Calculo com Integrais - Teoremas Classicos e Aplicações

Fundamentos de Análise Cálculo com Integrais Produção Gerência de Desenho Educacional NEAD Desenvolvimento do material Gregório Luís Dalle Vedove Nosaki 1ª Edição Copyright 2021 Unigranrio Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Unigranrio Núcleo de Educação a Distância wwwunigranriocombr Rua Prof José de Souza Herdy 1160 25 de Agosto Duque de Caxias RJ Reitor Arody Cordeiro Herdy PróReitoria de Programas de PósGraduação Nara Pires PróReitoria de Programas de Graduação Lívia Maria Figueiredo Lacerda PróReitoria Administrativa e Comunitária Carlos de Oliveira Varella Núcleo de Educação a Distância NEAD Márcia Loch Sumário Cálculo com Integrais Para Início de Conversa 4 Objetivo 4 1 Os Teoremas Clássicos do Cálculo Integral 5 2 A Integral como Limite de Somas de Riemann 7 3 Logaritmos e Exponenciais 8 4 Integrais Impróprias 11 Referências 13 Fundamentos de Análise 3 Para Início de Conversa Neste capítulo abordaremos um pouco mais sobre o conceito de integrais Veremos a relação que existe entre os conceitos de integral e derivada dado pelo Teorema Fundamental do Cálculo e também a relação entre integral e limite quando definirmos o cálculo da integral de uma função como o limite de uma soma de Riemann Apresentaremos outros resultados clássicos sobre integrais que nos fornecem ferramentas para calcular de maneira mais ágil as integrais de funções mais complexas Definiremos o que é uma partição pontilhada de um intervalo de modo a construir o conceito de soma de Riemann de uma função Trataremos das funções logarítmica e exponencial que possuem uma relação dada pelos conceitos de integral e derivada Iremos construir intuitivamente essas duas funções a partir dos objetos que trabalhamos nesse curso Por fim trataremos dos casos onde o infinito aparece como parte do cálculo de uma integral seja na imagem ou no domínio da função Esse tipo de integral é conhecido como integral imprópria e deve ser trabalhado de maneira especial pois se trata de um limite de integrais definidas que pode ou não existir Objetivo Estudar o cálculo de integrais e suas propriedades Fundamentos de Análise 4 1 Os Teoremas Clássicos do Cálculo Integral Nesta primeira seção iremos trabalhar com quatro teoremas muito importantes dentro do cálculo diferencial e integral e do estudo mais analítico das integrais de funções reais Tratamse de teoremas que nos ajudam a lidar com as integrais e facilitam o cálculo para funções que possuam expressões mais complexas O primeiro teorema que trataremos será o Teorema Fundamental do Cálculo Este é um clássico teorema da análise real que relaciona os conceitos de integrais e derivadas Considere uma função integrável Lembrese de que o fato de uma função ser integrável não significa necessariamente que ela é contínua em todos os pontos do seu domínio Vamos definir uma função como sendo Note que quando atribuímos um valor para a função calcula a integral da função no intervalo Essa integral está bemdefinida pois a função é por hipótese integrável em e portanto por um dos teoremas apresentados no capítulo anterior a função é integrável em qualquer subintervalo da forma de Os próximos dois teoremas irão nos auxiliar a enunciar e compreender o Teorema Fundamental do Cálculo Teorema Considere uma função que é integrável e é contínua em um ponto e a função como sendo Nessas condições é derivável no ponto e vale que em que denota o valor da derivada de calculada no ponto De maneira mais geral temos o seguinte teorema Teorema Se é contínua então existe uma função que é derivável e tal que Os teoremas anteriores relacionam os conceitos de derivada e integral Temos um nome especial para essa função que é obtida a partir desses teoremas Ela é chamada de função primitiva de no intervalo Com base nessa definição e nas propriedades apresentadas pelos teoremas anteriores podemos enunciar o Teorema Fundamental do Cálculo Teorema Teorema Fundamental do Cálculo Considere integrável tal que é a sua primitiva Nessas condições vale que Fundamentos de Análise 5 Dessa forma sabemos que toda função contínua possui uma primitiva e além disso os teoremas anteriores estabelecem uma relação entre os conceitos de derivada e integral apresentados anteriormente Os próximos teoremas já foram trabalhados em cálculo e auxiliam a calcular e descrever integrais de expressões de funções que possam ser muito complexas São maneiras de simplificar e calcular certas integrais As demonstrações desses resultados podem ser encontradas em Panonceli 2017 e Lima 2009 Teorema Mudança de Variáveis Considere uma função contínua e uma função com derivada contínua e tal que Nessas condições vale que Na notação de integral podemos usar qualquer letra para indicar sobre qual variável estaremos integrando Dessa forma as integrais são equivalentes É importante que nessa notação fique claro sobre qual variável estaremos integrando Chamamos essa variável de variável muda Existem casos em que estaremos lidando com mais de uma variável e por isso é importante que fique claro sobre qual variável estamos efetuando a integração Teorema Integração por partes Considere duas funções que possuam derivadas contínuas Nesse caso vale que em que Teorema Teorema do Valor Médio Se é contínua então existe tal que Fundamentos de Análise 6 2 A Integral como Limite de Somas de Riemann Na seção anterior vimos a relação de integrais e derivadas por meio do Teorema Fundamental do Cálculo Aqui iremos mostrar o conceito de integral visto como o limite de uma soma de Riemann Para isso vamos retomar o conceito de partição Considere um intervalo e uma partição desse intervalo Definimos como sendo a norma da partição o valor dado por isto é o comprimento do maior subintervalo da partição O próximo teorema nos dá uma informação importante a respeito das aproximações dos valores das somas superiores quando tomamos a norma das partições cada vez menores Teorema Considere uma função real limitada Para todo existe tal que se uma partição do intervalo é tal que então necessariamente Podemos reescrever o resultado do teorema anterior e afirmar que para as partições partição do intervalo tais que então Vale dizer portanto que ou seja quanto mais finas as partições mais próximas as somas superiores se tornam do valor da integral superior Vale o resultado análogo para as somas inferiores e temos que Definição Vamos considerar uma partição pontilhada do intervalo um par representado por em que é Fundamentos de Análise 7 uma partição de e é uma coleção de pontos tais que para Cada é um elemento do subintervalo da partição A partir desse conceito podemos definir as somas de Riemann de uma função limitada Definição Dada uma função real limitada e uma partição pontilhada do intervalo Definimos a soma de Riemann de em relação à partição pontilhada o valor A soma de Riemann é portanto uma maneira mais geral de calcular a soma superior e inferior em relação à uma partição Da própria definição anterior temos que pois na soma inferior tomamos o ínfimo da função nos subintervalos enquanto que na soma superior tomamos o supremo da função nos subintervalos e portanto valem as desigualdades apresentadas acima O teorema a seguir relaciona o conceito de integrais com o limite das somas de Riemann de uma função Teorema Se é uma função integrável então Definimos o limite como sendo se para todo existe um valor tal que para toda partição pontilhada com vale que Segundo o último teorema sabemos que a integral de uma função pode ser vista como o limite das somas de Riemann quando as partições se tornam cada vez mais finas Isso significa que quanto mais fina for a partição pontilhada considerada mais próximo do valor da integral da função se torna a soma de Riemann em relação à essa partição 3 Logaritmos e Exponenciais Vamos trabalhar nessa seção com as funções exponencial e logarítmica que são extremamente importantes na Matemática e em diversas outras Fundamentos de Análise 8 ciências Traremos um foco mais teórico e generalista sobre tais funções pois é esse o objetivo em análise Iremos trazer uma abordagem como em Lima 2009 começando com a introdução da função logarítmica e a partir dela definir e conceituar a função exponencial Definição a função logaritmo é a função dada pela expressão Note que a função logaritmo está definida apenas para valores reais positivos Além disso quando usaremos a propriedade de integrais que A partir dessas informações já podemos inferir que para para e quando Veja a seguir o gráfico da função logaritmo 201 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 6 15 10 05 00 05 10 15 20 log10 Gráfico 1 Função logaritmo Fonte Wikimedia É possível definir o logaritmo em diferentes bases No ramo da teoria da informação é muito comum usar a notação de para se referir ao logaritmo na base 2 enquanto que em outras áreas a notação é utilizada para o logaritmo neperiano em homenagem ao seu criador John Napier ou logaritmo natural denotado por Aqui sempre iremos trabalhar com a base 10 mas toda a teoria apresentada aqui pode ser aplicada para os outros casos Veja a seguir uma comparação gráfica entre essas três diferentes formas de se trabalhar com logaritmos e como o comportamento dessas funções é similar Fundamentos de Análise 9 41 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 6 3 2 1 0 1 2 3 4 log10 In log2 Como dito anteriormente podemos reparar na representação gráfica que o sinal da função se comporta como já havíamos descrito Além disso fica claro pelo gráfico da função que se trata de uma função monótona crescente O próximo teorema nos traz importantes propriedades operatórias com a função logaritmo que já são trabalhadas no cálculo diferencial e integral Teorema para todos e vale que e Além disso a função é derivável e sobrejetora Agora podemos conceituar a função exponencial como sendo a função inversa da função logaritmo Definição A função exponencial é definida como sendo a função dada por Dessa forma e para todo e Uma das propriedades mais características da função exponencial é que sua derivada é igual a própria função exponencial Apresentamos essa e outras características operacionais dessa função no próximo teorema Teorema A função exponencial como descrita anteriormente é tal que Além disso para todos e valem que e Fundamentos de Análise 10 em que é um número irracional primeiramente descrito por John Napier mas a notação que usa a letra é uma homenagem à notação usada por Euler no século XVIII O último teorema desta seção nos dá a propriedade recíproca para o teorema anterior Se uma função é derivável e sua derivada é igual a própria função então necessariamente essa função é da forma exponencial Teorema Considere uma função derivável em que é um intervalo da reta real e com Se então temos necessariamente que para todo Como dito anteriormente existem diversas aplicações para as funções exponencial e logarítmica em diferentes áreas do conhecimento Elas são utilizadas para descrever o crescimento de uma determinada cultura de microorganismos na biologia para o cálculo de juros compostos na matemática financeira para o decaimento da radiação emitida por determinados compostos na química e até mesmo para compreender melhor o crescimento populacional e demográfico na geografia São diversos exemplos que podemos introduzir para motivar as funções exponencial e logarítmica de maneira mais concreta 4 Integrais Impróprias O teorema a seguir irá nos auxiliar a lidar com integrais impróprias que são os casos em que a função é ilimitada em um intervalo aberto e finito dos reais ou então quando consideramos uma função cujo domínio é ilimitado Teorema Considere uma função limitada tal que para todo a restrição seja integrável Independentemente do valor atribuído para a função é integrável e vale que Vamos considerar inicialmente o caso em que a função é ilimitada em um intervalo aberto porém finito da reta real Sempre vamos considerar aqui que as funções são contínuas para simplificar as definições Considere uma função que é contínua mas ilimitada isso é podemos considerar que a função tende a mais infinito quando tende a por exemplo Para todo valor de podemos Fundamentos de Análise 11 tomar a restrição dessa função ao intervalo fechado Neste intervalo a função é limitada e contínua e portanto integrável Definimos neste caso a integral imprópria como sendo o limite Se tal limite existe diremos que a integral é convergente caso contrário o limite apresentado não exista então diremos que a integral é divergente De maneira análoga podemos definir a integral imprópria para o caso em que e a função é ilimitada quando tende a e nesse caso teremos Caso tenhamos uma função contínua que esteja definida em um intervalo aberto basta que tomemos um valor e calculemos retornando assim nos casos apresentados anteriormente Outro caso que definimos como integral imprópria é quando o domínio da função é ilimitado Vamos analisar o caso em que é uma função contínua Para todo sabemos que a integral existe e está bemdefinida Definimos então a integral imprópria como sendo o limite Novamente se o limite existe diremos que a integral converge e caso contrário o limite não existe então diremos que a integral diverge De maneira análoga podemos considerar o caso que é contínua Se tomarmos qualquer valor a integral existe e está bemdefinida A integral imprópria é o limite No caso em que temos uma função podemos tomar um valor e dividir a integral de em duas integrais impróprias nos Fundamentos de Análise 12 casos anteriores ou seja Em todos os casos com integrais impróprias temos o conceito de infinito envolvido seja ele na imagem ou no domínio da função A ideia central na análise de todos os casos anteriores é trabalhar com intervalos fechados nos quais temos um maior controle sobre a integrabilidade da função e a partir daí tomar intervalos cada vez maiores de modo que no limite seja possível avaliar o valor da integral imprópria Nesta seção descrevemos integrais que podem não convergir isso significa que as integrais não existem pois não estão bemdefinidas Quando consideramos as restrições de funções contínuas a intervalos fechados temos sempre integrais bem definidas mas isso não é sempre verdade para os limites dessas integrais Neste capítulo exploramos um pouco mais sobre certas propriedades operatórias que podemos utilizar para facilitar o cálculo de integrais definidas além de estabelecer uma relação entre os conceitos de integral e derivada e entre os conceitos de integral e limite O Teorema Fundamental do Cálculo nos proporciona uma compreensão da relação de uma função integrável com sua função primitiva enquanto as somas de Riemann possibilitam uma definição via limite do que consideramos a integral de uma função Construímos as funções exponencial e logarítmica a partir de simples definições de integrais e conseguimos algumas propriedades operatórias sobre essas funções Definimos também o conceito de integrais impróprias e como elas são construídas a partir de integrais definidas Referências ÁVILA G S S Análise matemática para licenciatura 3 ed São Paulo Blucher 2019 ÁVILA G S S Introdução à análise matemática 2 ed reimpressão São Paulo Blucher 2016 LIMA E L Análise real vol 1 Funções de uma variável 10 ed Rio de Janeiro IMPA 2009 PANONCELI D M Análise matemática Curitiba Intersaberes 2017 Fundamentos de Análise 13