extremamente pequenos a resposta transitória não é o principal critério de desempenho a ser otimizado o erro mínimo em regime permanente é o objetivo principal Neste caso o fator de amortecimento 𝜁 deve ser o menor possível porque o erro em regime permanente é proporcional a 𝜁 Valores próximos de 01 não são incomuns para tais aplicações a desvantagem do tempo de resposta relativamente longo deve ser tolerada Existem situações em que o overshoot não pode ser tolerado Um bom compromisso entre tempo de elevação e overshoot é 𝜁 1 Pode ser mostrado que o tempo de resposta é mínimo para 𝜁 068 Este fato justifica porque sistemas de controle normalmente são projetados para terem respostas subamortecidas 20 Resposta em Regime Permanente O erro de regime permanente 𝑒rp é um índice de resposta de um sistema para uma entrada especificada Indica o erro entre a saída real e a saída desejada conforme o tempo 𝑡 tende ao infinito Com referência ao diagrama de blocos da Figura 110 o erro em regime permanente é definido como Ao especificar as características de resposta em regime permanente de um sistema é comum especificar o erro em regime permanente do sistema para um ou mais dos sinais de teste padrão degrau rampa parábola A Figura A2 é uma ilustração típica do efeito da severidade da entrada no erro em regime permanente O erro em regime permanente para entradas em degrau é zero Figura A2a O mesmo sistema submetido a uma entrada em rampa tem 𝑒rp constante Figura A2b A entrada parabólica Figura A2c causa um erro que aumenta linearmente em relação ao tempo 𝑒𝑟𝑝 lim 𝑡 𝑦𝑠𝑝𝑡 𝑦𝑡 21 Figura A2 Efeito da severidade de entrada sobre o erro de regime permanente 22 Quando a entrada do sistema é uma perturbação 𝑑 𝑦𝑠𝑝 0 alguns dos critérios de desempenho dados anteriormente ainda podem ser usados embora outros não Ainda é possível definir um tempo de pico Figura A3 Entretanto 𝑡elev 𝑡res e overshoot são todos referenciados ao tamanho do degrau desejado que agora é zero portanto esses índices não podem ser usados A razão de decaimento é um critério de desempenho de resposta transitória frequentemente usado em sistemas de controle de processo sendo o valor de projeto mais comum 14 Poderíamos também usar o número de ciclos para amortecer a amplitude para digamos 10 de 𝑀𝑑𝑝 o valor de pico da resposta para a entrada perturbadora Quanto menor o número de ciclos maior será a velocidade de resposta e melhor a estabilidade relativa Quando a entrada do sistema é uma perturbação 𝑑 a definição de erro em regime permanente ainda se aplica e esperaríamos a tendência de piora do erro à medida que 𝑑 muda de degrau para rampa e para parábola semelhante ao comportamento da Figura A2 Figura A3 Especificações no domínio do tempo para entradas perturbadoras 23 Constantes de erro em estado estacionário e número do tipo de sistema O erro de regime permanente é uma medida da precisão do sistema quando um tipo específico de entrada é aplicado a um sistema de controle O projetista sempre se esforça para projetar o sistema de forma a minimizar o erro para uma determinada classe antecipada de entradas Esta seção considera as técnicas disponíveis para determinar a precisão do sistema O erro de regime permanente aplicando o teorema do valor final Para o sistema mostrado na Figura A4 considerando que 𝑠𝐸𝑠 não tem nenhum polo no eixo imaginário e na metade direita do plano complexo temos 𝑒𝑟𝑝 lim 𝑡 𝑦𝑠𝑝𝑡 𝑦𝑡 lim 𝑠0 𝑠𝐸𝑠 Figura A4 Um sistema feedback unitário Es 𝑌𝑠𝑝𝑠 𝑌𝑠 1 𝑌𝑠 𝑌𝑠𝑝𝑠 𝑌𝑆𝑃𝑠 1 1 𝐶𝑠𝐺𝑠 𝑌𝑠𝑝𝑠 𝐴1 𝐴2 24 Substituindo A2 em A1 temos Assim o regime permanente de um sistema feedback unitário depende do sinal de entrada 𝑌𝑠𝑝𝑠 e da função de transferência em malha aberta 𝐶𝑠𝐺𝑠 Pela natureza do limite na Equação A3 vemos que o resultado do limite pode ser zero pode ser uma constante diferente de zero ou o limite pode não existir caso em que o teorema do valor final não se aplica mas neste caso é fácil ver pela definição básica A1 que 𝑒rp Sistemas com erro de regime permanente finito diferente de zero quando a entrada de referência é uma entrada polinomial de ordem zero um degrau são rotulados como tipo 0 Da mesma forma um sistema que tem erro de regime permanente finito diferente de zero para uma entrada polinomial de primeira ordem uma rampa é chamado de tipo 1 um sistema com erro de regime permanente finito diferente de zero para uma entrada polinomial de segunda ordem uma parábola é chamado de sistema tipo 2 e assim por diante Para uma entrada em degrau o erro de regime permanente é obtido substituindo 𝑌𝑠𝑝𝑠 1𝑠 na Equação A3 A quantidade lim 𝑠0 𝐶𝑠𝐺𝑠 é definida como a constante de erro de posição e é indicada por Portanto erro de regime permanente em termos de 𝐾𝑝 é dado por 𝑒𝑟𝑝 lim 𝑠0 𝑠𝑌𝑠𝑝𝑠 1 𝐶𝑠𝐺𝑠 𝑒𝑟𝑝 lim 𝑠0 1 1 𝐶𝑠𝐺𝑠 1 1 lim 𝑠0 𝐶𝑠𝐺𝑠 𝐾𝑝 lim s0 𝐶𝑠𝐺𝑠 𝑒rp 1 1 𝐾𝑝 𝐴3 25 Para uma entrada em rampa o erro de regime permanente é obtido substituindo 𝑌𝑠𝑝𝑠 1𝑠2 na Equação A3 então A quantidade lim 𝑠0 𝑠𝐶𝑠𝐺𝑠 é definida como a constante de erro de velocidade e é indicada por 𝐾𝑣 Portanto Uma expressão para erro de regime permanente devido a entrada 𝑌𝑠𝑝𝑠 1𝑠3 na Equação A3 é A quantidade lim 𝑠0 𝑠2𝐶𝑠𝐺𝑠 é definida como a constante de erro de aceleração e é indicada por 𝐾𝑎 Portanto A função de transferência em malha aberta 𝐶𝑠𝐺𝑠 pode ser expressa como 𝑒𝑟𝑝 lim 𝑠0 1 𝑠1 𝐶𝑠𝐺𝑠 1 lim 𝑠0 𝑠𝐶𝑠𝐺𝑠 𝐾𝑣 lim 𝑠0 𝑠𝐶𝑠𝐺𝑠 𝑒rp 1 𝐾𝑣 𝑒𝑟𝑝 lim 𝑠0 1 𝑠21 𝐶𝑠𝐺𝑠 1 lim 𝑠0 𝑠2𝐶𝑠𝐺𝑠 𝐾𝑣 lim 𝑠0 𝑠2𝐶𝑠𝐺𝑠 𝑒rp 1 𝐾𝑎 𝐶𝑠𝐺𝑠 𝑘 𝑠 𝑧𝑖 𝑖 𝑠𝑁 𝑠 𝑝𝑗 𝑗 𝑧𝑖 0 𝑝𝑗 0 26 O termo 1 𝑠𝑁 corresponde ao número 𝑁 de integradores puros em 𝐶𝑠𝐺𝑠 representa um polo de multiplicidade 𝑁 na origem Como 𝑠 0 este termo domina na determinação do erro de regime permanente É costume classificar o sistema de acordo com o número de integradores na função de transferência em malha aberta 𝐶𝑠𝐺𝑠 conforme descrito a seguir Sistema do Tipo 0 Se 𝑁 0 o erro de regime permanente para as entradas padrões é Sistema do Tipo 1 Se 𝑁 1 o erro de regime permanente para as entradas padrões é Sistema do Tipo 1 Se 𝑁 2 o erro de regime permanente para as entradas padrões é 𝑒𝑟𝑝 1 1 𝐾𝑝 em resposta a entrada degru unitário 𝐾𝑝 𝑘 𝑠 𝑧𝑖 𝑖 𝑠 𝑝𝑙 𝑗 𝑠0 em resposta a entrada rampa unitária em resposta a entrada parabólica unitária 𝑒𝑟𝑝 0 em resposta a entrada degru unitário 1 𝐾𝑣 em resposta a entrada rampa unitária 𝐾𝑣 𝑘 𝑠 𝑧𝑖 𝑖 𝑠 𝑝𝑙 𝑗 𝑠0 em resposta a entrada parabólica unitária 𝑒𝑟𝑝 0 em resposta a entrada degru unitário 0 em resposta a entrada rampa unitária 1 𝐾𝑎 em resposta a entrada parabólica unitária 𝐾𝑎 𝑘 𝑠 𝑧𝑖 𝑖 𝑠 𝑝𝑙 𝑗 𝑠0 27 514 Sistemas de ordem Superior Dois tipos de sistemas de ordem superior serão descritos 𝑛 Processos de primeira ordem em série multicapacitivo Processos com Tempo Morto 5141 𝒏 Processos de Primeira Ordem em Série Dispositivos de separação por estágio como colunas de destilação e absorção podem ser representados como uma série de processos de primeira ordem Por exemplo para uma coluna de destilação cada prato pode ser considerado um processo de primeira ordem A função de transferência de 𝑛 processos de primeira ordem em série é obtida multiplicando as funções de transferência dos 𝑛 sistemas de primeira ordem 5142 Processos com Tempo Morto O atraso de tempo pode ser uma característica dinâmica inerente de um processo ou devido à medição No primeiro caso a entrada do processo não afeta imediatamente a saída do processo No último caso o sinal medido recebido pelo controlador não corresponde às informações imediatas do processo e sofre atraso Um exemplo comum de atraso de tempo é o atraso de transporte que pode ser devido ao processo à medição ou a ambos Considere por exemplo a medição de concentração em um reator que frequentemente não é feita no local Figura 510 O dispositivo de medição é montado em um circuito de amostragem A amostra é bombeada e sofre algum atraso de transporte 𝜃 para alcançar o sensor 𝐺𝑠 𝐾𝑝𝑖 𝜏𝑖𝑠 1 𝑛 𝑖1 529 28 No caso de uma coluna de destilação em geral as concentrações do destilado e do fundo são controladas pela manipulação por exemplo da vazão de refluxo e da vazão de vapor para o refervedor As medições tipicamente são os níveis no refervedor e no condensador temperaturas em diferentes pontos da coluna e concentrações de produto de topo destilado e de produto de fundo As medições de temperatura e nível podem ser consideradas instantâneas Este não é o caso para a medição de concentração por exemplo No caso de refinarias muitas vezes é utilizado um cromatógrafo a alguma distância da coluna de destilação Nesses casos o tempo de atraso consistirá em um atraso de transporte para bombear a amostra do processo para o analisador e um tempo adicional para a análise da amostra que no caso de um cromatógrafo pode ser da ordem de várias dezenas de segundos Uma amostra é retirada da coluna de destilação no tempo 𝑡1 e o resultado estará disponível no tempo 𝑡2 onde 𝑡2 𝑡1 𝜃 Durante a medição o processo continua a evoluir O atraso de tempo representa um problema no controle do processo O atraso de tempo entre uma entrada e uma saída Figura 511 significa que as variações de entrada não têm influência imediata na saída Figura 510 Caso a sensor no local Caso b sensor colocado na tubulação de saída introduzindo um atraso de transporte Figura 511 Resposta de um sistema com tempo morto 29 Para um sistema de primeira ordem com atraso de tempo a função de transferência que liga a entrada 𝑢𝑡 e a saída atrasada 𝑦𝑡 𝜃 é O termo exponencial é um termo não linear Muitas vezes é aproximado por exemplo por uma aproximação de Padé aqui uma aproximação de primeira ordem que converte o termo de atraso em uma fração racional Equação 531 Uma aproximação mais precisa é realizada pela aproximação de Padé de segunda ordem Equação 532 A Figura 512 mostra a resposta ao degrau unitário de um sistema de primeira ordem sem atraso de tempo 𝑦𝑡 com atraso de tempo exato 𝑦𝑡 𝜃 com aproximação de Padé de primeira ordem 𝑦1 e com aproximação de Padé de segunda ordem 𝑦2 Observe que as aproximações são válidas para tempos muito maiores que o tempo de atraso Inicialmente ambas as aproximações de primeira e segunda ordem apresentam resposta inversa devido aos zeros das funções de transferência racionais introduzidas pelas aproximações de Padé O número de interseções da resposta aproximada com o eixo do tempo é igual à ordem de aproximação de Padé e corresponde ao número de zeros reais positivos ou zeros complexos com parte real ℒ𝑦𝑡 𝜃 ℒ𝑢𝑡 𝐾𝑝𝑒𝜃𝑠 𝜏𝑝𝑠 1 530 𝑒𝜃𝑠 1 𝜃 2 𝑠 1 𝜃 2 𝑠 531 𝑒𝜃𝑠 1 𝜃 2 𝑠 𝜃2 12 𝑠2 1 𝜃 2 𝑠 𝜃2 12 𝑠2 532 30 positiva da função de transferência ou seja para a aproximação de Padé de primeira ordem existe um zero real positivo e para a aproximação de Padé de segunda ordem existem dois zeros complexos conjugados com parte real positiva Não existe uma aproximação perfeita para o atraso de tempo No entanto os computadores digitais lidam com atrasos de tempo com relativa facilidade principalmente no caso de controle digital Figura 512 Resposta de um sistema de primeira ordem 𝑲𝒑 𝟐 𝝉 𝟓 com um tempo morto de 20 s para uma entrada em degrau 𝒚𝒕 sem tempo morto 𝒚𝒕 𝜽 com tempo morto 𝒚𝟏Padé de primeira ordem 𝒚𝟐Padé de segunda ordem 31 5143 Comportamento LeadLag avaçoatraso As funções de transferência leadlag têm os polinômios do numerador e do denominador com a mesma ordem Isso ocorre quando a entrada do sistema envolve uma derivada da entrada em relação ao tempo A entrada tem um efeito direto na variável de saída Em termos do modelo de espaço de estados Equação 122 isso significa que 𝐷 0 Considere um processo de primeira ordem submetido à seguinte entrada Combinando esta entrada com a EDO para um sistema de primeira ordem Equação 54 Aplicando a transformada de Laplace assumindo condições iniciais de regime permanente temse Rearranjando e resolvendo para 𝑌𝑠𝑈𝑠 temse A Equação 533 pode ser rearranjada na forma geral para a função de transferência de um elemento de avançoatraso lead lag 𝑏1𝑢𝑡 𝑏2 𝑑𝑢𝑡 𝑑𝑡 𝜏𝑝 𝑑𝑦𝑡 𝑑𝑡 𝑦𝑡 𝐾𝑝 𝑏1𝑢𝑡 𝑏2 𝑑𝑢𝑡 𝑑𝑡 𝜏𝑝𝑠𝑌𝑠 𝑌𝑠 𝐾𝑝𝑏1𝑈𝑠 𝑏2𝑠𝑈𝑠 𝐺𝑠 𝑌𝑠 𝑈𝑠 𝐾𝑝𝑏1 𝑏2𝑠 𝜏𝑝𝑠 1 533 𝐺𝑙𝑒𝑎𝑑𝑙𝑎𝑔 𝐾𝑙𝑒𝑎𝑑𝑙𝑎𝑔 𝜏𝑙𝑑𝑠 1 𝜏𝑙𝑔𝑠 1 534 32 na qual 𝜏𝑙𝑑 é igual a b2b1 𝜏𝑙𝑔 é igual a 𝜏𝒑 e 𝐾𝑙𝑒𝑎𝑑𝑙𝑎𝑔 é igual a 𝐾pb1 𝜏𝑙𝑑 é referido como o avanço lead e 𝜏𝑙𝑔 é chamado de atraso lag O comportamento no domínio do tempo de um elemento de avançoatraso leadlag para uma mudança degrau na entrada é dado por Este resultado é obtido combinando a função de transferência para um elemento de avançoatraso leadlag com uma entrada degrau unitário ou seja Us 1s e aplicando expansão em frações parciais antes dela ser convertida para o domínio do tempo A Figura 513 mostra a saída de um elemento de avançoatraso leadlag para uma mudança degrau unitário na entrada para 𝐾𝑙𝑒𝑎𝑑𝑙𝑎𝑔 igual a um quando 𝜏𝑙𝑑 é maior que 𝜏𝑙𝑔 e quando 𝜏𝑙𝑔 é menor que 𝜏𝑙𝑔 O comportamento dinâmico de um elemento de avançoatraso leadlag pode ser entendido examinando os termos dentro dos colchetes na Equação 535 Quando 𝜏𝑙𝑑 é maior que 𝜏𝑙𝑔 os termos nos colchetes têm um resultado positivo e inicialmente 𝑦𝑡 é maior que um mas se aproxima monotonicamente de um Se 𝜏𝑙𝑑 é menor que 𝜏𝑙𝑔 os temos dentro dos colchetes tem um resultado negativo e a resposta inicial é menor que um mas se aproxima monotonicamente de um Elementos leadlag são utilizados para fornecer compensação dinâmica para controle de ação antecipada feedforward e desacopladores serão apresentados em sistemas de controle MIMO 𝑦𝑡 𝐾𝑙𝑒𝑎𝑑𝑙𝑎𝑔 𝜏𝑙𝑑 𝜏𝑙𝑔 1 𝑒𝑡𝜏𝑙𝑔 1 535 33 52 Aproximação de Sistemas de Ordem Superior Função de transferência de alta ordem com grandes diferenças entre constantes de tempo pode ser aproximada por funções de transferência de ordem baixa 1ª e 2ª ordem com tempo morto As funções de segunda ordem geralmente fornecem uma aproximação melhor No entanto a aproximação pela função de 1ª ordem mais tempo morto é o que é utilizado para a sintonia de controladores com relações empíricas A aproximação pode ser escrita considerando que Figura 513 O efeito da razão entre 𝝉𝒍𝒅 e 𝝉𝒍𝒈 sobre a resposta dinâmica de um elemento de avançoatraso leadlag 𝑲𝒍𝒆𝒂𝒅𝒍𝒂𝒈 𝟏 𝑒𝜃𝑠 1 𝜃𝑠 e 𝑒𝜃𝑠 1 𝜃𝑠 Série de Taylor 533 34 Considere o seguinte exemplo Neste caso o polo dominante é 16 correspondente à maior constante de tempo 6 unidades de tempo Usando as seguintes aproximações A função de transferência original pode então ser aproximada por 521 A Regra da Metade de Skogestad O método proposto por Skogestad 2003 aproxima a maior constante de tempo desprezada no denominador da seguinte maneira Metade de seu valor é adicionada ao tempo morto existente se houver e a outra metade é adicionada à menor constante de tempo retida As constantes de tempo menores que a maior desprezada são aproximadas como no exemplo anterior A motivação para esta regra é derivar modelos aproximados de baixa ordem que são mais apropriados para o projeto de sistemas de controle 𝐺𝑝𝑠 𝑌𝑠 𝑈𝑠 35𝑠 1 6𝑠 13𝑠 12𝑠 1 1 3𝑠 1 1 𝑒3𝑠 𝑒3𝑠 1 2𝑠 1 1 𝑒2𝑠 𝑒2𝑠 5𝑠 1 𝑒5𝑠 𝐺𝑝𝑠 35𝑠 1 6𝑠 13𝑠 12𝑠 1 3𝑒5𝑠𝑒3𝑠𝑒2𝑠 6𝑠 1 3𝑒10𝑠 6𝑠 1 35 Considerando o Exemplo anterior temos Maior constante de tempo desprezada 3 Metade de 3 15 deve ser adicionado a 6 a próxima maior constante de tempo retida a outra metade de 3 15 fornece outro tempo morto já que não existe tempo morto em 𝐺𝑝𝑠 Portanto A aproximação para a função de transferência original é A Figura 514 mostra o gráfico da resposta exata e a resposta aproximada para este exemplo 𝐺𝑝𝑠 𝑌𝑠 𝑈𝑠 35𝑠 1 6𝑠 13𝑠 12𝑠 1 1 2𝑠 1 1 𝑒2𝑠 𝑒2𝑠 5𝑠 1 𝑒5𝑠 6𝑠 1 75𝑠 1 e15𝑠 tempo morto adicionado e 𝐺𝑝𝑠 35𝑠 1 6𝑠 13𝑠 12𝑠 1 3𝑒5𝑠𝑒2𝑠𝑒15𝑠 6𝑠 1 3𝑒85𝑠 75𝑠 1 36 53 Abordagem Empírica para Desenvolver Funções de transferência para processos existentes Processos reais são complexos e a derivação teórica de funções de transferência para tais processos é uma tarefa muito demorada se não impossível Para muitos processos não há tempo suficiente ou não vale a pena o esforço desenvolver modelos de processos a partir de primeiros princípios balanço de massa de energia e de momento Particularmente se o interesse principal for sintonizar uma malha de controle específica é provável que se desenvolva um modelo baseado em função de transferência realizando um teste de planta ou seja a alternativa à abordagem teórica é desenvolver funções de Figura 514 37 transferência utilizando dados de entradasaída fazendo uma mudança na entrada manipulada saída do controlador e observando a resposta de saída medida do processo Em seguida um modelo de ordem baixa é desenvolvido ou ajustado para fornecer a melhor correspondência entre a saída do modelo e a saída observada da planta Esta abordagem é principalmente útil para desenvolver funções de transferência ou modelos lineares de espaço de estados de um processo para o projeto de controladores eficazes Essa técnica empírica para desenvolver modelos de processo é chamada de identificação de processo ou de sistema Nesta abordagem o processo é tratado como uma caixa preta Figura 515 A Figura 516 mostra um cenário típico de identificação de processos industriais Nesse cenário o processo em si é considerado principalmente na modelagem de processos enquanto o processo aumentado para a operação do sistema é considerado completamente na identificação de processos orientada ao controle Um sinal de excitação é adicionado à entrada do processo ou ao setpoint da operação do sistema para causar a resposta dinâmica do processo visando a identificação do modelo o que geralmente não é o caso na modelagem clássica do processo Figura 515 O tratamento de caixa preta para um processo com dinâmica desconhecida Figura 516 Esquema de identificação de processo orientado para controle 38 531 Sinais de Excitação para Testes de Identificação Uma variedade de sinais de excitação tem sido utilizada para identificação de modelo por exemplo impulso degrau senoidal pulso retangular e sequências binárias pseudoaleatórias PRBS sigla em inglês Cada sinal de excitação tem é claro suas próprias vantagens e desvantagens em diferentes cenários de identificação do sistema Mudança degrau mudança persistente na variável independente u Um pulso é uma mudança temporária da variável independente 𝑢 e se a duração for muito curta insignificante em comparação com a dinâmica do sistema temos um impulso Para um engenheiro de processo um exemplo de impulso é jogar um balde de algo em um tanque Para um químico ou médico uma injeção com uma seringa e agulha dá um impulso Sequências binárias pseudoaleatórias PRBS mudam em tempos aleatórios entre dois valores dados e podem dar uma boa distribuição dinâmica e às vezes é um método eficaz para obter dados experimentais para a identificação de modelos 39 Devido à sua simplicidade de implementação e economia o teste de resposta ao degrau é mais amplamente praticado para identificação de modelos em várias indústrias de processo Ao contrário de outros testes nenhum gerador de sinal é necessário para realizar um teste em degrau A resposta de saída do processo a uma mudança em degrau no entanto geralmente carece de componentes de alta frequência e portanto é provável que tenha uma relação sinalruído baixa na presença de ruído de medição Desde os trabalhos pioneiros da década de 1980 Atherton 1982 Tsypkin 1984 Aström and Hägglund 1984 Luyben 1987 o teste de feedback de relés recebeu atenção crescente nas últimas décadas tanto de acadêmicos quanto de praticantes Apenas um módulo de função de relé barato é necessário para realizar um teste de feedback de relé em uma estrutura de malha fechada Figura 517 que pode gerar oscilações sustentadas da resposta de saída controlada para identificação efetiva de suas Variação senoidal persistente na variável independente 𝑢 Para pequenas mudanças podemos assumir que o sistema é linear e o sinal de saída também é senoidal com a mesma frequência ω A resposta de frequência é caracterizada por dois parâmetros A razão de amplitude 𝑦𝑢 e o deslocamento de fase 𝜙 Ambos dependem da frequência ω rads e ao variar a frequência 𝜔 obtemos informações sobre como o sistema reage a variações de entrada rápidas 𝜔 grande e lentas 𝜔 pequeno A análise de frequência é uma ferramenta importante na engenharia de controle 40 características fundamentais de resposta dinâmica Além disso um teste de feedback de relé não fará com que a resposta de saída se desvie muito de seu setpoint uma condição necessária para muitas aplicações práticas em particular para processos altamente não lineares com condições operacionais rigorosas mais sobre esse tópico na Parte 07 Resposta de Frequência 54 Resposta de Frequência Nos últimos anos a análise de frequência tem recebido menos espaço na educação em controle de processos Esta parece ser uma tendência particularmente notável nos departamentos de engenharia química nos Estados Unidos onde o controle parece ser pressionado pelo desejo de incluir tópicos mais novos como materiaisnanobio Também encontramos argumentos de que o controle de processo pode ser ensinado inteiramente com conceitos no domínio do tempo Contudo as técnicas de modelagem de malha de controle utilizando resposta de frequência têm sido utilizadas com sucesso por engenheiros de controle industrial há décadas e provaram ser indispensáveis quando se trata de fornecer informações sobre os benefícios as limitações e os problemas do controle feedback Uma vez que muitos insights relevantes para o controle de processos estão disponíveis com uma compreensão prática da análise de frequência ignorála não seria prudente Comparado a um teste de identificação de malha aberta como o uso de um sinal em degrau ou impulso as características fundamentais de resposta dinâmica do processo podem ser observadas melhor a partir das oscilações sustentadas sob o feedback de relé especialmente na presença de ruído de medição Figura 517 Diagrama de blocos de um teste de feedback de relé 41 O domínio da frequência oferece um método alternativo para projeto e análise de sistemas de controle para sistemas de baixa e alta ordem Bode e Nyquist 1930 propuseram ferramentas para análise de estabilidade no domínio da frequência O lugar das raízes foi proposto em 1940 para determinar a solvabilidade de sistemas de controle Ziegler Nichols 1942 propuseram critérios de sintonia para controladores PID usando informações do domínio da frequência Ao substituir 𝑠 por 𝑗𝜔 em um modelo de função de transferência 𝐺𝑠 obtemos a chamada descrição da resposta de frequência As respostas de frequência podem ser usadas para descrever 1 A resposta de um sistema a uma senoidal de frequência variável 2 O conteúdo de frequência de um sinal determinístico por meio da transformada de Fourier e 3 A distribuição de frequência de um sinal estocástico por meio da função de densidade espectral de potência Vamos usar a primeira interpretação ou seja a da resposta senoidal frequência por frequência para descrever a resposta de um sistema A interpretação escolhida tem a vantagem de fornecer uma interpretação física clara e uma ligação clara entre o domínio da frequência e o domínio do tempo A resposta de frequência de um sistema com função de transferência 𝐺𝑠 na frequência 𝜔 é obtida avaliando 𝐺𝑠 em 𝑠 𝑗𝜔 O resultado é um número de valor complexo ou uma matriz de valor complexo para sistemas multivariáveis Devese notar que a frequência 𝜔 é medida em radianostempo e portanto o período de oscilação correspondente à frequência 𝜔 é 𝑇 2𝜋𝜔 42 541 Construção da Resposta de Frequência Considere um sistema SISO linear submetido a um sinal de frequência constante 𝑢𝑡 𝐴𝑢sen𝜔𝑡 534 Como na Figura 518 Quando o sistema é perturbado por uma entrada senoidal Figura 518 a saída também oscila após o desaparecimento dos transientes com a mesma frequência amplitude diferente 𝐴𝑦 𝐴𝑢 e com um atraso de fase 𝜙 ou seja 𝑦𝑡 𝐴𝑦sen𝜔𝑡 𝜙 535 Lembrando da identidade 𝑒𝑗𝛼 cos𝛼 𝑗sen𝛼 536 Podemos escrever 𝑢𝑡 𝐴𝑢 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡 2𝑗 y𝑡 𝐴𝑢 𝑒𝑗𝜔𝑡𝜙𝑒𝑗𝜔𝑡𝜙 2𝑗 537 538 𝑒𝑗𝛼 cos𝛼 𝑗sen𝛼 𝑒𝑗𝛼 cos𝛼 𝑗sen𝛼 𝑒𝑗𝛼 𝑒𝑗𝛼 2cos𝛼 cos𝛼 𝑒𝑗𝛼 𝑒𝑗𝛼 2 𝑒𝑗𝛼 𝑒𝑗𝛼 2𝑗𝑠𝑒𝑛𝛼 sen𝛼 𝑒𝑗𝛼 𝑒𝑗𝛼 2𝑗 43 Figura 518 Sinal de frequência aplicado a um sistema linear 𝑮𝒔 44 Considere um sistema linear SISO cujo comportamento dinâmico é descrito em termos de varáveis desvio por uma equação diferencial ordinária de ordem 𝑛 como na Equação 424 Substituindo 𝑢 e 𝑦 usando as Equações 537 e 538 temse 𝑏0𝑢𝑡 𝑏1 d𝑢𝑡 d𝑡 𝑏𝑚 d𝑚𝑢𝑡 d𝑡𝑚 𝑎0𝑦𝑡 𝑎1 d𝑦𝑡 d𝑡 𝑎𝑛 d𝑛𝑦𝑡 d𝑡𝑛 𝑚 𝑛 424 𝐴𝑢𝑒𝑗𝜔𝑡 2𝑗 𝑏𝑚𝑗𝜔𝑚 𝑏𝑚1𝑗𝜔𝑚1 𝑏0𝑗𝜔 𝐴𝑢𝑒𝑗𝜔𝑡 2𝑗 𝑏𝑚𝑗𝜔𝑚 𝑏𝑚1𝑗𝜔𝑚1 𝑏0𝑗𝜔 𝐴𝑦𝑒𝑗𝜔𝑡𝜙 2𝑗 𝑎𝑛𝑗𝜔𝑛 𝑏𝑛1𝑗𝜔𝑛1 𝑎0𝑗𝜔 𝐴𝑦𝑒𝑗𝜔𝑡𝜙 2𝑗 𝑎𝑚𝑗𝜔𝑛 𝑎𝑛1𝑗𝜔𝑛1 𝑎0𝑗𝜔 539 Observando que e que a multiplicação por 𝑒𝑗𝜔𝑡 tem os seguintes resultados 𝑒𝑗𝜔𝑡𝜙 𝑒𝑗𝜙𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑒𝑗𝜔𝑡𝜙 𝑒𝑗𝜙𝑒2𝑗𝜔𝑡 540 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑒𝑗𝜔𝑡𝜙 𝑒𝑗𝜙 541 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑒2𝑗𝜔𝑡 542 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑒𝑗𝜔𝑡 1 543 Então a Equação 539 origina 𝐴𝑢𝑒2𝑗𝜔𝑡 2𝑗 𝑏𝑚𝑗𝜔𝑚 𝑏𝑚1𝑗𝜔𝑚1 𝑏0𝑗𝜔 𝑓1𝜔 𝐴𝑦𝑒𝑗𝜙𝑒2𝑗𝜔𝑡 2𝑗 𝑎𝑛𝑗𝜔𝑛 𝑏𝑛1𝑗𝜔𝑛1 𝑎0𝑗𝜔 𝑓2𝜔 544 45 A variável 𝑡 ocorre somente em 𝑒2𝑗𝜔𝑡 no primeiro termo de cada lado e não nos termos 𝑓1 e 𝑓2 Portanto pela associação dos coeficientes restantes temse Claramente então pelo menos para esta forma de razão polinomial de 𝐺𝑠 uma oscilação constante passando pelo sistema tem uma resposta de frequência que está relacionada com a entrada por 542 Resposta de Frequência de Sistemas de Primeira ordem Método simples 1 Encontre a função de transferência do sistema 𝐺𝑠 2 Faça 𝑠 𝑗𝜔 e avalie 𝐺𝑗𝜔 𝑅𝜔 𝑗𝐼𝜔 número complexo 3 Obtenha 𝑅𝐴𝜔 𝐺𝑗𝜔 𝜙𝜔 𝐺𝑗𝜔 𝐴𝑦 𝐴𝑢 𝑒𝑗𝜙 𝑏𝑚𝑗𝜔𝑚 𝑏𝑚1𝑗𝜔𝑚1 𝑏0𝑗𝜔 𝑎𝑛𝑗𝜔𝑛 𝑏𝑛1𝑗𝜔𝑛1 𝑎0𝑗𝜔 𝐺𝑗𝜔 𝐺𝑗𝜔 𝐺𝑗𝜔𝑒𝑗𝜙 545 𝑅𝐴𝜔 𝐺𝑗𝜔 546 Razão de amplitude Ângulo de fase 𝜙𝜔 𝐺𝑗𝜔 547 𝑧 𝑎 𝑗𝑏 𝑧 𝑎2 𝑏2 𝑧 arctg 𝑏 𝑎 Revisão 46 Segue a aplicação do método Função de transferência do sistema de primeira ordem Substituição 𝑠 𝑗𝜔 Para remover 𝑗 do denominador de 𝐺𝑗𝜔 multiplique o numerador e o denominador de 𝐺𝑗𝜔 pelo conjugado complexo do denominador ou seja 𝑗𝜔𝜏p 1 Como e Temos 𝐺𝑠 𝑌𝑠 𝑈𝑠 𝐾𝑝 𝜏𝑝𝑠 1 548 𝐺𝑗𝜔 𝐾𝑝 𝜏𝑝𝑗𝜔 1 549 𝐺𝑖𝜔 𝐾𝑝 𝑗𝜔𝜏𝑝 1 𝑗𝜔𝜏𝑝 1 𝑗𝜔𝜏𝑝 1 𝑗𝐾𝑝𝜔𝜏𝑝 𝐾𝑝 𝜏𝑝2𝜔2 1 𝐾𝑝 𝜏𝑝2𝜔2 1 𝑗 𝐾𝑝𝜔𝜏𝑝 𝜏𝑝2𝜔2 1 𝑅𝐴𝜔 𝑅2𝜔 𝐼2𝜔 𝐾𝑝 𝜏𝑝2𝜔2 1 2 𝐾𝑝𝜔𝜏𝑝 𝜏𝑝2𝜔2 1 2 𝐾𝑝2 𝐾𝑝2𝜔2𝜏𝑝2 𝜏𝑝2𝜔2 1 𝐾𝑝 𝜏𝑝2𝜔2 1 𝑅𝐴𝜔 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝑅2𝜔 𝐼2𝑤 550 𝜙𝜔 𝐺𝑝𝑗𝜔 arctg𝐼𝜔𝑅𝜔 551 47 e 543 Tempo Morto Puro Como É claro que 544 Resposta de Frequência de Sistemas com Integradores Puros 𝜙𝜔 arctg𝐼𝜔𝑅𝜔 arctg 𝐾𝑝𝜔𝜏𝑝 𝜏𝑝2𝜔2 1 𝐾𝑝 𝜏𝑝 2𝜔2 1 arctg𝜔𝜏𝑝 arctg𝜔𝜏𝑝 𝐺𝑝𝑠 𝑒𝜃𝑠 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜃𝜔 𝑅𝐴 𝐺𝑝𝑗𝜔 1 𝜙 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝜃𝜔 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝐺𝑝𝑗𝜔𝑒𝑗𝜙 𝐺𝑝𝑠 1 𝑠 𝐺𝑝𝑗𝜔 1 𝑗𝜔 𝑗𝜔 𝜔2 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝑗 𝜔 0 1 𝜔 𝑗 𝑅𝐴𝜔 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝑅2𝜔 𝐼2𝑤 0 1 𝜔 2 𝑅𝐴𝜔 1 𝜔 𝜙𝜔 𝐺𝑝𝑗𝜔 arctg𝐼𝜔𝑅𝜔 arctg 1 𝜔 0 arctg 𝜙 90 48 545 Resposta de Frequência de Sistemas Derivativos puros 546 Sistemas de Segunda Ordem 𝐺𝑝𝑠 𝐾𝑝 𝜏𝑛𝑠2 2𝜁𝜏𝑛𝑠 1 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝐾𝑝 𝜏𝑛2𝑗𝜔2 2𝜁𝜏𝑛𝑗𝜔 1 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝐾𝑝 1 𝜏𝑛2𝜔2 2𝑗𝜁𝜏𝑛𝜔 𝑅𝐴 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝐾𝑝 1 𝜏𝑛2𝜔22 2𝜁𝜏𝑛𝜔2 𝜙 arctg 2𝜁𝜏𝑛𝜔 1 𝜏𝑛2𝜔2 𝐺𝑝𝑠 𝑠 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝑗𝜔 𝐺𝑝𝑗𝜔 0 𝑗𝜔 𝑅𝐴𝜔 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝑅2𝜔 𝐼2𝑤 0 𝜔2 𝑅𝐴𝜔 𝜔 𝜙𝜔 𝐺𝑝𝑗𝜔 arctg𝐼𝜔𝑅𝜔 arctg 𝜔 0 arctg 𝜙 90 49 547 Combinando Razões de Amplitudes e Ângulos de Fase Lembrando que Temse Considere a função de transferência dada por As fórmulas nas Equações 552 e 553 permitem o cálculo da razão de amplitude e do ângulo de fase de uma função de transferência sem primeiro expressar a função de transferência em termos de uma parte real e uma parte imaginária Considere o sistema de primeira ordem A aplicação das Equações 552 e 553 simplifica a solução ou seja 𝑒𝑗𝜙 cos𝜙 𝑗sen𝜙 𝐺𝑗𝜔 𝑅𝜔 𝑗𝐼𝜔 𝐺𝑗𝜔𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜙 𝐺𝑗𝜔𝑒𝑗𝜙 𝐺𝑝𝑠 𝐺1𝑠𝐺2𝑠 𝐺3𝑠𝐺4𝑠 Substituindo 𝑠 𝑗𝜔 temse 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝐺1𝑗𝜔𝐺2𝑗𝜔 𝐺3𝑗𝜔𝐺4𝑗𝜔 𝐺1𝑗𝜔𝑒𝑗𝜙1𝜔𝐺2𝑗𝜔𝑒𝑗𝜙2𝜔 𝐺3𝑗𝜔𝑒𝑗𝜙3𝜔𝐺4𝑗𝜔𝑒𝑗𝜙4𝜔 𝐺1𝑗𝜔𝐺2𝑗𝜔 𝐺3𝑗𝜔𝐺4𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜙1𝜔𝜙2𝜔𝜙3𝜔𝜙4𝜔 𝐺𝑗𝜔𝑒𝑗𝜙𝜔 Portanto 𝐺𝑗𝜔 𝐺1𝑗𝜔𝐺2𝑗𝜔 𝐺3𝑗𝜔𝐺4𝑗𝜔 e 𝜙 𝜙1𝜔 𝜙2𝜔 𝜙3𝜔 𝜙4𝜔 552 553 𝐺𝑝𝑠 𝑌𝑠 𝑈𝑠 𝐾𝑝 𝜏𝑝𝑠 1 50 A Tabela 51 lista RA e 𝜙 em função de 𝜔 para várias funções de transferência normalmente encontradas As funções de transferência consideradas são para uma constante um processo de primeira ordem um processo de segunda ordem um elemento de tempo morto um integrador um elemento derivativo um elemento de avanço lead um zero na metade direita do plano complexo e um controlador PID respectivamente 𝑅𝐴 𝐺𝑗𝜔 𝐺1𝑗𝜔 𝐺2𝑗𝜔 𝐾𝑝 𝜏𝑝2𝜔2 1 𝐺𝑗𝜔 𝐾𝑝 𝑗𝜔𝜏𝑝 1 𝐺1𝑗𝜔 𝐺2𝑗𝜔 𝜙𝜔 𝜙1𝜔 𝜙2𝜔 0 arctg 𝜔𝜏𝑝 1 arctg 𝜔𝜏𝑝 51 52 55 Representações Gráficas das Funções de Frequência A função de frequência pode ser plotada de várias formas 𝑅𝐴 e 𝜙 dependem da frequência 𝜔 Esta dependência pode ser plotada explicitamente em diagrama de Bode com 𝜔 como variável independente ou um tanto implicitamente em um gráfico de Nyquist gráfico de plano de fase 551 Diagrama de Bode O diagrama de Bode consiste em dois gráficos o gráfico de magnitude e o gráfico de fase Usualmente são empregadas escalas logarítmicas para 𝜔 e 𝑅𝐴 e uma escala linear para 𝜙 Às vezes o ganho é dado em unidades de dB decibel definido como Por exemplo 𝑅𝐴 2 corresponde a 𝑅𝐴 602 dB 𝑅𝐴 2 corresponde a 𝑅𝐴 301 dB e 𝑅𝐴 1 corresponde a 𝑅𝐴 0 dB A faixa de frequência quando a frequência é alterada por um fator de 10 é chamada de década Figura 519 𝑅𝐴dB 20 log10𝑅𝐴 53 A vantagem do diagrama de Bode por um lado é que ao multiplicar os componentes individuais da função de frequência por causa da escala logarítmica os gráficos de Bode dos componentes individuais são simplesmente adicionados Por outro lado uma vantagem adicional é que geralmente os diagramas de Bode podem ser bem aproximados por suas assíntotas A partir do Figura 519 Gráficos de Bode 54 percurso e dos pontos de quebra da curva assintótica 𝑅𝐴 versus 𝜔 podese fazer uma avaliação rápida sobre as propriedades fundamentais do sistema Considere o sistema de primeira ordem O gráfico de 𝑅𝐴 versus 𝜔 pode ser aproximado pelas seguintes assíntotas Em baixas frequências 𝜏𝜔 1 𝑅𝐴 𝐾𝑝 e 𝜙 0 𝜔 0 Em altas frequências 𝜏𝜔 1 𝑅𝐴 𝐾𝑝 𝜏𝜔 e 𝜙 90 𝜔 Em baixas frequências o diagrama 𝑅𝐴 versus 𝜔 em escala logarítmica é uma linha reta paralela ao eixo da frequência enquanto em altas frequências também é um alinha reta mas com coeficiente angular 1 log𝑅𝐴 log𝐾𝑝 log𝜏 𝑙𝑜𝑔𝜔 As duas linhas cruzam na frequência de quebra ou frequência de canto 𝜔𝑐 1 𝜏 ou seja igualando as duas expressões de baixa e alta frequência temos A Figura 520 apresenta os diagramas de Bode para um sistema de primeira ordem 𝐾𝑝 𝐾𝑝 𝜏𝜔 𝜔𝑐 1 𝜏 𝐺𝑝𝑠 𝐾𝑝 𝜏𝑠 1 𝑅𝐴 𝐾𝑝 𝜏2𝜔2 1 𝜙 arctg𝜏𝜔 55 Observação Razão de amplitude magnitude ou ganho No entanto Figura 520 Diagramas de Bode de um sistema de primeira ordem a razão de amplitude b ângulo de fase 𝑅𝐴 𝐺𝑗𝜔 𝐾𝑝 𝜏𝑝2𝜔2 1 𝑅𝐴 𝐾𝑝 1 𝜏𝑝2𝜔2 1 É chamada de razão de magnitude 56 Do diagrama de fase da Figura 520 nós vemos que 𝜙 0 em baixas frequências e 𝜙 90 em altas frequências O gráfico de fase também pode ser aproximado por linhas retas há uma linha reta começando a partir de 𝜙 0 em 𝜏𝜔 110 passando através do ponto 𝜏𝜔 1 𝜙 45 e atingindo 90 em 𝜏𝑤 10 que aproxima a fase na faixa de frequência intermediária Desta forma podemos construir diagramas aproximados de Bode usando o procedimento a seguir 1 Obtenha as expressões para 𝑅𝐴 e 𝜙 quando 𝜔 0 a assíntota de baixa frequênciaabf 2 Obtenha expressões para 𝑅𝐴 e 𝜙 quando 𝜔 a assíntota de alta frequência aaf 3 Usando a aaf determine o coeficiente angular de log𝑅𝐴 versus log𝜔 4 Obtenha a interseção da abf com a aaf igualando as expressões correspondentes e obtenha a frequência de canto 𝜔𝑐 Exemplo 51a Desenhe o gráfico aproximado de Bode para um sistema de primeira ordem dado por 𝐺𝑠 25𝑠 1 e compareos com os gráficos gerados pelo MATLAB Ver Figura 521 A abf é 𝑅𝐴𝜔 0 2 𝜙𝜔 0 0 𝑅𝐴 2 25𝜔2 1 𝜙 arctg5𝜔 A aaf é 𝑅𝐴𝜔 0 𝜙𝜔 90 𝜔𝑐 1 𝜏 1 5 02 𝜙𝜔𝑐 arctg𝜏𝜔 arctg1 45 57 Figura 521 Gráfico aproximado de Bode 58 Agora utilizando o MATLAB Resultado apresentado na Figura 522 59 Figura 522 Gráficos de Bode gerados no MATLAB 60 Para plotar o log𝑅𝐴 em vez de dB da razão de magnitude e 𝜙 versus log𝜔 os seguintes comandos podem ser usados Resultado apresentado na Figura 523 61 Figura 523 Gráficos de Bode gerados no MATLAB 62 552 Gráficos de Bode Assintóticos Embora os procedimentos para desenhar diagramas de Bode manualmente estejam agora obsoletos é útil poder visualizar rapidamente as relações ganhofase do diagrama de Bode possivelmente sem desenhar nenhum diagrama Para esta proposta o conhecimento sobre as assíntotas do diagrama de Bode é útil Resposta de frequência do termo 𝜏𝑠 1 Fixe 𝑠 𝑗𝜔 Assíntotas 𝑗𝜔𝜏 1 1 para 𝜔𝜏 1 coeficiente angular 0 fase 0 𝑗𝜔𝜏 1 𝑗𝜔𝜏 para 𝜔𝜏 1 coeficiente angular 1 fase 90 Regras para o diagrama de Bode assintótico 1 Comece com a assíntota de baixa frequência 𝑠 0 a Se constante 𝐺0 𝑘 Ganho 𝑘 coeficiente angular 0 Fase 0 b Se integrador 𝐺𝑠 𝑘 𝑠 Coeficiente angular 1 no gráfico loglog Precisamos de um ponto fixo por exemplo ganho 1 em 𝜔 𝑘 Fase 90 𝐺𝑠 𝑘 T𝑠 1 𝜏𝑠 1 63 2 Mudanças nas frequências dos pontos de quebra Mudança no coeficiente angular do ganho Mudança na fase 𝜔 1 T 1 90 90 se T negativo 𝜔 1 𝜏 1 90 90 se 𝜏 negativo 3 Tempo morto 𝑒𝜃𝑠 Ganho nenhum efeito contribuição de fase 𝜔𝜃 rad 4 Para polos ou zeros complexos o termo 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛2 onde 𝜁 1 é aproximado por 𝜔𝑛2 para 𝜔 𝜔𝑛 e por 𝑠2 𝑗𝜔2 𝜔2 para 𝜔 𝜔𝑛 64 Exemplo 52 𝐺𝑠 20𝑠 1 𝑠100𝑠 12𝑠 1 65 Solução Assíntota de baixa frequência 𝑠 𝑗𝜔 0 É um integrador 𝐺𝑗𝜔 1 𝑗𝜔 1 𝜔 𝑗 𝑅𝐴 1 𝜔 coeficiente angular 1 no gráfico loglog Fase 90 Assíntotas inicia em frequência baixa 𝜔 0 𝐺𝑗𝜔 1 𝜔 Assim 𝐺𝑗𝜔 103 em 𝜔 103 Frequência de quebra 𝜔 1 100 001 polo 1 20 005 zero 1 2 05 polo Primeira frequência de quebra em 001 é um polo O coeficiente angular muda em 1 para 2 loglog o ganho cai pelo fator 100 quando 𝜔 aumenta pelo fator 10 A fase cai de 90 para 180 Assíntota 𝐺𝑠 20𝑠 1 𝑠100𝑠 12𝑠 1 1 100𝑗𝜔2 1 100𝜔2 66 Solução cont A próxima frequência de quebra em 005 é um zero O coeficiente angular muda em 1 para 1 loglog A fase aumenta em 90 para 90 Assíntota A frequência de quebra final em 05 é um polo O coeficiente angular muda em 1 para 2 loglog A fase cai em 90 para 180 Assíntota 20 100𝑗𝜔 1 5𝜔 𝑗 1 10𝑗𝜔2 1 10𝜔2 67 56 Diagrama de Nyquist O diagrama de Nyquist é uma representação polar de 𝑅𝐴 e 𝜙 no plano 𝐺𝑗𝜔 à medida que 𝜔 muda de 0 para o infinito mostrado na Figura 524 Este formato de plotagem contém as mesmas informações que a plotagem de Bode O gráfico polar é mais compacto mas a informação sobre a frequência não é mostrada explicitamente Para um dado valor de frequência haverá um ponto no plano 𝐺𝑗𝜔 tal que a distância deste ponto à origem é igual a 𝑅𝐴 e seu ângulo com o eixo real é 𝜙 561 Construção Aproximada de Gráficos de Nyquist para Sistemas de Primeira Ordem Para fazer um esboço a mão como antigamente precisamos usar apenas as assíntotas de alta e baixa frequência No limite das baixas frequências No gráfico polar o limite de frequência zero é representado pelo ponto 𝐾𝑝 no eixo real Figura 524 Diagrama de Nyquist no plano 𝑮𝒋𝝎 O diagrama de Nyquist é a localização da ponta de um vetor cuja magnitude é 𝑅𝐴 e seu ângulo com o eixo real é 𝜙 conforme 𝜔 varia de 0 a infinito 𝜔 0 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝐾𝑝 𝜙 0 68 No limite das altas frequências No gráfico polar o limite de frequência infinita é representado pela origem à medida que o lugar geométrico de 𝐺𝑝𝑗𝜔 se aproxima dela a partir do ângulo de 90 Portanto o diagrama de Nyquist para um processo de primeira ordem é um semicírculo que com sua imagem especular forma um círculo completo conforme mostrado na Figura 525 562 Gráfico de Nyquist Gerado pelo MATLAB Exemplo 51b Considerando o sistema de primeira ordem dado por 𝐺𝑝𝑠 2 5𝑠1 construa o gráfico de Nyquist usando o MATLAB 𝜔 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝐾𝑝 𝜏𝑝𝜔 𝜙 arctg 90 Figura 525 Gráfico aproximado de Nyquist 69 Resultado apresentado na Figura 526 Figura 526 Gráfico de Nyquist gerado no MATLAB 70 563 Gráficos de Bode e Nyquist de um Sistema de Segunda Ordem Declarações MATLAB para plotar 𝑅𝐴 e 𝜙 como na Figura 527 𝐺𝑝𝑠 𝐾𝑝 𝜏𝑛2𝑠2 2𝜁𝜏𝑛𝑠 1 𝑅𝐴 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝐾𝑝 1 𝜏𝑛2𝜔22 2𝜁𝜏𝑛𝜔2 𝜙 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝜁𝜏𝑛𝜔 1 𝜏𝑛2𝜔2 71 Figura 527 a Gráficos de Bode b Gráfico de Nyquist a b 72 No limite de baixa frequência No limite de alta frequência Escolhemos 180 não 0 porque sabemos que deve haver um atraso de fase No gráfico loglog da razão de amplitude a assíntota de alta frequência tem uma inclinação de 2 Esta assíntota intercepta a linha 𝐾𝑝 horizontal em 𝜔 1𝜏𝑛 Na frequência de canto Para um processo ou sistema suficientemente subamortecido 𝜁 12 𝐅𝐢𝐠𝐮𝐫𝐚 𝟓 𝟐𝟖 a curva da razão de amplitute aumentará acima da assíntota de baixa frequência ou o gráfico polar se estenderá além do círculo de raio 𝐾𝑝 𝜔 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝐾𝑝 𝜏𝑛2𝜔2 𝜙 arctg 2𝜁𝜏𝑛𝜔 𝜏𝑛2𝜔2 arctg 2𝜁 𝜏𝜔 arctg0 180 𝜔 0 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝐾𝑝 𝜙 0 𝜔 1 𝜏𝑛 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝐾𝑝 2𝜁 𝜙 arctg 90 73 Nós podemos tomar a derivada da equação da magnitude para encontrar o máximo real e sua frequência associada chamada frequência ressonante 𝜔𝑟 Figura 528 𝐺𝑗𝜔 𝐾𝑝1 𝜏𝑛2𝜔22 2𝜁𝜏𝑛𝜔2 𝜔𝑟 1 2𝜁2 𝜏𝑛 𝜔1 2𝜁2 554 74 E a magnitude máxima é Da Equação 554 haverá um máximo somente se 0 𝜁 12 ou 0707 Podemos projetar um controlador especificando um limite superior no valor de 𝐺𝑝𝑗𝜔máx Quanto menor a taxa de amortecimento 𝜁 do sistema maior o valor de 𝐺𝑝𝑗𝜔máx e mais overshoot ou subamortecimento esperamos na resposta no domínio do tempo Desnecessário dizer que a ressonância excessiva é indesejável 564 Gráficos de Bode e Nyquist para Sistema de uma Função de Tempo Morto No gráfico polar Figura 529 a função de tempo morto é um círculo unitário O gráfico do ângulo de fase não é uma linha reta porque a frequência está em uma escala logarítmica O ponto importante é que o atraso de fase da função de tempo morto aumenta sem limites em relação à frequência Isso é chamado de sistema de fase não mínima Formalmente um sistema de fase mínima é aquele que não possui tempo morto e nem polos nem zeros na metade direita do plano complexo 𝐺𝑝𝑠 𝑒𝜃𝑠 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝜃 𝑅𝐴 𝐺𝑝𝑗𝜔 1 𝜙 𝜔𝜃 Quando 𝜔 𝜋𝜃 𝜙 𝜋 𝐺𝑝𝑗𝜔𝑚á𝑥 𝐾𝑝 2𝜁1 𝜁2 75 565 Gráficos de Bode e Nyquist para um Sistema de Primeira Ordem com Tempo Morto Da Tabela 51 temos Figura 529 𝐺𝑝𝑠 𝐾𝑝𝑒𝜃𝑠 𝜏𝑝𝑠 1 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝐾𝑝𝑒𝑗𝜃𝜔 𝑗𝜏𝑝𝜔 1 𝐾𝑝 𝑗𝜏𝑝𝜔 1 𝑒𝑗𝜃𝜔 𝐺1𝑗𝜔 𝐺2𝑗𝜔 𝑅𝐴 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝐺1𝑗𝜔𝐺2𝑗𝜔 e 𝜙 𝜙1 𝜙2 𝑅𝐴 𝐾𝑝 𝜏𝑝2𝜔2 1 1 𝐾𝑝 𝜏𝑝2𝜔2 1 𝜙 arctg𝜔𝜏𝑝 𝜃𝑝𝜔 360 2𝜋 76 O gráfico da razão de amplitude é o mesmo da função de primeira ordem mas o atraso de fase aumenta sem limite devido à contribuição do tempo morto no segundo termo Veremos que esta é uma grande contribuição para a instabilidade No gráfico de Nyquist o lugar geométrico de 𝐺𝑝𝑗𝜔 começa em 𝐾𝑝 no eixo real e depois espirala na origem do plano 𝑠 Os gráficos gerados pelo MATLAB são apresentados nas Figuras 530 e 531 77 Figura 530 Gráfico de Bode gerado no MATLAB Figura 531 Gráfico de Nyquist gerado no MATLAB 78 57 Testes de identificação em malha aberta e em malha fechada Um teste de identificação em malha aberta geralmente requer a interrupção da operação do processo ou controle feedback para observar a resposta pela adição de um sinal de excitação à entrada manipulada conforme mostrado na Figura 516 Considere o sistema de controle da Figura 532 que foi aberto desconectando o controlador do elemento final de controle Introduza uma mudança degrau de magnitude 𝑀 na variável 𝑐 saída do controlador que atua no elemento final de controle No caso de uma válvula 𝑐 é a posição da haste Registre os valores da saída em relação ao tempo A curva 𝑦𝑚𝑡 é chamada a curva de reação do processo Figura 534 Entre 𝑦𝑚 e 𝑐 nós temos a seguinte função de transferência ver Figura 532 𝐺𝐶𝑅𝑃𝑠 𝑌𝑚𝑠 𝐶𝑠 𝐺𝑎𝑠𝐺𝑝𝑠𝐺𝑚𝑠 A equação mostra que a curva de reação do processo é afetada não somente pela pelas dinâmicas do processo principal mas também pelas dinâmicas do sensor de medição e do elemento final de controle Figura 532 Malha de controle aberta 79 Um mérito óbvio da identificação em malha aberta é que não existe correlação entre as variáveis de entrada e de saída ao longo da resposta dinâmica do teste o que pode facilitar a identificação do modelo Por razões econômicas e de segurança muitos processos industriais e químicos como processos integradores e instáveis não podem ser executados em malha aberta Um teste de identificação em malha fechada é ilustrado na Figura 533 onde para simplicidade processo na verdade denota o processo aumentado mostrado na Figura 516 O controlador instalado para operação do processo antes do teste de identificação é utilizado para manter a estabilidade do sistema Em um teste de identificação em malha fechada geralmente há duas portas de entrada às quais um sinal de excitação pode ser adicionado uma na entrada do processo e a outra na entrada do setpoint No entanto geralmente a mudança é adicionada ao setpoint em vez da entrada do processo porque qualquer sinal externo adicionado à entrada do processo atua como uma perturbação de carga que pode ser rejeitada pelo mecanismo de controle da malha fechada Além disso um teste em degrau em malha fechada geralmente é realizado após o sistema em malha fechada já ter entrado em um regime permanente Figura 533 Esquema de um teste de identificação em malha fechada 80 Ao realizar o teste certamente uma mudança maior da magnitude do degrau facilita uma melhor observação da resposta transitória No entanto na prática a perturbação está sujeita às restrições operacionais do processo ou seja a perturbação não pode ser muito pequena o que dificulta a visualização de mudanças nem muito grande ao ponto de perturbar muito o processo Em aplicações práticas quando existe ruído de medição ou perturbação inesperada de carga muitas vezes é difícil dizer se o regime permanente do processo foi alcançado durante um teste em degrau adequado para aplicação dos métodos de identificação Além disso esperar que o regime permanente estável apareça para fazer um teste em degrau pode ser bastante demorado e problemático considerando processos industriais com constantes de tempo lentas ou atrasos longos Para facilitar a identificação de um modelo de processo a partir de um teste em degrau em malha fechada o controlador da malha fechada deve ser prescrito em uma forma simples como o tipo proporcional P proporcionaintegral PI ou o tipo proporcionalintegralderivativo PID de modo que uma relação analítica ou quantitativa entre a resposta do processo e a resposta em malha fechada possa ser explicitamente estabelecida Zheng 1996 Portanto um teste em degrau em malha fechada geralmente é preferido para a sintonia em operação com um controlador fixo como o PID para melhorar o desempenho do sistema em contraste com um teste em degrau em malha aberta Também cabe ressaltar que o campo de aplicação de modelos identificados é mais limitado comparado aos modelos de primeiros princípios Na identificação do sistema em malha aberta o controlador é comutado para manual a saída do controlador é alterada por uma entrada excitante e a resposta do processo é monitorada Os dados de entradasaída são utilizados para desenvolver o modelo do sistema Este modelo representará a dinâmica da combinação do elemento final de controle normalmente uma válvula de controle o processo e o elemento de medição Geralmente o ruído de medição estará sobreposto à resposta real do processo Técnicas de identificação de processos são capazes de distinguir a resposta real do ruído 81 Existem dois métodos principais para desenvolver funções de transferência empíricas utilizando a série de dados de entrada saída 1 A abordagem gráfica Ela é baseada na resposta ao degrau de um sistema embora outros sinais de entrada como um impulso um pulso retangular ou um sinal senoidal também possam ser usados Uma vez que os dados de entrada saída são obtidos e plotados um método gráfico é utilizado para ajustar os dados de entradasaída a funções de transferência de ordem baixa como uma função de transferência de primeira ou segunda ordem mais tempo morto 2 Técnicas numéricas Uma abordagem mais rigorosa é o uso de uma técnica numérica como o método dos mínimos quadrados para obter as funções de transferência da série de dados de entradasaída medidos Existem muitos pacotes de software como o toolbox a caixa de ferramentas do MATLAB System Identification que facilitam essa abordagem 571 Métodos gráficos para identificação de processos Este método permite desenvolver uma função de transferência para um processo existente utilizando gráficos de dados de entradasaída e envolve as seguintes etapas Etapa 1 leve o processo para um ponto de operação de regime permanente consistente e desejável Etapa 2 Altere uma entrada uma variável manipulada ou uma perturbação de cada vez por uma mudança em degrau enquanto as outras entradas são mantidas constantes Outra mudança na entrada também pode ser introduzida impulso ou pulso retangular Etapa 3 Monitore e plote o efeito da mudança de entrada em todas as variáveis de saída Etapa 4 Aproxime o comportamento de entradasaída por uma função de transferência simples 82 O método é simples mas sofre das seguintes deficiências Levar o processo a um estado estacionário é demorado As interações entre as variáveis de entrada não podem ser detectadas A geração de uma mudança em degrau é mais fácil porém o tamanho da mudança em degrau deve ser grande o suficiente para excitar o processo mas não muito grande para perturbar significativamente o sistema O ruído do processo e o ruído do sensor dificultam a análise A Figura 534 mostra a entradasaída real e ideal Os sinais ruidosos devem ser suavizados antes que uma abordagem de identificação gráfica possa ser implementada 83 Figura 534 Uma típica série de dados de entrada e saída de processo real e ideal 84 5711 Aproximação Utilizando Modelo de Primeira Ordem Mais Tempo Morto POMTM ou FOPDT sigla em inglês De longe o modelo mais comumente utilizado para fins de projeto de sistemas de controle é o modelo de primeira ordem tempo morto Assumindo uma função de transferência ideal de um sistema de primeira ordem com tempo morto as respostas de entrada variação degrau com magnitude 𝑀 e saída são mostradas na Figura 535 Segue a construção Agora referindose a Figura 534 podemos obter os parâmetros 𝐾𝑝 𝜃𝑝 e 𝜏𝑝 do modelo Segue 𝐾𝑝 é obtido dividindo 𝑦 𝑢 ou seja 𝐾𝑝 𝑦 𝑢 𝐺𝑝𝑠 𝐾𝑝𝑒𝜃𝑝𝑠 𝜏𝑝𝑠 1 𝑈𝑠 𝑀 𝑠 𝑌𝑠 𝐺𝑠𝑈𝑠 𝑦𝑡 𝑀𝐾𝑝 1 𝑒 𝑡 𝜏𝑝 𝑀𝐾𝑝 1 𝑒 𝑡𝜃𝑝 𝜏𝑝 𝐷𝑡 𝜃𝑝 𝐷𝑡 𝜃𝑝 0 para 𝑡 𝜃𝑝 1 para 𝑡 𝜃𝑝 Para inverter uma transformada que contém o elemento 𝑒𝜃𝑝𝑠 na forma 𝑌𝑠 𝐹𝑠𝑒𝜃𝑝𝑠 devemos 1 Inverta 𝐹𝑠 da maneira usual ou seja execute a expansão em frações parciais e assim por diante para encontrar 𝑓𝑡 2 Encontre 𝑦𝑡 𝑓𝑡 𝜃𝑝𝐷𝑡 𝜃𝑝 substituindo o argumento 𝑡 onde quer que ele apareça em 𝑓𝑡 por 𝑡 𝜃𝑝 em seguida multiplique a função inteira pela função degrau unitário deslocada 𝐷𝑡 𝜃𝑝 na qual 85 Para obter 𝜃𝑝 e 𝜏𝑝 devemos traçar uma tangente no ponto de inflexão da curva suavizada Ela intercepta o eixo do tempo e o valor de regime permanente da saída 𝜃 é obtido a partir da intersecção da tangente no ponto de inflexão com o eixo do tempo 𝜏𝑝 é obtido observando que a saída atinge 632 do seu valor final de regime permanente 𝑀𝐾𝑝ou 𝑦 em 𝑡 𝜏𝑝 𝜃𝑝 Além do método do tempo de 632 para estimar a constante de tempo podese utilizar o método do coeficiente angular máximo e o método de dois pontos apresentados a seguir Figura 535 Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem 86 5712 Método do Coeficiente Angular Máximo O coeficiente angular máximo da resposta de saída para uma mudança em degrau na entrada em 𝑡 0 ocorre em 𝑡 𝜃 e é Coeficiente angular 𝑀𝐾𝑝 𝜏𝑝 𝑦 𝜏𝑝 𝜏𝑝 𝑦 coeficiente angular 555 𝑦𝑡 𝑀𝐾𝑝 1 𝑒 𝑡𝜃𝑝 𝜏𝑝 𝑑𝑦𝑡 𝑑𝑡 𝐾𝑝𝑀 𝜏𝑝 𝑒 𝑡𝜃𝑝 𝜏𝑝 Devido ao sinal negativo o maior valor que 𝑒 𝑡𝜃𝑝 𝜏𝑝 pode assumir é 1 𝑒 𝑡𝜃𝑝 𝜏𝑝 dará um valor de 1 quando 𝑡𝜃𝑝 𝜏𝑝 0 então 𝑡 𝜃𝑝 𝜏𝑝 0 𝑡 𝜃𝑝 Portanto o coeficiente angular máximo é 𝑑𝑦𝑡 𝑑𝑡 𝐾𝑝𝑀 𝜏𝑝 𝑒 𝜃𝑝𝜃𝑝 𝜏𝑝 𝑀𝐾𝑝 𝜏𝑝 87 5713 Método dos dois pontos para Estimar a Constante de tempo Da resposta ao degrau Figura 536 identifique o tempo requerido para ocorrer um terço da mudança total em 𝑦 t13 A seguir o tempo requerido para ocorrer dois terços da mudança total em 𝑦 t23 As seguintes fórmulas podem ser utilizadas para estimar os parâmetros do modelo POMTM 𝜏𝑝 𝑡23 𝑡13 07 𝜃𝑝 𝑡13 04𝜏𝑝 563 𝐾𝑝 𝑦 𝑢 Figura 536 Representação gráfica de uma abordagem para a determinação dos parâmetros de um modelo de POMTM 𝑦𝑡 𝑀𝐾𝑝 1 𝑒 𝑡𝜃𝑝 𝜏𝑝 𝑦 1 𝑒 𝑡𝜃𝑝 𝜏𝑝 Para 𝑦𝑡 1 3 𝑦 𝑡 𝑡13 1 3 𝑦 𝑦 1 𝑒 𝑡13𝜃𝑝 𝜏𝑝 𝑒 𝑡13𝜃𝑝 𝜏𝑝 2 3 𝑙𝑛 𝑒 𝑡13𝜃𝑝 𝜏𝑝 𝑙𝑛 2 3 04 𝜏𝑝 𝑡13 𝜃𝑝 04 𝜃𝑝 𝑡13 04𝜏𝑝 𝑎 Para 𝑦𝑡 2 3 𝑦 𝑡 𝑡23 2 3 𝑦 𝑦 1 𝑒 𝑡23𝜃𝑝 𝜏𝑝 𝑒 𝑡23𝜃𝑝 𝜏𝑝 1 3 𝑙𝑛 𝑒 𝑡23𝜃𝑝 𝜏𝑝 𝑙𝑛 1 3 10986 𝜏𝑝 𝑡23 𝜃𝑝 𝑏 De 𝑎 e 𝑏 𝜏𝑝 𝜏23𝜏13 07 88 Exemplo 52 Considere a seguinte resposta ao degrau Figura 537 Estime os parâmetros para um modelo de primeira ordem tempo morto utilizando as três técnicas apresentadas anteriormente Inclua as unidades para cada parâmetro Solução Exemplo 52 Figura 537 Exemplo da resposta ao degrau com ruído de medição Método 632 𝐾𝑝 𝑦 𝑢 68 50 28 25 6 Cpsig Ganho do processo 89 O tempo morto encontrado observando quando a saída começa a mudar significativamente e quando a alteração na entrada foi aplicada Para este processo A constante de tempo é estimada utilizando o método 632 Primeiro calcule 632 da variação da saída Observando a resposta de saída o tempo para a resposta atingir 11376 C é de 15 min A constante de tempo pode então ser calculada como segue O modelo de POMTM pode então ser expresso como Método do coeficiente angular máximo A constante de tempo pode ser estimada utilizando a inclinação máxima da resposta de saída Observando a resposta podemos ver que a inclinação máxima pode ser calculada como 𝜃𝑝 5 1 4 min 0632𝑦 063268 50 11376 C 𝑡632 𝜏𝑝 𝜃𝑝 𝜏𝑝 15 4 11 min 𝐺𝑝𝑠 6𝑒4𝑠 11𝑠 1 𝐾𝑝 𝑦 𝑢 68 50 28 25 6 Cpsig Ganho do processo Tempo morto 𝜃𝑝 5 1 4 min 90 O modelo de POMTM pode então ser expresso como Método dos dois pontos A constante de tempo pode ser estimada determinando 𝑡13 e 𝑡23 Figura 538 que são definidos a partir do instante que a mudança degrau na entrada é aplicada Coeficiente angular 58 50 15 5 08 Cmin 𝜏𝑝 𝑦 coeficente angular 6 08 75 min 𝐺𝑝𝑠 6𝑒4𝑠 75𝑠 1 𝐾𝑝 𝑦 𝑢 68 50 28 25 6 Cpsig Ganho do processo Tempo morto 𝜃𝑝 5 1 4 min 91 Anexo B Revisão de Tópico de Álgebra Linear para o Método dos Mínimos Quadrados 𝜏𝑝 𝑡23 𝑡13 07 161 85 07 109 min O modelo de POMTM pode então ser expresso como 𝐺𝑝𝑠 6𝑒4𝑠 104𝑠 1 O tempo morto também pode ser determinado como 𝜃𝑝 𝑡13 04𝜏𝑝 85 04 109 41 4 min Figura 538 Exemplo da resposta ao degrau com ruído de medição 𝑥𝑇𝑥 𝑥1 𝑥𝑛 𝑥1 𝑥𝑛 𝑥1 2 𝑥𝑛2 𝑥𝑇𝐴𝑥 𝑥1 𝑥𝑛 𝐴11 𝐴1𝑛 𝐴𝑛1 𝐴𝑛𝑛 𝑥1 𝑥𝑛 𝑥𝑖𝐴𝑖1 𝑖 𝑥𝑖𝑛𝐴𝑖𝑛 𝑖 𝑥1 𝑥𝑛 𝑥𝑖𝑥𝑗𝐴𝑖𝑗 𝑖𝑗 Seja 𝑥 um vetor 𝑛 1 e 𝐴 uma matriz 𝑛 𝑛 Então 92 572 Identificação do Processo Usando Métodos Numéricos Existem muitas técnicas numéricas para o desenvolvimento de funções de transferência de ordem baixa a partir da série de dados de entradasaída de um processo existente A identificação numérica do processo pode ser realizada em operação online e fora de operação offline Na identificação do processo fora de operação as séries de dados de entradasaída são coletadas e uma técnica de otimização numérica como a minimização dos mínimos quadrados dos erros entre os dados da planta e as previsões do modelo é utilizada para obter os parâmetros desconhecidos do modelo de processo A minimização de mínimos quadrados pode ser realizada por uma série de ferramentas incluindo o Microsoft Excel e o toolbox de identificação 𝑥𝑇𝐴𝑥 𝑥 𝑥𝑇𝐴𝑥𝑥1 𝑥𝑇𝐴𝑥𝑥𝑛 𝑥𝑗𝐴1𝑗 𝑗 𝑥𝑖𝐴𝑖1 𝑖 𝑥𝑗𝐴𝑛𝑗 𝑗 𝑥𝑖𝐴𝑖𝑛 𝑖 𝑥𝑗𝐴1𝑗 𝑗 𝑥𝑗𝐴𝑛𝑗 𝑗 𝑥𝑖𝐴𝑖1 𝑖 𝑥𝑖𝐴𝑖𝑛 𝑖 𝑥𝑇𝐴𝑇 𝑥𝑇𝐴 Se 𝐴 for simétrica 𝐴 𝐴𝑇 e 𝑥𝑇𝐴𝑥 𝑥 2𝑥𝑇𝐴 Identidade matrizvetor 𝐴𝑇𝑥 𝑥𝑇𝐴 93 de processos do MATLAB O mesmo procedimento pode ser implementado em operação que é particularmente útil para o projeto de controladores adaptativos esquema apresentado no diagrama de blocos da Figura 539 Neste caso outros tipos de sinais que o degrau ou impulso estatisticamente independentes uns dos outros são preferidos Um desses tipos de sinal é o sinal binário pseudoaleatório PRBS em inglês que alterna entre um nível alto e um nível baixo em cada intervalo de comutação especificado pelo usuário 5721 O Método dos Mínimos Quadrados Os sinais amostrados de entrada 𝑢 e saída 𝑦 são coletados no tempo 𝑡 𝑘𝑡 para 𝑘 01 2 na qual 𝑡 é o intervalo de amostragem Observe que 𝑢𝑘 e 𝑦𝑘 são os últimos pontos de dados de entrada e saída Assumindo que 𝑦𝑘 é uma combinação linear das séries de dados de entrada e saída presentes e passadas relacionadas pela seguinte equação com os parâmetros desconhecidos 𝑎0 𝑎1 𝑏1 𝑏2 temse Figura 539 Um controlador adaptativo autoajustável utilizando identificação de processo em operação 𝑦𝑘 𝑎0𝑢𝑘 𝑎1𝑢𝑘 1 𝑎𝑛𝑢𝑘 𝑛 𝑏1𝑦𝑘 1 𝑏𝑚𝑦𝑘 𝑚 556 94 Coletando 𝑁 amostras para 𝑘 1 𝑁 temse Colocando a Equação 557 em uma forma compacta temse Na qual 𝒀 e 𝑿 são conhecidos dos dados de entradasaída medidos e 𝜽 é o vetor de parâmetros desconhecidos Representando a estimativa de 𝜽 por 𝜽 tem se Nas quais 𝜀𝑖 é o erro de estimativa em cada intervalo e 𝑬 é o vetor de erro de estimativa O método dos mínimos quadrados minimiza a soma dos quadrados dos erros de estimativas Para estimar o vetor de parâmetro desconhecido a primeira derivada de 𝑆 em relação a 𝜃 deve ser definida como zero e a segunda derivada deve ser positiva 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑁 𝑢1 𝑢1 𝑛 𝑦0 𝑦1 𝑚 𝑢𝑁 𝑢𝑁 1 𝑦𝑁 1 𝑦𝑁 𝑚 𝑎0 𝑎𝑛 𝑏1 𝑏𝑚 𝒀 𝑿 𝜽 𝒚𝒊 𝑿𝑻𝜽 𝜀𝑖 𝒀 𝑿𝑻𝜽 𝑬 𝑆 𝜀𝑖 2 𝑁 𝑖1 𝐄𝐓𝑬 𝑑𝑆 𝑑𝜃 0 𝑑 𝑑𝜃 𝜀𝑖 2 𝑁 𝑖1 𝜃 𝑿𝑇𝑿1𝑿𝑇𝒀 558 557 95 573 Uso da Função Solver do Excel para a Estimativa do Vetor de Parâmetros em Identificação de Sistema Por padrão o Solver do Excel não é instalado Para fazer a instalação siga os passos Arquivo Opções Suplementos ir marque a caixinha do Solver Pressione OK Em uma planilha do Excel crie os dados os dados experimentais medidos 𝑦 em um determinado momento e a previsão do modelo 𝑦 modelo Na Tabela 52 as previsões do modelo são geradas por um modelo de primeira ordem Figura 540 Especifique a função objetivo de otimização como a soma dos quadrados das diferenças entre os dados medidos e os calculados pelo modelo ymedido 𝑦modelo2 e os parâmetros do modelo 𝐾𝑝 e 𝜏𝑝 Chame solver acessando a aba Dados para encontrar o melhor conjunto de parâmetros Obviamente além do modelo de primeira ordem também podem ser usados modelos de ordem superior 96 97 574 Programa Usando MATLAB Para a Estimativa de Parâmetros em Identificação de Sistema 98 99 100 101 Resultado da identificação do modelo usando o código prévio do MATLAB 102 Resultado da identificação do modelo usando o código prévio do MATLAB 103 58 Identificação do Processo no Domínio da Frequência 𝑅𝐴 e 𝜙 de um processo existente com dinâmica desconhecida podem ser obtidos empiricamente perturbando o processo com uma entrada senoidal com diferentes frequências usando um gerador de sinal Figura 540 ou com uma entrada de pulso único Figura 541 No último caso 𝑅𝐴 e 𝜙 podem ser calculados a partir das funções de pulso de entrada e saída medidas Figura 540 Identificação de processo no domínio da frequência usando um gerador de sinal 104 581 Teste Pulso Figura 541 Identificação do processo no domínio da frequência usando um único sinal de pulso O processo considerado aqui é o sistema combinado do atuador processo e sensor ou seja 𝐺𝑝𝑠 𝐺𝑎𝑠𝐺𝑝𝑠𝐺𝑚𝑠 A entrada para esse processo é a saída do controlador Para um teste pulso um pulso retangular é utilizado e os valores medidos da VC são registrados por exemplo Figura 542 Este é um teste em malha aberta e 𝑦m deve retornar para ou próximo de seu ponto inicial no tempo de resposta do processo se nenhuma perturbação significativa ocorrer durante o teste A função de transferência para este processo é dada por Figura 542 Exemplo de um teste pulso 𝐺𝑝𝑠 𝑌 𝑠 𝐶𝑠 𝑦𝑡𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 0 𝑐𝑡𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 0 559 113 105 Usando a identidade de Euler a qual é baseada na definição da transformada de Laplace e na qual 𝑦𝑡 e 𝑐𝑡 são variáveis desvio A função de transferência pode ser convertida em um gráfico de Bode substituindo 𝑠 𝑗𝜔 Assim 𝐺𝑝𝑖𝜔 𝑦𝑡𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 0 𝑐𝑡𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 0 560 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 Resulta em 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝐴𝜔 𝑗 𝐵𝜔 𝐶𝜔 𝑗 𝐷𝜔 561 na qual 𝐴𝜔 𝑦𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑑𝑡 0 𝐵𝜔 𝑦𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑑𝑡 0 𝐶𝜔 𝑐𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑑𝑡 0 𝐷𝜔 𝑐𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑑𝑡 0 562 106 𝑅𝜔 e 𝐼𝜔 são os componentes real e imaginário de 𝐺𝑝𝑗𝜔 respectivamente Então finalmente a razão de amplitude 𝑅𝐴 e o ângulo de fase 𝜙 podem ser calculados diretamente Após o teste pulso experimental ser gerado as Equações 561 a 563 são aplicadas em cada valor de 𝜔 para gerar o gráfico de Bode Um valor de 𝜔1 é selecionado e os valores de 𝐴𝜔1 𝐵𝜔1 𝐶𝜔1 e 𝐷𝜔1 Equação 565 são calculados utilizando os resultados do teste pulso e um método de integração numérica por exemplo o método trapezoidal Então 𝑅𝜔1 e 𝐼𝜔1 são calculados utilizando as Equações 574 e 575 Finalmente 𝑅𝐴𝜔1 e 𝜙𝜔1 são determinados pelas Equações 564 e 565 Outra frequência é selecionada e o procedimento é repetido até o gráfico de Bode estar completo Portanto com um único experimento 𝑅𝐴𝜔 e 𝜙𝜔 de um processo desconhecido podem ser calculados como uma função de ω e o diagrama de Bode pode ser construído Os gráficos de Bode podem então ser comparados com o diagrama de Bode de funções de transferência de baixa ordem conhecidas para estimar a função de transferência aproximada do sistema desconhecido e seus parâmetros Após multiplicar pelo conjugado complexo do denominador 𝑅𝜔 𝐴𝜔𝐶𝜔 𝐵𝜔𝐷𝜔 𝐶2𝜔 𝐷2𝜔 𝐼𝜔 𝐴𝜔𝐷𝜔 𝐵𝜔𝐶𝜔 𝐶2𝜔 𝐷2𝜔 562 563 𝑅𝐴𝜔 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝑅2𝜔 𝐼2𝜔 𝜙𝜔 𝐺𝑝𝑗𝜔 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐼𝜔 𝑅𝜔 564 565 107 Exemplo 53 Usando os gráficos de Bode Figura 543 gerados a partir de um processo com dinâmica desconhecida determine a função de transferência do processo desconhecido Solução Observe que o coeficiente angular da aaf em altas frequências é 1 em uma escala loglog ou 20 dbciclo e o coeficiente angular da abf é zero Isso sugere que o processo desconhecido pode ser aproximado por uma função de transferência de primeira ordem Observando o gráfico de 𝜙 notase que o atraso de fase diminui em altas frequências e não converge para Figura 543 Gráficos de Bode de um sistema desconhecido 108 90 o que é típico de uma função de transferência de primeira ordem com tempo morto Isso sugere que o processo desconhecido deve ter tempo morto e ser da forma geral 𝐺𝑝𝑠 𝐾𝑝 𝜏𝑝𝑠1 Portanto existem três parâmetros desconhecidos 𝐾𝑝 𝜏𝑝 e 𝜃 que devem ser estimados a partir dos gráficos de Bode A partir do gráfico de 𝑅𝐴 A frequência de canto 𝜔𝑐 na interseção da abf e aaf é igual a 012 A frequência de canto é o inverso da constante de tempo do processo ou seja 1𝜏𝑝 resultando em 𝜏𝑝 83 𝑠 Finalmente para determinar o tempo morto a partir do gráfico de 𝜙 dado por exemplo em um valor de frequência igual a 𝜔 1 rads 𝜙 é lido a partir do gráfico experimental 𝜙 260 260 2𝜋 360 453 rad 𝜙 de uma função de transferência de primeira ordem com tempo morto é dada por Portanto o processo desconhecido pode ser aproximado pela seguinte função de transferência 20log𝑅𝐴𝜔0 20log𝐾𝑝 18 𝐾𝑝 79 𝜙 arctg𝜏𝑝𝜔 𝜃𝜔 453 arctg83 1 𝜃 1 𝜃 3 𝑠 𝐺𝑝𝑠 79𝑒3𝑠 83𝑠 1