Lista de Exercicios - Algebra - Aneis Dominios e Corpos

Universidade Federal de Pelotas UFPel Disciplina Algebra para Licenciatura Professora Liliana Jurado Lista de exercıcios No 1 Anel Domınio e Corpo 1 Dados dos aneis A1 1 1 e A2 2 2 podemos construir um novo anel da ma neira seguinte definimos no conjunto A1xA2 a1 a2 a1 a2 A2 as opercoes a1 a2 a 1 a 2 a1 1 a 1 a2 2 a 2 a1 a2 a 1 a 2 a1 1 a 1 a2 2 a 2 Provar que A1xA2 e um anel cha mado produto de A1 com A2 2 Seja p um numero primo e seja Zp como foi definido nas notas da Semana 2 com as operacoes e definidas a Provar que Zp e um domınio de integridade b Zp e um corpo Justificar 3 Seja p um numero primo e seja Qp como foi definido nas notas da Semana 2 provar que Qp e um corpo 4 Seja f Z Zp uma funcao tal que fx y fx fy x y Z e fx y fx fyx y Z Prove que ou f IZ e a funcao identidade de Z ou f 0 e a funcao constante zero 5 Prove que se A e um anel qualquer entao sao validas as seguintes proprieda des quaisquer que sejam x y z A a 0 x x 0 b x y x y x y c xy x y d x y z x y x z e y z x y x z x Mais ainda se 1 A entao f 1 x x g 1 1 1 h 1 x x possui divisores de zero 6 Seja A Zi a bi a b Z onde i2 1 e a bi c di a c e b d vamos definir e em A do seguinte modo para a b c d Z Soma a bi c di a c b di Produto a bi c di ac bd ad bci Prove que Zi e um domınio de in tegridade e calcule todos os elementos de Zi que sao invertıveis relativamente ao produto 7 Seja A um domınio de integridade e a b c A Prove que se a 0 e ab ac entao b c 1 ① Sejam A₁ ₁ ₁ A₂ ₂ ₂ anéis Considere o conjunto A₁ A₂ a₁ a₂ a₁ A₁ a₂ A₂ Definimos as operações a₁ a₂ a₁ a₂ a₁ ₁ a₁ a₂ ₂ a₂ a₁ a₂ a₁ a₂ a₁ ₁ a₁ a₂ ₂ a₂ Sejam a₁ a₂ b₁ b₂ c₁ c₂ A₁ A₂ Temos I a₁ a₂ b₁ b₂ a₁ a₂ a₁ a₂ b₁ ₁ c₁ b₂ ₂ c₂ a₁ ₁ b₁ ₁ c₁ a₂ ₂ b₂ ₂ c₂ a₁ ₁ b₁ ₁ c₁ a₂ ₂ b₂ ₂ c₂ a₁ ₁ b₁ a₂ ₂ b₂ c₁ c₂ a₁ a₂ b₁ b₂ c₁ c₂ ii a₁ a₂ b₁ b₂ a₁ ₁ b₁ a₂ ₂ b₂ b₁ ₁ a₁ b₂ ₂ a₂ b₁ b₂ a₁ a₂ iii Elemento neutro O elemento neutro é 0₁ 0₂ A₁ A₂ onde 0₁ é o neutro de A₁ e 0₂ neutro de A₂ a₁ a₂ 0₁ 0₂ a₁ ₁ 0₁ a₂ ₂ 0₂ a₁ a₂ iv Elemento oposto O oposto de a₁ a₂ A₁ A₂ é a₁ a₂ Logo a₁ a₂ a₁ a₂ a₁ ₁ a₁ a₂ ₂ a₂ 0₁ 0₂ U a₁ a₂ b₁ b₂ c₁ c₂ a₁ a₂ b₁ c₁ b₂ ₂ c₂ a₁ ₁ b₁ ₁ c₁ a₂ ₂ b₂ ₂ c₂ a₁ ₁ b₁ ₁ c₁ a₂ ₂ b₂ ₂ c₂ a₁ ₁ b₁ a₂ ₂ b₂ c₁ c₂ a₁ a₂ b₁ b₂ c₁ c₂ II o a₁ a₂ o b₁₁ c₁ b₂₂ c₂ a₁ b₁₁ c₁ a₂ ₂ b₂₂ c₂ a₁ ₁ b₁ ₁ a₁ ₁ c₁ a₂ ₂ b₂ ₂ a₂ ₂ c₂ a₁ ₁ b₁ a₂ ₂ b₂ a₁ ₁ c₁ a₂ ₂ c₂ a₁ a₂ b₁ b₂ a₁ a₂ c₁ c₂ a1w b1 a2w 2b2 a1 a2 a1 b1a1 a1 a2w 2b2 a2 a2 a1 a1 a1 b1 a1 a2w a2 a2 2 b2 a2 a2 a1 a1 a1 a2w a2 a2 b1 a1 b2 a2 a2 a1 a2w a1 a2 b1 b2 a1 a2 Portanto A1 x A2 é um anel 2 Considere o conjunto Zp a bp a b Z Defino a bp c dp a c b dp a bp c dp ac pb d bc ad p Sejam a bp c dp e fp Zp Temos 1 ia bp c dp e fp a c b dp e fp a c e b d fp a c e b d fp a bp c e d fp a bp c dp e fp ii a bp c dp a c b dp c a d bp c dp a bp iii Elemento neutro é 0 0p Pois a bp 0 0p a 0 b 0p a bp iv Elemento oposto de a bp Zp é a bp Pois a bp a bp a a b bp 0 0p v a bp c dp e fp ac pbd ad bcp e fp ac pbd e pid bc f ac pbd f ad bc e p a b p c d p e f p vi a b pc d e f p ac d pb e f ae f bc d p a b p c d p a b p e f p vii Unidade é 1 0 p Z p VIII a b p c d p ac pbd ad bc p ca pdb cb d a p c d p a b p ix a b p c d p 0 0 p a b 0 ou c d 0 Portanto Z p é um dominio de integridade b Z p não é corpo Pois um dominio de integridade é corpo se for finito e Z p não é finito 3 Q p a b p a b Q A demonstração é análoga do exercicio 2 lembrando que a b Q Resta mostrar os elementos invertiveis ou seja que todos elementos são invertiveis x Se x a b p Q p então y a b p a² pb² tal que x y y x 1 Portanto Q p é corpo 4 Seja f Z Z um homomorfismo tal que f1 k Vamos provar que fx kx x Z 1 f0 0 k0 2 Se fn kn com n N Então fn 1 fn f1 kn k kn 1 Logo por indução a tese está provada x N 3 Se x Z então x 1x1 e 1x1 Z Logo fx f1x1 f1x1 k1x1 k1x1 kx Agora vamos determinar valor de k Como fxy fxfy xy Z Tempos kxy kxky xy Z Logo K K² e portanto K 0 ou K 1 Portanto existem dois homomorfismos de Z para Z fx x e fx 0 5 a Prova Temos 0 x0 x0 x0 0 x0 x0 Logo 0 x0 x0 x0 Somando 1x0 em ambos lado s 0 x0 Analogamente 0 0x 0x 00x 0x 0x Logo 0 0x 0x 0x 0 0x Portanto x0 0x 0 b xy xy xy Prova xy xy 0 x0 x y y xy x y Logo xy xy xy x y Cancelando xy obtemos xy x y Analogamente xy xy 0 0x x x y xy xy Logo xy xy xy xy Cancelando xy temos xy xy Portanto xy xy x y c xy xy Prova Pela propriedade do item b xy xy Novamente pelo item b xy xy Portanto xy xy xy d xyz xy xz Prova Temos xyz x y z xy xz Como xz xz então xyz xy xz xy xz c y z x yx zx Prova Temas y z x y z x y x z x Como z x z x segue que y z x y x z x y x z x f 1 x x Prova Temos 0 1 1 Mult plicando à direita ambos lados por x temos 0 0 x 1 1 x 1 x 1 x x 1 x logo 1 x é o oposto de x Portanto x 1 x g 1 1 1 Prova 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Portanto 1 1 1 h 1 x x Prova 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x x Portanto 1 x x 6 Considere o conjunto A Zi a bi a b Z onde i2 1 Definimos Soma a bi c di ac bdi Produto a bi c di ac bd ad bci Sejam a bi c di e fi Zi i abi cdi efi ac bdi efi ac e bd fi a ce b dfi abi ce dfi abi cdi efi ii abi cdi ac bdi ca dbi cdi abi iii Elemento neutro O elemento neutro é 0 0i Zi abi 0 0i a0 b0i a bi iv Elemento oposto O oposto de abi Zi é a bi abi a bi aa bbi 0 0i v abicdiefi acbd adbci e fi acbde adbcf acbdf adbcei Por outro lado abicdiefi abicedf cfdei acedf bcfde acbdf adbcei acbde adbcf acbdf adbcei Portanto abicdiefi abicdiefi ix a bi c di e fi a bic e d fi ac e bd f ad f bc ei Por outro lado a bic di a bie fi ac bd ad bci ae bf af bei ac e bd f ad f bc ei Portanto a bic di e fi a bic di a bie fi Analogamente a bi c die fi a bie fi c die fi xii Unidade é 1 0i Pois a bi1 0i a1 b0 a0 b1i a bi xiii a bic di ac bd ad bci Por outro lado c dia bi ca db cb dai ac bd ad bci Portanto a bic di c dia bi xiv a bic di 0 0i ac bd ad bci 0 0i ac bd 0 ad bc 0 Logo a bi 0 0i ou c di 0 0i Portanto Zi é um domínio de integridade Elementos invertíveis de Zi Seja a a bi um elemento invertível de Zi Então existe b c di Zi tal que ab 1 Logo α²β² αβ² 1² 1 Portanto α² 1 Como α e β são inteiros positivos α² a²b² 1 Logo α 1 e β 0 ou β 1 e α 0 Portanto os invertíveis são 1 i 7 Prova De ab ac segue que ab ac 0 Logo ab c 0 Como A é um domínio de integridade a 0 ou b c 0 Mas a 0 logo b c pois b c 0 Portanto b c