Modelagem Matematica e Simulacao de Processos Quimicos - Guia Completo

Controle de Processo Parte 3 Modelagem matemática e Simulação Essa parte do curso tem por objetivo a compreensão e habilidades básicas para o desenvolvimento de modelos dinâmicos aplicar as equações apropriadas para modelar a dinâmica de processos representativos e aplicar solucionadores de equações diferenciais de pacotes de software como o MATLAB e o SIMULINK para simular o comportamento dinâmico de sistemas de processos químicos Enildo Alves Bernardes bernardesenildogmailcom 1 Sumário 31 Introdução 4 32 Processo de Modelagem do Mundo Real 6 321 Realidade para Matemática Etapa 1 6 322 Solução Matemática Etapa 2 7 323 Interpretando as saídas do modelo etapa 3 7 324 Utilização dos resultados no mundo real etapa 4 8 33 Áreas de Aplicação dos Modelos em Engenharia de Sistemas de Processos 8 34 Classificação dos Modelos 10 341 Modelagem de primeiros princípios versus modelagem empírica 11 342 Modelos a parâmetros concentrados versus distribuídos 11 343 Modelos lineares versus não lineares 12 344 Modelos de regime permanente estado estacionário versus modelos dinâmicos 12 345 Modelos contínuos versus discretos 12 346 Modelos determinísticos versus modelos estocásticos 13 35 Forma de Equação de Modelos de Processo 13 36 O Sistema de Processo e o Objetivo da Modelagem 14 361 Esquema Geral do Sistema 14 2 362 O Objetivo de Modelagem 15 3621 Simulação dinâmica 15 3622 Simulação em regime permanente 16 3623 Problema de projeto 16 3624 Controle de processo 16 37 Simulação 17 38 Conservação de MassaEnergiaMomento 17 39 Balanço de Massa e Energia 19 391 Equação de Balanço Forma Geral 19 392 Balanço de Massa Total 20 393 Balanço de Massa do Componente 20 394 Massa e Quantidade de Matéria em Balanços de Massa 22 310 Balanço de Energia A Quantidade de Interesse é Energia 26 3101 Taxa convectiva de energia 27 3102 Taxa de Transferência de Calor 27 3103 Termos de Trabalho 28 3104 Balanço de Energia Total 28 3105 Simplificações e Modificações do Balanço de Energia Geral 30 3 311 Relações Constitutivas 36 3111 Lei do gás ideal 37 3112 Relações de Equilíbrio 39 3113 Cinética das Reações Química 40 3114 Transferência de Calor 41 312 Questões para Serem Respondidas Durante o Desenvolvimento de um Modelo 42 313 Variáveis de Estado Variáveis de Entrada Parâmetros 46 314 Procedimento para Realizar a Modelagem 47 315 Resolvendo uma EDO ou um Conjunto de EDOs 52 3151 Resolvendo Equações Diferenciais Utilizando o MATLAB 52 3152 Resolvendo Equações Diferenciais Utilizando o Simulink 55 316 Formulação de Modelos Dinâmicos 61 3161 Nível em um tanque 62 3162 Simulação do Tanque de Armazenamento de Líquido Utilizando o Matlab 65 3163 Simulação do Tanque de Armazenamento de Líquido Utilizando o Simulink 94 317 Simulador Visual Basic SVB 103 4 31 Introdução Um modelo é uma imitação da realidade e um modelo matemático é uma forma particular de representação Nunca devemos esquecer isso e ficar tão distraídos com o modelo que esquecemos a aplicação real que está conduzindo a modelagem No processo de construção do modelo estamos traduzindo nosso problema do mundo real em um problema matemático equivalente que resolvemos e depois tentamos interpretar É importante capturar as características essenciais de um sistema para descrever prever otimizar as condições de operação e projetar um controlador adequado Algumas das áreas de aplicação de equações de modelo estão em projeto de processo controle de processo segurança de processo simuladores de treinamento operacional e avaliação de impacto ambiental etc Cada área de aplicação pode exigir uma forma diferente de equações de modelo matemático O método de modelagem matemática envolve análise simulação seguida de testes experimentais O desenvolvimento do modelo matemático necessita de leis gerais e relações constitutivas As leis gerais são as equações de conservação ou balanço de massa energia e momento Alguns dos termos ou variáveis na equação geral de conservação devem ser obtidos pelas equaçãoões constitutivas As relações constitutivas são de natureza experimental e dependem fortemente do fenômeno em consideração Alguns exemplos incluem a lei de condução de calor de Fourier a lei de difusão de Fick de uma substância taxas de reação relações de equilíbrio e equação de estado lei de Newton da viscosidade isotermas para adsorção retenção hold up de catalisador etc Também são conhecidas como leis fenomenológicas ou seja uma lei que é alcançada pela observação de fenômenos naturais e não derivada dos princípios básicos As equações matemáticas que resultam da modelagem são equações algébricas equações diferenciais ordinárias equações diferenciais parciais etc Uma visão física detalhada da realidade deve ser obtida antes que a descrição matemática possa ser formulada 5 Em geral o desenvolvimento de um modelo exato é bastante difícil Às vezes a teoria do fenômeno não é completamente conhecida os fatos experimentais não estão disponíveis a solução das equações matemáticas é bastante difícil ou impossível porque não são lineares ou várias equações diferenciais acopladas constituem o modelo Então é muito comum o uso das soluções numéricas utilizando computadores ou pacote de software especificamente projetado como subrotinas padrão e o desenvolvimento de modelos empíricos a partir de dados da planta usados para desenvolver uma relação entre a entrada e saída do processo Os três problemas gerais que enfrentamos com relação a qualquer sistema Figura 30 são Síntese dada a entrada 𝑢 e a saída desejada 𝑦 encontre 𝑆 projete o sistema para obter a saída desejada para a entrada dada O problema de síntese é conhecido como problema de projeto Análise Dados 𝑢 e 𝑆 encontre 𝑦 dado o sistema e a entrada encontre a saída O problema de análise é conhecido como problema de predição Compensação dados 𝑆 e 𝑦 encontre 𝑢 dado o sistema e a saída desejada encontre a entrada Este problema é chamado de problema de controle Figura 31 Entrada sistema e saída 6 32 Processo de Modelagem do Mundo Real 321 Realidade para Matemática Etapa 1 Aqui temos que lidar com a tarefa de traduzir o problema real para uma representação em termos matemáticos Algumas das principais questões que devem ser tratadas aqui são O que entendemos sobre o problema do mundo real Qual é o uso pretendido do modelo matemático Que fenômenos ou mecanismos governantes existem no sistema Que tipo de modelo é necessário Como o modelo deve ser estruturado e documentado Quão preciso deve ser o modelo Quais dados no sistema estão disponíveis e qual é a qualidade e precisão dos dados Quais são as entradas estados saídas e perturbações do sistema Figura 32 Processo de modelagem do mundo real 7 322 Solução Matemática Etapa 2 Tendo gerado alguma descrição matemática do sistema do mundo real é necessário resolver as equações para o valor desconhecido das variáveis que representam esse sistema Os principais problemas aqui são Que variáveis devem ser escolhidas no modelo para satisfazer os graus de liberdade O modelo é solucionável Que técnica de solução numérica ou analítica deve ser utilizada A estrutura do problema pode ser explorada para melhorar a velocidade ou robustez da solução Que forma de representação deve ser utilizada para exibir os resultados gráficos 2D visualização 3D Quão sensível será a saída da solução às variações nos parâmetros ou entradas do sistema 323 Interpretando as saídas do modelo etapa 3 Aqui precisamos ter procedimentos e testes para verificar se o modelo foi implementado corretamente e então perguntar se ele imita o mundo real com precisão suficiente para fazer o trabalho pretendido Os principais problemas incluem Como a implementação do modelo deve ser verificada Que tipo de validação de modelo é adequada e viável para o problema O modelo resultante é identificável O que precisa ser alterado adicionado ou excluído no modelo como resultado da validação Que nível de simplificação se justifica Que qualidade e quantidade de dados são necessárias para validação e estimativas de parâmetros 8 Que nível de validação do modelo é necessário Deve ser estático ou dinâmico Que nível de precisão é apropriado Quais parâmetros entradas ou perturbações do sistema precisam ser conhecidos com precisão para garantir a qualidade preditiva do modelo 324 Utilização dos resultados no mundo real etapa 4 Aqui nos deparamos com a implementação do modelo ou seus resultados de volta ao problema do mundo real que abordamos originalmente Alguns problemas que surgem são Para aplicativos online em que a velocidade pode ser essencial precisa reduzir a complexidade do modelo Como a atualização do modelo pode ser feita e quais dados são necessários para isso Quem realmente usará os resultados e de que forma eles devem aparecer Como o modelo deve ser mantido Que nível de documentação é necessário As questões anteriores são apenas algumas das muitas que surgem à medida que os modelos são conceituados desenvolvidos resolvidos testados e implementados O que fica claro na discussão anterior é o fato de que a modelagem é muito mais do que simplesmente a geração de um conjunto de equações 33 Áreas de Aplicação dos Modelos em Engenharia de Sistemas de Processos A lista de aplicações em engenharia de processos é quase infinita Podemos no entanto categorizar o uso de modelos em várias áreas bem definidas Estas são descritas na Tabela 31 que define a área de aplicação típica e o objetivo da modelagem 9 10 34 Classificação dos Modelos Podemos conceber várias maneiras de classificar modelos Cada uma leva a uma variedade de características de modelo que têm impacto nas técnicas de solução bem como nas áreas de aplicações potenciais onde podem ser utilizados Alguns tipos de modelos são inadequados em determinadas circunstâncias como um modelo de regime permanente para análise de partida de reator em batelada A Tabela 32 fornece uma visão geral dos tipos de modelos suas características básicas e a forma final dos modelos 11 341 Modelagem de primeiros princípios versus modelagem empírica Os modelos mecanicistas também são chamados de modelos fenomenológicos por causa de sua derivação básica a partir de fenômenos do sistema ou mecanismos como transferência de massa calor e momento Muitos modelos comuns em aplicações de engenharia de processos são derivados do conhecimento dos mecanismos subjacentes No entanto a maioria dos modelos mecanicistas também contém partes empíricas como expressões de taxa ou relações de transferência de calor Modelos mecanicistas geralmente aparecem em aplicações de projeto e otimização Eles podem ser chamados de modelos de caixa branca pois os mecanismos são evidentes na descrição do modelo Modelos empíricos são resultados de experimentos e observações geralmente não contam com o conhecimento dos princípios e mecanismos básicos presentes no sistema em estudo Eles empregam essencialmente o ajuste de equações onde os parâmetros têm pouco ou nenhum significado físico Modelos empíricos são amplamente utilizados onde os fenômenos subjacentes reais não são conhecidos ou bem compreendidos Esses modelos são frequentemente denominados modelos de caixa preta refletindo o fato de que pouco se sabe sobre os reais mecanismos do processo A representação matemática inclui modelos de séries temporais modelos de redes neurais artificiais Modelos fuzzy e modelos de mínimos quadrados etc Os parâmetros do modelo não têm relação direta com os dos primeiros princípios A forma mais comum de modelo utilizado em engenharia de processo é uma combinação de partes mecanicistas e empíricas e portanto é denominada caixa cinza 342 Modelos a parâmetros concentrados versus distribuídos As equações do modelo devem ser as mais simples possível Portanto os modelos a parâmetros concentrados são preferidos aos modelos a parâmetros distribuídos descritos por equações diferenciais parciais pois são simples e computacionalmente menos exigentes No entanto se a variável digamos temperatura está variando ao longo da coordenada espacial pode ser 12 desejável desenvolver modelos a parâmetros distribuídos Para fins de projeto do controlador o modelo a parâmetro distribuído deve ser convertido em um conjunto de modelos a parâmetros concentrados e portanto o número de equações é maior para o projeto dos sistemas de controle 343 Modelos lineares versus não lineares Para análise dos processos e otimização dos sistemas é necessário um modelo não linear adequado Para fins de projeto de controladores um modelo linear pode ser adequado Um modelo linear não pode conter quaisquer combinações não lineares de variáveis por exemplo um produto de duas variáveis ou qualquer variável elevada a um expoente diferente de 1 Para um processo altamente não linear como o processo de pH é necessária uma lei de controle baseada em modelo não linear Os modelos não lineares podem ser difíceis de resolver analiticamente 344 Modelos de regime permanente estado estacionário versus modelos dinâmicos Para processos de tempo contínuo para projetar um processo ou otimização das variáveis operacionais precisamos de modelos de regime permanente Para analisar o comportamento oscilatório podemos precisar dos modelos de regime não permanente dinâmicos Para o projeto do controlador também precisamos de modelos dinâmicos Para processos em batelada o modelo dinâmico é necessário 345 Modelos contínuos versus discretos Normalmente a modelagem de tempo contínuo é necessária para analisar o comportamento do processo Para o projeto de controladores particularmente controle adaptativo ou controle ótimo etc podemos precisar de modelos de tempo discreto Algumas soluções numéricas de modelos de EDOs podem exigir modelos discretos 13 346 Modelos determinísticos versus modelos estocásticos É tradicional modelar a natureza em termos determinísticos No entanto nem a natureza nem os sistemas projetados se comportam de maneira precisamente previsível Os sistemas são quase sempre inerentemente ruidosos Portanto para modelar um sistema de forma realista um grau de aleatoriedade deve ser considerado no modelo Mesmo que não se possa prever com precisão um próximo evento podese prever como os próximos eventos serão distribuídos Ao contrário da análise de dados tradicional onde as estatísticas como média desvio padrão e similares são calculadas a partir dos dados fornecidos podemos gerar aqui um conjunto de dados com estatísticas préespecificadas Estocástico em grego significa adivinhar Tentamos estimar a probabilidade de certos resultados com base nos dados disponíveis 35 Forma de Equação de Modelos de Processo Também podemos considerar os tipos de equações que resultam de tais modelos quando consideramos situações de regime permanente e dinâmicas Estes são mostrados na Tabela 33 As formas podem envolver equações algébricas lineares EALs equações algébricas não lineares EANLs equações diferenciais ordinárias EDOs equações diferenciais parciais elípticas EDPEs e equações diferenciais parciais parabólicas EDPPs Cada uma das formas de equação requer técnicas especiais para a solução 14 36 O Sistema de Processo e o Objetivo da Modelagem 361 Esquema Geral do Sistema Um sistema é uma parte do mundo real com limites físicos bem definidos Um sistema é influenciado por sua vizinhança ou ambiente por meio de suas entradas e gera influências em suas vizinhanças por suas saídas que ocorrem através de suas fronteiras Isso é visto na Figura 32 As entradas 𝑢 e as saídas 𝑦 do sistema podem ser de valor único dando um sistema de entrada única saída única SISO Alternativamente o sistema pode ser um sistema de múltiplas entradas e múltiplas saídas MIMO Ambas entradas e saídas são consideradas funções possivelmente com valor vetorial dependentes do tempo que chamamos de sinais Um sistema pode ser visto como um operador em sentido matemático abstrato transformando suas entradas 𝑢 em suas saídas 𝑦 Os estados do sistema são representados pelo vetor 𝑥 e geralmente estão associados com as retenções de massa energia e momento no sistema Observe que os estados também são sinais ou seja funções dependentes do tempo O sistema 𝑆 conecta as entradas às saídas ou seja 𝑦 𝑆𝑢 Internos ao sistema estão os estados 𝑥 que permitem uma descrição do comportamento em qualquer ponto no tempo Além disso 𝑥𝑡 serve como uma memória que concentra todo o histórico de entradas e saídas do sistema até um determinado tempo 𝑡 Um sistema de processo é então um sistema no qual ocorrem processos físicos e químicos sendo estes o principal interesse do modelador 15 O sistema a ser modelado pode ser visto como toda a planta de processo seu ambiente parte da planta uma unidade operacional ou um equipamento Portanto para definir nosso sistema precisamos especificar suas fronteiras suas entradas e saídas e os processos físicoquímicos que ocorrem dentro do sistema Os sistemas de processo são convencionalmente especificados em termos de um fluxograma que define as fronteiras juntamente com as entradas e saídas Normalmente estão disponíveis informações sobre a estrutura interna do sistema em termos de unidades operacionais e suas conexões 362 O Objetivo de Modelagem Entre os objetivos de modelagem mais importantes e amplamente utilizados na engenharia de processos estão os seguintes 3621 Simulação dinâmica Com o modelo de processo desenvolvido para representar mudanças no tempo é possível prever as saídas 𝑦 dadas todas as entradas 𝑢 a estrutura do modelo M e os parâmetros 𝑝 Figura 32 Esquema geral do sistema 16 3622 Simulação em regime permanente Aqui assumese que o sistema de processo está em regime permanente representando um ponto de operação do sistema Novamente o problema de simulação calcula os valores de saída 𝑦 dadas entradas específicas 𝑢 uma estrutura de modelo M e seus parâmetros 𝑝 Isso às vezes é conhecido como um problema de classificação 3623 Problema de projeto Aqui estamos interessados em calcular os valores de certos parâmetros 𝑝 a partir do conjunto de parâmetros 𝑝 dadas as entradas conhecidas 𝑢 as saídas desejadas 𝑦 e uma estrutura fixa M Este tipo de problema é normalmente resolvido utilizando uma técnica de otimização que encontra os valores dos parâmetros que geram as saídas desejadas Também é chamado de problema de especificação 3624 Controle de processo Os problemas fundamentais em controle de processos são considerar um modelo de processo dinâmico junto com entradas 𝑢 eou saídas medidas 𝑦 para Conceber uma entrada para a qual o sistema responda de uma forma prescrita que dê um problema de regulação ou controle de movimentação de estado Encontrar a estrutura do modelo M com seus parâmetros 𝑝 utilizando os dados de entrada e saída dando assim um problema de identificação do sistema Encontrar os estados internos em M dada uma estrutura para o modelo dando assim um problema de estimação de estado que normalmente é resolvido utilizando uma forma de solução de mínimos quadrados 17 Encontrar modos defeituosos eou parâmetros do sistema que correspondam aos dados medidos de entrada e saída levando a problemas de detecção e diagnóstico de falhas 37 Simulação A simulação é o processo de analisar um processo inteiro ou parte dele utilizando as equações do modelo O objetivo da simulação é encontrar as condiçõesparâmetros ótimos de operação analisando o efeito das variáveis de entrada no desempenho do sistema e projeto dos controladores A simulação é definida como a experimentação com as equaçõesmodelos matemáticos Resolver as equações matemática do modelo para entender o comportamento do sistema é chamado de simulação 38 Conservação de MassaEnergiaMomento Os termos de entrada representam a massa que entra no sistema e a massa gerada pela reação ou massa transferida de outra fase para a fase em consideração Da mesma forma o termo de saída consiste na massa que sai do sistema massa consumida pela reação massa transportada desta fase para outra O balanço de massa total e o balanço de massa do componente em cada fase devem ser escritos A equação de conservação para a massa da iésima espécie química em condição de regime permanente é dada por Acúmulo Entrada Saída condição transiente 31 Entrada Saída 0 condição de regime permanente 32 Vazão mássica da i ésima espécie entrando vazão mássica da i ésima espécie saindo taxa de geração de massa da i ésima espécie no sistema 0 18 A massa da iésima espécie pode entrar ou sair do sistema por dois meios 1 por correntes de entrada ou saída e 2 por troca de massa entre o sistema e suas vizinhanças através das fronteiras do sistema ou seja transferência de massa entre fases Se for um sistema reativo precisamos conhecer a cinética da reação para as reações A declaração de conservação para a energia total sob condição de regime permanente assume a forma A energia deve entrar ou sair do sistema por dois meios i pelas correntes de entrada ou saída ii pela troca de energia entre o sistema e suas vizinhanças através das fronteiras do sistema e na forma de calor e trabalho Dependendo da situação a modelagem pode exigir apenas o balanço de massa eou balanço de energia eou balanço de momento Interessado em massa volume ou pressão balanço de massa Interessado em concentração balanço de componentes Interessado em temperatura balanço de energia Interessado na interação entre vazão e pressão balanço de energia mecânica balanço de momento Bernoulli segunda Lei de Newton A taxa de geração de momento é igual ao somatório de forças sobre o sistema Taxa de entrada de energia taxa de saída de energia taxa de energia gerada no sistema 0 33 Taxa de entrada de momento taxa de saída de momento taxa de geração de momento 0 34 19 As etapas básicas no desenvolvimento das equações de balanço são dadas por Defina o sistema se possível desenhe o esboço liste as suposições adequadas feitas escreva as equações de balanço de massa eou balanço de energia eou balanço de momento Use a correlação apropriada para calcular os coeficientes de transferência de massatransferência de energia relevantes para o problema em questão escreva as condições iniciais e resolva as equações 39 Balanço de Massa e Energia 391 Equação de Balanço Forma Geral Acúmulo dentro do sistema Entrada através das fronteiras do sistema Saída através das fronteiras do sistema Geração dentro do sistema Consumo dentro do sistema Acúmulo Entrada Saída Geração Consumo 20 392 Balanço de Massa Total Pela lei da conservação da massa a massa total é conservada ou seja a geração 0 e o consumo 0 Então Para um sistema a parâmetros concentrados a forma da equação para p correntes de entrada e q correntes de saída é 393 Balanço de Massa do Componente O último termo considera a geração ou o consumo do componente i via reação química Para um sistema a parâmetros concentrados nós temos a equação geral na forma Taxa de acumulação de massa Vazão mássica total na entrada Vazão mássica total na saída 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝑚 𝑗 𝑚 𝑘 𝑞 𝑘1 𝑝 𝑗1 m é massa kg e 𝑚 é vazão mássica ou taxa mássica kgs Taxa de acumulação de massa do componente 𝑖 Vazão mássica do componente 𝑖 na entrada Vazão mássica do componente 𝑖 na saída Taxa de formação ou consumo do componente 𝑖 𝑑𝑚𝑖 𝑑𝑡 𝑚 𝑖𝑗 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑖𝑘 𝑔𝑖 𝑖 1 𝑛 𝑞 𝑘1 21 Nós podemos também escrever o balanço de massa em termos de quantidade de matéria n é quantidade de matéria mol e 𝑛 é vazão molar ou taxa molar mols O termo de geração em temos de taxa de reação pode ser expresso como 𝑑𝑛𝑖 𝑑𝑡 𝑛𝑖𝑗 𝑛𝑖𝑘 𝑔𝑖 𝑖 1 𝑛 𝑞 𝑘1 𝑝 𝑗1 𝑔𝑖 𝑑𝑛𝑖 𝑑𝑡 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 𝑟𝑖𝑉 𝜈𝑖𝑟𝑉 𝜈𝑖 é coeficiente estequiométrico para o componente i na equação química balanceada 𝜈𝑖 é negativo para reagente e positivo para produto Ex 2𝐶𝑂 𝑂2 2 𝐶𝑂2 𝜈𝐶𝑂 2 𝜈𝑂2 1 𝑒 𝜈𝐶𝑂2 2 r é taxa da reação química molm 3s ri é a taxa da reação em relação ao componente i mol de im 3s V é o volume do sistema 22 394 Massa e Quantidade de Matéria em Balanços de Massa Massa total é uma propriedade extensiva verdadeira em um sistema geral e como tal não pode haver nenhuma geração ou consumo para esta quantidade No caso do balanço de massa total ser aplicado em termos de quantidade de matéria a equação de balanço é válida somente para sistemas sem reação Para os balanços de massa de componente balaço de massa e balanço de quantidade de matéria cuidado deve ser tomado para assegurar que todos os temos de geração e consumo sejam incluídos caso contrário os balanços de conservação não são válidos Exemplo 1 Entrada 𝑚 𝑗 𝑝 𝑗1 Fentra Saída 𝑚 𝑘 𝑞 𝑘1 Fsai Acúmulo 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝑑𝜌𝐴ℎ 𝑑𝑡 Fsai m 3s 𝑑𝜌𝐴ℎ 𝑑𝑡 𝜌𝐹entra 𝜌𝐹sai Fentra m 3s 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝑚 𝑗 𝑚 𝑘 𝑞 𝑘1 𝑝 𝑗1 23 Exemplo 2 24 Exemplo 3 25 a b 26 310 Balanço de Energia A Quantidade de Interesse é Energia Expressão geral A energia total E do sistema inclui três componentes principais em sistemas de processos Energia interna U Energia cinética Ec Taxa de mudança de energia total Taxa de energia para dentro do sistema Taxa de energia para fora do sistema 27 Energia potencial Ep Então nós podemos escrever 𝐸 𝑈 𝐸𝑐 𝐸𝑝 As principais formas com que a energia flui para dentro e para fora do sistema são Taxas convectivas de energia Taxas de calor condutivo e radioativo Termos de trabalho 3101 Taxa convectiva de energia Energia carregada por cada corrente para dentro e para fora do volume de balanço As taxas convectivas de energia podem ser escritas para as correntes de entrada e saída como 𝑈 𝐸𝑐 e 𝐸𝑝 são quantidades de energia específicas Tipicamente elas são definidas como energia por unidade de massa Jkg 3102 Taxa de Transferência de Calor A taxa de transferência de calor 𝑄 expressa no SI por Js inclui a transferência de calor por condução convecção ou radiação através dos limites do sistema assumida como positiva quando fornecida pelos arredores ao sistema 𝑚 𝑗𝑈 𝐸𝑐 𝐸𝑝𝑗 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑘𝑈 𝐸𝑐 𝐸𝑝𝑘 𝑝 𝑘1 e 28 3103 Termos de Trabalho A taxa líquida de trabalho feito pelo sistema é dado por 𝑊 Usualmente a taxa de trabalho é dividida em Taxa de trabalho de eixo 𝑊𝑠 Trabalho mecânico fornecido ou extraído se ele for negativo usando equipamentos dinâmicos bombas compressores turbinas associado a mudanças de pressão Taxa de trabalho devido ao fluxo 𝑃𝑉 𝑉 é o volume específico Trabalho associado ao deslocamento de volume quando uma corrente entra e sai do sistema Nota O Trabalho de expansãocompressão WEC que considera o trabalho feito na expansão ou contração do volume de balanço não está frequentemente presente especialmente quando o volume de balanço é fixo como no caso de um equipamento de processo Porém em muitas circunstâncias onde os volumes de balanço compartilham uma interface e a interface é móvel então este termo pode ser importante 3104 Balanço de Energia Total Taxa de mudança de energia total Taxa de energia para dentro do sistema Taxa de energia para fora do sistema 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑚 𝑗𝐸𝑗 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑘𝐸𝑘 𝑄 𝑊 𝑞 𝑘1 Calor adicionado ao volume de controle e trabalho feito sobre o volume de controle por convenção são positivos 29 Substituindose as expressões para 𝐸𝑗 𝐸𝑘 e expandindo 𝑊 obtémse Rearranjando temse Usando a relação termodinâmica para entalpia H dada por H U PV é possível escrever o balanço de energia geral usando entalpia específica 𝐻 Jkg Deve ser destacado que a equação acima contém implicitamente todas as contribuições de energia de processos internos especialmente aqueles associados com reações químicas A seguir serão apresentadas simplificações do balanço de energia geral que são aplicáveis para vários processos comuns de engenharia 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑚 𝑗𝑈 𝐸𝑐 𝐸𝑝𝑗 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑘𝑈 𝐸𝑐 𝐸𝑝𝑘 𝑄 𝑚 𝑗𝑃𝑉𝑗 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑘𝑃𝑉𝑘 𝑞 𝑘1 𝑊 𝐸𝐶 𝑊 𝑆 𝑝 𝑘1 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑚 𝑗𝑈 𝑃𝑉 𝐸𝑐 𝐸𝑝𝑗 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑘𝑈 𝑃𝑉 𝐸𝑐 𝐸𝑝𝑘 𝑞 𝑘1 𝑄 𝑊 𝐸𝐶 𝑊𝑠 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑚 𝑗𝐻 𝐸𝑐 𝐸𝑝𝑗 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑘𝐻 𝐸𝑐 𝐸𝑝𝑘 𝑄 𝑝 𝑘1 𝑊 𝐸𝐶 𝑊𝑠 30 3105 Simplificações e Modificações do Balanço de Energia Geral Consideração 1 Em muitos processos os termos de energia cinética e energia potencial podem ser ignorados Ec 0 desde que muitos fluxos estão a baixa velocidade e a contribuição de energia do termo 𝑚 𝑗𝑢2 2 é pequena as correntes de processo têm velocidades de aproximadamente 1 ms para líquidos e até 20 ms para gases a 1 bar e mudanças de energia cinética podem normalmente ser ignoradas Ep 0 desde que diferenças de elevações para muitos sistemas de processos são pequenas e como consequência a contribuição de energia potencial 𝑚 𝑗𝑧 𝑧 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎çã𝑜 é pequena Em plantas de processos as diferenças de alturas são tipicamente menores que 60 m e mudanças de energia potencial geralmente podem ser ignoradas Consideração 2 P e V são constantes 𝑑𝑈 𝑑𝑡 𝑚 𝑗𝐻𝑗 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑘𝐻𝑘 𝑄 𝑊 𝐸𝐶 𝑊𝑠 𝑞 𝑘1 𝑑𝑈 𝑑𝑡 𝑑𝐻 𝑃𝑉 𝑑𝑡 𝑚 𝑗𝐻𝑗 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑘𝐻𝑘 𝑄 𝑊𝑠 𝑞 𝑘1 31 Este não é frequentemente o caso em sistemas de fase gasosa Consideração 3 A entalpia específica do volume de balanço e a entalpia específica na saída não são necessariamente iguais No caso onde variações de pressões dentro do volume de balanço são pequenas tal como em sistemas líquidos ou onde variações de entalpia devido a pressão são pequenas nós podemos assumir que as entalpias específicas são iguais Então 𝑑𝐻 𝑑𝑡 𝑑𝑃𝑉 𝑑𝑡 𝑚 𝑗𝐻𝑗 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑘𝐻𝑘 𝑄 𝑊𝑠 𝑞 𝑘1 𝑑𝐻 𝑑𝑡 𝑚 𝑗𝐻𝑗 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑘𝐻𝑘 𝑄 𝑊𝑠 𝑞 𝑘1 𝐻 𝐻𝑘 𝑘 1 𝑞 𝑑𝐻 𝑑𝑡 𝑚 𝑗𝐻𝑗 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑘𝐻 𝑞 𝑘1 𝑄 𝑊𝑠 32 Consideração 4 Da última equação as entalpias são avaliadas nas condições de temperatura das correntes de alimentação 𝑇𝑖 e também na temperatura do sistema 𝑇 Fazendo certas suposições sobre a representação da entalpia nós podemos fazer simplificações adicionais Em particular nós notamos que a entalpia da alimentação 𝐻𝑗 pode ser escrita em termos da temperatura 𝑇 do sistema Assumindo que CP é constante Consideração 5 A entalpia de reação não aparece explicitamente no balanço de energia geral Isto é porque o ganho ou perda de energia está englobado no valor da entalpia de saída avaliada na temperatura 𝑇do sistema Nós agora podemos desenvolver o balanço de energia de uma maneira que faz o termo de reação explicito no balanço de energia 𝐻𝑗𝑇𝑗 𝐻𝑗𝑇 𝐶𝑝𝑗𝑇 𝑑𝑇 𝑇𝑗 𝑇 𝐻𝑗𝑇𝑗 𝐻𝑗𝑇 𝐶𝑝𝑗𝑇𝑗 𝑇 𝑑𝐻 𝑑𝑡 𝑚 𝑗𝐻𝑗𝑇 𝐶𝑝𝑗𝑇𝑗 𝑇 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑘𝐻𝑇 𝑄 𝑊𝑠 𝑞 𝑘1 𝐻 𝑓𝑇 𝑃 𝑛 33 O termo 𝐻 𝑛𝑖 é a entalpia parcial molar da espécie i que nós podemos escrever como 𝐻𝑖 No caso de sistemas líquidos o termo 𝐻 𝑃 é próximo de zero e é igual a zero para gases ideais Nós podemos também notar que a definição de capacidade calorífica é dada por 𝐶𝑃 𝐻 𝑇 𝑃 Assim podemos escrever O último termo da equação acima pode ser expandido utilizando balanço de massa para o sistema com reação Para uma reação geral dada por rR𝑠𝑆 𝑤𝑊 𝑧𝑍 Nós podemos escrever os balanços em quantidade de matéria das espécies como 𝑑𝐻 𝑑𝑡 𝐻 𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝐻 𝑃 𝑑𝑃 𝑑𝑡 𝐻 𝑛𝑖 𝑑𝑛𝑖 𝑑𝑡 𝑖 𝑑𝐻 𝑑𝑡 𝐻 𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝐻 𝑃 𝑑𝑃 𝑑𝑡 𝐻 𝑛𝑖 𝑑𝑛𝑖 𝑑𝑡 𝑖 𝑑𝐻 𝑑𝑡 𝐶𝑃 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝐻𝑖 𝑑𝑛𝑖 𝑑𝑡 𝑖 34 d𝑛𝑖 d𝑡 𝑛𝑖𝑗 𝑝 𝑗1 𝑛𝑖𝑘 𝜈𝑖𝑉𝑟 𝑖 1 𝑛𝑐 𝑞 𝑘1 Então O termo 𝐻𝑖 𝑛𝑐 𝑖1 𝜈𝑖 𝑤𝐻𝑊 𝑧𝐻𝑍 𝑟𝐻𝑅 𝑠𝐻𝑆 é conhecido como a mudança de entalpia molar para a reação ou calor de reação e é indicada por Δ𝐻𝑟 Então a equação geral pode agora ser escrita como como e 𝐻𝑖 𝑛𝑐 𝑖1 𝑑𝑛𝑖 𝑑𝑡 𝐻𝑖 𝑛𝑐 𝑖1 𝑛 𝑖𝑗 𝑝 𝑗1 𝐻𝑖 𝑛𝑐 𝑖1 𝑛𝑖𝑘 𝑞 𝑘1 𝑟𝑉 𝐻𝑖 𝑛𝑐 𝑖1 𝜈𝑖 𝑑𝐻 𝑑𝑡 𝐶𝑃 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝐻𝑖 𝑛𝑐 𝑖1 𝑛𝑖𝑗 𝑝 𝑗1 𝐻𝑖 𝑛𝑐 𝑖1 𝑛𝑖𝑘 𝑞 𝑘1 𝑟𝑉𝛥𝐻𝑟 𝑑𝐻 𝑑𝑡 𝑚 𝑗𝐻𝑗𝑇 𝐶𝑝𝑗𝑇𝑗 𝑇 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑘𝐻𝑇 𝑄 𝑊𝑠 𝑞 𝑘1 𝑑𝐻 𝑑𝑡 𝐶𝑃 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝐻𝑖 𝑛𝑐 𝑖1 𝑛 𝑖𝑗 𝑝 𝑗1 𝐻𝑖 𝑛𝑐 𝑖1 𝑛 𝑖𝑘 𝑞 𝑘1 𝑟𝑉𝛥𝐻𝑟 35 Igualandose as duas equações anteriores e rearranjando temse Mas Portanto O segundo termo representa a diferença de entalpias parciais molares da alimentação e do conteúdo do volume de balanço nas condições do volume de balanço Este termo é zero para misturas ideais e pequeno em relação ao termo do calor de reação para misturas não ideais 𝑚 𝑘𝐻𝑇 𝐻𝑖 𝑛𝑐 𝑖1 𝑛 𝑖𝑗 𝑝 𝑗1 𝐻𝑖 𝑛𝑐 𝑖1 𝑛 𝑖𝑘 𝑞 𝑘1 𝑟𝑉𝛥𝐻𝑅 𝑄 𝑊𝑠 𝑞 𝑘1 𝜌𝑉𝐶𝑃 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝑚 𝑗𝐻𝑗𝑇 𝐶𝑝𝑗𝑇𝑗 𝑇 𝑝 𝑗1 𝐻𝑖 𝑛𝑐 𝑖1 𝑛 𝑖𝑘 𝑞 𝑘1 𝑚 𝑘𝐻𝑇 𝑞 𝑘1 𝑒 𝐻𝑖 𝑛𝑐 𝑖1 𝑛𝑖𝑗 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑗𝐻𝑇 𝑝 𝑗1 𝜌𝑉𝐶𝑃 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝑚 𝑗𝐶𝑝𝑗𝑇𝑗 𝑇 𝑝 𝑗1 𝑚 𝑗 𝐻𝑗𝑇 𝐻𝑇 𝑟𝑉𝛥𝐻𝑅 𝑄 𝑊𝑠 𝑝 𝑗1 36 Enfim Esta é a forma mais comum do balanço de energia para os sistemas com reação Nota Para processos ocorrendo em reatores trocadores de calor e colunas de destilação mudanças de energia cinética mudanças de energia potencial trabalho de eixo e o calor gerado por perdas friccionais são tipicamente ignorados comparados à transferência convectiva de calor ou seja a energia carregada com as correntes de entrada e de saída do processo calor trocado através das fronteiras do sistema e energia gerada ou consumida pela reação Desta forma tipicamente a equação do balanço de energia usada para os sistemas de processos é dada por 311 Relações Constitutivas São equações algébricas de origem mista como relações termodinâmicas taxas de reações etc que são adicionadas aos balanços de conservação para definir as equações de modelagem 𝜌𝑉𝐶𝑃 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝑚 𝑗𝐶𝑝𝑗𝑇𝑗 𝑇 𝑝 𝑗1 𝑟𝑉𝛥𝐻𝑅 𝑄 𝑊𝑠 Taxa de acumulação de energia térmica Taxa de transferência convectiva de calor para dentro do sistema Taxa de transferência convectiva de calor para fora do sistema Taxa de energia gerada por reação química Taxa de transferência de calor através das fronteiras do sistema 𝜌𝑉𝐶𝑃 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝑚 𝑗𝐶𝑝𝑗𝑇𝑗 𝑇 𝑝 𝑗1 𝑟𝑉𝛥𝐻𝑅 𝑄 37 3111 Lei do gás ideal 𝑃𝑉 𝑛𝑅𝑇 Também 𝑃𝑉 𝑚 𝑀 𝑅𝑇 ou 𝑃𝑀 𝑚 𝑉 𝑅𝑇 𝜌 𝑃𝑀 𝑅𝑇 𝑃 pressão absoluta atm Pa kPa 𝑉 volume L m3 𝑚 massa kg g lbm 𝑀 massa molar gmol kgkmol lbmlbmol 𝑅 constante dos gases 8314 JmolK 0082 atmLmolK 𝑇 temperatura absoluta K Ra Rankine 𝜌 massa específica kgm3 gL Exemplo Tambor para armazenar gás análogo ao tanque para armazenar líquido Objetivo Desenvolver um modelo para descrever como a 𝑃 no tambor varia em função do tempo 38 Balanço de massa do gás Acúmulo Entra sai Portanto ou 𝑑𝑛𝑖 𝑑𝑡 𝑛𝑖 𝑛 𝑞𝑖 𝑞 Suposição 1 É válida a lei do gás ideal Quantidade de matéria do gás no tanque 𝑛𝑖 𝑃𝑉 𝑅𝑇 Suposição 2 T é constante 𝑑𝑛𝑖 𝑑𝑡 𝑑 𝑃𝑉 𝑅𝑇 𝑑𝑡 𝑉 𝑅𝑇 𝑑𝑃 𝑑𝑡 Como V é constante temse 𝑉 𝑅𝑇 𝑑𝑃 𝑑𝑡 𝑞𝑖 𝑞 𝑑𝑃 𝑑𝑡 𝑅𝑇 𝑉 𝑞𝑖 𝑞 39 3112 Relações de Equilíbrio São escritas usualmente em termos de valoresK A forma do equilíbrio é Na qual 𝑦𝑖 e 𝑥𝑖 são as frações em quantidade de matéria do componente 𝑖 nas fases vapor e líquida respectivamente 𝐾𝑖 é a relação de equilíbrio Em geral Em pressões de baixas a moderadas e temperaturas longe do ponto crítico o equilíbrio de fase líquidovapor pode ser expresso como Na qual 𝛾𝑖 é o coeficiente de atividade do componente 𝑖 na fase líquida 𝑃𝑖 𝑠𝑎𝑡 é a pressão de saturação de 𝑖 e 𝑃 é a pressão total do sistema O coeficiente de atividade 𝛾𝑖 é uma medida da não idealidade de uma mistura Desta forma Para i 1 dizemos que a mistura é ideal e temos a lei de Raout ou seja 𝑦𝑖𝑃 𝑥𝑖𝑃𝑖 sat 𝑦𝑖 𝐾𝑖𝑥𝑖 𝐾𝑖 𝑓𝑇 𝑃 composição 𝑦𝑖𝑃 𝑥𝑖𝛾𝑖𝑇 𝑥𝑃𝑖 sat𝑇 𝑖 12 𝑛 𝐾𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖 𝛾𝑖𝑃𝑖 sat 𝑃 40 3113 Cinética das Reações Química Cinética de reação química A que velocidade a reação ocorre Definição de taxa de reação Ordem de Reação Equação de Arrhenius 𝑟𝐴 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑡 𝑟𝐵 𝑑𝐶𝐵 𝑑𝑡 𝑟𝐶 𝑑𝐶𝐶 𝑑𝑡 molm3 s Reação A B 2 C Reação A B 2 C Se 𝑟 𝑘𝐶𝐴 𝑚𝐶𝐵 𝑛 a reação é de ordem 𝑚 em reação a A e 𝑛 em relação a B 𝑘 𝑘0𝑒𝐸𝑎 𝑅𝑇 Na qual Ea energia de ativação constante R constante dos gases ko constante préexponencial k é constante para reatores isotérmicos 41 3114 Transferência de Calor Os três modos de transferência de calor Taxa de Transferência de Calor 𝑸 Para condução e Convecção F T Camisa de resfriamento 𝐹1 𝑇1 𝐹𝑐 𝑇𝑐 entra água de resfriamento Serpentina de resfriamento FT 𝐹1 𝑇1 Água de resfriamento 𝐹𝑐 𝑇𝑐 entra 42 A correlação de transferência de calor para a taxa de aquecimento 𝑄 depende do projeto da camisa de aquecimento e do tipo de fluido térmico Se o fluido térmico for vapor saturado que se condensa completamente na camisa 𝑄 pode ser aproximado como Na qual 𝑚 vapor é a vazão mássica do vapor saturado e 𝐻vaporizaão é a entalpia de vaporização ou calor latente de vaporização Em muitos casos a taxa de transferência de calor é aproximada com bastante precisão pela correlação clássica Na qual 𝐴 é a área que está disponível para a troca de calor 𝑈 é o coeficiente global de transferência de calor 𝑇𝑐 é a temperatura da camisa e 𝑇 é a temperatura do fluido no sistema Nota Se a temperatura da camisa variar significativamente durante a operação do processo uma equação adicional balanço de energia do fluido térmico na camisa é necessária para ter um modelo dinâmico completo 312 Questões para Serem Respondidas Durante o Desenvolvimento de um Modelo Questões para serem respondidas durante o desenvolvimento de um modelo matemático 1 Quem é o sistema 2 Quais são as relações de balanço de massa Quais são as relações de balanço de energia 𝑄 𝑚 vapor𝐻vaporizaão 𝑄 𝐴𝑈𝑇𝑐 𝑇 43 Quais são as relações constitutivas 3 Quais são as suposições Pratique Exemplo Reator Tanque Agitado Contínuo Não Isotérmico CSTR 44 45 Exemplo Um modelo simples para uma unidade de destilação flash de retenção holdup constante O balanço de massa do componente para o componente mais volátil pode ser escrito como onde o fato de que o holdup do vapor é geralmente desprezível quando comparado com o holdup do líquido foi levado em consideração 𝑑 𝑑𝑡 𝑁𝐿𝑥 𝑁𝑉𝑦 𝑁𝐿 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝐹𝑧 𝐿𝑥 𝑉𝑦 2 46 A fração molar na fase de vapor 𝑦 e na fase líquida 𝑥 estão relacionadas através de um modelo de equilíbrio líquidovapor ELV que é da forma Quando uma volatilidade relativa constante 𝛼 é assumida o seguinte modelo para o ELV se aplica Usando as Equações 3 e 4 Equação 2 assume a forma Observe que devido à Equação 1 entre 𝑉 e 𝐿 apenas um é uma variável independente 313 Variáveis de Estado Variáveis de Entrada Parâmetros Variáveis de estado Quantidades físicas cujas derivadas estão incluídas no modelo Variáveis de entrada Quantidades físicas que normalmente devem ser especificadas antes que o problema possa ser resolvido ou um processo possa ser operado Normalmente são especificadas por um engenheiro com base no conhecimento do processo considerado Parâmetros Constantes usadas nas equações do modelo tal como massa específica entalpia de reação constantes de gases etc Exemplo 𝑦 𝐾𝑃 𝑇 𝑥 𝑦𝑥 3 𝐾 𝐾𝑥 𝛼 1 𝛼 1𝑥 4 𝑁𝐿 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝐹𝑧 𝐿 𝑉𝐾𝑥𝑥 5 47 Considerando o modelo para o Reator Tanque Agitado Contínuo Não Isotérmico CSTR dado a seguir Temos 314 Procedimento para Realizar a Modelagem O procedimento a seguir adota oito etapas para desenvolver os modelos dinâmicos de processos químicos Etapa 1 Defina o sistema seus arredores suas entradas e saídas Divida o sistema em subsistemas apropriados para simplificar o esforço de modelagem Por exemplo um reator equipado com uma camisa de resfriamentoaquecimento geralmente é dividido em dois subsistemas a mistura de reação dentro do reator e a camisa de resfriamentoaquecimento Em um sistema multifásico com fases vapor líquida e sólida as equações de conservação apropriadas são aplicadas a cada fase separadamente 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑡 𝐹 𝑉 𝐶𝐴1 𝐶𝐴 𝑘0𝑒𝐸𝑎 𝑅𝑇𝐶𝐴 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝐹 𝑉 𝑇1 𝑇 𝐻𝑟 𝜌𝐶𝑃 𝑘0𝑒 𝐸 𝑅𝑇 𝑈𝐴 𝜌𝑉𝐶𝑃 𝑇 𝑇entra Variáveis de estado 𝐶𝐴 e 𝑇 Variáveis de entrada 𝐹 𝐶𝐴1 𝑇1 e 𝑇entra Parâmetros 𝑘0 𝐸𝑎 𝑅 𝐻𝑟 𝜌 𝐶𝑃 𝑈 𝐴 𝑉 Curiosamente às vezes a vazão de saída é considerada uma variável de entrada ou seja variável manipulada Se há uma válvula de controle na corrente de saída de modo que sua vazão pode ser manipulada a variável 𝐹 é uma entrada desde que a abertura da válvula é ajustada externamente caso contrário 𝐹 é uma variável de saída 48 Em uma coluna de destilação de pratos os princípios de conservação são aplicados a cada prato e a cada fase vapor e líquido separadamente Nesta etapa os objetivos gerais de controle para todo o sistema são reduzidos a equações específicas do controlador em termos de variáveis controladas específicas Etapa 2 Use suposições razoáveis para simplificar o modelo Nenhum modelo é exato o melhor modelo é o modelo mais simples que funciona Etapa 3 Com base nas suposições simplificadoras determine se o sistema é ou pode ser aproximado por um sistema a parâmetros concentrados um processo em estágios ou um sistema a parâmetros distribuídos Em um sistema a parâmetros concentrados as variáveis do processo não possuem nenhuma dependência com a posição ou espacial o processo é assumido como homogêneo Por exemplo em um reator bem misturado as variáveis do processo como a temperatura do reator e as concentrações de espécies são apenas uma função do tempo 𝑇 𝑇𝑡 𝐶 𝐶𝑡 e não uma função da posição no reator Um processo em estágios consistindo de muitos estágios homogêneos bem misturados pode ser modelado como uma série de sistemas a parâmetros concentrados Exemplos de processos em estágios são uma coluna de destilação com pratos uma série de reatores tanque agitado continuamente CSTRs ou uma cascata de evaporadores Em um sistema a parâmetros distribuídos no entanto as variáveis de processo são dependentes da posição por exemplo em um trocador de calor a temperatura varia com a posição ao longo do comprimento do trocador de calor 𝑇 𝑇𝑡 𝑥 onde 𝑥 é a dimensão axial ao longo do comprimento do trocador de calor Outros exemplos de sistemas a parâmetros distribuídos são um reator tubular de leito fixo e uma coluna de destilação ou absorção com recheio Etapa 4 Aplique os princípios de conservação relevantes ou seja o balanço de massa total o balanço de massa do componente o balanço de energia o balanço de momento ao sistema ou subsistemas em consideração Esses princípios devem ser aplicados a todo o sistema ou subsistemas no caso de um sistema a parâmetros concentrados Para um processo 49 em estágios os princípios de conservação são aplicados a um estágio típico e em um sistema a parâmetros distribuídos os princípios de conservação são aplicados a um volume de controle infinitesimal dentro do sistema A quantidade na equação anterior pode se referir a massaquantidade de matéria do componente No caso do balanço de massa e energia total não é necessário o termo geraçãoconsumo Na equação anterior se a taxa de acumulação for zero obtémse um modelo de regime permanente que apresenta as condições de regime permanente esperadas para um determinado conjunto de parâmetros Etapa 5 Além dos princípios de conservação outras equações auxiliares as equações constitutivas que descrevem os processos de transporte por convecção e difusão equilíbrios de fase e químico e cinética de reação também devem ser incluídas A Fenômenos de transporte B Equações de estado Transferência de calor Conduçãotransporte molecular em termos de condutividade térmica Convecçãotransporte global em termos do coeficiente de transferência de calor Radiação Transferência de massa Difusão molecular Movimento globlal em termos do coeficiente de transferência de massa Transferência de momento Nível molecular forças viscosas Nível globalfator de atrito 50 A termodinâmica fornece relações para calcular a massa específica entalpia e outras propriedades físicas de várias correntes em termos de variáveis de estado como temperatura e pressão C Cinética A velocidade de uma reação química é determinada pela concentração das espécies químicas temperatura da reação pressão e concentração do catalisador Etapa 6 Verifique a consistência do modelo que se manifesta em dois requisitos Primeiro as unidades de cada termo que aparecem em uma equação devem ser as mesmas Segundo para obter uma solução única para um modelo o número de graus de liberdade do modelo deve ser zero O número de grau de liberdade de um sistema é definido como o número de Massa específica 𝜌 função𝑇 𝑃 conc Entalpia 𝐻 função𝑇 𝑃 𝜌 conc Os equilíbrios de fase e químico fornecem equações adicionais Por exemplo a relação entre a concentração de um componente na fase líquida e sua pressão parcial na fase vapor Lei de Raoult pode ser representada pela termodinâmica Termodinâmica Equilíbrio de fase Equilíbrio químico r k𝑐𝐴 𝛼𝑐𝐵 𝛽 𝑘0𝑒𝐸𝑅𝑇k𝑐𝐴 𝛼𝑐𝐵 𝛽 51 variáveis menos o número de equações As equações incluem as equações de estado que resultam dos princípios de conservação as equações auxiliares e as equações de controle que são as relações entre as variáveis manipuladas e as variáveis controladas através da lei de controle Cada malha de controle adiciona uma equação Além disso as perturbações externas também são especificadas para reduzir o número de variáveis As equações do controlador traduzem os objetivos de controle para equações individuais relacionando as variáveis manipuladas e controladas através da lei de controle Uma vez determinado o número necessário de equações do controlador podese desenhar um diagrama de blocos do processo com a indicação clara das variáveis manipuladas as perturbações e as variáveis controladas Para um modelo solucionável o número de graus de liberdade deve ser zero Para 𝑁𝑔𝑙 0 há mais equações do que variáveis que pode resultar de equações redundantes ou um modelo mal formulado Se 𝑁𝑔𝑙 0 há mais variáveis do que equações equações adicionais devem ser identificadas ou variáveis desconhecidas eliminadas Etapa 7 O modelo matemático desenvolvido deve ser resolvido para fornecer as tendências e as relações quantitativas entre as variáveis de entrada e de saída Se o modelo for não linear e complexo apenas uma abordagem numérica pode ser utilizada para resolver o modelo Em certos casos limitados se o modelo for linear um método analítico pode ser utilizado para resolver o modelo A solução numérica do modelo dinâmico do processo requer a solução de EDOs ou EDPs Portanto antes de considerar os exemplos será fornecida uma breve descrição do simulador numérico MATLAB e Simulink 𝑁𝑔𝑙 𝑁𝑉 𝑁𝐸 35 52 Etapa 8 Para verificar a validade do modelo os resultados teóricos ou previsões do modelo devem ser comparados com as observações experimentais Uma vez verificado o modelo desenvolvido pode ser utilizado para prever o comportamento do processo Nenhum modelo é validado sem demonstrar que possui a capacidade preditiva necessária 315 Resolvendo uma EDO ou um Conjunto de EDOs Existem diferentes algoritmos para a solução de uma EDO não linear ou um conjunto de EDOs e EDPs Existem também vários pacotes de software que facilitam a solução de equações diferenciais Entre eles está o MATLAB e o Simulink um solucionador gráfico de equações no MATLAB 3151 Resolvendo Equações Diferenciais Utilizando o MATLAB Dentro do MATLAB existem vários solucionadores de EDOs A lista inclui solucionadores para equações diferenciais rígidas e não rígidas Sistemas rígidos são conjuntos de equações diferenciais que contêm uma mistura de equações dinâmicas muito rápidas e equações dinâmicas muito lentas Sabese que algoritmos de passo único e de múltiplos passos apresentam problemas com esse tipo de sistema de equações Para obter respostas mais exatas o tamanho do passo de integração deve ser muito pequeno e isso geralmente significa tempos de computação proibitivamente longos para obter as respostas de dinâmicas lentas Por outro lado se o tamanho do passo de integração for muito grande as imprecisões resultantes nas partes dinâmicas rápidas podem levar a problemas gerais de estabilidade e resultados imprecisos A Tabela 34 apresenta uma lista dos solucionadores de equações diferenciais do MATLAB 53 54 A primeira escolha para resolver equações diferenciais deve ser ode45 devido ao bom desempenho com a maioria dos problemas de EDOs Para usar o solucionador ode45 o MATLAB utiliza a seguinte sintaxe sol ode45edofun 𝑡0 𝑡final 𝑦0 ou sol ode45edofun t0 tfinal 𝑦0 𝑂𝑃𝑇𝐼𝑂𝑁𝑆 Integra o sistema de equações diferenciais 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑓𝑡 𝑦 de 𝑡0 a 𝑡𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 com condições iniciais 𝑦0 𝑒𝑑𝑜𝑓𝑢𝑛 é um identificador de função Sol é uma matriz que contém os valores das soluções das variáveis dependentes calculados por ode45 dispostos por colunas Para mudar as propriedades de integração padrão pode ser utilizado o argumento 𝑂𝑃𝑇𝐼𝑂𝑁𝑆 Este argumento é criado com a função 𝑜𝑑𝑒𝑠𝑒𝑡 𝑜𝑑𝑒𝑠𝑒𝑡 criaaltera a estrutura de OPTIONS da EDO OPTIONS odesetNOME1 VALOR1 NOME2 VALOR2 cria uma estrutura de opções do integrador OPTIONS na qual as propriedades nomeadas possuem os valores especificados Quaisquer propriedades não especificadas têm valores padrão Por exemplo o comando OPTIONS odesetRelTol1e4AbsTol1e 3 altera os valores padrões de Reltol e AbsTol as demais propriedades como InitialStep Jacobian permanecem com os valores padrões como está indicado por no próximo slide Obs Para os problemas deste curso os valores padrões não precisam ser alterados 55 3152 Resolvendo Equações Diferenciais Utilizando o Simulink Quando você tem acesso ao Simulink e ao MATLAB você pode iniciar o MATLAB e na barra de ícones há um ícone no qual você pode clicar para iniciar o Simulink Alternativamente você pode digitar simulink para abrir o Simulink Library Browser conforme mostrado na Figura 35 Figura 35 O Simulink Library Browser É aqui que vários blocos podem ser encontrados para a construção de modelos 56 O Simulink é um ambiente gráfico para projetar simulações de sistemas Como um exemplo vamos usar o Simulink para resolver a EDO a seguir Nós veremos esta equação como um sistema em que a entrada 𝑥 2sen3𝑡 4𝑥 é alimentada para um integrador e a saída será 𝑥𝑡 Então nós temos Para executar isso inserimos separadamente os termos 2sen3𝑡 e 4𝑥 no procedimento de integração Como não sabemos 4𝑥 pegamos a saída do integrador multiplicamos por 4 e subtraímos de 2sen3𝑡 Este conjunto combinado de termos é então realimentado no integrador Figura 36 A simulação no Simulink realiza o procedimento descrito anteriormente e assume a forma mostrada na Figura 37 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2sen3𝑡 4𝑥 𝑥0 0 𝑥𝑡 𝑥𝑑𝑡 Figura 36 57 Em segundo plano o Simulink utiliza um dos solucionadores de EDO do MATLAB rotinas numéricas para resolver equações diferenciais de primeira ordem como ode45 Este sistema utiliza o bloco Integrador 1 𝑠 para integrar 𝑑𝑥 𝑑𝑡 produzindo 𝑥𝑡 O Scope é utilizado para plotar a saída do bloco Integrator 𝑥𝑡 A entrada para o Integrator é o lado direito da equação diferencial 2sen3𝑡 4𝑥 A função senoidal pode ser fornecida utilizando o bloco Sine Wave cujos parâmetros são definidos no componente Para obter 4𝑥 pegamos a saída do Integrator 𝑥 e aumentamos alterando o valor de Gain para 4 Em seguida utilizando o componente Sum esses termos são adicionados ou subtraídos e inseridos no Integrator Essa é a ideia principal por trás da solução deste sistema Para o exemplo considerado implementamos as seguintes etapas Arraste os blocos necessários para a região do modelo Figura 38 Figura 37 Figura 38 58 Conecte a saída do bloco Sum à entrada do bloco Integrator Figura 39 Conecte o Integrator ao Scope clicando na saída do Integrador e arrastando para o Scope até que estejam conectados Clique com o botão direito do mouse no controle Gain e escolha Flip Block em Rotate Flip Clique duas vezes no bloco Gain e altere o valor do bloco Gain de 1 para 4 Ele deve mudar no controle Clique duas vezes no controle Sum para exibir os parâmetros do bloco conforme mostrado na Figura 310 e altere de para para definir os nós de adiçãosubtração Observe que o símbolo é um nó em branco Além disso podese alterar o bloco para a forma retangular Isso às vezes é útil para exibir uma direção geral de fluxo para o modelo Clique duas vezes no bloco Sine Wave e altere a frequência para 3 rads e a amplitude para 2 Ver Figura 311 Fixe o menu suspenso de tempo para Use Simulation Time Conecte a saída Gain à entrada negativa de Sum e a saída Sine Wave à entrada positiva no controle Sum Nota O Gain pode ser definido com um valor negativo e conectado a um nó no bloco Sum para obter o mesmo efeito Figura 39 59 Para adicionar um nó para direcionar um valor 𝑥 para o Gain mantenha pressionada a tecla CTRL e clique na linha de saída do Integrator e arraste em direção à entrada de Gain Você também pode clicar com o botão direito do mouse na linha onde deseja o nó e arrastar de lá para o bloco Gain Ver a Figura 312 O valor inicial 𝑥0 de 𝑥 é inserido clicando duas vezes no Integrator e definindo o valor Para este exemplo definimos 𝑥0 0 Podese rotular o diagrama clique perto de onde os rótulos são necessários e digite na caixa de texto Isso leva ao modelo da Figura 37 O valor inicial 𝑥0 de 𝑥 é inserido clicando duas vezes no Integrator e definindo o valor Para este exemplo definimos 𝑥0 0 Podese rotular o diagrama clique perto de onde os rótulos são necessários e digite na caixa de texto Isso leva ao modelo da Figura 37 Salve o arquivo com um nome de arquivo utilizável Este arquivo pode ser chamado no MATLAB ou podese usar o botão de execução para executar a simulação Figura 312 60 Figura 310 Parâmetros do bloco para o controle de Sum Figura 311 Parâmetro para o bloco Sine Wave Selecione a amplitude e a frequência desejada 61 316 Formulação de Modelos Dinâmicos A representação de um processo para uma aplicação de controle de processo envolve a combinação de modelos do atuador processo e sensor ou seja sensortransmissor como mostrado na Figura 312 Se as dinâmicas do sensor e do atuador não são incluídas o modelo tem uma resposta dinâmica diferente portanto quando modelos dinâmicos de um processo são desenvolvidos para propostas de controle de processo as dinâmicas do atuador e do sensor devem ser consideradas Para ilustrar o procedimento de modelagem pelo procedimento de 8 etapas vamos considerar a seguir a modelagem de um tanque de armazenamento de líquido um tanque surge ou tanque pulmão muito utilizado para amortecer perturbações numa linha de produção Será considerado também a influência dinâmica do atuador válvula de controle para demonstrar que o modelo apresenta uma dinâmica diferente quando a dinâmica do sensor e atuador não são consideradas A simulação será realizada por meio do Matlab e Simulink considerando casos de malha aberta e malha fechada com controlador Ppuro e controlador PI Figura 312 Diagrama de blocos para um modelo dinâmico de controle 62 3161 Nível em um tanque Desenvolva o modelo dinâmico para o tanque de armazenamento de líquido mostrado na Figura 313 tanto para o caso de malha aberta quanto para o caso de malha fechada onde o nível do líquido é controlado por um controlador Os parâmetros da simulação são apresentados na Tabela 35 O objetivo do controle é manter o nível do líquido no tanque em ℎ𝑠𝑝 Escreva programas em MATLAB e também crie modelos no Simulink para a solução em malha aberta e em malha fechada utilizando um controlador Ppuro e um controlador PI No caso de malha aberta investigue o efeito dos parâmetros do processo como a constante de tempo da válvula a área da seção transversal do tanque o tamanho da válvula de controle e as mudanças na vazão de entrada do líquido sobre o nível do tanque Para a simulação em malha fechada utilize a forma de velocidade da lei de controle PI discreta 63 Etapa 1 O sistema é o tanque de armazenamento As vazões de entrada e de saída são 𝐹𝑖 e 𝐹 m3s respectivamente Etapa 2 Massa específica 𝜌 e área de seção transversal do tanque 𝐴 constantes são as principais premissas Etapa 3 O sistema é um processo homogêneo a parâmetros concentrados Não há variações de temperatura concentração etc com a posição no tanque Etapa 4 Modelo matemático Etapa 5 A vazão de entrada ou de saída pode ser utilizada como variável manipulada para controlar o nível de líquido no tanque Se for escolhida a vazão da corrente de saída como variável manipulada a vazão pela válvula de controle instalada na corrente de saída depende da posição da haste da válvula abertura da válvula 𝑓𝑥 da queda de pressão através da válvula 𝑝V e da densidade do líquido através da válvula 𝑑 𝑨𝒕𝒖𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒅𝐹𝑡 𝒅𝒕 𝟏 𝝉𝒗 𝑭𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄 𝐹𝑡 361 𝐏𝐫𝐨𝐜𝐞𝐬𝐬𝐨 𝐴 𝑑ℎ𝑡 𝑑𝑡 𝐹𝑖𝑡 𝐹𝑡 362 𝐒𝐞𝐧𝐬𝐨𝐫 ℎm𝑡 ℎ𝑡 363 Equação 233 𝐹 𝐶V𝑓𝑥𝑝V 𝑑 Vazão volumétrica 222 64 A queda de pressão na válvula depende da altura hidrostática ou do nível de líquido no tanque ℎ𝑡 e a Equação 222 pode ser escrita como Na qual 𝐶𝑉 é a constante da válvula um parâmetro que representa o tamanho da válvula deve ser especificado para resolver o problema O sinal de controle do controlador moverá a posição da haste da válvula abertura da válvula e causará uma mudança na vazão de saída Portanto a variável manipulada é 𝑥𝑡 ou 𝐹𝑡 𝐅𝐢𝐠𝐮𝐫𝐚 314 Etapa 6 Na Equação 37 𝑥𝑡 é adimensional ℎ𝑡 está em m portanto a unidade de 𝐶𝑣 deve ser m25s Análise de graus de liberdade Número de variáveis 6 𝐹𝑖𝑡 𝐹𝑡 𝑥𝑡 ℎ𝑡 ℎ𝑚t 𝐹espec 𝐹𝑡 𝐶V𝑥𝑡ℎ𝑡 Vazão volumétrica 37 Figura 314 Diagrama de bloco do sistema de controle do nível do tanque de armazenamento 65 Perturbação 1 𝐹𝑖𝑡 Equações 4 361 363 37 Malhas de controle 1 uma equação de controle Portanto o número de graus de liberdade é igual a zero 6 1 4 1 0 Nas quais 𝑒𝑛 ℎ𝑠𝑝 ℎ𝑚𝑛 é o sinal do erro em 𝑡 𝑛𝑡 ou seja no nésimo intervalo de amostragem ℎ𝑚𝑛 é o nível do líquido medido no tanque no nésimo intervalo de amostragem 𝐾𝑐 e 𝜏𝐼 são o ganho proporcional do controlador e o tempo integral Observe que o sinal de 𝐾𝑐 deve ser negativo para uma válvula de controle ar para abrir Se o nível medido for maior que o nível do setpoint 𝑥𝑡 e portanto 𝐹𝑡 deve aumentar para deixar mais líquido sair do tanque para trazer o nível ao seu valor de setpoint Etapa 7 Para resolver o modelo dinâmico nos casos de controle em malha aberta e fechada serão utilizados o MATLAB e o Simulink 3162 Simulação do Tanque de Armazenamento de Líquido Utilizando o Matlab 71 Malha aberta considerando o modelo do processo por si só e o modelo do processo mais modelo do atuador já que a dinâmica do sensor foi considerada instantânea ℎm𝑡 ℎ𝑡 Equações de controle Controle Ppuro Controle PI 𝑐𝑛 𝑐 𝐾𝑐𝑒𝑛 38 𝑐𝑛 𝑐𝑛1 𝐾𝑐𝑒𝑛 𝑒𝑛1 𝐾𝑐 𝜏𝐼 𝑒𝑛𝑡 39 66 Para resolver um conjunto de EDOs no MATLAB podemos utilizar um arquivo de script e um arquivo de função O arquivo de script faz o papel do programa principal É nele que atribuímos os valores para os parâmetros do modelo definimos as condições iniciais das variáveis de estado e o intervalo de tempo da simulação fazemos a chamada para a função que contém as EDOs por meio do solucionador de EDO e preparamos a saída para a exibição da solução na forma de gráficos por exemplo O arquivo de função que faz o papel de um subprograma contém as EDOs que irão ser solucionadas 98 67 Script MATLAB Ex3171m para a solução do Exemplo 31 item 71 68 69 Função MATLAB EDOmalhaabertam para a solução do Exemplo 31 item 71 70 Resultado da simulação para o Exemplo 31 parte 71 Comparando a simulação não considerando e considerando a dinâmica da válvula observamos comportamentos diferentes Ao aumentar o tauv constante de tempo da válvula observase que o regime permanente é alcançado para níveis maiores do líquido no tanque 71 71A Malha aberta considerando o modelo do processo por si só e o modelo do processo mais o modelo do atuador com a constante de tempo da válvula tauv2 já que a dinâmica do sensor foi considerada instantânea ℎm𝑡 ℎ𝑡 variando a área da seção transversal 𝐴 do tanque Script MATLAB Ex3171Am para a solução do Exemplo 31 item 71A 72 73 Resultado da simulação para o Exemplo 31 item 71A Considerando a dinâmica da válvula mudando a área da seção transversal do tanque o novo regime permanente é alcançado em níveis de líquido no tanque diferentes com tempo de resposta também diferente 74 71B Malha aberta considerando o modelo do processo por si só e o modelo do processo mais o modelo do atuador com a constante de tempo da válvula tauv2 já que a dinâmica do sensor foi considerada instantânea ℎm𝑡 ℎ𝑡 variando o tamanho da válvula 𝐶V Script MATLAB Ex3171Bm para a solução do Exemplo 31 parte 71B 75 76 Resultado da simulação para o Exemplo 31 item 71B Mais uma vez observamos mudanças muito significativas nos novos valores de níveis de regime permanente e tempo de resposta À medida que 𝐶V aumenta uma válvula maior o tempo de resposta diminui válvula de ação mais rápida e o valor de regime permanente do nível de líquido diminui 77 Script MATLAB Ex3171Cm para a solução do Exemplo 31 item 71C 78 79 A mudança da vazão da corrente de entrada 𝐹𝑖 altera os novos valores de regime permanente do nível do liquido no tanque e o tempo de resposta o efeito intensifica com o aumento da vazão À medida que a vazão de entrada aumenta o valor final de regime permanente do nível do líquido e a velocidade da resposta aumentam 80 72 Malha fechada considerando o modelo do processo por si só e o modelo do processo mais o modelo do atuador já que a dinâmica do sensor foi considerada instantânea ℎm𝑡 ℎ𝑡 Na simulação em malha fechada um controlador feedback controlador PID é utilizado para manipular a variável 𝑥 com base na variável de saída medida ℎm Isso pode ser alcançado modificando a função EDO da malha aberta A lista de argumentos requerida inclui todos os parâmetros utilizados na simulação em malha aberta exceto a variável manipulada 𝑥 que é calculada pela lei de controle dada nas Equações 38 e 39 O ganho proporcional do controlador 𝐾𝑐 o valor de set point do nível ℎsp e o bias do controlador 𝑐 devem ser especificados É assumido que o sistema está em regime permanente antes do início da simulação Assim o bias do controlador 𝑐 pode ser calculado definindo 𝑑ℎ𝑑𝑡 0 na Equação 362 Portanto 72A Malha fechada considerando o modelo do processo por si só e o modelo do processo mais o modelo do atuador com a constante de tempo da válvula tauv2 já que a dinâmica do sensor foi considerada instantânea ℎm𝑡 ℎ𝑡 utilizando um controlador Ppuro 𝐴 𝑑ℎ𝑡 𝑑𝑡 𝐹𝑖𝑡 𝐹𝑡 𝐹𝑖 𝐹 𝐶𝑣𝑥ℎ 𝑥 𝐹𝑖 𝐶𝑣ℎ 𝑐 𝑐 𝑥 02 04 1 05 81 Script MATLAB Ex3172Am para a solução do Exemplo 31 parte 72A 82 83 Função MATLAB EDOmalhaFechadaPm para a solução do Exemplo 31 item 72A 84 Resultado da simulação para o Exemplo 31 item 72A Na simulação do tanque de armazenamento de líquido com controlador proporcional o nível do set point é de 5 m No entanto na Figura 319 há sempre um offset do set point O offset é definido como a diferença entre o set point e o valor final o valor de regime permanente da variável controlada O offset diminui à medida que o ganho proporcional 𝐾𝑐 do controlador aumenta mas não pode ser eliminado utilizando um controlador Ppuro 85 72B Malha fechada considerando o modelo do processo por si só e o modelo do processo e o modelo do atuador com a constante de tempo da válvula tauv 2 já que a dinâmica do sensor foi considerada instantânea ℎm𝑡 ℎ𝑡 utilizando um controlador PI Como foi abordado no Modulo 1 a forma de posição do controlador PID requer o armazenamento dos sinais de erro anteriores No entanto a forma de velocidade do controlador PID requer apenas a saída do controlador no último instante de tempo e os dois sinais de erro anteriores A cada intervalo de amostragem 𝑡𝑠 o controlador recebe uma amostra o nível de líquido medido e calcula um sinal de impulso que é a variável manipulada a cada 𝑡𝑐 Com um dispositivo de retenção de ordem zero zero order hold o impulso é travado até que o próximo impulso seja calculado Por simplicidade o intervalo de amostragem 𝑡𝑠 é considerado igual ao intervalo de controle 𝑡𝑐 A Figura 320 mostra o comportamento de um controlador discreto que amostra um sinal contínuo medido e retém um sinal de comando discreto Na simulação uma sintaxe de condição if end é utilizada para manter o valor 𝑐 anterior para simular um dispositivo de retenção hold 86 Script MATLAB Ex3172Bm para a solução do Exemplo 31 item 72B 87 88 89 90 91 Função MATLAB EDOmalhaFechadaPIm para a solução do Exemplo 31 parte 72B com antissaturação 92 93 Resultado da simulação para o Exemplo 31 item 72B Na presença de ação integral o offset é eliminado Podese notar que há uma grande sobreelevação overshoot no nível em torno de 87 s Este overshoot é causado pela saturação reset windup que faz com que a ação do controlador atinja a saturação na presença de um sinal de erro duradouro Em última análise ocorre a saturação da válvula Os controladores industriais são frequentemente equipados com um mecanismo de antissaturação antireset windup que pode ser implementado utilizando um módulo de hardware em controladores analógicos ou um código de software em controladores digitais No código um antireset windup digital é incorporado ao arquivo ODEMalhaFechadaPIm Com um windup antireset o overshoot será menor 94 3163 Simulação do Tanque de Armazenamento de Líquido Utilizando o Simulink A simulação em malha aberta do tanque de armazenamento de líquido utilizando o Simulink seguiu as etapas 1 Combinamos as Equações 361 e 362 com 37 para escrever o modelo em termos de derivadas de estado Atuador Processo sem considerar a dinâmica da válvula Sensor 2 Adicionamos um integrador para cada derivada de estado 𝑑𝐹𝑡 𝑑𝑡 1 𝜏𝑣 𝐶𝑉𝑥𝑡ℎ𝑡 𝐹𝑡 𝐏𝐫𝐨𝐜𝐞𝐬𝐬𝐨 considerando a dinâmica da válvula 𝑑ℎ𝑡 𝑑𝑡 1 𝐴 𝐹𝑖𝑡 𝐹𝑡 𝑑ℎ𝑡 𝑑𝑡 1 𝐴 𝐹𝑖𝑡 𝐶𝑉𝑥𝑡ℎ𝑡 ℎ𝑚𝑡 ℎ𝑡 95 3 Adicionamos blocos de multiplicação adiçãosubtração constantes scope para exibir o resultado bus Creator para exibir as duas saídas no mesmo diagrama e conectamos os termos para formar o sistema ver Figura 321 para o modelo no Simulink em malha aberta e Figura 322 para o resultado Para mudar parâmetros num bloco é só clicar duas vezes com o botão esquerdo do mouse sobre o bloco 96 Figura 321 A simulação em malha aberta do tanque de armazenamento no Simulink 97 98 Para a simulação em malha fechada o valor de 𝑥𝑡 posição da válvula é calculado pelo controlador Ppuro e PI 𝑥𝑡 variando entre 0 vávlula fechada e 1 válvula totalmente aberta é utilizado como a variável manipulada O bloco Ppuro ou o bloco PI recebe o nível de líquido medido ℎ𝑚𝑡 como variável controlada e calcula a posição da válvula 𝑥𝑡 como variável manipulada O Simulink fornece um bloco PID embutido com parâmetros ajustáveis saturação e configurações antissaturação No entanto o bloco PID é uma função de transferência que usa variáveis desvio para remover termos constantes incluindo o bias do controlador Ver Figura 323 para o modelo em malha fechada com controlador Ppuro e Figura 325 para o modelo em malha fechada com controlador PI As Figuras 324 e 326 exibem os resultados para a simulação em malha fechada com controlador Ppuro e PI respectivamente 99 Figura 323 Simulação em malha fechada para o tanque de armazenamento com controlador Puro 100 101 Figura 325 Simulação em malha fechada para o tanque de armazenamento com controlador PI 102 103 317 Simulador Visual Basic SVB Um simulador visual basic SVB é fornecido com o livro texto Controle de Processos Químicos e Bioprocessos e é baseado em vários modelos desenvolvidos no Capítulo 3 do livro o misturador térmico TAC o misturador de composição TAC o nível em um tanque e o CSTR Além disso um modelo de um processo de primeira ordem com tempo morto e um modelo de um trocador de calor estão incluídos O SVB executa sob MS Excel utilizando Visual Basic Para executar este programa você precisa usar macros que requerem a seleção da configuração mais baixa para a segurança de macros no MS Excel Para fazer isso em Arquivo selecione Opções e então clique na categoria Centro de Confiabilidade No Centro de Confiabilidade selecione Configurações da Central de Confiabilidade e clique em Configurações de Macro Após as configurações de segurança serem definidas reinicie o computador e você pode iniciar o SVB clicando sobre o modelo Visual Basic Simulatorsxls que deve abrir com a página do Process Control Simulator mostrada na Figura 327 Simplesmente clique no botão Input Form e o formulário de entrada abre também mostrado na Figura 327 Para os testes em malha aberta primeiro selecione o tipo de modelo que você quer executar selecionando no menu ao lado de Simulator A seguir selecione o teste da malha aberta ou seja MV step test Disturbance step test e ATV test defina a magnitude do teste em malha aberta e clique no botão Run Simulation Uma nova janela abre com gráficos do Excel para a VM VC e VP assim como os dados não tratados dessas variáveis em função do tempo Para retornar ao simulador página mostrada na Figura 327 clique na guia de entrada no canto inferior esquerdo Figura 328 à direita da guia Temp Novamente clique no botão Input Form e aplique outra simulação 104 Figura 327 Captura de tela do SVB com formulário de entrada 105 Para testes em malha fechada selecione o simulador e o tipo de teste em malha fechada que você gostaria de executar ou seja setpoint change or disturbance rejection A seguir clique na guia Controlador no topo do formulário de entrada de simulação e selecione Controller Type e Action do menu drop down menu Então forneça os parâmetros de sintonia para o controlador selecionado por exemplo Controller Gain e TAU I para um controlador PI Uma vez que o tipo de controlador e o parâmetro de sintonia tenham sido selecionados clique no botão Run Simulation e os resultados para a VM VC e VP aparecerão como gráficos e como dados não tratados A última guia no formulário de entrada de simulação é a guia Noise que permite o usuário adicionar o ruído do sensor e a filtragem para o valor da VC O desvio padrão do ruído e o fator de filtro 𝑓 podem ser especificados pelo usuário A repetibilidade da leitura do sensor de interesse Tabela 24 pode ser utilizada para estimar o valor de a ser utilizado no modelo do ruído do sensor Por exemplo considere um indicador de nível Da Tabela 23 a repetibilidade é aproximadamente Figura 328 A guia INPUT 106 1 correspondendo a 4 ou seja 2𝜎 portanto é igual a 05 Filtros calculam a média de uma série de medidas de leituras do sensor para reduzir a quantidade de ruído sobre o valor da VC usada pelo controlador feedback e o fator de filtro está limitado a 0 𝑓 1 Um valor de 01 para o fator de filtro é grosseiramente equivalente a um cálculo da média das últimas 10 medidas corridas do sensor enquanto um fator de 001 é equivalente a um cálculo da média das últimas 100 medidas do sensor O SVB pode ser utilizado para observar comportamento dinâmico e para exercícios de sintonia Parte 7