Lista - Álgebra 2 2022 2

Algebra II Lista Professor Marcio Telles January 30 2023 1 Seja S um conjunto munido de uma operacao que associa dados x y S o elemento x y S Suponha ainda que valham as seguintes propriedades a x y S x y x b x y S x y y x Mostre que S tem no maximo um elemento 2 Considere em cada caso a relacao no conjunto S e decida se e uma relacao de equivalˆencia a S Z e x y se e somente se x y b S PN e x y se e somente se x y c S R e x y se e somente se x y d S R e x y se e somente se x y e S R e x y se e somente se x2 y2 f S Z e x y se e somente se 2 x y Caso afirmativo descreva a classe de equivalˆencia de 3 e o espacoquociente S g S Z Z e a b c d se e somente se ad bc Caso afirmativo descreva o espacoquociente S h S Q e x y se e somente se xy 2 Z Caso afirmativo descreva as classes de equivalˆencia de 0 de 1 e de 12 3 Considere em cada caso a operacao no conjunto S e decida se S e um grupo a S N e x y x y b S Z e x y x y c S Z e x y x y xy d S N e x y x y e S Z e x y x y 1 f S e o conjunto de todos os racionais 1 e x y x y xy 4 Mostre que se todo elemento do grupo G tem ordem 2 entao G e abeliano 5 Mostre que se A e B sao subgrupos de G entao A B tambem e 6 Mostre que o centro ZG pesquise de um grupo G sempre e um subgrupo de G 7 Seja G um grupo abeliano e H x G x2 e Mostre que H e um subgrupo de G 8 Seja G um grupo abeliano n um numero natural e H x G xn e Mostre que H e um subgrupo de G 9 Prove que todo grupo cıclico e abeliano 10 Prove que se o grupo G nao tem subgrupos proprios entao G e cıclico 11 Sejam A e B subgrupos do grupo abeliano G e defina A B a b a A b B Mostre que A B e subgrupo de G 12 Mostre que se p e um inteiro primo entao as unicas solucoes de x2 1 mod p sao x 1 mod p 13 Suponha que G a1 a2 an seja um grupo abeliano finito de ordem n e defina x a1 a2 an Mostre que x2 e Se n e ımpar o que vocˆe pode concluir sobre x 14 Usando os resultados dos dois problemas anteriores demontre o Teorema de Wilson Teorema Wilson Se p e primo entao p 1 1 mod p 15 Suponha que G a1 a2 an seja um grupo abeliano finito de ordem n e defina x a1 a2 an Mostre que a Se G tem exatamente um elemento b tal que b e e b2 e entao x b b Se G tem mais de um elemento b tal que b e e b2 e entao x e 2 Algebra 2 Solucoes Solucao 4 Como todo elemento sem identidade tem ordem dois a1 a para qualquer elemento do grupo Portanto a b aba1b1 abab ab2 e Portanto o grupo e abeliano Solucao 5 Seja G um grupo H1 H2 subgrupos de G H H1 H2 Entao H nao esta vazio Se e e o elemento neutro de G entao e H1 e e H2 porque sao subgrupos Daı tambem e H e H Se a b H entao ab1 H De fato a b H implica a b H1 como H H1 portanto ab1 H1 porque H1 e um subgrupo Da mesma forma ab1H2 e portanto ab1H Vocˆe deve conhecer o criterio de subgrupo Um subconjunto H de um grupo e um subgrupo se H e a b H implica ab1 H Portanto acabamos de mostrar que H e um subgrupo de G Solucao 7 De fato dados x y H temos xy2 x2y2 e e e pois G e abeliano Logo xy H dado x H temos x12 x21 e1 e pois G e abeliano Logo x1 H Portanto H e subgrupo de G Solucao 10 Vou dar a prova disso sem usar o teorema de Cauchy G e cıclico Caso contrario o conjunto gerador de G deve ter pelo menos dois elementos Sejam a e b elementos que satisfazem a b e b a entao a e b sao subgrupos proprios distintos de G uma contradicao G tem ordem primaria Se G tem ordem infinita entao tem subgrupo proprio considere 2Z em Z entao G e finito Se G rs com r s 1 e G a entao as e um subgrupo proprio de G Solucao 15 Vamos resolver 1 a Suponha que G tem um unico elemento b e tal que b2 e Note que x2 a1 a11 a2 a21 an an1 e e e e Suponha sem perda de generalidade que b a1 Se fosse x b terıamos x b a2 an e x2 b2 a2 an2 a2 an2 e o que contradiz a unicidade de b com b2 e Portanto x b b Se existir mais de um elemento b e com b2 e entao pelo mesmo argumento da questao anterior terıamos x x1 e 2