Introdução à Álgebra - Projeto Euclides

adilson gonçalves introdução à álgebra PROJETO EUCLIDES PREFÁCIO PREFÁCIO Após experiências lecionando na Universidade de Brasília e na Universidade Federal do Rio de Janeiro pensei em escrever um livro que viesse a ser um texto de Álgebra em nível de bacharelado ou licenciatura em Matemática Esse planejado texto deveria apresentar entre outras coisas um material elementar de dificuldade crescente suficientemente interessante tanto para aqueles que fossem prosseguir nos estudos pósgraduados como para aqueles que fossem se dedicar ao ensino Sem dúvida as noções de conjunto função relação de equivalência como também anéis corpos polinômios e grupos devem estar presentes em qualquer texto com esses objetivos Escolhemos o Teorema Fundamental de Galois característica zero como principal objetivo a ser atingido pois além de apresentar uma belíssima solução ao histórico problema sobre determinação de fórmulas para expressar raízes de um polinômio por meio de radicais exige e aplica todas as noções elementares anteriormente apresentadas Abordaremos também os clássicos problemas da duplicação do cubo da quadratura do círculo e da trisseção do ângulo além de enunciarmos sem demonstração o famoso teorema de Gauss que caracteriza os números naturais n 3 cujos polígonos regulares no plano podem ser construídos por meio de régua e compasso As noções de conjunto função e relação de equivalência foram intencionalmente apresentadas de modo sucinto no 1º capítulo Incluímos um grande número de exercícios complementares esperando que o aluno com alguma orientação entenda equilibradamente a importância dessas noções preliminares Considerando que a formalização envolvida na criação dos conjuntos N Z Q R e C cabe perfeitamente fora da sequência de Álgebra por exemplo Matemática do Ensino Médio ou Evolução da Matemática ou outro curso equivalente penso que como os analistas os algebristas também deveriam usar e abusar da existência desses conjuntos numéricos sem perder muito de seu tempo com essas formalizações O teorema fundamental da álgebra é também admitido sem demonstração Dentro desse espírito toda a teoria de Galois chamada teoria de Galois elementar foi desenvolvida para extensões L K onde ÍNDICE C L K Q O pouco de Álgebra Linear necessário na parte de extensões de corpos foi explicado embora nem tudo provado Nos Capítulos 2 e 4 é feito um estudo comparativo entre os anéis Z dos inteiros e Kx dos polinômios em uma variável com coefs tes em um corpo K A teoria elementar de Anéis foi inserida no Capítulo 3 para evitar a repetição de tão evidentes analogias No Capítulo 5 incluímos importantes resultados a serem usados no capítulo final do texto além de apresentarmos os anteriormente citados problemas clássicos e incluímos um parágrafo sobre construção por meio de régua e compasso O Capítulo 6 sobre grupos é o mais extenso embora isto não signifique que o lá apresentado deixe de ser elementar No último capítulo demonstramos os principais teoremas da Teoria de Galois sobre Q e discutimos o problema da solubilidade de equações polinomiais por meio de expressões radicais Agradeço a contribuição anônima dos meus alunos dos cursos de Álgebra e em especial agradeço ao corpo editorial do Projeto Euclides por esta oportunidade de realização Adilson Gonçalves CAPÍTULO 1 NOÇÕES PRELIMINARES INTRODUÇÃO Dentro da história da Matemática o capítulo referente às equações polinomiais é certamente dos mais relevantes É conhecido que os babilônios utilizavam por volta de 1800 AC alguns métodos de resolução de equações do 2º grau enquanto que os egípcios na mesma época apenas possuíam métodos de resolução de equações do 1º grau Os antigos gregos usavam os métodos das Construções Geométricas para resolverem algumas equações do 2º grau e até alguns tipos de equações cúbicas Dentro dessa linha os gregos nos legaram os famosos problemas clássicos da trisseção do ângulo da duplicação do cubo e da quadratura do círculo A importância desses problemas está no fato que eles não podem ser resolvidos geometricamente por meio dos instrumentos régua sem marcas e compasso Matemáticos de diferentes períodos contribuíram para mostrar a ligação desses problemas com a teoria das equações polinomiais sendo então todos respondidos negativamente Bourbaki Éléments dHistoire des Mathematiques Herman Paris pag 92 Os hindus no início da era cristã ao contrário dos gregos empregaram métodos aritméticos na resolução de equações os quais foram desenvolvidos pelos árabes Um dos mais significativos resultados desse período árabe é sem dúvida a solução da equação do 2º grau ax² bx c 0 cujas raízes são dadas pela conhecida fórmula x₁₂ b b² 4ac 2a Apesar de tudo as resoluções algébricas para as equações cúbicas eram desconhecidas No fim do século XV e início do século XVI os matemáticos italianos principalmente de Bolonha descobriram que a solução da equação cúbica poderia ser reduzida àquelas dos seguintes tipos x³ px q x³ px q e x³ q px observe que essas distinções são decorrentes do não reconhecimento dos números negativos Scipio del Ferro e mais tarde Niccolo Fontana conhecido como Tartaglia descobriram as soluções daquelas equações Os argumentos de Tartaglia foram apropriados e divulgados por Cardano em Ars 1 Conjuntos Magna 1545 que também divulgou o método de Ferrari de redução de uma equação do 4º grau para uma do 3º grau Vamos em seguida apresentar um argumento devido a Viète para a solução de uma equação do 3º grau Seja F Q um corpo contendo o corpo dos números racionais e seja fx ax³ bx² cx d um polinômio de grau 3 com coeficientes em F Substituindo x por y h segue que o coeficiente de y² no polinômio fy h é 3ah b Escolhendo h b3a e dividindo a equação fx 0 por a temos y³ py q 0 p q F Podemos admitir que esse polinômio é irreduzível sobre F pois de outro modo ele teria uma raiz em F e as demais seriam raízes de um polinômio do 2º grau com coeficientes em F Usando agora a substituição de Viète y z kz a equação y³ py q 0 tornase z³ 3zk²z² k³z³ pz kz q 0 Escolhendo k p3 eliminamos os termos em z e em 1z Assim a substituição y z p3z transforma a equação y³ py q 0 na equação z³ p³27z³ q 0 que vem a ser uma equação quadrática em z³ Portanto z³ q D27 onde D 4p³ 27q² Agora se z₁³ q D27 e z₂³ q D27 teremos z₁z₂³ p³27 e daí segue que z₁z₂ p3 λ onde λ é uma raiz cúbica da unidade Se w cos2π3 i sen2π3 C e substituindo se necessário z₂ por w₂z ou w²z podemos supor que z₁z₂ p3 e as raízes cúbicas da equação y³ py q 0 serão 2 Funções y₁ z₁ z₂ y₂ wz₁ w²z₂ e y₃ w²z₁ wz₂ Assim y₁ ³q2 p³27 q4 ³q2 3q2 ³p³27 Temos que vem a ser uma expressão obtida dos coeficientes através de repetidas adições subtrações multiplications divisões e extrações de raízes Tais expressões são conhecidas como expressões radicais A equação geral do 4º grau pode ser reduzida de modo análogo ao anterior para uma equação do tipo y⁴ py² qy r 0 Seguindo um argumento de Descartes escolhemos u v e w tais que se reduz à equação y² u2² vy w² 0 e daí seguem as relações p u v² q 2wv e r u²4 w² As duas primeiras dessas relações nos dão u p v² e w q2v e substituindoas em r u² w² obtemos v⁶ 2pv⁴ p² 4rv² q² 0 a qual vem a ser uma equação cúbica em v² Assim a equação do 4º grau se reduz a uma equação cúbica e novamente temos que as raízes de uma equação do 4º grau são dadas por uma expressão radical Ora já que as raízes das equações de grau 4 são expressões radicais naturalmente a pergunta que segue é inevitável Será que as equações de grau 5 também são resolúveis por meio de expressões radicais Muitos matemáticos importantes atacaram o problema Euler não conseguiu resolver o problema porém encontrou novos métodos para a resolução da equação do 4º grau Em 1770 Lagrange conseguia uma etapa que iria contribuir bastante na solução do problema das equações de grau 5 Ele conseguiu unificar os argumentos nos casos das equações de grau 3 e 4 e mostrou por que o tal argumento falhava no caso do grau 5 A partir daí um sentimento de que a resposta para o grau 5 seria negativa tomou corpo entre os pesquisadores 3 Relação de equivalência da época Ruffini em 1813 tentou uma demonstração de tal impossibilidade mas seus argumentos tinham muitas falhas Bourbaki Elements dHistoire des Mathematiques Herman Paris pg 103 Finalmente em 1824 ABEL provou que a equação geral de grau 5 não é resolvível por meio de radicais Porém não ficou estabelecido quando um polinômio de grau 5 é ou não resolúvel por meio de radicais Em 1843 Liouville escreveu para a ACADEMIA DE CIÊNCIAS DE PARIS anunciando que os trabalhos deixados por Evariste Galois 18111832 continham uma solução que respondia precisamente quando um polinômio de grau 5 é ou não resolúvel por meio de radicais A solução apresentada por Galois ao caracterizar os polinômios resolúveis por meio de radicais através de propriedades do grupo de automorfismos de um corpo é considerada uma das mais belas páginas da História da Matemática e uma das principais conquistas dessa ciência no século XIX No contexto desse livro introduzimos as noções algébricas necessárias à demonstração do teorema fundamental de Galois sobre Q e provaremos que o polinômio x⁵ 6x 3 não é resolúvel por meio de radicais pois o grupo de automorfismo do corpo de raízes desse polinômio é isomorfo ao grupo S₅ de todas as permutações de 1 2 3 4 5 o qual não é um grupo solúvel no sentido definido por Galois 4 Produto cartesiano e operação binária em um conjunto CAPÍTULO I NOÇÕES PRELIMINARES Incluiremos sob o título acima a terminologia de conjuntos e as noções de função e relação de equivalência Deixaremos como exercícios muitas propriedades elementares envolvendo essas noções básicas 1 Conjuntos Entenderemos por conjunto uma qualquer coleção de objetos os quais chamaremos de elementos do conjunto O conjunto vazio isto é o conjunto sem elementos será denotado por Ø Usaremos letras maiúsculas para simbolizar conjuntos e minúsculas para simbolizar elementos as exceções ficarão claras no contexto do livro Se x é um elemento do conjunto A escreveremos x A e leremos x pertence a A Caso contrário escreveremos x A e leremos x não pertence a A Como primeiros exemplos de conjuntos podemos citar os conjuntos numéricos mais conhecidos para os quais usaremos a seguinte nomenclatura N 0 1 2 m números naturais Z k 1 0 1 m nos inteiros Q mn m n Z números racionais R números reais isto é números racionais e números irracionais C a bi a b R i 1 Sabemos por exemplo que 2 R mas 2 Q Quando todo elemento de um conjunto A pertence a um conjunto B dizemos que A está contido em B ou A é subconjunto de B e denotamos por A B Consideraremos o conjunto Ø contido em qualquer conjunto raciocine por absurdo Dois conjuntos A e B são iguais se possuem os mesmos elementos Assim temos claramente que A B se e somente se A B e B A CAPÍTULO II OS NÚMEROS INTEIROS Se o conjunto A não está contido no conjunto B usaremos a notação A B Em relação aos conjuntos numéricos acima temos N Z Q R C O conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a um conjunto A e a um conjunto B será denotado por A B x x A e x B e chamado de interseção de A e B O conjunto dos elementos que pertencem a um conjunto A ou a um conjunto B será denotado por A B x x A ou x B e chamado de união de A e B Claramente temos quaisquer que sejam os conjuntos A e B as seguintes propriedades A Ø Ø A Ø A A B A A A B Se A B também dizemos que B contém A e denotamos por B A EXERCÍCIOS 1 Prove que quaisquer que sejam os conjuntos A B e C temse a A A b Se A B e B C então A C c Se A B e B A então A B 2 Prove que quaisquer que sejam os conjuntos A B e C temse a A B C A B A C b A B C A B A C c A B B A A B B A 1 Propriedades elementares 3 Sejam A B e C Ω Definimos C A x Ω x A A B a A a B Prove que a C A B C A C B b A B C A B C c A B C A C B C d A B C e Se Ω é um conjunto definimos o conjunto das partes de Ω por PΩ A A Ω Calcule PΩ para os seguintes conjuntos Ω abaixo a Ω Ø b Ω Ø c Ω Ø 1 1 d Ω x R x² 2 e x² 4 0 7 Sejam X e Y conjuntos Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contraexemplos para as falsas a Se X Y então PX PY b Se X Y então PY X PY PX 8 Escreva os seguintes conjuntos A como união de intervalos a A x R x² 1 e x² 4 b A x R x² 4 e x² 9 c A x R x² 2 ou x² 1 Sejam A B e C conjuntos É verdade em geral que a A B A C B C b A B A C B C 2 Boa ordenação e algoritmo da divisão onde para cada a A está associado um único b fa B através da regra que define f Chamamos A de domínio da função f e B de contradomínio da função f Se X A e f A B denotamos por fX ao conjunto fX fx x X B o qual chamamos de imagem de X pela f Dizemos por Im f ao conjunto fA o qual chamamos de Conjunto Imagem da f Dizemos que a função f é sobrejetiva se Im f B Observem que duas funções coincidem se e somente se possuem os mesmos domínios os mesmos contradomínios e as mesmas regras Por exemplo as seguintes funções abaixo definidas são distintas apesar de possuírem o mesmo domínio e a mesma regra Apenas a segunda delas é sobrejetiva f R R g R R x x² fx x x² gx onde R x R x 0 Se f A B e X A denotamos por fX X B a função cujo domínio é o conjunto X cujo contradomínio é o conjunto B e cuja regra é a mesma de f isto é fXx fx qualquer que seja x X Chamaremos fX de restrição de f a X Dizemos que uma função f A B é injetiva se qualquer que sejam x y A se x y então fx fy ou equivalentemente quaisquer que sejam x y A se fx fy então x y Se f A B é uma função simultaneamente injetiva e sobrejetiva dizemos que f é uma função bijetiva Observe que das funções abaixo f R R g R R h R R x x² fx x x² gx x x³ hx apenas as duas últimas são bijetivas desenhe o gráfico Se f A B é uma função e y B denotamos por f¹y ao conjunto f¹y x A fx y o qual chamamos de imagem inversa de y B pela f Observe que se y B então f¹y A e mais se y Im f então f¹y 3 Ideais e MDC Se Y B denotamos por f¹Y ao conjunto f¹Y x A fx Y e chamamos tal conjunto de imagem inversa de Y B pela f Observe que em nossa terminologia temos se y B então f¹y f¹y Por exemplo se f R R temos f¹1 x π2 2kπ k Z e o conjunto f¹0 12 é igual a x kπ k Z x π6 2kπ k Z x 5π6 2kπ k Z Se f A B e g B C são duas funções denotamos por gf A C a função definida por gfx gfx qualquer que seja x A a qual chamamos de função composta de g e f A função Iₐ A A definida pela regra Iₐx x qualquer que seja x A é chamada de função identidade de A Observe que se f A B é uma função bijetiva então existe uma função g B A definida por se y B gy x onde x é o único elemento de A tal que fx y o elemento x existe pois f é sobrejetiva e ele é único pois f é injetiva É de fácil verificação as propriedades gf Iₐ e fg IB A função g com as propriedades acima é dita ser a função inversa claro que ela é única da função f e será denotada não confundir com imagem inversa por g f¹ B A Por exemplo se f R R onde R x R x 0 x x² então temos que f é bijetiva e mais f¹ R R x log x com a 0 temos que f uma reta é bijetiva e mais f¹ R R é tal que f¹x 1a x ba 4 Números primos e ideais maximais EXERCÍCIOS 1 Seja f X Y uma função e sejam A A X e B B Y Prove que a A A fA fA B B f¹B f¹B b fA A fA fA f¹B B f¹B f¹B c fA A fA fA Se f é injetiva vale a igualdade fA A fA fA d f¹B B f¹B f¹B e f¹CB C f¹B f Se f é bijetiva então fCA C fA 2 Sejam as funções f X Y g Y Z h Z W Então prove que h gf hgf 3 Se f X Y é uma função bijetiva prove que existe uma única função g Y X tal que fg IY e gf IX 4 Seja f X Y uma função Prove que a f é injetiva se e somente se existe g Y X tal que gf IX ie f é invertível à esquerda b f é sobrejetiva se e somente se existe h Y X tal que fh IY ie f é invertível à direita 5 Seja f X Y uma função Prove que a f¹fA A qualquer que seja A X f¹fB B qualquer que seja B Y b f¹fA A qualquer que seja A X se e somente se f é injetiva c f¹fB B qualquer que seja B Y se e somente se f é sobrejetiva 6 Se Ω 12n então denotamos por Sn f Ω Ω f bijetiva Os elementos σ de Sn são também chamados de permutações de Ω Prove que Sn é um conjunto contendo n elementos 7 Dê exemplos de funções f g R R tais que fg gf 8 Seja f 12m 12n uma função Prove que a Se f injetiva então m n 5 Fatorização única b Se f sobrejetiva então m n c Se f bijetiva então m n 9 Seja f x₁ x₂ xₙ x₁ x₂ xₙ uma função Prove que a Se f injetiva então f sobrejetiva b Se f sobrejetiva então f injetiva Seja f ℝ ℝ definida por fx x² 3x 2 Calcule f¹0 f¹0 f¹ 0 e f¹1 2 Seja f ℝ ℝ definida por fx x² 1 Dê exemplo de conjunto não vazio B ℝ tal que a f¹B Ø b f¹B contém apenas um elemento 12 Seja f X Y uma função e M N Y Prove que f¹M N f¹M f¹N 13 Para cada uma das 8 leis abaixo especificadas explique subconjuntos não vazios X Y ℝ de modo que a y fx define uma função f X Y b y fx define uma função f X Y sobrejetiva c y fx define uma função f X Y injetiva d y fx define uma função f X Y bijetiva onde as 8 leis são as seguintes y x⁴ y² x y² 4 x² y eˣ y sen x y sen eˣ y log 1x 3 e finalmente y²16 1 x²9 6 Os anéis Z se x estiver relacionado com x e x x se não estiver relacionado com x Por exemplo se A é o conjunto de retas do plano ortogonalidade define uma relação R entre pares de elementos do conjunto A Analogamente paralelismo define uma relação no mesmo conjunto A Vamos agora definir o que vem a ser uma relação de equivalência em um conjunto A Seja A um conjunto e seja R uma relação entre pares de elementos de A Dizemos que R é uma relação de equivalência em A se as seguintes propriedades são verificadas quaisquer que sejam x x e x A 1 x R x 2 Se x R x então x R x 3 Se x R x e x R x então x R x As propriedades acima são chamadas respectivamente reflexiva simétrica e transitiva Observe que 1 não é reflexiva nem transitiva Se considerarmos duas retas coincidentes como paralelas então paralelismo define uma relação de equivalência no conjunto de retas do plano Quando uma relação R em um conjunto A for de equivalência vamos em geral usar a notação em vez de R EXEMPLO 1 Seja f A B uma função e vamos definir uma relação de equivalência no domínio A da função f do seguinte modo x x A x x se fx fx A relação acima definida é claramente uma relação de equivalência no domínio A da função f Veremos mais adiante na Proposição 2 que qualquer relação de equivalência em um dado conjunto A é proveniente de uma certa função como no Exemplo 1 Seja uma relação de equivalência em um conjunto A e seja x A Vamos definir agora o que chamamos de classe de equivalência x do elemento x em relação a a qual denotaremos por x a A a x Antes de enunciarmos a proposição 1 vamos explicar o significado de alguns dos símbolos matemáticos mais utilizados símbolo significando Existe símbolo significando Para todos qualquer que seja ou quaisquer que sejam CAPÍTULO III ANÉIS IDEAIS E HOMOMORFISMOS p qsímbolo significando Se a proposição p é verdadeira então a proposição q também o é p qsímbolo significando A proposição p é verdadeira se e somente se a proposição q é verdadeira PROPOSIÇÃO 1 Seja uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam x y A Então 1 x y x y 2 x y x y Ø 3 x A Demonstração 1 Sejam x y A e x y Vamos provar que x y De fato pela definição de classe de equivalência temos x a A a x z A z y y e como x x y vem imediatamente que x y Sejam x y A e x y Vamos provar que x y e para isso temos que provar que x y e y x Vamos primeiramente provar que x y Seja a um elemento arbitrário em x vamos provar que a y Se a x temos a x e como x y por hipótese segue pela transitividade que a y e portanto a y como queríamos demonstrar Agora se x y temos por simetria que y x e de modo análogo ao anterior chegamos à inclusão y x e daí segue que x y como queríamos demonstrar 2 Suponhamos x y A e x y Se existisse algum elemento a x y teríamos a x e a y e usando a simetria seguiria x a e a y e pela transitividade teríamos x y e pelo item 1 dessa pro posição x y o que contrariaria a nossa hipótese assim x y Ø como queríamos demonstrar 3 Vamos provar que x A De fato temos primeiramente que x A x A e daí segue que x A Reciprocamente temos que x x x A e portanto segue que A x e isto completa a demonstração da Proposição 1 1 Definição e exemplos Vamos definir uma relação de equivalência em Z do seguinte modo x x Z x x x x é um múltiplo inteiro de n Claramente define uma relação de equivalência em Z Essa relação de equivalência recebe o nome de congruência módulo n e é geralmente indicada por mod n Assim x x Z x x mod n x x é um múltiplo inteiro de n Vamos agora calcular a classe x relativamente a a mod n Se x Z x a Z a x mod n e a x a x mod n a x kn k Z x a kn k Z Daí segue que x x kn k Z Observe que se n 0 temos que x x e que mod 0 nada mais é do que a relação de igualdade em Z e nesse caso existe um número infinito de classes x x em Z Provaremos mais tarde que se n 0 a relação mod n nos fornece exatamente n classes distintas quais sejam 0 1 n 1 Assim por exemplo mod 3 nos fornece exatamente as classes 0 1 2 que são as classes dos números que deixam respectivamente restos zero 1 e 2 na divisão por 3 Agora vamos definir a noção de conjunto quociente Seja uma relação de equivalência em um conjunto A Chamamos de conjunto quociente de A pela relação de equivalência e denominamos por A ao conjunto de todas as classes de equivalência relativamente a relação Assim A x x A Na relação mod n n 0 em Z temos Zmod n 0 1 2 n 1 Vamos enunciar agora o resultado que nos diz que toda relação de equivalência em um conjunto A é proveniente como no Exemplo 1 de uma função 2 Subanéis Demonstração De fato basta observar pelo item 1 da Proposição 1 que se x y A temos x y x y πx πy como queríamos demonstrar 4 Produto cartesiano e operação binária em um conjunto Vamos iniciar esse parágrafo introduzindo a noção de produto cartesiano de dois conjuntos Sejam A₁ e A₂ dois conjuntos não vazios Definimos produto cartesiano dos conjuntos A₁ e A₂ como segue A₁ A₂ a₁ a₂ a₁ A₁ a₂ A₂ onde i 1 2 a₁ a₂ b₁ b₂ ai bi i 1 2 Se A₁ A₂ A denominamos por A² o produto A₁ A₂ Usando a noção acima podemos reinterpretar a noção de relação de equivalência em um conjunto A Seja A um conjunto não vazio e seja R um subconjunto do produto cartesiano A² R dizse uma relação binária em A Usando a definição a b A a está relacionado com b a b R podemos interpretar R como uma relação entre pares de elementos de A Assim para que a relação acima definida seja uma relação de equivalência é necessário e suficiente que a b c A 3 Ideais e anéis quotientes A operação dizse associativa se a b c A temse abc abc e dizse comutativa se a b A temse ab ba Como exemplos de operações associativas e comutativas temos a soma e o produto nos conjuntos numéricos Z Q R e C É fácil verificar que a composição de funções define uma operação não comutativa no conjunto FR de todas as funções f R R Existe um ramo de álgebra que se dedica ao estudo das estruturas algébricas não associativas porém ele foge inteiramente aos nossos propósitos É fácil verificar que se A a b e é a operação definida por ab bb b e aa ba ba a então é uma operação em A não comutativa e não associativa De modo análogo podemos introduzir a noção de produto cartesiano de mais de dois conjuntos e deixamos isso por conta do leitor EXERCÍCIOS 1 Seja A um conjunto não vazio e PA o conjunto das partes de A Dizemos que um conjunto não vazio P PA é uma partição do conjunto A se i B₁ B₂ P B₁ B₂ B₁ B₂ ii B A Prove que se x y A e definimos x y B P tal que x y B então define uma relação de equivalência no conjunto A Mais ainda A P 2 Seja A um conjunto não vazio e uma relação de equivalência em A Prove que A é uma partição do conjunto A 3 Sejam A₁ A₂ Aₖ conjuntos Definimos A₁ A₂ Aₖ a₁ a₂ aₖ ai Ai i 1 2 k onde a₁ a₂ aₖ b₁ b₂ bₖ ai bi i 1 2 k E chamamos A₁ A₂ Aₖ de produto cartesiano dos conjuntos A₁ A₂ Aₖ Se A A₁ A₂ Aₖ esse produto é denotado por Aⁿ Perguntase É PR R PR PR Justifique 4 Homomorfismo de anéis Se A 0 1 e B 0 2 3 Calcule PA B e PA PB 5 O corpo de frações de um domínio Uma relação entre pares de elementos de um conjunto A dizse uma relação de ordem parcial em A se i x x x R ii x y e y z x z x y z A iii x y e y z z x x y z A Uma relação de ordem parcial dizse total ou linear se iv x y A temse x y ou y x CAPÍTULO IV POLINÔMIOS EM UMA VARIÁVEL Neste capítulo apresentaremos uma visão algébrica dos números inteiros e para isso admitiremos conhecidas as propriedades elementares do conjunto Z 1 Definição e exemplos 2 Boa ordenação e algoritmo da divisão Em Z existem as noções de ordem e de módulo as quais admitiremos com algumas de suas propriedades básicas Com o objetivo de demonstrar o algoritmo da divisão de Euclides iniciaremos esse parágrafo admitindo o princípio da boa ordenação em Z Princípio da boa ordenação Todo subconjunto não vazio S de Z de elementos não negativos possui um primeiro elemento isto é x₀ S tal que x₀ x x S Vamos agora provar algumas propriedades de Z usando o princípio da boa ordenação PROPOSIÇÃO 1 Não existe inteiro m tal que 0 m 1 Demonstração De fato suponhamos por absurdo que existe tal m Z 0 m 1 Assim o conjunto S m Z 0 m 1 é não vazio e pelo princípio da boa ordenação x₀ S tal que x₀ x x S Como x₀ S temos 0 x₀ 1 e dai segue que 0 x₀ 1 e isto contradiz a minimalidade de x₀ S PROPOSIÇÃO 2 Indução 1a forma Suponhamos que seja dada uma afirmação an dependendo de n N tal que i a0 é verdadeira ii Para k N ak 1 é verdadeira sempre que ak for verdadeira Então an é verdadeira n N Demonstração Seja S o conjunto dos inteiros m N tais que am seja falsa e suponhamos que S Pelo princípio da boa ordenação x₀ S tal que x₀ m m S Como a0 é verdadeira por hipótese temos que 0 S e portanto x₀ 1 mais ainda como x₀ 1 S temos que ax₀ 1 é verdadeira Agora pela hipótese ii segue que ax₀ ax₀ 1 1 é verdadeira o que é uma contradição Logo S e a Proposição 2 está demonstrada 2 O algoritmo da divisão PROPOSIÇÃO 3 Indução 2a forma Suponhamos que seja dada uma afirmação an dependendo de n N tal que i a0 é verdadeira ii Para cada inteiro m 0 am é verdadeira sempre que ak for verdadeira para 0 k m Então an é verdadeira n N Demonstração Seja S o conjunto dos inteiros m N tais que am seja falsa e suponhamos que S é não vazio Como acima x₀ S tal que x₀ m x S e pela hipótese i x₀ 0 Portanto ak é verdadeira k 0 k x₀ e ii nos dá uma contradição Observe que as Proposições 2 e 3 poderiam ser enunciadas a partir do inteiro 1 em vez de zero e nesse caso a hipótese i seria a1 é verdadeira As mesmas demonstrações funcionam com as devidas modificações TEOREMA 1 Algoritmo da Divisão Sejam n d N e d 0 Então existem únicos q r N tais que n qd r e 0 r d Demonstração Provaremos a existência usando indução 2a forma sobre n Se n d existem q 0 r n assim podemos assumir n d 0 Então temos 0 n d n e pela hipótese ii de indução 2a forma segue que q₁ r N tais que n d q₁ d r onde 0 r d e dai segue que n q₁ 1d r onde 0 r d Assim existem q q₁ 1 r N como queríamos demonstrar Provaremos agora a unicidade Suponhamos que existam q₁ r₁ q₂ r₂ N tais que n q₁ d r₁ 0 r₁ d e n q₂ d r₂ 0 r₂ d Dai segue que q₁ d r₁ q₂ d r₂ onde 0 r₁ d r₂ d Como d 0 é suficiente provarmos que r₁ r₂ pois nesse caso teríamos q₁ d q₂ d ou seja q₁ q₂ Suponhamos por absurdo que r₁ r₂ por exemplo r₁ r₂ Nesse caso teríamos 0 r₁ r₂ q₂ q₁d Mas também r₁ r₂ d pois r₁ d e r₂ d e dai segue que 0 r₁ r₂ q₂ q₁d d o que é um absurdo e isto termina a demonstração do Teorema 1 3 Ideais principais e máximo divisor comum Observem que na demonstração do Teorema 1 a afirmação an usada na indução foi a seguinte q r N tais que n qd r onde 0 r d EXERCÍCIOS 1 Enuncie as Proposições 2 e 3 a partir do inteiro 1 e prove por indução as seguintes fórmulas a 1 2 n nn 12 n 1 inteiro b 1 4 n² nn 12n 16 n 1 inteiro c 1 8 n³ nn 12² d 1 3 2n 1 n² 2 Prove que o conjunto S m Z 7 m 8 é vazio 3 Se m n N e n m definimos n m n n mm onde n nn 1321 se n 1 e 0 1 Prove por indução sobre n a seguinte fórmula onde n m 1 são inteiros n m 1 n m n 1 m 4 Se x y Z e n N Prove por indução sobre n que x yⁿ xⁿ n 1xⁿ¹y n ixⁿ¹yⁿ Sugestão Use o exercício 3 5 Seja a 0 Z e m N Definimos potencia não negativa de a do seguinte modo a⁰ 1 a¹ a aⁿ aaa se m 2 4 Polinômios irreduzíveis e ideais maximais 5 Fatorização única dizemos que J é um ideal próprio de Z Por exemplo J 2 Z 2 k k Z é um ideal próprio de Z É usual a notação n Z para o ideal dos múltiplos inteiros de n EXEMPLO 2 Se n1 n2 nk são números inteiros quaisquer então o conjunto de todos os números inteiros da forma n1r1 nk rk onde r1 rk são inteiros é um ideal de Z De fato seja J n1r1 nk rk ri Z Então segue que i 0 n10 nk0 J ii x n1r1 nk rk y n1s1 nk sk J x y n1r1 s1 nkrk sk J iv r Z x n1r1 nk rk J r x r n1r1 nkrk J É usual a notação n1Z nkZ para o ideal J O ideal n Z dos múltiplos do inteiro n é também chamado de Ideal principal gerado por n enquanto o ideal n1Z nkZ é chamado de ideal gerado pelos inteiros n1 nk Antes de demonstrar a existência do Máximo divisor comum em Z provaremos o seguinte Teorema 6 O critério de Eisenstein TEOREMA 2 Z é um domínio principal Todo ideal de Z é principal Demonstração Seja J um ideal de Z Se J 0 então J é um ideal principal gerado por 0 Suponhamos que J 0 Assim existe 0 x J e pela propriedade iii temos x J e portanto x J x 0 ou seja o conjunto S dos inteiros 0 pertencentes a J é não vazio Pelo princípio da boa ordenação d J tal que d é o menor inteiro 0 em Z Vamos provar que d Z J Claramante d Z J pois se d J e n Z então d r r d J por iv Assim é suficiente provamos que J d Z Seja x J Pela propriedade iii temos que x e pelo Algoritmo da divisão temos que q r Z tais que x q d r onde 0 r d CAPÍTULO V EXTENSÕES ALGÉBRICAS DOS RACIONAIS Daí segue que 0 r x q d d Como x J temos r J e 0 r d Pela minimalidade de d segue que r 0 e portanto x q d J e novamente por iii temos x d Z desde que d Z é também um ideal como queríamos demonstrar TEOREMA 3 Existência de MDC em Z Sejam n1 n2 nk inteiros não nulos e seja J n1Z nkZ o ideal gerado por n1 nk Se d Z é tal que J d Z então são válidas as seguintes afirmações a r1 rk Z tais que d n1r1 nk rk b d é um divisor comum de n1 nk c Se d é um divisor comum qualquer de n1 nk então d é também um divisor de d Demonstração a Sai imediatamente da igualdade d Z n1Z nkZ e do fato d d Z b Seja i 1 k e d Z n1Z nkZ então é claro que ni niZ n1Z niZ nkZ d Z e portanto ri Z tal que ni d ri isto é d é um divisor de cada ni i 1 k c Se d um divisor comum qualquer de n1 n2 nk Assim ri i 1 2 k tal que ni d ri ou seja niZ dZ i 1 2 k e daí segue imediatamente que n1Z nkZ dZ dZ e portanto d dZ isto é r Z tal que d d r e isto demonstra o item c do Teorema Um número satisfazendo as condições dos itens b e c do Teorema 3 dizse um MDC de n1 n2 nk em Z Observe que se d é um MDC de n1 n2 nk em Z então d também o é pois d d Z É claro também que em Z existe um único MDC positivo de n1 n2 nk em esse caso dizemos o MDC de n1 n2 nk o qual denotaremos por MDC n1 nk Assim pelo item a do Teorema 3 se d MDC n1 nk então existem inteiro n1 nk tais que d n1r1 nk rk Se 1 MDC n₁ nₖ dizemos que n₁ nₖ são relativamente primos em ℤ e pela observação anterior r₁ rₖ tal que 1 n₁r₁ nₖrₖ 1 Adição de raizes Demonstração Seja d 0 o MDC de p e n isto é d MDC p n Pela definição de MDC temos que d é um divisor de p e portanto d 1 ou p Mas como d não é divisor de n temos que d 1 e a proposição segue pois 1 dℤ pℤ nℤ 2 Corpo de decomposição de um polinômio TEOREMA 4 Se p ℤ e J pℤ então as seguintes condições são equivalentes i p é um número primo ii J pℤ é um ideal maximal em ℤ 3 Grau de uma extensão Assim p pZ nZ e daí segue p nk para algum k Z e portanto np e teremos n 1 ou n p Se n 1 vem I Z e se n p vem I J como queríamos demonstrar ii i Suponhamos J pZ um ideal maximal em Z e seja d um divisor de p isto é p db onde b Z Vamos provar que d 1 ou d p Como J pZ Z segue que p 1 Agora seja p db então é claro que se I dZ teremos p I e J I Z Como J é maximal por hipótese segue que J pZ dZ I ou I dZ Z Na primeira possibilidade d pZ ou seja d pa e daí segue que p pab e como p 0 segue ab 1 a b Z Assim teremos que a 1 b 1 e isto finalmente nos diz que d p Na segunda possibilidade dZ Z segue imediatamente que d 1 Assim acabamos de provar que os únicos divisores de p são 1 e p isto é p é um número primo 4 Construção por meio de régua e compasso Demonstração Claramente é suficiente provarmos o teorema para n N 0 1 2 m e nesse caso u 1 e a expressão se reduz a n p₁p₂pₖ p₁ p₂ pₖ primos 0 Vamos primeiramente provar que n pode ser escrito como acima e a demonstração será por indução sobre n Se n 1 temos que n up₁pk u 1 e k 0 Vamos agora supor que todo número inteiro m 1 m n pode ser escrito como produto de primos Vamos provar que n também pode ser escrito como produto de primos Suponhamos por absurdo que n não pode ser escrito como produto de primos Então n não é um número primo e assim existem divisores d d de n tais que n dd 1 d d n Pela hipótese de indução segue que d q₁q₂qₖ 1 q₁ qₖ são primos positivos d q₁q₂qs q₁ q₂ qs são primos positivos Dai segue n dd q₁qₖq₁qs e rearranjando os números primos q₁ qₖ q₁ qs podemos escrever n p₁p₂pₖ onde k r s e p₁ p₂ pₖ como queríamos demonstrar CAPÍTULO VI GRUPOS Suponhamos agora verdadeira a unicidade toda vez que tivermos um produto de r fatores primos positivos onde 1 r k e vamos provar a unicidade para k fatores primos positivos Temos p₁p₂pk p₁p₂ps k 2 Pela Proposição 5 do parágrafo anterior segue que j 1 j s tal que p₁pj e como são primos positivos segue que p₁ pj para algum j 1 j s De modo análogo p₁ pi para algum i 1 i k Agora como p₁ p₂ pk e p₁ p₂ ps segue que p₁ p₁ Então teremos p₂pk p₂ps e daí segue pela hipótese de indução r k 1 que k 1 s 1 e p₂ p₂ pk pk e assim concluímos que k s e mais pi pi i 1 2 k como queríamos demonstrar É conveniente reunirmos os fatores primos iguais na expressão de um inteiro como produto de primos Assim se n 1 n p₁pk podemos reescrever a expressão acima e obtermos n q₁m₁q₂m₂qᵣmᵣ onde q₁ q₂ qᵣ são os fatores primos distintos de n e pelo Teorema 1 os números inteiros positivos m₁mᵣ são unicamente determinados pelo inteiro n 1 Definição e exemplos PROPOSIÇÃO 7 O número de divisores de um número inteiro não nulo é finito 2 Subgrupos e classes laterais Observe que se n 0 então mod 0 significa igualdade em Z e Z0 x x Z é um conjunto infinito Observe também que mod n define a mesma relação que mod n 3 Classes de conjugação TEOREMA 6 Seja n um número inteiro 2 a Zn Zn Zn e Zn Zn Zn definem duas operações denominadas soma e produto no conjunto Zn 0 1 n 1 4 Grupos quocientes e homomorfismo de grupos iv Comutatividade da soma x y y x v Associatividade do produto x y z x y z x y z x y z vi Existência do elemento unidade Claramente x 1 1 x x e portanto Z possui unidade 1 vii Comutatividade do produto x y y x viii Distributividade x y z x y z x y x z x y x z x y x z 5 A simplicidade dos grupos An n 5 Observe que Q R e C são exemplos de corpos pois são satisfeitas as propriedades de i até x para esses anéis Acabamos de ver que existem também uma infinidade de exemplos de corpos finitos Zp p primo 2 É claro que todo corpo é um domínio de integridade ou seja a propriedade x implica na propriedade ix Assim todos os exemplos de corpos também são exemplos de domínio de integridade Finalmente Z é um exemplo de domínio de integridade CAPÍTULO VII TEORIA DE GALOIS ELEMENTAR Ache todos os possíveis inteiros x satisfazendo as seguintes congruências a 3x 2 mod 5 b 7x 4 mod 10 c 4x 3 4 mod 5 d 6x 3 1 mod 10 e 6x 3 4 mod 10 f 243x 17 101 mod 725 Prove que não existe inteiro x satisfazendo a congruência x² 35 mod 100 1 Extensões galosianas e extensões normais CAPÍTULO III 2 A correspondência de Galois E finalmente se um domínio de Integridade A satisfaz a propriedade 3 Solubilidade por meio de radicais Seja A ℱR o conjunto de todas as funções f R R Vamos definir duas operações no conjunto A do seguinte modo REFERÊNCIAS Vamos agora definir as operações e no conjunto A acima o qual denotaremos por Mat₂ℝ Sejam a b c d a b c d ℝ soma a b a b aa bb c d c d cc dd produto a b a b aa bc ab bd c d c d ca dc cb dd Podese provar que Mat₂ℝ é um anel onde 0 0 0 é elemento neutro para a e 1 1 0 é a unidade de Mat₂ℝ Portanto Mat₂ℝ é um anel com unidade Observe que se a ℝ e Xₐ 0 a 0 0 Mat₂ℝ então Xₐ Xb 0 0 a b ℝ Assim o anel Mat₂ℝ possui uma infinidade de divisores de zero Observe também que 0 a ² 0 0 0 ou seja a equação X² 0 possui infinitas soluções no anel Mat₂ℝ Consideremos agora os elementos 1 0 e 0 1 de Mat₂ℝ e calculemos 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 e portanto Mat₂ℝ é um exemplo de anel não comutativo com unidade e com divisores de zero generalize esse exemplo para Matₙℝ n 2 Vamos ver agora mais um exemplo de anel não comutativo Seja ℝ⁴ a b c d a b c d ℝ onde a b c d a b c d a a b b c c ed d ÍNDICE ALFABÉTICO Vamos definir as operações de soma e produto em ℝ⁴ Sejam a b c d a b c d ℝ soma a b c d a b c d aa bb cc dd produto a b c d a b c d aa bb cc dd ab ba cd cd ac ac db db ad da bc bc Podese provar que ℝ⁴ é um anel cujo elemento neutro é 0 0 0 0 e cuja unidade é 1 0 0 0 É fácil verificarmos que 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 e portanto ℝ⁴ é um exemplo de anel não comutativo com unidade Vamos agora fazer algumas identificações a a 0 0 0 i 0 1 0 0 j 0 0 1 0 k 0 0 0 1 a bi cj dk a b c d produto Para efetuarmos o produto é suficiente levarmos em conta as regras acima e usarmos a distributividade Assim a bi cj dk a bi cj dk aa bb cc dd ab ba cd cdi ac ac db dbj ad da bc cbk Portanto o anel ℝ⁴ pode ser identificado com o anel Quat 0 0 0i 0j 0k e 1 1 0i 0j 0k são respectivamente o elemento neutro e a unidade de Quat Como i j sabemos que Quat é um exemplo de um anel não comutativo com unidade O anel Quat recebe o nome de anel dos Quaternions É fácil provar que se x a bi cj dk 0 então existe um elemento y a bi cj dk em Quat tal que x y y x 1 Assim o anel dos quaternions para ser um corpo só falta a propriedade A8 comutatividade do produto Por isso dizemos que Quat é um anel de divisão ou um corpo não comutativo Observe que Quat ℝ e mais ainda existem 3 cópias do corpo C dentro do anel Quat quais sejam a bi a b ℝ a cj a c ℝ e a dk a d ℝ Como última observação podemos dizer que em Quat existem infinitas soluções para a equação X² 1 Provaremos mais tarde que em um corpo o número de soluções de uma equação polinomial é limitado pelo grau da equação Seja f Z Z uma função tal que fx y fx fy x y Z e fx fy x y Z Prove que ou f Iz é a função constante zero 5 Seja f Q Q uma função tal que fx y fx fy e fx fy x y Q Prove que ou f IQ ou f 0 é a função constante zero 6 Seja f R R uma função tal que x y R fx y fx fy e fx fy fx fy Prove que se f é contínua então ou f IR ou f 0 é a função constante zero 7 Prove que se A é um anel qualquer então são válidas as seguintes propriedades quaisquer que sejam x y z A a 0 x x 0 0 b x y x y x y então c x y x y f 1 x x g 1 1 1 h 1 x x Seja p um número primo 2 e seja Zp a bp a b Q Vamos definir uma soma e um produto em Zp do seguinte modo soma a bp c dp a c b dp a b c d Z Prove que Zp é um domínio de integridade 10 Seja p um número primo e seja Qp a bp a b Q Defina soma e produto como acima e verifique que Qp é um corpo 11 Mostre que o anel C0 1 das funções reais contínuas definidas em 0 1 possui divisores de zero 12 Seja A um domínio de integridade e a b c A Prove que se a 0 e ab ac então b c Seja x um elemento nilpotente em A Mostre que se A possui unidade 1 A então o elemento 1 x possui inverso multiplicativo calcule uma fórmula para esse inverso 18 Seja A Zi a bi a b Z onde i² 1 e a bi c di a c e b d vamos definir e em A do seguinte modo para a b c d Z soma a bi c di a c b di produto a bi c di ac bd ad bci Prove que A Zi é um domínio de integridade e calcule todos os elementos de Zi que são invertíveis relativamente ao produto em Zi 19 Seja A um anel B um conjunto e f B A uma função bijetiva de B sobre A Se para cada x y B definimos x y f¹fx fy e x y f¹fx fy Então prove que a B é um anel b fx y fx fy e fx y fx fy x y B PROPOSIÇÃO 1 Seja A um anel e seja B um subconjunto de A Então B é um subanel de A se e somente se as seguintes condições são verificadas i 0 B o elemento neutro de A pertence a B ii x y B x y B B é fechado para a diferença iii x y B x y B B é fechado para o produto Demonstração Se B é um subanel então por definição temos claramente as condições i ii e iii Observe que o elemento neutro 0 de B relativamente à adição é o mesmo elemento neutro 0 de A pois se b B então 0 b b 0 Suponhamos que B A e as três propriedades i ii e iii são satisfeitas Por i segue que B e por i e ii temos que se x B então x 0 x B Agora por ii e por teremos se x y B então x y x y B isto é B é fechado para a soma Por iii B é fechado para o produto Como as propriedades associativa comutativa e distributivas são hereditárias segue imediatamente que B é um subanel de A EXEMPLOS Se B é subanel de A vamos usar a notação B A Nos parágrafos anteriores já vimos os seguintes exemplos de subanéis a nZ Z Q R C Quat onde n N b DR CR FR c nZ Z Zp Qp R onde n N e p é um número primo 2 Por exemplo vamos provar que Zp é um subanel de R De fato Zp R e mais i 0 0 0 Zp ii x a b p y c d p x y a c b d p iii x a b p y c d p x y ac pd p bc ad p e portanto Zp a b p a b Z é um subanel de R de R enquanto Qi é um subcorpo de C Observe também que Z₂ 0 1 não é um subanel de Z₃ 0 1 2 O exemplo 2Z Z nos mostra que um subanel de um anel com unidade não possui necessariamente unidade Agora vamos ver um exemplo de um subanel B de um anel A tal que a unidade 1 de B é diferente da unidade 1 de A Seja A Mat₂R e seja B a 0 a R Claramente B é um subanel de A Vamos agora mostrar que 1 1 0 é a unidade de A Mat₂R enquanto 1 1 0 é a unidade de B observe que 1 B De fato a b 1 0 1 0 a b a b c d a b c d R e 0 0 1 0 1 0 a 0 a 0 a R Vamos mostrar em seguida que essa patologia não ocorre em anéis sem divisores de zero PROPOSIÇÃO 2 As únicas soluções da equação x² x em um domínio de integridade são 0 e 1 Demonstração Seja D um domínio de integridade e x D tal que x² x Assim temos x² x x x 1 x x 1 x 0 e daí segue que x 1 0 ou x 0 isto é x 1 ou x 0 como quiseríamos demonstrar COROLÁRIO Seja D um domínio de integridade com unidade 1 e seja B um subanel de D com unidade 1 Então 1 1 Demonstração Pela nossa definição de unidade 1 e 1 são diferentes de 0 e como 1² 1 e 1² 1 o corolário segue imediatamente da Proposição 2 Observe que no anel Z₆ 0 1 2 3 4 5 que não é um domínio temos que 0 1 3 e 4 são raízes da equação x² x EXERCÍCIOS 1 Seja BiiN uma sequência de subanéis de um anel A Prove que B iN Bi é também um subanel de A 2 Seja BiiN uma sequência de subanéis de um anel A Prove que se B₀ B₁ Bn então B iN Bi é também um subanel de A 3 Mostre que Z₂ 0 1 2 não é subanel de Z₅ 0 1 2 3 4 4 Seja A um anel e a A Prove que B x A x a a x é um subanel de A 5 Seja A um anel Prove que ZA x A x y y x y A é um subanel comutativo de A ZA é chamado o centro de A 6 Seja A um anel e a A Prove que B x A x a 0 é um subanel de A 7 Seja KiiN uma sequência de subcorpos de um corpo K Prove que B iN Ki é um subcorpo de K 8 Seja KiiN uma sequência de subcorpos de um corpo K Prove que se K₀ K₁ Kn então B iN Ki é um subcorpo de K 9 Seja K um corpo e seja P a interseção de todos os subcorpos de K Prove que P é o menor subcorpo de K P é chamado de corpo primo de K 10 Calcule todos os subanéis de Z₁₂ Um dominio de integridade D é dito de característica 0 se m 0 sempre que ma 0 com a D a 0 e m ℕ D dizse de característica finita se existe a D a 0 tal que ma 0 para algum inteiro m 0 Nesse caso definimos como a característica de D o menor inteiro positivo m tal que ma 0 para algum a D a 0 Prove que a se característica de D é p então px 0 x D b a característica de D ou é zero ou um número primo Sugestão para o Exercício 11 px p1x x D 12 Seja A um anel com unidade 1 A Vamos definir duas novas operações no conjunto A usando as operações e de A a b a b 1 a b A a b ab a b a b A Prove que a A é um anel b Qual é o elemento zero de A c A possui unidade Qual 13 Prove que se A é um anel de divisão então ZA é um corpo 14 Prove que ZQuat ℝ Se o anel A for comutativo então as condições iv iv e v são equivalentes e as 3 noções acima coincidem Claramente 0 e A são ideais de A ditos ideais triviais de A Os ideais não triviais de A são também chamados ideais próprios de A EXEMPLO 1 Seja A o anel Mat₂ℝ a b a b c d ℝ e sejam I e J definidos como segue I a 0 a ℝ e J a b a b ℝ Claramente I é um ideal à esquerda de A e J é um ideal à direita de A mas nenhum dos dois é ideal de A Aliás vamos provar agora que os únicos ideais de A Mat₂ℝ são os triviais por isso A é chamado de um anel simples De fato Seja I um ideal de A Mat₂ℝ e vamos assumir que I 0 Assim a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ I onde algum dos aᵢⱼ é diferente de zero 1 ij 2 Sejam eᵣₛ Mat₂ℝ 1 r s 2 as seguintes matrizes e₁₁ 1 0 0 0 e₁₂ 0 0 0 0 e₂₁ 0 0 1 0 e₂₂ 0 0 0 1 Através de cálculos é fácil verificar que eᵣₛ a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂eₘₘ é uma matriz 2 2 contendo o elemento aₛₘ na posição r n da matriz Assim como AI IA I segue que 1 0 é unidade do anel A segue imediatamente que a b c d I qualquer que sejam a b c d ℝ isto é I Mat₂ℝ Acabamos de provar então que se I 0 é um ideal de Mat₂ℝ então I Mat₂ℝ como queríamos demonstrar Podese provar de modo inteiramente análogo que Matₘℝ de todas as matrizes n n com coeficientes em um corpo K é um anel simples EXEMPLO 2 Vamos agora ver um exemplo de ideais no anel A C0 1 das funções contínuas f 0 1 ℝ com as operações usuais de e de funções Sabemos que A é um anel comutativo com unidade 1 função constante 1 Seja b 0 1 e seja I f A fb 0 Provemos primeiramente que I é um ideal de A De fato i 0 I pois 0 é a função constante zero ii se f g I então fg I pois fgb fb gb 0 iii e iv Seja f C0 1 A e g I Então fgb fbgb fb0 0 Assim I é um ideal de A Vamos provar agora que I é um ideal maximal em A isto é I A e os únicos ideais de A contendo I são I e A De fato se J é um ideal de A e J I J I temos que f J tal que f 0 Assim fb a 0 Denotando por a a função constante a temos que h f a I pois hb 0 e portanto a f h J pois f J e h I J Daí segue que a função constante 1 pertence a J já que a¹a 1 a J Portanto J A e I maximal em A Observe que usamos acima o fato de ser 0 1 um anel contendo as funções constantes Dai segue 1 in K K cdot a Rightarrow exists b in K tal que b cdot a 1 e isto demonstra o Teorema 1 b AJ cdot é um anel chamado anel quociente de A por J TEOREMA 3 Seja A um anel comutativo com unidade 1 A e seja J um ideal de A Então J é ideal maximal de A AJ é um corpo EXERCÍCIOS 1 Mostre que a interseção de ideais de um anel A é também um ideal de A 2 Seja Jnn N uma sucessão de ideais de um anel A Prove que se J0 J1 Jn então J n N Jn é um ideal de A 9 Seja A ℝ0 1 o anel das funções reais contínuas com as operações usuais de soma e produto de funções definidas no intervalo 0 1 Prove que se M é um ideal maximal de A então a 0 1 tal que M f A fa 0 d Se A e A são corpos então ou f é a função constante zero ou f é injetiva Demonstração a É claro que em um anel a equação X X X tem o elemento neutro como única solução e assim temos 0 0 0 f0 0 f0 f0 f0 e portanto f0 0 que é o elemento neutro de A b Seja a A De a a 0 segue pelo item a que fa fa 0 ou seja fa fa c De 11 1 segue que f1² f1 isto é f1 f1 1 0 Agora A domínio de integridade nos diz que ou f1 0 ou f1 1 Se f1 0 então segue que fx fx 1 fx f1 fx 0 0 x A ou seja f é a função constante zero d Sejam A e A corpos e suponhamos que f não é a função constante zero Assim pelo item anterior sabemos que f1 1 Vamos provar que f é injetiva De fato se x y A e fx fy teremos fx y 0 x y Nf 0 x y e isto demonstra 2 Agora vamos provar que se D Zp então Aut D Id σ onde σ Zp Zp é definida por m np m np m n Z Primeiramente temos que σ1 1 pois D Zp é um domínio e daí segue imediatamente que σm np m nσp m n Z Agora com p² p temos σp² σp p ou seja existem duas possibilidades para σp em D σp p ou σp p Na primeira obtemos σ Id e na segunda obtemos σm np m np m n Z como desejávamos mostrar Vamos ver a seguir um exemplo que colocaremos sob a forma de proposição PROPOSIÇÃO 6 Aut R IdR Demonstração Seja σ Aut R Como R é um corpo temos que σ1 1 e daí segue imediatamente que σm m m Z É de fácil verificação que σr r r Q Se soubéssemos que σ é uma função contínua teríamos passando ao limite que σx x x R Primeiramente provaremos que σ preserva a ordem em R isto é se a b então σa σb De fato Se a b temos 0 b a e então a R tal que b a α² 0 e daí segue que σb a σα² σα² 0 ou seja 0 σb σa e isto nos dá σa σb Agora se x R sequências rn N e sm N tais que rn x sm m n x lim rn lim sm Assim teremos rn σrn σx σsm m n e isto nos dá σx lim rn x como queríamos demonstrar TEOREMA 4 Sejam A e A anéis e f A A um homomorfismo Então 1 Im f fa a A é um subanel de A 2 Nf a A fa 0 é um ideal de A e f é injetiva Nf 0 3 Os anéis ANf e Im f são isomorfos Demonstração 1 De fato claramente temos i 0 f0 Im f ii fa fb Im f fa fb fa b Im f iii fa fb Im f fa fb fa b Im f 2 Vamos provar que Nf a A fa 0 é um ideal de A De fato i 0 Nf pois f0 0 ii a b Nf fa b fa fb 0 0 0 ou seja a b Nf iii seja x A e a Nf então fa x fa fx 0 fx 0 e fx a fx fa fx 0 0 ou seja a x Nf e x a Nf Assim Nf é um ideal de A Agora Se f é injetiva segue imediatamente que Nf 0 pois f0 0 Im F Fx x ANf fx x A Im f logo ANf Im f como queríamos demonstrar O subanel Im f dizse Imagem de f e o ideal Nf dizse Núcleo de f Antes de encerrarmos o parágrafo vamos mostrar que se A ℓ0 1 e I f A f0 0 então AI ℝ De fato sabemos que I é um ideal máximo em A e portanto pelo teorema 2 AI é um corpo Agora seja f A e f0 a ℝ Então h f a I e temos h f a 0 ou seja f a onde a ℝ Evidentemente se a₁ a₂ temse a₁ a₂ e dessas considerações segue que ℝ AI é um homomorfismo bijetivo isto é ℝ AI 1 Calcule Endℤi e Autℚi 2 Prove que os anéis 2ℤ e 3ℤ não são isomorfos 3 Prove que os corpos ℚ2 e ℚ3 não são isomorfos 4 Seja A um grupo abeliano Prove que a se f g EndA então f g EndA onde f gx fx gx x A b Se f g EndA então f g EndA onde f gx fgx x A c EndA é um anel com as operações definidas em a e b 15 Seja A um anel com unidade 1 A e sejam e₁ eₙ A 0 idempotentes de A tais que 1 e₁ eₙ eᵢ eⱼ 0 se i j 1 i j n Prove que se Aᵢ A eᵢ a eᵢ a A então A A₁ Aₙ isto é a A únicos elementos aᵢ Aᵢ i 1 n tais que a a₁ aₙ produto a c b d a c b d Observe que se b d D então b d D pois D é um domínio de integralidade Como das vezes anteriores em que definimos operações em conjuntos quocientes vamos provar que as operações acima estão bem definidas em K De fato suponhamos que a b a b e c d c d então 1 a b c d a b c d 2 a b c d a b c d De c a b a b e c d c d segue que ab ba e cd dc em D Agora a b c d ad bc bd ad bc bd a b c d ad bcb ad bc bd em Dabdd cdbb abdd cdbb em D e 1 segue das igualdades ab ba e cd cd Para a demonstração de 2 basta observar que a b c d a b c d abcd abcd em D e o resultado segue pelas igualdades ab ab e cd cd Vamos denotar por a a 1 onde a D e 1 é a unidade de D e denotaremos D a a 1 a D K a b a D b D É fácil provar que D é um domínio de Integralidade com unidade 1 D Aliás 1 é tal que a b K então a b 1 1 a b a b e mais ainda a b K temos a b 0 0 a b a b