Tarefa 2 - Álgebra 2 2022 2

Disciplina Algebra II Dep II Matematica TAREFA 2 OBS Data de entrega 301 1 Considere o grupo Z 14 e para cada a Z 14 defina a aplicacao fa Z 14 Z 14 fax a x a Mostre que fa e bijetiva mas nem sempre e homomorfismo b Sendo BZ 14 o grupo das funcoes bijetivas de Z 14 em Z 14 vide apostila pag 9 defina a aplicacao ϕ Z 14 BZ 14 ϕa fa Descreva ϕ ou seja ϕa para cada a Z 14 c ϕ5 11 ϕ5 ϕ11 ϕ e injetivo ϕ e sobrejetivo 2 Seja G um grupo e H um subgrupo de G Considere o conjunto NG H g G g H g H chamado normalizador de H em G Prove que a NGH e um subgrupo de G que contem H e ZG b Considere o grupo produto direto S3 Z2 determine os subgrupos de ordem 4 de S3 Z2 e denote por N o numero desses subgrupos c Denote por H um qualquer dos subgrupos mencionados em b e calcule NS3Z2 H d Calcule S3 Z2 NS3Z2H e compare com N Pagina 1 de 1 Solução Para cada a Z₁₄ vejamos que fa Z₁₄ Z₁₄ dada por fax a x é uma bijeção Com efeito como Z₁₄ é um grupo e a Z₁₄ existe b Z₁₄ tal que ab ba 1 Dados x y Z₁₄ tais que fax fay temos fax fay a x a y b a x b a y ba x ba y 1 x 1 y x y an sja fa é injetiva Para verificar que fa é sobrejetiva dado y Z₁₄ tome x by e note que fax a x a by ab y 1 y y Logo fa é uma bijeção Vá Z₁₄ Entretanto nem sempre fa é homomorfismo De fato escolha a 2 Além disso f234 f231 f212 212 212 10 e f23 f24 23 24 23 24 6848 6 Solução Seja BZ₁₄ o grupo das funções bijetivas de Z₁₄ em Z₁₄ Define ϕ Z₁₄ BZ₁₄ a ϕa fa Do item a1 temos que ϕa fa BZ₁₄ an se jℓ e está bem definida Além disso para cada a Z₁₄ ϕa Z₁₄ Z₁₄ x ϕax fax a x Logo para cada a Z₁₄ temos ϕa BZ₁₄ dada por ϕax a x Solução Vejamos inicialmente que ϕ31 ϕ5ϕ11 Com efeito dado x Z₁₄ temos ϕ5ϕ11x ϕ511x 511x 511x ϕ511x Pela arbitrariedade de x Z₁₄ temos ϕ5 ϕ3 ϕ11 É claro que ϕ é uma bijeção de Z₁₄ em Z₁₄ isto é ϕ BZ₁₄ Pela sobrejetividade de ϕ existe a Z₁₄ tal que ϕa ϕ Dado x Z₁₄ 1 1 existe y Z₁₄ de modo que xy 1 Assim ϕax ϕπx a x x a x y xy a 1 Mas ϕıı ıı ı ȥ ϕı ao invés ϕa e ϕ não são iguais ponto a ponto onde ϕa ϕ o que é absurdo Logo ϕ não é sobrejetivo Logo NGH é subgrupo de G Além disso observe que H NGH De fato se g H temos gHg H h H Dii gHg H Reciprocalmente dado h H temos h eHe gghgg g shgg gHg Solução Considere S3 f0 f1 f2 f3 f4 f5 onde f0 id f1 23 f2 13 f3 12 f4 123 e f5 132 Tomamos S3 Z2 f0 0 f0 1 f1 0 f1 1 f2 0 f2 1 f3 0 f3 1 f4 0 f4 1 f5 0 f5 1 Solução Seja H H1 f00 f01 f10 f11 Do item 9 já sabemos que H Ns3Z2H Vejamos que Ns3Z2H H De fato basta mostrar que x H então x Ns3Z2H Note que f20 H e f20 f10 f20 f20 f10 f20 f20 f30 H anexa f20 H f20 H o que implica que f20 Ns3Z2H Analogamente f21 f10 f21 f21 Logo f30 f10 f50 f40 f10 f50 f40 f10 f20 H Logo fi0 H fi1 H j 345 onde fi0 Ns3Z2H j 345 se faz de modo análogo Logo Ns3Z2H H Solução Como S3Z2 é finito segue do Teorema de Lagrange que S3Z2 Ns3Z2H S3Z2 Ns3Z2H 12 4 3 Logo S3Z2 Ns3Z2H N 3